Bioingeniería (Fundamentos Biocinéticos)

Bioingenieria Fundamentos biocineticos para el diseiio de procesos fermentativos

J. Galindez Mayer N. Ruiz Ordaz

Escuela Nacional de Ciencias Bio16gicas Instituto Politecnico Nacional

Mexico, octubre de 1994

~! DIRECTORIO

C.P. Oscar J. Joffre Velazquez

Director General del IPN Ing. Alfredo LOpez Hernandez Sectetsrio General Dr. Benjamfn Varela Orihuela

Dr. Jose Antonio Iran Dfaz Gongora

SecreW'io Tecnico

Secretsrio Academico

Ing. Marco Polo Bernal Yarahuan Secreuuio de Apoyo

COMITE EDITORIAL EDITOR: Q.P. Jorge Vargas Cbtvez

Ing. Marco Polo Bernal Yarahuen Dr. Anuro Nava Jaimes M. en C. Ru~n Mercado Escutia Dr. Antonio OrioJ Anguera M. en C. Imelda Manlnez Morales M. en C. Emesto Filio LOpez

Ing, Pernando Oviedo Tovar Lie. Prancisco Patino Urate Lie. Elisa Cassigoli P6rez C.P. Alberto Moreno Goozakz Lie. Salvador Ruiz SuMez Dr. Guillermo Chamber! del Castillo

Dr. Radu Racotta Poulief Dr. Onofre Rojo Asenjo M. en C. Jaime Garibay Aguilar Dr. Carlos de 10Vega Lezama M. en C. ]osefina Paredes GonUlez Dra. Estel. Mel6ndez Camargo Q.B.P. Glafira Angeles Ocampo Enf. Sara Alici. Ponce de Leon Lie. Max Krongold Pe1zennan I.B.Q. Adolfo Saldai1a Pedroza C.P. Alberto Moreno Gonzalez Dr. German Chamorro Ceballos

EDITOR FUNDADOR: Q.Z. Vicente Lauria Flores

t

-,

PRESENTACION

La educacion nacionai afronta el desaffo de preparar recursos humanos que Ie permitan a Mexico el desarrollo y estar aJ dfa en el avance internacionai contemporaneo, partici-

pando

en todas las areas de la actividad y del saber humano.

EI Politecnico, que siempre ha estado presente en el desarrollo del pals, requiere de una comunidad fonnada por el trinomio maestro-alumno-egresado cuyos integrantes tengan la capacidad requerida para a1ternar con los mejores profesionales del mundo. Esta posici6n necesita de un continuo intercambio de experiencias entre las comunidades dedicadas al desarrollo, tanto de la enseiianza, como de la ciencia y la tecnologfa, que retroalimente el proceso de creacion intelectual. Un organo importante para cumplir 10 anterior, es la publicacidn de INFORMES TECNICOS que favorece el intercambio del quehacer cientffico, tecnol6gico y humanfstico, realizado por los miembros de la comunidad politecnica, dando por resultado la promocion de proyectos de investigaci6n inter y multidisciplinaria, que sedalen nuevas rutas bacia el futuro. Finaimente, y considerando que se trata de un ejercicio academico, cabe seiialar que los textos reproducidos en esta publicacion manifiestan s610 las opiniones personales de sus respectivos autores.

EL EDITOR.

CONTENIDO 1. Introducci6n

1

1.1 Antecedentes

3

1.2 ModeJoe matem'tlcos y slmuJadores de pt'OCe5O!>

5

1~1 Modelo..

IlNl

visi6n ge.... a1

5

1~2 Deeaipci6n y aplicac:i6nde modeloe 1~2.1 Modeloe ~\108

,.

Ypredktivos

6 6

1.2.2.2Modelos estructurados y no estructurados

7

1.2.2.3Modelos dJstribuidos y tegregados

7

1.2.2.4Modelos detennlnlsticos y estodstlcos

7

1.2.2.5Modelos continuos y disand Applied Chemi.try)

[Biotecnologta es] la aplicaeion de principios cientificos y de ingenieria para el procesamiento de materiales par agenles biol6gicoscon el fin. de producir bienes y seroicios 1981:EFB(EuropeM Pede.allan of Biotechnology)

Definida de una manera mas restrictiva, (la biotecno!ogia implica] el uso integrad; de la bioquimica, de la microblologia y la ingenieria para lograr fa aplieaci6n teenol6gica de las capacidadesmelab6licas de microorganismos, c:ilulasy

lejidos cultiuados, 0 de 5115 componenies. 1982:OBoe (Organlwtlon for EconomicCooperation and Development)

(13ioingenierfaes] el usa de la ingenieria y de los principias biologicos para la identificaci6n de lasfimciones de sistemas trivos y para el desarrollo de dispositivos terapeuna», espeoalmente paries y sistemas corporales,artificiales 1992: (Microsoft Books.helf)

15

Ni estas, ni otras definiciones son de aceptaci6n general. A menudo se confunde a la biotecnologia con la ingenieria genetic« identificandola con la manipulacion

genetica de microorganismos Y celulas, animales 0 vegetales, para producir razas nuevas. Aunque, estrictamente, esta ultima constituye s610 una de las disciplinas que intervienen en la biotecnologia. A la bioingenieria, frecuentemente se Ie identifica con el disei\o y escalamiento de bioprocesos. Con e) prop6sito de aclarar terminos Y 5610con fines dtdacticos pueden definirse ambos terminos de acuerdo a sus competencias. Para ella se agrupan las actividades necesarias "para lograr la aplicacion. tecnologica de las potencinlidades biologicas celulares" en dos conjuntos secuenciaJes, uno de la competencia de la bioiecnologia y otro de la bioingenieria.

DESARROLLO 8101eCNOL6Glco

Ma.nipu/aci6n geneliea para la oblenei6n de cepas 0 de l(neas celulares de alta produccion. Evaluaci6n y selecdon de cepas 0 de Uneas celuiares, lnvesligacion de condiciones de producdon y andlisis cinetico del proceso para una posterior definicion del sistema de reacdon. lnvestigadon de metodologia de recuperad6n y purificaciOn de bioproductos.

DESARROLLO DE BIOPROCESOS(BIOINCENI£RlA)

Diseiio del sistema de reaccion. Disello de biorreactores . Definicion de las operaciones previas a la fermentacion (upstream processing) y de las correspondientes a la recuperation y puriJicacion del produclo (downstream processing) que estan comprendidas dentro del bioproceso. Analisis econOmico.

De acuerdo a 10 anterior, la bioingenieria podria definirse como "el uso integmdo de con_ocimientosy herramientas meiodologicas de In bioquhnica, microbiologia, computacion e ingenieria quimica, para el diseiio y la evaluacioll de bioprocesos". EI grade de complejidad que esto encierra, hace necesario que el diseiio y la evaluaci6n se aborden con el auxilio de una de las herramientas mas poderosas que existen en el

16 -I I

.~!

area de las ciencias: In simulnci6n de bioprocesosbllSlldaen rnodelos matem6ticos. Para hacer uso de esta herramienta es necesario lener informaci6n suficiente sobre

esiequiometria de reacdones biologicas, biocilletica,sistemas de reaccion y transfrrencia de lIIasll, calor y momenta en reactoresbiol6glcos. Como se mencion6, en un proceso fermentativo existen diversos subprocesos que se agrupan en: Preparacisn tk malerias primas, formutaci6n

y esteriliz.aci6n de mostos (upstream

processing)

Fmnentadon Recuperacion y purijicaci6n

de productos (downstream processing)

El impacto econ6mico de cada uno de ellos dependera de la clase de producto que se pretenda obtener. En el caso de productos de bajo valor agregado, por ejemplo: proteina unicelular (SCP) 0 tratamiento de aguas residuales, la fermentaci6n representa la parte medular del costo total por el consumo de energla para la eliminaci6n de calor y para la transferencia de masa, si se trata de procesos aerobios. En cambio, en la produccion de etanol, el consumo de energia para la recuperaci6n del producto es el que rob seriamente afecta 1a economia del proceso, por 10que resulta conveniente recurrir al disefto de procesos tntegrados de producci6n y recuperaci6n simultanea. 5i se trata de producir roetabolitos de alta pureza (utilizando usualmente cepas recombinantes), su recuperacion, y purificaci6n son las que rob gravitan en el costo global del proceso. Cualquiera que sea el caso, es posible reducir el costo de recuperaci6n si aumenta la concentraci6n de prod ucto en la mezcla de reacci6n. Por ello, el objetivo del diseno de bioprocesos constste en encontrar las condiciones de producci6n en donde se obtenga: alta concentrecion de producto alta producHlJldad (oeloddad voIumitrica tk produccion)

alto rendimiento (cficicllcia de conversion de materias primos a productos}

Estos tres factores son criterios fundamentales para el disello y eualuacion de

procesos fermentatiuos.

17

2.1 ESTEQUlOMETRiA

DE REACCIONES BIOL6GlCAS

En un proceso fermentativo, los reactantes se convierten, por acdon microbiana, en una mezcla de productos de reacci6n. 5i la poblaci6n celuJar se mantiene estatica (sin crecimiento), funcionando 5610 como biocatallzador de la reacci6n; unicamentc se requiere formular la mezcla de reactantes considerando la estequiometrla de la bioconversi6n. En caso de existir crecimiento, debe considerarse la fracci6n de reactantes que se convierten en biomasa, asi como la parte de la fuente de energia utilizada para e) metabolismo celular end6geno. Cuando e) producto de reacci6n es la propia biomasa 0 bien, algun components intraceluJar 0 secretado que no represente una fracci6n masa importante (enzimas, vitaminas, peptidos, etc.), el medio de cultivo se formula a partir de la composici6n del propio material celular, considerando los rendimientos correspondientes para cada uno de los componentes. COMPOSIOON EI.EM£NTAl DE MICROQRCANISMOS

Elemmto (£1

Badmas

I%J

lCl£I

Levaduras y '.oll80S (%J IC/£J

Carbono ,. [Clmin.

,. [C1m;1x.

47.0 53.0

44.0 SO.O

NItr6gcno

,. [N]rnin. ,. [N]m;1x.

12.0 14.0

3.9

3.8

7.5 11.0

5.9 4.5 ._F

FOsforo ,. [Pjmin.

31.3 26..5

1.0

2.0 1.S 2.S

31.3 21.2

1.5

" [K)Q\dx.

,. [MgJrnin. " [Mglmax.

0.1 0.3

470.0

0.1

76.7

0.3

" [S)mln.

0.300 0.600

56.7 78.3

0.31 0.60

46.7

0.100

470 3133 9400 9400 47000 47000

O.lO

440.0

:r. [P)m;1x.

1.5

1.5

44.0 33_1

Polasio

" [K)rnin. Mugnesio

2.0

29.3 25.0 440.0 166.7

AlNfre

,. [S)max.

73.3

Oligoelementos

,. [Cal " [Fe)

" [Mn] ,. [Zn)

" [Co)

,. [Mo)

oms

0.005 0.005 0.001 0.001

18

En procesos fermentativos, en donde no hay desviacionen el metabolismo aerobic

y no se presenta acumulaci6n importante de subproductos, la fracci6n de carbono del sustrato que se incorpora a la masa celular es aproximadamente del 66%; el resto se convierte en C~. Considerando que el resto de los nutrientes se incorporan fntegramente a la biornasa, en el medic de cultivo debera haber un exceso de carbono comosustrato para que se mantenga balanceado,

2.1.1Estimad6n de rendimientos teoricos 2.1.1.1Rendimieuto celular (Yg)

Si se considera un proceso aerobic, donde no se tienen desviaciones del metabolismo celular y no hay acumulacton masiva de metabolites, se tendra una estequiometria simple de reaccion: 0.66 Cccl+ 0.34 CC02

Csuslrato

En este caso, el rendimiento celular, basado en el carbone de sustrato [Cs)que se incorpora a la biomasa como carbono celular CCI sera de 0.66 gCdgCs = Yc independientemente de IIIfuente de carbono que se utilice. Sobre esta base es factible calcular el rendimiento te6rico celular maximo que se esperaria para cualquier fuente de carbono biodegradable, conociendo las fraccionesde carbono en el material celular C/ x y en el sustrato C/ s. C/ x = 0.52 gC/ geel

Yg = YcfC/s)/[C/x);

....

RENDIMIENTOSCELULARESMAxIMOS.

Sustrato

..... ~

FOrnwia

Dodecano C12HU CH4 ~H60 Glucose C6H1206 Metanol CH40 Metano Etanol

Disacarido Cl2HnO

GUcerol C3Hs03 Hexane C6H]4 Lecteto C3Hs03

PM

170 16 46

180 32 342 92 86

89

ICls}

Valor te6rico

0.847 0.750 0.522 0.400 0.375 0.421 0.391 0.837 0.404

19

Valor experimental Bact. Lev.

IYgI

(Yg,

1.07 0.95 0.66 0.50 0.48 0.53 0.50 1.06 0.51

1.03 0.56-1.01 0.49 0.38.0.4 0.48 '.46 0.45 0.18

IYgI

0.68 0.51

21.1.2 Rendimieuto calorico (Ykg)

Durante una fermentaci6n, una parte del contenido energ~tico del sustrato se libera como calor y otra queda alma.cenada en los productos de reacci6n. Conocido el contenido energetico de la fuente de carbono y de los productos de la reacci6n, es pos!ble estimar la cantidad de energia que se Iibera durante la fermentaci6n por oxidaci6n biol6gica del sustrato. Sobre esta base pueden calcularse los valores del calor de combusti6n del sustrato Mis- celulas AHc y productos AHp.

1.

Existe una relaci6n estequiometnca entre la cantidad de O2 que se consume por combusti6n de una substancia y el grado de reducci6n de la misma. En general, se tiene establecido que por cada mol de O2 consumido en la reacci6n de oxidaci6n, se Iiberan aproximadamente 112 Kcal.

2.

Por otra parte, considerando el valor de 26.05 kcal por electr6n disponible, ave- , que es la carttidad de energia liberada por la transferencia de un electr6n equivalente del sustrato reducido al cxtgeno, y estimando el numero de electrones disponibles de los atomos de carbonof4], lridrogenofl], origello[-2j y nitrogcllo[-3j en el sustrato, etl re11lJas ell producios, se puede lambiell caJcular el calor de combusti6n respectivo. En este Ultimo caso, los valores son ligeramente menores a los obtenidos considerando el oxigeno consumido en la reacci6n de oxidaci6n del compuesto.

°

20

CALOR DE COMBUsnON DE SUSTRATO (erpresado en

kCQljmoi).

lJ.HSJ

Calculc besado en el ~ alIlSUDlidoen I. r.aa:HIn [112kaI/mol 0,1

l1H5,!

C61culo basedo en Latnergla de 1(I(t('_Ier":).I'}.P1oILobcJ,>'Monod·.CridU"....>AutomaIk.PJOIRange->((O.sf}.(O. gTMSier-PIoI(ll2.(uo.aI}.Ax .. Lobcl.>r'·:J.I·}.P1oILabcl·>"Teooier'.CridLi.-.>AulomaIk.PlotRanS.>((0 ...1).(0. gMooer-PIoI(ll3.( •.so.sl!.Ax .. LobeJ·>r ... ·I'·).PIoILobol!->·Mooer·.CridLines->AutocnaIk.PlotRange->((O.sf).(O.1' gPowell-P.lot{ll4.(uo.s!).AxeeLobcl.>r.'. ·).I'}.PloILobeJ->·PowoJJ·.CridLi __ >Automatic.PJoIRangc->((O .. f}.(O. go..bes-PIoI(ll5.(S,50,sf).Ax .. LabeJ·>rs'.',,'}.PloILabeJ.>'DabcS'.CridLineo>->Automatic,PloIRange->((O.$f).(O.). Mull-5how[gMonod,gT"""ier.gM,x"".gPowell.gDabcS. PJoILabel.>'Comparad6n d. mod.los'); Show[C",phiaArray[((gMON>d.gMoeer}.(gT ... ier.gPowell}.(gDebcS.MuJI}}}}

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17

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Oabo. 0.5

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Compa(tcion de ~delo,

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1 1.5 2 2.5 ) 3.5 •

O. I.

•

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30

1.5 2 2.5

) 3.5

•

_.

Pouell: Il = ~lmbs/[(Ks+Kd)+s) La constante empirica

lKdJ, pretende

tomar en cuenta factores difusionales.

Blackman: para s < 2Ks para s ~ 2Ks Dabes, FillIl Y Wi/ke, modele de triple amsfmlte:

La constante [A] equi,:ale a Ks/1Jm6xY [B]a Ks. Al expresar la ecuad6n en la forma clasica, 1.1 I(s), se obtiene una cuadratica cuya solud6n esta dada por: 2

~l =

{(B+s-Allmb)-{[B+s-Allmax)2 - 4A I.ImaxsjO.5}/2A

Algunos modelos describen en forma generalizada a la variaci6n de [Il) con respecto a [s]. Konak:

Si se introduce el terminc Ilrel· Il/Ilmax' la ecuaci6n puede escribirse como;

k = 1/l.ImllxK,.

Esta ecuaci6n se reduce a la de Moned para p. 2 y a la de Teissier para p = 1. Kargi y Shuler:

-

31

Los valores de las constantes K, III YP son:

Modelo

("«}

(m}

{pJ

Monod

l/Ks

0

2

Teissier

0

1

Moser

l/Ks n/[Ks(l/n~

l-l/n

l+l/n

Contois

l/(BxJ

0

2

Konak

kflmJIx

p

P

2.2.3.2Modelos que describen la inhibicitni del metabolismo celular. 2.2.3.2.1.-lnhibicion de [11]y [qp] par producto: Dagley y Hinsehoood: {acido ldctico] (correlacion lineal) 11= llo[l-kp I Donde: 110 = 1(5) = velocidad de crecimiento en ausencia de producto.

k = constante empirica = l/Pm (en el modele de Ghose y Tyagi). Si 110 esta representado por la funcionalidad de Monod, 110 = [llmaxs/(K,;+s)J(l-kpl Ghose y Tyagi: {etanol] (correlacum lineal) 11= Ilo[l-p/Pml = Ilmax[s/'h1porb01Jca'. GrldU __ >Automoll{(O.pI).(O.jAlI\lIJ; gParLev-I'IotlI>4.(p.po.pf},AxeoL.abeI->rp',',,').PIotLobeI->'l'aroblIlraLeY". GridLl.~> AutoO\lluc.PlotRange->((O.pI).(O._III; gParluong'"Plot[l'5.(p.po.pf},A_Lobel·>rp·,',,'I.PIotI..abeI->'P..-.b6lka1.oaona'. Grldu.->Automoll((O.PII.(O"""IIJ; Mull-Show(gUn.gExp.gHlp.gPOlLev.gPwL~PIotI.obel->'CanJW&Cl6l' do 1nOdoIoo1; Show[GraphicoAlTlly(((gUn.gs.,t.(gPwI.ev,pluonll.(lHip.NIIIIIIIl

II 'ell.

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ala Inhl-.cten ., __

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,....wcto.

,. 11~e.l 0.5

O.S

AulDmalic.I'fodtMoeI·I[O,ol),[O, gWebb·Plot[i>f,la.eo,ol},A_lAbel·>I·.·.·~·,.PIotI..olMl.>·Webb·,CridU ..... >AulOlNlIiI"'.·I").f'!.otl.-.>·Luong'.Cridu.->A"-"~>(O.oi\,[o,1' Mult-showf&H-!d.gAnd,SEdwo,gWebb"L-.,.PlotLobel->·Compand6n de mocIeIoe"]; ShowICI'1IphiClAmoy[((stwd.sAn4I,lsBdwo"Webbl,(sL-.,.hI.a1I1I11 Medelo8que oIe&c:riben fa inhlbldin *I c:redmlento (' 1.1 ',' n .: Ypx '}, PlotRange->(0,2.5},Mesh->False,PlotPOints->35)

2.5 2 Ypx

_, ~

..... ~ -../

0.250.!.

'-'I -'

~ ~ ~

~

42

Ryu y Humphrey: qp = qpmaxEIlreV II +(E-I)llrel} Donde: (~Irell= I-Ihlm6x' E = K1/K1'.

(E) es una constante empirica que representa una relaci6n entre las supuestas

constantes de saturaci6n Kl y K,' de dos pasos enzimaticos que respectivamente canalizan la conversion de sustrato a producto 0 biomasa. Por su definici6n, (E) 5610puede tomar valores mayores a cero.

Bnjpni y Reuss: qp = qpmaxs/fKp+s(l+s/K,..,p)} Donde K,..,pes una constante de represi6n de la slntesis de producto.

Kono y Asni: qp = 1),11-1+ 1),2(1-1.1) Siendo: 1),1 y ~2 ~ 0 Y 1.12: 0 2.2.6 Efecto de Ia formacion de subproductos sobre la emetic a de reaccicn EI rendimiento observado de producto, Yps puede expresarse como:

En donde Av representa la cantidad de producto generado a expensas del sustrato consumido para crecimiento (~)g' para mantenimiento celular (~)m y para la pro pia formaci6n de producto (As}p. Expresado de otra manera, la velocidad especifica de consume de sustrato qs puede dividirse en tres vertientes: consumo para crecimiento celular (qJg' consumo para mantenimiento celuJar (%}m' y consumo para la formad6n de

43 '-

prod ucto ('Is)p' qs = (qs)m + (qs)g + (qs)p = (m) + (Il/Yg) + (qp/Yp)

En donde el valor de Yp representa Ja maxima eficiencia de conversi6n de sustrato a producto, en caso de que el sustrato no fuese utilizado para crecimiento y para mantenimiento celular. Siendo Yps = qp/ 'Is y YXs = ~qs se tiene que:

Por tanto:

Dado que qp = 1(11), basta con sustituir la funcionalidadrespectiva, para un meta bolito parcialmente asociado a crecirniento, qp = ct).l + 13

44

Por ejemplo:

2.3 SISTEMAS FERMENTATIVOS Para prop6sitos de analisis del comportamiento de un proceso fermentativo, se puede definir como sistema fermentnttoo al volumen de reacci6n Iimitado por un

contenedor flsico (biorreactor) en donde se Ileva a cabo la bioconversi6n de reactantes a productos. Definidos los Ilmites del sistema, se denomina sistema cerrado a aquel en el que 110 flny interaunoio de mnteriales IIi de energin COli e! exterior. Un sistema abierto se define como aquel en donde se Ileva a cabo tal intercambio y finalmcnte, uno semicerrado puede ser uno en el que no haya salida de materiales perc sl entrada. Un ejemplo de sistema cerrado seria el cultioo por lote en el que el bioeatalizador (biomasa) y los reactantes principales se coloean en un reactor para que proeeda la fermentaci6n, y se cosecha hasta el memento en que esta ha finalizado. Un sistema abierto es un procesocontinuo en cualquiera de sus variantes, en el que pueden existir flujos de suministro de reactantes y de recirculaci6n de material celular, adem as del efluente. Los sistemas por lote nlimentados (Fedbatch} son un ejemplo de proceso semicerrado en donde se suministran nutrientes al sistema de reaccidn, sin que haya salida de productos hasta que la fermentaci6n concluye. 2.3.1 Sistemas cerrados Estrictamente hablando, un sistema fermentativo totalmente cerrado no existe en la practice ya que minimamente debe mantenerse un control de temperatura, 10 que implica que el sistema no puede estar aislado (illlercambio de ellerg{a). 5i el proeeso es aerobio requiere, ademas, un suministro continuo de oxigeno. Sin embargo, el balance de algunos de los materiales corresponde a este lipo de sistema. Balallce gloOOIde materinles ell

1111

sistema cerrado COli lIolllmen constante

Biomnsn ACllmlllacioll

= entrada - salida + gelleracwllllela

V(dxl dt)ac = 0 - 0 + V(dxl dt),",,"

[1J

(dx/dt)dc = (dxfdt}crec = J,lX

-

45

Susirato Acumulacion = entrada - salida - COIISUlUO

V(dsjdt)"c = 0 - 0 - V(ds/dt)cons (dsjdt)ac

Z -

(dsjdt)cons - - qsx = -l1xjYxs

[2]

donde YX5 = f(J..L)

Producio ACilmulaci611 = entrada - salida + siniesis neta

V(dpj dt)ac = 0 - 0 + V(dp/ dt)sinl (dp/ dt)ac = (dp/ dt)sint = qpx

[3]

,londe qp = f(J..L)

E: conjunto de ecuaciones diferenciales [1], [2J Y [3J representa el modele general de un sistema fermentativo por lote. Un modele espedfico del sistema que lleve a una soluci6n que describa la variaci6n de [xJ, [sJ y ~pJ en funci6n de la variable independiente (t) , se obtiene al sustituir los terminos 11,qs Yqp en el conjunto por sus respectiV05modelos caracteristicos. Como se vio anteriormente, estos terminos estan interrelacionados y cad a uno de ellos puede representarse como una funci6n de variables ambientales tales como la concentraci6n del sustrato limitante (5) y la de algun producto metab6lico inhibitorio (p). J..L = f(s,p)

Dependiendo de la complejidad de los modelos de crecimiento, de consume de sustrato y de formacion de producto, podra obtenerse una soluci6n analitica (exacta) al conjunto de ecuaciones 0 bien, la soluci6n debera ser numerica (aproxilllada). Idealmente, para un caso particular de produccion de biomasa en el que no se presente inhibici6n del crecimiento por sustrato ni por producto, podra resolverse analiticamente el conjunto si la velocidad especifica de crecirniento responde a un modelo simple, como el de Blackman. La soluci6n analitica sera valida exclusivamente para el intervalo en que s :1: 2K,.,donde 11(5)= J..Imax. Empleando el modelo de Blackman, se resuelven las ecuaciones entre los limites:

t" ...t,

46

-,-I 1

I

_J

(4J Si J.I(s)es constante e igual a J.lmax los ~rminos 'x Urn '05I.. to1;

Show[CraphlaoAmoY[[Sl.g2111 g3oShow(g1.g2. Vi.wPoint.>(1.5~.1).PlotLabeJ->·lnle..ecd6n'l

" li.it

02

x

54

l1en.

suat.cato

Por 10 tanto:

Si ademas de [m] se considera el conSUD\Odebido ala formaci6n de producto:

Para este caso se tendril que:

Si se considera otro tipo de modelo para describir la funcionalidad Jl - f(x,s,p), la

obtenci6n de las ecuaciones descriptivas del sistema continuo puede hacerse mas compleja. Por ejemplo: considerando que exista irihibici6n de la velocidad de crecimiento por a~ulaci6n de producto (Inhibicion no competitiva • modele hiperb6Licode Aiba et al).

Donde: [A] m [l+p/KpJ. Tendremos que en estado de equilibrio la ecuaci6n [13] sera ahora: Jl E D = Ilmllxs/[A(Ks+s)]= IlmbS/[(l+p/Kr)(I{{O.Ol,O.18}.{O,lSO}I,GridLines->Automatic, AxesJ,.abel->(·,,( 1/h)", *oW 1)·}.PlotLabel-> 'Suslrato resid ual"l

'(9/1)

Sustrltu re31dual

u...de",.

/If"'"'

"en

$OI.ciont. m:/'2-4 C)'(1/2»!2; 52=~ KS/(J1m'J12);Yxs2=~ !(1l2/Y g+m); x2=l('+Yxs2(Sr'.s2);Rx2=D2 x2; gl=PloI3D[Il2,IFo.F1/100.5 Fl}.(5r.sl,SO},AxosLaool.>{'Fo"; g2=Plot3D[.2.{Fo.Fl/1OO,5 Flj.tsr.sl.50j, AxesLabel.>("Fo"." g3=Plot3D[x2.(Fo,Fl/l00.5 Fl).(Sr,,;l.50). AxwLabcl·>{"Fo"." g4=Plot3D{Rx2.{Fo.Fl/l00.5 FlI,ISr,,;l.50). AxesLabel·>{'Fo·." Show[CraphksArr.y[l(gJ.g21.(g3.g411lJ

O. pl

o?

o.

5r';1l2 .)); Sr",...2 'Il; 5r";,,2 'lJ; 5r";Rx2 'lJ

O. Q.

z~o

x2

250

Rx2

250

250

63

2.3.2.3 Cultivo continuo

COli

retroalimentacum extema de biomasa (CeRE)

Ecuaciones de balance (oer esquema)

raJ

Fllljo:

F + wF = Fd

+ Fe + wF

Por tanto: [301

Balmzce de biolllllSfl ell el separador Se considera que en el separador el tiempo de pennanencia de los componentes es muy reducido, por 10 que no se altera la concentraci6n de reactantes 0 productos en las corrientes Fd Y FC' (F+wF)(x) = Fd(xd) + Fc(xJ + wF(xJ (F+wF)(x) = Fd(xd) + (x,)(Fc+wF) Dividiendo entre (x): 1311 EI valor de la relaci6n [xd/x] depende del valor de la eficiencia del separador:

Por tanto:

Substituyendo

este valor en la ecuaci6n 131] asl como el valor del flujo [F] dado

por la ecuaci6n [30J se obtiene: [32)

64

~I

Ejemplo de un sistema fermentativo continuo con retroalimentaci6n externa de biomasa (CeRE). Tratamiento biologico de efluentes empleando el proceso de lodos

activados.

-

65

Bnlnlla de biomasa en el renctor Vldx/dt}ac: wF[xd - F(l+w)[x] + l-I[x]V En equilibrio dinamico: 1-1: O(l+w) - wD[xcfx) = O{l+w-w[xc/x))

Substituyendo la ecuad6n (32): 1-1- O(l+w-w[l+EFd/(Fc+wF»)) (33)

1-1- 0(1- [wEFd/(Fc+wF)]} 1-1- DCB)

Oonde: 0 S B 5 1 Balano: de susirato en el reactor V{ds/dtlac: wFs + FSr - F(l+w)s -l-IxV/Yxs En equilibrio dinamico: (34) Balance de producio ell el reactor V{dp/dtlac:

wFp - F(l+w)p + qpxV

En estado de equilibrio dinamico:

[35] EI comportamiento especifico de las variables [x.s y p] dependera del modelo que rija a las velocidades especificas de crecimiento celular [I-I(s,p)],y de producci6n de

~I

metabolitos [qp(Il)]'

66

~J

'_-

Caso ell el que se presenta inhibicioll por producto de acuerdo al modelo de crecimienio p(s,p) = ~lmtixs/{A[K,;+s)} Donde: A = l+p/Kp

Rendimienio celular

Modelo de produccion qp = a(BD)n + 13 Despejando el valor de [p) a partir del modele de crecimiento I1(S,P): [36) Igualando las ecuaciones cuadratica:

[35) y [36), y despejando

67

[5) se obtiene la ecuacion

Cultlvo continuo con reclrculacl6n extema de blomasa (CCRE) EfedD del F1ujo F y de ]a fracci6n de recirculaci6n de biomaliA (w) en lot valores de S\lStrato residual (8) y de concentrad6n celularfx)

CONtante8 del sistema y del modelo de crecimiento Ef-O.9; FdF-O.9;Sr-4;I{"F·." w"."s "II PIoI3D[x.{F.Fi.20Fi),{w,wmin,wlim},AxesLabel->{"F"," w','x 'J]

.0.

o. o.

r 200

68

..

2.3.3 Sislemils fermentativos

semicerrados

EI suministro gradual de nubientes a un cultivo por lote, es una practice que empiricamente se ha utilizado para el cultivo de microorganismos a 10 largo del

siglo. Es hasta la decada de los setenta que se describen matematicamente distintas variantes de esta clase de fermentad6n a la que genertcamente se denomina Fedbatch. En este sistema hay entrada, pero no salida de materiales al reactor, por 10 que tam bien se le denomina cultivo de volumen variable. Por la forma de suministro de nubientes al reactor, los sistemas fermentativos semicerrados pueden elasificarse en cultivos con alimentaci6n constante 0 uariable. EI conjunto de ecuaciones diferenciales del sistema, que describen a las velocidades globales 0 volumetricas de acumulaci6n de materiales en el reactor, son las mismas para cualquiera de los casas (ecuaciones generales de balallce), diversificandose las soluciones a estas ecuaciones generales en cuanto se considera la fundonalidad que tiene la velocidad de suministro del sustrato limitante (FSr) con respecto al tiempo.

Ecuaciones gertemks de balance de mRterlales errun sistema semicerrado Biolllasa

(d(Vx)/ dt}ec = {d(Vx)/dt}crec= j.1VX = j.1)(; Donde X = Vx

(37)

La derivada del producto de las variables (Vx)es:

(d(Vx)/dtlac - x(dV/dt) + V(dx/dt) La variaci6n en el volumen esta dada por: (dV / dt) = F - J(t)

Sustituyendo estas ecuaciones en (37), se obtiene 101ecuaci6n volumetrial de balance de biomasa: (dx/dt)ac = X(Il-F/V) a X(Il-D)

[38]

Haciendo balances similares para sustrato y para producto se obtiene:

69 '-

Sustrato (d(Vs)/dt}ac = FSr-{d(Vs)/dt}cons= FSr-qsVx= FSr-I!X/Yxs

[39)

(d(Vs)/ dt}ac = s(dV/ dt)+V(ds/ dt) Por 10tanto: (ds/ dt)ac = (F /V)(Sr-s)-l-Ix/Yxs= D(Sr-s)-l-Ix/Yxs

[40)

Producto (d(Vp)/ dt}ac = (d(Vp)/ dt}prod= I-IVxYpx

(41)

Dado que (d(Vp)/ dt}ac = p(dV/ dt)+V(dp/dt)ac Igualando esta ultima ecuacion con la (3) y despejando, se obtiene: (dp/dt)ac = I-IxYpx-(F/V)p= I-IxYpx - Dp

[42]

Las ecuaciones de balance volumetnco de materiales, obtenidas para el sistema semicerrado [38 a 42], son identicas a las de un sistema abierto de simple etapa, 10 que significa que en ciertas condiciones es factible operar el cultivo Fedbatclr en condiciones de equilibrio dinarnico. Para un culiiuo por late COli SlIlIIillistro constants de nutrientas (FBlin), Pirt (1975) plante6 la existencia de un virtual estado de equilibrio dinarnico (qss por las siglas de quasi steady slllte), cuando la demand a microbiana por el sustrato que Iimita al crecimiento (qsxV) alcanza a la velocidad de suministro (FSr). En tal estado, la concentracion celular no varia en el cultivo por 10 que la biomasa total (Vx) se incrementa en forma lineal. Edwards y col. (1970) presentaron un tratamiento matematico para un caso particular del cultiuo por lote COli alilllelllacion exponencial de nutrientes (FBcx),al que denominaron cultioo extendido, en el que la concentracion de sustrato Iimitante se

70

._

mantiene constante cuando la velocidad de suministro varta de acuerdo aJ cambio en Ja demanda de sustrato. EI culiioo extendido (FBe) puede mantenerse en condiciones en que (dsl dt)ac = 0, aunque transitori ...nente (dxl dt)ac .. 0 y j.l .. D. Eslo marea la di(erencia con un cultioo exponencialmente alimentado en complete eslado de equilibria

(FBL",.) en el que j.l = 0 y no se tiene acumulaci6n volumetrica de ninguno de los materiales. Este ejemplo es un caso particular deillamado

cultivo exlendido.

En los ultimos casos mencionados, (su aspeclo matematico se tratara mas adelante en forma individual), la variaci6n en la velocidad de suministro de nutrlentes (FSr) se consigue variando eJ flujo F mientras Sr se mantiene constanle. Sin embargo, es posible obtener una cedula de alimentaci6n diferente si la variaci6n en el sumirustro se consigue provocando un cambio en el valor de Sr= fit), por medio de un dispositivo que genere un gradiente de concentrad6n en el tanque de suministro de nutrientes al reactor. En este ultimo caso, se tendra un cultioo am alimentacion ell IOYl/In de gradiellle de concentraci6n (FBg). Este Ultimo tipo de sistema simplifica operativamente los cultivos por lote con alimentad6n variable.

2.3.3.1Pedlmtcn COil suministro constante de nutrientes. Dado que: (dV I dt) = F = fit) = Constante

IdV -IFdt Integrando entre los limites CY0 -+ V) Y V

(10 -+ I) se obtiene:

=v; + Ft

[43)

(dx/dt)ac = X(j.l- F/V) = X[j.l- FICYo+Ft»)

(44)

Donde: ~l-

f(t) = 4>(s,p).

Para ejemplificar, se emplean los modelos de Monod j.l = j.ll),bs/(Ks+s), de sfntesis de metabolitos qp = O:j.ln+1l y se define aJ consumo de sustrato como qs = m + j.l/Y g +

qp/Yp

71

Estas ecuaciones se sustituyen en las ecuaciones de balance:' (dx/dt)ac - x(~-D) = x[llmaxs/(I"volumen"J; red-PIot[EvaJuate[F l(vo+F t)/.!IOI).(t.O,tf),AxeaLabel->rt(h)","O.1/hl"l,PlotLabel->"Diluci6n re,,-Plot[EvaJuate[((I-p[t)/Pm)"m .[t)/[Ks+s[tDl/ .sol], (t,O.tf).AxeaLabel->rt(hr.-" (l/h)"l,PlotLabel->"II"); rex- Plot[EvaJuate[xltJ/.aol),{t.O,tf),AxeaLabeI->rt(h)".·x[&/1)1,PlotLabel->·biomass"); rep-Plol[EvaJuate(p[t)/ .aol).(t.O,tf),AxeaLabeI->rt(h)","p[&/ll1.PlotLabel->"producto"J; re.. Plot[EvaJuate[a[t)/.aol).(t,O,tl),AxeaLabeI->rt(h)..... [&/1)1,PlotLabel->"sustrato"); mud-Sh_[ujI,red,AxeaLabel->rt (h)",·11,[I /hl1,PlotLabel->"II.O _alit)"}; mull-Sh_[rex,re.,rep,AxuLabeI->rt (h)""x,a.p (g/ll1,PlotLabel->"x.s.P =f[t]"]; Show{OraphicaArraY({(rex.rea},{mult,mudllJ]

x .(q/l)

8

aue r r a t o

6

3

5.5

2.5

5

2

•.5

1.5

•

1

3.5

0.5

2 x,.tP

I

...

FaIse,AxesLabel->("Tiempo(h)','O (l/h)'11 PloI{l!v.luate[Table

[)(OVo Exp[III]/ (Vo+lI )(0Vo (Exp[1I tJ-1)/ (Yxs(Sr-'))), {Sr,141l1{t,O.OI, IO},Frame->F.l .. ,AxesLabel->{"Tiempo (h)',"x (g/ 1)'11

0 (lIh)

'-

o. o. o.

o. Z

4

2

•

•

?1ett'pO 8

(h)

10

x (1/h)

•

77

Tlempo 8

10

(hi

o

EfectQ del valor inic:ial de in6cuJo (xo) en cl componacuento de un culUvo .allinenJado exponendalmeue Condiciones iniciales y valcres de las constantes um-O.45,Ks-D.25;a-2.6;b-D.2;n-I.25;Yp-O.51; Yg-0.56;m-D.15;o:-I's Ks;Vo-2$,-IOO;po-l;

EnulI:ionut d(ll thtCtna (c.rmcntativo "volumen °1; rex-PlollEvaluatelxltll ,soll,(t,O.tl}.AxeaLabel·>it (h)"."x III/I)"}.PlotLabel->"biomua"l; rep= Plet] Evalu ate (Pltll ,soll,{t.O.tl}.AxesLabel·>it (h)"."p 1A/1)"),PlotLabel->'producto"l; ref- Plot(Evalu atelv'lt II ,sol 1.lt.0.tl},AxeaLabel· >it (h)".·F PI h)I.Plot Label- >°f1ujo°1; red= Plot(Evalu atelv'ltl/v(ll/.soll.ft,O,tl}.AxesLabel->il (h)".' 0 {l/hn, PlotLabel·> "0iI"1; , rc,,-Plot(Evaluatel (l'p(t)/Pm)"m ac/(Ks+sc)/,soll, II,O,tf),AxesLabel->Ft (h)',"" (l/hn,PlotLabel'>'~ - fll)"l; mult-Show(re",rep,AxesUi.be!->il (h)","",p (Af1J1,PlotLabel->'",p - Ilt)"); mud-Show(red.re".AxesLabel.>("1 (h)"."I',D Il/hJ1,PlotLabel->·~.D - 1l1)"1; Show(GraphicsArray({{rev.ref),{mull,mud)}))

Cli

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79

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6

8

la condici6n en donde J.I y 0 son iguales y Sr - So+x/Y xs En 1977, Lim y col. hicieron un analisis matematico de los cultivos, extel/dido y fedbatdl exponencial, describiendo las condiciones particulares en donde puede mantenerse un estado de equilibrio dinamico, analogo al obtenido en un sistema continuo en el que se mmpleque (ds/dt)ac =0, (dx/dt)ac = 0 y J.I = D. Cuando se trabaja con cultivos en los que no se presenta el fen6meno de inhibicion por producto, se puede pensar que es suficiente cumplir con la primera condicicn (ds/ dt = 0) ;>araque el estado fislolegico celular se mantenga constante, ya que J.I j{s) Ytodos los demas parametres de estado fisiol6gico depend en a su vez de (u). En estas condiciones, teoricamente no debieran presentarse diferencias en el comportamiento celular de un cultioo extendido y de un cuJtivo fedbn1ch en esmdo de equilibrio dintimico. Sin embargo, normaimente hay variacion en los niveles de sintesis de algunos componentes celulares (enzimas) 10 que puede ser indicative de diferencias en la fistologta celular. 23.3.3 Fedbatcll

COlI

alimentacitm en forma de gradiente

Un cultivo por lote con flujo de IIIimerltllci6n conslllnie es mas facil de lIevar a la practice que un cultivo con f/lljo variable de nutrientes. En el segundo case, es necesario el empleo de equipo mas complejo, por ejemplo: si se trata de un sistema automatizado se requieren sensores especificos para detectar el nivel de sustrato limitante, asi como servomecanismos de control para la dosificaci6n de nutrientes. Auque se lIegase a prescindir de instrumentation complicada para el proceso, serfa necesaria, al menos, una bomba de alimentaci6n regulada por un programa previamente establecido. Un sistema fermentativo semicerrado que conjunta la ventaja de la facilidad operativa del EBlin con la mayor productividad que presenta el cultivo FB~, es el sistema FBg' en el que el f1ujopermanece constante y la S, varia en un dispositivo que genera un gradiente de concentracion y que se presenta en el esquema de la pagina siguiente. EI gradiente se obtiene al transferir gradualmente el medio concentrado (St) del tanque R a un medio diluido (5&)en el tanque G. La variacion de la concentracion de sustrato en el f1ujode alimentacion (Fg), dependeni de los valores relativos de los diametros Dr YOg de los tanques del sistema generador de gradiente. 5i ambos diametros son iguales, 5g variara linealmente. 5i Dr > Og la curva sera concava hacia arriba. 5i Dr < 0g' se obtendra un perfil invertido, 80

'-"I

Cultivo alimentado con una velecidad de flu;o constante y .uministro variable de sustrato (Sg), mediante un dispositivo fcrmador de un gradiente de concentr.ci6n.

81

("Sistema generadoc de grediente de concentraoon Condiciones inic.laJes y valores de lAs constantes") S....324;Sgo-15;k-O.000378;Rhow.l;Vo-5;Dr-O.lS;Og=O.;hro-O.5; (0Alturas y diAmetros en 1II;Concentraciones en giL vol. en litros .) ("Ecu.ciones genet.les del generador") Rhogo-Rhow+kSgo; Rhor=Rbow+k Sr; ("g/cm3°) Vor-l000hro(3.1416 DrA2/4); Vog-l000hgo (3.1416 OgA2)/4;(*Vohlmenes en Iitros") Mro-Rhor Vor; (OMasaen Kg") Rr-Mro/ (Mro+Mgo); Rg-I-Rr;hgo-hro Rhor /Rhogo; Mgo-Rhogo Vog;f-l.5; Mr- Mro-F Rhor Rr tSigr-Sr/Rhor;SigoaSgo/Rhogo; Sigmag-Sigr-(Sigr-Sigo)«(Mro-F Rhor Rr 1)/Mro)A(DrA2/(O.033330g)"2); Sg-Sigrnag Rhow/(l-k Sigmag); PIoIIEvalwolcrr.ble(Sigr-(Sigr-Sigo){(Mro-F Rhor Rr I)/MI'Q)

-

-

A(Dr"2/ (0.033330g) "2»,{Og.12}111~0.551, Frame->Falile,A •.,LAbel->{Oliempa (h)',"Sig (g/Kg)'))

S1g (g/Kg)

oJ

Eftcto de ,. ,..lAd6ro o./Dg.n tll'""fiI tit ......cidn tit,. "'n""nlnldln de ••• _

en tI ....dio dt suministro.1 ""clor

82

I

Alllilisis teorico

(A) Ecuaciones descrtptiuos de lallllriacWlI ell III collcelliracion de sustrato (Sg) ell el medio de suministro al mnque de !ermelliacion La masa total del sistema es la sum a de la masa liquida en el tanque R, (Mr=prVr) Y en el tanque G, (Mg=PgV g)' Rr es la fraccion masa delliquido en el tanque (R) Y Rg es la fracci6n existente en el tanque (G).

por 10 tanto:

Rr=0 r2/(0 r2+0g2)

Y

Dado que los tanques estan interconectados, hidrostatica y se tendra la relacion de alturas:

en ambos habra la misma presi6n

EI volumen en cad a tanque es:

[60] (61)

Combinando

estas ecuaciones se tiene que:

dado que Vr = Mr/Pr

por tanto: (62)

83

Balance de materiales considerando losflujos mdsicos w, = Fp, Y Wg = Fpg Balance en el tunque (R)

por integraci6n se obtiene: [63] Balance en el ianque (G) -'I

(64] Sustraio en el tanque gradientador (G): Considerando los valores de concentraci6n

masica en el tanque de suministro Og = Sg/ PgYen el tanque formador de gradiente Oge Sg/Pg expresado en gramos de sustratoj'kg de soluci6n: (65)

Combinando las ecuaciones (64)Y(65): (66) Despejando dOg/dt de fa ecuaci6n (66):

:1

[67] Substituyendo los valores de Mg (62)YM, (63)se plantea fa diferencial como:

~I -'I

La soluci6n para Oges: (68)

EI valor de la concentracion volumetrica de sustrato en el tanque generador de 84

..

gradiente es: Sg'= OgPg. EI valor de la densidad Pg varia con la concentraci6n de sustrato Sg. La funcionalidad experimental empleada para un medio de cultivo semisintetico, con glucosa como sustrato limitante es: Pg = Pw+k(Sg)' donde k = 0:000378 y Pw es la densidad del agua a temperatura ambiente.

Por 10tanto: (69] (B) Ecuaciones descripiiuas de la oariacum en X,S y P en un cultillO Fedbatch FBg

Se obtuvieron a partir de las ecuaciones generales de balance en un sistema semicerrado. Balance global de biomasa (x)

[d(Vx)/dt]ac = V(dx/dt) + x(dV/dt) = J,iXV La variaci6n en el volumen V del reactor esta dada por el flujo F, que es constante, por 10que el volumen variara linealmente: V = V0 + Ft Si 1a velocidad especifica de crecimiento depende s610 de 1a concentraci6n de sustrato limitante (s) y 1afuncionalidad j.I= !(s) se expresa mediante la ecuaci6n de Monod: j.I = [I.lmaxs/(K,+s)], entonces 1aacumulaci6n volumetrica de biomasa estara dada por: [70] Balance global de sustraio

[d(Vs)/ dt]ac = V(ds/ dt) + s(dV/ dt) = FSg- qsxV Si en este caso se considera que el consumo de sustrato por el microorganismo esta representado por: qs = m + j.I/Yg' se obtiene: (ds/dt)ac = [F/(Vo+Ft»)[Sg-S]-x(m+J.l/Yg) [71]

85

Balance global de producto

[d(Vp)/dtJac = V(dp/dt) + p(dV/dt) = qpxV La funcionalidad que adquiera qp = /(Il), dependera del metabolito y del modelo de producci6n que describa su sintesis [72] Las ecuaciones 70, 71 Y 72 se resuelven numericarnente por el metoda de RungeKutta de cuarto orden, induyendo en [71] la soluci6n para Sf: = /(t) obtenida de las ecuaciones (68)y (69).

86

('Fed balch ron 8umini.tro

variable d. "uolr.to

FBC')

('Sol "dOn de un sisl.mu ck! cuatro tlCUlICio ..... diferendu.l.. cmpleondo eI modeio de Monod') F00.4('11h');dr-O.I01(' m');dg9l.1997(·m·);luo-l.l dr{"m');

vro-hto(3141.6dr"2/4)(·I'); 5r-35O('g/l');go-25(' gIKg"); vu- 2.0('1'):'0"5. 75(" gI1');$000.05("gs/l"~m 00.04(' gsI gc, h");Y&=0.56(" gs11lt'); rhoH20-0.997("Kgll');ko().000378;rhor=rhoH20+k5r('KgJI·~Rr'" ("t(h). ,• 0(11 h)'), PlotRange.> IO,l1mll; "'11=PiolIEval ua te{(I1m.1111 (Ks+s] t)))/.001). I~ to.II).AxosLabel-> t{h)": 110I h)"l,P1o[O,~mll; m "II-Show (rex,res, A.""LAbel·> rl(h)', •x.s[&1 ij'),PlotLab·x,s - 1(1)1; m"d=Showlrod,'.~Ax esl..abel.>{"I(h)·:I1,D[l/h]·I,PloILabC!I·>·I1,D- 1(1)'); ShowIO,.phlcoArroy[[(t.g.","),{mul~mud)1Jl

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87

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2.4 TRANSFERENCIA DE OxiGENO HOMOGENEOS

EN REACTORES BIOLOGICOS

En el capitulo anterior se abord6 la metodologia para predecir el comportamiento de un proceso fermentativo en diversas condiciones de operacion del sistema de reaccum. A partir del conocimiento biocinenco y estequiometrico del proceso, pueden valorarse las velocidades de consumo de oxigeno (dqjdt =qo2X) Y de generaci6n de calor (dqjdt = CJkx)de un cultivo. Esto permite establecer las condiciones de operacion del biorreactor para transferir el oxigeno necesario que demande el cultivo y eliminar el calor de reaccion. Para que los procesos de transferencia de masa y energia se Ueven a cabo de manera efectiva es necesario que en el reactor se tenga una agitacion eficiente con objeto de favorecer: laformacion de corrientes de liquido que transfieran su cantidad de movimiento a elementos de jlufdo estaticos, proooenndo el mezclado y creando condiciones de homogeneidad en el reactor. Esto euita diferencias zonales en la velocidad de reacci6n debido a la formaci6n de gradientes de concentraci6n, por ejemplo, cuando se adicionan nutrienies al reactor. la transferencia de enlor por convecci6n /a dispersiOn de gas en /(quido para aumentar el area de cantacto gasfl(quido y

consecuentemente /a velocidad de transferencia de oxtgeno en el reactor

Para ellogro de estos prop6sitos, existen diversas c1asesde reactores homogeneos. Los de-usc mas generalizado en el campo de las fermentaciones son las "torres de contacto" y los "reactores agimdos meainicamente", En el primer caso la agitaci6n esta dada por las burbujas de gas que se inyectan a traves de un difusor, y en el segundo por turbinas que tienen la doble funci6n de mezclado y dispersi6n del gas en el medio llquido.

88

~j

2.4.1 Generalidades sobre transferencia de oxigeno Para que un microorganismo aerobic pueda consumir oxtgeno, se requiere que este se encuentre disuelto en la fase acuosa, donde las celulas se encuenlran suspendidas. Debido a su baja solubilidad y a su elevada demanda por una poblaci6n celular en expansi6n, es necesario que sea alta su velocidad de trans ferenda. La solubilidad maxima del ~ en agua, es proporcional it su presi6n parcial en el aire que 10 contiene (Po:zl y que usualmente se emplea para teniilar el medio; esto es, para transferir oxigeno y eliminar el C02 acumulado por el metabolismo microbiano. La solubilidad maxima esta dada por: c" - HPOT donde (CO) es la concentraci6n del gas hasta saturaci6n y H es el coeficiente de Henry para oxfgeno a una temperatura dada. Las unidades de (c") son mmol 0v'1 0 mg/L [p~] se expresa en atm6sferas 0 pascales (Pa) y el coeficiente de Henry en unidades consecuentes. Por ejemplo, H a 1.4 mmol OUI Pa. Existen algunos factores que influyen en la solubilidad del oxfgeno, la temperatura Y la presencia de solutos son dos de 105 que se han descrito en !erminos de funcionalidades empfricas. Por ejemplo, c· -AT) la represent6 Tuesdale en 1955 por el polinomio: c" = 14.16 - O.3943(T) + o.oom4(T)2

- O.OOO0646(T)l

La ecuaci6n describe la solubilidad de O2 en agua, empleando

atm6sfera de presi6n (P02-

aire a una 0.209 atm), c" se expresa en mg/I y (T) en ·C.

Existen algunas relaciones que describen el efeclo de algunos componentes en la solubilidad del oxigeno. Por ejernplo, una ecuaci6n empirica para soluciones de glucosa es: c"glue = c·H:p (1-0.00125), donde s es la concentraci6n de glucosa expresada en g/I Modelo de tmnsferencia de IIIlISa Existen diversas teorias que describen la transferencia de masa gas-liquido. Conforme a la teorfa de Whitman (1923), la resistencia a la transferencia en cada una de las fases esta localizada en las peliculas liquida y gaseosa pr6ximas a la interfase. Se supone que la transferencia de masa a traves de la pelicula inm6vil

89

ocurre s610 por difusi6n molecular y que existe un gradiente lineal de concentraci6n en ella. En este caso, el flujo masa de la especie molecular que difunde (j0]_) depende del gradiente de concentraci6n (Ac) en la pelicula y del espesor de la rnisma, de acuerdo a la prirnera ley de Fick: j0]_ = ( 95%) es del orden de 3 a 5 veces el tiempo de circulaci6n. Hay infinidad de correlaciones en la literatura para la estimaci6n de coeficientes de transferencia de masa en reactores Airlift. Chisti (1989) hace un analisis exhaustive de elias. Entre las mas difundidas estan las de Bello y col. (1985).

Kia ;O.76(1+A((1 Arf2wsr,°.8

KIa en 5.1;

Wsg

KIa =0.00055(1 +Adl Arfl.2(p g/V)°·8

KIa en s·l;

PS/V en (watts/m3)

99

en (m/s)

o EJeclo de III relaciOn Ad/ Ar en I. velocidad de drculad6n delilquido (VIr -m/s) y en el valor de Jc.le(l/sj en reaclores AltUft de tubes conc~ntricClll.8{-w.g"." Ad"."vIr ",.P1otlAbel->"Vlr en AirUft intemo"); g2-P1o13D(Ida.{wsg.O.O.0.2).{Adr.o.l,o.75), AxesLabel->{"wsg"." Adr". "kIar ",.PIoILebel->"kIar·};

Vir en AirLift 1nte~no

vir

O.

O.

0.2 1t1.,

0.2

100

2.4.3 Reactores agitados mecanicamente

En reactores agitados mecanicamente, la agitacton la proporcionan turbinas de muy diferentes clases y la patencia suministrada por el agitador depende de las dimensiones relativas de la turbina y del reactor. El consumo de potencia en reactores no aireados, tradicionalmente se expresa mediante relaciones adimensionales: Np = f[(R,,),(Fr)1

Factores de conftguracion geometnca.

'-

, '-

"

Donde: Np = p/(pN3DiS)

Numero de potencia

Re = NDi2p/~

Numero de Reynold

Fr= DiN2/g

Numero de Froude

-,

Para f1uidos no newtonianos, caracterizados reol6gicamente de acuerdo a la ley de potencia [K(dv/ dx)"], mediante los indices de consistencia [K] y de comportamiento del f1uido [nJ,el valor del [ReIse estima:

.Donde [plY [llapJ representan los. valores de la densidad y de la viscosidad aparente del fluido, respectivamente. '"

Las principales ecuaciones para calcular el valor del [ReIson: Metzller y Otto:

-.

Calderbank y Moo- YOllllg:

'..

101

Efecto de I~ velocldad d. rotacl6n (N) i del indice d. consistencia (n) sob", la viscosidad aparente (jlap) de flufdcs no newtonianos en reactores agitados mecanicamente Comparaci6n de dos correlaciones : Metz~r/Otto y Calderbank/Moo-Young

K-O.5; 8-11 para turbinas; jl8p 1- K/ (8(N)A(1-n)(n] (6n+2)) An);

""p2-K/«B N)A(1-n)(4n/(3n+l»An); gl-Plot..>D[Ilapt,IN,O.Ot,1},In.O.25,}.75}, PlotRange->IO,1.85},AxesLabel->I"N":n","jl8p "I, PlotLabel->"Melzncr y Otlo',Mcsh->True,PlotPoinls->28}; g2=Pk>l>D[Ilap2,IN,Om, 1},In.O.25.1.75). PlotRange->IO,l.85},AxesLabel->I"N", ·n·...uap "J. PlotLa~I.>"C~ldllrbank y Muo-Young".Mesh->True.PlotPoints->28}; Show[Gr"phicsArray[lgl,g2}JJ

Metzner

y Otto

\.lap

~

~I

,

~I ,

102

, ~

~I

~I

~l ,

Donde: (nJ es el indice de comportamiento

del fluido [adim].

(KJ es el indice de consistencia del fluido [g/ em s(2-n»). (B) = 1'1.0 para turbinas, [Ilap] queda definida como: Ilap = K/{[8N(1-n)J[n/(6n+2»)n}

(Metzner y Otto)

Ilup = K/{(BN)(1-n)][4n/(3n+l)]n)

[Calderbank y Moo-Young]

Cuando (n = 1) se tiene el caso particular de un fluido newtoniano. En esta situacion: ._ -

Ilap

= K = ~l

Calculada [Ilap] con la correlaci6n de Metzner se obtienen valores superiores a los obtenidos con la correlaci6n de Calder bank y Moo-Young, cuando se manejan f1uidos pseudoplasticos (0.2 S n S 1). Estos valores del indice de comportamiento son norm ales en fluidos biol6gicos . Cuando se tiene una configuraci6n estandarizada, los factores de geometria no influyen en la correlaci6n y se puede expresar como:

NP = Co"e8Frb

._

Esta correlaci6n se expresa a menudo como p = Np/Frb = f'(R,,) y se describe graficamente mediante las denominadas curvas de potencia. De estas curvas se tiene una gran variedad y son independientes de escala aunque dependen del tipo de turbina, Cuando no hay formaci6n de vortex en el reactor debido a la presencia de bafles, se tiene un caso particular en donde las fuerzas inerciales y gravitatorias se igualan, por 10que el valor del (F, = 1). En este caso: N p = f (R,,) Cuando se trabaja en regimen lurbulento (R., > 104), el valor de [Np] tiende a un

103

valor constante caracterfstico para cada tipo de turbina. Los valores de [Np] para las turbinas mas conocidas son los siguientes: Tipo de jmpulsor

/Npl (Re >104)

(WjIDj)

Rushton (turbin. de 6 paletes recta. estandar)

6.0

Bates (turbina angosta de 6 paletas rectas)

5.1

Propela de 6 paletas rectes

4.1l

Propela angoste de 6 paletas mew

2.6

1/5 1/8 1/5 1/8

Propel. angosta de 6 palctas curves

2.8

1/8

Propela engoste de 4 paletas eectas

2.0

1/8

Propels marina

0.4

Relaciones geolllitricas para un reactor esuindar (DtIDj)

3

(LjIDj)

(WjIDi)

1/4

1/5

(HiIDi)

1

Definido el [Np] para determinada turbina, se calcula la potencia directamente de la relaci6n:

-

En caso de que el reactor tenga una configuraci6n diferente a la estandar se hacen las correcciones pertinentes mediante el factor:

De esta forma se obtiene el valor de la po.tenciacorregida por {adores geometric os: .~

'En caso de ·tener mas de un impulsor en el reactor, la potencia se corrige nuevamente, multiplicando por el nurnero de irnpulsores [Nil: p-= PCcN·1.

j

,I

104

-,I _I

24.3.1.£/ecto de la aireacion ell el COIISUlIIO de potencia

Existan diferentes correlaciones que describen la variaci6n del consumo de potencia [Pgl en funcion del gasto volumetrico de gas [Q]. Esta disminucion en leirelacion (Pg/P) depende tanto del tipo de impulsor como del valor del gasto de aire.·Ohyama y Endo (1955) la estiman introduciendo un nUmero adimensional que denominan como numerc de aireacicn [NJ: [Na] = velocidad superficial del gasl velocidad tangencial del impulsor. Y la expresion final es:

A partir de este concepto, Ohyama y Endo generaron una serie de curvas de (Pg/P) en funcion de [Nal para distintos tipos de impulsores. Los valores de (Pg/P) pueden obtenerse directamente por interpolacion en la curva, aunque se tiene que recurir a la ~ni~a de ensayo y error ya que el valor de la velocidad de agitacion afecta tanto a [PI como a [Na]. Por otra parte, estas curvas tienen un valor limite de [Na] por 10que no se puede interpolar cuando Na > 0.012. En 1%2, Michell y Miller presentaron una correlaci6n emptrica para [Pg] .en funci6n de [Q], valida para fluidos newtonianos y no newtonianos cuando se . opera en rogimen turbulento. La correlaci6n es:

'-

Oonde: [C] es una constante, cuyo valor depende del comportamiento reologtco del cultivo y de las unidades de las variable [PI, [N], [Dj] Y [Q]. 5i se trabaja con las siguientes unidades: [Pgl Y [P]:[HP], [N]:[min-1], [Oil:[em] y [QI:[1/min], la constante liene un valor de 0.002390. Existe una correlacion muy completa dada por Shinji Nagata, solo que se obtienen valores relativamente bajos en comparaci6n con las correlaciones de Ohyama 0 las de Michell Miller, por 10que no es muy recomendable su uso.

y

.~ 105

2.4.3.2 Correlaciones para trausferencia de masa Existe una gran cantidad de correlaciones que describen el cornportamiento de [Kia hoI] 0 [KwlL denominada ocasionalmente como K, 010101 Oyl h atm) en funci6n de las variables de operaci6n (Pg/V) y [vs). Las mas utiles son:

Cooper, Fernstrom y Mm~, {1944}. Tllrbilln tlpo "vaned Disk", adapiada para lurbilln de disco

esttilldar (6 paletas rectos): Evaluada para fluidos newtonianos

Donde: [KlaH] - [Kv]:

Kgmol Oym3h atm

(Pg/V):

HP/m3

[Vsl:

m/h

£1 coeftciente b= 0.67 Yel valor de tal son dependientes de escala y se pueden fijar los sigulentes vaJores discretos:

Vpp < 0.5 m3

a" 0.95

0.5 < V op < 20.0 013

a" 0.66

20.0 < Vop < 100.0 m3

a - 0.50

Vop > 100.0 m3

a" 0.33

Fukuda, Sumlno y Kanzaki. {1968}. Turblnn de disco esltilldar: Valida para f1uidos newtoruanos, aunque se considera util en caso de operar con no ncwtonianos de baja viscosidad y evaluada ...n reactores con (Vor >- 42 m:»:

106

Donde: [KlaH) = [Kv}:

mmol Oj /Ihatm

(PIl/V):

HP/m3

[VS):

em/min

Taguchi y Miyamoto, {1966}. Turbina de disco esta"dnr: Obtenida para f1uidos no newtonianos [pseudoplasticos, especificamente eultivos de £1I'iomyce5 sp.), con indice de comportamiento 1.0 ~ n ~ 0.4 Y valores de indice de consistencia K s 35 dinas em-2s-n. Evaluada en reaetores con V op s50 m3: Kla H = KV' = 8 0 (pg/V,O.l3y ( s0..56 Donde: [KlaH) = [Kv):

mmol O2/1 h aim

(Pg/V):

HP/m3

[VsJ:

em/min

Esta correlacicn indica que la transferencia fluidos muy viscosos, sean 0 no newtonianos.

de ~

se dificulta al trabajar con

Hospodkn, Cnslavsky, Bern" y Stross, {1964}. TllTbina de disco esuindar: Reactor con tubo central (Drafl) que incrementa la velocidad de circulaci6n de la mezcla gas-Iiquido. La correlacien se obtuvo para reactores con (Vop ~ 20 m3), operando con f1uidos newtonianos (cultivos de Sacc1U1TolllYcescerevisiae). .

Donde:

[KI.HJ = [Kvl:

mmol 02/1 h atm

(Pr,/V):

HP/m3

[V.):

em/min

107

o

c.rm.aone.".,..

d oOculode idA .... , .. dom .gilodot ....

cd!Uor""",.

~ ... I.J102-O.20';T-28;H-(l4.I~.394ST+{).007TfA2'{).IXJOO64~A3V(32p02J; ""8"''"''''i '64'100;

2.BNiXPgv)"O.77 ""S"(2/3); F.... do 1(U2-II/H)$Pgv"(lI3)...,"O.56;Top'"l

I(U 1-(1.111)1.88(20

KlaJ-(lDOqIH)O.OJ18PS."O.33 "'lm"O.67;Coopr, KIa4- J1l.IPgp"O. 72 ""B'""O-1l;Ho'podh

gl-PIoIJD[l(Ul,(Pgv,O.a;,3I,~50,200~Au.Lobd->(' Pg/V " '''''S', '.11.0 '~PlotlAlJd.>'Fdudo' I; 12- ploIJD(1(Ia2,(Pgv,O.05,3/,(""8.so,2OOJ,At..u.bd·>(' Pg/V " '''''S', 'H. •l- PlDtlA"'I·>'T'8"'H.. podIcA'); Shor;{G~((gLg2L(g3,S4//J}

f\lkU':Sa

U.

'1'aguchl

'"'I

kh

'" ..... -' oJ

Cooper

Hospod~.

~

'"'

I

-I kl.

kh

v

108. -:,

2.5 TRANSFER EN CIA DE CALOR EN BIORREACTORES~ A un reactor biologico, se Ie proporciona

0

se Ie elimina calor por las siguientes

razones: Para la esterilizacion del medic de cultivo (circulaci6n de vapor en la chaqueta serpentin,

° inyeccion de vapor vivo al seno del liquido).

° en el

Si la energia libe,ada por la conversion del sustrato es insuficiente pora el mantenimiento de la temperatura, se requiere adicionar calor (generalmente circulando agua por el sistema de enfriamiento (c1laqueta0 serpent(n». Este es el caso de los digestores anaerobios, en donde generalmente se requieren altas temperatures pora el proceso (SS.6(fC). Debido a La conversion del sustrato, se Liberaun exceso de energia que requiere eliminaTse mediante la circulacion de agua por el sistema de enfriamiento. Este es el caso mas general en procesos aerobios,

La ecuaci6n fundamental de transferencia de calor en estado de equilibrio relaciona la velocidad total de generaci6n con la velocidad de eliminaci6n de calor a traves de una superficie de transferencia: {dQ/dtlgen

= {dQ/dt}"um = UA (t.T)bl

(73)

Donde: (t.T)ln = Diferencia de temperatura media logaritmica entre el Hquido de proceso y

el de enfriamiento = [(Top·Tin)-(Top·T"ut»)/ln[(T"p.Tin)/(Top·TouvJ. A = Area de transferencia de calor. U = Coeficiente global de transferencia de.calor En reactores agitados, la velocidad total de generaci6n de calor {dQ/ dtlgelV es fundamentalmente la suma del calor generado por fermentaci6n y por agitacion del reactor: {dQ/ dt}f = Calor genera do por fermentaci6n = (ux/Y x.tJVop

(74)

(dQ/ dt}ag = Calor producido por agitaci6n = (Pg)

[75)

Donde el rendimiento calorico esta dado por:

109

La velocidad total de eliminaci6n de calor (dQ/ dt}elim'es fundamentalmente la suma de:

{dq/ dt}.en·=Perdidas de calor sensible en flujos de entrada y salida

[76]

(dq/ dtlev; Perdidas de calor por evaporaci6n

[77J

(dq/ dtlen( = Calor eliminado en el intercambiador

[78]

EI componente mas importante es el calor eliminado por el intercambiador, por 10 que la ecuaci6n (73)puede reducirse a: (dQ/ dt}r + {dQ/ dt}ag = {dq/ dt}cnf= UA(L1T»)n

[79J

Una vez estimados los componentes (dQ/dtlf y (dQ/dt}ag' cuyo valor es una funcion de las condiciones de operacion del proceso, es relativarnente simple el calculo del sistema de enfriamiento, ya que 10 que procede es evaluar para condiciones de operacion especificas, el valor de los coeficientes de pelicula del lado delliquido de proceso [hi) y dellado del !iquido de enfriamiento tho). La superficie total del intercambiador [A] se estima a partir de las dimensiones del

reactor, pudiendose seleccionar entre diversas alternativas: chaqueta de enfriamiento, serpentin (helicoldal 0 vertical)." aunque tambien es posible considerar la posibilidad de enviar el Iiquido de proceso a un intercambiador extemo, recirculandolo al reactor. Dependiendo de las temperatures de entrada del Iiquido de enfriamiento [Tin)' de la salida [ToutJ,de la de proceso [Top)Ypor supuesto de la cantidad total de calor .que se requiere eliminar, se estima un valor tentativo del gasto minimo de agua [wI requerida para transportar el calor genera do por el reactor y que debera ser transferido por el sistema de enfriamiento, ya que:

~I !

110

~. I

(dQ/ dtlgen = (dQ/ dtlenf = UA(.6.T)ln= wS,(Tout-Tin)

[80]

Por 10 que:

Este valor inicial de [wI sirve para la estimaci6n del coeficiente tho] dellado del agua de enfriamiento, el cual conjuntado con el (hJ permite estimar un valor inicial de [U]. Lo que precede ahora es evaluar SI se cumple con la condici6n:

[81] En caso positive, estara resuelto el calculo del sistema de enfriamiento. De 10 contra rio, se deberan probar nuevas temperaturas 0 aumentar en un margen suficiente el gasto de agua, par encima del minima calculado, hasta que se cumpla con la condici6n [81]. -

2.5.1 Correlaciones pam transferencia de calor

EI anal isis dimensional ha sido la base para el establecimiento de correlaciones utiles para la estimaci6n de coeficientes de transferencia de calor en funci6n de variables de operaci6n.

~

Correlacion genera! en rene/ores agitados yellfrindos COlichaque/a: [82] Donde:

Nu = hDtlk Re = ND?P/I!b

r, = Cp~'h/k Siendo: h = Coeficiente de pelicula caracterfstico [calls cm2oC] k = Conduetividad

termica del fluido [calls em °C]

Cp = Capacidad calorifica del fluido [call g DC) 111

Dt = Diametro del tanque [em]

D, = Diametro del impulsor [em) p

= Densidad

del fluido [g/ cm3)

N = Velocidad de agitaci6n [1/5] Ilb = viscosidad del fluido en el seno delliquido [g/ em s] Ilw = viscosictad del fluido en la pared [g/ em s)

lnfluencia del tipo de impulsor en el valor de K Y de los coeficienies de fa ecuacion gelleral (a,b,c): lltV~stigador

Tipo de rmpulsor

fK/

fal

(bi

fel

Cununings/West

2 Turbinas c/p/curvQs

0.60

2/3

1/3

-0.14

UhI

Turbina c/paletas/incJ.

0.53

2/3

1/3

-0.24

Brooks/Su

Turbma estandar

0.54

2/3

1/3

-0.14

Correlaciones para reaciores agitados yenfriados con serpeniin helicoidal. Oldshue y Grelton. Turbina esttilldar:

[83] Cummings y West..l 02 turbinas cjpaletas curuas: [84] Cummings y West. Tllrbina cjpaletas inclinadas: (85] Correlacion para rec.clores agirados y enfriado«

COli

serpentin oertical.

Dunlap y Rushton. Turbina estdndur:

(86] En las diferenteS correlactones, a menudo se utiliza como diametro caraeterlstico eJ diametro del tubo del serpentin (do];como es el caso de las ecuaciones (83] y [86],

112

• aunque usualmente se considera [Ot]en el Nusselt. Estas dos correlacionesconsideran algunas variaciones geometricas y se introduce en ambas el termino (O;/O!). En la ecuaci6n [83) se aiiade tarnbien el terrnino (dolO!) Y en la [86)se considera el efecto del numero de bafles [nbl (serpentines verticales que curnplen con esa funci6n). Las anteriores correlaciones son exclusivamente para la estimaci6n del coeficiente de pelicuJa en el lfquido de proceso [hJ, cuando el reactor esta agitado por turblnas. Existen una infinidad de correlaciones mas para otros tipos de impulsores. Entre las mas utilizadas se encuentran las de Shinji Nagata, ya que consideran fadores geornetricosno contemplados en otras. Correlacion para reactor agitndo

COli

turbina 'Il~la1t1lar(NJ variable. Enfriamiento

COIl

chaqueia Shillji Nagata: [87)

Oonde: fl ~ (Oi/I)!)· f2 = 0.2 Nj(O;/O!). f3 = (npcS )/(N 11 H)

=

(nplN)-O·37

f4 = (HI/O!) np = Numero de paletas en la turbina (4,6,8) EI te-rminoSc se defin~como:

113

-' -'

Correlacion para reactor agitado

COIl

turbine esidndar [N;] variable. Enfriamiento

COil

._,

serpentin '-"

~i

Silinji Nagata: h·D

"1 c

/k = 2 "'c 6811

-'

O.5&p0.33f gf hf it in...m r 1 2 3 4··y

,_,J

[88]

oJ

Donde:

1

-'

f1 = (Di/Dt) f3' = Sc/(N;Hl) = Nj·O.37

oJ

q

f2 = 0.2 Nj.(D;/Dt)

-;»

f4 = (Hi/Dt')

,_, .

Dc = Diametro del serpentln = (0'~1.9.t)

oJ'

oJ

Correlacion para COlll1l111115bllTblijeadOTIl5 enfriadas COli chaqueta.

~ oJ

Citada par Hammer (1985): hjDt/k = 0.14Ndo.33PrO.33(l-lb/l-lwrO.14

[89]

Donde:

Eg = a, = Fracci6n de gas retenida, expresada dimensionalmente [cm3 aire].;. \)\.. ~ \)0\

k\ t~.I". " \lG," \

Correlacum para columnas burbujeadoras

E... \lL.r

..) '"

ellfriadas

I

\)L":>

!_

"!-f~

COli serpentin,

...

.f

~

_ t'

\)6-

,

(\1 \

g = constante gravitatoria.

Cs

..)

l ~f.

J

)

(IJL. t=~{J. . ,vr

J~

-;:,

oJ

l !

Citada par Hammer (1985): h;do/k

= 0.OO2Ndo.33PrO.33(l-lb/I-lw)-O·14(Dtldo)O.33

(90)

-'

.

114

""

r

En la ecuaci6n general que se presenta abajo, se inciuyen la mayor parte de los terminos considerados en las diversas ecuaciones presentadas previamente.

'-

Nu

'-

• hiP,!'

I(

•

~

b

c

'

.

AGITADOS. S

h

m

p

AutCK

lmpultor

Enfri.1llior

9

OrmJlrirlgs

C

UH

2TPI

C

0.33 ·0.14

11

S_

2TPC

10

rs

C

12

01"",",

,t

Sf,

..

OI,,,mml'

1-2 TPC

Sh

Cwml:llinp

TPI

Sh

o.n

hjD,Ik

os.

hid.,!'

0.11 0.67 0.37

hlIV'

1.01

0.62

0.33 ·0,1m1'f'I'Whlon

rz

S.

-0.25

0.16 . 0.15 -0.60

16

Nilsm

tz

C

.0.:30

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17

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Sh

0.33

0.20

0.15

·0.50 0:20

~ v

TE: T'irbitJa (Stdndrlr

ri)c Turbbl4 de paltrus. t."rws

S~; $tTpOltin hdicoidQI

Sv: 5