Año 2012
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS DE LA UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
Biometría Actuarial TEORÍA Además de las clases teóricas, se encuentran análisis personales adicionales a los dados por los docentes y ayudantes, desarmando conceptos y en algunas ocasiones conectando con conceptos de otras materias. Todo ello en busca de la meta más importante entender con claridad cada tema dado.
Ricardo Gabriel Amarilla
[email protected] Año 2012
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PRIMEROS PASOS Sea
Siendo
la edad de un recién nacido
Sea Donde es continua Por lo cual En este caso
0 Plazos
1
es el tiempo en años que transcurre desde la edad x hasta que fallece
2
t
La edad límite es , la cual nadie alcanza con vida
PROBABILIDAD DE FALLECIMIENTO PROBABILIDAD DE FALLECIMIENTO
INMEDIATA
ACUMULADA
MARGINAL
DIFERIDA
ACUMULADA
MARGINAL
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PROBABILIDAD MARGINAL INMEDIATA DE FALLECIMIENTO El inicio del periodo de exposición al riesgo de fallecimiento es igual a la edad de observación del grupo . Supongamos que el fallecimiento se produce entre , luego, no alcanza con vida la edad . Llega vivo al inicio de la edad x
No alcanza con vida la edad
El fallecimiento se produce entre
PRIMERA SIMBOLIZACIÓN “EN EDADES” Siendo
Parámetros
Como puede observarse el periodo de exposición al riesgo de fallecimiento está comprendido entre las edades y , y el comienzo del periodo es igual a la edad del grupo que se toma para observar . SEGUNDA SIMBOLIZACIÓN “EN PLAZOS” Siendo
SIMBOLISMO INTERNACIONAL
PROBABILIDAD MARGINAL DIFERIDA DE FALLECIMIENTO El inicio del periodo de exposición al riesgo de fallecimiento no es igual a la edad de observación del grupo .
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La probabilidad de que la persona de edad x alcance con vida la edad
, pero no la edad
.
Como puede observarse el periodo de exposición al riesgo de fallecimiento está comprendido entre las edades y , y el comienzo del periodo no es igual a la edad del grupo que se toma para observar . EN EDADES
EN PLAZOS
INTERNACIONAL
Lapso de diferimiento entre el inicio de la observación y comienzo del riesgo.
Diferencia entre la edad de finalización del periodo de riesgo y la edad del inicio del riesgo
EJEMPLO
EN EDADES
EN PLAZOS
INTERNACIONAL
PROBABILIDAD DE FALLECIMIENTO INMEDIATA ACUMULADA La probabilidad de que una persona de edad
no alcance con vida la edad
.
Los sucesos que pueden ocurrir son
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O PUEDE OCURRIR (Sobrevive 1 periodo) O PUEDE OCURRIR (Sobrevive 2 periodos) O PUEDE OCURRIR (Sobrevive 3 periodos) O PUEDE OCURRIR (Sobrevive 4 periodos) O PUEDE OCURRIR (Sobrevive 5 periodos) ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ Y POR ULTIMO (Sobrevive m-1 periodo) ...............
Cada suceso tiene asociada una probabilidad de fallecimiento. TABLA CON UNA MUESTRA DE EDAD x Intervalos de edades
Probabilidades marginales inmediatas
Probabilidades marginales diferidas de fallecimiento
Probabilidades inmediatas acumuladas de fallecimiento
...........
......
.........
.......
Para entender el concepto se tomará
como probabilidad a buscar.
Es decir, Pueden ocurrir 2 sucesos mutuamente excluyentes
O puede ocurrir (Sobrevive 1 periodo)
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SUCESO 1: A LA EDAD X NO ALCANZA CON VIDA LA EDAD X+1.
SUCESO 2: A LA EDAD X LLEGA CON VIDA A LA EDAD X+1, PERO NO ALCANZA CON VIDA LA EDAD X+2.
La suma de ambas probabilidades de fallecimiento genera la probabilidad acumulada buscada. Como se ve puede ocurrir solo un suceso y no ambos a la vez. Si le damos valores a m los sucesos que se obtienen son los siguientes. Si
Si
O puede ocurrir (Sobrevive 1 periodo)
Si
O puede ocurrir (Sobrevive 1 periodo) O puede ocurrir (Sobrevive 2 periodos)
Si
O puede ocurrir (Sobrevive 1 periodo) O puede ocurrir (Sobrevive 2 periodos) O puede ocurrir (Sobrevive 3 periodos)
7
Si
O puede ocurrir (Sobrevive 1 periodo) O puede ocurrir (Sobrevive 2 periodos) O puede ocurrir (Sobrevive 3 periodos) O puede ocurrir (Sobrevive 4 periodos)
Los sucesos son mutuamente excluyentes, porque se muere una sola vez, es decir, los sucesos enumerados arriba pueden ocurrir una sola vez y no en conjunto o varios a la vez.
O en edades
PROBABILIDAD DE FALLECIMIENTO DIFERIDA ACUMULADA
(Sobrevive n periodos) O PUEDE OCURRIR (Sobrevive
periodos)
O PUEDE OCURRIR (Sobrevive
periodos)
............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ O PUEDE OCURRIR
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LA PROBABILIDAD DE QUE UNA PERSONA DE EDAD X NO ALCANCE CON VIDA LA EDAD . Esta última es la edad que nadie llega a alcanzar con vida por ello la probabilidad es igual a 1 como se ve abajo.
O puede ocurrir (Sobrevive 1 periodo) O puede ocurrir (Sobrevive 2 periodos) O puede ocurrir (Sobrevive 3 periodos) O puede ocurrir (Sobrevive 4 periodos) ............................................................................................................................................ .................................................................................................................... Y por ultimo (Sobrevive m-1 periodo) ..........................
Es un sistema mutuamente excluyente y exhaustivo. En la grafica se pueden ver todos los posibles sucesos.
Si abrimos la sumatoria en dos
La probabilidad de estar muerto entre x y de cualquier persona es 1 porque es la edad que nadie alcanza con vida. Como ejemplo pensemos en 300 años., si una persona tiene 30 años ¿cuál es su probabilidad de fallecer entre los 30 y los 300 años?, claramente es 1, ya que, tenemos la certeza de que va a fallecer.
LA IGUALDAD Donde
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Es la probabilidad de que una persona de edad x alcance con vida la edad la edad , es decir, que fallezca entre las edades y .
, pero no alcance con vida
(Sobrevive n periodos) O PUEDE OCURRIR (Sobrevive n+1 periodos) O PUEDE OCURRIR (Sobrevive n+2 periodos) ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ O PUEDE OCURRIR ................... .........
Donde como vimos
Por lo tanto
x
Si una persona fallece entre las edades , es porque tuvo que haber estado con vida entre las edades . La clave se encuentra en la edad límite es que nadie alcanza con vida.
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En este intervalo puede seguir con vida y no se puede asegurar que la igualdad se cumpla.
x
Si una persona fallece entre las edades , la igualdad no se cumple porque si bien tuvo que haber estado con vida entre las edades , todavía hay un tramo entre que puede seguir vivo.
Si tomamos el caso particular de Interpretación de Edades 0 Sobrevivir hasta
Plazos teniendo x años de edad
Fallecer entre
y
teniendo x años de edad
Interpretación de Edades 0 Sobrevivir hasta
Plazos teniendo x años de edad
PROBABILIDAD DE VIDA ACUMULADA La probabilidad de que una persona de edad
alcance con vida la edad EN EDADES
EN PLAZOS
INTERNACIONAL
PROBABILIDAD DE VIDA MARGINAL EN EDADES
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EN PLAZOS
INTERNACIONAL
La probabilidad de que una persona de edad
alcance con vida la edad
RELACIONES La probabilidad de fallecer a la edad x es cero.
La probabilidad de vida a la edad x es uno.
La probabilidad de fallecer entre la edad x y
La probabilidad de sobrevivir entre x y
es uno.
es cero
DOS RELACIONES IMPORTANTES a) b) Probabilidad de fallecer entre
y
teniendo x años de edad
Edades 0
Plazos Probabilidad de fallecer entre x y
Probabilidad de fallecer entre x y A se le quita habiendo sobrevivido m periodos
y se obtiene la probabilidad de fallecer entre
Probabilidad de fallecer entre
y
teniendo x años y
teniendo x años de edad
Edades 0
Plazos Probabilidad de sobrevivir entre x y
Probabilidad de sobrevivir entre x y
(con
)
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Deducción de b) Si sumamos y restamos 1 en a) obtenemos
De esta manera queda demostrado. Es importante notar que porque a mayor la edad que se pretenda alcanzar menor es la probabilidad de sobrevivir. O mientras más cerca de la edad se esté más alta la probabilidad de fallecer y más baja la probabilidad de sobrevivir. En definitiva, la diferencia , se debe interpretarse como la reducción que se produce en la probabilidad en relación a . Si la meta es alcanzar con vida la edad teniendo hoy x años de edad, la probabilidad de lograrlo con éxito asociada es , si ahora cambiamos esa meta y la alargamos años hasta , luego, es lógico pensar que la probabilidad de lograrlo con éxito disminuya, y esa disminución es explicada por la posibilidad de fallecer entre las edades y
En el intervalo pueden ocurrir dos sucesos: sobrevivir hasta la edad alcanzar con vida la misma.
o no lograr
O puede ocurrir
En el intervalo no alcanzarla con vida.
O no alcanzar con vida la edad
también pueden ocurrir dos sucesos: sobrevivir hasta la edad
o
, que a su vez se divide en dos
O puede ocurrir
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Por lo cual
Como se ve la probabilidad de fallecer entre las edades respecto a hacerlo entre , es decir . Este incremento es en
se incrementa con
De este modo vemos lo que habíamos mencionado que .
. Si reemplazamos
Se ve con aún más claridad. Podemos concluir que lo que crece .
es lo que decrece
Esto se debe a los supuestos que hemos realizado, en particular, que la edad de fallecimiento sólo depende de la edad que tenga la persona y que la población es homogénea.
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Sea
Con Siendo los años que transcurren desde la edad x hasta el momento de fallecer. Al ser incierto es una variable aleatoria, ya que nadie sabe con certeza cuándo ocurrirá el fallecimiento al momento de tomar una muestra de edad y de tamaño .
Siendo t años transcurridos desde la edad
.
Donde
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Luego, el dominio de t como años posibles a vivir sería igual a . Pero como no conocemos apriori cuándo ocurrirá , t es una posible realización de la variable aleatoria , ya que, cada t es un posible candidato a serlo. ESPACIO MUESTRAL Es el dominio de la variable aleatoria
La cual tiene asociada una función de densidad Para un valor cualquiera de que se tome hay dos posibles resultados 1. 2.
La persona alcanzó con vida la edad La persona no alcanzó con vida la edad
, teniendo la edad . (Sobrevivió) teniendo la edad (Falleció)
Lo cual implica que para cada valor de debemos asociar una probabilidad de sobrevivir y otra de fallecer y las probabilidades acumuladas de ambas son que pasamos a definir
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Probabilidad de que una persona de edad x no alcance con vida la edad
Donde
.
es una Función de Distribución
La Función de Supervivencia Probabilidad de que una persona de edad x sobreviva hasta la edad
.
La Función de Supervivencia es el complemento de la Función de Distribución.
FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA
0
Es igual a la probabilidad de fallecer dentro de este intervalo
++
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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
0
Es igual a la probabilidad de fallecer dentro de este intervalo
++
CONJUNTO DE VARIABLES ALEATORIAS Para los distintos valores de x tendremos distintas variables aleatorias
.
Posibles edades de observación
Variable aleatoria
Edad de fallecimiento
año años años años años
Tenemos un conjunto de variables aleatorias que deseamos relacionar.
PROBABILIDAD DE VIDA RELACIÓN 1 EQUIVALENCIA CON RECIÉN NACIDOS La probabilidad de que una persona de edad x sobreviva t años es igual a que un recién nacido alcance con vida la edad habiendo alcanzado con vida la edad x.
0
x
Teniendo en cuenta
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Obtenemos la siguiente relación
De esta manera estamos relacionando a
como puede verse en la última expresión.
EQUIVALENCIA CON CUALQUIER EDAD Obtenemos la siguiente relación
0
x
De esta manera estamos relacionando a
EJEMPLO Sean tres edades Y sean las siguientes probabilidades de supervivencia
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0
x
y
z
RELACIÓN 2 En plazos
En edades
Para lograr
Debe primero llegar con vida hasta la edad
Y luego debe ocurrir que
Ya que
Entonces podemos escribirlo como
Probabilidad de que una persona de edad x alcance con vida la edad .
Para alcanzar la edad final , tuvo que haber alcanzado todas las intermedias.
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PROBABILIDAD DIFERIDA Y TEMPORARIA DE FALLECER NUEVA RELACION
Si multiplicamos y dividimos por
.
Como
Luego
La nueva relación es igual a
Luego, los dos sucesos que deben ocurrir en conjunto
.
Suceso A Que una persona de edad x alcance con vida la edad
.
Suceso B Habiendo alcanzado con vida la edad
, es necesario que fallezca entre las edades .
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La probabilidad de que un recién nacido fallezca entre las edades , bajo la condición de haber alcanzado con vida la edad x.
La diferencia es igual a
Es importante notar que la edad observacional es de cero años, es decir, un recién nacido y que la probabilidad de fallecer que se busca es la de una persona de x años de edad y que fallezca entre y . Es como si se hiciera un cambio de edad base con este método. Con probabilidades de recién nacidos llego a probabilidades de personas de edades x, es decir, teniendo únicamente como dato las probabilidades de recién nacidos puedo obtener las de otros grupos etarios.
Nuevamente estamos relacionado las variables aleatorias
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Sabemos además que Donde
es una variable aleatoria continua y que
=
representa la parte entera de la variable aleatoria.
La persona de edad x puede fallecer en cualquier momento en el intervalo de edades por ejemplo
, pero
, como
toma únicamente la parte entera. Como vemos el intervalo no incluye al
límite superior
En el intervalo de edades de fallecimiento Tomamos el entero
Es decir, que estamos ante una variable aleatoria discreta EJEMPLO Sea
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Luego
CALCULO DE LAS PROBABILIDADES DE PROBABILIDAD MARGINAL O PUNTUAL Si
Si
Si
Si
............................................. Si
Donde
Como podemos apreciar de esta última expresión existe una relación entre las probabilidades de
Hay que sobrevivir k años
Y fallecer en el intervalo
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PROBABILIDAD ACUMULADA
Es igual ya que es continua. El igual no vale porque la probabilidad puntual es igual a cero.
Donde
DIFERENCIAS DE PROBABILIDADES ACUMULADAS
MEDIDAS DE POSICIÓN DE EXPECTATIVA DE VIDA O VIDA MEDIA ABREVIADA Donde
La probabilidad de sobrevivir teniendo x años, entre x y es igual a cero.
Donde
es la Expectativa de Vida que representa el promedio de años enteros a vivir por una persona de
MOMENTO ABSOLUTO DE ORDEN 2
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VARIANZA DE
TABLA DE MORTALIDAD Se trata de un modelo matemático idóneo para el cálculo de probabilidades de vida y de muerte y se presenta como la evolución de un colectivo cerrado de personas homogéneas e independientes. Cada persona del grupo es exactamente igual y la edad de fallecimiento de cada uno es independiente de la de los otros. Si se tomará un grupo de personas de la misma edad x, cada persona morirá a cierta edad, cada uno de los miembros del grupo tiene su edad de fallecimiento, que puede ser igual o no al de algún otro. Pero la edad de fallecimiento de una persona no tiene porque depender de la de otro. En otras palabras, en
se toma un grupo de personas y se observa su evolución a lo largo del tiempo.
Para cada año se observará que habrá
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Siendo SF y SI variables stock. Donde las flecha hacia arriba y hacia abajo son variables flujos, que incrementan y disminuyen la población. En este modelo no tenemos flecha hacia arriba únicamente hacia abajo. Es decir Egresos o muertes. En definitiva, partimos de una población inicial o stock inicial SI con cierta edad x, es decir, que cada uno de los integrantes tiene una edad de x años. La población para cada año que transcurre desde x, una proporción de ese grupo pierde la vida. Hasta que llega la edad que no queda nadie con vida. En pueden permanecer personas con vida (aunque existe una probabilidad de que esto no ocurra). No conocemos exactamente cuándo será la edad de fallecimiento , es incierta para cada individuo de la población. Recordando que los sujetos integrantes de la población son homogéneos, para cada integrante tendremos una variable aleatoria como así también una función de densidad asociada. Para cada persona del grupo esta función de densidad es igual, es decir que para todos es la misma. Son homogéneos en cuanto a los factores que afectan la mortalidad (como lo son el género, ya que las mujeres viven más que los hombres, y la ocupación). Son independientes en probabilidad, es decir, que la información de fallecimiento o supervivencia de una persona, no me brinda ninguna información del fallecimiento o de vida de cualquier otra persona, con puntos discretos anules de eliminación. Bajo la hipótesis de que las probabilidades de vida o de muerte son solo función de la edad alcanzada teniendo x años de edad, es decir .
1
0
= Lapso de tiempo transcurrido en años desde de la edad x
VARIABLE ALEATORIA TIEMPO CONTINUO Si definimos la variable aleatoria continua edad de fallecimiento
En lugar de trabajar con la diferencia directamente.
podemos elegir trabajar con la edad de fallecimiento
Podemos ver que la variable aleatoria continúa coincide con la variable aleatoria continua plazo en años para el caso particular de recién nacidos.
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TIEMPO DISCRETO Si definimos la variable aleatoria discreta edad de fallecimiento
En lugar de trabajar con la diferencia directamente.
podemos elegir trabajar con la edad de fallecimiento
Podemos ver que la variable aleatoria continúa discreta plazo en años para el caso particular de recién nacidos.
coincide con la variable aleatoria
RELACIÓN ENTRE LA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Y LA CONTINUA
Es importante notar que hay presente una relación entre la variable aleatoria discreta y la continua. Al exigir que las edades sean enteras, no se trabaja con intervalos en la TABLA DE MORTALIDAD como lo exigiría una variable aleatoria continua. Esto último, en relación de la naturaleza de la que es continua de por sí. Si tomamos valores enteros de edades de fallecimientos descartamos los intervalos. Si tomamos el intervalo
Como implica que desde la edad x en adelante se producen muertes hasta justo un instante antes de llegar a la edad , esas muertes se van acumulando a lo largo del año en dicho intervalo
Con esto logramos que cualquier persona que fallece en el intervalo descartando de esta manera los decimales.
tenga la edad entera x,
Como se ve la edad de fallecimiento es una variable aleatoria continua y deberíamos usar intervalos en la TABLA DE MORTALIDAD. Pero si tomamos la parte entera de la edad de las personas que son eliminadas todos pasarían a tener la edad x. Con ello logramos que la edad de fallecimiento se transforme en una variable aleatoria discreta. Esto es análogo a lo que ocurría con .
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Desde la edad en adelante se producen muertes hasta un instante antes de llegar a la edad , esas muertes se van acumulando a lo largo del año en dicho intervalo Todos los fallecidos son contados con edad si tomamos enteros.
Continuo Discreto
Número de personas fallecidas a la edad . Si tomamos enteros de la edad de fallecimiento.
En definitiva, se da la equivalencia
CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA DE MORTALIDAD RELACIONES Sean NUMERO DE PERSONAS QUE ALCANZAN CON VIDA LA EDAD EXACTA Y ENTERA
EL NUMERO DE PERSONAS QUE FALLECEN ENTRE LAS EDADES INTERVALO
O EN EL
NUMERO DE PERSONAS QUE ALCANZAN CON VIDA LA EDAD EXACTA Y ENTERA
............................................................ ...........................................................
De la última expresión deducimos
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Se define EL NÚMERO DE PERSONAS ACUMULADAS QUE NO ALCANZAN CON VIDA LA EDAD TENIENDO LA EDAD X.
Donde
Donde
Número de personas con vida a la edad
Número de personas con vida a la edad
Como el grupo es cerrado y homogéneo e independiente donde solo hay egresos de la población, luego, Esto explica la cantidad de eliminados producidos entre la edad .
Como en no queda nadie con vida y partimos de una población inicial , si sumamos la cantidad de muertes producidas para cada edad desde x nos tiene que dar la población inicial . Para la construcción de la tabla de mortalidad hay dos métodos ANÁLISIS TRANSVERSAL DE MORTALIDAD En un momento estático del tiempo se toma una población y se observa la evolución de fallecimientos a lo largo de un periodo de tiempo ANÁLISIS LONGITUDINAL DE MORTALIDAD Se observa toda la población de principio hasta que fallece el último. Estos análisis están incluidos en el plan observacional que da los detalles del grupo que se observa.
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IMPORTANTE Con distintas edades hay una igualdad
Pero no es cierto que teniendo distintas edades sean iguales en probabilidad.
Lo que ocurre es que en el lapso los tiene vividos realmente, alcanzo con vida la edad , no hay incertidumbre al respecto, en otras palabras, la persona tiene la edad . En cambio en la persona tiene la edad x, por lo tanto, no hay certeza de que alcance con vida la edad eventualmente podría lograrlo o no. Pero el interés cae en el hecho de que logré hacerlo y fallezca en el intervalo es decir, es una probabilidad conjunta.
De esta manera se puede ver con total claridad la diferencia. Edades 0
Plazos Es igual a que representa la cantidad de personas que tienen la edad y que fallecen en el intervalo 1° Cantidad de persona de edad x que llegan con vida a la edad .
2° Cantidad de personas con edad x que llegan con vida a la edad (1° paso) y fallecen en el intervalo .
TABLA DE MORTALIDAD EN TIEMPO DISCRETO t 0
.......
......
......
......
CÁLCULO DE PROBABILIDADES EN BASE A LA TABLA DE MORTALIDAD Ahora supongamos que deseamos calcular
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PROBABILIDAD DE VIDA
PROBABILIDAD DE FALLECIMIENTO INMEDIATA ACUMULADA
PROBABILIDAD DE FALLECIMIENTO DIFERIDA ACUMULADA
Si sumamos y restamos
Luego llegamos a una expresión conocida
También
Si multiplicamos y dividimos por
Donde
También
29
Llegamos a una expresión conocida.
VARIABLE ALEATORIA Se define para un grupo inicial
, es decir, un grupo de recién nacidos. Por lo cual
VARIABLE ALEATORIA
DOMINIO DE LA VARIABLE ALEATORIA
DISTRIBUCIÓN DE Se distribuye con una BINOMIAL con parámetros
MUESTRA Tomamos una población de edad x cuyo tamaño es , y en base siempre a esta población obtenemos las probabilidades, es la condición inicial de la cual partimos.
Recordando que toda variable aleatoria BINOMIAL
Podemos interpretar a l(x) como la Sea para un grupo
, con edad x cualquiera incluso podrían ser recién nacidos VARIABLE ALEATORIA
DOMINIO DE LA VARIABLE ALEATORIA
DISTRIBUCIÓN DE
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MUESTRA Tomamos una población de edad x cuyo tamaño es y en base siempre a esta población obtenemos las probabilidades, es la condición inicial de la cual partimos.
En definitiva, si tomamos hoy un grupo de personas de cierta edad x y luego miramos t años hacia el futuro de tal manera de que las personas del grupo que tomamos inicialmente estén con vida tendrían la edad entera y exacta . Lo incierto visto desde hoy es la cantidad de personas que sobrevivirán del grupo . Cuanto mucho pueden sobrevivir todos los o ninguno, por lo cual esto explica su dominio. Hay que poder diferenciar entre la probabilidad de éxito , que es la probabilidad de que una persona del grupo sobreviva años desde que tenia años de edad. Luego, tenemos la probabilidad de que cantidad de personas que sobrevivirán hasta la edad
Esta sigue una distribución BINOMIAL
0
1
2
31
FIJAMOS UNA EDAD. No es incierta
Grupo que determina el tamaño de la muestra
Desconocemos cuantas personas alcanzarán con vida la edad del grupo . Por lo cual es una variable aleatoria.
Sabemos que la MEDIANA de una variable aleatoria BINOMÍAL es igual a la Esperanza, pero si quisiéramos calcularla
Donde
VARIABLE ALEATORIA Sea para un grupo
, con edad x cualquiera incluso podrían ser recién nacidos VARIABLE ALEATORIA
DOMINIO DE LA VARIABLE ALEATORIA
DISTRIBUCIÓN DE
Lo incierto visto desde hoy es la cantidad de personas que fallecerán del grupo pueden fallecer todos los o ninguno, por lo cual esto explica su dominio.
. Cuanto mucho
Hay que poder diferenciar entre la probabilidad de éxito , que es la probabilidad de que una persona del grupo no alcance con vida la edad de años desde que tenia años de edad. Luego, tenemos la probabilidad de que cantidad de personas que no sobrevivirán hasta la edad
Esta sigue una distribución BINOMIAL
32
0
1
2
FIJAMOS UNA EDAD. No es incierta
Grupo que determina el tamaño de la muestra
Desconocemos cuantas personas no alcanzarán con vida la edad del grupo . Por lo cual es una variable aleatoria.
Sabemos que la MEDIANA de una variable aleatoria BINOMÍAL es igual a la Esperanza, pero si quisiéramos calcularla
Donde
INTERPRETACIÓN DETERMINISTICA Se conoce con certeza el número de persona de la población tomada que van a llegar con vida a la edad y tienen un tamaño de . Pero lo que se desconoce es quiénes del grupo serán los que lo logren.
INTERPRETACIÓN NO DETERMINISTICA Se tiene incertidumbre sobre ambas dimensiones, la cantidad
y quiénes serán los que lo logren.
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RESUMEN DE VARIABLES ALEATORIAS VARIABLE FLUJO TIEMPO TIEMPO DISCRETO
PLAZO QUE MEDIA EL FALLECIMIENTO
EDAD AL FALLECIMIENTO
TIEMPO CONTINUO
PLAZO QUE MEDIA EL FALLECIMIENTO
EDAD AL FALLECIMIENTO
VARIABLE STOCK CANTIDAD VARIABLES DISCRETAS
NUMERO DE PERSONAS QUE NO LLEGAN CON VIDA A LA EDAD , ES DECIR, EL VALOR DE
NUMERO DE PERSONAS QUE LLEGAN CON VIDA A LA EDAD , ES DECIR, EL VALOR DE
DEFINICIÓN DE DERIVADA DE UNA VARIABLE Sea una variable
que tiene una dependencia con la variable , es decir, es función de la variable .
Únicamente hay un cambio en la variable , si se ha producido un cambio en la variable . Porque aquella depende únicamente de la variable y de ninguna otra variable. INCREMENTO
Este es el incremento que se ha producido en la variable INCREMENTO EN LA VARIABLE
POR UNIDAD DE CAMBIO DE LA VARIABLE
Esta última expresión representa el cambio en la variable unidad que la variable
por culpa del cambio en la variable .
por unidad de
se incremente o disminuya, la variable
. En otras palabras, por cada
se incrementara o disminuirá en
unidades DERIVADA
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Si hacemos cambiar a la variable muy poco, digamos un infinitesimo, luego el cambio producido en la variable también será muy pequeño por lo cual
APROXIMACIÓN DEL La última expresión sólo es válida para cambios muy pequeños de la variable Si en cambio tomamos cambios más grandes, obtenemos
Donde
Si quisiéramos aproximar
Mientras el
que queramos aproximar sea más chico, luego, menor será el error que se cometa
Si
MEJOR LA APRÓXIMACIÓN QUE HACEMOS DE PARA GRANDES
MAYOR EL ERROR EN LA APRÓXIMACIÓN QUE HACEMOS DE
Recordar el concepto de derivada nos servirá para entender lo que sigue
TASA INSTANTÁNEA DE MORTALIDAD Edades
Cantidad de personas que llegan con vida
Tenemos
35
También
Si lo quisiéramos expresar de manera anual luego
Si denotamos a la variable fallecimiento. Luego
como el ajuste que deberíamos realizar para anualizar la probabilidad de
EJEMPLO Si
estamos hablando de un semestre, es decir, años
Si
estamos hablando de un mes, es decir,
Si
estamos hablando de un día, es decir,
años años
Como sabemos
Donde
Si nosotros dividimos por
Como vemos podemos asociarlo al concepto de derivada si hacemos Es importante para lo que sigue interpretar PROPORCIÓN DE FALLECIDOS
Es la proporción de muertos entre las edades
.
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PROPORCIÓN DE FALLECIDOS POR UNIDAD DE
La proporción de fallecidos por cada unidad
o en el plazo t que como dijimos está expresada en años
Esto ocurre por la dependencia que hemos supuesto entre la eliminación de una persona y la edad de la misma únicamente, sin incluir otras variables. Luego, tenemos la siguiente igualdad
Si
Si realizamos el límite cuando
o
Entonces
Luego, obtenemos la Tasa Instantánea de Mortalidad o Fuerza de Mortalidad
Es importante recordar
A no se le puede dar valores porque caemos en incrementos , no lo podemos cuantificar ya que es una aproximación de . Es muy pequeño, pero que tan pequeño que resulta subjetivo de cada persona. Para un grupo de personas pequeño sería un valor, para otro grupo otro sería el valor.
Nuestro interés está en analizar
para ello debemos recordar que
es una aproximación de
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Llegamos al número de personas fallecidas en algún instante de tiempo, justo un instante después de cumplir la edad , luego
Esta última, es la expresión proporcional anual de la probabilidad de fallecer en un instante de tiempo. APROXIMACIÓN DEL
Nos interesa la proporción de fallecidos dentro de un intervalo y no la proporción de fallecidos por unidad de cambio de Como vimos
Luego
Si reemplazamos al
por incrementos
Si lo multiplicamos por un intervalo genera la probabilidad de ocurrencia en ese intervalo. A más pequeño el intervalo mejor la aproximación que se haga de la probabilidad
La tasa instantánea de mortalidad está vinculada con una derivada, la cual está relacionada con la velocidad de decrementos o incremento de alguna variable dependiente.
INTERPRETACIÓN MODERNA Se supone que x esta fijo y la que varía es t.
Si multiplicamos y dividimos por
luego
38
Si
Luego su derivada con respecto a t es igual a
Donde
Es una constante ya que no depende de t. Por lo cual se obtiene
FUNCIÓN DE DENSIDAD CONDICIONAL Como
La derivada queda igual a
En definitiva
Con ello obtenemos
Recordando que si tomamos como variable aleatoria el tiempo transcurrido desde la edad x hasta el fallecimiento . La derivada de q(x; 0; t) da como resultado la función de densidad
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EJEMPLO
Mientras más chico más preciso el cálculo de la probabilidad
La cual es la probabilidad de fallecer al día siguiente.
EXPRESIÓN EN PROBABILIDAD
La clave está en comprender que no hay incertidumbre de que la persona alcanzó con vida la edad
.
RESUMEN Para toda variable aleatoria
posee FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA
FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA O FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DESACUMULADA
FUNCIÓN DE DENSIDAD
FUNCIÓN DE DENSIDAD CONDICIONAL
Es parecida a la función de densidad, pero, es condicional a que se sobreviva hasta la edad la edad
teniendo
Por definición
TIEMPO CONTINUA
40
GRÁFICAMENTE
Edades 0
Plazos
EN TIEMPO DISCRETO
GRÁFICAMENTE
Edades 0
Plazos
Seguimos con la forma continua
Luego
Entonces
FUNCIÓN DE DENSIDAD 41
EN FORMA CONTINUA
Esta función depende de la mortalidad que exista entre
o de la posibilidad de sobrevivir entre
Edades 0
Plazos
Hay incertidumbre en esta etapa acerca de la posibilidad de supervivencia.
Función de densidad condicional
EN FORMA DISCRETA
Luego
Luego llegamos a algo conocido
Donde
Por lo tanto
Como vemos
No son exactamente iguales pero su significado es el mismo.
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FUNCIÓN DE DENSIDAD CONDICIONAL Es una medida pura del intervalo infinitesimal
y
Sabemos que para dos sucesos dependientes A y B se cumple
Por lo tanto
Para sucesos independientes deberíamos hacer el producto
Si definimos SUCESO A “Alcanzar con vida la edad
años de edad”
, una persona de
SUCESO B “Fallecer entre
”
Luego
Es la probabilidad de alcanzar con vida la edad .
teniendo x años de edad y fallecer entre
Como A y B son sucesos dependientes porque para fallecer entre primero hay que alcanzar con vida la edad . Si A no ocurre no es posible que B ocurra, están atados. EN TIEMPO DISCRETO
EN TIEMPO CONTINUO
Donde
Es la probabilidad de que una persona de edad Por último, tenemos
alcance con vida la edad
.
que es la probabilidad condicional de que una persona de edad
habiendo
llegado con vida a la edad , fallecer entre . En esta probabilidad no hay duda de que se alcanzó con vida la edad o de contrario no podría darse B.
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EN TIEMPO DISCRETO
EN TIEMPO CONTINUO
GRÁFICAMENTE Edades 0
Plazos
No hay incertidumbre respecto de la posibilidad de llegar con vida hasta Función de densidad condicional
Luego uniendo todos los datos
TIEMPO DISCRETO
TIEMPO CONTINUO
DIFERENCIA ENTRE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD Y LA FUNCIÓN DE DENSIDAD CONDICIONAL La diferencia entre la función de densidad y la función de densidad condicional es la incertidumbre con respecto a alcanzar con vida la edad teniendo x años de edad como puede apreciarse en los gráficos y las formulas. La función de densidad tiene como parte de su formula a la función de densidad condicional. Esto se ve más claro cuando lo llevamos a tiempo discreto.
ASOCIACIÓN
La función de densidad
en tiempo continuo se asocia a
en tiempo discreto.
TIEMPO DISCRETO
TIEMPO CONTINUO
44
EN TIEMPO DISCRETO
EN TIEMPO CONTINUO
INTERPRETACIÓN A
la podemos ver de dos maneras PROBABILIDAD
TASA DE ELIMINADOS O PROPORCIÓN DE ELIMINADOS POR CADA INSTANTE DE TIEMPO
Podemos apreciar que hay no una sino muchas tasas instantáneas de mortalidad cambios t pueda hacerse.
, tantas como
COMO PROBABILIDAD Tenemos que
Recordando
Luego
Recordando la propiedad
Obtenemos
45
Simplificando
La cual da la proporción de las personas que alcanzan con vida la edad
y fallecen entre las edades
COMO TASA INSTANTANEA
Donde
Si reemplazamos
por
Que representa la cantidad de eliminados por cada unidad de
. Si
Que representa la cantidad de eliminados por cada unidad de es cada instante de tiempo.
. Este último es tan pequeño que la unidad
Si lo dividimos por
, luego
obtenemos la proporción de eliminados por cada instante de tiempo EN TIEMPO DISCRETO
46
EN TIEMPO CONTINUO
Por lo cual podemos deducir que la probabilidad de sobrevivir de un grupo cerrado, homogéneo con una única causa de eliminación, donde no hay ingresos nuevos a la población y su probabilidad de sobrevivir depende únicamente de la edad es igual a TIEMPO CONTINUO
La integral
Como la Tasa Instantánea de Mortalidad actúa cada instante de tiempo, debemos sumar sus efectos a lo largo de un intervalo Podemos asociar a
al concepto de Cálculo Financiero de tasa instantánea en tiempo continuo
DEMOSTRACIÓN
RESOLUCIÓN
Si derivamos con respecto a x
Recordando que
Si multiplico y divido por
el último termino
47
Sacando factor común
Con lo cual queda demostrado
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA INMEDIATA La probabilidad acumulada .
en tiempo discreto es la suma de las probabilidades puntuales
Esto tiene su asociación en tiempo continuo Si definimos a la función de densidad como “la probabilidad de que una persona fallezca en un instante de tiempo inmediatamente después de la edad teniendo la edad x”
La función de distribución acumulada
es igual a
Donde la que es la probabilidad de estar con vida a la edad x que es cuando se toman los datos es cierta e igual a 1.
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA CON DIFERIMIENTO ILIMITADA
Donde la probabilidad de sobrevivir entre x y
es igual a cero
48
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA CON DIFERIMIENTO LIMITADA DEMOSTACIÓN 1
DEMOSTRACIÓN 2
Por la propiedad de la suma de las integrales
Por lo cual
CANTIDADES ABSOLUTAS DE FALLECIDOS ACUMULADOS
Sabiendo que
Donde Vista como proporción
representa el número de personas que fallecen entre
.
luego
Luego
49
Si tomamos la integral que va desde 0 hasta n. Es como sumar en tiempo discreto los fallecidos en cada instante del tiempo a medida que variamos t.
Obtenemos el total de fallecidos entre las edades Si
.
luego
Si multiplicamos y dividimos por
.
Recordando
Luego tenemos
Donde La probabilidad de estar con vida a la edad x que es la edad observacional es conocida con certeza y es igual a uno, porque en el momento que tomamos la población la gente está viva y tiene la edad x.
La probabilidad de alcanzar con vida la edad vida esa edad.
teniendo x años de edad es cero porque nadie alcanza con
Luego tenemos que
La cantidad de fallecidos que se acumulan hasta la edad es igual a la cantidad de personas que comenzaron a la edad x. Porque nadie alcanza con vida esa edad mueren todos.
L CENSAL 50
Hay dos interpretaciones
Interpretación directa: Promedio de la población en cantidades entre las edades . Interpretación indirecta: Numero de años vividos por las personas entre las edades
EJEMPLO DE INTERPRETACIÓN DIRECTA Edades 0
Plazos
Promedio de personas con vida entre las edades
Si lo pensamos como que entre
viven
viven
y que entre las edades
. Podemos ver que cada grupo vive
periodo cada uno.
Es decir
O que 90 personas viven 1 periodo completo desde x hasta
y que 10 solo viven periodo es decir
EJEMPLO DE INTERPRETACIÓN INDIRECTA En este ejemplo utilizamos los mismos datos. Lo que buscamos son años vividos por las personas. En todo el periodo que va entre
.
51
Al inicio del periodo tenemos 100 personas con la edad x y 10 fallecen en
, es decir, que agregan
año vivido cada una de las 100 personas. Luego quedan 90 personas entre otros
que agregan
año cada uno. Con esto obtenemos Años vividos en total entre
Se puede pensar también como que 90 personas agregan 1 periodo cada uno, pero 10 personas que viven desde la edad x hasta
agregan
año cada uno. Luego tenemos que Años vividos en total entre las edades
En este caso
Donde
PERSONAS QUE LOGRAN TERMINAR EL PERIODO DE ANALISIS Cada una de las
personas agrega 1 año vivido por eso esta multiplicado por 1.
PERSONAS QUE FALLECEN DENTRO DEL PERIODO DE ANALISIS
Luego, podemos interpretar a
Como el tiempo vivido por las personas que fallecen entre las edades
. Recordando que
Luego, como ocurría en el ejemplo cada fallecido agrega años vividos. En el ejemplo cada fallecido agregaba medio año cada uno porque fallecía a la edad
años pero viven desde la edad x.
Años vividos en total entre las edades Como en este ejemplo la integral
Representan en el ejemplo de arriba
52
AÑOS DE VIDA QUE APORTA UNA PERSONA DE EDAD X QUE FALLECE A UNA DETERMINADA EDAD.
Fallece a la edad Estos son los años que vivió y son los años vividos que aporta
DEMOSTRACIÓN
Si la resolvemos por partes
Luego reemplazando
Con esto queda demostrado que
MÁS ACERCA DE LA L CENSAL Luego
53
En lugar de ver los años vividos entre
ahora nos interesa entre
Llevamos la integral hasta n y multiplicamos por .
.
la cantidad de personas que llegan con vida hasta
TASA CENTRAL DE MORTALIDAD
En esta última expresión se puede ver que la tasa central de mortalidad ponderado de las tasas de mortalidad.
es un promedio
PONDERADOR
HAY MUCHAS TASAS INSTANTÁNEAS DE MORTALIDAD Es importante notar que hay muchas tasas instantáneas de mortalidad
a medida que cambia t.
Donde
Representa la proporción de eliminados por cada instante de tiempo Si permitimos que el dominio de t sea
Si
estaríamos hablando de la tasa de mortalidad entre las edades
Si
estaríamos hablando de la tasa de mortalidad entre las edades
Si
estaríamos hablando de la tasa de mortalidad entre las edades
54
Estas son solo algunas de las tantas posibilidades que existen entre las edades . Con estos valores luego se puede realizar un promedio de las tasas de mortalidad para cada valor de t. Hay que sumarlos esto en tiempo continuo se traduce en una integral. ANALISIS DEL PONDERADOR En el promedio simple el ponderador para cada término es igual a 1, esto implica que cada término tiene la misma importancia y por ende son tratados todos de igual manera. Pero en un promedio ponderado se tiene en cuenta que no todos tienen la misma importancia y por ende el mismo peso. La cantidad de personas
cambia durante el transcurso del tiempo
Representa la cantidad de personas que llegan con vida a la edad
.
Representa el número de persona que en promedio vivieron entre las edades . Si
el ponderador sería igual a
Si
el ponderador sería igual a
Si
el ponderador sería igual a
Por lo cual
De esta manera si tenemos
EN TÉRMINOS RELATIVOS
55
La proporción de fallecidos por instante de tiempo
es la menor de todas
EN TÉRMINOS ABSOLUTOS Como
tiene mayor peso
La cantidad de fallecidos por instante de tiempo de
es la mayor de todas
En la siguiente tabla se ve con claridad este concepto. TÉRMINO RELATIVO TASA INSTANTÁNEA DE MORTALIDAD
POBLACIÓN A LA EDAD
TÉRMINO ABSOLUTO CANTIDAD DE ELIMINADOS POR INSTANTE DE TIEMPO 50.000 2.000 1.500
Como vemos en la tabla aunque en términos relativos es la menor de las tasas de mortalidad, tiene el mayor efecto en términos absolutos como se ve en la cantidad de eliminados. Esto se debe a que la población sobre la cual actúa es la mayor de todas. Debemos tener en cuenta esto cuando hagamos un promedio y así lo hace la TASA CENTRAL DE MORTALIDAD tomando promedio ponderado. DEMOSTRACIÓN І Si tomamos la ecuación general
Donde
Por lo cual
DEMOSTRACIÓN ІІ Si tomamos la ecuación general
56
Si dividimos numerador y denominador por
Donde
Por lo tanto
Donde
Este último término es la ESPERANZA DE VIDA COMPLETA que veremos más adelante DEMOSTRACIÓN ІІІ
Si
es constante se cumple que
Porque el promedio ponderado de una constante de como resultado una constante.
VIDA MEDIA COMPLETA INTUICIÓN A continuación se dará la intuición detrás tanto de la VIDA MEDIA COMPLETA INMEDIA E ILIMITADA como de la VIDA MEDIA INMEDIATA Y LIMITADA, para luego, más adelante volcarse a la matemática y exponer otros conceptos. Lo que se busca es entender lo que se está haciendo para no realizar demostraciones sin un verdadero entendimiento de lo que hay detrás
57
Donde
También
Se resuelve por partes
Recordando que
INTUICIÓN І
Si recordamos que
También
58
Luego
Por lo cual
Recordando
Luego, podemos interpretar a
Como el tiempo vivido por las personas que fallecen entre las edades
.
Donde
Representa el tiempo vivido por todas las personas entre las edades
.
AÑOS DE VIDA QUE APORTA UNA PERSONA DE EDAD X QUE FALLECE A UNA DETERMINADA EDAD.
Fallece a la edad Estos son los años que vivió y son los años vividos que aporta
Finalmente, si dividimos esta ultima expresión por la cantidad total de personas con edad
Resulta en el promedio esperado de años vividos entre las edades tiempo continuo
,
, o EXPECTATIVA DE VIDA en
INTUICIÓN ІІ También tenemos
59
Donde
Donde
También tenemos la siguiente relación
En tiempo discreto
Recordando
GRÁFICAMENTE Edades 0
Plazos
Viven 1 año cada una de las personas.
Viven 1 año cada una de las personas.
A las personas que fallecen entre las edades , es decir , como estamos trabajando en tiempo discreto, lo tomamos como si fallecieran a la edad . Luego cada integrante vive 1 periodo y no medio como lo hacían en el ejemplo que vimos cuando trabajamos con la L Censal
EJEMPLO 60
RESOLUCIÓN a)
Hallar
Si vamos a sacar un promedio debemos dividir por la población total que es
Donde
b) Hallar
Donde
Resolviendo por partes
Ya que
tiende a cero cuanto más cerca estamos de
61
Reemplazando
Resolviendo por partes
Por lo tanto
VIDA MEDIA TEMPORARIA E INMEDIATA LA INTUICIÓN
62
INTUICIÓN І
Recordando que
Por un lado
Esta ultima integral representa la esperanza matemática de los años vividos o promedio esperado de los años vividos entre las edades por las personas fallecidas entre . Por el otro
Esto representa los años de vida que aportan las personas que lograron alcanzar con vida la edad teniendo la edad . Podemos también ir por otro camino
Ya que
Recordando
Es el número total de años vividos por las personas que fallecen entre las edades También tenemos
Es el número de años vividos por las personas que alcanzan con vida la edad una edad de años de edad. Sumando ambos obtenemos
comenzando con
BIOMETRÍA ACTUARIAL
En definitiva, si dividimos por las edades
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
obtenemos el promedio de años vividos por las
personas entre
Tomamos a las personas y vemos cuantos años de vida aporta cada integrante, algunos fallecerán antes que otros, pero todos aportarán con sus años vividos. Es como pasar lista a cada integrante y determinar cuánto aporta cada uno de años de vida y obtener un promedio. INTUICIÓN ІІ
Donde
x
0
El tiempo total vivido por las l(x) personas entre las edades
0
TASA DE BENEFICIO DE SUPERVIVENCIA
Si se coloca 1$ hoy se retira un periodo después
64
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Donde
Sólo la retiran aquellos que llegan con vida a la edad
.
En la medida que haya más fallecimientos los sobrevivientes se llevarán más de 1$.
DEMOSTRACIÓN Si recordamos que
Luego obtenemos que
Recordando que
Luego obtenemos que
Lo hacemos para cualquier t
DEMOSTRACIÓN Si recordamos que
Luego obtenemos que
Recordando que
65
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Luego obtenemos que
DEMOSTRACIÓN
RESOLUCIÓN
Por lo tanto
66
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
VIDA MEDIA ABREVIADA VIDA MEDIA ABREVIADA
EXPRESIÓN INICIAL
EXPRESIÓN FINAL
VIDA MEDIA ABREVIADA INMEDIATA E ILIMITADA
Donde
Donde
Son los que mueren al inicio del periodo y no los tengo en cuenta, porque no aportan años de vida.
Si abrimos la sumatoria
67
BIOMETRÍA ACTUARIAL
Hay
filas y
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
columnas
Tenemos que
Recordando que
Luego
Por lo cual
Donde
Reemplazando
Donde
Reemplazando
Donde
Porque nadie alcanza con vida la edad
68
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Por lo cual
VIDA MEDIA ABREVIADA INMEDIATA E LIMITADA
Donde
PRIMER TERMINO
Si abrimos la sumatoria
Hay
filas y
columnas
Tenemos que
Recordando que
Luego
Por lo cual
69
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Donde
Reemplazando
Donde
Reemplazando
Donde
Al primer término le agregamos el segundo
Por lo cual
70
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
VIDA MEDIA ABREVIADA DIFERIDA E ILIMITADA
Donde
Son los que mueren al inicio del periodo y no los tengo en cuenta, porque no aportan años de vida.
Por lo tanto
Donde
Donde
Por lo tanto
DEMOSTRACIÓN
Recordando que
71
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Por lo tanto si los restamos
Donde
Por lo cual
Donde
Que es una acumulada
Reemplazando
Sacando factor común
Lo cual queda demostrado Tomando la última ecuación y desarrollándola
Hay
filas y
columnas
72
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Cada fallecido tiene n años vividos de más por lo cual hay que quitárselos por esta causa aparece n restando en la sumatoria. El promedio siempre es con respecto a las personas y no con respecto a las de .
Donde
Donde
Reemplazando
Donde
Reemplazando
Donde
Porque nadie alcanza con vida la edad Por lo cual
VIDA MEDIA ABREVIADA DIFERIDA E LIMITADA TIPO 1
73
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
SIEMPRE HACEMOS EL PROMEDIO DE AÑOS DE VIDA DE LA POBLACIÓN l(x) para el periodo indicado
PRIMEROS TERMINOS
SEGUNDOS TERMINOS
Hacemos distributiva
Donde
Luego
Nos queda luego de ponerla linda
Donde
En cada término de la sumatoria hay una n que está multiplicando, es decir, que cada fallecido tiene n años vividos que los tenemos que restar porque no son años vividos correspondientes al año de interés. Por lo cual del último término
74
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Si sumamos ambas
Tomamos el primer término Tomando la última ecuación y desarrollándola
Hay
filas y
columnas
Donde
Donde
Reemplazando
Donde
Reemplazando
Agregamos el término que nos quedo afuera
75
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Por lo cual
DEMOSTRACIÓN
Recordando que
Restando
Con lo cual queda demostrado
VIDA MEDIA ABREVIADA DIFERIDA E LIMITADA TIPO 2
DEMOSTRACIÓN 1
Recordando que
76
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Restando
Por lo cual
DEMOSTRACIÓN 2
PRIMEROS TERMINOS
SEGUNDOS TERMINOS
Nos queda luego de ponerla linda
Donde
En cada término de la sumatoria hay una n que está multiplicando, es decir, que cada fallecido tiene n años vividos que los tenemos que restar porque no son años vividos correspondientes al año de interés. Recordando que
77
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Si los separamos en dos términos
Tenemos que
Donde
También
Por lo tanto
Tomamos el primer término Tomando la última ecuación y desarrollándola
Hay
filas y
columnas
Donde
78
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Donde
Reemplazando
Donde
Reemplazando
Agregamos el término que nos quedo afuera
Por lo cual
DEMOSTRACIÓN
Tenemos que
79
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Si abrimos la sumatoria
Sabemos que
Reemplazando
Sacando factor común
Donde
Por lo cual
EXPLICACIÓN CONCEPTUAL DE
INTERPRETACIÓN 1 TIEMPO PROMEDIO DE AÑOS VIVIDOS ENTRE LAS EDADES Sea VARIABLE ALEATORIA
Sabemos que
Donde
representa el total de años vividos por las
entre las edades
Gráficamente
80
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Edades 0
Plazos
Viven 1 año cada una de las personas.
Viven 1 año cada una de las personas.
Las personas que fallecen entre las edades , es decir, como estamos trabajando en tiempo discreto, lo tomamos como si fallecieran a la edad , es decir, viven 1 periodo. Los llegan a la edad , pero, en ese mismo momento fallecen personas quedando un total de . Si dividimos por obtenemos el tiempo promedio de años vividos. INTERPRETACIÓN 2 CANTIDAD DE PERSONAS QUE EN PROMEDIO VIVIERÓN ENTRE LAS EDADES
Donde
representa la cantidad total de personas que vivieron entre las edades
Si dividimos por obtenemos la cantidad de personas que en promedio vivieron entre las edades . Este análisis se puede fácilmente llevar a los otros tipos de Esperanzas Abreviadas ya vistas.
81
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
VIDA MEDIA COMPLETA VIDA MEDIA COMPLETA
EXPRESIÓN INICIAL
EXPRESIÓN FINAL
VIDA MEDIA COMPLETA INMEDIATA E ILIMITADA
Recordando que
Si reemplazamos
Resolviendo por partes
Recordando la formula
82
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Por lo tanto
A medida que nos acercamos a la edad
se acerca acero, por lo tanto
VIDA MEDIA COMPLETA INMEDIATA E LIMITADA
Recordando que
Si reemplazamos
Resolviendo por partes
Por lo tanto
83
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
VIDA MEDIA COMPLETA DIFERIDA E ILIMITADA
Lo que hacemos es quitarle a la población de la que contamos los años vividos que es o la población en . Porque siempre es sobre esta población sobre la que contamos los años vividos. Como nuestro interés recae sobre los años vividos entre de la mencionada población, estas personas que alcanzan con vida la edad traen consigo n años vividos desde el comienzo del periodo de interés lo cual hay que restárselos.
Donde
Reemplazando
Por lo cual
Resolviendo por partes
Por lo tanto
A medida que nos acercamos a la edad
se acerca a cero, por lo tanto
84
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Demostración
Donde
Por lo tanto
Por la regla de la sumas de las integrales
VIDA MEDIA COMPLETA DIFERIDA E LIMITADA TIPO 1
Donde
Donde
Por lo tanto
85
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Recordando que
Si reemplazamos
Resolviendo por partes
Por lo tanto
VIDA MEDIA COMPLETA DIFERIDA E LIMITADA TIPO 2
Donde
86
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Por lo tanto
Recordando que
Si reemplazamos
Resolviendo por partes
Por lo tanto
DEMOSTRACIÓN DE
POR TRAPECIOS
Para resolver la integral aplicamos trapecios generalizados y su fórmula es
87
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Como estamos aproximando la integral nos olvidamos del término complementario Como la integral
Está en función de t y no de x como en la formula, esto nos ahorra el paso de tener que hacer esta transformación y considerando un h igual a 1.
Como
Obtenemos
DEMOSTRACIÓN Tenemos que
Donde
Donde
Por lo cual
88
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Reemplazando
Por lo cual
ESPERANZA DE LA VARIABLE ALEATORIA Nosotros hasta acá hemos visto las distintas esperanzas de las variables y , es decir, del plazo que media al fallecimiento a partir de cierta edad . Pero debemos tener en cuenta que eventualmente se podría calcular la esperanza matemática de la variable aleatoria ,
Que es la edad promedio de años que se viven. TIEMPO CONTINUO Si tenemos en cuenta
Reemplazando
Por lo tanto por la propiedad de la esperanza matemática tenemos que
TIEMPO DISCRETO Si tenemos en cuenta
Reemplazando
Por lo tanto por la propiedad de la esperanza matemática tenemos que
89
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
LA ESPERANZA DE LA VARIABLE ALEATORIA CONDICIONADA CON DOBLE TRUNCAMIENTO TIEMPO CONTINUO
TIEMPO DISCRETO
VIDA MEDIA ABREVIADA CALCULADA AL NACIMIENTO CONCEPTO Representa el promedio de años enteros a vivir por un recién nacido
CARACTERÍSTICA PARTICULAR
La Vida Media Abreviada a la edad x no es igual que la Vida Media Abreviada al nacimiento y restarle x años. La mortalidad infantil es alta y le agrega dispersión.
ESPERANZA MEDIA DE LOS FALLECIDOS
También
INTERPRETACIÓN Es el tiempo promedio vivido por los fallecidos entre las edades
90
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Como vemos es un promedio ponderado donde los ponderadores son
Si analizamos el denominador del ponderador Recordando que
Vemos que se trata del stock de fallecidos entre las edades Veamos el numerador
Si trabajamos en tiempo discreto, luego
Por lo cual
Para
Para
Para
Para
Donde
91
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Por lo cual
Tenemos los ponderadores en tiempo discreto
Si queremos obtener el promedio de años vividos de las personas fallecidas de un grupo de personas de partida con edad x debemos
Donde
Son los años vividos que aportan las personas fallecidas entre . Los años que aporta cada fallecido a la edad como antes son que vivió desde la edad x. Si lo dividimos por
En definitiva, obtenemos el promedio ponderado de los años vividos por los fallecidos entre las edades . En otras palabras, tomamos a los fallecidos entre las edades y los contamos, luego, vemos cuanto cada uno aporta de años de vida y obtenemos un promedio. A diferencia de lo que hacíamos antes con la ESPERANZA ABREVIADA Y COMPLETA INMEDIATAS Y LIMITADAS, que obteníamos el promedio de años vividos por las personas entre las edades , en este caso nos interesan sólo los años vividos por los fallecidos y su promedio, y no los años vividos por todas las personas vivas o muertas. PROMEDIO DE AÑOS VIVIDOS POR LOS FALLECIDOS PROMEDIO DE AÑOS VIVIDOS POR TODAS LAS PERSONAS
ANALISIS DEL PONDERADOR En el promedio simple el ponderador para cada término es igual a 1, esto implica que cada término tiene la misma importancia y por ende son tratados todos de igual manera. Pero en un promedio ponderado se tiene en cuenta que no todos tienen la misma importancia y por ende el mismo peso. Todos los datos están creados para exponer situaciones extremas con el propósito de aislar y exponer el concepto. Si Si
el ponderador sería igual a
Si
el ponderador sería igual a
92
BIOMETRÍA ACTUARIAL
Si
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
el ponderador sería igual a
Por lo cual
TIEMPO QUE MEDIA AL FALLECIMIENTO
TIEMPO VIVIDO TOTAL POR LO FALLECIDOS Como Por ende
En la siguiente tabla se ve con claridad este concepto. TIEMPO QUE MEDIA AL FALLECIMIENTO POR PERSONA
POBLACIÓN A LA EDAD
CANTIDAD DE ELIMINADOS
PONDERADORES
50.000 2.000 150
95,238% 3,809% 0,2857% SUMA 100%
TIEMPO VIVIDO TOTAL 50.000 10.000 1.500 TOTAL 61.500
Como vemos en la tabla aunque en términos relativos es el menor de los plazos, tiene el mayor efecto en términos absolutos como se ve en el tiempo total de años vividos. Esto se debe a que
Por lo cual aunque las tasa de eliminados sean muy pequeñas cerca de t igual a cero, la cantidad de fallecidos puede ser importante. Por ende A PEQUEÑOS VALORES DE t A GRANDES VALORES DE t
MUCHOS FALLECIDOS POCOS FALLECIDOS
Por lo cual los valores pequeños de t ocultan esta sutileza. En el caso de que hiciéramos un promedio simple, aportarían poco al resultado por lo escaso de su valor, cuando en realidad tienen una gran importancia a la hora de explicar los años vividos totales por los fallecidos, en el ejemplo un poco más del 95%, y por ende los estaríamos subestimando. Mientras los valores más grandes tienen poco peso en la explicación de los años vividos totales. Lo que hacen los ponderadores es hacer un ajuste para equilibrar este desbalance que se produce, incrementando la importancia de los valores pequeños de t en el promedio y quitándole peso a los valores grandes.
93
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
DEMOSTRACIÓN
Recordando que
Reemplazando en la formula general
Por lo tanto
NUMERADOR
Resolviendo por partes
Por lo tanto
Por lo cual
Donde
94
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
DENOMINADOR
Por lo tanto uniendo ambos
DEMOSTRACIÓN ІІ
Donde
Donde
Por lo cual
Por lo cual
Reemplazando
Por lo tanto
95
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
También Si dividimos denominador y divisor por
Donde
DEMOSTRACIÓN ІІІ
Donde
Por que mueren todas las personas
a la edad
También
Por lo tanto
Por lo tanto
Luego
96
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS BIOMÉTRICOS FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA
97
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Es una función de distribución, la cual, representa la probabilidad de que el tiempo que media el fallecimiento sea mayor que t. Es decir, a cierta edad x hay dos escenarios posibles.
Alcanzar con vida la edad x. No alcanzar con vida la edad x.
Luego, la edad del fallecimiento de la persona
puede ser de dos maneras
Lo cual implica que alcanzó con vida la edad x.
Lo cual implica que no alcanzó con vida la edad x.
Mirándolo desde hoy si tomamos una persona cualquiera de edad x, la edad a la que fallecerá es incierta, por lo cual podemos hablar de probabilidades de fallecimientos a determinadas edades futuras , así también, podemos hablar de probabilidades de supervivencias. En este último caso que es el que estamos analizando implica que la probabilidad de que la edad de fallecimiento sea mayor que una edad determinada
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA Con esto analizamos el complemento de
que es la Función de Distribución Acumulada
Por lo cual obtenemos Recordando que podemos trabajar con la variable aleatoria
o con
FUNCIÓN DE DENSIDAD
Donde
98
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
TASA INSTANTANEA DE MORTALIDAD EN PLAZOS
EN EDADES
Donde trate.
es una densidad de muerte condicionada a la supervivencia a hasta la edad a la edad de que se
EJEMPLO Si
a) ¿Cuál es la probabilidad de fallecer antes de los 10 años? b) ¿Cuál es la probabilidad de fallecer después de los 10 años?
a)
Donde
99
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
b)
ESPERANZA Y VARIANZA DE LA VARIABLE ALEATORIA TIEMPO QUE MEDIA AL FALLECIMIENTO
Después de algunas cuentas como vimos antes
MOMENTO ABSOLUTO DE ORDEN 2
VARIANZA
MEDIANA Edad o plazo a la cual la probabilidad de fallecer antes es igual a la probabilidad de fallecer después, es decir,
MODO Plazo o edad a la cual se tiene la más alta probabilidad de fallecer
FUNCIONES TRUNCADAS De aquí en más estamos relacionando EXPRESIONES CONDICIONADAS con EXPRESIONES NO CONDICIONADAS
TRUNCAMIENTO INFERIOR De aquí en más PROBABILIDAD DE VIDA
Vemos como a partir de expresiones no condicionadas de recién nacidos llegamos a expresiones condicionadas
100
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Subgrupo que alcanzó con vida la edad y que por lo tanto fallecerán entre las edades
Proporción que fallecerá entre las edades
Subgrupo que alcanzó con vida la edad
Grupo de partida de recién nacidos
Proporción que fallecerá entre las edades
Subgrupo que alcanzó con vida la edad y que por lo tanto fallecerán entre las edades
PROBABILIDAD DE MUERTE ACUMULADA
Subgrupo que alcanzó con vida la edad y que por lo tanto fallecerán entre las edades
Proporción que fallecerá entre las edades
Grupo de partida de recién nacidos
Subgrupo que alcanzarán con vida la edad
Subgrupo que alcanzó con vida la edad y que por lo tanto fallecerán entre las edades
Proporción que fallecerá entre las edades
101
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
PROBABILIDAD DE MUERTE
TASA INSTANTÁNEA DE MORTALIDAD
La tasa instantánea de mortalidad es un concepto teórico no medible en la realidad y no observable. Por definición es una función de densidad truncada por eso el truncamiento inferior no le afecta en nada. ESPERANZA CONDICIONADA
FUNCIONES CONDICIONADAS PARA RECIÉN NACIDOS LLEGAR VIVO A
FALLECER ENTRE LAS EDADES
SI SE ALCANZÓ CON VIDA LA EDAD
Y
SI SE ALCANZÓ CON VIDA LA EDAD
PARA CUAQUIER EDAD GENERAL LLEGAR VIVO A
SI SE ALCANZÓ CON VIDA LA EDAD
102
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
FALLECER ENTRE LAS EDADES
Y
RICARDO GABRIEL AMARILLA
SI SE ALCANZÓ CON VIDA LA EDAD
TRUNCAMIENTO SUPERIOR De aquí en más
PROBABILIDAD DE VIDA
Proporción que fallecerá entre las edades
Subgrupo que fallecerán entre las edades
Grupo de partida de recién nacidos
Subgrupo que fallecerán
Subgrupo que no alcanzarán con vida la edad
Proporción que fallecerá entre las edades
entre las edades
PROBABILIDAD DE MUERTE ACUMULADA
103
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Proporción que fallecerá entre las edades
Subgrupo que fallecerán entre las edades
Subgrupo que no alcanzarán con vida la edad
Grupo de partida de recién nacidos
Subgrupo que fallecerán
Proporción que fallecerá entre las edades
entre las edades
PROBABILIDAD DE MUERTE
TASA INSTANTÁNEA DE MORTALIDAD
La tasa instantánea de mortalidad es un concepto teórico no medible en la realidad y no observable. Por definición es una función de densidad truncada por eso el truncamiento inferior no le afecta en nada. ESPERANZA CONDICIONADA
DOBLE TRUNCAMIENTO DE LA VARIABLE ALEATORIA De aquí en más PROBABILIDAD DE VIDA O DESACUMULADA
104
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Si
Tenemos que
Donde
Partimos de una población inicial que únicamente tiene egresos por fallecimiento, un grupo de estos recién nacidos alcanzaran con vida la edad de 6 años o y. Tomamos a este grupo remanente, ahora nos preguntamos cuál es la probabilidad de que alcance con vida la edad de x pero con la condición de que tal edad no sobrepase el límite de Z. Es decir, vivir entre las edades y por lo tanto fallecer entre dado que alcance con vida la edad y. El tema es que una persona del grupo remanente puede fallecer después de Z y alcanzar con vida la edad x de alguna manera estamos pidiendo la probabilidad de que esto no ocurra.
Proporción que fallece entre las edades por lo tanto sobreviven entre las edades
Grupo de personas que alcanzaron con vida la edad y que fallecerán entre
105
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
Grupo de partida de recién nacidos
Subgrupo que alcanzó con vida la edad
Grupo de personas que alcanzaron con vida la edad y que fallecerán entre
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Subgrupo que alcanzó con vida la edad
Proporción que fallece entre las edades
Proporción que fallece entre las edades por lo tanto sobreviven entre las edades
En definitiva, del grupo que alcanzo con vida la edad y, nos interesan los que fallecen entre . Este ultimo subgrupo dentro del grupo remanente, nos interesan los que fallecen entre , porque son los que alcanzaron con vida la edad y, como así también sobrevivieron entre . PROBABILIDAD DE MUERTE ACUMULADA
Si
Tenemos que
Donde
Partimos de una población inicial que únicamente tiene egresos por fallecimiento, un grupo de estos recién nacidos alcanzaran con vida la edad de 6 años o y. Tomamos a este grupo remanente, ahora nos preguntamos cuál es la probabilidad de que no alcance con vida la edad de x pero con la condición de que tal edad no sobrepase el límite de Z. Es decir, fallecer entre las edades dado que alcance con vida la edad y.
106
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Proporción que fallece entre las edades
Grupo de personas que alcanzaron con vida la edad y que fallecerán entre
Subgrupo que alcanzó con vida la edad
Grupo de partida de recién nacidos
Subgrupo que alcanzó con vida la edad
Grupo de personas que alcanzaron con vida la edad
Proporción que fallece entre las edades
Proporción que fallece entre las edades
y que fallecieron entre
En definitiva, del grupo que alcanzo con vida la edad y, nos interesan los que fallecen entre ultimo subgrupo dentro del grupo remanente, nos interesan los que fallecen entre .
. Este
FUNCIÓN DE DENSIDAD
TASA INSTANTÁNEA DE MORTALIDAD
ESPERANZA CON DOBLE TRUNCAMIENTO
EN PROBABILIDADES CONDICIONALES
107
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
TRUNCAMIENTO INFERIOR
TRUNCAMIENTO SUPERIOR
DOBLE TRUNCAMIENTO
TABLA DE RELACIONES Las funciones de las filas están en función de las funciones de cada columna. Donde estamos tratando con recién nacidos, es decir,
108
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
FUNCIÓN DE DENSIDAD EN FUNCIÓN DE
EN FUNCIÓN DE
EN FUNCIÓN DE
Donde
Por lo tanto
FUNCIÓN DE DENSIDAD EN FUNCIÓN DE
Por lo tanto
EN FUNCIÓN DE
EN FUNCIÓN DE
FUNCIÓN DE DENSIDAD EN FUNCIÓN DE
EN FUNCIÓN DE
109
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
EN FUNCIÓN DE
FUNCIÓN DE DENSIDAD EN FUNCIÓN DE
Por lo tanto
Donde
Por lo tanto
EN FUNCIÓN DE
Donde
Por lo cual
EN FUNCIÓN DE
Por lo cual
110
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
SUPUESTOS PARA EDADES FRÁCCIONARIAS Se trata de los distintos supuestos sobre el comportamiento de la población dentro del intervalo de edades.
111
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Dados determinados valores conocidos de una población en los extremos de un intervalo cualquiera se busca realizar interpolaciones (dentro del intervalo) y extrapolaciones (fuera del intervalo) para lo cual se realizan determinados supuestos sobre la distribución de los eliminados dentro del intervalo.
Se busca hallar los valores aproximados de dentro del intervalo, es decir, que , para lo cual se realizan interpolaciones y extrapolaciones sobre la base de supuestos sobre la distribución de los eliminados dentro del intervalo.
VALORES CONOCIDOS
SUPUESTOS FRÁCCIONARIOS
SUPUESTO DE LINEALIDAD O DISTRIBUCIÓN UNIFORME DE ELIMINADOS D.U.F
SUPUESTO HIPERBÓLICO O BALDUCCI SUPUESTO EXPONENCIAL CON CONSTANTE
DISTRIBUCIÓN UNIFORME DE ELIMINADOS Calculo de
Calculo de
Por lo tanto
112
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Sacamos factor común
Calculo de
Si sacamos factor común
Calculo de
Calculo de Tenemos la siguiente propiedad
Por lo tanto
Por lo tanto
Calculo de
113
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Calculo de
Por lo tanto
Calculo de
Donde
Por lo tanto
Reemplazando
Donde
Por lo cual
Recordando que
Reemplazando
114
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
El numerador nos queda igual a
Si sacamos factor común
Por lo cual
Si reemplazamos este resultado
Si dividimos numerador y denominador por
Donde
Calculo de L(x)
Distribuimos la integral
Resolvemos las integrales
115
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Por lo tanto
Calculo de
Por lo cual
Donde
Si reemplazamos ambos valores
Por lo cual
Por lo tanto
Esto es porque la función de densidad es contante
, ya que
Calculo de
Donde
Donde
116
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
También
Reemplazando
Sabemos que
Por lo cual
Por lo tanto
Donde
Reemplazando
Donde
Calculo de 117
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Si reemplazamos
Si dividimos y multiplicamos por
Por lo cual
Calculo de
Donde
Por lo tanto
Reemplazando
Donde
Por lo cual
Por lo tanto
118
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Si sacamos factor común
Por lo cual
SUPUESTO HIPERBOLICO O BALDUCCI Calculo de Tenemos que
Donde
Reemplazamos en la siguiente ecuación
Calculo de
119
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Si multiplicamos y dividimos por
Calculo de
Calculo de
Calculo de
Calculo de
120
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Calculo de
Por lo tanto
Donde
Calculo de
Donde
Por lo tanto
Reemplazamos
Donde
Reemplazamos
121
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Calculo de
Donde
Por lo cual
Hacemos la siguiente sustitución
Si reemplazamos
Calculo de
122
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Por lo cual
Donde
Si reemplazamos ambos valores
Calculo de
Donde
Donde
También
Reemplazando
Sabemos que
123
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Por lo cual
Hacemos la siguiente sustitución
Si reemplazamos
Por lo tanto
Calculo de
Si reemplazamos
124
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Si dividimos y multiplicamos por
Por lo cual
Calculo de
Donde
SUPUESTO EXPONENCIAL Calculo de
Calculo de
Calculo de
Calculo de
Calculo de
125
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Calculo de
Calculo de
Por lo tanto
Calculo de
Donde
Por lo tanto
Reemplazamos
Donde
Reemplazamos
Calculo de 126
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Donde
Por lo cual
Calculo de
Por lo cual
Donde
Si reemplazamos ambos valores
Calculo de
Donde
127
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Donde
También
Reemplazando
Sabemos que
Por lo cual
Por lo tanto
Calculo de
Si reemplazamos
128
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Calculo de
Donde
129
TABLA DE SUPUESTOS FRACCIONARIOS DUF (
EXPONENCIAL )
(
BALDUCCI )
Luego
(
)
DEMOSTRAR Demostrar que bajo la hipótesis de D.U.F.
RESOLUCIÓN
Si hacemos distributiva
Por lo cual
Por lo cual queda demostrado
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
132
MODELO DE DECREMENTO MÚLTIPLE El colectivo cerrado está sujeto a más de una causa de egreso o eliminación, en otras palabras, son eliminados de la población por varias causas. En el caso de los fallecimientos, estos pueden producirse por las siguientes causas entre otras Causa 1°: Por causas naturales Causa 2°: Por un accidente. Causa 3°: Por un homicidio. Causa 4°: Por suicidio.
TABLA DE DECREMENTO MÚLTIPLE TDM x x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6 ....
....
.......
.....
............
0
EJEMPLO NÚMERICO TABLA DE DECREMENTO MÚLTIPLE x x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6 ....
1000 940 883,6 830,584 780,74896 733,904 689,8698 .... 0
50 47 44,18 41,5292 39,0375 36,6952 34,4935 .......
10 9,4 8,836 8,30584 7,8075 7,3390 6,8987 .....
60 56,4 53,016 49,83504 46,845 44,0342 41,3922 ............
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
SIGNIFICADO DE T T indica todas las causas de fallecimiento, cada una de las cuales es simbolizada con la letra j donde
CANTIDAD DE PERSONAS CON VIDA A LA EDAD
CANTIDAD TOTAL DE FALLECIDOS POR TODAS LAS CAUSAS ENTRE LAS EDADES
En el ejemplo
CANTIDAD ACUMULADA DE FALLECIDOS PARA UNA CAUSA PARTICULAR ENTRE LAS EDADES
Para el ejemplo de la tabla
CANTIDAD ACUMULADA DE FALLECIDOS POR TODAS LAS CAUSAS ENTRE LAS EDADES
Para el ejemplo de la tabla
RELACIÓN ENTRE LA CANTIDAD ACUMULADA DE FALLECIDOS TOTALES Y LA CANTIDAD ACUMULADA DE FALLECIDOS POR ALGUNA CAUSA PARTICULAR ENTRE LAS EDADES
Para el ejemplo de la tabla
134
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
DISTRIBUCIÓN INTERNA DEL TOTAL DE FALLECIDOS ENTRE LAS DISTINTAS CAUSAS J Se trata de la distribución interna del total de fallecidos entre las causas 1 y 2, con una proporción del total de fallecidos entre ellas de para la causa 2 y para la causa 1con . La proporción interna cambia para cada edad, es decir, que hay un para cada edad x eventualmente podrían ser iguales, pero, nosotros suponemos que no lo son.
Donde
Donde
Siendo
la proporción de un causa particular del total de fallecidos por todas las causas.
DISTRIBUCIÓN INTERNA DEL TOTAL DE FALLECIDOS ENTRE LAS DISTINTAS CAUSAS J
Cantidad de fallecidos por motivo de la causa 1. Cantidad total de fallecidos por todas las causas en el intervalo de edades Cantidad de fallecidos por motivo de la causa 2.
CANTIDAD DE PERSONAS CON VIDA A UNA DETERMINADA EDAD
CÁLCULO DE PROBABILIDADES 135
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
PROBABILIDAD DE VIDA TOTAL Probabilidad de sobrevivir hasta la edad teniendo la edad x y habiendo sobrevivido a las eliminación, es decir, de sobrevivir a todas las causas.
causas de
PROBABILIDAD DE FALLECIMIENTO TOTAL Es la probabilidad de fallecer por la causa 1 o la causa 2...o la causa m teniendo la edad x y no alcanzar con vida la edad . En otras palabras, es la probabilidad de fallecer por cualquiera de las m causas de eliminación en el intervalo .
Donde T quiere decir totas las causas de fallecimiento, como lo habíamos mencionamos antes.
PROBABILIDADES DE FALLECIMIENTO POR ALGUNA CAUSA J
Es la probabilidad de fallecer por la causa particular j teniendo la edad x y no alcanzar con vida la edad . En otras palabras, es la probabilidad de fallecer por la causa j en el intervalo . Hay una sutileza que está implícita, es necesario que no haya sido antes eliminado por las causas subsiguientes., es decir, que la primero que actuó fue la causa j. Todos y cada uno en el grupo colectivo cerrado están sujetos al mismo riesgo de ser eliminado por alguna de las m causas de eliminación, es decir, todas las personas son homogéneas, y por lo tanto, no hay factores que predispongan una causa sobre las otras.
RELACIÓN ENTRE LAS PROBABILIDADES DE FALLECIMIENTO TOTAL Y LAS DE FALLECIMIENTO POR ALGUNA CAUSA PARTICULAR J
PROBABILIDADES DE FALLECIMIENTO TOTAL CON DIFERIMIENTO
136
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
IMPORTANTE
Para poder determinar si es equivalente utilizar la formula que relaciona las probabilidades diferidas con las inmediatas necesitamos conocer necesariamente . Esta probabilidad es ambigua, ya que, es la probabilidad de haber alcanzado con vida la edad teniendo la edad x y haber sobrevivido a la causa de fallecimiento j. Pero deja abierta la posibilidad de que haya sido eliminada la persona por otra causa distinta a j, por lo cual, no pudo sobrevivir en dicho intervalo. En otras palabras pudo haber sido eliminado del grupo o colectivo cerrado por una causa distinta a j y por ende no alcanzar con vida la edad , no nos dice nada de las otras causas. Por esta razón no es utilizada. Por esta última causa no es posible utilizar las siguientes relaciones
Si podemos utilizar las siguientes
En conclusión no es posible utilizar todas las relaciones que conocemos para el caso de probabilidades de causas particulares.
DEFINICIÓN DE LA FUERZA DE ELIMINACIÓN POR TODAS LAS CAUSAS
TASA INSTANTÁNEA DE ELIMINACIÓN POR LA CAUSA J
137
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Recordando que
EN TIEMPO CONTINUO
EN TIEMPO DISCRETO CANTIDAD DE FALLECIDOS POR TODAS LAS CAUSAS ENTRE LAS EDADES
CANTIDAD DE FALLECIDOS POR LA CAUSA J ENTRE LAS EDADES
Luego obtenemos
Ahora podemos ir a los conceptos
La probabilidad de ser eliminado de la población por todas las causas justo un instante de tiempo después de , bajo la condición de no haber sido eliminado por ninguna causa y de esta manera haber logrado alcanzar con vida la edad .
La probabilidad de ser eliminado de la población por la causa j justo un instante de tiempo después de , bajo la condición de no haber sido eliminado por ninguna causa y de esta manera haber logrado alcanzar con vida la edad .
RELACIÓN ENTRE Es importante notar que para intervalos muy pequeños de tiempo se cumple que
Luego
138
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Lo cual nos lleva a una importante relación
La Fuerza de Eliminación por todas las causas es igual a la suma de las Fuerzas de Eliminación de cada causa j particular Recordando que las fuerza de eliminación están anualizadas. Si tomamos un análogo como lo es la velocidad por ejemplo
en el caso que estamos tratando sería año como correlato de hora.
RELACIÓN DE DEPENDENCIA ENTRE CAUSAS EN LA TDM Para poder ver claramente la relación de dependencia que existe entre las causas en la tabla de decremento múltiple supongamos que hay solo dos causas de eliminación del colectivo cerrado, por lo cual
CAUSA 1 FALLECIMIENTO POR CAUSAS NATURALES
CAUSA 2 FALLECIMIENTO POR ACCIDENTES. La pregunta que deberíamos hacernos es si quitamos una causa por ejemplo la causa 1. ¿Qué ocurre con el número de fallecidos por la causa 2 en un intervalo cualquiera? ¿Aumenta?¿Disminuye? El número de fallecidos por motivo de la actuación de la causa 2 se incrementa, porque, el grupo de personas que hubiera fallecido de existir la causa 1 pueden fallecer todavía por motivo de la causa 2.
139
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
ACTUACIÓN DE LA CAUSA 1 CON DOS POSIBLES CAUSAS DE ELIMINACIÓN
ESCENARIO 1 LLEGÓ PRIMERO LA CAUSA 1 FALLECIMIENTO POR CAUSAS NATURALES
ESCENARIO 2 LA CAUSA 2 OCURRE SI NO ACTÚA LA CAUSA 1 QUE HABÍA ACTUADO PRIMERO. FALLECIMIENTO POR CAUSA DE UN ACCIDENTE
Si quitamos la causa de eliminación 1 lo que ocurre con sus fallecidos entre las edades siguiente:
es lo
La cantidad de fallecidos por la causa de eliminación 2 cuando tenemos en cuenta la causa de eliminación 1 es igual a
Luego, la cantidad de fallecidos por la causa de eliminación 2 si quitamos la causa 1 es igual a
Con esto podemos ver que aumenta el número de fallecidos por la causa 2 ya que
Por lo cual se puede observar que hay una relación de dependencia.
140
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
¿QUÉ OCURRE CON LOS FALLECIDOS POR LA CAUSA 2 SI
QUITAMOS LA CAUSA 1?
Los fallecidos por la causa 2 se mantienen constantes
UNA PARTE SOBREVIVE HASTA LA EDAD
Los fallecidos por la causa 1
Total de fallecidos por la causa 1 y causa 2 entre las edades se mantienen constantes
UNA PARTE FALLECE POR LA ACTUACIÓN DE LA CAUSA 2
MANERA MATEMÁTICA DE VER LA RELACIÓN DE DEPENDENCIA ENTRE CAUSAS
Si recodamos
Reemplazando
Regla de las integrales
Luego
141
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Todo resulta en
Como
Luego
Si suponemos
Por lo tanto
Vemos claramente que los fallecimientos por la causa de eliminación 1 dependen de la cantidad de fallecidos por la causa de eliminación 2.
TABLA DE DECREMENTO ÚNICA ASOCIADA A LA TABLA DE DECREMENTO MÚLTIPLE El interés recae en analizar cada causa de eliminación en particular de forma independiente de las otras. Por este motivo surge una nueva tabla asociada a la TDM denominada TABLA DE DECREMENTO ÚNICA ASOCIADA TDUA, la cual es similar a la primera con la única diferencia de la independencia entre causas. Hay una TABLA DE DECREMENTO ÚNICA ASOCIADA para cada causa j. Para la construcción de la TDUA lo que se hace es ver qué ocurre si quitamos causas de eliminación con los fallecidos de otra causa particular cualquiera como hicimos arriba. Esto se hace con la población inicial que se utiliza en la TDM. Si suponemos que hay solo dos causas de eliminación tenemos las siguientes tablas.
142
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
TDUA de la causa 1 si quitamos la causa 2
x x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6 ....
....
.......
0
TDUA de la causa 2 si quitamos la causa 1
x x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6 ....
....
.......
0
FUERZA DE ELIMINACIÓN DE LA TDUA SUPUESTO NEXO ENTRE LA TDM Y LA TDUA HIPÓTESIS
143
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
La conexión entre la TDM y cada TDUA se logra a través de esta hipótesis.
DIFERENCIA ENTRE FUERZA DE ELIMINACIÓN EN CADA TDUA
FUERZA DE ELIMINACIÓN EN LA TDM
La diferencia entre ambas tasas de mortalidad se encuentra en la condición que se impone en cada caso, ya que la Fuerza de Eliminación de la TDUA tiene como condición haber sobrevivido a la causa j hasta la edad , mientras que como vimos con anterioridad, la Fuerza de Eliminación de la T.D.M.se impone la condición de haber sobrevivido a todas las causas hasta la edad .
TASA ABSOLUTA DE DECREMENTO 1
RELACIÓN ENTRE DOS CAUSAS DE ELIMINACIÓN Recordando que
Luego
No tenemos
, aunque contamos con
y por el supuesto NEXO de las tasas de mortalidad
TRES CAUSAS DE ELIMINACIÓN Recordando que
144
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Luego
No tenemos
, aunque contamos con
y por el supuesto NEXO de las tasas de mortalidad
FORMULA GENERAL
RELACIÓN ENTRE
Y LA TASA DE DECREMENTO DOS CAUSAS DE ELIMINACIÓN
Recordando
Luego
TRES CAUSAS DE ELIMINACIÓN
Si hacemos la distributiva Haciendo la distributiva obtenemos
145
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Volvemos a hacer la distributiva
TASA ABSOLUTA DE DECREMENTO 2
De manera que tenemos las siguientes igualdades con dos causas de eliminación
Si las igualamos se puede ver que
De analizar la última igualdad podemos deducir lo que nos muestra el siguiente gráfico
TASA ABSOLUTA DE DECREMENTO
Es mayor e igual porque si elimino causas de eliminación crece como se demostró.
TASA CENTRAL DE MORTALIDAD
Donde
Por lo tanto
146
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
EN TABLA DE DECREMENTO MÚLTIPLE PROBABILIDAD DE VIDA TOTAL EN FUNCIÓN DE LAS PROBABILIDADES DEPENDIENTES DE FALLECIMIENTOS
EN FUNCIÓN DE LA TASA DE MORTALIDAD TOTAL
EN FUNCIÓN DE LAS PROBABILIDADES DE VIDA INDEPENDIENTES
PROBABILIDAD DE FALLECIMIENTO TOTAL
PROBABILIDADES DE FALLECIMIENTO POR ALGUNA CAUSA J
TASA CENTRAL DE MORTALIDAD POR TODAS LAS CAUSAS
147
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
TASA CENTRAL DE MORTALIDAD POR LA CAUSA J
EN LA TABLA DE DECREMENTO ÚNICA ASOCIADA PROBABILIDAD DE VIDA INDEPENDIENTE
TASA ABSOLUTA DE DECREMENTO
TASA CENTRAL DE MORTALIDAD
Luego tenemos tres medidas de mortalidad en cada tabla 1. 2. 3.
Tasa central de mortalidad Tasa instantánea de mortalidad Probabilidad de fallecimiento
En la TDUA tenemos la TASA ABSOLUTA DE DECREMENTO o probabilidad independiente
148
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Nexo entre ambas
TABLA DE DECREMENTO MÚLTIPLE
A partir de TDM construir la TDUA
TABLA DE DECREMENTO ÚNICO ASOCIADA
A partir de TDUA construir la TDM
EJERCICIO Hay tres causas de eliminación
donde
Luego sean las fuerzas de eliminación Detrás está el supuesto de distribución uniforme Detrás está el supuesto de distribución exponencial Detrás está el supuesto de distribución exponencial Hallar a) b) c) Hay que repasar las propiedades de las distribuciones EXPONENCIAL Y UNIFORME.
RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO a)
FORMULAS A UTILIZAR
RESOLUCIÓN 149
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Por lo cual tenemos que
Tiene distribución uniforme Tiene distribución exponencial Tiene distribución exponencial Recordando el nexo entre la TDM y la TDUA
DISTRIBUCIÓN UNIFORME DE FALLECIDOS EN EL INTERVALO QUE VA ENTRE LAS EDADES . Recordando que la función de densidad está dada por la siguiente formula y recordando el nexo
La función de densidad de una variable aleatoria distribuida uniformemente
0
para cualquier otro valor
Luego conociendo que se distribuye uniformemente con
Si despejamos
La distribución acumulada de una variable aleatoria distribuida uniformemente es igual a
150
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
0
xb
Luego la distribución acumulada de la función de densidad
es
En nuestro ejemplo
Y su complemento
Con lo cual
Este resultado general lo comparamos con el dato que nos dan RESULTADO
DATO
Con lo cual
151
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Reemplazando obtenemos
b)
Con =0,5609506911 c)
152
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Porque Recordando que
Luego obtenemos
Dada la TDM como encontrar las tasas absolutas de decremento
SUPUESTOS
153
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
OBJETIVO Hallar las probabilidades asociadas a cada una de las tablas Nexo entre ambas
TABLA DE DECREMENTO MÚLTIPLE
A partir de las probabilidades de la TDM obtener las probabilidades asociadas a la TDUA.
TABLA DE DECREMENTO ÚNICO ASOCIADA
A partir de las probabilidades de la TDUA obtener las probabilidades asociadas a la TDM.
PARA LOGRAR EL OBJETIVO BUSCADO HAY QUE REALIZAR ALGUNOS SUPUESTOS
SUPUESTOS QUE SE REALIZAN PARA HALLAR LAS PROBABILIDADES Y SUS MEDIDAS SUPUESTO 1 FUERZAS CONSTANTES
SUPUESTO 3 DISTRIBUCIÓN UNIFORME DE ELIMINADOS EN TDUA SUPUESTO 2 DISTRIBUCIÓN UNIFORME DE ELIMINADOS EN TDM
SUPUESTOS 1 FUERZAS CONSTANTES PARA CADA AÑO DE EDAD FUERZAS DE ELIMINACIÓN CONSTANTES PARA TODAS Y CADA UNA DE LAS CAUSAS DE ELIMINACIÓN ENTRE
La tabla que hicimos para el supuesto EXPONENCIAL en supuestos fraccionarios es necesaria para este caso.
Para
, como se puede apreciar ambas tasas no dependen de t y por ende son constantes
154
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Si desarrollamos la sumatoria
Luego, si suponemos que todas las causas de eliminación tienen tasas de mortalidad constante
Por tanto
Es contante también. Lo cual implica que estamos haciendo el supuesto EXPONENCIAL en la TABLA DE DECREMENTO MÚLTIPLE. TABLA DE DECREMENTO MÚLTIPLE EXPONENCIAL (
)
Luego Tenemos que
155
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Pero necesitamos calcular las probabilidades dependientes de fallecimientos acumuladas para lo cual necesitamos algunos conceptos más, pero los resultados son los siguientes que luego se deducirán.
Si tenemos en cuenta la hipótesis NEXO
Luego
Lo cual implica que estamos haciendo el supuesto EXPONENCIAL en la TABLA DE DECREMENTO ÚNICA ASOCIADA T.D.U.A. En cada tabla se cumple la tabla que armamos para el supuesto EXPONENCIAL cuando trabajamos con SUPUESTOS FRACCIONARIOS TABLA DE DECREMENTO ÚNICO ASOCIADA EXPONENCIAL (
)
Luego
156
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Tenemos que
RELACIÓN IMPORTANTE
Salen fuera por ser constantes
y
Se reemplaza en
CALCULO DE PROBABILIDADES Recordando que
Sale la constante
Obtenemos
Aplicando logaritmos naturales a ambos miembros
Con ello reemplazamos en los cocientes
157
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Aplicando la reglas de logaritmos
PROBABILIDAD DE VIDA INDEPENDIENTE ENTRE LAS EDADES
EN BASE A LA TASA DE MORTALIDAD
PROBABILIDAD INDEPENDIENTE ACUMULADA
TASA ABSOLUTA DE DECREMENTO ENTRE LAS EDADES
TASA ABSOLUTA DE DECREMENTO ACUMULADA
PROBABILIDAD DE VIDA DEPENDIENTE EN FUNCIÓN DE LAPROBABILIDAD DE VIDA INDEPENDIENTE ENTRE LAS EDADES
EN BASE A LA TASA DE MORTALIDAD POR TODAS LAS CAUSAS
PROBABILIDAD DE VIDA DEPENDIENTE ACUMULADA
PROBABILIDAD DEPENDIENTE ACUMULADA DE FALLECIMIENTO PARA LA CAUSA PARTICULAR J
158
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Con ello conseguimos los valores que buscábamos
DEMOSTRACIÓN
Recordando que
Sale la constante
Obtenemos
Aplicando logaritmos naturales a ambos miembros
Con ello reemplazamos en los cocientes
Aplicando la reglas de logaritmos
159
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Pasando el logaritmo natural al otro lado de la igualdad se obtiene que
Por lo tanto
Luego
También
DEMOSTRACIÓN
Recordando que
Sale la constante
Obtenemos
Aplicando logaritmos naturales a ambos miembros
160
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Con ello reemplazamos en los cocientes
Aplicando la reglas de logaritmos
Pasando el logaritmo natural al otro lado de la igualdad se obtiene que
Por lo tanto
Por lo tanto
IMPORTANTE RECORDAR Cuando hacemos el supuesto EXPONENCIAL se cumple
Una relación que nos será de gran utilidad cuando resolvamos los ejercicios de la guía práctica.
SUPUESTO 2 DISTRIBUCIÓN UNIFORME DE ELIMINADOS DUE EN CADA UNA DE LAS CAUSAS DE DECREMENTO MÚLTIPLE ENTRE LAS EDADES EN LA TABLA DE DECREMENTO MÚLTIPLE TDM Esto implica suponer que la función de densidad de eliminados sigue una distribución uniforme, es decir, es constante. No da igual hacer el supuesto de D.U.F. a la TDM que hacerlo sobre la TDUA. La tabla que hicimos para supuestos fraccionarios para el caso de D.U.F se cumple cuando consideramos todas las causas de eliminación T, la única diferencia es que hay que agregarles la T a cada una de las
161
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
formulas, para el caso particular de cada causa de eliminación las formulas sobre cuando debemos colocar o cuando .
RICARDO GABRIEL AMARILLA
hay algunos pequeños cambios en
PARA LA CAUSA PARTICULAR J DUF (
)
PARA TODAS LAS CAUSAS T DUF (
)
162
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
RELACIÓN IMPORTANTE
Donde
Esto ocurre porque como vimos en supuestos fraccionarios
Por lo tanto
Por esta causa
Como vemos en esta ultima formula hay un cambio en la formula cuando consideramos solamente la causa
A las formulas solamente hay que hacerle el agregado de T, luego son las mismas formulas que hicimos en supuestos fraccionarios. Se pueden igualar ambas expresiones
Luego
163
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Por lo cual obtenemos que
Si
obtenemos el mismo resultado que obtuvimos en FUERZAS CONSTANTES
Por lo tanto las relaciones se repiten
Como
Por lo cual
DEMOSTRACIÓN
Como
164
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Por lo cual
Con
TABLA DE DECREMENTOS ÚNICOS ASOCIADOS
TABLA DE DECREMENTO MÚLTIPLE Si
obtenemos el mismo resultado que obtuvimos en FUERZAS CONSTANTES
PROBABILIDAD DEPENDIENTE ACUMULADA DE FALLECIMIENTO PARA LA CAUSA PARTICULAR J
Si
obtenemos
PROBABILIDAD DEPENDIENTE ACUMULADA DE FALLECIMIENTO POR TODAS LAS CAUSAS 165
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
SUPUESTO 3 DISTRIBUCIÓN UNIFORME DE ELIMINADOS DUE EN TABLA DE DECREMENTO ÚNICO ASOCIADA TDUA A LA TABLA DE DECREMENTO MÚLTIPLE TDM PARA TODA CAUSA ENTRE LAS EDADES La tabla de que hicimos para supuestos fraccionarios para el caso de D.U.F se cumple para cada una de las TABLA DE DECREMENTO ASOCIADA UNICA TDUA de cada causa. TABLA DE DECREMENTO ÚNICO ASOCIADA DUF (
)
166
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
CALCULO DE LAS PROBABILIDADES EN LA TDM
La función de densidad es constante cuando hay DUE es un supuesto
CON DOS CAUSAS DE ELIMINACIÓN
Si
Donde
es una constante
RESULTADO
167
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
CON TRES CAUSAS DE ELIMINACIÓN
Si
Donde
es una constante
RESULTADO
168
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
ALGO IMPORTANTE Volvemos a dos causas
Si suponemos DUE en la TDUA
Si suponemos DUE en la TDM y por lo tanto en todas las causas.
Los comparamos y vemos que son distintos lo cual implica que
CONCLUSIÓN SI EN LA TDUA HAY DUE ENTONCES NO PUEDE HABER DUE EN LA TDM Y VICEVERSA.
SUPUESTOS DIFERENTES PARA CADA CAUSA DE ELMININACIÓN EN LA TABLA DE DECREMENTO MÚLTIPLE Es posible que en la TDM a cada una de las causa de eliminación se realicen supuestos distintos. Si por ejemplo tomamos como ejemplo sólo dos causas de eliminación eventualmente podría ocurrir que
169
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Se realice el supuestos de FUERZAS COSNTANTE a la causa 1 Se realice el supuesto de D.U.E a la causa 2
En este caso hay que realizar deducciones a partir de los supuestos para hallar las distintas medidas probabilísticas
EJERCICIO Con dos causas es decir Si tenemos que
Encontrar En TDM
a) Bajo Fuerzas constantes b) Bajo DUE En TDUA
SOLUCIÓN FUERZAS CONSTANTES Probabilidades independientes
También
170
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Luego
Resultado
Probabilidades dependientes
Sabiendo que
Luego
Sabiendo que
171
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Luego
Resultado
DUE en TDM Probabilidades dependientes
Resultado
Probabilidades independientes
172
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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Resultado
Supuesto de DUE en TDUA
Hay que resolver el sistema. Es un sistema compatible determinado. De la segunda ecuación obtenemos que
Reemplazamos en la primera
173
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Resultado
PROFUNDIZANDO VARIABLE ALEATORIA DISCRETA CAUSAS DE ELIMINACIÓN Sea
el número de causas de eliminación a la cual está expuesta una determinada población
VARIABLE ALEATORIA CONTINÚA 174
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
TIEMPO QUE MEDIA AL FALLECIMIENTO EFECTIVA CONTINÚA Sea
el tiempo que falta para que la persona sea eliminada
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA TIEMPO QUE MEDIA AL FALLECIMIENTO EFECTIVA DISCRETA Sea
el tiempo discreto que falta para que la persona sea eliminada
FUNCIÓN DE DENSIDAD CONJUNTA Sea la Función de Densidad Conjunta, la cual posee una parte discreta (el conjunto de causas) y otra continúa (el tiempo). La cual es la probabilidad casi puntual de fallecer en un muy pequeño intervalo de tiempo y que sea por la causa .
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD CONJUNTA Sea la Función de Probabilidad Conjunta, la cual posee una parte discreta (el conjunto de causas) y otra también discreta (el tiempo). La cual es la probabilidad puntual de fallecer en un determinado momento entero del tiempo y que sea por la causa
TIEMPO QUE MEDIA AL FALLECIMIENTO Sean las variables aleatorias
Los tiempos que faltan para el fallecimiento de una persona por cualquiera de las causas
Son variables aleatorias porque lo que no se sabe a priori es por cual de todas las causas será eliminada de la población la persona. La que actúa primero es la culpable de que la persona haya sido eliminada. Independencia entre el tiempo que falta para que la persona sea eliminada por la causa j y el tiempo que falta para que la persona sea eliminada por la causa k.
175
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Esto es como contratar un grupo de asesinos para matar a una persona, el que llega primero es el único que lo puede eliminar. Si los demás asesinos llegan después no se toman en cuenta y son independientes porque los asesinos no tienen nada que ver uno con el otro.
Causa 1: Fallecimiento por causas naturales
Ocurrió primero la causa 1 antes que la causa 2. Pero esto no es conocido a priori por el investigador. Se pudo dar la situación contraria
Causa 2: Fallecimiento por causa de un accidente
Puede ser que haya relación entre las n causas pero en principio no interesa Por el supuesto de independencia dada arriba ocurre que
Esto implica que a cada asesino sólo le importa el mismo.
INDEPENDENCIA ENTRE LAS CAUSAS DE ELIMINACIÓN Suponemos independencia entre las causas
Para lo que sigue trabajaremos en tiempo continúo a menos que se diga lo contrario.
PROBABILIDAD PUNTUAL DE FALLECER POR LA CAUSA J SIN IMPORTAR LA EDAD EN QUE OCURRA
176
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Es la probabilidad de que una persona fallezca por la causa j sin importar la edad que lo haga. Para un valor particular de
o una causa particular tenemos la siguiente distribución
LEY DE CIERRE Luego se cumple la LEY DE CIERRE
Lo cual nos lleva a la siguiente igualdad
1 2
FUNCIÓN DE DENSIDAD DE
177
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Es la probabilidad casi puntual de que una persona fallezca en un determinado momento t sin importar la causa que lo produzca.
GRÁFICO DE UNA VARIABLE
Es una rodaja de la función de densidad conjunta
En otras palabras la posibilidad de que en un intervalo infinitesimal cualquiera determinado una persona fallezca sin importar la causa
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA DE
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DIFERIDA DE
POR TODAS LAS CAUSAS
LEY DE CIERRE Luego se cumple la LEY DE CIERRE
178
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Lo cual nos lleva a la siguiente igualdad
PROBABILIDAD DIFERIDA POR LA CAUSA PARTICULAR J DEPENDIENTE
FUERZA INSTANTÁNEA DE ELIMINACIÓN POR TODAS LAS CAUSAS T
Es la tasa instantánea de eliminación y se llama fuerza instantánea por que se le elimina el arrastre de eliminación de años anteriores
Fuerza de eliminación sólo de este intervalo sin arrastrar las eliminaciones del pasado
0
En el grafico se ve que lo que ocurre es que no hay incertidumbre acerca de la cantidad de personas que alcanzaron con vida la edad y la probabilidad que se busca es una probabilidad condicional.
179
BIOMETRÍA ACTUARIAL
Si en cambio sólo conociéramos probabilidad
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
y hubiera incertidumbre acerca del valor de
tendríamos esta
Luego tenemos que se desecha los efectos del pasado y sólo se tienen en cuenta o se focaliza en un determinado intervalo de tiempo el cual es muy pequeño. Dicho de otra forma tenemos que
Luego
Conjunto A [
]
0
Conjunto B [
]
0
0
A partir del gráfico deducimos que
Donde
También
180
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Que es la probabilidad en un instante de tiempo o probabilidad casi puntual. Donde
Luego obtenemos que
0
Para sacar el área de la figura hay que usar la fórmula del cálculo de áreas
Por lo tanto
FUERZA INSTANTÁNEA DE ELIMINACIÓN POR LA CAUSA J
CONDICIONALES 181
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
PROBABILIDAD 1
La cual es la probabilidad condicional de que dado que se sabe que actuó la causa j, se busca la probabilidad de fallecer justo un instante después de la edad por cualquier causa incluso la causa j, ya que está abierta la posibilidad de que otras causas actúen primero.
PROBABILIDAD 2
La cual es la probabilidad condicional de que dado que se sabe que la persona de edad falleció entre las edades , cual es la probabilidad de que fue por la causa de eliminación j la que actuó primero.
PROBABILIDAD 3
La cual es la probabilidad condicional de que dado que se sabe que actuó la causa j, cual es la probabilidad de ser eliminado justo un instante después de la edad y que esto ocurra por la causa j, en otras palabras que la causa j haya actuado antes que las otras causas de eliminación
CONDICIONALES ACUMULADAS PROBABILIDAD ACUMULADA 1
La cual es la probabilidad condicional de que dado que se sabe que la persona de edad falleció por la causa j, cual es la probabilidad de hacerlo entre las edades por cualquier causa incluso la causa j.
PROBABILIDAD ACUMULADA 2 182
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
La cual es la probabilidad condicional de que dado que se sabe que la persona de edad falleció entre las edades , cual es la probabilidad de que fue por la causa de eliminación 1 o 2 o 3...o b.
PROBABILIDAD ACUMULADA 3
La cual es la probabilidad condicional de que dado que se sabe que actuó la causa j, cual es la probabilidad de ser eliminado entre las edades y que esto ocurra por la causa j, en otras palabras que la causa j haya actuado antes que las otras causas de eliminación
LA CAUSA J ES CONTINUA Y LA CAUSA K ES DISCRETA DOS CAUSAS DE ELIMINACIÓN Suponiendo que hay dos causas de eliminación, es decir, Si a) La causa 1 es continua b) La causa 2 es discreta Causa de eliminación
Tipo de la causa
Causa 1
Continua
Tiempo en que actúa la causa produciendo la eliminación del grupo Continuo
Causa 2
Discreta
Discreto
Momento en que actúa la causa Actúa cada instante de tiempo En momentos puntuales de tiempo
CASO 1 LA CAUSA DISCRETA K ACTUA EN UN ÚNICO MOMENTO DEL TIEMPO 183
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Análisis de la causa 2 la cual es discreta
EL PARÁMETRO 0
Edad a la cual una persona es eliminada de la población por motivo de la causa discreta
Porque no se alcanza la edad en que actúa la causa discreta, luego
0
La causa discreta actúa únicamente en , luego, la probabilidad de sobrevivir en ese momento es igual a , como luego no vuelve a actuar la causa discreta la proporción de personas que llegaron con vida a la edad continuara así hasta la edad por lo cual en todo el intervalo de tiempo la probabilidad independiente se mantiene constante. Si miramos los extremos obtenemos la probabilidad del intervalo
Luego tenemos que
1
184
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
0
DEMOSTRACIÓN DE LA DETERMINACIÓN DE RESULTADOS CAUSA 1 CONTINUA
CAUSA 2 DISCRETA
DETERMINACIÓN DE
CAUSA CONTINÚA
Donde
Reemplazando
Recordando que
Donde Aplicando esta propiedad
185
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Tomamos las integrales por separado 1ra integral
Tenemos que
Con lo cual
2da integral
Tenemos que
Por lo cual puede salir de la integral
Unimos las integrales
Donde
Recordando el nexo entre TDM y la TDUA
186
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Todo lo cual nos lleva a
Recordando que
Por lo cual tenemos que
Suponiendo y aplicando DUE en la causa 1 en la TDUA, luego
Con esto obtenemos
Sacando factor común tenemos que
También
Reemplazando
Haciendo distributiva en el segundo termino
Como Luego
Por lo cual
DETERMINACIÓN DE
CAUSA DISCRETA
Tenemos que
187
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Esto ocurre sin la necesidad de hacer ningún supuesto Por lo cual
Por lo tanto
Sacamos factor común
INTERACCIÓN ENTRE LAS CAUSAS Total de eliminados entre las edades
por motivo de ambas causas
Separemos el intervalo en dos partes iguales y veamos cuanto aporta cada causa al stock de eliminados
PRIMER INTERVALO Sólo actúa la causa 1 que es continua y ocurre en cada instante de tiempo por lo cual tenemos Llegan con vida hasta la edad
la cantidad de personas de
188
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
INTERACCIÓN ENTRE LAS DOS CAUSAS En este segmento actúo sólo la causa continúa y genero un cierto número de eliminados
0
Único momento en que actúa la causa discreta y genera cierto número de eliminados en todo el intervalo no lo volverá a hacer.
Sigue actuando la causa continua solamente y genera un cierto número de eliminados
EN EL MOMENTO Único momento en el cual actúa la causa discreta como en el resto del intervalo no habrá más participación de la causa tenemos los únicos muertos para todo el intervalo A la cantidad de personas que alcanzaron con vida esta edad se le debe restar este valor luego
SEGUNDO INTERVALO Sólo actúa la causa continua y lo hace en cada instante de tiempo por lo cual tenemos LLEGAN CON VIDA HASTA LA EDAD
EJERCICIO Población inicial
Sujeta a la siguiente causa de eliminación
189
BIOMETRÍA ACTUARIAL
1. 2.
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Causa 1 la cual es discreta Causa 2 la cual es continua
Teniendo los siguientes datos
0
Se es eliminado por motivo de la causa 1 a la edad x
1
Se es eliminado por motivo de la causa 1 a la edad
0,75 Se es eliminado por motivo de la causa 1 a la edad
Determinar el número total de personas fallecidas por cada causa para cada caso. También determinar el número de fallecidos generados por cada causa.
SOLUCIÓN CASO 1 Por las formulas encontradas arriba sabemos que
CAUSA 1 DISCRETA
Reemplazamos en la formula
obtenemos
Lo cual implica que no pudo actuar la tasa absoluta de fallecimiento. Es absolutamente independiente de la causa 2 Reemplazando los datos que nos dan
CAUSA 2 CONTINUA
Reemplazamos en la formula
obtenemos
Reemplazando los datos que nos dan
190
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
TOTAL DE PERSONAS QUE ALCANZAN CON VIDA LA EDAD
TOTAL DE LAS PERSONAS QUE FALLECEN POR AMBAS CAUSAS
CANTIDAD DE PERSONAS QUE FALLECEN O SON ELIMINADAS POR MOTIVO DE LA CAUSA 2
Luego
CANTIDAD DE PERSONAS QUE FALLECEN O SON ELIMINADAS POR MOTIVO DE LA CAUSA 1
Luego
CASO 2 Por las formulas encontradas arriba sabemos que
CAUSA 1 DISCRETA
Reemplazamos en la formula
obtenemos
Reemplazando los datos que nos dan
191
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
CAUSA 2 CONTINUA
Reemplazamos en la formula
obtenemos
La causa 2 es absolutamente independiente de la causa 1. Reemplazando los datos que nos dan
TOTAL DE PERSONAS QUE ALCANZAN CON VIDA LA EDAD
TOTAL DE LAS PERSONAS QUE FALLECEN POR AMBAS CAUSAS
Se mantienen constantes la cantidad de fallecidos
CANTIDAD DE PERSONAS QUE FALLECEN O SON ELIMINADAS POR MOTIVO DE LA CAUSA 1
Luego
CANTIDAD DE PERSONAS QUE FALLECEN O SON ELIMINADAS POR MOTIVO DE LA CAUSA 1
Luego
Cambia la distribución interna de fallecidos entre la causa 1 y la causa 2 a medida que aumenta el valor de pero el total de fallecidos se mantiene constante.
192
BIOMETRÍA ACTUARIAL
La probabilidad total
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
no depende del valor que adquiera .
Ambas son constantes
.
CASO 3 Por las formulas encontradas arriba sabemos que
CAUSA 1 DISCRETA
Reemplazamos en la formula
obtenemos
Reemplazando los datos que nos dan
CAUSA 2 CONTINUA
Reemplazamos en la formula
obtenemos
Reemplazando los datos que nos dan
TOTAL DE PERSONAS QUE ALCANZAN CON VIDA LA EDAD
TOTAL DE LAS PERSONAS QUE FALLECEN POR AMBAS CAUSAS
Se mantienen constantes la cantidad de fallecidos
Cantidad de personas que fallecen o son eliminadas por motivo de la causa 1
193
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Luego
CANTIDAD DE PERSONAS QUE FALLECEN O SON ELIMINADAS POR MOTIVO DE LA CAUSA 2
Luego
DISTRIBUCIÓN INTERNA A MEDIDA QUE AUMENTA PARA LOS 3 CASOS EXPUESTOS Proporción de personas que son eliminadas por la causa 2
Proporción de personas que son eliminadas por motivo de la la causa 1 con
Proporción de personas que son eliminadas por la causa 2
Proporción de personas que son eliminadas por motivo de la la causa 1 con
Proporción de personas que son eliminadas por la causa 2
Total de fallecidos por la causa1 y causa 2 entre las edades se mantienen constantes
Proporción de personas que son eliminadas por motivo de la la causa 1 con
INTERACIÓN ENTRE LAS CAUSAS El siguiente análisis se realiza suponiendo que Separemos el intervalo en dos partes iguales y veamos cuanto aporta cada causa al stock de eliminados
PRIMER INTERVALO Sólo actúa la causa 2 que es continua y ocurre cada instante de tiempo por lo cual tenemos Tenemos que
194
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Como opera solo la causa 2 la tomamos como independiente de la causa 1 por lo cual tenemos que los eliminados por culpa de la causa 2 son
Llegan con vida hasta la edad
la cantidad de personas de
por lo cual
EN EL MOMENTO Único momento en el que actúa la causa 1 discreta como en el resto del intervalo no habrá más participación de la causa tenemos los únicos muertos para todo el intervalo es la cantidad de . Esta cantidad la encontramos arriba
En porcentaje la causa 1 se lleva el 10% de los que llegan con vida a la edad A la cantidad de personas que alcanzaron con vida esta edad se le debe restar este valor luego
SEGUNDO INTERVALO Sólo actúa la causa 2 que es continua y ocurre cada instante de tiempo por lo cual tenemos
Este total lo obtenemos utilizando los datos que encontramos
Por lo cual
Llegan con vida hasta la edad
la cantidad de personas de
195
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
APORTES DE CADA CAUSA AL TOTAL Y DENTRO DE SÍ MISMA
(69,65%)
(30,35%)
CASO 2 LA CAUSA DISCRETA K ACTUA EN DOS ÚNICOS MOMENTOS DEL TIEMPO Los parámetros 0
ÚNICOS MOMENTOS PUNTUALES EN LOS CUALES ACTÚA LA CAUSA DISCRETA
196
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
PROBABILIDAD DE FALLECIMIENTO ACUMULADA Entre Porque no alcanzan la primera edad en que actúa la causa discreta 2 CONSTANTE
CONSTANTE Acumula el total de fallecimientos
0
CONSTANTE Porque se acumulan la proporción de eliminados por la causa discreta
Es importante notar que estamos observando el accionar de ambas causas de forma independiente una de la otra por lo cual estamos observando la TABLA DE DECREMENTO UNICO ASOCIADO A LA TABLA DE DECREMENTO MÚLTIPLE. Luego tenemos que
1
0
Donde
197
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
Lo cual implica que del total de eliminados entre las edades y la restante proporción a la edad .
RICARDO GABRIEL AMARILLA
, la proporción ocurrió a la edad
Por lo tanto tenemos que
CANTIDAD ACUMULADA DE ELIMINADOS POR LA CAUSA DISCRETA INTERVALO DEL TIEMPO QUE MEDIA A LA ELIMINACIÓN
CANTIDAD DE ELIMINADOS POR LA CAUSA DISCRETA
VALOR EXPRESADO EN FUNCIÓN DE
CANTIDAD ACUMULADA DE ELIMINADOS POR LA CAUSA DISCRETA INTERVALO DEL TIEMPO QUE MEDIA A LA ELIMINACIÓN
CANTIDAD ACUMULDA DE ELIMINADOS POR LA CAUSA DISCRETA
VALOR EXPRESADO EN FUNCIÓN DE
FORMULA DE LA PROBABILIDADES
CAUSA CONTINÚA
CAUSA DISCRETA
CASO 3
198
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
LA CAUSA DISCRETA K ACTUA EN DOS MOMENTOS DEL TIEMPO Y ENTRE CUALQUIERA OTROS DOS MOMENTOS SE COMPORTA DE MANERA CONTINUA Los parámetros 0
ÚNICOS MOMENTOS PUNTUALES EN LOS CUALES ACTÚA LA CAUSA DISCRETA
Los parámetros 0
Dentro del intervalo se distribuye de manera continua que suponemos es D.U.E.
Tenemos que del total de personas que son eliminadas por la causa discreta 2 en el intervalo
Donde es la proporción del total de personas que serán eliminadas por motivo de la causa 2 a la edad y es la proporción cuando la causa discreta actúa a la edad . Pero en este caso particular tenemos que una parte o proporción s que se comporta como una variable aleatoria continua esto ocurre en el intervalo y suponemos que se distribuye con una distribución UNIFORME.
FORMULA DE LA PROBABILIDADES
199
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
CAUSA CONTINÚA
CAUSA DISCRETA
EJEMPLO Es el ejercicio 38 de la guía de ejercicios del curso que nos dan los siguientes datos
DATOS CAUSA DISCRETA
Los decrementos ocurren en 2 momentos discretos:
La mitad de los decrementos se distribuyen de manera UNIFORME entre los valores
CAUSA CONTINUA
Se supone que sigue una distribución UNIFORME en la tabla de decremento única asociada a una tabla de decremento múltiple.
HALLAR
RESOLUCIÓN Debemos calcular
La cual es la probabilidad de fallecer entre las edades
por motivo de la causa discreta.
Para lo cual tenemos que para el caso en que actúa en un sólo momento obtuvimos la siguiente formula
200
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Pero en este caso tenemos que la causa discreta actúa en dos momentos. La cantidad de personas que están expuestas a sufrir el riesgo de ser eliminado es igual a
Por lo cual
Pero tenemos el dato de que los decrementos se distribuyen de manera UNIFORME entre los valores
Por lo cual aquí utilizamos la formula que vimos para decrementos con el supuesto D.U.F. en TDUA
Por lo cual
Únicamente debemos reemplazar los datos
Por lo cual
TRES CAUSAS DE ELMINACIÓN CAUSA DISCRETA ACTÚA EN UN ÚNICO MOMENTO DEL TIEMPO CAUSAS DE ELMINACIÓN
Donde la causa 3 es discreta y tanto a la causa 1 y 2 hacemos el supuesto de D.U.F. en la TDUA.
201
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Luego tenemos que
1
0
DETERMINACIÓN DE
CAUSA CONTINÚA
Donde
Por lo tanto
Donde
Por el supuesto de D.U.F.
Donde
Por lo tanto
202
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Separamos la integral en dos partes
La primera integral es igual a
La segunda integral es igual a
Por lo tanto
Luego
DETERMINACIÓN DE
CAUSA CONTINÚA
DETERMINACIÓN DE
CAUSA DISCRETA
Tenemos que
203
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Por lo tanto
Donde
Donde
Luego
Le restamos
CAUSA DISCRETA ACTÚA EN DOS MOMENTOS DEL TIEMPO CAUSAS DE ELMINACIÓN
Donde la causa 3 es discreta y tanto a la causa 1 y 2 hacemos el supuesto de D.U.F. en la TDUA. Por lo tanto
1
204
BIOMETRÍA ACTUARIAL
DETERMINACIÓN DE
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
CAUSA CONTINÚA
Donde
Por lo tanto
Donde
Por el supuesto de D.U.F.
Donde
Por lo tanto
Por lo tanto
Por lo tanto
Ya que
205
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Luego
También
Por lo tanto
Por lo tanto
Luego
El cálculo es análogo para ambas causas continuas
MÉTODO PUENTE DE LA TASA CENTRAL MÉTODO SIN AJUSTE Si suponemos DUE en TDU asociada a TDM luego
Suponiendo distribución exponencial o
constante lo cual implica que
206
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Como
Y
Recordando el nexo
Por lo cual si es
constante luego
Reemplazando
Por lo cual en distribución exponencial tenemos que
También
Por lo cual
Por deducción y sin aplicar ningún supuesto
Recordando que
207
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Reemplazando
Suponiendo DUE en TDM
Si al denominador sumamos y restamos
Si recordamos que
Hacemos distributiva
Si dividimos y multiplicamos por
y recordando de supuestos fraccionarios que bajo DUF la L censal es
igual a
Recordando que
PRIMERA ECUACIÓN
208
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
También de supuestos fraccionarios si aplicamos DUF o DUE tenemos que
Por lo cual
Si igualamos
SEGUNDA ECUACIÓN
Haciendo distributiva
TERCERA ECUACIÓN
209
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Debido a que en este método se realizan supuestos los cuales son entre ellos contradictorios hay que realizar un ajuste para que la suma de las probabilidades de eliminación para cada causa en particular dependiente sea igual a la obtenida mediante la relación fundamental.
METODO CON AJUSTE CUARTA ECUACIÓN
210
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
MODELO DE INVALIDEZ SIN REHABILITACIÓN Sea una determinada población que a su vez posee dos subpoblaciones las cuales se clasifican entre personas sanas y personas inválidas, los cuales son mutuamente excluyentes y exhaustivos.
Proporción de personas sanas las cuales se denomina ACTIVOS. POBLACIÓN TOTAL CON EDAD X Proporción de personas inválidas la cuales se denomina INVALIDOS
INGRESO AL ESTADO INVÁLIDO 1. 2. 3.
No se nace invalido, esto implica que a la edad cero son todos activos. Se vuelve invalido en algún momento continuo del tiempo Una vez en este estado no vuelve al estado Activo. Esto porque no hay rehabilitación.
ANÁLISIS DE UN PERIODO
Se puede pasar del estado activo al inválido.
GRUPO DE ACTIVOS
GRUPO DE INVÁLIDOS No se puede pasar del estado inválido al activo.
212
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Punto de partida
Escenarios posibles
Sobrevivir como activo hasta la edad ACTIVOS con edad X
+
Fallecer como activo a la edad Sobrevivir como invalido hasta la edad Fallecer como invalido a la edad
INVALIDOS con edad X
= Población total
Sobrevivir como invalido hasta la edad
Fallecer como invalido a la edad
Luego tenemos dos estados posibles 1. 2.
Activos (se puede entender en el sentido del mercado de trabajo) Inválidos
Los cuales representan grupos de personas. Funcionan de manera separada y tienen sus propias probabilidades y por lo tanto las podemos tratar como dos poblaciones totalmente distintas.
213
BIOMETRÍA ACTUARIAL
Punto de partida
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Escenarios posibles
Sobrevivir como activo hasta la edad ACTIVOS con edad X
Son dos mundos diferentes, es decir, son dos poblaciones distintas con sus propias probabilidades
INVALIDOS con edad X
Fallecer como activo a la edad Sobrevivir como invalido hasta la edad
Decremento Múltiple Hay dos causas de eliminación Causa de eliminación 1: Ser eliminado del grupo de activos por fallecimiento. Causa de eliminación 2: Ser eliminado del grupo de activos por invalidez.
Fallecer como invalido a la edad
Sobrevivir como invalido hasta la edad
Decremento Único La causa de eliminación del grupo de inválidos es el fallecimiento. Por lo cual las probabilidades
Fallecer como invalido a la edad
214
BIOMETRÍA ACTUARIAL
Punto de partida
TEORÍA
Escenarios posibles
Sobrevivir como activo hasta la edad ACTIVOS CON EDAD X
RICARDO GABRIEL AMARILLA
+ Fallecer como activo a la edad
+ Sobrevivir como invalido hasta la edad
Donde la aa implica sobrevivir como activo entre las edades .
Donde la aa implica fallecer como activo a la edad , pero habiéndolo sido a la edad x.
Donde la ai implica ser a la edad activo y luego en algún momento volverse inválido y sobrevivir hasta la edad
+ Fallecer como invalido a la edad
=
Donde la ai implica ser a la edad activo y luego en algún momento volverse inválido y fallecer a la edad
ACTIVOS con edad X
INVALIDOS CON EDAD X
Sobrevivir como invalido hasta la edad
+ Fallecer como invalido a la edad
Donde la ii implica ser a la edad invalido y sobrevivir hasta la edad
Donde la ii implica ser a la edad invalido y fallecer a la edad
= INVALIDOS con edad X
215
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
PROBABILIDADES Punto de partida
Escenarios posibles
PROBABILIDAD DE SOBREVIVIR COMO ACTIVO HASTA LA EDAD
++ PROBABILIDAD DE FALLECER COMO ACTIVO A LA EDAD
ACTIVOS CON EDAD X
+ PROBABILIDAD DE SOBREVIVIR COMO INVALIDO HASTA LA EDAD
+ PROBABILIDAD DE FALLECER COMO INVALIDO A LA EDAD
= 1 PROBABILIDAD DE SOBREVIVIR COMO INVÁLIDO HASTA LA EDAD
INVALIDOS CON EDAD X
+ PROBABILIDAD DE FALLECER COMO INVALIDO A LA EDAD
= 1
RELACIONES ENTRE LAS SUBPOBLACIONES POBLACIÓN TOTAL A LA EDAD X
216
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
POBLACIÓN TOTAL A LA EDAD
CANTIDAD DE PERSONAS INVÁLIDAS CON VIDA A LA EDAD
CANTIDAD DE PERSONAS ACTIVAS CON VIDA A LA EDAD
Punto de partida
Escenarios posibles
CONJUNTO DE VIVOS INVÁLIDOS Proporción de activos que no se invalidan ACTIVOS CON EDAD X
Proporción de activos que se invalidan
Personas invalidas con vida a la edad que fueron activas a la edad x
Sobrevivir como invalido hasta la edad Fallecer como invalido a la edad
INVALIDOS CON EDAD X
Sobrevivir como invalido hasta la edad
Personas invalidas con vida a la edad que fueron inválidas a la edad x.
Fallecer como invalido a la edad
CONJUNTO DE MUERTE
CONJUNTO DE MUERTE DE LOS INVÁLIDOS
217
BIOMETRÍA ACTUARIAL
Punto de partida
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Escenarios posibles
Cantidad de activos de edad x que no se invalidan ACTIVOS CON EDAD X
CONJUNTO DE MUERTE DE LOS INVÁLIDOS
Personas que fueron activas a la edad x y fallecieron a la edad .
+ Cantidad de activos de edad x que se invalidan
=
INVALIDOS CON EDAD X
Fallecer como invalido a la edad
Fallecer como invalido a la edad Sobrevivir como invalido hasta la edad
Personas que fueron inválidas a la edad x y fallecieron a la edad .
Sobrevivir como invalido hasta la edad
RELACIONES DE PROBABILIDADES DE LOS ACTIVOS Se sabe que la siguiente suma es igual a 1.
PROBABILIDAD Probabilidad de que una persona de edad x activa sobreviva con independencia del estado.
CANTIDAD DE PERSONAS ACTIVAS QUE NO SE INVALIDAN ENTRE LAS EDADES
218
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Escenarios posibles
Punto de partida
Fallecer como activo a la edad
Cantidad de activos de edad x que no se invalidan ACTIVOS con edad X
Sobrevivir como activo hasta la edad Cantidad de activos de edad x que se invalidan
Cantidad de activos de edad x que no se invalidan
Sobrevivir como activo hasta la edad
+
Fallecer como activo a la edad
= ACTIVOS con edad X
ACTIVOS con edad X
PROBABILIDAD DE FALLECER Probabilidad de que una persona de edad x activa no alcance con vida la edad del estado.
con independencia
219
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Escenarios posibles
Punto de partida
Fallecer como activo a la edad Cantidad de activos de edad x que no se invalidan Grupo que sobrevive
ACTIVOS con edad X
Fallecer como invalido a la edad Cantidad de activos de edad x que se invalidan Grupo que sobrevive Cantidad de activos de edad x que no llegan con vida a la edad
Fallecer como invalido a la edad
+
Fallecer como activo a la edad
= ACTIVOS con edad X
ACTIVOS con edad X
CANTIDAD DE PERSONAS ACTIVAS DE EDAD X QUE FALLECEN CON INDEPENDENCIA DEL ESTADO ENTRE LAS EDADES
PROBABILIDAD DE QUE UNA PERSONA SE INVALIDE ENTRE LAS EDADES
CANTIDAD DE PERSONAS ACTIVAS QUE SE INVALIDAN ENTRE LAS EDADES
220
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Escenarios posibles
Punto de partida
Cantidad de activos de edad x que no se invalidan Fallecer como invalido a la edad
ACTIVOS con edad X Cantidad de activos de edad x que se invalidan
Sobrevivir como invalido hasta la edad
Cantidad de activos de edad x que se invalidan
Fallecer como invalido a la edad
Sobrevivir como invalido hasta la edad
+ = ACTIVOS con edad X
ACTIVOS con edad X
Punto de partida
Escenarios posibles
En términos relativos ACTIVOS CON EDAD X
En términos relativos
Cantidad absoluta de activos de edad x que no se invalidan
Cantidad absoluta de activos de edad x que se invalidan
RELACIONES DE PROBABILIDADES DE LOS INVÁLIDOS Se sabe que la siguiente suma es igual a 1. 221
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
RELACIÓN EN TIEMPO DISCRETO MODELO DE TRANSICIÓN DE MARCOV para tres estados Se considera que hay 3 estados 1. 2. 3.
Activo Invalido Fallecido
Sea el vector en la edad x
Donde
Y sea la matriz de probabilidades o matriz de transición
Ocurre en , es decir, que ocurre después o segundo.
Ocurre en x, es decir, ocurre primero. Esto es así porque se definió al vector horizontalmente o vector fila. Si se lo hubiera definido vector columna seria de al revés.
Donde como se vio
Sea el vector de edad
Donde
Entonces
222
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
LEY DE MARCOV
Para
Reemplazando
Para
Reemplazando
Para
Reemplazando
A partir de la población inicial es posible conocer como estaría la población dentro de 2, 3 o 4 años después. Recordando que el producto de dos matrices de Marcov genera otra matriz de Marcov. Eventualmente las matrices de transición pueden ser todas iguales o diferir completamente una de la otra. Luego para Reemplazando
Si se cumple que
Luego
La potencia de una matriz se resuelve con las técnicas de algebra. Si tomamos el siguiente limite
Converge en el largo plazo a un estado de absorción, lo cual implica que todos van a fallecer.
223
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
MODELO DE TRANSICIÓN DE MARCOV para cuatro estados Se considera que hay 4 estados 1. 2. 3. 4.
Activo Invalido Fallecido activo Fallecido inválido
Sea el vector en la edad x
Donde
Y sea la matriz de probabilidades o matriz de transición
Luego para Reemplazando
Si se cumple que
Luego
La potencia de una matriz se resuelve con las técnicas de algebra. Si tomamos el siguiente limite
Hay dos estados de absorción, uno en el cual fallecen todos los activos y otro en el cual fallecen todos los inválidos.
RELACIÓN DE VON SCHAERTLIN
224
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Donde
Que son los fallecidos a la edad el estado que lo hace.
habiendo sido activos a la edad x, pero en este caso sin importar
También tenemos que
Por lo cual
Donde
Es la probabilidad de que una persona que fue activo a la edad x fallezca a la edad causa. Si dividimos por
sin importar la
miembro a miembro obtenemos
Relación de VON SCHAERTLIN
Donde
Son las proporciones que hay a la edad x de personas activas e inválidos. En definitiva se trata de un promedio ponderado con las ponderaciones que son las proporciones mencionadas
RELACIÓN Si a la relación de VON SCHAERTLIN la multiplicamos por (-1) y sumamos 1 a ambos miembros. Obtenemos
225
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
OTRA RELACIÓN
Donde
Por lo cual
RELACIONES INTERTEMPORALES entre las edades
o 12 meses.
226
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
¿Qué pasa cuando las personas activas se invalidan?
Con
ACTIVOS
Se invalida 2 CAUSAS DE ELIMINACIÓN Invalidez: Pasa al grupo de inválidos Muerte: Pasa al grupo de fallecidos En la Tabla de Decremento Múltiple tenemos . También tenemos la Tabla de Decremento Único Asociada y por lo tanto y
Punto de partida
1 CAUSAS DE ELIMINACIÓN Muerte: Pasa al grupo de fallecidos En la Tabla de Decremento Único tenemos
Escenarios posibles en
Cantidad de activos de edad x que no se invalidan ACTIVOS con edad X
Fallecer como activo a la edad Sobrevivir como activo hasta la edad
Cantidad de activos de edad x que se invalidan
Pasan al grupo de inválidos y se vuelven un mundo a parte
Escenarios posibles en
Fallecer como invalido a la edad Sobrevivir como invalido hasta la edad
227
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Probabilidades Punto de partida
Escenarios posibles en
Cantidad de activos de edad x que no se invalidan ACTIVOS con edad X
Escenarios posibles en
Fallecer como activo a la edad Sobrevivir como activo hasta la edad
La probabilidad de que un activo de edad x se invalide
Pasan a ser tratados como inválidos con sus propias probabilidades
Stock de Activos
Probabilidad de que un inválido de edad no alcance con vida la edad
Probabilidad de que un inválido de edad sobreviva hasta la edad
Desciende por dos causas: Muerte Invalidez Los activos eliminados del grupo ACTIVOS pasan o bien al grupo INVALIDOS o al de FALLECIDOS. Hay dos tasas instantáneas de eliminación o Fuerza de Eliminación Tasa instantánea de mortalidad Tasa instantánea de invalidez.
Si suponemos que en el largo plazo hay dos estados de absorción
0
Tiempo
228
BIOMETRÍA ACTUARIAL
Stock de Inválidos
TEORÍA
Desciende por causa de: Muerte Aumenta por causa de: Invalidez de los activos Los activos eliminados del grupo ACTIVOS pasan o bien al grupo INVALIDOS o al de FALLECIDOS. Hay una tasa instantánea de eliminación o Fuerza de Eliminación Tasa instantánea de mortalidad Hay una tasa de crecimiento de los inválidos o tasa de invalidez vista con anterioridad Si suponemos que en el largo plazo hay dos estados de absorción
Supongo que
0
Esto explica porque la curva de inválidos sea decreciente.
Punto de partida
INVALIDOS con edad X
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Tiempo
Escenarios posibles en
INCREMENTO Cantidad de activos de edad x que se invalidan
Inválidos de edad x que alcanzan con vida la edad que suponemos son todos.
Probabilidad de sobrevivir hasta la edad fue activo para luego en la edad
Escenarios posibles en
Fallecer como invalido a la edad Sobrevivir como invalido hasta la edad
Fallecer como invalido a la edad Sobrevivir como invalido hasta la edad
siendo que a la edad x invalidarse
PRIMER INTERVALO
229
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Primero debe llegar partiendo de activo a la edad x hasta justo un instante antes de la edad activo
como
EN Y invalidarse a la edad
, (Y indica producto)
SEGUNDO INTERVALO Y sobrevivir como invalido hasta
Probabilidad de no alcanzar con vida la edad x fue activo para luego en la edad
siendo que a la edad invalidarse
PRIMER INTERVALO 0 Primero debe llegar partiendo de activo a la edad x hasta justo un instante antes de la edad activo
como
EN Y invalidarse a la edad
, (Y indica producto)
SEGUNDO INTERVALO Y fallecer como invalido y por lo tanto no alcanzar con vida la edad
Hay que sacar integrales claro está.
Probabilidad de llegar invalido a la edad fue activo, para luego, en la edad
, siendo que a la edad x invalidarse
230
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
PRIMER INTERVALO 0 Primero debe llegar partiendo de activo a la edad x hasta justo un instante antes de la edad activo
como
EN Y invalidarse a la edad
(Y indica producto)
SEGUNDO INTERVALO Y llegar como invalido hasta
En el intervalo 0
, esta probabilidad es igual a 1.
operan las 2 causas de eliminación por lo cual en la probabilidad
Esta implícito que se sobrevive a invalidez y muerte por lo tanto es una probabilidad total
Por lo cual tenemos que
Donde como vimos
PROBABILIDAD DE INVALIDEZ Y SUPERVIVENCIA ENTRE
PROBABILIDAD DE INVALIDEZ Y FALLECIMIENTO ENTRE
APLICANDO SUPUESTOS FRACCIONARIOS Siempre suponemos que se invalida a mitad de año o que
PROBABILIDAD DE INVALIDEZ Y SUPERVIVENCIA ENTRE Hay que hacer el supuesto de que
231
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Recordando
Luego reemplazando m
PROBABILIDAD DE INVALIDEZ Y FALLECIMIENTO ENTRE Hay que hacer el supuesto de que Recordando
Luego reemplazando m
RESULTADOS
Se puede aplicar DUF o BALDUCCI DUF
BALDUCCI
En el intervalo 0
operan las 2 causas de eliminación por lo cual aparecen probabilidades dependientes entre causas y las probabilidades independientes entre causas.
En población de activos aplicar DUE en TDUA Dos causas de eliminación Muerte Invalidez
Probabilidades dependientes
Probabilidades independientes
FORMULAS
232
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
233
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
LEYES DE MORTALIDAD La idea es generar un modelo que capte la estructura de comportamiento a lo largo del tiempo de la tasa de mortalidad y por lo tanto también del desarrollo de , es decir, de la población total ya que
Al modelizar la estructura de comportamiento de , en definitiva, también estamos analizando uno de los factores más importantes de toda población como es la mortalidad y como estamos suponiendo que no hay nuevos nacimientos o ingresos provenientes de inmigraciones, prácticamente estamos caracterizando el aspectos clave de un colectivo cerrado. En definitiva, se intenta captar la estructura de comportamiento de la población analizando sus parámetros más importantes.
Ley de Moivre Enunciado, transformación y
Si tomamos dos puntos para calcular la pendiente y la ordenada al origen
Ordenada al origen
Pendiente
Obtenemos
Demostración de
234
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Con lo cual
Demostración de
Demostración de
Demostración de
Demostración de
Derivamos
con respecto a
Luego
235
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Demostración de
Demostración de
Demostración de
236
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Demostración de
Demostración de
Donde
237
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Ley de Dormoy І Enunciado, transformación y
Con
Demostración de
Con lo cual
Demostración de
Demostración de
238
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Demostración de
Demostración de
Derivamos
con respecto a
Luego
Demostración de
Demostración de
239
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Demostración de
Demostración de
Demostración de
240
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Donde
Ley de Dormoy ІІ Enunciado
Transformación
Aplicando integrales a ambos miembros
Resolviendo
241
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Si renombramos
Para luego obtener
Demostración de
El exponente genera el valor
Por lo cual
Demostración de
Demostración de
Demostración de
Tenemos que los exponentes son iguales a
242
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Obtenemos que
Demostración de
Demostración de
Demostración de
243
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Demostración de
Para resolver la integral aplicamos trapecios generalizados y su fórmula es
Como estamos aproximando la integral nos olvidamos del término complementario Como la integral
Está en función de t y no de x como en la formula, esto nos ahorra el paso de tener que hacer esta transformación y considerando un h igual a 1.
Como
Obtenemos
Demostración de
Para resolver la integral aplicamos trapecios generalizados Como la integral
Está en función de t y no de x como en la formula, esto nos ahorra el paso de tener que hacer esta transformación y considerando un h igual a 1.
244
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Como
Obtenemos
Demostración de
Si dividimos y multiplicamos por
Si recordamos que
Luego
Reemplazando
También
245
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Por lo cual
Resolvemos la integral por trapecios generalizados
Reemplazando
Reemplazamos los verdaderos valores
Multiplicamos y dividimos por 2
Ley de Dormoy ІІ Enunciado
Transformación
Aplicando integrales a ambos miembros
Resolviendo
246
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Si renombramos
Para luego obtener
Demostración de
El exponente genera el valor
Por lo cual
Demostración de
Demostración de
Demostración de
247
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Tenemos que los exponentes son iguales a
Obtenemos que
Demostración de
Demostración de
Demostración de
248
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Demostración de
Para resolver la integral aplicamos trapecios generalizados y su fórmula es
Como estamos aproximando la integral nos olvidamos del término complementario Como la integral
Está en función de t y no de x como en la formula, esto nos ahorra el paso de tener que hacer esta transformación y considerando un h igual a 1.
Como
Obtenemos
Demostración de
Para resolver la integral aplicamos trapecios generalizados Como la integral
249
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Está en función de t y no de x como en la formula, esto nos ahorra el paso de tener que hacer esta transformación y considerando un h igual a 1.
Como
Obtenemos
Demostración de
Si dividimos y multiplicamos por
Si recordamos que
Luego
Reemplazando
250
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
También
Por lo cual
Resolvemos la integral por trapecios generalizados
Reemplazando
Reemplazamos los verdaderos valores
Multiplicamos y dividimos por 2
Ley de Gompezt Enunciado
Donde
Es la resistencia a fallecer
251
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Aplicando integrales a ambos miembros
Se obtiene
Si renombramos los siguientes términos
Obtenemos
Transformación
Aplicando integrales a ambos miembros
Resolviendo
Renombrando los siguientes términos
Luego obtenemos
Demostración de
252
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
El exponente genera el valor
Por lo cual
Demostración de
Demostración de
Demostración de
La resta de exponentes es igual a
Obtenemos que
La suma de exponentes es igual a
Demostración de
Recordando que
253
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Calculamos su derivada
Recordando que
Reemplazando
Demostración de
Demostración de
Demostración de
Para resolver la integral aplicamos trapecios generalizados y su fórmula es
254
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Como estamos aproximando la integral nos olvidamos del término complementario Como la integral
Está en función de t y no de x como en la formula, esto nos ahorra el paso de tener que hacer esta transformación y considerando un h igual a 1.
Como
Obtenemos
Demostración de
Para resolver la integral aplicamos trapecios generalizados Como la integral
Está en función de t y no de x como en la formula, esto nos ahorra el paso de tener que hacer esta transformación y considerando un h igual a 1.
255
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Como
Obtenemos
Demostración de
Si dividimos y multiplicamos por
Si recordamos que
Luego
Reemplazando
También
Por lo cual
256
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Resolvemos la integral por trapecios generalizados
Reemplazando
Reemplazamos los verdaderos valores
Multiplicamos y dividimos por 2
Ley de Makeham І Enunciado
Transformación
Aplicando integrales a ambos miembros
Resolviendo
Renombrando los siguientes términos
257
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Luego obtenemos
Otra manera de demostrar lo mismo
Resolviendo la integral
Si lo multiplicamos por -1
Luego obtenemos que
Demostración de
El exponente genera el valor
Por lo cual
Demostración de
258
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Demostración de
Demostración de
La resta de exponentes es igual a
Obtenemos que
La suma de exponentes es igual a
Demostración de
Demostración de
Se resuelve por trapecios cuya formulas es
Con h igual a 1 y obviando el termino complementario se obtiene
259
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Demostración de
Demostración de
Para resolver la integral aplicamos trapecios generalizados y su fórmula es
Como estamos aproximando la integral nos olvidamos del término complementario Como la integral
Está en función de t y no de x como en la formula, esto nos ahorra el paso de tener que hacer esta transformación y considerando un h igual a 1.
Como
Obtenemos
260
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Demostración de
Para resolver la integral aplicamos trapecios generalizados Como la integral
Está en función de t y no de x como en la formula, esto nos ahorra el paso de tener que hacer esta transformación y considerando un h igual a 1.
Como
Obtenemos
Demostración de
Si dividimos y multiplicamos por
261
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Si recordamos que
Luego
Reemplazando
También
Por lo cual
Resolvemos la integral por trapecios generalizados
Reemplazando
Reemplazamos los verdaderos valores
Multiplicamos y dividimos por 2
262
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Ley de Makeham ІІ Enunciado
Transformación
Aplicando integrales a ambos miembros
Resolviendo
Renombrando los siguientes términos
Luego obtenemos
Otra manera de demostrar lo mismo
Resolviendo la integral
Si lo multiplicamos por -1
263
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Luego obtenemos que
Demostración de
El exponente genera el valor
Por lo cual
Demostración de
Demostración de
El exponente genera el valor
Demostración de
La resta de exponentes es igual a
264
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Obtenemos que
La suma de exponentes es igual a
Demostración de
Demostración de
Se resuelve por trapecios cuya formulas es
Con h igual a 1 y obviando el termino complementario se obtiene
Demostración de
265
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Demostración de
Para resolver la integral aplicamos trapecios generalizados y su fórmula es
Como estamos aproximando la integral nos olvidamos del término complementario Como la integral
Está en función de t y no de x como en la formula, esto nos ahorra el paso de tener que hacer esta transformación y considerando un h igual a 1.
Como
Obtenemos
Demostración de
Para resolver la integral aplicamos trapecios generalizados
266
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Como la integral
Está en función de t y no de x como en la formula, esto nos ahorra el paso de tener que hacer esta transformación y considerando un h igual a 1.
Como
Obtenemos
Demostración de
Si dividimos y multiplicamos por
Si recordamos que
Luego
267
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Reemplazando
También
Por lo cual
Resolvemos la integral por trapecios generalizados
Reemplazando
Reemplazamos los verdaderos valores
Multiplicamos y dividimos por 2
Ley de Lazarus Enunciado
Transformación
268
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Aplicando integrales a ambos miembros
Resolviendo
Renombrando los siguientes términos
Luego obtenemos
Otra manera de demostrar lo mismo
Resolviendo la integral
Si lo multiplicamos por -1
Luego obtenemos que
Demostración de
269
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
El exponente genera el valor
Por lo cual
Demostración de
Demostración de
Demostración de
La resta de exponentes es igual a
Obtenemos que
La suma de exponentes es igual a
270
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Demostración de
Demostración de
Se resuelve por trapecios cuya formulas es
Con h igual a 1 y obviando el termino complementario se obtiene
Demostración de
Demostración de
Para resolver la integral aplicamos trapecios generalizados y su fórmula es
Como estamos aproximando la integral nos olvidamos del término complementario Como la integral
271
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Está en función de t y no de x como en la formula, esto nos ahorra el paso de tener que hacer esta transformación y considerando un h igual a 1.
Como
Obtenemos
Demostración de
Para resolver la integral aplicamos trapecios generalizados Como la integral
Está en función de t y no de x como en la formula, esto nos ahorra el paso de tener que hacer esta transformación y considerando un h igual a 1.
Como
Obtenemos
272
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Demostración de
Si dividimos y multiplicamos por
Si recordamos que
Luego
Reemplazando
También
Por lo cual
Resolvemos la integral por trapecios generalizados
273
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Reemplazando
Reemplazamos los verdaderos valores
Multiplicamos y dividimos por 2
Ley de Sang Enunciado
Transformación y Tomamos
y reemplazamos en la ecuación
Demostración de
274
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Demostración de
Demostración de
Demostración de
Demostración de
Recordando que
Calculamos su derivada
275
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Demostración de
Demostración de
Demostración de
276
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Demostración de
Demostración de
Si dividimos y multiplicamos por
Si recordamos que
Luego
Reemplazando
También
277
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Por lo cual
Resolvemos la integral por trapecios generalizados
Reemplazando
Multiplicamos y dividimos por 2
Reemplazamos los verdaderos valores
Ley de Weirbull Enunciado
Transformación y
Aplicando integrales a ambos miembros
278
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Resolviendo
Renombrando los siguientes términos
Luego obtenemos
Demostración de
La resta de exponentes es igual a
Demostración de
Demostración de
Demostración de
279
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
280
De Moivre Enunciado Transformación
Dormoy І Con
Dormoy ІІ
Dormoy ІІ
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
Makeham І
Gompezt Enunciado
RICARDO GABRIEL AMARILLA
con
Transformación
282
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
Makeham ІІ
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Lazarus
Enunciado Transformación
283
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
Sang
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Weirbull
Enunciado Transformación
284
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
TABLAS DE ENVEJECIMIENTO UNIFORME LEYES DORMOY І DORMOY ІІ
EDADES A TOMAR
EDAD SUSTITUTA U u=cualquier constante
con
GOMPEZT MAKEHAM І LEYES MAKEHAM ІІ
GRUPO DE EDADES A TOMAR Dos grupos
LAZARUS
Dos grupos
EDAD SUSTITUTA
y
LEYES DORMOY І DORMOY ІІ GOMPEZT MAKEHAM І LEYES MAKEHAM ІІ LAZARUS
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INFERENCIA ESTADÍSTICA Se buscan hallar estimadores de las siguientes funciones biométricas:
Tasa instantánea de mortalidad Función de Distribución Función de densidad en tiempo continuo o función de probabilidad en tiempo discreto
A partir de los datos muéstrales, es decir, de la información que nos brindan, extraer estimaciones de las funciones biométricas.
ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Y LA FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA DEL TIEMPO DE VIDA OBJETIVO A partir de los datos observados que se obtienen de una muestra, el objetivo es estimar la función de distribución
Por ende también de la función de supervivencia
Para la variable aleatoria “tiempo de vida”
.
Por lo cual obtenemos los estimadores de tales funciones que no son otra cosa que variables aleatorias, por lo cual deseamos conocer las propiedades estadísticas de las estimaciones que hemos realizado, como la esperanza, la varianza y como así también realizar intervalos de confianza.
PRIMER ASPECTO: Métodos de estimación Tenemos básicamente tres métodos de estimación. 1. 2. 3.
No paramétrico Paramétrico Semiparamétrico, el cual, es una combinación de 1 y 2.
NO PARAMETRICA Se trata de extraer de la muestra una estimación empírica de la función de distribución, sin la necesidad de conocer la familia de función de distribución de donde proviene la variable aleatoria de interés, y por lo tanto, sin la necesidad de estimar parámetros de tal distribución. Hay dos tipos de métodos de estimación no paramétrica.
KAPLAN-MEIER NELSON AALEN
PARAMETRICA
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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El problema consiste en obtener los parámetros de la función de distribución en los cuales esta resumida toda la información, es decir, que la información que obtengamos de la muestra se va a ver reflejada en los parámetros. Para ello es necesario hacer un supuesto previo del comportamiento de la función de distribución, es decir, que no hay desconocimiento de la familia de función de distribución de donde proviene la variable aleatoria de interés lo que se desconoce son los parámetros poblacionales. Entre las más usuales se puede nombrar
Exponencial Gompertz Makeham Weirbull EJEMPLO
Por Makeham sabemos que
Si obtenemos los valores A, B y C obtenemos el valor de la tasa de mortalidad y con ello
y
SEMIPARAMETRICA Una parte es paramétrica y otra no paramétrica. El modelo más representativo es el de Cox “Modelo de tasas proporcionales”. La idea es lograr una inferencia de la función de distribución cuando la población no es homogénea. Se establecen valores a la población respecto de un grupo base de comparación Luego trabajaremos en detalle cada modelo la idea es solo dar una idea intuitiva de lo que se va a hacer a lo largo de la segunda parte de la materia.
SEGUNDO ASPECTO: La manera en que se presenta la información a) Información completa b) Información incompleta
INFORMACIÓN COMPLETA Si estudiamos la mortalidad de un grupo de recién nacidos hasta el momento que no queda nadie con vida, estamos haciendo un análisis longitudinal, en este caso, tenemos información completa. Lo cual es poco probable que ocurra en la realidad, porque, si analizamos la mortalidad del grupo y la idea es obtener patrones de esa población para luego aplicarlo a un modelo y tomar decisiones en base al mismo, pero, los patrones de mortalidad cambian todo el tiempo, no es estática, por el contrario es dinámica en el tiempo y por lo tanto se generan cambios estructurales. Esto último genera la necesidad de realizar, cada determinado periodo de tiempo, una actualización de nuestras conclusiones a través de nuevas investigaciones sobre la mortalidad de tal población, tal como ocurre con un censo. Tampoco es posible seguir a todos y cada unos de las personas que estoy observando ya que eventualmente podría cambiar de zona en donde reside y podría perder su rastro y en ese caso no tengo información completa. Tampoco es posible hacer un seguimiento hasta el fallecimiento de la última persona por lo cual quizá deba tomar un plazo no muy largo de observación. También las personas se cansan de que les hagan encuestas y podrían eventualmente decidir retirase, tampoco hay que olvidar lo costoso de trabajar con la población total.
INFORMACIÓN INCOMPLETA 287
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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Cuando nos falta algo de información del grupo de recién nacidos. Este caso es el más común. La serie de limitaciones nombradas tanto económicas, como naturales y sociales genera la necesidad de hacer un PLAN OBSERVACIONAL que implica responder a la pregunta: ¿Cómo organizo mi estudio? En otras palabras lo que se busca es organizar el estudio muestral para hacerlo lo más eficiente que se pueda. En el plan observacional se incluyen entre otros temas
Fecha de inicio y de finalización de la observación. Que se incluye en el estudio que se quiere realizar
Dependiendo del plan observacional se tendrá información completa o incompleta, este último es lo más habitual como mencionamos arriba.
FORMAS DE INFORMACIÓN INCOMPLETA Para un mejor entendimiento de los conceptos, se dará un enunciado de un estudio y nos basaremos sobre el mismo para realizar las explicaciones.
ENUNCIADO Sean un grupo de personas sometidas a una operación. El estudio que se pretende realizar comprende un periodo de duración tres años calendario. Lo que se pretende con la realización del estudio es determinar la eficacia de la operación analizando el tiempo que transcurre desde la operación hasta el fallecimiento por causas quirúrgicas. Tenemos dos características importantes que mencionar del enunciado que realizamos
Para la agrupación no importa la fecha en que fueron operadas las personas, una persona pudo operarse hace tres meses y otra hace seis meses, sólo importa el momento en que fallecen y la causa. El único criterio de agrupación es que estén operados. Si el evento en este caso fallecer que interesa no se produjo dentro de los tres años, el mismo ocurrirá después de que se deje de observar a la persona en cuestión , pero, hay que diferenciar entre hacerlo por causa de la operación quirúrgica de que ocurra por otra, por ejemplo, un accidente.
OBJETIVO DEL ESTUDIO DE INVESTIGACIÓN Siempre hay un objetivo de fondo en todo estudio de investigación que se realice, para lograr alcanzar tal objetivo es necesario un insumo muy importante, la variable aleatoria del evento de interés que del análisis de sus propiedades estadísticas surgen algunas respuestas a las preguntas que iniciaron el estudio. Hay un evento que le interesa al analista que está asociado al objetivo de la investigación y a través del cual se buscará generar repuestas al problema que hay de fondo En nuestro enunciado el objetivo del estudio es determinar la eficacia de las operaciones.
VARIABLE ALEATORIA EVENTO DE INTERÉS O RIESGO DE INTERÉS En todo estudio investigación hay un evento de interés que es una variable aleatoria, es aleatoria en dos dimensiones, tanto en la cantidad que ocurra de tal evento en un momento fijo del tiempo, como el momento del tiempo en que ocurrirá tal evento, siempre dentro del periodo de observación. En nuestro enunciado el evento de interés es el fallecimiento por causas quirúrgicas. Una persona puede eventualmente fallecer por otras causas distintas a las quirúrgicas, por ejemplo un accidente de auto, pero, esos riesgos competitivos no son de nuestro interés.
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BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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Por lo dicho hay que tener en cuenta dos dimensiones del evento de interés TIEMPO Momento del tiempo dentro del plan observacional (3 años) en que se produjo el evento de interés CANTIDAD Número de integrantes de nuestro grupo de observación que fue afectada por el evento de interés en ese momento del tiempo
GRUPO DE OBSERVACIÓN O EXPUESTOS AL RIESGO DE INTERÉS Es el grupo de personas que se observará y analizará a lo largo de todo el periodo de observación. Es el grupo de personas que está expuesta a sufrir el riesgo de que le ocurra el evento de interés, como así también otros riesgos competitivos
PERIODO DE OBSERVACIÓN O DURACIÓN DEL ESTUDIO DE INVESTIGACIÓN Es el periodo de tiempo en que se observa al grupo de observación Cuenta con las siguientes partes FECHA DE INICIALIZACIÓN DEL ESTUDIO DE INVESTIGACIÓN En nuestro enunciado desde el momento de la operación FECHA DE FINALIZACIÓN DEL ESTUDIO DE INVESTIGACIÓN Puede ser de dos maneras
Determinístico o programada desde el inicio del estudio Ser aleatoria, es decir, hasta que se cumpla una condición o que le ocurra el evento de interés hasta el último integrante del grupo de interés.
MOTIVOS POR LOS CUALES UN INTEGRANTE DEL GRUPO DE OBSERVACIÓN ES DEJADO DE OBSERVAR Hay tres motivos por los cuales una persona es dejada de observar
Alcanza la fecha límite de observación impuesta por el investigador o fecha de finalización del estudio. Ocurre el evento de interés o el fallecimiento de la persona i La persona decide retirarse del estudio
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BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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CENSURAS Y TRUNCAMIENTOS NO INFORMATIVA ALEATORIA INFORMATIVA CENSURA POR LA DERECHA
CENSURA
TIPO І NO ALEATORIA TIPO ІІ
CENSURA POR LA IZQUIERDA
TRUNCAMIENTO POR LA DERECHA
TRUNCAMIENTO
TRUNCAMIENTO POR LA IZQUIERDA
CENSURA Una observación esta censurada cuando sólo contiene información parcial sobre la variable a estudiar. La censura no debería confundirse con el concepto relacionado de truncamiento. Con censura, se sabe que las observaciones censuradas superan cierto umbral (o están en cierto intervalo) y esa información parcial puede usarse a la hora de modelar estadísticamente el fenómeno. Con el truncamiento, las observaciones se descartan enteramente.
SIN APLICAR UNA FECHA LIMITE AL ESTUDIO DE INVESTIGACIÓN Si tenemos 4 personas de edad x a los cuales les ocurre el evento de interés en el momento del tiempo . Luego, tenemos el siguiente gráfico
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BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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DURACIÓN O TIEMPO DE VIDA DE CADA PERSONA
INICIO DEL PROCESO
LOS DATOS QUE SE UTILIZAN E INTERESAN SON LAS DURACIONES DE CADA PERSONA
EJE DE TIEMPO
Si nosotros contáramos con información completa y pudiéramos a cada una de las personas darle un seguimiento personalizado, luego, sabríamos exactamente en qué momento del tiempo ocurrió el evento de interés. Desde luego, esto en la realidad es de difícil aplicación.
CON UNA FECHA LIMITE AL ESTUDIO DE INVESTIGACIÓN
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BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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DURACIÓN O TIEMPO DE VIDA DE CADA PERSONA
INICIO DEL PROCESO
FECHA LÍMITE
EJE DE TIEMPO
LOS DATOS QUE SE UTILIZAN E INTERESAN SON LAS DURACIONES . PERO NO PODEMOS OBSERVAR EL MOMENTO EN QUE LE OCURRE EL EVENTO DE INTERES A LA PERSONA 3 . SÓLO SE CONOCE QUE
Podemos determinar el momento del tiempo en el que le ocurre el evento de interés a las personas 1, 2, y 4, pero, a la persona 3 no lo vamos a poder porque la dejamos de observar en por lo cual no contamos con información completa.
RETIRO DE UNA PERSONA DE LA MUESTRA POR LA ACTUACIÓN DE UN RIESGO COMPETITIVO AL DE INTERÉS
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BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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DURACIÓN O TIEMPO DE VIDA DE CADA PERSONA MOMENTO EN QUE LA PERSONA 4 ES RETIRADA DE LA MUESTRA POR LA ACTUACIÓN DE UN RIESGO QUE COMPITE CON EL DE INTERÉS
INICIO DEL PROCESO
MOMENTO DEL RETIRO
FECHA LÍMITE
EJE DE TIEMPO
LOS DATOS QUE SE UTILIZAN E INTERESAN SON LAS DURACIONES PERO NO PODEMOS OBSERVAR EL MOMENTO EN QUE LE OCURRE EL EVENTO DE INTERES A LA PERSONA 3 NI EL DE LA PERSONA 4 . SÓLO SE CONOCE QUE
Agregamos el hecho de que una persona deje de ser observada ya no por motivo de que termino el plazo de observación, sino por la actuación de una causa distinta al evento de interés y esto ocurre dentro del intervalo de duración del estudio. Por lo cual no se conocerá con certeza el momento exacto en que le ocurre el evento de interés a la persona 4 y sólo el momento en que se dejó de observarla
TIPOS DE CENSURA CENSURA POR DERECHA La falta de información está a la derecha de un determinado momento del tiempo , lo cual implica que la única información que tenemos del evento de interés para un individuo en particular es que
En palabras, que el momento exacto en que ocurre el evento de interés es desconocido pero se sabe que es mayor a cierto valor o momento de censura.
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BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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CENSURA POR LA DERECHA
PARTE DE LA DERECHA NO OBSERVADA DE LA PERSONA 3
FECHA LÍMITE
INICIO DEL PROCESO
EJE DE TIEMPO
EJEMPLO DE LA ECONOMÍA VARIABLE ALEATORIA DE INTERÉS Momento del tiempo en que la persona consigue un empleo La duración del desempleo suele obtenerse de encuestas que preguntan a los desempleados cuanto tiempo llevan desempleadas. Al no conocerse el tiempo adicional que van a permanecer sin trabajo, solo se sabe su duración censurada El tiempo real que permanece desempleado la persona es superior al que el entrevistado indica en la encuesta. Si una persona dice que lleva desempleada 3 meses, su tiempo que permanecerá desempleado será
INFORMATIVA ALEATORIA NO INFORMATIVA CENSURA POR LA DERECHA TIPO І NO ALEATORIA TIPO ІІ
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BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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La censura por la derecha es retirarse de la muestra o dejar de observar a una persona por un motivo ajeno al evento de interés. Si una persona se retira del grupo de observación del investigador deja de brindar información. Hay que tener en cuenta dos dimensiones de la censura TIEMPO Momento del tiempo dentro del plan observacional (3 años) en que se produjo la censura CANTIDAD Número de censurados en ese momento del tiempo Tenemos las siguientes posibilidades
Concepto Tiempo en que se produjo la censura Número de censurados
CENSURA POR DERECHA
CENSURA POR LA DERECHA Tipo І Deterministico
Tipo ІІ Aleatorio
Aleatorio
Deterministico
Momento del tiempo dentro del plan observacional (3 años) en que se produjo la censura Se conoce el momento del Deterministico tiempo en que ocurre la censura No se conoce el momento del Aleatorio tiempo en que ocurre la censura
CENSURA DE TIPO І
CENSURA DE TIPO І: TIEMPO DETERMINISTICO Y CANTIDAD DE CENSURADOS ALEATORIO
En la fecha planificada de finalización de la observación
Durante momentos planificados intermedios de tiempo del periodo de observación
Del grupo de observación de inicio sobran personas que no sufrieron el evento de interés durante el periodo de observación. Estos son también censurados
No hay censurados intermedios
Del grupo de observación de inicio no hay personas que no haya sufrido el evento de interés durante el periodo de observación
Hay censurados intermedios
No hay censurados intermedios INFORMACIÓN COMPLETA DEL GRUPO DE OBSERVACIÓN DE INICIO Hay censurados intermedios INFORMACIÓN INCOMPLETA DEL GRUPO DE OBSERVACIÓN DE INICIO
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BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
CENSURA TIPO І Pura
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CENSURAS Sólo hay censurados al final del plazo de observación Cuando las censuras ocurren a lo largo del tiempo de observación
Impura
Es importante notar que siempre es conocido el momento en que ocurre la censura, están programadas desde el inicio del estudio tanto las intermedias como así también la fecha de finalización del estudio. Lo que desconocemos es la cantidad de censurados que habrá como dijimos más arriba.
CENSURA DE TIPO ІІ Lo que caracteriza este tipo de censura es que el tiempo de censura es aleatorio y la cantidad de censurados es deterministico. Las observaciones continúan hasta que un número predeterminado de eventos hayan ocurrido. EJEMPLO Sean 10.000 lamparitas que se desea medir su durabilidad para lo cual se realiza un estudio que intenta determinar si es aceptable la calidad del producto. Por lo cual sin colocar una fecha de finalización del estudio se las enciende todas, es decir, que el tiempo es aleatorio, pero el estudio se detiene si 1.000 lamparitas se apagan o queman por lo cual tenemos 9.000 lamparitas censuradas, esto implica que el numero de censurados es fijo o conocido de antemano y el momento en que ocurren tales censuras es aleatorio. El estudio se realiza de esta manera por una cuestión de costos. Luego tenemos CENSURA POR DERECHA
CENSURA TIPO І CENSURA TIPO ІІ
Sé cuando, no sé cuantos No sé cuándo, sé cuantos
CENSURA ALEATORIA El momento del tiempo en que una persona es censurada es una variable aleatoria. Si una persona se aleja del grupo de observación por decisión propia, por ejemplo, o por un motivo ajeno al evento de interés en cualquier momento durante el plazo de observación. Un ejemplo podría ser porque se mudo a otro país. La fecha en que ocurre esto no la conoce con antelación el investigador. Esto implica que no es consecuencias del final del plan de observación. Es clave comprender que el motivo de alejamiento es independiente del evento de interés y del plan de observación.
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BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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CENSURA POR LA DERECHA Y ALEATORIA PERIODO DE DURACIÓN DEL ESTUDIO DE INVESTIGACIÓN
Inicio del periodo de observación
Momento del tiempo en donde la persona i es censurada
Final del periodo de observación
El momento del tiempo en que ocurre la censura es aleatorio o no se conoce con antelación.
CENSURA NO ALEATORIA El tiempo en que una persona es censurada no es una variable aleatoria y el motivo de alejamiento es independiente del evento de interés y del plan de observación.
CENSURA POR LA DERECHA Y NO ALEATORIA PERIODO DE DURACIÓN DEL ESTUDIO DE INVESTIGACIÓN
Inicio del periodo de observación
Momento del tiempo en donde la persona i es censurada
Final del periodo de observación
El momento del tiempo en que ocurre la censura está programado y es conocido desde inicio de la observación
CENSURA POR LA IZQUIERDA Una persona es censurada si se conoce que el evento de interés se produjo antes del inicio de la observación de los datos . El momento exacto en el que ocurrió el evento de interés es desconocido, sabiendo tan sólo que ha ocurrido antes de que el individuo se incluya en el estudio.
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BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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CENSURA POR LA IZQUIERDA
MOMENTO DEL TIEMPO EN DONDE LE OCURRE EL EVENTO DE INTERES A LA PERSONA QUE ES DESCONOCIDO
MOMENTO DEL TIEMPO EN DONDE SE COMIENZA A OBSERVAR A LA PERSONA Y SE LA INCORPORA AL GRUPO DE OBSERCIÓN
SE TIENE FALTA DE INFORMACIÓN DE LA LONGITUD DE ESTE INTERVALO. SÓLO SE CONOCE QUE
INICIO DEL PROCESO
EJE DE TIEMPO
EJEMPLO Se realiza un estudio que intenta analizar la intensidad o fuerza con que golpea una determinada enfermedad para lo cual se busca medir el tiempo que transcurre desde el cual una persona obtiene una determinada enfermedad hasta que fallece por causa de la misma. Para lo cual se realiza un estudio a un grupo de personas al inicio de cada año. En el año 1 Se realiza a una persona el estudio médico y no se detecta ninguna enfermedad 1 año después....... A la misma persona (podría ser otra también) se le realiza el mismo estudio médico y se le detecta la enfermedad. Luego, a partir de este momento esta persona entra al grupo de personas que forman parte del estudio de investigación para determinar la fuerza de la enfermedad Pero el problema es que entre el año 1 y año 2 sabemos con certeza que la persona obtuvo la enfermedad pero no sabemos cuándo. El evento de interés ocurrió antes del comienzo de la observación de los datos, es decir, por la izquierda.
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BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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LAPSO DE TIEMPO DEL CUAL NO SE TIENE CONOCIMIENTO
OCURRE EL EVENTO DE INTERES EN ESTE CASO OBTENER LA ENFERMEDAD. Esta fecha es incierta
INICIO DE LAS OBSERVACIÓN DE LOS DATOS
FINAL DE LAS OBSERVACIÓN DE LOS DATOS
MOMENTO DEL TIEMPO EN SE LE DECLARA LA ENFERMEDAD
Las personas que se debían tenerse en cuenta en la realidad no se las incluyeron por un problema de falta de información. Es importante para el objetivo de del estudio, que ni bien una persona contraiga la enfermedad se la incluya en el grupo de observación y de esta manera poder precisar con más precisión la intensidad de la enfermedad, es decir, en el sentido del tiempo que necesita la enfermedad para producir el deceso de la persona desde que esta la contrajo. Pero los problemas de información generan que se las comience a observar desde el momento del diagnostico.
CENSURA POR INTERVALOS Sólo se conoce que el evento de interés se produjo dentro de un intervalo de tiempo, pero, no se sabe cuando Como en el ejemplo anterior que vimos antes se sabe que la enfermedad se produjo entre el año 1 y el año 2, pero, no se sabe cuándo. Luego Es un tipo de caso que generaliza la censura por la derecha y por la izquierda.
EJEMPLO Una investigación actuarial en donde sólo se conoce el año calendario del fallecimiento pero no el momento exacto en donde ocurrió el deceso.
ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA PRIMER ACERCAMIENTO AL TEMA Hay dos entornos en donde estimar la función de supervivencia
INFORMACIÓN COMPLETA INFORMACIÓN INCOMPLETA
Al existir problemas de información incompleta, es decir, cuando hay censura para estimar la función de supervivencia hay que tener en cuenta que
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BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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Si hay censura las técnicas descriptivas básicas no van a servir. No podremos realizar histogramas si no conocemos la longitud final de las observaciones. Usaremos el estimador de producto límite de KAPLAN-MEIERS y NELSON AALEN
Con información completa se utilizan las técnicas de la estadística descriptivas
TRUNCAMIENTO Surgen cuando una condición oculta a ciertas personas, por lo que el investigador no conoce de su existencia. Sólo son observadas las personas que experimentaron un determinado evento, que podría ser una condición que debería ocurrir antes del evento de interés.
IMPACTO El principal impacto en el análisis de los datos truncados es la necesidad de utilizar distribuciones condicionales en la construcción de la función de verosimilitud.
TIPOS DE TRUNCAMIENTOS TRUNCAMIENTO POR IZQUIERDA Las personas ingresan al estudio a edades aleatorias en el momento del tiempo Y dentro del plazo de observación.
TIEMPO VARIABLE ALEATORIA Y Momento del ingreso tardío VARIABLE ALEATORIA Momento del tiempo en que ocurre el evento de interés Luego, sólo se observan a los individuos con
Pero si
Luego no es posible la observación
CANTIDAD VARIABLE ALEATORIA CANTIDAD-INGRESO TARDIO Cantidad de personas que ingresan tardíamente en un momento del tiempo VARIABLE ALEATORIA CANTIDAD-EVENTO DE INTERES Cantidad de personas que son afectadas por el evento de interés en un momento del tiempo La observación de los mismos se realiza hasta que se produce el evento de interés o hasta que sean censurados. Cada vez que se incorpora nuevas personas al grupo de observación o INGRESO TARDIO
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BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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estamos frente a información condicional a que el tiempo transcurrió y la persona sobrevivió hasta el momento del ingreso al grupo en observación. No se incluye a aquellos que han sufrido el evento de interés
TRUNCAMIENTO POR LA IZQUIERDA Es información condicional a haber sobrevivido hasta el momento de ingreso al grupo de observación
Inicio del periodo de observación
Momento del tiempo Y en donde la persona i ingresa al grupo de observación INGRESO TARDIÓ
Final del periodo de observación
La persona i no es incluida en el grupo de observación ya que hay una condición que la excluye
EJEMPLO 1 Se intenta analizar la efectividad de una operación contra el cáncer, en el sentido de años de vida vividos por la persona luego de la operación o los años de vida que le agrega tal operación. Para lo cual se realiza un estudio que impone la siguiente condición CONDICIÓN Pertenecer a una determinada zona Las personas fueron operadas el año en que inicio la observación. Luego VARIABLE ALEATORIA DE INTERÉS Momento del tiempo en que ocurre el deceso de la persona observada GRUPO EN OBSEVACIÓN Grupo de personas que vive en la zona de observación y fue operada. Cada vez que una persona que fue operada al inicio de la observación se muda a la zona de observación ingresa al grupo de observación
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BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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TOTAL DE PACIENTES CON CANCER DE TODAS LAS ZONAS QUE SE HAN OPERADO EN EL AÑO DEL INICIO DE LA OBSERVACIÓN
GRUPO DE PERSONAS CON CANCER QUE SE HAN OPERADO Y VIVEN EN LA ZONA DE OBSERVACIÓN
TRUNCAMIENTO POR LA IZQUIERDA Es información condicional a haber sobrevivido hasta el momento de ingreso al grupo de observación
Inicio del periodo de observación
Momento del tiempo en donde la persona i se muda a la zona de observación e ingresa al grupo de observación INGRESO TARDIÓ
Final del periodo de observación
Momento en que la persona i se opera pero no vive en la zona de observación y por lo tanto no es tenido en cuenta para formar parte del grupo en observación
Para resolver este ejercicio debemos estimar la función de supervivencia empírica, en base a una muestra, para lo cual es necesario tener en cuenta que estamos frente a información condicional. El momento en que ocurre el ingreso tardío es desconocido a priori por lo tanto es una variable aleatoria como así también la cantidad de personas que ingresan. Tenemos un GRUPO DE OBSERVACIÓN muy dinámico y cambiante.
EJEMPLO 2 El análisis de mortalidad de un centro de jubilados de una determinada localidad excluye a quienes fallecieron antes de la edad que les permite ingresar a dicho centro, por lo que están fuera del conocimiento del investigador.
302
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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TRUNCAMIENTO POR DERECHA Sólo los individuos que han experimentado el evento de interés son incluidos en el grupo de observación
EJEMPLO 1 Estudios de mortalidad basados sólo en fallecidos; no se observan a quienes todavía les resta experimentar el evento.
EJEMPLO 2 Sólo se observan pacientes con SIDA que han sido infectados y desarrollaran la enfermedad, pero las personas infectadas que no desarrollarán la enfermedad no se conocen y por lo tanto no se incluyen en la muestra
ANALISIS DE TIEMPO DISCRETO En primer lugar realizaremos una tabla que nos ayude a entender las deducciones TIEMPO EN QUE OCURRE EL EVENTO DE INTER’ES
Evento de interés FALLECIMIENTO
CENSURA
NÚMERO DE EXPUESTOS AL RIESGO
0 1
2
3 4 5
TOTAL
Como podemos apreciar de observar la tabla
Como así también que pueden más de un fallecimiento en cada momento del tiempo , esto es lo que nos dice
303
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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PROBABILIDAD PUNTUAL DE QUE OCURRA UN SÓLO FALLECIMIENTO EN EL MOMENTO
PROBABILIDAD ACUMULADA DE FALLECIMIENTO EN EL INTERVALO
PROBABILIDAD DESACUMULADA DE FALLECIMIENTO EN EL INTERVALO
TASA INSTANTANÉA DE MORTALIDAD EN TIEMPO DISCRETO
Donde gorro a j
, nos está diciendo un instante antes de . Como vemos le hemos puesto una raya como
RESULTADO FINAL
Es necesario explicar por aparece
en la formula. Con un ejemplo se entenderá
Como vemos le hemos puesto una raya como gorro al 4 Luego
Esto ocurre porque como vemos en el siguiente grafico
304
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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SE MANTIENE CONSTANTE
1 0,8 0,6 0,4
0,2
SUPUESTOS
La población está constituida por N personas Se observan fallecimientos, por lo tanto, El tiempo en que se produce cada fallecimiento esta ordenado Ocurren fallecimientos en el momento con , como dijimos pueden ocurrir más de un fallecimiento en cada momento. Número de personas censuradas en total es igual a La cantidad de personas son censuradas entre los momentos con , donde . Con lo cual pueden ocurrir más de una censura en cada intervalo de tiempo. Por lo tanto Las observaciones se censuran en los momentos esto porque pueden ocurrir
más de un censura en un mismo momento Se define como el número de personas con vida y sujetas a riesgo en el momento
FUNCIÓN DE VEROSIMILITUD OBSERVACIONES CENSURADAS Se asume que la censura es no informativa LA PROBABILIDAD DE QUE UNA PERSONA SOBREVIVA HASTA EL MOMENTO EN QUE ES CENSURADA EN EL MOMENTO
EN UN MOMENTO FIJO DEL TIEMPO EN QUE OCURRE EL EVENTO DE INTERÉS
305
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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Luego armamos la función de verosimilitud, si observamos la tabla en una fila cualquiera vemos que hay en un momento cualquiera, fallecimientos y censuras por lo cual
ESTIMADORES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD 1.
Se debe encontrar la función que maximiza la función de verosimilitud. La función es una función de distribución, por lo que no es decreciente. Entonces, para perteneciente al intervalo
,
será maximizado si
; es decir, si el estimador de
máxima verosimilitud de
se mantiene constante en
.
2.
Se cumple que
, si no, la verosimilitud seria igual a cero.
3.
La estimación de máxima verosimilitud de fecha en la que se produce un fallecimiento.
es una función que presenta saltos en cada
EN TODO EL INTERVALO DE TIEMPO Obtenemos la verosimilitud total si consideramos todo el intervalo que desde variar la variable , por lo tanto
o hacemos
Donde
Por lo tanto
Como vemos
Multiplicamos y dividimos por
Como vemos
También
306
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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Luego
Donde
Por lo tanto
Multiplicamos y dividimos por
y si tenemos en cuenta que
Esto nos lleva a
Donde
Si cancelamos obtenemos
Donde
Por lo tanto
307
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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Luego
Multiplicamos y dividimos por
Donde
Si recordamos que se había definido a los como el número de personas con vida y sujetas a riesgo en el momento , luego, los son el número de personas con vida y sujetas a riesgo en el momento , por lo tanto
Porque las personas expuestas al riesgo
sobreviven hasta
. También
Por lo tanto
PASOS PARA CALCULAR EL ESTIMADOR MÁXIMO VEROSIMIL
1. 2.
Hacer el Calcular la derivada primera
3.
Igualar a cero la derivada primera
Aplicamos logaritmo natural
308
BIOMETRÍA ACTUARIAL
Derivamos con respecto a uno de los tanto
TEORÍA
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que hay por lo tanto el resto de los términos se anulan
Igualamos a cero la derivada
Donde la ultima proporción es el análogo empírica de la probabilidad puntual de que ocurra un sólo fallecimiento
Recordando que la probabilidad puntual de que ocurra un sólo fallecimiento en el momento
es igual a
ESTIMADOR El estimador es una variable aleatoria que tiene un dominio asociado y una distribución de probabilidad asociada y cuenta con las medidas, entre otras
ESTIMACIÓN 309
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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Hay que diferenciar entre la variable aleatoria y su realización . O entre el ESTIMADOR y la ESTIMACIÓN. Esta última es el valor que se obtiene de aplicar la formula. Como la estimación de máxima verosimilitud se basa sobre una muestra determinada y de esta manera obtenemos una realización de la variable aleatoria , del mismo modo si tomáramos otra muestra del mismo tamaño obtendríamos otra realización de la variable aleatoria.
ESTIMACIÓN POR EL LÍMITE DE UN PRODUCTO O POR KAPLAN-MEIER Tenemos que
Es la probabilidad de que un persona sobreviva hasta
estando con vida un instante antes de
Por lo tanto
Donde
Por lo tanto
Donde
Por lo tanto
Donde
Por lo tanto
GENERALIZACIÓN DE KAPLAN-MEIER
310
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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Donde
También
PROPIEDAD DE LOS ESTIMADORES MÁXIMOS VEROSIMILES Una función de un ESTIMADOR MÁXIMO VEROSIMIL también es un ESTIMADOR MÁXIMO VEROSIMIL.
ESTIMADOR DE LA FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA DE KAPLAN-MEIER
GRÁFICO DE LA FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA ESTIMADA
1 0,8 0,6 0,4
0,2
311
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
DEDUCCIÓN DE LA VARIANZA DEL ESTIMADOR DE KAPLAN-MEIER SUPONIENDO QUE LA DISTRIBUCIÓN DEL NÚMERO DE FALLECIDOS ES BINOMIAL ESTIMADOR DE KAPLAN MEIER
Donde
PROPIEDAD IMPORTANTE DE RECORDAR La varianza de una función es igual a
Aplicamos logaritmo natural al estimador de KAPLAN MEIER
Luego
También hay que tener en cuenta
Por propiedad de la suma de varianzas de variable aleatoria independientes como es el supuesto que hacemos
Si aplicamos la propiedad que mencionamos arriba a
Reemplazamos
Luego por propiedad de las varianzas
312
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Donde
Donde
Con varianza igual a
Por lo tanto
Donde
Reemplazando
Si cancelamos
Reemplazando nuevamente
Donde
Despejamos de la ecuación
Por lo tanto obtenemos la FORMULA DE GREENWOOD
313
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Por lo cual
ESTIMADOR DE NELSON AALEN Tenemos que en tiempo continuo
Su análogo en tiempo discreto es
Ya que nuestra intención es hallar el estimador de la función de SUPERVIVENCIA.
TASA DE RIESGO INTEGRADA
La cual es la acumulada de la tasa de mortalidad discreta
. Por lo tanto
ESTIMADOR DE NELSON AALEN
Por la propiedad que mencionamos se tratan también de ESTIMADORES DE MÁXIMO VEROSIMILITUD porque son función de la TASA DE MORTALIDAD DISCRETA.
DEDUCCIÓN DE LA VARIANZA DEL ESTIMADOR DE NELSON AALEN SUPONIENDO QUE LA DISTRIBUCIÓN DEL NÚMERO DE FALLECIDOS ES POISSON ESTIMADOR DE NELSON AALEN
Luego
314
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Como hicimos el supuesto de que
Donde
Donde como vimos
es una proporción, por lo cual
Por lo tanto
DEDUCCIÓN DE LA VARIANZA DEL ESTIMADOR DE NELSON AALEN SUPONIENDO QUE LA DISTRIBUCIÓN DEL NÚMERO DE FALLECIDOS ES BINOMIAL
Como hicimos el supuesto de que
Donde
Donde como vimos
es una proporción, por lo cual
315
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
RELACIÓN ENTRE NELSON AALEN Y KAPLAN-MEIER ESTIMADOR DE KAPLAN-MEIER
ESTIMADOR DE KAPLAN-MEIER
Por lo tanto
El signo no es el igual porque hay que recordar la propiedad
RELACIÓN IMPORTANTE 1
Donde
Por lo tanto
RELACIÓN IMPORTANTE 2
Donde
316
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Por lo tanto
317
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
MODELO BINOMIAL ESTIMACIÓN PARAMETRICA INFORMACIÓN COMPLETA ESTIMACIÓN DE MÁXIMA VEROSIMILITUD Datos agrupados En general para una función de distribución discreta con información completa la función de verosimilitud es igual a
Donde es uno de los valores observados, de veces que fue observado en la muestra.
es la probabilidad de observar
y
es el número
Hay que diferenciar entre para lo cual del libro de Loss Models pagina 284 tomaremos la muestra que llama Conjunto de datos A o “Data Set A”. Los cuales son datos recolectados entre los años 1956-1958 sobre el número de accidentes de tránsito para un conductor en un año. Donde se tomo una muestra de 94.935 conductores y los resultados están en la siguiente tabla:
NÚMERO DE ACCIDENTES 0 1 2 3 4 5 o más TOTAL DE CONDUCTORES
NÚMERO DE CONDUCTORES DE AUTO 81.714 11.306 1.618 250 40 7 94.935
VARIABLE ALEATORIA DE INTERÉS Es la cantidad de accidentes que le ocurrió a un determinado conductor en un año . La cual tiene asociado un dominio es igual a
La cual sigue una función de distribución
Donde q es la probabilidad de que una persona sufra un accidente en el año.
318
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
DATOS AGRUPADOS Los posibles valores ordenados de mayor a menor que puede tomar la muestra son
Donde es el máximo posible valor que puede tomar una observación en la muestra que tomamos en nuestro caso es igual a y es el mínimo valor posible en nuestro caso es igual a cero. Como vemos en la tabla hay observaciones que se repiten en la muestra, por lo tanto la cantidad de veces que ocurre un mismo evento es igual . Por lo cual podemos deducir que
Donde
es la cantidad total de observaciones en nuestro ejemplo 94.935.
Como podemos apreciar es la cantidad de veces que se repite el valor de la variable aleatoria en en nuestro ejemplo 81.714. Así pasamos lista a cada valor del dominio de la variable aleatoria x. En los casos en que no haya un valor del dominio en la muestra o si se repite una sola vez . Luego podemos interpretar a como el valor del límite superior del dominio de la variable aleatoria de interés x. Ahora pasamos a buscar el estimador de máxima verosimilitud Como estamos trabajando con el modelo Binomial luego
Donde
Por lo tanto
Si aplicamos logaritmo natural
Calculamos la derivada primera con respecto a q e igualamos a cero
319
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Donde si dividimos y multiplicamos por n que es el número total de observaciones de la muestra
Donde
Donde
Por lo tanto
Reemplazando los resultados
Por lo cual
320
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
EJEMPLO ENUNCIADO En base al conjunto de datos A y asumiendo que los 7 conductores con 5 o más accidentes tuvieron exactamente 5 accidentes. Determinar la estimación de máxima verosimilitud para una distribución Binomial con
RESOLUCIÓN
Por lo tanto
Datos sin agrupar o individuales Datos individuales es como se lo expone en la mayor parte de los libros y cursos de estadística
Se observan N personas independientes con edad exacta x por todo un año Se observan d fallecimientos Se considera la variable aleatoria D, que representa el número de fallecimientos. Se asume que cada persona presenta una probabilidad de fallecimiento igual a
FUNCIÓN DE VEROSIMILITUD
Aplicamos logaritmo natural
Si derivamos con respecto a q
321
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Hay que notar que
INFORMACIÓN COMPLETA Se abre la puerta a que exista censura y truncamiento por lo cual hay algunos cambios a la hora de hacer las estimaciones
ESTIMACIÓN CON INFORMACIÓN INCOMPLETA DE MÁXIMA VEROSIMILITUD
No todas las personas se observan en el año completo posibilidad de que exista censura y truncamientos. Ingresos y Egresos por causas distintas al fallecimiento. Se asume que se observa cada persona desde la edad Para cada persona se conoce y
lo cual abre la puerta a la
hasta la edad
Se tiene que
Donde la observación de
es igual a
Por lo tanto
Por lo tanto más general
Esta última es la contribución de la persona i a la función de verosimilitud según la muestra observada Suponiendo independencia la verosimilitud de la muestra total es igual a
Se reduce la verosimilitud a una función de un sólo parámetro , utilizando supuestos fraccionarios haciendo el supuesto de D.U.F o el supuesto de Balducci o el supuesto de Tasa Instantánea de Mortalidad Constante.
EJEMPLO DATOS
322
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
CANTIDAD DE PERSONAS QUE INICIARON EL ESTUDIO
Donde a las 100 personas que iniciaron el estudio se los divide en dos grupos. Los cuales están constituidos de la siguiente manera
GRUPO 1 El grupo está constituido por 70 personas de edad x de las 100 que iniciaron el estudio están programadas llegar con vida a la edad De estas personas fallecen 2
GRUPO 2 El grupo está constituido por 30 personas de edad x de las 100 que iniciaron el estudio están programadas llegar con vida a la edad De estas personas fallecen 6 Por lo tanto tenemos
CANTIDAD DE PERSONAS QUE ESTAN PROGRAMADAS SER CENSURADAS A LA EDAD
CANTIDAD DE PERSONAS QUE FALLECEN DEL GRUPO 1
CANTIDAD DE PERSONAS QUE FALLECEN DEL GRUPO 2
Donde
CANTIDAD DE PERSONAS QUE FALLECEN EN TOTAL
HALLAR La estimación de
haciendo el supuesto de D.U.F
RESOLUCIÓN
Si aplicamos D.U.F
Reemplazando
323
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Si aplicamos logaritmo natural
Si derivamos con respecto a
Resolvemos
Si renombramos
Luego
ESTIMACIÓN POR EL MÉTODO DE MOMENTOS ESTIMADOR ACTUARIAL NÚMERO TOTAL DE PERSONAS N personas independientes con edad exacta x NÚMERO TOTAL DE PERSONAS QUE FALLECEN
PERIODO DE OBSEVACIÓN 1 AÑO Cada persona presenta una probabilidad de fallecimiento
324
BIOMETRÍA ACTUARIAL
ESTIMACIÓN DE
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
UTILIZANDO EL METODO DE MOMENTOS
ESPERANZA MATEMATICA DE LA VARIABLE ALEATORIA D
Donde
Donde
Por lo tanto
En el método de momentos se debe igualar el primer momento muestal al valor esperado que acabamos de calcular. Antes de hacer esto hacemos los siguientes arreglos. PROPIEDAD 1
Si hacemos el siguiente despeje
PROPIEDAD 2
PROPIEDAD 3: BALDUCCI
En este caso
PROPIEDAD 4
Reemplazamos Por la PROPIEDAD 1
325
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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Por LA PROPIEDAD 2
Por la PROPIEDAD 3
Por la PROPIEDAD 4
Se hace el reemplazo de
por su valor muestral
y
Distribuimos la suma
Recordando que la variable fallece.
puede tomar solo dos valores, 1 si la persona fallece o 0 si la persona no
El sumando
Vemos que para aquellas personas que fallecen este término se hace nulo, mientras que para aquellas personas que no fallecen el termino se convierte en
Sacamos factor común
326
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Donde EXPOSICIÓN AL RIESGO INICIAL
PARA AQUELLAS PERSONAS QUE NO FALLECIERON
Lapso de tiempo de exposición al riesgo de fallecimiento
La clave está en ver que en este último cálculo están también los que fallecieron.
Por lo tanto
En el gráfico que sigue se hace una diferencia entre el momento de la censura y el momento del fallecimiento, en el siguiente sentido EDAD DE CENSURA
EDAD DE FALLECIMIENTO
Cuando el modelo no hace tal diferencia, en lugar de ello utiliza
327
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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EDAD DE FINAL DE LA OBSERVACIÓN
Para ambos tipos de casos. La intención es mostrar el concepto que se busca exponer con más claridad.
PARA AQUELLAS PERSONAS QUE SÍ FALLECIERON
En este último gráfico se ve que en la a aquellas personas que fallecieron no les quitamos a el lapso de tiempo que no llegaron a vivir . SI SE ASUME QUE LOS FALLECIMIENTO OCURREN EN PROMEDIO A LA EDAD
Donde
328
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
MODELO DE POSSON INFORMACIÓN COMPLETA ESTIMACIÓN DE MÁXIMA VEROSIMILITUD Datos agrupados Hay que recordar que el dominio de una variable aleatoria es igual a
El límite superior es igual a infinito La función de verosimilitud es igual a
Si aplicamos logaritmo natural
Derivamos e igualamos a cero
EJEMPLO ENUNCIADO En base al conjunto de datos A y asumiendo que los 7 conductores con 5 o más accidentes tuvieron exactamente 5 accidentes. Determinar la estimación de máxima verosimilitud para una distribución de Poisson.
RESOLUCIÓN
329
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Datos sin agrupar o individuales Datos individuales es como se lo expone en la mayor parte de los libros y cursos de estadística
VARIABLE ALEATORIA Número de fallecimientos
DOMINIO DE LA VARIABLE ALEATORIA
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE LA VARIABLE ALETORIA DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Donde
TIEMPO DE ESPERA CONSIDERADO
Cada una de las personas posee un TIEMPO DE EXPOSICIÓN AL RIESGO
.
TASA INSTANTANEA DE MORTALIDAD CONSTANTE EN CADA EDAD
NÚMERO DE OBSERVACIONES EN UN AÑO N personas Recordando que la distribución de Poisson es una aproximación de la distribución Binomial cuando N es relativamente grande y la probabilidad de éxito es relativamente pequeña. Es decir, que la distribución de Poisson modeliza situaciones en donde es posible sólo dos posibilidades éxito o fracaso, siendo la probabilidad de éxito un evento de rara ocurrencia. También la distribución de Poisson cuenta el número de éxito, en este caso, cuenta la cantidad de fallecidos en las N personas, y devuelve la probabilidad de ocurrencia de tal conteo. Tenemos que
ESTIMACIÓN DE MÁXIMA VEROSIMILITUD
Si aplicamos logaritmo natural
330
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Si lo derivamos con respecto al parámetro
Por lo tanto
331
MODELO DE MARKOV DE DOS ESTADOS
El tiempo de vida futura puede incorporarse a un modelo que contemple un cierto número de estados, incluido el estado de sobreviviente. Modelos más generales pueden contemplar pasar del estado de persona sana al estado de persona enferma, regresando al estado de sano. Se considera que la transición entre estados depende sólo del estado actual y de la edad (Hipótesis de Markov).
El caso más simple: Modelo de dos estados. Los estados son sobreviviente o fallecido. Fallecido es un estado absorbente. En general se necesita especificar las transiciones entre estados.
ESTIMACIÓN Existen N vidas homogéneas e independientes entre las edades
DURACIÓN DEL ESTUDIO 1 AÑO
ESTADOS SOBREVIVIR O FALLECER
DEFINICIÓN DE LA VARIABLE La observación finaliza a la edad para la persona i, por causa de la censura tipo І, la cual está programada o planificada de antemano ( si está c/vida a esa edad).
DEFINICIÓN DE LA VARIABLE La observación inicia a la edad
para la persona i
DEFINICIÓN DE LA VARIABLE La observación finaliza a la edad
para la persona i, por causa del evento de interés “FALLECER”.
CAUSAS DE LA SALIDA DEL ESTUDIO Si no hay fallecimiento, hay censuras que están programas que ocurran. Una persona cualquiera puede ingresar a una determinada edad con y dejar el estudio a la edad , pero, nunca más allá de , es decir, con .
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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CAUSAS DE SU SALIDA DEL ESTUDIO
LA CAUSA QUE OCURRA PRIMERO, ES EN DEFINITIVA, EL MOTIVO DE LA SALIDA DEL ESTUDIO
CUMPLE LA EDAD
.
POR CENSURA DE TIPO І LA CUAL ES UNA CENSURA Y OCURRE A LA EDAD PROGRAMADA O PLANIFICADA (Si no fallece antes)
Persona i con una edad a la cual se la comienza a observar
OCURRA EL EVENTO DE INTERÉS EN ESTE CASO FALLECER
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA TIEMPO DE ESPERA
FUNCIÓN DE DENSIDAD DEL MODELO DE MARKOV DE DOS ESTADOS Las observaciones
constituyen una muestra de la distribución de
.
DISTRIBUCIÓN CONJUNTA DE Si
Luego
Si
FORMULA GENERAL
Donde
333
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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Si
Se tiene que
LA ESPERANZA MATEMÁTICA
O
VARIANZA
Vemos que es positiva ya que
LA ESPERANZA MATEMÁTICA Si
Si
334
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Por lo tanto
VARIANZA
ESTIMACIÓN DE MÁXIMA VEROSIMILITUD DE FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN CONJUNTA
Por lo cual la función de verosimilitud es igual a
Si aplicamos logaritmo natural
Si hacemos la siguiente sustitución
Donde
335
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Si derivamos con respecto al parámetro e igualamos a cero
Despejamos
LA ESPERANZA MATEMÁTICA Y LA VARIANZA DEL ESTIMADOR Si volvemos a derivar con respecto al parámetro
Para obtener la varianza del estimador debemos tener en mente la siguiente fórmula que se para todo estimador de MÁXIMA VEROSIMILITUD
Por lo tanto
Donde
Por lo tanto
Donde
Por lo tanto
336
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
En definitiva
Todo estimador de MÁXIMA VEROSIMILITUD tiene la propiedad de que es asintóticamente insesgado.
Luego tiene una distribución asintótica
INTERVALO DE CONFIANZA
DISTRIBUCIÓN ASINTOTICA DE Si tomamos la ecuación de probabilidad total
Y la derivamos con respecto a
Luego multiplicamos por
obtenemos
a ambos miembros en la búsqueda de que nos quede la siguiente expresión
Donde como vimos
337
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Volvemos a derivar la ecuación de probabilidad total
Luego multiplicamos por
a ambos miembros en la búsqueda de que nos quede la siguiente expresión
Donde
La demostración esta fuera del alcance del presente material Considerar que
Se tiene luego
Entonces
Por lo cual
Para
tenemos
También
Luego
338
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Entonces
Tenemos que hay que
Aplicar el proceso para cada edad Generar estimaciones de para cada edad desde
Usualmente considere que
Someter los resultados a un proceso de ajustamiento.
es una estimación de
EJEMPLO DATOS
Bajo el supuesto de tasas de mortalidad constante
HALLAR 1. 2. 3. 4.
Hallar la función de probabilidades de Hallar la esperanza matemática de , es decir, Hallar la función de densidad de Hallar la esperanza matemática de , es decir,
RESOLUCIÓN 1. Tomamos un grupo de personas que comenzamos a observar a la edad de y tenemos planificado dejarlos de observar a la edad de , la cual es nuestra censura de tipo І. Si
Por lo tanto
Si Recordando
Por lo tanto
339
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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2.
3. Si
Por lo tanto
Si Recordando
4.
Resolvemos la integral por partes
Por lo tanto
340
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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Tiempo promedio de observación de la persona es menos de 0,75 porque hay personas que fallecen.
DOS ENFOQUES Es importante notar que hay dos maneras de hacer las tablas que de hecho trabajaremos de las dos formas. 1.
2.
Comenzar a observar a la persona i a partir de la fecha de inicio de la observación. Por lo cual tomamos como “Último cumpleaños”, aquel que ocurrió antes del inicio del estudio. En este caso Comenzar a observar a la persona i a partir de que cumplió los años, a pesar, de que se inicio el estudio. En otras palabras, ya comenzado el estudio de investigación, no se toma en cuenta a la persona sino hasta que cumpla los años dentro del periodo de duración del estudio. En este caso
ENFOQUE 1 LAPSO DE TIEMPO
La persona i cumple la edad
PERIODO DE DURACIÓN DEL ESTUDIO DE INVESTIGACIÓN
Inicio del periodo de observación
SE COMIENZA A OBSERVAR A LA PERSONA i DESDE ESTE MOMENTO
Final del periodo de observación EDAD A LA QUE SE COMIENZA LA OBSERVACIÓN
341
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
ENFOQUE 2 PERIODO DE DURACIÓN DEL ESTUDIO DE INVESTIGACIÓN
Inicio del periodo de observación EDAD A LA QUE SE COMIENZA LA OBSERVACIÓN
La persona i cumple la edad
Final del periodo de observación
SE COMIENZA A OBSERVAR A LA PERSONA i DESDE ESTE MOMENTO
IMPORTANTE Hay dos opciones:
Elegir una de las dos formas y realizar las estimaciones en base a la opción elegida. Como tenemos estas dos maneras de trabajar lo haremos con las dos formas para cubrir todos los escenarios posibles y ambos serán los datos-materia prima sobre la que basaremos nuestras estimaciones.
RESOLUCIÓN UTILIZANDO AMBAS OPCIONES ESTIMACIÓN DE MÁXIMA VEROSIMILITUD
Donde
Por lo tanto si tomamos nada más que al grupo de edad de inicio de
años, luego
Donde N representa la cantidad de datos que tenemos de las personas que tienen ENFOQUE 1 como para el ENFOQUE 2.
años tanto para el
342
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Realizamos dos tablas una con la forma 1 y la otra con la forma 2 y sumamos ambos resultados como vemos más arriba. Hay un ejercicio de este caso que está en la práctica del curso y también está resuelto.
343
MODELO DE TASAS DE RIESGO PROPORCIONALES DE COX INTRODUCCIÓN Podría ser que la distribución de la variable de interés depende de ciertas características de la subyacente situación. Por ejemplo, la distribución del tiempo al fallecimiento podría estar relacionada a la edad del individuo, al género del individuo, estatus de fumador, presión sanguínea, altura y peso. O considerar el número de accidentes de automóviles que un vehículo tiene en un año. La distribución de esta variable podría estar relacionada al número de millas, los lugares a los que se visita con el auto y varias características del conductor tal como la edad, genero, estatus marital e historia de manejo.
POBLACIÓN Tenemos una población no homogénea, con distintas características. Si tomamos una población que son idénticos en todo excepto en el sexo y condición de fumador. Por lo cual tenemos 4 grupos
HOMBRES-FUMADORES HOMBRES-NO FUMADORES MUJERES- FUMADORES MUJERES- NO FUMADORAS
HOMBRES POBLACIÓN TOTAL MUJERES
HOMBRES-FUMADORES
HOMBRES-NO FUMADORES
MUJERES-FUMADORAS
MUJERES-NO FUMADORAS
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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VARIABLE ALEATORIA DE INTERES El tiempo del fallecimiento La variable aleatoria de interés tiene asociada una función de distribución condicionada al cada grupo de la población Es importante notar que en este caso no es homogénea la población y tenemos una única variable aleatoria de interés que depende de la característica de la persona. Por ejemplo, una persona que fuma tiene una mayor probabilidad de fallecer en un momento del tiempo que otra que no fuma. Una mujer tiene una menor probabilidad de fallecer en un momento del tiempo que un hombre.
COVARIABLES Son variables aleatorias asociados a cada individuo, donde su valor define la característica del individuo. COVARIABLE
COVARIABLES
En este caso las covariables son discretas pero podrían ser continuas también si pensamos en el caso de peso o altura. También podría haber una combinación de ambas. En este caso tenemos DISCRETADISCRETA, pero, eventualmente podíamos tener CONTINUA-DISCRETA. Cada individuo de la población tiene una función de la tasa de riesgo
Por lo tanto una función de supervivencia
GRUPO BASE De alguna manera esta implícita la idea de comparar los resultados de un grupo con respecto a otro en particular un grupo base. Tal grupo se determina en aquellos valores en donde las covariables tomen el valor de cero. En nuestro ejemplo el grupo base está formado por las personas HOMBRES-NO FUMADORES.
345
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
DEFINICIÓN Dada una función de riesgo base y los valores asociados con un particular individuo, el MODELO DE TASAS DE RIESGO PROPORCIONALES para esa persona está dado por la función de la tasa de riesgo
Lo cual implica que la función de riesgo de cada individuo de una población
Es una función de la tasa de riego base Donde
y las covariables
es alguna función que tome únicamente valores positivos. También
Es un vector columna de los valores de
llamados COVARIABLES. Además
Es un vector columna de los coeficientes. La única función que utilizaremos será
Una ventaja de esta función es que debe ser positiva. El nombre del modelo se debe a que si tomamos el ratio de las funciones de riesgo de dos individuos cualesquiera el mismo se mantendrá constante a lo largo del tiempo y en un momento fijo del tiempo. Si tenemos una población de 3 personas A, B y C, luego
Esto es la función de la tasa de riesgo de una persona cualquiera de la población es proporcional a la de cualquier otra persona dentro de una población.
OBJETIVO Nuestro objetivo es estimar la tasa de riesgo base
y el vector de coeficientes .
Para nuestro ejemplo con que iniciamos TASAS DE RIESGO GENERAL
346
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Donde
TASA DE RIESGO PARA HOMBRE-NO FUMADOR O RIESGO BASE
TASA DE RIESGO PARA HOMBRE-FUMADOR
TASA DE RIESGO PARA MUJER-FUMADORA
TASA DE RIESGO PARA MUJER-NO FUMADORA
FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA FORMULA GENERAL
DEMOSTRACIÓN Tenemos que
Donde
Por lo tanto
Por lo tanto la función de supervivencia de una persona que pertenece a uno de los grupos de la población es función de la función de supervivencia base. FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA HOMBRE-NO FUMADOR O RIESGO BASE
FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA PARA HOMBRE-FUMADOR
347
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA PARA MUJER-FUMADORA
FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA PARA MUJER-NO FUMADORA
EJEMPLO ENUNCIADO Suponga que el monto que se tiene derecho a reclamar de un seguro contra incendio, para el propietario de una casa, como porcentaje del valor de la casa depende de la edad de la casa y el tipo de construcción (madera o ladrillo). Desarrollar un modelo de tasas proporcionales de Cox para esta situación. Además, indicar la diferencia entre las casas de madera y ladrillo de la misma edad.
RESOLUCIÓN COVARIABLES DISCRETA
CONTINUA
TASA DE RIESGO GENERAL
TASA DE RIESGO PARA CONSTRUCCIÓN EN LADRILLO
TASA DE RIESGO PARA CONSTRUCCIÓN EN MADERA
TASA DE RIESGO BASE TASA DE RIESGO PARA UNA CONSTRUCCIÓN EN LADRILLO RECIEN EDIFICADA
348
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
VARIABLE ALEATORIA DE INTERÉS Tiempo hasta el incendio de la casa. Una consecuencia del modelo es que a pesar de la edad de la casa el efecto de cambiar desde ladrillo a madera es el mismo ya que se mantiene constante. Para el caso de sólo dos casas se tiene que
Donde
El efecto sobre la función de supervivencia
ESTIMACIÓN La estimación de la TASA DE RIESGO BASE y como consecuencia de la FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA BASE puede ser realizada utilizando un modelo paramétrico o uno no paramétrico, esto depende del conocimiento que se tenga de la distribución que sigue la FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA BASE. Luego hay dos escenarios posibles: 1. 2.
Conocer a que distribución pertenece la función de supervivencia base Desconocer a que distribución pertenece la función de supervivencia base
En cada caso hay dos métodos de estimación: a) Para el primer caso hay que hacer una estimación no paramétrica. b) Para el primer caso hay que hacer una estimación paramétrica.
PRIMER CASO Hay que estimar empíricamente la FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA BASE y la TASA DE RIESGO BASE y por ende la FUNCIÓN DE DENSIDAD BASE en base de una muestra, esto implica desconocer de qué distribución BASE provienen los datos y la tenemos que estimar como hacíamos con NELSON AALEN y KAPLAN- MEIER, para lo cual necesitamos estimar los parámetros
SEGUNDO CASO Se tiene conocimiento de a que distribución pertenece la FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA BASE y la TASA DE RIESGO BASE, lo cual implica que conocemos la FUNCIÓN DE DENSIDAD BASE. Pero desconocemos los parámetros y los parámetros de la FUNCIÓN DE DENSIDAD BASE y por ende los tenemos que estimar.
349
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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DISTRIBUCIÓN DE BASE DESCONOCIDA
ESTIMACIÓN
MÉTODO DE ESTIMACIÓN
FUNCIÓN DE MÁXIMA VEROSIMILITUD PARCIAL
OBTENER
ESTIMAR
EN BASE A LOS
MÉTODO DE ESTIMACIÓN
ESTIMACIÓN ANÁLOGA A LA DE NELSON AALEN
FAMILIA A LA QUE PERTENECE LA DISTRIBUCIÓN BASE ES CONOCIDA ESTIMACIÓN Los parámetros de la DISTRIBUCIÓN BASE
MÉTODO DE ESTIMACIÓN
FUNCIÓN DE MÁXIMA VEROSIMILITUD
350
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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Para los análisis que siguen continuamos con el ejemplo con que iniciamos la sección
FAMILIA A LA QUE PERTENECE LA DISTRIBUCIÓN BASE ES CONOCIDA ESTIMACIÓN DE MÁXIMA VEROSIMILITUD Para la construcción de la función de verosimilitud y de esta manera poder estimar los parámetros
Debemos obtener la función de densidad, pero, nosotros conocemos la función de densidad base que es dato. Si suponemos que
sigue una distribución exponencial.
Por lo cual
FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA DEL GRUPO BASE
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DEL GRUPO BASE
FUNCIÓN DE DENSIDAD DEL GRUPO BASE
TASA DE RIESGO BASE
Cada persona tiene una pertenencia a un grupo determinado, el cual a su vez tiene una función de densidad y de distribución asociada y todas y cada una está relacionadas con el grupo base. Por lo cual
FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA DE UN DETERMINADO GRUPO
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UN DETERMINADO GRUPO
FUNCIÓN DE DENSIDAD DE UN DETERMINADO GRUPO
Si reemplazamos
FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA DE UN DETERMINADO GRUPO 351
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UN DETERMINADO GRUPO
FUNCIÓN DE DENSIDAD DE UN DETERMINADO GRUPO
En los cálculos que siguen hice la sustitución
Con este cambio de variable se puede trabajar con la distribución exponencial para hacer las cuentas Como vemos debemos estimar el parámetro
ESTIMACIONES A REALIZAR POR EL MÉTODO DE MÁXIMA VEROSIMILITUD
CENSURA POR LA DERECHA En caso de ocurrir una censura utilizamos la FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA
TRUNCAMIENTO POR LA IZQUIERDA O INGRESO TARDIO También puede existir TRUNCAMIENTO POR LA IZQUIERDA o INGRESO TARDÍO que cambia un poco las cosas. Veamos cómo trabajar con este cambio. Cada persona que ingresa tarde le pueden ocurrir tres cosas 1. 2. 3.
RETIRARSE (Evento de interés) FALLECER LLEGAR AL FINAL DE LOS 5 AÑOS
Las censuras las tenemos en cuenta en la contribución de la función de verosimilitud. En nuestro caso las censuras son a) FALLECER (Censura aleatoria) b) LLEGAR AL FINAL DE LOS 5 AÑOS (Censura de tipo І) En el caso de que a la persona que ingresa tardíamente al grupo de observación haya sido censurada utilizamos como mencionamos antes la FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA. Para el caso de que a la persona que ingresa tardíamente al grupo de observación sufra el EVENTO DE INTERÉS utilizamos la función de densidad. Pero la modificación que hacemos en los datos son los siguientes en el caso de INGRESO TARDÍO.
352
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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CONTRIBUCIÓN A LA FUNCIÓN DE MÁXIMA VEROSIMILITUD CENSURA
Donde
EVENTO DE INTERÉS
Esto suponiendo una DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL PARA LA DISTRIBUCIÓN BASE.
RESULTADOS TASAS DE RIESGO GENERAL
Donde
Donde
FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA BASE
FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA DE CADA PERSONA
MEDIA Tenemos que la MEDIA de una distribución exponencial es igual a
353
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
RICARDO GABRIEL AMARILLA
Por lo cual
FAMILIA A LA QUE PERTENECE LA DISTRIBUCIÓN BASE ES DESCONOCIDA Tiene dos partes:
Parte 1 FUNCIÓN DE VEROSIMILITUD PARCIAL para estimar
Para así obtener los valores de los
Parte 2 ESTIMACIÓN ANALOGA A LA DE NELSON AALEN para obtener la estimación de EN BASE A LOS obtenidos anteriormente
FUNCIÓN DE VEROSIMILITUD PARCIAL La estimación de máxima verosimilitud de
para obtener los valores de los
El método permite estimar de manera separada los coeficientes
.
de la TASA DE RIESGO BASE.
Luego la contribución a la función de verosimilitud parcial
Donde
Donde estamos tomando únicamente a las personas que no son censuradas, si observamos la tabla que se da más abajo vemos que no incluimos en la función de verosimilitud a los censurados. También hay que
354
BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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ir actualizando a las personas que están expuestas al riesgo en cada momento porque ellas fallecen o son censuradas o existe truncamiento por la izquierda. Tenemos que
Es la probabilidad de fallecer un instante después del momento , o en otras palabras, es la probabilidad de que dado que se alcanzo con vida el momento fallecer justo un instante después. Esto ocurre para un individuo del conjunto de expuesto al riesgo en el momento
.
Si tenemos en cuenta a todo el conjunto de expuesto al riesgo lo dividimos por
La probabilidad de que fallezca el individuo del cual estemos tratando dentro de un grupo de igual como dijimos a
es
Si tenemos tres personas Puede fallecer la persona 1 o 2 o 3 por lo cual
Si buscamos determinar cuál es la probabilidad de que haya sido una persona del grupo de tres
Siempre el retiro del grupo debe ser por el evento de interés y no por censura
FUNCIÓN DE VEROSIMILITUD PARCIAL
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BIOMETRÍA ACTUARIAL
TEORÍA
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TABLA DE LA CONTRIBUCIÓN A LA FUNCIÓN DE VEROSIMILITUD
SEXO DE LA PERSONA i
CONDICIÓN DE FUMADOR DE LA PERSONA i
1
1
0
2
1
0
3
0
0
4
0
0
5
0
0
6
0
1
ORDEN DE OCURRENCIA
TIEMPO HASTA EL FALLECIMIENTO EN DIAS
7
+
0
1
8 9
+
1 1
1 1
10
+
0
1
CONTRIBUCIÓN A LA FUNCIÓN DE VEROSIMILITUD PARCIAL
Donde el signo + indica censura.
PASOS A REALIZAR PARA HACER LA TABLA Primer paso: Ordenamos la variable aleatoria de interés de menor a mayor
Segundo paso: Colocamos un orden de ocurrencia a cada integrante de la muestra
Tercer paso: Colocamos el género y condición de fumador
Quinto paso: Calculamos cada una de las contribuciones a la función de verosimilitud parcial
Cuarto paso: Calculamos cada uno de los en aquellos momentos en que no hay censura, los cuales van a quedar en función del parámetro de interés que en definitiva queremos estimar
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CALCULO DE LAS ESTIMACIONES Primer paso armar la función de verosimilitud parcial
Segundo derivar e igualar a cero
Para obtener
Recordar que
Hacer esto a mano es muy complicado, es necesario hacerlo con el Solver del Excel.
TRUNCAMIENTO POR LA IZQUIERDA En caso de que haya ingreso tardío se los debe ir agregando en el denominador de la contribución a la función de verosimilitud
Ya que aumento la cantidad de expuestos al riesgo
CENSURA POR LA DERCHA Cuando exista censura se los debe restar en el denominador tal como hicimos en la tabla.
MATRIZ DE VARIANZA Y COVARIANZAS DE LAS ESTIMACIONES Paso para obtener la matriz: 1.
Calcular
2.
Calcular
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BIOMETRÍA ACTUARIAL
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3.
Calcular las esperanzas
4. 5.
Hay que cambiar el signo del resultado anterior e realizar la inversa del resultado Armar la matriz de VARIANZAS-COVARIANZAS
ESTIMACIÓN ANALOGA A LA DE NELSON AALEN ESTIMACIÓN EMPIRICA DE LA FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA BASE Y LA TASA DE RIESGO BASE Debemos estimar la FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA BASE . Donde es la variable de interés y j representa el orden de ocurrencia del evento fallecimiento para el grupo expuesto al riesgo . Para poder hacer la estimación debemos hallar la TASA DE RIESGO BASE ACUMULADA que, como hacíamos con NELSON AALEN
, ya
Donde
Donde
Es el número de observaciones del evento de interés por lo cual no son observaciones censuradas que ocurren en el momento En este ejercicio el evento fallecimiento momento
ocurre una sola vez por cada momento
excepto en el
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TIEMPO HASTA EL FALL. EN DIAS
1
+
+
+
Para hacer la tabla se utilizaron las estimaciones de
Para obtener los distintos
como mencionamos más arriba.
TIEMPO HASTA EL FALL. EN DIAS
+
+
+
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Por lo cual podemos calcular la función de supervivencia de los otros grupos en base a la siguiente relación
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