Betty y Maxwel

CÁTEDRA

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CATEDRÁTICO

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ALUMNO

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SEMESTRE

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DEDICATORIA: EL PRESENTE TRABAJO ESTA DEDICADO A TODAS LAS PERSONAS QUE APOYARON A LA ELABORACION DEL MISMO

El diseño de Estructuras implica un profundo conocimiento del comportamiento de las mismas, como el estudio de las cargas permanentes o variables, los materiales a utilizar ya que sus propiedades determinan las condiciones de diseño, las necesidades para el funcionamiento, entre otras cosas el Análisis de la Estructura, entendiéndose por Análisis el cálculo de solicitaciones Reacciones, Momentos flectores y torsores, Esfuerzos normales de corte y deformaciones. Una de los problemas mas importante de los ingenieros fueron hallar teoría y principios para el análisi s de estructuras indeterminadas, mas o menos en el año de 1864 Maxwell establece una de las primeros teoremas. En esta oportunidad estudiaremos este teorema dado por este importante físico nos logro dejar ya que mas tarde fue mejorado por otro grande Matemático, Betti. Estos teoremas pasaremos a detallarlos mas adelante t ratando de demostrara el principio. Es importante antes de entrar en este tema resaltar que estos teoremas con componentes correspondientes a de deflexión.

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El objetivo principal es la formación más amplia del estudiante en el conocimiento de las Estructuras que le permitan poder analizar en la práctica futura los datos obtenidos con el objetivo de optimizar el diseño y /o salvar los posibles errores que se pudieran cometer en el proceso de Análisis y Diseño.( en este caso para conocer los momentos flectores y otros)

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Conocer y analizar el teorema de Maxwell y Betti demostrando el por que de ella.

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Desarrollar las aplicaciones de este teorema en el análisis de las estructuras.

TEOREMAS ENERGÉTICOS La importancia de los teoremas energético radica en el manejo que se da cuando se analiza las estructuras ya que los abordan d e manera sencilla y su análisis es de forma general. Estos teoremas mucho de ellos están abocados a encontrar y relacionar las deformaciones que sufren las estructuras frente a determinadas cargas o casos. En este gran grupo tenemos a: 

Teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti.

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Teoremas de Castigliano.

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Principio de trabajo Virtual.

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Para estos teoremas suponemos que las cargas aplicadas a l sólido crecen, progresiva mente, desde cero hasta su valor final de una manera continua. En ese caso, el trabajo W realizado por todas las cargas que actúan sobre el sólido quedaría almacenado como energía elástica de deformación U en el sólido y, por tanto:

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U=W

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El trabajo realizado por las cargas exteriores aplicadas a un sólido es la mitad de la suma del producto de dichas cargas por los desplazamientos de sus puntos de aplicación (en la di rección de las mismas).

JAMES CLERK MAXWELL NACIMIENTO

: 13 de Junio de 1831 Edimburgo , Reino Unido

FALLECIMIENTO : 5 de noviembre de 1879 (48 años) Cambridge, Reino Unido RESIDENCIA

: Reino Unido

NACIONALIDAD : Británico CAMPO

: Electromagnetismo, termodinámica

INSTITUCIONES : Marischal College de Aberdeen (1856-1860), Kings College de Londres (1860-1871) , Cambridge(1871-1879) ALMA MÁTER

: Cambridge

CONOCIDO POR : Creación de la teoría electromagnética, la T. cinética de gases, Teoría de Maxwell PREMIOS DESTACADOS : Medalla Rumford en 1860. CÓNYUGE

: Katherine Maxwell

TEOREMA DE MAXWELL (Deformaciones Reciprocas): Maxwell formulo su teorema de las deflexiones en 1864, pero no demostró aplicación práctica solo vino a ser apreciado en 1886, cuando Muller – Breslau presento su versión del método Maxwell  – Mohr. Para eso utilizaron el siguiente pórtico:

Considerando el pórtico de la figura de arriba, al aplicarle una fuerza horizontal en A la estructura se deformara de la manera indicada:

Donde se han utilizado coeficientes de in fluencia definidos así: δij= es el desplazamiento en i, en la dirección de la carga aplicada en i, producido por una carga unitaria

aplicada en j.

Principio de superposición= O teorema de superposición es un resultado matemático que permite descomponer un problema lineal en dos o más subproblemas más sencillos, de t al manera que el problema original se obtiene como "superposición" o "suma" de estos subproblemas más sencillos. Similarmente, si se aplica una carga vertical PB en B, se obtiene la deformada de la siguiente manera:

Si ambas cargas se aplican gradual y simultáneamente , el trabajo total externo producido por ellas será:

Si solo se plica PA , se efectuara un trabajo:

Y si después de que P A alcance su valor final se aplica gradualmente PB, habrá un trabajo adicional:

Por el Principio de Superposición el trabajo realizado es independiente de la secuencia. De ahí que:

Entonces reemplazamos los valores respectivos dados arriba resulta :

Generalizando:

Como i y j son dos punt os cualesquiera, el Teorema de Maxwell de la s deformaciones reciprocas se puede enunciar así: 

Cualquier componente lineal de deflexiones de un punto i que resulte de la aplicación de una fuerza unitaria en cualquier otro punto j, es igual en magnitud a la componente lineal de la deflexión de j (en la dirección de la fuerza aplicada inicialmente en j), que resulta de la aplicación de una fuerza unitaria en i en la misma dirección de la componente original de la deflexión en i.

La misma deducción se pude hacer para el caso de rotaciones debidas a momentos, o para la combinación de un desplazamiento lineal y una rotación, resultando entonces otras dos proporciones. 

El giro en cualquier punto i de una estructura , causado por un momento unitario aplicado en cualquier otro punto j, es igual en magnitud al giro de j producido por un momento unitario actuando en i , ósea :



Cualquier componente lineal de deflexión de un punto i, causada por un momento unitario aplicado en cualquier otro punto j, es igual en magnitud al giro de j que resulte de la aplicación de una fuerza unitaria en i en la dirección originalmente considerada en otros términos:

ENRICO BETTI: NACIÓ

:

21 Octubre 1823 Pistoia, Tuscany

MURIÓ

:

11 Agosto 1892

NACIONALIDAD :

Italiana

CAMPOS

:

Matemáticas

ALMA MATER

:

Universidad de Pisa

ASESOR DE DOCTORADO : Ottaviano-Fabrizio Mossotti CONOCIDO POR : Topología Números de Betti Teorema de Betti

TEOREMA DE BETTI (Ley de reciprocidad): Supongamos que sobre un cuerpo actúa un sistema de fuerzas P que produce deformaciones δ y una energía de deformación U igual a un trabajo Te, y dicho sistema de cargas P esta formado por la suma de dos estados de carga que llamaremos

Si δI

PI y PII.

es el conjunto de desplazamientos correspondientes a la carga y es el correspondiente a las

cargas

se cumplirá:

Cualquiera sea el orden en que se aplican las fuerzas.

Entonces tenemos:

O sus iguales:

Expresión del teorema de Betty: “El trabajo de un estado de cargas en equilibrio P I as lo largo de los desplazamientos producidos por otro

estado de cargas en equilibrio PII es igual al trabajo de las cargas PII a lo largo de los desplazamientos  producidos por PI.” 

A estos trabajos se les denomina recíprocos o indirectos.

TEOREMA RECIPROCO DE MAXWELL Y BETTI El teorema de Maxwell-Betti, o de forma más completa, teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti de resistencia de materiales se debe al matemático italiano Enrico Betti, quien en 1872 generalizó el teorema de Maxwell, publicado a su vez en 1864. Este teorema pertenece a una serie de Teoremas energéticos como anteriormente se ha explicado. En l a figura siguiente se presenta una misma estructura sometida a dos sistemas de car gas diferentes. En las deformadas correspondientes se ha señalado las componentes de deflexión paralelas a la dirección de las fuerzas en el otro sistema y para facilitar la rotación de les ha signado una barra a los términos del sistema II. Las componentes de deflexión causada por un sistema, paralela a las cargas del otro sistema, se dice que son componentes correspondientes de deflexiones, se puede simplificar la nomenclatura utilizada antes en el Teorema de Maxwell. Para el sistema I aplicáremos un determinado sistema de cargas:

Por consiguiente, las componentes de deflexión que resultan a l aplicar el Sistema I de cargas son:

En donde de nuevo las primeras indican gir os producidos por fuerzas o deflexiones debidas a momentos.

Los componentes de deflexión causados por el Sistema II son:

Aplicando ahora arbitra riamente las componentes correspondientes de deflexión del sistema II, como desplazamientos virtuales del Sistema I, resulta un trabajo. Tenemos entonces:

Reemplazando:

Haciendo ahora lo contra rio, es decir, utilizando las componentes de deflexión del Sistema I como desplazamientos virtuales del Sistema II, el trabajo virtual efectuado es:

Si se aplica ahora el Teorema de Maxwell de las deflexiones reciprocas a los términos que tienen igual numero en las ecuaciones ya despejadas tanto del Sistema I como el Sistema II, se observa que dichas ecuaciones resultan iguales, pudiéndose, en consecuencia, enunciar el principio de Maxwell y Betti como sigue:

Dada cualquier estructura estable con una relación lineal carga – deformación, en la cual se han escogido puntos arbitrarios en donde se considera aplicadas fuerzas o momentos en cualesquiera de dos sistema de carga diferentes, el trabajo virtual hecho por las fuerzas y momentos del primer sistema , al  recorrer las deflexiones correspondientes causadas por el segundo sistema, es igual al trabajo virtual  hecho por las fuerzas y momentos del segundo sistema al recorrer las deflexiones correspondientes causantes por el primer sistema.

APLICACIONES 

El Teorema de reciprocidad de Maxwell y Betti son aplicables par el calculo de las deformaciones que se produce en determinadas estructuras, de esta manera facil itan cálculos y hacen que el desarrollo de los pr oblemas seas mas fáciles y rápidos.

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Este teorema es importante ya que también es utilizado para la matriz de rigidez elemental de los vectores cuando son cuadradas y simétricas el teorema.

Los parámetros de las antenas (directividad, ancho de haz, impedancia, resistencia de radiación, etc. ) son idénticos en transmisión y recepción. Para poder demostrarlo vamos a utilizar el teorema de reciprocidad. Consideremos dos conjuntos de fuentes eléctricas a y b que crean dos conjuntos de campos eléctricos y magnéticos

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La frecuencia es la misma y el medio es lineal e isótropo. El teorema de reciprocidad, que se puede demostrar a partir de las ecuaciones de Maxwell, indica que la reacción de lo s campos de las fuentes b con las corr ientes a es el mismo que la reacción de los campos de las cor rientes a con las corrientes b , es decir

EJERCICIOS

CONCLUSIONES 

El teorema planteado por Maxwell al comienzo le faltando tomar en cuenta algunos puntos, además de hacer un análisis mas general, es importe resaltar que cuando Maxwell presento de teoría no encontraba aplicabilidad luego ya años mas tarde se encargarían de esto otros estudiosos como el Matemático Betty que generalizo e ste teorema de la reciprocidad mejorando de esta manera los análisis de las estructuras.

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El teorema de maxwell es aplicable para cuerpos elásticos, con apoyos indeformables y donde la temperatura es constante, además de analizar estructuras hiperestáticas.

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Las ecuaciones

Además de permitir ahorra trabajo en muchas problemas constituyen la base de cierto tipo de análisis por modelos.