Bernhard Riemann

 

Bernhard Riemann Georg Friedrich Bernhard Riemann (17 de septiembre de 1826 - 20 de julio de 1866) 1866) fue un matemático  matemático alemán que realizó contribuciones muy importantes en análisis y diferencial, algunas de ellas geometría diferencial, allanaron el camino para el desarrollo más avanzado de la relatividad general. general. Su zeta,, nombre está conectado con la función zeta Riemann,, el lema de Riemann Riemann,, la integral de Riemann las variedades de Riemann, Riemann, las superficies de Riemann y la geometría de Riemann. Riemann.

Biografía  Nació en Breselenz, Breselenz, una aldea cercana a Dannenberg en el  el Reino de Hanóver , actualmente  parte de  de Alemania. Alemania. Su padre Friedrich Bernhard Riemann era pastor luterano en Breselenz y había luchado en las guerras napoleónicas. napoleónicas. Bernhard era el segundo de seis niños, su frágil salud y la temprana muerte de casi todos sus hermanos fueron debidos a la subalimentación en su juventud. Su madre también murió antes de que sus hijos crecieran. Hanóver a vivir con su abuela y a visitar el Lyceum. Después de la En 1840 Bernhard fue a Hanóver a muerte de su abuela en 1842 entró al Johanneum Lüneburg. Lüneburg. Desde pequeño demostró una fabulosa capacidad para el cálculo unido a una timidez casi enfermiza. Durante sus estudios de secundaria aprendía tan rápido que enseguida adelantaba a todos sus profesores. 1846,, a la edad de 19, comenzó a estudiar filología estudiar  filología y teología  teología en la Universidad de En 1846 Göttingen,, su idea era complacer a su padre y poder ayudar a su familia haciéndose pastor. Göttingen cuadrados. En 1847 su padre Atendió a conferencias de Gauss sobre el Método de mínimos cuadrados. reunió el dinero suficiente para que comenzara a estudiar matemáticas estudiar matemáticas.. Berlín,, donde enseñaban Jacobi, Jacobi, Dirichlet Dirichlet  y Steiner . En 1848  1848  En 1847 se trasladó a Berlín estallaron manifestaciones y movimientos obreros por toda Alemania, Riemann fue reclutado por las milicias de estudiantes, incluso ayudó a proteger al rey en su palacio de de Berlín. Permaneció allí por dos años y volvió a Göttingen en 1849. 1849. En 1859 formuló por primera vez la hipótesis de Riemann el cual es uno de los más famosos e importantes problemas sin resolver de las matemáticas

 

Riemann dio sus primeras conferencias en 1854, 1854, en las cuales fundó el campo de la geometría de Riemann. Riemann. Lo promovieron a profesor extraordinario en la universidad de 1859. En 1862 se casó con Elise Koch. Göttingen en  en 1857 y se hizo profesor ordinario en 1859. Selasca.. Murió de tuberculosis en su tercer viaje a Italia en Selasca

Aportes Matematicos de Riemann

LA INTEGRAL DE RIEMANN

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA  El problema del cálculo de áreas planas y de volúmenes de sólidos se remonta a los tiempos de los griegos. Básicamente existían dos tipos de métodos: los métodos heurísticos o atómicos , y los métodos de exhausción.  Los métodos heurísticos se basaban en la teoría atomista de Demócrito, que consideraba una línea, superficie o volumen como formada de un gran (aunque finito) número de átomos. Se trataba entonces, de sumar todos sus átomos para calcular su longitud, superficie o volumen. Con este método, Demócrito calculó por  primera vez los volúmenes del cono y la pirámide.   Los métodos de exhausción trataban de forma más rigurosa el cálculo de áreas y volúmenes, realizando demostraciones exhaustivas de los resultados, pero tenían la desventaja de la necesidad de conocer el resultado para poder demostrarlo. Estos métodos fueron típicos de la Matemática griega y renacentista.   La obra de Arquímedes de Arquímedes fue la mayor aportación de la matemática griega al cálculo integral. Entre sus resultados se encuentran las relaciones entre el área de la esfera y la longitud del ecuador, entre el volumen de la esfera y el del cilindro circunscrito, el área de un segmento de parábola, el área de la elipse, el volumen y área lateral de esferas, conos y pirámides. Arquímedes utilizó ambos tipos de métodos.  Los problemas de cálculo de áreas resurgieron en el siglo XVII por las Kepler calcula el volumen de determinadas necesidades de la Mecánica. Johann Kepler calcula vasijas obtenidas a partir de la revolución de segmentos de cónicas: un círculo está formado por una infinidad de triángulos con un vértice común en el centro. Era un método más heurísitico y menos riguroso que el de Arquímedes.   Cavalieri establece que dos sólidos con la misma En el siglo XVII el principio de Cavalieri establece curva de altura tienen el mismo volumen si las secciones planas de igual altura tienen el mismo área. Este principio permitió integrar polinomios.  

 

Pascal calculó áreas y volúmenes relacionados con la cicloide, utilizando Pascal calculó indivisibles. También obtuvo por sumación las áreas de las funciones sen x , sen2  x  y x sen x cuando uno de los límites es 0 ó PI.   En 1670 el matemático Barrow  Barrow descubre descubre un método general para calcular  tangentes y formula la relación entre la tangente y el área, aunque parece que ¡no fue consciente de la importancia de su descubrimiento!.   El reconocimiento del problema del cálculo de áreas como el inverso del cálculo de diferenciales, se debe a Newton y Leibniz. Newton sí se dio cuenta de la relación existente entre los dos problemas, unificándolos en el "cálculo de fluxiones". Newton calculó áreas por antidiferenciación, dando el primer enunciado explícito del teorema fundamental del Cálculo. Independientemente, Leibniz  Leibniz llega llega a los mismos resultados, pero considerando la integración como una suma.

Leibniz introdujo además la moderna notación de .  Bernoulli a finales del siglo El nombre de Cálculo Integral fue puesto por Jacob por Jacob Bernoulli a XVII. En el siglo XIX Euler  Euler publicó publicó en un libro todo el cálculo integral elemental.   El Cálculo Integral fue asentado de forma rigurosa a partir de la noción de límite de Cauchy . Pero la integral de Cauchy sólo era válida para funciones continuas en intervalos cerrados y acotados. Esto dejaba fuera muchas funciones, así que fue Riemann quien definió la integral que lleva su nombre, ampliando la clase de funciones integrables a las funciones continuas salvo en un número numerable de discontinuidades; pero la relación entre derivación e integración deja de ser válida en los puntos de discontinuidad.  Y el gran desarrollo del análisis hizo aparecer la noción de integral de Lebesgue Lebesgue,, en el que toda función definida de forma constructiva es integrable. Esta integral tiene mayor generalidad, y un mejor comportamiento en los procesos de paso al límite.  Introduciremos la integral de Riemann para tratar el tratar el problema del cálculo de áreas..  áreas

EL PROBLEMA DEL CÁLCULO DE ÁREAS. APROXIMACIONES A SU SOLUCIÓN  Objetivo  El objetivo es calcular el área exacta que encierra una curva dada por una función y = f( f(x) x) 0, el eje eje X, X, y las las rec recta tas s x = a y x = b. 

 

Pero no todas las funciones permiten delimitar un área. Para que tenga sentido el Riemann.  cálculo de áreas, la función f debe ser "buena" ser "buena" o integrable Riemann. Tomaremos como ejemplo el problema de calcular el área que hay entre la función y = x 2  y el eje X , desde x = 0 hasta x = 2 .  De manera gráfica, el problema se puede representar así: 

Pero, ¿cómo se ha llegado al cálculo exácto del área, es decir, al valor 2.666667?   Como sabemos calcular el área de un rectángulo (base x altura), consideramos  primera aproximación el área de una caja o rectángulo que tiene como como primera como base todo el intervalo de integración [0, 2], y de altura tomamos:  - el menor valor de y=x 2  en [0,2], es decir, 0; entonces el área del rectángulo es 2 x 0 = 0 (suma ( suma de Riemann inferior ). ). Este valor está siempre por debajo del valor  real del área.  - el mayor valor de y=x 2  en [0,2], es decir, 22=4; así el área es 2 x 4 = 8 (suma (suma de Riemann superior ). ). Como este rectángulo encierra toda la gráfica, el valor de su área está siempre por encima del área que queremos calcular.   aproximación, dividimos el intervalo [0, 2] en dos subintervalos y Como segunda aproximación, volvemos a hacer lo mismo en cada uno de ellos, esta vez sumando las áreas de dos rectángulos. Así, tenemos: 

 

- los valores menores de y=x 2  en los intervalos son 02=0 y 12=1; así que el área es (1x0)+(1x1)=1 (suma (suma inferior ). ). Este valor siempre estará por debajo del valor  real del área.  - y los valores mayores de y=x 2  son 12=1 y 22=4; así que el área es (1x1)+(1x4)=5 (suma (suma superior ). ). Este valor siempre estará por encima del valor real del área.  De esta forma, estamos acotando. A medida que se aumente el número de subintervalos el área correspondiente a la suma inferior y a la superior se irán Riemann, la distancia entre acercando. Si la función es "buena", "buena", o integrable Riemann, ambas aproximaciones tiende a 0, y entonces el área entre la función, el eje X y las rectas x= a y x = b será el límite de estas dos aproximaciones (una por arriba y otra por abajo). 

Conclusiones:  Como hemos visto, para esta función y = x 2  a medida que aumenta el  número de puntos de la partición la partición que tomamos para aproximar el área, el  error que se produce cada vez es menor, tanto para la suma de Riemann R iemann superior como para la inferior.  Todas aquellas funciones que cumplan esta propiedad se dice que son RiemannIntegrables.. Ahora veremos con un ejemplo cómo esto no siempre es así (la Integrables función de Dirichlet). 

Ejemplo de función no integrable Riemann. La función de Dirichlet.   Veamos una función que no es integrable Riemann. Dada la función de Dirichlet  en [a, b], definida así: 

Su representación gráfica aproximada es:  

 

¿Por qué no es integrable Riemann?   Sean cuales sean [xi-1, xi], el valor máximo de f(x) en el intervalo es 1, y el mínimo es 0, ya que por muy pequeño que sea el intervalo, siempre habrá números racionales e irracionales en su interior. De esta forma, el valor de las sumas superior e inferior de Riemann será:  I(f, P) = 0 (x1 - x0) + 0 (x2 - x1) + ... + 0 (x n - xn-1) = 0

(Suma inferior ) 

S(f, P) = 1 (x1 - x0) + 1 (x2 - x1) + ... + 1 (x n - xn-1) = b - a

(Suma superior ) 

Esta situación se dará sea cual sea la partición P que se eliga. Por tanto, la suma superior y y de superior y la inferior no se aproximan entre sí, y el valor de la integral superior  la integral inferior  será:  I*( f ) = 0

<

I*( f ) = b - a

Al no ser iguales, la función de Dirichlet no es Riemann-integrable.