BIOMAGNETISMO.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN M

FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIA

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGE INDUSTRIAL

PROBLEMAS DE BIOMAGNETISMO

TICONA NIETO MARIA CRISTINA 131702222 BIOMAGNETISMO

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Problemas resueltos de biomagnetismo

1.

Cables de lámpara. Es común que los alambres de las lámparas

domésticas estén separados 3.0 mm de un centro al otro y conduzcan corrientes iguales en sentidos opuestos. Si el cable conduce corriente a una bombilla eléctrica de 100 W conectado a través de una diferencia de potencial de 120 V, ¿cuál es la fuerza por metro que cada alambre del cable ejerce sobre el otro? ¿La fuerza es de atracción o repulsión? ¿Esta fuerza es suficientemente grande como para considerarla en el diseño del cable? (Modele el cable de la lámpara como un alambre muy largo y recto.) (Sears-Zemansky.2008.pag. 987) Solución: Los alambres del cable de la lámpara son dos cables conductores de corriente paralelos, por lo que deben ejercer una fuerza magnética en entre sí. En primer lugar encontrar la corriente en el cable. Puesto que está conectado a una bombilla de luz, la potencia consumida por la lámpara es P = IV. A continuación, busque la fuerza por unidad de longitud utilizando μοI ´ I F / L= 2 πr Para la bombilla, 100 W =I (120 V ) nos da I =0.833 A

La fuerza por unidad

de longitud es

0.833 A (¿¿ 2) −7 −5 (4 π ×10 T . m / A ) =4.6 ×10 N / m 2 π . 0.003 m F / L=¿

Dado que las corrientes están en direcciones opuestas, la fuerza es repulsiva. 1

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Esta fuerza es demasiado pequeña como para tener un efecto apreciable para un cordón de corriente. 2.

Campo magnético de un relámpago. Los relámpagos pueden

conducir corrientes de hasta 20 kA, aproximadamente. Esta corriente se puede modelar como la equivalente de la que conduce un alambre muy largo y recto. a) Si una persona es tan desafortunada para estar a 5.0 m del relámpago, ¿qué tan grande sería el campo magnético que experimentaría? b) ¿Cómo se compara este campo con el que experimentaría esa persona si estuviera a 5.0 cm de una corriente doméstica de 10 A transportada por un conductor largo y recto? (SearsZemansky.2008.pag.986) Solución: Podemos modelar el relámpago y la corriente de la casa como muy largos alambres conductores de corriente. El campo magnético producido por un cable largo es: μοI B= 2 πr

( )

Sustituyendo los valores numéricos: Parte(a) ( 4 π × 10−7 T . m/ A)(20,000 A ) B= =8 ×10−4 T 2 π (5 m) −7

B=

( 4 π × 10 T . m/ A)(10 A ) −5 =4 × 10 T 2 π (0.050 m)

El campo del relámpago es de aproximadamente 20 veces más fuerte que el campo de la corriente doméstica.

3. Efecto de las líneas de transmisión. Dos excursionistas leen una brújula debajo de una línea de transmisión situada a 5.50 m por arriba del suelo y que transporta una corriente de 800 A en dirección horizontal de norte a sur. a) Determine la magnitud y

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dirección del campo magnético en un punto sobre el suelo directamente debajo del conductor. b) Uno de los excursionistas sugiere que caminen 50 m para evitar lecturas inexactas de la brújula

causadas

por

la

corriente.

Considerando

magnitud del campo de la Tierra es del orden de 0.5 ¿es

realmente

un

problema

la

que

la

× 10-4 T,

corriente?(Sears-

Zemansky.2008.Pag.986) Solución: Parte(a) La magnitud de B es dada por la ecuación.

( 2μοIπr )

B=

y la dirección

está dada por la regla de la mano derecha. Visto desde arriba, la corriente está en la dirección que se muestra en la figura 28.20.

Parte (b) Directamente debajo del

alambre de la dirección

del campo magnético debido a la corriente en el alambre es este. μοI m 800 A B= = 2 ×10−7 T . =2.91× 10−5 T 2 πr A 5.50 m

( )(

)(

)

B a partir de la corriente es casi igual en magnitud al campo de la tierra, por lo que, sí, la corriente realmente es una problema.

4. Se ha sugerido que Las aves podrían utilizar la fuerza electromotriz inducida entre los extremos de sus alas por el campo magnético de la tierra como un medio para ayudarles en su navegación durante la migración. ¿Qué fuerza electromotriz sería inducida para que un ganso de Canadá con una extensión de alas de 1,5 m que vuela con una

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velocidad de 10 m/s en una región donde la componente vertical del campo de la tierra es 2 x 10-5 T.? (Hugo Medina. Pág. 171) 5. Solución. ε = Blv = (2 x 10-5)(1,5)(10) = 3 x 10-4 V = 0,3 mV. Esto probablemente es demasiado pequeño para ser detectado por las aves, puesto que los voltajes celulares son típicamente 70 mV. Sin embargo, para los jets 747 con una extensión de alas de 60 m y una velocidad de 900 km/h, el efecto es apreciable. 6. Los sistemas de circulación extracorpórea y las máquinas de diálisis emplean bombas sanguíneas. Una bomba mecánica puede destruir células

sanguíneas.

La

figura

P29.43

representa

una

bomba

electromagnética. La sangre se confina en un tubo eléctricamente aislador, cilíndrico pero en la práctica representado como un rectángulo de ancho w y altura h. La simplicidad de diseño hace confiable a la bomba. La sangre se mantiene fácilmente sin contaminar; el tubo es simple de limpiar o barato para sustituir. Dos electrodos ajustan en lo alto y bajo del tubo. La diferencia de potencial entre ellos establece una corriente eléctrica a través de la sangre, con densidad de corriente J en una sección de longitud

L. En

la

misma

región

existe

un

campo

magnético

perpendicular. (Serway-Jewett. Pág.833)

a) Explique por qué este arreglo produce en el líquido una fuerza que se dirige a lo largo de la longitud de la tubería. b) Demuestre que la sección de líquido en el campo magnético experimenta un aumento de presión JLB.

Solución: 4

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Parte(a): En vista que: J=

1 area

implica que I está en la dirección de J

Así también I ⊥ J lo cual supone que existe una fuerza generada por el campo magnético que está a lo largo de la longitud de la tubería. Luego: F= I. long.B I =J × AREA=J ×( L . w)

∴ Fb=J × ( L. w ) . h . B Parte (b): Por demostrar que: De la figura en la parte(a) tenemos que: Fb Fb J × ( L. w ) . h . B =∆ presion ⇒ = A A h.w

∴ ∆ presion=JLB .( Lqqd)

7. Un cirujano de corazón vigila mediante un monitor la cantidad de sangre que circula por una arteria utilizando un medidor de flujo electromagnético (figura P29.61). Los electrodos A y B están en contacto con la superficie exterior del vaso sanguíneo que tiene un diámetro interior de 3.00 mm. a) Ante un campo magnético de magnitud 0.0400 T, entre los electrodos aparece una fem de 160

μ V. Calcule la rapidez de la sangre. b) 5

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Compruebe que el electrodo A es positivo, según se ilustra. ¿El que los iones móviles presentes en la sangre estén la mayoría cargados positiva o negativamente depende del signo de la fem? Explique. (Serway-Jewett. Pág.835)

FB Solución: Parte(a) Si: B = 0.400T y fem= 160 uV ; Vsangre = ?

V

B

Sabemos que: Δ V =ε =fem=E . diametro

Además para que la rapidez de la sangre no se desvié por el tubo se debe cumplir que: FB=FE= q.E

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¿ q . Vsangre. B=q .

∴Vsangre=

fem diametro

fem 160 ×10−6 = =1.33 m/s B . diametro (0.040 ×10−3)

En vista que: La “FB” está dirigida hacia arriba, entonces debe existir una fuerza hacia abajo, para que la rapidez del flujo de sangre no se desvié y se mantenga horizontal. En conclusión el punto “A” debe ser positivo como se muestra en la figura. Parte (b): No.Los iones positivos que se mueven hacia la persona, cuyo campo está dirigido hacia la derecha experimenta una fuerza descendente y se acumulan en el fondo. Los iones negativos que se mueven hacia la persona experimentan una fuerza descendente y se acumulan en el fondo; por lo tanto ambas pueden generar una fem.

8. La estimulación magnética transcraneal es una técnica no agresiva que se usa para estimular regiones del cerebro humano. Una pequeña 7

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bobina se coloca en el cuero cabelludo, y una breve explosión de corriente en la bobina produce un campo magnético que cambia rápidamente dentro del cerebro. La fem inducida puede estimular actividad neuronal. a) Uno de tales dispositivos genera un campo magnético hacia arriba dentro del cerebro que se eleva de cero a 1.50 T en 120 ms. Determine la fem inducida en torno a un círculo horizontal de tejido de 1.60 mm de radio. b) ¿Qué pasaría si? A continuación el campo cambia a 0.500 T hacia abajo en 80.0 ms. ¿Cómo se compara la fem inducida en este proceso con el inciso a)? (Serway-Jewett. Pág.887) Solución: Parte(a) ε=

−N ∆ BAcosθ Bf −Bi =−1 π r 2 cos ∆t ∆t

(

¿− [ π (0.00160 m)2 ]

)

−0 1 ( 1.5T 0.120 s )

8.04 ×10−6 m2)12.5 T/s ¿¿ ¿ 101 μV

;

Tendiendo a producir corriente en sentido horario visto desde arriba Parte (b) La velocidad de cambio del campo magnético en este caso es: (−0,5T −1,5 T )/0,08 s=25 t / s .

Que es dos veces más grande en magnitud y en el sentido opuesto de la tasa de cambio en el caso (a), por lo que la fem también es dos veces más grande en magnitud y se encuentra en sentido opuesto.

8

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9. Para monitorear la respiración de un paciente de hospital, un cinturón delgado se ciñe alrededor del pecho del paciente. El cinturón es una bobina de 200 vueltas. Cuando el paciente inhala, el área encerrada por la bobina aumenta en 39.0 cm 2. La magnitud del campo magnético de la Tierra es de 50.0 mT y forma un ángulo de 28.0° con el plano de la bobina. Si supone que un paciente tarda 1.80 s en inhalar, encuentre la fem inducida promedio en la bobina durante este intervalo de tiempo. (Serway-Jewett. Pág.888) Solución: Sea la banda: Datos: N= 200 vueltas ∆ A = 309,0 cm2 B= 50 uT ∆ t= 1.80s

ε

ind prom

=?

Sabemos que por la ley de Faraday:

ε ind=−N .

d . ϕB dt

⇒ ε ind . dt =−N . d (∫ B . dA )=−N . d ( BA ) ⟹ ε ind .dt=−N . d ( BA . sen 28 ° )=−N . Bsen 28 ° . dA Af

⟹ ε ind .∫ dt=¿−N . Bsen 28 ° ∫ dA=¿−N . Bsen28 ° . Δ A Ai

|ε indprom|=

|−N . Bsen 28° . Δ A| (200)( 50× 10−6)(39× 10−4 )(0.469) Δt

=

|ε indprom|=10.2 ×10−6 V o ε indprom=−10.2 μV 9

(1.80)

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10. Determinación de la dieta. Un método para determinar la cantidad de maíz en las dietas de los antiguos indígenas norteamericanos es la técnica del análisis de la razón del isótopo estable (ARIE). Cuando el maíz hace la fotosíntesis, concentra el isótopo carbono 13, mientras que la mayoría de las demás plantas concentran el carbono 12 El consumo excesivo del maíz se puede relacionar con ciertas enfermedades, porque el maíz carece del aminoácido esencial lisina. Los arqueólogos utilizan espectrómetros de masas para separar los isótopos 12C y 13C en muestras de restos humanos. Suponga que usa un selector de velocidad para obtener átomos mono ionizados (que perdieron un electrón) con rapidez de 8.50 km/s, y quiere flexionarlos dentro de un campo magnético uniforme en un semicírculo con diámetro de 25.0 cm para el −26

1.99× 10

Kg

12

C. Las masas medidas de estos isótopos son

(12C) y

−26

2.16 ×10

Kg

(13C). a) ¿Qué intensidad de

campo magnético se requiere? b) ¿Cuál es el diámetro del semicírculo para el

13

C? c) ¿Cuál es la separación de los iones

12

C y

13

C en el

detector al final del semicírculo? ¿Esta distancia es suficientemente grande para observarse con facilidad? (Sears-Zemansky.2008.Pag.953) Solución: R=

SI

mV |q|B

Después de completar un semicírculo la separación entre los iones es la diferencia en los diámetros de sus caminos, o ionizado tiene carga + e. Parte(a)

10

2( R 13−R 12) .Un ion

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B=

mV = |q| R

3 ( 1.99 ×10−26 Kg ) 8.50 × 10 m

(

−19

(1.60× 10

s C)(0.125 m)

) =8.46 ×10

−3

T

Parte (b)

La única diferencia entre los dos isótopos es sus masas

R V = m |q|B = cte

R 12 R 13 = m12 m13

y

R 13=R 12

−26

(

)

m13 2.16 × 10 Kg =( 12.5 cm ) =13.6 cm. −26 m12 1.99× 10 Kg

( )

El diametro es 27.2 cm

Parte (C) La

separación

es:

2 ( R 13−R12 )=2 (13.6 cm−12.5 cm )=2.2 cm. La

distancia es fácilmente observable. 11. Bomba electromagnética. Las fuerzas magnéticas que actúan sobre fluidos conductores ofrecen un medio conveniente para bombear tales fluidos. Por ejemplo, este método se puede usar para bombear sangre sin el daño que una bomba mecánica haría a las células. Un tubo horizontal con sección transversal rectangular (altura h, ancho w) se coloca en ángulos rectos con un campo magnético uniforme con magnitud B, de modo que una longitud l está en el campo (figura27.75). El tubo se llena con un líquido conductor, y se mantiene una corriente eléctrica con densidad J en la tercera dirección mutuamente perpendicular. a) Demuestre que la diferencia de presiones entre un punto del líquido en un plano vertical a través de ab y otro punto del líquido en otro plano vertical a través de cd, en condiciones en que se impide 11

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∆ p =JlB. b) ¿Cuál es la densidad de corriente que

que el líquido fluya, es

se necesita para obtener una diferencia de presiones de 1.00 atm entre estos

dos

puntos,

si

B

=

2.20

T

y

l

=

35.0

mm?

(Sears-

Zemansky.2008.Pag.956)

Solución: La dirección de la corriente es perpendicular a B por lo que F = ILB. Si el líquido no fluye, una fuerza

(∆ p)

A partir de la diferencia de presión

debe oponerse a F. J=I/A, donde A=hw Parte(a) ∆ p=

F IlB = =JlB A A

Parte (b) J=

∆p = lB

Pa ) atm

(1.00 atm)(1.013 ×10−5 (0.0350 m)(2.20 T )

=1.32× 10−6 A /m2

Una corriente de 1 A en un alambre con un diámetro de 1 mm corresponde a una densidad de corriente de J = 1,36 × 10 -6 A/m2, por lo que la densidad de corriente calculada en la parte (b) es un valor típico para circuitos 12. Máquina magnética para hacer ejercicio. Usted ha diseñado una nueva máquina de hacer ejercicio con un mecanismo muy sencillo (figura 29.36). Una barra vertical de plata (elegida por su escasa resistividad y porque hace 12

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que la máquina se vea bonita) con longitud L = 3.0 m tiene libertad para moverse hacia la izquierda o hacia la derecha sin fricción sobre rieles de plata. Todo el aparato se coloca en un campo magnético uniforme, horizontal, con intensidad de 0.25 T. Cuando se empuja la barra hacia la izquierda o hacia la derecha, su movimiento origina una corriente en el circuito que incluye a la barra. La resistencia de ésta y la de los rieles es despreciable. El campo magnético ejerce una fuerza sobre la barra conductora de corriente, que se opone al movimiento de la barra. El beneficio para la salud se deriva del ejercicio que el usuario hace al trabajar contra esta fuerza. a) El objetivo del diseño es que la persona que haga ejercicio realice trabajo a razón de 25 watts al mover la barra con una rapidez constante de 2.0 m/s. (Sears-Zemansky.2008.Pag.1027)

¿Cuál debe ser la resistencia R? b) Usted decide que quiere tener la capacidad de variar la potencia requerida por la persona, de manera que la máquina se adapte a la fuerza y condición de cada deportista. Si la potencia se incrementa a 50 W modificando R mientras se dejan constantes los demás parámetros del diseño, ¿R debe aumentar o disminuir? Calcule el valor de R para 50 W. c) Cuando usted comienza a construir el prototipo de máquina, descubre que es difícil producir un campo magnético de 0.25 T en un área tan grande. Si reduce la longitud de la barra a 0.20 m mientras B, v y R valen lo mismo que en el inciso a), ¿cuál será la potencia que se demande de la persona que use el aparato?

Solución:

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La potencia aplicada por la persona en el movimiento de la barra es igual a la velocidad a la que la energía eléctrica es disipada en la resistencia. la potencia requerida para mantener la barra en movimiento a una velocidad constante es: 2

P=

(BLv) R

Parte(a):

R=

(BLv)2 = P

[

( 0.25T )(3 m)(

2.0 m ) s2

25 W

]

2

=0.090 Ω

Parte (b)

La potencia aplicada por la persona en el movimiento de la barra es igual a la velocidad a la que la energía eléctrica es disipada en la resistencia. Parte(c) Usando la resistencia de la parte (a) y una longitud de la barra de 0,20 m,

(BLv)2 P= = R

[

]

2

2.0 m ) s2 =0.11 W 0.090 Ω

(0.25 T )(3 m)(

Cuando la barra se mueve hacia la derecha la fuerza magnética sobre la barra está a la izquierda y se requiere una fuerza aplicada dirigida hacia la derecha para mantener la velocidad constante. Cuando la barra se mueve hacia la izquierda, la fuerza magnética

en la barra está a la

derecha y se requiere una fuerza aplicada dirigida hacia la izquierda para mantener la velocidad constante.

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13. Una botella abierta de plástico de bebida gaseosa, con diámetro de abertura de 2.5 cm está colocada sobre una mesa. Un campo magnético uniforme de 1.75 T dirigido hacia arriba y orientado a 25° de la vertical rodea la botella. ¿Cuál es el flujo magnético total a través del plástico de la botella de bebida gaseosa? (Sears-Zemansky.2008.Pag.949) Solución: El flujo total a través de la botella es cero debido a que es una superficie cerrada. El flujo total a través de la botella es el flujo a través del plástico más el flujo a través de la tapa abierta, por lo que el suma de estos debe ser cero. ϕplast + ϕcap =0 ϕplast =−ϕcap =−BAcosϕ=−B ( πr 2 ) cosϕ

Sustituyendo los números da

ϕplast =−(1.75 T ) π ( 0.0125 m )2 cos 25

Sería imposible para calcular el flujo a través del plástico directamente debido a la complicada forma de la botella, pero con un poco de imaginación podemos encontrar este flujo a través de un simple cálculo.

14. Suponga que en Atlanta, Georgia, el campo magnético de la Tierra tiene un valor de 52.0 mT hacia el norte a 60.0° por debajo de la horizontal. En un anuncio de neón un tubo conduce una corriente de 35.0 mA entre dos esquinas diagonalmente opuestas de un aparador, que está en un plano vertical norte sur. La corriente entra en el tubo en la esquina sur inferior de la ventana y sale en la esquina opuesta, que está a 1.40 m más al norte y 0.850 m más alta. Entre estos dos puntos, el tubo neón traza la palabra DONUTS. Determine la fuerza magnética vectorial total ejercida sobre el tubo. Puede

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usar el primer “enunciado importante” que se presenta en la sección Finalizar del ejemplo 29.4. (Serway-Jewett. Pág.832) Solución: Sea: Datos: B=52 μT I =35.0 mA

FB = ?

Tenemos que:

ds . cosθ=dx y ds . senθ=dy ⟹ tanθ=

Donde:

dy 1.4 = dx 0.85

Luego: 1 /2

2 2 2 Long.total= 2∫ ds=2∫ √ dx +dy =2∫ ( 1+ tanθ ) 1.4

Long.total =2 secθ ∫ dy= 0

. dy

2 (1.64 ) ×1.4=5.4 m 0.85

FtotalB −3 −6 ¿ I . (2∫ ds ) × B=I .longB . sen 30 °=( 35 ×10 ) ( 5.4 ) ( 52 ×10 ) ( 0.5 ) =4.9 μN

15. La idea de que un campo magnético puede tener valor terapéutico ha permanecido durante siglos. Un imán de tierra rara vendido para aliviar el dolor de la articulación es un disco de 1.20 mm de grosor y 3.50 mm de diámetro. Sus caras circulares planas son sus polos norte y sur. Suponga que se modela con precisión como un dipolo magnético, también que la ecuación 30.10 describe el campo magnético que produce en todos los puntos a lo 16

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largo de su eje. El campo es más intenso, con el valor de 40.0 mT, en el centro de cada cara plana. ¿A qué distancia de la superficie la magnitud del campo magnético es la de la Tierra, con un valor de 50.0 mT? (SerwayJewett. Pág.860)

Solución: Aplicamos

( 2μοπ ) μ / x

B=

3

al centro de una cara, donde B = 40 000 mT y

x = 0,6 mm, y también hasta el punto del campo débil exterior, donde B = 50 mT y x es la incógnita Entonces: B x 3=40000 μT ( 0.6 mm )3=50 μT ( d +0.6 mm )3 d=

(

40000 50

1 3

) ×0.6 mm−0.6 mm=4.97 mm

El fuerte campo no penetra la articulación dolorosa

16.

Usted quiere acertar en un blanco ubicado a varios metros de

distancia, con una moneda cargada cuya masa es de 5.0 g y cuya carga es de +2500 mC. Da a la moneda una velocidad inicial de 12.8 m/s, y en la región existe un campo eléctrico uniforme dirigido hacia abajo con intensidad de 27.5 N/C. Si apunta directamente al blanco y lanza la moneda horizontalmente, ¿qué magnitud y dirección del campo magnético uniforme en la región se necesitan para que la moneda dé en el blanco? (Sears-Zemansky.2008.Pag.952) Solución: La suma de las fuerzas magnéticas, eléctricas y gravitatorias debe ser cero para apuntar y dar en el blanco. El campo magnético debe apuntar

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a la izquierda cuando se ve en la dirección de la diana de ninguna fuerza neta. la fuerza neta es cero, por lo que:

∑ F=Fb−Fe−mg=0 y qvB−qE−mg=0 Despejando B da: s 12.8 m/¿ ¿ (2500 × 10−6 C )¿ −6 2 qE+mg ( 2500 ×10 C ) ( 27.5 N /C )+(0.0050 Kg)(9.80 m/s ) B= = ¿ qv

La dirección debe ser perpendicular a la velocidad inicial de la moneda. Se trata de un campo magnético muy fuerte, pero alcanzable en algunos laboratorios

BIBLIOGRAFIA

1) Física universitaria, Sears-Zemnsky, Young, Hugh D. y Roger A. Freedman,

Volumen

2,

Decimosegunda

EDUCACIÓN, México, 2009

18

edición

PEARSON

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2) Raymond A. Serway-John W. Jewett, Jr.; volumen 2, Editorial Cengage Learning, Septima edición. 3) Física 3, Hugo Medina. Pontificia Universidad Católica del Perú.

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