Beton i Paranderur leksion5

UPT-FIN

KONST. BETONARME TE PARAND.

LEKSIONI 5

1. ETAPAT E GJENDJES SE BRENDSHME TE NDERUR TE ELEMENTEVE QE PUNOJNE NE PERKULJE Marrim ne studim nje element betonarme te paranderur mbi te cilin ne nje cast te caktuar kohe fillojme te zbatojme nje force P qe rritet vazhdimisht, shiko figuren 1. Qe nga momenti i zbatimit te forces e deri ne shkaterrimin e elementit dallojme tre etapa kryesore te punes se elementit te paranderur.

P

Fig. 1

Etapa 1. Fillon ne momentin kur nis veprimi i forces P. Me rritjen graduale te forces vjen nje moment kur sforcimet ne beton ne zonen e terhequr arrijne vleren e Rbt, qe eshte rezistenca e betonit ne terheqje. Ne kete moment perfundon etapa 1. Kjo etape sherben si baze per llogaritjen e elementeve ku plasaritjet nuk jane te lejuara. Gjate kesaj etape per te perballuar sforcimet terheqese prej ngarkesave te jashtme punojne se bashku betoni dhe armatura. Etapa 2. Fillon ne momentin kur perfundon etapa 1, pra fillon ne momentin kur sforcimet ne beton ne zonen e terhequr kalojne Rbt. Ne element shfaqen plasaritjet e para. Ne seksionin e plasaritur nuk ka kohezion beton – armature. Ne zonen midis plasaritjeve ruhet ende ky kohezion. Me rritjen e metejshme te forces P, vjen nje moment kur prishet plotesisht kohezioni beton – armature. Ne kete moment perfundon etapa 2. Kjo etape sherben si baze per llogaritjen e elementeve ku plasaritjet jane te lejuara por te kufizuara. Etapa 3. Fillon ne momentin kur perfundon etapa 2 dhe mbaron kur elementi shkaterrohet plotesisht. Ne kete etape ne zonen e terhequr betoni del plotesisht jashte pune. Te gjitha sforcimet terheqese perballohen vetem nga armatura. Sforcimet ne armature arrijne vleren e Rs. Ne zonen e shtypur 1

UPT-FIN

KONST. BETONARME TE PARAND.

sforcimet ne beton arrijne Rb, qe eshte rezistenca e betonit ne shtypje. Kjo etape sherben si baze per llogaritjen e elementeve ne aftesi mbajtese. Te gjitha shpjegimet e dhena per te tre etapat jane njelloj me ato te dhena ne rastin e nje elementi betonarme te zakonshem. Kjo do te thote se nga ana cilesore gjendja e sforcuar e nje elementi betonarme te zakonshem dhe ajo e nje elementi betonarme te paranderur jane njelloj. Po t’i paraqesim grafikisht te tre etapat do te kishim:

Fig. 2 Figura 2a paraqet tre etapat e nje elementi te zakonshem. Figura 2b paraqet tre etapat e nje elementi te paranderur. Vihet re se te dy segmentet kane te njejten gjatesi. Kjo do te thote se te dy elementet shkaterrohen ne te njejten kohe dhe per te njejten force te jashtme. Sigurisht nese i vendosim ne kushte te njejta, d.m.th. te dy elementet kane te njejten sasi armature, te njejtin seksion terthor, te njejten klase celiku dhe te njejten klase betoni. Vihet re se ne elementin e paranderur etapa 1, pa plasaritje, eshte me e gjate se ne elementin e zakonshem. Kjo do te thote se ne elementin e paranderur plasaritjet krijohen me vone dhe per nje ngarkese me te madhe se ne elementin e zakonshem. Si perfundim paranderja nuk rrit aftesine mbajtese te elementit ne etapen e trete (etapen e shkaterrimit). Nje element betonarme i zakonshem dhe nje i paranderur shkaterrohen ne te njejten kohe dhe per te njejten force te jashtme. Nderkohe paranderja rrit aftesine mbajtese kundrejt plasaritjeve. Rritja e aftesise mbajtese ndaj plasaritjeve con ne rritjen e shtangesise se elementit. 2. FAZAT E GJENDJES SE BRENDSHME TE NDERUR TE ELEMENTEVE QE PUNOJNE NE PERKULJE, TE REALIZUAR ME PARANDERJEN NE MBESHTETJE Fazat e gjendjes se brendshme te nderur te nje elementi qe punon ne perkulje te realizuar me metoden e paranderjes ne mbeshtetje jane: Faza I: Eshte pergatitur sheshi i betonimit. Armatura eshte kapur ne te dy skajet e saj ne pajisjet perkatese, por nuk eshte terhequr. σ sp = σ sp' = 0 σsp – sforcimet ne armaturen e paranderur te vendosur ne zonen e terhequr, Asp σ’sp – sforcimet ne armaturen e paranderur te vendosur ne zonen e shtypur, A’sp Per sforcimet ne beton s’flasim dot se elementi s’eshte betonuar akoma. 2

UPT-FIN

KONST. BETONARME TE PARAND.

O

O

Asp

i

ap

i

a

As

rbrp

yp

h

rbrs

ys

a'p

A's a'

A'sp

b

Fig. 3 Faza II: Terheqim armaturen. Sforcimet e armatures te vendosur ne zonen e terhequr jane: σ sp = σ 0 . Sforcimet e armatures te vendosur ne zonen e shtypur jane: σ sp' = σ 0' σ0 – sforcimet fillestare te kontrolluara ne armaturen e paranderur Asp σ’0 – sforcimet fillestare te kontrolluara ne armaturen e paranderur A’sp Faza III: Betonojme elementin. Presim derisa marka ose klasa e betonit te arrije 70-75 % te markes apo klases perfundimtare. Ne armature kane ndodhur humbjet e para te sforcimeve: σ sp = σ 0 − σ h1 ; σ sp' = σ 0' − σ h' 1 σh1 – humbjet e para te sforcimeve ne armaturen e paranderur Asp σ’h1 – humbjet e para te sforcimeve ne armaturen e paranderur A’sp σ b = 0 , pasi armatura nuk eshte leshuar. σb – sforcimet ne beton Faza IV: Leshojme armaturen. Ne momentin e leshimit mbi element fillon te veproje forca e paranderjes, e cila shprehet: N 01 = Asp γ t (σ 0 − σ h1 ) + Asp' γ t (σ 0' − σ h' 1 ) N01 – forca e paranderjes pasi kane ndodhur humbjet e para γt - koeficenti i saktesise se terheqjes, γt = 0.9; 1; 1.1 Jashteqendersia e forces N01 kundrejt boshtit qe kalon nga qendra e rendeses eshte e01: ' γ (σ' − σ' ) * ( y − a ' ) Asp γ t (σ0 − σ h1) * ( y p − a p ) − Asp s p t 0 h1 e01 = N 01 Forca e paranderjes shkakton ne element shtypje me perkulje (shtypje jashteqendrore). Forca e paranderjes e shkurton elementin betonarme. Si rezultat i kohezionit beton - armature, bashke 3

UPT-FIN

KONST. BETONARME TE PARAND.

me betonin shkurtohet dhe armatura. Per pasoje sforcimet ne armaturen e paranderur zvogelohen. Ne fillim te fazes IV sforcimet ne armature jane: ' = σ' − σ' σsp σsp = σ0 − σ h1 ; 0 h1

Ne fund te fazes IV sforcimet ne armature jane: σsp = σ − σ − ν * σ b ≡ A 0 h1 sp ' = σ' − σ' − ν * σ σsp 0 ' h1 b ≡ Asp σb ≡ A

σ

sp

=−

M pv N 01 N 01 * e01 − o o * (yp − a p ) + o o * (yp − a p ) A red I − I − red red

M N 01 N 01e01 ' ) − pv * ( y − a ' ) + − * ( y a s p s p ' A red b ≡ Asp Io − o Io − o red red Simboli σ b ≡ A tregon sforcimet ne beton ne fibrat qe i korespondojne qendres se rendeses sp =−

se armatures Asp. Simboli σ b ≡ A' tregon sforcimet ne beton ne fibrat qe i korespondojne qendres se rendeses sp se armatures A’sp. Mpv – momenti perkules prej peshes vehtiake Faza V: Ne armature kane ndodhur humbjet e dyta, d.m.th. te gjitha humbjet. σ sp = σ 0 − σ h1 − σ h 2 = σ 0 − σ h

σ sp' = σ 0' − σ h' Si rezultat i veprimit te forces se paranderjes N02 elementi shkurtohet duke marre me vete dhe armaturen. Per pasoje ne fund te fazes V sforcimet ne armature jane : σsp = σ0 − σ h − ν * σ b ≡ A

σ

' sp

sp

= σ − σ − ν * σ b ≡ A' ' 0

' h

sp

N 02 = Asp γ t * (σ 0 −σ h) + Asp' γ t * (σ 0' − σ h' ) ' γ * (σ' − σ' ) * ( y − a ' ) Asp γ t * (σ0 − σ h ) * ( y p − a p ) − A sp s p t 0 h e02 = N 02 M pv N N e σ b ≡ A = − 02 − 02 02 * ( y p − a p ) + * (y p − a p ) A red sp Io − o Io − o red red M pv N N e σ = − 02 + 02 02 * ( ys − a 'p ) − * ( ys − a 'p ) ' o − o A red b ≡ Asp I I red red

4

UPT-FIN

KONST. BETONARME TE PARAND.

Faza VI: Elementi vendoset ne veper. Mbi te fillojne te veprojne ngarkesat e jashtme te cilat dalengadale asnjeanesojne veprimin e paranderjes. Vjen nje moment kur sforcimet ne beton ne zonen e terhequr behen: σb = 0 Sforcimet ne armaturen e paranderur jane: σ sp = σ 0 − σ h1 Qe nga ky moment elementi sillet si i zakonshem, jo i paranderur. Faza VII: Si rezultat i veprimit ngarkeses se jashtme nje pjese e seksionit punon ne shtypje dhe nje pjese ne terheqje. Kjo faze perfundon ne momentin kur sforcimet ne beton arrijne Rbt . Pra σ b = Rbt Kjo faze perkon me etapen e pare te gjendjes se brendshme te nderur te elementit qe punon ne perkulje. Gjate gjithe kesaj faze ruhet varesia ne perpjestim te drejte midis sforcimeve dhe deformimeve. Ne element s’ka plasaritje. Kjo etape sherben si baze per llogaritjen e elementeve kur plasaritjet jane te ndaluara. Faza VIII: Sforcimet ne zonen e terhequr kalojne Rbt. Ne element shfaqen plasaritjet e para. Ne zonen midis dy plasaritjeve ruhet kohezioni beton - armature. Kjo faze perkon me etapen e dyte dhe sherben si baze per llogaritjen e elementeve kur te plasurat jane te lejuara por te kufizuara. Faza IX: Betoni ne zonen e terhequr del plotesisht jashte pune, prishet kohezioni beton armature. Sforcimet terheqese perballohen vetem nga armatura. σ bt = 0 ; σ bsh = Rb ; σ sp = Rsp ; σ sp' = Rsp' − γ t * (σ ' 0 − σ h' )

σtb – sforcimet ne beton ne zonen e terhequr σshb – sforcimet ne beton ne zonen e shtypur Rb – rezistenca ne shtypje e betonit σsp – sforcimet ne armaturen e paranderur te vendosur ne zonen e terhequr, Asp σ’sp – sforcimet ne armaturen e paranderur te vendosur ne zonen e shtypur, A’sp Rsp – rezistenca e armatures se paranderur Asp R’sp – rezistenca e armatures se paranderur A’sp Kjo faze sherben si baze per llogaritjen e elementeve ne aftesi mbajtese. 3. FAZAT E GJENDJES SE BRENDSHME TE NDERUR TE ELEMENTEVE QE PUNOJNE NE PERKULJE, TE REALIZUAR ME PARANDERJEN NE BETON Faza I: Elementi eshte betonuar. Ne vendet e duhura jane lene kanalformuesit. Marka apo klasa e betonit ka arritur 70-75 % te markes apo klases perfundimtare. Elementi eshte kapur ne te dy skajet por s’eshte terhequr. Kemi: σ b = 0 ; σ sp = σ sp' = 0 Faza II: Fillojme te terheqim armaturen. Duam qe te shkaktojme sforcimet ne te sforcimet σ0 dhe σ’0. σ0 ne Asp dhe σ0’ ne A’sp Njekohesisht me terheqjen fillojne te lindin humbjet e para, per shkak te deformimit te pajisjeve kapese, per shkak te ferkimit te armatures me kanalformuesin ose

5

UPT-FIN

KONST. BETONARME TE PARAND.

per shkak te mbylljes se fugave nese elementi eshte me pjese. Procesi i terheqjes perfundon ne momentin kur sforcimet ne armature behen : σ sp' = σ 0' − σ h' 1 σ sp = σ 0 − σ h1 ; Faza III: Leshojme armaturen. Forca e paranderjes N01 vepron mbi elementin duke e shtypur dhe e shkurtuar ate. Bashke me betonin shkurtohet dhe armatura. Per pasoje kemi nje renie te sforcimeve. Ne fillim te fazes III sforcimet ne armature do te ishin : σ sp = σ 0 − σ h1 σ sp' = σ 0' − σ h' 1 Ne fund te fazes do ti kemi : σ sp = σ 0 − σ h1 − ν * σ b ≡ Asp

σ sp' = σ 0' − σ h' 1 − ν * σ b ≡ A

' sp

Per te llogaritur N 01 ,⋅e01 ,⋅σ b ≡ Asp ,⋅σ b ≡ A' vlejne te njejtat formula si ne rastin e paranderjes ne sp

mbeshtetje. Faza IV: Kjo faze eshte njelloj me fazen V ne rastin e paranderjes ne mbeshtetje. Fazat e tjera jane po njelloj me fazat perkatese te paranderjes ne mbeshtetje. 4. LLOGARITJA NE AFTESI MBAJTESE KUNDREJT MOMENTIT PERKULES TE ELEMENTEVE QE PUNOJNE NE PERKULJE, ME SEKSION TERTHOR KATERKENDESH KENDDREJTE Ne figuren 4, jepet gjendja e sforcuar e brendshme e nje elementi te tille, ne etapen e trete te gjendjes se brendshme te nderur. Shkruajme ekuacionin e ekuilibrit: ' σ' * (h − a ' ) + A R * (h − x ) = 0 ΣM A + A = 0 ⇒ −M + Asc R sc * (h 0 − a ' ) + Asp (1) sp 0 p 0 2 b b s sp Ne formulen (1) e panjohur eshte vetem “ x – lartesia e zones se shtypur”. M → Momenti prej forcave te jashtme, i cili njihet Asc – armatura e zakonshme e vendosur ne zonen e shtypur, mund te shenohet edhe A’s Rsc – rezistenca perkatese Ab – siperfaqja e zones se shtypur te betonit σ sp' = Rsp − γ t * (σ 0' − σ h' 1 ) x Shqyrtojme me vete Ab Rb * (h0 − ) . Keshtu: 2 x Ab Rb * (h0 − ) = b * x * Rb * (h0 − 0.5 x) 2 Shenojme x = ξ * h0

b * ξ * h0 * Rb * (h0 − 0.5 * ξ * h0 ) ⇒ b * h02 * Rb * ξ * (1 − 0.5 * ξ ) = A0 * b * h02 * Rb Duke patur parasysh (2), (1) shkruhet: ' σ ' * (h − a ' ) + A * b * h 2 * R = 0 − M + Asc R sc * (h 0 − a ' ) + Asp sp 0 p 0 b 0

(2)

6

UPT-FIN

KONST. BETONARME TE PARAND.

A0 =

M − Asc Rsc * (h0 − a ' ) − Asp' σ sp' * (h0 − a sp' ) b * h02 * Rb

(3)

Pas kesaj llogaritim ξ = 1 – ( 1 – 2 A0 )1/2 dhe me tej x = ξ h0 Shkruajme ekuacionin e dyte te ekuilibrit: ΣFX = 0 ⇒ − Asc Rsc − A ' spσ sp' − b * ξ * h0 * Rb + Asp Rsp + As Rs = 0

Asp =

Asc Rsc + Asp' σ sp' + b * ξ * h0 * Rb − As Rs Rsp

(4)

N.q.s mungon A’sp dhe A’s shprehja (4) ndryshon:

Asp =

b *ξ* h 0 * R b R sp

(5)

7

M

Asp

A's

As a

Asp Rsp As Rs

Ab Rb

x/2

h0 a mes

A's R's = Asc Rsc A'sp s 'sp

h0 Asp

a mes

ys yp

A'sp

b

A's

x As

a' a

A'sp

UPT-FIN KONST. BETONARME TE PARAND.

Fig. 4

8

a'p ap

h

x ap

UPT-FIN

KONST. BETONARME TE PARAND.

5. LLOGARITJA NE AFTESI MBAJTESE KUNDREJT MOMENTIT PERKULES TE ELEMENTEVE QE PUNOJNE NE PERKULJE, ME SEKSION TERTHOR NE FORME T-je Dallojme tre raste. Rasti 1. Raporti h’f / h < 0.05, shiko ne figuren 5.

h

h'f

b'f

b Fig. 5 Ne kete rast elementi llogaritet si me seksion terthor katerkendesh kenddrejte me permasa b x h. Rasti 2. Raporti h’f / h ≥ 0.05, shiko ne figuren 6.

b'f

x

h'f

a Asp

ap

As

a mes

yp

h

h0

ys

a'p

A's a'

A'sp

b

Fig. 6 9

UPT-FIN

KONST. BETONARME TE PARAND.

Gjendet Mpll = b’f h’f Rb ( h0 – 0.5 h’f ) + A’sp σ’sp ( h0 – a’p) + Asc Rsc ( h0 – a’)

(6)

N.q.s M ≤ Mpll atehere x ≤ h’f, nga ku del qe boshti asnjeanes bie ne pllake dhe elementi llogaritet si me seksion katerkendesh kenddrejte me permasa b’f x h. Rasti 3. Raporti h’f / h ≥ 0.05, shiko ne figuren 7, ndersa M ≥ Mpll. Ne kete rast x ≥ h’f , boshti asnjeanes bie ne brinje, elementi llogaritet me seksion ne forme T-je, ashtu sic eshte faktikisht. Ne kete rast gjendja e sforcuar jepet ne figuren 7. Shkruajme ekuacionin e ekuilibrit: Σ MAs + Asp = 0

- M + Asc Rsc ( h0 – a’) +A’sp σ’sp ( h0 – a’p ) + Abv Rb ( h0 – 0.5 h’f ) + Abb Rb (h0 – 0.5 x) = 0 (7) Abv – siperfaqja e zones se shtypur te betonit qe i takon “vesheve”, Abv = ( b’f – b) h’f Abb – siperfaqja e zones se shtypur te betonit qe i takon brinjes, Abb = b x σ sp' = Rsp − γ t * (σ 0' − σ h' 1 ) Ne shprehjen (7) i panjohur eshte x. Duke shenuar x = ξ h0 dhe duke transformuar shprehjen (7) arrijme ne shprehjen (8): A0 = ( M - Asc Rsc ( h0 – a’) - A’sp σ’sp ( h0 – a’p ) - ( b’f – b) h’f Rb ( h0 – 0.5 h’f ) / ( b h20 Rb ) (8) Pas kesaj llogaritim ξ = 1 – ( 1 – 2 A0 )1/2 dhe me tej x = ξ h0. Shkruajme ekuacionin e dyte te ekuilibrit: Σ Fx = 0

- Asc Rsc - A’sp σ’sp - ( b’f – b) h’f Rb – ξ b h0 Rb + Asp Rsp + As Rs = 0

(9)

Ne shprehjen (9) e panjohur eshte Asp. Asp = (Asc Rsc + A’sp σ’sp + ( b’f – b) h’f Rb + ξ b h0 Rb - As Rs) / Rsp

(10)

10

M

Asp

As Asp Rsp As Rs

h'f/2

A's R's = Asc Rsc A'sp s 'sp Abv Rb Abb Rb

Asp

A'sp

b

A's

As

a'p ap

a' a

ap

h'f

A's

a' a'p a

h0 a mes

h0 a mes

A'sp

b'f

UPT-FIN KONST. BETONARME TE PARAND.

Fig. 7

11

x

h'f h

x/2

x