Biofisica 1

 

UNIVERSIDAD RICARDO PALMA 

FACULTAD DE MEDICINA HUMANA MANUEL HUAMÁN GUERRERO

 Área: Biofísica Curso: Laboratorio Profesor: Constantini San Bartolomé, Orlando Lizardo Trabajo: Experimento n°1 Mediciones y Error en la Medida  

INTEGRANTES  

   

Álvarez Pizarro César Arturo Barturen Rodrigo, Karol De Los Angeles Grupo: 1

Mesa: 4

Fecha: 23/08/18

2018  – II

 

Experimento N° 1: MEDICIONES Y ERROR EN LA MEDIDA 1.  OBJETIVO: -  Hacer mediciones con una regla, pie de rey o Vernier, e identificar i dentificar los valores de sus errores o incertidumbres. -  Realizar cálculos con tales medidas y obtener los errores correspondientes. 2.  TEORÍA Recordemos que una magnitud es todo aquello que se puede medir. Así longitud, presión, tiempo, velocidad, densidad, etc., son magnitudes. Las magnitudes que quedan determinadas en forma completa por un número y una unidad se denominan escalares (ejemplo: masa, volumen, etc.). Algunas magnitudes escalares son adimensionales -es decir, no poseen unidades-, por ejemplo la densidad relativa, el índice de refracción, etc. Las magnitudes que requieren la especificación de dirección y sentido (y a veces también del punto de aplicación) para quedar completamente definidas, se denominan vectoriales (ejemplo: velocidad, aceleración, fuerza, etc.) Medir es comparar una cantidad (X) de cierta magnitud con otra cantidad (U) de la misma especie que se toma arbitrariamente como unidad, de modo tal que se pueda asociar un número (n) que expresa cuántas veces está contenida la unidad en la cantidad medida (X/U) = n. De esta manera se dice que n es la medida de X con c on respecto a la unidad U. Desde luego que se debe especificar el proceso mediante el cual se realiza la medición de la magnitud. Si una unidad se acepta oficialmente, se la llama ll ama unidad estándar. Tradicionalmente un gobierno o un organismo internacional establecen las unidades estándares. Un conjunto de unidades estándar y sus combinaciones constituye un sistema de unidades. La definición de una unidad queda asociada con un "modelo oficial", "patrón" o "estándar". A veces el "patrón" o "estándar" es material (como el del kilogramo masa, que es un cilindro de platino e iridio guardado en una oficina de París), y otras veces es descriptivo -cuando no se puede "guardar una muestra" en un laboratorio- (tal es el caso del estándar de intensidad de corriente eléctrica o el de intensidad luminosa, para los cuales se prescribe el procedimiento y las condiciones que deben reunirse para determinarlos). Una magnitud fundamental es aquella totalmente independiente de las demás. El Sistema Internacional de Unidades (SI), está basado en 7 unidades fundamentales que sirven para describir todas las magnitudes físicas conocidas hasta la fecha. Las unidades fundamentales en el SI son la masa --cuya cuya unidad es el kilogramo-, la longitud -cuya unidad es el metro-, el tiempo -cuya unidad es el segundo- y otras. Las magnitudes derivadas resultan de la combinación de las fundamentales a través de operaciones de acuerdo con definiciones y leyes l eyes físicas (así, por ej. la velocidad es una relación entre la longitud y el tiempo). El SIMELA, Sistema Métrico Legal Argentino, adoptado por nuestro país según la ley N° N ° 19.511 de 1.972, tomó

 

todas las unidades, símbolos, múltiplos y submúltiplos del SI; y le agregó algunas pocas unidades más, tales como el litro (l o L), hora (h), minuto (min), grado sexagesimal (°), etc. Mediciones directas e indirectas

Para que el proceso de medición quede determinado deben interactuar necesariamente necesariamente tres componentes o sistemas: el del objeto a medir, el de medición o instrumento de medida y el de comparación o unidad de medida. Habrá una interacción previa entre el instrumento y la unidad adoptada (calibración), y luego la medición propiamente dicha al interactuar el instrumento calibrado con el objeto a medir. Se denomina medición directa a aquella que resulta de leer directamente sobre la escala de un instrumento. Por ejemplo una longitud mediante una regla, un volumen mediante una bureta, etc. Una medición indirecta es aquella que resulta de operaciones de cálculos c álculos realizadas sobre magnitudes medidas directamente. Por ejemplo, la superficie de un terreno rectangular, a partir de su largo y su anUNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Facultad Regional Rosario UDB Física Cátedra FÍSICA I 2 Curso Promoción Directa Año 2011 cho, la densidad de un líquido a partir de su masa -determinada con una balanza- y de su volumen - determinado con una probeta-, etc. Incertezas o errores de medición

Siempre una medición está afectada de incerteza o "error". Por ejemplo, al medir un espesor, por más refinado que sea el método y el instrumento de medida, el límite estaría impuesto por los átomos superficiales que vibran con respecto a una "posición media". Se define como error de una medida a la diferencia entre el valor obtenido en la medición y el valor real de la magnitud medida. Podemos diferenciar por su origen, al menos dos tipos de errores: los errores sistemáticos, y los errores casuales o incidentales. Existe una teoría sobre errores que intenta disminuir y evaluar la influencia de los errores en el resultado final de una medición y, a la vez proveer métodos de cálculos para estimarlos. Los errores sistemáticos se deben a diversas causas c ausas y son, en muchos casos determinables y corregibles, siempre y cuando se conozca lo suficiente de la física del proceso. Se les llama sistemáticos porque dan efectos consistentes: siempre tienen el mismo signo s igno al repetirse las mediciones en las mismas condiciones. Estos E stos errores pueden provenir de defectos en el instrumento de medida (una cinta métrica estirada, un instrumento de aguja que no parta de cero), de la acción permanente de una causa exterior (campos (cam pos magnéticos o eléctricos presentes), o de las características propias del método de medida (medir masas de cuerpos poco densos sin tener en cuenta el empuje del aire). En muchos casos el error sistemático puede determinarse en valor y signo y corregir eell valor obtenido de la medida realizada. Para poder determinar este tipo de errores se debe tener en cuenta la información disponible sobre los instrumentos de medida (manuales de operación de los mismos), y un buen conocimiento de las hipótesis y limitaciones limitaci ones propias del método de medida y de las alteraciones que dicho método puede introducir en la

 

medida debido al proceso mismo de medición. Cuando no se tiene forma de evaluar con c on certeza o incluso de conocer la existencia de un error sistemático, la medida perderá en exactitud; el valor medido discrepará (por exceso o por defecto) con el valor real de la magnitud en mayor o menor medida según sea la magnitud (en general desconocida) del error sistemático introducido en la medición. Dentro de los errores sistemáticos se suelen incluir los llamados errores instrumentales o de apreciación. Estos E stos errores surgen como consecuencia de las limitaciones propias de los instrumentos de medición y de la perfección con que los mismos fueron construidos. En la mayoría de los casos las mediciones se concretan con la lectura l ectura de una escala graduada en el instrumento de medida. Al valor representado por la mínima división de la escala se la llama Apreciación de la escala y se la denomina con la letra A. En general los instrumentos están diseñados de tal modo que el fabricante garantiza que el límite máximo del error atribuible al instrumento nunca supera la apreciación (A) del mismo. Al efectuar la lectura, el observador “estima”, en general, una fracción de A. El signo de este error clasificado dentro de los sistemáticos, puede ser positivo o negativo aunque su valor puede ser considerado prácticamente constante para un mismo observador que opera en iguales condiciones. Así por ejemplo cuando c uando se mide una longitud con una regla milimetrada, mil imetrada, un observador no experimentado, o provisto con una regla de mala calidad c alidad podrá estimar fracciones de hasta 0,5 mm mientras que un observador hábil (o el anterior, provisto con una regla de mejor calidad) puede llegar a estimar hasta 0,2 mm. Los L os errores de apreciación estimados respectivos serán de 0,5 y 0,2 mm. Se define un criterio de tolerancia (t) para determinar este tipo de error sistemático donde t = A/n. El factor n puede tomar los valores de: n = 1,2,3,4 o 5, dependiendo de las características del instrumento y del criterio del observador (mayor n, supone un mejor instrumento y/o operador más diestro con menor error de apreciación). Los errores sistemáticos estimados en base a la apreciación del instrumento fijan una cota a los errores azarosos (que analizaremos a continuación). Los errores casuales o incidentales son totalmente aleatorios, aparecen distribuidos al azar. Si a una misma magnitud se la mide varias veces, con el mismo instrumento y en las mismas condiciones, los resul- 3 Curso Promoción Directa Año 2011 tados obtenidos seguramente diferirán entre sí. Esto es natural en los procesos de mediciones de los fenómenos físicos. Si así no ocurriera hay que pensar que se eligieron inadecuadamente instrumentos y/o el método muy poco sensibles s ensibles para la medición. Estas discrepancias pueden deberse a varias causas: fluctuaciones en el medio físico en que se realiza la medición (cambios de temperatura, de la presión, de la iluminación, vibraciones en el piso donde se asienta el experimento) y/o a factores personales del operador (estado de stress, cansancio visual, situación anímica) y otras desconocidas. La diferencia en cada caso entre los distintos valores medidos y el valor considerado como más representativo de la magnitud medida es lo que se llama error

 

casual o incidental. La proximidad entre los valores medidos entre sí, se denomina precisión. No debe confundirse precisión con exactitud; una serie de mediciones puede ser muy precisa (valores muy semejantes) pero poco exacta (valores alejados del valor exacto o real). Los errores casuales pueden predecirse, o al menos ser acotados, a través de teorías o modelos físicos, lo l o cual se justifica cuando se realiza una gran cantidad de veces la determinación de una misma magnitud. Lo que se dispone al finalizar f inalizar una serie de experiencias, es un conjunto de “n” medidas de la magnitud “x”, y debemos adoptar un

valor como resultado. De acuerdo con la teoría de errores de medición, el mejor valor es la media aritmética del conjunto de valores de las medidas. Se representa con el símbolo x y se lo denomina simplemente valor medio:

A partir de este valor medio (el más próximo al verdadero), de acuerdo al modelo estadístico de Gauss y a través de hipótesis y aproximaciones razonables para la mayoría de las experiencias en física, se puede demostrar que la desviación estándar de una medida (Sx), se puede calcular a partir de un conjunto finito de “n” medidas según: 

Donde δxi =(xi – x ), se conoce como desviación aparente de la medida xi . La desviación

estándar de una medida está relacionada con la desviación estándar del valor medio (S x ), de acuerdo con:

¿Cuál es la diferencia entre desviación estándar de una medida y desviación estándar del valor medio? El modelo predice que si efectuamos un conjunto de n medidas y adoptamos como resultado del mismo, el valor de “una” de ellas, el error azaroso

estimado es Sx. Si en cambio adoptamos no ya uno de los n valores, sino la media aritmética de esos valores ( x ), el error azaroso adjudicable es S x . En general en un proceso de medición se busca que ambos tipos de errores –de apreciación y casualessean de un mismo orden de magnitud, por lo que se deben tener en cuenta ambos al diseñar una medición y planificar el número de mediciones a realizar.

 

 

Errores en una medición directa

Supongamos el caso de una sola medición. Convengamos los siguientes símbolos y significados: X = valor exacto ex acto de una magnitud (siempre desconocido) X' = valor representativo de la magnitud medida Ea = ∆X = X - X' = error absoluto (siempre desconocido) En la práctica ∆X se estima como igual al error de apreciación (dijimos, a su vez, que este último puede llegar a tomarse igual a la apreciación del instrumento i nstrumento utilizado, o a la tolerancia). Er = ∆X/X = ∆X(esti mado)/X' = error relativo Er % = (∆X/X).100 = (∆X(estimado)/X'). (∆X(estimado)/X').100 100 = error relativo porcentual.   Propagación de errores en mediciones indirectas

Supongamos dos magnitudes medidas directamente: directamente: A = A' ± ∆A y B = B' ± ∆B 5 Curso

Promoción Directa Año 2011 Veamos cómo se procede al trabajar con ellas mediante las operaciones matemáticas más comunes: Suma:

Para efectuar la operación:

C=A+B

Y lograr lograr la expresión de un resultado así:

C = C´ ± ∆C

Se puede demostrar que resulta: C' = A' + B' El valor "representativo" de la suma se obtiene sumando los valores "representativos" individuales. Por otra parte, se puede demostrar que el error er ror absoluto resulta:

Es decir, el error absoluto de la suma es igual a la suma de los errores absolutos individuales. Resta: Para efectuar la operación:

C=A-B

Y lograr la expresión expresión de un resultado resultado así: C = C´ ± ∆C

Se puede demostrar que resulta: C' = A' - B' El valor "representativo" de la resta se obtiene restando los valores "representativos" individuales. Por otra parte, se puede demostrar que el error er ror absoluto resulta:

Es decir, el error absoluto de la resta es igual a la suma de los errores absolutos individuales (se calcula del mismo modo que para las sumas, como vimos antes). Ej: Supongamos que se desea determinar ciertavalor masade demasa aguatotal ma, para cual se pesag. ésta en un recipiente, obteniéndose el una siguiente mt =lo (583,2 + 0,1)

 

Luego se pesa el recipiente vacío obteniéndose el valor: mr = (30,285 + 0,005) g. La masa de agua calculada por diferencia, resulta: ma = mt – mr = 583,2 g - 30,285 g = 552,915 g Notemos que las dos últimas cifras son cifras ci fras al azar, pues podríamos haber puesto cualquier cifra (y no necesariamente ceros), por poner algo, después del 2 en el valor de mt para poder restar, de modo que carecen de sentido y el resultado debe expresarse en este caso con solamente la primera cifra decimal. El mismo resultado se obtiene calculando el error como la suma de los errores absolutos, que en el ejemplo es 0,1 g. El resultado debe expresarse entonces como: ma = (552,9 ± 0,1) g. Concluimos que, como regla práctica, cuando se suman o restan cantidades no enteras, el resultado debe ser expresado con un número de cifras decimales igual al del sumando de menor número de cifras decimales. Producto:

Para efectuar la operación: C=AxB Y lograr la expresión de un resultado así: C = C´ ± ∆C Se puede demostrar que resulta: C´ = A' x B' El valor "representativo" del producto se obtiene multiplicando los valores "representativos" de los factores. Para este caso se puede demostrar la siguiente relación entre los errores relativos: ∆C/C´ = ∆A/A' + ∆B/B'   Es decir, el error relativo del producto es igual a la suma de los errores relativos individuales. De la expresión anterior despejamos entonces el error absoluto -que necesitamos para expresar el resultado- y nos queda:  ∆C = (∆A/A' + ∆B/B') x C'   Cociente:

Para efectuar la operación: C=A/B6 Y lograr la expresión de un resultado así: C = C´ ± ∆C Se puede demostrar que resulta: C' = A'/ B' El valor "representativo" del cociente se obtiene dividiendo los valores "representativos" individuales. También en este caso -al igual que para el producto- se puede demostrar la siguiente relación entre los errores relativos: ∆C/C´ = ∆A/A' + ∆B/B'  

Es decir, el error relativo del cociente es igual a la suma de los errores relativos individuales. De la expresión anterior despejamos entonces el error absoluto -que necesitamos para expresar el resultado- y nos queda: ∆C = (∆A/A' + ∆B/B') x C'  

 

3.  EQUIPO -01 Paralelepípedo -01 Regla graduada d madera 1m -01 Pie de Rey 4.  PROCEDIMIENTO Mida las tres dimensiones del paralelepípedo con la regla y después con el vernier y llenar la Tabla

Regla

Vernier digital

MEDIDA

ERROR ABSOLUTO

ERROR RELATIVO

ERROR RELATIVO %

MEDIDA

ERROR ABSOLUTO

ERROR RELATIVO

ERROR RELATIVO %

ALTURA

32mm

0,5

0,016

1,6%

31,79

0,005

0,00016

0,016%

LARGO

12mm

0,5

0,042

4,2%

12,76

0,005

0,00042

0,042

ANCHO

31mm

0,5

0,026

1,6%

31,92

0,005

0,00016

0,016%

ÁREA TOTAL

3296mm

150

0,045

4.5%

3653,44

31,85

0,00872

0,87%

VOLUMEN 

11904mm 

874

0,073

7,3%

12948,02

9,05

0,0007

0,07%

 

  DESARROLLO   Datos: 

Medidas hechas con la regla:

ALTURA (X) = 32mm LARGO (Y) = 12mm ANCHO (Z) = 31mm ERROR ABSOLUTO = 1mm Medidas hachas con el Vernier o Pie de Rey: 

ALTURA (X) = 31,79 inch LARGO (Y) = 12,76 inch ANCHO (Z) = 31,92 inch ERROR ABSOLUTO = 0,01inch   Fómulas



Fórmulas:

Donde:

   ± ∆x ∆x =.    Er =

∆  

de la medición X::Valor Valor medida experimental ∆x: Error Absoluto  Er: Error relativo

∆

Er% =  *100



Er%: Error Relativo porcentual

 ( ∗ ) ±(∗∆+∗∆) A: Área V: Volumen (∗∗)±(∆)

A V=



  Resolucion Para las Medidas con Regla Altura(x)

∆x  12 0,5 , Er =  0,016  , Er% =  ∗100%1,6%  Largo(Y)

∆y  12 0,5 Er = , 

0,042 

 

Er% =

, ∗100%4,2%  

Ancho(Z)

∆x  12 0,5 , Er = 0,026   Er% = ,  ∗100%2,6%  Área Total Fórmula para hallar el área total:

   ( ∗ ) ±(∗∆+∗∆)      ∑    =   (∗y)±(∗∆+∗∆)     (∗z)± (∗∆+∗∆)     ( ∗ z) ± (( ∗ ∆ +  ∗ ∆) 

     

 (∗∆+∗∆)   (∗z)± (∗y)±(∗∆+∗∆)    ( ∗ z) ± (( ∗ ∆ +  ∗ ∆)

   (32∗12) ±(12∗0,5+32∗0,5)  384±22     (12∗31) ± (31∗0,5+12∗0,5)  372±21,5     (32∗31 32∗31)) ± (31∗0,5+32∗0,5 31∗0,5+32∗0,5))  992±31,5    (32∗12  384±22 32∗12)   ) ±(12∗0,5+32∗0,5)     (12∗31) ± (31∗0,5+12∗0,5)  372±21,5     (32∗31) ± (31∗0,5+32∗0,5)  372±21,5      ∑  3296±150  =

 

Tenemos que…… 

Er = 0,045   = 3296   Er% = 0.045*100% =4.5%

 ∆x150

Volumen

  (32∗12) ± (12∗0,5+32∗0,5) ∗(31±0,5)   (384±22 384±22)) ∗(31±0,5) 11904±(384∗0,5+31∗22)  11904±874  Tenemos que…… 

Er = 0,073   = 11904   Er% = 0,073 *100% =7,3%

 ∆x874

Para las medidas con el Vernier Altura(x)

∆x  0,01 2 0,005 Er = , , 0,00016  , Er% = , ∗100%0,016%  Largo(Y)

0,005 ∆y  0,01 2 , Er = , 0,00042 , Er% = , ∗100%0,042%  Ancho(Z)

0,01 ∆x  2 0,005

 

, 0,00016  , Er% = , ∗100%0,016%  Área Total(    )

Er = ,

Fórmula para hallar el área total:



     ∑  =    ( ∗ ) ±(∗∆+∗∆)    (∗z)± (∗∆+∗∆)     ( ∗ z) ± (( ∗ ∆ +  ∗ ∆)     (31,79∗12,76) ±(31,79∗0,005+12,76∗0,005)   405,64±0,22     (12,76∗31,92 12,76∗31,92)) ± (12,76∗0,005+31,92∗0,005 12,76∗0,005+31,92∗0,005))  407,30±0,22     (31,76∗31,92 31,76∗31,92)) ± (31,76∗0,005+31.92∗0,005 31,76∗0,005+31.92∗0,005))    1013,78±0,32 ( )    31,79∗12,76 31,79∗12,76) ±(31,79∗0,005+12,76∗0,005)   405,64±0,22     (12,76∗31,92) ± (12,76∗0,005+31,92∗0,005 )  407,30±0,22     (31,76∗31,92) ± (31,76∗0,005+31.92∗0,005 )  1013,78±0,32   

   ∑  3653.44±1,52   =

Tenemos que…… 

Er = 0,0004   = 3653,44   Er% = 0,0004*100% = 0,04%

 ∆x1.52

Volumen

  [(31,79∗12,76 31,79∗12,76)) ± (31,79∗0,005+12,76∗0,005 31,79∗0,005+12,76∗0,005))]∗(31,92±0,005)   (405,64±0,22) 405,64±0,22) ∗ (31,92±0,005 31,92±0,005)) 

 

   (405,64∗31,92) ± (31,92∗0,22+405,64∗0,005 )  12948,02±9,05  Tenemos que…… 

Er =

,

0,0007

12948,02   =,  ∆x9,05 

Er% = 0,0007 *100 =0,07%

5.  CUESTIONARIO a)  Explique cuál de los instrumentos da resultados más exactos en las áreas y volúmenes Observando los resultados obtenidos, deducimos que el vernier digital es más exacto que la regla graduada ya que esta tiene unidades de medida más pequeña y al ser más moderno da un mejor resultado. b)  Determine el volumen de una esfera cuyo diámetro con un pie de rey es 5,265inch. De inch. a cm. 5,265inch. = 13.35cm Diámetro de la esfera = 13.35cm Radio de la esfera = 6.675cm Resolución

  43   

  4 ∗297,4  3 396,5∗   1245.6 

 

6.  CONCLUSIONES Con este experimento hemos aprendido a calcular los errores hechos hec hos con los instrumentos usados y también las medidas indirectas del objeto a medir. Gracias a esto sabremos qué tan cerca o lejos nos encontramos del valor real. Aplicaciones Médicas:

-  - 

Hacer mediciones al cuerpo humano. 

- 

Aprender los métodos correctos para hacer una medición. 

Aplicar las medidas antropométricas y saber el margen de error para hacer las medidas correctamente.