Betão Estrutural III

 

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L 

DEPARTAMENTO DE ENGª CIVIL 

BETÃO ESTRUTURAL III

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FOLHAS DA DISCIPLINA ANO LECTIVO 2007/08

Setembro de 2007 Luciano Jacinto [email protected]  [email protected] 

 

 

 

Índice Cap. I – Introdução ao betão pré-esforçado 1. Objectivo do pré-esforço 2. Vantagens do be betão tão pré-esforç pré-esforçado ado face ao be betão tão armado armado 3. Economia 4. Classificação dos sistemas de pré-esforço 5. Aplicações 6. 7. 8. 9.

Breve história do pré-esforço. Sistemas comerciais de pré-esforço. Terminologia. Aprovação técnica eeuropeia uropeia de sistem sistemas as de pré-esforço Nota final

Cap. II – Materiais 1. Betão 1.1. Resistência 1.2. Parâmetros de deformação 1.3. Efeitos diferidos 2. Aços de alta resistência 2.1. Formas comerciais 2.2. Processo de fabrico 2.3. Classes de resistência. características geométricas 2.4. Relaxação 3. Bainhas 4. Caldas de Injecção

Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas 1. Introdução 2. Análise de vigas isostáticas 2.1. Conceito de esforço isostático 2.2. Calculo de deform deformações ações devidas ao pré-esforço 3. Análise de vigas hiperstáticas 4. Conceito de carg cargaa equiva equivalente lente à acção do pré-esforço pré-esforço Cap. IV – Escolha do traçado e da força a aplicar 1. Ideias gerais 2. Ajustamento ddoo traçado para melhor aproveitamento dos mom. hiperstáticos 3. Acessibilidade das ancoragens 4. Troços re rectos ctos junto ás aancoragens. ncoragens. Raios mínimos 5. Recobrimentos e afastamentos mínimos 6. O traça traçado do ddos os ccabo abo e proc processo esso construtivo 7. Escolha da fo força rça ddee pré-e pré-esforço sforço a aplicar 8. Cálculo de tensões em ssecções ecções de be betão tão pré-esforçado pré-esforçado Cap. V – Execução do pré-esforço 1. Introdução 2. Projecto de aplicação de pré-esforço 3. Processo construtivo 4. Monitorização da aplicação do pré-esforço 5. Injecção das bainhas Cap. VI – Dimensionamento das zonas sob as placas de pré-esforço 1. Introdução 2. Distância de regularização 3. Resistência m mínima ínima do betão à data de aplicação ddee pré-esforço

 

4. Calculo da dass armad armaduras uras es específicas pecíficas ppara ara tracçõ tracções es trans transversais versais 4.1. Caso de uma só força concentrada 4.2. Caso de 2 forças 4.3. Caso de 3 forças 4.4. Ancoragem embebida 4.5. Juntas de betonagem com cabos acoplados 4.6. Maciços de amarração de cabos 4.7. Caso ddee secç secções ões form formadas adas ppor or banzos banzos e almas 4.8. Outros casos Cap. VII – Perdas De Pré-Esforço 1. Introdução 2. Perdas instantâneas 2.1. Perdas por atrito 2.1.1. Lei de coulomb 2.1.2. Formula de Euler 2.1.3. Vigas com traçados parabólicos 2.1.4. Calculo dos alongamentos 2.2. Perdas por reentrada das cunhas 2.3. Perdas por de deformação formação instantânea do betão betão 3. Perdas diferidas

Cap. Estados 1. VIII E.L.–Último delimites flexão últimos 1.1. Critério de verificação da segurança 1.2. Calculo de Mrd 1.2.1. Bases para o ccálculo álculo de Mrd 1.2.2. Método geral ppara ara o cálculo de Mrd 1.2.3. Método do diagrama rectangular 1.2.4. Flexão composta 1.2.5. Secção com pré-esforço não aderente 1.3. Armaduras mínimas de flexão 2. E.L. Último de esforço transverso 2.1. Critério ggeral eral de verificação da segurança 2.2. Elementos com aarmadura rmadura específica de es esforço forço transverso transverso 2.3. Secção de cálculo de Vsd 2.4.. Cargas suspensas 2.5. Vigas de altura variável 2.6. Corte na ligaç ligação ão entre ban banzos zos e aalmas lmas 2.7. Outros cas casos os tratados no EC2 2.8. Armadura mínima de esforço transverso Cap. IX – Lajes pré-esforçadas 1. Introdução 2. Pré-dimensionamento 3. Traçado dos cabos 3.1. Traçado em perfil 3.2. Traçado em planta 4. Análise de lajes pré-esforçadas 5. Estados limites últimos 6. Estados limites de serviço

 

Anexos Anexo A – Revisões da resistência dos materiais Anexo B – Critérios Cri térios de verificação da segurança. Combinações de acções. Anexo C – Estudo das parábolas Anexo D – Dedução da expressão para o calculo de λ   de desenho contendo os elementos habituais num projecto de Anexo E – Exemplo aplicação de pré-esforço.

Referências bibliográficas

 

 

 

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Cap. I - Introdução

Cap. I – Introdução ao betão pré-esforçado 1.  Objectivo do pré-esforço

O pré-esforço consiste na introdução de um sistema de forças a uma estrutura recorrendo a cabos previamente esticados com o objectivo de criar um estado de tensão interno de sinal contrário ao estado de tensão provocado pelas cargas exteriores. Tal é ilustrado na figura seguinte: (-)

S M S S

σ

(+) (+)

S

P S S

(-)

σ

 

Fig. 1.1 – O estado de tensão associado ao pré-esforço contraria o estado de tensão associado ás cargas exteriores

Conforme se observa na figura, o carga exterior gera tracções tr acções na fibra inferior da secção S e o  pré-esforço gera compressões, compressões, contrariando assim as primeiras. A força de pré-esforço, P,  pode ser calculada calculada de forma a an anular ular as tracções provocadas pe pela la carga exterior. O pré-esforço não está limitado a estruturas de betão armado, mas, no caso destas, tem o objectivo adicional de melhorar o seu comportamento em serviço (redução de fissuração e deformações). 2.  Vantagens do betão pré-esforçado face ao betão armado

As principais vantagens do betão pré-esforçado face ao betão armado são as seguintes: • melhor comportamento em serviço (redução de fissuração e redução de flechas); • permite vigas mais esbeltas (melhora a estética, introduz economia de betão); • permite descofrar mais cedo; • permite pormenorizações de armadura menos densas; • a partir de certa grandeza de vãos, a solução em betão armado não seria viável. Em relação à vantagem – pormenorizações menos densas, refira-se que um dos critérios que nos pode levar a optar por uma solução pré-esforçada em vez de uma solução em betão armado, é, justamente, o de permitir pormenorizações menos densas e consequentemente Setembro de 2007

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Cap. I - Introdução

 permitir betonagens realizadas em melhores condições. Como a resistência do aço de préesforço é cerca de 3 a 4 vezes superior à resistência da armadura passiva, para a mesma força é necessário 3 a 4 vezes menos área de aço, resultando em pormenorizações menos congestionadas.

 

3. Economia Persiste ainda uma ideia errada de que o pré-esforço encarece as obras. Bem pelo contrário. Com efeito, mesmo para vãos em que ainda seria viável uma solução em betão armado, é  possível que a solução pré-esforç pré-esforçada ada seja mais económica.

Para vãos pequenos o custo das ancoragens (dispositivos de amarração dos cabos) tem um  peso apreciável no custo unitário de pré-esforço, o que torna a solução pré-esforçada mais cara. No entanto, para vãos maiores a situação inverte-se. Como ordem de grandeza, acima dos 10 a 15 m de vão, a solução pré-esforçada tende a ser mais económica para o dono de obra do que uma solução em betão armado. Como é evidente, o custo final depende também de outros factores, tais como, a quantidade a aplicar e a facilidade de deslocação ao local, pelo que os vãos indicados acima são apenas indicativos. 4.  Classificação dos sistemas de pré-esforço a) Quanto ao modo de transmissão da força ao betão • Pré-esforço

por pré-tensão

• Pré-esforço

por pos-tensão

 Na pré-tensão a aplicação do pré-esforço é feita antes da betonagem da peça e a transmissão da força de pré-esforço ao betão é feita por aderência. Este é o método de pré-esforço utilizado na indústria de pré-fabricação.  Na pos-tensão a aplicação de pré-esforço é feita depois da betonagem da peça e a transmissão do pré-esforço é feita através de órgãos especiais colocados nas extremidades dos cabos, designados por ancoragens. Este método exige o uso de elementos tubulares, designados por  bainhas, no interior das quais é enfiado o aço de pré-esforço. O objectivo das bainhas é impedir que o betão entre em contacto com o aço no momento da betonagem, o que, se acontecesse, inviabilizaria o seu esticamento. Depois do esticamento a bainha é injectada com calda de cimento, tornando o cabo aderente à secção de betão. b) Quanto ao tipo de aço

O aço de pré-esforço apresenta-se sob 3 formas comerciais, a saber: • Aço

em fio

• Aço

em cordão

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• Aço

Cap. I - Introdução

em barra

O pré-esforço com fios é aplicado principalmente na indústria da pré-fabricação que, como se disse acima, recorre à técnica da pré-tensão. Os cordões são constituídos por um conjunto de fios enrolados em hélice e são usados quer na  pré-tensão que na pos-tensão. São fabricados cordões com 2, 3 e 7 fios, sendo este último o que tem maior aplicação. O pré-esforço em barra aplica-se sobretudo na pos-tensão de elementos de pequeno comprimento, por duas principais razões: 1 – As ancoragens das barras são mais económicas do que as ancoragens para pré-esforço em cordão, o que as torna mais vocacionadas para cabos curtos, já que, para estes, o custo das ancoragens tem maior peso no custo final do pré-esforço. 2 – A reentrada dos fixadores é mais baixa nas barras do que no pré-esforço em cordão, o que constitui uma grande vantagem para cabos curtos, já que, conforme veremos, estes são mais sensíveis às perdas por reentrada r eentrada dos fixadores do que os cabos longos. c) Quanto à posição dos cabos relativamente à secção • Pré-esforço

interior

• Pré-esforço

exterior

Como o nome indica, no pré-esforço exterior os cabos são exteriores à secção. O pré-esforço exterior é muito utilizado no reforço de estruturas, mas também é utilizado em obras novas. Trata-se de um pré-esforço necessariamente do tipo não aderente. Como principais vantagens do pré-esforço exterior, podemos referir: Permite uma melhor monitorização do pré-esforço ao longo da vida da obra, dada a acessibilidade dos cabos. Permite também uma substituição futura do pré-esforço, ou um eventual retensionamento dos cabos. Apresenta, no entanto, a desvantagem decorrente do facto de se tratar de pré-esforço não aderente, e portanto menos eficaz quer em relação aos estados limites últimos quer em rrelação elação aos estados limites de utilização, conforme se perceberá mais tarde. Assim, se o espaço  permitir, há vantagem em colocar os cabos no interior da secção de betão e torná-los aderentes por meio da injecção. Em obras de grande importância é usual prever no projecto a execução de dispositivos que  permitam a instalação futura de pré-esforço exterior, caso venha a haver necessidade de corrigir deformações ou seja necessário atender a eventuais aumentos das sobrecargas. Este  pré-esforço designa-se designa-se por pré-esforço exterior exterior de reserva. A figura seguinte mostra um exemplo de um viaduto em que foi executado pré-esforço exterior. Conforme se vê, o pré-esforço exterior tem traçado poligonal e os únicos pontos de Setembro de 2007

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Cap. I - Introdução

contacto com a estrutura são nas zonas de amarração e nas selas de desvio, também designados por desviadores.

Fig. 1.2 – Exemplo da aplicação de pré-esforço exterior num viaduto (Florida department of transportation)

d) Quanto à aderência • Pré-esforço

aderente

• Pré-esforço

não aderente

Como o nome indica,Asnovariações pré-esforço aderenteno o aço estáe no aderente a armadura passiva. de extensão betão aço sãoà secção iguais. de betão, tal como Como exemplos de pré-esforço do tipo aderente, temos a pré-tensão, que é sempre aderente, e a pos-tensão com injecção de bainhas. Como exemplos de pré-esforço do tipo não aderente, temos o pré-esforço exterior e ainda o chamado sistema monocordão autoembainhado, usualmente empregue no pré-esforço de lajes.  No pré-esforço do tipo aderente, o aço de pré-esforço está geralmente em cedência em estado limite último, mas o mesmo já não acontece com o tipo não aderente. Assim, do ponto de vista do estado limite último o pré-esforço aderente é mais eficiente, na medida em que  permite tirar partido da capacidade total dos aços. Mas é também mais eficiente do ponto de vista da fissuração do betão, graças à activação das forças de aderência no momento da formação da fissura. Setembro de 2007

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Cap. I - Introdução

 e) Quanto ao grau de pré-esforço • Pré-esforço

parcial

• Pré-esforço

total

O critério mais comum, mas não único, para escolher a força de pré-esforço a aplicar, é o de anular as tensões de tracção associadas uma determinada de acções.éQuando combinação é a quase permanente ou a afrequente, ou seja, combinação quando a combinação do tipo a: (1.00×CP  + ψ×SC )),, diz-se que o pré-esforço é parcial. Quando a anulação de tensões é feita  para a combinação combinação rara de acçõ acções es (1.00×CP + 1.00×SC ), ), diz-se que o pré-esforço é total. 5.  Aplicações

O pré-esforço tem inúmeras aplicações. Nas figuras seguintes mostram-se alguns exemplos: Pré-esforço longitudinal Pré-esf. no diafragma

Pré-esf. no coroamento do pilar 

Pré-esforço na base da sapata

  Fig. 1.3 – Diferentes aplicações de pré-esforço num viaduto

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Cap. I - Introdução

  Fig. 1.4 – Aplicação de pré-esforço numa viga fortemente solicitada (Florida department of transportation)

Fig. 1.5 – Aplicação de pré-esforço num pilar com “cabeça de martelo” (Florida department of transportation)

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Cap. I - Introdução

  Fig. 1.6 – Exemplos de aplicação de pré-esforço em barra (catálogo dywidadg)

Fig. 1.7 – Outros exemplos de aplicação de pré-esforço em barra (Florida department of transportation)

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Cap. I - Introdução

6.  Breve história do pré-esforço.

A ideia do pré-esforço é bem antiga, podendo citar-se o caso da fabricação de pipas feitas com ripas de madeira justapostas. Estas ripas eram apertadas umas contra as outras mediante aros de aço previamente aquecidos e colocadas, ainda quentes, na posição definitiva. Os aros ao arrefecerem encurtam, introduzindo uma compressão (pré-esforço) diametral. A aplicação de pré-esforço a peças de betão teve o seu início no século XIX, e a primeira  patente registada de que há memória deve-se a P. Jackson que patenteou em 1886 um sistema de pavimentos de betão pré-comprimido. No início do século XX outras patentes foram registadas. No entanto, estas primeiras tentativas de pré-esforçar o betão fracassaram, pois constatava-se que a força pré-esforço desaparecia algum tempo após a sua aplicação. Nesta altura o aço disponível era o aço macio, utilizado no betão armado, pelo que a tensão de esticamento tinha de ser moderada. Esta tensão desaparecia pelos fenómenos de fluência e retracção do betão, na altura ainda desconhecidos desconhecidos.. Entretanto a tecnologia de fabricos dos aços evoluiu e por volta da primeira guerra mundial foi possível produzir aços de elevada resistência, abrindo caminho para o sucesso do préesforço. Compreende-se que o sucesso do pré-esforço esteja associado ao aparecimento dos aços de alta resistência. Na verdade, é necessário que os aços sejam esticados com uma tensão suficientemente elevada, para que, após as perdas de tensão a que estão sujeitos, ainda fiquem com uma tensão residual suficiente para cumprir o seu objectivo.  No entanto foi necessário esperar mais alguns anos até que a tecnologia do pré-esforço se aperfeiçoasse e desenvolvesse o suficiente para passar a ser de aplicação corrente nas construções. Cabe aqui referir a enorme contribuição que o engenheiro francês Eugene Freyssinet deu nos anos 20 e 30 ao conhecimento e domínio da tecnologia do pré-esforço. Os estudos experimentais e teóricos que fez, incluindo o estudo dos fenómenos da fluência e retracção do betão, deram a necessária confiança a esta nova tecnologia. As primeiras pontes em betão pré-esforçado foram executadas nos anos 30. A partir desta altura, o progresso do betão pré-esforçado foi verdadeiramente surpreendente.  Nos anos 50 já se estavam a construir pontes de betão armado armado pré-esforçado com mais de 100 m de vão. O enorme sucesso que o betão pré-esforçado veio a ter ficará para sempre ligado a nomes de engenheiros tais como, F. Dischinger, Gustave Magnel, F. Leonhardt, Yves Guyon, R. Morandi e muitos outros. Em Portugal, a primeira ponte em betão pré-esforçado, ponte sobre a Vala Nova na E.N. 118, entre Benavente e Salvaterra de Magos, foi f oi construída em 1954. Com o passar dos anos a evolução dos diferentes sistemas de pré-esforço foi estabilizando e, hoje em dia, dia, não há praticamente nen nenhuma huma diferenç diferençaa entre os sistemas de pré-esforço existentes no mercado.

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Cap. I - Introdução

7.  Sistemas comerciais de pré-esforço. Terminologia.

A designação sistema de pré-esforço  refere-se a um conjunto de elementos coerentes e compatíveis entre si, constituído por ancoragens, bainhas, cunhas, macacos, etc. Apesar da semelhança entre os sistemas existentes, não se podem misturar componentes de sistemas diferentes, inclusive os macacos, cuja geometria é concebida para determinado sistema. O aço em cordão, sendo fornecido por trefilarias independentes das empresas aplicadoras de préesforço, é a única excepção. Existe um sistema português de pré-esforço por pos-tensão, de nome IBL, aplicado pela firma fi rma Indubel e actualmente em vias de homologação. Existem também três trefilarias portuguesas (Fapricela, Socitrel e Trecem) que produzem, para além de outros produtos metálicos para a construção, fios e cordões para pré-esforço. Seguidamente dão-se exemplos de alguns sistemas comerciais que estão consagrados no mercado mundial: • Freyssinet (Francês) • Dywidag (Alemão)www.dywidag-systems.com (Alemão)www.dywidag-systems.com   • VSL (Suisso) www.vsl.net • BBR (Suisso) www.bbrsystems. www.bbrsystems.ch ch •

 CCL (Inglés) www.cclstressing. www.cclstressing.com com As figuras seguintes mostram os componentes típicos dos cabos de pré-esforço usados na postensão: orifício para injecção

"grip" de extrusão

Cunhas

Cordão trompete  baínha

cabeça de ancoragem

helice de cintagem

Ancoragem activa

Ancoragem passiva

  Fig. 1. 8 – Componentes típicos de um cabo de pré-esforço multi-cordão

Baínha

Barra roscada

Extremidade activa

Porca

Extremidade passiva

Fig. 1. 9 – Componentes típicos de um u m cabo em barra (barra Macalloy)

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Cap. I - Introdução

Ancoragem activa é aquela por onde é realizado o esticamento. Seguidamente apresenta-se a terminologia inglesa e francesa de uma ancoragem activa multi-cordão:

Fig. 1. 10 – Terminologia inglesa de uma ancoragem an coragem activa (ancoragem CCL)

Fig. 1. 11 – Terminologia francesa de uma ancoragem activa (ancoragem Freyssinet)

É possível ligar um cabo a outro cabo esticado numa fase anterior recorrendo a dispositivos designados por acoplamentos, ou por vezes também designados por ancoragens de continuidade. Estes dispositivos estabelecem a continuidade entre dois cabos esticados em fases consecutivas. Na figura que segue representa-se um acoplamento do sistema CCL: Setembro de 2007

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Cap. I - Introdução

  Fig. 1. 12 – Acoplamento CCL

Como se vê na figura acima, a fixação dos cordões é feita através de “grips” de extrusão. Outros sistemas realizam a fixação com cunhas, semelhantes às adoptadas na ancoragem activa.

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Cap. I - Introdução

8.  Aprovação Técnica Europeia de sistemas de pré-esforço

Ao nível da Europa, a criação e o funcionamento do mercado interno dos produtos de construção encontra-se enquadrada pela Directiva dos Produtos de Construção, 89/106/EC.  Com base nesta directiva da Comissão Europeia foi constituída em 1990 a EOTA ( European www.eota.eu), ), cuja missão é conceder aprovações Organization for Technical Approvals, www.eota.eu Technical Approvals Approvals). técnicas europeias (ETA, Eupean Technical Uma Aprovação Técnica Europeia dum produto de construção atesta a aptidão desse produto. Todos os produtos para os quais tenha sido concedido uma ETA, e que satisfaçam as normas europeias aplicáveis, podem ser comercializados com a marcação CE.

A apreciação técnica que conduz à concessão de uma ETA é feita com base em Guias de Aprovação Técnica Europeia (ETAG, Eupean Technical Approvals Approvals Guidline) cuja elaboração é da responsabilidade da EOTA. No caso específico dos sistemas de pré-esforço por postensão foi elaborada a ETAG 013, havendo já sistemas comerciais de pré-esforço com ETA concedida.

9.  Nota final Para o prosseguimento desta disciplina assume-se que o estudante domina os conceitos  básicos da Resistência dos Materiais (Mecânica dos sólidos, como agora é chamada com a revisão curricular de Bolonha), bem como os critérios de verificação de segurança das estruturas. Visto que estes conceitos são essenciais no Betão Estrutural III faz-se f az-se uma pequena revisão nos anexos A e B.

Temos notado em semestres anteriores que vários alunos têm dificuldade em efectuar combinações de acções. Assim, com a finalidade de rever os conceitos básicos associados às combinações de acções propõe-se a resolução do seguinte problema: Problema proposto

Suponha que após a analise de uma estrutura, uma determinada secção apresenta os seguintes momentos flectores: Acção

CP

RCP

SC

E

W

VDT

ψ0; ψ1; ψ2 

-

-

0.6; 0.4; 0.2

0; 0; 0

0.40; 0.20; 0

0.60; 0.50; 0.30

M [KNm]

80

20

-30

-50

-5

-15

50

50

5

30

Em que: CP – Carga Permanente; E – Sismo; Setembro de 2007

RCP – Restante Carga Permanente; SC – sobrecarga

W – Vento; VDT – Variação diferencial de temperatura; I-12

 

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Cap. I - Introdução

a)  Determine Mqp, Mfrq  e  e Mraro (momento quase permanente, frequente e raro);  b)  Determine Msd,max (+) e Msd,max(-); Observação – segundo o EC2 §2.3.1.2 as variações de temperatura não necessitam em geral

ser consideradas na verificação da segurança aos estados limites últimos, mas apenas na verificação da segurança aos estados limites de serviço. Com efeito, as variações de temperatura têm efeitos reduzidos nos estados limites últimos por causa da fendilhação avançada, própria desses estados. Exceptua-se naturalmente situações em que os seus efeitos  podem ser significativos, como por exemplo o efeito que elas podem ter sobre a excentricidade do esforço normal, a considerar na encurvadura de pilares.

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(página propositadamente em branco)

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Cap. I - Introdução

 

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Cap. II - Materiais

Cap. II – Materiais 1.  Betão 1.1.  Resistência A classe de resistência do betão é identificada por um “C” seguido de dois algarismos:  f ck  ck 

Exemplo: C30/37 (antigo B35)  f ck,cube ck,cube

  O primeiro algarismo, 30, refere-se ao valor característico da tensão de rotura aos 28 dias, em [MPa], referida a provetes cilíndricos ( φ×h = 0.15×0.30) e é denotado no EC2 por  f ck  ck . O segundo designa também o valor característico da tensão de rotura, mas referida a provetes cúbicos com 0.15 m de aresta, denotada por f ck,cube ck,cube. Como regra geral, em betão pré-esforçado não se deve usar classes de resistência inferiores a C25/30. Para efeitos de verificação da segurança é sempre o valor referido a cilindros que se utiliza. Recorda-se que o valor característico de um parâmetro resistente refere-se, em geral, ao  percentil de 0.05. Assim, afirmar que o valor característico resistência do betão é de 30 MPa, equivale a afirmar que a probabilidade de que o betão tenha uma resistência superior a 30 MPa é de 0.95. Por outras palavras, espera-se que em 95% das situações a resistência do betão seja superior a 30 MPa. Conforme dito acima, o valor  f cck k  refere-se aos 28 dias de idade. Como regra, quando não se especifica a idade de um parâmetro, tal parâmetro refere-se aos 28 dias. O EC2 no paragrafo §3.1.2 contem expressões que permitem estimar a evolução da resistência do betão com o tempo, f cck k (t ), e que se reproduzem aqui: O valor médio da resistência à compressão do betão à idade t , f cm ), pode ser estimada por: cm(t ),  fcm (t ) =  β cc (t ) f cm  

em que:

 f cm cm – valor médio da resistência à compressão aos 28 dias (EC2 tabela 3.1) 0.5 ⎪⎧ ⎡ ⎛ 28 ⎞ ⎤ ⎫⎪  β cc (t ) = exp ⎨ s ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥⎬   t  ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎢⎣

em que:

 – idade do betão em dias t  – s – parâmetro que

depende da classe de cimento. Por exemplo, s = 0.25

 para cimento das classes CEM 332,5 2,5 R e CEM 42,5 N. O valor característico pode ser obtido do valor médio aplicando a seguinte relação: Setembro de 2007

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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

 

⎧ f cm (t ) − 8 MPa  ,  f ck (t ) = ⎨  f ck  , ⎩

Cap. II - Materiais

3 < t < 28 dias   t ≥ 28 dias

Finalmente, regista-se que a norma que estabelece o comportamento, a produção, a colocação e os critérios de conformidade dos betões é a NP EN 206-1:2005. 1.2.  Parâmetros de deformação

Os parâmetros de deformação que nos interessam são o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson. Relativamente ao módulo de elasticidade usa-se em geral o módulo secante, definido conforme figura seguinte, e referido aos 28 dias (tal como a resistência). O módulo de elasticidade secante aos 28 dias, ou simplesmente módulo de elasticidade, é denotado no EC2 por E cm cm. σ c  E ccm m  = tgα 

0.40 f cm

 E c

α 

ε c

 = 1.05 E cm cm

(modulo secante, aos 28 dias) (modulo tangente, aos 28 dias)

 f cm(t ) ⎞0.30  E ccm m (t )  = ⎛  cm ⎝   f cm   ⎠ × E cm

  Fig. 2. 1 – Modulo de elasticidade secante e tangente

O módulo de elasticidade secante, E ccmm, está definido na tabela 3.1 do EC2 para cada classe de  betão. Os valores aí indicados aplicam-se se os inertes do betão forem à base de quartzito. Para outras constituições dos inertes o módulo de elasticidade deve ser corrigido da seguinte forma [EC2 §3.1.3 (2)]: ⎧  E cm , quartzito ⎪0.90 E  , calcario ⎪ cm    E cm = ⎨ 0.70 E  , arenito cm ⎪⎩1.20 E cm , basalto Relativamente ao coeficiente de Poisson, os valores a usar são os seguintes [EC2 §3.1.3 (4)]: betao taonao nao fissur fissurado ado   ⎧0.20, be   0 . 0 , betao bet ao fissu fis surad rado o ⎩

ν  = ⎨

Em seguida trataremos resumidamente da retracção e fluência do betão, fenómenos estes responsáveis pela perda de tensão nos cabos de pré-esforço, entre outros efeitos. Se o leitor desejar aprofundar estes fenómenos, recomenda-se a consulta do livro Observação e Análise do Comportamento diferido de Pontes de Betão, do eng.º Oliveira Santos, editado pelo LNEC na série Teses e Programas de Investiga Investigação ção LNEC  (2002).  (2002).

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Cap. II - Materiais

1.3.  Efeitos diferidos a) Retracção Definição

A retracção do betão é o fenómeno de encurtamento lento e gradual que uma peça de betão sofre ao longo do tempo, nas três direcções, mesmo que não esteja sujeito a nenhuma carga nem a variações de temperatura. A retracção inicia-se logo que o betão começa a ganhar presa, ou até antes, e só estabiliza ao fim de uns 20 ou 30 anos. Tem duas parcelas: a chamada retracção autogénea que ocorre durante o endurecimento do betão e portanto é significativa apenas nas primeiras idades, e a retracção de secagem que ocorre lentamente ao longo do tempo e é devida à evaporação da água de amassadura que não foi usada na hidratação do cimento. Quantificação

A quantificação da retracção é feita a partir de um parâmetro, designado por extensão de retracção e denotado por ε cs ( t ,t 0), que se lê “extensão devida à retracção entre as idades t 0 e t”.

Depende de muitos factores, entre os quais:  –   dimensões da secção transversal;  –   húmidade relativa;  –   temperatura ambiente;  –   composição do betão. As dimensões da secção transversal da peça são traduzidas na chamada espessura equivalente, h0, definida como: A

2 A h0

µ

= µ   

A – Área da secção transversal µ - Perímetro em contacto com a atmosfera at mosfera

  Fig. 2. 2 – Definição de espessura equivalente

A húmidade relativa do ambiente é variável, assim como a temperatura. Nas aplicações correntes podemos adoptar para estes parâmetros os seguintes valores: HR = 70% e T  =  = 20º. Os elementos para quantificação da extensão de retracção constam no §3.1.4 (6) do EC2.

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Cap. II - Materiais

Perda de tensão devida à retracção 

Admitindo aderência perfeita entre o aço de pré-esforço e o betão, a extensão sofrida pelo aço é, em cada secção, igual à extensão de retracção, pelo que a perda de tensão no aço devida à retracção, ∆σ  pt ,s  , é dada por:

∆σ pt ,s = E p ε cs   onde E  p designa o modulo de elasticidade do aço de pré-esforço. O uso do módulo em ε ccss tem por finalidade obter-se um valor positivo para a perda de tensão. A equação ∆σ pt ,s = E p ε cs   aplica-se a uma determinada secção (e a um determinado instante). Se o pré-esforço não for do tipo aderente, a equação aplica-se a um determinado troço. Neste caso, o troço estará compreendido entre dois pontos consecutivos de fixação do cabo à estrutura, em geral as ancoragens. A extensão de retracção a usar corresponderá ao valor médio da retracção que se verifica nesse troço. Variação uniforme de temperatura equivalente à retracção 

Tem interesse determinar a variação uniforme de temperatura equivalente à retracção. Conforme sabemos, se sujeitarmos uma peça linear de betão a uma variação uniforme de temperatura, ∆T , esta, se estiver livre, sofre uma extensão dada por: ε  = α  × ∆T  , onde α   representa o coeficiente de dilatação térmica linear   do material. A variação uniforme de temperatura equivalente à retracção é, pois, dada por:

∆T eq  =

ε cs α 

 

Recordamos que o coeficiente de dilatação térmica linear do betão é de α  =  = 10-5 ºC-1  Exemplo 2.1  –

A extensão de retracção de uma determinada secção a longo prazo é de -5

ε cs

(∞, t ) = -25×10 . Assim, a variação uniforme de temperatura equivalente a esta retracção é de ∆Teq = −25 ×10−5 / 10−5 = −25º C   b) Fluência Definição

Se sujeitarmos um provete de betão a uma tensão constante, verifica-se que este, para além da deformação elástica inicial, continua a deformar ao longo do tempo, de forma lenta e gradual. Esta deformação lenta designa-se por deformação de fluência. A origem do fenómeno prende-se com movimentos internos da água e ainda com escorregamentos lentos das partículas internas do betão. Os factores principais que influenciam a deformação de fluência são a carga actuante a que se juntam os factores que Setembro de 2007

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Cap. II - Materiais

influenciam também a retracção, isto é, as dimensões da secção transversal, a humidade relativa, a temperatura ambiente e a composição do betão. Quantificação

Suponhamos um provete de betão sujeito a uma tensão σ c  aplicada na idade t 0, e mantida constante a partir daí. O provete sofre uma extensão elástica inicial (instantânea), ε c0, seguida de uma extensão,ε cccc, que vai aumentando gradualmente ao longo do tempo, só estabilizando ao fim de uns 20 ou 30 anos (fig. (f ig. 2.2).

ε

σc

εc,tot εcc εc0

σc t0

t

 

Fig. 2. 3 – Evolução com o tempo da extensão num provete de betão sujeito a uma tensão constante

A extensão ε cc cc  designa-se por extensão devida à fluência, ou simplesmente extensão de  fluência, e calcula-se pela expressão [EC2 § 3.1.4 (3)]: σ  ε cc (t , t0 ) = ϕ (t , t0 ) ×  c  E c

 

(1)

em que: σ c – tensão, por hipótese hipótese constante, aplicada na idad idadee t 0;  E c –

módulo de elasticidade do módulo betão aosde28elasticidade dias de idade, o qual E  pode ser obtido aumentando 5% os tangente valores do secante, ccm m, que constam na tabela 3.1 do EC2. ( E   E c = 1.05× E cm cm). 

ϕ (t ,t 0)

– coeficiente de fluência na idade t  correspondente   correspondente a uma tensão aplicada na idade t 0  A expressão (1) pode ser encarada como uma definição do coeficiente de fluência. Verificase, assim, que a extensão de fluência é proporcional á tensão aplicada. Esta proporcionalidade  permite-nos aplicar o  princípio da sobreposição sobreposição dos efeitos a cargas aplicadas em instantes diferentes. Assim, para calcular a extensão total de fluência devida a duas cargas aplicadas em instantes diferentes, podemos calcular separadamente separadamente a extensão de fluência para cada carga e somá-las depois.

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Cap. II - Materiais

A hipótese da linearidade é aceitável na generalidade das situações correntes, podendo no entanto, não conduzir a resultados satisfatórios no caso de tensões elevadas, superiores a 0.45× f cck k (t 0), como ordem de grandeza [EC2 3.1.4 (2)]. Neste caso, o coeficiente de fluência f luência da expressão (1) deverá ser substituído pelo coeficiente de fluência não linear , quantificado de acordo com o §3.1.4 (4) do EC2 e cujo valor depende do nível de tensão aplicada. Os elementos para quantificação do coeficiente de fluência constam no Anexo B do EC2. É importante notar que o coeficiente de fluência está associado à carga que lhe dá origem. A figura seguinte ilustra a dependência da fluência com a carga.

ϕ(t,t0) ϕ(t,t0) ϕ(t,t1) ϕ(t,t2) t

t0 t1 t2

 

Fig. 2. 4 – Dependência do coeficiente de fluência com a idade de carregamento

Cada carga permanente possui a sua própria curva de fluência. Dito de maneira simples: “o  betão têm memória”. Existirão, pois, tantas curvas de fluência quantas as cargas permanentes aplicadas em instantes diferentes. Conforme ilustrado na figura 2.4, verifica-se que quanto mais cedo se aplicar a carga, maior é o coeficiente de fluência e, consequentemente, maior é a deformação por fluência. Para calcular a extensão total à idade t  devida   devida a uma tensão constante aplicada na idade t 0,  basta adicionar à extensão elástica elástica inicial a extensão de fluência, obtendo-se: obtendo-se: ⎡ 1 ϕ (t , t 0 ) ⎤ (2) ε c,tot  + c,tot (t,t 0) = σ c ⎢ ⎥  E c ⎦ ⎣ Ec (t0 ) em que E c(t 0) designa o módulo de elasticidade tangente na idade t 0, o qual pode ser estimado aumentando em 5% o valor do módulo de elasticidade secante à mesma idade. O termo entre  parêntesis rectos é designado designado habitualmente por função de fluência fluência e representa-se por Φ(t,t 0). Fazendo intervir a função de fluência na equação (2), esta toma a forma: 1 ε c,tot    ε c,tot  c,tot (t,t 0)= σ c Φ(t,t 0)  ⇔   σ c = c,tot (t,t 0) Φ(t , t 0 ) Comparando a expressão acima com a lei de Hooke, σ   =  E ε , verifica-se que o inverso da função de fluência ocupa o lugar do modulo de elasticidade. Assim, para analisar em regime linear uma estrutura de betão sujeita a uma carga constante, o efeito da fluência pode ser avaliado substituindo o módulo de elasticidade da estrutura pelo inverso da função de fluência. Setembro de 2007

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Temos estado a admitir que a tensão aplicada no betão é constante. E se a tensão no betão não for constante? Se a variação da tensão no intervalo t -t 0 for pequena, pode-se continuar a usar a formulação anterior, tomando-se para o efeito, o valor médio da tensão que se verifica nesse intervalo. Se, além disso, a variação do módulo de elasticidade poder ser desprezada no intervalo em questão, a expressão (2) simplifica-se. Com efeito, admitindo que  E c(t 0) =  E c, a expressão (2) transforma-se em:  1 + ϕ (t , t 0 )  E c ε  (t , t  )   ε c ,tot (t , t 0 ) = σ c   ⇔  σ c = 1 + ϕ (t , t 0 ) c,tot 0   E c O factor:

 E c

1 + ϕ (t , t 0 )

 designa-se habitualmente por módulo de elasticidade fictício ou módulo

de elasticidade equivalente,

e possibilita efectuar uma análise simplificada dos efeitos da

fluência. Exemplo 2.2  – Uma viga de betão armado está sujeita a uma carga constante aplicada na idade t 0  e mantida constante até à idade t . O modulo de elasticidade, cuja variação no intervalo (t 0, t ) se admite desprezável, é igual a  E c. Num determinado ponto da estrutura observou-se, no momento da aplicação da carga, uma flecha elástica instantânea d 0. Determine a flecha na idade t , d (t ))..

Ora, admitindo comportamento elástico da estrutura, sabemos que o deslocamento elástico é inversamente proporcional ao modulo de elasticidade, podendo escrever-se: d 0  = k / E   E c  (k   é a constante de proporcionalidade). O deslocamento d (t ) pode ser determinado substituindo nesta expressão E c por E c/[1 + ϕ (t ,t 0)]. Obtém-se: k  d (t ) = (1 + ϕ (t , t0 ) )  E c

⇔

d (t ) = (1 + ϕ (t , t0 ) ) × d0  

 

Suponhamos por exemplo que ϕ  =2.50  =2.50 (valor típico do coeficiente de fluência a longo prazo). Vê-se assim que a flecha a longo prazo mais do que triplica. Portanto, para se controlar eficazmente as deformações em estruturas as deformações elásticas instantâneas têm de ser muito pequenas. É aquide quebetão residearmado, uma importante vantagem do betão  pré-esforçado – possibilita uma redução significativa das deformações elásticas iniciais e por conseguinte também uma redução significativa das deformações a longo prazo. Se as variações da tensão e do módulo de elasticidade não poderem ser desprezadas no intervalo de tempo em questão, a extensão devida à fluência pode ser calculada usando o  principio da sobreposição dos efeitos. Recordamos que este princípio é aplicável apenas se a tensão no betão for inferior a cerca de 0.45 de  f cck k , o que se verifica na generalidade das situações. Este princípio habilita-nos a calcular a extensão de fluência sob tensão variável. Efectivamente, quando a tensão aplicada varia com o tempo, podemos dividir o intervalo de tempo em vários subintervalos e aplicar o valor médio do incremento da tensão associado a cada subintervalo, conforme se mostra na figura seguinte: Setembro de 2007

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Cap. II - Materiais

σc ∆σ c,ti

σc,t0

t t0 t1 ti-1 ti tn   Aplicando o principio da sobreposição, a extensão de fluência sob tensão variável é dada por: n ∆σ  σ c ,t 0 ε cc (t , t0 ) = ϕ (t , t0 ) + ∑ ϕ (t , ti )  c,ti    Ec

i =1

E c

Para obter a extensão total, há que adicionar à expressão anterior, as parcelas elásticas, dadas  por: n ∆σ  σ c ,t 0 + ∑ c,ti   ε c 0 =  Ec (t0 ) i =1 Ec (t i ) Recordamos que E c e  E c(t 0) designam o modulo de elasticidade tangente, respectivamente aos 28 dias e à idade t 0. Perda de tensão devida à fluência

A extensão de fluência irá provocar uma perda de tensão nos cabos que possam existir na secção. Admitindo aderência perfeita entre o aço de pré-esforço e o betão, a variação de extensão sofrida pelo aço é igual à extensão de fluência, pelo que a perda de tensão nas armaduras de pré-esforço é igual a: | σ  | ∆σ pt ,c = E p | ε cc | = E p × ϕ c = α ϕ | σ c |   ⇔   ∆σ pt ,c = α ϕ | σ c   |   em que:  E c

α   = =  E p / E c   (coeficiente

de homogeneizaçã homogeneização); o);

σ c – tensão de compressão no betão ao nível do

cabo devida às acções permanentes,

incluindo a acção do pré-esforço: A equação ∆σ pt ,c = α ϕ | σ c   | aplica-se a uma determinada secção (e a um determinado instante). Se o pré-esforço não for do tipo aderente, a equação aplica-se a um troço compreendido entre dois pontos consecutivos de fixação do cabo à estrutura, em geral as ancoragens. O coeficiente de fluência a usar será o coeficiente de fluência médio que se verifica nesse troço. 2.  Aços de alta resistência 2.1.  Formas comerciais

Os aços de alta resistência usados em pré-esforço apresentam-se em 3 formas comerciais, a saber: Setembro de 2007

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• Fios (wire) • Cordões (strand) • Barras (bar ) A norma europeia que estabelece as características dos aços de pré-esforço é a norma EN 10138, que se compõe de 4 partes. A primeira trata dos requisitos gerais, a segunda trata dos

 

fios, a terceira dos cordões e a quarta das barras. O LNEC está preparado para homologar os dois primeiros tipos de aço, para o que elaborou duas especificações, baseadas aliás na EN 10138, a especificação E452-2004 e a E453-2002, respectivamente para aço em fio e aço em cordão. A aplicação dos fios está sobretudo virada para a indústria da pré-fabricação, que recorre ao método da pré-tensão. Já os cordões, aplicam-se sobretudo na pos-tensão, embora também o sejam na pré-tensão. Os cordões são formados por 2, 3 ou 7 fios, sendo este último o mais utilizado. Podem ser fornecidos com uma bainha de polietileno de alta densidade, designando-se neste caso cordão auto-embainhado. Os cordões auto-embainhados utilizam-se em pré-esforço exterior e também no pré-esforço de lajes (sistema monocordão). As barras são varões em aço de elevada resistência e podem ser parcial ou totalmente roscadas. A figura seguinte mostra dois fios, um liso e outro indentado, dois cordões de 7 fios, um simples e outro auto-embainhado e ainda uma barra de pré-esforço.

Fig. 2. 5 – Fios, cordões, e barras para pré-esforço

2.2.  Processo de fabrico

 No caso dos fios e cor cordões dões o processo processo de fabrico fabrico segue as seguintes seguintes etapas: 1-  Recepção da matéria-prima (fio máquina)

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O fio máquina para pré-esforço é fornecido pelas siderurgias e é caracterizado por  possuir levados levados teores teores de carbono. carbono. 2-  Decapagem e fosfatação 3-  Trefilagem A trefilagem consiste na passagem do fio em várias fieiras consecutivas a fim de reduzir a sua secção e, consequentemente, aumentar a tensão de rotura. 4-  Encordoamento (apenas no caso dos cordões) Os fios exteriores são enrolados em torno do fio central, através de máquinas  próprias. 5-  Estabilização A estabilização consiste num tratamento térmico acompanhado de um esforço de tracção, destinado a eliminar tensões residuais e reduzir a relaxação. 2.3.  Classes de Resistência. Características geométricas a) Fios e cordões

A classe de resistência mais utilizada para aço em cordão é a classe Y1860S7, sendo esta a notação da norma europeia atrás referida, onde 1860 designa o valor característico da tensão de rotura em [MPa],  f  pk , e o símbolo S7 designa secção com sete fios. O diagrama σ-ε típico de um cordão de pré-esforço é o indicado na figura seguinte: σ fpk fp01.k

Ep = 195 GPa

ε

0.1%

~50%o

 

Fig. 2. 6 – Diagrama -  típico dum cordão de pré-esforço

O módulo de elasticidade médio de um cordão é de 195 GPa, admitindo-se variações de ±10 GPa. Já para o fio, o módulo de elasticidade é de 205± 205±10 GPa. A razão desta diferença nos módulos de elasticidade tem a ver com o efeito de desenrolamento dos fios do cordão quando este é esticado. Uma vez que estes aços não têm um patamar de cedência bem definido, não é possível quantificar a tensão de cedência. Assim, em alternativa, define-se a denominada tensão limite Setembro de 2007

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convencional de proporcionalidade a 0.1%,  f  p0.1k ,

Cap. II - Materiais

(0.1%  proof

stress  na

literatura inglesa)

quantificada conforme mostrado na figura 2.6. De acordo com a norma EN 10138 o valor de  f  p0.1k  para os cordões da classe Y1860 S7 é de 1600 MPa, a que corresponde 0.86× 0.86× f  puk . O EC2 refere que se não existir informação mais  precisa, pode-se atribuir a  f  p0.1k . o valor de 0.90× 0.90× f  puk  (que dá 1670 MPa), valor este que não está em harmonia com a EN 10138. Os aços fabricados segundo esta norma têm de facto uma tensão limite convencional de proporcionalidade característica de 1600 MPa e não 1670 MPa, como se pode constatar consultando os certificados de qualidade que acompanham as bobines de aço que chegam à obra. Este aspecto reveste-se de alguma importância na medida em que o valor de cálculo da tensão de rotura é calculado a partir de  f  p0.1k , (  f f  pyd  = f  p0.1k  /1.15).  No quadro seguinte, seguinte, indicam-s indicam-see as caracte características rísticas geométric geométricas as e pesos dos cordões mais utilizados, todos de 7 fios: Quadro 3.1 – Cordões mais utilizados (EN 10138-3) Diâmetro nominal 15 mm

Área [cm2] 1.4

Peso [kg/m] 1.10

16 mm

1.5

1.18

Por influência das normas americanas ASTM, o cordão de 15 mm é por vezes designado cordão STANDARD e o cordão de 16 mm cordão SUPER. b) Barras

As classes de resistência mais utilizadas em pré-esforço com barras são a classe Y1030H  e Y1230H, a que correspondem tensões de rotura características de, respectivamente, 1030 e 1230 MPa. As tensões limites convencionais de proporcionalidade são de 835 e 1080 MPa, respectivamente. O módulo de elasticidade médio das barras é de 170 GPa, inferior, portanto, ao dos cordões.  Na tabela seguinte apresentam apresentam-se -se as característi características cas de algum algumas as das barras barras mais ut utilizadas: ilizadas: Quadro 3.2 – Barras mais utilizadas (EN 10138-4) Diâmetro nominal 32 mm 36 mm 40 mm

Área [cm2] 8.04 10.18 12.57

(1)   – barra lisa / barra roscada

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Peso [kg/m] 6.313 / 6.53 (1)  7.99 / 8.27 (1)  9.865 / 10.205 (1) 

 

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2.4.  Relaxação Definição

A relaxação consiste na diminuição lenta e gradual da tensão no aço quando este é submetido a uma extensão constante. Quantificação

A relaxação depende do processo de fabrico dos aços, da temperatura e do nível de tensão aplicada. É medida a partir do ensaio de relaxação que consiste, resumidamente, em sujeitar um provete a uma tensão inicial σ  p0 = 70% da tensão de rotura (desse provete) e manter a deformação constante durante 1000 horas. A variação de tensão ocorrida no provete no final do ensaio designa-se por perda por relaxação às 1000 horas e denota-se por ∆σ  p1000, r . Com base em ∆σ  p1000,r  , define-se o parâmetro  ρ 1000 1000, da seguinte forma:  ρ 1000

=

∆σ  p1000,r 

×100 [%]  

σ  p 0

O EC2 classifica os aços em 3 classes de relaxação, a saber: −  classe 1 – fios e cordões de relaxação normal; −  classe 2 – fios e cordões de baixa relaxação; −  classe 3 – barras de pré-esforço. Em geral só se utiliza fios e cordões de baixa relaxação, a que corresponde  ρ 1000 1000 = 2.5%. Este é o valor máximo que a EN 10132 especifica para os aços que sejam produzidos segundo essa norma. A relaxação das barras às 1000 horas é um pouco superior, podendo-se considerar  ρ 1000 1000 = 4.0%, ou inferior se garantido pelo fabricante. Para calcular a perda de tensão por relaxação em função do tempo, o EC2 apresenta as seguintes expressões: −  classe 1:

∆σ pt ,r = 5.39 ρ1000 e

∆σ pt ,r = 1.98 ρ1000 e

−  classe 3: µ  =  =

t 

9.1 µ  ⎛

t 

∆σ pt ,r = 0.66 ρ1000 e

−  classe 2:

em que:

6.7 µ  ⎛

σ  p 0  f 

 ;

⎞ ⎜ 1000 ⎟ ⎝ ⎠

⎞ ⎜ 1000 ⎟ ⎝ ⎠

8 µ  ⎛

⎞ ⎜ 1000 ⎟ ⎝ ⎠

0.75(1− µ )

0.75(1− µ )

σ  p 0  – tensão inicial no aço;

 pk 

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t 

0.75(1− µ )

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×10−5 σ p 0   ×10−5 σ p 0  

×10−5 σ p 0  

 em horas. t  em

 

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Para efeitos de perdas por relaxação, podemos considerar o longo prazo (tempo infinito) como sendo 500 000 horas [~ 57 anos, EC2 3.3.2 (8)]. Exemplo 2.3 –

Numa determinada secção de uma estrutura a tensão inicial no aço de préesforço é de 1300 MPa. Admitindo que ρ1000 = 2.5% e que o aço é da classe Y1860, determine a perda de tensão por relaxação a longo prazo usando as expressões do EC2. Tem-se: ∆σ  p∞,r 

1300 9.1 = 0.66 × 2.5 × e 1860

1300 0.75(1− ) 1860 ⎛ 500000 ⎞

⎜ 1000 ⎟ ⎝ ⎠

×10−5 ×1300  = 50.5 MPa. (3.9 %).

Pré-esforço útil

O pré-esforço útil, ou pré-esforço a longo prazo, obtém-se subtraindo ao pré-esforço inicial as  perdas diferidas, ou ou seja: σ p∞

= σ p 0 − ∆σ p∞,s − ∆σ p∞,c − ∆σ p∞,r   ;

  σ       p∞ × A p   P∞ =

Este procedimento é simplificado, pois não leva em conta a interdependência entre os 3 tipos de perdas diferidas. No capítulo VII apresentaremos a expressão do EC2 que tem em conta a interacção entre as perdas por retracção, fluência e relaxação. 3.  Baínhas

As bainhas a usar nos sistemas pos-tensionados pode poderão rão ser metálicas ou de plástico, sendo as  primeiras as mais utilizadas. utilizadas. A figura seguinte mostra exemplos de de bainhas:

Fig. 2. 7 – Bainhas metálicas, em aço corrogado, e de plástico usadas na pos-tensão (catálogo CCL)

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O objectivo das bainhas é impedir que, aquando da betonagem, o betão entre em contacto com o aço o que, se acontecesse, inviabilizaria o esticamento posterior do aço. São fabricadas geralmente com comprimentos de 6.00 m e emendadas em obra com o auxílio de pequenos troços de bainha com diâmetro ligeiramente l igeiramente superior. Após o esticamento do aço, o espaço vazio entre os cordões e a bainha é preenchido com calda de cimento, a fim de proteger o aço da corrosão e possibilitar a aderência. O diâmetro das bainhas é estabelecido normalmente de forma a que a sua área seja cerca do dobro da área dos cabos. Um diâmetro mais pequeno, além de criar dificuldades de injecção, aumentaria o coeficiente de atrito cabo-baínha.  No quadro seguinte indicam-se os diâmetros interiores das bainhas para os tipos mais usuais de cabos: Quadro 3.3 – Diâmetro interior das bainhas  Nº de cordões

 

φ bainha [mm]

4

50

7 12

60 80

15 19

90 100

27

120

Existem normas europeias, já adoptadas de resto, como normas portuguesas, que estabelecem os ensaios a realizar a fim de garantir a qualidade das bainhas. São elas a NP EN 523 e NP EN 524. Os principais ensaios a realizar são:

• ensaio de flexibilidade; • resistência à carga lateral; • ensaio de estanquidade. estanquidade. 4.  Caldas de Injecção

As caldas de injecção são, basicamente, constituídas por cimento, água e plastificante,  podendo, em alguns casos, adicionar-se um expansivo. O objectivo do plastificante é assegurar uma boa trabalhabilidade com uma relação A/C baixa. A injecção das bainhas, a realizar após o esticamento dos cabos, tem um objectivo duplo:

−   protecção dos aços aços contra a co corrosão; rrosão; −  assegurar a aderência entre o cabo e a secção de betão. Setembro de 2007

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Cap. II - Materiais

Visto que esses objectivos são muito importantes, o estudo da composição, a amassadura e a injecção propriamente dita deve ser efectuada por pessoal tecnicamente qualificado. As normas europeias que especificam os ensaios a realizar, os procedimentos de injecção e os  parâmetros de aceitação, aceitação, são as seguintes: NP EN 445, NP EN 446 e NP EN 447.  No capítulo V faremos uma breve descrição dos procedimentos habituais de injecção bem como um breve resumo dos ensaios especificados nessas normas.

*** Problema proposto *** Problema 2.1 (quantificação dos parâmetros de fluência e retracção)

Considere a secção representada na figura seguinte: HR = 70%; T = 20º Betão C30/37 (Cimento da classe CEM 42.5 N)         0         0   .         1

Ep = 195 GPa Compressão no betão ao nível do cabo, devida às acções permanentes, incluindo a acção acção do pré-esforço: 5MPa; 0.30

  a)  Calcule os parâmetros de retracção e fluência a longo prazo, εcs(∞,15) e ϕc(∞,15) utilizando a formulação do EC2  b)  Descreva sucintamente o significado físico dos parâmetros de retracção e fluência; c)  Suponha que a viga cuja secção é a indicada acima, possui 10 m de comprimento. Determine o encurtamento total (elástico inicial mais o provocado pela retracção e fluência) a longo prazo, supondo que está sujeita a uma compressão de 5 MPa, aplicada ao 15 dias de idade do betão e mantida constante ao longo da vida da estrutura; d)  Determine a variação uniforme de temperatura equivalente à retracção; e)  Determine a variação uniforme de temperatura equivalente à fluência; f)  Determine as perdas de tensão nos cabos de pré-esforço devidas à retracção e fluência utilizando os parâmetros calculados na alínea a);

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(pagina propositadamente em branco)

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Cap. II - Materiais

 

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Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas

Cap. III – Análise de Vigas Pré-esforçadas Pré-esforçadas 1.  Introdução

Considere-se uma viga simplesmente apoiada, pré-esforçada, e admita-se que o cabo é esticado pela extremidade direita, conforme representado na figura seguinte: ANCORAGEM ACTIVA

ANCORAGEM PASSIVA

  Fig. 3.1 – Viga simplesmente apoiada pré-esforçada com um cabo

 No momento do esticamento, as forças que o cabo exerce na viga são de três tipos, a saber (figura 3.2):

−  forças transmitidas pelas ancoragens; −  forças de desvio, perpendiculares ao cabo; −  forças de atrito, tangenciais ao cabo.

ACÇÃO DO CABO NA VIGA

ACÇÃO DA VIGA NO CABO

 

Fig. 3.2 – Acção dum cabo de pré-esforço numa viga

Segundo a lei da acção-reacção (3ª lei de Newton), as forças que o cabo exerce na viga são iguais e de sinal contrário às forças que a viga exerce no cabo. Ora, visto que o cabo está em equilíbrio, as forças a que está sujeito têm de estar em equilíbrio, isto é, têm de ter resultante nula, o mesmo acontecendo com as forças que o cabo exerce na viga. Assim, a acção do pré-esforço na viga é uma acção auto-equilibrada. Consequentemente, numa viga isostática as reacções devidas ao pré-esforço são nulas, e numa viga hiperstática a sua soma tem de ser nula, embora, individualmente, possam não sê-lo.

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Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas

2.  Análise de vigas isostáticas 2.1. 

Conceito de esforço isostático

Seja uma viga isostática e uma secção genérica S  à   à distância  x do apoio. A acção do cabo na secção genérica S  é  é equivalente a uma força de compressão com intensidade igual ao valor do  pré-esforço e direcção igual à direcção do cabo ness nessaa secção (figura 33.3). .3). y S c.g. x S

x

S

S M(x) N(x)

e(x) P(x)

V(x)

α(x)

S

 

S

Fig. 3.3 – Esforços equivalentes à acção do pré-esforço (esforços isostáticos)

Chama-se excentricidade do cabo  à distância do cabo ao c.g. da secção e representa-se habitualmente por e. Os esforços na secção genérica  x, estaticamente equivalentes à acção do  pré-esforço, são, de de acordo com a figura 3.3, iguais a:  N ( x ) = − P ( x  ) cosα ( x ) V ( x ) = P( x ) sin α   ( x )

 N ( x )  =

≈ − P( x )  

≈ P( x ) tan α ( x )  

 M ( x ) = − P( x  ) cos   α ( x ) e( x )

⇔ 

≈ − P( x ) e ( x )  

− P( x )  

V ( x ) = P  ( x ) tan α ( x )    M ( x )  =

− P( x ) e ( x )  

Estes esforços designam-se por esforços isostáticos.  Nas expressões acima introduziu-se a seguinte simplificação: cosα   ~ 1 e sinα   ~ α   ~ tgα , aproximação esta válida para α   pequeno. Em muitas aplicações práticas o ângulo α   é efectivamente um ângulo pequeno, tornando legítima a simplificação acima. As expressões que acabamos de deduzir permitem-nos desenhar diagramas de esforços devidos ao pré-esforço com relativa facilidade. O pré-esforço varia de secção para secção por causa do atrito. No entanto, em muitas aplicações é admissível (e prático) considerá-lo constante ao longo de um determinado comprimento, para o que se pode usar o valor médio do pré-esforço nesse comprimento.

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Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas

Exemplo 3.1

Traçar os diagramas de esforços devidos ao pré-esforço na seguinte viga: P=cte       1      e       2      e

L1

L2

L1

   Resolução

Aplicando o conceito de esforço isostático resulta imediatamente:

N

(-) P P2(e2-e1) L1 (+)

V

(-) Pe2

(-)

M

Pe1

  Convém referir que o valor de P depende das acções que actuam depois da aplicação do préesforço, uma vez que o seu valor é afectado pela deformação da viga, sobretudo se o préesforço for do tipo aderente. Assim, por exemplo, suponhamos que após a aplicação do préesforço é aplicada uma determinada carga que provoca numa determinada secção um aumento ∆ N  de  de esforço axial e um aumento ∆ M  de  de momento flector. Então é fácil verificar recorrendo à teoria das peças lineares que o aumento de tensão no aço de pré-esforço (admitindo aderência perfeita) é dada por:

∆σ  p =

 E  p  Ec

⎛ ∆ N ∆M  ⎞ + e⎟   ⎜ A I  ⎝ c ⎠ c

 Na expressão acima,  E  p  e  E c  designam o módulo de elasticidade do pré-esforço e do betão, respectivamente; Ac  e  I c designam a área e inércia da secção e e designa a excentricidade do cabo de pré-esforço. É fácil comprovar a expressão acima. Com efeito, o esforço axial ∆ N    provoca na secção uma uma variação de tensão ∆σ c = ∆ N / Ac e portanto uma variação de extensão Setembro de 2007

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Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas

de ∆ε c = ∆ N /( A   provoca na secção, ao nível do cabo, uma variação de  Ac E     E c). O momento ∆ M  provoca tensão ∆σ c  = ∆ M /  I c  ×  e, e portanto uma variação de extensão de ∆ε c  = ∆ M /(  I  I c  E   E c)×e. O incremento de extensão total será a soma das duas parcelas. Ora, visto que se admite aderência perfeita entre o betão e a armadura e ∆σ  p  =  E  p  ∆ε c, resulta imediatamente a expressão acima. Vê-se assim que o valor do pré-esforço que actua na secção é afectado pelas cargas que actuam após a aplicação do pré-esforço. Porém, em algumas aplicações, como por exemplo na verificação da descompressão, é usual desprezar-se a influência que essas acções têm no valor do pré-esforço. Refira-se, finalmente, que o conceito de esforço isostático generaliza-se facilmente a um cabo com traçado espacial.

 z P

e y e z

α   β 

 x  y

 

Fig. 3.4 – Generalização do conceito de esforço isostático a um cabo espacial

Os esforços isostáticos na secção, estaticamente equivalentes à acção do pré-esforço, são dados por:  N  =  − P cos α  cos β    V  y   = P sin α 

 

V  z   = P cos α sin β  T  = − P

 N  =   −P  V  y   = P tan α   

 

≈ 

V  z   = P tan β    T  = − P

tan α   × e z + tan β  × e y )

tan α   × e z + tan β  × e y )

 M  y

= P cos   α  cos β  e z  

 M  y 

= P e z  

 M  z

= P cos   α  cos β  e y  

 M  z  = P e y  

A aproximação efectuada é admissível para α   ee  β  pequenos,  pequenos, podendo-se escrever: Cosα  ≈ cos β  ≈ 1; sinα  ≈ tanα ; sin β  ≈ tan β   Setembro de 2007

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2.2. 

Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas

Calculo de deformações devidas ao pré-esforço

Vimos no ponto anterior como desenhar diagramas de esforços devidos ao pré-esforço. Veremos agora como calcular deformações. Um dos métodos disponíveis para o cálculo de deformações é o conhecido método da carga unitária , método este baseado, conforme sabemos, no principio dos trabalhos virtuais. Recorda-se que, segundo este método, o deslocamento (ou rotação) num ponto qualquer da estrutura, é dado pela expressão: δ  =

∫

 M 0 M 1  EI 

dx + 

∫

 N 0 N 1  EA

dx +

T 0T 1

∫ GJ  dx  

onde:

− 

 M 0,  N 0, T 0,

− 

 M 1,  N 1, T 1,

designam, respectivamente, o momento flector, o esforço axial e o momento torsor, devidos à acção para a qual se pretende calcular o deslocame deslocamento; nto; designam, respectivamente, o momento flector, o esforço axial e o momento torsor, devidos a uma carga unitária (ou momento unitário) aplicado no

 ponto onde se pretende pretende calcular o de deslocamento slocamento e co com m a direcção deste. deste.

− 

 E   ee G, designam, respectivamente, o módulo de elasticidade e o

módulo de distorção

da estrutura.

− 

 I ,  A e  J, designam,

respectivamente, a inércia de flexão, a área e a inércia de torção das secções. Esta última é também t ambém conhecida como constante de S. Venant.

Exemplo 3.2        e

P=cte

 A, I 

L

L

  Questões: a)  Determine a flecha na extremidade da consola por acção do pré-esforço.  b)  Que modificações introduziria no traçado do cabo se desejasse aumentar a flecha? c)  Suponha que inverte a viga, mantendo no entanto o traçado original. Nestas circunstancias, indique se a flecha aumenta, diminui ou se mantém constante. Setembro de 2007

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Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas

 Resolução

a) Dada a simetria da estrutura e da acção em apreço (pré-esforço), calcularemos a flecha admitindo encastramento perfeito no pilar central. Há que desenhar os diagramas de momentos devidos ao pré-esforço e devidos a uma carga unitária aplicada na extremidade da consola. Tem-se: 1  M 0

 M 1

1

Pe

d  =

 M 0 M 1 dx  EI 

∫

=

  1 (

 EI 

 L (+)

×

 L (+)

1

P×e

) ⇔  d   = =

5 P e L2 12 EI 

   b) As modificações a introduzir deverão vir no sentido de aumentar a área do diagrama  M 0 = P× e. Pode-se, por exemplo, subir a cota do cabo na extremidade. Outra modificação seria, por exemplo, criar um troço rectilíneo junto ao encastramento. c) Se se invertesse a viga, o centro de gravidade iria subir e a área do diagrama  M 0 = P× e iria diminuir, pelo que a flecha iria também diminuir.

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Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas

3.  Análise de vigas hiperstáticas

conforme vimos no ponto anterior, a aplicação do pré-esforço impõe uma deformação na estrutura. Se a estrutura for isostática, a deformação é totalmente livre, não havendo quaisquer reacções nos apoios. Já se for hiperstática, a deformação imposta pelo pré-esforço não é livre, surgindo esforços adicionais, designados por esforços hiperstáticos, ou, por vezes também designados por esforços secundários. Os esforços totais obtêm-se somando os esforços hiperstáticos com os esforços isostáticos, ou seja: S tot  =  S iso

+ S hip  

 No caso da hiperstaticidade resultar da existência de ligações superabundantes ao exterior, a deformação imposta pelo pré-esforço gera reacções. Os esforços hiperstáticos são o resultado destas reacções. Ilustremos com o exemplo da figura 3.5: Deformada (1)

 L

 L

Deformada real

 R

 R 2R  M hip (+)

 R× L V hip

 R (+) (-)

 R

 

Fig. 3.5 – Esforços hiperstáticos devidos ao pré-esforço

 Neste exemplo, se o apoio central não existisse, a estrutura seria isostática e a deformada imposta pelo pré-esforço seria a deformada (1). Acontece, porém, que o apoio existe, o que equivale a introduzir uma carga vertical de forma a anular o deslocamento nessa secção. Os esforços hiperstáticos resultam dessa carga, ou reacção, e têm o andamento indicado na figura anterior. O cálculo dos esforços hiperstáticos pode ser efectuado recorrendo ao conhecido método das  forças. Vejamos um exemplo:

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Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas

Exemplo 3.3 – Determinemos os esforços hiperstáticos na viga da figura fi gura anterior.  P = cte

 

P = cte

e

⇔ 

⇔   L

L

 X 

"estrutura dada"

"sistema base" P = cte

P = cte + X  ×

1 "0"

"1"  Fig. 3.6 – Aplicação do método das forças

Conforme se sabe, na aplicação do método das forças começa-se por escolher um sistema base, ou seja uma estrutura isostática obtida da estrutura dada por libertação de esforços ou reacções, tantos quantos os necessários para transformar a estrutura dada numa estrutura isostática. Os esforços ou reacções libertados constituem as incógnitas hiperstáticas. No exemplo acima, por se tratar de uma estrutura hiperstática do 1º grau, basta libertar apenas um esforço ou reacção, tendo-se optado por libertar a reacção no apoio central. O cálculo das incógnitas hiperstáticas é feito a partir das equações de compatibilidade. No caso acima, a equação de compatibilidade consiste em igualar a zero o deslocamento no apoio central, vindo: δ  = 0  

(1)

Decompondo este deslocamento nas parcelas “0” (acção do pré-esforço) e nas parcelas “1” (acção da força unitária), tem-se: δ  = 0

⇔

δ 0 + X  ×   δ 1

=0 ⇔

 X  = −

δ 0 δ 1

 

Os deslocamentos δ 0  e δ 1  referem-se a estruturas isostáticas e podem ser calculados recorrendo ao método da carga unitária: δ 0

=∫

 M 0 M 1  EI 

dx ;

δ 1

=∫

 M 12  EI 

dx  

Há pois que desenhar os diagramas  M 0 e M 1:  M 1 2L

 M 0

 L

P× e

 L

1

(-) (+)

 L

2

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δ 0

=∫

Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas

1  L PeL2 ; dx = −   P × e × × 2 × L = − 2 2 2 EI   EI   EI  1

 M 0 M 1

 M 12

1  L2  L3 ;  2× δ 1 = ∫ × L = dx = 3 4 6 EI   EI   EI   X  = − δ 0 δ 1

1

Pe ; = 3 L

O momento hiperstático, conforme vimos, tem variação linear e o seu valor junto ao apoio central é igual a:  M hip

=

 X 

2

×  L =

3 Pe   2

Verifica-se que o valor dos esforços hiperstáticos são sempre proporcionais ao valor do préesforço P, podendo escrever-se:  M hip   = c P  

O parâmetro c depende do traçado do cabo e da geometria da secção. Poderíamos ter resolvido a estrutura usando outro sistema base, por exemplo libertando o momento flector junto ao apoio central. Neste caso, a incógnita hiperstática seria o momento nessa secção e o resultado teria de ser, obviamente, o mesmo. Estruturas com grau de hiperstaticida hiperstaticidade de superior a 1

 No caso de estruturas com grau de hiperstaticidade superior a 1, digamos n, a aplicação do método das forças é inteiramente semelhante, com a diferença de que passamos a ter n  incógnitas e n equações de compatibilidade. Vejamos um exemplo. Seja a viga representada na figura 3.7. Nesta viga o grau de hiperstaticidade é n = 2. Na figura representa-se esquematicam esquematicamente ente a aplicação do método das forças. Acção do PE

Acção do PE  X 1  X 1

⇔

 X 2  X 2

⇔ 

Acção do PE + X 1×  M0

 M0

= P×e

1 1

 × + X 2 ×  M2

 M1

1

1 Fig. 3.7 – Aplicação do método das forças a uma estrutura hiperstática do 2º grau

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1 1

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Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas

Por razões de compatibilidade, a rotação relativa na secção 1, representada por δ 1, tem de ser nula, o mesmo acontecendo com a rotação relativa na secção 2, δ 2, ou seja:

⎧δ  + X 1δ 11 + X 2δ 12 = 0 ⎧δ 1 = 0 ⇔ ⎨ 10 ; ⎨ ⎩δ 2 = 0 ⎩δ 20 + X 1δ 21 + X 2δ 22 = 0 ⎧δ 10 ⎫ + ⎡δ 11 ⎨ ⎬ ⎢ ⎩δ 20 ⎭ ⎣δ 21

ou, usando notação matricial:

δ 12 ⎤

 X  × ⎧⎨ 1 ⎫⎬ = ⎧⎨0⎫⎬ ; ⎥ δ 22 ⎦ ⎩ X 2 ⎭ ⎩0⎭

As equações de compatibilidade podem ser escritas na seguinte forma genérica:

{δ i 0 }+ δ ij  × { X i } = {0};

ou ainda

{δ }+  [F ] ×  { X } = {0};

onde:

- {δ } representa o vector dos termos independentes; - [F ] representa a matriz de flexibilidade; - { X } representa o vector das incógnitas hiperstáticas; Os termos da matriz de flexibilidade são dados por: δ ij

=∫

 M i M  j  EI 

dx + 

∫

 N i N  j  EA

dx +

T i T  j

∫ GJ  dx  

Consideração da variabilidade variabilidade de P com x

 No caso de desejarmos tter er em conta a influência do atrito aço-bainha, o valor de pré-esforço não é constante ao longo da viga, o que conduz a andamentos do diagrama  M ( x )  = − P ( x ) e ( x )   mais complicados. O cálculo dos integrais acima torna-se um pouco mais complicado e é feito normalmente recorrendo a métodos numéricos, como o método dos trapézios  ou o método de Simpson.

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Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas

4.  Conceito de carga equivalente à acção do pré-esforço

Conforme já vimos, admitindo a hipótese de que o ângulo que o cabo faz com o eixo da viga é  pequeno, os momentos isostáticos devidos ao pré-esforço pré-esforço são dados por:  M ( x ) =  − P( x ) × e( x )  

(1)

 x) designa a excentricidade do cabo de pré-esforço (figura 3.8). onde e( x

e(x)

  Fig. 3.8 – Excentricidade do cabo de pré-esforço p ré-esforço 

A partir da equação (1), podemos calcular a carga equivalente à acção do pré-esforço, recorrendo às conhecidas equações diferenciais de equilíbrio: V   =

dM 

;  p =  −

dx

dV 

 

dx

Admitindo a hipótese de que o pré-esforço é constante ao longo da viga, tem-se: V  =

dM  dx

  = − P × e ' ( x ) ;

e

 p eq

dV 

= −   = P × e ' ' ( x ) ;

(2)

dx

Particularizando agora para o caso dum cabo com traçado parabólico, a excentricidade e(  xx) terá uma equação do tipo: e( x ) = ax  2 + bx + c ; e as respectivas derivadas têm as seguintes expressões: e ' ( x ) =  2ax + b ;

e ' ' ( x  ) = 2a  

(3)

A segunda derivada da excentricidade é, pois, uma constante, função da geometria da 2

 parábola. O parâmetro a da parábola é, conforme sabemos, dado por: a = f  / L , onde f  designa a flecha da parábola e L o seu comprimento. Substituindo a equação (3) em (2), obtém-se a expressão para a carga equivalente:  peq   =

2  f  P 2

 L

 

Constata-se assim que( admitindo validas as hipóteses anteriores) a carga equivalente à acção do pré-esforço é uma carga uniforme, função da força no cabo e da geometria da parábola e independente da posição do centro de gravidade da secção.  Na figura seguinte resume-se resume-se o con conceito ceito de carga eq equivalente: uivalente:

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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas

 peq P

α

= 2 f2P  

 L

HIPOTESES: - P = cte -Traçado parabólico  pequeno -α

      f

tg=0

P

 peq

 L

Fig. 3.9 – Sistema de cargas equivalentes à acção do pré-esforço  

 

Como exercício, sugere-se ao leitor comprovar que o sistema de cargas equivalentes representado na figura 3.9 tem resultante nula, isto é, verifica as equações de equilíbrio:

∑ F   = 0  ; ∑ F   = 0 ; ∑ M   = 0 ;  x

 y

Conforme vimos, admitiu-se a hipótese do pré-esforço ser constante ao longo da viga, o que, na prática, em geral não se verifica, por causa do atrito. No entanto, em muitos casos, a variação de pré-esforço num determinado troço de parábola é pequena, sendo perfeitamente admissível adoptar, nesse troço, o valor médio do pré-esforço. Como se disse acima, a carga equivalente não depende da posição do centro de gravidade, mas somente da flecha do cabo. Assim, mesmo em vigas de altura variável o conceito de carga equivalente é de fácil aplicação. Vejamos um exemplo: Exemplo 3.4 – Pretende-se definir o sistema de cargas equivalentes na seguinte viga:         d     c       h

 L

   Resolução  peq

 peq

 M 

 M 

P

P V 

 p eq

=

2  f  P 2

 L

V 

=

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2 × ( c − d ) × P 2

 L

;

 M  = P × e  = P × (

III-12

h

2

− c) ;

  α  = P V  = Ptg

 

2 ×  (c − d )  L

 

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas

*** Problemas propostos *** Problema 3.1 (Conceito de esforço isostático) Desenhe os diagramas de esforços devidos ao pré-esforço nas seguintes vigas, em função de P, que se admite constante ao longo da viga: P = 2100 KN

e)

P = cte

a)

      0       1  .       0

     e

b)

      5       4  .       0

     e

L1

L2

L1

p

r 

p

c)

g)

      1      e

L1

L2

L1

r 

p

r 

8.00

P = 2000 KN

f)

      0       1  .       0

6.00

      2      e

      1      e

8.00

1.00

L

0.3 0.6

      0       8  .       0       0       9  .       0

6.00

6.00

P = cte

      1      e

1.00

6.00

      2      e

L

h)       2      e

      1      e

      1      e

L

d)

P = 2000 KN

8.00

0.10

      0       5  .       0

0.10

2.00

8.00

      0       0  .       1

  i) (Exame 8/7/2005) CABO RECTILÍNEO; P = 3000 KN

      0       5  .       0

      0       0  .       5       1       6  .       0

      0       5       0  .       6  .       1       0

 .      r      a       V

FACE INFERIOR PARABÓLICA

10.00

  Setembro de 2007

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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas

Problema 3.2 (Calculo de deslocamentos pelo método da carga unitária)  Recorrendo ao  Método da Carga Unitária, calcule as flechas devidas ao pré-esforço nas seguintes vigas, admitindo que o pré-esforço tem o valor P e é constante ao longo da viga. As flechas a calcular são a meio vão no caso das vigas simplesmente apoiadas e na extremidade no caso das consolas. P = cte

a) ( R : f  =

     e

(1)

Pe L2 ) 8 EI 

L

(2)

( R : f  =

     e

5PeL2 ) 48 EI 

L

b)

     e

     e

L

L

(1)

( R : f  =

(2) 2

( R : f  =

PeL ) 2 EI 

5PeL2 ) 12 EI 

P (Cabo exterior)

c)

( R : f  =

     e

a

b

(

)

Pe  4a + b b ) 8 EI 

a

P (Cabo exterior)

d) ( R : f  =

     e

a

b

[

(   )+8a ] )

Pe 3 b 4a +b

2

24 EI 

a

 

Setembro de 2007

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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas

  P g) [R: M =

e

a )2 Pe( ] L

3 2

a L

h) P=1500 KN

0.28

0.38       0       0  .       1

      0       5  .       0

      0       5  .       4

      0       0  .       1

0.50 0.50

0.50

20.00

 

Problema 3.4 (Conceito de carga equivalente à acção do pré-esforço) Defina o carregamento equivalente à acção do pré-esforço nas seguintes vigas: P = 3600 KN A

a)

      5       4  .       0

      2       1  .       0

      5       9  .       0

4.00

      0       8  .       0

8.50

8.50

p

r 

4.00

p

r 

25.00

Determine por dois processos os esforços internos em A, devidos á acção do pré-esforço

b)

0.10       5       7  .       0

8.00

      5  .

      0       5  .       1

2.00

 

Setembro de 2007

P = 2000 KN

0.10

III-16

      5  .

8.00

      0       0  .       1

      5       2  .       1

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

c)

Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas

P = 1500 KN

      5       2  .       0

      5       2  .       0

6.00

3.60

3.60

3.60

6.00

3.60

SUGESTÃO: Modelar esta viga no SAP2000, introduzir as cargas equivalentes, determinar o momento hiperstático e comparar com o valor calculado no problema anterior.

P = 2100 KN

d)       0       1  .       0

0.30 0.60

1.00

1.00

8.00

8.00

Determine, recorrendo ao conceito de carga c arga equivalente, os esforços internos na secção a 5.00 m do apoio. Confirme os esforços calculados, recorrendo á definição de esforço isostático.

e)

P = cte       2      e

      1      e

      1      e

L

P (Cabo exterior)

f)

     e

a

b

a

 

Problema 3.5 (Exame de época especial 29/10/2005) Determine a equação da carga equivalente ao pré-esforço,  peq(  xx), para o traçado genérico representado na figura, admitindo que a força de pré-esforço é igual P  e é constante ao longo do cabo:  y

p (x) eq

 y = ax 3 + bx 2 + cx + d 

     i     v

 x

 

P

Setembro de 2007

III-17

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. III – Análise de vigas pré-esforçadas

Problema 3.6 (1º Teste 5/05/2005) Considere a seguinte viga hiperstática, pré-esforçada com o cabo assinalado. Responda às seguintes questões: P=1000 KN 0.30 0.30 5.00

5.00

10.00

10.00

  a)  Desenhe os diagramas de esforços isostáticos (N, V e M) devidos ao pré-esforço  b)  Recorrendo ao método das forças, desenhe o diagramas de esforços hiperstáticos (Nhip, Vhip e Mhip). c)  Determine as reacções devidas ao pré-esforço. d)  Defina o carregamento equivalente à acção do pré-esforço. e)  Desenhe o diagrama de corpo livre do cabo e marque todas as forças que nele actuam.

Problema 3.7 (Exame de época especial 4/4/2007) Considere a seguinte viga hiperstática pré-esforçada. Admita que a reacção em A devida ao  pré-esforço é de 50 KN e dirigida para cima. Quantifique e desenhe os diagramas de esforços hiperstáticos, M hhipip e V hhipip.

A

B

C

14.00

18.00

Problema 3.8 (Exame de época especial 20/11/2006)

 

Trace qualitativamente o diagrama de momentos hiperstáticos devidos ao pré-esforço no seguinte pórtico:

Setembro de 2007

III-18

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL ESTRUTURAL III

 

Cap. IV – Escolha do traçado e da força

Cap. IV – Escolha do traçado e da força a aplicar 1.  Ideias gerais A escolha do traçado dos cabos não oferece dificuldade de maior. A ideia básica consiste em  posicionar os cabos nas zonas onde ocorrem tracções, procurando-se que os momentos isostáticos do pré-esforço ( M = P×e) tenham andamento semelhante aos momentos devidos às cargas permanentes. Ilustremos este princípio simples com uma viga de dois vãos. Mg

P.I. c.g.

  Fig. 4.1 – Viga de dois vãos. Ilustração da escolha do traçado dos cabos

 Na secção de origem, o cabo foi posicionado com excentricidade nula, pois o momento é aí nulo. Nas secções de momento máximo positivo e negativo, o cabo foi posicionado com excentricidade máxima. Entre estas duas secções houve necessidade de criar um ponto de inflexão, optando-se por localizá-lo a uma distância do apoio de um decimo do vão. O exemplo acima mostra que na maioria dos casos, o traçado dos cabos fica automaticamente definido por leitura directa do diagrama de momentos flectores, não se justificando grandes estudos de optimização. Os traçados curvos serão preferencialmente parabólicos, por dois motivos principais. Primeiro, a parábola é a curva mais simples logo a seguir à recta. Segundo, se a excentricidade do cabo variar parabolicamente, então o momento isostático devido ao préesforço também variará (admitindo P=cte) parabolicamente, o que vem ao encontro dos momentos devidos às cargas exteriores que, se forem constantes, também variarão  parabolicamente. As parábolas desempenham assim um importante papel na definição dos traçados dos cabos. Vale a pena, pois, rever alguns conceitos acerca destas curvas. No anexo C é feita essa revisão, incluindo algumas regras para o cálculo de pontos de inflexão por simples construção geométrica. Estas regras são muitas úteis, especialmente quando se trabalha em Autocad.

Setembro de 2007

IV-1

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL ESTRUTURAL III

 

Cap. IV – Escolha do traçado e da força

2.  Ajustamento do traçado para melhor aproveitamento dos momentos hiperstáticos Uma vez definido o traçado dos cabos, o passo seguinte será calcular os momentos hiperstáticos associados a esse traçado, em função da força de pré-esforço P. No exemplo acima, fica evidente que os momentos hiperstáticos são positivos, pois a área dos cabos abaixo do c.g. é bastante superior à área acima. Assim, neste exemplo, os momentos hiperstáticos são favoráveis no apoio e desfavoráveis no vão. Admitamos para já que a força de pré-esforço, P, é constante ao longo do cabo. Conforme vimos no capítulo anterior, os momentos hiperstáticos são proporcionais a P, podendo escrever-se:  M hip ( x ) = c( x) P  

(4.1)

Pode-se acrescentar que c(  xx) é uma função linear de  x e depende do traçado do cabo de préesforço e da posição do centro de gravidade da secção. Se recorrermos ao calculo automático  para calcularmos os momentos hiperstáticos, recorrendo por exemplo ao conceito de carga equivalente, pode-se atribuir a P o valor unitário. Uma vez calculados os momentos hiperstáticos, determina-se seguidamente o valor de P  escolhendo previamente um determinado critério. Conforme veremos no ponto 5 deste capítulo, o critério mais comum, mas não único, é o que tem por base o anulamento das tensões de tracção nas fibras extremas que ficariam traccionadas se não existisse pré-esforço (estado limite de descompressão). Ou seja, P  será tal que σ  ≤  0 nas fibras extremas (superiores e inferiores). Tem-se, pois: σ 

≤0 ⇔

 M s  I 

v−

Pe  I 

v−

P  A

±

cP  I 

v

⇔ P≥

 M s  I 

e+

 Av

 

(4.2)

±c

 Nesta equação  M s representa o momento de serviço na secção, calculado por uma expressão do tipo  M s  =  M g  +

ψ   M q.  I   e  A representam,

respectivamente, a inércia e a área da secção. e 

designa a excentricidade do cabo na secção e v a distância do centro de gravidade à fibra onde existiriam tracções se não existisse pré-esforço (fibra superior, vs, ou fibra inferior, vi). O coeficiente c é o indicado na expressão (4.1). Relativamente ao sinal, é fácil verificar que se deve usar o sinal “+” se o momento hiperstático for favorável e sinal “–“ no caso contrário. A expressão (4.2) é aplicada nas secções determinantes, escolhendo-se depois o pré-esforço máximo obtido nas diferentes secções.  Nesta fase poderá justificar-se introduzir modificações pontuais ao traçado anteriormente definido. Por exemplo, suponhamos que o pré-esforço necessário no apoio é bastante superior ao do vão, o que de resto até é de esperar no exemplo acima, já que o momento negativo é superior ao positivo e a excentricidade dos cabos no apoio é inferior à excentricidade no vão.

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IV-2

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL ESTRUTURAL III

 

Cap. IV – Escolha do traçado e da força

 Num caso assim, poderá valer a pena tentar aumentar os momentos hiperstáticos a fim de reduzir essa diferença. Tais momentos poderão ser aumentados alterando o traçado de forma a aumentar a área do cabo abaixo do c.g., como por exemplo:

−   baixar a cota inicial do cabo, posicionando a ancoragem abaixo do c.g., mas ainda dentro do núcleo central;

−  − 

criar um troço recto horizontal na zona do vão; aproximar o P.I. do apoio.

A criação de troços rectos horizontais é uma medida eficaz se desejarmos alterar o valor dos momentos hiperstáticos. Um troço recto no vão faz aumentar os momentos hiperstáticos, isto é, torna-os mais positivos. Um troço recto junto aos apoios faz baixá-los, isto é, torna-os menos positivos (ou mais negativos). Se após estas modificações, o pré-esforço necessário à verificação da descompressão no apoio e vão continuarem a diferir significativamente, poder-se-á estudar um layout   dos cabos que conduza a uma área de pré-esforço no apoio superior à do vão. No exemplo a seguir, a disposição de cabos conduz a:  A p,apoio = 1.5× A p,vão. P.I. c.g.

3

1

2,3

1,2 1 2 3

  Fig. 4.2 – Disposição de cabos que conduz a maior pré-esforço no apoio do que no vão

3.  Acessibilidade das ancoragens Um outro aspecto a ter em conta na escolha do traçado dos cabos tem a ver com o facto de  pelo menos uma das ancoragens do cabo ter de ser acessível, de forma a ser possível realizar o tensionamento. No exemplo da figura 4.2, o esticamento será realizado pelas extremidades  junto aos apoios extremos e as ancoragens junto ao apoio central poderão ser passivas. Em outros casos haverá necessidade de tornar as ancoragens acessíveis usando um dos seguintes métodos:

−  execução de juntas de betonagem; −  criação nichos (figura 4.3); −  criação de maciços salientes (figura 4.4).

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IV-3

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL ESTRUTURAL III

 

Cap. IV – Escolha do traçado e da força

  Fig. 4.3 – Criação de um nicho para realizar o esticamento

Fig. 4.4 – Criação de uma  bossage a fim de tornar a ancoragem an coragem acessível para o esticamento

As dimensões dos nichos e das bossages  são função das dimensões do macaco a usar e devem  permitir que o macaco seja posicionado sem tocar lateralmente em nenhum elemento. el emento. Se tal acontecesse, a força seria aplicada de forma excêntrica, o que poderia danificar o betão nas imediações da ancoragem, ou mesmo partir a ancoragem.  Nas figuras seguintes mostram-se fotografias de soluções destinadas a tornar as ancoragens acessíveis:

Fig. 4.5 – Bossage na laje inferior

Fig. 4.6 – Bossage na laje superior

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IV-4

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL ESTRUTURAL III

 

Cap. IV – Escolha do traçado e da força

 

Fig. 4.7 – Espessamento da alma de uma viga

Fig. 4.8 – Nicho junto à face superior (se a ancoragem for passiva, as armaduras não precisam ser cortadas)

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IV-5

 

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL ESTRUTURAL III

Cap. IV – Escolha do traçado e da força

4.  Troços rectos junto às ancoragens. Raios mínimos A fim de facilitar a instalação das ancoragens e, consequentemente, minimizar possíveis erros na sua montagem, é usual prever troços rectilíneos com cerca de 1 m junto às ancoragens. No caso dos acoplamentos, o comprimento deve ser superior ao comprimento do funil, pelo que 1 m pode não ser suficiente.  Nas zonas z onas curvas, há também ta mbém raios mínimos a respeitar. Raios muito pequenos aumentam as forças de desvio e consequentemente as perdas por atrito. Um valor usualmente empregue é o que se obtém a partir da seguinte expressão:  Rmin  = 3 Puk 

[m], onde Puk   designa a força

última do cabo, expressa em [MN]. Por exemplo, para um cabo de 19 cordões da classeY1860   −6 S7 15.2, o raio mínimo será de: R = 3 1860 × 10 × 19 × 140 = 6.7 m;

 No quadro seguinte apresenta-se os raios mínimos para diferentes tipos de cabos obtidos a  partir da expressão acima: Quadro 4.1 – Raios mínimos

N.º de cordões

Rmin 

4

3

7

4

12

5

15

6

19

7

25

8

27

8

5.  Recobrimentos e afastamentos mínimos a) Recobrimento mínimo O traçado dos cabos é também limitado pela necessidade de respeitar recobrimentos e afastamentos mínimos. Como regra geral, o recobrimento mínimo a respeitar, c, é igual ao diâmetro da bainha, não precisando contudo ser superior a 80 mm [EC2 §4.4.1.2 (3) nota]. De acordo com o EC2 estes 80 mm são suficientes para garantir quer a protecção adequada do aço contra a corrosão, quer a transmissão eficaz das forças de aderência. b) Afastamento mínimo Como regra geral, o afastamento mínimo do cabo, a, é igual ao diâmetro da bainha. Para  pormenores ver EC2 §8.10.1 (3).

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IV-6

 

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Cap. IV – Escolha do traçado e da força

c c

 

a

AD ADMI MISS SSÍV ÍVEL EL

Recobrimento e afastamento

NÃO NÃO ACON ACONSE SELH LHÁV ÁVEL EL

Agrupamento de cabos

 

Fig. 4.9 – Recobrimento, afastamento e agrupamento de baínhas

c) Agrupamento de bainhas. Pese embora a necessidade de respeitar afastamentos mínimos, é admissível agrupar cabos. O agrupamento está, contudo, limitado a dois cabos, e na vertical (figura 4.9). Compreende-se que o agrupamento na horizontal não seja aconselhável. Tal conduz a uma redução substancial na largura da alma, o que diminui a resistência das bielas de betão e consequentemente a resistência ao esforço transverso. Por outro lado, o agrupamento na horizontal prejudica a vibração do betão com a consequente possibilidade de formação de “chochos” debaixo dos cabos. Relativamente ao agrupamento na vertical, embora seja admissível, se se poder evitar melhor.  Na verdade, existe a possibilidade de, ao injectar um cabo, passar calda para o cabo adjacente, adjac ente, o que poderia trazer dificuldades na injecção deste.  No que se refere às ancoragens, é necessário prever espaço suficiente para instalá-las, tendo em conta que as hélices que normalmente as acompanham, têm de ter, elas próprias, recobrimentos aceitáveis. Também, sempre que possível, deve-se evitar que fiquem muito  próximas, pois quanto mais próximas estiverem, esti verem, maior é a resistência exigida ao betão à data de aplicação de pré-esforço. Convém referir ainda que as dimensões dos elementos estruturais devem ser estabelecidas de forma a que seja possível alojar os cabos e ancoragens de maneira folgada. As limitações de espaço podem conduzir a traçados complicados, mais difíceis de materializar e com maiores  perdas por atrito. Aliás, as dimensões dos elementos estruturais são condicionadas muitas vezes, não por razões de resistência necessária, mas, justamente, pelo espaço mínimo necessário à instalação do pré-esforço.

6.  O traçado dos cabos e processo construtivo O traçado dos cabos está intimamente associado ao processo construtivo. Por exemplo, o traçado de cabos a adoptar num viaduto construído tramo a tramo é totalmente diferente do traçado a adoptar num viaduto construído por avanços em consola. Estes aspectos serão desenvolvidos em pormenor na cadeira de Pontes e Viadutos.

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IV-7

 

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL ESTRUTURAL III

Cap. IV – Escolha do traçado e da força

7.  Escolha da força de pré-esforço a aplicar O critério para definir a força de pré-esforço a aplicar varia, mas o mais comum é o que tem  por base o anulamento de tensões de tracção trac ção (estado limite de descompressão). Assim, o valor de pré-esforço é estabelecido de forma a anular as tensões de tracção nas fibras extremas que ficariam traccionadas se não houvesse pré-esforço. A combinação a usar será a quase  permanente ou a frequente, dependendo da agressividade do meio ambiente. De acordo com o EC2 tabela 7.1 N, se a classe de exposição ambiental for do tipo XC2, XC3 ou XC4, a descompressão deve ser garantida para a combinação quase permanente. Se a classe de exposição for XD1, XD2, XS1, XS2 ou XS3, a descompressão deve ser garantida  para a combinação frequente. A experiência tem mostrado que, garantida a descompressão para a combinação quase  permanente de acções, a segurança aos restantes estados limites de serviço fica em geral satisfeita. Também em relação aos estados limites últimos as armaduras passivas necessárias, ou são as mínimas, ou um pouco superiores. Portanto, do ponto de vista dos estados limites, fixar a força de pré-esforço de forma a anular as tracções para uma combinação quase  permanente, é um critério racional e económico. Garantir a descompressão para uma combinação frequente ou superior só se justifica em casos de elevada agressividade do ambiente. Em casos especiais, dependendo do objectivo por que se adopta pré-esforço, pode haver conveniência em adoptar outros critérios, como seja o anulamento de um esforço (momento flector, esforço transverso ou esforço normal), anulamento de uma flecha, etc. Estes critérios alternativos conduzem normalmente a valores superiores de pré-esforço.  No ponto 1 deste capítulo, vimos como calcular o pré-esforço necessário à verificação da segurança ao estado limite de descompressão – expressão (4.2). Visto que o pré-esforço vai diminuindo ao longo do tempo, o pré-esforço assim calculado deve ser encarado como o préesforço a longo prazo, P∞ . Torna-se necessário calcular, pois, as perdas diferidas e instantâneas (assunto a tratar no capítulo VII) de forma a calcular a força de esticamento, Pmax. O valor máximo da tensão de esticamento,

σ  p,max,

é fixado pelos regulamentos, pelo que,

conhecida a força de esticamento, a área de pré-esforço é calculada por  A p = Pmax / σ max. Uma vez definida a área de pré-esforço escolhe-se o n.º de cordões e, bem assim, o n.º de cabos. Por razões económicas, deve-se, sempre que possível, escolher cabos que utilizem toda a capacidade das ancoragens disponíveis no mercado. A capacidade das ancoragens é muito idêntica entre os diferentes sistemas comerciais de pré-esforço. Quase todos eles têm ancoragens para 4, 7, 12, 15, 19, 22, 27 e 31 cordões. Suponhamos, por exemplo, que o cálculo conduziu a cabos de 18 cordões. Num caso assim é preferível adoptar cabos de 19 cordões, pois, nessas circunstâncias, o dono de obra terá sempre de pagar uma ancoragem com capacidade para 19 cordões e seria desperdício não aproveitar a total capacidade da ancoragem. O ligeiro aumento de pré-esforço pode ser compensado com uma correspondente diminuição de armadura passiva. Setembro de 2007

IV-8

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL ESTRUTURAL III

 

Cap. IV – Escolha do traçado e da força

Relativamente à tensão de esticamento, O REBAP artigo 36.º fixa os valores máximos da tensão a aplicar num cabo em 0.75 do valor característico da tensão de rotura ( f  pk ) ou 0.85 do valor característico da tensão limite convencional de proporcionalidade a 0.1% ( f  p0.1k ), escolhendo-se o menor dos dois. O EC2 §5.10.2.1 subiu esses limites para, respectivamente, 0.80 e 0.90, podendo este último subir para 0.95, caso a precisão nos equipamentos de medição seja de pelo menos ±5%. Isto sem dúvida reflecte um aumento de confiança na qualidade dos aços produzidos.

Exemplo  4.1  – Vamos especificar a tensão de esticamento para um aço da classe Y1860, fabricado segundo a norma EN 10132. De acordo com esta norma, esse aço terá  f  p0.1k  = 1600 MPa. Assim, tem-se Segundo o REBAP:

σ  p ,max

⎧0.75 ×1860 = 1395⎫ = min ⎨ ⎬ = 1360  MPa ⎩0.85 × 1600 = 1360 ⎭

Segundo o EC2:

σ  p ,max

⎧0.80 × 1860 = 1488⎫ = min ⎨ ⎬ = 1488  MPa; 0 . 9 0 1 6 0 0 1 4 4 0 × = ⎩ ⎭

Há, no entanto, uma característica dos aços que não recebe normalmente muita atenção. Diz respeito ao limite elástico, isto é, a tensão correspondente ao início da curvatura no diagrama

σ-ε. Uma leitura atenta aos diagramas reais dos aços mostra que este limite se situa entre 0.85 e 0.90 de  f  p0.1k . Isto significa que os valores estipulados pelo EC2 estão claramente próximos do limite elástico, podendo até ultrapassá-los. Ora, como é do bom senso, não é bom que se ultrapasse o limite elástico, pois isso tenderia a aumentar os alongamentos medidos, com as consequentes dificuldades de interpretação que isso traria. A tensão de esticamento deve sempre ser especificada no projecto de execução. Todavia,  pelas razões apontadas acima, é prudente especificar especific ar no projecto uma tensão infe inferior rior ao limite máximo recomendado no EC2, deixando uma margem para a eventualidade de, em obra, ser necessário aplicar alguma sobretensão nos cabos a fim de compensar eventuais perdas por atrito que venham a ser superiores às previstas. Juntamente com os aspectos mencionados acima, deve-se levar em conta o facto de ser muito difícil garantir que os cordões dum mesmo cabo tenham a mesma tensão. Haverá sempre cordões com tensão inferior e outros com tensão superior em relação ao valor médio aplicado. Isto acontece por 3 razões principais: por um lado as cunhas do macaco que agarram os cordões podem não possuir o mesmo grau de aperto inicial o que faz com que os cordões não comecem a ser esticados ao mesmo tempo. Por outro lado, os cordões dentro da bainha  poderão possuir folgas diferentes, o que também contribui para que comecem a receber r eceber tensão de modo diferenciado. Finalmente, pode acontecer que os cordões dum mesmo cabo  pertençam a bobines com módulos de elasticidade diferentes, o que também vai influenciar influencia r a tensão que cada cordão recebe. Assim, se estivermos a trabalhar com uma tensão muito  próxima do limite elástico, el ástico, é muito provável que alguns dos cordões fiquem com uma tensão superior a esse limite. Setembro de 2007

IV-9

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL ESTRUTURAL III

 

Uma vez definida a tensão de esticamento,

σ  p,max

Cap. IV – Escolha do traçado e da força

, é necessário efectuar as seguintes

verificações: a)  A tensão nos cabos após perdas instantâneas,

σ  p 0 ( x ) ,

não deve exceder os seguintes

valores [EC2 §5.10.3 (2)]: σ  p 0 ( x )

0.75 f  pk 

≤ ⎨⎧⎪   0.85  f   p 0.1k  ⎪⎩

 b)  A tensão de compressão no betão, no momento da aplicação do pré-esforço não deve exceder o seguinte valor [EC2 §5.10.2.1 (5)] σ c 

≤ 0.60 fck (t )  

Onde  f cck  k (t ) designa o valor característico da resistência à compressão do betão no momento de aplicação do pré-esforço (idade t ). ).

8.  Cálculo de tensões em secções de betão pré-esforçado A verificação da segurança de um elemento pré-esforçado passa quase sempre pelo cálculo de tensões. Se, para a combinação de acções em causa, a secção estiver totalmente comprimida, ou se, havendo tracções, estas forem inferiores ao valor médio da resistência do betão à tracção,  f ctm ctm, o calculo das tensões será feito em fase não fendilhada, descontado os vazios correspondentes à eventual existência de cabos ainda não aderentes (não injectados). Note-se,  porém, que se ignoramos tais vazios estaremos estaremos do lado da segurança do ponto de vista da descompressão, pois as compressões que se obtêm desprezando os vazios são inferiores às compressões reais. Salienta-se ainda o facto da presença das armaduras passivas ser desfavorável do ponto de vista da descompressão, e isto por duas razões principais. Primeiro, porque parte da compressão devida ao pré-esforço é absorvida pelas armaduras, pelo que as tensões de compressão que se obtêm desprezando a sua presença, são superiores às reais, e, portanto, contra a segurança. Segundo, as armaduras passivas tendem a opor-se aos efeitos diferidos (retracção e fluência), o que faz diminuir a compressão do betão. Assim, se desejarmos calcular as tensões com maior rigor, deve-se levar em conta a presença das armaduras, calculando as tensões em secção homogénea. Para este efeito, o valor do coeficiente de homogeneização

α  =  =

E s /E c deverá reflectir a influência da duração das acções

sobre o valor do módulo de elasticidade do betão. Nos casos correntes poderá considerar-se α   = 18 para acções permanentes a longo prazo e α  =   = 6 para acções permanentes a curto prazo e acções variáveis (REBAP artigo 69.º). Note-se que a influência da duração das acções pode ser tida em conta de forma simplificada substituindo o modulo de elasticidade  E c  por  E c / (1 + ϕ ), pelo que o coeficiente de homogeneização, variável ao longo do tempo, será dado  por α  =  = E s /E   /E c×(1+ϕ ))..

Setembro de 2007

IV-10

 

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL ESTRUTURAL III

Cap. IV – Escolha do traçado e da força

Em algumas aplicações, porém, desprezar a presença das armaduras é compensado ao se desprezar também os vazios correspondentes às bainhas não injectadas, pelo que a tensão calculada desse modo simplificado pode ser ainda aceitável.

Setembro de 2007

IV-11

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL ESTRUTURAL III

 

Cap. IV – Escolha do traçado e da força

*** Problemas propostos *** Problema 4.1 (Estudo das parábolas) Relativamente ao cabo esquematizado na figura seguinte: 4

3

0

        8         0   .         0

        2         4   .         0

        8         0   .         0

4.00

1.00 Recta

6

        7         6   .         0

        3       y

2

1

        5       y

1.50

3.50

5

1.00

        2         4   .         0

1.00 Recta

  a)  Determine a tangente em “0”  b)  Escreva a equação da parábola 0-1 c)  Determine as cotas y3 e y5 d)  Determine os raios de curvatura das parábolas 3-4 e 4-5.

Problema 4.2 (Escolha do traçado dos cabos) Considere a viga representada na figura:  

q

g

20.00

5.00

Características mecânicas da secção:

 A = 0.41 m 2

vs = 0.39 m

4

 I  = 0.04 m

vi = 0.61 m

 

As acções são as seguintes:

• Permanentes:

g = 25 KN/m (peso próprio incluído)

• Variáveis

q = 5 KN/m (ψ 0 = 0.70;

ψ 1 =

0.50

ψ 2 =

0.30)

a)  Proponha um traçado de cabos ajustado às cargas permanentes. Considere que o diâmetro das bainhas é de 60 mm. Justifique as opções que tomou.  b)  Determine o pré-esforço mínimo nas secções de vão e apoio por forma a anular as tensões de tracção devidas à combinação frequente de acções. c)  Que modificações introduziria ao traçado proposto caso desejasse aumentar o deslocamento na extremidade da consola devida ao pré-esforço?

Setembro de 2007

IV-12

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL ESTRUTURAL III

 

Cap. IV – Escolha do traçado e da força

Problema 4.3 (Características mecânicas das secções; secção homogénea) Seja a secção representada na figura: 2.50

        0         0   .         1

        2         1   .         0

2 cabos 7 cordões cada 4Ø20 AREA DE CADA CORDÃO: 1.4 cm2

        0         5         1         0   .   .         0         0

0.30

DIÂMETRO DAS BAÍNHAS: 6 cm

  a)  Determine as características mecânicas da secção (c.g., área e inércia) considerando a secção bruta de betão (i.e. ignorando a existência de cabos de pré-esforço e armaduras  passivas).  b)  Determine as mesmas características, mas agora em secção homogénea: 1)  curto prazo e bainhas ainda não injectadas; 2)  curto prazo e bainhas injectadas; 3)  longo prazo e bainhas injectadas. Adopte para o coeficiente de homogeneização, respectivamente curto e longo prazo.

α ,

os seguintes valores: 6 e 18,

Problema 4.4 (Cálculo de tensões em secções de betão armado pré-esforçado) Considere uma viga simplesmente apoiada com 23 m de vão. A secção da viga é a secção indicada no problema 4.3 e as acções são as seguintes:

−  Peso próprio ( P0 = 1200 KN/cabo; P∞  = 1025 KN/cabo) −  Pré-esforço: −  Restante carga permanente: 5 KN/m

−  Sobrecarga:

15 KN/m (ψ 0 = 0.60;

ψ 1 =

0.40;

ψ 2 =

0.30)

a)  Determine a tensão na fibra inferior a longo prazo, a meio vão, devida à combinação quase permanente de acções, nas seguintes situações: 1)  considerando a secção bruta de betão, isto é, desprezando a presença dos cabos de pré-esforço e armaduras passivas; 2)  considerando as característica da secção homogénea determinadas no problema 1.1. Considere que a aplicação da restante carga permanente dá-se após injecção das bainhas.

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Cap. IV – Escolha do traçado e da força

 b)  A consideração de um coeficiente de homogeneização superior a 6 pretende traduzir que efeito? c)  Descreva a influência da presença das armaduras passivas no calculo de tensões em secções de betão armado.

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Cap. V – Execução do pré-esforço

Cap. V – Execução do pré-esforço 1.  Introdução

Este capítulo abordará essencialmente aspectos práticos ligados à execução do pré-esforço por  pos-tensão. Recorda-se que as duas técnicas principais de pré-esforço são a pré-tensão e a  pos-tensão. Conforme Conforme já referido, na pré-ten pré-tensão são o pré-esforço é aplicado antes da betonagem e na pos-tensão o pré-esforço é aplicado depois da betonagem. A técnica da pré-tensão é usada sobretudo nas estruturas pré-fabricadas e consiste  basicamente em esticar os aços de pré-esforço e em seguida betonar a viga. Logo que o betão ganhe resistência suficiente, os macacos são libertados, transmitindo-se a força de pré-esforço ao betão. A transmissão da força ao betão dá-se integralmente por aderência, não havendo qualquer necessidade órgãos de amarração nas extremidades. Os betões usados são normalmente de elevada resistência e sujeitos a tratamento térmico de vapor, o que conduz a endurecimentos do betão mais rápidos, possibilitando aplicar o pré-esforço algumas horas após a betonagem.  Na pré-tensão os aços a utilizar poderão ser tanto fios como cordões. Se se desejar que alguns dos cordões só transmitam pré-esforço a partir de um certo comprimento da extremidade, deverão ser embainhados nesse comprimento. Na pos-tensão, técnica que requer órgãos de amarração nas extremidades (ancoragens), é usado o aço em cordão e o aço em barra. Concentremos agora a nossa atenção na execução de obras com pré-esforço por pos-tensão. 2.  Projecto de aplicação de pré-esforço

Certos pormenores de execução do pré-esforço dependem do sistema comercial de préesforço, normalmente desconhecido na fase de elaboração do projecto de execução da obra. Isto obriga a que depois de adjudicada a obra e conhecido o sistema comercial de pré-esforço, se elabore um projecto de detalhe, conhecido como projecto de aplicação de pré-esforço. Este projecto, da responsabilidade do empreiteiro ou do sub-empreiteiro que executará o préesforço, adapta o projecto de execução ao sistema de pré-esforço específico e contém informação pertinente à execução, designadamente: designadamente: −  definição do traçado dos cabos, quer em perfil, quer em planta, com indicação das cotas de montagem, em geral de metro a metro; inequívoca de todos os cabos, a fim de facilitar os registos; −  identificação inequívoca −  definição da geometria geometria dos nichos junto às ancoragens, função das dimensões dimensões do macaco; −  calculo dos alongamentos teóricos dos cabos; −  calculo e pormenorização das armaduras a dispor junto às ancoragens; Setembro de 2007

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Cap. V – Execução do pré-esforço

− 

definição da resistência mínima do betão à data de aplicação de pré-esforço; −  definição da sequência de tensionamento.  No Anexo E mostra-se um desenho contendo os elementos habituais que constam num  projecto de aplicação aplicação de pré-esforço. 3.  Processo construtivo

A aplicação do pré-esforço por pos-tensão segue normalmente a seguinte sequência de operações: 1.º – montagem das bainhas e ancoragens em conjunto com as armaduras passivas; 2.º – enfiamento do aço; 3.º – betonagem; 4.º – aplicação do pré-esforço logo que o betão ganhe resistência suficiente; 5.º – desmoldagem; 6.º – injecção das bainhas e selagem dos nichos de ancoragem; A aplicação da força de pré-esforço é feita através de macacos accionados por bombas hidráulicas. A figura seguinte mostra um macaco de pré-esforço a ser posicionado no cabo e uma bomba com as respectivas mangueiras ligadas ao macaco.

Fig. 5.1 – Macaco e bomba de pré-esforço

Durante a aplicação de pré-esforço nenhum operário deve estar atrás do macaco. Se a ancoragem da outra extremidade do cabo também for do tipo activo, também ninguém deve  permanecer atrás dela, dela, especialmen especialmente te se o cabo fo forr curto. A figura 5.2 mostra a sequência de operações envolvidas na preparação do macaco.

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Fig. 5.2 – Sequência de operações na preparação do macaco (procedimento CCL)

 

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Cap. V – Execução do pré-esforço

Para uma correcta aplicação do pré-esforço devem ter-se os seguintes cuidados: − 

deve-se eliminar todas as rebarbas de betão que possam existir na face da ancoragem  por forma a garantir um bom apoio do nariz nariz do macaco;

− 

antes de iniciar o esticamento, deve-se verificar que o êmbolo de aperto das cunhas está completamente recolhido. Se não não estiver durante esticamento, as cunhas da ancoragem vão completamente abrir devidamenterecolhido o que causará atritoo naquela zona e, consequentemente, uma deficiente aplicação da força.

− 

a primeira leitura deve ser efectuada a uma pressão suficientemente elevada por forma a garantir que foram vencidas todas as folgas do cabo e que o macaco se encontra  perfeitamente solidário com a ancoragem; caso contrário, corre-se o risco de registar um falso alongamento. Regra geral, este objectivo é conseguido se o primeiro patamar não for inferior a um quarto da pressão final nem a 80 bar.

− 

o macaco não deve ter nenhum ponto de contacto lateral. Deve estar completamente livre, pois, de contrário, haveria o risco de aplicar a força excentricamente e, em consequência, consequênc ia, partir o betão junto à ancoragem, ou partir a própria ancoragem.

− 

As cunhas do macaco devem ser colocadas e apertadas com idêntico aperto, o que contribuirá para uniformização da força nos diferentes cordões que compõem o cabo.

4.  Controlo da aplicação do pré-esforço

Antes da aplicação do pré-esforço em obra é elaborado um boletim de tensionamento, também conhecido como protocolo de tensionamento, e nele devem constar todas as informações pertinentes à operação, nomeadamente: −   pressão a aplicar aplicar em cada cab caboo (em geral aplicada em patamares); −  alongamentos teóricos; −

técnicas das bobines usadas (modulo de elasticidade e áreas dos   características cordões); −  referência do macaco a usar. A aplicação do pré-esforço por patamares e os consequentes consequentes registos intermédios é importante  porque possibilita observar observar a evolução do alongamen alongamento. to. O operador experiente aperceb apercebe-se e-se de qualquer evolução anormal mesmo antes de chegar ao último patamar. Se tal acontecer ele interrompe os trabalhos e só avança depois de esclarecer o que está a acontecer. Para esse efeito, alguns aplicadores de pré-esforço prevêem um patamar próximo do último (95% por exemplo) designado por patamar de alerta, no qual se determina o alongamento até então obtido e se verifica se está dentro do que é espectável.  Note-se que aplicar mais força a um cabo já esticado não levanta quaisquer dificuldades, mas o mesmo já não acontece se houver necessidade de retirar força a um cabo. Destensionar um cabo é uma operação difícil e delicada.

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Cap. V – Execução do pré-esforço

Se no final da aplicação do pré-esforço verificarem-se desvios significativos entre alongamento teóricos e medidos, o registo das leituras patamar a patamar é de muita ajuda em determinar a causa, ou causas, por detrás desses desvios. Com a finalidade de se garantir que o pré-esforço foi correctamente aplicado, duas grandezas devem ser controladas: a força a aplicar e o alongamento obtido. Controlo da força aplicada

A força aplicada é uma força controlada, na medida em que o equipamento usado está sujeito a calibração periódica, em geral anual, em organismo credenciado e independente. O cálculo da pressão final a aplicar em cada cabo deve ser efectuado com base no certificado de calibração emitido por tal organismo. A calibração a efectuar dirá respeito ao conjunto macaco-bomba, pelo que o certificado de calibração já contempla as perdas internas do equipamento. Se desejarmos efectuar uma estimativa da pressão a aplicar na bomba de óleo,  podemos admitir admitir 4% de perdas internas. Assim, se Pmax for a força a aplicar no cabo e se A for a secção do êmbolo do macaco, a pressão a aplicar pode ser estimada pela expressão:  p = Pmax / ( 0.96 × A ) . Controlo do alongamento 

A garantia de que a força aplicada foi a prevista não é suficiente para se ter a certeza de que se aplicou o pré-esforço correctamente. A garantia de que a força aplicada foi a prevista apenas nos assegura que a força junto à ancoragem está correcta, nada nos garantindo que a força ao longo do cabo é a pretendida. Eventuais anomalias no cabo, tais como obstrução na bainha, erros de montagem, etc., só são detectadas quando se compara o alongamento medido com o teórico. Torna-se pois necessário medir o alongamento em obra e compará-lo com o alongamento teórico. Desvios entre alongamentos medidos e teóricos são inevitáveis por variadas razões. No entanto tais desvios devem ser inferiores à tolerância previamente estabelecida. O MC90 (§11.7.2), sugere que se aceite um desvio de 15% para um cabo individual, desde que o desvio médio para os cabos da mesma secção seja inferior a 5%. A medição dos alongamentos é feita directamente sobre o êmbolo do macaco, ou, em alternativa, pela leitura do deslocamento da extremidade dos cordões. Visto que a posição inicial do êmbolo é registada com o cabo já em tensão (1.ª leitura), dada a necessidade de vencer todas as folgas que haja no cabo, o alongamento total é calculado por extrapolação do deslocamento do êmbolo entre a 1.ª leitura e a última, ou seja: ∆l medido =

d  f 

− d i

 p f  −  pi

 p f   

onde d  f   e d i  representam as posições do êmbolo na primeira e última leitura, e  p f   e  pi  as correspondentes pressões na bomba de óleo.

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Sugere-se que a leitura dos alongamentos nas operações de retensionamento seja feita  preferencialmente sobre os cordões. Estes alongamentos, por serem mais pequenos, são mais susceptíveis a desvios, exigindo um rigor acrescido na sua medição. A medição do alongamento directamente sobre os cordões é mais rigorosa na medida em que não é afectada  por eventual escorregamento das cunhas do macaco nem afectada pelo alongamento do troço do cabo no interior do macaco.  Na figura seguinte mostra-se um exemplo dum caso em que o alongamento foi medido directamente sobre os cordões, com auxílio de uma pintura.

Fig. 5.3 – Pintura nos cordões para leitura directa d irecta do alongamento

Sempre que surgirem diferenças significativas entre os alongamentos medidos e teóricos é da máxima importância procurar a razão e nunca tentar esconder tais diferenças. Se o problema não for devidamente detectado e esclarecido, provavelmente irá repetir-se. De seguida, alistam-se causas possíveis que podem estar na origem de diferenças importantes entre alongamentos medidos e teóricos: Quando o alongamento medido é substancialmente inferior ao previsto: a) Causas mais prováveis elasticidade real do aço e/ou área supe superiores riores às do projecto; −  modulo de elasticidade −  montagem do cabo com desvios superiores aos do projecto; −  montagem deficiente da ancoragem, causando forte atrito e, consequentemente,  perdas de tensão tensão no aço;  b) Outras causas possíveis: −  erro de calculo da pressão a aplicar, e/ou equipamento descalibrado; −  aplicação por parte do operador de uma pressão inferior à prevista; −  erro no calculo do alongamento teórico; −  corrosão acentuada do aço e/ou bainhas, aumentando o atrito;

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Quando o alongamento medido é substancialmente superior ao previsto: a) Causas mais prováveis elasticidade real do aço e/ou área inferiores ààss do projecto; −  modulo de elasticidade −  montagem do cabo com desvios inferiores aos do projecto; (por exemplo, os  pontos cota mais alta poderão estar a uma cota inferior, o que acarretará desvios de inferiores) −  deslizamento das cunhas do macaco e/ou da ancoragem passiva; − 

 patamar inicial com pressão insuficiente para ajustar o cabo no interior da  bainha e/ou ajustar ajustar o macaco ccontra ontra as ancorag ancoragens. ens.

 b) Outras causas possíveis: −  erro de calculo da pressão a aplicar, e/ou equipamento descalibrado; −  aplicação por parte do operador de uma pressão superior à prevista; −  erro no calculo do alongamento teórico; −  existência de óleo lubrificante em excesso (causa pouco provável). 5.  Injecção das bainhas

 No capítulo II foram referidas a composição das caldas de injecção injecção e as normas europeias que especificam os ensaios a realizar, os procedimentos de injecção e os parâmetros de aceitação. Faremos de seguida um breve resumo dos aspectos essenciais dessas normas e dos  procedimentos de injecção. O estudo da composição das caldas, a ser realizado antes dos trabalhos de injecção, deverá ser efectuado usando os mesmos materiais, equipamento e pessoal que executará as injecções. 5.1. 

Estudo da composição das caldas – ensaios a realizar

Estes ensaios poderão eventualmente ser dispensados, com o acordo prévio da fiscalização, caso se disponha de ensaios feitos no máximo 2 meses antes, usando constituintes semelhantes aos que se pretende utilizar, conforme refere a NP EN 446 §5.2. A aferição da composição das caldas (traço) é feita através dos seguintes ensaios: a) Ensaio de fluidez – método do cone de Marsh

Serão realizados dois ensaios 30 min depois da amassadura. Mede-se o tempo necessário  para o enchimento do recipiente de 1 L em segundos (com aproximação ao 0.5 s) em cada ensaio. O resultado será a média dos dois ensaios. Considera-se aceitável se a fluidez for no máximo 25 segundos.

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b) Ensaio de exsudação – método da proveta cilíndrica

O ensaio é feito após o ensaio de fluidez e com a calda da mesma amassadura. Começa-se  por verter calda até à altura aproximada de 150 mm ( h). Decorridas 3 h depois, mede-se a altura de água que refluiu à superfície ( h1). A exsudação é dada por: Exsudação = h1 /h×100%; A exsudação deve ser suficientemente baixa para evitar a segregação e a sedimentação. Considera-se aceitável se a exsudação for inferior a 2%. c) Ensaio de variação de volume – método da proveta cilíndrica

O ensaio consiste em verter calda até um nível h. Decorridas 24 h mede-se a altura h2. Variação de volume = (h2-h)  /h /h×100%; Considera-se aceitável se a variação de volume estiver compreendida entre -1% e +5%. d) Ensaio de resistência à compressão – método dos provetes cúbicos

Começa-se por encher os moldes, retirando-se imediatamente a calda em excesso usando uma régua metálica em posição ligeiramente inclinada e com movimentos de serra. A superfície superior da calda deve ser alisada com a régua em posição horizontal. Por fim, os moldes serão cobertos com chapa de vidro. A conservação e cura dos provetes até ao momento do ensaio será feita de acordo com a EN 196-1. De acordo com a prática adoptada no nosso pais, a resistência da calda é medida pelo rebentamento de 3 provetes cúbicos com 100 mm de aresta aos 28 dias de idade. A resistência média obtida nos 3 provetes deve ser superior ou igual a 30 MPa. Em alternativa, a resistência também pode ser aferida pelo rebentamento de 3 provetes aos 7 dias, não devendo a média ser, neste caso, inferior a 27 MPa. Para efeitos do ensaio de resistência das caldas devem ser preparados 6 provetes, devidamente numerados; 3 serão rebentados os 7 dias e os outros 3, aos 28 dias. 5.2. 

Procedimentos de injecção

 No decurso das injecções propriam propriamente ente ditas, serão feitos feitos os seguintes ensaios: ensaios:  –   um ensaio de fluidez por cada amassadura;  –   um ensaio de exsudação e outro de retracção/expans retracção/expansão ão por dia;  –    por cada tabuleiro injectado serão preparados 6 provetes cúbicos de 100 mm de lado  para posterior ensaio ensaio de resistência à compressão. Antes de cada operação de injecção será feita uma vistoria a todas as purgas para verificação do seu estado de desobstrução. As purgas deverão estar distanciadas no máximo de 50 m.

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Cap. V – Execução do pré-esforço

As bainhas serão limpas recorrendo a jacto de ar, seguido de jacto de água e novamente jacto de ar. Em tempo quente é especialmente importante a passagem do jacto de água a fim de humedecer a bainha, o que impedirá que a calda sofra perda prematura de água. Quanto a diferença entre a cota máxima e mínima do cabo for superior a 1.50 m, a injecção deverá ser feita a partir do ponto de cota mais baixa. Os limites de temperatura ambiente fora dos quais não se deve injectar são 5 e 30ºC. O limite máximo da temperatura de calda é de 35ºC. A pressão de injecção deverá situar-se entre 5 a 10 bar e a velocidade entre 5 e 15 m por minuto. À medida que a calda avança dentro da bainha proceder-se-á à obturação sucessiva das purgas. A obturação será feita quando a calda, à saída da purga, reflua sem vestígios de água ou bolsas de ar (figura 5.4). Após tamponamento da última purga, a pressão de injecção será mantida durante cinco minutos. Serão tomadas precauções no sentido de evitar qualquer saída acidental de calda.

Fig. 5.4 – Calda a refluir num tubo de purga no decurso da injecção

Por cada trabalho de injecção será preenchido um boletim de injecção, onde se regista, para além da composição da calda, os resultados dos ensaios realizados, a temperatura ambiente, a temperatura da calda, etc. Como última nota, refere-se que deverá existir em permanência equipamento de ar comprimido de reserva, bem como equipamento de jacto de água, ligado a fonte de alimentação independente. Se no decurso da injecção, ocorrer uma avaria, a calda entretanto injectada deverá ser rapidamente retirada usando este equipamento de reserva.

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Cap. V – Execução do pré-esforço

*** Problemas propostos ***  Problema 5.1 (Medição de alongamentos a partir do movimento do êmbolo)  No quadro seguinte reproduz-se um registo efectuado em obra durante o esticamento dum cabo de pré-esforço: Pressão na bomba Posição do êmbolo de óleo [bar] δ [mm] 100

85

200

161

200

53

300

129

415

216

δ

a)  a)  Determine o alongamento real do cabo.  b)  Suponha que o alongamento medido é substancialmente mais baixo do que o  b)  alongamento teórico. Faça uma lista de causas possíveis. c)  c)  Suponha agora que o alongamento medido é substancialmente superior ao teórico. Faça uma lista de causas possíveis. Observação – Conforme se observa no quadro, o patamar de 200 bar está repetido. Tal deve-

se ao facto de o curso do êmbolo não ser suficiente para se aplicar o pré-esforço de uma só vez. Assim, o que se faz é proceder à recolha do êmbolo num determinado patamar (200 bar no exemplo acima), aplicar seguidamente tensão até se atingir novamente esse patamar, registar a posição do êmbolo, e continuar a partir daí. Em geral o curso ( stroke em inglês) do êmbolo dos macacos é da ordem dos 200 a 250 mm.

Problema 5.2 (Controlo da aplicação do pré-esforço) Explique por que razão não chega controlar a força que se aplicou, mas é necessário controlar também o alongamento medido, comparando-o com o teórico.

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Cap. VI – Dimensionamento das zonas sob as placas de ancoragem  

1. Introdução Os modos de rotura possíveis junto às ancoragens de pré-esforço são essencialmente dois:

(1)  esmagamento do betão por excesso de compressão; (2)  fissuração paralela ao cabo por falta de armadura transversal. O dimensionamento das zonas de ancoragem envolve, por isso, (1) determinar a carga máxima a aplicar de forma a não esmagar o betão, ou o inverso, isto é, determinar a resistência que o betão tem de ter para suportar a força transmitida pela ancoragem e (2) determinar as tracções transversais que vão existir na zona da ancoragem, com base nas quais se determinam as armaduras necessárias. Antes de abordarmos esses dois problemas, veremos o conceito de distância de regularização. 2.  Distância de regularização

Chama-se distância de regularização, representada por lbp, à distância da extremidade do cabo a partir da qual se pode considerar que as tensões no betão, devidas ao pré-esforço, estão linearmente distribuídas, isto é, obedecem à conhecida equação da teoria das peças lineares: σ  =

 N   M   y +    A  I 

A partir dessa distância diz-se que as tensões devidas ao pré-esforço estão regularizadas. A distância de regularização pode ser estimada aplicando o princípio de S. Venant, segundo o qual a uma distância da aplicação da carga sensivelmente igual à dimensão da secção transversal, as tensões encontram-se linearmente distribuídas. Em alternativa pode-se utilizar as disposições constantes no EC2 §8.10.3, segundo as quais a distância de regularização a adoptar no caso da pos-tensão pode ser determinada admitindo que as forças de pré-esforço se difundem, a partir da ancoragem, no interior de um ângulo  β , definido conforme figura 6.1. A zona delimitada pelo comprimento de regularização é vulgarmente classificada como região D (D de descontinuidade). Existem outros tipos de descontinuidade, como sejam variações  bruscas de secção, secção, nós de pórticos, aberturas aberturas,, entre outros. Fora da zona D, D, a região classificase como região B (B de Bernoulli). Recordamos que a hipótese de Bernoulli, na qual assenta a teoria da flexão das peças lineares, admite que as secções se mantêm planas após deformação, o que conduz a uma variação linear de extensões na secção.

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Portanto, visto que na zona delimitada pelo comprimento de regularização não é valida a hipótese de Bernoulli, não é possível aplicar a teoria das peças lineares. Voltaremos a este assunto. lbp

 β 

2 ⎝ 3 ⎠

  ⎛   ⎞  β  =  arctg  β 

PLANTA

 β   β 

ALÇADO

 

Fig. 6. 1 – Definição de distância de regularização, l  bp (pos-tensão)

Para finalizar, refere-se apenas que no caso da pré-tensão, os elementos necessários ao cálculo da distância de regularização encontram-se no parágrafo §8.10.2 do EC2. 3.  Resistência mínima do betão à data de aplicação de pré-esforço

O cálculo da resistência que o betão tem de ter para suportar a força transmitida pela ancoragem no momento da aplicação do pré-esforço é em geral da responsabilidade da empresa que fornece o pré-esforço. Os documentos de homologação dos diferentes sistemas comerciais contêm disposições que tratam deste assunto, as quais resultaram dos ensaios experimentais obrigatórios para a concessão da homologação ou de uma Aprovação Técnica Europeia (ver capítulo I, 8 - Aprovação Técnica Europeia de sistemas de pré-esforço). O comportamento da zona junto à ancoragem depende da própria configuração desta. A ancoragem mais utilizada, e que se tem mostrado muito eficiente, tem formato cónico e é constituída por um ou mais anéis de transmissão de força. No capítulo I mostramos alguns desenhos com estas ancoragens. Vários estudos de investigação têm sido feitos no sentido de estudar o comportamento destas ancoragens e desses estudos têm resultado expressões analíticas que permitem estimar a carga máxima que essas ancoragens conseguem transmitir. Trata-se de uma área muito específica e, como dissemos acima, faz parte do campo de actuação das empresas fornecedoras de pré-esforço. Portanto, faremos aqui apenas algumas considerações de natureza geral. Aliás, o EC2, não tem elementos suficientes para tratar devidamente do problema, nem se esperaria que tivesse, em face da sua especificidade.

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As tensões no betão junto às ancoragens de pré-esforço são muito elevadas e só são suportadas pelo betão porque este encontra-se confinado. O confinamento do betão tem  basicamente duas origens: (1) confinamento induzido pelo betão envolvente e (2) confinamento induzido pelas armaduras de cintagem. Relativamente ao confinamento induzido pelo próprio betão, ele resulta do facto das dimensões da ancoragem serem inferiores às dimensões do elemento estrutural. Com efeito, as tensões transmitidas pela ancoragem tendem a espalhar-se, como se exemplifica na figura 6.2. Como se vê na figura, as compressões no betão são inclinadas, e é a componente horizontal destas compressões que confere o confinamento de que estamos a falar. (Ver EC2 §6.7).

Fig. 6. 2 – Confinamento realizado pelo betão

Relativamente ao confinamento realizado pelas armaduras, é intuitivo que a cintagem que estas induzem amplifica significativamente a carga de rotura. No EC2 o betão confinado é tratado no parágrafo §3.1.9. As disposições aí indicadas estão em harmonia com as do  Model Code  1990 (MC90), porém, estas últimas são mais detalhadas, pelo que o leitor se delas necessitar poderá recorrer ao MC90.

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4.  Calculo das armaduras específicas para tracções transversais

Conforme já referimos, sob a placa de ancoragem, as tensões de compressão no betão tendem a espalhar-se até ocuparem toda a área da secção transversal. A trajectória das compressões  principais tem o formato representado na figura junta. A curvatura das compressões obriga ao aparecimento de tensões transversais, tracções estas que deverão ser resistidas por armaduras transversais. F

F 

F 

σ y

     z

T 

F/ 2

F/ 2

 x

compressão tracção TRAJECTÓRIAS DAS TENSÕES PRINCIPAIS

TENSÕES TRANSVERSAIS NO EIXO DA PEÇA

MODELO DE TRELIÇA INTERPRETATIVO

 

Fig. 6. 3 – Elemento de betão sujeito suj eito a força concentrada

Conforme também já referimos, as regiões sujeitas a cargas concentradas enquadram-se na categoria das chamadas regiões D, nas quais não é aplicável a teoria das peças lineares. Assim, para o seu dimensionamento temos de recorrer a outros modelos, como por exemplo modelos de elementos finitos ou modelos de treliça. Estes últimos são conhecidos também como modelos de bielas-e-tirantes, ou, mais recentemente, por modelos de campos de tensões (stress fields). (Muttoni, A. et al., 1997). Qualquer destes métodos apresenta vantagens e desvantagens. O método dos elementos finitos em regime linear é facilmente aplicável e os resultados são praticamente imediatos. As dificuldades podem surgir na interpretação dos resultados, pois o cálculo das forças resultantes obriga à integração de tensões e, no caso de existirem tensões de corte conjuntamente com tensões normais, o cálculo pode tornar-se trabalhoso. Os modelos de treliça apresentam a grande vantagem de permitirem uma percepção clara do  percurso das cargas, e o cálculo das armaduras e a sua pormenorização ficam bastante facilitados. A dificuldade destes modelos reside no facto de nem sempre ser fácil desenvolver um modelo de treliça adequado, dado ser possível desenvolver vários modelos, todos eles equilibrados, mas que dão resultados muito diferentes, quer em termos de valores das resultantes, quer em termos das posições destas. Por exemplo, que braço  z se deve adoptar no modelo da figura 6.3? Repare-se que para cada valor de  z, obtém-se uma força diferente no tirante.

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É importante que o modelo de treliça não se afaste muito do percurso elástico das cargas, dado que isso nos dá a garantia de que o dimensionamento resultante é adequado em relação aos estados limites de serviço. Do ponto de vista dos estados limites últimos, a liberdade de escolha do modelo é um pouco maior, tendo em conta o teorema estático (ou teorema do limite inferior) da teoria da plasticidade. Como é evidente, se houver dúvidas sobre se o modelo é adequado ou não, sempre poderemos elaborar um modelo de elementos finitos (MEF) e, se for caso disso, modificar o modelo de forma a que a resultante das tracções se situe nas posições ditadas pelo MEF.  Nos pontos seguintes apresentam-se modelos de treliça para situações comuns que aparecem na prática. O valor do braço  z indicado, com base no qual se determinou a força no tirante, é  próximo do obtido em modelo elástico linear. Conhecida a força no tirante, a armadura é determinada pela expressão:  As  =

T sd   f syd 

 

Segundo o EC2 (§8.10.3), se limitarmos  f ssyd  yd  a 300 MPa, não é necessário verificar a abertura de fendas. O valor de dimensionamento da força transmitida pela ancoragem será calculado pela expressão: Fsd = γ  p Pmax   onde Pmax designa a força a aplicar na ancoragem. Segundo o EC2 §2.4.2.2 (3), o factor de segurança, γ  p, deve ser tomado com valor igual a 1.20 (era 1.35 segundo o REBAP 47.2º). 4.1. 

Caso de uma só força concentrada

a) Força dentro do núcleo central c F  a0

     z

        1

     a

a1 = 2 c  z ≅ a1 / 2

T 1 T1

  a0 ⎞ = 0.25× F ⎛  ⎜1 − a ⎟ 1 ⎠ ⎝ 

(EC2 §6.5.3)

a1

Fig. 6. 4 – Força única, aplicada dentro d entro do núcleo central

 

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b) Força fora do núcleo central c

e F  a0 T 0

T 1

        1

     a

  ⎛  a0 ⎞ T 1 = 0.25× F ⎜1 − ⎟ ⎝  a1 ⎠ a1 T 0

=

0.015   F  2e 1− b

T 0

(Leonhardt, 1979)

e 1  ⎞ = F ⎛  ⎜ − ⎟ 6  ⎠ ⎝  b (REBAP)

b

  Fig. 6. 5 – Força única, aplicada fora do núcleo central

4.2. 

Caso de 2 forças

a) Forças aplicadas sensivelmente a quartos da dimensão transversal c F

a0

F 

a0      z

        1

T 1

     a

T 1

a1 = 2  c  z ≅ a1 / 2   ⎛  a0 ⎞ T 1 = 0.25 × F ⎜⎝⎝ 1  − a1 ⎠⎟

a1

  Fig. 6. 6 – Caso de duas forças, aplicadas a quartos q uartos da dimensão transversal da peça

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b) Forças actuando próximas (l  <    > a2 / 2) l

c F 

F  a0

T 1

a1 = 2 c  z ≅ 0.6 l

T 0

        1

     a

     z

  ⎛ 1 − a0 ⎞ T 1 = 0.25 × F  ⎜ a ⎟ 1 ⎠ ⎝ 

a1

T0

   b ⎞ = 0.83 × F ⎛  ⎜1 − ⎟ ⎝  2l  ⎠

b

 

Fig. 6. 8 – Caso de duas forças, actuando afastadas uma da outra

Embora o modelo de treliça não permita tirar esta conclusão, a força no tirante T 2 é máxima na zona central, reduzindo-se sob a placa de ancoragem. Assim, se a armadura para esse tirante for prolongada até armadura à extremidade da peça aí convenientemente tirar partido de parte desta para efeitos doecálculo da armadura doamarrada, tirante T 1. pode-se

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4.3. 

Caso de 3 forças

a) Forças actuando próximas (l  <    > a2 / 3) l F 

l F 

F  a0  z ≅ 0.6 l

T 0

T 0

     z

 ⎞ ⎛  T 0 = 1.7× F ⎜1 − b ⎟ ⎝  3l  ⎠

b Fig. 6. 10 – Caso de 3 forças, actuando afastadas umas das outra

 

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4.4. 

Ancoragem embebida

A figura seguinte mostra as trajectórias das tensões principais que se desenvolvem numa peça com uma ancoragem intermédia, ou ancoragem embebida:

Fig. 6. 11 – Trajectórias das tensões principais associadas a uma ancoragem embebida (Leonhardt, 1979)

A análise da figura mostra a existência de tracções longitudinais atrás da ancoragem. Em regime elástico linear essas tracções são da ordem de 0.25 da força na ancoragem. Na figura seguinte mostra-se um possível modelo de treliça que discretiza os campos de tensões:

F/ 2

T 

T

⎧ ⎨ ⎩

≅ 0.25 F 

F 

F/ 2

  Fig. 6. 12 – Modelo de treliça para uma ancoragem embebida

4.5. 

Juntas de betonagem com cabos acoplados

As juntas de betonagem, associadas normalmente à construção por fases, permitem o esticamento dos cabos fase a fase. Em cada fase os cabos poderão ser acoplados aos cabos da fase anterior ou ser amarrados numa secção anterior à junta de betonagem. O EC2 §8.10.4 (5) recomenda evitar acoplar mais do que 50% dos cabos na mesma secção, a não ser que se demonstre que uma percentagem superior não traz risco acrescido para a estrutura. Refira-se que esta recomendação nem sempre é fácil de cumprir, dadas as limitações de espaço que normalmente existem. O problema que se levanta tem a ver com a possibilidade de as fibras extremas na junta de betonagem se encontrarem descomprimidas, e portanto com risco de fissuração, tal como se pretende ilustrar na figura seguinte:

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T

T

T

T

T

T

 

Fig. 6.13 - Descompressão Descompressão nas fibras extremas nas juntas de betonagem

Assim, uma vez que as fibras extremas tendem a ficar f icar descomprimidas, é necessário verificar,  para os esforços actuantes na vizinhança da junta de betonagem, se eventuais tracções que  possam existir não excedem a resistência à tracção do betão. Se excederem, pode ser necessário reforçar a armadura local, a fim de controlar a abertura de fendas. O reforço, caso seja necessário, deve ser localizado nas fibras extremas da secção, tal como ilustra a figura seguinte:

Fig. 6.14 - Localização preferencial de eventual armadura de reforço

Como é evidente, se as ancoragens estiverem bem distribuídas na secção e próximas das fibras extremas, em principio não é necessário tomar precauções especiais, uma vez que, nessas circunstâncias, toda a secção se encontra comprimida.

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4.6. 

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Maciços de amarração de cabos

Aparecem frequentemente, especialmente em pontes com viga-caixão, maciços destinados a tornar as ancoragens acessíveis ao esticamento. Para dimensionar as armaduras destes maciços, designados na literatura francesa por bossages , os modelos de bielas e tirantes são, novamente, bastante eficazes. A titulo de exemplo, a figura seguinte mostra o diagrama de corpo livre de um maciço de amarração para um cabo de 19 cordões, pondo em evidência as forças que o cabo exerce no maciço. Mostra-se também um possível modelo de bielas e tirantes. Se o modelo for isostático, o cálculo das forças nas barras pode ser feito com qualquer programa de estruturas e, além disso, os esforços não dependem das respectivas características mecânicas (área e modulo de elasticidade). As diagonais, usadas com a finalidade de tornar a estrutura isostática, devem ser escolhidas de forma a estarem comprimidas.

 2 2 5 0  2 2 5 0

  Fig. 6.15: Exemplo de uma bossage analisada com modelo de bielas e tirantes

Uma vez calculados os esforços nas barras, a pormenorização é imediata.

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4.7. 

Caso de secções formadas por banzos e almas

 No caso de secções secções formadas por banzos e aalmas, lmas, a migração de tensões tensões entre estes elementos origina tracções transversais. Uma maneira simples de determinar estas tracções é recorrer aos fluxos de corte nas interfaces entre os banzos e as almas. Estes fluxos são determinados facilmente por simples considerações de equilíbrio, considerando de um lado as forças concentradas e do outro as tensões regularizadas, tal como exemplificado na figura: F   L bp T 

σ (y )

Fc

V  v

 Lbp V  = v × Lbp Pe   P σ (y ) = ± y−  A I  

T  =

V  cot gθ 

 L bp

  Fig. 6.16: Determinação das tracções nas interfaces banzo-alma

De acordo com a figura, a área de armadura é dada por:  As

Tsd Vsd F sd =  f syd = f syd cot gθ = f syd cot gθ   

A força F sd  sd   pode ser calculada multiplicando a tensão no banzo pela área do banzo. As armaduras serão distribuídas em correspondência com o comprimento de regularização, lbp. De acordo com o EC2 §6.2.4 (4) o ângulo θ é escolhido entre os limites de 45º e 26.5º. Um valor usualmente empregue é 30º. 4.8. 

Outros casos

Conforme dissemos anteriormente, haverá situações em que teremos dúvidas na elaboração dum modelo de treliça adequado. Num caso assim, é vantajoso elaborarmos um modelo de elementos finitos e com base nele aferirmos o modelo de treliça.

= F 

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A figura seguinte mostra um exemplo em que houve necessidade de amarrar cabos de préesforço lateralmente à alma de uma viga.

Fig. 6 17– Geometria do maciço

A força de tracção existente entre as duas ancoragens foi determinada através do modelo de elementos finitos representado na figura seguinte: 4040 KN

4040 KN

Tensões transversais no eixo da peça Modelo de elementos finitos

Modelo de treliça

Fig. 6. 18– Modelo de elementos finitos e de treliça  

A força de tracção foi calculada por integração das tensões transversais obtidas, cujo diagrama também se representa na figura. A força obtida foi de 555 KN. A inclinação das  bielas no modelo de de treliça foi escolhida de forma a obter idêntica força.

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*** Problema proposto *** Problema 6.1 (Armaduras de reforço junto a ancoragens de pré-esforço) Considere as seguintes secções de extremidade de vigas pré-esforçadas, com as ancoragens aí indicadas:         0         4   .         0

        0         4   .         0

        0         4   .         0

        0         6   .         0

0.30x0.30 0.24x0.24

        0         8   .         0

0.30x0.30         0         3   .         1

0.40

0.40

12T15 C30/37 Y1860 S7

 

2x19T15 C35/45 Y1860 S7

        0         4   . 0

0.40

0.60

0.60

0.40

3x19T16 C35/45 Y1860 S7

0.40

  Determine e pormenorize as armaduras específicas para absorverem as tracções devidas às forças transmitidas pelas ancoragens. (1)

(2)

(3)

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Cap. VII – Perdas de pré-esforço

Cap. VII – Perdas de pré-esforço 1.  Introdução As perdas de pré-esforço dividem-se em dois grupos: perdas instantâneas e perdas diferidas. As perdas instantâneas são as que ocorrem durante a aplicação do pré-esforço e são de 3 tipos:

−   perdas por atrito; −   perdas por deformação instantânea do betão; −   perdas por reentrada dos fixadores. As perdas diferidas, já mencionadas no capítulo II, são também de 3 tipos:

−   perdas por retracção do betão; −   perdas por fluência do betão; −   perdas por relaxação dos aços.  Note-se que no caso da pré-tensão não existem perdas por atrito (se os cabos forem rectilíneos, obviamente) nem perdas por reentrada das cunhas. Designando o  pré-esfor  pré-esforço ço na origem  por Pmax , o pré-esforço após perdas instantâneas, chamado de pré-esforç  pré-esforço o inicial, P0 ( x  x), é definido da seguinte forma: P0 ( x  x) = Pmax – perdas instantâneas 

O pré-esforço no instante t  obtém-se   obtém-se subtraindo ao pré-esforço inicial as perdas diferidas que ocorrem até esse instante, ou seja: Pt ( x  x) = P0 ( x  x) –  perdas  perdas diferidas.

Como caso particular, o pré-esforço após perdas totais, designado por  pré-esfor  pré-esforço ço a longo  prazo ou pré-esfor  pré-esforço ço útil, P∞  ( x  x), é definido assim: P∞  ( x  x) = P0 ( x  x) - perdas diferidas totais

O EC2 denota o pré-esforço inicial por Pm0 em que o índice “m” denota valor médio. Nestes apontamentos omitiremos o índice m, ficando entendido que P0  e Pt   representam valores médios de pré-esforço, respectivamente após perdas instantâneas e após perdas diferidas no instante t . Antes de tratarmos das perdas uma a uma, recordamos que a tensão de esticamento não pode ser superior aos seguintes valores [EC2 §5. §5.10.2.1]: 10.2.1]: σ  p ,max

⎧⎪ 0.80 ×  f  pk  = min     ⎨ ⎪⎩0.90 ×  f  p 0.1k 

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Cap. VII – Perdas de pré-esforço

Conforme mencionamos no capítulo IV é prudente especificarmos no projecto um valor inferior a este. Uma das razões é que assim ficaremos com alguma folga para aplicar em obra uma eventual sobretensão caso se torne necessário compensar perdas de atrito não previstas.  Nestes σ 

 

 p ,max

apontamentos usaremos preferencialmente, para tensão de esticamento, = 0.75 f  , ficando desde já entendido que se não especificarmos a tensão de pk 

esticamento é este valor a usar. Algumas vezes, por conveniência de notação, denotaremos a tensão de esticamento por σ  p0’, em vez de σ  p ,max .

2.  Perdas instantâneas 2.1. 

Perdas por atrito

Quando se estica um cabo de pré-esforço, o contacto entre os cordões (ou as barras, se se tratar de pré-esforço em barra) é acompanhado por atrito, daí resultando uma perda e uma consequente diminuição da força ao longo do cabo. O pré-esforço será, portanto, máximo  junto à ancoragem ancoragem ac activa tiva e m mínimo ínimo junt juntoo à ancorage ancoragem m passiva passiva.. A figura seguinte mostra as diferentes forças que actuam no cabo, incluindo a força de atrito.

Força de atrito

  Fig. 7. 1 – Força de atrito cabo-baínha

2.1.1.  Lei de Coulomb Conforme sabemos, a força de atrito é calculada por uma lei empírica, conhecida como lei de Coulomb, dada por: F a = µ × N

em que µ  é  é o coeficiente de atrito e N   aa força de contacto entre as superfícies, normal a estas. O valor do coeficiente de atrito cabo-baínha depende do estado de corrosão e/ou lubrificação destes elementos e da percentagem de espaço da bainha ocupado pelos cordões. Também depende do valor da tensão de contacto entre as superfícies, embora isso seja usualmente desprezado. Valores típicos para o coeficiente de atrito cordão-baínha situam-se entre 0.19 e 0.20. No caso dos cordões auto-embainhados o valor típico é de 0.06.

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Cap. VII – Perdas de pré-esforço

2.1.2.  Formula de Euler Estudemos o equilíbrio de um troço de cabo de comprimento infinitesimal, ds. A figura seguinte mostra as forças que actuam no elemento de cabo:

d β dN  P

d β 2

d β 2

P+dp

dF  a ds

  Fig. 7. 2 – Forças actuantes num troço t roço de cabo de comprimento elementar

As forças dN  e  e dF a estão relacionadas pelo lei de Coulomb, vindo: dF a   =

dN   

(1) (2)

∑ F  = 0 ⇔ P − dF  − P − dp  = 0 ⇔ dF  + dp = 0    x

∑

F  y

a

=0 ⇔

A parcela dp

P

d  β 

2

a

− dN  + P 

d  β 

2

+  dp

d  β 

2

=0 ⇔

Pd β  − dN  = 0  

(3)

d  β 

, por se tratar de um infinitésimo de 2ª ordem é desprezável face aos 2 infinitésimos de 1ª ordem. Substituindo (1) e (2) em (3) e desenvolvendo esta ultima, vem: µ dN  + dp = 0

⇔

µ Pd  β   + dp = 0

⇔

dp

= − µ d  β 

P

Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem, facilmente resolúvel. Integremos esta equação entre dois pontos genéricos, 0 e 1: 1

dp

∫0 P

⎛P = ∫ − µ d β ⇔ ln( P1 ) − llnn( P0 ) = −µβ ⇔ ln ⎜⎜ 1 ⎝ P0 0 1

⎞ ⎟⎟ = − µβ   ⎠

 

onde  β   designa o angulo de desvio, ou ângulo ao centro, entre os pontos 0 e 1. Aplicando agora exponenciais a ambos os membros da equação acima, vem: P1 P0

= e − µβ  ⇔

 

P1

= P0 e − µβ   

A formula acima, conhecida como formula de Euler, permite calcular a força de pré-esforço num ponto de um cabo a partir de outro ponto onde se conheça a força de pré-esforço. A

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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VII – Perdas de pré-esforço

variação da força de pré-esforço segue, assim, uma lei do tipo exponencial. No entanto, como o argumento da exponencial, µβ , é, em muitas situações, muito pequeno, a variação é quase linear. O ponto 1 é o ponto mais afastado da ancoragem activa, daí que P1 < P0. Como é evidente, se quiséssemos calcular a força num ponto mais próximo da ancoragem activa a partir de um  ponto mais mais afastado, a formula de Euler tom tomaria aria a form forma: a: P0

= P1 e + µβ   

A formula de Euler pode também ser escrita na forma de tensões. Para tal, basta dividir ambos os termos da equação acima pela área do cabo, obtendo-se: σ 1

  − µβ  = σ    0e

Desvio angular unitário

Entre os pontos 0 e 1 vão existir inevitavelmente desvios, designados por desvios parasitas, devidos a:

−  deformação da bainha entre duas travincas consecutivas; −  deslocamento acidental no cabo na ocasião de betonagem; −  erros de montagem; Estes desvios angulares não intencionais dependem da rigidez das bainhas, da distância entre as travincas e da qualidade da execução dos trabalhos. Para ter em conta os desvios angulares não intencionais, define-se o chamado desvio angular unitário   ou coeficiente de perdas em linha  que mede o desvio angular por metro de cabo. Trata-se evidentemente de um parâmetro empírico. Valores usuais do desvio angular unitário, k , situam-se entre 0.005 e 0.01 rad/m. Assim, designando a distância entre dois pontos do cabo por s, medida ao longo deste, o desvio não intencional total entre esses dois pontos é igual a ks, desvio este que deverá ser adicionado ao desvio  β  para   para se obter o desvio angular total, e a formula de Euler passa a ter a forma:   −  µ ( β ( s )+ ks )

σ ( s) = σ 0 e

 

onde:

σ 0 e σ (s) – tensões nos pontos 0 e s. O ponto s é o mais afastado da ancoragem activa. µ  –  – coeficiente de atrito cabo-baínha;  β  –  – desvio angular entre os pontos 0 e s; k  –  – desvio angular unitário.

 No caso dos cabos com traçado espacial, conhecidos os desvios relativos às projecções do cabo em planos perpendiculares,  β  x e  β  y, o desvio total,  β , pode ser determinado por aplicação do teorema de Pitágoras:

 β  =   β  x2 +   β  y2  

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Cap. VII – Perdas de pré-esforço

Exemplo 7.1 – O diafragma de um viaduto é pré-esforçado com um cabo de 19 cordões de 15

mm (1.40 cm2 de área). A directriz do cabo é circular (R = 7.5 m) e o comprimento do cabo é de 9.60 m. Determine o valor do pré-esforço nos pontos 1 e 2 (ver figura junta), antes da reentrada das cunhas, admitindo que o cabo é esticado a uma tensão de 1395 MPa pela extremidade esquerda, e apenas por esta. s  = 9.60 m

1     m        0      5  .       7      =        R 

0

2

µ  = 0.20  

 

k  = 0.01 m-1

Resolução O ângulo de desvio entre 0 e 2 é  β  =  = s  /  R = 9.60 / 7.5 = 1.28 rad. Entre 0 e 1 é metade, ou seja, 0.64 rad. Aplicando a fórmula de Euler, vem:  

−0.20( 0.64+0.01×9.6 / 2 )

 

−0.20(1.28+0.01×9.6)

σ (1) = 1395 e

σ (2) = 1395 e

= 1215.7 MPa ;

= 1059.4MPa ; (entre 0 e 2 perdeu 24%!).

Para calcular as forças, basta multiplicar as tensões pela área do cabo: Assim: P(1) = 121.57×19×1.4 = 3234 KN; P(2) = 105.94×19×1.4 = 2818 KN; Observação – Visto que existe apenas um cabo não há lugar a perdas por deformação instantânea do betão. Conforme veremos, num caso assim, as perdas por deformação instantânea do betão são automaticamente compensadas pelo macaco durante o esticamento.

2.1.3.  Aplicação da formula de Euler ao caso de vigas com traçados parabólicos  No caso especifico do pré-esfor pré-esforço ço em vigas, os ângulos que o cabo faz com a horizontal, α , são, regra geral, pequenos, podendo efectuar-se as seguintes simplificações: -  O comprimento do cabo é sensivelmente igual à sua projecção no plano horizontal, ou seja: s ~ x  -  O ângulo α  é  é aproximadamente igual à sua tangente: α  ~  ~ tgα   Seja, então, o troço genérico de cabo com variação parabólica representado na figura:

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Cap. VII – Perdas de pré-esforço

 y  y = ax2 + bx + c

α 0

α 1

 x

  Fig. 7. 3 – Troço genérico de cabo com traçado parabólico

O ângulo de desvio entre as extremidades desse troço é igual a:  β  = α 1 − α 0 =  tgα 1 − tgα 0

=  y1' − y 0' = 2  ax1 + b − 2ax 0 − b = 2a( x1 − x 0 ) = 2ax ;

Substituindo este valor na fórmula de Euler, vem: σ 1 = σ 0 e− µ ( β + ks ) ~ σ 0 e− µ ( 2 ax + kx )

= σ 0e− µ ( 2a+ k  ) x ;

Designando o factor µ ((2 2a+k )  por por m, a que chamaremos  factor de atrito, a fórmula de Euler toma a forma: σ 1 = σ 0 e − mx  

com

m = µ ((2 2a+k ) 

O parâmetro a da parábola deve ser sempre tomado com valor positivo. O factor de atrito, m, é, assim, uma grandeza sempre positiva e constante ao longo de cada troço de parábola.  No caso do traçado ser constituíd constituídoo por mais do que um troço de parábola, é fácil de comprovar que, neste caso, a tensão no cabo é dada por: σ 1

−   |m ∆ x | = σ 0 e ∑   onde: i

i

-  mi = µ  (2ai+k ) – factor de atrito do troço parabólico i;  -  ∆ xi – comprimento (em pprojecção) rojecção) do troço i.   comprimento

2.1.4.  Calculo dos alongamentos  No ponto anterior vimos como calcular as tensões ao longo do cabo. As extensões na secção genérica s determinam-se pela lei de Hooke, ou seja:   σ ( s ) ε ( s  ) =   onde E  p representa o módulo de elasticidade do cabo.  E  p

O alongamento, ∆l, é calculado por integração das extensões, conforme segue:

∆l = ∫ ε ( s )ds = ∫

∫

σ ( s ) 1    ds = σ ( s ) ds ;  E  p  E  p

∫

O integral σ ( s )ds é igual à área do diagrama das tensões, conforme representado na figura que segue:

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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

σ ( s )

 

Cap. VII – Perdas de pré-esforço

Ω ∆l = Ω

 E  p

s

 

Fig. 7. 4 – Calculo do alongamento

O integral pode ser calculado numericamente, dividindo o intervalo de integração num certo número de subintervalos e usando a tensão média em cada subintervalo (regra dos trapézios).  Neste caso o integral transform transforma-se a-se num somatório somatório e o alongam alongamento ento é dado ppor: or:

∆l =

1

   E  p

∑ σ  

mi

∆s i   onde:

σ m mii – representa a tensão média no intervalo i, de comprimento si.

Exemplo 7.2 – Determinemos o alongamento do cabo do exemplo 7.1. considerando os dois

troços definidos, 0-1 e 1-2, vem: 1   ⎛ 1395 + 1215.7 1215.7 + 1059.4 ∆l = ×⎜ × 4.8 + × 4.8 ⎞⎟ = 60.1 mm; 195 ⎝ 2 2 ⎠

Como é evidente, se desejássemos calcular o alongamento com maior rigor deveríamos dividir o cabo num numero superior de troços.  No caso específico específico de vvigas igas com traçados pa parabólicos, rabólicos, o alongam alongamento ento é dado ppor: or:

∆l =

1

 x2

∫

 E  p  x1

σ ( x )dx =

1

 x2

∫

 

 E  p  x1

σ 0 e − mx dx = −

1 mE  p

[σ 0 e − ] = −  mx  x2  x1

1 mE  p

(σ ( x2 ) − σ ( x1 ) ) =

| ∆σ  | mE  p

 

 No caso do traçado do cabo ser constitu constituído ído por várias parábola parábolass em sucessão, o alongamen alongamento to do cabo é dado pela soma do alongamento de cada parábola, vindo:

∆l =

  |  ∆σ i |

1

∑  E   p

i

mi

 

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VII-7

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VII – Perdas de pré-esforço

Exemplo 7.3 – Considere o cabo de pré-esforço da figura junta. Admitindo que o cabo é

esticado a uma tensão de 1395 MPa pela extremidade esquerda, determine o alongamento do cabo, considerando que µ  =  = 0.20 e k  =  = 0.01 m-1.  A

B         6         4         8   .         0

        1         3   .         0

8.00

C         8         8   .         0

B'

A' 

        6         4         8   .         0

        1         3   .         0

2.00

8.00

  Resolução: -1

m = 0.20×(0 + 0.01) = 0.002 m .

Troço AB:

a = 0;

Troço BB’

a = y / x  = (0.88 – 0.846) / 1.00  = 0.034 m ;

2

2

-1

-1

m = 0.20×(2×0.034 + 0.01) = 0.0156 m .  A

 B C   B' 

 A' 

σ ( x)  

σ   A

σ   B

σ   B' 

σ   A'   x

σ  A = 1395 MPa;

 

σ  B = 1395×exp(–0.002 ×8) = 1372.9 MPa;

σ C’ = σ  B’ ×exp(–0.002 ×8) = 1309.6 MPa σ  B’ = σ  B ×exp(–0.0156×2) = 1330.7 MPa; | ∆σ i | 1 1  ⎛ 1395 − 1372.9 1372.9 − 1330.7 1330.7 − 1309.6 ⎞ ∆l = = + + ⎜ ⎟ = 126.6 mm    E p i mi 195 ⎝ 0.002 0.0156 0.002 ⎠

∑

Exemplo 7.4 – O cabo exterior indicado na figura seguinte é esticado a uma tensão de 1395

MPa pela extremidade esquerda.

        0         2   .         0

        6   .         0

4.80

8.00

4.80

 

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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VII – Perdas de pré-esforço

Considerando que na zona dos desviadores µ   = 0.06 e k   = 0, determine o alongamento do cabo de pré-esforço. Resolução: Fora da zona dos desviadores, isto é, nos troços livres do cabo, tem-se, evidentemente, µ  =  = 0 e k   = 0, pelo que, de acordo com a fórmula de Euler, a tensão do cabo é constante. Assim, a

tensão no cabo diminui apenas nos desviadores, conforme se mostra no esquema seguinte:

 β 

σ ( x) σ 0

σ 1

 β  σ1 = σ 0  e −µ  β 

 x

  Uma vez que em geral os desviadores são de pequeno comprimento, é admissível concentramos a perda de tensão num único ponto, como se mostra na linha a traço interrompido da figura. Introduzindo esta simplificação no nosso exemplo, tem-se: σ 1  = 1395 MPa; σ ( x)

σ 2  = 1395 × exp ( −0.06 × 0.167 ) = 1381 MPa;

σ 1

σ 2

σ 3  = 1381× exp ( − 0.06 × 0.167 ) = 1367

σ 3

MPa;  x  

Visto que a tensão é constante em cada troço, o alongamento de cada troço é igual a: ∆l = O alongamento total será a soma dos alongamentos dos 3 troços, ou seja:

∆l =

1

1 σ  L = (1395 × 4.80 + 1381× 8.00 + 1367 × 4.80 ) = 124.6mm   ∑  E  195 i i

 p

i

σ  L  E  p

 

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VII-9

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

2.2. 

Cap. VII – Perdas de pré-esforço

Perdas por reentrada das cunhas

Uma vez aplicado o último patamar de pressão no cabo, procede-se ao relaxamento do macaco, após o que os cordões voltariam a ocupar a posição original se não fossem impedidos  pelas cunhas junto à ancoragem (ou pelas porcas, no caso do pré-esforç pré-esforçoo em barra). Na fase de fixaçãodaí dosresultando cordões (ou dasperda barras) semprenoocorre certo escorregamento, ouseguinte: uma certa reentrada, uma de tensão cabo,um tal como se ilustra na figura δ r 

S = E     pδ r 

σ ( x) σ 0'

S    −mx σ ( x)  = σ  0' e

 x

0

λ 

 

Fig. 7. 5 – Perdas por reentrada das cunhas

 Na fase de reentrada das cunhas o atrito é favorável, visto se opor a tal movimen movimento. to. Assim, conforme se observa na figura acima, as perdas são máximas junto à ancoragem activa, diminuindo a partir daí até que se anulam a uma certa distância da origem. Esta distância designa-se por alcance das perdas por reentrada das cunhas e representa-se por λ . O valor da reentrada, δ rr ,  depende do sistema de pré-esforço. Se o macaco permitir o aperto das cunhas antes do relaxamento, o valor da reentrada é pequeno, entre 4 a 6 mm. Se o aperto das cunhas se der por arrastamento do cordão, o valor da reentrada pode ser significativo,  podendo atingir valores da ordem dos 10 ou 15 mm, ou mais, dependendo do sistema. sistema. No caso das barras a reentrada a considerar é de cerca de 1 mm. Recomenda-se que se faça pelo menos uma leitura da reentrada das cunhas e se registe o valor no boletim de tensionamento, especialmente se o macaco não permitir o aperto das cunhas antes do relaxamento. Infelizmente, não é prática corrente efectuar este registo. Conforme veremos, o controlo da reentrada das cunhas assume particular importância no caso dos cabos curtos, pois as perdas de tensão nestes cabos são relativamente grandes.

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VII-10

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VII – Perdas de pré-esforço

O valor da reentrada, δ rr ,  tem de ser igual ao integral entre 0 e λ   das variações de extensão sofridas pelo cabo devidas à reentrada, podendo escrever-se: λ 

δ r  =

λ 

∆σ 

∫ ∆ε  dx = ∫  E  0

0

 p

1

dx =   E  p

λ 

S 

∫ ∆σ  dx =  E 

   p δ r      ⇔  S  = E 

(1)

 p

0

    

S 

S   é a área indicada na figura 7.5. Nestes apontamentos chamaremos à fórmula (1)  fórmula  fundamental das perdas por reentrada reentrada das cunhas. cunhas.

Exemplo 7.5 – Uma viga com secção em caixão possui um cabo exterior com comprimento

igual a L. Admitindo que o cabo é esticado a uma tensão de σ 0’ 0’, determine a tensão final após uma reentrada igual a δ rr .    σ ( x) S 

σ 0' σ 0

 L

 L

0

 x

 

Resolução: Denotando a tensão após a reentrada das cunhas por σ 0  e usando a equação (1) vem: S

= E pδ r ⇔ (σ 0 ' − σ 0 ) × L = E pδ r  ⇔

  σ0

 E  pδ r 

= σ 0 ' − 

 L

 

Suponhamos, por exemplo, que L = 8.00 m, σ 0’ r = 5 mm. 0’ = 1395 MPa, E   p= 195 GPa e δ r  Obtém-se σ 0 =1273 MPa (perdeu 8.7% de tensão) Suponhamos agora que o cabo é bastante curto: L = 2.00 m. Obter-se-ia σ 0 =907.5 MPa (perdeu 35% de tensão!) Vê-se assim que as perdas por reentrada das cunhas em cabos curtos são significativas e que quanto menor é o cabo maiores são as perdas. As conclusões tiradas no exemplo acima constituem as razões por que se aconselha recorrer a  pré-esforçoo em barra no caso de cabos curtos, visto que a fixação da barra é feita com porca  pré-esforç roscada e a reentrada é muito mais pequena do que no caso dos cordões, fixos com cunhas.

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VII-11

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VII – Perdas de pré-esforço

Calculo do alcance   − mx Considerando que a tensão no cabo é dada por σ ( x )  = σ  , desenvolvendo a  fórmula 0' e

 fundamentall das perdas por reentrada das cunhas, obtém-se a seguinte expressão para o  fundamenta

cálculo de λ :

⎛  λ  = − ln⎜1 − m ⎜⎝ 

m E  p δ r  ⎞

1

σ 0'

⎟  ⎟  ⎠

(2)

 No anexo D apresenta-se apresenta-se uma dedução desta fórmula, feita com base nos antigos apontamentos desta cadeira, da autoria do eng.º Pedrosa de Abreu. A tensão inicial na ancoragem activa, após perdas por reentrada das cunhas, pode ser   − m 2 λ  calculada pela fórmula Euler, vindo: σ 0 ( x ) = σ    0' e

Uma expressão alternativa para o calculo de λ , frequentemente apresentada na bibliografia, é deduzida substituindo a lei de variação da tensão no cabo, lei exponencial, por uma variação linear. Esta simplificação resulta do facto do argumento da exponencial, mx, possuir, em geral, um valor pequeno, resultando que e − mx ≅ 1 − mx 1. Atendendo à figura seguinte, tem-se: σ ( x) S  = E  pδ r 

σ 0'

σ ( x)   = σ 0' (1 - m x)

     a

σ ( x)   = σ 0' (1 + m x)

a = σ 0' m 2 λ 

 x

0

λ 

 

Fig. 7. 6 – Formula aproximada para p ara o cálculo das perdas por reentrada das cunhas

S  = E  p δ r 

⇔

1 1 σ 0' m 2 λ  × λ  = E  pδ r  ⇔ a λ  = E  pδ  r  ⇔ 2 2

λ  =

 E  p δ r  mσ 0'

 

(3)

Qualquer das expressões (2) ou (3) só podem se aplicadas quando o alcance estiver contido no  primeiro troço de parábola. Quando tal não acontece, o calculo torna-se itera iterativo tivo e o valor de λ  é  é determinado de forma a respeitar a equação S=E  pδ r r,  deduzida anteriormente. 1

  Recordamos  x

e

= 1 +  x +

 x

que 2

2!

+

 x

o

3!

que se pode escrever: efectivamente, e

− mx

desenvolvimento

3

+ ... + e−

mx

≅ 1 − mx  

 x

em

série

de

Taylor

da

função

exponencial

é:

n

n!

+ ...  

; sabe-se que esta série converge converge para todos os valores de  x, pelo

= 1 − mx + (mx) 2 − (mx) 3 + ... + (mx) − ... ; n

2!

3!

n!

para mx  pequeno,

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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VII – Perdas de pré-esforço

As expressões acima também não poderão ser usadas quando o alcance atinge a ancoragem  passiva. Vejamos como calcular as perdas de tensão quando tal sucede. Seja, então, um cabo de comprimento  L  e admita-se que o alcance atinge a ancoragem passiva, ou seja, λ =  L. Aplicando a formula fundamental vem (ver figura 7.7): S  = E  p δ r 

   pδ r  ⇔ ⇔ 2 × 12 σ 0' mL × L +  y ×   L = E 

 y =  E  p δ r  − σ 0' mL    L

A tensão inicial na ancoragem activa é dada por: σ 0 (0) = σ 0'

− 2σ 0' mL −  y  ⇔

σ 0 (0) = σ 0'

− σ 0' mL −

 E  p δ r   L

σ ( x) S 

σ 0'

 

σ ( x) = σ 0' (1 - m x)

σ 0' m L  y

σ 0' m L σ ( x)   = σ 0' (1 + m x)  x

0

 L

 

Fig. 7. 7 – Quando o alcance das perdas por reentrada atinge a ancoragem passiva

Por fim, refira-se que nas expressões acima admitiu-se, como de resto é usual, que o atrito na fase de reentrada é igual ao atrito na fase de esticamento. Em boa verdade, tal como dizia o  professor Leonhardt, Leonhardt, o coeficiente de atrito na reentrada é superior ao coeficien coeficiente te de atrito na fase de esticamento. Tal pode ser confirmado com a seguinte experiência: Se passarmos uma lixa num superfície várias vezes sempre no mesmo sentido, verifica-se que a superfície fica  polida nesse sentido e áspera no sentido oposto. A figura seguinte mostra as curvas de tensão após a reentrada das cunhas na hipótese de idêntico atrito e na hipótese de atrito superior na reentrada: σ ( x) σ 0'

µ  = µ  reentrada esticamento µ  > µ  reentrada esticamento  x

0

 

Conforme se observa, dado que as áreas S têm de ser idênticas numa situação e noutra, visto que ambas são dadas por S   =  E  pδ rr    , a hipótese de atrito superior na reentrada conduz a um alcance inferior, mas a maiores perdas de tensão na ancoragem activa.

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VII-13

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

2.3. 

Cap. VII – Perdas de pré-esforço

Perdas por deformação instantânea do betão

 No caso dos elementos elementos pos-tensionados, pos-tensionados, as perdas de tensão por deformaçã deformaçãoo instantânea do  betão variam de cabo para cabo, sendo máximas no primeiro cabo a ser esticado e nulas no último cabo. Se os cabos não estiverem muito afastados, a perda de tensão média pode ser calculada pela seguinte expressão (adaptada do EC2 §5.10.5.1): 1 n − 1  E  p ∆σ p0,e ( x) = | σ c ( x) |   2 n Ecm (t 0 ) em que:  E  p – módulo de elasticidade do aço de pré-esforço  E ccm m(t 0) – módulo de elasticidade do betão à idade de aplicação do pré-esforço σ c( x  x) – tensão de compressão no betão, calculada ao nível do centro mecânico da

armadura de pré-esforço, resultante do pré-esforço aplicado e de outras acções  permanentes  permanent es que actue actuem m depois da aplicaçã aplicaçãoo do pré-esf pré-esforço. orço.  Notas: 1)   No Capítulo II apresen apresentaram-se taram-se as expres expressões sões do EC2 pa para ra o calcul calculoo E cm ). cm(t ). 2)   Na expressão acima acima a tensão foi colo colocada cada em módul móduloo a fim de obter um valo valorr positivo  para a perda perda de tensão tensão..  x) inclui o pré-esforço na secção e ainda as 3)  Como se disse acima, o calculo de σ c( x acções permanentes, ∆g, que actuem depois da aplicação de pré-esforço. Estas  poderão provocar uma perda (ou um ganho!) de tensão no cabo. Admiti Admitindo ndo que a secção está em fase não fendilhada, podemos usar as seguintes expressões: σc

= σ c , p 0 + σ c,∆g ;

σ c , p  0

=−

P0 e  I

2

−

P0  M hip A

±

I

e+

N hip A

;

N ∆g    M ∆g σ c ,∆g  = ±   e+  I A

A razão de indicarmos ± foi porque não se especificou nenhuma convenção de sinais  para a excentricidade, excentricidade, e. A e I  representam  representam a área e a inércia da secção. 4)  Se existir no elemento estrutural apenas um cabo de pré-esforço (n = 1) não haverá lugar a perdas por deformação instantânea do betão (no momento da aplicação de préesforço!). Com efeito, visto que a deformação do elemento é instantânea, a diminuição de força no cabo é automaticamente compensada pelo operador que continua a aumentar a pressão na bomba hidráulica até esta estabilizar no valor pretendido.  No caso dos elementos elementos pré-tensionados, pré-tensionados, todos os fios são igualme igualmente nte afectados pela deformação do betão e a perda de tensão devida à deformação instantânea do betão pode ser calculada pela expressão:

∆σ p0,e ( x) =

 E  p | σ c ( x) |    Ecm (t 0 )

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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VII – Perdas de pré-esforço

3.  Perdas diferidas As perdas diferidas são de três tipos: perdas devidas à retracção do betão, devidas à fluência do betão e devidas é relaxação dos aços. No capítulo II vimos como calcular cada uma destas  perdas de forma independent independentee e depois calculamos calculamos as perdas totais somando as três, sem qualquer preocupação acerca da interdependência entre elas. Acontece, porém, que estas  perdas são realmen realmente te interdepen interdependentes. dentes. Por exemplo, as perdas por retracção influenciam as  perdas por fluência, uma vez que a diminuição de tensão nos aços devida à retracção provoca provoca uma diminuição de compressão no betão e consequentemente uma diminuição da deformação de fluência. Também as perdas por retracção e fluência fazem diminuir as perdas por relaxação dos aços, uma vez que provocam uma diminuição de tensão nos aços e, conforme vimos, as perdas por relaxação crescem com a tensão nos aços. De seguida apresentamos a expressão proposta pelo EC2 §5.10.6 (2) relativa ao calculo simplificado das perdas diferidas totais numa secção genérica, tendo em conta a interacção entre os três tipos de perdas:

∆σ pt ,s + ∆σ pt ,c + 0.80∆σ pt ,r  ∆σ  pt ,s+c +r  = 1 + α  A p ⎛1 +  A e 2 ⎞ 1 + 0.80ϕ (t , t  )   ⎜ I  ⎟ ( 0 )  A ⎝ ⎠  Nesta expressão: expressão:

−  ∆σ pt ,s = E p | ε cs (t ) | ;

ε cs (t )  é a extensão de retracção desde o início até ao dia t ;

  |; −  ∆σ pt ,c = α ϕ (t , t 0 ) | σ c,QP

α   = =

 E  p  E cm

;

−  ϕ (t , t 0 )   é o coeficiente de fluência entre o dia t   ee o dia t 0, o dia de aplicação do préesforço;

− 

σ c ,QP  representa a tensão no betão calculada ao nível do centro mecânico da armadura

de pré-esforço, resultante da combinação quase permanente, incluindo acção do préesforço.

−  ∆σ  pt ,r   representa as perdas diferidas às t   horas após a aplicação do pré-esforço, calculada para uma tensão inicial igual a σ  p0 (pré-esforço após perdas instantâneas).

−   A p denota a área dos cabos de pré-esforço na secção. −   A e I  representam,  representam, respectivamente, a área e a inércia da secção de betão. −  e  representa a excentricidade dos cabos (distância entre os cabos e o centro de gravidade da secção);

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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VII – Perdas de pré-esforço

   Notas: 1)  A expressão do coeficiente de homogeneização acima, α  =  =  E p / E cm , difere da apresentada no capítulo 2 onde se usou  E c  (modulo tangente) em vez de  E cm cm  (modulo secante. 2)  O coeficiente 0.80 que afecta as perdas por relaxação, pretende naturalmente traduzir a redução que ocorre nas perdas por relaxação por causa das outras perdas diferidas. 3)  Como se indicou acima, o cálculo da tensão de compressão no betão deve ser efectuado  para a combinaçã combinaçãoo quase permanente de acções. Assim, admitindo que a secção está em fase não fendilhada, podemos usar as seguintes expressões: σ c ,QP  

 M QP

=±

 M QP

 I

e+

N QP A

; em que:

= M g ± P0e + M hip +ψ 2 M q  ;  M QP = N g − P0 + N hip +ψ 2 N q  

g – indica carga permanente, com exclusão do pré-esforço; q – indica sobrecarga.

Usou-se acima o símbolo ±  visto não se ter definido uma convenção específica para o sinal da excentricidade. 4)  Recordamos que para fios e cordões de baixa relaxação (classe de relaxação 2), a expressão proposta pelo EC2 é a seguinte:

∆σ pt ,r = 0.66 ρ1000 e µ   = =

σ  p 0  f   pk 

9.1 µ 

⎛ t  ⎞ ⎜ 1000 ⎟ ⎝ ⎠

 ;  ρ 1000 = 2.5 %;

0.75(1− µ )

×10−5σ p 0 ; em que:

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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VII – Perdas de pré-esforço

*** Problemas propostos ***  Problema 7.1 (Aplicação da fórmula de Euler ) Considere o reservatório circular representado na figura: B

   0    0  .    0    1    =     R

        0         0   .         2

        0         0   .         2

A

  Recorrendo à formula de Euler determine a força no cabo na secção B, sabendo que a força na origem (secção A) é de 1000 KN. Considere apenas as perdas por atrito e admita µ  =  = 0.20 e k   = 0.01.

Problema 7.2 (Aplicação da formula de Euler  ao  ao caso de vigas. Cálculo de alongam.) Uma viga simplesmente apoiada com 18.00 m de vão é pré-esforçada com um cabo de 7 cordões de 15 mm (1.4 cm2 de área). 1x7T15 (aço Y1860 Y1860 S7 S7)) A

C

B

        9         0   .         0

        9         0   .         0

        0         6   .         0

D

8.00

4.00

        0         6   .         0

6.00

18.00

  Parâmetros de atrito: µ  =  = 0.20; k  =  = 0.01 m-1;

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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VII – Perdas de pré-esforço

a)  Determine a força ao longo do cabo, antes das perdas por reentrada das cunhas, nas seguintes situações: 1)  O cabo é esticado apenas pela extremidade esquerda; 2)  O cabo é apenas esticado pela extremidade direita; 3)  O cabo é esticado por ambas as extremidades.  b)  Calcule o alongamento do cabo, antes da reentrada das cunhas, para cada uma das situações anteriores. Adopte E  p = 195 GPa.

Problema 7.3 (Perdas instantâneas; alcance da reentrada atinge a ancoragem passiva) Uma viga de betão armado é pré-esforçada com um único cabo, esticado a uma tensão de 1395 Mpa pela extremidade esquerda. 0.40

0.40 0.10 7.50

7.50 15.00

  a)  Trace o diagrama de tensão no cabo após as perdas instantâneas, considerando os seguintes parâmetros:

• Parâmetros de atrito: µ  =  = 0.20; k = 0.005 m-1; E  p = 195 GPa; • Reentrada das cunhas: δ rr    = 6 mm;  Note que o alcance alcance das perdas por reentrada das cunhas aatinge tinge a anc ancoragem oragem pas passiva; siva;  b)  Admita agora que o cabo é retensionado pela extremidade direita, à mesma tensão, isto é, a 1395 Mpa. Trace o diagrama de tensão no cabo após o retensionamento;

  c)  podem Compare os diagramas de tensão obtidos nas alíneas a) e b). Que conclusões se tirar? tirar?

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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VII – Perdas de pré-esforço

Problema 7.4 (Perdas totais; calculo de alongamentos) Considere a viga de betão armado pré-esforçado representada na figura: 2x7T15

C   AB O O S    1 S  ,2 

        0         1   .         0

        5         8   .         0

12.50

        5         8   .         0

12.50 25.00

CABO 1 CABO 2         0         2   .         0

2.00

        0         4   .         1

A = 0.76 m2; I = 0.137 m4;

Betão: C25/30 

vs = 0.432 m; vi = 0.968 m;

Aço: Y1860 S7 Ep = 195 Gpa;

 

0.30

 

a)  Trace e cote o diagrama de pré-esforço inicial que fica instalado na viga, calculando as perdas instantâneas de acordo com as hipóteses:

• Parâmetros de atrito: µ  =  = 0.20; k = 0.01 m-1; • Reentrada das cunhas: δ rr  =   6 mm; Despreze as perdas por deformação instantânea do betão.  b)  Determine o alongamento de cada cabo, antes da reentrada das cunhas. c)  Recorrendo à formula de interacção de perdas do EC2 determine o pré-esforço útil a meio vão, avaliando as perdas diferidas de acordo com as seguintes hipóteses: • Carga quase permanente, com exclusão do pré-esforço: 26 KN/m; • Parâmetros de retracção e fluência: ε cscs = -25×10-5; ϕ c = 2.5; ρ 1000 •  ρ  1000 = 2.5 %.

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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VII – Perdas de pré-esforço

Problema 7.5 (Perdas totais; calculo de alongamentos) Considere a viga de betão armado pré-esforçado representada na figura: CABO 1 CABO 2         0         5   .         0

0.10

0.10

B

A

8.00 Parábola

2x7T15

C

2.00 Recta

D

8.00 Parábola

MATERIAIS - BETÃO: C25/30; Ec = 30.5 GPa; - AÇO DE PRÉ-ESFORÇO: cordão de 15 mm (A = 1.40 cm2); Ep = 195 GPa; Y1860 S7

        0         0   .         1

CARGAS QUASE PERMANENTES: 30 KN/m; 0.50

  a)  Determine o pré-esforço inicial que fica instalado nas secções A e B, avaliando do as perdas instantâneas de acordo com as seguintes hipóteses:

• Parâmetros de atrito: µ  =  = 0.20; k  =  = 0.01; • Alcance das perdas por reentrada das cunhas: λ  =  = 13.00 m; • Módulo de elasticidade do betão à idade de aplicação do pré-esforço:  E ccm m (7) = 27 Mpa;

 b)  Determine o alongamento de cada cabo; c)  Recorrendo à formula de interacção de perdas do EC2 determine o pré-esforço útil na secção B, avaliando as perdas diferidas de acordo com as seguintes hipóteses: • Parâmetros de retracção e fluência: ε cscs = -25×10-5; ϕ c = 2.5; ρ 1000 1000 = 2.5 %. •  ρ 

Problema 7.6 (Calculo de perdas devidas à reentrada das cunhas) Deduza a expressão para o cálculo do alcance das perdas por reentrada das cunhas, considerando que o atrito na reentrada é α  vezes  vezes o atrito que se manifesta no tensionamento. R: λ  =

2 E  p δ r  (1 + α )σ 0' m

 ; m = µ  (2a + k) a: y = a x2; 

Setembro de 2007

VII-20

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VII – Perdas de pré-esforço

Problema 7.7 (2º teste 9/1/2004) Suponha que foram levantadas dúvidas sobre o real coeficiente de atrito cabo-baínha dos cabos do Problema 7.4. Foi feita a seguinte experiência: Foram introduzidos dois macacos iguais e em simultâneo nas extremidades do cabo 1. Aplicou-se uma pressão de 400 bares no macaco junto à ancoragem activa e, mantendo essa tensão estabilizada, constatou-se que a  bomba do 2º macaco acusou uma pressão de 364 bares. Determin Determinee o coeficien coeficiente te de atrito, considerando que pode ser atribuído ao desvio angular unitário o valor de k  =  = 0.01 rad/m.

Problema 7.8 (2º teste 9/1/2004) Suponha que para um dado cabo e para uma tensão de esticamento de 700 MPa se obtém um alongamento ∆l = 150 mm. Qual das seguintes afirmações é a correcta: a)  Para uma tensão de esticamento de 1400 MPa, ∆l < 300 mm  b)  Para uma tensão de esticamento de 1400 MPa, ∆l = 300 mm c)  Para uma tensão de esticamento de 1400 MPa, ∆l > 300 mm

Problema 7.9 (Pré-esforço exterior) Considere o cabo exterior com a geometria indicada na figura. Admita as seguintes hipóteses:

−  Tensão de esticamento: 1300 Mpa (~ 0.70f  puk ), ), pela extremidade direita. µ  = δ rr  = −   E  p = 195 GPa;  = 0.06;   6 mm;

a)  Determine o alongamento do cabo antes da reentrada das cunhas;  b)  Desenhe o diagrama de tensões que fica instalado no cabo após perdas instantâneas. Despreze as perdas por deformação instantânea do betão. Esboço da resolução:  β 

= E   pδ r   β  σ1 = σ 0  e −µ  β   β  σ3 = σ 2  e −µ  β  S

σ 1 σ 2  x

S 

σ 0

σ 3

σ  ( x)

3 equações / 3 incognitas

 

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VII-21

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VII – Perdas de pré-esforço

Problema 7.10 (Exame de época especial – 20/4/2005) Considere o cabo assinalado na figura seguinte. O cabo é esticado a uma tensão de 1395 MPa por ambas as extremidades. Adopte µ  =  = 0.20; k  =  = 0.01 rad/m;  E  p = 195 Mpa;

1

        7         0   .         0

0

2         0         0   .         1

0.50

3.00 4.00

0.50

 

a)  Determine a tensão no cabo nos pontos 1 e 2, antes da reentrada da cunhas.  b)  Usando a tensão média em cada troço, determine o alongamento total do cabo, isto é, o alongamento obtido no 1º tensionamento, mais o alongamento obtido no 2º tensionamento.

Problema 7.11 (2.º teste 20/12/2006) Explique por que razão as perdas para o conjunto dos fenómenos diferidas é inferior à soma das perdas individuais de cada fenómeno, isto é:

∆σ  pt   , s +c + r  < ∆σ  pt   , s  + ∆σ  pt ,c + ∆σ  pt ,r   

Problema 7.12 (2.º exame 19/7/2006) Considere uma viga pré-esforçada com um cabo assimétrico, tal como se mostra na figura.  A

 B

 

Admitindo que o cabo é esticado por apenas uma das extremidades (A ou B), classifique as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas. Justifique as respostas. a)  Quando o cabo é esticado por  A, o alongamento obtido é inferior ao que se obteria se o cabo fosse esticado por B.  b)  Quando o cabo é esticado por  A, o alcance das perdas por reentrada das cunhas é inferior ao alcance que se obteria se o cabo fosse esticado por  B. Admita que em qualquer das situações o alcance não atinge a outra extremidade.

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VII-22

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VIII – E.L. Últimos

Cap. VIII – Estados limites últimos 1.  E.L. Último de flexão 1.1.  Critério de verificação da segurança A verificação da segurança em relação ao estado limite último de flexão consiste em satisfazer, para todas as secções, a seguinte condição:  M sd   ≤   M  Rd   

onde M ssd d  designa o momento actuante de calculo e M  Rd  o momento resistente de calculo. O momento actuante de cálculo deverá ser determinado de acordo com as regras de combinação de acções para estado limite último. Na parcela relativa ao pré-esforço deverá figurar apenas o momento hiperstático de pré-esforço, ou seja:  M sd

= (...) +

1.00 1.20 M hip

+ (...)  

{ }

Conforme veremos, os esforço isostáticos de pré-esforço1 serão incluídos do lado do  M  Rd . De acordo o EC2 §2.4.2.2, os factores de segurança a aplicar à parcela de pré-esforço são de 1.00 e 1.20, respectivamente quando o pré-esforço é favorável e quando é desfavorável.

1.2.  Calculo de M  Rd   1.2.1.  Bases para o cálculo de M  Rd   Hipóteses de base O cálculo do M  Rd  assenta nas seguintes hipóteses de base:

−  as secções mantêm-se planas até à rotura (hipótese de Bernoulli). −  o betão não resiste à tracção; −  verifica-se aderência perfeita entre as armaduras e o betão.

Diagramas de cálculo Relativamente aos diagramas de cálculo dos materiais (relações constitutivas para estado limite último), adoptam-se os seguintes diagramas:

1

  M iso

= P × e;  

 N iso

= −P  

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VIII-1

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VIII – E.L. Últimos

σ c  f cd 

 f 

ck 

  =   α cc

γ c

cd 

2‰

3.5‰

( t  ) =   α cc cd 

 f 

ε c

α cc   =

 f 

γ c   =

1.00 1.50 , caso geral 1.20 , Situação de acidente

 f  ( t ) ck 

γ c

 

Fig. 8. 1 – Diagrama de cálculo do betão σ s  f syd 

 f syd  =

 

ε  y

γ s

 E s =

200 GPa

 

 E s

-3.5 ‰

 f syk 

ε s

γ s   =

1.15 , caso geral 1.00 , Situação de acidente

 E s =

200 GPa

Classe A235 A400 A500

 f syd  [MPa]

204 348 435

 

ε y [‰]

1.0 1.7 2.2

 f syd 

Fig. 8. 2 – Diagrama de cálculo da armadura passiva   σ  p  f   pk   f   p0.1k   f   pyd 

 f   pyd  =

γ s   =

 f   p0.1k 

γ  p

 E  p =

205 GPa, fios 195 GPa, cordões   170 GPa, barras

1.15 , caso geral 1.00 , Situação de acidente

 

Exemplo: Aço Y1860 S7: 1600  f  ~ 1400 MPa  pyd  = 1.15  f  1390 7 ‰ ε  y =  pyd  = ~ 195  E  p

 E  p

0.1% ε   yy

ε  p

Fig. 8. 3 – Diagrama de cálculo das armaduras de pré-esforço  

Observações: 1)  Relativamente aos aços, o EC2 prevê a possibilidade de se considerar o ramo de cedência com uma certa inclinação (cedência com endurecimento). No entanto, neste caso, há limites da extensão última a respeitar. No caso de se adoptar diagramas com patamar de cedência horizontal, como os diagramas acima (cedência perfeitamente plástica), não há limites a considerar para a extensão última. 2)  O EC2 denota os valores de cálculo das resistências dos aços por f  yd  e f  pd , respectivamente  para aço ordinário e aço de pré-esforço. Parece-nos preferível usar as notações tradicionais no nosso país,  f ssyd  yd   e  f   pyd . Assim, nestes apontamentos usaremos  preferencialmente estas estas notações.

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VIII-2

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VIII – E.L. Últimos

3)  Se a avaliação de fck for efectuada pelo rebentamento de provetes e estes tiverem mais do que 28 dias, dias, então então a exp expres ressão são a usa usarr par paraa fcd é a seguin seguinte: te:  fcd = 0.85 0.85 f ck  / γ c [EC2 §3.1.2 (4)]

Rotura convencional Considerando os diagramas de cálculo das armaduras com patamar de cedência horizontal, não há, como vimos, limite a impor à extensão da armadura (activa ou passiva). Assim, Considera-se que uma secção esgotou a sua capacidade resistente à flexão quando se atingir no betão: |ε c| = ε ccuu2 = 3.5‰ . Para betões da classe C55/67 ou superior o limite da extensão é inferior a 3.5% (ver EC2 tabela 3.1).

1.2.2.  Método geral para o cálculo de M  Rd   A figura seguinte mostra uma secção genérica em betão armado pré-esforçado bem como os diagramas das extensões e tensões associados à rotura da secção: |  c| 3.5‰

 f cd  F  c

    x

 

 A p

linha neutra    

    p

   z

∆ε  p  

 As

s

   z

  d

F   p F  s

 s

ε 

 

σ 

 

Fig. 8. 4 – Diagramas de extensões e tensões na rotura de uma u ma secção

Uma vezgeral que para a rotura de umadesecção à flexãoem foi“varrer” convencionada termosos dediagramas extensões,deo de formaem iterativa método o calculo  M  Rd  consiste extensões possíveis, ε , até encontrar o diagrama que satisfaz simultaneamente as seguintes condições:

−  |ε c| ≤ 3.5‰ − 

F c = F  p + F s 

(se a flexão for simples) 

Uma vez encontrado o diagrama das extensões, é calculado o correspondente diagrama das tensões por aplicação directa dos diagramas de calculo dos materiais σ -ε . As forças nas armaduras são dadas por: F  p  =  f     pyd  A p  , F s  =  f    syd  As   ,

caso ε  p ≥ ε  y, ou caso ε s ≥ ε  y, ou

F  p =  E    p ε  p A p , caso contrário F s =  E    s ε s As , caso contrário.

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VIII-3

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VIII – E.L. Últimos

or integração das tensões tensões de com compressão. pressão. A força resultante no betão, F c, é determinada ppor Uma vez determinadas as forças internas (F  p, F s e F c) o momento resistente da secção obtémse pela soma dos momentos de cada uma dessas forças em relação ao centro de gravidade da secção. No caso específico da flexão simples, o momento resistente é igual qualquer que seja oo momento ponto tomado comoéreferência. No caso da figura 8.4, em que não há esforço axial exterior, resistente dado simplesmente por:  M  Rd 

=  F  p z  p + F s z s  

Uma vez que F  p  representa a força total no pré-esforço (e não apenas o incremento na  passagem ao estado limite), significa isto que o momento resistente calculado pela expressão acima inclui o momento isostático de pré-esforço. Assim, com dissemos no princípio, na determinação do M ssd d  deve figurar apenas a parcela hiperstática. Como última nota, refere-se que se desejarmos calcular a extensão no aço de pré-esforço na rotura, haverá que adicionar à extensão que o cabo já tem, o incremento de extensão verificado na rotura, ou seja ε  p = ε     p ∞ + ∆ε  p . Por aqui se percebe que o aço de pré-esforço deva ser esticado previamente a fim de se tirar  partido da sua total resistência. Efectivamente, se não fosse esticado previamente, tal como não são esticadas as armaduras passivas, haveria a possibilidade do incremento ∆ ε p não ser suficiente para levar o aço à cedência, não nos permitindo tirar partido da total capacidade resistente dos aços.

1.2.3.  Método do diagrama rectangular Um método simplificado muito útil quando se pretende calcular manualmente o momento resistente de uma secção, conhecido como método do diagrama rectangular , consiste em substituir o diagrama parábola-rectangulo do betão por um diagrama rectangular aproximadamente aproximadamen te equivalente, conforme indicado na figura seguinte: 0.90 f cd 

 f cd 

    y

    y     x

    x

 y = 0.80  x

 y = 0.80  x

 

Fig. 8. 5 – Diagrama rectangular apróximadamente equivalente ao diagrama parábola-rectangulo

Este método facilita muito a determinação da força F c. Assim, se por exemplo a área comprimida for rectangular, a força resultante no betão será dada simplesmente por: Fc

=

fcd  × b × y  

(b – largura da zona comprimida)

É interessante que este método tem gozado de uma aceitação praticamente universal.

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VIII-4

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VIII – E.L. Últimos

Exemplo 8.1 Considere a viga em consola representada na figura: q = 10 KN/m

0.12

0.12

       0        6  .        0

2x12Ø15

       0        0  .        2

S 

2.00

20.00 0.24

h - varia linearmente entre 2.00 e 0.60

-

       h

0.24   Pré esforço: É constituído por 2 cabos de 12 cordões de 15 mm (1.4 cm2 de área).

1.00

Materiais:  – Betão: C30/37;  f cd  = 20.0 MPa;  – Armaduras de pré-esforço: pré-esforço: Y1860S7;  – Armaduras passivas: passivas: Aço A500NR;

Acções:

 – Permanentes:

g = peso próprio;

 – Variáveis:

q = 10 KN/m

 f  pyd  = 1400 MPa;  f ssyd  yd  = 435 MPa;

(ψ 0 = 0.60; ψ 1 = 0.40; ψ 2 = 0.30);

Verifique a segurança ao EL Último de flexão na secção S . Admita que a armadura passiva é composta por duas camadas de 6φ16 cada, distantes de 5 cm e 19 cm da face superior.

Resolução: Fs1

Momento actuante de calculo: Secção S : 1.00×2.00 – 0.52×1.52 =1.21 m2;

Fs2

Secção extrema: 1.00×0.60 – 0.52×0.12 = 0.538 m2   M g = 3809 KNm;

2

 M q = 10×20

/2 = 2000 KNm;

 M ssd  d  = 1.50×(3809 + 2000) = 8714 KNm

Momento resistente de calculo:

0.24

       0        0  .        2

Forças nas armaduras: F  p = 140×2×12×1.4 =

4704 KN

Fc2

     a

F s1 = 43.5×6×2.01 =

525 KN

F s2 = 43.5×6×2.01 =

525 KN

       4        2  .        0

Fc1 1.00

Fp

  Setembro de 2007

VIII-5

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

 

Total:

Cap. VIII – E.L. Últimos

5754 KN

Posição da linha neutra: Betão C30/37 ⇒   f ccd d  = 30/1.5 = 20 MPa; Por equilíbrio:

F c = F  p + F ss11 + F ss22 

⇔  20×103×1.00× y = 5754 ⇔   y = 0.289 m

Assim, a compressão atinge as almas, pelo que é necessário corrigir a equação de equil.: A força que actua no banzo inferior é: F c1+ F c2 = F  p + F ss11 + F ss22 

Assim,

 x = (0.24 +

3

F c1 = 20×10

×1.00×0.24 = 4800 KN

⇔  4800 + 20×103×2×0.24×a = 5754 ⇔  a = 0.099 m

0.099)/0.80 = 0.424 m;

Extensões no betão e nas armaduras: ε c = 3.5 ‰;

ε s1 = (d 1 – x)/  xx ×ε c = (2.00 – 0.05 – ε s2 = (d 2 – x)/  xx ×ε c = (2.00 –

0.424)/0.424 ×3.5 = 12.6 ‰;

0.19 – 0.424)/0.424×3.5 = 11.4 ‰;

∆ε  p = (d  p – x)/  xx ×ε c = (2.00 – 0.12 – 0.424)/0.424×3.5 = 12.0 ‰; ε  p = ε  p∞  + ∆ε  p =

5‰ + 112.0‰ 2.0‰ = 117.0 7.0 ‰ (ε  p∞  = 5‰ foi estimado) Fs1 Fp Fs2

0.05 0.07 0.07

ε s1

∆ ε  p

ε s2

1.520

       0        0  .        2

       1

     p      d      d

       2

     d

    x

Fc2

ε c

Fc1

0.170 0.12

  Calculando os momentos das forças internas em torno de F c2, vem:  M  Rd  = 525×(0.07+0.07+1.52)

+ 4704×(0.07+1.52) + 525×1.52 + 4080×0.17 =

= 9842 KN > 8714 KNm, pelo que verifica a segurança.

Obervação: O leitor mais atento provavelmente notou que o pré-esforço na consola (2×12φ15) é relativamente grande na zona de extremidade da consola, face à área da secção disponível. Assim, se se tratasse de um projecto real haveria vantagem em dispensar um dos cabos e modificar a secção de forma a que o cabo remanescente se situasse simetricamente na secção.

Setembro de 2007

VIII-6

 

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

Cap. VIII – E.L. Últimos

1.2.4.  Flexão composta  No caso de haver esforço axial, axial, o processo de cálculo é inteiramente inteiramente semelhante ao que vimos vimos anteriormente, com a diferença de que as forças internas F c, F  p e F s têm de estar em equilíbrio com o esforço axial, ou seja: F  p + F s  −  F c = N sd  .

1.2.5.  Secção com pré-esforço não aderente Se o pré-esforço for do tipo não aderente, como é o caso do pré-esforço exterior e o caso do  pré-esforço interior com monocordões auto-embainhados, existem duas possibilidades para a verificação da segurança ao estado limite último de flexão. Uma consiste em tratar o pré-esforço como acção e os esforços correspondentes (isostáticos e hiperstáticos) serão combinados juntamente com as outras acções. Neste caso o pré-esforço, com as suas parcelas isostática e hiperstática, aparece integralmente do lado dos esforços actuantes e o momento resistente é calculado como se se tratasse de uma secção em betão armado. A flexão a considerar seria composta, em virtude da compressão provocada pelo préesforço. A outra possibilidade, semelhante ao método anteriormente descrito, consiste em colocar a  parcela isostática do lado do momento resistente. A parcela hiperstática será colocada, evidentemente do lado das acções. Mas agora a força F  p  é a força existente no cabo, eventualmente acrescida de um valor dependente da deformação global da viga na passagem ao estado limite, e não a força última no cabo, ou seja: F  p = σ    p∞  +  ∆σ  p , ELU  )A  p . De acordo com o EC2 §5.10.8, se não forem efectuados cálculos mais precisos, podemos considerar ∆σ  p , ELU    = 100 MPa . Por aqui se vê que o pré-esforço não aderente é muito menos eficaz do que o pré-esforço aderente, dado que não é possível tirar partido da total capacidade resistente dos aços. Por exemplo, situação típica comobtém-se os cordões de pré-esforço a uma tensãoaacerca longodeprazo 1050 MPa,numa acrescentado 100 MPa, 1150 MPa, a que corresponde 80% de da tensão de cálculo da armadura (~1400 MPa), pelo que se perde cerca de 20% da capacidade dos aços de pré-esforço.

1.3.  Armaduras mínimas de flexão De acordo com o EC2 §9.2.1.1 a armadura mínima em vigas é dada por:  f ctm ⎧ 0.26 bt d  ⎪⎪  f syk     As ,min = max   ⎨ ⎪ 0.13 b d  ⎪⎩ 100 t  onde bt   representa a largura média da zona traccionada e d   a altura útil. Note-se que as armaduras mínimas a adoptar são independentes da armadura de pré-esforço. Por outras

 palavras, a armadura armadura de pré-esforço não não conta para efeitos efeitos de armadura mínim mínima. a. Setembro de 2007

VIII-7

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VIII – E.L. Últimos

2.  E.L. Último de esforço transverso 2.1.  Critério geral de verificação da segurança A verificação da segurança em relação ao estado limite último de esforço transverso, tal como em relação à flexão, é feita em termos de esforços e consiste em satisfazer, para todas as secções, a seguinte condição: V sd   ≤   V  Rd   

(1)

onde V ssd d  designa o valor de calculo do esforço transverso actuante e V  Rd  o valor de cálculo do esforço transverso resistente. O esforço transverso actuante deverá ser calculado de acordo com as regras de combinação de acções para estado limite último. Na parte relativa ao préesforço, figurarão ambas as parcelas isostática e hiperstática, ou seja: Vsd

em que:

V  p

= (...) + {1.00 1.20 }V p + (...)  

=  V  iso + V hip   e

V iso = P∞ tan α   

 Nota-se aqui uma diferença entre o modo de tratar o ELU de esforço transverso e o ELU de flexão. Enquanto que no primeiro o pré-esforço aparece integralmente do lado das acções, no segundo uma parte do pré-esforço (parcela hiperstática) aparece do lado da resistência e a outra parte (parcela isostática) aparece do lado da resistência.  No que diz respeito ao cálculo de V  Rd  , há a distinguir elementos com armadura específica de esforço transverso (em geral as vigas) e elementos sem armadura específica de esforço transverso (em geral as lajes).  No que segue, trataremos dos elementos com armadura específica de esforço transverso. Os elementos sem armadura específica de esforço transverso serão tratados no capítulo IX – lajes  pré-esforçadas.

2.2.  Formulação geral da resistência ao esforço transverso A formulação do EC2 é relativamente diferente da do REBAP. A diferença principal resulta do facto do EC2 abandonar o conceito do termo corrector da treliça de Mörsch, V ccd d , e, dentro de certos limites, dar liberdade de escolha da inclinação das bielas. A verificação da segurança ao esforço transverso baseia-se, conforme sabemos, no modelo de treliça, conhecido como treliça de Mörsch, no qual a viga é idealizada por um conjunto de  bielas e tirantes em correspondênc correspondência ia com as compressões e tracções existentes. A figura seguinte mostra um troço de viga e o respectivo modelo de treliça:

Setembro de 2007

VIII-8

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VIII – E.L. Últimos

d b =  z (cot  gθ  + cot   gα ) senθ  F c  M sd 

 

V  sd  d b

F b V   Rd 

F sw  

θ

1

   z      d

F s

 z (cot gθ + cot gα )

bw

 

Fig. 8. 6 – Modelo de treliça t reliça de um troço genérico de viga de altura constante

A verificação da segurança considera-se satisfeita se: 1 – A área dos estribos for suficiente para resis resistir tir à força F sw sw (segurança pelas armaduras) 2 – As bielas possuírem resistência suficiente à absorção da força F b (segurança pelo betão) As forças no tirante, F ssww , e na biela, F b, determinam-se facilmente por equilíbrio. Da figura anterior resulta imediatamente: V  Rd   = F b senθ   

Por outro lado, do equilíbrio do nó 1, assinalado na figura, tira-se que: F b sen  θ  =  F sw senα  ;

V  Rd   = F sw senα   

ou seja,

Designando a área dos estribos por

 Asw s

(área por unidade de comprimento) e considerando

que o comprimento de influência do tirante, calculado por considerações geométricas, é de t ransverso corresponden correspondente te à cedência dos estribos é dado por:  z (cot  gθ  +  cot   gα ) , o esforço transverso V  Rd 

= F sw senα  ⇔  

V  Rd 

=  f   syd 

 Asw s

 z (cot g θ  + cot  gα ) senα   

(2)

Vejamos agora como verificar a segurança das bielas de betão. Denotando o esforço transverso associado ao esmagamento das bielas de betão por V  Rd,max, tem-se, conforme vimos:   = F b senθ    V  Rd ,max A força na biela, F b, associada ao esmagamento, é igual à tensão máxima admitida para o  betão vezes área área da biela, que que é igual a  z (cot g θ  + cot   gα ) senθ  bw  (ver figura 8.6). De acordo com o EC2, a tensão máxima admitida para o betão é dada por α cν   f cd    onde α c pretende traduzir a influência influência de eventuais esforços normais de compres compressão são e ν  é  é um factor

de redução da resistência do betão para ter em conta o facto de se tratar de betão com fissuras de esforço transverso. = F  senθ  =Tem-se: α  ν  f   z (cot  gθ   + cot gα ) senθ  b V   Rd , max

b

c

cd 

w

senθ 

⇔

 

Setembro de 2007

VIII-9

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

 

V  Rd , max

= α cν   f cd bw  z

Cap. VIII – E.L. Últimos

(cot gθ  + cot gα )   1 + cot g 2θ 

(3)

De acordo com o EC2, o factor α c é sempre superior, ou quando muito igual a 1.00, pelo que se tomarmos α c  = 1 estaremos do lado da segurança. Relativamente ao coeficiente ν, é calculado de acordo com a expressão: ⎛   f   ⎞ ν  = 0.60 ⎜1  − ck  ⎟   ⎝  250 ⎠ com f cck k  , resistência característica do betão em provetes cilíndricos, expresso em [MPa].  No caso específico de estribos verticais, ou melhor, estribos perpendiculares ao eixo da viga (α  =  = 90º), a equação (2) transforma-se em: V  Rd 

=  f   syd 

 Asw s

 z cot gθ   

(4)

A área dos estribos necessária à verificação da segurança obtém-se substituindo (4) em (1) e resolvendo esta última em ordem a V sd  ≤   V    Rd 

 Asw

⇔  

s

≥

 Asw s

:

V sd   z  f syd  cot gθ 

 

Em resumo:  No caso específico de estribos perpendiculares ao eixo da viga, a segurança ao estado limite de esforço transverso é satisfeita quando se verificam simultaneamente as seguintes condições: 1-

 Asw s

≥

V sd   z  f 

cot gθ 

 

(segurança pelas armaduras)

syd 

2 - V sd  ≤

α  cν  f cd bw  z

cot gθ  + tgθ 

 

(segurança pelo betão)

A inclinação das bielas, θ , deve estar compreendida compreendida entre 22 e 45º. Nas aplicações aplicações correntes,  particularmente em estruturas estruturas de betão pré-e pré-esforçado, sforçado, é usual usual adoptar-se θ  =  = 30º.

Braço das forças internas, z Relativamente ao braço das forças internas, z, podemos adoptar, na generalidade das situações em flexão simples:  z = 0.9 d  . [EC2 §6.2.3 (1)] Como é evidente, se conhecermos o momento resistente da secção,  M  Rd , podemos calcular z de forma mais rigorosa usando a expressão:  z  =  M  Rd   / (F  p  + F s), onde F  p  e F s designam as forças em ELU na armadura de pré-esforço e na armadura passiva. Isto em flexão simples.

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VIII-10

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VIII – E.L. Últimos

 No caso da existência de de esforço axial exterior importante importante (o pré-esforço não co conta nta para efeito de calculo de N ssd d ) o braço z pode ser calculado pela expressão: z=

 MRd − N sd u F p + Fs − N sd

 

onde:  M  Rd   – – momento resistente da secção, dado com valor positivo;  N ssd  d  – esforço axial exterior, dado com o verdadeiro sinal; u  –

distância do centro de gravidade da secção ao centro mecânico da armadura de flexão;  No caso de vigas-caixão, comuns em pontes de grande vão, pode-se tomar para  z a distância entre as linhas medias dos banzos superior e inferior.

Largura bw  A largura bw refere-se à largura mínima da viga ao longo da altura  z, conforme se exemplifica na figura seguinte: b1

bw

 

b2 bw

= b1 +  b2  

Fig. 8. 7 – Exemplos de calculo de  bw 

Se existirem cabos de pré-esforço pos-tensionados, a largura da alma será eventualmente reduzida de acordo com as seguintes regras [EC2 §6.2.3 (6)]: a) Caso de bainhas metálicas que venham a ser injectadas: Se φ b > bw   então 8

bw,nom 

= bw  − 0  .5∑φ b  ; Se φ b ≤ bw   então 8

Onde φ b  designa o diâmetro da bainha e

    = bw   bw,nom

∑φ  deve ser determinado para o nível de  b

cabos mais desfavorável da secção em estudo.  b) Caso de bainhas que não venham a ser injectadas, ou o caso de bainhas de plástico injectadas: bw,nom 

= bw  − 1 .2∑φ b  

O factor 1.2 pretende ter em conta a existência de tracções transversais na vizinhança do cabo associadas ao espalhamento das tensões de contacto cabo-betão. No entanto, se forem  previstas armaduras transversais suficientes, o factor pode ser reduzido para 1.0. A figura seguinte mostra um esquema possível para a determinação destas tracções [P. Marti, Detailing

for post-tensioning, VSL): Setembro de 2007

VIII-11

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

3P 8  R

P  R

Cap. VIII – E.L. Últimos

3P 8  R   P T 1 = 4 R

T 1

T 2 =   P 8 R

T 2

P T 2  R

  Fig. 8. 8 – Tracções transversais e verticais junto a um cabo de pré-esforço

∑φ  deve ser determinado para o nível de cabos mais desfavorável.  Na figura seguinte ilustra-se ilustra-se a determinação determinação de ∑φ  : Como dissemos acima,

 b

 b

∑φ  = 2φ   b

 b

 

Fig. 8. 9 – Determinação de

∑φ  = φ     b

∑φ     b

  b

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VIII-12

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VIII – E.L. Últimos

2.3.  Secção de cálculo de V  sd   Conforme sabemos, o esforço transverso máximo ocorre nas secções de apoio. Porém, no caso de vigas sujeitas predominantemente a cargas distribuídas, o calculo das armaduras de esforço transverso não necessita ser feito nesta secção, mas sim, de acordo com o EC2, a uma distância da secção de apoio até ao limite de d .  Na verdade, se observarmos a treliça de Mörsch, o primeiro tirante surge a  z×cotgθ  do  do apoio, de modo que, se a armadura for calculada nesta secção e prolongada até ao apoio, a verificação da segurança estará satisfeita. Já a verificação da segurança das bielas deve ser efectuada calculando V ssd d  na secção junto ao apoio.  Note-se, porém, que é preciso garantir que a armadura longitudinal no apoio seja suficiente  para resistir à força F s (figura 8.10). Estudemos o equilíbrio de um troço extremo de viga: F c

1

   z

F sw

θ

F  s  z cot gθ 

 

 R

Fig. 8. 10 – O primeiro tirante surge a  zcotgθ  do apoio

∑ M1 = 0 ⇔ Fs z + R z cot gθ = 0 ⇔ mínima a adoptar no apoio é dada por:  As ,ap 

=

 R  f syd 

cot gθ   

Fs

= R cot gθ  , pelo que a armadura longitudinal

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VIII-13

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

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2.4.  Cargas suspensas As cargas suspensas na face inferior das vigas exigem uma armadura especifica, designada  por armadura de suspensão, destinada a “levar” a carga até à face superior. No caso de cargas suspensas distribuídas, a armadura de suspensão deve ser adicionada à armadura de esforço transverso, como se esquematiza na figura seguinte:

 Asw

 As,susp

s

Psd   As,susp =

Psd   f syd 

 psd   Asw s

=

V sd

 

 z f syd  cot gθ 

+

 psd   f syd 

 

Fig. 8. 11 – Cargas suspensas, concentrada e distribuída

A figura seguinte mostra claramente, recorrendo a modelos de bielas e tirantes, a diferença entre aplicar uma carga na face superior ou suspendê-la na face inferior. F 

     F    =      T

F 

Fig. 8. 12 – Diferença entre aplicar uma carga na face superior ou suspendê-la na face inferior

 

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VIII-14

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

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2.5.  Vigas de altura variável  No caso de vigas com altura variável, as forças nos banzos são inclinadas, possuindo, por isso, uma componente vertical. Esta componente pode ser favorável ou desfavorável ao esforço transverso. A figura seguinte mostra um troço de viga com ambos os banzos inclinados:

F c

θ

+

 β c

 M sd 

F b V sd 

F s

 β s+

Esforços internos

Esforços externos

 

Fig. 8. 13 – Troço de viga com altura variável

Os esforços externos têm de estar em equilíbrio com os esforços internos, isto é    β c + F s senβ s .  pelo que se tem: tem: V sd  = F b senθ  +  F   c sen

S ext  ext   = S iint  nt ,

As componentes verticais das forças nos banzos podem ser colocadas, conforme é usual, do lado dos esforços actuantes (esforços externos), vindo: V sd  − F c sen β c  − F s sen  β s = F b senθ    Esta equação mostra que um possível método de verificação da segurança de vigas de altura variável consiste em corrigir o esforço transverso actuante da seguinte forma: ' = V sd  − F c sen    β c  − F s senβ s   V sd 

(1)

Assim, a componente vertical das forças nos banzos é favorável se possuir o mesmo sentido do esforço transverso actuante e desfavorável, caso contrário.

 

 No caso da flexão simples, isto é, flexão sem esforço axial, pode-se demonstrar que (deixa-se isso como exercício): '

V sd  = V sd  −

 M sd    (tan β c  z

+ tan β s )  

 Na equação acima deve-se ter cuidado com os sinais. O importante é ter presente que se a inclinação do banzo for favorável, o esforço transverso diminui (em valor absoluto) e aumenta caso contrário.

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VIII-15

 

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Exemplo 8.2 – Considere novamente a consola do exemplo 8.1. Pretende-se verificar a segurança ao esforço transverso na secção S , adoptando bielas a 30.º e considerando que as  bainhas têm diâmetro diâmetro de 80 mm. 

Resolução: Em primeiro lugar calcularemos V ssd d : Área da secção S : 1.00×2.00 – 0.52×1.52 =1.21 m2; 1.00×0.60 – 0.52×0.12 = 0.538 m2 

Área da secção extrema:

V g = 1/2×(25×1.21 + 25×0.538)×20 = 437 KN; V q = 10×20 = 200 KN, V ssd  d  = 1.50×(437 + 200) = 956 KN;

 Nota: Apesar do cabo ter tangente nula na secção S, o esforço transverso isostático devido ao pré-esforço não é nulo, visto que o eixo da viga tem t em uma certa inclinação. Calculemos V iiso so: -4

3

 = 1050×10 ×2×12×1.4×10  = 3528 KN; (estimou-se σ  p∞  = 1050 MPa). 2.00 / 2 + 0.60 / 2 = – 229 KN; P∞  ×tgα = 3528 × V iso iso = –   P 20 f avorável. Iremos, todavia, desprezar este valor. V iso iso é assim favorável. P∞ 

Correção a V ssd d  de forma a ter e conta a inclinação do banzo: 20.00 2x12Ø15

 

       0        6  . 0

       0        0  .        2

F s + F    p =

5754 KN

S 

F c cos β   M sd  V  sd 

 β 

’

V ssd  d  – F c sen β   d   = V ssd  ’

=

=

 F  s

+ F   p

tg β  = 2.00 + 0.60 = 0.13 20.00

F c

 

V sd   p) / cos β  × sen β   sd  – (F s + F 

V ssd  d   = 956 – 5754×0.13 = 208 KN

⇔ 

’

V ssd   p) tg  β   d  – (F s + F  d   = V ssd 

(O valor 5754 veio do exemplo exemplo 8.1).

Uma vez que a secção é constituída por duas almas, temos 208/2 = 104 KN / alma. (Repare-se que uma boa parte do esforço tranverso é anulado pela componente vertical da força no banzo!)

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VIII-16

 

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Cap. VIII – E.L. Últimos

Área de armaduras necessárias (por alma):  z =  A sw

s

 M  Rd  F p

+ F s

=

9754 = 1.70  m; ( M   M  Rd  veio do exemplo 8.1) 5754

104 2 sd   ≥ z f syd  cot gθ  = 1.70 × 43.5 × cotg30º = 0.81 cm /m; V 

0.08 30 ⎛ Asw ⎞ = 0.08  f ck  0.24 ×1. 1.00 = 2.1  cm2/m; bw sin α  = ⎜ s ⎟ f  yk  500 ⎝ ⎠min Adopta-se em cada alma φ10//0.20 – 2R (7.9 cm2/m). Verificação do esmagamento das bielas de betão: φ b = 0.08

 

bw / 8 = 0.24 / 8 = 0.03 m

⇒ 

bw,nom = 0.24 – 1/2×0.08 = 0.20 m;

Betão C30/37 ⇒   f ccd d  = 30/1.5 = 20 MPa; ν  = 0  .60 ⎜⎛1 −  f ck 

⎝

V  Rd ,max

⎞ = 0 .60 ⎛⎜1 − 30 ⎞⎟ = 0.528   250 ⎟⎠ ⎝ 250 ⎠

1.00 × 0.528 × 20 ×103 × 0.20 ×1.70 = = = 1555 KN >> V ssd d ; cot gθ + tan θ  cot g 30º + tan 30º α cν   fcd bw z

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VIII-17

 

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2.6.  Corte na ligação entre banzos e almas  Nas secções formadas por banzos e almas (secções T, I, U, etc.), sempre que o momento flector variar na direcção longitudinal, ou, por outras palavras, sempre que existir esforço transverso, existirão fluxos de corte na ligação entre os banzos e as almas, cujo sentido, para esforço transverso positivo, é o indicado na figura seguinte (secção T):

∆ x

F d 

 f c vsd 

 f s F  d  + ∆ F  d 

 f c vsd   f s

θ 

 f s

=

vsd 

cot gθ 

  Fig. 8. 14 – Secção T com os banzos destacados, pondo em evidência os fluxos de corte nas interfaces banzo-alma

Estes fluxos são transmitidos aos banzos através de bielas inclinadas (força  f c  na figura), originando tracções transversais (força  f s  na figura), para as quais é necessário prever armadura (conhecida como armadura de costura). Designando o fluxo de corte na interface banzo-alma por estribos perpendiculares à interface banzo-alma, é dada por:  Asf  s

=

v sd   f syd  cot gθ 

vsd ,

a armadura necessária, para

 

O fluxo de corte, vsd , é determinado por equilíbrio de forças na direcção longitudinal de uma das partes do banzo, obtendo-se v sd 

= 

∆F d    ∆ x

Relativamente ao ângulo que as bielas fazem com o eixo da viga, θ , podemos atribuir-lhe o valor de 30º no caso dos banzos comprimidos e 40º no caso dos banzos traccionados. O EC2 refere ainda que o comprimento ∆ x a considerar será, no máximo, metade da distância entre as secções de momento máximo e nulo, o que equivale a afirmar que se pode calcular a

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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VIII – E.L. Últimos

armadura no banzo (armadura de costura) usando o fluxo médio nesse comprimento. A armadura no banzo,

 Asf  s

, será uniformemente distribuída neste comprimento.

É necessário ainda verificar a segurança ao esmagamento das bielas nos banzos, o que equivale a verificar que o fluxo de corte na interface banzo-alma não excede o seguinte valor máximo: v sd  ≤

ν  f cd b f 

 

cot gθ  + tgθ 

 

onde b f  designa a espessura do banzo. Se exceder, uma medida possível a tomar será aumentar a espessura do banzo. Refere-se ainda que no caso de secções “T” ou “I” de banzos simétricos, é suficiente, em geral, dispormos nos banzos uma armadura igual a metade da armadura na alma. A razão é que o fluxo de corte na alma é sensivelmente igual (um pouco inferior até) aos fluxos  provenientes dos banzos, pelo que, se as abas forem iguais, o fluxo em cada aba é sensivelmente metade do fluxo na alma (ver figura seguinte).  Asf  s v f 1

= 0.50

 Asw s

v f 2

vw

 

v w ≅ v f 1 + v f 2

 Asw s

  Fig. 8. 15 – Relação aproximada entre os fluxos nos banzos e na alma

Por último, refere-se que se, para além dos fluxos de corte, os banzos estiverem sujeitos a flexão transversal, é necessário levar este facto em conta na determinação da armadura de costura. O EC2 sugere um método simplificado de calculo das armaduras. Na disciplina de Pontes e Viadutos veremos um método mais rigoroso para ter em conta a interacção entre o corte e a flexão transversal.

2.7.  Outros casos tratados no EC2 O EC2 trata ainda de outros casos, como sejam a eventual redução de V ssd d  se existirem cargas concentradas nas proximidades dos apoio e a verificação da segurança ao corte nas interfaces entre betões de idades diferentes.

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VIII-19

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VIII – E.L. Últimos

2.8.  Armadura mínima de esforço transverso a)  EC2 ⎛  Asw  ⎞ ⎜ ⎟ s

⎝  b)  REBAP A400:

 ⎠ min

=

0.08

 f ck 

 f 

bw sin α     f cck   yk  em [MPa] k  e f 

 yk 

⎛  Asw  ⎞ = 0.10 b ⎟ ⎜ w sin α    ; A500: ⎝  s  ⎠ min 100

⎛  Asw  ⎞ = 0.08 b ⎟ ⎜ w sin α    ⎝  s  ⎠ min 100

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*** Problemas propostos ***  Problema 8.1 (Calculo de mom. resist.- aplicação do método do diagr. rectangular ) Considere as seguintes secções: SECÇÃO 1

SECÇÃO 2 2.00

        0         0   .         1

        2         1   .         0

        5         2   .         1

        5         0   .         0

        0         5        1   .         0   .         0         0

        2         1   .         0

0.40 0.50

Pré-esforço: 2x12T15 Arm. passivas: 3Ø20

Ap = 19.6 cm2 As = 10.05 cm2

SECÇÃO 3

        0         5   .         2

10.00

        0         3   .         0

2x25T15

        6        0         0        3   .   .         0        0

MATERIAIS:

4Ø25

0.60

BETÃO: C35/45 AÇO DE PRÉ-ESF.: cordão Y1860 s7 AÇO PASSIVO.: A500

SECÇÃO 4 17.74

12x19T15

        7         9         1   .         3   .         0         0

4x19T15

        0         2   .         6

 5  0. 4

        5         8   .         0

6.00

(A secção em caixão acima é a secção sobre os pilares do Viaduto sobre o Rio  Grande da Pipa, projecto da autoria do eng.º Armando Rito)

  a)  Usando o método do diagrama rectangular, determine o momento resistente positivo

[MRd (+)] das secções (1) a (3); Setembro de 2007

VIII-21

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VIII – E.L. Últimos

 b)  Determine o momento resistente negativo [MRd(-)] da secção (4). Despreze a contribuição da armadura passiva; c)   No caso da secção (1) determine também t ambém o momento resistente aos 7 dias de idade. O coeficiente de endurecimento para esta idade é de 0.85. d)   No que se refere ainda à secção (1), determine o momento resistente na hipótese de se tratar de pré-esforço não aderente. Considere σ p∞ = 1050 MPa. e)  Ainda no que se refere à secção (1), determine o momento resistente associado a um esforço axial exterior de: e1) Nsd = - 1000 KN; e2) Nsd = +500 KN;

Problema 8.2 (E.L. de flexão) Uma viga de dois vãos de 13.20 é pré-esforçada com dois cabos de 7 cordões. Os cabos têm o traçado da figura junta: g, q

2x7T15         5         2   .         0

        5         2   .         0

6.00

3.60

3.60

3.60

13.20

ACÇÕES: Permanentes: g = 30 KN/m Variáveis: q = 20 KN/m Pré-esforço: Mhip = +0.01807 P

(σ p∞ = 1050 MPa)

3.60

6.00 13.20

MATERIAIS: BETÃO: C30/37

        0         2   .         0

0.30

AÇO PRÉ-ESF.: cordão Y1860 s7 AÇO DE PASSIVO.: A500

        0         7   .         0

0.80

  Verifique a segurança ao E.L. de flexão na secção do apoio central. Comece por adoptar a armadura mínima de flexão. Se não chegar, aumente-a até que se verifique a segurança.

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VIII-22

 

DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

Cap. VIII – E.L. Últimos

Problema 8.3 (E.L. de Esforço transverso)  Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura: 1.50

1.50

2X7T15         0         9         1         8   .   .         0         0

        0         1   .         0

C   AB O  O 1

CABO 2 9.00

9.00 18.00         2         1   .         0

1.80

        0         1   .         1

MATERIAIS: BETÃO: C30/37 AÇO DE PRÉ-ESF.: cordão Y1860 s7 AÇO PASSIVO.: A500

ACÇÕES:  p∞ = 1050 MPa. Permanentes: g = 20 KN/m; σ p∞ Variáveis: veículo constituído por 3 cargas de 100 KN cada

0.30 0.51 m2; I = 00.0615 .0615 m4 SECÇÃO: A = 0.51

 

Ø das baínhas: 65 mm

vs = 0.377 m; vi = 0.723 m

Adoptando bielas a 30º, tanto na alma como no banzo: a)  Verifique a segurança ao E.L. de esforço transverso na secção a d   do apoio, determinando a área de armadura a dispor na alma e verificando a segurança contra o esmagamento do betão.  b)  Determine, na mesma secção, a área de armadura transversal a dispor no banzo. Verifique se a espessura do banzo é suficiente para garantir o não esmagamento das  bielas de betão.

Problema 8.4 (Vigas de altura variável)  Em cada uma das situações seguintes diga se a inclinação do banzo é favorável ou desfavorável do ponto de vista do EL último de esforço transverso.

(1)

(2)

(4)

(3)

(5)

 

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DEC – BETÃO ESTRUTURAL III

 

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Problema 8.5 (adaptado do 2.º teste de 11/6/2007)  Considere a viga indicada na figura seguinte: G, Q

g

       5        4  .        0

       5        4  .        0

       0        9  .        0

C   A

B

3.00

10.00 0.20

0.20 A = 0.52 m2; vs = 0.592 m I = 0.049 0.049 m m4; 4; vi = 0.408 m

       0        0  .        1        0        2  .        0

1.00

 

Materiais:

− Betão: C30/37;  f ccd d  = 20.0 MPa; − Armaduras de pré-esforço: Y1860 S7;  f  pk  = 1860 MPa;  f  pyd  = 1400 MPa; − Armaduras passivas: Aço A500NR;  f ssyd  yd  = 435 MPa;

Acções: 

− Permanentes:

g = peso próprio da viga =

25×0.52 = 13 KN/m; 

G = 40 KN;

− Variáveis:

Q = 60 KN

(ψ 0 = 0.60; ψ 1 = 0.50; ψ 2 = 0.40); 2

Pré-esforço: Será realizado com dois cabos de 7 cordões de 15.2 mm (1.4 cm  de área). O traçado é constituído por 2 troços parabólicos: AB e BC . a)  Determine as reacções em A e B devidas a g, G e Q.  b)  Verifique a segurança na secção  B  em relação ao ELU de flexão. Admita que a armadura passiva é constituída por 4φ16 dispostos a 5 cm da face superior. c)  Verifique a segurança em relação ao ELU de esforço transverso na secção  B  à esquerda. Adopte estribos verticais e bielas a 30º. (φ bainha = 65 mm) d)  Esboce o modelo de treliça da viga completa. Desenhe a traço interrompido as bielas e a traço continuo os tirantes.(2 val.)

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Cap. VIII – E.L. Últimos

Problema 8.6 (adaptado do 2.º teste de 11/6/2007) Considere novamente a estrutura do problema 8.5. Considerando que o apoio  A  está a trabalhar à tracção, admita que se pretende ancorar a viga nesse apoio recorrendo a barras de  pré-esforço, conforme se esquematiza na figura seguinte:

       0        0  .        2

  a)  Admita que se pretende utilizar barras φ32 da classe Y1030H (  f f  p0.1k   = 835 MPa). Determine o número de barras necessárias utilizando um critério de EL Ultimo.  b)  Determine a força mínima que deve existir nas barras ( P∞) de forma a manter o apoio comprimido para a combinação rara de acções. c)  Admitindo 15% de perdas diferidas, determine a força de esticamento nas barras de forma a garantir o P∞ calculado na alínea anterior. Considere 1 mm de reentrada da  barra e despreze as perdas por atrito e deformação elástica instantânea. Adopte  E  p  = 170 GPa.

___

Resolução a)  As reacções no apoio A para cada uma das acções são as seguintes:  RG = 133.3 KN;  RQ = 200 KN;  Rg = 197.2 KN; Assim, Rsd  = 1.35×197.2 + 1.50×133.3 + 1.50×200 = 766.2 KN; 2, o valor de cálculo da Considerando que a área de uma barra φ32 é de 8.04 cm -1 resistência dessa barra é: F  Rd  = f  pyd × A p = 835/1.15×8.04×10  = 583.8 KN.  Número de barras necessárias: n = 766.2/583.8 = 1. 1.3. 3. Adoptam-se 2 bbarras. arras.

 b)   Rrar  = 197.2 + 133.3 + 200 = 530.5 KN; Portanto P∞  = 530.5/2 = 265 KN/barra. c)  A tensão inicial nas barras é: σ 0 = 265/(8.04×10-4) = 330 MPa; MPa; Vimos no capítulo VII (exemplo 7.5) que as perdas por reentrada dos fixadores num cabo sem atrito são iguais a E  pδ rr /   LL sendo L o comprimento do cabo. Assim, a tensão de esticamento deve ser pelo menos: σ 00’’ = 330 + 170×1.0/2.00 = 415 MPa, pelo que P0’ ≥ 415×8.04×10-1 = 334 KN.

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Cap. IX – Lajes pré-esforçadas

Cap. IX – Lajes pré-esforçadas pré-esforçadas 1.  Introdução Muitas das considerações feitas em capítulos anteriores relativas a vigas aplicam-se também a lajes. O pré-esforço nas lajes apresenta, porém, algumas particularidades de que daremos conta no presente capítulo. Tal como nas vigas, o pré-esforço nas lajes apresenta vantagens óbvias. A principal limitação das lajes decorre do facto de se tratarem de elementos de pequena espessura, o que limita as excentricidades dos cabos e consequentemente a sua eficiência estrutural. Por essa razão, os sistemas de pré-esforço vocacionados para aplicação em lajes visam maximizar a excentricidade dos cabos e são, basicamente, de dois tipos: um é constituído por cabos monocordão auto-embainhados. O outro é constituído por cabos de 3 ou 4 cordões inseridos em bainhas achatadas ( flat duct ), ), posteriormente injectadas. O primeiro é do tipo não aderente e o segundo é do tipo aderente. A figura seguinte ilustra estes dois tipos de sistemas:

Fig. 9. 1 – Sistemas de pré-esforço para lajes (Catálogo VSL)

Vejamos de seguida as principais vantagens dum e doutro sistema: a)  vantagens do sistema não aderente −   permite um ligeiro ganho de excentricidade face ao sistema aderente;

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Cap. IX – Lajes pré-esforçadas

−   possibilita uma maior rapidez de execução, dado que não rrequer equer a colocação

de bainhas nem a injecção; −  as perdas por atrito são muito pequenas; −  os cordões estão melhor protegidos contra a corrosão desde a fábrica até à

 betonagem da laje.  b)  vantagens do sistema aderente −   para a mesma quantidade de aço, o momento resistente é superior, graças à

aderência; −   permite um melhor comportamento à fissuração, graças também à aderência; −  uma rotura local nunca se transforma em rotura global; −  assegura uma protecção ao fogo um pouco superior em relação ao sistema não

aderente. As vantagens do sistema aderente parecem ser globalmente superiores às do sistema não aderente. No entanto, como é evidente, isto não quer dizer que se deva excluir à partida o sistema não aderente. Suponhamos, por exemplo, que a principal razão que nos levou a optar  por pré-esforçar determinada laje, foi o controlo de deformações. Sob este ponto de vista, a eficiência dum e doutro sistema são idênticas, pelo que poderíamos optar pelo sistema não aderente e assim aproveitar a vantagem da maior rapidez de execução e do menor atrito cabo baínha. Refira-se, aliás, que muitas vezes a razão que nos leva a optar por pré-esforçar a laje é  justamente a redução das deformações. Conforme já vimos no capítulo II, as deformações por fluência podem ser estimadas por d ∞∞    = d 0  (1 + ϕ ), ), com ϕ   o coeficiente de fluência e d 0 a deformação elástica inicial. Portanto, quanto menor for a deformação elástica inicial, e aqui o  pré-esforço é favorável, menor será a deformação a longo prazo.

2.  Pré-dimensionamento Um critério prático para estabelecer a quantidade de pré-esforço a aplicar, consiste em determinar a força de pré-esforço que equilibra determinada percentagem da carga quase  permanente, 70% por exemplo, isto é:  p ∞ :

q eq = 0.70   (g +

2q

) 

 No que diz respeito à espessura da laje, sugerem-se seguidamente valores de esbeltez, λ=l/h  que conduzem normalmente a deformações da laje aceitáveis. Tais valores foram calibrados na hipótese do pré-esforço equilibrar cerca de 70% da carga quase permanente (Fib, 1999).

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Cap. IX – Lajes pré-esforçadas

l [m]

λ (g+q)/g

7.5

10.0

15.0

20.0

1.0

45

42

33

27

2.0

41

34

26

20

3.0

35

29

22

16

>l/4

λ

l [m]

(g+q)/g

10.0

15.0

20.0

1.0

37

29

24

2.0

30

22

17

3.0

25

18

14