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MODULO Nº1 DE FISICA INTRODUCCION A LA FISICA PROF. EUGENIO CONTRERAS Z. UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE FAC. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS PROSECUCIÓN DE ESTUDIOS.

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INTRODUCCION.

En este módulo se da una breve explicación de algunas definiciones de conceptos usados en la asignatura de “Complemento de Física - Química”, parte de Física. Se hace una descripción de los sistemas de unidades de medida, de las magnitudes físicas fundamentales y derivadas, se definen los múltiplos, submúltiplos y los prefijos. Se hace notar la necesidad de expresar los valores numéricos de las magnitudes en ciencias en notación científica. Se dan reglas de análisis dimensional, lo que proporciona un método para determinar la forma funcional de las leyes físicas y permite verificar si está bien planteada. Se recuerdan las funciones trigonométricas fundamentales y se muestran algunas aplicaciones. ™

SISTEMAS DE MAGNITUDES Y UNIDADES.

Medir una magnitud consiste en compararla con una cantidad arbitraria fija de la magnitud. Una medición se expresa con un número seguida de un símbolo de la unidad usada. Existen medidas directas e indirectas, por ejemplo el largo y el ancho de una sala son medidas directas, pero la superficie de la sala es una medida indirecta. Gran parte de la Física tiene que ver con la medida de cantidades físicas tales como distancia, tiempo, volumen, masa, temperatura, etc. Las leyes Físicas se expresan en términos de cantidades básicas que requieren una definición clara, llamadas magnitudes físicas fundamentales. En mecánica las magnitudes físicas fundamentales son tres: longitud, tiempo y masa. Se llaman magnitudes físicas fundamentales porque están definidas en forma independiente de cualquier otra magnitud física. Para que sean útiles deben ser invariables y reproducibles y se debe definir una unidad de medida única para la magnitud física, llamada patrón de medida. El Sistema Internacional (S.I.) de unidades determina el conjunto de patrones de medida. En este sistema, las unidades de medida de las magnitudes físicas fundamentales en Mecánica, son las que se muestran en la tabla. Magnitud Unidad de Símbolo Este se conoce también como el sistema MKS física medida (abreviaturas de metro, kilogramo y segundo). También existe el sistema CGS cuyas unidades de medida son el Longitud metro m centímetro, gramo y segundo, y el sistema inglés de Tiempo segundo s ingeniería, que es extremadamente confuso, por lo que no Masa Kilogramo Kg lo usaremos en este curso. El S.I. es el que se usa mayoritariamente en todas las áreas de las ciencias. La definición operacional actual de las magnitudes físicas fundamentales en la mecánica se da a continuación. Longitud: Se han desarrollado muchos sistemas de medición de longitud, pero se han abandonado por razones de precisión. Desde 1983, la unidad de longitud, el metro, se define como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un tiempo de 1/299792458 segundos. De paso esta definición establece que la rapidez de la luz en el vacío es de 299 792 458 m/s. Tiempo: En 1967 se definió el segundo como unidad de tiempo igual a 9 192 631 770 periodos de la radiación de átomos de cesio 133. Con un reloj atómico de cesio, se puede medir la frecuencia de su radiación con una precisión de una parte en 1012, lo que equivale a una incertidumbre menor que un segundo cada 30000 años. Módulo01.Introducción a la física Parte 1.U.Central – e.contreras.z-2009

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Masa: Desde 1987 se considera como unidad de masa, el kilogramo, que se define como la masa de una aleación de platino e iridio que se conserva en el Laboratorio Internacional de Pesas y Medidas en Sevres, cerca de París, Francia. Este patrón es confiable porque dicha aleación es muy estable. Magnitud Unidad de Símbolo Las otras magnitudes fundamentales de la Física, que física medida con las anteriores suman siete en total, están indicadas en la siguiente tabla.

Temperatura

En ciencias se usan muchas otras magnitudes físicas, que se obtienen como una combinación de las magnitudes físicas fundamentales. Se llaman magnitudes físicas derivadas, porque se derivan de las magnitudes físicas fundamentales. Por ejemplo: Area Aceleración Fuerza Densidad ™

= = = =

Kelvin

K

Corriente eléctrica

Ampere

A

Intensidad luminosa

Candela

Cd

Mol

mol

Cantidad de sustancia

longitud por longitud, se mide en m2 longitud/tiempo al cuadrado, se mide en m/s2 masa por aceleración, se mide en Newton, N = kg m/s2 masa/volumen, se mide en kg/m3, etc.

NOTACION CIENTIFICA.

La notación científica es un modo de representar un conjunto de números mediante una técnica llamada coma flotante (o de punto flotante en paises de habla inglesa y en algunos hispanoparlantes) aplicada al sistema decimal, es decir, potencias de base diez. Esta notación es utilizada en números demasiado grandes o demasiado pequeños. La notación científica es utilizada para reducir cantidades muy grandes ( ó muy pequeñas), y que podamos manejar con más facilidad. Escribir un número en notación científica es expresarlo como el producto de un número mayor o igual que 1 y menor que 10, y una potencia de 10. Ejemplos: • • • • ™

1456,75 0,000046 789·107 57,3·10-8

= = = =

1,45675·103 4,6·10-5 7,89·109 5,73·10-7

MULTIPLOS, SUBMULTIPLOS Y PREFIJOS.

Teniendo en cuenta que la Física estudia el comportamiento del universo, los valores numéricos de las magnitudes físicas varían en un rango muy amplio, desde cantidades muy pequeñas a muy grandes. 2·1030 Masa (kg) Sol Los valores numéricos de la física Electrón 9,1·10-31 pueden ser muy complicados de leer Humano 70 en su forma tradicional, por lo que 1,5·1011 Longitud (m) Distancia Tierra-Sol generalmente se expresan en potencias de 10, que es la notación Cancha de fútbol 90 científica. Ejemplos de algunos Diámetro núcleo atómico 10-14 valores numéricos de magnitudes 1,5·1017 Tiempo (s) Edad de la Tierra físicas conocidas se muestra en la Edad estudiante universitario 5·108 tabla siguiente: Duración choque nuclear 10-22 Si el exponente de la potencia de 10 es positivo (o negativo) el valor de la magnitud física es un múltiplo (o submúltiplo). Para medir magnitudes muy grandes o muy pequeñas se expresan los valores en potencias de 10 y se usan los prefijos del SI que es el nombre que se le da a la potencia de 10. Existen algunas unidades de medición que tienen nombres especiales, como por ejemplo el año luz que es la distancia que recorre la luz en un año, igual a 9,45·1015 m, o el Angstrom que es igual a 10-10 m. Módulo01.Introducción a la física Parte 1.U.Central – e.contreras.z-2009

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En las tablas siguientes se dan los nombres de los prefijos del Sistema Internacional (SI) . SUBMULTIPLOS Potencia

10

-1

10

-2

10

-3

10

-6

10

-9

10

-12

10-15 10

-18

10

-21

10

-24

MULTIPLOS

Prefijo

Símbolo

decI

d

10

c

10

2

10

3

10

6

10

9

10

12

10

15

10

18

10

21

10

24

Centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto

Potencia

m µ

n p f a z y

Prefijo

Símbolo

deca

da

hecto

H

kilo

k

Mega

M

Giga

G

Tera

T

Peta

P

Exa

E

Zeta

Z

Yota

Y

Otras unidades de medida, que también en algunos casos son utilizadas, son entre otras las siguientes: - Longitud:

1 milla marina = 1852 metros 1 milla terrestre = 1609 metros 1 Angstrom = 10-10 metros 1 Año luz = 9,461 ·1015 metros 1 metro = 39,37 pulgadas 1 pulgada = 2,54 centímetros 1 pie = 30,48 centímetros 1 braza = 1,8288 m = 6 pies 1 pértiga = 5,0292 m = 16,5 pies 1 grado geográfico = 111 Km. 1 yarda = 91,44 centímetros = 3 pies = 36 pulgadas 1 parsec = 3,084 ·1016 m = 3,259 años luz 1 unidad astronómica (U.A.) = 1,495 ·108 km.

- Masa:

1 onza 1 utm 1 tonelada

= 28,35 gramos = 9,8 Kilogramos = 1000 Kilogramos

1 libra 1 slug 1 Kilogramo

= 453,6 gramos = 14,59 kilogramos = 2,205 libras

- Tiempo:

1 hora (hr) 1 día

= 60 minutos(min) = 24 horas

1 minuto

= 60 segundos

™

TRANSFORMACIÓN DE UNIDADES.

Muchos cálculos en Física requieren convertir unidades de un sistema a otro. Las unidades pueden convertirse sustituyéndolas por cantidades equivalentes. En toda respuesta numérica de los problemas siempre debe escribirse las unidades en el resultado final. Ejemplo. Transformar 18 km/hora a m/s. Solución: Se sabe que 1h = 3600 s y que 1 km = 1000 m, entonces:

18

km 1000m = 18 · = 5 m/s h 3600s

EJERCICIOS SOBRE CONVERSION DE UNIDADES. 1.) ¿A cuántos metros equivalen 500 nanómetros?

R: 5 ·10-7 m.

2.) Convierta cada una de las siguientes medidas de longitud a su equivalente en metros. a.) 1,1 cm b) 76,2 pm c) 2,1 Km d) 0,123 Mm R: 1,1 ·10-2 m ; 7,62 ·10-11m ; 2,1 ·103 ; 1,23 ·105m. Módulo01.Introducción a la física Parte 1.U.Central – e.contreras.z-2009

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3.) Exprese en kilogramos las siguientes masas: a.) 0,496 g. b.) 9,46 mg. c.) 846 onza. R: 4,96 ·10-4 g ; 9,46 ·10-3 g ; 2,39841 ·10 g ; 3,5 ·104 g

d) 3,5 ·107 mg.

4.) Exprese en segundos los siguientes intervalos de tiempo. a.) 34,6 min. b.) 48,2 hr. c.) 1,3 días d.) 2,45 años R: 2,076 ·103 s. ; 1,7352 ·105 s. ; 1,1232 ·105 s. ; 7,7316 ·107 s. 5.) Ordene de menor a mayor las siguientes medidas de masa. 11,6 mg ; 1021 µg, ; 0,6 cg ; 0,31 ng. R: 0,31 ng < 1021µg < 0,6 cg < 11,6 mg 6.) Exprese en m/s las siguientes velocidades. a.) 20 Km/hr b.) 6050 cm/hr c.) 4,3 ·106 Km/hr R: 5,55 m/s ; 0,0168 m/s ; 1,194·106 m/s ; 0,22 m/s

d.) 800 m/hr

7.) Una mesa rectangular tiene aristas de 80 y 140 cm. Calcule su superficie y exprésela en mm2 y m2. Use notación científica. R: 1,12 ·106 mm2 ; 1,12 m2 8.) Una esfera tiene un diámetro de 50 mm. Calcule su volumen y expréselo en mm3 , cm3 y dm3. (el

volumen de una esfera es

4 3 πr ). Use notación científica. 3

R: 6,54498 ·104 mm3 ; 6,54498 ·10 cm3 ; 6,54498 ·10-2 dm3 9.) La densidad del petróleo es aproximadamente 0,83 g/cm3. ¿Cuál es su valor en Kg/m3 ,en lb/pie3 ?. R: 830 Kg/m3 ; 51,81 lb/pie3 10.) ¿Cuántos segundos tiene un año bisiesto? R: 3,16224 ·107 s. 11.) ¿Cuántos Radios Ecuatoriales de la Tierra existen entre la Tierra y la Luna?. (Radio Ecuatorial de la Tierra = 6480 km , Distancia media de la Tierra a la Luna = 3,8 ·108 m ). R:58,64 Radios Ecuatoriales. 12.) La velocidad de la luz es de 299.792.458 m/s. Exprese este valor en Km/hr. R: 1,079 ·109 Km/hr. 13.) Exprese porcentualmente la diferencia de 39,4 pulgadas respecto a 3,4 pie. R: aprox. 96,6% 14.) En la proyección de una película pasan 24 cuadros en 1 s. ¿Cuántos cuadros hay en una película que dura 1h 30min, si cada cuadro mide 15 mm?.¿Qué longitud tiene la película?. R: 129600 cuadros ; 1944 m. ™

ECUACIONES DIMENSIONALES.

Cuando en física nos encontramos con el resultado de una medición o de un cálculo numérico con su respectiva unidad de medida, es posible llegar a establecer de que magnitud se trata, solamente analizando las "dimensiones" de dicha unidad. La palabra dimensión en este caso está relacionada con la naturaleza física de una cantidad. Por ejemplo, si el resultado de una operación matemática arroja un valor de 50 g. ó 600 onzas ó 2,3 toneladas, etc. se ve que todas estas unidades corresponden a la masa de un cuerpo. Entonces en este caso las dimensiones de la cantidad es la de masa. Los símbolos que se usan para especificar la longitud, la masa y el tiempo son respectivamente L , M y T. La notación que se utiliza para indicar las dimensiones de una magnitud, se indican mediante la utilización de un paréntesis de corchete , [ ] . Por ejemplo, las dimensiones de la velocidad , “v” , se escriben

Las dimensiones del área “A”, son [ A ] = L2 las del volumen “V”, son

[v] =

L / T = L · T-1 .

y

[V] = L . 3

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Una magnitud derivada cualquiera "Q", puede ser expresada de la siguiente forma:

Q = q ( Lx My Tz )

donde "q" representa el valor numérico de la magnitud y L, M y T son las dimensiones de longitud, masa y tiempo respectivamente. Los exponentes x, y ∧ z pueden ser cualquier número entero, excluyendo el cero e indican las dimensiones de la magnitud "Q". Por ejemplo, si las dimensiones de una magnitud "Q" son 1 en longitud, 0 (cero) en masa y -1 en tiempo, significa que estamos en presencia de la magnitud velocidad, es decir: Q = v = n ( L1 M0 T-1 )

( n es el número de unidades de la magnitud )

El análisis dimensional permite que las dimensiones se pueden tratar como cantidades algebraicas, esto quiere decir, que se pueden sumar o restar sólo si tienen las mismas dimensiones. Una igualdad correcta entre dos miembros es del tipo Lx My Tz = Lx' My' Tz' , donde se debe cumplir que x = x' , y = y' ∧ z = z'. Ejemplo.

1 2 at es dimensionalmente correcta. 2 "d" representa distancia, "vo" es velocidad, "a" aceleración y "t " tiempo. Solución: Demostrar que la ecuación d − v o t =

distancia: velocidad: aceleración tiempo

[ d] [vo ] [a] [t]

= L = L T-1

L - L T-1 T

= L T-2 T2

= L T-2

L

- L

=

L

L

=

L

= T

(es dimensionalmente correcta)

EJERCICIOS SOBRE ANÁLISIS DIMENSIONAL. 1.) Demuestre que la ecuación v 2 = v o2 + 2ax , es correcta dimensionalmente, representan velocidad, "a" es aceleración y "x" es una distancia.

donde v y vo

1⎛P⎞ 2 ⎜ ⎟ v es una ecuación dimensionalmente homogénea. "F y P" son 2⎝ g⎠ fuerzas, "v" es velocidad, "d" es longitud. Determine las dimensiones de "W" y de "g". R: [ W ] = ML2 T −2 , [ g] = LT −2

2.) La expresión W = Fd −

3.) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es correcta dimensionalmente? a.) v = vo + ax b.) y = (2m) cos (kx) donde k = 2m-1

L g donde "L" es la longitud del péndulo y "g" es la aceleración de la gravedad dada en unidades de longitud por unidad de tiempo al cuadrado. Pruebe que esta ecuación es consistente dimensionalmente.

4.) El período T de un péndulo simple se mide en unidades de tiempo y está dado por T = 2π

5.) Suponga que el desplazamiento de una partícula está relacionado con el tiempo de acuerdo con la expresión s = c t3. ¿Cuáles son las unidades de c ?

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TRIGONOMETRIA APLICADA.

La trigonometría en principio es la rama de la matemática que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites. Razones trigonométricas

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en B; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo “α”, correspondiente al vértice A. •

El seno (abreviado como “sen” ) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa. a BC sen( α ) = = c AC

C c A

a

α b

•

El coseno (abreviado como “cos”) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa. b AB cos(α ) = = c AC

•

La tangente (abreviado como “tan o tg”) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente. a BC tg(α ) = = b AB

B

Razones Trigonométricas Recíprocas

Se definen la cotangente, la secante y la cosecante, como las razones recíprocas a la tangente , coseno y seno, del siguiente modo: •

cotangente: (abreviado como “cotg o ctg) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:

cotg(α ) =

•

secante: (abreviado como “sec”) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:

sec(α ) = •

1 b AB = = tg(α ) a BC

1 c AC = = cos(α ) b AB

cosecante: (abreviado como “csc o cosec”) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo: c AC cos ec(α ) = = a BC

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En nuestra aplicación como herramienta matemática para el estudio de la física, normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Unidades angulares

En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean en general el Grado sexagesimal y el Radián. El grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ángulos sexagesimal, esta definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° (90 grados sexagesimales), y sus divisores el minuto sexagesimal, y el segundo sexagesimal, están definidos del siguiente modo: • 1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales). • 1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales). • 1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales). El radián (rad) se define como el ángulo que limita un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Una definición más general, indica que el ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco formado sobre el radio, S es decir, θ = (rad) , donde θ es el ángulo, S es la longitud del arco y R es el radio. R Por tanto, el ángulo, “α”, completo en radianes de una circunferencia de radio R, es: α circunferencia =

Lcircunferencia 2 π R = = 2 π (rad) R R

Entonces,

360º = 2π (rad

Valor de algunas funciones trigonométricas grados

Rad

sen

cos

tg

cotg

sec

cosec

0º

0

0

1

0

∞

1

∞

30º

π 6

1 = 0,5 2

3 2

3 3

3

2 3 3

2

45º

π 4

2 2

2 2

1

1

2

2

60º

π 3

3 2

1 = 0,5 2

3

3 3

2

2 3 3

90º

π 2

1

0

∞

0

∞

1

180º

π

0

-1

0

∞

-1

∞

270º

3π 2

-1

0

∞

0

∞

-1

360º

2π

0

1

0

∞

1

∞

Importante: para calcular el valor de las funciones trigonométricas usando la calculadora, primeramente se debe tener claro si el ángulo dado esta expresado en radianes ó grados sexagesimales. Si está en radianes, el MODO de la calculadora debe estar en “RAD” ( en el visor aparece R ), pero si esta en grados sexagesimales, el MODO de la calculadora debe estar en “DEG” ( en el visor aparece D ). Módulo01.Introducción a la física Parte 1.U.Central – e.contreras.z-2009

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Observación a considerar:

En aplicaciones físicas de la trigonometría, suele ocurrir por ejemplo el siguiente problema: “Qué ángulo debe tener un plano inclinado para que un cuerpo que recorre una distancia a través del plano de 5 m , alcance una altura respecto al suelo de 2 m?. Solución: La situación gráfica del problema se muestra en la figura. El problema es determinar el valor de “θ” Se conoce el lado opuesto al ángulo θ y la hipotenusa del triángulo, de modo que aplicando la función seno se obtiene,

5m 2m

θ

2 = 0,4 5 La pregunta ahora es: se conoce el valor de la función y se desea saber ¿ para qué valor de θ la función seno tiene un valor de 0,4”. sen(θ) =

En este caso se debe usar la función inversa “arcoseno”, es decir: 2 Si sen(θ) = = 0,4 ⇒ θ = arcsen(0,4) = 23,578º 5 Por lo tanto el ángulo que debe tener el plano inclinado es de 23,578º Las funciones inversas “arco” son válidas para las seis funciones trigonométricas. Identidades trigonométricas

Una identidad es una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. En trigonometría existen, entre otras, las siguientes identidades fundamentales: •

sen (α) · cosec(α) = 1

•

cos (α) · sec(α) tg (α) · cotg(α) sen(α ) tg(α ) = cos(α )

• • • • •

= 1 = 1

sen2(α) + cos2(α) = 1 tg2(α) + 1 = sec2(α) 1 + cotg2(α) = cosec2(α)

Ejemplo.

Se desea construir un puente sobre un río, que mide 10 m de ancho, de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinación de 20º. ¿Cuál debe ser la longitud de la baranda?, ¿a qué distancia del cauce se situará el comienzo de la rampa?. Solución. La longitud de la baranda es L = 2h + 10m 2 2 ⇒ h= = 5,848(m) “h” se determina con, sen 20º = h sen 20º (Como ya se conoce “h” también se puede calcular con la función coseno ó incluso con el teorema de Pitágoras. Hágalo y compruébelo) Luego,

L = 2·5,848(m) + 10(m) = 21,696 (m)

“x” se determina con,

tg 20º =

2 x

⇒

x=

2 = 5,495(m) tg 20º

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EJERCICIOS SOBRE APLICACIÓN DE TRIGONOMETRIA BASICA 1.)

Un cohete es lanzado con un ángulo de 30° respecto a la horizontal. ¿A qué altura se encuentra después de recorrer 8[km] ? R: 4 km.

2.)

Un segmento de 15[cm] de longitud forma un ángulo de 20° con respecto a un plano. ¿Cuánto mide la proyección del segmento en el plano? R: 14,1 cm.

3.)

La longitud de la proyección de un segmento en una recta mide 10[cm]. Si el ángulo de inclinación mide 35°, ¿cuál es la longitud del segmento? . R: 12,208 cm.

4.)

En un ejercicio de tiro, el blanco está a 30 m de altura y a una distancia horizontal de 82 m de la persona. ¿Cuánto debe medir, aproximadamente, el ángulo de lanzamiento del proyectil ? R: 20º 5` 42,83``.

5.)

El ángulo del vértice de un triángulo isósceles mide 70° y la longitud de la base, 30 cm. ¿Cuánto mide su altura? R: 41,212 cm.

6.)

¿Cuántos grados miden, aproximadamente, los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, si las longitudes de sus catetos son 7 y 24 m ?. R: 16,26º , 73,74º .

7.)

Calcular la altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide 10 m.

8.)

Calcular la longitud del lado de un triángulo equilátero cuya altura mide 12 m. R: 13,856 cm.

9.)

Calcular el largo que debe tener una escalera para que, al apoyarla en un muro, pueda alcanzar una altura de 3,5 m. considerando que la escalera debe formar un ángulo de 52º con el plano basal. R: 4,44 m

R: 8,66 m.

10.) Una escalera de mano se apoya contra la pared de un edificio formando con el piso un ángulo de 50°. El pie de la escalera dista 3 m del edificio. Calcular:

a.)

la altura "h" que alcanza la escalera en la pared.

b.)

la longitud "I" de la escalera.

R: 3,575 m , 4,667 m.

11.) Determinar, aproximando al grado más cercano, la inclinación de los rayos solares en un instante en que un farol de 2,5[m] de altura proyecta una sombra de 3,2 m. R: 52º. 12.) Determinar las dimensiones de un rectángulo, si la longitud de su diagonal mide 8 cm y forma con la base un ángulo de 30°. R: 4cm , 6,928 cm. 13.) Un pentágono regular está inscrito en una circunferencia de radio 10 cm. Calcular:

a) la longitud del lado del pentágono. b) la longitud del apotema.

R: 11,756 cm. R: 8,09 cm.

14.) Una escalera de 6[m] de longitud está apoyada en una pared, alcanzando 5[m] de altura sobre la misma. ¿Cuánto mide el ángulo formando entre la escalera y el suelo? R: 56º 26` 33,68`` 15.) Hallar la altura del puente de la figura, sabiendo que éste tiene 17 m de largo. R: 8 m 16.) Determinar la altura de un edificio, si el ángulo de elevación mide 55° y el observador está a 16[m] del edificio. R: 22,85 m. 17.) Desde un punto situado a 15[cm] del centro de una circunferencia, de radio 9[cm], se trazan las tangentes a dicha circunferencia. ¿Cuál es el ángulo formado por las tangentes?. R:73º 44` 23,26`` 18.) Para hallar la altura de un árbol se ubicó un teodolito a 24 [m] de su pie. Si la altura del instrumento es 1,4[m] y el ángulo de elevación 55°, ¿cuál es la altura del árbol? R: 35,676 m. (El teodolito es un instrumento de medición mecánico-óptico universal que sirve para medir ángulos verticales y, sobre todo, horizontales, ámbito en el cual tiene una precisión elevada. Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles). Módulo01.Introducción a la física Parte 1.U.Central – e.contreras.z-2009

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19.) Un satélite artificial sobrevuela una ciudad C y, en ese instante, en un observatorio situado a 300[km] de C se le avista con un ángulo de elevación de 64°. ¿A qué distancia de la ciudad C está el satélite? R: 615,091 km. 20.) Una torre de alta tensión de 60 m de altura proyecta una sombra de 160 m de largo. ¿Cuánto mide el ángulo que en ese momento forma la horizontal con los rayos del sol?. R: 20º 33` 21,76``. 21.) Un avión, pronto a aterrizar, se encuentra a una altura de 1500 m. ¿A qué distancia del aeropuerto está el avión si el piloto lo observa con un ángulo de depresión de 30º.? R: 3000 m. 22.) La parte más elevada de un edificio es observada desde una distancia de 83 m con un ángulo de elevación de 42º. Calcular la altura del edificio. R: 74,734 m. 23.) Se desea colgar de un muro un cartel publicitario de 1,7 m de ancho. ¿Qué largo debe tener el cable tensor para que forme un ángulo de 60º con el lado horizontal del cartel. R: 3,4 m. 24.) Halla la longitud de los vientos que sujetan la tienda de campaña de la figura, y la longitud del lado x. R: 3,26 m ; 2,2 m

1,6m

2m

1,6m

25.) Se desea determinar la altura de un cerro con respecto al plano del lugar.

Para ello, se miden los ángulos de elevación: α, β, desde los puntos A y B, en línea recta con el pie de la altura del cerro y separados por la distancia d =300m. Si α = 40º y β = 28º, calcular la altura “h” del cerro. R: 435,431 m.

h

β B

α A

d

26.) La diagonal de un rectángulo forma un ángulo de medida “α“ con el lado más largo. ¿Cuánto mide cada lado del rectángulo si su área es 60 cm2 y tg α = 0,8?. R: 5 3 , 4 3 . 27.) Se necesita conocer la diferencia entre las alturas de dos chimeneas que están a 30 m una de la otra; para ello, un observador se ubica entre ellas a 10 m de las más baja. Los ángulos de elevación son 35º con la menor y 51º con la más alta. R: 17,696 m. 28.) El árbol de la figura tiene determinada sombra cuando el sol se observa bajo un ángulo de elevación de 50º. ¿Bajo que ángulo proyectará una sombra el doble que la anterior?. R: 30,8º 29.) Un helicóptero se encuentra justo sobre el cruce de dos caminos perpendiculares y a una altura de 300 m. El piloto observa el automóvil de los “delincuentes” bajo un ángulo de depresión de 35º y da aviso a la patrullera, la cual se desplaza por el otro camino y ve al helicóptero con un ángulo de elevación de 48º. Calcular la distancia (en línea recta) desde la patrullera hasta el automóvil. R: 506,45 m. 30.) Se requiere que las cerchas para la techumbre de una casa tengan 8 m. de base y ángulos de inclinación de 20º y 30º.Calcular -

Cuánto debe medir el madero de refuerzo que debe ponerse entre el vértice y la base.

-

La longitud de las proyecciones x e y de los otros lados sobre la base.

20º

20º y

30º 8m

x

31.) Los extremos de una barra de equilibrio de 6 m de largo se sustentan sobre la parte superior de dos pilares que miden 1,5 y 1,7 metros de alto. Calcular la pendiente de la barra. R: 0,033 Módulo01.Introducción a la física Parte 1.U.Central – e.contreras.z-2009

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32.) Una paparazzi pretende fotografiar al afectado actor Antonio Estandartes; para ello se sube a un árbol de 3,75 m de altura. Si la distancia a la tapia es de 6 m y la altura de ésta de 2,25 m. ¿Bajo qué ángulo observará la propiedad del actor?, ¿cuál es la máxima separación del muro a la que podrá tumbarse nuestro famoso si no desea ver turbada su intimidad? . R: 14º ; 9m 33.) Desde el puesto de observación de un faro de 35 m. de altura sobre el nivel del mar, se observa que los ángulos de depresión de dos barcos, situados en línea con el faro son de 28º y 55º respectivamente. Calcular la distancia que separa a ambos barcos.

28º 55º

X

Y

34.) Un obelisco está ubicado en medio de una avenida. Desde puntos distintos A y B de ella, a ambos lados del monumento y en línea recta con este, se observa su cúspide con ángulos de elevación de 60º y 25º respectivamente. Si la distancia entre los puntos A y B es de 600 m , ¿cuánto mide la altura del obelisco? 35.) El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de depresión de 12°. Un buzo es bajado 40 metros hasta el fondo del mar. ¿Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restos del naufragio?. R: 188,19 m 36.) Un avión despega de una base A en la costa y vuela en línea recta en dirección 30º hacia el NO . Cuando lleva recorrido 400 Km. sufre una avería mecánica que lo obliga a dirigirse a un aeropuerto B de alternativa, ubicado a 250 Km al norte de donde despegó. Si el avión vuela a 320 Km/hr . ¿Alcanzará a llegar al aeropuerto B si tiene combustible para 15 min? 37.) Un coche avanza por una carretera recta. Al pasar por una gasolinera, el conductor ve a su derecha una casa; la visual forma un ángulo de 39º con la dirección de la carretera. Dos minutos después, vuelve a mirar a la casa y, ahora, en un ángulo de 65º. Sabiendo que la casa está a 7Km de la gasolinera, hallar la velocidad del coche. 38.) Considere un paralelogramo del que se sabe que uno de sus lados mide 4 cm, la menor de su diagonal mide 5 cm. y el ángulo agudo que forman sus lados es de 34º. Calcular la longitud del otro lado del paralelogramo.

Módulo01.Introducción a la física Parte 1.U.Central – e.contreras.z-2009

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UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE FAC. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS PROSECUCIÓN DE ESTUDIOS.

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MODULO Nº1 – 1º SEM. 2009 COMPLEMENTO DE FISICA MAGNITUDES FISICAS - VECTORES PROF. EUGENIO CONTRERAS Z.

INTRODUCCION.

CANTIDADES O MAGNITUDES FISICAS. Se llama magnitud a toda característica de la materia que pueda ser medida. En el estudio de la física las magnitudes se pueden clasificar bajo dos aspectos: 1.) MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS. Magnitudes fundamentales de la física: Longitud (metro – m) , masa (kilogramo – kg), tiempo (segundo – s), intensidad de corriente eléctrica (ampere – A), temperatura termodinámica (kelvin - ºK), cantidad de sustancia(mol) , intensidad luminosa (candela – cd ) . Las tres primeras son las magnitudes fundamentales de la mecánica. Unidades de medida: estas son dependiendo del sistema de unidades de medida. - Sistema internacional (S.I. ó M.K.S.) : Longitud (metro – m) , masa ( kilogramo – kg ) , tiempo ( segundo – s ) - Sistema cegesimal ( ó C.G.S. ) : Longitud ( centímetro – cm) , masa ( gramo – g ) , tiempo ( segundo – s ) - Sistema inglés ( USA y el Reino unido (Inglaterra, Escocia, Gales - en la isla de Gran Bretaña - e Irlanda del Norte - en la Isla de Irlanda): Longitud ( pulgada – in , el pie – ft , la yarda – yd y la milla terrestre – mi ) , masa ( libra – lb , onza – oz ) , fuerza ( libra fuerza – lbf) , tiempo ( segundo – s ) Algunas equivalencias: 1 pulgada (in) = 2,54 cm. 1 pie (ft) = 12 in = 30,48 cm. 1 yarda (yd) = 3 ft = 91,44 cm 1 milla terrestre (mi) = 1760 yd = 1,609344 km. 1 libra = 0,45359237 kg = 453,59237 g 1 onza = 28 g Magnitudes derivadas: son el resultado de la combinación de dos o más magnitudes fundamentales. Ejemplos en el sistema S.I.: Superficie (m2 ) , Volumen (m3) , densidad (kg/m3) , velocidad(m/s), aceleración(m/s2) , fuerza(kg·m/s2) , etc. 2.) MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Una cantidad o magnitud escalar es la que está especificada completamente por un número con unidades apropiadas. Es decir, una cantidad escalar sólo tiene magnitud. Ejemplos de este tipo de magnitud son la masa, el tiempo, la temperatura, la rapidez, etc. Este tipo de magnitudes se pueden multiplicar, dividir, sumar o restar, simplemente usando la aritmética tradicional. En cambio, una cantidad vectorial es una cantidad física completamente especificada por un número con unidades apropiadas más una dirección y sentido. Es decir, una cantidad vectorial tiene magnitud tanto como dirección y sentido, como por ejemplo la fuerza, la velocidad, el desplazamiento, etc. Para operar con este tipo de magnitudes se debe utilizar el álgebra vectorial.

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1

™

COMPONENTES Y REPRESENTACION ANALITICA DE UN VECTOR.

Un vector es posible descomponerlo en dos o tres vectores, dependiendo en el sistema en que se encuentra ubicado ( en el plano o en el espacio ). Cada componente se encuentra a lo largo de cada uno de los ejes de coordenadas considerados. La componente de un vector corresponde a la proyección que tiene sobre un eje. y

G A

G El vector A de la figura, que en el plano (x,y), tiene como G G se encuentra K Ay componentes los vectores A x y A y . Los módulos o magnitudes de ambas componentes son: Ax = A cos θ

y

Ay = A sen θ

tg θ =

Ay

Ax A sen θ = y A Ax cos θ = A

⇒ ⇒ ⇒

θ = arctg

Ay

Ax A θ = arcsen y A Ax θ = arccos A

x

G Ax

G A = A = A 2x + A 2y

G El módulo del vector A en función de sus componentes está dado por: Para un vector en 3 dimensiones su módulo o magnitud es G La dirección de A con respecto al eje "x" positivo es:

θ

0

G A = A = A 2x + A 2y + A 2z

y (II)

(I) Ax : positiva Ay : positiva

Ax : negativa Ay : positiva

(III)

x

(IV)

Ax : negativa Ay : negativa

Ax : positiva Ay : negativa

Es importante siempre tener presente la ubicación del vector, ya que el signo de cada una de sus componentes va a depender del cuadrante donde se encuentre dicho vector. Considerando un plano cartesiano ( x, y ), los signos de las componentes para tener presente son los que se muestran en la tabla anterior. G Además, usando la magnitud del vector ( A = A ) y su dirección ( θ ), es posible escribir el vector en G coordenadas polares, en la forma: A =( A,θ ) ™

VECTORES UNITARIOS.

En la generalidad de las situaciones, las cantidades vectoriales suelen escribirse en términos de vectores unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones y de longitud o módulo igual a 1, el cual se emplea para especificar una dirección dada. Los vectores unitarios utilizan los símbolos i , j ∧ k y representan vectores que apuntan en las direcciones x, y ∧ z respectivamente. Como se observa en la figura, los vectores unitarios son perpendiculares entre sí Usando las componentes rectangulares y sus correspondientes vectores unitarios, es posible escribir un vector en coordenadas rectangulares de la forma:

G A = A x ˆi + A y ˆj + A zkˆ

z

kˆ ˆi

ˆj

y

x

G También el vector A se puede escribir de la forma A = A·uˆ G G A A x ˆi + A y ˆj + A Zkˆ donde, uˆ = G = . Este vector unitario apunta en la dirección de A . A A 2x + A 2y + A 2z Módulo.01-Física.Prosecución de estudios-U.Central - ecz-2009

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™

SUMA DE VECTORES.

MÉTODOS GEOMETRICOS. Las reglas para las sumas de vectores se describen adecuadamente con métodos geométricos. Dentro de estos métodos, se debe considerar si la suma es de dos o más vectores. ‰

Para sumar dos vectores.

G

G

a.) Método del triángulo: para sumar el vector b al vector a se dibuja primero el G vector a , con su magnitud representada por una escala adecuada. A G G continuación, en el extremo de a , se copia el vector b en la misma escala G G G como se muestra en la figura. El vector resultante R = a + b es el vector

G R

G

G

G a

dibujado desde el origen de a hasta la punta o extremo de b . b.) Método del paralelógramo. Este método tiene la particularidad de que para G G sumar dos vectores a y b , ambos se deben colocar con el origen en común y G G G G el vector resultante R = a + b es la diagonal del paralelógramo. Este vector R nace en el origen común de ambos vectores llegando al vértice opuesto del paralelógramo, como se muestra en la figura. ‰

G b

G b

G R G a G d

Para sumar tres o más vectores. Las construcciones geométricas también pueden utilizarse para sumar más de G G G G G dos vectores. La figura muestra el vector suma resultante R = a + b + c + d que G es el vector que completa el polígono. En otras palabras, R es el vector dibujado desde el origen del primer vector hasta el extremo del último vector.

G R

G a

G b

G c

METODOS ANALITICOS. El vector suma o resultante de dos o más vectores, es un vector cuyas componentes equivalen a la suma de cada una de las componentes de los vectores, esto es: Sea

G A = A x ˆi + A y ˆj + A zkˆ G B = B x ˆi + B y ˆj + B zkˆ G C = C x ˆi + C y ˆj + Czkˆ

Entonces:

; ;

G G G G R = A +B+C ⇒

G R = ( A x + B x + C x )ˆi + ( A y + B y + C y )ˆj + ( A z + B z + Cz )kˆ

™

NEGATIVO DE UN VECTOR. G G El negativo del vector A se define como el vector que al sumarse a A resulta cero para la suma vectorial. G G G G G Es decir, A + ( − A ) = 0 . Los vectores A y - A tienen la misma magnitud pero apuntan en sentidos opuestos. ™

PRODUCTO DE ESCALAR POR UN VECTOR. G Sea k : escalar y A = A x ˆi + A y ˆj + A zkˆ G Luego, kA = kA x ˆi + kA y ˆj + kA zkˆ

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™

PRODUCTO ESCALAR, INTERNO O PUNTO DE VECTORES.

Se define el producto escalar de dos vectores, como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman, es decir: G G G G G A G A • B = A · B ·cos θ = A·B·cos θ

θ

De esta definición se saca como conclusión lo siguiente:

B

A P = A cos θ

El producto escalar de dos vectores es el producto del módulo o magnitud de uno de ellos por la proyección G G del otro sobre él, es decir, A • B = A cos θ·B = A p ·B De esta expresión se concluye que el producto punto de dos vectores es una magnitud escalar. G G En función de sus componentes, se puede demostrar que A • B = (A xB x ) + (A yB y ) + (A zB z ) ™

PRODUCTO VECTORIAL O CRUZ DE VECTORES. G G G G G Si dos vectores A y B son distintos a cero, el producto vectorial entre ambos es otro vector P = A × B que tiene las siguientes características. G G G G G a.) El módulo o magnitud del producto es P = A × B = A · B ·senθ = A·B·senθ G G G b.) La dirección de P es perpendicular al plano que contiene a A y B . G c.) El sentido de P se puede determinar por la regla del sacacorcho o tirabuzón. El sentido del vector G G G P = A × B coincide que, colocado perpendicularmente al plano G conG el sentido de avance de un sacacorcho G que contiene a A y B , gira llevándole primer factor ( A ) sobre el segundo G G B = B x ˆi + B y ˆj + B zkˆ Sea A = A x ˆi + A y ˆj + A zkˆ y

Este producto también se puede calcular usando determinante de la forma siguiente:

ˆi G G A x B = Ax

ˆj Ay

Bx

By

kˆ A z = ( A y ·B z − A z ·B y ) ˆi − ( A x ·B z − A z ·B x ) ˆj + ( A x ·B y − A y ·B x ) kˆ Bz y

EJEMPLO

Cuatro vectores coplanares tienen magnitud de 8 , 12 , 10 y 6 unidades respectivamente. El primer vector tiene una dirección de 0º y los tres últimos hacen con el primer vector ángulos de 70º, 150º y 200º respectivamente. Encontrar la magnitud y la dirección del vector resultante.

30º 20º

Rx = 8 cos 0 + 12cos70º + 10cos150º + 6cos200º = -2,19 unidades ó

1 2

1 0

Rx = 8 + 12cos70º - 10cos30º - 6cos20º = -2,19 unidades.

70º 8

x

6

Ry = 8 sen 0 + 12 sen70º + 10sen150º + 6sen200º = 14,22 unidades ó

Ry = 12 sen 70º + 10 sen 30º - 6 sen 20º = 14,22 unidades G G Luego, la magnitud de R es: R = R = (-2,19)2 + (14,22)2 = 14,38 unidades La dirección respecto al eje "y" es:

tgθ =

RX 2,19 = = 0,154 R Y 14,22

⇒

θ = 8,76º

La dirección respecto al primer vector es 90 + 8,76 = 98,76º. G Entonces, en coordenadas polares: R = (14,38u ; 98,76º ) Módulo.01-Física.Prosecución de estudios-U.Central - ecz-2009

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TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO. C

Estos teoremas establecen relaciones entre lados y ángulos de un triángulo no necesariamente rectángulo. G Consideremos la suma geométrica de dos vectores V1 y

G V2 que no son perpendiculares, como lo muestra la figura. G El vector suma resultante es V . G G θ es el ángulo que forman V1 y V2 .

A

α

β

E

G V

G V2

φ

G V1

θ

D

B

Se cumple que:

V=

V12 + V22 + 2 V1V2 cos θ .

Si se considera el ángulo interior "φ" , se tiene que

V=

Luego,

V12 + V22 − 2 V1V2 cos φ .

TEOREMA DEL COSENO.

cos θ = cos(180 − φ) = − cos φ TEOREMA DEL COSENO.

Además,

V V1 V2 . TEOREMA DEL SENO. = = senφ senβ senα ™

1.

EJERCICIOS RESUELTOS.

G G Dos cables que ejercen fuerzas F1 y F2 conocidas se sujetan al punto B. Un tercer cable AB, que se usa como tirante, se sujeta también en B. La fuerza F1 = 8 lbf forma un ángulo de 25º con la horizontal y 20º con la fuerza F2 = 4 lbf. Determine: a.) la magnitud de la tensión requerida en AB para que la resultante de las fuerzas ejercidas por los tres cables sea vertical. b.) El vector fuerza resultante.

G F2

B

•

G F1 60pie A

• 80pie

SOLUCION. a.) Se Debe cumplir que la suma de las componentes horizontales de la fuerzas sea cero ΣFx = 0 , pero no así la suma de las componentes verticales ΣFy ≠ 0. Al hacer diagrama de cuerpo libre en el punto B y aplicando trigonometría para determinar la dirección del cable AB, se tiene la siguiente figura: Haciendo suma de componentes: ΣFx = T cos37º - F1 cos25º - F2 cos5º = 0 ΣFy = -T sen37º - F1 sen25º - F2 sen5º = ?

y

G F2 G F1

•

B 37º

x

G T

(1) (2)

De la ec. (1), T = ( F1 cos25º + F2 cos5º ) / cos 37º = ( 8 cos 25º + 4 cos 5º ) / cos37º ⇒

T = 14,06 lbf .

b.) Por condición del problema sólo existe fuerza resultante vertical hacia abajo, entonces usando la ecuación (2) se tiene que su magnitud es : R = T sen37º + F1 sen25º + F2 sen5º = 14,06 sen37º + 8sen25º + 4 sen5º = 12,19 lbf. G Por lo tanto: R = −12,19ˆj(lbf )

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2.

Un hombre empuja un trapeador a través de un piso haciendo que lleve a cabo dos desplazamientos. El primero tiene una magnitud de 150 cm y forma un ángulo de 120º con la dirección positiva de x. El desplazamiento resultante tiene una magnitud de 140 cm y cuya dirección forma un ángulo de 35º con el eje x positivo. Encuentre la magnitud y dirección del segundo desplazamiento. Use métodos por componentes y teoremas del seno y del coseno. Además escriba el vector del segundo desplazamiento usando componentes rectangulares ( o en forma canónica ) y coordenadas polares. (Fuente- SERWAYTOMO I . )

SOLUCION. d1 = 150 cm

, d2 = ?

, R = 140 cm

35º

G d2

G 30º α d1 35º

G d2 = d2 = 1502 + 1402 − 2 • 150 • 140 cos 85 = 196cm. 150 • sen85 = 0,762 196

G R

x

ε

G d2 = d2 = d12 + R 2 − 2d1R cos 85

⇒ senβ =

G 30º d1

y

, α = 55º

POR TEOREMAS DEL COSENO Y DEL SENO.

senβ sen85º = d1 d2

y

βG R

x

⇒

β = 50º

∧

ε = 45º

En el dibujo se demuestra que la dirección del segundo desplazamiento es de -15º ó + 345º. POR COMPONENTES. (usando la figura ) Rx = d2x - d1x

⇒

G d2x

d2x = Rx + d1x = R cos 35 + d1 sen 30 d2x = 140 cos 35 + 150 sen 30 = 189,68

Ry = d1y - d2y ⇒

d2y = d1y - Ry = d1 cos30 - R sen 35 49,6 d2y = 150 cos30 - 140 sen35 =

G d2y

θ

G 2 2 d2 = d2 = d2x + d2y = 189,682 + 49,62 = 196cm. Dirección:

tgθ =

d2y d2x

=

49,6 = 0,26 189,68

⇒

θ = 15º

Luego, la dirección del segundo desplazamiento es de -15º (sentido antihorario) ó 345º (sentido horario) Entonces: G G - En coordenadas rectangulares: d2 = (189,68iˆ − 49,6ˆj)cm . d2 = d2 x ˆi − d2 y ˆj ⇒ G G - En coordenadas polares: d2 = (d2 , θ) ⇒ d2 = (196cm ; −15º ) = (196cm ; 345º ) Otra forma: para solucionar este tipo de problema también se puede optar por método:

el siguiente

- Escribir cada uno de los vectores en coordenadas rectangulares, es decir: G G ˆ d1 =d1x ˆi+d1y ˆj=d1cos120 ˆi+d1sen120jˆ =150cos120 ˆi+150sen120jˆ ⇒ d1 = (-75 ˆi+130j)cm G G ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ⇒ R = (114,68i+80,3j)cm R=R x ˆi+R y ˆj=Rcos35 ˆi+Rsen35j=140cos35i+140sen35j G G G G G G - Se debe cumplir que R = d1 + d2 ⇒ d2 = R − d1 G G d = (114,68iˆ + 80,3ˆj) − ( −75iˆ + 130ˆj) d = (189,68iˆ − 49,7ˆj)cm ⇒ 2

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6

3.

Un carro de una montaña rusa se mueve horizontalmente 200 pie, entonces sube 135 pie a un ángulo de 30º respecto a la horizontal. Y después recorre 135 pie a un ángulo de 40º hacia abajo. ¿Cuál es su desplazamiento desde su punto de partida hasta el final de este recorrido?. (Fuente- SERWAYTOMO I - CAP 2. )

SOLUCION. d1 = 200 pie d2 = d3 = 135 pie

G d2

G d1

G d=?

40º

30º

G d3

G d

POR COMPONENTES.

dx = d1x + d2x + d3x = d1 + d2cos30 + d3cos40 = 200 + 135 cos30+ 135 cos40 = 420,3 pie dy = d2y - d3y = d2 sen30 - d3 sen40 = 135 sen30 - 135 sen40 = d = d2x + d2y = 420,32 + 19,32 = 421pie

19,3 pie

θ

G dy

G dx

G d

Dirección: dy 19,3 tgθ = = = 0,0459 ⇒ θ = (-)2,63º ó (+) 357,37º dx 420,3 Luego, G • en coordenadas polares: d = (421pie; −2,63º ) = (421pie; 357,37º ) G • en coordenadas rectangulares: d = (420,3iˆ − 19,3ˆj) pie

Otra forma: - Escribir cada uno de los vectores en coordenadas rectangulares, es decir: G G ˆ d = d ˆi + d ˆj = d cos 0iˆ + d sen0ˆj = 200 cos 0iˆ ⇒ d = 200i(pie) 1

1x

1y

1

1

1

G d2 = d2x ˆi + d2y ˆj = d2 cos 30iˆ + d2 sen30ˆj = 135 cos 30iˆ + 135sen30ˆj ⇒ G d3 = d3 x ˆi + d3y ˆj = d3 cos 320iˆ + d3 sen320ˆj = 135 cos 320iˆ + 135sen320ˆj

G G G G d = d1 + d2 + d3 = 200iˆ + (116,9iˆ + 67,5ˆj) + (103,4iˆ − 86,8ˆj) ™

⇒

G d2 = (116,9iˆ + 67,5ˆj) pie

G ⇒ d3 = (103, 4iˆ − 86,8ˆj) pie G d = ( 420,3 ˆi − 19,3ˆj ) pie.

EJERCICIOS PROPUESTOS.

G 1.) Calcular la magnitud y la dirección de R = 7iˆ − 12ˆj .

R: 13,9 a -59,7º

2.) Calcular las componentes "x" e "y" de los siguientes desplazamientos en el plano xy: (a) 300 cm a 127º y (b) 500 cm a 220º. R: (a) -180 cm , 240 cm; (b) -383 cm, -321 cm. 3.) Dos fuerzas actúan sobre un objeto puntual de la siguiente forma: 100 N a 170º y 100 N a 50º. Calcular su resultante. R: 100 N a 110º. 4.) Una fuerza de 100 N forma un ángulo "θ" con el eje "x" y tiene una componente "y" de 30 N. Calcular la componente "x" de la fuerza y el ángulo θ. R: 95,4N a 17,5º. 5.) Dos hombres tiran horizontalmente de cuerdas atadas a un poste, las cuales forman entre si un ángulo de 45º. El hombre A ejerce una fuerza de 75 kp y el de B 50 kp. Encuentre la fuerza resultante sobre el poste, en forma gráfica, por el método del paralelogramo y del triángulo; en ambos casos considere 25 kp. = 2 cm. Determine además analíticamente, el módulo de la fuerza resultante y el ángulo que forma con la fuerza ejercida por A. Resp: 116 kp; 17º 8’

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G G 6.) Dos fuerza, F1 y F2 , actúan en un punto. El valor de F1 = 8 kp y su dirección forma un ángulo de 60º por encima del eje x en el primer cuadrante. El valor de F2 = 5 kp y su dirección forma un ángulo de de 53º por debajo del eje x en el cuarto cuadrante. Determine: a) las componentes horizontal y vertical de la fuerza resultante. b) La magnitud de la fuerza resultante. G G c) La magnitud del vector diferencia F1 - F2 . R: a) 7 kp , 2.9 kp b) 7,6 kp c) 11 kp G ˆ N F1 = (20iˆ − 36ˆj + 73k) 7.) Tres fuerzas que actúan sobre una partícula están dadas por , G G ˆ ˆ ˆ ˆ F = ( −17i + 21j − 46k) N y F = −12k (N). Encontrar las componentes de la resultante, y calcular la 2

magnitud de la misma

3

R : 3N , -15N , 15N , 21,4 N.

8.) Sean 5 fuerzas coplanares que actúan sobre un objeto; 19 N a 0º , 15 N a 60º , 16 N a 135º , 11 N a 210º y 22 N a 270º. Usando el método de componentes encuentre la resultante. R: 6,5 N a 331º ó 6,5 N a -29º. 9.) Partiendo del origen de coordenadas, se realizan los siguientes desplazamientos en el plano xy: 60 mm en dirección +y, 30 mm en dirección -x, 40 mm a 150º, y 50 mm a 240º. Calcular el desplazamiento resultante. R.: ( −89,6iˆ + 36,7ˆj) m 10.) Un insecto empieza en un punto A, se arrastra 8 cm. al Este, 5 cm. al Sur, 3 cm. al Oeste, y 4 cm. al Norte hasta un punto B. (a) ¿Qué tan retirado se encuentra el punto B del A en dirección norte y en dirección este? (b) Calcular el desplazamiento de A a B gráfica y algebraicamente. R: (a) 5 cm. al Este, -1 cm. al norte ; (b) 5,1 cm a 11,3º al sureste. 11.) Un niño frena una carreta para impedir que ruede hacia atrás en un camino inclinado que forma un ángulo de 20º con la horizontal. Si la carreta pesa 150 N, ¿con qué fuerza debe tirar el niño la palanca si ésta es paralela a la pendiente? R: 51 N. 12.) Una topógrafa calcula el ancho de un río mediante el siguiente método: se para directamente frente a un árbol en el lado opuesto y camina 100 m a lo largo de la rivera del río, después mira el árbol. El ángulo que forma la línea que parte de ella y termina en el árbol es de 35º. ¿Cuál es el ancho del río?. R: 70 m. 13.) Las instrucciones para descubrir un tesoro enterrado son las siguientes: ir 75 pasos a 240º, girar hasta 135º y caminar 125 pasos, después caminar 100 pasos a 160º. Determine el desplazamiento resultante desde el punto de partida. 14.) El buque escuela Esmeralda zarpa del puerto de Valparaíso en un día con fuertes vientos.

Navega 45 km al oeste; luego cambia de rumbo y viaja 35 km en dirección 30º al sur del este, y por último recorre otro tramo en una dirección desconocida. Su posición final es 100 km al sur del punto de partida. a) Determine el vector desplazamiento correspondiente al tercer tramo. b) Determine el módulo y dirección del tercer tramo. R: a) (14,7iˆ − 82,5ˆj) km ; b) 83,8 km ; 10,1º al este del sur 15.) Un estudiante esta atrapado en un bosque. Para encontrar la salida camina 10 m, da un

giro de 90º hacia la derecha y camina 5 m, efectúa otro giro de 90º a la derecha y camina 7 m. Cuál es el desplazamiento desde su posición inicial?. R: 5,83 m y a 59º a la derecha de la primera posición. 16.) Un avión despega desde un aeropuerto A y viaja hasta otro B que se encuentra a 200 km en la dirección N 37º O. A continuación vuela hasta una ciudad C desplazándose para ello 300 km hacia el Este. ¿Cuál debe ser la magnitud y dirección del desplazamiento que lo lleve enseguida hasta una ciudad D ubicada a 150 km de A en la dirección S 60º E?. R.:(240 km; dirección O 78,1º S ). 17.) La resultante de cuatro fuerzas concurrentes es de 1000 N en la dirección 30º al oeste del norte. Tres de las fuerzas son 400 N con una dirección de 60º al norte del este; 200 N al sur y 400 N con una dirección de 53º al oeste del sur. Determine la magnitud y dirección de la resultante. R: 152.2 N con una dirección de 231º 70’. Módulo.01-Física.Prosecución de estudios-U.Central - ecz-2009

8

18.) Encontrar la resultante en los sistemas de fuerzas mostrados a continuación. y y y C) B) A) 20N

20N

30N

20N

20º

10N

30º 8N

x

45º 30º

65º

45º

x

x

10N

G Resp: R A = −7,32 ˆi + 2ˆj

30N

10N

G RB = 14,9 ˆi + 21,3ˆj

G RC = 28 ˆi

40N

19.) Las siguientes fuerzas coplanares concurrentes tiran de un anillo: 200 N a 30º , 500 N a 80º , 300 N a 240º y una fuerza desconocida. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza desconocida si el anillo se halla en equilibrio. R: 350 N a 252º. 20.) En la figura 1, la tensión de la cuerda horizontal es de 30 N. Encuentre el peso del objeto. R: -25,2 ˆj N. 21.) Si W = 40N en la situación mostrada en la fig. 2., determine los vectores T1 y T2. R: (58N , 120º) ; ( 31 N , -20º ). 22.) Un joven de 90 N se cuelga de una cuerda que se extiende entre dos postes ( Fig. 3.). Encuentre vectorialmente las tensiones de las dos secciones de la cuerda. G G R: T1 = ( − 340,74iˆ +60,08ˆj)N ; T2 = ( 341,69iˆ +29,89ˆj)N G G ó T1 = ( 346N,170º ) ; T2 = ( 343N, 5º ) 60º 10º

T1

50º

70º

Fig. 1.

Fig. 2.

5º

T1

T2

T2

W

Fig. 3

23.) Cuatro fuerzas actúan sobre una viga (fig.4.). La suma vectorial de las fuerzas es igual a cero. Las magnitudes de las fuerzas G G son FD =10 kN y Fc = 5 kN. Determine los vectores FA y FB . G G R.: FA = (10kN;30º ) ; FB = (8.7KN;180º ) 24.) Dos fuerzas A y B de magnitudes A = 1000 lbf y B = 500 lbf se aplican a la conexión mostrada en la figura. Sabiendo que las fuerzas son coplanares concurrentes y que la conexión está en equilibrio, determine la magnitud y G G G dirección de las fuerzas C y D . R: C = ( 433Lbf ;90º ) ; G D = ( 750Lbf ;0º )

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30º G

º

º G FD

FA

G B G A

Fig.4

º G G FB Fc

G C 30

Fig.5.

G D

9

G FA

25.) Seis fuerzas actúan sobre una viga ( fig. 6. ) que forma parte de la estructura de un edificio. La suma vectorial de las fuerzas es igual a cero. Las magnitudes de las fuerzas son FB = FE =5 G kN ,G FC = 4 kN y FD = 2 kN. Determine los vectores FA y FG . G G R.: FA = (3.22N;110º ) ; FG = (4.1N;50º )

26.) Los cables A, B y C ayudan a soportar una columna de una estructura ( Fig. 7.). Las magnitudes de las fuerzas ejercidas por los cables son iguales. FA = FB = FC. La magnitud de la suma vectorial de las tres fuerzas es de 200 kN. ¿Qué valor tiene FA? R: 68,2 kN.

G Fc

70º

G FD

40º

40º

50º

G FE

G FB

Fig.6

• Fig. 7.

6m

A

B

C

• • A

• •

20

40

B

C 200kg

28.) Una cuerda ABCD cuelga de los puntos fijos A y D (Fig.9). En B hay un peso de 12 Kp y en C un peso desconocido. Si el ángulo que hace AB con la horizontal es de 60º, BC es horizontal y CD hace un ángulo de 30º con la horizontal. Calcular el valor que debe tener P para que el sistema se encuentre en equilibrio estático. Resp: 4 Kp

• 4m

4m

4m

27.) Dos cables están unidos en C y cargados como se muestra en la figura 8. Hallar las tensiones en el cable AC y en el cable BC. G G R: T1 = (1769,1N ;20º ) ; T2 = (2170 N ;140º )

G FG

Fig.8.

30º

A 60º

B

D

C Fig.9 P

BIBLIOGRAFIA: ƒ Física general, Capítulo 1 y 2, FREDERICK J. BUECHE. ƒ Física Tomo I , Capítulo 2, RAIMOND A. SERWAY. ƒ Mecánica vectorial para ingenieros. Tomo Estática. Cap.2.BEER Y JOHNSTON.

FACTORES DE UNIDADES Módulo.01-Física.Prosecución de estudios-U.Central - ecz-2009

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Tiempo 1 seg = 1,667·10-2 mim = 2,778·10-4 hr = 3,169·10-8 años 1 mim = 60 seg = 1,667 · 10-2 hr = 1,901 · 10-6 años 1 hr = 3600 seg = 60 mim = 1,141 · 10-6 años 1 año = 3,156 · 107 seg = 5,259 · 105 mim = 8,766 · 103 hr Potencia 1 W = 1,341 · 10-3 HP : 1 HP = 745,7 W 1 CV = 75 kgm/s = 736 W 1kgm/s = 9,8 J/s = 9,8 · 107 erg/s 1lb-pie/s = 1,355 J/s Angulo 1 radián = 57,3º 1º = 1,74 · 10-2 rad 1’ = 2,91 · 10-4 rad 1’’= 4,85 · 10-6 rad Area 1 m2 = 104 cm2 = 1,55 · 10-5 pulg2 =10,76 pies2 1 pulg2 = 6,452 cm2 1 pie2 = 144 pulg2 = 9,29 · 10-2 m2 Volumen 1 m3 = 106 cm3 = 103 litros = 35,3 pie3 = 6,1 · 104 pulg3 1 pie3 = 2, 83 · 10-2 m3 = 28,32 litros 1 pulg3 = 16,39 cm3

Longitud 1 m = 102 cm = 39,37 pulg = 6,214 · 10-4 millas 1 milla = 5280 pies = 1,609 km 1 pulg = 2,54 cm : 1 pie = 30,48 cm 1 A = 10-8 cm = 10-10 m = 10-4 µ (micrones) 1 µ (micrón) = 10-36 m 1 U.A. (unidad astronómica) = 1,496 · 1011 m 1 año luz = 9,46 · 1015 m Fuerza 1 N = 105 dinas = 0,2248 lbf = 0 0,102 kgf 1 dina = 10-5 N = 2,248 · 10-6 lbf 1 lbf = 4,448 N = 4,448 · 105 dinas 1 kgf = 9,81 N Presión 1 N/m2 = 9,265 · 10-6 atm = 1,45 · 10-4 lbf/pulg2 = 10 dinas/cm2 1 atm = 14,7 lbf/pulg2 = 1,013 · 105 N/m2 1 bar = 106dinas/cm2 Trabajo y Energía 1 J = 107 erg = 0,239 cal = 6,242 · 1018 CV 1 eV = 1,6 · 10-19 J = 1,07 · 10-9 uma 1 cal = 4,186 J = 2,613 · 1019 eV 1 uma = 1,492 · 10-19 J = 3,564 · 10-11 cal 1 Kgm = 9,8 J = 9,8 · 107 erg = 7,2284 lb-pie 1 lb-pie = 1,356 J = 1,356 · 107 erg 1 CVh = 27 · 104 kgm = 264,6 · 104 J 1KWh = 367347 kgm = 3,6 · 106 J = 1,36 CVh

Masa 1 Kg = 103 gr = 2,205 lb 1 lb = 453,6 gr = 0,4536 kg 1 unidad atómica de masa = 1,6604 · 10-27 kg

Temperatura ºK = 273,1 + ºC ºC = 5/9 (ºF – 32) ºF = 9/5 (ºC + 32)

Velocidad 1 m/s = 102 cm/s = 3,281 pies/s 1 pie/s = 30,48 cm/s 1 milla/min = 60 millas/h = 88pies/s

Aceleración 1 m/s2 = 102 cm/s2 = 3,281 pies/s2 1 pie/s2 = 30,48 cm/s2

Los símbolos de las unidades pueden verse afectados de prefijos que actúan como múltiplos y submúltiplos decimales. Estos prefijos se colocan delante del símbolo de la unidad correspondiente sin espacio intermedio. El conjunto del símbolo más el prefijo equivale a una nueva unidad que puede combinarse con otras unidades y elevarse a cualquier exponente (positivo o negativo). Los prefijos decimales se muestran en las tablas siguientes.

Múltiplos decimales Prefijo deca hecto kilo mega giga tera peta exa zetta yotta

Símbolo da h k M G T P E Z Y

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Factor 101 102 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024

Submúltiplos decimales Prefijo deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto

Símbolo d c m µ n p f a z y

Factor 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24

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MODULO DE FISICA Nº2 CINEMATICA DE LA PARTICULA – PARTE 1. PROF. EUGENIO CONTRERAS Z. UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE FAC. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS PROSECUCIÓN DE ESTUDIOS.

™

INTRODUCCION.

La mecánica es la rama de la física que estudia el movimiento y equilibrio de los cuerpos. Existen tres formas de mecánica: clásica, relativista y cuántica. La mecánica clásica considera cuerpos macroscópicos que se desplazan a velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz. La mecánica relativista extiende el campo de validez de las leyes de la mecánica clásica a los cuerpos que se mueven con una velocidad cuya magnitud es del orden de la velocidad de la luz. En cambio la mecánica cuántica considera las leyes que regulan los fenómenos atómicos en la rígida relación determinista que caracteriza a las otras mecánicas, la cuántica introduce el concepto de probabilidad. La mecánica clásica se divide en cinemática, dinámica y estática. El capítulo que describe el movimiento de ellos, se le llama CINEMATICA - da respuesta a la pregunta ¿cómo se mueven?. La parte que relaciona el movimiento con las fuerzas que lo causan o modifican y con las propiedades del sistema en movimiento, se llama DINAMICA - da respuesta a la pregunta ¿por qué se mueven? -. La ESTATICA considera el equilibrio de los cuerpos. Cuando un objeto real está en movimiento, puede girar o también vibrar ( una pelota y una gota de agua son ejemplos de ello, respectivamente ). Estas complicaciones al movimiento de traslación pueden evitarse de dos formas que, en el fondo, son equivalentes: ♦ Suponer que el cuerpo es muy pequeño. A un cuerpo pequeño se le llama partícula. Matemáticamente a una partícula se la trata como un punto ( un objeto sin extensión), de tal forma que no hay que hacer consideraciones de rotación ni de vibración. ♦ Se escoge un punto representativo del cuerpo en el cual se supone, entre otras cosas, que está concentrada su masa. Este punto se denomina centro de masa del cuerpo, y se estudiará en detalle en la parte de dinámica. Por razones obvias entonces, en el estudio de la cinemática de traslación, se utilizará la primera forma, es decir, considerar para dichos efectos que el cuerpo es una partícula. CINEMATICA. Es la rama de la física que estudia el movimiento de los cuerpos sin preocuparse de las causas que lo producen. Relaciona específicamente el tiempo con cuatro conceptos vectoriales fundamentales: la posición, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración. PUNTO DE REFERENCIA. Es todo punto que se considera inmóvil y desde el cual se pueden hacer mediciones. SISTEMA DE REFERENCIA.

z Punto de referencia

Es todo sistema de ejes coordenados, que contiene un punto de (origen) referencia en su intersección llamado origen. Por comodidad el sistema de referencia se ubica en el lugar en donde está el observador, aunque y esto no es absolutamente necesario. x No existe un sistema de referencia que sea absoluto, es decir, que esté en reposo en el espacio vacío. (Esto es imposible, ya que en el espacio no hay elementos fijos que puedan servir como referencia). Lógicamente entonces, si no existe un sistema absoluto, tampoco existe el movimiento absoluto, por lo tanto, todo movimiento es relativo.

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POSICION. Es un punto del espacio determinado por un trío ordenado de números reales referidos a un sistema de coordenadas, de la forma (x, y, z).

z

Posición (x,y,z)

VECTOR POSICION. Es el vector que une el origen de un sistema de referencia con un punto posición cualquiera del espacio. Los vectores posición se designan G habitualmente por " r " y en coordenadas rectangulares tienen la G forma r = x ˆi + y ˆj + z kˆ .

y x y

El vector posición también se suele expresar en coordenadas polares, G G de la forma r = ( r ; θ ) , donde r es la magnitud del vector r y θ es G el ángulo que forma r con el eje x positivo.

Posición G r =(r;θ)

θ

x

MOVIMIENTO.

Una partícula está en movimiento cuando cambia por lo menos una de sus coordenadas de posición a medida que transcurre el tiempo. Ejemplo: supongamos que una nave espacial viene desde la Luna y desde el Centro Espacial en E.E.U.U. la observan. Las coordenadas de posición de la nave espacial en el sistema ( x' , y' , z' ) no varían a medida que transcurre el tiempo. La nave está en reposo en el sistema ( x' , y' , z' ). En cambio, las coordenadas de posición de la nave en el sistema ( x , y , z ) están variando a medida que transcurre el tiempo. La nave está acercándose al centro espacial. Está en movimiento respecto al sistema ( x , y , z ).

z' z

y ' '

x

y x

Nave espacial

Centro espacial (EEUU)

Un mismo movimiento puede aparecer con características muy distintas si se le observa desde sistemas de referencia diferentes. Se puede ver que el estudio del movimiento o de reposo de una partícula cualquiera no es una propiedad absoluta de la partícula sino que depende desde donde se mida. De este modo la idea de movimiento resulta inseparable del sistema de referencia elegido para describirlo. El movimiento es relativo al sistema de referencia. De la misma manera, si la posición relativa no cambia con el tiempo, el objeto se encuentra en reposo relativo. Tanto el movimiento como el reposo son entonces, conceptos relativos, esto es, dependen de la condición del objeto con relación al cuerpo que se usa como referencia. TRAYECTORIA. Es la figura formada por la línea continua constituida por todos los puntos por los cuales pasa la partícula. En otras palabras corresponde a un conjunto de sucesivas posiciones que ocupa la partícula. La trayectoria no depende del tiempo. Las trayectorias más conocidas son rectilínea ( la caída de un cuerpo) , circular ( la rueda de una bicicleta ), elíptica ( el movimiento de los planetas) y parabólica ( el movimiento de un proyectil). ITINERARIO. Es una función que relaciona la posición de la partícula con el tiempo . La ecuación de itinerario tiene la forma de una ecuación x = f ( t ) (posición en función de tiempo ) z VECTOR DESPLAZAMIENTO. Si una partícula en su movimiento describe una curva ( por ejemplo una parábola), el vector posición de la partícula respecto a "O" y G cuando pasa por la posición P, será " ri " en un cierto instante. En G otro instante, cuando pasa por Q, el vector posición será " rF ".

P G ri

O

G ∆r

Q

G rF y

x

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2

G De acuerdo con esto, llamaremos vector desplazamiento ( ∆ r G G G G G ∆ r = rF − ri . vectores posición rF y ri , es decir,

G o d ) al vector diferencia entre los

Si el movimiento es en una dimensión, el desplazamiento a considerar en la horizontal será de la forma G G G G G G y en la vertical ∆y = yF − yi . ∆x = xF − xi Se dice también que el desplazamiento representa el cambio de posición que experimenta la partícula entre dos puntos. EJERCICIO PROPUESTO: Un móvil se mueve sobre la trayectoria del gráfico (x,y) de la figura. P1 , P2 , … P6 son algunas posiciones sucesivas en el tiempo. Al respecto dibuje: a.) Los vectores posición correspondiente a dichas posiciones; determine además en forma analítica, sus correspondientes módulos. b.) Los vectores desplazamientos entre P1 y P3 , P3 y P5 , P2 y P6 , P5 y P6. Determine además el módulo de dichos vectores desplazamiento, en forma analítica. c.) El desplazamiento total. Determine también su módulo en forma analítica. d.) Compare el módulo del vector anterior con la longitud de la trayectoria correspondiente. ¿Qué concluye?.¿Su conclusión es válida para cualquier trayectoria?

P3

•

P1

•

P2

P4

•

• P5

•

P6

•

VELOCIDAD MEDIA ( Ó VELOCIDAD PROMEDIO).

La velocidad media que experimenta una partícula para cambiar de posición, es decir sufrir un cierto G G G desplazamiento ∆ r = rF − ri en un intervalo de tiempo ∆t = tF − t i , está dada por el cuociente entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo, es decir: x G G G G ∆r rF − ri v= = Q ∆t tF − ti xF Si tenemos una partícula que se mueve a lo largo del eje "x" desde P ∆x P a Q ( como se muestra en la figura), la velocidad media de la partícula xi estará dada por: ∆t G G G G ∆x x F − x i v= = ti tF t ∆t tF − t i

•

•

Esta expresión muestra además que la velocidad media entre los puntos P y Q, se puede determinar calculando el valor de la pendiente de la recta que une ambos puntos. RAPIDEZ MEDIA ( Ó RAPIDEZ PROMEDIO).

En el diario vivir los términos de rapidez y velocidad son considerados simplemente como sinónimos. Sin embargo, en la física ambos conceptos son claramente distintos. Por ejemplo, si se toma la distancia que recorre cada una de las personas desde que salen de su casa por la mañana y vuelven por la noche ( llegan al mismo punto desde donde se salió), se tiene que el desplazamiento experimentado es cero, por tanto su velocidad media es cero. Pero, ¿de qué forma es posible cuantificar que tan rápido se movió cada persona desde que salió hasta que volvió a su casa?. Un concepto diferente al de velocidad media es el de rapidez media, que es una magnitud escalar, y que se define como el cuociente entre la distancia o espacio total recorrido y el tiempo total empleado en recorrer esa distancia, es decir: rapidez media =

dist an cia total tiempo total

⇒

v=

d t

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Importante: -1 ‰ La velocidad media y rapidez media tiene dimensiones de L/T = LT ( m/s, cm/s, pie/s, km/hr, etc.) ‰ La velocidad media es independiente de la trayectoria seguida entre dos puntos P y Q cualquiera. La velocidad media es proporcional al desplazamiento, el cual depende únicamente de la posiciones inicial y final de la partícula. La rapidez media si depende de la trayectoria ‰ Si una partícula sale de un punto y regresa al mismo punto siguiendo cualquier trayectoria, su velocidad media es cero, ya que su desplazamiento es cero. En cambio la rapidez media es distinta de cero. ‰ La distancia recorrida para cualquier movimiento siempre es distinta de cero, es decir distancia recorrida es distinta al desplazamiento. Por tanto la rapidez media nunca es cero, a menos que la partícula nunca se mueva. ‰ La velocidad media en una dimensión puede ser positiva o negativa. Depende del signo del desplazamiento. La rapidez media siempre es positiva. ‰ En un gráfico posición versus tiempo, el valor de la pendiente de la recta que une dos puntos de la trayectoria, representa el valor de la velocidad media en ese intervalo. EJEMPLO. Una partícula se encuentra inicialmente en la posición x1 = 10 m en t1 = 2 s. Luego se desplaza a la posición x2 = -5m en t2 = 5 s. a.) Represente gráficamente los vectores posición. b.) Escriba analíticamente los vectores posición. c.) Determine gráfica y analíticamente el desplazamiento de la partícula. d.) Calcule la velocidad media de la partícula.´ e.) Calcule la rapidez media de la partícula. SOLUCION. a.)

G x2

G x1

-5 -4 -3 -2 -1

b.)

G x1 = 10 ˆi (m)

0

,

c.)

1

G - x1

2

-15 -14 -13 -12 -11 -10

d.)

e.)

3

4

5

6

7

8

9 10

G x 2 = − 5 ˆi (m) -9

-8

-7

x(m)

G x2 -6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

G G G ∆x =x 2 - x1 G G G Analíticamente : ∆x = x 2 − x1 = ( − 5iˆ − 10 ˆi )m = − 15 ˆi (m) G G G ∆x x 2 − x1 −15 ˆi m v = − 5 ˆi ( m / s ) v= = = ⇒ t 2 − t1 ( 5 − 2 )s ∆t v=

d (10 + 5 )m = t (5 −2)s

⇒

v = 5 (m / s )

VELOCIDAD INSTANTANEA.

Cuando se consideran velocidades medias en el estudio del movimiento de una partícula, puede ocurrir que los intervalos de tiempo ocupados en su cálculo sean relativamente muy grandes. Esto significa que dentro del intervalo de tiempo escogido, la velocidad media podría ser algo distinta a las velocidades que se obtendrían considerando intervalos de tiempo más pequeños, pero dentro del intervalo mayor escogido. En este caso se concluye que la velocidad en el intervalo no es constante, por lo tanto es necesario trabajar con velocidades instantáneas. Para llegar a definir la velocidad instantánea, el intervalo de tiempo debe tender a ser cero, luego: G G lim lim ∆x G G dx . v inst = v = v = = ∆t → 0 ∆t → 0 ∆t dt Módulo.02-Complemento de Física-prosecución de estudios-U.Central - ecz-2009

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MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL CON ACELERACIÓN CONSTANTE.

Siempre que un objeto cambia su velocidad, se dice que está acelerando. Por ejemplo, un automóvil que parte desde el reposo hasta llegar a una velocidad de 50 km/h, ha acelerado. La aceleración es igual a la razón de cambio de la velocidad. El intervalo de tiempo durante el cual un objeto cambia su velocidad es importante en el cálculo de la aceleración. Si a un automóvil le toma cuatro segundos para llegar a 50 km/h, partiendo desde reposo, tendrá una aceleración mayor que otro automóvil al que le tome seis segundos hacer el mismo cambio en velocidad. El primer automóvil tiene una aceleración mayor que el segundo. v Consideremos que una partícula que se mueve a lo largo del G G eje "x" tiene una velocidad v i en el instante ti y una velocidad v F Q vF en el tiempo tf, como se muestra en el gráfico. ∆v P La aceleración media " a " de la partícula en el intervalo de vi tiempo ∆t = tF - ti , se define como, ∆t

•

•

G G G ∆v v F − v i a= = . ∆t tF − t i

ti

tF

t

Esta expresión muestra además que la aceleración media entre los puntos P y Q, se puede determinar calculando el valor de la pendiente de la recta que une ambos puntos. En algunos casos puede ocurrir que los intervalos de tiempo donde se consideran las variaciones de velocidad, arrojen aceleraciones medias distintas. Es por esto que es necesario considerar la "aceleración instantánea", en la cual el tiempo que se estima tiende a ser muy pequeño (cero). Luego, G G lim lim ∆v G G dv . ainst = a = a = = ∆t → 0 ∆t → 0 ∆t dt G G G G dv d2 x G dx v = Además , entonces: a = = 2 . dt dt dt La aceleración tiene dimensiones de L/T2 = LT-2 ( m/s2 , cm/s2 , pie/s2 , km/hr2 , etc.)

OTRAS RELACIONES IMPORTANTES EN UN MOVIMIENTO ACELERADO.

G G dv De la definición a = dt

G e integrando respecto a " v " y al tiempo "t", se tiene,

∫

v

vo

dv =

∫

t

to

adt

si " a " es constante, entonces:

∫

v

vo

t

dv = a ∫ dt

⇒

to

v − v o = a ( t − to ) .

Por otra parte, si: dv = a dt

/· v

v ⋅ dv = a ⋅ dt ⋅ v

pero v =

dx ⇒ dt

v ⋅ dv = a ⋅ dt ⋅

integrando respecto a "v" y a "x", con "a" constante, se tiene: v2 2

v vo

=a

x xo

⇒

v2 v2 − o = a ⋅ (x − x o ) 2 2

⇒

dx = a ⋅ dx dt

∫

v

vo

v ⋅ dv =

∫

x

xo

a ⋅ dx

v 2 − v o2 = 2 ⋅ a ⋅ (x − x o ) .

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UNIDADES DE VELOCIDAD Y ACELERACION.

Sistema

Tiempo

Posición

Velocidad

Aceleración

Internacional: S.I. ó M.K.S. Cegesimal: C.G.S.

s

m

m/s

m/s2

s

cm

cm/s

cm/s2

¿Qué significa que la aceleración de una partícula sea de 10 m/s2 ? , y ¿ de -10 m/s2?. Resp. Significa que en cada segundo su velocidad aumenta en 10 m/s. Y que en cada segundo su velocidad disminuye en 10 m/s. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE MOVIMIENTOS RECTILINEOS. Movimiento rectilíneo uniforme ( M.R.U ): Trayectoria rectilínea con rapidez constante ó movimiento con velocidad uniforme.

x

x

x

v

x t

t

(a)

t

v

(b)

(c)

t

t

(d)

(e)

(f)

t

Explique la situación que se muestra en cada uno de los gráficos anteriores. Gráfico (a)

Muestra que la partícula se mueve hacia la derecha del eje x (alejándose del origen), con una velocidad constante. No parte del origen, sino que a una cierta distancia a la derecha de el.

Gráfico (b) Gráfico (c) Gráfico (d) Gráfico (e) Gráfico (f)

Movimiento rectilíneo uniforme Acelerado ( M.R.U.A. ): Trayectoria rectilínea con aceleración uniforme.

x

x

v

a

v

a

t

(a)

t

t (b)

(c)

t

(d)

t (e)

(f)

t

Explique la situación que se muestra en cada uno de los gráficos anteriores. Módulo.02-Complemento de Física-prosecución de estudios-U.Central - ecz-2009

6

Gráfico (a) Gráfico (b) Gráfico (c)

Muestra que la partícula aumenta su velocidad en forma uniforme hacia la derecha . En t = 0 tiene una cierta velocidad hacia la derecha, distinta de cero

Gráfico (d) Gráfico (e) Gráfico (f)

Tomando el gráfico (c), y considerando que el área bajo la curva en un gráfico v v/s t, representa la distancia recorrida, se demuestra que: x = xo + v o t +

1 2 at . 2

donde xo representa la posición inicial de la partícula. EJEMPLO 1.

Un móvil se mueve con movimiento rectilíneo a lo largo del eje “x” y su posición respecto al origen en un G G instante cualquiera está dada por la ecuación x = 6t − 2t 2 , donde " x " es la posición en metros y "t" el tiempo en segundos. a.) Calcular la velocidad media del móvil en el intervalo comprendido entre t = 0 y t = 1 s, y en el intervalo entre t = 0 y t = 4 s. b.) Calcular la velocidad instantánea en t = 1 s y en t = 4 s. c.) Encontrar el instante o instantes en los cuales el móvil está en reposo. d.) Determinar la aceleración en los instantes t = 1 s y t = 4 s. e.) Construir la gráfica distancia vs tiempo y la gráfica velocidad vs tiempo entre t = 0 y t = 4s . SOLUCION. G a.) x = 6t − 2t 2 G Si t = 0 s, xi = 0 m G xf = 4 m t = 1 s, G ∆x 4 − 0 = = 4 ˆi (m / s) (intervalo 0 , 1 ) Luego, v = ∆t 1 − 0

G G xi = 0 m ; t = 4 s, x f = -8 m G ∆ x −8 − 0 v= = = −2 ˆi (m / s) (intervalo 0 , 4 ) ∆t 4−0

Si t = 0 s, Luego,

Ambos valores de velocidad media muestran que el movimiento no es rectilíneo uniforme, debido a que además de ser variable su magnitud ( 4 y 2 m/s) también sus sentidos son contrarios. Esto significa por tanto que el móvil se mueve en línea recta pero con velocidad variable (en forma acelerada ). G G dx v= = ( 6 − 4t ) ˆi (m / s) b.) dt G Si t = 1s, v = 2 ˆi (m / s) Módulo.02-Complemento de Física-prosecución de estudios-U.Central - ecz-2009

7

Si c.)

d.)

G v = −10 ˆi (m / s) G Reposo implica v = 0 , luego:

t = 4s,

0=6–4t ⇒ t = 1,5 s. G G dv a= = − 4 ˆi (m / s2 ) dt

Gráfico posición vs tiempo

e.)

Gráfico velocidad vs tiempo

EJEMPLO 2.

Un automóvil se encuentra detenido en un semáforo esperando la luz verde. Cuando la luz cambia a verde, el automóvil acelera uniformemente durante 4 s a razón de 12 m/s, luego de lo cual se mueve con velocidad constante. En el mismo instante en que el automóvil se comienza a mover, un motociclista que se mueve en la misma dirección con movimiento uniforme a 10 m/s, lo sobrepasa. a) ¿Qué tiempo emplea el automóvil en adquirir la velocidad del motociclista?. b) ¿En qué instante y a qué distancia desde el semáforo, el automóvil sobrepasa al motociclista? SOLUCION. semáforo

vo = 0

automóvil motocicleta

xa2

xa1 aceleración cte a =0,5m/s2

Veloc.constante ( v1 )

v =10m/s constante

xm

a.)

Automóvil: ƒ Intervalo [ 0 , 4 ] s vo = 0 (reposo)

,

a=

∆v 12(m / s) = = 3(m / s2 ) ∆t 4(s)

Motocicleta : v = 10 (m/s) (constante ) Para determinar el tiempo que emplea el automóvil en adquirir la velocidad del motociclista, se debe considerar que la “velocidad final” del automóvil sea de 10 m/s, es decir, v – vo = a t

⇒

10 – 0 = 3 · t

⇒

t = 10/3 (s) .

El tiempo obtenido t = 10/3 (s) es menor que 4 s , por lo tanto adquiere 10 m/s antes de que el automóvil comience a moverse con velocidad constante. Módulo.02-Complemento de Física-prosecución de estudios-U.Central - ecz-2009

8

b.) Para que el automóvil sobrepase al motociclista debe ocurrir que las distancias recorridas por ambos móviles deben ser iguales, es decir: xa1 + xa2 = xm

ƒ

xa1 : distancia recorrida por el automóvil en 4 s con aceleración constante de 3 m/s2. x a1 = v o t + 21 at 2 = 0 + 21 ·3·42

⇒

xa1 = 24 (m)

La velocidad ( v1 ) que adquiere a los 4 s es, v1 – vo = a t

ƒ

⇒

⇒

v1 – 0 = 3 · 4

v1 = 12 (m/s)

xa2 : distancia recorrida por el automóvil una vez alcanzada la velocidad constante v1 . x a2 = v1 ( t − 4 ) = 12( t − 4 ) = 12 t − 48

ƒ

xm = v t = 10 t

xm : distancia recorrida por el motociclista

Luego,

xa1 + xa2 = xm

24 + 12 t - 48 = 10 t

⇒

t = 12 (s) .

Entonces el tiempo que tarda el automovilista en sobrepasar el motociclista es de 12 s. La distancia recorrida hasta el momento que ambos se cruzan es, ⇒

xm = 10 t = 10 (m/s) · 12 (s)

xm = xa = 120 (m) .

EJEMPLO 3.

Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con una aceleración dada por a = 6 - 4t2, donde "a" está en m/s2 y "t" en s . Encontrar las expresiones de la velocidad y el desplazamiento en función del tiempo, suponiendo que para t = 4 s, v = 3 m/s y x = 10m. SOLUCION.

a = 6 - 4t2, a=

a.)

dv ⇒ dv = a dt dt t

4 3⎤ 4 3 4 3 ⎡ ∫3 dv = ∫4 ( 6 − 4t )dt = ⎢⎣6 t − 3 t ⎥⎦ 4 = 6 t − 3 t − 6·4 + 3 4 v

t

2

v− 3=6 t −

b.)

v=

4 3 t − 24 + 85,3 3

⇒

v = 64,3 + 6 t −

4 3 t 3

dx ⇒ dx = v dt dt t

4 3 1 4⎤ 14 1 4 ⎡ 2 2 2 ∫10 dx = ∫4 ( 64,3 + 6t − 3 t ) dt = ⎢⎣ 64,3 t + 3 t − 3 t ⎥⎦ 4 = 64,3 t + 3 t − 3 t − 64,3·4 − 3·4 + 3 4 x

t

1 x − 10 = 64,3 t + 3 t2 − t 4 − 257,2 − 48 + 85,3 3

⇒

1 x = − 209,9 + 64,3 t + 3 t2 − t 4 3

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EJEMPLO 4.

A

Dos móviles A y B se desplazan a lo largo de un mismo camino "x", con velocidades cuyas componentes con respecto a dicho camino están dadas en la gráfica siguiente. En el instante t = 0, xo(A) = 10 m , xo(B) = -10m.

(3,20 )

Determinar: a.) ¿qué distancia separa ambos móviles cuando "B" se detiene? b.) ¿cuál es la velocidad del móvil A en ese instante?

B

(8,10 )

SOLUCION.

a.) Para determinar el tiempo que tarda el móvil B en detenerse, consideramos la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,20) y (8,10). y − y1 =

y − 20 =

B

y 2 − y1 (x − x1 ) x 2 − x1

10 − 20 (x − 3) 8−3

A +10m

-10m

⇒

y − 20 = −2 ( x − 3 )

luego, la ecuación del gráfico planteado es:

y = −2x + 26

⇒

v = -2 t + 26

De aquí se desprende que la velocidad inicial del móvil B es vo(B) = 26 m/s y se desplaza con una aceleración a(B) = - 2 m/s2. Cuando el móvil B se detiene, v(B) = 0, se llega a

0 = -2 t + 26

⇒

t = 13 s.

Para conocer lo que camina B hasta detenerse, se tiene:

1 xB = v o (B ) ·tB + aB ·tB2 2

⇒

1 xB = 26·13 + ·( −2)·132 2

⇒

x B = 169m

Para conocer lo que camina A hasta cuando se detiene B, se tiene: - del gráfico se observa que la velocidad inicial de A, vo(A) = 0 , - la aceleración es la pendiente de la recta, aA = -

20 - 0 20 = (m/s2 ) 3-0 3

lo que camina A hasta los 13 s es,

x A = v o ( A ) ·t B +

1 a A ·t B2 2

⇒

1 20 x A = ·· ··13 2 2 3

La distancia que separa a ambos móviles a los 13 s es:

⇒

x A = 563,3m

x = 563,3 - 169 + 20 = 414,3 m.

b.) la velocidad del móvil A es: vA = vo(A) + aA · t = 0 + (20/3) · 13 vA = 86,6 m/s.

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EJEMPLO 5.

El siguiente gráfico muestra el movimiento de dos móviles A y B, de modo que sus posiciones iniciales G G ˆ en t = 0 son las siguientes: x o( A ) = 0 y x o(B) = 43i(m) a.)

b.) c.) d.) e.)

En el intervalo ( 0 , 2 ) s, el móvil A, ¿se acerca o se aleja con respecto al origen?,¿hacia la izquierda o hacia la derecha?, ¿con qué tipo de movimiento?. ¿Qué representa el punto de intersección de las 2 rectas?. Determine las ecuaciones de posición para cada móvil. Calcule el tiempo en que el móvil A cambia de sentido. ¿Qué distancia separa A con B a los 3(s)?

SOLUCION: G x o( A ) = 0 G ˆ x o(B) = 43i(m)

A

A B

·

B

0

43m

a.) En el intervalo ( 0 , 2 ) s, el móvil A se mueve hacia la derecha alejándose del origen, con una velocidad constante de 40 m/s. b.) El punto de intersección representa que para t = 5 seg, ambos móviles llevan la misma rapidez ( módulo de la velocidad de cada uno ). G 40 − 10 ˆ / s2 ) , c.) a A = = −10i(m 2−5

G 10 − 30 ˆ / s2 ) aB = = −4i(m 5−0

Para A: Intervalo [ 0 , 2 ]

G G G ˆ x1A = x oA + v oA ·t = 0iˆ + 40i·t

⇒

G ˆ x1A = 40ti(m)

Intervalo [ 2 , t [ G G G 1G ˆ − 2) + 1 • ( −10i) ˆ • (t − 2)2 x 2A = x1A (t = 2) + v o1A • (t − 2) + a A • (t − 2)2 = 80iˆ + 40i(t 2 2 G ˆ − 80iˆ − 5 • (t 2 − 4t + 4)iˆ = 40it ˆ − 5it ˆ 2 + 20it ˆ − 20iˆ x 2A = 80iˆ + 40it ⇒

G ˆ x 2A = ( −5t 2 + 60t − 20)i(m)

Para B: Intervalo [ 0 , t [ G G G 1G ˆ + 1·( −4i)·t ˆ 2 xB = x oB + v oB ·t + aB ·t 2 = 43iˆ + 30i·t 2 2 G ˆ xB = ( −2t 2 + 30t + 43)i(m) ⇒

d.) El móvil A cambia de sentido cuando su velocidad es cero. Al observar el gráfico, esto ocurre en el intervalo [ 2 , t [. G G dx 2A ˆ / s) La ecuación de la velocidad en este caso es: v 2A = = ( −10t + 60)i(m dt G 60 ⇒ t A = 6(s) Si v 2A = 0 ⇒ t = 10

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G ˆ x 2A = ( −5t 2 + 60t − 20)i(m) e.) La posición del móvil A a los 3 s está dada por: G G ˆ ˆ Si t = 3 s, entonces: x 2A = ( −5·32 + 60·3 − 20)i(m) ⇒ x 2A = 115i(m) G ˆ xB = ( −2t 2 + 30t + 43)i(m) La posición del móvil B a los 3 s está dada por: G G ˆ ˆ xB = ( −2·32 + 30·3 + 43)i(m) ⇒ xB = 115i(m) Si t = 3 s, entonces: G G ˆ , entonces a los 3 s ambos móviles están juntos. Como x 2A = xB = 115i(m) EJERCICIOS PROPUESTOS. ™

CINEMATICA LINEAL.

1.)

Un atleta corre 100 m hacia el oeste, luego cambia de dirección para la segunda etapa de la carrera. Al final de la carrera se encuentra a 175 m del punto de salida a un ángulo de 15º hacia el noroeste, demorándose 35 s en todo el trayecto. Determine: a.) la magnitud y dirección del segundo desplazamiento. R: 82,5 m y 146,7º. b.) la velocidad media del atleta. R: 5 m/s ; 165º c.) la rapidez media del atleta. R: 5,2 m/s

2.)

Una persona que parte en el punto ( 0 , 3 ) m de un plano (x,y), camina por la periferia de un círculo de radio 5 m , en el sentido horario. Si recorre la mitad del círculo, empleando 2,5 (s), determine: a) el vector desplazamiento y su velocidad media. b) la distancia que recorre la persona y su rapidez media. c) la magnitud del vector desplazamiento, si la persona camina el recorrido alrededor del círculo completo. R: a) -10 ˆj m ; -4 ˆj m/s ; b) 15,7 m ; 6,28 m/s c) 0

3.)

Una persona comienza a caminar a la 05:00 horas con una rapidez constante de 4 km/h en la dirección Norte 30º Oeste. Se detiene a las 12:00 horas, descansa durante una hora y media y reinicia su marcha a razón de 6 km/h en la dirección Sur 45º Este. ¿Cuál es la posición de la persona, con respecto al punto de partida, a las 06:00 de la tarde? R.: (5,1iˆ + 5,1jˆ )Km

4.)

Un río fluye hacia el norte a una velocidad de 3,0 km/h. Un hombre, situado en la ribera oeste, desea cruzar el río en un bote, dirigiéndose hacia el este con una velocidad de 4,0 km/h. a) Calcule la velocidad que adquiere el bote al ser arrastrado por la corriente (magnitud y dirección). b) Si el río tiene 1,0 km de ancho, ¿en cuánto se habrá desviado el bote hacia el norte cuando llega a la otra orilla? c) ¿Cuánto demora el bote en llegar a la otra orilla? R: a) 5,0 km/h; 36,9º al norte del este; b) 0,75 km; c) 0,25 h

5.)

Una hormiga camina en la dirección N 30º O con una rapidez constante de 2 cm/s. Al cabo de 15 s cambia de rumbo dirigiéndose en dirección S 37º O con una rapidez de 3 cm/s, manteniendo esa velocidad durante 20 s. a) Determine la posición final de la hormiga con respecto a su posición inicial. Exprese su respuesta en términos rectangulares y en términos geográficos. b)¿En qué dirección y con qué rapidez debe marchar la hormiga para volver directamente al punto de partida demorando en ello 10 s?. R: a) ( −51,1iˆ − 21,9ˆj)cm ; (55,6cm ; S66,8º O) ;b) 5,56(cm / s) ; N 66,8° E

6.)

Un auto viaja durante 4 hr por una carretera recta con una velocidad constante de 75 km/h, luego se detiene durante 2 hr, por último viaja en dirección contraria durante 3 hr con la misma rapidez original. a.) Haga el correspondiente gráfico de velocidad v/s tiempo. b.) Halle el área bajo la curva durante las primeras 4 horas. ¿Qué representa?. c.) Explique cómo puede utilizar el gráfico para hallar la distancia recorrida por el auto desde su punto de partida hasta el final de las 9 hr.

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7.)

Un móvil sobre una carretera recta inicia su movimiento en la posición x1 = 0[km], en un tiempo t1 = 0[h], alcanza la posición x2 = 200[km] y luego regresa a la posición x3 = 150[km] empleando para todo el recorrido, un tiempo de 4[h]. a.) ¿Cuál es la velocidad media del móvil? R: 37,5[km/h] b.) ¿Cuál es su rapidez media? R: 62,5[km/h] c.) Exprese ambos resultados en el S.I. R:10,4[m/s] ; 17,36[m/s]

8.)

Un auto viaja de la ciudad "A" a la ciudad "B" separadas 120[km], en 3[h] y regresa en 4[h]. a) ¿Cuál es su velocidad media en todo el trayecto? R: 0[km/h] b) ¿Cuál es su rapidez media? R: 34,28[km/h]

9.)

Un automóvil viaja a razón de 25 km/h durante 4 minutos, después a 50 km/h durante 8 minutos, y finalmente a 20 km/h durante 2 minutos. Encuentre (a) la distancia total recorrida en km y (b) la rapidez promedio de todo el viaje en m/s. R: (a) 9 km; (b) 10,7 m/s

10.) Un corredor da 1,5 vueltas completas alrededor de una pista circular en un tiempo de 50 s. El diámetro de la pista es de 40 m y su circunferencia (perímetro) es de 126 m. Encuentre (a) la rapidez promedio del corredor y (b) la magnitud de la velocidad promedio del corredor. R: (a) 3,78 m/s; (b) 0,80 m/s. 11.) Un motociclista viaja hacia el oriente con velocidad de 90[km/h] durante 10 [min]; regresa luego al occidente con velocidad de 54[km/h] durante 20[min] y finalmente vuelve hacia el oriente, durante 15[min] viajando con velocidad de 108[km/h]. Calcule para el viaje completo: a) El espacio total recorrido. R: 60[km] , b) La rapidez media. R: 80[km/h] c) Magnitud del desplazamiento. R: 24[km] , d) La magnitud de la velocidad media. R: 32[km/h] 12.) Un automóvil hace un recorrido entre dos ciudades que distan entre sí 60[km]. En los primeros 40[km] viaja a 80[km/h] y en los kilómetros restantes desarrolla solamente 20[km/h]. a) ¿Qué tiempo tarda el viaje? R: 1,5[h] b) ¿Cuál es la velocidad media y la rapidez media en el recorrido? R: 40[km/h] 13.) Dos trenes parten en sentido contrario desde dos ciudades A y B, distantes entre sí 600[km], con velocidades constantes de 80[km/h] y 100[km/h] respectivamente, pero el de A sale 2 hr antes. ¿Qué tiempo después de haber salido B y a qué distancia de A se encontrarán? R: 2,44[h] ; 355,2[km] 14.) Dos trenes parten de una misma estación, uno a 50[km/h] y el otro a 72[km/h]. ¿A qué distancia se encontrará uno de otro al cabo de 120[min], si ambos viajan con velocidad constante: a) Si marchan en el mismo sentido. R: 44[km] b) Si marchan en sentidos opuestos. R: 244[km] 15.) Un tren, cuya longitud es de 100 m, y que se desplaza con una velocidad constante de 15 m/s, debe atravesar un túnel de 200 m. de largo. En un instante determinado, el tren está entrando al túnel. ¿Después de cuánto tiempo habrá salido completamente? R: 20 s. 16.) Un camión viaja con velocidad constante de 20[m/s]. En el momento que pasa al lado de un automóvil detenido, éste comienza a avanzar con aceleración constante de 2[m/s2]. a.) Realice un gráfico de "v contra t" (v v/s t). b.) ¿Qué tiempo tarda el automóvil en adquirir la velocidad del camión?. c.) ¿Qué distancia debe recorrer el automóvil para alcanzar al camión?. d.) ¿Qué tiempo tarda en alcanzarlo?. R: b.) 10[s] ; c) 400[m] ; d.) 20[s] 17.) Dos ciclistas, A y B, inician su movimiento simultáneamente. A con una velocidad constante de 12[m/s] y B con aceleración constante de 5[m/s2]. a.) ¿Qué distancia han recorrido cuando B alcanza a A?. b.) ¿Cuánto tiempo ha transcurrido hasta ese momento?. c.) ¿Cuál es la velocidad de B cuando alcanza a A?. R: 57,6[m] ; 4,8[s] ; 24[m/s] Módulo.02-Complemento de Física-prosecución de estudios-U.Central - ecz-2009

13

18.) Un automóvil acelera uniformemente mientras pasa por dos puntos marcados, que están separados 30 m. El tiempo que tarda en recorrer la distancia entre los dos puntos es de 4 s y la rapidez del coche en el primer punto marcado es 5.0 m/s. Encuentre la aceleración del coche y su rapidez, al llegar al segundo punto marcado. R: 1,25 m/s2 , 10 m/s 19.) Por un punto A de una carretera pasa un camión con velocidad constante de 45 km/h; 10 s más tarde pasa por el mismo punto un automóvil con una velocidad de 90 km/h. Calcular: a) Dónde se encuentra el camión cuando el automóvil pasa por A. b) Qué aceleración constante debe tener el automóvil si quiere alcanzar al camión 15 s después de pasar por A. c.) Qué velocidad tiene el automóvil en el momento que alcanza al camión. R: a) 125m ; b) -0,55 m/s2 , c) 16,75 m/s 20.) Un cuerpo se mueve con una velocidad inicial de 3 m/s, y una aceleración constante de 4 m/s2 en la misma dirección que la de la velocidad ¿Cuál es la velocidad del cuerpo y la distancia recorrida al final de 7 s?. Resolver el mismo problema para un cuerpo cuya aceleración tiene dirección opuesta de la velocidad. Escribir la expresión del desplazamiento en función del tiempo. R: 31 m/s; 119m; -25m/s ; 77m ; x= 3t + 2t2 21.) Un automóvil, que parte del reposo, alcanza una velocidad de 60 km/hr en 15 s. a) Calcular la aceleración promedio en m/min2 y la distancia recorrida. b) Suponiendo que la aceleración es constante, ¿Cuántos segundo más le tomará al auto para alcanzar los 80 km/hr? ¿Cuál ha sido la distancia total recorrida?. R: a) 4000 m/min2 ; 125 m b) 5 s; 222.2 m 22.) Un auto parte del reposo y se desplaza con una aceleración de 1 m/s2 durante 1 s. Luego se apaga el motor y el auto desacelera debido a la fricción, durante 10 s a un promedio de 5 cm/s2. Entonces se aplican los frenos y el auto se detiene a 5 segundos más. Calcular la distancia total recorrida por el auto. Hacer un gráfico de x, v y a contra t. R: 9,25 m 23.) 4. Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta de acuerdo a la ley v = t3 + 4t2 + 2. Si x = 4 pies cuando t = 2 s, encontrar la posición y la aceleración de la partícula, cuando t = 3 s. R: 47,58 pies ; 51 pies/s2 24.) Un auto está esperando que cambie la luz roja. Cuando la luz cambia a verde, el auto acelera uniformemente durante 6 s a razón de 2 m/s2, después de lo cual se mueve con velocidad constante. En el instante que el auto comienza a moverse, un camión que se mueve en la misma dirección con movimiento uniforme con una velocidad de 10 m/s, lo pasa. ¿En qué tiempo, y a qué distancia se encontrarán nuevamente el auto y el camión?. R: 18s ; 180 m ™

GRAFICOS x v/s t ,

v v/s t

y

a v/s t.

25.) Represente en gráficos posición v/s tiempo ( x v/s t) las siguientes situaciones, considerando que los móviles se desplazan con rapidez constante: a) Dos móviles A y B están separados 50[m]. A se encuentra inicialmente en la posición 20 iˆ (m) a la izquierda de B. Simultáneamente se comienzan a mover en sentidos contrario y se encuentran a mitad de camino en un tiempo de 4[s]. b) Dos móviles A y B están separados 100[km]. El móvil A parte hacia B que se encuentra a la derecha de A, y llega a su destino a las 4 horas. Una hora después de partir A, parte B hacia A y llega a su destino a las 6[hr]. El cuerpo A inicia su movimiento desde la posición 120 iˆ (km). c) En una competencia de atletismo, A parte desde el origen y da a B una ventaja de 60[m]. El atleta A alcanza a B después de haber recorrido 180[m] y correr durante 60[s]. Ambos atletas se mueven en la dirección + iˆ .

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14

26.) La posición de un cuerpo en movimiento en función del tiempo se presenta en la figura. Indicar : a) ¿dónde el movimiento es en la dirección positiva o negativa de la x?. b) ¿Cuándo el movimiento es acelerado o retardado?. c) ¿Cuándo el cuerpo pasa por el origen?, y d) ¿cuándo la rapidez es nula?.Confeccione un esquema de la velocidad y la aceleración en función del tiempo. Estimar del gráfico la rapidez promedio entre a) t = 1 y t = 3 s, b) t = 1 y t = 2,2 s, c) t = 1y t = 1,8 s. R: 27.) La figura muestra la posición de una partícula en función del tiempo. La curva es parte de una parábola entre t = 0 y t = 4s. Encuentre la velocidad media durante los siguientes intervalos de tiempo: a) 0(s) < t < 4(s) R: 0 b) 7(s) < t < 10(s) R: -2m/s c) 0(s) < t < 13(s) R: -0,15m/s d) 10(s) < t < 13(s) R: 1 m/s

x (m) 12 6

40

30

t(s)

-4

x(m) 432101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 t(s) -1 -2 -

28.) Los movimientos de tres coches A, B y C en una calle se representan en el gráfico v vs t de la figura. En el instante t = 0, los tres coches están uno al lado del otro; a 140 metros de distancia están arreglando el camino y hay un gran hoyo que se extiende a lo ancho de todo el camino. a.) Describa el movimiento de cada uno de los vehículos. b.) Utilizando el gráfico, verifique si alguno de ellos cayó en el hoyo.

30

-

v(m/s) B

20

A

10

C

0

29.) La velocidad de un cuerpo que se mueve a lo largo del eje x, se muestra en el gráfico adjunto. Si en t = 0 el cuerpo está en el origen, indique los instantes o intervalos en que : a) El móvil se aleja del origen, b) el móvil se acerca al origen, c) el móvil pasa por el origen, d) el movimiento es acelerado o retardado, e) el móvil está más lejos del origen, f) la aceleración es máxima g) la rapidez es máxima.

20

10

l

2

l

4

l

l

6

l

l

8 10 12

t(s)

v (m/s) 10

5

t(s) 10

20

30

40

50

60

70

-5

30.) La aceleración de un auto que frena sorpresivamente puede representarse aproximadamente por el siguiente gráfico. Si en t0 = 0 el auto tiene una rapidez de 100 Km/hr y en t = 6 s se detiene completamente. Calcule la distancia total recorrida en la frenada. R: 116,13 m

a (m/s2) 2

4

6 t (s)

-4

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15

31.) La aceleración de un móvil que parte del reposo, se representa en el gráfico de la figura. Si su posición inicial está en x = -7m, a.) Determine la ecuación de posición en función del tiempo (ecuación de itinerario ). b.) Realice el gráfico de velocidad versus tiempo. c.) Calcule su velocidad cuando pasa por el origen.

a(m/s2) 5-

0

1 2 3 4 5

t(s)

-2 -

32.) Una partícula que parte del reposo desde el origen, se mueve en línea recta con la aceleración mostrada en el gráfico a vs t de la figura. a.) Represente en un gráfico v vs t, la información del gráfico dado. b.)Determine la posición, velocidad y distancia recorrida 12 s después de iniciado el movimiento. R: 96i (m) , 12 (m/s) , 96 m.

a(m/s2) 2 1 0 -1 -2

33.) Una partícula se mueve a lo largo del eje “x” de tal modo que su velocidad en función del tiempo está dada por el gráfico que muestra la figura. Si para t = 0 se encuentra en la posición x = -30 m, a.) determine la ecuación de itinerario x = x(t). b.) ¿en qué instantes pasa por el origen? c.) ¿qué distancia recorrió en los primeros 10 s? d.) ¿cuál fue su desplazamiento en ese intervalo? e.) ¿en qué instantes se acerca al origen?

R:

a.)

⎧ −30 + 40t − 10t 2 ⎪⎪ x(t) = ⎨105 − 50t + 5t 2 ⎪ ⎪⎩ −140 + 20t

B

O l

P l

40 20 3

0 -20 -

l 2l

l l5 l 7

t(s)

e) 0 < t < 1 ; 2 < t < 3 ; 5 < t < 7 v(m/s)

A

30 20 10 0-

d

t(s)

v(m/s)

34.) Las posiciones de dos móviles que se mueven a lo largo del eje x son, en el instante t = 0 , xA = 0 y xB = d. Sus velocidades en función del tiempo están dadas en el siguiente gráfico. Calcule la distancia “d” si ambos móviles chocan en el punto medio del tramo OP.

A

10

4

-

[0,3] [3,7] [7, ∞ ]

d) 90 iˆ m

b) 1 , 3 y 7 s c) 150 m

-

l

1

l

2

3

t(s)

B

35.) Dos móviles A y B en t = 0 sus posiciones son XA = -15 m y XB = -30 m y la velocidad de B en ese instante es VB = 15 m/s. Estos móviles se mueven por un camino horizontal, de tal manera que la velocidad de A y la aceleración de B varían de acuerdo a los siguientes gráficos: a.) ¿En qué instante(s) los móviles se encuentran?. b.) ¿En qué instante de tiempo el móvil A cambia la dirección del movimiento? c.) ¿En qué momento(s) los móviles se acercan al origen? R:

Vx(m/s)

ax(m/s2)

20

Móvil B Móvil A

10

2 3 -10

t (s)

t (s) -5

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16

36.) Dos móviles A y B se desplazan a lo largo del mismo v(m/s) camino x. Las componentes de sus velocidades con A respecto a dicho camino están dadas en el gráfico 20 adjunto. En el instante t = 0 ambos pasan por la posición x = -10m. 4 a.) Determine la ecuación de posición de cada móvil en 0 función del tiempo. l 2l b.) Calcule en qué instante(s) los móviles vuelven a encontrarse. c.) ¿Qué distancia los separa cuando sus velocidades -20 son iguales? R: ⎧−10 − 20t + 10t 2 [0,2] ⎪⎪ , x A (t) = ⎨−50t + 20t xB (t) = −10 + 4t a.) [ 2,5] ⎪ 2 [5,t[ ⎪⎩−175 + 70t − 5t b.) 2,5 s ; 9,8 s. c.) 14,4m ; 52,8 m

B 5l

l

7

t(s)

37.) Dos móviles A y B se mueven sobre una línea recta horizontal. El A parte de la posición G ˆ x = −10i(m) .En los gráficos se muestra la velocidad para el móvil A y la posición para el móvil B. a.) Determine la(s) ecuación (es) de itinerario para ambos móviles. b.) ¿En qué tiempo(s) ambos móviles se cruzan?. c.) ¿Qué distancia han recorrido los móviles en los primeros 14 s.? x (m) MOVIL B. vx (m/s) MOVIL A.

-

-

8

8

0

0 2

4

6

8

10

12

8

t(s) -8

-8

R: a.) b.) c.)

t(s)

⎧−10 + 8t − t 2 [0,8] ⎪⎪ 2 x A (t) = ⎨2t − 40t + 182 [8,12] ⎪ [12,t[ ⎪⎩8t − 106 0,35 s ; 5,65 s y 16,3 s. 64 m , 28 m.

,

xB (t) = ( − 8 + 2t)m

38.) Dos móviles A y B se mueven sobre una línea recta horizontal. La posición del móvil A para el G ˆ instante to = 0 es x oA = 20i(m) y se mueve de acuerdo al gráfico v vs t de la figura adjunta. El móvil B se mueve de acuerdo a la ecuación de itinerario xB = -52 + Kt + 2t2 (m) donde K ∈ IR. a.) Determine la ecuación de itinerario x = x(t) para el móvil A. vx (m/s) MOVIL A. b.) Determine la ecuación v = v(t) para el móvil A. c.) Sabiendo que a los 4 s ambos móviles se encuentran, 10 determine la velocidad inicial del móvil B y la posición de encuentro. 0 5 10 15 d.) ¿Qué velocidad tiene el móvil B en el instante que se detiene A. e.) ¿A qué distancia se encuentra el móvil A del móvil B a los -10 15 s.? Módulo.02-Complemento de Física-prosecución de estudios-U.Central - ecz-2009

t(s)

17

R.: a.)

c.)

⎧⎪20 − 10t + t 2 x A (t) = ⎨ ⎪⎩10t − 80 Para t = 0

vo = K = 4 m/s . ,

G v B = 24ˆi (m/s) . ,

d.)

[0,10] [10, t[

e.)

,

⎧− ⎪ 10 +2t v A (t) = ⎨ ⎪⎩ 10

b.)

[0,10] [10,t[

G G ˆ . x1A = x1B = −4i(m)

388 m. .

39.) Dos móviles se desplazan por un mismo camino “x” y se mueven de acuerdo a la siguiente Vx [m/s] información: 30 El móvil A: Parte del reposo en una posición G 2 ˆ X0A = −20i [m] y acelera a razón de 4 [m/s ] durante 5 [s], mantiene dicha velocidad durante 6 [s] y finalmente aplica los frenos deteniéndose en 4 [s]. G El móvil B: Parte de la posición X0B = 20iˆ [m] y

Móvil B 12

4

8

16 t[s]

-30

su velocidad respecto al camino que se desplaza está dada en la gráfica adjunta. Determine: a.) b.) c.) d.)

La(s) ecuación(es) de movimiento (posición y velocidad) de cada móvil. El desplazamiento del móvil A entre 2 y 10 segundos. La distancia recorrida por el móvil B hasta los 16 segundos. La distancia de separación de los móviles a los 10 segundos.

R.: a.) Móvil A:

G x = (-20 + 2t 2 )iˆ G [5,11] x = (-70 + 20t )iˆ

G v = 4t ˆi G v = 20 ˆi G G [11,16] x = ( -372,5 + 75t - 2,5t 2 ) ˆi v = ( 75 - 5t ) ˆi G G Móvil B: [0,4] x = (20 + 30t ) ˆi v = 30iˆ K G v = ( 50 - 5t ) ˆi [4,16] x = ( -20 + 50t - 2,5t 2 ) ˆi G d = 300 m d.) d = 100 m b.) d = 142 ˆi (m) . c.) [0,5]

BIBLIOGRAFIA: ƒ Física general, FREDERICK J. BUECHE. ƒ Física, Tomo I, RAYMOND A. SERWAY. ƒ Física, Tomo I, TIPLER, PAUL A.

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18

MODULO Nº2 DE FISICA INTRODUCCION A LA FISICA PROF. EUGENIO CONTRERAS Z. UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE FAC. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS PROSECUCIÓN DE ESTUDIOS.

™

INTRODUCCION.

Continuando con la Introducción a la física, consideramos este segundo módulo en donde se definen los sistemas de referencias y de coordenadas y se presentan nociones de magnitudes escalares y vectoriales con aplicaciones simples a situaciones de problemática física. ™

SISTEMAS DE REFERENCIA.

En mecánica se tratan problemas relacionados con la descripción del movimiento de un objeto en el espacio, por lo que se requiere un método para conocer la posición de ese objeto. Para esto se definen los sistemas de coordenadas y marcos de referencia. Un sistema de coordenadas usado para indicar las posiciones en el espacio consta de: 1. Un punto de referencia fijo O, llamado origen. 2. Un conjunto de ejes o direcciones con una escala apropiada. 3. Instrucciones sobre como identificar un punto en el espacio respecto al origen y a los ejes. a.) COORDENADAS CARTESIANAS O RECTANGULARES. Un sistema de coordenadas frecuentemente usado es el sistema de coordenadas cartesiano o rectangular, que se muestra en la figura, con ejes x saliendo del plano de la figura, eje y horizontal y eje z vertical. En este sistema un punto P arbitrario se identifica con tres coordenadas identificadas por (x,y,z), con los valores positivos de los ejes hacia fuera del plano de la figura, hacia la derecha y hacia arriba, respectivamente en cada eje, como se indica en la figura. Este sistema es el espacio común en el que vivimos y se llama espacio tridimensional porque tiene tres dimensiones, para indicarlo usamos en símbolo 3D. En ocasiones bastan dos o una coordenada para fijar la posición del objeto, estos se llaman espacio bidimensional (2D) y unidimensional (1D), respectivamente.

z +

P(x,y,z)

_ y _

0 x

+

+

_

b.) COORDENADAS POLARES. Otro sistema de coordenadas conocido es el de las coordenadas polares (r, θ) , donde “r” es la distancia desde el origen al punto (x,y), generalmente llamado radio, y θ el ángulo entre el eje x y r, por convención, considerado positivo cuando es medido en sentido antihorario desde el eje x hacia r. La relación entre las coordenadas cartesianas y polares es x = r cos θ

y P(x,y)

r 0

θ

x

y = r rsenθ Por Teorema de Pitágoras,

y por trigonometría,

tg(θ) =

r 2 = x2 + y2 y x

⇒

⇒

r = x2 + y2

⎛y⎞ θ = arctg ⎜ ⎟ ⎝x⎠

Módulo02.Introducción a la física Parte 2.U.Central – e.contreras.z-2009

1

Es importante también mencionar que sin ser un sistema de coordenadas definido como tal, es común en física, especialmente en mecánica, el utilizar un sistema de coordenadas en función de los puntos cardinales. Este sistema consiste en utilizar los puntos cardinales como referencia colocando cada uno de ellos en un sistema (x,y), como se muestra en la figura.

N

E

O

Ejemplo 1.

N

S

P•

a.) Representar la posición de un objeto que se encuentra en el punto P ubicado a 5 Km del origen y a 30º del Norte al Oeste.

30º

O

b.) Representar la posición de un objeto que se encuentra en el punto Q ubicado a 4 Km del origen y a 50º al Este del Sur.

R•

c.) Representar la posición de un objeto de magnitud 3 km y que se encuentra en el punto R, Oeste 20º Sur.

E

20º

50º

•Q

S

Nota: la solución de estos ejemplos se muestra en la figura, donde se podría considerar, por ejemplo, una escala donde 1 cm = 1 km. ™

CONCEPTOS BÁSICOS DE VECTORES.

Las magnitudes físicas con las que trataremos en el curso de física pueden ser escalares o vectoriales. Las magnitudes físicas escalares quedan completamente definidas mediante un número y sus respectivas unidades de medida, por ejemplo la densidad del agua de 1 gr/cm3 o la temperatura del aire de 20º C, son un escalar. Para las magnitudes físicas vectoriales debe especificarse: su magnitud (un número con sus unidades), su dirección (un número que puede ser un ángulo si el espacio es bi o tridimensional) y su sentido (que indica hacia adonde se dirige o apunta el vector).

• • •

Por ejemplo una velocidad de 80 km/h hacia el noreste. Un vector se representa gráficamente como un trazo dirigido (flecha) y se simboliza mediante letras mayúsculas o minúsculas, con una flecha sobre la letra o escrita en negrita, como V o V , r o r , OP o OP .

La longitud de la flecha indica la magnitud relativa del vector, el punto desde donde se comienza a dibujar el vector se llama punto de aplicación, la dirección se mide desde algún eje de referencia, generalmente horizontal, el sentido esta dado por la punta de la flecha y la recta sobre la cual se ubica el vector se llama línea de acción.

En la figura, el vector A tiene magnitud A, su punto de aplicación es O y su dirección es “θ” grados sobre la horizontal.

Línea de acción

A

A

θ O

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2

1.)

Igualdad de vectores.

Dos o más vectores son iguales si: a) apuntan en la misma dirección, y b) si sus magnitudes son iguales.

a

En la figura a = b = c = d independientemente de la ubicación de los vectores en el espacio. 2.) Multiplicación de un vector por un escalar.

El resultado de multiplicar un vector por un escalar “λ” es un vector, de magnitud distinta y de dirección igual (o contraria) al vector original. En la figura se muestra que b = 2a y c = −3 / 2 a

c

b

d

a

b c

3.) Vectores especiales.

• Vector nulo: es un vector de magnitud igual a cero (0). • Vector unitario: vector de magnitud igual a uno (1). 4.) Adición de vectores.

Los vectores se pueden sumar en forma geométrica por diversos métodos, tales como los que se muestran en la figura, a) el método del polígono o b) el método del paralelogramo. (a) a

b

5.)

b

(b) a

a

a+b

a+b b

Algunas propiedades de vectores.

•

Conmutatividad de la suma: a + b = b + a Asociatividad de la suma: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

•

Distributividad de la multiplicación por un escalar en la suma de vectores: λ·(a + b) = λ·a + λ·b

•

Conmutatividad del producto: a i b = b i a ; a i a = a2

•

Asociatividad del producto: a i (b + c) = a i b + a i c

•

Inverso aditivo: si a + b = 0 , entonces b es el inverso aditivo de a y se escribe b = − a La resta de vectores es un caso especial de adición, donde el vector restando se suma con su inverso aditivo: a − b = a + ( −b) La división entre vectores no está definida.

•

• •

6.) Representación de los vectores en coordenadas cartesianas.

Las componentes vectoriales de un vector son aquellas que sumadas dan como resultado el vector original. Las componentes vectoriales de un vector en el espacio se calculan a lo largo de un conjunto de 3 líneas mutuamente perpendiculares que se cortan en un mismo punto, es decir en líneas paralelas a los ejes de un sistema de coordenadas cartesiano. Los vectores unitarios ( magitud 1 ) que apuntan en las direcciones de los ejes x , y y z son respectivamente ˆi , ˆj y kˆ .

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z

kˆ ˆi

ˆj

y

x

3

La magnitud de las componentes vectoriales del vector A en las direcciones de los ejes x , y y z son Ax , Ay , Az, respectivamente, tal que:

A = A x ˆi + A y ˆj + A zkˆ

z

ó

Az

A = Ax + Ay + Az

AAy y

y

En el plano (x, y) de la figura, se tiene:

Ax = A cos θ

0

Ay = A sen θ •

Magnitud:

A = A = A 2x + A 2y

•

Dirección:

tg θ =

Ax

y

x

Ay

Componentes:

Ay

Ax

A

A = A x ˆi + A y ˆj •

A

x

θ Ax

⎛ Ay ⎞ θ = tg−1 ⎜ ⎟ ⎝ Ax ⎠

⇒

7.) Igualdad de vectores en componentes.

Dos vectores son iguales si todas sus componentes son iguales, esto es, A = B si Ax = Bx, Ay = By y Az = Bz. 8.) Suma, resta y multiplicación por un escalar. Se opera sobre las componentes escalares análogas de los vectores. Para el caso tridimensional se realizan tres operaciones escalares por cada operación vectorial, como se indica, donde “λ” representa un escalar:

Sea

A = A x ˆi + A y ˆj + A zkˆ ; B = B x ˆi + B y ˆj + B zkˆ

;

•

ˆ + (B ˆi + B ˆj + B k) ˆ A + B = (A x ˆi + A y ˆj + A zk) x y z

⇒

A + B = (A x + B x )iˆ + (A y + B y )jˆ + (A z + B z )kˆ

•

ˆ − (B ˆi + B ˆj + B k) ˆ A − B = (A x ˆi + A y ˆj + A zk) x y z

⇒

A − B = (A x − B x )iˆ + (A y − B y )jˆ + (A z − B z )kˆ

•

ˆ λ · A = λ·(A x ˆi + A y ˆj + A zk)

⇒

λ A = (λA x )iˆ + (λA y )jˆ + (λA z )kˆ

9.) Producto escalar entre vectores.

El producto escalar entre vectores da como resultado un escalar, se lee A punto B, y se define como: A i B = A B cos θ donde A y B es la magnitud y θ es el ángulo entre los vectores A y B . Aplicado a vectores unitarios y a las componentes de un vector, se tiene: ˆi i ˆi = i · i cos 0º = 1

( i = 1 ).

ˆi i ˆj = i · j cos 90º = 0 ( i = j = 1 ). Además,

Luego,

ˆi i ˆi = ˆj i ˆj = kˆ i kˆ = 1

Luego, ˆi i ˆj = ˆi i kˆ = ˆj i kˆ = 0

A i B = A x Bx + A y By + A z Bz

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4

10. Producto vectorial de vectores.

El producto vectorial entre vectores da como resultado un vector, se lee A cruz B, y su magnitud se define como:

A x B = A B sen θ donde A y B es la magnitud y θ es el ángulo entre los vectores A y B , y la dirección de A x B es perpendicular al plano formado por derecha o del tornillo derecho.

A y B y su sentido se determina usando la regla de la mano

El producto vectorial A x B también se puede calcular resolviendo el siguiente determinante:

ˆi A x B = Ax

ˆj Ay

Bx

By

kˆ A z = ( A y ·B z − A z ·B y ) ˆi − ( A x ·B z − A z ·B x ) ˆj + ( A x ·B y − A y ·B x ) kˆ Bz

Aplicado a vectores unitarios, se obtiene que: ˆi x ˆi = ˆj x ˆj = kˆ x kˆ = 0 ˆi x ˆj = kˆ ; ˆj i kˆ = ˆi ; kˆ x ˆi = ˆj Ejemplo 2.

Un gato se mueve en el plano (x,y) desde la posición P1 en (-3,-5) m hasta la posición P2 en (10,2) m. (a) Dibujar los vectores de posición y escribirlos en coordenadas cartesianas. (b) Calcular la variación de la posición del gato (desplazamiento), (c) Calcular la magnitud y dirección del desplazamiento.

y(m)

Solución: a) en la figura se dibuja el diagrama vectorial. Posiciones: r = xiˆ + yjˆ r1 = ( −3iˆ − 5ˆj) m r = (10iˆ + 2ˆj) m

P2 2

10 x(m) r1

2

b) La variación de la posición es la diferencia entre las posiciones del objeto, esto es la posición final menos la posición inicial denotada por ∆ r = r2 − r1 ∆ r = (10iˆ + 2ˆj) − ( −3iˆ − 5ˆj) = 10iˆ + 2ˆj + 3iˆ + 5ˆj ∆ r = ( 13iˆ + 7ˆj ) m c) Magnitud:

Dirección:

∆r -5

P1

y(m) 7

∆r

∆ r = 132 + 72 (m) = 14,8 m tg θ =

7 13

r2

-3

⎛ 7 ⎞ ⇒ θ = tg−1 ⎜ ⎟ = 28,3º ⎝ 13 ⎠

θ

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13 x(m)

5

Ejemplo 3.

Una hormiga camina por el borde de un CD de 6 cm de radio, rodeando la mitad del disco. Calcular: (a) la variación de su posición, (b) ¿cuánto camina?, (c) su variación de posición si completa el círculo. Solución: Usando el sistema de referencia de la figura, donde “i” es la posición inicial, que se elige en el origen, y “f” la posición final. a.)

y(cm)

∆ r = rf − ri

Escogiendo el punto “0” como origen, ri = (0iˆ + 0ˆj) m r = (12iˆ + 0ˆj) cm = 12iˆ cm

i

f

0

x(cm)

f

∆ r = 12iˆ b) Se pide distancia “d” recorrida desde i hasta f por el borde (por ejemplo el superior) del disco, si P es el perímetro, entonces: d = 0,5 P = 0,5 ·2 π R = 0,5 · 2 · 3,14 · 6 cm = 18,84 cm. se observa que d ≠ ∆ r c) Hay que calcular ∆ r después que la hormiga ha dado una vuelta completa.

∆ r = rf − ri = ri = rf = 0

⇒

∆r = 0

™

PROBLEMAS PROPUESTOS.

1.)

Copiar los siguientes vectores en un papel cuadriculado ( una hoja de cuaderno). Hallar geométricamente: a.) a + b b.) b + d c.) d − c d.) b + a + c e.) b − 2a f.) 0,5c + 2b

b a

c

d

g.) 2(c − b) − c h.) d − a − 0,75c 2.)

Escribir en coordenadas rectangulares los vectores de la pregunta 1. (considere 1 cuadrado: 1 unidad). R: a) 2i+3j ; b) 5i+3j ; c) –i+3j ; d) 6i+3j ; e) 2i-6j ; f) 6i ; g) 0 ; h) 0

3.)

Dados los vectores del plano a = (2, 1) unidades , b = (–1, 3) unidades y λ = 3 , representar gráficamente: a.) a + b b.) a − b c.) a + 2b d.) 2a − 3b e.) a + λb

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6

4.)

Escribir en coordenadas rectangulares los vectores obtenidos en la pregunta 3. R: a) (i+4j)unid ; b) (3i-2j)unid ; c) 7j(unid) ; d) (i-7j)unid ; e) (–i+10j)unid

5.)

Escribir en coordenadas polares los vectores obtenidos en la pregunta 3. R: a) ( 17unid ; 76º ); b) ( 13unid ; 326,3º ) ; c) ( 7unid ; 90º) e) (10,05unid;95,7º )

; d) ( 6,4 unid ; 321,3º) ó ( 6,4 unid ; -38,7º)

;

6.)

Un vector situado en el plano xy tiene una magnitud de 25 unidades y forma un ángulo de 37º con la abscisa. Determine sus componentes rectangulares. R: 20 y 15 cm.

7.)

La componente x de un vector que está en el plano xy es de 12 unidades, y la componente y es de 16 unidades. ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector?. R: 20 unidades , 53,1º

8.)

Hallar el módulo del vector de origen O(20;-5) y extremo P(-4;3). R: 25,29

9.)

Obtenga las componentes rectangulares para los vectores de posición: a) 12,8 m, 150º; b) 3,3 cm; 60º; c) 22 pulg, 215º ˆ ˆ ˆ R: ( −11,08i + 6, 4 j)m ; ; ( −18,02iˆ − 12,61j)pulg.

10.) Determine la magnitud y la dirección del vector R = 7iˆ − 12ˆj . R: 13,9 a -59,7º 11.) Dados a = (-1, 2) y b = (3, 5) , encontrar p y q para que p a + q b = (2, -3). 12.) Una partícula efectúa los siguientes desplazamientos consecutivos: 3,5 m al sur, 8,2 m al noreste y 15 m al oeste. ¿Cuál es el desplazamiento resultante?. R: 9,5m , N 76º O 13.) Determine la magnitud y dirección de la resultante de tres desplazamientos que tienen componentes (3, 2) m; (-5, 3) m y (6, 1) m. R: 7,21m ; 56,3º 14.) ¿Qué desplazamiento se debe sumar a otro de 25i - 16j metros para que el desplazamiento resultante sea de 7 metros en la dirección +x. R: ( −18iˆ + 16ˆj) m 15.) Un vector A tiene una magnitud de 9 [cm] y está dirigido hacia +x. Otro vector B tiene una magnitud de 6 [cm] y forma un ángulo de 45º respecto de la abscisa positiva. El vector C tiene una magnitud de 15 [cm] y forma un ángulo de 75º respecto del eje +x. Determine el vector ˆ cm resultante. R: (17,1iˆ + 18,7j) 16.) Hallar la resultante de los siguientes desplazamientos: 3 [m] hacia el este; 12 [m] hacia el este ˆ m 40º hacia el norte y 7 [m] hacia el oeste 60º hacia el sur. R: (8,7 ˆi + 1,6j) 17.) Un barco se desplaza sobre una superficie de agua tranquila a razón de 10 km/h y entra en dirección O 60º S en una corriente cuya dirección es E y que se mueve con una velocidad de 12 km/h. . ¿Cuál será su velocidad resultante?. Exprese su resultado en coordenadas rectangulares y coordenadas polares. R: (7iˆ − 8,7ˆj) km / h ; (11,2 km/h ; 51ºE al S) 18.) Un vector de 5 unidades se orienta en dirección positiva del eje x, y otro de 3 unidades se orienta en 230º. Determine la suma y la resta de estos vectores, gráfica y analíticamente. 19.) El vector A se extiende desde el origen hasta un punto que tiene coordenadas polares (8, 60º) y el vector B se extiende desde el origen hasta un punto que tiene coordenadas polares (3 , 340º). Calcular su producto escalar, vectorial y el ángulo que forman los vectores. R: 4,3 ; -23,32 kˆ ;

BIBLIOGRAFIA: ƒ Física general, FREDERICK J. BUECHE. ƒ Física, Tomo I, RAYMOND A. SERWAY. ƒ Física, Tomo I, TIPLER, PAUL A. Módulo02.Introducción a la física Parte 2.U.Central – e.contreras.z-2009

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MODULO DE FISICA Nº3 CINEMATICA DE LA PARTICULA – PARTE 2. “ MOVIMIENTOS VERTICALES “ PROF. EUGENIO CONTRERAS Z. UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE FAC. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS PROSECUCIÓN DE ESTUDIOS.

™

INTRODUCCIÓN

Entre los diversos movimientos que se producen en la naturaleza siempre ha habido interés en el estudio del movimiento de caída de los cuerpos próximos a la superficie de la Tierra. Cuando dejamos caer un objeto (una piedra por ejemplo) desde cierta altura, podemos comprobar que al caer su velocidad aumenta, es decir, su movimiento es acelerado. Si lanzamos el objeto hacia arriba, su velocidad disminuye gradualmente hasta anularse en el punto más alto, o sea, el movimiento de subida (ascendente) es retardado. Las características de estos movimientos ascendente y descendente fueron objeto de estudio desde tiempos muy remotos. El gran filósofo Aristóteles, aproximadamente 300 años antes de Cristo, creía que al dejar caer cuerpos livianos y pesados desde una misma altura, sus tiempos de caída serían diferentes: los cuerpos más pesados llegarían al suelo antes que los más livianos. La creencia en esta afirmación perduró durante casi dos milenios, sin que nadie procurase comprobar su veracidad con mediciones cuidadosas. Esto sucedió en virtud de la gran influencia del pensamiento aristotélico en varias áreas del conocimiento. Un estudio más minucioso del movimiento de la caída de los cuerpos fue realizado por el gran físico (*) Galileo Galilei, en el siglo XVII. Existe una leyenda acerca de que Galileo Galilei descubrió por primera vez este hecho al observar que dos pesos diferentes, al dejarse caer simultáneamente desde lo alto de la Torre inclinada de Pisa (Italia), chocaban contra el piso al mismo tiempo. Aun cuando existen ciertas dudas acerca de que este experimento en particular se haya llevado a cabo, se ha establecido perfectamente que Galileo realizó muchos experimentos sistemáticos en relación con objetos en movimiento sobre planos inclinados. Realizando cuidadosas mediciones de distancias e intervalos de tiempo fue capaz de demostrar que el desplazamiento de un objeto que parte desde el reposo es proporcional al cuadrado del tiempo en el que está en movimiento ( Tercera Ley de Galileo). Si se dejan caer simultáneamente desde la misma altura una moneda y un trozo de papel hecho una pequeña bola, y si los efectos de rozamiento del aire son despreciables, los dos experimentarán el mismo movimiento y chocarán contra el piso al mismo tiempo. (En un experimento real, la resistencia del aire no se puede despreciar.) En el caso ideal, donde la resistencia del aire se desprecia, el movimiento de este tipo se conoce como caída libre. Si este mismo experimento se llevara a cabo en un buen vacío, en donde el rozamiento del aire realmente es despreciable, el papel y la moneda caerían con la misma aceleración, sin importar la forma que se le dé al papel. El 2 de agosto de 1971, el astronauta David Scott condujo un experimento de este tipo sobre la superficie de la Luna; dejó caer en forma simultánea un martillo de geólogo y un pluma de halcón, y cayeron al mismo tiempo sobre la superficie lunar. ¡Sin duda esta demostración hubiera complacido a Galileo! Cuando se emplea la expresión “objeto en caída libre”, esto no se refiere al hecho de que el objeto se soltó desde el reposo. Un objeto que cae libremente es cualquiera que se mueve con libertad bajo la influencia exclusivamente de la gravedad, sin importar su movimiento inicial. Los objetos lanzados hacia arriba o hacia abajo y los que se sueltan desde el reposo, todos caen libremente una vez que se han liberado. Cualquier objeto que cae libremente experimenta una aceleración hacia abajo, independientemente del objeto. La aceleración que adquieren los cuerpos en su caída se llama aceleración de gravedad cuya magnitud se G designa con la letra "g". El vector " g ” está dirigido hacia abajo, hacia el centro de la Tierra. La magnitud de G " g " varía levemente con la altitud y la latitud. Debido a que la Tierra es "achatada en los polos" (el radio polar es 21 km más corto que el radio ecuatorial) el valor de la aceleración de gravedad no es el mismo en todos los puntos de la superficie terrestre. Es mayor en los polos y menor en el Ecuador. Módulo.03-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central - ecz-2009

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Experimentalmente se ha determinado el valor de la aceleración de gravedad para distintos puntos de la Tierra y se han encontrado los siguientes valores: g(Polos) = 9,83 m/s2 g(Ecuador) = 9,78 m/s2 g(Santiago-Chile) = 9,795 m/s2 g(Normal) = 9,80655 m/s2 (a 45° de latitud y a nivel del mar)

983 cm/s2 978 cm/s2 979,5 cm/s2 980,655 cm/s2

= = = =

A menos de que se especifique otra cosa, se usará un valor de g = 10 m/s2 = 1000 cm/s2 , al llevar a cabo los cálculos que se presenten. Un objeto lanzado hacia arriba o hacia abajo experimentará la misma aceleración que uno liberado desde el reposo. Una vez que se encuentra en movimiento libre, todos los objetos tendrán una aceleración dirigida hacia abajo igual a la aceleración debida a la gravedad. Otros valores aproximados de “g” para diferentes lugares de nuestro Sistema Solar, se muestran en la siguiente tabla: Lugar g(m/s2)

Mercurio 2,8

Venus 8,9

Marte 3,7

Júpiter 22,9

En el gráfico y en la tabla siguiente, se puede ver la Tiempo(s) posición de un cuerpo en caída Posición(m) libre a intervalos regulares de 1 segundo.

Saturno 9,1

Urano 7,8

Neptuno 11,0

Luna 1,6

0

1

2

3

4

5

6

7

0

-5

-20

-45

-80

-125

-180

-245

Para realizar los cálculos se ha utilizado el valor g = 10 m/s². Observa que la distancia recorrida en cada intervalo es cada vez mayor y eso es un signo inequívoco de que la velocidad va aumentando hacia abajo. ™

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA CAÍDA LIBRE.

Para la caída libre, la gráfica posición tiempo tiene la apariencia que se muestra a la derecha. Recuerda que en las gráficas posición-tiempo, una curva indicaba la existencia de aceleración. La pendiente cada vez más negativa nos indica que la velocidad del cuerpo es cada vez más negativa, es decir cada vez mayor pero dirigida hacia abajo. Esto significa que el movimiento se va haciendo más rápido a medida que transcurre el tiempo. Observa la gráfica velocidad tiempo de la derecha que corresponde a un movimiento de caída libre. Su forma recta nos indica que la aceleración es constante, es decir que la variación de la velocidad en intervalos regulares de tiempo es constante. La pendiente negativa nos indica que la aceleración es negativa.

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En la siguiente tabla podemos ver que la variación de la velocidad a intervalos de un segundo es siempre la misma (-10 m/s).

Tiempo(s)

0

Velocidad(m/s) 0

1

2

3

4

5

-10

-20

-30

-40

-50

Esto quiere decir que la aceleración para cualquiera de los intervalos de tiempo es: g = -10 m/s / 1s = -10 m/s/s = -10 m/s² ™

ECUACIONES PARA LA CAÍDA LIBRE.

Si se desprecia la resistencia del aire y se supone que la aceleración gravitacional no varía con la altitud sobre cortas distancias verticales, entonces el movimiento vertical de un cuerpo es equivalente al movimiento unidimensional bajo una aceleración constante. Así, suponiendo que un cuerpo es lanzado G hacia abajo o hacia abajo desde una altura " y o " con una velocidad inicial " v o " en un tiempo "to", después G de bajar o subir y alcanzar un cierto tiempo "t" con aceleración constante " g " (aceleración de gravedad) y haber recorrido una distancia (altura) "y", son válidas las ecuaciones ya conocidas para los movimientos acelerados. Estas son las siguientes:

G G G v − v o = g ⋅ (t − t o )

G G G G G v 2 − v o2 = 2g ⋅ (y − y o )

G G G 1G y − yo = v o (t − t o ) + g(t − t o )2 2

Nota: G • En estas ecuaciones, el vector g = g( − ˆj) ≈ − 10 ˆj (m / s2 ) ≈ − 32 ˆj (pie / s2 ) . • Si el cuerpo se deja caer desde el reposo, su velocidad inicial es cero. Observaciones: En la caída de los cuerpos la resistencia del aire aumenta con la velocidad de caída. En los primeros segundos de caída esta resistencia es pequeña y crece considerablemente con el aumento de velocidad, hasta que después de cierto tiempo se hace igual al peso del cuerpo desapareciendo la aceleración, o sea, a partir de este instante el cuerpo alcanza su "velocidad límite", continuando la caída con movimiento uniforme (velocidad constante) En los cuerpos pequeños y livianos de gran superficie, como gotas de lluvia, hojas de papel, plumas, etc., la velocidad límite es muy pequeña pues a poca altura de caída pierde su aceleración por la resistencia del aire. Así se explica que al abrirse un paracaídas se desciende con movimiento uniforme y con una velocidad que depende de la altura recorrida hasta el instante en que se abre. Las gotas de lluvia caen por igual motivo, con velocidad pequeña. Ejemplo: Si un paracaidista pesado y otro liviano se tiran juntos desde la misma altura con paracaídas del mismo tamaño, ¿quién llega al suelo primero? El paracaidista pesado llega primero. Esto se debe a que la persona liviana alcanzará su velocidad final (velocidad límite) antes que la persona pesada, que sigue acelerándose hasta que alcanza una velocidad final mayor. De modo que la persona pesada adelanta a la persona liviana, incapaz de alcanzar a su compañero.

IMPORTANTE. La observación anterior no la consideraremos por ahora, ya que el estudio de esta parte de la cinemática se refiere sólo a partículas (dimensionalmente muy pequeñas), esto significa que el roce simplemente es muy pequeño, por lo tanto despreciable.

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¿UNA CONTRADICCIÓN?

Si has estudiado con atención ésta página, estarás sorprendido porque hemos comenzado diciendo que la aceleración de la gravedad tiene un valor en la Tierra de 10 m/s² y, sin embargo, al realizar el estudio gráfico hemos llegado a la conclusión de que se trataba de un valor negativo: -10 m/s². Si revisamos con atención todo lo anterior, es claro indicar que se ha comenzado diciendo que la aceleración de la gravedad tiene un valor en la Tierra de 10 m/s² y, sin embargo, al realizar el estudio gráfico se ha llegado a la conclusión de que se trataba de un valor negativo: -10 m/s². Se debe tener presente que todas las observaciones que se hacen sobre las características de un movimiento dependen del sistema de referencia elegido (generalmente la Tierra). En ocasiones interesa cambiar nuestro sistema de referencia para expresar los datos con mayor comodidad. En el caso de la caída libre, parece lógico situar el sistema de referencia en la posición inicial del cuerpo para medir el alejamiento que experimenta y asignar valores positivos a las distancias recorridas hacia abajo. Esto significa que ahora se está considerando sentido positivo hacia abajo y sentido negativo hacia arriba, por lo que la gráfica posicióntiempo sería la que se muestra a la derecha. De la nueva gráfica posición-tiempo se deduce que ahora la velocidad es positiva (hacia abajo) y cada vez mayor porque la pendiente es positiva y cada vez mayor. El valor que se obtiene ahora para g es +10 m/s², pero no se trata de una contradicción. Recordemos que hay un convenio para interpretar qué sentido tiene la aceleración: Si el móvil está disminuyendo su rapidez (está frenando), entonces su aceleración va en el sentido contrario al movimiento. Si el móvil aumenta su rapidez, la aceleración tiene el mismo sentido que la velocidad. Si aplicamos este convenio nos damos cuenta de que el sentido de g no ha cambiado: sigue siendo hacia abajo. PREGUNTAS. ( Para reflexionar) 1.

Un libro pesado y una hoja de papel se dejan caer simultáneamente desde una misma altura. a.) Si la caída fuera en el aire, ¿cuál llegará primero al suelo?. b.) ¿Y si fuera en el vacío? c.) ¿Por qué ambos experimentos proporcionan resultados distintos?

2.

Un cuerpo se deja caer desde cierta altura y cae en dirección vertical. ¿En qué condiciones podemos considerar que tal cuerpo está en caída libre?. ¿Cuál es el tipo de movimiento de un cuerpo que se mueve en caída libre?.

3.

Dos cuerpos, uno de los cuales es más pesado que el otro, descienden en caída libre en las proximidades de la superficie de la Tierra. a.) ¿Cuál es el valor de la aceleración de caída para el cuerpo más pesado?. Y ¿para el más liviano? b.) ¿Cómo se denomina y cómo se representa esta aceleración de la caída de los cuerpos?

4.

Cuando un cuerpo desciende en caída libre, ¿qué sucede al valor de la velocidad en cada segundo?. ¿Y si el cuerpo fuera lanzado verticalmente hacia arriba?

5.

Se lanza verticalmente hacia arriba un objeto, ¿cuál es su velocidad cuando alcanza la altura máxima?.

6.

Se lanza verticalmente hacia arriba un objeto y luego vuelve al mismo lugar de donde fue lanzado, ¿qué medida tiene la rapidez cuando retorna al punto de partida?.

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7.

Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba demorando un tiempo t en alcanzar la altura máxima, ¿cuánto tarda, en total, desde que se lanzó hasta que llega al punto de partida?.

8.

¿Bajo qué condición importante un objeto en caída libre se puede estudiar con las ecuaciones de movimiento acelerado?

9.

Luisa, la chica enamorada de Supermán en esta historieta, es arrojada desde lo alto de edificio de 180 metros de altura y desciende en caída libre. Supermán llega a lo alto del edificio a los 4 seg. después del inicio de la caída de Luisa y se lanza, con velocidad constante, para salvarla. ¿Cuál es el mínimo valor de la velocidad que Supermán debe desarrollar para alcanzar a su admiradora antes de que choque contra el suelo?

EJEMPLO 1.

Un observador se encuentra en una torre de 60 m del suelo; ve pasar una piedra disparada verticalmente hacia arriba desde el suelo y 6 s más tarde la vuelve a ver cuando viene de regreso. a) ¿Con qué velocidad fue lanzada? b) ¿A qué altura llegó desde el suelo? c) ¿Cuánto demoró en llegar hasta el observador?

G G v2 = 0 C

SOLUCION.

G v1

y0 = 0

B

y1 = 60 (m) g = 10 (m/s2 ) tBC + tCB = 6 s. tBC = tCB = 3 s.

y1 A

a.)

ƒ

considerando el tramo BC:

como v 2 = 0 , entonces

ƒ

•

y2

- v1 = - 10 (m/s2 ) · 3(s)

vo =

•

v 2 - v1 = - g · tBC

G v1 = 30 ˆj (m/s)

⇒

v12 - v o2 = - 2 g·(y1 - y o )

considerando el tramo AB:

como yo = 0, entonces

G vo

v12 - 2 g y1 =

302 - 2·10·60

⇒

G v o = 45,8 ˆj (m / s) .

⇒

y2 = 104,88 (m)

b.)

ƒ

v 22 - v o2 = -2g· ( y 2 - y o )

considerando el tramo AC.

como v 2 = 0 , yo = 0, entonces

c.)

y2 =

considerando el intervalo AB, v1 − v o = −g·t1 ⇒

t1 =

v o2 ( 45,8 m/s )2 = 2g 2·10m / s2

v1 − v o ( 30 − 45,8 )m / s = ⇒ −g −10 m / s2

t1 = 1,58 seg.

otra forma: y1 − y o = v o t 1 −

1 2 g t1 ⇒ 2

60 = 45,8 t1 -5 t12

− − 45,8 ± ( −45,8)2 − 4 • 5 • 60 t1 = 2•5

⇒

5 t12 - 45,8 t1 + 60 = 0

( t1' = 1,58 seg ; t1'' = 7,58 seg.)

El tiempo t1' = 1,58 seg representa el tiempo que tarda la piedra en pasar la primera vez por el observador, y el tiempo t1'' = 7,58 seg. es el tiempo que tarda la piedra en pasar por segunda vez (cuando viene bajando). Módulo.03-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central - ecz-2009

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EJEMPLO 2.

Un hombre parado en el techo de un edificio lanza una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. La bola llega al suelo 5 s más tarde. a.) ¿Cuál es la altura alcanzada por la bola desde el techo del edificio?. b.) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la bola desde el suelo? c.) ¿Qué altura tiene el edificio? d.) ¿Con qué velocidad llegará la bola al suelo? SOLUCION.

yo = hE (altura del edificio) vo = 20 (m/s) t = tBC + tCA = 5 s. y1

a.)

y1 = ?

ƒ

Tomando el tramo BC 2 1

v - v

2 o

G vo

= - 2 g (y1 - y o )

b)

ƒ

2 o

hE

2

v (20 m / s) = ⇒ 2g 2·10m / s2

y2

•

B

Como v1 = 0 y considerando la posición inicial cero (yo = 0) en el techo del edificio, entonces: y1 =

G G v1 = 0

C

G v2

y1 = 20 (m) A

ymáx = y2 = ? Tomando el tramo BC:

se calcula el tiempo ( t1 ) que tarda en alcanzar la altura y1.

v 1 - v 0 = - g · t1

vo 20(m / s) = g 10 (m / s2 ) tCA = 3 (s) Además tCA = 5 - t1 = 5 – 2 ⇒ máxima altura ).

como v1 = 0, entonces

t1 =

⇒

t1 = tBC = 2 (s)

( tiempo que demora en bajar desde que alcanza la

La posición que toma la bola al tocar el suelo es yBA, luego: yBA − y o = v o t − Entonces:

yBA = 20·5 −

1 10·52 ⇒ 2

1 2 gt 2

con yo = 0.

G yBA = − 25 ˆj (m)

Como obviamente la posición final de la bola es negativa ( ya que el punto de referencia posición cero escogido está sobre el edificio), entonces la altura máxima alcanzada por la bola es: ymáx = y2 = 40m + 25 m c.)

ymáx = 45 m .

⇒

hE = 25 (m)

hE = ? hE = ymáx - y1 = 45 – 20

d.)

⇒

G v2 = ? v2 - vo = - g t

⇒

v2 = vo - g t = 20 (m/s) - 10(m/s2) · 5(s)

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⇒

G v 2 = − 30 ˆj (m / s) .

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PROBLEMAS PROPUESTOS.

1.)

¿Qué altura tiene un puente sobre el agua si una piedra soltada desde él demora 4[s] en llegar al agua?. ¿Con qué velocidad llegó al agua? R: 80[m] ; −40 ˆj (m / s)

2.)

¿Con qué velocidad llega al suelo un cuerpo que cae desde 10[m] de altura?.

3.)

¿Con qué velocidad salió una bala de un fusil si al ser lanzada verticalmente hacia arriba demoró un minuto en volver al suelo? R: 300 ˆj (m / s)

4.)

Con una honda de elásticos se lanza verticalmente hacia arriba una 40[m]. ¿Con qué velocidad fue lanzada? R: 28,28 ˆj (m / s)

5.)

Desde un pozo se saca agua con un balde el cual es subido en 2/3 de minuto por un motor con la velocidad de 2,5[m/s]. En otro pozo al dejar caer una piedra desde el borde demora 4[s] en llegar al agua. ¿Cuál tiene mayor profundidad?. R: 100[m] ; 78,4[m]

6.)

Un cuerpo después de algunos segundos de caída alcanzó la velocidad límite de 29,4[m/s], siguiendo con esta velocidad hasta el suelo. ¿De qué altura cayó si en total demoró 13[s] en llegar al suelo? R: 338,1[m]

7.)

Un cuerpo demoró 5[s] en alcanzar su "velocidad límite" al caer de una altura de 612,5[m]. ¿Cuánto demoró en llegar al suelo?. R: 15[s]

8.)

¿Qué tiempo dura en el aire una piedra que se lanza verticalmente hacia arriba con velocidad de 24[m/s]? R: 4,8[s]

9.)

Una piedra cae desde un globo que desciende a una velocidad uniforme de 12 m/s. Calcular la velocidad y la distancia recorrida por la piedra después de 10 s. Resolver el mismo problema para el caso cuando el globo se eleva a la misma velocidad. R: 112 m/s; 610 m

R: −14,14 ˆj (m/s)

piedra que llegó

hasta

10.) Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s ¿En que instante de tiempo tendrá una velocidad de 6 m/s y a qué altura se encontrará? R: 1,43 s; 2,65 s; 18,6 m 11.) Se tira una piedra hacia arriba desde el fondo de un pozo de 88 pies de profundidad con una velocidad inicial de 240 pies/s. Calcular el tiempo que demorará la piedra en alcanzar el borde del pozo, y su velocidad. Discutir las respuestas posibles. R: 0,38 s; 14,75 s; 227,9 pies/s 12.) Un hombre parado en el techo de un edificio tira una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad de 40 pies/s. La bola llega al suelo 4,25 s más tarde. ¿Cuál es la máxima altura alcanzada por la bola? ¿Qué altura tiene el edificio? ¿Con qué velocidad llegará la bola al suelo?. R: 144 pies; 119 pies/s; 96 pies/s 13.) Un cuerpo que cae recorre 224 pies en el último segundo de su movimiento. Suponiendo que el cuerpo partió del reposo, determinar la altura desde la cual cayó el cuerpo y qué tiempo le tomó llegar al suelo. R: 900 pies; 7,5 s 14.) Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el techo de un edificio con una velocidad de 29,4 m/s. Otra piedra se deja caer 4 s después que se lanza la primera. Demostrar que la primera piedra pasará a la segunda exactamente 4 después que se soltó la segunda. 15.) Un cuerpo se deja caer y simultáneamente un segundo cuerpo, se tira hacia abajo con una velocidad inicial de 100 cm/s. ¿Cuándo será la distancia entre ellos de 18 m?. R: 18 s Módulo.03-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central - ecz-2009

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16.) Un cohete se lanza verticalmente hacia el v (m/s) espacio. A los 20 s de su lanzamiento, se agota el combustible y el cohete continuo 1000 moviéndose bajo la acción de la aceleración de gravedad. La figura muestra el gráfico que representa la velocidad del cohete en función del tiempo para todo el movimiento. 20 60

100 140

180

220

t (s)

Determine: a) la aceleración mientras se agota el combustible, b) la altura a la cual llega el cohete mientras el combustible se quema, c) la altura máxima alcanzada por el cohete, d) el tiempo transcurrido desde el lanzamiento del cohete hasta que vuelve a su punto de partida R: a) 50 m/s2; b) 10000 m; c) 60000m; d) aprox. 230 s 17.) Se tiran dos cuerpos verticalmente hacia arriba, con la misma velocidad de salida de 100 m/s, pero separados 4 s. ¿Qué tiempo transcurrirá desde que se lanzó el primero para que se vuelvan a encontrar?. R: 12 s 18.) Se deja caer una piedra desde lo alto de un edificio. El sonido de la piedra al chocar con el suelo se escucha 6,5 s más tarde. Si la velocidad del sonido es de 1120 pies/s, calcular la altura del edificio. R: 572 pies 19.) Una Stunt woman que dobla en el cine a los actores esta sentada sobre la rama de un árbol, tiene que caer sobre un caballo que galopa debajo del árbol a una velocidad de 10 m/s. Si la distancia desde la rama a la silla de montar es de 3m . a) ¿Cuál debe ser la distancia horizontal entre la silla y la rama cuando la mujer salta?, b) ¿cuánto tiempo dura en el aire? R: 7,82 m; 0,782 s 20.) Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo. Un estudiante que se encuentra en una ventana ve que la pelota pasa frente a él con velocidad de 5,4[m/s] hacia arriba. La ventana se encuentra a 12[m] de altura. a) ¿Qué altura máxima alcanza la pelota? R: 13,45[m] b) ¿Cuánto tarda la pelota en llegar a la altura máxima desde que la ve el estudiante frente a él? R: 0,54[s] 21.) Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba. Cuando alcanza la mitad de la altura máxima su velocidad es de 24[m/s]: a) ¿Cuál es la altura máxima? R: 58,77[m] b) ¿Con qué velocidad se lanzó? R: 33,93[m/s] c) ¿Qué tiempo tarda en alcanzarla? R: 3,46[s] d.) ¿Qué tiempo tarda en alcanzar una velocidad de 24[m/s] hacia abajo? R: 2,44[s] 22.) Un paracaidista, después de saltar, cae 50 m en caída libre. Cuando se abre el paracaídas, retarda su caída 2 m/s2. Llega al suelo con una velocidad de 3 m/s. a) ¿Cuánto tiempo dura el paracaidista en el aire?, b) ¿desde qué altura saltó?. 23.) Un cuerpo cae libremente desde el reposo durante 6 s. Calcular la distancia que recorre en los dos últimos segundos. 24.) Una piedra se deja caer libremente al fondo de un precipicio de 80[m] de altura. Un segundo más tarde, una segunda piedra se lanza hacia abajo de tal forma que alcanza a la segunda justamente cuando ésta llega al fondo: a) ¿Con qué velocidad se lanzó la segunda piedra? b) ¿Qué velocidad llevaba la primera piedra cuando fue alcanzada? c) ¿Cuánto tiempo dura en el aire la segunda piedra? R: 11,41[m/s] ; 39,59[m/s] ; 3,04[s]

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25.) De la salida de agua de una ducha está goteando agua al piso que se encuentra 2,05 m abajo. Las gotas caen a intervalos de tiempo regulares, llegando al piso la primera gota en el momento en que la cuarta comienza a cae. Encontrar la posición de las diversas gotas cuando una de ellas está llegando al piso. 26.) Por una llave de la ducha cae una gota de agua cada segundo. En el instante en que va a caer la cuarta gota: a) ¿Qué distancia separa la primera de la segunda gota? b) ¿Qué velocidad posee la tercera gota?. R: 25[m] ; 9,8[m/s] 27.) Si un cuerpo recorre la mitad de su distancia total de caída libre durante el último segundo de su movimiento a partir del reposo, calcular el tiempo y la altura desde la cual cae. R.: 3,41 s ; 57 m 28.) Un balín de plomo se deja caer a un lago desde un lugar a 4,88 m sobre el agua. Pega en el agua con cierta velocidad y después se hunde hasta el fondo con esa misma velocidad constante. Llega al fondo 5 s después de que se soltó. a) ¿Qué profundidad tiene el lago?, b) ¿cuál es la velocidad media del balín?. 29.) Otro plan para atrapar al correcaminos ha fracasado y una caja fuerte cae desde el reposo desde la parte más alta de un peñasco de 25 m de alto hacia el coyote Wiley, que se encuentra en el fondo. Wiley se percata de la caja después que ha caído 15 m. ¿Cuánto tiempo tendrá para quitarse? 30.) Una pelota de béisbol se lanza hacia arriba con una rapidez de 30 m/s. (a) ¿Cuánto tiempo tarda en subir? , (b) ¿,A qué altura llegará? (c) ¿Cuánto tiempo después de que se separa de la mano tardará en regresar a su punto de partida? (d)¿Cuándo tendrá una rapidez de 16 m/s? R: (a) 3,06 s; (b) 46 m; (c) 6,1 s; (d) 1,43 s y 4,7 s. 31.) Una botella que se lanza desde un globo, alcanza el piso en 20 s. Determine la altura del globo si, (a) estuviera en reposo en el aire y, (b) si va ascendiendo con una rapidez de 50 m/s cuando se deja caer la botella. R: (a) 1960 m; (b) 960 m 32.) Desde un globo que está a 300 m sobre el suelo y se eleva a 13 m/s, se deja caer un bulto. Para el bulto, encuentre (a) la altura máxima que alcanza, (b) su posición y velocidad 5s después de haberse desprendido, (c) el tiempo antes de que choque contra el suelo. R: 308,6 m ; -58 m y -36 m/s ; 9,3 s. 33.) Mientras un ascensor se está moviendo hacia arriba, por el cubo, a una velocidad de 3 m/s, se suelta una tuerca de un tornillo colocado en su fondo. La tuerca golpea el fondo del cubo del ascensor en 2 s. (a) ¿A qué altura con respecto al fondo del cubo se encontraba el ascensor cuando se desprendió la tuerca? (b) ¿Qué tan lejos del fondo estaba la tuerca a los 0,25 s después de salirse de su sitio? R: (a) 13,6 m; (b) 14,0 m 34.) Desde la terraza de un edificio se lanza verticalmente hacia arriba una piedra, la misma que después de 6 (s) choca en la base del edificio. El gráfico representa v = f (t) . Determine: a.) La velocidad de lanzamiento. b.) La altura del edificio

v(m/s)

vo 0

2

6

t(s)

BIBLIOGRAFIA: ƒ Física general, FREDERICK J. BUECHE. ƒ Física, Tomo I, RAYMOND A. SERWAY. ƒ Física, Tomo I, TIPLER, PAUL A.

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MODULO DE FISICA Nº4 CINEMATICA DE LA PARTICULA – PARTE 3. LANZAMIENTO DE PROYECTILES PROF. EUGENIO CONTRERAS Z. UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE FAC. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS PROSECUCIÓN DE ESTUDIOS.

™

MOVIMIENTO PARABOLICO.

Cuando una pelota de golf es elevada por el aire luego de haber sido golpeada por un jugador, esta describe un movimiento parabólico, de modo que su desplazamiento es tanto horizontal como también vertical. Este movimiento es posible describirlo de la siguiente manera: •

Tiene un movimiento horizontal que es uniforme (velocidad constante), con el supuesto que no existe rozamiento con el aire.

•

Su movimiento vertical es acelerado ya que está permanentemente bajo la influencia de la fuerza de gravedad.

Se ve por tanto como el principio de Galileo se cumple estrictamente en este movimiento: "cuando un cuerpo es sometido simultáneamente a dos movimientos, cada uno de éstos se cumple independientemente". Las ecuaciones del movimiento de proyectiles se obtienen utilizando el principio de independencia de los movimientos en los ejes horizontal y vertical, y considerando naturalmente que el tiempo que tarda el cuerpo en desplazarse horizontalmente es igual al tiempo que ocupa el cuerpo en moverse verticalmente desde la misma posición de lanzamiento.

G G vy = 0 vx y

G vy

G vy

G vo

G v θG’ vx

G vy

G vx θ’

ymáx

θ G G v ox = v x

G v G vx

x

θ

xmáx

• En el eje horizontal el cuerpo se mueve con velocidad constante:

G vy x = vox t = vx t

G v (1)

• En el eje vertical el cuerpo está sometido a la aceleración de gravedad entonces: y − y o = v oy t −

1 2 gt 2

(2)

De la figura se obtiene que las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial son: vox = vo cos θ

(3)

y

voy = vo sen θ

(4)

sustituyendo (3) en (1) se obtiene, x = vo cos θ · t

(5)

(ecuación de la posición horizontal para cualquier tiempo )

Sustituyendo ahora (4) en (2), y − y o = v o sen θ· t −

1 2 gt 2

(6)

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1

Alcance horizontal máximo: en la figura, el alcance horizontal máximo ocurre cuando y = yo , es decir: 0 = v o sen θ· t −

1 2 gt ⇒ 2

tv =

2v o sen θ g

(7)

(tiempo de vuelo del proyectil)

Además el alcance horizontal máximo ( xmáx ) sucede cuando el tiempo empleado es el tiempo de vuelo, es decir: 2v o2 sen θ cos θ 2v sen θ En (1) xmáx = vo cos θ · t V = v o cos θ · o = g g

Como sen 2θ = 2 sen θ · cos θ , entonces:

xmax =

v o2 sen 2θ g

(8)

Con esta última expresión se puede comprobar que el máximo alcance de un proyectil es para un ángulo de 45°. La velocidad vertical depende del tiempo transcurrido desde el lanzamiento y de la componente vertical de la velocidad inicial, es decir: vy = voy - g t , ya que se comporta como un movimiento uniformemente acelerado. Entonces: vy = vo sen θ - g t .

Altura máxima que alcanza el proyectil.

(9)

( Ymáx )

Cuando el proyectil alcanza la altura máxima, la componente vertical final de la velocidad es nula . 2 = − 2 g( y − y o ) y haciendo vy = 0 ( velocidad en el Por lo tanto, considerando la ecuación v 2y − v oy punto más alto ), entonces el proyectil alcanza la altura máxima, es decir y = ymáx. 2 − v oy = − 2 g( ymax − y o )

Luego,

⇒

ymax =

2 v oy

2g

+ yo

.

La altura máxima, el tiempo de vuelo y el alcance horizontal del proyectil dependen exclusivamente de la velocidad inicial y del ángulo de lanzamiento.

EJEMPLO 1.

Una pelota sale rodando del borde de una mesa de 1,25[m] de altura. Si cae al suelo en un punto situado a 1,5[m] del pie de la mesa, ¿qué velocidad llevaba la pelota al salir de la mesa? SOLUCION.

yo = 1,25 m x = 1,5 m

;

y =0 1 2 g·t 2 , y su posición vertical final es cero, entonces el tiempo que tarda

La ecuación del movimiento de la pelota es y − y o = v o( y ) ·t − Como sólo tiene velocidad inicial vox en llegar al suelo es: 1 1,25 0 − 1,25 = − ·10·t 2 ⇒ t = = 0,5 s. 2 5 La ecuación del movimiento horizontal es x = xo + vx·t Entonces:

1,5 = 0 + vo · 0,5

⇒

con vx = vox = vo cos 0 = vo

vo = 3 (m/s) .

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2

EJEMPLO 2.

Un avión bombardero está volando horizontalmente a una altura de 1,2 km con una velocidad de 180 km/hr. a.) ¿cuánto tiempo antes de que el avión esté sobre el blanco debe dejar caer la bomba. b.) ¿Cuál es la velocidad de la bomba 10 s después de soltarla? c.) ¿Cuál es la velocidad de la bomba cuando se encuentra a 200 m de altura y cuando llega al suelo? d.) ¿Cuál es la distancia horizontal cubierta por la bomba? e.) ¿Cuál es el ángulo que forma con el eje horizontal la velocidad de la bomba al llegar al suelo?

vo

SOLUCION.

a) v = 180 km/hr = 50 m/s. La velocidad de la bomba es la misma del avión, es decir, ; vo(y) = 0 vo = vx = 50 m/s. yo = 1,2km = 1200 m. ; y =0 1 y − y o = v o( y ) · t − g· t 2 2 1 1200 0 − 1200 = − ·10·t 2 ⇒ t = = 15,49 s. 2 5 b) t = 10 s v y − v o( y ) = −g·t K v y − 0 = −10·10 ⇒ v y = −100ˆj (m / s) G v = v = v 2x + v 2y = 502 + ( −100)2 = 111,8(m / s)

yo

y =0

x

c) y = 200 m. ;

yo = 1200 m. 1 y − y o = v o( y ) ·t − g· t 2 2 1 1000 200 − 1200 = − ·10·t 2 ⇒ t = = 14,14 s. 2 5 v y − v o( y ) = −g·t K v y − 0 = − 10·14,14 ⇒ v y = −141, 4ˆj (m / s) cuando llega al suelo t = 15,49 seg., entonces: v y − v o( y ) = − g·t K v y − 0 = −10·15,49 ⇒ v y = −154,9ˆj (m / s) G v = v = v 2x + v 2y = 502 + ( −154,9)2 = 162,77(m / s)

d) x = vx · t x = 50 · 15,49 e)

⇒ x = 774,5 m.

⎛ 154,9 ⎞ tg θ = ⇒ θ = tg−1 ⎜ ⎟ = 72,11º vx ⎝ 50 ⎠ vy

⇒ θ = -72,11º

G vx G vy

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θ G v

3

EJEMPLO 3.

Un proyectil es disparado formando un ángulo de 45º con la horizontal, sobre un móvil que viaja a 20 m/s en dirección al punto de lanzamiento del proyectil. Cuando se encontraba a 2042 m del punto de lanzamiento, aplica los frenos simultáneamente con el disparo del proyectil, con una retardación de 1,25 m/s2. Al detenerse se devuelve simultáneamente con una aceleración constante a2, alejándose del punto de lanzamiento del proyectil. Si a pesar de eso el proyectil impacta al móvil al cabo de 20 s de ser disparado, determinar: a.) La velocidad inicial con que fue disparado el proyectil. b.) La distancia recorrida por el móvil desde el momento que fue disparado el proyectil hasta que fue impactado. Inicialmente: c.) La aceleración a2. SOLUCION. a.) xo = 2042 m tv = 20 seg.(tiempo de vuelo)

vo

va

45º

La ecuación de itinerario del proyectil es 1 y − y o = v oy · t − g· t 2 2 , voy = vo sen 45 y t = tv , entonces: Si y = yo = 0 tv =

2v o sen 45º t o ·g 20·10 ⇒ vo = = g 2 sen 45º 2 sen 45º

xo

⇒

v o = 141,42(m / s)

b.) luego de efectuado el desplazamiento del móvil hacia la izquierda con a = -1,25 m/s2, xp : desplazamiento del proyectil

vo

xp = vox · t = vo cos45 · t xp = 141,42 cos45 · 20 = 2000 m.

v=0

45º

x1 :desplazamiento del móvil hacia la izquierda. v 2 − v a2 0 − 202 v − v = 2·a· x1 ⇒ x1 = = 2a 2·( −1,25) Al desplazarse el móvil hacia la derecha con aceleración "a2", la distancia recorrida hasta que sea impactado por el proyectil es: 2

2 a

xa = x1 + x2 = 160 + ( 2000 - 1882 )

x1 xo ⇒

x1 = 160 m.

vo 45º

x2

xa = 278 m . c.) t1:tiempo para recorrer x1

t1 =

x1

xo

v − v a 0 − 20 = = 16 s. −1,25 a

t2 :tiempo para recorrer x2. t2 = 20 - 16 = 4 s. luego, ⇒

1 1 x 2 = v o(2) ·t 2 + ·a2 ·t 2 = 0 + ·a2 ·16 = 118 2 2 a2 = 14,75 m/s2

.

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4

EJEMPLO 4.

Un cañón está situado en lo alto de un arrecife a una altura de 400 pies. Dispara un proyectil con una velocidad de 786 pies/s haciendo un ángulo de 30º con la horizontal. Calcular el alcance (distancia horizontal desde el pié o base del arrecife) del cañón. Si un auto se dirige directamente al arrecife a una velocidad de 60 millas/hr a lo largo de un camino horizontal. ¿A qué distancia debe estar el auto del arrecife para ser impactado por el proyectil? ( 1 milla = 1609 m ; 1 pie = 30,48 cm ; g = 32,2 pies/s2. )

vo

SOLUCION. yo = 400 pies. y = 0 vo = 786 pies/s θ = 30º va = 60 millas/hr = 88 pie/s g = 32,2 pies/s.

30º

yo

va

x v o( y ) = v o sen 30º = 786 sen 30º = 393 pie / s 1 2 g·t 2 1 0 − 400 = 393·t − ·32,2· t 2 ⇒ 16,1t 2 − 393 t − 400 = 0 2 y − y o = v o( y ) · t −

t=

−( −393) ± ( −393)2 − 4·16,1·( −400) 2·16,1

luego,

( t = 25,39 s ; t = -0,98 s )

x = vx · t = vo cos 30º · t x = 786 cos 30º · 25,39

b.)

⇒

xa = va · t

⇒

x = 17282,9 pies.

= 88 (pies/s) · 25,39 s

⇒

xa = 2234,32 pies.

Luego, desde el arrecife debe estar a, x + xa = 17282,9 + 2234,32

=

19517,2 pies.

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EJERCICIOS PROPUESTOS.

1.)

Desde el borde de una mesa, se lanza horizontalmente un cuerpo A, con cierta velocidad inicial, y simultáneamente se deja caer desde el mismo punto un cuerpo B. ¿Cuál de los dos llega primero al suelo?

2.)

Una pelota sale rodando por el borde de una escalera con una velocidad horizontal de 1,08 m/s. Si los escalones tienen 18 cm de altura y 18 cm de ancho, ¿cuál será el primer escalón que toque la pelota? R: 2

3.)

Una piedra se lanza horizontalmente, a 8 m/s, desde un risco de 78,4 m de altura. ¿Cuán lejos de la base del risco caerá la piedra?. R: 31,7 m

4.)

Un puente tiene una altura de 176,4 m sobre un río. Si un pescador lanza un anzuelo con una pesa, a una velocidad horizontal de 22 m/s, ¿qué desplazamiento horizontal tendrá el anzuelo al caer al agua?

5.)

Un proyectil es lanzado horizontalmente desde una altura de 36 metros con velocidad de 45 m/s. Calcular: a) El tiempo que dura el proyectil en el aire. b) El alcance horizontal del proyectil. c) La magnitud de la velocidad que posee el proyectil al llegar al suelo. d) R: 2,68 [s] ; 120,7[m] ; 52,37[m/s]

6.)

Desde un bombardero que viaja con una velocidad horizontal de 420 km/hr a una altura de 3500 m se suelta una bomba con el fin de explotar un objetivo que está situado sobre la superficie de la Tierra. ¿Cuántos metros antes de llegar al punto exactamente encima del objetivo debe ser soltada la bomba, para dar en el blanco?. R: 3.086,7 m

7.)

a) Si un objeto, inicialmente en reposo, cae desde una altura de 490 m, ¿cuánto tiempo permanecerá en el aire? b) Si el objeto tuviera una velocidad horizontal de 200 m/s cuando comienza a caer, ¿cuál sería su desplazamiento horizontal antes de tocar el piso.?

8.)

Un carro de juguete inicialmente en reposo, que viaja sobre una mesa de 1225 m se cae al llegar al borde. Si el carro cae a 0,4 m de la base de la mesa, a) ¿cuánto tiempo le tomó caer al piso? b) ¿cuál era su velocidad horizontal?

9.)

Los clavadistas de Acapulco se lanzan desde un risco, a una altura de 61[m] sobre el mar. Si hay rocas en el agua hasta una distancia de 23[m] de la base del risco, ¿cuál es la velocidad horizontal mínima que deben tener los clavadistas al lanzarse al agua para no chocar con las piedras? R: 6,53 m/s.

10.) Un cazador acostado en el suelo, lanza una flecha con un ángulo de 60° sobre la superficie de la Tierra y con una velocidad de 20 m/s . Calcular: a) Altura máxima que alcanza la flecha. b) Tiempo que dura la flecha en el aire. c) Alcance horizontal de la flecha. d) R: 15,3 m ; 3,53 s ; 35,34 m 11.) Un bateador golpea la pelota con un ángulo de 35° y le proporciona una velocidad de 18 m/s. a) ¿Cuánto tarda la pelota en llegar al suelo? b) ¿A qué distancia del bateador cae la pelota? R: 2,06 s ; 30,44 m Módulo.04-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z-2009

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12.) Un jugador de tejo lanza el hierro con un ángulo de 18° y cae en un punto situado a 18 [m] del lanzador. ¿Qué velocidad inicial le proporcionó al tejo?. R:17,51 m/s 13.) ¿Con qué ángulo debe ser lanzado un objeto para que el alcance máximo sea igual a la altura que alcanza el proyectil?. R: 75,96° 14.) Un bateador golpea una pelota con un ángulo de 35° y es recogida 6 s más tarde. ¿Qué velocidad le proporcionó el bateador a la pelota?. R: 51,25 m/s 15.) Calcular el ángulo con el cual debe ser lanzado un proyectil para que el alcance sea máximo. R: 45° 16.) Un motociclista desea atravesar un riachuelo de 12 m de ancho, utilizando la pequeña pendiente (aproximadamente 15º ) que hay en una de las orillas. a) ¿Qué velocidad debe llevar la moto en el instante en que salta?. R: 15,33 m/s 2 b) Si la moto se acelera a razón de 1,2 m/s , ¿qué distancia debe impulsarse para saltar con la velocidad justa? R: 97,9 m 17.) Un proyectil se dispara a un ángulo tal, que la componente vertical de la velocidad inicial es de 49 m/s. La componente horizontal de la velocidad inicial es de 61 m/s. a) ¿Cuánto tiempo permanecerá en el aire el proyectil? b) ¿Qué distancia horizontal recorrerá? c) ¿Cuál será la velocidad inicial del proyectil? d) R: 9,8 s ; 597,8 m; 78 m/s 39° sobre la horizontal. 18.) Un cuerpo, con una rapidez inicial de 40 m/s, se proyecta hacia arriba desde el nivel del piso, con un ángulo de 50º con la horizontal. (a) ¿Cuánto tiempo transcurrirá antes de que el cuerpo golpee el suelo? (b) ¿,A qué distancia del punto de partida golpeará el suelo? (c) ¿Cuál será el ángulo con la horizontal con el cual se realizará el choque? R. (a) 6,3 s; (b) 161 m; (c) 50º. 19.) Un cazador apunta a una ardilla que se encuentra en la rama de un árbol. En el momento que él dispara su rifle, la ardilla se deja caer de la rama. Demostrar que la ardilla no debió moverse si deseaba seguir viviendo. 20.) Un aeroplano vuela horizontalmente a una altura de 1 km y con una velocidad de 200 km/h. Deja caer una bomba que debe caer en un barco que viaja en la misma dirección a una velocidad de 20 km/h. Demostrar que la bomba debe dejarse caer cuando la distancia horizontal entre el aeroplano y el barco es de 707 m. Resolver el mismo problema para el caso en el cual el barco se está moviendo en la dirección opuesta. 21.) Un astronauta sobre un planeta extraño encuentra que puede saltar una distancia horizontal máxima de 15 m si su rapidez inicial es 3 m/s. ¿Cuál es la aceleración de caída libre sobre el planeta?. R : 0, 6 m /s2 22.) Un proyectil se dispara de tal manera que su alcance horizontal es igual a tres veces su máxima altura. ¿Cuál es el ángulo de disparo?. R: 53,1º 23.) Un bombero a 50 m de un edificio en llamas dirige el chorro de agua de una manguera a un ángulo de 30° sobre la horizontal, como se muestra en la figura. Si la rapidez inicial de la corriente es 40 m/s, ¿a qué altura el agua incide sobre el edificio?. R: 18,7 m.

h

G vi

θi

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d

7

24.) Un cañón que tiene una velocidad de orificio de 1000 m/s se usa para iniciar una avalancha sobre la pendiente de una montaña. El blanco se encuentra a 2000 m del cañón horizontalmente y a 800 m sobre el cañón. ¿A qué ángulo, sobre la horizontal, debe dispararse el cañón?. R: 22,4º ó 89,4º 25.) Se lanza una pelota desde la ventana del piso más alto de un edificio. Se da a la pelota una velocidad inicial de 8 m/s a un ángulo de 20° bajo la horizontal. La pelota golpea el suelo 3 s después. a) ¿A qué distancia horizontal, a partir de la base del edificio, la pelota golpea el suelo? b) Encuentre la altura desde la cual se lanzó la pelota. c) ¿Cuánto tiempo tarda la pelota para alcanzar un punto 10 m abajo del nivel de lanzamiento?. R: 22,6 m , 52,3 m , 1,18 s. 26.) Un jugador de tenis parado a 12,6 m de la red golpea la bola a 3° sobre la horizontal. Para librar la red la pelota debe elevarse al menos 0,330 m. Si la pelota apenas libra la red en el punto más alto de su trayectoria, ¿cuán rápido se estaba moviendo la bola cuando ésta dejó la raqueta?. R: 48,6 m/s 27.) Una estrategia en las guerras con bolas de nieve es lanzar una primera bola a un gran ángulo sobre el nivel del suelo. Mientras su oponente está viendo esta primera bola de nieve, usted lanza una segunda a un ángulo menor y cronometrada para que llegue a su oponente, ya sea antes o al mismo tiempo que la primera. Suponga que ambas bolas de nieve se lanzan con una rapidez de 25 m/s. La primera se lanza a un ángulo de 70º respecto de la horizontal. a.) ¿A qué ángulo debe lanzarse la segunda para llegar al mismo punto que la primera?. b) ¿Cuántos segundos después debe lanzarse la segunda bola para que llegue al blanco al mismo tiempo que la primera?. R: a) 20º , b) 3,05 (s) 28.) Un obús de artillería se dispara con una velocidad inicial de 300 m/s a 55° sobre la horizontal. Explota sobre una ladera 42 s después del disparo. ¿Cuáles son las coordenadas x e y del obús donde éste explota, en relación con su punto de disparo?. R: x = 7230 m , y = 1680 m 29.) En la figura se muestra un barco enemigo que está en el lado oeste de una isla montañosa. El barco enemigo puede maniobrar hasta 2500 m de distancia de la cima del monte de 1800 m de altura y puede disparar proyectiles con una rapidez inicial de 250 m/s. Si la orilla oriental de la playa se encuentra horizontalmente a 300 m de la cima ¿cuáles son las distancias desde la orilla oriental a las cuales un barco puede estar fuera del alcance del bombardeo de la embarcación enemiga?. R: 3480 m < d < 270 m

vi = 250 m/s G

vi

1800m

θHθL

2500m

300m

BIBLIOGRAFIA: ƒ Física general, FREDERICK J. BUECHE. ƒ Física, Tomo I, RAYMOND A. SERWAY.

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MODULO DE FISICA Nº5 DINAMICA DE LA PARTICULA PROF. EUGENIO CONTRERAS Z. UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE FAC. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS PROSECUCIÓN DE ESTUDIOS.

™ INTRODUCCION: En los módulos anteriores, relativo a la cinemática, discutimos los elementos que intervienen en la “descripción” del movimiento de una partícula. Ahora veremos la razón por la cual las partículas se mueven de la manera en que lo hacen. ¿Por qué los cuerpos cerca de la superficie de la tierra caen con aceleración constante?. ¿Por qué la tierra se mueve alrededor del sol en una órbita elíptica?. ¿Por qué los átomos se unen para formar moléculas?. ¿Por qué oscila un resorte cuando se le estira y luego se le suelta?. Quisiéramos comprender estos y otros movimientos que observamos continuamente a nuestro alrededor. Esta comprensión es importante no solamente desde el punto de vista del conocimiento básico de la naturaleza, sino también desde el punto de vista de la ingeniería y las aplicaciones prácticas. La comprensión de cómo (¿por qué?) se producen los movimientos nos capacita para diseñar máquinas y otros instrumentos prácticos que se mueven en la forma que nosotros deseamos. El estudio de la relación entre el movimiento de un cuerpo y las causas de este movimiento se denomina dinámica. Por nuestra experiencia diaria sabemos que el movimiento de un cuerpo es un resultado directo de sus interacciones con otros cuerpos que lo rodean... Las interacciones se describen convenientemente por un concepto matemático denominado fuerza. El estudio de la dinámica es básicamente el análisis de la relación entre la fuerza y los cambios en el movimiento de un cuerpo. Las leyes del movimiento que presentamos en la siguiente discusión son generalizaciones que resultan de un análisis cuidadoso de los movimientos que observamos alrededor nuestro y la extrapolación de nuestras observaciones a ciertos experimentos ideales o simplificados. En muchos casos observamos el movimiento de solamente una partícula, ya sea porque no tenemos manera de observar las otras partículas con las cuales interactúa o porque las ignoramos a propósito. Por tanto, nos limitaremos a la observación de una sola partícula, reduciendo sus interacciones con el resto del universo a un solo término que hemos ya llamado fuerza. En esta situación es algo difícil usar el principio de conservación del momentum. Sin embargo, hay una manera práctica de resolver esta dificultad, introduciendo el concepto de fuerza. La teoría matemática correspondiente se denomina dinámica de una partícula. Etimológicamente, dinámica viene del griego "dinamos" que significa "fuerza". ™

CONCEPTO DE FUERZA:

En todas las situaciones relacionadas con el concepto de fuerza, hay un objeto que ejerce una fuerza sobre otro objeto: un objeto empuja a otro, tira de él, lo atrae, lo repele, lo impulsa, lo frena, etc. La fuerza es "un tipo de acción que un cuerpo ejerce sobre otro". Esto quiere decir que, cuando se habla de la existencia de una fuerza, debemos suponer la presencia de dos cuerpos: habrá un cuerpo que ejercerá la fuerza y otro cuerpo que recibirá la acción de la fuerza. Es decir, debe haber un cuerpo que atrae y otro que es atraído; un cuerpo que empuja y otro que es empujado, etc. En otras palabras, si observamos que sobre algún cuerpo está actuando una fuerza, entonces podemos predecir que, en algún lugar, hay otro cuerpo - u otros cuerpos - que constituye el origen de esa fuerza. De lo anterior se desprende que, "un cuerpo no puede ejercer fuerza sobre sí mismo". ¿Usted se puede elevar tirando de sus cabellos? Módulo.05-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

1

También se debe destacar que toda fuerza siempre es ejercida en una determinada dirección: puede ser hacia arriba o hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha, hacia adelante o hacia atrás, formando un ángulo con la vertical o con la horizontal, etc. Por este motivo es que la fuerza se puede representar gráficamente por un vector. Recordemos que un vector se representa gráficamente por una flecha. En esta representación, el vector proporciona una doble información. Por una parte, su orientación indica la dirección en la que se está ejerciendo la fuerza, y su longitud representa su magnitud. Esto significa que si queremos representar dos fuerzas de igual magnitud, se deben dibujar ambos vectores con igual longitud. A su vez, un vector más largo representa una fuerza mayor y un vector más corto representa una fuerza más débil. Al representar gráficamente una fuerza, es conveniente guiarse por la siguiente convención: "El vector que representa una fuerza se dibuja a partir del cuerpo que recibe la acción de la fuerza y en la dirección en que la fuerza es ejercida". De esta manera, la representación no sólo informa acerca de la dirección y la magnitud de la fuerza, sino que también indica al cuerpo sobre el cual está actuando la fuerza. ™

EFECTOS DE UNA FUERZA:

Una fuerza al actuar sobre un cuerpo, puede producir los siguientes efectos: a.) b.)

"Puede producir deformaciones en el cuerpo." El cuerpo se dobla, se rompe, se estira, se contrae, etc. "Puede producir cambios en el movimiento que tiene el cuerpo." Una fuerza puede poner en movimiento a un cuerpo que está en reposo, o detener un cuerpo que está en movimiento. Puede aumentar o disminuir la velocidad, o puede cambiar la dirección en que se está moviendo.

Consideremos ahora una situación en la que algunas fuerzas actúan simultáneamente sobre un objeto. En este caso, el objeto acelera sólo si la fuerza neta que actúa sobre él es diferente de cero ( fuerza no balanceada ). Si la fuerza neta es cero, la aceleración será cero y la velocidad del objeto permanecerá constante. Es decir, si la fuerza neta ( o resultante) que actúa sobre el objeto es cero, éste permanece en reposo o continúa moviéndose con velocidad constante. Cuando la velocidad de un cuerpo es constante o cuando el cuerpo está en reposo, se dice que está en equilibrio. La explicación de lo anterior tiene su fundamentación teórica en las “Leyes del movimiento de Newton”. ™

PRIMERA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON ( O PRIMER PRINCIPIO DE NEWTON O LEY DE INERCIA).

Históricamente, el Principio de Inercia fue introducido por el físico italiano Galileo Galilei (1564 - 1642) y enunciado luego, en una versión más precisa, por el físico y matemático inglés Isaac Newton (1643 1727). Anteriormente a Galileo, prevalecía la idea de que todo cuerpo sobre el que no actúan fuerzas inevitablemente terminaba por detenerse. El Principio de Inercia altera sustancialmente esta concepción al afirmar que " "Todo cuerpo tiende a mantener su estado de movimiento con velocidad constante, o permanecer en reposo si el cuerpo se encuentra inicialmente en ese estado, a menos que una fuerza lo saque de ese estado". Ejemplo: Un ascensor cuelga de un cable de acero. Supongamos que el roce es despreciable. En tal caso, sobre el ascensor actúan sólo dos fuerzas: una hacia abajo (su peso) y una hacia arriba (la que ejerce el cable). Módulo.05-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

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Si el ascensor está subiendo con velocidad constante, podremos afirmar, con toda seguridad, que ambas fuerzas deben ser de igual magnitud ya que, para que la velocidad sea constante, las fuerzas que actúan sobre el ascensor deben contrarrestarse exactamente entre sí. ™

SEGUNDA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON ( O SEGUNDO PRINCIPIO DE NEWTON).

Newton fue el primero en reconocer que una fuerza no balanceada ( no cero ) causa, no sólo movimiento, sino la aceleración del objeto sobre el cual actúa. Newton formuló , entonces, su segunda ley del movimiento: "Cuando una fuerza no balanceada actúa sobre un objeto, este se acelera. La aceleración varía directamente con la fuerza aplicada no balanceada y tendrá la misma dirección que esta. La aceleración varía inversamente con la masa del objeto". ( Este enunciado de la ley es válido sólo cuando la velocidad de la partícula es mucho menor que la velocidad de la luz, es decir, considerando la masa constante) G G G K G G Fneta ∑ F a= = Matemáticamente esto significa que: Fneta = ∑ F = m • a ⇒ m m Para una masa, que pueda o no variar producto de su movimiento, Newton expresa que la fuerza que G G actúa sobre un cuerpo, es igual a la rapidez con que cambia la cantidad de movimiento ( p = m·v ) de un G dpG G d = (mv ) cuerpo, es decir: F = dt dt G G dpG G G d dv Si “m” es constante, se demuestra que F = = (mv ) = m· = m·a dt dt dt

Unidades de fuerza. •

m

[F] = kg· s2

Sistema internacional (S.I. o M.K.S.)

= 1[Newton] = 1[N]

Def: 1N es la fuerza necesaria para que la masa de 1 kg. adquiera una aceleración de 1 m/s2. •

•

•

cm

[F] = g· s2

Sistema cegesimal o C.G.S..

= 1[ dina]

Def. 1 dina es la fuerza necesaria para que la masa de 1gr. adquiera una aceleración de 1 cm/s2. G pie Sistema inglés. [F] = slug· s2 = 1[libra − fuerza] = 1⎡⎣lb ⎤⎦ Def. 1 libra-fuerza es la fuerza necesaria para que la masa de 1 slug adquiera una aceleración de 1 pie/s2. G G K Otras unidades: 1kilogramo − fuerza(kg) = 1kilopondio(kp) = 1000gr Equivalencias: 1 N = 105 dinas = 0,225 lbf

1kgf = 9,8 N

EJEMPLO 1: Un cuerpo de 0,5 kg de masa se desliza sobre una superficie horizontal sin roce, bajo la acción de las fuerzas F1= 6N y F2 = 4N, como lo muestra la figura. Determine el vector aceleración del cuerpo.

SOLUCION. ∑ Fx = F1x + F2x = F1 cos 40º +F2 cos 30º = 6 cos 40 + 4 cos 30 = 8,06 (N)

∑F

y

G F1

y

40º 30

G F2

x

= F1y − F2y = F1sen40º −F2 sen30º = 6sen40 − 4sen30 = 1,86(N)

La magnitud de la fuerza neta es: Si F = m·a ⇒ a =

F 8,27 = m 0.5

G F = F = Fx2 + Fy2 = 8,062 + 1,862 = 8,27 (N) ⇒

a = 16,54(m / s2 )

Módulo.05-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

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La dirección de la aceleración es la misma de la fuerza neta; entonces respecto al eje "x" positivo es: ⎛ Fy ⎞ ⎛ 1,86 ⎞ θ = tg−1 ⎜ ⎟ = tg−1 ⎜ ⎟ = 13º . ⎝ 8,06 ⎠ ⎝ Fx ⎠ G Entonces la aceleración de la masa en coordenadas polares es: a = (16,54m / s2 ;13º ) G G F Fx ˆi + Fy ˆj 8,06iˆ + 1,86ˆj En coordenadas rectangulares: a= = = = (16,12iˆ + 3,72ˆj) (m / s2 ) m 0.5 0,5 Otra forma de resolver el problema, es determinando la aceleración que experimenta separadamente cada una de la fuerzas para luego hacer la suma vectorial de ellas. Hágalo y compruebe el resultado. ™

SEGUNDA LEY DEL MOVIMIENTO APLICADA AL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.

Una partícula que se mueve con MCU experimenta una aceleración centrípeta, radial o normal de la v2 forma, , donde "v" corresponde a la velocidad tangencial. ac = r

Si se ata a un cordel una masa "m" y se hace rotar con una rapidez tangencial constante, la trayectoria que describe se debe a que a lo largo de la cuerda se ejerce una fuerza hacia el centro de rotación, llamada "fuerza centrípeta", donde por la segunda ley de newton se tiene que: v2 Fc = m·ac = m· r Por ejemplo: • Para un satélite que gira en torno a la Tierra: Fc = Fg (fuerza centrípeta = fuerza de gravedad) • Para un auto en una curva: Fc = FR (fuerza centrípeta = fuerza de roce neumático-pavimento) EJEMPLO 2.

Una bola de 0,5 kg de masa está unida al extremo de una cuerda de 1,2 m de longitud. La cuerda soporta una tensión máxima de 40 N, ¿cuál es la máxima velocidad que la bola puede alcanzar antes de que la cuerda se rompa, si el movimiento de la bola describe una circunferencia?. v2 T·r ⇒ v= = En este caso Fc = T = m r m

40·1,2 0,5

T ⇒

v = 9,8 (m/s)

Cuando el movimiento circular es no uniforme, es decir varía el módulo de la velocidad tangencial, existe una aceleración tangencial y por lo tanto una fuerza tangencial (Ft) que actúa en la dirección de la aceleración tangencial ( por segunda ley de Newton). K K K Entonces en este caso la fuerza total ejercida sobre la partícula es F = Fc + Ft ™

TERCERA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON ( O TERCER PRINCIPIO DE NEWTON O PRINCIPIO DE ACCION Y REACCION).

"Cuando dos cuerpos interactúan, la fuerza ejercida sobre el cuerpo 1 por el cuerpo 2 es igual y opuesta a la fuerza ejercida sobre el cuerpo 2 por el cuerpo 1." G G G G F21 F12 F12 = −F21 Es decir:

1

2

De acuerdo con esta ley, las fuerzas ocurren siempre en pares, es decir, una fuerza individual no puede existir por sí sola. La fuerza que ejerce el cuerpo 1 sobre el cuerpo 2 se conoce como fuerza de acción, en tanto que la fuerza que ejerce el cuerpo 2 sobre el cuerpo 1 recibe el nombre de fuerza de reacción. Módulo.05-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

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En general, cualquier fuerza puede ser de acción como también de reacción. La fuerza de acción es igual en magnitud a la fuerza de reacción y opuesta en dirección. En todos los casos, las fuerzas de acción o de reacción actúan sobre objetos diferentes. ™ a.)

TIPOS DE FUERZAS IMPORTANTES:

G El Peso de un cuerpo ( P ):

Como bien sabemos, todos los cuerpos situados en la superficie de la Tierra son atraídos por ella. En verdad, la fuerza de atracción que ejerce la Tierra actúa no sólo sobre los objetos situados en la superficie del planeta, sino que a todo el espacio, aunque su acción se debilita a medida que nos alejamos. Sin embargo, ahora nos preocuparemos únicamente en la fuerza que el planeta ejerce sobre los objetos situados sobre la superficie o muy cerca de ella, a la que le daremos el nombre de Peso. "Llamamos peso de un cuerpo a la fuerza con que la Tierra atrae a este cuerpo cuando él se encuentra situado en la superficie del planeta o muy cerca de el". Características del Peso de un cuerpo: a.)

El concepto de peso es aplicable sólo a objetos mucho más pequeño que la Tierra y situados en su superficie o muy cerca de ella.

b.)

El peso es una fuerza. No es, por lo tanto, una propiedad del cuerpo. Es una acción que ejerce la Tierra sobre el cuerpo, una atracción.

c.)

Esta fuerza que hemos llamado "Peso" está siempre dirigida hacia abajo, es decir, hacia el centro del planeta.

d.)

El peso es una fuerza ejercida por la Tierra, es decir, por el planeta en su conjunto, y actúa sobre el cuerpo.

e.)

Si bien el concepto de peso es aplicable sólo a objetos que están situados en la superficie de la Tierra, podemos , por generalización, hablar también del "peso de un cuerpo en la Luna" o del "peso de un cuerpo en un planeta". Operacionalmente, el peso de un cuerpo se define como: G G P = mg

donde: P : peso del cuerpo m : masa del cuerpo g : aceleración de gravedad.

Esta ecuación implica que el peso de un objeto es proporcional a su masa. Es decir, si un objeto tiene el doble de la masa de otro, su peso será también el doble. Pero no igual. Anteriormente se ha definido el peso de un cuerpo como la fuerza con que la Tierra atrae al objeto, es decir, tiene dirección hacia el centro del planeta. Puede ser representado por un vector. En cambio la masa está asociada a la cantidad de materia (número de protones y neutrones que contiene el cuerpo, la masa del electrón es mucho menor ya que es casi dos mil veces más pequeña, por lo cual prácticamente no influye), no está asociado a ninguna dirección. Si consideramos el viaje de un astronauta a la Luna, su masa allí será la misma que en la Tierra, ya que sigue siendo el mismo astronauta. Pero su peso será muy diferente. Su peso en la Luna corresponde a la fuerza con que la Luna ejerce sobre él. Y esta fuerza es aproximadamente un sexto de la fuerza con que la Tierra atraía al astronauta cuando estaba en la Tierra (la aceleración de gravedad en la Luna es aproximadamente 1/6 de la gravedad en la Tierra, a mayor distancia del centro de la Tierra, la aceleración de gravedad disminuye) . La masa no ha variado, pero sí el peso. Módulo.05-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

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K b) La fuerza normal ( N ):

Es la fuerza ejercida por una superficie sobre un cuerpo que se encuentra apoyado en ella. Esta fuerza es consecuencia del principio de acción y reacción. La no existencia de esta fuerza supone que el cuerpo se hunde. La fuerza normal o simplemente normal se representa por medio de un vector dirigido perpendicularmente a la superficie de contacto. K c.) La fuerza tensión ( T ):

Es la fuerza ejercida por una cuerda, considerada de masa despreciable e inextensible, sobre un cuerpo que está ligado a ella. La fuerza tensión o simplemente tensión, se representa con un vector dirigido a lo largo de la cuerda. Ejemplos: En las siguientes situaciones se muestran dibujadas las fuerzas peso, normal y tensión. G N G N

G N1

G N2

K T

G P

Cuerpo sobre dos planos inclinados

d.)

G P

G P

G P Cuerpo sobre un plano inclinado

Cuerpo sobre una superficie horizontal

G N

Cuerpo suspendido de un hilo atado en una superficie horizontal

La fuerza de roce o fricción (Fr):

Un tipo común de este tipo de fuerza se produce cuando tratamos de deslizar una superficie sobre otra. La fuerza que frena al automóvil es el roce de los neumáticos contra el pavimento. La fricción se debe a las irregularidades de las superficies de los objetos que se deslizan. Hasta las superficies más pulidas presentan irregularidades microscópicas que obstruyen el movimiento. Si no existiese la fricción, los objetos en movimiento seguirían moviéndose indefinidamente sin necesidad de que interviniera una fuerza adicional. El roce tiene una extraordinaria importancia práctica. Los ingenieros están en permanente contacto con esa fuerza y hacen lo imposible para disminuir el roce en algunos casos, o aumentarlo en otros casos. Es importante que cuando se desee dibujar una fuerza de roce, se debe considerar que ésta es siempre opuesta a la dirección del movimiento. Es decir, la fuerza de roce se opone al movimiento. Galileo mostró que sólo cuando hay fricción - lo que ocurre en la mayoría de los casos - se requiere una fuerza para mantener un objeto en movimiento. Supongamos un cuerpo de masa “m” apoyado sobre una superficie horizontal rugosa. G se equilibra con la reacción Estando en reposo, el peso mg G G normal N . Si ejercemos una pequeña fuerza F tangencial a la superficie de contacto, se observa que el cuerpo continúa en reposo. G G G Esto quiere decir que debe haber otra fuerza fs (además de N , mg G y F ) que es responsable de que la velocidad sea nula. G G G G G Así: mg + N + F + fs = 0 G G G G G Si mg +N = 0 , se tiene que fs = - F Módulo.05-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

G G v =0 G fs

G N

G F

G mg

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G G Esta fuerza fs no puede ser modificada independientemente de F , sino que en todo momento depende G G de la fuerza externa F aplicada. Esta fuerza fs tiene relación con las rugosidades de las superficies de contacto y se llama fuerza de roce estático. G Todo esto vale hasta un cierto límite máximo del módulo de fs y se ha comprobado experimentalmente G G que ha partir de ese límite fs cambia bruscamente a un valor menor fk , poniéndose el cuerpo en G movimiento. A esta fuerza fk que actúa cuando el cuerpo está en movimiento se la llama fuerza de roce cinético. La dirección de la fuerza de roce cinético y estático es siempre tangente a la superficie de contacto y el sentido es siempre opuesto al movimiento, o posible movimiento. Experimentalmente se ha determinado que :

•

• • •

e.)

El módulo de la fuerza de roce estático es fS ≤ µS ·N en que “µS “ es el coeficiente de roce estático; el valor de fS < µS ·N depende solo de las componentes tangenciales de las fuerzas externas aplicadas. Si fS = µS ·N el cuerpo está a punto de iniciar su movimiento y su valor depende de µS y de las componentes perpendiculares a la superficie de contacto de las fuerzas externas aplicadas al cuerpo. El módulo de la fuerza de roce cinético es fk = µk ⋅ N en que µk < µS es el coeficiente de roce cinético. El valor del módulo de fk está determinado por µk y por las componentes perpendiculares a la superficie de contacto de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo. El coeficiente de roce estático depende de la naturaleza de las superficies pero es independiente del área de contacto. El coeficiente de roce cinético depende de las velocidades relativas de las superficies en contacto, pero permanece constante para velocidades comprendidas entre 0,01[m/s] y 20[m/s], aproximadamente. Fuerza restauradora elástica:

Todo resorte que se estira o se comprime desde su posición de equilibrio mediante una fuerza externa F, ejerce una fuerza contraria F’, llamada fuerza restauradora o fuerza elástica. Esta fuerza es de la forma F’ = -k · x . donde k : constante elástica del resorte x : posición del bloque en cualquier momento respecto a su posición de equilibrio, es decir, es el valor de la compresión o elongación.

™

PROCEDIMIENTO DE SOLUCION DE PROBLEMAS DE APLICACION

Para solucionar problemas que involucren distintos tipos de fuerzas, es recomendable seguir el siguiente procedimiento. a.) Hacer diagrama de cuerpo libre (DCL) para cada uno del o los cuerpos que existan. Esto significa dibujar todas las fuerzas que puedan actuar (peso, normal, tensión, fuerza de roce y otras). b.) Se dibuja un sistema de coordenadas cartesianas (x,y) con origen en el centro del cuerpo, el eje "x" se considera paralelo al plano de movimiento (si este es horizontal o inclinado) y el eje "y" en la dirección de la fuerza normal (si el cuerpo está sobre un plano) o simplemente en la vertical si el cuerpo se mueve en esta dirección. c.) Se calculan las componentes rectangulares de todas las fuerzas que existen en cada uno de los cuerpos. Módulo.05-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

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d.) Para encontrar la fuerza resultante (F = m⋅a) se suman las fuerzas en cada uno de los ejes, teniendo en cuenta que las fuerzas son positivas cuando están en la dirección del semieje positivo y son negativas cuando tienen la misma dirección del semieje negativo. También es posible considerar fuerzas positivas, a aquellas que están en la dirección del movimiento, y negativas las que se oponen. Esto se realiza para cada cuerpo por separado. Por ejemplo, si un cuerpo se mueve con aceleración en la dirección del semieje "x" positivo, la suma de sus fuerzas en este eje será igual a "m⋅a" ( ΣFx = m ⋅ a ), en cambio la suma de las fuerzas en el eje "y" será cero ( ΣFy = 0 ). Realizando esta actividad se encontrarán el doble de ecuaciones para un cierto número de cuerpos. Por ejemplo si son 2 cuerpos, se obtienen 4 ecuaciones. e.) A través del desarrollo del conjunto de ecuaciones encontradas es posible encontrar la solución al problema planteado. EJEMPLO 3: A

En la figura se muestra una cuerda que está sujeta en un extremo a un bloque de 0,4 kg. y en el otro a una masa colgante de 0,2 kg. La cuerda pasa por una polea sin masa ni fricción y los coeficientes de fricción son µs = 0,4 y µk = 0,2. a.) ¿Qué implica que la polea no tenga masa ni fricción? R.: No se requiere fuerza para que gire la polea y su único objetivo es cambiar la dirección de la fuerza tensión en la cuerda.

B

b.) ¿Qué se requiere para iniciar el movimiento del bloque? R.: Debe ocurrir que la fuerza tensión ejercida por la cuerda sobre el bloque, debe ser mayor o a lo menos igual que la fuerza crítica de la fuerza de roce estática fs. c.) ¿Qué determina el valor de la tensión en la cuerda? R.: Es determinada por la aplicación de la segunda ley del movimiento de Newton, tanto al bloque como a la masa colgante. Note que la cuerda obliga a ambos a moverse juntos y, por consiguiente, debe tener la misma magnitud de aceleración cuando se mueven. d.) ¿Es igual la fuerza tensión en los dos extremos de la cuerda? R.: Si, siempre y cuando la polea no tenga masa ni roce. En esta situación podemos ver que las dos fuerzas de tensión son iguales en virtud a la tercera ley de Newton. En el capítulo de dinámica del cuerpo rígido se analizará el caso de poleas “reales”. N T e.) Haga diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo. A fR R.: se muestra en figura. f.) ¿Qué ecuaciones se obtienen al aplicar al bloque la segunda Ley? R.: Considerando el diagrama de cuerpo libre de (e), ΣFy = N – mAg = mA · a = 0 ⇒ N = mA g = 0,4 kg · 9,8 m/s2 = 3,92 Nt. Σ Fy = T – fR = mA · a = 0,4kg · a

mAg

T

B

mBg

g.) ¿Qué ecuaciones se obtienen al aplicar a la masa colgante la segunda Ley? R.: Considerando el diagrama de cuerpo libre de (e), Σ Fx = 0 ΣFy = mBg – T = mB · a ⇒ 0,2 kg · 9,8 m/s2 - T = 0,2 kg · a Note que en (f) y (g) se consideró los vectores fuerza positivos, en la supuesta dirección del movimiento. Módulo.05-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

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h.) ¿Cuál sería la tensión en el caso estático? R.: Tomando la ecuación de (g) con a = 0,

T = 0,2 kg · 9,8 m/s2 = 1,96 Nt.

i.) ¿Cuál es la fuerza roce crítica? R.: La fuerza de roce crítica ocurre cuando el bloque está a punto de ponerse en movimiento, y esto sucede cuando fR = fs = µs · N , ( aquí fs toma su máximo valor y cambia a fk ) Luego, fs = 0,4 · 3,92 Nt = 1,568 Nt. j.) Si el sistema se inicia del reposo, ¿comenzará a moverse?. R.: Al analizar las ecuaciones de (f) se llega a la conclusión que para que el sistema se ponga en movimiento, debe ocurrir que la tensión ( 1,96 Nt ) sea mayor a la fuerza de roce estático ( 1,568 Nt). Como esto es verdadero, entonces sí se pone en movimiento. k.) Bajo las condiciones del problema, ¿cómo es posible que al soltar la masa colgante el sistema no se ponga en movimiento?. R.: Basta aplicar una fuerza igual a 0,392 Nt, en la dirección de la fuerza de roce. l.) Si el bloque se pone en movimiento, ¿cuál es su aceleración?. R.: En este caso la fuerza roce cambia a una fuerza roce cinética, de forma que fR = fk = µk · N = 0,2 · 3,92 Nt = 0,784 Nt. Esta fuerza de roce es menor a la fuerza de roce estática. Además, “a” es distinta de cero y “T” no será igual al peso de la masa colgante. de (f) Σ Fy = T – fk = mA · a de (g) Σ Fy = mBg – T = mB · a Sumando ambas ecuaciones y despejando “a”, se llega a: a=

mBg − fk 0,2·9,8 − 0,784 = m A + mB 0,4 + 0,2

⇒

a = 1,96 (m/s2)

EJEMPLO 4:

Sobre un plano inclinado que forma un ángulo θ respecto a la horizontal, se sitúan dos cuerpos tal como se muestra en la figura. Sabiendo que las masas de dichos cuerpos son m1 y m2 y que sus coeficientes de rozamiento con el suelo valen µ1 y µ2, con µ1 > µ2, determine: a.) La fuerza de contacto entre ambos cuerpos. b.) ¿Qué sucede con la fuerza de contacto si µ1 = µ2? c.) Valor mínimo de θ para que se inicie el movimiento.

2 1

θ N1 F21

SOLUCION: a.) Para la masa 1: Llamaremos F21 a la fuerza de contacto que la masa 2 hace sobre la 1.

1

θ

m1g N1

Haciendo el diagrama de cuerpo libre respectivo y escribiendo las ecuaciones dinámicas, se tiene: ΣFx = F21 + m1gsenθ - fR1 = m1·a ΣFy = N1 – m1gcosθ = 0 Pero fR1 = µ1·N1 = µ1 m1gcosθ

(1) (2) (3)

Colocando (3) en (1): F21 + m1gsenθ - µ1 m1gcosθ = m1·a (4) Módulo.05-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

fR1

F21 m1g

fR1

θ

9

Para la masa 2: Llamaremos F12 a la fuerza de contacto que la masa 1 hace sobre la 2. Haciendo el diagrama de cuerpo libre respectivo y escribiendo las ecuaciones dinámicas, se tiene: ΣFx = m2gsenθ - fR2 - F12 = m2·a ΣFy = N2 – m2gcosθ = 0 Pero fR2 = µ2·N2 = µ2 m2gcosθ

N2 f F12 R2 2

(5) (6) (7)

m2g

θ N2

Colocando (7) en (5): m2gsenθ - µ2 m2gcosθ - F12 = m2·a (8)

2

Pero las magnitudes de F12 = F21 = F, entonces despejando las aceleraciones de las ecuaciones (4) y (8) y luego haciendo la igualdad de ellas, se llega a:

m2g θ

fR2 F12

F/m1 + gsenθ - µ1 gcosθ = gsenθ - F/m2 - µ2 gcosθ F( 1/m1 + 1/m2 ) = ( µ1 - µ2 ) gcosθ

⇒

F = F12 = F21 =

m1·m2 ·g cos θ ·( µ1 − µ2 ) m1 + m2

b.) Si µ1 =µ2 , la fuerza de contacto se anula. c.) θ será mínimo si la aceleración es cero. Considerando las ecuaciones (4) y (8) con a = 0 y F12 = F21 = F, se tiene: F + m1gsenθ - µ1 m1gcosθ = 0 m2gsenθ - µ2 m2gcosθ - F = 0 Al sumar ambas ecuaciones:

m1gsenθ - µ1 m1gcosθ = m2gsenθ - µ2 m2gcosθ

gsenθ ( m1 + m2 ) = gcosθ ( µ1 m1 + µ2 m2 ) ⇒

⎛ µ1m1 + µ 2m2 ⎞ ⎟⎟ ⎝ m1 + m2 ⎠

θ = tg−1⎜⎜

EJEMPLO 5: A

Sabiendo que µk = 0,2 determine la aceleración de cada bloque, cuando los pesos de los bloques A, B y C son respectivamente 10 (lbf), 20(lbf) y 20 (lbf).

C

•

SOLUCION. Para la cuerda: xA + 2xB + xC + d = L d2 x = a A + 2aB + aC dt 2 (1) ⇒ a A + a C = 2 aB Para A:

B

NA fkA

ΣFx = T - fkA = mA·aA ΣFy = NA – mAg = 0 T - µK·mAg = mA·aA (2)

Para B:

ΣFy = 2T - mB g = -mB·aB

Para C:

ΣFx = fkC - T = - mC·aC ΣFy = NC – mCg = 0 µK·mCg - T = - mC·aC

A

xA

xC

T

T

NC C

fk

T

mAg (3)

T

T

xxB

mCg

• B

(4) mBg

Módulo.05-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

10

en (2):

T − 0,2 • 10 = T−

10 • aA g

10 • aA = 2 g

20 (a A + a C ) 2g

⇒

2T +

20 aC g

⇒

T−

en (3):

2T − 20 = −

en (4):

0,2 • 20 − T = −

(3') + (2'):

3T +

(5) - (4')*3: (6) en (4'): (7) en (2'):

10aC = 22 g

aA =

20 aC = 4 g

(3') (4')

⇒

a C = 4,57(pie / s 2 )

(6)

⇒

T = 6,86(lbf )

(7)

⇒

a A = 15,55(pie / s2 )

(8)

a A + aC 15,55 + 4,57 ⇒ = 2 2

a B = 10,06(pie / s 2 )

g( T − 2) 32 • ( 6,86 − 2) = 10 10 aB =

10a A 10aC + = 20 g g

(5)

70 10 • 32 aC = 10 ⇒ aC = g 70 20 20 • 4,57 + 4 aC + 4 = T= 32 g

(6) y (8) en (1): ™

(2')

EJERCICIOS PROPUESTOS.

1.- Un cuerpo de 12 kg cuelga de una cuerda que pasa por una polea sin rozamiento y está conectada a otro bloque de 8 kg, situado en una mesa pulida y horizontal. Determine la aceleración de los bloques y la tensión de la cuerda. R: 6 m/s2 , 48 N. 2.- Un objeto con una masa de 22,7kg se mueve sobre una superficie horizontal, a una velocidad constante. Si el coeficiente de roce cinético es de 0,32, ¿cuál es la magnitud de la fuerza de roce? R: 71,18 N. 3.- Un automóvil que corre por una autopista horizontal tiene una masa de 400 kg. El coeficiente de roce entre las ruedas y la autopista es de 0,19. ¿Qué aceleración producirá una fuerza horizontal de 2250 N.? R: 3,76 m/s2 4.- Se requiere una fuerza de 18N para mover un carro a una velocidad constante sobre una acera. Si el carro tiene un peso de 52 N, determine el coeficiente de fricción cinética entre la acera y el carro. R: 0,346 5.- Tomando como referencia el ejercicio anterior, suponga que la acera está mojada y que una persona con un peso de 650 N se sube sobre el carro. Si el coeficiente de fricción del vagón y la acera mojada es 0,25, ¿qué fuerza será necesaria para mover el vagón a velocidad constante?. R: 175,5 N. 6.- Un bloque de madera con un peso de 40 N, se coloca sobre la cubierta de una mesa de madera. Se requiere una fuerza de 14 N para mantener al bloque que se mueva a una velocidad constante. (a) Determine el coeficiente de fricción entre las superficies del bloque y la mesa. (b) Si se coloca una pesa de 20 N sobre el bloque, ¿qué fuerza se requerirá para mantener que el bloque y la pesa se muevan a una velocidad uniforme? R: 0,35 , 21 N. 7.- Se necesita una fuerza de 211 N paralela a un plano inclinado de 20° para subir un baúl de 325N, a una velocidad constante. Determine la fuerza de roce que actúa sobre el baúl y el coeficiente de roce entre ambas superficies. R: 99,84 N ; 0,32

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8.- Un bloque de 20 kg es arrastrado hacia arriba por un plano inclinado que forma un ángulo de 38°, el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el plano es de 0,02. Si se le aplica una fuerza paralela al plano de 200 N, calcule: (a) la fuerza normal ejercida por el plano, (b) la aceleración del bloque y (c) la velocidad del bloque después de haber recorrido 10 m, si parte del reposo. R:157,6N , 3,68 m/s2 , 8,57 m/s 9.- Un bloque se encuentra en reposo sobre un plano inclinado que forma un ángulo θ con la horizontal, µs = 0,7 y µk = 0,5. Si se aumenta el ángulo θ. (a) Calcule el ángulo mínimo para el cual el bloque se comienza a deslizar, (b) calcule para este ángulo la aceleración que experimenta el cuerpo una vez que comienza a deslizarse. R: 34,99°, 1,6 m/s2 10.- Dos bloques cuyas masas son 20 kg y 40 kg están ligados por una cuerda y se deslizan por un plano inclinado que forma un ángulo de 30° con la horizontal. El bloque de 40 kg se encuentra más próximo a la parte superior del plano. Si µk = 0,25 para el bloque de 20 kg y µk = 0,5 para el bloque de 40 kg, calcule la aceleración de los bloques y la tensión de la cuerda. R:1,36 m/s2 , 28,36N 11.- Dos bloques de masas m1 = 6 kg y m2 = 4 kg están sobre una mesa lisa, ligados por una cuerda. El cuerpo de masa m2 es empujado por una fuerza de 20 N. Calcule la aceleración de los bloques y la tensión de la cuerda que une los bloques. R: 2 m/s2 , 12 N.

m1

G F

m2

12.- Un bloque se desliza sobre un plano inclinado liso con aceleración de 6,4 m/s2. ¿Qué ángulo forma el plano con la horizontal? R: 40,77°. 13.- Un cuerpo de 6 kg de masa parte del reposo en el punto más bajo de un plano inclinado sin rozamiento, que forma un ángulo de 30°con la horizontal y tiene una longitud de 8 m. Alcanza el punto más alto a los 12 segundos. ¿Qué fuerza exterior paralela al plano se ha ejercido sobre el cuerpo? R: 37,4 N. 14.- De una cuerda que pasa a través de una polea cuelgan dos cuerpos de 60 kg y 100 kg de masa. Calcule la aceleración de los cuerpos y la tensión de la cuerda. R: 2,45m/s2 ; 735 N. 15.- Dos masas m1 = 20 kg y m2 = 30 kg descansan sobre una mesa horizontal sin rozamiento. Se aplica una fuerza de 50 N sobre la masa m1. Calcule: a) La aceleración de las masas. b) La fuerza resultante sobre la masa m1. c) La fuerza resultante sobre la masa m2. d) La fuerza de contacto entre las dos masas. R: 1 m/s2 , 20 N , 30 N , 30 N.

m1

G F

m2 m1

16.- Dos masas de 8 kg, están ligadas por una cuerda como lo indica la figura. La mesa está pulida y la polea no presenta rozamiento. Calcule: a.) la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda. R: 4,9 m/s2 , 39,2 N. b.) la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda, si ahora la mesa es rugosa con coeficiente de roce cinético 0,2. c.) En qué caso la aceleración del sistema es mayor. ¿Por qué?. 17.- Dos masas m1 = 40 kg y m2 =80 kg están ligadas por una cuerda como se ilustra en la figura. El plano inclinado forma un ángulo de 60° con la horizontal y la polea carecen de rozamiento. Calcule: a.) la aceleración de las masas y la tensión de la cuerda. R: 3,7 m/s2 , 488 N. b.) la aceleración de las masas y la tensión de la cuerda si el plano inclinado es rugoso de coeficiente de roce cinético 0,3. R: 3,27 m/s2 , 538,4 N Módulo.05-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

m2

m

m

m1

m2

60º

12

18.- Se conectan dos bloques de masas m y 4m por una cuerda ligera que pasa sobre una polea fija, como se muestra en la figura. La masa de 4m está sobre una superficie lisa horizontal y se empuja hacia la derecha por una fuerza de contacto F. a) ¿Para qué valor de F el sistema adquirirá una aceleración de 0.4g?. b) Encuentre la tensión en la cuerda cuando F tiene el valor determinado en a). c) ¿Qué sucede cuando F > 4mg?

M

4m

A

m

19.- Un hombre de 72 kg está parado sobre una balanza de resorte en un elevador. Partiendo desde el reposo, el elevador asciende alcanzando su velocidad máxima de 1,2 m/s en 0,8 s. El elevador se mueve con esta velocidad constante los siguientes 5 s. Entonces el elevador experimenta una desaceleración durante 1,5 s y llega al reposo. ¿Cuál es la lectura de la balanza a) antes de que el elevador comience a moverse; b) durante los primeros 0,8 s; c) cuando el elevador está viajando a velocidad constante, y d) durante el periodo de desaceleración? R: 706 N ; 814 N ; 706 N ; 648N 20.- Un bloque es comprimido contra una pared por una fuerza F, según muestra la figura de este problema. En las afirmaciones siguientes existe una equivocada. ¿Cuál es? G a) La pared ejerce sobre el bloque una reacción normal de igual magnitud fs y de sentido contrario a F. G G F b) Si el bloque permanece en reposo, existe una fuerza de fricción N estática que actúa sobre él, dirigida hacia arriba. c) Si el cuerpo permanece en reposo , podemos concluir que la fuerza de fricción estática de la pared sobre él, es mayor que el peso del bloque. d) Si el valor de F es nulo, no habrá fuerza de fricción de la pared sobre el G P bloque. e) Si el coeficiente de fricción entre la pared y el cuerpo es nulo, este último caerá, no importa cuán grande sea el valor de F. 21.- El sistema constituido por las masas mA y mB están unidos a los bloques de masa m , mediante cuerdas que pasan por poleas sin rozamiento, como lo muestra la figura. Si la aceleración que adquieren las masas “m” es “a” en sentido hacia arriba y considerando que las cuerdas son de masa despreciable e inextensibles: (m A + m B )(g − a) a.) Demuestre que el valor de las masas “m” es 2(a + g) b.) Si posteriormente se saca mB, demuestre que: g(m A − 2m) b1.) la aceleración del sistema es . mB 2m + m A b2) la tensión en las cuerdas es

m A (g − a) 2

mA m

m

22.- Tres bloques de masas m1 = 2 kg. , m2 = 3 kg. y m3 = 4 kg se encuentran en contacto entre si sobre una superficie horizontal con roce, como se muestra en la figura. Sobre el bloque m1 se aplica una fuerza horizontal F de magnitud 18N. Considerando que el coeficiente de roce cinético entre los bloques y la superficie es 0.1, determine: a.) la aceleración del bloque m2. b.) la fuerza que ejerce el bloque m2 sobre el bloque m3.

K F

m1

m2

m3

BIBLIOGRAFIA: ƒ Física general, FREDERICK J. BUECHE. ƒ Física, Tomo I, RAYMOND A. SERWAY. Módulo.05-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

13

MODULO DE FISICA Nº6 TRABAJO, POTENCIA Y ENERGIA PROF. EUGENIO CONTRERAS Z. UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE FAC. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS PROSECUCIÓN DE ESTUDIOS.

™ TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE. Consideremos un cuerpo de masa "m" que se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal, como se muestra en la figura. Al aplicar una fuerza constante F no balanceada que forma un cierto ángulo θ con la horizontal, el cuerpo experimentará un desplazamiento " d " hacia la derecha.

El trabajo realizado por una fuerza constante se define como el producto de la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento y la magnitud del desplazamiento.

F

θ d

F

Fy

θ

Fx

d De acuerdo a esta definición, la fuerza que produce el trabajo mecánico, en este ejemplo, corresponde a la componente horizontal Fx de la fuerza, luego: W = Fx d

W = F d cos θ

Como Fx = F cos θ , entonces

Esta expresión es equivalente al producto escalar ( producto punto ) de los vectores F y d , es decir,

W = F • d = Fdcos θ En general, el producto punto entre dos vectores es una cantidad escalar que tiene la forma, A • B = A B cos θ = A B cos θ

Demostración:

A = A x ˆi + A y ˆj + A zkˆ

Sea

B = B x ˆi + B y ˆj + B zkˆ

y

entonces: A • B = (A xB x )iˆ • ˆi + (A yB x )jˆ • ˆi + (A zB x )kˆ • ˆi + (A yB x )jˆ • ˆi + (A yB y )jˆ • ˆj + (A yB z )jˆ • kˆ + + (A zB x )kˆ • ˆi + (A zB y )kˆ • ˆj + (A zBz )kˆ • kˆ

Pero el producto de los vectores unitarios

ˆi • ˆi = ˆj • ˆj = kˆ • kˆ = 1

además,

ˆi • ˆj = ˆj • kˆ = ˆi • kˆ = 0

Luego,

A • B = (A xB x ) + (A yBy ) + (A zBz )

Esto es equivalente a establecer que

A •B

es una magnitud escalar igual al producto de la magnitud

de B y a la proyección de A sobre B . Observaciones: 1.-) Una fuerza F realiza trabajo cuando se cumplen las siguientes condiciones: ‰

El objeto debe experimentar un desplazamiento. Una fuerza no realiza trabajo si el objeto no se mueve. En la figura por ejemplo, las fuerzas peso y normal del cuerpo no realizan ningún desplazamiento vertical, por lo tanto no existe trabajo relativo a esas fuerzas.

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1

‰

La fuerza F aplicada debe tener una componente distinta de cero en la dirección del desplazamiento. Si la fuerza es perpendicular a la dirección del desplazamiento, el trabajo es cero ya que cos 90º = 0. En la figura el cuerpo se desplaza en forma horizontal y las fuerzas peso y normal son perpendiculares al desplazamiento

2.-) El trabajo neto sobre un sistema, equivale a la suma algebraica de todos los trabajos que realizan cada una de la fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Signo del trabajo. El signo del trabajo depende de la dirección de F respecto a d . ‰ ‰

W es positivo cuando el vector asociado con la componente F cos θ está en la misma dirección y sentido del desplazamiento. W es negativo cuando la componente F cos θ está en sentido contrario al desplazamiento.

Unidades de trabajo. SISTEMA

UNIDADES

UNIDAD COMBINADA

Internacional (S.I.)

Newton·metro (N·m)

Joule (J)

Cegesimal (C.G.S.)

dina · centímetro (dina·cm)

erg

Técnico gravitacional

kilopondio · metro ( Kpm) Kilogramo fuerza ·metro (kgm)

kpm kgm

Inglés británico

libra-fuerza · pie ( lbf pie ó lb·pie )

lbf pie ó lb·pie

EJEMPLO 1.

Un cajón de 48 kg de masa es arrastrado 8.0 metros por una rampa hacia arriba, mediante una cuerda cuya tensión es 540 N. El coeficiente de rozamiento cinético es µk = 0.4. Determinar: a.) el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el cajón. b.) El trabajo neto o total. SOLUCION. ‰

y

Fuerza normal (N)

x T

N

N = mg cos 30 = 48·10 cos 30 = 416 (N)

d

WN = N d cos 90º = 0 ‰

WT = T d cos 0º ‰

fk

Fuerza tensión (T)

⇒

WT = 540·8 · 1 = 4320 (J)

30º

mg

Fuerza de roce ( fk ) fk = µk·N = 0.4 · 416 = 166(N) WFk = fk·d cos 180 ⇒

WFk = 166 · 8 ·(-1) = -1328 (J)

‰

Fuerza peso ( mg ) Wmg = mg·d· cos 240 = 48 · 10 · 8 cos 240 = -1920 (J) Wmg = mg·d· cos 120 = 48 · 10 · 8 cos 120 = -1920 (J) Wmg = mgsen30 ·d· cos 180 = 48 · 10 sen30· 8 cos 180 = -1920 (J)

‰

El trabajo total es: WT = WN + WT + WFr + Wmg = 0 + 4320 - 1328 - 1920 = 1072 (J).

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2

EJEMPLO 2.

Un objeto se mueve en línea recta realizando un desplazamiento dado por d = (3.0iˆ + 4.0ˆj) (m) . Determinar el trabajo realizado por la fuerza F = (8.0iˆ − 8.0ˆj)(N) sobre el objeto. SOLUCION. W = F•d W = (8,0iˆ − 8,0ˆj) i ( 3,0iˆ + 4,0 ˆj )

⇒

W = 24 – 31 = - 8 (J)

Entonces, como el trabajo es distinto de cero, los vectores no son perpendiculares. ™ TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE - CASO UNIDIMENSIONAL.

Sea un objeto que se desplaza a lo largo del eje "x" con la acción de una fuerza variable que actúa a lo largo del eje "x". En este caso no se puede aplicar la expresión Fd cos θ, ya que para cualquier intervalo del desplazamiento la fuerza no es la misma. El trabajo total equivale al área bajo la curva, tiene que W ≅

Area = ∆A = Fx∆x

Fx

luego se

≈

xf

∑ F · ∆x

xi

x

xi

Si los desplazamientos cada vez se hacen tender a cero, entonces:

W = lim

∆x →0

xf

∑

Fx ∆x =

xi

x xF

∆x

xf

∫F

x

dx

xi

™ TRABAJO REALIZADO POR LA FUERZA DE UN RESORTE.

Consideremos un cuerpo colocado sobre una superficie horizontal y lisa (sin roce), conectado a un resorte helicoidal. Si el resorte se estira o se comprime desde su posición de equilibrio (no deformado), el resorte ejerce una fuerza sobre el cuerpo de la forma F = - k x. donde

‰

k : constante elástica del resorte x : posición del bloque en cualquier momento respecto a su posición de es decir es el valor de la compresión o elongación.

equilibrio,

Posición de equilibrio del resorte.

x=0 ‰

F del resorte

Posición del resorte estirado o elongado. En este caso x > 0 , F < 0

x=0 ‰

Posición del resorte comprimido.

x

F del resorte

En este caso x < 0 , F > 0

x Módulo.06-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

x=0 3

El signo negativo que aparece en la ecuación, significa que la fuerza ejercida por el resorte siempre está en dirección opuesta al desplazamiento. Como la fuerza del resorte siempre actúa hacia la posición de equilibrio, se llama también "Fuerza de restitución o fuerza restauradora". Al tener un resorte comprimido en una posición xi y que luego se desplaza hasta una posición xf, el trabajo que realiza la fuerza restauradora del resorte es:

Wres =

xf

∫ Fdx

=

xi

xf

∫ (−kx) dx

xi

= −

1 k (x 2f − xi2 ) 2

El signo negativo del trabajo aparece a causa que la fuerza del resorte es siempre opuesta al desplazamiento. 1 1 ‰ Si el resorte se comprime. Wres = − k(( − x)2 ) = − kx 2 2 2 ‰

Si el resorte se estira o elonga.

Wres = −

1 1 k(x 2 ) = − kx 2 2 2

™ TRABAJO REALIZADO POR UN AGENTE EXTERNO AL ESTIRAR O COMPRIMIR UN RESORTE

Para estirar o comprimir un resorte sin acelerarlo, debemos ejercer una fuerza externa F' sobre el resorte igual y opuesta a la fuerza F ejercida por el resorte. Esto quiere decir que el trabajo hecho por esta fuerza para estirarlo o comprimirlo desde una posición xi hasta una posición xf será: Si F = -kx y F' = -F = -(-kx) = kx , Entonces:

W =

xf

∫ F ' dx =

xi

xf

1

∫ (kx)dx = 2 k(x

2 f

− xi2 )

xi

™ TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGIA.

Supongamos una partícula de masa "m" que se mueve una distancia "d" hacia la derecha bajo la acción de una fuerza neta constante F. Por segunda ley de newton, El trabajo neto es: pero, entonces,

La expresión

m

F

d

si F es constante entonces su aceleración es constante. Wneto = Fd = (m a) d

v f − vi 1 y d = (v i + v f ) ⋅ t t 2 ⎛ v − vi ⎞ 1 Wneto = m ⎜ f ⎟ ⋅ (v i + v f ) ⋅ t ⎝ t ⎠ 2 1 1 1 Wneto = m(v 2f − v i2 ) = mv 2f − mv i2 2 2 2

a=

1 m v 2 representa la energía cinética que es la energía que poseen los cuerpos en 2

movimiento.

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4

La energía cinética "K", de una partícula de masa "m" que se mueve con velocidad "v" se define como, 1 K = m v2 2 El trabajo neto entonces se puede escribir como, Wneto = K f − K i = ∆K

Teorema del trabajo y la energía.

"El trabajo efectuado por la fuerza neta constante F al desplazarse una partícula es igual al cambio en la energía cinética de la partícula". Se puede demostrar además que el teorema Trabajo-Energía también es válido cuando la fuerza neta aplicada no es constante. Las unidades de energía cinética y de trabajo son las mismas. La energía cinética de un grupo de partículas es simplemente la suma (escalar) de las energías cinéticas de cada una de las partículas. ™

TRABAJO REALIZADO POR FUERZAS CONSERVATIVAS.

Una fuerza es conservativa si el trabajo efectuado por esta fuerza es independiente de la trayectoria que toma la partícula entre los puntos inicial "i" y final "f". El trabajo total efectuado por una fuerza conservativa sobre una partícula es "cero" cuando la partícula se mueve en cualquier trayectoria cerrada, regresando a su posición inicial. Ejemplo: a.) La fuerza de gravedad es una fuerza conservativa. El trabajo realizado por el peso depende únicamente de las coordenadas inicial y final y es independiente de la trayectoria seguida. b.) la fuerza de un resorte. El trabajo realizado por un resorte es de la forma W= −

1 k (x 2f − x i2 ) 2

El trabajo efectuado por una fuerza conservativa no depende del camino seguido y es independiente de la velocidad; este trabajo es sólo función de las coordenadas inicial y final. El trabajo que realiza el peso de un cuerpo es:

Wmg = WC =

yf

yf

yi

yi

∫ F dy =

∫ (−mg) dy = − mg(y

f

− yi ) = − (mg ⋅ y f − mg ⋅ yi )

La expresión “m g y “ representa la energía potencial gravitatoria que es la energía que poseen los cuerpos en virtud a su posición. La energía potencial gravitatoria Ug de una partícula de peso " mg" que se encuentra a una altura "y" se define como, luego,

Ug = m g y

WC = − (Uf − Ui ) = − ∆U

™ TRABAJO REALIZADO POR FUERZAS NO CONSERVATIVAS.

Una fuerza es no conservativa si el trabajo efectuado por dicha fuerza depende de la trayectoria seguida. Es decir, si la partícula se mueve a lo largo de una trayectoria cerrada, el trabajo no es cero. Por ejemplo, la fuerza de rozamiento por deslizamiento es una fuerza no conservativa, ya que esta fuerza siempre se opone al movimiento. Módulo.06-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

5

De acuerdo al teorema del trabajo y la energía

Wneto = ∆K

( WNC ) y

El trabajo neto se puede separar en el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas el trabajo de las fuerzas conservativas ( WC ), entonces: WNC + WC = ∆K

sabemos que WC = − ∆U , entonces:

WNC = ∆K + ∆U WNC = ∆E = EF − Ei

E=K +U

siendo E la suma de la energía cinética y potencial del sistema, llamada energía mecánica. El trabajo hecho por las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la energía mecánica del sistema. Si sobre el sistema no actúan fuerzas no conservativas se cumple que:

∆E = 0 ⇒ E = cte. , Por lo tanto

K o + Uo = K + U

Luego en un sistema en que actúan sólo fuerzas conservativas la energía mecánica del sistema se conserva. Este último resultado obtenido es lo que se llama el "PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA ENERGÍA MECANICA".

EJEMPLO 1.

Un péndulo de longitud L tiene una masa m en su extremo. Se deja libre desde un cierto ángulo θ1. La cuerda choca contra un clavo situado a una distancia x directamente por debajo del propio pivote, como se muestra en la figura, y se enrolla alrededor del pivote. Demuestre que el ángulo máximo θ2 que forman la cuerda y la vertical cuando la masa m está a la ⎡ 1 ⎤ derecha del pivote es R: θ2 = arccos ⎢ (L cos θ1 − x)⎥ ⎣L − x ⎦ SOLUCION: Se cumple

θ1

x

L

•

m

θ2

EA = EB

m g hA = m g hB m g L ( 1 – cos θ1 ) = m g [ L – x – ( L – x ) cos θ2 ]

/: mg

L ( 1 – cos θ1 ) = ( L – x ) – ( L – x ) cos θ2 ( L – x ) cos θ2

=

L – x – L + L cos θ1

( L – x ) cos θ2

=

– x + L cos θ1

cos θ2 = − ⇒

θ1 L

/: ( L – x )

x L cos θ1 1 (L cos θ1 − x ) + = L−x L−x L−x

⎡ 1 ⎤ θ2 = arccos ⎢ (L cos θ1 − x )⎥ ⎣L − x ⎦

x

A hA

m

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•

θ2 hB B

6

EJEMPLO 2: Se conectan dos bloques por medio de una cuerda ligera que pasa sobre una polea sin fricción. El bloque m1 = 0,5 kg se encuentra sobre una superficie áspera y se conecta a un resorte cuya constante de fuerza es de k = 50 (N/m). El sistema se libera a partir del reposo cuando el resorte no está estirado. Si m2 = 0,3 kg cae desde una altura de 0,05 m, calcular el coeficiente de roce cinético entre la superficie y el bloque.

m1

m2

SOLUCION.

d=h Ki = 0 , Kf = 0 Wneto = ∆K

h ⇒ Como

∆K = 0 ∆K = 0 , entonces: WNC + WC = 0

Como WC = -∆U , entonces:

WNC − ∆U = 0

Si ∆U = ∆Ug + ∆Ures

WNC = ∆Ug + ∆Ures

⇒

− fk ⋅ d = (m2 g ⋅ hf − m2 g ⋅ hi ) +

1 k(x 2f − x i2 ) 2

Si hf = 0

, x i = 0 , d = x = h , entonces: 1 − fk ⋅ ⋅d = − m2 g ⋅ h + k ⋅ h2 2

fk = µk ⋅ N = µk ⋅ m1g 1 se tiene, −µk ⋅ m1g ⋅ h = − m2 g ⋅ h + k ⋅ h2 2 Multiplicando la expresión anterior por (-1) se obtiene:

Considerando que,

µk =

1 1 k ⋅ h2 0,3·9,8·0,05 − ·50·(0,05)2 2 2 = m1g ⋅ h 0,5·9,8·0,05

m2 g ⋅ h −

⇒

µK = 0,345

OTRAFORMA: Como existen fuerzas no conservativas, se cumple que WNC = ∆EM = EF - Ei Además, WNC = WFk = Fk d cos 180 = - Fk h = - µk N h = - µk m1 g h Ei = m1 g h1 + m2 g h EF = m1 g h1 + ½ k x2 = m1 g h1 + ½ k h2 Entonces,

- µk m1 g h - µk m1 g h

µk =

= m1 g h1 + ½ k h2 – m1 g h1 – m2 g h = ½ k h2 – m2 g h

⇒

1 1 k ⋅ h2 0,3·9,8·0,05 − ·50·(0,05)2 2 2 = m1g ⋅ h 0,5·9,8·0,05

m2 g ⋅ h −

⇒

µK = 0,345

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EJEMPLO 3.

Un proyectil de masa m = 1kg. se lanza desde un punto P(0,0)m con una rapidez inicial vo = 100m/s formando un ángulo de 37º con el semieje “x” positivo. Este hace impacto en el punto Q (800,100)m. Despreciando la resistencia del aire, calcule: a.) La energía mecánica del proyectil un segundo después del lanzamiento. b.) El trabajo realizado por la fuerza neta que actúa sobre el proyectil entre O y el punto de altura máxima. c.) la energía cinética en el punto de impacto. SOLUCION:

m = 1 kg. θ = 37º a.)

yo = 0 m vo = 100 m/s. Q( 800 , 100 )

Por conservación de energía mecánica, la energía mecánica inicial para t = 0, es la misma para cualquier tiempo.

Inicialmente en el punto P(0,0) sólo existe energía cinética, ya que la posición vertical en ese punto es cero, por lo tanto: E = K + U = (1/2) m vo2 + 0 = (1/2)· 1 · 1002 = 5000 Joule. Pero 1 s después de ser lanzado el proyectil, éste se mueve con la misma energía mecánica inicial. Entonces:

E = 5000 Joule

b.) En el punto más alto, vy = 0 y vx = vocos37 = 100 cos 37 = 79,86 m/s, por lo tanto

v = 79,86 m/s.

Luego, Wneto = ∆K = KF - Ki = (1/2) m v2 - (1/2) m vo2 Wneto = (1/2) · 1 · 79,862 - (1/2) · 1 · 1002

⇒

Wneto = - 1811 Joule

c.) Por determinar la energía cinética en el punto de impacto Q ( 800 , 100 ). 2 2 v 2y − v oy = −2g(y − y o ) ⇒ v y = v oy − 2g(y − y o ) = (100sen37)2 − 2·10·100

⇒

vy = 40,27 m/s

vx es constante, es decir vy = 79,86 m/s. luego, v = v = v 2x + v 2y = 79,862 + 40,27 2 K = (1/2) m v2 = (1/2)· 1 · 89,442 ⇒

⇒

v = 89,44 m/s

K = 4000 Joule

EJEMPLO 4.

Un resorte de constante elástica k = 50(N/m) y largo natural L = 1m, se encuentra sobre un plano horizontal con su extremo izquierdo fijo. Un bloque de masa m = 2 kg se acerca desde la derecha sobre un plano horizontal, el cual tiene coeficiente de roce cinético µk = 0,2. Determine la rapidez que debe tener el bloque cuando está a 1m del resorte, para que el resorte sea comprimido 0,5 m.

L

SOLUCION.

k = 50 (N/m) ; L = 1m ; m = 2 kg ; µk = 0,2 ; x = 0,5 m W = ∆K

Bx O

1

1

A

A

entonces: WNC = ∆K + ∆U

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8

WNC = ∆K + ∆U = (K − K o ) + (U − Uo )g + (U − Uo )elást. (*)

Además

WNC = Wfr = Fr ·dAB cos 180 = µk ·N·dAB cos 180 = −µk ·mg·(1 + x )

WNC = −0,2·2(kg)·10(m / s2 )·(1 + 0,5)m

⇒

WNC = −6(Joule) (**)

Como K = Ug = Uog = Uo(elást) = 0 y considerando (*) y (**) se llega a: 1 1 WNC = −K o + Uelást = − mv 2A + kx 2 2 2

⇒

⇒

vA =

kx 2 − 2WNC 50·0,52 − 2( −6) = m 2

v A = 3,5(m / s)

EJEMPLO 5:

La figura presenta el perfil de una pista vertical de hielo y un super resorte de constante elástica K=2000 N/m . Pedro y Juan de 60 Kg cada uno se suben a un deslizador en hielo de 5 Kg , y para impulsarse comprimen el resorte desde O hasta A ( punto por determinar). Pedro y Juan saben que si no hay roce, basta con pasar por B con una rapidez VB = 20 m/s., para alcanzar a detenerse justo en D. Pero, previo a efectuar el recorrido AOBCD, comprueban que en toda la parte horizontal (AOB), solamente hay roce con µ k = 0,1 .En estas condiciones: a.) ¿Con cuánta rapidez deben pasar por O para llegar a detenerse en D? b.) Cuando llegan a la cima D, Pedro se baja del deslizador y Juan vuelve solo en el mismo deslizador . Si VD= 0, 10 m A O L ¿en cuánto se comprime el B resorte? 5m LO es la longitud c.) ¿Con cuánta rapidez pasan natural por C: Juan y Pedro de ida y Juan solo de vuelta.?

D

C

SOLUCION.

k = 2000(N/m) ; d = 10 m mp = mj = 60 (kg) ; md = 5(kg). µk = 0,1 v B = 20(m / s)

; hA = hO = hB = h = 5m ; m = mp + mj + md = 125(kg)

a.) Determinación de la velocidad en "O" ( vo) Considerando el tramo OB: Como existen fuerzas no conservativas, se cumple que WNC = ∆EM = EB - EO Además, WNC = WFk = Fk d cos 180 = - Fk d = - µk N d = - µk m g d EO = m g h + Entonces,

1 mv o2 ; 2

EB = m g h +

- µk m g d = m g h +

1 1 mv B2 - ( m g h + mv o2 ) 2 2

- 2 µk g d = v B2 - v o2 ⇒ ⇒

1 mv B2 2 / ·2/m

v O = v B2 + 2µk ⋅ g ⋅ d = 202 + 2 ⋅ 0,1 ⋅ 10 ⋅ 10

v O = 20, 49(m / s)

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9

b.)

Tramo BD : sin roce , entonces EB = ED ( conservación de energía mecánica) 1 1 mv B2 + mghB = mv D2 + mghD 2 2

Considerando hB = 5 m , vB = 20(m/s), vD = 0 , se tiene para hD ,

hD =

v B2 − v D2 + 2ghB 202 − 0 + 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 2g 2 ⋅ 10

⇒

hD = 25(m)

Cuando regresa el deslizador Pedro se baja, es decir, m' = 65(kg) , Aplicando teorema del trabajoenergía al tramo DA:

D

L

A

x

O

10 m

B 5m

Como existen fuerzas no conservativas, se cumple que WNC = ∆EM = EA - ED Además, WNC = WFk = Fk (d+x) cos 180 = - Fk (d+x) = - µk N’ (d+x) = - µk m’g (d+x)

C

ED = m’ g hD 1 1 1 ⇒ EA = m’ g h + kx 2 mv 2A + kx 2 . Pero vA =0 2 2 2 1 2 - µk m’g (d+x) = m’ g h + kx - m’ g hD 2 1 - µk m’g d - µk m’g x = m’ g h + kx 2 - m’ g hD 2

EA = m’ g h + Entonces,

- 0,1·65·10·10 – 0,1·65·10 x = 65·10 · 5 + ½·2000 x2 - 65·10·25 −650 − 65x = 3250 + 1000x 2 − 16250

1000x 2 + 65x − 12350 = 0

x = 3,48(m)

La solución de la ecuación es: c.)

⇒

Por conservación de energía en el tramo BC de ida (hacia D), EB = EC ⇒ K B + UgB = K C + UgC 1 1 mv B2 + mghB = mv C2 ⇒ 2 2

v C = v B2 + 2ghB = 202 + 2 ⋅ 10 ⋅ 5

⇒

v C = 22,36(m / s)

Por conservación de energía en el tramo DC de vuelta - sólo Juan - (hacia C), ED = EC ⇒ K D + UgD = K C + UgC mghD =

1 mv C2 2

⇒

v C = 2ghD = 2·10·25

⇒

v C = 22,36(m / s)

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10

EJEMPLO 6.

Un bloque de 5 Kg de masa se encuentra en reposo en A, comprimiendo un resorte, cuya constante elástica es 1550 N/m, como indica la figura. Si la compresión del resorte es 0,6 m y solo hay roce en el plano inclinado OB , con µk = 0.15, el bloque sale del plano en B comportándose como proyectil. y Determine: a.) el trabajo realizado por la fuerza de roce. vB b.) La altura máxima que alcanza el bloque después B que sale por B con respecto al eje X. c.) La distancia horizontal OD y la velocidad en D.

30º 0,6m

A

SOLUCION.

D

5,19 m

O

C

x

hB= 5,19 tg 30 = 3 m. ; x = 0,6 m a.)

Wfk = fk ⋅ dcos180 = −µk ⋅ N ⋅ d = −µk ⋅ mgcos 30 ⋅ d 5,19 5,19 , entonces : como d = OB = Wfk = −µk ⋅ mgcos 30 ⋅ = −µk ⋅ mg ⋅ 5,19 cos 30 cos 30 Wfk = −0,15 ⋅ 5 ⋅ 10 ⋅ 5,19

⇒

Wfk = −38,92(J)

b.) Determinación de la velocidad en "B" ( vB ) Considerando el tramo AB y como como existen fuerzas no conservativas, se cumple que WNC = ∆EM = EB - EA donde WNC = -38,92 (J) 1 2 kx 2

Además:

EA =

Entonces,

WNC = m g hB +

vB =

;

EB = m g hB + 1 1 mv B2 - kx 2 2 2

2WNC − 2mghB + kx 2 = m

1 mv B2 2

/ ·2

2·( −38,92) − 2·5·10·3 + 1550·0,62 5

⇒

v B = 6(m / s)

Determinación del tiempo "t" que tarda el alcanzar la altura máxima desde B. Considerando

v o = v B = 6(m / s)

v y = v o sen θ − gt

⇒

y

t=

vy = 0 ,

v o sen θ 6 ⋅ sen 30 = g 10

⇒

t = 0,3(s)

Si y o = hB = 3(m) , entonces la altura máxima "y" con respecto al eje x es: y = y o + v o sen θ ⋅ t −

c.)

1 2 1 gt = 3 + 6 sen 30 ⋅ 0,3 − ⋅ 10 ⋅ 0,3 2 ⇒ 2 2

y = 3, 45(m)

Tiempo que se demora en llegar "D" implica que la altura final respecto al eje x es cero, es decir y = 0. 1 y = y o + v o sen θ ⋅ t1 − gt12 2 0 = 3 + 6 sen 30 ⋅ t1 − 5t12 ⇒ 5t12 − 3t1 − 3 = 0 La solución de esta ecuación cuadrática arroja;

t1 = 1,13 (s).

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La distancia horizontal dOD = 5,19 + dCD = 5,19 + v x ⋅ t1 = 5,19 + v o cos θ ⋅ t1 dOD = 5,19 + 6 cos 30 ⋅ 1,13

⇒

dOD = 11,06(m)

La velocidad en "D". v Dx = v ox = v o cos θ = 6 cos 30 = 5,2(m / s)

v Dy = v o sen θ − gt1 = 6 sen 30 − 10 ⋅ 1,13 = −8,3(m / s) v D = v Dx ˆi + v Dy ˆj

⇒

v D = (5,2iˆ − 8,3ˆj)(m / s)

Otra forma de entregar el resultado: v D = v D = 5,22 + ( −8,3)2 = 9,79(m / s)

⎛ −8,3 ⎞ φ = arctg ⎜ ⎟ ⎝ 5,2 ⎠

⇒

⇒

φ = − 57,9º

v D = (9,79(m / s) ; − 57,9º )

EJEMPLO 7.

El perfil ABCDEFG de la figura, muestra una pista horizontal la que incluye un rizo de 2m de radio y un plano inclinado de 30º con respecto a la horizontal. Sólo existe roce en los tramos DE = 2m y FG, con coeficiente de roce cinético µK = 0,25. El bloque de masa m =10 kg pasa por A con una rapidez “vo”. Calcule: a.) La rapidez mínima vo, para C G que el bloque pase por C, sin caer. Esto ocurre cuando la fuerza centrípeta vo h en C, es igual a su peso. b.) La altura h a la que llega el 30º bloque en el plano inclinado. B

A

D

E

F

SOLUCION.

a.)

Como no existe roce entre los puntos A y C, todas las fuerzas que actúan en el tramo ABC sobre el bloque son conservativas y por lo tanto, se cumple el principio de conservación de la energía mecánica; se tiene así que EA = EC (1) K A + Ug( A ) + Uelás( A ) = K C + Ug( C) + Uelás( C )

1 1 mv o2 = m·v C2 + mg·2R 2 2

(2)

La rapidez mínima vo que debe tener el bloque para que alcance a pasar por C, se debe cumplir cuando la fuerza centrípeta en C, sea igual al peso del bloque, es decir: Fc = mg ⇒ m

v 2C = mg ⇒ v 2c = g·R R

(3)

Reemplazando (3) en (2). 1 1 5 mv o2 = m·g·R + 2mg·R = mg·R 2 2 2 b.)

⇒

v o = 5gR = 5·10·2

⇒

v o = 10(m / s)

Entre los puntos A y F, existen fuerzas conservativas y no conservativas, por lo tanto el trabajo realizado por la fuerza de roce en el tramo DE es: WFR = EF − E A

= EF − (K + Ug + Uelás ) A

− µK ·DE·mg = EF − EF =

1 mv 2o 2

1 1 mv 2o − µK ·DE·mg = ·10·102 − 0,25·2·10·10 2 2

⇒

EF = 450 (Joule)

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12

De igual forma en el tramo FG, también existen fuerzas no conservativas. Luego suponiendo que el punto donde se detiene el bloque es el punto G, que se encuentra a una altura “h”, se tiene: WFR = EG − EF −µK ·N·FG = mgh − EF

Como N = mg cos30 Luego,

h=

y FG =

h , sen30

entonces:

−µK ·mgco30··

EF sen30 450sen30 = mg(sen30 + µK cos 30) 10·10(sen30 + 0,25 cos 30)

h = mgh − EF sen30

⇒

h = 3,14 (m)

™ EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.) Un tractor tira una barcaza por un canal. El cable que se utiliza para tirarla hace un ángulo de 30° con respecto a la dirección que se mueve la barcaza y tiene una tensión de 25000[N]. a) Determine la fuerza responsable del movimiento de la barcaza. b) Si el canal mide 200[m] de largo, ¿cuánto trabajo se necesita para mover la barcaza a través de él?. R: 21650[N] , 4330000[J] 2.) Debido a la fricción, se requiere una fuerza de 400[N] para tirar una caja de madera por el piso. La cuerda con que se tira la caja hace un ángulo de 56° con respecto a la horizontal. a) ¿Cuánta tensión debe haber en la cuerda para mover la caja? b) ¿Cuánto trabajo se realiza, si la caja se mueve en una distancia de 25[m]? R: 715,3[N] ; 10000[J] 3.) Un trineo de masa “m” sobre un estanque congelado es pateado con lo que se le imparte una velocidad inicial vo = 2 m/s. El coeficiente de fricción cinético entre el trineo y el hielo es µk = 0,1. Utilice consideraciones de energía para encontrar la distancia que se mueve el trineo antes de detenerse. R.: 2,04m. 4.) Sobre un cuerpo de 4 kg., que se encuentra sobre un plano inclinado 20º respecto a la horizontal, se aplican las siguientes fuerzas: una fuerza horizontal de 80 N, una fuerza paralela al plano de 100 N favoreciendo el movimiento. El cuerpo se traslada 20 m a lo largo del plano. Si el plano es rugoso de coeficiente de roce cinético µk = 0,25, calcule el trabajo efectuado por cada una de las fuerzas y el trabajo neto o total. R: 5.) Un cuerpo de 0,5 kg se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 25 m/s. Calcule: a) La energía cinética en el momento del lanzamiento. R: 156,25 J. b) La energía cinética cuando llega a la altura máxima. R: 0 c) La energía cinética cuando ha descendido los ¾ de su altura máxima. R: 39,14 J. 6.) Sobre un cuerpo de 16 kg, inicialmente en reposo, se ejerce una fuerza horizontal de 100 N. Si la fuerza de rozamiento entre el cuerpo y la superficie es de 38,4 N, calcule: a) La energía cinética del cuerpo a los 8 s. R: 7779,5 J. b) El trabajo realizado hasta los 12 s. R: 17468 J. c) La energía cinética que adquiriría el cuerpo a los 12 s, si no existiera el roce. R: 45000 J. d) La velocidad del cuerpo cuando ha recorrido 30 m. R: 15,29 m/s. 7.) Una máquina de Atwood soporta masas de 0,2 kg y 0,3 kg (ver figura). Las masas son mantenidas en reposo una al lado de la otra y después se sueltan. Si se ignora la fricción, ¿cuál es la velocidad de cada masa en el instante en el que ambas se han movido 0,4 m? R.: 1,25 m/s. 8.) Una masa de 1 kg se encuentra verticalmente sujeta a un resorte de 24 N/m de constante de elasticidad. Si la masa se aleja hacia abajo 18 cm de su punto de equilibrio, calcule la pérdida de energía potencial gravitatoria y la ganancia de energía potencial elástica. R: -1764 J ; 0,39 J. Módulo.06-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

• A B 13

9.) Un esquiador especialista en la modalidad de salto desciende por una rampa, que

supondremos un plano inclinado que forma un ángulo de 13º con la horizontal y de 50m de longitud. El extremo inferior de la rampa se encuentra a 14m sobre el suelo horizontal. Ignorando los rozamientos y suponiendo que parte del reposo, calcular usando “trabajo energía” , la magnitud de la velocidad que tendrá a.) al abandonar la rampa, y b) al tocar el suelo. R: 15 m/s ; 10.) Un cuerpo de 2 kg está sujeto horizontalmente a un resorte de constante de elasticidad 28 N/m. Calcule la velocidad que lleva el cuerpo en el punto de equilibrio, cuando se estira 20 cm el resorte y luego se deja libre. R: 0.75 m/s. 11.) Un cuerpo de 0,2 kg cae libremente desde una altura de 3 m sobre un montón de arena. Si el cuerpo penetra 3 cm antes de detenerse, ¿qué fuerza constante ejerció la arena sobre él?. R:202 N. 12.) Un cuerpo de 0,5 kg se deja caer libremente desde una altura de 1 m sobre un pequeño resorte vertical sujeto y de constante k = 2000 N/m. Calcule la máxima deformación del resorte. R: 0,072m. 13.) Un estudiante de 70 kg sube a una colina de 120 m de altura. (a) ¿Cuál es el incremento de energía potencial del estudiante al llegar a la cumbre de la colina?. ( b) ¿De dónde procede esta energía?. El organismo del alumno tiene un rendimiento del 20 %, es decir, por cada 100 J de energía interna consumida , 20 J se convierten en energía mecánica y 80 J se pierden en forma de calor. (c) ¿Cuánta energía interna es consumida por el estudiante durante el ascenso a la colina (exprese su resultado en Kcal)?. R.: (a) 8,24·104 J, (b) Energía interna del alumno, (c) 98,6 kcal. 14.) Un bloque de madera de masa 2 kg se encuentra en contacto con un resorte comprimido en el extremo inferior de un plano inclinado que hace ángulo de 37º con la horizontal. Al soltar el resorte el bloque se mueve hacia arriba en el plano inclinado. Cuando se encuentra a una distancia de 6 m del punto de partida su velocidad es 4 m/s hacia arriba del plano. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano es 0.5. Calcule la energía potencial almacenada inicialmente en el resorte comprimido. R.:136,1 J. 15.) Una barra de 1 m de largo y masa despreciable puede girar sin roce en torno a su centro, en el plano vertical. Inicialmente la barra se encuentra en reposo, en posición horizontal y tiene masas m1 = 3 kg y m2 = 2 kg unidas a sus extremos. Si se suelta la barra desde la posición horizontal, encuentre la velocidad con que se mueve las masa cuando la barra pasa por la posición vertical. R.: 1,4 m/s. 16.) Una caja de masa 2 kg es liberada desde el reposo en el punto A. Entre A y B, la superficie sigue un arco de circunferencia de radio R = 1,6 m. Desliza por la superficie y llega a B con velocidad 4 m/s. Desde B desliza 3 m hasta C, y se detiene. a) A ¿Cuál es el coeficiente de roce cinético entre la caja y la parte horizontal de la superficie?. b) R ¿Cuánto trabajo realiza sobre la caja la fuerza de roce en la parte circular del recorrido? R.: (a) 0,26 , (b) –15,36 J.

B

C

BIBLIOGRAFIA: ƒ Física , Vol. I , ALONSO FINN. ƒ Física, Tomo I, RAYMOND A. SERWAY.

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14

MODULO DE FISICA Nº7 ESTATICA DEL CUERPO RIGIDO PROF. EUGENIO CONTRERAS Z. UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE FAC. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS PROSECUCIÓN DE ESTUDIOS.

G

™ TORQUE O MOMENTO DE UNA FUERZA " τ " G Estudiemos el efecto que una fuerza F puede producir al actuar sobre un punto del cuerpo, el cual puede rotar respecto de un eje que pasa por el punto "O". Si la fuerza es aplicada de modo que su línea de acción no pase por "O", el efecto que se produce corresponde al de una rotación alrededor de "O". La propiedad de la fuerza para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud física llamada torque o momento de la fuerza.

brazo de palanca de

G

τ

O

z

línea de acción de

G F b

G r

G F⊥ θ

A

x

y

Se prefiere usar la palabra torque y no momento, porque esta última se emplea para referirnos al momento lineal, momento angular o momento de inercia, que son todas magnitudes físicas diferentes para las cuales se usa una misma palabra. Nuestra experiencia cotidiana nos dice que al abrir o cerrar una puerta, siempre lo hacemos aplicando una fuerza lo más próximo a una dirección perpendicular a la puerta y lo más lejano posible de las bisagras, que corresponden al punto de rotación. Los torques o momentos de torsión tienen una estrecha relación con las fuerzas. Sin embargo una misma fuerza aplicada a un cuerpo, puede producir un gran torque o uno pequeño hasta nulo. Todo depende de como se aplique la fuerza ya que los factores que determinan el valor del torque son: • La longitud del brazo de torsión entre la fuerza y el centro de rotación. • La dirección y el sentido de la fuerza. El torque o momento de una fuerza, está relacionado con la efectividad que una fuerza puede producir al hacer rotar un cuerpo. G El torque alrededor de un eje fijo perpendicular al cuerpo que pasa por "O", atribuible a la fuerza "F " aplicada en "A" , está dada por el producto cruz como: G G G τ= r xF . G G en donde “ r ” es el vector posición del punto “A” respecto a “O”. El momento “ τ ” está dirigido según el eje de rotación fijo en “O” y su magnitud, de acuerdo a la definición del producto cruz, es: G G τ = r F sen θ donde “ θ ” es el ángulo entre r y F . GG El momento dado por esta ecuación, puede calcularse directamente midiendo r ,F y θ . Es común en las rotaciones de los cuerpos rígidos, pensar en el momento como el producto de dos términos, como G sigue. Si consideramos que F sen θ es la componente perpendicular ( F⊥ ) de la fuerza normal a “ r ” podemos escribir:

τ = rFsenθ = rF⊥ Esta última expresión nos permite pensar en el momento o torque alrededor de un eje, como el producto de la distancia al eje del punto de aplicación de la fuerza por la componente de la fuerza aplicada perpendicular a la línea que une esos puntos. Módulo.07-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

1

Otra descripción equivalente es a menudo más útil. La prolongación de la línea en la cual está un vector fuerza se llama “línea de acción” de esa fuerza. Nótese que “r sen θ ” es la distancia G perpendicular ( r⊥ ) del eje a la línea de acción de la fuerza F ( recuerde que sen(180-θ) = sen θ ). Esta cantidad r⊥ , se llama “brazo de palanca (b)” o brazo del torque de la fuerza con respecto al eje. Por consiguiente, podemos escribir la definición de torque como:

τ = F(rsenθ) = Fr⊥ = F·b . Las dimensiones del momento son fuerza por distancia, o en función de nuestras dimensiones fundamentales adoptadas, (M), (L), (T), tienen las dimensiones (ML2T-2). Esas dimensiones son las mismas que las de trabajo. Sin embargo, momento y trabajo son cantidades físicas muy diferentes. Por ejemplo, el momento es un vector, mientras que el trabajo es una cantidad escalar. Sentido del torque o momento: G G G Sabemos por la definición del producto cruz, que “ τ ” es perpendicular a “ r ” y a “F ”. Esto significa G G G que “ τ ” es perpendicular al plano que contiene a “ r ” y a “F ”. G La dirección de “ τ ” también indica el sentido del momento: si el pulgar de su mano derecha apunta G G hacia “ τ ” , el “arco” de sus dedos indica el sentido del giro que “F ” tiende a generar alrededor de “O”. G En resumen, el momento de una fuerza F respecto a un punto O tiene tres propiedades: G G • La magnitud de “ τ ” es igual al producto de la magnitud de F y la distancia perpendicular de O a G G G la línea de acción de F . Si la línea de acción de F pasa por O , el τ = 0. G G G • τ es perpendicular al plano que contiene a r y a F . G • La dirección de τ indica el sentido del momento dado por la regla de la mano derecha. Como el producto cruz no es conmutativo, se debe tener cuidado con la secuencia correcta de los vectores de la ecuación G G G τ = r xF

Observaciones: G G 1.- F produce movimiento de rotación sólo si tiene componente perpendicular a r . G G G 2.- Cuando F pasa por el origen, r es cero, entonces el τ = 0. 3.-

Para considerar matemáticamente el sentido del torque, tomaremos el sentido de la componente perpendicular de la fuerza aplicada. Si ésta apunta en el sentido horario, el torque será negativo; en cambio si apunta en el sentido antihorario, el torque será positivo.

™

CONDICIONES DE EQUILIBRIO ESTATICO PARA UN CUERPO RIGIDO.

Al estudiar la dinámica de la partícula y analizar las condiciones de equilibrio de desplazamiento, se estableció que la condición necesaria y suficiente para que un sistema de fuerzas concurrentes (actúan sobre o a través del mismo punto de un objeto) esté en equilibrio, debe suceder que la aceleración sea nula, es decir:: G G ΣF = 0 Primera condición de equilibrio Cuando se considera un cuerpo real, éste tiene forma, tamaño y volumen. Es decir, poseen una distribución de masa donde las fuerzas participantes no son necesariamente concurrentes (actúan sobre puntos diferentes en un objeto) la primera condición de equilibrio es condición necesaria pero no suficiente. Módulo.07-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

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Luego se tiene que determinar otra condición que prevenga la rotación del cuerpo sobre el cual actúa el sistema de fuerzas. Si deseamos que el sistema no rote respecto a algún eje normal al plano que contiene a las fuerzas, es necesario que la suma de los torques o momentos de las fuerzas participantes sea cero, es decir: G G Στ = 0

Segunda condición de equilibrio

Cuando las fuerzas son no coplanares ni concurrentes, para que exista equilibrio se necesitan que se cumplan simultáneamente ambas condiciones. El eje al cual se aplica la segunda condición puede ser cualquiera.

™

SOPORTES

En ingeniería es muy común la existencia de fuerzas y momentos ejercidos sobre diversos tipos de vigas y estructuras, pinzas, grúas, puentes, etc. En cada uno de estos casos aparecen los soportes, que son los que permiten que los cuerpos se mantengan en su lugar o estén unidos a otros. Las fuerzas y pares ejercidos sobre un cuerpo por sus soportes se llaman reacciones , ya que estos “reaccionan” a las otras fuerzas y pares, o cargas, que actúan sobre el cuerpo. Es el caso por ejemplo, el de los puentes, los cuales se sostienen a las reacciones ejercidas por sus soportes, y las cargas son las fuerzas ejercidas por el peso del mismo puente, las fuerzas del viento y naturalmente por el movimiento vehicular que lo cruza. En la página 4, se muestra una tabla de algunos modelos de soportes, en los cuales se indican las reacciones en los soportes usados en aplicaciones bidimensionales.

™

METODO PARA RESOLVER PROBLEMAS SOBRE EQUILIBRIO ESTATICO.

1.- Dibuje el diagrama de cuerpo libre para el ( o los ) cuerpo ( s ) en estudio. No olvide considerar las reacciones, debido al tipo de soporte. 2.- Seleccione un sistema de coordenadas adecuado y descomponga las fuerzas en dichos ejes, haciendo la sumatoria de las componentes igual a cero. 3.- Elija un punto donde se haga fácil el cálculo de los torques reducidos al mínimo y haga la sumatoria de las componentes igual a cero, con práctica logrará ver cual es el más adecuado.

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3

SOPORTES USADOS EN APLICACIONES BIDIMENSIONALES. SOPORTES

•

REACCIONES

Cable, cadena o cuerda de peso despreciable. La fuerza ejercida tensión T tiene la dirección del cable y sentido alejándose del cuerpo.

G T

•

•

Una fuerza colineal - tensión.

•

Contacto con una superficie lisa. La fuerza de G G contacto ( N = R ) es normal a la superficie en el punto de contacto.

G R Una fuerza normal - Reacción

•

•

Contacto conG una superficie rugosa. La fuerza de contacto R es de dirección desconocida y Gse puede descomponer en una fuerza normal G ( N = R y ) y en una fuerza de roce estático G G ( fs = R x )

G Ry

Dos componentes de fuerza. Reacción en “x” y en “y”

G Ry

Soporte de pasador, gozne, cojinete o articulación: los elementos realizan sobre el cuerpo una fuerza de dirección desconocida G R que puede ser descompuesta de acuerdo al sistema que se haya escogido.

•

Soporte de rodillo: la fuerza de contacto es perpendicular a la superficie soportante.

G Soporte empotrado. La fuerza de contacto R es de dirección desconocida y seG puede descomponer en una fuerza horizontal R x y en una fuerza G vertical R y .

G Rx

•

•

Dos componentes de fuerza. Reacción en “x” y en “y”

•

•

G Rx

• •

G R

G R

• •

G Ry G Rx Dos componentes de fuerza Reacción en "x" y en "y".

Fuente: Estática. Mecánica para ingeniería. Anthony Bedford y Wallace Fowler

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4

EJEMPLO 1.

Una barra uniforme de acero, de un metro, descansa en dos balanzas en sus extremos. La barra pesa 4 N. Encontrar lo que marcan las balanzas. SOLUCIÓN. L = 1m. W = 4(N)

•

•

(1)

(2)

K F1

G ΣF = 0

G G G G F1 + F2 + W = 0

G G Στ = 0

F1 + F2 − W = 0 G G G G τ1 + τ 2 + τ W = 0

L/2 CG

G W

•

(1)

K F2

L/2

• (2)

(1)

Escogemos, por ejemplo, eje de rotación que pasa por el centro de gravedad (CG).

( 2) + F ·(L 2) + W·0 = 0

− F1· L

⇒

2

F1 = F2 (2)

reemplazando (2) en (1), F2 + F2 − W = 0 ⇒ 2F2 = W ⇒ F2 = ⇒

W 4(N) = 2 2

F1 = F2 = 2(N)

EJEMPLO 2.

En el ejemplo anterior supóngase que se pone un bloque de peso Wb = 6(N) a 25 cm de la balanza 1. ¿Qué lecturas darán ahora las balanzas?.

• CG

•

•

SOLUCIÓN. L = 1m. G ΣF = 0

W = 4(N) Wb=6(N) G G G G G F1 + F2 + W + Wb = 0

L/4

F1 = 10 − F2

G G Στ = 0

L/2

K F1

F1 + F2 − W − Wb = 0 F1 + F2 − 4 − 6 = 0 ⇒

(2)

(1)

(1)

CG

G Wb

•

G G G G G τ1 + τ 2 + τ W + τ b = 0

K F2

L/2

G W

•

Escojamos, por ejemplo, eje de rotación que pasa por el centro de gravedad (CG).

( 2) + F ·(L 2) + W·0 + W ·(L 4) = 0

− F1· L

2

b

− 2F1 + 2F2 + Wb = 0

/· (4/L)

(2)

reemplazando (1) en (2), − 2·(10 − F2 ) + 2F2 + Wb = 0 ⇒ −20 + 2F2 + 2F2 + Wb = 0 ⇒ F2 = F2 =

20 − Wb (20 − 6)(N) = 4 4

reemplazando (5) en (3),

F1 = 10 − 3,5

⇒ ⇒

G F2 = 3,5(N)

20 − Wb (20 − 6)(N) = 4 4 (3)

F1 = 6,5(N)

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5

EJEMPLO 3.

Calcule la tensión T del cable y el valor y sentido de la fuerza ejercida sobre el puntal por el pivote de la fig, siendo el peso del objeto suspendido de 1000 kp. Despréciese el peso del puntal.

30º

•

SOLUCIÓN.

W

W = 1000 kp •

G ΣF = 0

G G G G T+R+ W =0

G ΣFx = 0 ⇒ R x − Tx = 0 ⇒ R x = T cos 30

G Ry

(1)

•

G ΣFy = 0 ⇒ R y + Ty − W = 0 ⇒ R y = W − Tsen30 (2)

•

G Στ = 0 G

G

G

G

τ1R + τ T + τ W

G T

G Ty 30º

G Tx

G Rx

W

G =0

G W

Escogemos por ejemplo, el eje de rotación en el pivote, es decir la fuerza R no efectúa torque. Considerando que el puntal tiene un largo "L", se tiene:

T·L·sen30 − W·L = 0 ⇒

T=

W 1000kp = sen30 sen30

(3) ⇒

colocando (4) en (1), R x = 2000·cos 30

T = 2000kp

R x = 1732kp

⇒

colocando (4) en (2), R y = 1000 − 2000sen30

(4)

⇒

(5)

Ry = 0

EJEMPLO 4.

Una viga uniforme de masa M = 15 kg. y longitud "L" , tiene dos masas colocadas tal como se observa en la figura, donde m1 = 2 kg. y m2 = 16 kg. La viga descansa en un pivote en A y está sostenida por una cuerda en B. Determine: a.) El valor de la tensión de la cuerda y las reacciones en A para que la viga esté en equilibrio. b.) Si el cable se corta, pero se quiere que el sistema siga en equilibrio en la misma posición anterior, ¿qué masa m3 se debe colocar sobre m2?.

·

·

37º

m

m A

B

L 4

C

3L 4

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·

D

6

SOLUCION. M = 15 (kg) (masa de viga) Longitud viga = L m1 = 2 (kg.) m2 = 16 (kg.)

G T

Diagrama de cuerpo libre para la viga.

G Ry G Rx

•

CG

B

G T

L 4

C G

m1g

G Mg

37º

x

G Rx L 4

m2

A

·

D L 4

G m2 g

3L 4

G m1g G m2 g

a.)

m1

37º

y

G Mg

G Ry

Aplicando primera condición de equilibrio:

G ΣF = 0

Eje x:

T cos 37 - Rx = 0

(1)

Eje y:

Ry + Tsen37 - Mg - m1g - m2g = 0

(2)

Reemplazando la información de las masas en la ec. (2) se llega a: Ry + T sen37 - 15 · 10 - 2 · 10 - 16 · 10 = 0 Ry + T sen37 - 330 = 0 •

(3)

G G Στ = 0

Aplicando segunda condición de equilibrio en el punto A.:

-(3/4) LT sen37 + (L/2) · m1g + (L/4) · Mg - (L/4) · m2g = 0

(4)

Reemplazando la información de las masas en la ec. (4) se llega a: -(3/4) LT sen37 + (L/2) · 2·10 + (L/4) · 15·10 - (L/4) · 16·10 = 0 - 3 T sen 37 + 40 + 150 - 160 = 0

⇒

T=

10 sen37

⇒

/ · (4/L) T = 16,6(N)

Reemplazando el valor de la tensión en la ec. (1), se tiene: Rx = T cos 37 = 16,6 cos 37 ⇒

Rx = 13,26(N)

Reemplazando el valor de la tensión en la ec. (3), se tiene: Ry = 330 - T sen37 = 330 - 16,6 sen37 b.)

⇒

Ry = 320,01(N)

Si se corta el cable, la situación queda: • Aplicando segunda condición de equilibrio en el punto A.:

G G Στ = 0

(L/2) · m1g + (L/4) · Mg - (L/4) ·( m2 + m3 ) g = 0 / · ( 4 /gL) 2 · m1 + M - ( m2 + m3 ) = 0 Reemplazando la información de las masas 2 · 2 + 15 - 16 - m3 = 0

⇒

m3 = 3 kg.

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7

EJEMPLO 5. B

La estructura de la figura, de peso despreciable, se encuentra en equilibrio mediante un cable AB. Si sujeta un peso W = 200 N, determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en el punto O y la dirección de la reacción correspondiente. Considere: a = 5 m , b = 3,5 m y c = 4,5 m. SOLUCION. W = 200 N. b = 3,5 m

37º A • O •

a = 5 m. c = 4,5 m.

•

•

•

b

G • Aplicando primera condición de equilibrio: ΣF = 0 G Eje y: R y + Ty − W = 0 G R y + T cos 37 − W = 0 (1) Eje x: R x − Tx = 0 R x − Tsen37 = 0

a

W

c

B 37º

(2)

G

G

G

•

G O Rx

Escogiendo, por ejemplo, eje de rotación que pasa por el punto "O", se tiene:

a

•

•

b

Tx ·a + Ty ·b − W·c + R x ·0 + R y ·0 = 0

Tsen37·a + T cos 37·b − W·c = 0

A

G Tx Ry

Aplicando segunda condición de equilibrio: Στ = 0

G Ty

G T

c

• W

(3)

Reemplazando se llega a: Tsen37·5 + T cos 37·3,5 − 200·4,5 = 0

⇒

T = 900 / 5,8 = 155,1(N)

de la ec. (2)

R x = Tsen37 = 155,1sen37

⇒

Rx = 93,3(N)

de la ec. (1)

R y = W − T cos 37 = 200 − 155,1cos 37

⇒

Ry = 76,1(N)

⇒

θ = 39,2º

Para la dirección de la reacción,

tgθ =

Ry Rx

=

76,1 93,3

(4)

EJEMPLO 6. Una escalera homogénea de largo L = 8 m y peso 250 N está apoyada contra una pared vertical lisa, con su extremo inferior separado 3m de la pared. Determinar la fuerza de rozamiento que actúa en A sobre la escalera.

B

SOLUCIÓN. L = 8m

,

We = 250 N

La fuerza de roce equivale a la reacción horizontal en el punto A (RxA ). En el punto B no existe reacción vertical ya que no existe roce. El DCL para la escalera se muestra en la figura.

cos θ =

A 3m

3 ⇒ θ = 68º 8

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8

Ecuaciones para la escalera:

G ΣFx = 0 ⇒ fsA − NB = 0 ⇒ fsA = NB G ΣFy = 0 ⇒ NA − We = 0 ⇒ NA = We

G G Στ = 0

G NB

(1) (2)

G

τGRxA + τGRyA + τGWe + τGRxB = 0

Escogemos por ejemplo el eje de rotación en el punto A. Esto significa que las fuerzas que Gactúan en este punto no generan torque, es decir:

τGWe + τGRxB = 0

− We · L2 cos 68 + NB ·Lsen68 = 0 ⇒

NB =

B

G NA

CG

A

θ

•

G We G fsA

3m

(3)

We cos 68 250 cos 68 = 2sen68 2sen68

⇒

NB = fsA = 50,5(N)

™ EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.

Una lámina delgada de altura "a" y ancho "b", descansa sobre su arista como lo indica la figura. Se aplica en su arista superior una fuerza horizontal "Fh" a la vez que la superficie de apoyo ejerce una fuerza "Fd" que se opone al movimiento. El peso "W" de la lámina es una fuerza vertical que actúa por su centro. b Si la lámina está en equilibrio, hallar el valor de "x" Fh que fija la posición de la fuerza normal resultante "Fn" ejercida sobre la lámina por la superficie de apoyo. Fn Determine, así mismo, las condiciones para que "x" a Fd x sea nulo. R:

2.

x=

b a ⋅ Fh − 2 W

Fh =

b⋅W 2a

W

Una lámina homogénea de peso "W" está apoyada sobre un filo a una distancia "x" de una arista, tal como lo indica la figura. b Halle la magnitud de las fuerzas "Fn" y "Fh" ejercidas por Fa el filo sobre la lámina, y además la magnitud de la fuerza Fn "Fa" requerida para mantener la lámina en equilibrio. a R:

W (b − 2x ) Fa = Fh = 2a

Fh

x

; Fn = W

W 3.

4.

K Una plancha de acero de 1000 kg de peso y cuyas dimensiones son a = 0,4m. y b = 0,6m, está apoyada sobre un filo a 0,1 cm. del borde de la plancha (ver fig. problema anterior). Halle la magnitud de la fuerza Fa requerida para mantener la lámina en posición. K R: Fa = 500 kg . Una viga uniforme está articulada en la pared. Un alambre fijo en la pared, a una distancia d = 1,83 m sobre la articulación, está unido al otro extremo de la viga. Este alambre es horizontal cuando se cuelga un peso de 222,5 N de una cuerda fija en el extremo de la viga. Si la viga tiene un peso de 1335 N y una longitud de 3,05 m. encuentre la tensión en el alambre y las fuerzas ejercidas por la articulación sobre la viga. R: T = 1187 N. , Rx = 1187 N. , Ry = 1557,5 N.

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9

5.

Suponga que en el problema anterior, al cuerpo que cuelga se le agrega un peso de 667,5N. En estas condiciones la viga baja formando un ángulo de 30º con la horizontal. Encuentre la tensión en el alambre y las fuerzas ejercidas por la articulación sobre la viga. R: T = 2263 N. , Rx = 2248 N. , Ry = 1965 N.

6.

En la siguiente figura, se fija al extremo de una barra horizontal de 18 pies de largo, un cuerpo de 2000 Lbf de peso. El peso de la barra es de 200 Lbf, d = 12 pies y h = 12 pies. Determine las magnitudes de la tensión T en la cuerda, y de las componentes horizontal y vertical de la reacción en A. R: T = 4455 Lbf. , Rx = 3150 Lbf. , Ry = -950 Lbf.

7.

h

d L

Calcule el peso máximo W que puede soportar la estructura de la figura, si la máxima tensión que la cuerda superior es capaz de K resistir son 1000 kg , y la máxima compresión que puede soportar K el puntal es de 2000 kg . La cuerda vertical es lo bastante fuerte para poder resistir cualquier carga. Desprecie el peso del puntal.

30º

45º

9.

L

W

•

K R: Wmáx = 1366 kg

8.

θ

A •

K La barra de la figura es homogénea, pesa 500 kg y tiene un K largo de 0,5 m. Si sobre ella actúa un peso de 1000 kg a 0,3 m. a lo largo del pivote, calcule la tensión de la cuerda y las componentes vertical y horizontal de la fuerza ejercida sobre la barra en su extremo inferior. K K K R: T = 1903,8 kg ; Rx = 1789 kg ; Ry = 2151,1 kg

20º

50º •

Una barra homogénea de longitud "L" y peso "W" se mantiene en posición mediante las fuerzas F1 y F2 , señaladas en la figura. Un peso "Wa" se fija a la distancia "b" del extremo superior. Determine las magnitudes de las fuerzas F1 y F2 en función de los pesos W, Wa , L y b. R:

F1 =

W b ⋅ Wa + 2 L

F2 =

b

W b⎞ ⎛ + Wa ⎜1 − ⎟ 2 L⎠ ⎝

F1 θ

F2

W

10. Una escala de 100 Lbf de peso y 30 pies de largo, está sujeta mediante dos cuerdas F1 y F2 en la forma indicada en la fig. del problema anterior. La tensión máxima que resiste la cuerda F2 es 220 Lbf. Un hombre de 200 Lbf de peso asciende la escala, determine hasta donde puede ascender antes de que se rompa la cuerda. R: 25,5 pies. d

11. La mayor reacción horizontal F1 sobre el pivote de la figura es de 3·104 Lbf. Si a, d y h valen 20, 40 y 10 pies, respectivamente y Wg es de 2000 Lbf. Determine la carga máxima W que puede mover la grúa. R: W = 6500 Lbf.

H F1

F2 A

•

W

h F3

Wg

B a Módulo.07-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

10

12. La estructura de la figura ( de peso despreciable) K sujeta un peso de 400 kg amarrado de un cable. Si L = 3m. y H = 4 m, determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en la base, y la tensión T en el cable de amarre. Encuentre también el K valor mínimo de H para que T no exceda de 1000 kg . K K R: Rv = 400 kg ; Rh = 300 kg ; H = 1,20 m 13. En la Figura se muestra una estructura de peso despreciable, donde a = 1,5 m. , H = 6 m. y W = 14000 Kgf. Si la tensión en el cable no debe exceder de 7000 Kgf, halle la distancia a la cual debe anclarse el cable. Si ahora consideramos que la estructura tiene un peso de 1000 kgf. y su centro de masa se encuentra en el punto ( 3H/4 , a/4 ), determine cuánto debe medir ahora la longitud “b”. R: b = 3,46 m ;

T

L

• •

•

H W • a

• W

H b •

14. Una barra horizontal delgada AB de peso insignificante y longitud "L", está articulada en una pared vertical en el punto A y sostenida en el punto B mediante un alambre delgado BC que forma un ángulo "θ" con la horizontal. Un peso "W" puede ocupar sobre la barra diversas posiciones definidas por la distancia "x" a la pared (ver fig.). C (a) Encuentre la fuerza de tensión T en el alambre delgado en función de "x". (b) Encuentre las componentes horizontal y vertical de la x B fuerza ejercida sobre la barra por el peso en A. θ A • • W·x W·x R: T = , Fv = W 1 − x , Fh = cot gθ L L G L·senθ L W 15. Una barra no uniforme, de peso W, está suspendida en reposo en una posición horizontal mediante dos cables α ligeros, como se muestra en la fig. El ángulo que forma una β cuerda con la vertical es α =36,9 , la otra cuerda forma A el ángulo β = 53,1 con la vertical. Si la longitud L de la x barra es de 6,1m , calcule la distancia "x" del extremo G izquierdo al centro de gravedad. R: x = 2,20 m. W

(

)

16. Una puerta de 2,13 m de altura y 0,91 m de ancho pesa 268 N. Una bisagra se encuentra a 0,30 m de la parte superior y la otra se localiza a 0,30 m de la parte inferior, sosteniendo cada una de ellas la mitad del peso de la puerta. Suponga que el centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico de la puerta. Determine la fuerza ejercida por cada bisagra sobre la puerta. R: 79,69 N , 134 N. 17. Una balanza está constituida por una barra rígida que puede girar alrededor de un punto que no está en el centro de la barra. Se balancea con pesas desiguales colocadas en los platillos en cada extremo de la barra. Cuando se coloca una masa desconocida m en el platillo izquierdo, se balancea con una masa m1 colocada en el platillo derecho; en forma semejante, cuando la masa m2 se coloca en el platillo de la derecha, se balancea con una masa m2 colocada en el platillo de la e indique que se debe suponer para obtener este izquierda. Demuestre que m = m1·m2 resultado. BIBLIOGRAFÍA: • RESNICK, Robert; HALLIDAY, David. Física para estudiantes de Ingeniería - Parte I. • BEER Ferdinand P; JOHNSTON, E:Russel: Mecánica Vectorial para Ingenieros. • SERWAY, Raymond A. Física - Vol. 1. • BEDFORD Anthony ; FOWLER Wallace . Estática – Mecánica para Ingeniería. Módulo.07-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

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MODULO DE FISICA Nº8 ROTACION DEL CUERPO RIGIDO PROF. EUGENIO CONTRERAS Z. UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE FAC. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS PROSECUCIÓN DE ESTUDIOS.

™

INTRODUCCION.

En unidades anteriores hemos considerado únicamente el movimiento traslacional, en el que la posición de un objeto cambia a lo largo de una línea recta. Pero es posible que un objeto se mueva en una trayectoria curva o que tenga un movimiento rotacional. Por ejemplo, las ruedas, ejes, poleas, giróscopos y muchos otros dispositivos mecánicos giran sobre su eje sin que haya movimiento traslacional. La generación y transmisión de potencia casi siempre depende de algún tipo de movimiento rotacional. Es esencial que usted sea capaz de predecir y controlar este tipo de movimiento. Los conceptos y fórmulas que se presentan a continuación, serán útiles para que adquiera estas habilidades esenciales. ™

A

DESPLAZAMIENTO ANGULAR

El desplazamiento angular de un cuerpo describe la cantidad de rotación. Si el punto A en el disco giratorio de la figura 1 gira sobre su eje hasta el punto B, el desplazamiento angular se denota con el ángulo θ . Hay varias formas de medir este ángulo. Ya nos hemos familiarizado con las unidades de grados y revoluciones ( ó vueltas), las cuales están relacionadas de acuerdo con la definición

Figura 1. El desplazamiento angular “ θ ” se indica por la porción sombreada del disco. El desplazamiento angular es el mismo de C a D que de A a B para un cuerpo rígido.

C

B θ

D

1 rev = 360° Ninguna de estas unidades es útil para describir la rotación de cuerpos rígidos. Una medida más fácil de aplicar el desplazamiento angular es el radián (rad). Un ángulo de 1 rad es un ángulo central cuyo arco s es igual en longitud al radio R. (Véase la figura 2.) Es más común que el radián se defina por la siguiente ecuación: S θ= (1) R

S=R

R

1 rev

θ 1rad

1º R

R

1rad = 57,3º

1º =(1/360)rev Figura 2. Medida del desplazamiento angular y una comparación de unidades.

donde S es el arco de un círculo descrito por el ángulo θ. Puesto que el cuociente entre S y R es la razón de dos distancias, el radián es una cantidad sin unidades. El factor de conversión que permite relacionar radianes con grados se encuentra considerando un arco de longitud S igual a la longitud de una circunferencia ( 2πR) . Dicho ángulo en radianes se obtiene de la ecuación (1) 2πR θ= = 2π (rad) R

Así tenemos 1 rev = 360° = 2π rad de donde observamos que

1 rad =

360º = 57,3º 2π

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1

EJEMPLO 1:

Si la longitud del arco S es de 60 cm y el radio es de 100 cm, calcule el desplazamiento angular θ en radianes, grados y revoluciones. Solución Sustituyendo directamente en la ecuación (1), obtenemos θ =

60 cm S = = 0,6rad R 100 cm

Convirtiendo en grados nos queda 57,3º = 34,4º 1rad 1 rev θ = ( 34, 4º ) = 0,0956 rev 360º θ = ( 0,6rad )

Como 1 rev = 360°, EJEMPLO 2:

Un punto situado en el borde de un disco giratorio cuyo radio es de 8 m se mueve a través de un ángulo de 37°. Calcule la longitud del arco descrito por el punto. Solución Puesto que en la ecuación (1) quedó definido un ángulo medido en radianes, primero debemos convertir los 37° en radianes. 1 rad θ = ( 37º ) = 0,646 rad 57,3º La longitud del arco está dada por S = R θ = 8 m ( 0,646 rad) = 5,17 m

La unidad radián desaparece porque representa una relación de longitud a longitud (m/m = 1). ™

VELOCIDAD

ANGULAR.

A la razón de cambio del desplazamiento angular con respecto al tiempo se le llama velocidad angular. Por lo tanto, si un objeto gira a través de un ángulo θ en un tiempo t, su velocidad angular media está dada por θ (2) ω= t El símbolo ω (letra griega omega) se usa para denotar la velocidad rotacional(velocidad angular). Aún cuando la velocidad angular puede expresarse en revoluciones por minuto o revoluciones por segundo, en la mayoría de los problemas físicos es necesario utilizar radianes por segundo para adaptarse a fórmulas más convenientes. Puesto que la velocidad de rotación en gran número de problemas técnicos se expresa en términos de la frecuencia de revoluciones (frecuencia angular), la siguiente relación será de utilidad:

ω = 2πf

(3)

donde ω se mide en radianes por segundo (rad/s) y f se mide en revoluciones por segundo(rps). La ecuación (3) también se puede escribir en función del periodo T (tiempo que tarda en girar una vuelta 2π 1 ω= , donde f = o revolución) de la forma T T EJEMPLO 3. La rueda de una bicicleta tiene un diámetro de 66 cm y da 40 revoluciones en 1 min. (a) ¿Cuál es su velocidad angular? (b) ¿Qué distancia lineal se desplazará la rueda? Solución (a) La velocidad angular depende tan sólo de la frecuencia de rotación. En vista de que 1 rev = 2π rad,

⎛ 40rev ⎞ ⎛ 1 min ⎞ f =⎜ ⎟ = 0,667 rev / s = 0,667 rps ⎟⎜ ⎝ min ⎠ ⎝ 60 s ⎠ Módulo.08-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

2

Sustituyendo este valor en la ecuación (3) se obtiene la velocidad angular ω = 2 π f = ( 2 π rad)(0,667 rev/s) = 4,19 rad/s (b) El desplazamiento lineal S se puede calcular a partir del desplazamiento angular θ en radianes. ⎛ 2π rad ⎞ θ=⎜ ⎟ (40rev) = 251 rad ⎝ 1rev ⎠ Despejando S de la ecuación (1) obtenemos S = θ R = ( 251 rad) ( 0,33 m ) = 82,8 m Es importante observar que la velocidad angular considerada hasta ahora representa una velocidad media. ™

ACELERACIÓN ANGULAR

Al igual que el movimiento lineal, el movimiento rotacional puede ser uniforme o acelerado. La rapidez de la rotación puede aumentar o disminuir bajo la influencia de un momento de torsión resultante ( ó torque resultante). Por ejemplo, si la velocidad angular cambia de un valor inicial ωi a un valor final ωf en un tiempo t, la aceleración angular (α) es: ω − ωi α= f t Una forma más útil de escribir esta ecuación es, ωf = ωi + α t (4) Al comparar la ecuación (4) con la ecuación de cinemática lineal vf = vi · a t para la aceleración lineal se verá que sus formas son idénticas si establecemos analogías entre los parámetros angulares y lineales. Ahora que hemos introducido el concepto de velocidades angulares iniciales y finales, podemos expresar la velocidad angular media en términos de sus valores iniciales y finales: ω + ωi ω= f 2 ω en la ecuación (2) se obtiene una expresión más útil para el Al sustituir esta igualdad para ⎛ ω + ωi ⎞ θ = ω ·t = ⎜ f (5) ⎟ ·t ⎝ 2 ⎠ Esta ecuación es similar a una ecuación derivada para el movimiento lineal. En realidad, las ecuaciones para la aceleración angular tienen la misma forma básica que las que se conocen en cinemática lineal para la aceleración lineal, si establecemos las siguientes analogías:

desplazamiento angular:

d (m) por θ (rad) v (m/s) por ω (rad/s) a (m/s2) por α (rad/s2)

Comparación de las aceleraciones lineal y angular Aceleración lineal constante ⎛ v + vi ⎞ d = v ·t = ⎜ f ⎟ ·t ⎝ 2 ⎠ v f = v i + at 1 d = v i t + at 2 2 v 2f − v i2 = 2 ad

Aceleración angular constante ⎛ ω + ωi ⎞ θ = ω ·t = ⎜ f ⎟ ·t ⎝ 2 ⎠

ωf = ωi + αt 1 θ = ωi t + αt 2 2 ω2f − ωi2 = 2 αθ

El tiempo, desde luego, es el mismo para ambos tipos de movimiento y se mide en segundos. La tabla anterior ilustra las similitudes entre el movimiento rotacional y el lineal. Al aplicar estas fórmulas, debemos tener cuidado de elegir las unidades apropiadas para cada cantidad. También es importante seleccionar una dirección (en el sentido del avance de las manecillas del reloj o contrario a éste) como positiva y conservarla en forma consistente para asignar los signos apropiados a cada cantidad. Módulo.08-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

3

EJEMPLO 4. Un volante aumenta su velocidad de rotación de 6 a 12 rev/s en 8 s. ¿Cuál es su aceleración angular? Solución Calcularemos primero las velocidades angulares inicial y final: fi = 6 rev/s ff = 12 rev/s ⎛ 2 π rad ⎞ ⎛ 6 rev ⎞ ωi = 2 π fi = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = 12 π (rad / s) ⎝ rev ⎠ ⎝ s ⎠ ⎛ 2 π rad ⎞ ⎛ 12rev ⎞ ωf = 2 π ff = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = 24 π (rad / s) ⎝ rev ⎠ ⎝ s ⎠ ω − ωi (24π − 12π)(rad / s) α= f = = 1,5π (rad / s) = 4,71(rad / s) t 8 (s) EJEMPLO 5. Una rueda de esmeril que gira inicialmente con una velocidad angular de 6 rad/s recibe una aceleración constante de 2 rad/s2. (a) ¿Cuál será su desplazamiento angular en 3 s?. (b) ¿Cuántas revoluciones habrá dado? (c) ¿Cuál es su velocidad angular final? Solución 1 (a) El desplazamiento angular está dado por θ = ωi t + αt 2 2 1 θ = ( 6rad / s)(3 s) + ·(2rad / s2 )·(3 s )2 = 18(rad) + (1rad / s2 )·9 s2 ⇒ θ = 27 (rad) . 2 ⎛ 1 rev ⎞ (b) Puesto que 1 rev = 2π rad, obtenemos θ = 27(rad) ⎜ ⎟ = 4,3rev ⎝ 2π rad ⎠ (c) La velocidad angular final es igual a la velocidad angular inicial más el cambio en la velocidad. Por consiguiente, ωf = ωi + αt = 6 rad/s+ (2 rad/s2) (3 s) = 12 rad/s ™

RELACIÓN ENTRE LOS MOVIMIENTOS ROTACIONAL Y LINEAL

•

Velocidad lineal y velocidad angular. El eje de rotación de un cuerpo rígido que gira se puede definir como la línea de partículas que permanecen estacionarias durante la rotación. Se puede tratar de una línea a través del cuerpo, como en el caso de un trompo, o puede ser una línea a través del espacio, como un aro en rotación. En cualquier caso, nuestra experiencia nos dice que cuanto más lejos está la partícula del eje de rotación, mayor es su velocidad lineal. Este hecho se expresa mediante la fórmula estudiada en el movimiento circular, v = 2 π f R

Por la ecuación (3) , entonces:

S ω=

θ t

R

S v= t

θ R

t=t

G v

Figura 3. Relación entre la velocidad angular y la velocidad lineal.

ω= 2πf ,

v = ωR

G v

t=0

(6)

EJEMPLO 6. Un eje de tracción tiene una velocidad angular de 60 rad/s. ¿A qué distancia del eje deben colocarse unos contrapesos para que éstos tengan una velocidad lineal de 120 pie/s?

Solución De la ecuación (6),

v = ωR ⇒

R=

v 120 pie / s = ω 60(rad / s)

⇒

R = 2 pie.

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4

•

Aceleración tangencial (lineal) y aceleración angular.

Consideremos nuevamente una partícula que se mueve en un círculo de radio R y supongamos que la velocidad lineal cambia de cierto valor inicial vi al valor final vf en un tiempo t . La aceleración v − vi tangencial a T de dicha partícula está dada por aT = f t Debido a la estrecha relación entre la velocidad lineal y la angular, como quedó representado en la ecuación (6), podemos expresar también la aceleración tangencial en términos de un cambio en la velocidad angular. ω R − ωi R ⎛ ω − ωi ⎞ = ⎜ f aT = f ⎟R t t ⎝ ⎠ Pero la expresión entre paréntesis representa la aceleración angular “α”, Entonces: •

aT = α R

(7)

Aceleración resultante ó neta:

Debemos ser cuidadosos en distinguir entre la aceleración tangencial, como quedó definida en la ecuación (7), y la aceleración centrípeta definida por v2 (8) aC = R La aceleración tangencial representa un cambio en la velocidad lineal, mientras que la aceleración centrípeta representa tan sólo un cambio en la dirección del movimiento. La distinción se muestra gráficamente en la figura 4. La aceleración neta ó resultante puede determinarse calculando el vector suma de las aceleraciones tangencial y G aneta = aT2 + aC2 centrípeta. Su magnitud está dada por

v2 aC = R

G aC R

G aT G a

Figura 4. Relación entre las aceleraciones tangencial y centrípeta.

EJEMPLO 7. Calcule la aceleración resultante de una partícula que se mueve en un círculo con un radio de 0,5 m en el instante en que su velocidad angular es de 3 rad/s y su aceleración angular es de 4 rad/s2. Solución.

La aceleración tangencial según la ecuación (7) es aT = α R = (4 rad/s2) ( 0,5 m) = 2 m/s2 v2 ω2 R2 = = ω2 R R R = (3 rad/s) 2 · ( 0,5 m) = 4.5 m/s2

Como v = ω R, la aceleración centrípeta está dada por de donde obtenemos

aC

aC =

Por último, la magnitud de la aceleración resultante se obtiene del teorema de Pitágoras. G aneta = aT2 + aC2 = 22 + 4,52 aNETA = 4,92 m/s2 La dirección de la aceleración resultante se determina a partir de sus componentes, en la forma acostumbrada. ™

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.)

Un cable está enrollado en torno de un carrete de 80 cm de diámetro. ¿Cuántas revoluciones de este carrete se requieren para que un objeto atado al cable recorra una distancia rectilínea de 2 m? ¿Cuál es el desplazamiento angular?. R: 0,796 rev ; 5 rad.

2.)

La rueda de una bicicleta tiene 66 cm de diámetro. Si esa rueda describe 60 revoluciones, ¿qué distancia rectilínea recorrerá?. R: 124 m.

3.)

Un punto localizado en el borde de una gran rueda cuyo radio es 3 m se mueve en un ángulo de 37°. Halle la longitud del arco descrito por ese punto. R: 1,94 m

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5

4.)

Una persona sentada en el borde de una plataforma de 6 pie de diámetro recorre una distancia de 2 pie. Exprese el desplazamiento angular de esa persona en radianes, grados y revoluciones. R: 0,667 rad ; 0,106 rev ; 38,2º

5.)

Un motor eléctrico gira a 600 rpm. ¿Cuál es su velocidad angular? ¿Cuál es el desplazamiento angular después de 6 s?. R: 62,8 rad/s ; 377 rad.

6.)

Una polea giratoria completa 12 revoluciones en 4 s. Calcule la velocidad angular promedio en revoluciones por segundo, revoluciones por minuto y radianes por segundo. R: 3 rps ; 28,6 rpm ; 18,8 rad/s

7.)

Un cubo cuelga de una cuerda enrollada con varias vueltas en un carrete circular cuyo radio es de 60 cm. El cubo parte del reposo y asciende hasta una altura de 20 m en 5 s. a) ¿Cuántas revoluciones giró el carrete? b) ¿Cuál fue la velocidad angular promedio del carrete al girar? . R: 5,31 rev ; 6,67 rad/s

8.)

Una rueda de 15.0 cm de radio parte del reposo y completa 2.00 revoluciones en 3.00 s. a) ¿Cuál es la velocidad angular promedio en radianes por segundo? b) ¿Cuál es la velocidad lineal final de un punto situado en el borde de la rueda?. R: 4,19 rad/s ; 1,26m/s

9.)

Un trozo cilíndrico de material de 0,5 pie de diámetro gira en un torno a 800 rev/min. ¿Cuál es la velocidad lineal en la superficie del cilindro?. R: 20,9 pie/s

10.) La velocidad tangencial adecuada para fabricar material de acero es de 70 cm/s aproximadamente. ¿A cuántas revoluciones por minuto deberá girar en un torno un cilindro de acero cuyo diámetro es de 8 cm? . R: 16,7 rpm 11.) ¿Cuál es la aceleración angular de la rueda descrita en el problema 8? ¿Cuál es la aceleración lineal de un punto localizado en el borde de esa rueda?. R: 0,419 m/s2 12.) Un carrete circular de 40 cm de radio gira inicialmente a 400 rev/min. Luego se detiene por completo después de 50 revoluciones. ¿Cuáles fueron la aceleración angular y el tiempo de detención?. R: 2,79 (rad/s) ; t = 15 (s) 13.) Una correa pasa por la ranura de una polea cuyo diámetro es de 40 cm. La polea gira con una aceleración angular constante de 3,5 rad/s2. La rapidez rotacional es de 2 rad/s en t = 0. ¿Cuáles son el desplazamiento angular y la velocidad angular de la polea 2 s más tarde?. R: 11 rad ; 9 rad/s 14.) En el problema 13, ¿cuáles son la rapidez lineal final y la aceleración lineal final de la correa cuando se mueve sobre la ranura de la polea? . R: 1,8 m/s ; 0,75 m/s2 15.) Una rueda gira inicialmente a 6 rev/s y después se somete a una aceleración angular constante de 4 rad/s2. ¿Cuál es su velocidad angular después de 5 s? ¿Cuántas revoluciones completará la rueda?. R: 57,7 rad/s ; 37,9 rev. 16.) Un disco rectificador detiene su movimiento en 40 revoluciones. Si la aceleración de frenado fue de -6 rad/s2, ¿cuál fue la frecuencia inicial de giro en revoluciones por segundo?. R: 8,74 rps 17.) Una polea de 320 mm de diámetro gira inicialmente a 4 rev/s y luego recibe una aceleración angular constante de 2 rad/s2. ¿Cuál es la velocidad lineal de una correa montada en dicha polea, al cabo de 8 s.?¿Cuál es la aceleración tangencial de la correa?. 18.) Una persona que inicialmente se encontraba en reposo, colocada a 4 m del centro de una plataforma giratoria, recorre una distancia de 100 m en 20 s. ¿Cuál es la aceleración angular de la plataforma? ¿Cuál es la velocidad angular al cabo de 4 s?. R: 0,125 rad/s2 ; 0,5 rad/s

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6

™

ENERGÍA CINÉTICA ROTACIONAL: MOMENTO DE INERCIA

Hemos visto que una partícula que se mueve en un círculo de radio R tiene una velocidad lineal dada por v=ωR Si la partícula tiene una masa m, tendrá una energía cinética que se obtiene por 1 1 EC = mv 2 = m ω2 R2 2 2

G v

Un cuerpo rígido como el de la figura 5 se puede considerar formado por muchas partículas de diferentes masas localizadas a diversas distancias del eje de rotación O. La energía cinética total de un cuerpo será entonces la suma de las energías cinéticas de cada partícula que forma el cuerpo. Así, n

EC = ∑ EC(i) =

1

i =1

2

m1·r12 ω2 +

1

2

m2 ·r23 ω2 + ... +

1

2

(

r

)

1 EC = ∑ mr 2 ω2 2 La cantidad entre paréntesis ∑ mr 2 , tiene el mismo valor para un cuerpo dado independientemente de su estado de movimiento. Se define esta cantidad el momento de inercia o inercia rotacional y se representa con I:

m2

ω O

mn ·rn2 ω2

Puesto que la constante ½ y la velocidad angular ω son las mismas para todas las partículas, se puede reorganizar la ecuación anterior y obtener

m4

mn m1

m3

Figura 5. Rotación de un cuerpo extenso. El cuerpo puede considerarse como un conjunto de masas individuales que giran con la misma velocidad angular.

I = m1 r12 + m2 r22 + m3 r32 + ...

o bien

I=

∑ mr

2

(9)

De la definición se observa que el momento de inercia de un cuerpo depende del eje con respecto al cual esté girando, así como de la forma del cuerpo y de la manera como esté distribuida su masa. Esto significa que un mismo cuerpo tiene infinitos momentos de inercia, dependiendo del eje respecto del cual rota. Se dice que el Momento de Inercia ( I ) "es la resistencia de un objeto a los cambios en su estado de movimiento rotacional". Las dimensiones del momento de inercia son ML2 , por lo tanto dependiendo del sistema en que se exprese su valor, sus unidades pueden ser kg·m2 ( S.I.) y gr·cm2 (Sistema cegesimal). Utilizando la definición del momento de inercia, podemos expresar la energía cinética rotacional de un cuerpo en términos de su momento de inercia y de su velocidad angular: EC.ROT =

1 I ω2 2

(10)

Note la similitud entre los términos m para el movimiento lineal e I para el movimiento rotacional. La energía cinética de rotación no es una nueva forma de energía, ya que se trata de energía cinética ordinaria la cual es la resultante de las energías cinéticas de todas las partículas que conforman el cuerpo rígido. Comparando la ecuación de la energía cinética K = 12·mv 2 con la expresión (10), las cantidades " I " y "ω" en el movimiento de rotación son análogas a " m " y " v " del movimiento lineal. Para cuerpos que no están compuestos por masas separadas, sino que son en realidad distribuciones continuas de materia, los cálculos del momento de inercia son más difíciles y generalmente requieren conocimientos de cálculo integral. En la figura 6 se muestran algunos casos sencillos, junto con las fórmulas para calcular sus momentos de inercia. A veces es conveniente expresar la inercia rotacional de un cuerpo en términos de su radio de giro k. Módulo.08-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

7

Esta cantidad se define como la distancia radial del centro de rotación a la circunferencia en la cual se puede considerar concentrada la masa total del cuerpo sin cambiar su momento de inercia. De acuerdo con esta definición, el momento de inercia se calcula a partir de la fórmula I = m k2

(11)

donde “m” representa la masa total del cuerpo que gira y “k” es su radio de giro. Figura 6. Momentos de inercia de algunos cuerpos con respecto a sus ejes indicados.

(a) Aro delgado

(b) Aro delgado alrededor de uno de sus extremos

(c) Disco sólido

I = ½ mR2

I = ½ mR2

I = mR2

(d) Cilindro sólido

(e) Cilindro hueco

I = ½ mR2

(g) Barra delgada, eje en uno de sus extremos

I = 1/3 mL2 ™

(f) Barra delgada, eje a través de su centro

I = ½ m ( R12 + R22 )

I = 1/12 mL2

(h) Esfera sólida, eje en su diámetro

(i) Esfera hueca de pared delgada

I = 2/5 m R2

I = 2/3 mR2

TEOREMA DE STEINER ( o de los ejes paralelos ).

Este teorema es de gran utilidad para determinar el momento de inercia de un rígido, que pueda rotar alrededor de un eje arbitrario paralelo al eje que pasa por su centro de masa. Si el momento de inercia alrededor de cualquier eje que pasa por el centro ICM y’ de masa es I0 = ICM , el momento de inercia " I" del cuerpo alrededor de un eje paralelo que pasa a una distancia "d" del eje que pasa por su centro de masa es: I = ICM + Md2 .

(12)

donde: Eje (1) : eje que pasa por el centro de masa CM. Eje (2) : eje paralelo al que pasa por el centro de masa. d : distancia entre los ejes paralelos I : Momento de inercia del sólido respecto al eje paralelo al que pasa por el C.M. ICM : Momento de inercias del sólido respecto al eje que pasa por el C.M. M : Masa total del sólido. Módulo.08-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

d (1)

(2)

Figura 7

8

EJEMPLO 8.

Calcule el momento de inercia para el sistema ilustrado en la fig. 8. El peso de las barras que unen las masas es despreciable y el sistema gira con una velocidad angular de 6 rad/s. ¿Cuál es la energía cinética rotacional? (Considere que las masas están concentradas en un punto.)

4kg

2kg

2kg

Solución Partiendo de la ecuación (9), el momento de inercia es

4kg

I = m1 r12 + m2 r22 + m3 r32 I = (2 kg)(0,5 m)2 + (4 kg)(0,2 m)2 + (2 kg)(0,5 m)2 + (4 kg) (0,2 m)2

Figura 8. Cálculo del momento de inercia.

I = (0,5 + 0,16 + 0,5 + 0,16 ) kg•m2 I = 1,32 kg ·m2

La energía cinética rotacional está dada por EC.ROT =

1 1 (1,32 kg·m2 )( 6 rad / s)2 I ω2 = 2 2

⇒

EC.ROT = 23,8 (J)

EJEMPLO 9:

Se tiene un rígido formado por dos barras homogéneas de masa M = 1,8 kg y largo L = 0,6m cada una. En los extremos de las barras hay 2 partículas de masas m = 0,5 kg cada una. Calcular el momento de inercia que tiene el rígido respecto de un eje perpendicular al plano horizontal de la figura y que pasa por "o".

1/3L

o

• 2/3L

Solución Io = 2·IBARRA + 2·IPARTICULA

Para determinar el momento de inercia de una barra, se aplica el teorema de Steiner respecto al punto "o" 2

IoB = ICM

IoB =

ML2 ML2 ⎛ 2L L ⎞ ⎛L⎞ + M⎜ ⎟ + Md = + M⎜ − ⎟ = 12 2⎠ 12 ⎝ 3 ⎝6⎠

2

2

ML2 1,8kg·(0,6m)2 = 9 9

⇒

•

IoB = 0,072(kg·m2 )

El momento de inercia de una partícula respecto del eje que pasa por "o" es: 2

⎛ 2L ⎞ ⎛ 2·0,6m ⎞ IoP = m·r 2 = m·⎜ ⎟ = 0,5kg·⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠

⇒

IoP = 0,08(kg·m2 )

Entonces, el momento de inercia del sistema respecto a un eje que pasa por el punto "o" es: Io = 2·0,072(kg·m2 ) + 2·0,08(kg·m2 )

⇒

Io = 0,304(kg·m2 ) .

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9

™

EJERCICIOS PROPUESTOS: ENERGÍA CINÉTICA ROTACIONAL - MOMENTO DE INERCIA

19.) Una masa de 2 kg y una masa de 6 kg están unidas por una barra ligera de 30 cm. Se hace girar el sistema horizontalmente a 300 rpm en torno a un eje localizado a 10 cm de la masa de 6 kg. ¿Cuál es el momento de inercia en torno de este eje? ¿Cuál es la energía cinética rotacional?. R: 0,14 kg·m2 ; 69,1 J. 20.) La rueda de una bicicleta pesa 1.2 kg y tiene 70 cm de radio; además, tiene rayos cuyo peso es insignificante. Si parte del estado de reposo y recibe una aceleración angular de 3 rad/s2, ¿cuál será su energía cinética rotacional después de 4 s? (La rueda de bicicleta se aproxima a un aro circular.). R: 42,3 J. 21.) Un disco esmeril de 34,3 N gira a 400 rev/min. ¿Cuál es el radio del disco si su energía cinética es de 75 Joule? ¿Cuál es el momento de inercia?. R: 22,1 cm 22.) ¿Cuál deberá ser el radio de un disco circular de 4 kg si se requiere que su momento de inercia sea igual al de una varilla de 1 kg de masa y 1 m de longitud y que oscila apoyada en su punto medio? . R: 20,4 cm. 23.) La rueda de una carreta mide 60 cm de diámetro y está montada en un eje central sobre el cual gira a 200 rev/min. Se puede considerar que la rueda es un aro circular de 2 kg de masa y cada uno de sus 12 rayos de madera de 500 g puede considerarse como una varilla delgada que gira sobre sus extremos. Calcule el momento de inercia de toda la rueda. ¿Cuál es su energía cinética rotacional?. R: 0,36 kg·m2 ; 78,9 J 24.) Compare la energía cinética rotacional de tres objetos que tienen radios y masas iguales: un aro circular, un disco circular y una esfera sólida. ™

LA SEGUNDA LEY DEL MOVIMIENTO EN LA ROTACIÓN

Suponga que analizamos el movimiento de rotación del cuerpo rígido de la figura 9. Considere una G fuerza F que actúa sobre la pequeña masa m, indicada por la porción sombreada del objeto, a una distancia r del eje de rotación. G La fuerza F aplicada en forma perpendicular a r hace que el cuerpo G F gire con una aceleración tangencial: m

aT = α r donde α es la aceleración angular. Partiendo de la segunda ley de Newton del movimiento,

at= α r

r ω

F = maT = m α r

O

Multiplicando ambos lados de esta relación por r queda F r = ( m r ) α 2

La cantidad Fr se reconoce como el torque ó momento de torsión producido por la fuerza F con respecto al eje de rotación. Por lo tanto, para la masa m escribimos τ = ( m r2 ) α Se puede derivar una ecuación similar para todas las demás porciones del objeto que gira. Sin embargo, la aceleración angular será constante para cada porción independientemente de su masa o de su distancia con respecto al eje. Por consiguiente, el momento de torsión resultante en todo el cuerpo es

τ=

( ∑ mr ) α 2

= Iα .

Figura 9 : La segunda ley de Newton para el movimiento de rotación enuncia la relación entre el momento de torsión Fr y la aceleración angular α.

(13)

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10

Observe la similitud de la ecuación (13) con la segunda ley del movimiento lineal, F = ma. La ley del movimiento rotacional de Newton se enuncia como sigue: Un momento de torsión resultante aplicado a un cuerpo rígido siempre genera una aceleración angular que es directamente proporcional al momento de torsión aplicado e inversamente proporcional al momento de inercia del cuerpo.

Al aplicar la ecuación (13) es importante recordar que el momento de torsión producido por una fuerza es igual al producto de la distancia al eje por la componente perpendicular de la fuerza. También debe recordarse que la aceleración angular se expresa en rad/s2 .

M

EJEMPLO 10.

Una rueda de radio R = 0,6 m , masa M = 2 kg y momento de inercia ICM = 1 MR2 , se encuentra montada sobre un eje horizontal sin fricción. En su 2

o R G T

periferia se encuentra enrollada una cuerda que soporta un cuerpo de masa m = 0,5 kg. Calcule, (a) la tensión en la cuerda, (b) la aceleración lineal de la masa “m” y (c) la aceleración angular de la rueda.

G T

m

Solución:

R = 0,6 m

G mg

ICM = 1 MR2 2

M = 2 kg

La fuerza que produce el momento de torsión respecto al eje de rotación que pasa por su centro de masa, corresponde a la tensión "T" ejercida por la cuerda sobre la periferia de la rueda. Las otras fuerzas que actúan en la rueda son su peso y la fuerza normal (reacción) ejercida por el eje sobre la rueda, las cuales no produce momento de torsión debido a que actúan en el punto de rotación. Considerando entonces el punto "o" como punto de rotación, se tiene que τ = I o ·α y τ = T·R , T·R entonces (*) Io ·α = T·R ⇒ α = Io Tomando ahora la masa "m" y aplicando las segunda ley de Newton a su movimiento, se llega a : ΣFy = mg − T = m·a

(**)

Pero la aceleración lineal del cuerpo es igual a la aceleración tangencial de un punto de la periferia de la rueda. En consecuencia, la aceleración angular de la rueda se relaciona con la aceleración lineal mediante la expresión a = α·R . mg − T Reemplazando en (**), mg − T = m·αR ⇒ α = (***) m·R m·g·I mg − T T·R = ⇒T= Haciendo (*) = (***) m·R I m·R2 + I Considerando que

0,5(kg)·10(m / s2 )·0,36(kg·m2 ) T= 0,5(kg)·(0,6m)2 + 0,36(kg·m2 )

Se llega a: De (**) a = α=

Io = 1 MR2 = 1 ·2kg·(0,6m)2 = 0,36(kg·m2 ) 2 2

mg − T 0,5(kg)·10(m / s2 ) − 2,73 = m 0,5(kg)

a 4,54(m / s2 ) = R 0,6(m)

⇒

⇒

T = 3,33(N)

⇒

a = 3,34(m / s2 )

α = 5,57(rad / s2 )

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11

EJEMPLO 11.

G F

m1

Una masa m2 = 7 kg. cuelga de una cuerda ligera que pasa por una polea de masa M = 0,5kg , radio R = 0,2m y momento de inercia ICM = 1 MR2 . En el otro extremo de la cuerda se encuentra unido 2 un cuerpo de masa m1 = 4 kg, al cual se le aplica una fuerza F = 90 N paralela al plano, como lo muestra la figura. El coeficiente ºe roce cinético entre la masa m1 y el plano horizontal es 0,3. Calcule la aceleración de las masas y las tensiones T1 y T2 en la cuerda. Considere que no hay deslizamiento entre la cuerda y la polea.

m2

G N

SOLUCION:

Haciendo DCL para cada masa y la polea ( que tiene masa y momento de inercia ) y escribiendo la segunda ley de Newton: Para m1: F - T1 - fk = m1·a (1) (2) N - m1 g = 0 Para m2:

•

T2 - m2 g = m2 · a

G F

G T1 G fk

m1

G T1

•

G m1g

(3)

G T2

Incluyendo el efecto de la polea sobre el movimiento, el momento de torsión neto en torno al eje de la polea es:

m2

G m2 g

T1 · R - T2 · R = Icm · α ( T1 - T2 ) R = Icm · α

G N

G T1

(4)

Si fk = µk·N1 = µk · m1 g (1+3 )

G T2

(5)

•

F - T1 - µk · m1 g + T2 - m2g = ( m1 + m2 ) · a - (T1 - T2) + F - µk· m1 g - m2 g = ( m1 + m2 ) · a

( 6)

G T2

G Mg

Reemplazando ICM = 1 MR2 y α = a / R en (4) 2 /:R ( T1 - T2 ) R = 1/2· M R2 · a/R (7) ( T1 - T2 ) = 1/2· M · a haciendo (6) + (7) a=

F - µk · m1 g - m2 g = ( m1 + m2 ) · a + 1/2 M · a

2·(F − fk − m2 ·g) 2·(90 − 0,3·4·10 − 7·10) = 2(m1 + m2 ) + M 2·( 4 + 7) + 0,5

⇒

a = 0,71(m / s2 )

⇒

T1 = 75,16(N)

(8)

Reemplazando (8) en (1) : T1 = F - µk·m1g - m1·a = 90 - 0,3·4·10 - 4 · 0,71 Reemplazando (8) en (3): T2 = m2 ( g + a ) = 7 ( 10 + 0,71 )

⇒

T2 = 74,97 (N)

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12

EJEMPLO 12. Un disco de esmeril de radio 0.6 m y 90 kg de masa gira a 460 rpm. ¿Qué fuerza de fricción, aplicada en forma tangencial al borde, hará que el disco se detenga en 20 s? Solución Primero calculamos el momento de inercia del disco a partir de la fórmula dada en la figura 7. I = ½ mr2 = ½ (90 kg) (0,6 m)2 = 16,2 kg·m2

Convirtiendo la velocidad rotacional (velocidad angular) a radianes por segundo obtenemos 460·2π(rad) = 48,1(rad / s) 60(s) ω − ωi 0 − 48,1(rad / s) α= f = = − 2,41(rad / s2 ) La aceleración angular es t 20(s)

ω=

Aplicando la segunda ley de Newton nos da I α (16,2 kg·m2 ) ( −2,41rad / s2 ) F= = τ=Fr = Iα ⇒ ⇒ F = - 65 (N) . r 0,6 m El signo negativo aparece debido a que la fuerza debe tener una dirección opuesta a la de rotación del disco. ™

EJERCICIOS PROPUESTOS: SEGUNDA LEY DE NEWTON Y ROTACIÓN

25.) Una cuerda que está enrollada en un carrete circular de 5 kg permite arrastrar objetos con una tensión de 400 N. Si el radio del carrete es de 20 cm y puede girar libremente sobre su eje central, ¿cuál es la aceleración angular?. R: 800 rad/s2 26.) El volante de un motor tiene un momento de inercia de 32,5 kg m2. ¿Qué momento de torsión se requiere para acelerar el volante desde el reposo hasta una velocidad angular de 400rpm en 10 s?. R: 136 (N m) 27.) Una varilla delgada de 3 kg tiene 40 cm de longitud y oscila sobre su punto medio. ¿Qué momento de torsión se requiere para que la varilla describa 20 revoluciones al tiempo que su rapidez de rotación se incrementa de 200 a 600 rev/min?. R: 0,558 (Nm) 28.) Una rueda grande de turbina pesa 120 kg y tiene un radio de giro de 1 m. Un momento de torsión friccional de 80 N·m se opone a la rotación del eje. ¿Qué momento de torsión se deberá aplicar para acelerar la rueda desde el reposo hasta 300 rev/min en 2 s?. R: 1884 Nm 29.) Una masa de 2 kg se balancea en el extremo de una varilla ligera, describiendo un círculo de 50 cm de radio. ¿Qué momento de torsión resultante se requiere para impartir a esa masa una aceleración angular de 2,5 rad/s2?. R: 1,25 Nm 30.) Una cuerda está enrollada con varias vueltas en un cilindro de 0,2 m de radio y 30 kg de masa. ¿Cuál es la aceleración angular del cilindro si la cuerda tiene una tensión de 40 N y gira sin fricción alguna?. R: 13,3 rad/s2 31.) Un disco rectificador de 8 kg tiene 60 cm de diámetro y gira a 600 rey/min. ¿Qué fuerza de frenado se deberá aplicar tangencialmente al disco para detener su movimiento de rotación en 5 s?. R:15,1 N 32.) Un momento de torsión no balanceado de 150 N·m le imparte una aceleración angular de 12 rad/s2 al rotor de un generador. ¿Cuál es el momento de inercia?. R: 12,5 kg·m2

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13

™

TRABAJO Y POTENCIA ROTACIONALES.

En unidades anteriores se definió el trabajo como el producto de un desplazamiento por la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento. Ahora consideremos el trabajo realizado en el desplazamiento rotacional bajo la influencia de un momento de torsión resultante. Considere la fuerza F que actúa al borde de una polea de radio r, como muestra la figura (9). El efecto de dicha fuerza es hacer girar la polea a través de un ángulo θ mientras el punto en el que se aplica la fuerza se mueve una distancia S. La distancia del arco S se relaciona con θ mediante S= r θ El trabajo de la fuerza F es por definición Trabajo = W = F S = F r θ

t=0

θ

G F

S

r t=t

G F Figura 9. Trabajo y potencia en el movimiento de rotación.

Pero F r es el momento de torsión debido a la fuerza, por lo que obtenemos W= τθ

(14)

El ángulo “θ” debe expresarse en radianes en cualquier sistema de unidades de modo que el trabajo pueda expresarse en libras-pie o Joules. La energía mecánica generalmente se transmite en la forma de trabajo rotacional. Cuando hablamos de la potencia de salida que desarrollan las máquinas, lo que nos interesa es la rapidez con que se realiza el trabajo rotacional. Por lo tanto, la potencia rotacional puede determinarse dividiendo ambos lados de la ecuación (14) por el tiempo t requerido para que el momento de torsión τ lleve a cabo un desplazamiento θ : W τθ = (15) t t Puesto que “θ / t” representa la velocidad angular media ω , escribimos Potencia = P =

Potencia = P = τ ω

(16)

Observe la similitud entre esta relación y su análoga, P = F v, movimiento lineal. Ambas medidas son una potencia media.

obtenida anteriormente para el

EJEMPLO 13. Una rueda de 60 cm de radio tiene un momento de inercia de 5 kg·m2. Se aplica una fuerza constante de 60 N al borde de ella. (a) Suponiendo que parte del reposo, ¿qué trabajo se realiza en 4 s? (b) ¿Qué potencia se desarrolla? Solución (a) El trabajo es el producto del momento de torsión por el desplazamiento angular. Primero calculamos el momento de torsión aplicado: τ = F r = ( 60N ) ( 0,6m ) = 36 N·m

A continuación, determinamos la aceleración angular “α” a partir de la segunda ley de Newton para el movimiento rotacional. α=

τ 36 N·m = = 7,2 rad / s2 I 5 kg·m2

Ahora se puede calcular el desplazamiento angular θ. 1 1 θ = ωi t + α t 2 = 0 + (7,2 rad / s2 )(4 s)2 = 57,6 rad 2 2 Por lo tanto, el trabajo es W = τ θ = (36 N·m) (57,6 rad) = 2070 J W 2070 J = = 518 Watt t 4s Se podría llegar al mismo resultado calculando la velocidad angular media ω y utilizando la ecuación 15.

(b) La potencia media es P =

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14

™

RELACION TRABAJO-ENERGIA PARA EL MOVIMIENTO ROTACIONAL.

En cinemática lineal se estudió que el trabajo neto que actúa sobre un sistema, equivale a la variación de la energía cinética, es decir: Wneto = ∆EC = EC(f ) − EC(i) En el caso de la rotación de un objeto simétrico alrededor de un eje fijo, “el trabajo realizado por las fuerzas externas, es igual al cambio en la energía rotacional”. Para demostrar esta situación, se sabe que: W = τ θ Es decir, Luego,

W = I α θ , pero:

⎛ ω2 − ωi2 ⎞ W = I· ⎜ f ⎟ 2 ⎠ ⎝

⇒

y

ω2f − ωi2 = 2 α θ ⇒ α θ = W=

τ = I·α ω − ωi2 2 2 f

Iω2f Iωi2 − = EC.rot(f ) − EC.rot(i) = ∆EC(rot ) . 2 2

(17)

Esta relación muestra que el trabajo rotacional realizado por una fuerza es igual al cambio en la energía cinética rotacional. ™

EJERCICIOS PROPUESTOS: TRABAJO ROTACIONAL Y POTENCIA

33.) Una cuerda enrollada en un disco de 3 kg y 20 cm de diámetro recibe una fuerza de tracción de 40 N que la desplaza una distancia lineal de 5 m. ¿Cuál es el trabajo lineal realizado por la fuerza de 40 N? ¿Cuál es el trabajo rotacional realizado sobre el disco?. R: 200 J ; 200 J 34.) Aplique el teorema del trabajo y la energía para calcular la velocidad angular del disco, si éste parte del estado de reposo en el problema 33. R: 163 rad/s 35.) Un motor de 1,2 kw impulsa durante 8 s una rueda cuyo momento de inercia es 2 kg·m2. Suponiendo que la rueda estaba inicialmente en reposo, ¿qué rapidez angular promedio llegó a adquirir?. R: 98 rad/s 36.) Un cordón está enrollado en el borde de un cilindro que tiene 10 kg de masa y 30 cm de radio. Si se tira del cordón con una fuerza de 60 N, ¿cuál es la aceleración angular del cilindro? ¿Cuál es la aceleración lineal del cordón?. R: 40 rad/s2 37.) Un motor de 600 watt impulsa una polea con una velocidad angular promedio de 20 rad/s. ¿Cuál es el momento de torsión así obtenido?. R: 30 N·m 38.) El cigüeñal de un automóvil desarrolla un momento de torsión de 350 lbf·pie a 1800 rpm. ¿Cuál es la potencia resultante en caballos de fuerza?. R: 65975 lbf·pie/s

♦

EJERCICIOS PROPUESTOS: DIVERSOS

39.) Una varilla delgada de 0,3 Kg y largo L = 1 m , rota en torno a un eje que pasa por uno de sus extremos con una rapidez angular de 2 rad/s. Se le aplica una fuerza de 20 N durante 3 s, a una distancia L/2 de su eje de giro, con un ángulo de 60º respecto al vector posición del punto de aplicación de F. Si Icm = (1/12)ML2, determine: a.) Momento de inercia respecto al punto P ubicado en uno de los extremos de la barra, b.) Torque aplicado, c.) aceleración angular, d.) velocidad angular a los 3 seg., e) desplazamiento angular durante los primeros 3 s. R: 0,1 kg·m2 ; 8,66 Nm; 86,6 rad/s2 ; 261,8 rad/s ; 395,7 rad 40.) Dos esferas de masas m1 = 2 Kg. y m2 = 3 Kg., están en los extremos de una varilla de masa despreciable y van a girar en torno a un eje que pasa por L/2. Se les aplica una fuerza F = 25 N sobre la esfera 2, y perpendicular a la varilla, durante 5 s. Si L = 1,2 m, determine: (a) Momento de inercia del sistema , (b) torque aplicado , (c) aceleración angular , (d) desplazamiento angular a los 5 s. , (e) trabajo rotacional a los 5 s. (f) Energía cinética de rotación. (g) la potencia media . R: 1,8kgm2 ; 15 Nm ; 8,3 rad/s2 ; 103,75 rad ; 1556,25 J ; 1550,025 J ; 622,5 Watt Módulo.08-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

15

41.) Una esfera hueca de masa M=6 kg y radio R=8 cm puede rotar alrededor de un eje vertical. Una cuerda sin masa está enrollada alrededor del plano ecuatorial de la esfera, pasa por una polea de momento de inercia I =3·10-3 kg m2 y radio r = 5 cm y está atada al final a un objeto de masa m =0,6 kg. No hay fricción en el eje de la polea y la cuerda no resbala. Cuál es la velocidad del objeto cuando ha descendido 80 cm?. I (esfera hueca)=2/3 MR2 R: 1,27 m/s

42.) Una polea de 800 gr de masa con un radio de giro de 7 cm, está unida a dos bloques por medio de una cuerda inextensible de masa despreciable como se indica en la figura, despreciando el rozamiento con el eje. Determinar: a) la aceleración angular del disco, b) la aceleración lineal de cada bloque y c) la tensión en cada cuerda T1 m2 = 500 gr. R = 8 cm r = 6 cm Suponer m1 = 600 gr. R: a) 23,21 rad/s2 b) a1 =1,86 m/s2 ; a2 = 1,39 m/s2 m1 T1 = 4,76 N ; T2 = 5,83 N

R r

T2 m2

43.) Considere un cilindro macizo de masa "M" y radio "R" que rueda bajando sin resbalar por un plano inclinado. Encuentre la velocidad de su centro de masa cuando el cilindro llega al extremo inferior (a) rodando y (b) resbalando. (aplique conservación de energía). R: (4 / 3)gh ; 2gh 44.) En una máquina de Atwood un bloque tiene una masa de 500 gr. y el otro una masa de 460 gr. La polea, que está montada en unos apoyos horizontales sin rozamiento, tiene un radio de 5 cm. Si se suelta el bloque más pesado a partir del punto de reposo, se observa que cae 75 cm en 5 s. Determine el momento de inercia de la polea a partir de estos datos. R: 0,014 kg⋅m2. 45.) Un bloque de masa m1 = 5 kg, sube un plano inclinado en 60º, tirado por una cuerda que pasa por una polea de masa m2 = 1 kg y de radio R = 0,2 m. , al extremo de la cual cuelga una pesa de masa m3 = 8 kg. Si µk = 0,2 , calcule : (a) aceleración del sistema, (b) las tensiones , (c) aceleración (b) T1 = 60,041 N, angular de la polea y (d) torque aplicado a la polea. R: (a) 2.348 m/s2 , (c) 11,74 rad/s2 (d) 0,235 N⋅m. T 2 = 61,216N 46.) Un bloque de 26,8 N. se coloca en un plano inclinado 30 grados con respecto a la horizontal mediante una cuerda paralela al plano y que pasa por una polea que está en la parte superior, va unido un bloque colgante que pesa 80 N. La polea pesa 8,9 N. y tiene un radio de 0,1 m. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el plano es de 0,1. Encuentre la aceleración del bloque que está suspendido y la tensión en la cuerda a cada lado de la polea. Suponga que la polea es un disco uniforme. R: a = 5,78 m/s2 ; T1 = 31,2 N. ; T2 = 33,76 N. 47.) Un cilindro de 0,3 m. de longitud y 0,025 m. de radio pesa 26,7 N. Dos cuerdas están enrolladas alrededor del cilindro, cada una cerca de cada extremo, y los extremos de las cuerdas se encuentran fijos en ganchos colocados en el techo. El cilindro se sostiene horizontalmente con las dos cuerdas exactamente verticales y se suelta (ver Fig.). Encuentre la tensión en las cuerdas al desenrollarse y determine la aceleración lineal del cilindro al ir cayendo. R: a = 2 3 g , T = 4,45(N). BIBLIOGRAFÍA: • TIPPENS, Paul E.; FISICA, Conceptos y aplicaciones. • SERWAY, Raymond A. Física - Vol. 1. Módulo.08-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

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MODULO DE FISICA Nº9 MECANICA DE FLUIDOS PROF. EUGENIO CONTRERAS Z. UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE FAC. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS PROSECUCIÓN DE ESTUDIOS.

™ INTRODUCCION. Un fluido es una sustancia que puede escurrir o desplazarse fácilmente cambiando de forma debido a la acción de fuerzas intermoleculares pequeñas. La materia fluida puede ser trasvasada de un recipiente a otro, es decir, tiene la capacidad de fluir. Los líquidos y los gases corresponden a dos tipos diferentes de fluidos. Los primeros tienen un volumen constante que no puede modificarse apreciablemente por compresión. Se dice por ello que son fluidos incompresibles. Los segundos no tienen un volumen propio, sino que ocupan el del recipiente que los contiene; son fluidos compresibles porque, a diferencia de los líquidos, sí pueden ser comprimidos. Los fluidos que existen en la naturaleza siempre presentan una especie de fricción interna o viscosidad que complica un poco el estudio de su movimiento. Sustancias como el agua y el aire presentan muy poca viscosidad (escurren fácilmente), mientras que la miel y la glicerina tienen una viscosidad elevada. En esta primera parte del estudio de la mecánica de fluidos, no habrá la necesidad de considerar la viscosidad porque sólo nos ocuparemos de los fluidos en reposo, la HIDROSTATICA y la viscosidad únicamente se manifiesta cuando se mueven o fluyen estas sustancias. Para el estudio de la Hidrostática es necesario el conocimiento previo de dos magnitudes importantes como lo son la Densidad, peso específico y la Presión. La mecánica de fluidos se divide en las siguientes ramas: Hidrostática: estudia el comportamiento de los líquidos, considerados en reposo o equilibrio. Hidrodinámica: estudia el comportamiento de los fluidos, cuando se encuentran en movimiento. Neumática: particulariza la hidrostática e hidrodinámica al estudio de los gases. Hidráulica: utiliza los conceptos estudiados en los cuatro campos anteriores en las aplicaciones técnicas. ™ DENSIDAD Las diferentes sustancias que existen en la naturaleza se caracterizan porque la unidad de volumen (1 m3 o 1 cm3 ) tiene diferente masa. Por ejemplo, la masa de 1 cm3 de hierro es 7,8 gr, mientras que el mismo volumen de glicerina tiene una masa de 1,26 gr. Sea un cuerpo de masa "m" cuyo volumen es "V". La densidad (llamada también masa específica) del cuerpo se representará por la letra “ρ” y se define de la siguiente manera: La densidad (o masa específica) de un cuerpo es el cuociente entre su masa (m) y su volumen (V), es decir: m ρ= V

Consideremos, por ejemplo, un bloque de cobre (Cu) cuyo volumen (V) sea de 10 cm3. Al medir su masa con una balanza encontramos que es de 89 gr. Entonces, la densidad del cobre será:

ρ=

m 89(gr) = V 10(cm3 )

de donde:

ρ = 8,9(gr / cm3 )

Este resultado significa que en cada cm3 de cobre se tiene una masa de 8,9 gramos. De modo general, la densidad de un cuerpo corresponde a la masa contenida en la unidad de volumen del cuerpo, y de ahí su denominación de “masa específica”. Módulo.9-Complemento de Física.prosec.estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

1

Unidades de densidad.

De la definición de densidad ρ = m/V, se observa que la unidad de la densidad debe ser la relación entre una unidad de masa y una unidad de volumen. Por lo tanto: - Sistema Internacional ( S.I. o MKS ).

[ ρ ] = 1 kg/m3

- Sistema cegesimal ( CGS )

[ ρ ] = 1 gr/cm3

Es posible demostrar que 1 gr/cm3

= 103 kg/m3 . Hágalo.

Así, la densidad del cobre también es posible escribirla como 8,9 x 103 kg/m3. Este valor se puede interpretar diciendo que 1 m3 de volumen de cobre tiene una masa de 8,9·103 kg (8900kg = 8,9 toneladas) TABLA DE DENSIDADES. SUSTANCIA Acero Aluminio Bronce Cobre Hielo Hierro Oro Plata Platino Plomo Agua Alcohol Glicerina Gasolina Mercurio Agua de mar

DENSIDAD(gr/cm3) 7,8 2,7 8,6 8,9 0,92 7,8 19,3 10,5 21,4 11,3 1,00 0,81 1,26 0,70 13,6 1,03

DENSIDAD(kg/m3) 7800 2700 8600 8900 920 7800 19300 10500 21400 11300 1000 810 1260 700 13600 1030

EJERCICIOS PROPUESTOS.

1.)

Describa de qué forma es posible determinar experimentalmente la densidad de: una esfera, un cubo, una moneda y una piedra de forma irregular.

2.)

Dos cilindros de iguales dimensiones poseen distinta masa. Explique a qué se debe esta diferencia.

3.)

Una probeta graduada contiene 30 cm3 de agua. Se introduce en ella un cuerpo de tal forma que el nivel de agua sube a 38 cm3. ¿Qué volumen posee el cuerpo sumergido en el agua de la probeta? R: 8 cm3

4.)

¿Qué significa que un volumen de aluminio tenga una densidad de 13,6[gr/cm3]?

5.)

¿Qué volumen tendrá un trozo de cobre de 8,9 gr.?

6.)

Un recipiente de aluminio tiene una capacidad interior de 96 [cm3]. Si el recipiente se llena totalmente de glicerina, ¿qué cantidad de glicerina en kg llena el recipiente?. R : 0,12096 [Kg]

7.)

¿Qué capacidad debe tener un recipiente destinado a contener 400 [gr] de alcohol etílico? 493,83 [cm3]

8.)

Cierta aleación de oro (Au) y plata (Ag) tiene una masa de 2174 [gr] y un volumen de 145 [cm3]. ¿Qué tanto oro y plata hay en la aleación? R: 1428,8 [gr] de Au ; 745,2 [gr] de Ag.

9.)

Un tanque de gasolina tiene en su base un área de 0,75 m2 y su altura es 2 m.¿Cuál es la masa de la gasolina contenida en el tanque? R: 1050 kg.

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R:

2

10.) Un bloque de madera, cuyo volumen es de 500 cm3, tiene una masa de 300gr. a.) ¿Qué densidad tiene esa madera en gr/cm3 y en kg/m3?. b.) Explique, con sus propias palabras, el significado de los resultados obtenidos en (a). c.) Un trozo de esta madera tiene un volumen de 2,5 m3. ¿Cuál es su masa? 11.) ¿Cuántos kilogramos de oro contiene una barra de 15 cm de largo, 10 cm de alto y 5 cm de ancho, si la densidad del oro es 19,3 gr/cm3? R: 14,475 kg. ™ PESO ESPECIFICO ( Pe )

El peso específico (Pe) de una sustancia se define como el peso (W) por unidad de volumen (V). Se calcula al dividir el peso de la sustancia entre el volumen que esta ocupa, es decir: Pe =

W V

Como W = m g ,

Pe =

mg =ρg V

ya que

ρ=

m V

Donde: Pe W V ρ g

= peso especifico = es el peso de la sustancia = es el volumen que la sustancia ocupa = es la densidad de la sustancia = es la gravedad

En el sistema métrico decimal, se mide en kilopondios por metro cúbico (kp/m³). En el Sistema Internacional de Unidades, en newton por metro cúbico (N/m³). El peso específico es una propiedad física de la materia. Regularmente se aplica a sustancias o fluidos y su uso es muy amplio dentro de la Física. Como bajo la gravedad de la Tierra el kilopondio equivale, desde el punto de vista numérico, al kilogramo, esta magnitud tiene el mismo valor que su densidad expresada en (kg/m³). ™ PRESION.

La acción que ejercen las fuerzas sobre los sólidos es cualitativamente diferente a la ejercida sobre los fluidos. Cuando se ejerce una fuerza sobre un sólido, ésta actúa sobre un solo punto del cuerpo, lo cual es imposible que suceda en un fluido contenido en un depósito cerrado, sólo se puede aplicar una fuerza en un fluido por medio de una superficie. Además, en un fluido en reposo esta fuerza está siempre dirigida perpendicularmente porque el fluido no puede soportar fuerzas tangenciales. Por este hecho es importante analizar las fuerzas que actúan sobre los fluidos por medio de la presión. Se define presión como el cuociente entre la componente normal de la fuerza sobre una superficie y el área de dicha superficie, es decir:

P=

G F

Fn

A

Fn . A

La fuerza que ejerce un fluido en equilibrio sobre un cuerpo sumergido en cualquier punto es perpendicular a la superficie del cuerpo. La presión es una magnitud escalar y es una característica del punto del fluido en equilibrio, que dependerá únicamente de sus coordenadas como se verá más adelante. En la figura, se muestran las fuerzas que ejerce un fluido en equilibrio sobre las paredes del recipiente y sobre un cuerpo sumergido. En todos los casos, la fuerza es perpendicular a la superficie.

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UNIDADES DE PRESIÓN: De la definición de presión P = F/A., vemos que su unidad debe estar dada por la relación entre una unidad de fuerza y una unidad de área, es decir: - Sistema internacional ( S.I. o MKS ).

[P] = 1 ⎡⎢ m2 ⎤⎥

- Sistema cegesimal (CGS)

[P] = 1 ⎡⎢ cm2 ⎤⎥

N

⎣

= 1 Pascal

⎦

Dina

⎣

⎦

= 1 baria

La baria es una unidad muy pequeña, por lo tanto en la práctica se utilizan múltiplos de ella. En la práctica, los ingenieros y los técnicos suelen emplear la unidad 1 kgf/cm2 . En máquinas y aparatos de fabricación norteamericana ( o inglesa ) se usa la libra por pulgada cuadrada ( lb/pulg2 ) como unidad de presión. En las gasolineras, por ejemplo, los manómetros (aparatos que sirven para medir la presión del aire en los neumáticos de automóvil) están calibrados en esta unidad ( vulgarmente conocida como “libra de presión” ). Una presión de 1 lb/puIg2 equivale aproximadamente a una fuerza de 0,5 kgf (1 libra ≈ 0,5 kgf ), que actúa sobre un área de 6,3 cm2 (ya que 1pulg ≈2,5cm) de manera que se tiene así la equivalencia 1 lb/puIg2 ≈ 0,079 kgf/cm2 ). Para medir la presión atmosférica se usan los barómetros. Cuando estudiamos los fluidos, es común usar el milímetro de mercurio (mm de Hg ) como unidad de presión. "Una presión de 1 mm de Hg es la presión ejercida sobre su base por una columna de mercurio de 1 mm de altura". La presión de 1 mm de Hg es muy pequeña y esta unidad se emplea, por ejemplo, en los laboratorios, para medir la presión de gases enrarecidos. Cuando deseamos medir presiones elevadas ( de gases comprimidos, del vapor en una caldera, etc.) empleamos una unidad que se conoce como “atmósfera" (atm). “Una presión de una atmósfera (atm) es la que ejerce sobre su base una columna de mercurio de 76 cm de altura”. Por lo tanto:

1 atm = 76 cm de Hg = 760 mm de Hg = 1,013·105 N/m2 1mm de Hg = 133 N/m2

™ VARIACION DE LA PRESION CON LA PROFUNDIDAD.

Anteriormente analizamos como la presión atmosférica disminuye a medida que se asciende en la atmósfera. Naturalmente, esto es de esperar, debido a que el peso de la capa de aire que ejerce la presión atmosférica en determinado lugar, será menor cuanto mayor sea la altura del mismo sobre el nivel del mar. Ya sabemos que la presión atmosférica disminuye a medida que se asciende en la atmósfera. Naturalmente, esto es de esperar, pues el peso de la capa de aire que ejerce la presión atmosférica en determinado lugar, será menor cuanto mayor sea la altura del mismo sobre el nivel del mar. Cuando uno se sumerge en el agua de una piscina, existe una situación parecida. Conforme nos sumergimos, la presión aumenta, pues el peso de la capa líquida que ejerce la presión en un punto, será mayor cuanto más grande sea la profundidad de dicho punto. Este hecho se produce en todos los fluidos, de un modo general. Enseguida estableceremos una relación matemática que permitirá calcular la presión en el interior de un fluido a una profundidad determinada.

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Cálculo de la presión en el interior de un fluido Si un recipiente contiene líquido en equilibrio, todos los puntos del interior están sometidos a una presión cuyo valor depende de la profundidad a la cual se encuentre. Tomemos un recipiente lleno de agua, en el cual consideramos un pequeño cilindro, de altura “h” y área “A”. La cara superior del cilindro soporta una presión, debida al peso de la columna de agua, que se encuentra encima. P1 =

h1 h2

1

F m1·g ρ·V·g = = A A A

h 2

donde V es el volumen de la columna de agua en la parte superior.

La cara inferior del cilindro soporta una presión adicional debido al peso del cilindro considerado. P2 = P1 +

ρ·V·g A

donde Vc es el volumen del cilindro considerado.

Como Vc = A·h, tenemos

P2 = P1 +

ρ·A·h·g = P1 + ρ·g·h A

De donde:

P2 − P1 = ρ·g·h . La ecuación muestra que la presión en el punto 2, es mayor que en el punto 1, y que el aumento de la presión al pasar de 1 a 2, está dada por ρ·g·h. Este resultado se conoce con el nombre de principio fundamental de la Hidrostática y dice que: “ La diferencia de presión entre dos puntos de un líquido en equilibrio es proporcional a la densidad del líquido y a la diferencia de alturas”. Suponiendo que uno de los puntos se encuentra en la superficie del líquido y que el otro punto está a una profundidad h , vemos que la presión en el primer punto será la presión atmosférica Po , y en consecuencia la presión P, en el segundo punto se puede obtener por la relación

P = Po + ρ·g·h . Con esta expresión llegamos a la conclusión siguiente: Si la superficie de un líquido, cuya densidad es “ρ”, está sometida a una presión “Po ”, la presión absoluta “P” en el interior de este líquido y a una profundidad “h”, está dada por P = Po + ρgh. Conclusiones.

•

Por la ecuación P = Po + ρgh, vemos que si h = 0 entonces P = Po (en la superficie del líquido), y conforme h aumenta (al sumergirse en el líquido), la presión crece linealmente con h. Entonces el gráfico P vs h para un líquido determinado, tendrá la forma indicada en la figura.

P

Po h •

Por la misma ecuación observamos que la presión en determinado punto en el seno del líquido, consta de dos partes: la primera, Po , representa la presión ejercida en la superficie libre del líquido y la segunda, ρgh, representa la presión originada por el peso del propio líquido.

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™ MEDIDA DE LA PRESION.

PRESION ATMOSFERICA: El aire, como cualquier sustancia cercana a la Tierra, es atraído por ella; es decir, el aire tiene peso. Debido a esto, la capa atmosférica que envuelve a la Tierra y que alcanza una altura de decenas de kilómetros, ejerce una presión sobre los cuerpos sumergidos en ella. Esta presión se denomina presión atmosférica. En todos los planetas con atmósfera existe una presión atmosférica con cierto valor. En la luna, como no hay atmósfera, no hay, por consiguiente, presión atmosférica. vacío Hasta la época de Galileo ( siglo XVII ) la existencia de la Hg Hg presión atmosférica era desconocida por muchos, e incluso, muchos estudiosos de la física la negaban. El físico italiano Evangelista Torricelli ( 1608 – 1647 ), contemporáneo y amigo 76 cm de Galileo, realizó un famoso experimento que, además de demostrar que la presión atmosférica realmente existe, permitió Po Po la determinación de su valor. Para efectuar su experimento (en 1644 ), tomó un tubo de vidrio cerrado por uno de sus extremos y de longitud algo más que un metro, lo llenó de mercurio y tapando con su dedo el extremo abierto lo invirtió en una cubeta que contenía mercurio.

·1

· 2

Torricelli observó que en lugar de desocuparse el tubo de mercurio éste descendió únicamente hasta que la columna llegaba a una altura de 76 cm sobre el nivel de mercurio en la vasija. Este resultado se obtuvo realizando el experimento a nivel del mar. Con esta experiencia concluyó entonces que la presión atmosférica “Po”, al actuar sobre la superficie del líquido del recipiente, lograba equilibrar el peso de la columna de mercurio. Observe que arriba del mercurio, en el tubo, existe un vacío, pues si se hiciera un orificio en esta parte, a fin de permitir la entrada del aire, la columna descendería hasta nivelarse con el mercurio del recipiente. A partir del experimento de Torricelli se puede calcular el valor de la presión atmosférica. Para esto basta con tener en cuenta que la presión al nivel de la superficie de mercurio que hay en el recipiente ( presión atmosférica ) es igual a la presión en un punto situado a la misma altura dentro del tubo ( presión de la columna de mercurio). En la figura se cumple que las presiones en los puntos (1) y (2) son iguales, es decir: P1 = P2 ♦ La presión P1 la ejerce la presión atmosférica, entonces P1 = Po ♦ La presión P2 la ejerce el peso de la columna de mercurio de 76 cm de altura, entonces,

p2 =

m·g A

=

ρ·V·g A

=

ρ·A·h·g A

= ρ·g·h

, donde ρ: densidad del Hg

Luego: P = ρgh = (13,6 g/cm3) · ( 980 cm/s2) · ( 76 cm ) o Po = 1,013 · 106 (dina/cm2) Este último valor recibe el nombre de 1 atmósfera ( 1 atm. ), es decir: 1 atm = 1,013·106 (dina/cm2) = 1,013 · 105 (N/m2) En la práctica también se utiliza como medida de la presión atmosférica la altura que alcanza la columna de mercurio, 76 cm de Hg. A este valor se le asigna que, 1 atm = 76 cm de Hg. Sin embargo, se debe tener en cuenta que la presión es una medida de la fuerza por unidad de superficie y no una unidad de longitud. Pregunta: Si Torricelli en lugar de utilizar mercurio hubiera hecho la experiencia con agua, ¿qué altura alcanzaría la columna de líquido?, ¿cuál sería el largo mínimo del tubo de vidrio?. Módulo.9-Complemento de Física.prosec.estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

6

Anteriormente concluimos que el valor de 1 at. = 76 cm de Hg se obtiene cuando el experimento se realiza al nivel del mar. Después de Torricelli, el científico y filósofo francés, Pascal, repitió el experimento en lo alto de una montaña y comprobó que el valor de la presión atmosférica era menor que al nivel del mar. Se trata de un resultado lógico, pues cuanto mayor sea la altitud de un lugar, más enrarecido estará el aire y menor será el espesor de la capa atmosférica que actúa sobre la superficie del mercurio. Si el experimento fuera llevado a cabo, por ejemplo, en lo alto del Monte Everest, la columna de mercurio en el tubo bajaría hasta casi 26 cm de altura, es decir, que en ese lugar se tiene la presión atmosférica Po = 26 cm de Hg. El instrumento que permite medir la presión atmosférica es el “barómetro”

Variación de la presión atmosférica con la altitud ALTITUD (m) 0 500 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 1000

Po (cm de Hg) 76 72 67 60 53 47 41 36 31 27 24 21

Algunos experimentos relacionados con la presión atmosférica.

♦ A la fuerza ejercida por la presión atmosférica se debe que usted puede tomar un refresco sirviéndose de una pajilla o bombilla. Cuando se sorbe el aire por el extremo del pequeño tubo, no se está absorbiendo el refresco, sino que se provoca una reducción de la presión del aire en el interior de la pajilla. La presión atmosférica, al actuar sobre la superficie del líquido, en la botella, lo hace subir por el tubito. ♦ Usando una bomba de vacío ( o una máquina neumática ) es posible extraer gran parte del aire del interior de una lata vacía. Si lo hacemos, la lata será aplastada por la presión atmosférica. Antes de retirar el aire lo anterior no sucedía debido a que la presión atmosférica actuaba tanto afuera como adentro de la lata. Al conectar la bomba de vacío, la presión interna se vuelve mucho menor que la externa, y la lata es aplastada.

P

MAQUINA DE VACIO

MAQUINA DE VACIO

EJEMPLO 1:

El instrumento que sirve para medir la presión de un gas encerrado en un recipiente se denomina “manómetro”. Un tipo de manómetro muy utilizado consta de un tubo en forma de “U”, el cual contiene mercurio, como lo muestra la figura. Cuando se desea medir la presión de un gas en un tanque, el extremo de la rama más pequeña del tubo se adapta al recipiente y se observa el desnivel del mercurio en las dos ramas del manómetro. En la figura indicada, ¿cuál es la presión PG del gas en el tanque, si sabemos que la presión atmosférica tiene un valor Po = 68 cm de Hg.

Po Hg

GAS

PG

Solución: La presión PG que actúa en la rama izquierda del tubo, logra equilibrar el desnivel de la columna de mercurio en las dos partes, y la presión atmosférica que actúa en el extremo abierto de la rama de la derecha. Por lo tanto, tenemos: PG = Po + desnivel del Hg. Luego entonces

PG = 68 cm de Hg + ( 21 - 3 ) cm de Hg ⇒

21cm

3cm.

PG = 86 cm de Hg.

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7

™ PRINCIPIO DE PASCAL Entre un sólido y un fluido existen diferencias fundamentales, como lo es entre otras la siguiente: “Los sólidos transmiten fuerzas y sólo en la dirección en que éstas se aplican, en tanto que los fluidos transmiten presiones y en todas direcciones”.

A

En efecto, si en el bloque de la figura se aplica una fuerza en A, para equilibrarla solamente sirve una fuerza igual y contraria aplicada en B, lo que se explica porque la fuerza aplicada en A se ha transmitido en su dirección hasta B. Probemos ahora que los fluidos transmiten presiones. Supongamos entonces un recipiente con fluido, como el que indica la figura siguiente, provisto de dos émbolos, e1 y e2 y consideremos que sus secciones son de 4 y 12 cm2, respectivamente.

e1

B

e2

Si aplicamos en “e1 “ una fuerza de 5 kp por ejemplo, observaremos que para equilibrarla mediante “e2 “ es necesario aplicar 15 kp. ¿Por qué? ¿Cómo se explica que haya aumentado la fuerza necesaria para mantener el equilibrio? 5Kp = 1,25Kp / cm2 4cm2 15Kp P2 = = 1,25Kp / cm2 La presión en el émbolo “e2” es: 2 12cm Luego, las presiones son iguales y, por lo tanto, en lugar de la fuerza, el fluido ha transmitido la presión con igual intensidad, y como “e2” tiene mayor sección, se explica así que se requiera una fuerza mayor para mantener la misma presión. F1 F = 2 Concluyendo lo anterior se puede decir que: P1 = P2 ⇒ A1 A 2 La presión en el émbolo “e1” es:

P1 =

Por otra parte, es fácil demostrar que los fluidos transmiten las presiones en todas direcciones. En efecto, en un recipiente esférico, con agujeros, como indica la figura, si los agujeros se tapan con cera o corcho y se lo llena con agua, aire o cualquier otro fluido, observaremos que todos los tapones saltan al mismo tiempo al ejercer presión sobre el fluido por medio del émbolo. Además, basta inflar un globo de goma para darse cuenta de cómo el aire ejerce presión en todas direcciones. Esta propiedad de los fluidos constituye el llamado Principio de Pascal, y lo formularemos de la manera siguiente: “Toda presión ejercida sobre un fluido en equilibrio se transmite íntegramente en todas direcciones”. Este principio tiene numerosas aplicaciones, especialmente en el caso de los líquidos, ya que por ser éstos prácticamente incompresibles, se los puede utilizar como verdaderos multiplicadores de fuerza, en algunos casos y reductores, en otros. Esto se consigue variando la superficie contra la cual se transmite la presión, proporcionalmente a la fuerza que se desea obtener. Entre estas aplicaciones tenemos: la prensa hidráulica, los frenos hidráulicos, las “gatas” o elevadores hidráulicos, ciertos tipos de sillones (dentistas, peluqueros), etc.

Prensa hidráulica

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Frenos hidráulicos

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™ PRINCIPIO DE ARQUIMEDES.

Cuando sumergimos un cuerpo sólido cualquiera en un líquido, comprobamos que éste ejerce sobre el cuerpo una fuerza de sustentación, es decir, una fuerza dirigida hacia arriba que tiende a impedir que el cuerpo se hunda en el líquido. Esta experiencia diaria nos enseña que un cuerpo sumergido total o parcialmente en un líquido pesa menos que en el aire. Este hecho lo hemos apreciado personalmente al sumergirnos en una piscina, el mar, etc., o al sacar un balde con agua desde un pozo, o al tratar de hundir un trozo de madera en el agua, por ejemplo. La fuerza causante de estas situaciones, que es vertical y está dirigida hacia arriba, se denomina “empuje ascendente” del líquido sobre el cuerpo sumergido. Luego:

G E

“Empuje (E) es la fuerza con que un fluido actúa verticalmente hacia arriba sobre cualquier cuerpo sumergido total o parcialmente en él”.

G G P = mg

Para calcular el empuje que actúa en un sólido sumergido en un líquido se puede medir directamente con una dinamómetro, ya que la diferencia entre el peso del cuerpo en el aire ( peso verdadero – PV ) y su peso sumergido en el líquido ( peso aparente – Pa ) equivale al empuje, es decir: E = Pv - Pa . Ahora bien: Si el líquido se halla en una probeta graduada y se introduce un cuerpo en ella, se observará un aumento de volumen que corresponde al volumen del cuerpo. Si pesamos un volumen de líquido igual al volumen del cuerpo resulta que: “el empuje equivale al peso del líquido desplazado por el cuerpo”. Este hecho característico en todos los fluidos constituye el llamado PRINCIPIO DE ARQUIMEDES. “Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un fluido pierde aparentemente una parte de su peso, que equivale al peso del fluido desalojado”. Para medir el empuje bastará pesar el fluido desalojado por el cuerpo, y como el peso del fluido es igual a la masa por la aceleración de gravedad, se tiene: P=m·g

pero m = ρ · V

Entonces: E = m ·g = ρ · V · g Por lo tanto:

, donde Pe = ρ · g (peso específico del fluido) V = volumen del cuerpo sumergido.

E = VCS · Pe .

Esta última expresión nos dice que: a.) para un mismo cuerpo, el empuje es directamente proporcional al peso específico del fluido en que se sumerge, y b.) para un mismo fluido, el empuje es directamente proporcional al volumen del cuerpo sumergido en él. Condiciones para que un cuerpo flote en un líquido:

Supongamos una persona que introduce un cuerpo en un líquido, de modo que quede totalmente sumergido. Si el cuerpo se suelta luego, las fuerzas que actuarán sobre él serán su peso P y el empuje E ejercido por el líquido. En estas condiciones, podrá observarse una de las tres situaciones siguientes: 1. El valor del empuje es igual al peso del cuerpo ( E = P ). En este caso la resultante de estas fuerzas será nula y el cuerpo quedará en reposo en el sitio en que se halle. Esto es lo que sucede con un submarino bajo el agua, en reposo a cierta profundidad.

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G E G P

E=P

9

2. El valor del empuje es menor que el peso del cuerpo ( E < P ). En este caso, la resultante de estas fuerzas estará dirigida hacia abajo, y el cuerpo se hundirá hasta llegar al fondo del recipiente. Esto es lo que sucede cuando, por ejemplo, soltamos una piedra dentro del agua.

E P ). En este caso, la resultante de estas fuerzas estará dirigida hacia arriba y el cuerpo sube en el interior del líquido. Mientras el cuerpo esté totalmente sumergido tendremos que E > P. Cuando llegue a la superficie del líquido y comience a salir del agua, la cantidad del liquido que desplaza empezará a disminuir, y por consiguiente, el valor del empuje E también disminuirá.

E>P G E

G P

En una posición dada, el cuerpo estará desplazando una cantidad de líquido cuyo peso será igual al suyo, es decir, tendremos entonces que E = P. Así pues, en tal posición será donde el cuerpo flotará en equilibrio, pues allí será nula la resultante de las fuerzas que actúan sobre él. En este caso, el valor del empuje es igual al peso del líquido desplazado por la parte sumergida. Estos hechos se producen cuando, por ejemplo, soltamos un trozo de madera que estaba sumergido en el agua. E=P De estas consideraciones podemos concluir que cuando un barco flota ( en equilibrio ) en el agua, está recibiendo un empuje hidrostático cuyo valor es igual a su propio peso, es decir, el peso de la embarcación está siendo equilibrado por el empuje que recibe del agua.

G E G P E=P

E

P

EJEMPLO 2:

Un cilindro metálico, cuya área en la base es A = 10 cm2 y cuya altura es H = 8 cm, flota en mercurio, como lo muestra la figura. La parte del cilindro sumergida en el líquido tiene una altura h= 6cm. a.) ¿Qué valor tiene el empuje hidrostático sobre el cilindro?. H = 8 cm. h = 6 cm. A = 10 cm2 ρ(Hg) = 13,6 gr/cm3 E=?

E = Vcs · Pe(fluido) E = Vcs · ρ(fluido)·g E = A·h· ρ(fluido)·g E = 10 cm2 · 6cm · 13,6 gr/cm3 · 980 cm/s2

H

h

E = 799680 Dinas = 7,99680 N . b.) ¿Cuál es el valor del peso del cilindro metálico. Como el cilindro se encuentra flotando en reposo, su peso está siendo equilibrado por el empuje recibido del mercurio, por lo tanto: P = 799680 Dinas = 7,99680 N . c.) ¿Cuál es el valor de la densidad del cilindro. La densidad del cilindro está dada por ρc = mc / Vc ( mc:masa del cilindro ; Vc:volumen del cilindro). Además P = mc·g ⇒ mc = P / g

⇒ mc = 799680 (gr·cm/s2 ) / 980 cm/s2

mc = 816 gr. Pero, Vc = A·H = 10 cm2 · 8 cm. ⇒ Vc = 80 cm3. Luego,

ρc = 816 gr/ 80 cm3

⇒

ρc = 10,2 gr/cm3 = 10200 kg/m3

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.

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™ DINAMICA DE FLUIDOS.

La dinámica de fluidos estudia el comportamiento de los fluidos en movimiento. Fluido ideal: es incompresible y carente de rozamiento interno o viscosidad ( propiedad que tiene un fluido de resistir a un movimiento interno). Flujo: movimiento de un fluido. Línea de flujo: es la trayectoria seguida por un elemento de un fluido en movimiento. La velocidad del elemento varía, tanto en magnitud como en dirección, a lo largo de su línea de flujo. Flujo laminar, estable o estacionario: es el movimiento de un fluido en el que cada partícula del fluido sigue la misma línea de flujo de los elementos precedentes. La velocidad en cada punto del espacio no varía con el tiempo. Al iniciarse, cualquier flujo pasa por un estado no estacionario, pero en muchos casos se convierte en estacionario al cabo de cierto tiempo. Linea de corriente: es aquella curva cuya tangente en cualquier punto coincide con la dirección de la velocidad del fluido en dicho punto. En régimen estacionario, las líneas de corriente coinciden con las líneas de flujo. Tubo de flujo: es el volumen formado por todas las líneas de corriente que pasan por la periferia de un elemento superficial.

(b)

(a)

Fig. 1.

En la figura Nº1.a. se muestra las líneas de corriente de flujo de aire que pasan por dos obstáculos estacionarios. Observe que las líneas de corriente se rompen cuando el aire pasa sobre el segundo obstáculo ( fig. Nº1.b.), generando en este caso corriente turbulenta y remolinos. Estos pequeños remolinos representan el flujo turbulento y absorben gran parte de la energía del fluido, aumentando el arrastre por fricción a través del fluido. ™ FLUJO, GASTO O DESCARGA DE UN FLUIDO (Q). Se define como el volumen (V) de fluido que pasa a través de cierta sección transversal en la unidad de tiempo (t) , es decir, Q=

V t

Consideremos un líquido que fluye con una velocidad media “v” a lo largo de una tubería, como se muestra en la figura 2. A

a

x = v· t

b

Fig. 2.

En un intervalo de tiempo “t”, cada partícula de la corriente se mueve a través de una distancia x = v t. El volumen “V” que fluye a través de la sección transversal “A” en un tiempo “t” está dado por V = A· x = A· v· t V A·v·t Q= = ⇒ Q=A·V . Entonces el gasto se puede expresar como, t t Las unidades del “gasto” se expresan como la relación entre el volumen y el tiempo, es decir, entre otras son: litros/s , m3/s, pies3/s, etc.

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™ ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.

A1 Consideremos una superficie cerrada estacionaria en un fluido en movimiento. En v1 general el fluido entra por una sección A2 transversal y sale por otra. Para un fluido incompresible en flujo v2 x1=v1· t estacionario, se tiene: Sean, A1 y A2 : secciones transversales del tubo de flujo. x2=v2· t Fig. 3. v1 y v2 : velocidades en secciones A1 y A2. V1 y V2 : volumen de fluido que penetra en el tubo a través de las secciones transversales en un intervalo de tiempo “t” y es el contenido en los elementos cilíndricos de bases A1 y A2. Los volúmenes son respectivamente, V1 = A1 · x1 = A1 · v1 t V2 = A2 · x2 = A2 · v2 t Si “ρ ” es la densidad del fluido y m = ρ · V , entonces: m1 = ρ · V1 = ρ · A1 · v1 t m2 = ρ · V2 = ρ · A2 · v2 t El volumen comprendido entre A1 y A2 es constante, es decir la masa que sale es igual a la que entra,

ρ · A1 · v1 t = ρ · A2 · v2 t ⇒

Luego

A1 · v1

= A2 · v2 = Q .

Ecuación de continuidad

Esta ecuación nos indica que si el fluido es incompresible y no tomamos en cuenta los efectos de la fricción interna, el gasto “Q” permanecerá constante. Esto significa que una variación en la sección transversal de una tubería, como se muestra en la fig. 3., da como resultado una variación en la velocidad del líquido, de forma tal que el producto A·v permanece inalterable. Es decir, un líquido fluye con más rapidez a través de un sección estrecha de una tubería y más lentamente a través de secciones más amplias. Este principio es la causa de que el agua fluya más rápido cuando las orillas de un río en algunas partes están más cercanas entre sí. EJEMPLO 3:

El agua fluye a través de una manguera de 2 cm de diámetro con una velocidad de 6 m/s. (a) ¿Qué diámetro debe tener el chorro de agua si esta sale a 18 m/s?. (b) ¿Cuál es el caudal o gasto en m3/min?. SOLUCION: d1 = 2 cm ; v1 = 6 m/s. d2 = ?

r1 = 1cm = 0,01 m , , v2 = 18 m/s

a.) El caudal en cualquier punto de la manguera es el mismo, de modo que por ecuación de continuidad se tiene que, A1 · v1 = A2 · v2 Pero A1 = π r12 y A2 = π r22 Luego, b.)

⇒

π r12 ·v1 = π r22 ·v2 ⇒

r2 = r1

v1 6 = 0,01m = 0,00577m v2 18

d2 = 2 r2 = 0,01154(m)

Q = A1 · v1 = π r12 · v1 = 3,14 · (0,01m)2 · 6 (m/s)

⇒

Q = 1,884· 10-3(m3/s)

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™ TEOREMA DE BERNOULLI

v2

La relación entre la rapidez del fluido, la presión y la elevación fue derivada por primera vez en 1738 por el físico suizo Daniel Bernoulli. Consideremos el flujo de un fluido ideal por un tubo no uniforme en un tiempo t, como se muestra en la figura. La fuerza ejercida por el fluido en la sección (1) tiene una magnitud F1 = P1 A1. El trabajo realizado por esta fuerza en el tiempo t es, W1 = F1 x1 = P1 A1 x1 = P1 V1 con V1 volumen de la sección 1. De forma similar, el trabajo realizado por el fluido en la sección (2) en el mismo tiempo t es, W2 = - F2 x2 = - P2 A2 x2 = - P2 V2 con V2 volumen de la sección 2. Este trabajo es negativo porque la fuerza del fluido se opone al desplazamiento. Así el trabajo neto hecho por estas fuerzas en el tiempo t es:

c • flujo

d •

F2

Sección 2

x2 h2

v1

b• a•

Sección 1

x1 F1

h1

W = W1 + W2 = P1 V1 - P2 V2 Pero V1 = V2 = V , (por ecuación de continuidad), entonces:

Wneto = ( P1 – P2 ) · V .

Variación total de la energía cinética. Se sabe que Entonces,

K = ½ mv2

y

m=ρ·V

K1 = ½ mv12 = ½ ρ · V v12 K2 = ½ mv22 = ½ ρ · V v22

∆K = ½ ρ V ( v22 - v12 )

Luego,

Variación total de la energía potencial. Ug = m g h

Entonces,

Ug1 = m g h1 = ρ V g h1 Ug2 = m g h2 = ρ V g h2

Luego,

∆Ug = ρ g V ( h2 - h1 )

Como

y

m=ρ·V

Se sabe que

Wneto = ∆K + ∆Ug

( P1 – P2 ) · V = ½ ρ V ( v22 - v12 ) + ρ g V ( h2 - h1 ) Dividiendo por “V” y ordenando se llega a, P1 + ρ g h1 + ½ ρ v12 = P2 + ρ g h2 + ½ ρ v22 donde, P1 y P2 son presiones absolutas. ρ g h1 y ρ g h2 son presiones manométricas ½ ρ v12 y ½ ρ v22 son presiones dinámicas. Finalmente,

P + ρ g h + ½ ρ v2 = Constante

Teorema de Bernoulli

El teorema de Bernoulli encuentra aplicación en casi todos los aspectos del flujo de fluidos. La presión “P” debe reconocerse como la “presión absoluta” y no la presión manométrica. Recuerde que “ρ” es la densidad y no el peso específico del fluido. Además las unidades de cada término de la ecuación de Bernoulli son unidades de presión. Módulo.9-Complemento de Física.prosec.estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

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™ APLICACIONES DEL TEOREMA DE BERNOULLI.

a.) En diversas situaciones físicas, la velocidad, la altura o la presión de un fluido son constantes. En tales casos, la ecuación de Bernoulli adquiere una forma más sencilla. Por ejemplo, cuando un líquido de densidad “ρ” es estacionario, las velocidades v1 y v2 valen cero. En este caso la ecuación de Bernoulli se puede escribir en la forma, P2 - P1 = ρ g ( h1 - h2 ) . Esta ecuación es la misma estudiada para los fluidos en reposo. Aire P1 A1 1 •

b.) Velocidad de salida Sean v1 y v2 las velocidades del fluido en los puntos 1 y 2 respectivamente. La magnitud v2 se llama velocidad de salida y P2 = Po ( presión atmosférica)

Aire P1 A1 1 • h1

h1

2 •

Luego, por Bernoulli:

2•

Nivel (h2=0)

Nivel (h2=0)

A2

P1 + ρ g h1 + ½ ρ v12 = P2 + ρ g h2 + ½ ρ v22

Como h2 = 0 y P2 = Po , entonces,

⎛ P − Po v 22 = v12 + 2 ⎜ 1 ⎝ ρ

⎞ ⎟ + 2gh1 ⎠

Es importante tener presente que el Teorema de Bernoulli no es aplicable para vasijas con gas, ya que en este caso el movimiento es turbulento. Casos especiales:

b1.)

Depósito abierto a la atmósfera, es decir

P1 = P2 = Po ( presión atmosférica)

Se cumple que, v 22 = v12 + 2gh1 Además, si A1 >> A2 ( A1 mucho mayor que A2), entonces v12 > A2 entonces v12 1 A2

⇒

v2 > v1

P1 = P2 + ½ ρ ( v22 - v12 )

Considerando en esta expresión que A1 > A2) es mayor, es decir P1 > P2.

v2 > v1 , se demuestra que la presión en la parte más ancha (

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EJEMPLO 5.

A través del tubo de la figura que se encuentra conectado a un manómetro con mercurio, circula un cierto caudal de agua. La sección transversal del tubo es de 40 cm2 en la parte más ancha y de 10 cm2 en el estrechamiento. La descarga del tubo es de 3000 cm3/seg. Determine: a.) las velocidades en las partes anchas y estrechas. b.) la diferencia de presión entre estas partes. c.) la diferencia de altura entre las columnas de mercurio. SOLUCION: ; A1 = 40 cm2 3 ρagua = 1(gr/cm ) ;

A2 = 10 cm2 ; Q = 3000 cm3/s ρHg = 13,6 (gr/cm3)

a.) Q = A · v ⇒

v1 =

Q 3000(cm3 / s) = A1 40(cm2 )

⇒ v1 = 75(cm/s)

v2 =

Q 3000(cm3 / s) = A2 10(cm2 )

⇒

b.) Por Bernoulli

• 2

• 1

∆h

v2 = 300(cm/s)

P1 + ρ g h1 + ½ ρ v12 = P2 + ρ g h2 + ½ ρ v22

Como ambos puntos se encuentran a la misma altura, entonces h1 = h2 Luego,

P1 + ½ ρ v12 = P2 + ½ ρ v22

P1 - P2 = ½ ρ ( v22 - v12 ) P1 - P2 = ½ · 1(gr/cm3) ( (300 cm/s)2 - (75 cm/s)2 ) ⇒ P1 - P2 = 42.187,5 (dina/cm2). P − P2 42.187,5(dina / cm2 ) = ⇒ P1 - P2 = ρHg g ∆h ⇒ ∆h = 1 13,6(gr / cm3 )·980(cm / s2 ) ρHg ·g

Ordenando y factorizando,

c.)

∆h = 3,1(cm)

™ EJERCICIOS PROPUESTOS. Variación de la presión con la profundidad. 1.) a.) Calcule la presión absoluta a una profundidad oceánica de 1000 m. Suponga que la densidad del agua marina es 1024 kg/m3 , y que el aire sobre ella ejerce una presión de 101,3 kPa. b) A esta profundidad, ¿qué fuerza debe ejercer el mar alrededor de una claraboya submarina circular que tiene un diámetro de 30 cm para contrabalancear la fuerza ejercida por el agua?. R.: 1,01·107 Pa , 7,09·105 N. A F 2.) El resorte del medidor de presión que se muestra en la figura, tiene una constante de fuerza de 1000 N/m, y el émbolo tiene un diámetro de 2 cm. Cuando el manómetro se sumerge en el agua, ¿a qué profundidad el pistón se mueve 0,5 cm?. R.: 1,62 m. 3.) El punto más bajo en una piscina llena de agua ubicada a nivel del mar, se localiza a 10 m de profundidad . Indique cuál es, en atm., el valor de la presión: a.) En la superficie del agua. R: 1 atm. b.) En el punto más bajo de la piscina (recuerde que una columna de agua de 10m de altura ejerce una presión de prácticamente 1 atm.) R: 2 atm. 4.) ¿Cuál es la diferencia de presión en las tuberías el agua en dos pisos de un edificio, si la diferencia de alturas es 8,4 [m] ? R: 82320[N/m2] Principio de Pascal. 5.) El pequeño émbolo de un elevador hidráulico tiene un área de sección trasversal igual a 3 cm2, en tanto que el del émbolo grande es de 200 cm2. ¿Qué fuerza debe aplicarse al émbolo pequeño para levantar una carga de 15 kN. R.: 225 N. Módulo.9-Complemento de Física.prosec.estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

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6.) El área del émbolo menor de una prensa hidráulica es de 25 cm2. Si sobre él se aplica una fuerza de R: 210 kp. 15 kp, ¿qué fuerza se obtendrá en el émbolo mayor de 350 cm2 de superficie? . 7.) Para hacer funcionar el elevador de automóviles de una estación de servicio se utiliza una presión de 6 kgf/cm2. ¿Hasta qué peso podrá levantar, si el diámetro del pistón grande mide 20 cm? R.: 1884 kgf Medida de la presión. 8.) Un manómetro se empleó para medir la presión del aire en el interior de los dispositivos que se ilustran en la figura de este ejercicio. Sabiendo que la presión atmosférica en el lugar donde se realizaron las mediciones, era de 70 cm de Hg, ¿cuál es el valor de la presión del aire: a.) En la cámara de neumático inflada de la figura I ? R: 102 cm de Hg. b.) En la cámara de neumático desinflada de la figura II ? R: 70 cm de Hg. c.) En la cámara de vacío de la figura III ? R: 30 cm de Hg.

52 cm 20 cm

45cm 20 cm

20 cm

(a)

(b)

5cm

(c)

Principio de Arquímedes. 9.) Una barcaza pesa 500 kgf, ¿qué volumen de agua debe desalojar para mantenerse a flote?. R: 0,38 m3 10.) Un cubo de estaño de 5 cm de arista flota en mercurio.¿Qué volumen del cubo emerge? R: 57,9 cm3. (Densidad estaño : 7,31 gr/cm3) . 11.) Suponiendo que la corona de Hierón pesaba 1070 grf en el aire y 1010 grf en el agua, ¿cuántos cm3 de oro y cuántos cm3 de plata había en ella?. (Las densidades respectivas son 19,3·103 kg/m3 y 10,5·103 kg/m3.) R: oro: 50 cm3 , plata: 10 cm3. 12.) ¿Qué carga debe añadirse a un buque que pasa de un río al mar para mantener su línea de flotación?. El buque con su carga pesa 1000 ton-fuerza y el peso específico del agua de mar es 1,03 R: 30 ton-fuerza grf/cm3. 13.) Una tabla de espuma de estireno tiene un espesor de 10 cm y una densidad de 300 kg/m3 . Cuando un nadador de 75 kg está descansando sobre ella, la tabla flota en agua fresca con su parte superior al mismo nivel que la superficie del agua. Encuentre el área de la tabla. R.: 1,07 m2 14.) Una pieza de aluminio con 1 kg de masa y 2700 kg/m3 de densidad está suspendida de un resorte y entonces se sumerge por completo en un recipiente con agua. Calcule la tensión en el resorte a) antes y b) después de sumergir el metal. R.: a.) 9,8 N , b) 6,17 N. 15.) Un cubo de madera de 20 cm de lado y una densidad de 650 kg/m3 flota en el agua. a.) ¿Cuál es la distancia desde la cara superior horizontal del cubo hasta el nivel del agua?. b) ¿Cuánto peso de plomo debe ponerse sobre la parte superior del cubo para que éste quede justo al nivel del agua?. R.: a) 7 cm , b) 2,8 kg. Dinámica de fluidos.. 16.) A través de un tubo de 8 cm de diámetro fluye aceite a una velocidad promedio de 4 m/s. ¿Cuál es el flujo Q en m3/s y m3/h?. R.: 0,02 m3/s ; 72 m3/h. 17.) Por una manguera de 1 pulgada de diámetro fluye gasolina a una velocidad media de 5 pie/s. ¿Cuál es el gasto en galones por minuto (1 pie = 30,48 cm ; 1 pulg = 2,54 cm ; 1 pie3 = 7,48 galones)?. ¿Qué tiempo se requiere para llenar un estanque de 20 galones?. R: 12,2 gal/min ; 1,63 min. Módulo.9-Complemento de Física.prosec.estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

17

18.) De un Terminal de 3 cm de diámetro fluye agua con una velocidad media de 2 m/s. ¿Cuál es el gasto en litros por minuto ( 1 m3 = 1000 litros)? , ¿Cuánto tiempo se requiere para llenar un recipiente de 40 litros?. R: 19.) ¿Qué diámetro debe tener una manguera para que entregue 8 litros de aceite en 1 min con una velocidad de salida de 3m/s ?. R: 7,52 min. 20.) Por una tubería de 5,08 cm fluye agua horizontalmente con un gasto de 1,82 m3/s . ¿Cuál es la velocidad de salida?. ¿Cuál es el alcance horizontal de la corriente de agua si la tubería está situada a 1,22 m de altura sobre el piso?. R: 21.) a.) Una manguera de agua de 2 cm de diámetro se usa para llenar una cubeta de 20 litros. Si le toma 1 min llenar la cubeta, ¿cuál es la rapidez a la cual se mueve el agua a través de la manguera?. ( Nota: 1 Lt = 1000 cm3) b.) Si la manguera tiene una boquilla de 1 cm de diámetro encuentre la rapidez del agua en la boquilla. R.: a) 106 cm/s , b) 424 cm/s. 22.) Una cubeta horizontal de 10 cm de diámetro tiene una reducción uniforme hasta una tubería de 5 cm de diámetro. Si la presión del agua en la tubería más grande es de 8·104 Pa y la presión en la tubería pequeña es de 6·104 Pa, ¿cuál es la rapidez de flujo de agua a través de las tuberías?. R.: 12,8 kg/s 23.) En un gran tanque de almacenamiento abierto en la parte superior y lleno de agua se forma un pequeño hoyo en su costado, en un punto 16 m debajo del nivel del agua. Si la relación de flujo de la fuga es de 2,5·10-3 m3/min, determine a) la rapidez a la cual el agua sale por el hoyo, y b) el diámetro de éste. R.: a) 17,7 m/s , b) ,173 mm. 24.) A través de un tubo horizontal de sección transversal variable se establece un flujo de agua estacionario. En un lugar la presión es de 130 kPa y la velocidad es 0,60 m/s. Determine la presión en otro punto del mismo tubo donde la velocidad es 9 m/s. R.: 90 kPa. 25.) Un tubo horizontal tiene la forma que se presenta en la figura. En el punto 1 el diámetro es de 6 cm, mientras que en el punto 2, es de sólo 2 cm. En el punto 1, v1 = 2 m/s y P1 = 180 kPa. Calcule v2 y P2. R.: 18m/s ; 20 kPa.

2 cm

• 2

• 1

6 cm

10cm

26.) El tubo que se muestra en la figura tiene un diámetro de 16 cm en la sección 1 y 10 cm. en la sección 2. En la sección 1 la presión es de 200 kPa. El punto 2 está 6 m más alto que el punto 1. Si un aceite de densidad 800 kg/m3 fluye con rapidez de 0,03 m3/s, determine la presión en el punto 2 si los efectos de la viscosidad son despreciables. R.: 1,5·105 kPa.

6m

v1 16cm

• 1

27.) Se muestra en la figura un medidor de Venturi equipado con un manómetro diferencial de mercurio. En la toma, punto 1, el diámetro es de 12 cm, mientras que en la garganta, punto 2, el diámetro es 6 cm. ¿Cuál es el flujo “Q” del agua a través del medidor, si la lectura en el manómetro es de 22 cm?. R.: La densidad del mercurio es de 13,6 g/cm3. 0,022 m3/s. ™

v2

2•

BIBLIOGRAFIA. FISICA GENERAL, FREDERICK J. BUECHE. FISICA , FRANCIS W.SEARS Y MARK W. SEMANSKY FISICA , RESNICK – HALLIDAY . TOMO I.

v1 • 1

a

Módulo.9-Complemento de Física.prosec.estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

y 22cm

• 2

b

18

MODULO DE FISICA Nº10 TERMODINAMICA PROF. EUGENIO CONTRERAS Z. UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE FAC. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS PROSECUCIÓN DE ESTUDIOS.

™

INTRODUCCION.

La termodinámica puede definirse como el tema de la Física que estudia los procesos en los que se transfiere energía como calor y como trabajo. Al hablar de termodinámica, con frecuencia se usa el término "sistema". Por sistema se entiende un objeto o conjunto de objetos “ó materia” que deseamos considerar. El resto, lo demás en el Universo, que no pertenece al sistema, se conoce como el "medio ó ambiente". Se consideran varios tipos de sistemas. En un sistema cerrado no entra ni sale masa, contrariamente a los sistemas abiertos donde sí puede entrar o salir masa. Un sistema cerrado es aislado si no pasa energía en cualquiera de sus formas por sus fronteras. Previo a profundizar en este tema de la termodinámica, es imprescindible recordar la distinción entre tres conceptos básicos: temperatura, calor y energía interna. Como ejemplo ilustrativo, es conveniente recurrir a la teoría cinética de los gases, en que éstos sabemos están constituidos por numerosísimas moléculas en permanente choque entre sí. La temperatura es una medida de la energía cinética media de las moléculas individuales. El calor es una transferencia de energía, como energía térmica, de un objeto a otro debida a una diferencia de temperatura. La energía interna (o térmica) es la energía total de todas las moléculas del objeto, o sea incluye energía cinética de traslación, rotación y vibración de las moléculas, energía potencial en moléculas y energía potencial entre moléculas. Para mayor claridad, imaginemos dos barras calientes de un mismo material de igual masa y temperatura. Entre las dos tienen el doble de la energía interna respecto de una sola barra. Notemos que el flujo de calor entre dos objetos depende de sus temperaturas y no de cuánta energía térmica o interna tiene cada uno. El flujo de calor es siempre desde el objeto a mayor temperatura hacia el objeto a menor temperatura. En esta unidad estudiaremos dos leyes fundamentales que se deben cumplir en todos los casos en que la energía térmica se utiliza para realizar trabajo. La primera ley es simplemente otra forma de postular el principio de la conservación de la energía. La segunda ley impone restricciones en torno al empleo eficiente la energía disponible. ™

CALOR Y TRABAJO

La equivalencia de calor y trabajo como dos formas de energía ha quedado establecida con toda claridad, cuando Joule demostró la equivalencia mecánica del calor. El trabajo, lo mismo que el calor, incluye la transferencia de energía, pero existe una diferencia importante entre estos dos términos. En mecánica definimos el trabajo como una cantidad escalar, igual en magnitud al producto de una fuerza por un desplazamiento. La temperatura no interviene en esta definición. El calor, por otra parte, es energía que fluye de un cuerpo a otro a causa de la diferencia de temperatura. Una condición indispensable para que se transfiera calor es que exista una diferencia de temperatura. El desplazamiento es la condición necesaria para que se realice un trabajo. Lo importante en este análisis es reconocer que tanto el calor como el trabajo representan cambios que ocurren en un proceso dado. Generalmente estos cambios van acompañados de una variación en la energía interna. Considere las dos situaciones que se ilustran en la figura 1. En la figura 1.a. la energía interna del agua aumenta debido a que se efectúa trabajo mecánico. En la figura 1.b. la energía interna del agua aumenta debido a un flujo de calor. Módulo.10-Complemento de Física.prosec.estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

1

Figura 1. Incremento de la energía interna de un sistema por medio de (a) la realización de trabajo y (b) el suministro de calor al sistema. (a)

(b)

En el enfoque macroscópico de la termodinámica se describe el estado de un sistema con variables como la presión, el volumen, la temperatura y la energía interna. El número de variables macroscópicas necesarias para caracterizar un sistema depende de la naturaleza de éste. Para un sistema homogéneo, como un gas que contiene sólo un tipo de molécula, por lo común sólo se necesitan dos variables. Sin embargo, es importante notar que un estado macroscópico de un sistema aislado sólo se puede especificar si el sistema está en equilibrio térmico internamente. En el caso de un gas en un recipiente, el equilibrio térmico interno requiere que cada parte del gas esté a la misma presión y temperatura. Considere un gas contenido en un cilindro con un émbolo móvil ajustado herméticamente (Fig. 2). En equilibrio, el gas ocupa un volumen V y ejerce una presión uniforme P sobre las paredes del cilindro y el émbolo. Si éste tiene un área de sección transversal A, la fuerza ejercida por el gas sobre el émbolo es F = P·A. Suponga ahora que el gas se expande cuasiestáticamente, es decir, lo suficientemente lento para permitir que el sistema permanezca en esencia en equilibrio termodinámico todo el tiempo. A medida que el émbolo se desplaza hacia arriba una distancia dy, el trabajo realizado por el gas sobre el émbolo es dW = Fdy = PA dy

(a)

Puesto que A dy es el incremento en el volumen del gas dV, se puede expresar el trabajo hecho por el gas como dW= P dV

dy

(b)

Fig. 2. El gas contenido en un cilindro a presión P realiza trabajo sobre un émbolo móvil conforme el sistema se expande desde un volumen V a un volumen V+ dV.

(1)

Como el gas se expande, dV y el trabajo efectuado por el gas son positivos. Si el gas se comprime, dV es negativo, lo que indica que el trabajo hecho por el gas es negativo (puede ser interpretado como trabajo efectuado sobre el gas). En los problemas de termodinámica que se resolverán, se identificará el sistema de interés como una sustancia que está intercambiando energía con el ambiente. En muchos problemas éste será un gas contenido en un recipiente; sin embargo, también se considerarán problemas que involucren líquidos y sólidos. Es un hecho desafortunado que, debido al desarrollo histórico separado de la termodinámica y la mecánica, el trabajo positivo para un sistema termodinámico se define comúnmente como el trabajo realizado por el sistema, más que el realizado sobre el sistema. Éste es el inverso del caso para el estudio del trabajo en la mecánica. Por tanto, en termodinámica el trabajo positivo representa una transferencia de energía eliminada del sistema. Se usará esta convención para ser consistente con el tratamiento común de la termodinámica.

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2

El trabajo total realizado por el gas cuando su volumen cambia de Vi a Vf está dado por la integral de la ecuación 1.

W=

VF

∫ PdV

Trabajo=área bajo la curva

(2)

Vi

Figura 2. Un gas que se expande cuasiestáticamente (en forma lenta) desde un estado i hasta un estado f. El trabajo realizado por el gas es igual al área bajo la curva PV.

Para evaluar esta integral no basta con que se conozcan los valores de las presiones inicial y final. También se debe conocer la presión en cualquier instante durante la expansión; esto se conocería si se tuviera una dependencia funcional de P con respecto a V. Este importante punto es cierto para cualquier proceso -la expansión que se está analizando aquí o cualquier otro-. Para especificar de manera completa un proceso se deben conocer los valores de las variables termodinámicas de todos los estados a través de los cuales pase el sistema entre los estados final e inicial. En la expansión que se está considerando aquí, se puede graficar la presión y el volumen en cada instante para crear un diagrama PV como el mostrado en la figura 2. El valor de la integral en la ecuación 2 es el área limitada por tal curva. Por tanto, se puede decir que el trabajo efectuado por un gas en expansión desde el estado inicial hasta el estado final es el área bajo la curva que une dichos estados en un diagrama PV.

Como se muestra en la figura 2, el trabajo hecho en la expansión desde el estado inicial i hasta el estado final f depende de la trayectoria seguida entre los dos estados, donde la trayectoria sobre un diagrama PV es una descripción del proceso termodinámico a través del cual se lleva el sistema. Para ilustrar este importante punto considere varias trayectorias que conecten i con f (Fig. 3). Figura 3 El trabajo realizado por un gas conforme se lleva de un estado inicial a un estado final depende de la trayectoria entre dichos estados.

a)

b)

c)

En el proceso descrito en la figura 3.a, la presión del gas se reduce primero de P i a P f al enfriar a volumen constante Vi. A continuación el gas se expande desde Vi hasta Vf a presión constante Pf. El valor del trabajo hecho a lo largo de esta trayectoria es igual al área del rectángulo sombreado, la cual es igual a P f(V f - Vi). En la figura 3.b el gas se expande primero de Vi a Vf a presión constante P i . Después, su presión se reduce a Pf a volumen constante Vf. El valor del trabajo hecho a lo largo de esta trayectoria es Pi (Vf - Vi), el cual es mayor que el correspondiente al proceso descrito en la figura 3.a. Por último, para el proceso descrito en la figura 3.c, donde tanto P como V cambian continuamente, el trabajo realizado tiene cierto valor intermedio entre los valores obtenidos en los dos primeros procesos. Por tanto, se ve que el trabajo realizado por un sistema depende de los estados inicial y final, y de la trayectoria seguida por el sistema entre dichos estados. La energía transferida por calor Q hacia o fuera de un sistema depende también del proceso. Considere las situaciones descritas en la figura 4. En cada caso el gas tiene el mismo volumen, temperatura y presión iniciales y se supone como ideal.

Pared aislante Posición final

Gas a T i

a)

Posición inicial

Pared aislante Vacío Membrana

Gas a T i

b) Depósito de energía a Ti

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Figura 4. a) Un gas a temperatura T, se expande lentamente mientras absorbe energía de un depósito para mantener una temperatura constante. b) Un gas se expande con rapidez en una región evacuada después de que una membrana se rompe.

3

En la figura 4.a el gas está aislado térmicamente de sus alrededores, excepto en el fondo de la región llena de gas, donde está en contacto térmico con un depósito de energía. Un depósito de energía es una fuente de energía que se considera tan grande que una transferencia finita de energía desde el depósito no cambia su temperatura. El émbolo es sostenido en su posición inicial por un agente externo por ejemplo una mano -. Cuando la fuerza con la cual se sostiene al émbolo se reduce ligeramente, éste se eleva muy lentamente a su posición final. Ya que el émbolo se mueve hacia arriba, el gas está realizando trabajo sobre él. Durante esta expansión hasta el volumen final Vf , sólo se transfiere suficiente energía por calor del depósito al gas para mantener una temperatura constante Ti . Considere ahora el sistema aislado térmicamente por completo que se muestra en la figura 4.b. Cuando se rompe la membrana el gas se expande rápidamente dentro del vacío hasta que ocupa un volumen Vf y está a una presión Pf. En este caso el gas no hace trabajo ya que no hay un émbolo móvil sobre el cual el gas aplique una fuerza. Asimismo, no se transfiere energía por calor a través de la pared aislante. Los estados inicial y final del gas ideal de la figura 4.a son idénticos a los estados inicial y final mostrados en la figura 4.b, aunque las trayectorias son diferentes. En el primer caso efectúa trabajo sobre el émbolo y la energía se transfiere lentamente al gas. En el segundo caso no se transfiere energía y el valor del trabajo realizado es cero. Así, se concluye que la energía transferida por calor, al igual que el trabajo realizado, depende de los estados inicial, final e intermedio del sistema. En otras palabras, puesto que el calor y el trabajo dependen de la trayectoria, ninguna cantidad se determina sólo por los puntos extremos de un proceso termodinámico. ™

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.) Un recipiente contiene un gas a una presión de 1,5 atm y un volumen de 4 m3. ¿Cuál es el trabajo efectuado por el gas si a) se expande a presión constante hasta el doble de su volumen inicial? b) ¿Se comprime a presión constante hasta un cuarto de su volumen inicial?. R: 6,08·105 (J)

2.) Una muestra de gas ideal se expande al doble de su volumen original de 1m3 en un proceso cuasi-estático para el cual P=α V 2 , con α = 5 atm/m6, como se muestra en la figura. ¿Cuánto trabajo realiza el gas en expansión?. R: -1,18MJ 3.) a) Determine el trabajo realizado por un fluido que se expande de i a f como se indica en la figura. b) ¿Cuánto trabajo realiza el fluido si éste se comprime desde f hasta i a lo largo de la misma trayectoria?. R: -12MJ , +12 MJ 4.) Un mol de un gas ideal se calienta lentamente de modo que pasa del estado PV (Pi, Vi) al estado (3Pi, 3V i ) de tal manera que la presión del gas es directamente proporcional al volumen. a) ¿Cuánto trabajo se efectúa en el proceso? b) ¿Cómo se relaciona la temperatura del gas con su volumen ⎛ P ⎞ durante este proceso?. R: -4PiVi ; T = ⎜ i ⎟ V 2 ⎝ nTVi ⎠ 5.) Una muestra de helio se comporta como un gas ideal conforme se le agrega energía por calor a presión constante de 273ºK a 373ºK. Si el gas realiza 20 J de trabajo, ¿cuál es la masa del helio?. 6.) Un gas ideal está encerrado en un cilindro con un émbolo móvil en la parte superior. El émbolo tiene una masa de 8000 g y un área de 5 cm2, y se puede deslizar libremente arriba y abajo manteniendo constante la presión del gas. ¿Cuánto trabajo se hace cuando la temperatura de 0,2 moles del gas se incrementa de 20°C a 300°C?. R: 466 J. Módulo.10-Complemento de Física.prosec.estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

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7.) Un gas ideal está encerrado en un cilindro que tiene un émbolo móvil en la parte superior. El émbolo tiene una masa m y un área A, y se puede deslizar libremente arriba y abajo, manteniendo la presión del gas constante. ¿Cuánto trabajo se hace cuando la temperatura de n moles del gas se incrementa de T1 a T2?. R: nR(T2 –T1) 8.) Un gas se expande desde I a lo largo de tres posibles trayectorias, como se indica en la figura. Calcule el trabajo en joules realizado por el gas a lo largo de las trayectorias IAF, IF e IBF. R: 810 J , 506 J , 203 J

4

P(atm) I

1

B

A

F V(Lt)

™

LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA

2

4

En el módulo de energía, cuando se introdujo la ley de conservación de la energía mecánica, se estableció que la energía mecánica de un sistema es constante si no están presentes fuerzas no conservativas, como la fricción. Es decir, los cambios en la energía interna del sistema no se incluyeron en este modelo mecánico. La primera ley de la termodinámica es una generalización de la ley de conservación de la energía que abarca los cambios en la energía interna. Ésta es una ley universalmente válida que puede aplicarse a muchos procesos y proporciona una conexión entre los mundos micro y macroscópico. Se ha visto que la energía puede transferirse de dos maneras entre un sistema y sus alrededores. Una es el trabajo hecho por el sistema, lo que requiere que haya un desplazamiento macroscópico del punto de aplicación de una fuerza (o presión). La otra es el calor, que ocurre a través de colisiones aleatorias entre las moléculas del sistema. El resultado en ambos mecanismos es un cambio en la energía interna del sistema y, por tanto, suele haber cambios mensurables en las variables macroscópicas del sistema, como la presión, la temperatura y el volumen de un gas. Para comprender mejor estas ideas en una base cuantitativa, suponga que un sistema experimenta un cambio desde un estado inicial hasta un estado final. Durante este cambio ocurre transferencia de energía por calor Q al sistema, y se efectúa trabajo W por el sistema. A manera de ejemplo suponga que el sistema es un gas cuya presión y volumen cambian de P i y V i a Pf y V f . Si la cantidad Q – W se mide para diversas trayectorias que conectan los estados de equilibrio inicial y final, se encuentra que es la misma para todas las trayectorias que conectan los dos estados. Se concluye que la cantidad Q – W es determinada por completo por los estados inicial y final del sistema, y a dicha cantidad se le da el nombre de cambio en la energía interna del sistema. A pesar de que Q y W dependen ambas de la trayectoria, la cantidad Q – W es independiente de la trayectoria. Si se usa el símbolo “U” para representar la energía interna, entonces el cambio en la energía interna ∆U puede expresarse como

∆U = Q − W

(3)

Ecuación de la primera Ley.

donde todas las cantidades deben tener las mismas unidades de medición para la energía. La ecuación 3 se conoce como ecuación de la primera ley, y es una ecuación clave en muchas aplicaciones. Como recordatorio se emplea la conversión de que Q es positiva cuando la energía entra al sistema, y negativa cuando la energía sale del sistema, y que W es positiva cuando el sistema efectúa trabajo sobre los alrededores, y negativa si el trabajo se realiza sobre el sistema. Cuando un sistema experimenta un cambio de estado infinitesimal, donde una pequeña cantidad de energía dQ se transfiere por calor y se realiza una pequeña cantidad de trabajo dW, la energía interna cambia en una pequeña cantidad dU. Así, para un proceso infinitesimal la ecuación de la primera ley se puede expresar como dU = dQ – dW

Ecuación de la primera ley para cambios infinitesimales

La ecuación de la primera ley es una ecuación de conservación de la energía especificando que el único tipo de energía que cambia en el sistema es la energía interna U. Considere algunos casos especiales en los que existe esta condición. Módulo.10-Complemento de Física.prosec.estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

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Considere primero un sistema aislado, es decir, uno que no interactúa con sus alrededores. En este caso no hay transferencia de energía por calor y el valor del trabajo efectuado por el sistema es cero; por tanto, la energía interna permanece constante. Esto es, puesto que Q = W = 0, se sigue que ∆U = 0, por tanto, Ui = Uf. Se concluye que la energía interna U de un sistema aislado permanece constante. A continuación considere el caso de un sistema (uno no aislado de sus alrededores) que se lleva a través de un proceso cíclico – es decir, uno que se origina y termina en el mismo estado – . En este caso el cambio en la energía interna también debe ser cero y, en consecuencia, la energía Q agregada al sistema debe ser igual al trabajo W efectuado durante el ciclo. Esto es, en un proceso cíclico, ∆U = 0

y

Q=W

Sobre un diagrama PV, un proceso cíclico aparece como una curva cerrada. (Los procesos descritos en la figura 3 están representados por curvas abiertas porque los estados inicial y final difieren.) Se puede demostrar que en un proceso cíclico el trabajo neto realizado por el sistema por ciclo es igual al área encerrada por la trayectoria que representa el proceso sobre un diagrama PV Si el valor del trabajo realizado por el sistema durante algún proceso es cero, entonces el cambio en la energía interna ∆U es igual a la energía transferida Q dentro o fuera del sistema: ∆U = Q Si la energía entra al sistema, entonces Q es positivo y la energía interna aumenta. Para un gas se puede asociar este incremento en energía interna con un incremento en la energía cinética de las moléculas. De manera inversa, si no ocurre transferencia de energía durante algún proceso, pero se realiza trabajo por el sistema entonces el cambio en la energía interna es igual al valor negativo del trabajo efectuado por el sistema: ∆U = – W Por ejemplo, si un gas se comprime por un émbolo móvil en un cilindro aislado, no se transfiere energía por calor y el trabajo realizado por el gas es negativo; por tanto la energía interna aumenta, pues la energía cinética es transferida del émbolo móvil a las moléculas del gas. A escala microscópica no hay distinción entre los resultados del calor y el trabajo. Ambos pueden producir un cambio en la energía interna de un sistema. Aunque las cantidades macroscópicas Q y W no son propiedades de un sistema, se relacionan con los cambios de la energía interna de un sistema por medio de la ecuación de la primera ley. Una vez que se define un proceso, o trayectoria, Q y W pueden calcularse o medirse, y el cambio en la energía interna del sistema puede encontrarse a partir de la ecuación de la primera ley. Una de las consecuencias importantes de la primera ley de la termodinámica es que hay una cantidad conocida como energía interna, cuyo valor es determinado por el estado del sistema. En consecuencia, la función energía interna recibe el nombre de función de estado. EJEMPLO 1. En determinado proceso, un sistema absorbe 400 cal de calor y al mismo tiempo realiza un trabajo de 80 J sobre sus alrededores. ¿Cuál es el incremento en la energía interna del sistema?

Aplicando la primera ley, tenemos ∆U = Q – W ⎛ ⎞ 1cal ∆U = 400 cal − 19,1cal = 380,9 cal ∆U = 400 cal − 80 Joule ⎜ ⇒ ⎟ ⎝ 4,186 Joule ⎠ Por consiguiente, las 400 cal de energía térmica de entrada se usan para realizar 19,1 cal de trabajo, mientras la energía interna del sistema se incrementa en 380,9 cal. La energía se conserva. Solución:

™

EJERCICIOS PROPUESTOS

9.) En un proceso químico industrial, a un sistema se le proporcionan 600 J de calor y 200 J de trabajo son realizados por dicho sistema. ¿Cuál es el incremento registrado en la energía interna de este sistema?. R 400 J 10.) Supongamos que la energía interna de un sistema disminuye en 300 J, al tiempo que un gas realiza 200 J de trabajo. ¿Cuál es el valor de Q?. ¿El sistema ha ganado o ha perdido calor?. R:-100 J Módulo.10-Complemento de Física.prosec.estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

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11.) En un proceso termodinámico, la energía interna del sistema se incrementa en 500 J. ¿Cuánto trabajo fue realizado por el gas si en el proceso fueron absorbidos 800 J de calor?. R: 300 J 12.) Un pistón realiza 300 pie·lb de trabajo sobre un gas, que luego se expande y efectúa 2500 pie·lb de trabajo sobre su entorno. ¿Cuál es el cambio en la energía interna del sistema si el intercambio neto de calor es cero?. (1J = 0,7376 pie·lb = 9,481·10 - 4 Btu). R: + 500 pie·lb = 0,643 BTU 13.) En un laboratorio químico, un técnico aplica 340 J de energía a un gas, al tiempo que el sistema que rodea dicho gas realiza 140 J de trabajo sobre el gas. ¿Cuál es el cambio en la energía interna? . R: 480 J. 14.) ¿Cuál es el cambio de la energía interna en el problema 5 si los 140 J de trabajo son realizados por el gas, en lugar de realizarse sobre el gas?. R: ∆U = 200 J . 15.) Un sistema absorbe 200 J de calor cuando la energía interna aumenta en 150 J. ¿Qué trabajo realiza el gas en ese caso?. R: 50 J. 16.) El calor específico del agua es 4186 J/kg·°C. ¿Cuál es el cambio en la energía interna de 200 g de agua cuando ésta se calienta de 20 a 30°C?. Suponga que el volumen es constante. R: 8372 J. 17.) A una presión constante de 101,3 kPa, 1 g de agua (1 cm3) se evapora por completo y alcanza un volumen final de 1 671 cm3 en su forma de vapor. ¿Qué trabajo ha realizado el sistema contra su entorno? ¿Cuál es el incremento de la energía interna?. R: 2090 J. 18.) Un gas se comprime a presión constante de 0,8 atm de 9 L a 2 L. En el proceso salen 400 J de energía de gas por calor. a) ¿Cuál es el trabajo efectuado por el gas? b) ¿Cuál es el cambio en su energía interna?. R: 567 J , 167 J 19.) Un sistema termodinámico se somete a un proceso en el cual su energía interna disminuye en 500 J. Si al mismo tiempo se hacen 220 J de trabajo sobre el sistema, ¿cuál es la energía transferida a o desde él por calor?. R: -720 J P(kPa)

20.) Un gas se lleva a través del proceso cíclico descrito en la figura. a) Encuentre la energía neta transferida por calor al sistema durante un ciclo completo. b) Si se invierte el ciclo -es decir, si el proceso sigue la trayectoria ACBA, ¿cuál es la energía neta que ingresa de calor por ciclo?. R: 12 KJ , -12 KJ 21.) Considere el proceso cíclico esbozado en la figura : Q el proceso BC, y ∆U es negativo para el proceso CA. ¿Cuáles son los signos de Q , Resp. Q W y ∆Ut que están asociados BC – con cada proceso?. CA – AB

+

es negativo para W 0 + –

∆U – – +

B

8

2

A

6

C V(m3)

10

22.) Una muestra de un gas ideal sigue el proceso que se indica en la figura. De A a B el proceso es adiabático; de B a C es isobárico, con 100 kJ de flujo de energía por calor hacia el sistema. De C a D el proceso es isotérmico; de D a A es isobárico, con 150 kJ de flujo de energía por calor hacia afuera del sistema. Determine la diferencia en la energía interna Eint,B – Eint,A. R: 5,79 KJ , -48,7 KJ , 42,9 KJ Módulo.10-Complemento de Física.prosec.estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

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PROCESOS TERMODINAMICOS.

• PROCESO ADIABÁTICO: Un proceso adiabático es uno durante el cual no entra o sale energía del sistema por calor – es decir, Q = 0 –. Se puede alcanzar un proceso adiabático aislando térmicamente el sistema de sus alrededores (como se muestra en la Fig. 4.b) o efectuando rápidamente el proceso, de tal manera que hay poco tiempo para que la energía se transfiera por calor. Cualquier proceso que ocurra en un entorno totalmente cerrado, como en una cámara aislada, se denomina proceso adiabático y en esos casos se dice que el sistema está rodeado por paredes adiabáticas. Al aplicar la primera ley de la termodinámica a un proceso adiabático se ve que ∆U = – W

(4)

proceso adiabático

A partir de este resultado se ve que si un gas se expande adiabáticamente de tal forma que W es positiva, entonces ∆U es negativa y la temperatura del gas disminuye. En el proceso inverso la temperatura del gas aumenta cuando éste se comprime adiabáticamente, .

Q=0 – ∆U

W

Figura 5. En un proceso adiabático no hay transferencia de calor y el trabajo se realiza a expensas de la energía interna.

Proceso adiabático

Los procesos adiabáticos son muy importantes en la práctica de la ingeniería. Algunos ejemplos comunes incluyen la expansión de gases calientes en un motor de combustión interna, la licuefacción de gases en un sistema de enfriamiento, y la carrera de compresión en un motor diesel. El proceso descrito en la figura 4.b llamado expansión libre adiabática, es único. El proceso es adiabático porque tiene lugar en un recipiente aislado. Puesto que el gas se expande en un vacío, no aplica fuerza sobre un émbolo como se describió en la figura 4.a, por lo que no se realiza trabajo sobre o por el gas. Por tanto, en este proceso adiabático, Q = 0 y W = 0. Como resultado, ∆U = 0 para este proceso, como se puede ver en la primera ley. Es decir, las energías internas inicial y final de un gas son iguales en una expansión libre adiabática libre. La energía interna de un gas ideal depende sólo de su temperatura. De este modo, no se esperaría cambio en la temperatura durante una expansión adiabática libre. Esta predicción concuerda con los resultados de experimentos efectuados a bajas presiones (experimentos realizados a elevadas presiones con gases reales muestran una ligera disminución o aumento en la temperatura después de la expansión. Este cambio se debe a interacciones intermoleculares, las cuales representan una desviación del modelo de un gas ideal). • PROCESO ISOBARICO: Un proceso que ocurre a presión constante se conoce como proceso isobárico. Cuando ocurre un proceso de este tipo, los valores del calor y el trabajo efectuado suelen ser diferentes de cero. El trabajo realizado por el gas es simplemente W = P (Vf – Vi )

(5)

proceso isobárico

donde P es la presión constante. • PROCESO ISOCORICO : Un proceso que se efectúa a volumen constante recibe el nombre de proceso isocórico o proceso isovolumétrico. Es claro que en dicho proceso el valor del trabajo realizado es cero porque el volumen no cambia. Por tanto, de la primera ley se ve que en un proceso isovolumétrico, como W= 0, Q ∆U = Q

(6)

proceso isocórico

Esta expresión especifica que, si se añade energía por calor a un sistema que se ,mantiene a volumen constante, entonces toda la energía transferida permanece en el sistema como un incremento de la energía interna del sistema. Por ejemplo, cuando una lata de pintura en aerosol se lanza al fuego, entra energía al sistema (el gas en la lata) por calor a través de las paredes metálicas de la lata. En consecuencia. la temperatura, y, por tanto, la presión en la lata aumenta hasta que ésta posiblemente explote. Módulo.10-Complemento de Física.prosec.estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

+∆ U

W=0

Proceso isocórico 6. En un proceso isocórico, el volumen del sistema (por ejemplo, agua y vapor) permanece constante.

Figura

8

• PROCESO ISOTERMICO: Un proceso que ocurre a temperatura constante recibe el nombre de proceso isotérmico. Una gráfica de P versus V a temperatura constante para un gas ideal produce una curva hiperbólica llamada isoterma. La energía interna de un gas ideal es una función exclusiva de la temperatura. Por consiguiente, en un proceso isotérmico de un gas ideal, ∆U = 0. Para un proceso isotérmico, entonce, se concluye de la primera ley que la energía transferida Q debe ser igual al trabajo realizado por el gas; esto es, Q= W. Cualquier energía que entra al sistema por calor se transfiere fuera del sistema por trabajo; como resultado, no ocurre cambio de la energía interna del sistema. ™

Expansión isotérmica de un gas ideal

Suponga que se deja que un gas ideal se expanda cuasi-estáticamente a temperatura constante, como se describe por medio del diagrama PV mostrado en la figura 7. La curva es una hipérbola y la ecuación de estado de un gas ideal con T constante indica que la ecuación de esta curva es PV = constante. La expansión isotérmica del gas se puede alcanzar poniéndolo en contacto térmico con un depósito de energía a la misma temperatura, como se muestra en la figura 4.a.

isoterma

PV=constante

Figura 7 El diagrama PV para una expansión isotérmica de un gas ideal desde un estado inicial hasta uno final. La curva es una hipérbola.

Calculo del trabajo realizado por el gas en la expansión desde el estado i al estado f.

El trabajo hecho por el gas está dado por la ecuación 2. Puesto que el gas es ideal y el proceso es cuasiestático, se puede aplicar la expresión PV= nRT para cada uno de los puntos sobre la trayectoria. Por lo tanto, se tiene

W=

VF

VF

Vi

Vi

∫ PdV =

∫

nRT dV V

Puesto que en este caso T es constante, puede sacarse de la integral junto con n y R: VF

W = nRT ∫ Vi

dV = nRT Ln V V

Para evaluar la integral se usa

∫

Vf Vi

dx = Ln x j. Al evaluar ésta en los volúmenes inicial y final se tiene x

⎛V ⎞ W = nRT Ln ⎜ f ⎟ ⎝ Vi ⎠

(7)

Trabajo hecho por un gas ideal en un proceso isotérmico

Numéricamente este trabajo W es igual al área sombreada bajo la curva PV mostrada en la figura 7. Ya que el gas se expande, Vf > Vi y el valor para el trabajo hecho por el gas es positivo, como se esperaba. Si el gas se comprime, entonces Vf < Vi y el trabajo hecho por el gas es negativo. Ejemplo 2: Una muestra de 1 mol de un gas ideal se mantiene a 0°C durante una expansión de 3 L a 10 L. a) ¿Cuánto trabajo es realizado por el gas durante la expansión? ⎛V ⎞ W = nRT Ln ⎜ f ⎟ produce Solución: La sustitución de estos valores en la ecuación ⎝ Vi ⎠

⎛ 10 L ⎞ 3 W = (1mol)(8,31J / mol·º K)·(273º K) Ln ⎜ ⎟ = 2,7·10 J 3 L ⎝ ⎠ b) ¿Cuánta energía se transfiere por calor con los alrededores en este proceso?. Solución: A partir de la primera ley se encuentra que ∆U = Q – W 0 = Q- W ⇒ Q = W = 2,7·103 J Módulo.10-Complemento de Física.prosec.estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

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c) Si el gas regresa al volumen original por medio de un proceso isobárico, ¿cuánto trabajo efectúa el gas? Solución: El trabajo realizado en un proceso isobárico está dado por la ecuación W = P (Vf – Vi ). No se ha proporcionado la presión, por lo que se necesita incorporar la ley del gas ideal: nRTi (1mol)(8,31J / mol·º K)(273º K) (3·10−3 m3 − 10·10 −3 m3 ) = -1,6·103 J (Vf − Vi ) = Vi 10·10−3 m3 Note que se usa la temperatura inicial y el volumen para determinar el valor de la presión constante porque no se conoce la temperatura final. El trabajo realizado por el gas es negativo porque el gas se está comprimiendo. W = P(Vf − Vi ) =

™ EJERCICIOS PROPUESTOS 23.) Un gas ideal se expande isotérmicamente al tiempo que absorbe 4,80 J de calor. El pistón tiene una masa de 3 kg. ¿A qué altura se elevará el pistón con respecto a su posición inicial?. R: h = 0,163 m = 16,3 cm . 24.) El trabajo realizado sobre un gas durante una compresión adiabática es de 140 J. Calcule el incremento de la energía interna del sistema en calorías. ( 1 J = 0,24 Cal ). R: 33,6 Cal 25.) Durante una expansión isobárica, una presión continua de 200 kPa hace que el volumen de un gas cambie de 1 a 3 L. ¿Qué trabajo ha realizado el gas?. R: 400 J. 26.) Un gas está encerrado en una lata de cobre. ¿Cuánto calor es necesario suministrar para incrementar la energía interna en 59 J?. ¿Qué tipo de de proceso termodinámico interviene en este caso?. R: 59 J ; Un proceso isocórico 27.) Un gas encerrado por un pistón se expande casi isobáricamente a 100 kPa. Cuando el sistema absorbe 20000 J de calor, su volumen aumenta de 0,100 m3 a 0,250 m3. ¿Qué trabajo se ha realizado y cuál es el cambio en la energía interna?. R: 15.000 J ; 5000 J. 28.) El calor específico del bronce es 390 J/kgºC. Un trozo de bronce de 4 kg se calienta isocóricamente, con lo cual la temperatura se eleva en 10 ºC. ¿Cuál es el incremento de la energía interna?. R: 15,6 KJ. 29.) Considere el diagrama P-V que muestra la figura, donde se indican la presión y el volumen para cada uno de los puntos A, B, C y D. P(Pa) Partiendo del punto A, una muestra de 2 litros de gas absorbe 800 J de calor, provocando un incremento en la presión de 1·105 (Pa) a B C 2·105 2·105 (Pa). A continuación el gas se expande de B a C, absorbiendo una cantidad adicional de calor de 200 J mientras su volumen aumenta a 5 litros. (a) Determine el trabajo neto realizado y el cambio de energía interna para cada uno de los procesos AB y 1·105 D A BD. (b) ¿Cuál es el trabajo neto y el cambio total de energía interna V(Lt) para el proceso ABC?. R: (a) 0 ; 800 J ; 600 J ; -400 J , (b) 600 J; +400 J; (c) isocórico , isobárico. 2 5 30.) Dos litros de un gas ideal tienen una temperatura de 300 ºK y una presión de 2 atm. El gas soporta una expansión isobárica mientras su temperatura se eleva hasta 500ºK. ¿Qué trabajo ha realizado el gas?. R: 270 KJ. 31.) El diámetro de un pistón es de 6 cm y la longitud de su carrera es de 12 cm. Suponga que una fuerza constante de 340 N mueve el pistón durante una carrera completa. Calcule primero el trabajo a partir de la fuerza y la distancia. Compruebe después su respuesta considerando la presión y el volumen. R: 40,8 J 32.) En el caso de procesos adiabáticos, se puede demostrar que la presión y el volumen están P1 V1γ = P2 V2γ relacionados entre sí por la siguiente expresión: donde “γ” es la constante adiabática, cuyo valor es 1,40 para gases diatómicos y también para la mezcla de vapor de gasolina/aire en los motores de combustión. Use la ley de los gases ideales para demostrar la relación T1 V1γ−1 = T2 V2γ−1 Módulo.10-Complemento de Física.prosec.estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

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33.) Un gas ideal inicialmente a 300 K se somete a una expansión isobárica a 2,50 kPa. Si el volumen aumenta de 1 m3 a 3 ms, y si 12,5 kJ de energía se transfiere-al gas por calor, calcule a) el cambio en su energía interna y b) su temperatura final. R: 7,5 Kj 34.) Un mol de un gas ideal realiza 3000 J de trabajo sobre los alrededores conforme se expande isotérmicamente hasta una presión final de 1 atm y un volumen de 25 L. Determine a) el volumen inicial y b) la temperatura del gas. R: 0,00765 m3 ; 305ºK 35.) ¿Cuánto trabajo efectúa el vapor cuando 1 mol de agua a 100°C hierve y se convierte en 1 mol de vapor a 100°C y 1 atm de presión? Suponiendo que el vapor es un gas ideal, determine el cambio en la energía interna del vapor conforme se vaporiza. R: 36.) Un bloque de 1 kg de aluminio se calienta a presión atmosférica de tal manera que su temperatura aumenta de 22°C a 40°C. Encuentre a) el trabajo realizado por el aluminio, b) la energía que se le adiciona por calor, y c) el cambio en su energía interna. R: 37.) Una muestra de 2 moles de helio gaseoso inicialmente a 300ºK y 0,4 atm se comprime isotérmicamente a 1,2 atm. Suponiendo que el comportamiento del helio es el de un gas ideal, encuentre a) el volumen final del gas, b) el trabajo realizado por el gas, y c) la energía transferida por calor. R: 38.) En la figura, el cambio en la energía interna de un gas que pasa de A a C es +800 J. El trabajo efectuado a lo largo de la trayectoria ABC es +500 J. a) ¿Cuánta energía debe entregarse al sistema por calor cuando va de A a C pasando por B? b) Si la presión en el punto A es cinco veces la del punto C, ¿cuál es el trabajo que hace el sistema al ir de C a D? c) ¿Cuál es la energía que se intercambia por calor con los alrededores cuando el ciclo va de C a A? d) Si el cambio en la energía interna al ir del punto D al A es +500 J, ¿cuánta energía debe entregarse al sistema por calor cuando va del punto C al punto D? . R: 1300 J ; 100 J ; -900 J ; - 1400 J

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SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA

Cuando nos frotamos las manos vigorosamente, el trabajo contra la fricción incrementa la energía interna y provoca una elevación de temperatura. El aire de los alrededores constituye un gran depósito a una temperatura más baja, y la energía térmica se transfiere sin que éste cambie su temperatura apreciablemente, Cuando dejamos de frotarnos, nuestras manos retornan a su estado original. De acuerdo con la primera ley, la energía mecánica se ha transformado en calor con una eficiencia del 100 por ciento. W=Q Este tipo de transformación puede continuar indefinidamente en tanto se suministre trabajo. Consideremos ahora el proceso inverso. ¿Es posible convertir la energía térmica en trabajo con una eficiencia del 100 por ciento?. En el ejemplo anterior, ¿es posible capturar todo el calor transferido al aire y hacerlo volver a nuestras manos, provocando que ellas se froten indefinidamente en forma espontánea? En un día de frío invernal, este proceso favorecería a los cazadores de manos frías. Por desgracia, tal proceso no puede ocurrir, aun cuando no viole la primera ley. Tampoco es posible recuperar todo el calor perdido al frenar un automóvil con el propósito de que las ruedas empiecen a girar de nuevo. Estudiaremos que la conversión de energía térmica en trabajo mecánico es un proceso de pérdidas. La primera ley de la termodinámica nos dice que no podemos tener ganancias en un experimento de ese tipo. Es decir, que es imposible conseguir más trabajo por parte de un sistema que el calor que se le suministra al sistema. Sin embargo, esto no excluye la posibilidad de seguir frenando. Es obvio que necesitamos otra regla que establezca que no es posible convertir el 100 por ciento de la energía térmica en trabajo útil. Esta regla constituye el fundamento de la segunda ley de la termodinámica. Módulo.10-Complemento de Física.prosec.estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

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Segunda ley de la termodinámica: Es imposible construir una máquina que, funcionando de manera continua, no produzca otro efecto que la extracción de calor de una fuente y la realización de una cantidad equivalente de trabajo.

Para profundizar más y hacer más aplicable este principio, suponga que estudiamos el funcionamiento y la eficiencia de máquinas térmicas. Un sistema particular puede ser un motor de gasolina, un motor de propulsión, una máquina de vapor, o incluso el cuerpo humano. El funcionamiento de una máquina térmica se describe mejor por medio de un diagrama similar al que muestra la figura 9. Durante la operación de una máquina general Depósito a alta temperatura de este tipo, ocurren tres procesos:

Qent

1. Una cantidad de calor Qent se suministra a la máquina desde un recipiente a alta temperatura Tent. 2. La máquina realiza un trabajo mecánico Wsal mediante la utilización de una parte del calor de entrada. 3. Una cantidad de calor Qsal se libera al recipiente de baja temperatura Tsal. Puesto que el sistema periódicamente regresa a su estado inicial, el cambio neto de energía interna es cero. Por consiguiente, la primera ley nos dice que

Tent

Máquina térmica

W = Qent – Qsal

Figura 9.

Qsal

Tsal

Diagrama esquemático de una máquina térmica.

Depósito a baja temperatura

Trabajo de salida = calor de entrada – calor de salida Wsal = Qent – Qsal

(7)

La eficiencia de una máquina térmica se define como la razón del trabajo útil realizado por una máquina con respecto al calor suministrado a la máquina, y generalmente se expresa como porcentaje. Eficiencia =

trabajo de salida calor de entrada

⇒

e =

Qent − Qsal Q = 1 − sal Qent Qent

(8)

Por ejemplo, una máquina con una eficiencia del 25% (e = 0,25) debe absorber 1000 Btu, realizar un trabajo de 250 Btu y desechar 750 Btu como calor perdido. Una máquina eficiente al 100 por ciento es aquella en la que todo el calor de entrada se convierte en trabajo útil. En este caso, no se entregaría calor al medio ambiente (Qsal = 0). Aunque en un proceso de ese tipo se conservaría la energía, se viola la segunda ley de la termodinámica. La máquina más eficiente es aquella que cede al medio ambiente la menor cantidad posible de calor. EJEMPLO 3: Encuentre la eficiencia de una máquina térmica que absorbe 2000 J de energía de un depósito caliente y entrega 1500 J a un depósito frío. Solución: Qent = 2000 J ; Qsal = 1500 J Q 1500J e=… e = 1 − sal = 1 − = 0,25 ó 25% Qent 2000J ™

CICLO DE CARNOT.

Todas las máquinas térmicas están sujetas a gran número de dificultades prácticas. La fricción y la pérdida de calor mediante la conducción y la radiación impiden que las máquinas reales funcionen a su máxima eficiencia. Una máquina ideal, libre de ese tipo de problemas, fue sugerida por Sadi Carnot en 1824. La máquina de Carnot tiene la máxima eficiencia posible tratándose de una máquina que absorbe calor de una fuente a alta temperatura, realiza trabajo externo, y deposita calor en un recipiente a baja temperatura. La eficiencia de una cierta máquina puede determinarse comparándola con la máquina de Carnot al funcionar entre las mismas temperaturas. Módulo.10-Complemento de Física.prosec.estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

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El ciclo de Carnot se ilustra en la figura 10. Un gas confinado en un cilindro provisto de un émbolo móvil se pone en contacto con una fuente a alta temperatura Tent. Una cantidad de calor Qent es absorbida por el gas, el cual se dilata isotérmicamente a medida que la presión disminuye. La primera etapa del Ciclo de Carnot se muestra gráficamente por medio de la curva AB en el diagrama P-V (figura 11). Luego, el cilindro se coloca en un aislante térmico, donde continúa la dilatación adiabática en tanto que la presión disminuye hasta su nivel más bajo. Esta etapa se representa gráficamente con la curva BC. En la tercera etapa el cilindro es extraído de la base aislante y colocado sobre una fuente a baja temperatura, Tsal. Una cantidad de calor QSal es extraída del gas a medida que éste se comprime isotérmicamente desde el punto C hasta el D en el diagrama P-V. Por último, el cilindro se coloca de nuevo en la base aislante, donde se comprime adiabáticamente hasta su etapa original a lo largo de la trayectoria DA. La máquina realiza trabajo externo durante el proceso de dilatación y regresa a su estado inicial durante los procesos de compresión.

P

Qent

A

B

T1 Depósito caliente Base aislante

T2 Depósito frío

(a) (b) Figura 10. Ciclo de Carnot:

(c)

D C

V

(d)

(a) expansión isotérmica, (b) expansión adiabática, (c) compresión isotérmica y (d) compresión adiabática.

™

QSal

Base aislante

Figura 11. Diagrama P-V de un ciclo de Carnot ideal.

LA EFICIENCIA DE UNA MÁQUINA IDEAL

Es difícil predecir la eficiencia de una máquina real a partir de la ecuación (8) porque calcular las cantidades Qent y Qsal es complicado. Las pérdidas por calor y fricción a través de las paredes del cilindro y alrededor del émbolo, la combustión incompleta del combustible, e incluso las propiedades físicas de diferentes combustibles son factores que dificultan nuestros esfuerzos por medir la eficiencia de tales máquinas. Sin embargo, podemos imaginar una máquina ideal que no se vea afectada por las dificultades prácticas. La eficiencia de dicha máquina depende tan sólo de las cantidades de calor absorbidas y liberadas entre dos fuentes de calor bien definidas, y no depende de las propiedades térmicas del combustible que se use. Es decir, independientemente de los cambios internos de presión, volumen, longitud y otros factores, todas las máquinas ideales tienen la misma eficiencia cuando están funcionando entre las mismas dos temperaturas (Tent y Tsal). Una máquina ideal es aquella que tiene la más alta eficiencia posible para los límites de temperatura dentro de los cuales opera. Si podemos definir la eficiencia de una máquina en términos de temperaturas de entrada y salida en vez de hacerlo en términos del calor de entrada o de salida, tendremos una fórmula más útil. Para una máquina ideal se puede probar que la razón de Qent/Qsal es la misma que la razón de Tent/Tsal , pero demostrar esta aseveración no es sencillo. Por lo tanto, la eficiencia de una máquina ideal puede expresarse como una función de las temperaturas absolutas de los depósitos de entrada y de salida. La ecuación (8), para una máquina ideal, se transforma en e =

Tent − Tsal Tent

(9)

Se puede demostrar que ninguna máquina que opere entre las mismas dos temperaturas puede ser más eficiente que lo que indica la ecuación (9). Esta eficiencia ideal representa entonces el límite superior de la eficiencia de cualquier máquina práctica. Cuanto mayor es la diferencia de temperatura entre dos depósitos, mayor es la eficiencia de cualquier máquina. Módulo.10-Complemento de Física.prosec.estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

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EJEMPLO 4. a) ¿Cuál es la eficiencia de una máquina ideal que opera entre dos depósitos de calor a 400 y 300ºK? b) ¿Cuánto trabajo realiza la máquina en un ciclo completo si se absorben 800 cal de calor del depósito a alta temperatura? c) ¿Cuánto calor es cedido al depósito de baja temperatura? Solución a) La eficiencia ideal se encuentra a partir de la ecuación (9). Tent − Tsal 400 º K − 300 º K = ⇒ Tent 400 º K Por consiguiente, la eficiencia ideal es de 25 por ciento. e =

e = 0,25 .

b) La eficiencia es la razón de Wsal/Qent, así que Wsal Wsal = 200 cal . = 0,25 ⇒ Wsal = 0,25 Went = 0,25·800 cal ⇒ Went Una máquina con una eficiencia del 25 por ciento entrega una cuarta parte del calor como trabajo útil. El resto debe perderse (Qsal). c) La primera ley de la termodinámica requiere que Wsal = Qent – Qsal Despejando Qsal obtenemos Qsal = Qent – Wsal = 800 cal – 200 cal ⇒ Qsal = 600 cal . El trabajo de salida generalmente se expresa en joules. Haciendo la conversión a esta unidad nos ⇒ Wsal = 837 Joule . queda Wsal = (200 cal) (4,186 J /cal ) ™

EJERCICIOS PROPUESTOS.

39.) ¿Cuál es la eficiencia de un motor que realiza 300 J de trabajo en cada ciclo, al tiempo que desecha 600 J hacia el medio ambiente?. R: 33,3 % 40.) Durante un ciclo completo, un sistema absorbe 600 Cal de calor y lanza 200 Cal hacia el entorno. ¿Cuánto trabajo se realiza? ¿Cuál es la eficiencia?. R: 1674 J ; 66,7% 41.) Un motor con 37% de eficiencia pierde 400 J de calor en cada ciclo. ¿Qué trabajo se realiza y cuánto calor se absorbe en cada ciclo?. R: 635 J ; 235 J. 42.) ¿Cuál es la eficiencia de una máquina ideal que opera entre las temperaturas de 525 ºK y 300ºK?. R: 42,9 % 43.) Una máquina de vapor recibe vapor sobrecalentado de una caldera que trabaja a 200ºC y que lo arroja directamente al aire a 100ºC. ¿Cuál es la eficiencia ideal?. R: 21,1 % 44.) En un ciclo de Carnot, la expansión isotérmica de un gas tiene lugar a 400ºK y dicho gas absorbe 500 cal de calor. ¿Cuánto calor se pierde si el sistema experimenta una compresión isotérmica a 300ºK. ¿Cuál es la pérdida de calor y qué trabajo realiza?. R: 375 cal ; 1570 J. 45.) Una máquina de Carnot absorbe 1200 Cal durante cada ciclo cuando funciona entre 500 ºK y 300ºK. ¿ Cuál es la eficiencia?. ¿Cuánto calor es expulsado y cuánto trabajo se realiza, en Joules, durante cada ciclo?. R: 40% ; 720 cal; 2009 J. 46.) La eficiencia real de un motor es el 60% de su eficiencia ideal. El motor opera entre las temperaturas de 460ºK y 290ºK. ¿Cuánto trabajo se realiza en cada ciclo si 1600J de calor son absorbidos?. R:355J 47.) Una máquina térmica absorbe 360J de energía y realiza 25 J de trabajo en cada ciclo. Encuentre la eficiencia de la máquina, y la energía liberada al depósito frío en cada ciclo. R: 6,94% ; 335J 48.) Una máquina particular tiene una salida de potencia de 5 kW y una eficiencia de 25%. Suponiendo que la máquina libera 8000 J de energía en cada ciclo, encuentre a) la energía absorbida en cada ciclo, y b) el tiempo para cada ciclo. R: 10667 J ; 0,533 s ™

• •

BIBLIOGRAFÍA.

TIPPENS, PAUL E. , FISICA –CONCEPTOSY APLICACIONES. SERWAY . BEICHNER . FISICA , TOMO I .CAP. 20 Y 22, QUINTA EDICION

Módulo.10-Complemento de Física.prosec.estudios-U.Central – e.contreras.z.2009

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