Binomio de Newton

Binomio de Newton  Autores: -

Quiroz Delgado Karla Mariana. Rosales Balbuena Isaías. Vidal Morales Brayan Uriel.

 Asesor: Moisés Moisés Sila !onz"lez. !onz"lez. Uniersidad #a$ional Aut%no&a de Mé'i$o. (s$uela #a$ional )re*aratoria no.+ ,(ras&o -astellanos Quinto Resumen (l bino&io de #e/ton $onsiste $onsiste en una 0%r&ula 0%r&ula 1ue nos *ro*or$ion *ro*or$iona a la *oten$ia *oten$ia n-ésima  de un bino&io. Así2 si n

∈

 N, se tiene 1ue:

() ()

()

()

( )

()

( x + a )n= n  x n + n  x n−1 a + n  x n−2 a2+ n  x n−3 a 3+ … + n  xa n−1+ n an o n−1 n 1 2 3

(l desarrollo desarrollo del bino&io

(a + b)n

  *osee una singular singular i&*orta i&*ortan$ia n$ia ya 1ue a*are$e a*are$e $on &u$3a &u$3a

0re$uen$ia en Mate&"ti$as y *osee diersas a*li$a$iones en otras "reas del $ono$i&iento.  Así &is&o2 es*e$i0i$a la e'*ansi%n e'*ansi%n de $ual1uier $ual1uier *oten$ia de un bino&io2 es de$ir2 la e'*ansi%n e'*ansi%n de

(a + b)n

. De a$uerdo a este teore&a2 el *ri&er tér&ino es

n

a

2 el segundo es

n

na

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b2 y en

$ada tér&ino adi$ional la *oten$ia de a dis&inuye en 5 y la de b au&enta en 5. (l bino&io de #e/ton es una $onse$uen$ia de la regla distributia y se *uede de&ostrar *or el &étodo de indu$$i%n. 6a regla de e'*ansi%n 1ue se sigue del teore&a es: el $oe0i$iente del tér&ino siguiente se $al$ula a *artir  del a$tual a$tual &ulti*li &ulti*li$and $ando o el $oe0i$ie $oe0i$iente nte *or el e'*onen e'*onente te de a2 y diidi diidiend endo o el resul resultad tado o entre entre la *osi$i%n. 6os 6os $oe0i$ $oe0i$ien ientes tes ta&b ta&bién ién *ued *ueden en leerse leerse en el 7ri"n 7ri"ngu gulo lo de )as$a )as$al. l. 6a i&*ort i&*ortan an$ia $ia *ara *ara la $o&bin $o&binat atori oria a es 1ue 1ue los los $oe0i $oe0i$ie $iente ntes s $uenta $uentan n el n8&er n8&ero o de sub$o sub$on9u n9unto ntos s de ta&a ta&ao o ; .@

7 1

.@

7 1

G.@ 7 1

O.@ 7 1

5J.@ 7 1

55.@

7

+ ... +

243

+ ... +

729 7

J.+?OEE

.JJJ>

J.+?O5

.JJJ+O

J.+?OG

.JJJ5E

J.+?OOE

.JJJJ

J.+?OO

.JJJJ

7

+ ... +

2187

+ ... +

6561

+ ... +

19683

+ ... +

59049

7

Margen de error. .JJ5>

6

7

7

Valor de la su&a *ar$ial. J.+?G?

8

9

10

7

11

7

1

5+.@

+ ... +

7

J.+?OOO

177147

.JJJJ5

12

7

-o&o *ode&os obserar2 &ientras &"s tér&inos desarrolla&os2 &"s e'a$to es el resultado. A $ontinua$i%n dos de&ostra$iones 1ue $ree&os *ertinentes *ara este traba9o. Seg8n las leyes de e'*onentes2 tene&os 1ue: a

m

b

m

L

5 si aLb &PJ

2

m m∗m  = =m=m2−1 conn=2 m m Su*onga&os 1ue el resultado es "lido *ara nL;+2 es de$ir: k 

m

m

 = m − k 

1

k + 1

m m

)or de&ostrar 1ue k  + 1

m

m

=

m

=mk +1−1=mk 

k 

∗m

m

=m

k 

Segunda de&ostra$i%n: a

a

1 m m = b −a a = b −a b m ( m )( m ) m

Conclusión: (l do$u&ento elaborado *er&ite er satis0a$toria&ente la 0or&a en 1ue el bino&io de #e/ton 0a$ilita la resolu$i%n de *lantea&ientos en rela$i%n a en$ontrar la n@ési&a *oten$ia de un bino&io. a 1ue *osee una gran i&*ortan$ia al a*li$arse $on &u$3a 0re$uen$ia en Mate&"ti$as y en otras "reas del $ono$i&iento. -on$luyendo 1ue el bino&io de #e/ton es una $onse$uen$ia de la regla distributia y se *uede de&ostrar *or indu$$i%n. Referencias:

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3tt*:///.solo$ien$ia.$o&$ienti0i$osisaa$@ne/ton@teore&a@bino&io.3t& 3tt*:///.solo$ien$ia.$o&$ienti0i$osisaa$@ne/ton@teore&a@bino&io.3t& 3tt*:///+.u$a.es&ate&ati$asDo$en$iaMaterial$o&*le&entarioMate&ati$as(le&entales 7e&a55.*d0