Berkeley Physics Course, Vol 1, Mecanica

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berkeley physics course - volumen

1

mecánica

m ecánica berkeley physics course—volumen

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segunda edición

Charles K ittel P ro fe s s o r o f P h ysics U n iv e rs ity o f C a lifo rn ia B e rk e le y

Walter D . Knight P ro fe s s o r o f P h y s ic s U n iv e r s ity o f C a lifo rn ia B e rk e le y

Malvin A . Ruderman P ro fe s s o r o f P h y s ic s N e w Y o rk U n iv e rs ity .

R evisada por

A. Cari Helmholz

Burton J. Moyer

P ro fe s s o r o f P h ysics U n iv e rs ity o f C a lifo rn ia B e rk e le y

D ean o f th e C o lle g e o f L ib e ra l A rts U n iv e r s ity o f O re g o n E u g en e

EDITORIAL REVERTE, S. A. Barcelona-Bogotá-Buenos Aires-Caracas-México

Título de la obra original

Mechanics Edición original en lengua inglesa publicada por

McGraw-Hill Book Company Copyright © McGraw-Hill, Inc. Versión española por el

Prof. Dr. J. Aguilar Peris Catedrático de Termología de la Universidad Complutense de Madrid Con la colaboración del

Prof. Dr. J. de la Rubia Pacheco Catedrático de Mecánica Estadística de la Universidad de Valencia.

Propiedad de:

EDITORIAL REVÉRTÉ, S. A. Loreto, 13-15, Local B 08029 Barcelona Reservados todos los derechos. Ninguna parte del material cubierto por este título de pro­ piedad literaria puede ser reproducida, almacenada en un sistema de informática o trans­ mitida de cualquier forma o por cualquier medio electrónico, mecánico, fotocopia, grabación u otros métodos sin el previo y expreso permiso por escrito del editor. Edición en español

© EDITORIAL REVERTÉ, S. A., 1989 Impreso en España - Printed in Spain

ISBN 84-2914282-7 Depósito Legal: B-36366 - 1989 Impreso por GERSA, Industria Gráfica Tambor del Bruc, 6 - 08970 Sant Joan Despí (Barcelona)

Indice analítico

Prólogo Prólogo a la segunda edición del volumen 1 Prólogo original del Berkeley Physics Course Notas didácticas Nota para el alumno Notación Alfabeto griego

VII IX XI XIII XVII XIX XXI

Introducción Vectores Leyes del movimiento de Newton Sistemas de referencia: transformaciones de Galileo Conservación de la energía Conservación de ia cantidad de movimiento y del momento cinético Oscilador armónico: propiedades y ejemplos Dinámica elemental de los cuerpos rígidos Fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia Velocidad de la luz Relatividad especial: transformaciones de Lorentz Dinámica relativista: cantidad de movimiento y energía Problemas de dinámica relativista Principio de equivalencia

29 61 107 141 181 209 247 277 307 335 359 385 407

Apéndice Lista de películas índice alfabético

419 421 425

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Prólogo

Uno de los problemas urgentes con el que se enfrentan hoy las universida­ des es el de la enseñanza superior. Como la investigación se ha vuelto cada vez más absorbente en el ambiente universitario, se ha empezado a sentir con demasiada frecuencia «una sutil discontinuidad en el proceso de la enseñanza» (para citar al filósofo Sidney Hook). Además, en muchos campos su contenido variable y la estructura especial de su conocimiento, que crece con la investigación, han hecho necesaria una revisión de las disciplinas. E sto es particularm ente cierto, naturalmente, en las ciencias físicas. E s un placer, por tanto, contribuir a presentar al Berkeley Physics Course and Laborátory, im portante programa que pretende exponer la física a nivel superior y proyectado de modo que refleje la tremenda revolución que ha sufrido esta ciencia en los últim os cien años. El curso ha agrupado los esfuer­ zos de muchos físicos que trabajan en la vanguardia de la investigación y ha tenido la suerte de ser apoyado por la National Science Fondation a través de una subvención destinada a Educational Services Incorporated. Se ha ensayado con éxito en las clases inferiores de la división de física de la Uni­ versidad de California, Berkeley, durante un período de varios semestres. El curso representa un marcado avance en materia de educación y esperamos que se utilice ampliamente. La Universidad de California se siente feliz de hospedar al grupo inter­ universitario responsable del desarrollo de este nuevo curso y laboratorio y se complace en que un cierto número de alumnos de Berkeley actuasen voluntariam ente para ayudar a ensayar el curso. Se aprecian grandemente el apoyo económico de la National Science Foundation y la cooperación de Educational Services Incorporated. El reconocimiento máximo estriba, quizás, en el vivo interés por la enseñanza superior patentizada por un notable nú­ mero de los m iem bros de la Universidad de California que participaron en el programa de mejora de la asignatura. La tradición de la enseñanza escolar es antigua y honorable; el trabajo dedicado a este nuevo curso y laboratorio de física dem uestra que la tradición todavía se estima en la Universidad de California. Clark K err

Prólogo a la segunda edición del volumen 1 El Volum en I del Curso de Física de Berkeley ha permanecido en su form a original durante siete años. Hace ya varios años que se consideró apropiado realizar una revisión. Cada uno de nosotros había explicado el curso en Berkeley varias veces y sobre la base de nuestra experiencia y conversaciones con los colegas, tanto de Berkeley como de otras instituciones, habíamos desarrollado y considerado ciertos cambios para que el texto resultara más «pedagógico» en un curso de introducción de estudiantes de ingeniería y de ciencias físicas. E n estas circunstancias procedimos a tal revisión. Hemos procurado mantener el aire vigorizador que fue característico de todo el Curso de Física de Berkeley, el uso de ejem plos tomados de los laboratorios de investigación y la presentación de temas de interés que con frecuencia se juzgaban demasiado avanzados para un curso introductorio. Hemos retirado algunos Temas Avanzados del Vol. 1, así como él Cap. 15, Partículas de la Física Moderna, convencidos de que no se usan con frecuen­ cia en este nivel. El cambio más sustancial ha sido el Cap. 8, sobre él «Movimiento del cuerpo rígido», que ha sido escrito totalm ente de nuevo. Aunque ciertamente este capítulo es ahora más universal, resulta más apro­ piado al nivel de los alumnos. El orden de presentación de los temas perma­ nece el m ism o excepto los Caps. 3 y 4, que se han intercambiado con la esperanza de que cierta familiaridad con las aplicaciones ordinárias de las leyes del movim iento de New ton proporcionarán al alumno una m ejor base para comprender el concepto algo más avanzado de las transformaciones de Galileo. Por último, como los alumnos han encontrado dificultades sustan­ ciales con las matemáticas, particularmente las ecuaciones diferenciales, hemos añadido cierto número de Notas Matemáticas. Las Notas Pedagógicas que se presentan a continuación ofrecen algunos detalles de la filosofía de utilizar este libro como texto. Hay todavía mucho más material del que puede usarse cómodamente en un curso cuatrimestral o semestral. Por ello, el instructor debe realizar una selección juiciosa del material que desea explicar. En los últim os años él cambio al sistem a de cuatrimestres en Berkeley ha sido poco afortunado, pues hizo necesaria la separación del trabajo de laboratorio del prim er período, que cubría la mecá­ nica. Un curso de introducción debería estar siem pre asociado al laboratorio y, por ello, la revisión del Berkeley Physics Laboratory de Alan Portis y Hugh Young proporciona trabajos de laboratorio válidos para cualquier introduc­ ción a la mecánica. Agradecemos la ayuda y crítica constructiva de muchos colegas. La cola­ boración de Miss Miriam Machlis en la preparación de esta revisión ha sido particularm ente extensa.

A. Cari Helmholz Burton J. Moyer

Prólogo original del Berkeley Physics Course Este es un curso de física básica de dos años de duración para estudiantes de la licenciatura de ciencias e ingeniería. La intención de los autores ha sido presentar la física básica en lo posible en la línea que siguen los físi­ cos que trabajan en prim era fila de su campo respectivo. Hemos intentado desarrollar un curso que subraye vigorosamente los fundam entos de la física. N uestro objetivo específico fue presentar coherentem ente en un programa elemental las ideas de la relatividad especial, la física cuántica y la física estadística. Este curso puede seguirse por cualquier alumno que haya dado un curso de física de grado medio. Debe estudiarse sim ultáneamente con otro curso de matemáticas que incluya el cálculo diferencial e integral. E n el m om ento presente se están desarrollando diversos nuevos cursos de física a este nivel en las universidades de los Estados Unidos. La idea de preparar un nuevo curso surgió en un grupo numeroso de físicos, que se veían influidos por las necesidades derivüdas del avance de la ciencia y la ingeniería y por la importancia creciente de la ciencias en los colegios de grado elemental y medio. Nuestro propio curso se concibió años atrás, en 1961, en una conversación entablada entre Philip Morrison, de la Cornell University, y C. Kittel. Nos vimos animados por John Mays y sus colegas de la National Science Foundation y por Walter C. Michels, entonces Presidente de la Comisión del College Physics. Se form ó un comité provisional para guiar el curso a través de sus primeras fases. Este se componía originalmente de Luis Alvarez, William B. Fretter, Charles Kittel, W alter D. Knight, Philip Morrison, Edward M. Purcell, Malvin A. Ruderman y Jerrold R. Zacharias. E l com ité se reunió prim eram ente en mayo de 1962, en Berkeley; en esa época bosquejó un esquema provisional de un curso de física enteramente nuevo. Debido a las ineludibles obligaciones de algunos de sus miembros originales, el com ité se reconstruyó parcialmente en enero de 1964 y ahora está compuesto por los abajo firmantes. Las contribuciones de otros cientí­ ficos se agradecen debidamente en los prefacios de cada volumen. El esquema provisional y su espíritu asociado ejercieron una poderosa influencia sobre el material del curso finalm ente conseguido. El esquema cubría con detalle los temas y modo de enfocarlos que creíamos debían y podían enseñarse a los alumnos principiantes de ciencias e ingeniería. Nunca fue nuestra intención desarrollar un curso limitado a estudiantes aventa­ jados. Hemos pretendido presentar los principios de la física desde unos puntos de vista unificados y recientes, y ciertas partes del curso pueden, por tanto, parecer tan nuevas a los profesores ayudantes como a los alumnos.

Prólogo original del Berkeley Physics Course

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Los cinco volúmenes en que se planteó dividir el curso abarcan: I. Mecánica (Kittel, Knight, Ruderman) II. Electricidad y magnetismo (Purcell) III. Ondas y oscilaciones (Crawford) IV. Física cuántica (Wichmann) V. Física estadística (Reif) Los autores de cada volum en han escogido libremente el estilo y método de presentación más apropiado a su tema. La actividad inicial del curso condujo a Alan M. Portis a idear un nuevo laboratorio de física, conocido ahora como el Berkeley Physics Laboratory. Como el curso insiste en los principios de la física, muchos profesores pueden creer que no trata suficientem ente de física experimental. El laboratorio está bien dotado de experimentos importantes y está proyectado para equili­ brar el curso. E l apoyo económico para el desarrollo del curso fue proporcionado por la National Science Foundation, con un apoyo indirecto considerable de la Universidad de California. Los fondos fueron administrados por Educational Services Incorporated, una organización desinteresada establecida para ad­ ministrar los programas de mejora de las disciplinas. Nos sentimos parti­ cularmente en deuda con Gilbert Oakley, James Aldrich y William Jones, todos de E SI, por su amable y entusiasta apoyo. E S I estableció en Berkeley una oficina bajo la m uy competente dirección de Mrs. Mary R. Maloney para ayudar en el desarrollo del curso y del laboratorio. La Universidad de California no tenía conexión oficial con nuestro programa pero nos ha ayudado de diversas e importantes maneras. Agradecemos esta ayuda en particular a dos Presidentes sucesivos del. Departamento de Física,. August C. H elm holtz y Burton J. Moyer, al claustro de profesores y directivos del Departamento, a Donald Coney y muchos otros de la Universidad. Abraham Olshen nos prestó gran ayuda frente a los problemas iniciales de organización. Cualquier sugerencia o corrección será agradecida. Eugene D. Commins Frank S. Crawford, Jr. W alter D. Knight Philip Morrison Alan M. Portis Edward M. Purcell Frederick Reif Malvin A. Ruderman Eyvind H. W ichmann Charles Kittel, Presidente Berkeley, California

Notas didácticas Este volumen está escrito deliberadam ente para ser utilizado como texto. Su nivel corresponde al de aquellos alumnos que han estudiado conocimien­ tos básicos de cálculo y que en el curso presente am plían estos conoci­ mientos. En la Universidad de California, en Berkeley, los alum nos de ciencias físicas e ingeniería comienzan el cálculo en el prim er cuatrim estre de su curso prim ero y lo am plían en el segundo cuatrim estre. H an estudiado el cálculo diferencial cuando comienzan el curso de física y estudian el cálculo integral por lo menos hacia la m itad del cuatrim estre. Este curriculum tan estricto requiere una cooperación grande con los profesores del curso de m atem áticas. Naturalm ente, los alumnos no conocen las ecuaciones dife­ renciales y, por ello, al final de los Caps. 3 y 7, en las Notas M atemáticas, se incluyen sugerencias relacionadas con la solución de tipos sencillos de estas ecuaciones. Realmente son pocos los tipos de ecuaciones a resolver en este curso de mecánica y esperamos que el alum no pueda aprender cada uno de ellos. El profesor observará que las listas de películas han sido recopiladas todas al final del libro y no al final de cada capítulo. La llamada Resource Letter es una lista de películas muy completa. Se han señalado aquellas que parecen especialmente apropiadas para el tem a de mecánica. En los últim os años se han preparado un gran núm ero de películas tipo «loop».* Algunas son muy útiles como ilustraciones cortas de temas especiales; cada profesor descu­ b rirá para su propio uso aquellas que se ajustan a su enseñanza. Aunque los problem as que se han agregado en esta revisión son funda­ m entalm ente más fáciles que los que se han reemplazado, no hemos incluido problem as muy simples ni problem as de aplicación directa de fórm ulas. Algunos de ellos darán al alumno confianza en sí mismo. Sin embargo, cree­ mos que cada profesor debe preparar sus problem as o, al menos, buscarlos en otros libros. No existen dos profesores que den un curso de mecánica de igual modo y el uso de problem as especiales les dará una buena oportuni­ dad para diversificar. Existen ahora diversos libros de problem as útiles p ara este fin. Algunos títulos, así como otros libros de mecánica de este nivel, se relacionan en el Apéndice. Existen, como es lógico, diversos métodos para utilizar este libro como texto. Uno de los métodos que rara vez se ha utilizado en la prim era edi­ ción, pero que consideramos sería de gran utilidad siguiendo el texto comple­ to, es como un curso de mecánica a continuación de un curso de un año sin cálculo, tal como se encuentra en instituciones reducidas, donde no se dis­ pone de la posibilidad de un curso de cálculo y otro de introducción sin cálculo. En este curso, que podría darse a alumnos universitarios de (*)

Loop: filme corto continuo.

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Notas didácticas

segundo o tercer año, sería posible dar todo el libro, ya que muchos de los tem as vienen incluidos en form a menos avanzada en el prim er curso. Para la sección introductoria de un curso de física general este libro contiene demasiada m ateria y se aconseja que el profesor no pretenda expli­ car todo su contenido. Muchos cursos de introducción no incluyen la rela­ tividad especial, de modo que los prim eros nueve capítulos form an una introducción coherente a la mecánica clásica. Pero incluso este m aterial excesivo, si se in ten ta abarcar totalm ente, no puede explicarse en un curso trim estral de nueve o diez semanas o en la fracción de un sem estre que se dedica norm alm ente a la mecánica. Por ello se exponen a continuación algu­ nas sugerencias para cubrir un mínimo de capítulos. A veces no conviene incluir problem as eléctricos o magnéticos en el curso de iniciación. Creemos que el texto puede usarse de este modo, pero tam bién es cierto que muchos alum nos encuentran muy interesantes los problem as eléctricos. Existen m u­ chos profesores que encuentran muy difícil recortar las m aterias a tra ta r en el curso. N uestra experiencia personal es que es preferible tra ta r bien ciertas m aterias que abarcar muchas deficientemente. Las secciones avan­ zadas y los Temas Avanzados darían a los alumnos inteligentes la oportuni­ dad de dem ostrar su capacidad y, a aquellos que van a seguir estudios de física, les serviría de trabajo de referencia que puede utilizarse en conexión con estudios posteriores. Con estos comentarios procedemos a los detalles de los diversos capítulos. Capítulo 1. Como en la prim era edición, este capítulo no es una parte esencial del estudio de la mecánica, pero su lectura puede ser interesante para aquellos alumnos con m iras más amplias. Para los instructores que designen este capítulo a lectura, puede resultar apropiado esclarecer el con­ cepto de orden de magnitud. Capítulo 2. Los vectores introducen un lenguaje muy útil en física. Como se destaca en el texto, puede om itirse el producto vectorial junto con los ejemplos de fuerzas magnéticas, en donde v y B no son perpendiculares. Se puede llegar hasta el Cap. 6 sin conocer el producto vectorial y estudiarlo en dicho momento. El producto escalar se utiliza a menudo para determ inar m agnitudes y en el Cap. 5, para el trabajo y la energía; por ello, es muy conveniente introducirlo aquí. Además, proporciona el sistem a de resol­ ver un gran núm ero de problem as interesantes. También es útil la sección de derivadas vectoriales, pero pueden om itirse aquellas partes que tratan de los vectores unitarios r y 0 e introducirse mucho después. Capítulo 3. Este es un largo capítulo con muchas aplicaciones. Las leyes de Newton se introducen en form a convencional y procedemos a efectuar aplicaciones de la segunda ley. En un curso más corto o en un curso que no incluya aplicaciones eléctricas y magnéticas esta sección puede om itirse enteram ente, o bien el campo magnético tratarse sólo en el caso de velo­ cidad y campo magnético perpendiculares. La conservación de la cantidad de movimiento se introduce entonces a través de la tercera ley de Newton. La energía cinética se refiere a problem as de colisión, aunque no se intro­ duce hasta el Cap. 5. La mayor parte de los alumnos conocen este concepto

Notas didácticas

de cursos anteriores y no encontrarán dificultades en su estudio; pero puede om itirse si se desea. Capítulo 4. Como se indicará en el texto, este capítulo no es de tipo convencional. Muchos físicos encuentran atractiva la introducción de las transform aciones de Galileo y para aquellos que desean avanzar en la rela­ tividad especial supone una excelente introducción a la transform ación de coordenadas. Sin embargo, puede om itirse entre los alum nos no físicos y para aquellos con tiempo limitado. Probablem ente pueden incluirse algu­ nas notas a sistemas de referencia acelerados y fuerzas ficticias, pero estos conocimientos pueden adquirirse en las prim eras páginas. Capítulo 5. Se introducen el trabajo y la energía cinética, prim ero en una dimensión y después en tres dimensiones. Aquí resulta realm ente nece­ sario el producto escalar, pero el uso de la integral lineal puede eludirse. La energía potencial se tra ta con detalle. En un curso más reducido puede om itirse la discusión de campos conservatorios, así como la discusión de potenciales eléctricos. Sin embargo, es éste un capítulo im portante que no debería tratarse precipitadam ente. Capítulo 6. Este capítulo tra ta nuevamente de los choques e introduce el sistem a de referencia de centro de masas. El centro de m asas es un concepto im portante en el estudio de los cuerpos rígidos y aunque el sistem a C. de M. se utiliza ampliamente, en una versión corta de un curso de mecánica podría omitirse. La introducción del m omento cinético y del p ar de fuerzas requiere el uso del producto vectorial. A estas alturas del curso, los alumnos tendrán un nivel suficiente p ara m anejar el producto vectorial y, si fue om itido antes, ahora es el momento de estudiarlo. La conservación del momento cinético es un tem a atractivo p ara muchos alumnos. Capítulo 7. Aquí, si los alumnos tienen dificultades con las ecuaciones diferenciales deben estudiarse prim eram ente las Notas Matemáticas. La m asa del muelle y del péndulo proporcionan ejemplos directos de este im portante tem a del movimiento oscilatorio. En una versión más corta las secciones que tratan de los valores medios de energía cinética y potencial, movimiento amortiguado y oscilaciones forzadas, pueden om itirse por completo. El labo­ ratorio puede proporcionar excelentes ejemplos de este tipo de movimiento. Los Temas Avanzados sobre el oscilador anarm ónico y el oscilador forzado pueden interesar a los m ejores alumnos. Capítulo 8. Los autores presentes consideran que es muy conveniente a todos los alumnos un tratado introductorio de los cuerpos rígidos. Las ideas del par y de la aceleración angular alrededor de un eje fijo no son difíciles y proporcionan al alumno conexiones con el mundo visible y real. El tratam iento simple del giróscopo es tam bién valioso; sin embargo, la introducción de los ejes principales, productos de inercia y rotación de sistemas de coordenadas puede om itirse en la mayor parte de los cursos. Capítulo 9. Los problem as sobre fuerzas centrales son muy im portantes. Si se desea puede om itirse el cálculo del potencial dentro y fuera de las masas esféricas, en especial si se dispone de poco tiempo. Lo mismo puede

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XVI

Notas didácticas

decirse del trabajo de integrar la ecuación r del movimiento, en cuyo caso puede om itirse. Probablem ente interesará a los profesores el Tema Avan­ zado. Si es necesario, este capítulo se puede recortar mucho, pero el esfuerzo de seguirlo resulta recompensado. El problem a de los dos cuerpos y el concepto de m asa reducida son tam bién útiles, pero tam bién pueden om itirse en un curso limitado. Capítulo 10. En este capítulo se revisa cierto núm ero de métodos de determ inación de la velocidad de la luz. Este m aterial no es esencial en un curso de mecánica. No obstante, como los alumnos pueden estar interesados por su contenido cabe asignarse para su lectura en casa. A continuación se expone el experimento de Michelson-Morley que, en un curso como éste, es la evidencia m ás convincente de la necesidad de un cambio en las trans­ formaciones de Galileo. El efecto Doppler se introduce por la evidencia que proporciona de este efecto de retroceso de las estrellas distantes que se desplazan a grandes velocidades; el capítulo term ina con una sección sobre la velocidad de la luz máxima de los objetos m ateriales y el fracaso de la fórm ula new toniana de la energía cinética. Si el tiempo resulta lim itado para el estudio de la relatividad especial, una lectura superficial del capítulo puede ser suficiente. Capítulo 11. En este capítulo se deducen las ecuaciones de transform a­ ción de Lorentz y se aplican a las características m ás comunes de la relati­ vidad especial, contracción de longitudes y dilatación del tiempo. Se intro­ ducen las transform aciones de velocidad y se m uestran algunos ejemplos. Este capítulo es la base de los siguientes y, en consecuencia, debe darse am­ plio tiem po para su estudio. Capítulo 12. Los resultados del Capítulo 11 se utilizan para dem ostrar la necesidad de un cambio en la definición de la cantidad de movimiento y de la energía relativista y, finalmente, para com prender el origen de E = m e2. Es necesario destacar los experimentos con partículas de alta energía y las implicaciones de esta expresión con la física nuclear de alta energía. jEn esta etapa los alumnos conocen sólo vagamente la física nuclear, pero los ejem ­ plos resultan hoy tan actuales que vale la pena explicarlos. Finalmente, el tem a de las partículas con m asa en reposo cero responderá a las preguntas de muchos alum nos avispados. Capítulo 13. Aquí se tra ta un gran núm ero de ejemplos de los tem as desarrollados en los capítulos anteriores. Se destacan las ventajas del sistem a centro de masas. En un curso más corto puede omitirse. No obs­ tante, aquellos alum nos aventajados que lo deseen, pueden estudiarlo e igual­ m ente puede darse como referencia en otros cursos de física que traten de la relatividad especial. Capítulo 14. En los últim os años se ha hecho muy popular el estudio de la relatividad general y este capítulo puede ser un puente para su estudio. N aturalm ente, su estudio no es fundam ental en el tem a de la relatividad especial en el sentido usual, pero muchos alumnos pueden estar interesados en la diferencia entre m asa gravitatoria y m asa inerte y casi todos tendrán noticia de los ensayos sobre relatividad general.

Nota para el alumno

El prim er curso de física en la Universidad es, con mucho, el más difícil. En este prim er año se desarrollan muchas más ideas, conceptos y métodos nuevos que en otros cursos superiores o más avanzados. Un alum no que entienda claram ente la física básica desarrollada en este prim er volumen, aunque no sea capaz todavía de aplicarla fácilm ente a casos complejos, ha dejado atrás la mayoría de las dificultades reales que surgen en el aprendizaje de la física. ¿Qué deberá hacer un estudiante que tenga dificultad en resolver los problem as y en com prender algunas partes de este curso, aunque lea el texto dos veces? Prim ero deberá volver atrás y repasar las partes m ás im portantes de su libro de física elem ental y deberá leer a fondo la Física del texto PSSC.* El «Harvard Project Physics» es tam bién m uy útil. Debe consultar y estudiar uno de los muchos libros de física del nivel de introducción. Muchos de éstos son textos sin cálculo y así las dificultades introducidas por las m atem áticas se verán minimizadas. Particularm ente debe repasar los ejercicios resueltos que le resultarán muy útiles. Final­ m ente, cuando com prenda estos libros m ás elementales, podrá iniciar el estudio de otros libros de este nivel que se refieren en el Apéndice. N atural­ mente, debe recordar que sus instructores son la m ejor fuente p ara res­ ponder estas cuestiones y aclarar sus dudas. Muchos alumnos tienen dificultad en las m atem áticas. Además del libro de cálculo ordinario, hay muchos manuales que pueden ser útiles. Una excelente revisión de los elementos del cálculo diferencial e integral está disponible en un breve m anual de enseñanza sin profesor: «Quick calculus», de Daniel Kleppner y Norm an Ramsey (John Wiley and Sons, Nueva York, 1965).

(*)

Ver lecturas complementarias al final del capítulo.

Notación

Unidades

Cada campo bien desarrollado de la ciencia e ingeniería tiene sus propias unidades especiales que aparecen con frecuencia. La hectárea es una unidad norm al de superficie para un ingeniero agrónomo, un labrador o un agri­ mensor. El MeV o millón de electrón-voltios es una unidad norm al de energía p ara un físico nuclear, la kilocaloría es la unidad de energía p ara los quím i­ cos y el kilowat-hora es la unidad de energía de los ingenieros. Los físicos teóricos dirán simplemente: Escoger las unidades de modo tal que la velo­ cidad de la luz sea igual a la unidad. Un científico durante su trabajo no gasta mucho tiempo convirtiendo un sistema de unidades en otro: emplea mucho más tiempo siguiéndole la pista a algún factor 2 o al signo m ás o menos en sus cálculos. Ni empleará mucho tiempo discutiendo sobre unida­ des, porque de estas discusiones nunca ha surgido algo nuevo en Ciencia. La física se elabora y publica principalm ente según los sistemas de unida­ des cgs gaussiano y SI o mks. Todo científico o ingeniero que desee tener fácil acceso a la literatura sobre física necesitará estar familiarizado con estos sistemas. El texto está escrito en el sistema cgs gaussiano; no obstante se efectúan cierto núm ero de referencias a las unidades SI (Sistema Internacional) que hasta hace poco se llamaba sistema mks o mksa. La transform ación de unidades cgs a SI es fácil en problem as mecánicos, como se explica en el texto. Sin embargo, cuando se llega a los problem as de electricidad y mag­ netismo esta transform ación es difícil. En el texto se explican ambos sistemas y se resuelven ejemplos en ambos. No es seguro si el cambio al sistem a internacional, que se inició hace ya más de veinte años, continuará. Es evi­ dente para cualquiera que hojee una revista de física que la mayoría de sus artículos emplean el sistema cgs preferentem ente a cualquier otro. En un curso como éste deseamos facilitar al máximo la lectura de revistas especiali­ zadas a los científicos e ingenieros.

Constantes físicas

En las partes internas de las cubiertas de este libro están impresos valores aproximados de constantes físicas y de m agnitudes num éricas útiles. Valores más precisos están tabulados en E. K. Cohén and J. W. M. DuMond, Rev. Mod. Phys., 37, 537 (1965) and B. N. Taylor, W. H. Parker, and D. N. Langenberg, Rev. Mod. Phys., 41, 375 (1969).

Signos y símbolos En general, hemos procurado utilizar los símbolos y abreviaturas para las unidades que se utilizan en las revistas de Física que están, en su mayor parte, de acuerdo con los convenios internacionales. Resumimos aquí varios signos que se utilizan am pliam ente durante todo el curso: = es igual a s es casi igual a = es idéntico a

*=« es aproxim adam ente igual a ~ es del orden de m agnitud de oc es proporcional a

El empleo de los signos *=», ~ y no está ciones que hemos dado se utilizan am pliam ente In stitute of Phisics recom ienda el signo « en ~ o === (Style Manual, American Institute of 1970). n

normalizado, pero las defini­ entre los físicos. El American donde otros pueden escribir Physics, ed. rev., noviembre,

n

El signo ^ o ^ designa la suma extendida para todos los valores refei=> J ridos entre / = 1 y j = N. La notación ^ quiere decir suma doble para los i J

dos índices i y /. La notación ^ i y j

res

.

.

.

.

.

o ^

designa la suma para todos los valo-

i y i

i*j

de i y ;,excepto i = j.

Orden de magnitud Con esta frase queremos significar norm alm ente «la potencia de 1.0, más próxima». La estimación libre y resuelta del orden de m agnitud de una cantidad caracteriza el trabajo de los físicos y su modo de hablar. Es un hábito profesional de gran valor aunque a menudo trastorna enorm emente a los alum nos principiantes. Decimos, por ejemplo, que 104 es el orden de m agnitud de núm eros como 5 500 y 25 000. En unidades cgs el orden de m agnitud de la m asa del electrón es 10~27 g; su valor exacto es (0,910954 + ± 0,000005) X 10-27 g. Decimos a veces que una solución incluye (es exacta hasta) térm inos de orden x2 o E, cualquiera que sea esta cantidad. Esto se escribe tam bién en la form a O (x2) o O (£). Este modo de expresarse implica que los térm i­ nos de la solución exacta en los que aparecen potencias más elevadas (como x3 o E 2) de la m agnitud pueden despreciarse en ciertos casos en comparación con los térm inos que se conservan en la solución aproximada. Prefijos La tabla siguiente m uestra las abreviaturas y los significados num éricos de algunos prefijos de empleo frecuente: 1012 109 106 103

T G M k

teragigamegakilo-

10“3

m

io -6 10 -9

n

io - 12

P

milimicronanopico-

ALFABETO GRIEGO

A B r A E Z H 0 I K A M N E 0 ri ■

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alfa beta gamma delta epsilon zeta eta teta iota kappa lambda mu nu xi omicron Pi ro sigma tau upsilon fi ji psi omega

Los caracteres que apenas se utilizan como símbolos se han sombreado; la mayor parte de éstos tienen la form a demasiado parecida a las letras ordi­ narias para que tengan valor como símbolos independientes.

M ecánica

Contenido

EL M U N D O NATURAL EL PAPEL DE LA TEORÍA GEOMETRÍA Y FÍSICA Estim aciones de la curvatura del espacio G eom etría a escala menor IN V A R IA N C IA Invariancia en la traslación Invariancia en la rotación Problemas Lecturas suplem entarias

Introducción

Introducción EL M U N D O NATURAL

Para todos los hom bres el m undo resulta inmenso y complejo, el escenario de una gran diversidad de acon­ tecimientos y fenómenos alarm antes. E sta im presión está basada en las estimaciones del orden de m agnitud gene­ ral de los valores de algunas m agnitudes interesantes. En este momento no entrarem os en detalle sobre los ar­ gumentos y medidas que conducen a los núm eros que se citan. El hecho más notable de los mismos es que los co­ nozcamos sin que tenga apenas im portancia el que alguno de ellos se conozca sólo aproxim adam ente. El universo es inmenso. A p artir de observaciones astronóm icas se sugiere el valor de 1028 cm ó 1010 años luz p ara una longitud característica que se denomina radio del universo en su más amplio sentido. El valor es dudoso quizás en un factor 3. Para com parar, indi­ caremos que la distancia de la Tierra al Sol es 1,5 X1013 cm y que el radio de la Tierra mide 6,4 xlO 8 centím etros. El número de átomos en el universo es m uy grande. El núm ero total de protones y neutrones en el universo, con una incertidum bre quizás de un factor 100, se cree que es del orden de 1080. En el Sol existen en núm ero de lx lO 57 y en la Tierra de 4 x l0 51. El total indicado en el universo podría constituir unas 1080/1057 (o 1023) estrellas de la mism a m asa que nuestro Sol. [Compá­ rese con el núm ero de átomos en un peso atómico (nú­ m ero de Avogrado) que vale 6 x l 0 23]. La mayor parte de la m asa del universo parece ser que pertenece a las estrellas y todas las estrellas conocidas tienen m asas entre 0,01 y 100 veces la de nuestro Sol. La vida es el fenóm eno más complejo del universo. El hom bre, una de las form as vitales más complicadas, está compuesto, aproxim adam ente, por unas 1016 células. Una célula es una unidad fisiológica natural que con­ tiene de 1012 a 1014 átomos aproxim adam ente. Se cree que todas las células de cada variedad de m ateria viva contienen al menos una larga cadena molecular de ADN (ácido desoxirribonucleico) o de un pariente próximo RNA (ácido ribonucleico). Las cadenas de ADN en una célula contienen todas las instrucciones químicas o in­ formación genética necesaria para construir un hom bre completo, un pájaro, una bacteria o un árbol. En una macromolécula de ADN, que está com puesta de 108 a 1010 átomos, la distribución precisa de los mismos puede variar de un individuo a otro, pero siem pre cambia de

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una especie a otra.* Sobre nuestro planeta se han des­ crito y dado nom bre a más de 106 especies. La materia inanimada también aparece en múltiples formas diversas. Los protones, neutrones y electrones se combinan para form ar alrededor de 100 elementos químicos diferentes y casi 103 isótopos identificados. Los elementos se han combinado en diversas propor­ ciones para form ar quizás 106 o más compuestos quími­ cos diferenciados e identificados y a este núm ero puede añadirse un amplio núm ero de soluciones líquidas y só­ lidas y aleaciones de diversas composiciones que poseen propiedades físicas distintas. Por medio de la ciencia experimental, hemos sido capaces de aprender todos estos hechos acerca del m un­ do natural, triunfando sobre la oscuridad y la ignorancia para clasificar las estrellas y valorar sus masas, com­ posiciones, distancias y velocidades; para clasificar las especies vivas y para descifrar sus relaciones genéticas; para sintetizar cristales inorgánicos, sustancias bioquí­ micas y nuevos elementos químicos; para m edir las líneas de los espectros de emisión de los átomos y mo­ léculas en un intervalo de frecuencias de 100 a 102C ciclos por segundo (c.p.s.)** y para crear nuevas par­ tículas fundam entales en el laboratorio. Estos grandes logros de la ciencia experimental los han obtenido hom bres de muy diversos tipos: pacientes, persistentes, intuitivos, inventivos, enérgicos, perezosos, afortunados o habilidosos. Algunos preferían utilizar aparatos sencillos, otros inventaron o construyeron ins­ trumentos de gran refinam iento o de tam año grande o muy complicados. La mayoría de estos hom bres tenían en común solamente una cosa: fueron honrados y real­ mente hicieron las observaciones que habían anotado y publicaron los resultados de su trabajo en una form a que perm itió a otros repetir el experimento o la ob­ servación. EL PAPEL DE LA TEORÍA

La descripción que hemos dado del mundo natural considerándolo como inmenso y complejo no es com-

(*) El término especie se define de un modo poco preciso indicando que dos poblaciones son de diferentes especies si pueden encontrarse entre ellas alguna(s) diferencia (s) fácilmente descriptible(s) y si no puede existir procreación mixta de un modo natural.' (**) La unidad que expresa los ciclos por .segundo se denomina hertz (Hz) y, por tanto, esta frase podía haberse escrito «de 100 a 1020 Hz».

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pleta, puesto que la comprensión teórica hace que varias partes de esta imagen del mundo aparezcan mucho más sencillas. Se ha conseguido un notable entendim iento de algunos aspectos im portantes y cruciales del mundo. Los campos que creemos comprender, resum idos a con­ tinuación, junto con la teoría de la relatividad y la mecánica estadística, son quizás los mayores logros in­ telectuales de la hum anidad.

T

(A) Adenina

(T) Timina

I (G) Guanina

I (C) Citosina

FIG. 1.1. a) Representación esquemática de las cuatro bases nucleótidas de las que se deriva la molécula de ADN.

S

A

b)

c)

P

S P

S

A

A

T

C

P

S

1» S V

A C

T

S

y C.

P S V

S

y]/ A A

c:

Los nucleótidos están unidos a grupos azúcares S, los cuales, a su vez, están unidos a grupos fos­ fatos P para formar una cadena.

La molécula ADN está compuesta de una cadena doble en forma' de hélice. Las dos hebras están unidas por enlaces hidrógeno entre los grupos adenina y timina o entre los grupos guanina y citosina.

1. Las leyes de la mecánica clásica y de la gravita­ ción (Vol. 1) que nos perm iten predecir con notable exactitud los movimientos de las diversas partes del sistema solar (incluyendo cometas y asteroides) han con­ ducido a la predicción y descubrim iento de nuevos pla­ netas. Estas leyes sugieren posibles mecanismos para la formación de estrellas y galaxias y, junto con las leyes de la radiación, dan una explicación convincente de la conexión observada entre la m asa y la luminosidad de las estrellas. Las aplicaciones astronóm icas de las leyes de la mecánica clásica son las m ás bellas, pero no las únicas realizadas con éxito. Utilizamos constantem ente estas leyes en nuestra vida cotidiana y en las distintas ram as de la ingeniería. N uestras aventuras contem porá­ neas en el espacio y el uso de satélites están basadas en aplicaciones refinadas de las leyes de la mecánica clási­ ca y la gravitación. 2. Las leyes de la mecánica cuántica (Vol. 4) dan una acertada explicación de los fenómenos atómicos. Se han hecho predicciones para los átomos simples, que han resultado acordes con las experiencias hasta 1 p arte en 105 o incluso m ejor. Cuando se aplican a los sucesos terrestres y celestes de m ayor escala, las leyes de la mecánica cuántica son idénticas, dentro de una apro­ ximación excelente, a las de la mecánica clásica. La mecánica cuántica proporciona, en principio, una base teórica precisa para la química y m etalurgia en su tota­ lidad y para gran parte de la física, pero con frecuencia no podemos tra ta r las ecuaciones con los com putadores existentes o previsibles. En ciertos campos casi todos los problem as parecen demasiado difíciles para un enfo­ que teórico directo basado en los principios fundam en­ tales. 3. Las leyes de la electrodinám ica clásica, que su­ m inistran una interpretación excelente de todos los efectos eléctricos y magnéticos, excepto a escala atómica, son la base de la ingeniería eléctrica y de la industria dedicada a las comunicaciones. Los efectos eléctricos y magnéticos a escala atóm ica se describen exactamente

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mediante la teoría de la electrodinám ica cuántica. La electrodinámica clásica es el tem a de los Vols. 2 y 3; algunos aspectos de la electrodinám ica cuántica se inician en el Vol. 4, pero la discusión com pleta de este campo deberá diferirse a un curso posterior. 4. Como ejem plo más concreto y en otro nivel, pa­ rece alcanzarse la com prensión de los fenómenos genéti­ cos, pudiéndose afirm ar que el alm acenam iento de infor­ mación de la célula de un organismo sencillo supera al de las m ejores calculadoras comerciales de hoy día. Estos tem as son objeto de la biología molecular. Prác­ d) ticamente en todos los seres vivos de nuestro planeta la codificación completa de la información genética en la molécula ADN está a cargo de una doble secuencia lineal (que posee de 106 a 109 unidades, según el organis­ mo) de cuatro grupos moleculares con reglas específicas, pero simples, que gobiernan el apaream iento de miem­ bros opuestos en la doble secuencia (véase Fig. 1.1). Estas m aterias form an parte de la biología molecular. Las leyes físicas y la explicación teórica de los fenó­ menos descrita en estos ejemplos tienen un carácter completamente diferente de los resultados directos de las observaciones experimentales. Las leyes, que resum en las partes esenciales de un gran núm ero de observaciones, nos perm iten hacer con éxito cierto tipo de prediccio­ nes, lim itadas en la práctica por la complejidad del sistema. Con frecuencia las leyes sugieren experimentos nuevos y poco corrientes. Aunque las leyes puedan esta­ e) blecerse norm alm ente de una form a concisa*, su apli­ cación puede exigir a veces cálculos y análisis m ate­ máticos muy largos. Existe otro aspecto de las leyes fundam entales de la física; aquellas que hemos llegado a com prender tienen una gran belleza y una atractiva sencillez.** Esto no significa que debamos interrum pir la experimentación; porque las leyes de la física se han descubierto por lo general únicam ente después de penosos e ingeniosos ex-

(*) La primera frase de un pequeño libro de Feynman es «Estas conferencias abarcarán toda la física». R. Feynman, Theory of funda­ mental processes (W. A. Benjamín, New York, 1961). (**) «Parece ser que, si se está trabajando con el fin de aumen­ tar la belleza de una ecuación y se tiene realmente una perspicacia adecuada, se está progresando sobre una línea segura.» P. A. M. Dirac. Scientific American 208 (5), 45-53 (1963). Pero la mayoría de los físicos sienten que el mundo real es demasiado sutil para estos ataques tan intrépidos excepto para las inteligencias más grandes de la época, como Einstein o Dirac o una docena más. En manos de algunos millares de físicos, este modo de enfocar está limitado por la dis­ tribución desigual de «perspicacia adecuada» entre los hombres.

f)

Toda la información genética en la célula está con­ tenida en el orden en que se encuentran los nucleótidos.

Cuando la célula se reproduce, cada molécula de ADN se divide en dos cadenas separadas.

Cada cadena libre forma, entonces, su complemen­ taria a partir de la sustancia celular existente para producir dos nuevas moléculas de ADN idén­ ticas.

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*

b --------- 1----- c

!!!!íi ((!IB!IiI!biI(!1B;íIB:III!IIIí IIí !I1!|í|II!1II1I||11Ií I FIG. 1.2 ¿Queda exactamente descrito el mundo físico con los axiomas de la geometría euclidiana, de los que se deduce lógicamente el teorema de Pitágoras? Unica­ mente la experiencia puede decidirlo.

perimentos. Lo dicho anteriorm ente significa que nos veríamos muy sorprendidos si los futuros enunciados de la teoría física contuviesen elementos poco elabora­ dos y de desagradable presentación. La cualidad estética de las leyes físicas descubiertas ilum ina nuestras espe­ ranzas sobre las leyes aún sin conocer. Tendemos a lla­ m ar atractiva una hipótesis cuando su sim plicidad y elegancia destaca entre el gran núm ero de teorías con­ cebibles. En este curso nos esforzaremos en establecer algunas de las leyes físicas desde un punto de vista que resalte sus cualidades de sencillez y elegancia. Esto requiere el uso considerable de formulaciones m atem áticas, aun­ que a nuestro nivel, no excederá los límites del cálculo básico. A lo largo del curso intentarem os tam bién hacer sentir el sabor de la buena física experimental, aunque esto es muy difícil de conseguir en un libro de texto. El laboratorio de investigación es el campo natural de en­ señanza de la física experimental. GEOMETRÍA Y FÍSIC A

FIG. 1.3 La dos puntos B máximo que camino P es

distancia «línea recta» más corta entre y C sobre una esfera es el arco de círculo pasa por dichos puntos, y cualquier otro más largo que éste.

Las m atem áticas que perm iten la atractiva sencillez y concisión de expresión que exige una discusión razo­ nable de las leyes físicas y sus consecuencias, constituyen el lenguaje de la física. Un lenguaje con reglas especia­ les. Si se obedecen las reglas, únicam ente pueden obte­ nerse consecuencias correctas: La raíz cuadrada de 2 es 1,414... o sen 2 a = 2 sen a eos a. Debemos tener cuidado en no confundir dichas con­ secuencias lógicas con afirmaciones exactas que corres­ pondan al mundo físico. Es una cuestión de experimen­ tación, más bien que de contemplación, el ver si la relación medida entre la circunferencia y el diám etro de una circunferencia física es realm ente 3,14159... La me­ dición geométrica es básica para la física y deberemos decidir ciertas cuestiones antes de proceder a utilizar la geometría euclidiana o cualquier otra en la descrip­ ción de la naturaleza. Aquí tenemos ciertam ente una pregunta que hacer sobre el universo: ¿Podemos supo­ ner que para las mediciones físicas son ciertos los teo­ rem as y los axiomas de Euclides? Podemos decir sólo algunas cosas sencillas sobre las propiedades experimentales del espacio sin tener que recu rrir a difíciles m atem áticas. El teorem a más famoso de todas las m atem áticas es el atribuido a Pitágoras: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (figura 1.2). ¿Esta verdad m atem ática que supone la validez de

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la geometría euclidiana es cierta tam bién en el m undo físico? ¿Podría ocurrir de otro modo? El examen de esta pregunta no es suficiente y para poder responder debe­ mos acudir a la experimentación. Utilizaremos razona­ mientos que son algo incompletos porque no podemos utilizar aquí las m atem áticas de un espacio tridim ensio­ nal con curvatura. Consideremos prim ero el caso de seres bidimensionales que vivan en un universo que es la superficie de una esfera. Sus m atem áticos les han descrito las pro­ piedades de los espacios de tres o más dimensiones, pero tienen m ucha dificultad en desarrollar una percep­ ción intuitiva sobre tales m aterias, tal como las que encontramos nosotros al describir un espacio tetradimensional. ¿Cómo pueden determ inar si viven sobre una superficie curva? Un procedim iento consiste en ensayar los axiomas de la geometría plana intentando confirmar experim entalm ente alguno de los teorem as de Euclides. C onstruirán líneas rectas entendiendo por tales el camino más corto entre dos puntos cualesquiera B y C sobre la superficie de la esfera. Nosotros descri­ biríamos dicho trayecto como un círculo máximo (figu­ ra 1.3). Dichos seres podrían avanzar y construir triángulos y ensayar el teorem a de Pitágoras. En un triángulo muy pequeño, cuyos lados sean pequeños en comparación con el radio de la esfera, el teorem a se cum pliría con gran exactitud aunque no perfectam ente; en un triángulo mayor se apreciarían las diferencias de modo notable. (Véanse Figs. 1.4 a 1.6.) Si B y C son puntos sobre el ecuador de la esfera, la «línea recta» que los une es el segmento de ecuador de B a C. El camino más corto desde el punto C situado en el ecuador al polo norte A es el m eridiano que corta al ecuador en ángulo recto. El camino más corto desde B a A es tam bién una línea de longitud fija que corta asimismo en ángulo recto al ecuador BC. Tenemos, pues, un triángulo rectángulo con b = c. El teorem a de Pitágoras evidentem ente no es válido en la esfe­ ra porque c2 no puede ser igual a b2 + a2; además la suma de los ángulos internos del triángulo ABC es siem­ pre mayor que 180°. Las mediciones hechas sobre la superficie curva por sus habitantes bidimensionales les permitiría dem ostrar a sí mismos que la superficie es ciertamente curva. Siempre es posible que los habitantes digan que las leyes de la geom etría plana describen adecuadam ente su mundo y que los problem as que surgen se deben a

FIG. 1.4 Dados tres puntos ABC, los seres bidimensio­ nales podrían construir triángulos con lados considera­ dos como «líneas rectas». Encontrarían así que para triángulos rectángulos pequeños a2 + b2 *** c2 y la suma de los ángulos del triángulo ligeramente mayor de 180°.

Meridianos

Ecuador

FIG. 1.5 Si utilizasen unos triángulos mayores, la suma de los ángulos sería cada vez mayor de 180°. En este caso, con B y C en el ecuador y $ en el polo, « y P son ambos rectos. Evidentemente a2 + b27^ c2, porque b es igual a c.

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.FIG. 1.6 En este triángulo, con B y C por debajo del ecuador, a + / 3 > 180°, lo cual es debido sólo -a que el «espacio» bidimensional de la superficie esférica es cur­ vo. Un argumento análogo puede utilizarse en tres di­ mensiones. El radio de curvatura de este espacio bidi­ mensional es precisamente el radio de la esfera.

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las reglas empleadas para m edir el camino más corto y definir así la línea recta. Pueden asegurar que la regla no tiene una longitud constante, sino que se acorta o alarga cuando se desplazan a diferentes lugares de la superficie. Unicamente cuando se determ ina, por medi­ ciones continuadas de diversas m aneras, que se obtiene siempre el mismo resultado, resultará evidente que la explicación más sencilla del fallo de la geometría euclidiana reposa en la curvatura de la superficie. Los axiomas de la geometría plana no son verdades evidentes por sí mismas en este m undo bidimensional curvo; no son verdades en absoluto. Vemos que la geo­ m etría real del universo es una ram a de la física que debe explorarse m ediante experiencias. Norm alm ente no indagamos la validez de la geometría euclidiana para describir las mediciones hechas en nuestro propio m un­ do tridim ensional porque dicha geometría es una apro­ ximación tan buena a la geometría del universo que en las mediciones prácticas no se detecta ninguna des­ viación de la misma. Esto no significa que la aplicabilidad de la geometría euclidiana sea evidente por sí m ism a ni siquiera exacta. El gran m atem ático del si­ glo xix Cari Friedrich Gauss sugirió que la planitud euclidiana del espacio de tres dimensiones debería com­ probarse midiendo la sum a de los ángulos interiores de un triángulo de grandes dimensiones; él indicaba que si el espacio tridim ensional es curvo, la sum a de los ángulos de un triángulo bastante grande podría tener una diferencia significativa respecto a 180°. Gauss * utilizó un equipo de topografía para m edir exactamente el triángulo que form an en Alemania los montes Brocken, Hohehagen e Inselberg (1821-1823) (Fig. 1.7). El lado mayor de este triángulo m edía 100 km aproxim adam ente. Los ángulos internos medidos fueron 86°13'58,366" 53° 6'45,642" 40°39/30,165// Suma

180°00'14,173"

(No hemos encontrado ninguna indicación acerca de la exactitud estim ada de estos resultados; es probable que las dos últim as cifras no resulten significativas.) Como los instrum entos topográficos se instalaron localFIG. 1.7 Gauss midió los ángulos d_e un triángulo con vértices en las cimas de tres montanas y encontró que su suma no difería de 180° dentro de la exactitud de sus medidas.

c . F. Gauss , W erke, vol. 9. B. G. Teubner, Leipzig. 1903, especialmente las págs. 299 , 300, 314 y 319. La colección de trabajos de Gauss son un ejemplo notable de lo mucho que puede realizar durante su vida un hombre con talento.

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mente en un plano horizontal en cada vértice, los tres planos horizontales no resultaron paralelos. Debe sus­ traerse, pues, de la sum a de los ángulos una correción obténida m ediante el cálculo llam ada exceso esférico (que vale 14,853 segundos de arco). La sum a así corregida 179o59'59,320", difiere en 0,680 segundos de arco de 180°. Gauss opinó que esto caía dentro de los límites del error de observa­ ción y llegó a la conclusión de que el espacio era euclidiano dentro de la exactitud de estas observaciones. Vimos en el ejemplo anterior que la geometría euclidiana describía adecuadam ente un pequeño triángulo en la esfera bidimensional, pero las discrepancias se hacen cada vez más evidentes al aum entar la escala. Para ver si nuestro espacio es verdaderam ente plano necesitaremos m edir triángulos muy grandes cuyos vértices estén formados por la Tierra y las estrellas dis­ tantes o incluso galaxias. Pero entonces nos enfrentam os con el siguiente problem a: N uestra posición queda fijada, ya que estamos sobre la Tierra y no tenemos libertad (aún) para vagar por el espacio con nuestra regla y andar midiendo triángulos astronómicos. ¿Cómo podemos com probar la validez de la geometría euclidiana para describir las medidas en el espacio? Valores estimados de la curvatura del espacio.

Predicciones planetarias. Puede atribuirse un prim er límite inferior de unos 5 x l 0 17 cm para el radio de curva­ tura de nuestro propio universo en virtud de la consisten­ cia de las observaciones astronóm icas dentro del sistema solar. Por ejemplo, las posiciones de los planetas Neptuno y Plutón fueron deducidas m ediante el cálculo antes de su confirmación visual por observación telescó­ pica. Pequeñas perturbaciones en las órbitas de los planetas conocidos condujeron al descubrimiento de Neptuno y Plutón muy cerca de las posiciones previstas por el cálculo. El planeta más exterior del sistem a solar es Plutón. Podemos adm itir fácilmente que un ligero error en las leyes de la geometría habría destruido esta coincidencia. El radio medio de la órbita de Plutón es 6 x 1014 cm; la casi total coincidencia entre las posicio­ nes observadas y las predichas supone un radio de cur­ vatura del espacio de al menos 5 X 1017 cm. Un radio de curvatura infinito (espacio plano) no es incompatible con los datos. Nos separaría demasiado de nuestro objeto presente el discutir los detalles numéricos que conducen a estimar el valor de 5 X 1017 cm o el definir con preci­

FIG. 1.8 Demostración de Schwarzschild de que en una superficie plana a + j8 < 180°. El paralaje de una estre­ lla se define por i (1 8 0 °— a — ¡3).

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sión lo que se entiende por radio de curvatura de un espacio tridim ensional. La analogía bidim ensional de la superficie de la esfera puede utilizarse en esta ocasión como un modelo útil.

FIG. 1.9 Fotografía de la corona solar con luz próxima al infrarrojo en el eclipse solar de 7 de marzo de 1970, que registra la imagen de la estrella M de cuarta mag­ nitud de Acuario (justo por encima y a la derecha de S), a unos 11 radios solares del Sol. Los semicírculos en las partes superior e inferior son marcas de la placa de presión. Inserta en el disco oscuro que oculta está la fotografía del eclipse de Gordon Newkirk, utili­ zada para orientar esta foto. (Fotografía enviada por cortesía de Cari Lilliequist y Ed. Schmahl — experimento subvencionado parcialmente por el Departamento de Astrogeofísica. Universidad de Colorado.)

Paralaje trigonométrica. Schwarzschild * sugirió otro tipo de razonamiento. En dos observaciones realizadas con un intervalo de seis meses, la posición de la Tierra respecto al Sol ha variado en 3 x 1013 cm, que es el diá­ m etro de la órbita terrestre. Supongamos que en las mis­ mas hemos observado una estrella y medido los ángulos a y |3 (fig. 1.8), en donde estas letras son los caracteres griegos alfa y beta. Si el espacio es plano, la sum a de los ángulos a + p es siem pre m enor que 180° y la sum a se acerca a este valor cuando la estrella está a una distancia infinita. La m itad de la diferencia entre 180° y a + ¡5 se denomina paralaje. Pero en un espacio curvo no es necesariamente cierto que a + p sea siem pre me­ nor que 180°. Un ejemplo se ve en la Fig. 1.6. Volvamos a nuestros astrónom os bidim ensionales vi­ viendo sobre la superficie de la esfera para ver cómo descubrieron que su espacio es curvo a p artir de las medidas de la suma a + p. Según nuestra discusión previa del triángulo ABC observamos que, cuando la estrella está alejada un cuarto de circunferencia, a + p = = 180°. Cuando la estrella está más próxim a a + p < 180°, y cuando está más lejana, a + p > 180°. El astrónom o necesitaría m irar simplemente a estrellas cada vez más distantes y m edir a + p para ver cuándo la sum a em­ pieza a valer más de 180°. El mismo razonamiento es válido dentro de nuestro espacio tridim ensional. No existe ninguna prueba deducida por observacio­ nes de que a + p sea nunca mayor de 180°, cuando los astrónomos hacen estas medidas después de hacer la corrección apropiada por el movimiento del 'Sol respecto al centro de nuestra galaxia. Valores de a + p menores de 180° se utilizan para determ inar por triangulación las distancias de las estrellas próximas. Pueden observarse valores menores de 180° hasta unos 3 X 1020 cm**, que es el límite de los ángulos que pueden m edirse con los telescopios actuales. No puede deducirse directam ente a p artir de este razonamiento que el radio de curvatura

(*) K. Schwarzschild, Vierteljahrsschrift der astronomischen Gesellschaft 35, 337 (1900). (**) Puede hacerse la objeción de que las mismas mediciones de las distancias suponen que es aplicable la geometría euclidiana., Se dispone, sin embargo, de otros métodos de apreciar distancias qué se discuten en los textos modernos de astronomía.

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del espacio deba ser mayor que 3 X 1020 cm; para ciertos tipos de espacios curvos se necesitan otros argumentos. La respuesta que puede darse finalm ente es que el ra­ dio de curvatura (según se determ ina por triangulación) debe ser mayor que 6 X 1019 cm. AI principio del Capítulo dijimos que se ha ob­ servado una longitud característica asociada con el universo, que tiene un valor del orden de 1028 cm o 1010 años luz. Este núm ero corresponde, por ejemplo, a la distancia recorrida por la luz en un tiempo igual a la edad del universo *. La interpretación más sencilla de esta longitud es considerarla como el radio del uni­ verso. Otra posible interpretación la señala como el radio de curvatura del espacio. ¿Cuál de ellas es? E sta es una cuestión cosmológica; en el libro de Bondi, citado al final del capítulo, se da una excelente introducción a la ciencia especulativa de la cosmología. Resumamos nuestro conocimiento del radio de curvatura del espacio afirmando que no es m enor de 1028 cm y que desconoce­ mos si el espacio a escala mayor no será plano. Las observaciones precedentes apuntaban hacia el radio medio de curvatura del espacio y no son suficien­ temente sensibles para detectar las protuberancias que se cree existen en la proxim idad inm ediata de las estre­ llas individuales, y que contribuyen a una rugosidad local del espacio, por lo demás plano o ligeramente curvado. Los datos experimentales que soportan este punto de vista son muy difíciles de conseguir, incluso en la vecindád de nuestro Sol. Mediante cuidadosas y arduas observaciones de las estrellas visibles cerca del borde del Sol durante un eclipse solar ha quedado establecido que los rayos de luz se curvan ligeramente cuando pasan cerca del borde del Sol y, como conse­ cuencia, cerca de cualquier estrella sem ejante de gran masa (véase Figs. 1.9 y 1.10). Para un rayo rasante el ángulo de desviación es muy pequeño, con un valor de 1,75" únicam ente. Como el Sol se mueve a través del firmam ento, las estrellas que están casi eclipsadas apare­ cerían desviadas ligeram ente de sus posiciones norm a­ les, si pudiésemos verlas durante el día. Esta observación significa sim plem ente que la luz se mueve con una tratrayectoria curva cerca del Sol, pero en sí mismo no significa que la única interpretación sea que el espacio alrededor del Sol sea curvo. Sólo con mediciones exac­ tas m ediante reglas graduadas de diversos m ateriales

(*) Una evidencia de esto se menciona en el Cap. 10, eri el ejemplo del Efecto Doppler.

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FIG. 1.10 La desviación de la luz por el Sol fue predicha por Einstein en 1915 y comprobada poco después mediante observaciones.

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cerca de la superficie del Sol podríam os establecer direc­ tam ente que un espacio curvo es la descripción más natural. Otra clase de observaciones insiste tam bién en la posibilidad de un espacio curvo. La órbita de Mercurio, el planeta más próximo al Sol, difiere lige­ ram ente de la prevista por aplicación de las leyes de Newton de la gravitación universal y del movimiento, (ver fig. 14.9), incluso después de haber incorporado a la órbita calculada pequeñas correcciones de la teoría de la relatividad restringida. ¿Podría esto ser un efecto del espacio curvado cerca del Sol? Para responder a esta pregunta deberíamos saber cómo podría afectar una po­ sible curvatura a las ecuaciones del movimiento de Mer­ curio, y esto implica algo más que simple geometría. Estos temas se discuten posteriorm ente (aunque de for­ ma muy breve) en el Cap. 14. En una notable y herm osa serie de trabajos, Einstein [A. Einstein, Berl. Ber . 778, 799, 844 (1915); Ann. d. Phys 49, 769 (1916)] describió una teoría de la gravitación y de la geometría (la teoría general de la relatividad) que predecía, en acuerdo cuántitativo con las observaciones, precisam ente los dos efectos descritos anteriorm ente. Hay todavía pocas confirmaciones cruciales de las pre­ dicciones geométricas de la teoría. A pesar de tan es­ casas pruebas, la esencial sencillez de la teoría gene­ ral ha hecho que ésta sea am pliam ente aceptada, aunque en los últim os años se han realizado considerables investigaciones en este campo (véase Cap. 14). GEOMETRÍA A ESCALA MENOR

A p a rtir de mediciones astronómicas, llegamos a la conclusión de que la geometría euclidiana proporciona una descripción extraordinariam ente buena de las me­ didas de longitudes, áreas y ángulos, al menos hasta que alcancemos las enormes longitudes de 1028 cm. Pero hasta ahora no se ha dicho nada sobre el empleo de la geometría euclidiana para describir configuraciones muy pequeñas comparables en tam año a los 10-8 cm de un átomo o los 10~12 cm de un núcleo. La cuestión de la validez de la geometría euclidiana finalm ente debe ser expresada como sigue: ¿Podemos dar sentido al mqndo subatómico y desarrollar con éxito una teoría física para describirlo, m anteniendo la suposición de que la geometría euclidiana es válida? Si esto es posi­ ble no hay ninguna razón en el momento actual para poner objeciones a la geometría euclidiana como una satisfactoria aproximación. Veremos en el Vol. IV cómo

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la teoría de los fenómenos atómicos y subatómicos no parece conducirnos a ninguna de las paradojas que han bloqueado su comprensión. Todavía quedan muchos hechos por entender pero ninguno parece encerrar con­ tradicciones con la teoría. En este sentido la geometría euclidiana ha resistido el ensayo experim ental hasta 10~13 cm por lo menos. INVARIANCIA

Podemos resum ir algunas de las consecuencias de la validez experim ental de la geometría euclidiana para el espacio vacío. La homogeneidad e isotropía del espacio euclidiano puede expresarse por dos principios de inva­ riancia, que, a su vez, implican dos principios fundam en­ tales de conservación.

Invariaiicia en la traslación. Queremos indicar con esto que el espacio vacío es homogéneo, es decir, no difiere de un punto a otro. Si alguna figura se mueve sin rotación, no hay cambio en su tam año o propiedades geométricas. También suponemos que las propiedades físicas de un objeto, como su inercia o las fuerzas que existen entre sus partículas constituyentes, no cambian al desplazar el objeto a otra región del espacio vacío. Por ejemplo, la frecuencia natural de un diapasón o las líneas del espectro característico de un átomo no se alteran en tal desplazamiento. Invariancia en la rotación. Con la mayor precisión se sabe experim entalm ente que el espacio es isótropo, de modo que todas las direcciones son equivalentes. Las propiedades geométricas y físicas quedan inalteradas ante la reorientación en dirección de un objeto en el espacio vacío. Es posible im aginar un espacio plano que no sea isótropo. Por ejemplo, la velocidad de la luz en una determinada dirección puede ser mayor que la veloci­ dad en o tra dirección perpendicular a la anterior. Sin embargo, no existe ninguna prueba de que esto ocurra en el espacio exterior. Dentro de un cristal, no obstante, pueden aparecer muchos efectos de anisotropia. En las regiones del espacio próxim as a las estrellas de gran masa y otras fuentes intensas de gravitación, pueden observarse efectos que pueden interpretarse como lige­ ras discrepancias de la homogeneidad e isotropía del espacio. (En la sección anterior hemos aludido a dos de estos efectos y hay otros.) La propiedad de la invariancia en la traslación lleva a la conservación de la cantidad de movimiento; la inva-

16

Introducción

riancia en la rotación com porta la conservación del m om ento cinético. Estos tem as se desarrollan en los Capítulos 4 y 6. El concepto de invariancia se desarrolla en los Capítulos 2 y 4. La larga discusión precedente sobre geom etría y fí­ sica es un ejemplo de los tipos de cuestiones que los físicos inquieren sobre el carácter básico de n u e s tra universo. No obstante, no tratarem os tales m aterias m ás allá de este nivel de nuestro estudio.

PROBLEMAS

1. E l Universo conocido. Utilizando la información dada en el texto, estimar las magnitudes siguientes: ( a ) La masa total en el Universo conocido. S o l z z 10“ g. (b) La densidad media de la materia en el Universo. Sol. ~ 10“29 g/cm3, equivalente a 10 átomos de hidrógeno por metro cúbico. (c) La relación entre el radio del Universo conocido y el del protón. (Tomar el radio del protón como 10-13 cm; masa del protón: 1,7 x 10'24 g.) 2. Señales que atraviesan un protón. Estimar el tiempo que necesita una señal moviéndose con la velocidad de la luz para recorrer una distancia igual al diámetro de un protón. Considerar el diámetro del protón igual a 2 x 10~13 cm. (Este tiempo es un intervalo de referencia conveniente en la física de las partículas elementales y los núcleos.) 3. Distancia a Sirio. La paralaje de una estrella es la mitad del ángulo subtendido desde la estrella por las po­ siciones extremas de la Tierra en su órbita alrededor del Sol. La paralaje de Sirio es 0,371” . Encuéntrese su distan­ cia a la Tierra en centímetros, años luz y parsecs. Un parsec es la distancia a una estrella cuya paralaje es 1 seg de arco. (Véase tabla de valores en las cubiertas del libro.) Sol. 8,3 x 1018 cm; 8,8 años luz; 2,7 parsecs. 4. Tamaño de los átomos. Utilizando el valor del nú­ mero de Avogadro dado en la tabla y un valor aproximado de la densidad media de los sólidos comunes, estimar el diámetro de un átomo medio, es decir, la dimensión del espacio cúbico que llena un átomo. 5. Angulo subtendido por la Luna. Procurarse una re­ gla dividida en milímetros y cuando las condiciones visua­ les sean favorables, inténtese la siguiente experiencia: Man­ téngase la regla con el brazo extendido y mídase el diáme­ tro de la Luna. Mídase la distancia de la regla al ojo. (El radio de la órbita de la Luna es 3,8 x 1010 cm y el de la Luna misma, 1,7 x 108 cm.) (a) Si se pudo llevar a cabo la experiencia, ¿cuál fue el resultado? (b) Si no se pudo hacer la medición, calcular el ángulo subtendido por la Luna desde la Tierra a partir de los datos anteriores. Sol. 9 x 10~3 radianes.

(c) ¿Cuál es el ángulo subtendido por la Tierra desde la Luna? (Véase pág. 55. Cap. 2.) Sol. 3,3 x 10~2 radianes. 6. Edad del Universo. Admitiendo el radio del Univer­ so dado al principio del capítulo, determinar la edad del Universo a partir de la hipótesis de una estrella que, situa­ da sobre el radio, ha viajado alejándose de nosotros desde el principio de los tiempos a la velocidad de 0,6 c = 1,8 x x 1010 cm /s (c = velocidad de la luz en el espacio libre). Sol. «= 2 x 1010 años. 7. Angulos en un triángulo esférico. Determinar el valor de la suma de los ángulos en el triángulo esférico indicado en la fig. 1.5, suponiendo que A está en el polo y a — radio de la esfera. A fin de determinar el ángulo de A, considerar cuál sería el valor de a para que el ángulo fue­ ra 90°. LECTURAS SUPLEMENTARIAS

Estas dos primeras referencias son textos contemporá­ neos para centros de orientación universitaria. Son exce­ lentes para la revisión y clarificación de conceptos. La segunda referencia contiene mucho material de historia y filosofía. Physical Science Study Committee (PSSC), Física, Caps. 14 (Ed. Reverté). F. J. Rutherfórd, G. Holton y F. J. Watson, Project Physics Course, Holt, Rinehart and Winston, Inc., New York, 1970. Un producto del Harvard Project Physics (HPP). O. Struve, B. Lynds y H. Pillans, Elem entary Astronomy (Oxford University Press, Nueva York, 1959). Resalta las ideas principales de la física en relación al Universo; excelente. Astronomy (Prometheus, Press, Nueva York, 1962). Es un libro bello e informativo.

Larousse Encyclopedia of

H. Bondi, Cosmology, 2.a ed. (Cambridge, University Press, Nueva York, 1960). Estudio breve, claro y autorizado, insistiendo en las pruebas obtenidas en las observacio­ nes, aunque carece de trabajo reciente sustancial.

Introducción D. W. Sciama, Modern Cosmology (Cambridge, University Press, Nueva York, 1971). Incluye desarrollos recientes. Robert H. Haynes y Philip C. Hanawalt, The Molecular Basis of Life (W. H. Freeman and Company, San Fran­ cisco, 1968). Colección de artículos del Sdentific Ame­ rican con algún texto adicional. Gunther S. Stent, Molecular Genetics, W. H. Freeman and Company, San Francisco, 1971. Curso introductorio. Ann Roe, The making of a scientist (Dodd, Mead and Co., Nueva York, 1953; reimpresión Apollo, 1961). Es un ex­ celente estudio sociológico de un grupo de científicos americanos de primera fila de la década 1940-1950. Pro­ bablemente existirán hoy algunos cambios de impor­ tancia en la población científica, puesto que el libro apareció en 1953. Bemice T. Eiduson, Scientists: Their Psychological World, Basic Books, Inc., Publishers, Nueva York, 1962. A. Einstein, «Notas autobiográficas», en Albert Einstein: Philosopher-Scientist, editado por P. A. Schilpp (Library of Living Philosophers, Evanston, 1949). Una breve y ex­ celente. autobiografía. Es una lástima que existan tan pocas biografías realmente buenas de científicos sobre­ salientes, como la de Freud debida a Ernest Jones. Existen pocas, además, comparables en profundidad y honradez a las grandes biografías literarias, como Ja­ mes Joyce, de Richard Ellman. La autobiografía de Charles Darwin es una notable excepción. Los autores que escriben sobre los científicos parecen haberse inti­ midado por la frase de Einstein: «La esencia de un hombre como yo mismo reside precisamente en lo que piensa y en cómo piensa, y no en lo que hace o padece.» L. P. Wheeler, Josiah W illard Gibbs; The History of a Great Mind. Yale University Press. New Haven, Conn., 1962. E. Segré, Enrico Ferm i, Physicist. The University of Chicago Press, Chicago, 1971.

Introducción

Aparatos experimentales de Física. Las fotografías de estas páginas muestran algunos de los instrumentos y máquinas que contribuyen activamente al avance de las ciencias físicas.

Laboratorio de resonancia magnética nuclear para estu­ dios de las estructuras químicas. (Fotografía ASUC.)

Introducción

19

Estudio de espectros de resonancia magnética nuclear: puede verse una muestra girando rápi­ damente entre las piezas polares de un

elec­

troimán para promediar las variaciones del campo magnético. (Esso Research.)

Operador en un laboratorio de resonancia magnética nuclear en el momento de colocar una muestra en la probeta en el aparato de control de temperatura en el que la mues­ tra ha de estar girando. (Esso Research.)

20

Introducción Electroimán construido de alambre superconductor pa­ ra funcionar a bajas temperaturas. Las bobinas que se ven están calculadas para producir un flujo magné­ tico de 54 000 gauss. Este aparato es el corazón de un laboratorio moderno de bajas temperaturas. (Varían As­ sociates.)

É>. '•* A-.. ■i’,--

El gran radiotelescopio de Australia. El gran casquete mide 63 m aproximadamente de diámetro. Está insta­ lado en un valle tranquilo a 320 km al oeste de Sidney, New South Wales. En este remoto lugar, la interferencia eléctrica es mínima. (Australian News and Information Bureau.)

Introducción

Acelerador de partículas de alta energía: el bevatrón de Berkeley. Los protones se introducen por la parte inferior derecha. (Lawrence Berkeley Laboratory.) Ac­ tualmente, aceleradores de mucha mayor energía están operando en el Brookhaven Lab., en Long Island, en el CERN de Ginebra, en Serpujov en Rusia y en el NAL. cerca de Chicago.

Introducción

Introducción Observador en la cabina donde se encuentra ei foco cambiando la película en el telescopio Hale. (Observa­ torios de Hale.)

Galaxia espiral NGC 4594 en Virgo, vista de perfil; fotografiada con el telescopio de 200 pulgadas. (Observatorios de Hale.)

24

Glóbulos rojos del hombre vistos con un microscopio electrónico y aumentados 15 000 veces. Los objetos con forma de disco son los glóbulos rojos de la sangre conectados por una malla de fibrina. (Fotografía por cortesía del Dr. Thormas L Hay es, Donner Laboratory. Lawrence Berkeley Laboratory. Universidad de Califor­ nia, Berkeley.)

Microscopio electrónico de «scanning» mostrando a la izquierda la columna óptica electrónica que engendra el haz de electrones y, a la derecha, la consola de mandos que contiene el haz del tubo de rayos catódicos. El equipo auxiliar incluye un micromanipulador piezoeléctrico en la columna del instrumento, pantalla de TV, registrador vídeo, cámara polaroide y oscilógrafo moni­ tor de señales. (Fotografía por cortesía del Dr. Thomas, L. Hayes, Donner Laboratory, Lawrence Berkeley Labora­ tory. Universidad de California, Berkeley.)

Introducción

Introducción

25

Cráter marciano de 69 km de ancho (parte superior) fotografiado por el Mariner 9 el 16 de diciembre de 1971. El Sol envía sus rayos por la derecha. El rectángulo de puntos blancos inscribe el área mostrada en la fotogra­ fía inferior tomada por la cámara de ajta resolución del Mariner el 22 de diciembre. Los cerros, semejantes a los de cola de caballo de la Luna, parecen ocasionados por fallas en la corteza a lo largo de los cuales se ha producido una erupción de lava. Ambas fotografías han sido reforzadas por revelado automático. (Fotografía por cortesía del Jet Propulsión Laboratory, Instituto de Tec­ nología de California, NASA.)

Introducción

Mosaico de dos fotografías de la región del Lago Tithonius, en Marte, tomada por la nave espacial Mariner 9, en donde se reveló un cañón dos veces más profundo que el Gran Cañón de Arizona, cuando las imágenes fueron comparadas con medidas de pre­ sión tomadas por el espectrómetro de violeta a bordo de la nave. Las flechas conectan las profundidades deducidas de las medidas de presión tomadas por el espectrómetro y las características correspondientes de la fotografía. La línea de puntos es la trayec­ toria observada por el espectrómetro. Las fotografías se tomaron desde una altura de 1722 km y cubrían un área de 644 km transversalmente. (Fotografía por cortesía de Jet Propulsión Laboratory. Instituto de Tecnología de California, NASA.)

Contenido

T E R M IN O LO G ÍA Y CONCEPTOS Notación vecto rial Igualdad de vectores S U M A DE VECTORES PRODUCTO DE VECTORES Producto escalar Producto vectorial D ERIVADAS VECTORIALES V elocidad A celeración Ejemplo. Movimiento circular

INVARIANTES Operaciones vectoriales elem entales Problemas Notas m atem áticas: D erivadas respecto al tiem po, velocidad y aceleración La función ex D esarrollo en serie Vectores y coordenadas polares esféricas Fórmulas de geom etría analítica Identidades vecto riales útiles Lecturas suplem entarias

Vectores

Vectores

30 TER M IN O LO G ÍA Y CONCEPTOS

FIG. 2.1 El vector r representa la posición de un punto P respecto a otro O considerado como origen.

FIG. 2.2 El vector — r tiene el mismo módulo y direc­ ción, pero sentido opuesto que r.

La terminología es un ingrediente esencial del pensa­ m iento abstracto. Es difícil pensar fácil y claram ente so­ bre conceptos abstractos y complejos en un lenguaje que no posee las palabras adecuadas para tales conceptos. Para expresar nuevos conceptos científicos se inventan nuevas palabras que se añaden a los idiomas; muchas de estas palabras proceden de raíces clásicas griegas o latinas. Si satisface las necesidades de la comunidad científica, una palabra nueva puede ser adoptada en m u­ chos idiomas modernos. Así, por ejemplo, vector en espa­ ñol es vector en inglés, vecteur en francés, Vektor en alemán b e k t o p (pronúnciese «vector»), en ruso. Un vector es una magnitud que tiene módulo, direc­ ción y sentido y se combina con otros vectores de acuer­ do con reglas específicas *. En el estudio de la mecánica (y otras ram as de la física) encontrarem os m agnitudes (velocidad, fuerza, campo eléctrico, m omento dipolar magnético) que tienen m agnitud, dirección y sentido y, en consecuencia, es im portante desarrollar el lenguaje y las técnicas necesarias para el m anejo de estas mag­ nitudes. Aunque el análisis vectorial suele considerarse como una ram a de las m atem áticas, su valor en física es tan grande que merece la inclusión aquí de una introducción. Notación vectorial. Como los símbolos form an el lenguaje de las m atem áticas, una parte im portante del arte del análisis m atem ático es la técnica de utilizar bien la notación. La notación vectorial tiene dos gran­ des propiedades: 1. La form ulación de una ley física en función de los vectores es independiente de los ejes coordenados que se escojan. La notación vectorial ofrece una term i­ nología en la que los enunciados tienen un significado físico sin introducir en ningún caso un sistem a coor­ denado. 2. La notación vectorial es concisa. Muchas leyes físicas tienen formulaciones sencillas y diáfarías que se desfiguran cuando se escriben referidas a un sistem a coordenado particular. Aunque al resolver un problem a físico puede conve­ nir la utilización de sistemas coordenados especiales, deberemos establecer leyes de la física en form a vecto(*) Este significado de la palabra vector es una ampliación natural de eu utilización inicial en astronomía, ahora en desuso: recta imagina­ ria que une a un planeta, moviéndose alrededor del foco de una elipse, con dicho punto. La regla específica se da en la página 35.

31

Vectores

rial siempre que sea posible. Algunas de las leyes compli­ cadas que no pueden expresarse en form a vectorial, pueden serlo en form a tensorial. Un tensor es una gene­ ralización de un vector, que incluye a la m agnitud vecto­ rial como caso especial. El análisis vectorial tal y como lo conocemos hoy es fundam entalm ente el resultado del trabajo realizado hacia finales del siglo diecinueve por Josiah Willard Gibbs y Oliver Heaviside. La notación vectorial que adoptam os aquí es la si­ guiente. En la pizarra, una m agnitud vectorial se repre­ senta colocando una línea ondulada bajo la letra A, o poniéndole encima una flechita.; los vectores en los libros impresos siem pre aparecen en negritas. El mó­ dulo de un vector se im prim e en cursiva; A es el m ódu­ lo de A; tam bién se escribe |A|. Un vector unitario es un vector de longitud unidad; un vector unitario ep la dirección de A se escribe con un signo circunflejo encima, tal como Á. Resumiremos esta notación m ediante la identidad

FIG. 2.3 El vector 0,6r tiene la misma dirección y sen­ tido que r, pero su módulo es 0,6r.

A = ÁA = A k En las figuras 2.1 a 2.4 se m uestra un vector, el negativo del mismo vector, la m ultiplicación por un escalar y un vector unitario. La utilidad y aplicación de los vectores a los proble­ mas físicos está basada esencialmente en la geometría euclidiana. La enunciación de una ley en térm inos vec­ toriales norm alm ente lleva consigo la hipótesis de la validez de esta geometría. Si la geometría no es euclidia­ na, no es posible sum ar dos vectores de un modo sencillo y sin ambigüedad. Para el espacio curvo existe una formulación mucho más general, la geometría m étrica diferencial, que es el lenguaje de la relatividad genera­ lizada, dominio de la física en él que la geometría eucli­ diana no es ya suficientem ente precisa. Hemos considerado que un vector es una m agnitud que tiene dirección además de módulo. E sta propiedad no se refiere en absoluto a ningún sistem a coordenado, aunque suponemos que puede definirse, por ejemplo, con referencia a la sala del laboratorio, estrellas fijas, etcétera. Veremos, sin embargo, que no todas las mag­ nitudes que tienen módulo y dirección son necesaria­ mente vectores, tales como las rotaciones finitas (véase más adelante en esta sección). Una rnagnitud que tiene módulo pero no dirección es un escalar. El módulo de un vector es un escalar. La tem peratura y la m asa

FIG. 2.4 El vector r es el vector unitario en la dirección de r. Obsérvese que r = ir.

32

Vectores

FIG. 2.5

a) Vector A.

b)

Vector B.

d)

El vector suma B + A es igual a A + B.

Vectores

33

son escalares. En cambio, la velocidad v y la fuerza F son vectores. Igualdad de vectores. Una vez desarrollada la nota­ ción procederemos a realizar algunas operaciones vecto­ riales: suma, resta y multiplicación. Dos vectores, A y B que representen m agnitudes físicas similares (por ejem ­ plo, fuerzas) se dice que son iguales cuando poseen el mis­ mo módulo, dirección y sentido; se escribe así, A = B. Un vector no tiene necesariam ente que estar ligado a una posición determ inada, aunque puede referirse a una magnitud definida en un punto particular. Dos vectores pueden com pararse aunque m idan m agnitudes físicas definidas en distintos puntos del espacio y dife- p|Q. rentes instantes. Si no tuviéram os confianza, basada en la experimentación, que podemos considerar plano el espacio, es decir, euclidiano —excepto quizás a dis­ tancias enormes— no podríam os entonces com parar sin ambigüedad dos vectores en puntos diferentes (véase la Nota Matemática 1 al final del Cap. 2).

2.6

a) Vectores

B

y

B.

SUMA VECTORIAL

Un vector se representa geométricam ente por un seg­ mento lineal dirigido, o flecha, cuya longitud en unida­ des a una escala definida es igual a la m agnitud del vector. La suma de dos vectores A y B se define por la construcción geométrica indicada en las figuras 2.5 a a c. Esta construcción se llama con frecuencia ley del paralelogramo de la adición vectorial. La suma A + B se define trasladando B paralelam ente a sí mismo hasta b) Obtención de A — B; vector diferencia, que el origen de B coincida con el extremo de A. El vec­ tor dibujado desde el origen de A al extremo de B es la suma A -f- B. De la figura se deduce que A + B = B + A , es decir, la suma vectorial tiene la propiedad conm uta­ tiva, como indica la fig. 2.5 d. La substracción de vecto­ res se define m ediante las figuras 2.6 a y b con B + (—B) = = 0, que define el vector negativo. La suma vectorial satisface la relación A + (B + C) = = (A + B) + C, es decir, satisface la propiedad asocia­ tiva (fig, 2.7). La sum a de un núm ero finito de vectores es independiente del orden en que se sumen. Si A — B = = C, entonces sumando B en ambos miembros obten­ dremos A = B + C. Si k es un escalar fc(A + B) = kA + kB

(2.1)

de modo que la m ultiplicación de un vector por un es, .. calar satisface la propiedad distributiva.

Fir

07

c,,™.,

~*

* , r.

^ ^

FIG- 2-7 Suma de tres vectores: A + B + C. Compruébese que esta suma es igual a B + A + C.

Vectores

34

FIG. 2.8 a) Orientación original del libro. Se le hace girar n/2 radianes alrededor del eje 1.

d)

Orientación original del libro,

b)

e)

Orientación después de una rotación de f / 2 radia­ nes alrededor del eje 2 f

c)

Orientación después de una rotación de «-/2 radia­ nes alrededor del eje 1.

Orientación después de una rotación posterior de jt/ 2 radianes alrededor del eje 2.

/)

Orientación después de una rotación posterior de jt/ 2 radianes alrededor del eje 1.

Vectores

¿Cuándo es representáble una magnitud física por un vector? Un desplazamiento es un vector, ya que des­ cribe tanto la dirección de la línea desde la posición inicial a la final como la longitud de la línea; el ejemplo de adición dado anteriorm ente se reconoce fácilm ente aplicándolo a los desplazamientos en el espacio euclidiano. Además de los desplazamientos existen otras magnitudes físicas que tienen las mismas leyes de com­ binación y las mismas propiedades de invariancia que los desplazamientos. Estas m agnitudes pueden repre­ sentarse tam bién por vectores. Para que una m agnitud sea vectorial debe satisfacer dos condiciones: 1. Debe cum plir la ley de adición del paralelogramo. 2. Debe tener un módulo y una dirección y sentido independientes de la elección del sistem a de coorde­ nadas. Las rotaciones finitas no son vectores. No todas las magnitudes que tienen módulo y dirección son necesaria­ mente'vectores. Por ejemplo, la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje particular fijo en el espacio tiene módulo (el ángulo de rotación) y dirección (la dirección del eje). Pero dos rotaciones como éstas no se combinan de acuerdo con la ley vectorial de la adición, a no ser que los ángulos de rotación sean infinitam ente pequeños *. Esto se com prueba fácilmente si los dos ejes son perpendiculares entre sí y las rotaciones son de t t /2 radianes (90 grados). Considérese el objeto (un libro) de la fig. 2.8 a. La rotación (1) lo lleva a la posición de la fig. 2.8 b y otra rotación ( 2 ) a continuación sobre otro eje, deja el objeto como en la fig. 2.8 c. Pero si aplicamos al objeto, orientado como al principio (fig. 2 .8 d), pri­ mero la rotación ( 2 ) (fig. 2 .8 e) y luego la ( 1 ), el objeto termina como indica la fig. 2.8 /. La orientación en la sexta figura no es la mism a que la existente en la ter­ cera. Evidentemente, estas rotaciones no cumplen la propiedad conm utativa de la suma. A pesar del hecho de que tienen módulo y dirección, las rotaciones finitas no pueden representarse como vectores. PRODUCTOS DE VECTORES

Aunque no existe razón para preguntarse si la suma de dos vectores es un escalar o un vector, tal cuestión tiene importancia en lo que se refiere al producto de dos vectores. Existen dos modos de definir el producto de (*) Las velocidades angulares rotaciones angulares no lo son.

son vectores

y,

en

cambio,

las

Vectores

36

FIG. 2.9 a) Para obtener A * B llevar los vectores A y B hasta un origen común.

dos vectores, de gran utilidad ambos. Los dos tipos sa­ tisfacen la ley distributiva de la multiplicación: el pro­ ducto de A por la suma de B + C es igual a la sum a de los productos de A por B más A por C. Uno de los pro­ ductos es un escalar y el otro se puede considerar un vector en la mayoría de las aplicaciones. Los dos son útiles en física. Otras posibles definiciones “del producto de dos vectores no son de utilidad. ¿Por qué AB no es una definición útil del producto de dos vectores? Por AB queremos indicar el producto ordinario, |A| |B |, de los módulos de A y B . Obsérvese que si D = B + C, enton­ ces en general AD ^ AB + AC. E sta carencia de la pro­ piedad distributiva hace que AB sea inútil como defini­ ción de producto de A y B. Producto escalar de dos vectores. Se define el pro­ ducto escalar de A y B como el núm ero que se obtiene m ultiplicando el módulo de A por el de B y por el coseno del ángulo que form an entre sí (figs. 2.9 a a c). El pro­ ducto escalar es una m agnitud escalar y se representa por el símbolo

(2 .2)

A • B = AB eos (A,B)

b)

B[A cose) = A * B.

Por eos (A ,B ) designamos el coseno del ángulo que for­ m an A y B . Vemos que en esta definición del producto escalar no está implicado en absoluto ningún sistema coordenado. Observemos que eos (A ,B ) = eos (B ,A ) de modo que el producto escalar es conmutativo:

A B = B A

(2.3)

que se lee «A m ultiplicado escalarm ente por B». Si el ángulo entre A y B está comprendido entre jt/2 y 3 ít/2, entonces eos (A ,B ) y A • B serán núm eros nega­ tivos. Si A = B , entonces eos (A ,B ) = 1 y

A • B = A2 = |A |2 Si A • B = 0 y A 0, B 7 ^ 0, decimos que A es ortogonal a B o perpendicular a B . Obsérvese que eos (A ,B ) = Á • 8 , de modo que el producto escalar de dos vectores unita­ rios es precisam ente el coseno del ángulo que forman. El módulo de la proyección de B en la dirección de A es c) A{B eos 0)

= A • B. Aquí, la letra griega theta, 0, designa el ángulo comprendido entre A y B.

....

..

B eos (A,B) = BÁ • B = B • A

Vectores

37

siendo Á el vector unitario en la dirección de A. La proyección de A en la dirección de B es A eos (A,B) = A • B La multiplicación escalar no tiene inversa: si A • X = b , no hay una solución única para X . Dividir por un vector es una operación sin definir, carente de significado. Componentes, magnitudes y cosenos directores. Sean x, y, z tres vectores unitarios ortogonales * que definen un sistema cartesiano como en la fig. 2.10 a. Un vector arbitrario A puede escribirse como A = A xx + A^y + A*z,

(2.4)

en donde Ax, Av y Az se denominan componentes de A, como se ilustra en la fig. 2.10 b. Fácilmente se ve que Ax = A • x, ya que

p|Q

2.10

nos

x, y, i.

a)

Vectores

unitarios

ortogonales

cartesia-

A • x = A xx • x + A yy • x + A^z • x = A x

y y •x = x •x =

0

= z *x

1

En función de estos componentes, Ax, Ay y Az, la mag­ nitud de A es A = V A -A = V (A ,í + A ty + A„i) • (At x + A sy + A zi) = V A / + A / + A /

(2.5)

Si deseamos escribir una expresión para el vector uni­ tario Á (tam bién indicado en la fig. 2 .1 0 b), vemos que * ,x* A Ay • A az *A A = x—:---- 1- y— -----1- z A A A A AA„ AA = x— + y—p- + z A A + "A

b)

A = xAx + y Ay + i A z. ■m

h h m m n

26

( . )

es tal expresión. De la fig. 2.11 y la Ec. (2.6) deducimos que los ángulos que A form a con los ejes x, y, z tienen los cosenos A JA , Ay¡A y A JA , o sea x • Á, y * Á y z • Á. Se denominan cosenos directores y tienen la propiedad de que la suma de los cuadrados de los tres cosenos direc­ tores es igual a- la unidad, como fácilm ente puede verse con ayuda de la Ec. (2.5). (*} La palabra ortogonal se ytiliza aquí en el sentido de mutuamente perpendicular.

( A .x ) ,.- '

a

A

j( a

,z)

/ a y

^ \(A ,y )

X FIG. 2.11 Los cosenos ángulos indicados.

V d irectores

se

refieren

a

los

Vectores

38

El producto escalar de dos vectores A y B se recuerda fácilmente en función de los componentes A • B — A XBX -f A yBy + AZBZ

(2.7)

Aplicaciones del producto escalar. Veamos varias aplicaciones de los productos escalares:

FIG. 2.12

a) C • C = C2 = (A — B) • (A — B) = A2 + B2— 2A * B = A2 + B2— 2AB eos 0.

1. Ley de los cosenos. Sea A — B = C; realizando el producto escalar de cada m iembro de esta expresión por sí mismo, tendrem os (A - B) • (A - B) = C • C

A2 + B2 - 2 A B = C 2 que es exactamente la conocida relación trigonom étrica A2 + B2 - 2AB eos (A,B) = C 2

(2.8)

El coseno del ángulo com prendido entre las direc­ ciones de los dos vectores es eos (A,B) = eos Qab —

b)

D * D = D2 = (A + B) • (A + B) = A2 + B2 + 2AB eos 6.

AB AB

como se deduce de la Ec. (2.2) (véase figs. 2.12 a y b). 2. Ecuación de un plano (fig. 2.13). Sea N una nor­ mal al plano considerado que se dibuja desde un origen O que no pertenece al plano. Sea r un vector arbi­ trario que va del origen O a un punto cualquiera P del plano. La proyección de r sobre N debe ser igual en módulo a N. Así, pues, el plano se define por la ecuación r •N = N2

(2.9)

Para com probar la identidad de esta corta expresión con la expresión norm al de la geometría analítica para la ecuación de un plano ax + by + cz = 1 escribamos N y r en función de sus componentes N x, N y, N>z y *, y, z. Ahora la Ec. (2.9) adquiere la form a FIG. 2.13 Ecuación de un plano; N es la normal al plano desde el origen O. La ecuación del plano es N * r = N2.

(xx + yy + zz) • (Nxx + Nyy + Nzz) = N 2

Vectores

39

r-

que se reduce a NX + *

Nv #

N +

=

1

3. Vectores eléctrico y magnético en una onda electro­ magnética. Si k es el vector unitario en la dirección de propagación de la onda electrom agnética plana en el espacio libre (fig. 2.14), entonces (como veremos en los Vols. 2 y 3) los vectores campo eléctrico y de induc­ ción E y B, deben estar en un plano norm al a k y deben ser perpendiculares entre sí. Podemos expresar la con­ dición geométrica por las relaciones k •E = 0

k •B = 0

E •B = 0

4. Trabajo realizado por unidad de tiempo. En fí­ sica elemental (véase tam bién el Cap. 5) se vio que el trabajo realizado por una fuerza F por unidad de tiempo sobre una, partícula que se mueve con velocidad v es igual a Fv cos(F,v). Se reconoce fácilm ente que esta expresión es precisam ente el producto escalar

FIG. 2.14 Los campos eléctrico y magnético en una onda plana electromagnética en el espacio ÜbreA son perpen­ diculares a la dirección de propagación k. Así, pues, k - E = k - B = 0; E • B = 0.

F* v Si escribimos de un modo general la derivada dW /d t como un símbolo p ara el trabajo realizado por unidad de tiempo, resulta (fig. 2.15) dW = F dt

(2 .10)

FIG. 2.15 Trabajo que por unidad de tiempo realiza una fuerza F sobre una partícula moviéndose con velocidad v.

5. Variación de volum en por unidad de tiempo. Sea S un vector norm al a una área plana de valor S y desig­ nemos por v la velocidad con que se mueve dicha área. Es fácil darse cuenta de que el volumen barrido por el área S por unidad de tiempo es un cilindro cuya área de la base es S y cuya generatriz es v (fig. 2.16), o sea S • v. La variación del volumen barrido por unidad de tiempo es, por tanto, dV = S dt

(2 . 11)

Producto vectorial *. Existe otro tipo de producto de dos vectores am pliam ente utilizado en física. Este (*) Esta sección puede' omitirse en una primera lectura. El pro­ ducto vectorial se utiliza en el Cap. 3, el cual también puede omitirse; sólo al comenzar el Cap. 6 resulta esencial.

FIG. 2.16 Volumen que por unidad de tiempo dv/dt, barre el área S que se mueve con velocidad v.

40

Vectores

producto no es un escalar sino más bien un vector, pero un vector en cierto sentido restringido. El producto vec­ torial A X B se define como el vector norm al al plano en el que están contenidos A y B y que tiene por módulo AB (sen A,B) (fig 2.17 a): C = A X B = CA£|sen(A,B)

FIG. 2.17

a) Producto vectorial C = A X B.

(2 . 12)

Y se lee «A m ultiplicado vectorialm ente por B». Se determ ina el sentido de C m ediante un convenio fijo indicado por la regla del sacacorchos o del tornillo: El vector A, que es el prim er factor, se hace girar segúnel ángulo m enor que form e con B hasta hacerle coinci­ dir con la dirección de este último. El sentido de C coincidirá entonces con el avance de un sacacorchos o tornillo con rosca a derechas (rosca norm al en la m ayoría de los países) cuando se le hace girar del mismo modo que al vector A, como se ve en la fig. 2.17 b. Enunciemos la regla para la dirección y el sentido de C de otro modo: Prim ero, coloquemos juntos los orígenes de los vectores A y B —así se define un plano. El vector C es perpendicular a este plano; esto es, el producto vectorial A x B es perpendicular tanto a A como a B. Gírese A hacia B recorriendo el m enor de los dos ángulos posibles—, cúrvense los dedos de la mano derecha en el sentido en que gira A y el pulgar señalará la dirección y sentido de C = A X B. Obsérvese que, debido a este convenio de signos, B X A es un vector de signo opuesto a A X B (fig. 2.17 c): B

b)

Regla del sacacorchos.

c)

X

A = -A X B

(2.13)

El producto vectorial B x A e s opuesto a A x B.

Vectores

Así, pues, el producto vectorial no es conmutativo. Se deduce de la Ec. (2.12) que A X A = 0, de modo que el producto vectorial de un vector por sí mismo es cero. El producto vectorial obedece la ley distributiva

A x ( B + C) = A x B + A x C La demostración, que es algo fatigosa, puede encontrar­ se en cualquier texto de análisis vectorial *. Producto vectorial en función de las coordenadas car­ tesianas. Del mismo modo que hemos encontrado en la Ec. (2.6) los cosenos directores del vector A, podría­ mos determ inar los senos de los ángulos que A form a con los ejes cartesianos. Esto es poco conveniente, pues los senos se hallan m ás fácilm ente a p a rtir de los cose­ nos. Sin embargo, a veces es útil expresar el producto vectorial de dos vectores en función de sus componentes: A X B = (AX& + A yy + Ají) x (Bxx + Byy + BJz) = (x x y)AxBy + (x X z)AxBz + (y X i)AyBz + (y X x)AyBx + (z X x)AzBx + (z x y)AzBy en donde hemos utilizado el resultado x x x = y X y = = z X z = 0. La cuestión que surge en seguida es: ¿Cuán­ to vale x X y? ¿Es z o — z? Al escoger el resultado x x y = z hacemos uso de un sistema de coordenadas a derechas **de un modo convencional en física, que utilizaremos en todo momento, como se indica en las figs. 2.10a y b.

(*) Por ejemplo, véase C. E. Weatherburn, «Elementary Vector Analysis», p. 57, G. Bell & Sons, Ltd., London, 1928; J. G. Coffin, «Vector Analysis», p. 35, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1911. (**) ¿Cómo podríamos comunicar nuestra definición de sistema «a derechas» á u na, criatura de otro sistema solar en nuestra galaxia? Podríamos utilizar ondas de radio polarizadas circularmente. La señal transporta un mensaje que indica al remoto observador en qué sentido definimos las ondas que han de polarizarse. El observador remoto cons­ truirá dos receptores, uno en el sentido correcto y otro en el incorrecto en función de la intensidad de la señal. Cualquier método requiere instrucciones muy claras. En el análisis original del efecto espectros­ copio) Zeeman, su descubridor asociaba incorrectamente una señal positiva a las cargas oscilantes de los átomos, porque confundía el sentido de una radiación polarizada circularmente (véase P. Zeeman, Philosophical Magazine (5), 43: 55 y 226 (1897). De un modo semejante, la primera transmisión por Telstar, el 11 de julio de 1962, fue recibida con dificultades en Gran Bretaña debido a la «inversión de un pequeño componente en el conductor de alimentación de la antena, que surgió de una ambigüedad en la definición aceptada del sentido de rotación de las ondas de la radio». Times (Londres), 13 de julio de 1962, pág. 11.

Vectores

42

Ahora x sulta

i

A

X

C = AXB

X

z = — y, y

X

B = x(AyBx - A zBy) + y (AA

z

x, etc., de modo que re-

AA) +

- AA )

(2-14)

Obsérvese que si los índices guardan el orden cíclico xyz, el térm ino interviene en el producto vectorial con signo + ; -de otro modo el signo es negativo. Si se está familiarizado con el cálculo de determ inantes se puede com probar que la representación

B A ^

xA y

f

L Paralelogramo

A

FIG. 2.18 a) El vector área de un paralelogramo es C = A X B = AB |sen e\ C

X

B =

z \ Az x B„y Bzs

(2.15)

es equivalente a la Ec. (2.14), pero más fácil de recordar. Aplicaciones del producto vectorial. En los siguien­ tes párrafos tratarem os diversas aplicaciones del pro­ ducto vectorial.

iL A X B

1. Area de un paralelogramo. -

/ / / ' ,

|A f

,

..

/

A x B • C = área de la base paralelepípedo.

= A £|sen (A,B)|

/ /

B b)

X B|

El módulo

X altura

volumen del

es el área del paralelogram o cuyos lados son A y B (o el doble del área del triángulo de lados A y B ) (figu­ ra 2.18 a). La dirección de A X B es norm al al plano del paralelogramo; por consiguiente, podemos considerar a A x B como el vector área del paralelogramo. Como he­ mos dado signos a los lados A y B , el vector área está dotado de dirección y sentido. Existen aplicaciones físi­ cas en las que es conveniente poder asignar dirección a un área [Ec. (2.11)]. 2.

Volumen de un paralelepípedo.

El escalar

|(A X B) • C| = y

c)

Ley de los senos del triángulo. Nota: sen (A,B) = sen |> — (A,B)].

es el volumen del paralelepípedo en el que A X B es el área de la base y C es la tercera arista oblicua (figu­ ra 2.18 b). Si los tres vectores, A, B y C están contenidos en un mismo plano, el volumen será cero; por lo tanto, tres vectores serán coplanarios si (A X B ) • C = 0 y única­ m ente en este caso. Observemos en la figura que

A • (B x C) = (A X B) • C

Vectores

43

de modo que los productos vectorial y escalar en el pro­ ducto m ixto pueden intercambiarse sin alterar el valor del producto. Sin embargo, A • (B X C) = - A • (C X B) Un producto mixto no se altera perm utando cíclica­ m ente el orden de los vectores, pero se invierte de signo si se cambia el orden cíclico. (Ordenaciones cíclicas de ABC son BCA y CAB y las ordenaciones no cíclicas son BAC, ACB y CBA.) 3. Ley de los senos. Consideremos el triángulo de­ finido por C = A + B (fig. 2.18 c) y m ultipliquem os vec­ torialm ente ambos m iem bros de la ecuación por A:

A x C = A x A + A x B Ahora bien, A X A = 0 y los módulos de ambos m iem bros deben ser iguales, de modo que ACsen(A,C) = ABsen(A,B) o sen(A,C) -

sen(A,B)

(2-16)

que es la ley de los senos de un triángulo.

FIG. 2.18 (continuación) d) El par como producto vec­ torial.

4. Par. La idea del p ar es fam iliar desde los prim e­ ros cursos de introducción en la física. Tiene particular im portancia en el movimiento de los cuerpos rígidos discutido en el Cap. 8. El p ar se refiere a un punto y tiene una expresión conveniente en función de los vec­ tores: N = rxF, (2.17) en donde r es un vector dirigido desde el punto al vector F. En la fig. 2.18 d se ve que el par tiene una dirección perpendicular a r y a F. Obsérvese que la m agnitud de N es rF sen a y r sen a es la longitud de la perpendicular trazada desde el punto (O en la figura) a F. En la figura r sen a = r' sen a'. Por tanto, el par, tanto en m agnitud como en dirección y sentido, es independiente del punto de la dirección de F, al cual se traza r.

e)

Fuerza ejercida sobre una carga positiva en un cam­ po magnético.

5. Fuerza sobre una partícula en un campo magné­ tico. La fuerza que actúa sobre una carga eléctrica pun­ tual que se mueve con velocidad v en un campo magnético B es proporcional a v veces la componente norm al de B, en función del producto vectorial (fig. 2.18 e). q

F = —v X B

(unidades gaussianas)

(2.18)

Vectores

44

FIG. 2.19 a) La posición Pi de una partícula en el instan­ te ti se especifica mediante el vector r(fi) relativo al origen fijo en el punto O.

F = q\ XB

(unidades mks)

(2-18)

en donde q es la carga de la partícula y c la velocidad de la luz. Esta ley se desarrollará con detalle en el Vol. 2 y se utiliza en el Cap. 3 (pág. 75). DERIVADAS DE VECTORES

La velocidad v de una partícula es un vector; la ace­ leración a es tam bién un vector. La velocidad es- la variación de la posición de una partícula referida al tiempo. La posición de una partícula en cualquier ins­ tante t puede especificarse m ediante el vector r (t) trazado desde un punto fijo O a la partícula (fig. 2.19 a). Cuando el tiempo progresa, la partícula se mueve y el vector de posición varía en dirección y módulo (fig. 2.19 b ). La diferencia entre r(í2) y r(¿i) es Ar = r(f2) — r(íj)

y es tam bién un vector (fig. 2.19 c). Si el vector r puede considerarse como una función (una función vectorial) de la variable escalar única t, el valor de Ar quedará determ inado completam ente cuando se conozcan los dos valores t{ y t2. Así, en la figura 2.19 d, Ar es la cuerda Pj P2. La relación d)

A r es la cuerda que une los puntos Pi y P2 situados

sobre la trayectoria de la partícula.

Ar Ai

Vectores

45

es un vector colineal con la cuerda Pj P2 pero ampliado en la relación 1/Ai. Cuando Ai tiende a cero, P2 se aproxi­ ma a Pj y la cuerda Pt P2 se convierte en la tangente en P^ Entonces el vector ií. tiende a ^ Ai dt que es un vector tangente a la curva en P t dirigido en el sentido en que la variable i aum enta a lo largo de la curva (fig. 2.19 e). Velocidad.

e)

El vector (h_ _ lim A* di Aí->° Ai

se denomina derivada respecto al tiempo de r. Por defi­ nición, la velocidad es dr v(f)= d í /* \

(2.19)

—

El módulo v = |v[ de la velocidad se denomina celeridad de la partícula y es un escalar. En función de sus com­ ponentes resulta

dr

r(t) = x(t)x + y(t)y + z{t)z

(2 .20 )

Vvx

(2 .21 )

dx V =

v

en donde hemos supuesto que los vectores unitarios no cambian con el tiempo, de modo que dx _ o = dy_ dt dt

dz dt

En general, podemos escribir, sin expresar r en fun­ ción de sus componentes, como en la Ec. (2.20), r(t) = r ( t m

en donde el escalar r(t) es la longitud del vector y r(í) es el vector unitario en la dirección de r. La derivada de r (t) se define en la form a dr ... d *

-

* L ^ J

lim -

-

+ Aí)*(* + Aí) ~ s¡

Cuando A t — t2— íi -> 0, el vector A r/A f colineal con la cuerda tiende hacia el vector velocidad dr/dt colineal con la tangente a la trayectoria en el pun­ to Pi.

Vectores

46

Podemos volver a escribir el num erador *, reteniendo sólo los dos prim eros térm inos del desarrollo en serie de r(í + Ai) y r(í + Ai):

="(I1- f ) +«■(!£) En el límite, cuando Ai -> 0, el últim o térm ino del segundo miembro puede despreciarse y tendrem os, sustituyendo en la Ec. (2.22) FIG. 2.20

a) A r es la variación del vector unitario r.

dr = — dr*.r +, r— di v = — dt dt dt

(2.23)

Aquí d r/d t representa la cantidad de variación en la dirección del vector unitario í. Este caso es un ejemplo de la regla general p ara derivar el producto de un escalar a (t) y un vector b ( í) d i da i . d\y (2.24) — «b = — b + a — dt dt dt

b

)

El vector unitario 6 es perpendicular a r y tiene la dirección indicada por el incremento de 6 .

Según vemos en la Ec. (2.23), a la velocidad contribuye por una parte la variación en la dirección í y por o tra el cambio en la longitud r. Más adelante (particularm ente en el Cap. 9 para el movimiento en un plano) utilizarem os una nueva form a de d r/d t, que desarrollarem os aquí utilizando el vector radial unitario f y un vector perpendicular unitario que denominaremos 0. A fin de aclarar el significado de estos vectores uni­ tarios y sus derivadas respecto al tiempo, consideremos el movimiento de un punto en una trayectoria circular; en este caso, el vector unitario í cam biará en un intervalo de tiempo Ai en un increm ento vectorial Ar para con­ vertirse en r 4- Ar, como indica la fig. 2.20 a. Si Ai es tan pequeño que se aproxim a a cero, Af tom a la dirección del vector unitario transversal &, indicado en la fig. 2.20 b. Además, cuando Ai y en correspondencia A0 se apro­ ximan a cero, la m agnitud de Ar se hace sim plem ente |Ai| = |i|A0 = A0 (ya que |r| = 1) y, por tanto, el vector Ar y la relación Ar/Ai se convierten en Ai = Adb

c)

A0 es la variación del vector unitario §.

Ar = A00 Ai Ai

(*) Véase al final del capítulo, en las Notas matemáticas, el desa­ rrollo en serie.

Vectores

47

En el límite, cuando Ai -> 0, se obtiene para la derivada del vector unitario f respecto al tiempo di dt

dB_ dt

(2.25)

Con argum entos semejantes, utilizando la fig. 2.20 c, se demuestra fácilm ente que la derivada respecto al tiempo de 0 es dé dt

d§_ dt

(2.26)

Consideremos ahora un punto que se mueve en un plano según una trayectoria cualquiera; como sugiere la fig. 2.21, el vector velocidad v en cualquier instante está compuesto del vector componente radial dr¡dt r y del vector componente transversal r d rjd t = r dti/dtQ. El último vector se expresa por la ecuación (2.25). Por tanto, el valor de v en la form a de la Ec. (2.23) es dr dr a . dQ — = — r + r— dt dt dt

(2.27)

Aceleración. La aceleración es tam bién un vector; se relaciona con v del mismo modo que v se relaciona con r. Su definición es _ dV _ d 2r dt dt2

(2.28)

Teniendo en cuenta (2.21) resulta en componentes car­ tesianas, dv d 2x A d 2u A d 2í a = - i- = — H— H— — z dt dt2 dt2 dt2

(2.29)

Más adelante (Cap. 9) necesitarem os a en función de r y 8; según la Ec. (2.27) dv d 2r a . dr d i . dr dd — = — -r + — — + dt dt2 dt dt dt dt

r

. d 26 n . d0 dé + r——0 + r——— dt2 dt dt

Teniendo en cuenta las Ecs. (2.25) y (2.26) para d r/d t y dé¡di la expresión se convierte en

FIG. 2.21

de r y g.

Componentes del vector velocidad en función

Vectores

48

Agrupando térm inos y reajustando resulta a =

y

d 2r dt2

(2.30)

Esta expresión es útil en el ejemplo del movimiento cir­ cular (véase a continuación) y particularm ente en el estudio del movimiento de una partícula alrededor de un centro de fuerza (expuesto en el Cap. 9). EJEMPLO M o v im ie n to circu lar. Este ejemplo (mostrado en la fig. 2.22) es muy importante, debido a la frecuencia con que aparece en física y en astronomía. Se desea obtener explícitamente las ex­ presiones que nos den la velocidad y la aceleración de una par­ tícula que se mueve con una celeridad constante en una órbita circular de radio r. Este movimiento puede describirse mediante

r(t) = ri(t) FIG. 2.22 Partícula moviéndose con velocidad constan­ te en un círculo de radio r. La velocidad angular constante es La velocidad y la aceleración de la partícula se deducen en las Ecs. (2.31) a (2.38).

(2.31)

con tal que r sea constante y que el vector unitario r gire án­ gulos iguales en tiempos iguales. Podemos tratar este problema de dos formas distintas: a partir de las expresiones en función de r y 0, ecuaciones (2.27) y (2.30) o utilizando los ejes x, y fijos en el espacio y las ecuaciones (2.21) y (2.29). M é to d o 1. Como r es constante, la ecuación (2.27) nos da sim­ plemente v = r d 6 /d t é . Por costumbre se utiliza la letra griega o> para designar la velocidad angular dO /dt. Se mide en radianes * por segundo (rad/s) y en nuestra consideración actual es cons­ tante. Así v = r u é y la velocidad constante de la partícula es v = cor

(2.32)

Para la aceleración utilizamos la ecuación (2.30), que para r constante y d d / d t = u se convierte en a = —rco2r

(2.33)

Así la aceleración es constante en magnitud y dirigida hacia el centro de la trayectoria circular. M é to d o 2. En función de las componentes cartesianas escri­ biremos el vector posición de la partícula en cualquier momento t de su movimiento circular en la forma indicada por la ecua­ ción (2.20): r(t) = rcosw fx + rsencofy

(2.34)

El vector velocidad, dado por la ecuación (2.21) es, por tanto, con r constante, v =

= —u r s e n u tx + u r c o s u t y

(2.35)

(*) Véase al final del capítulo las N o ta s m a te m á tic a s para explicación de los radianes.

la

Vectores La velocidad v es la magnitud de este vector velocidad v =

y / y

• v = cor’vsén2 wf + eos2 wf = wr

(2.36)

de acuerdo con la ecuación (2.32). Puede mostrarse que el vector v es perpendicular a r, teniendo en cuenta que el producto escalar de estos vectores es cero. Según la ecuación (2.29), el vector aceleración es la derivada respecto al tiempo de v. Diferenciando la ecuación (2.35) resulta a = ^

= —co2r eos cofx — co2rsenwfy

= —w2(rcoscoíx + rsentoíy) = —co2r = —oo2rr

(2.37)

Este resultado es idéntico al obtenido por el método 1 en la ecuación (2.33). La aceleración tiene la magnitud constante a = 2r y la dirección y sentido de la aceleración coincide con los de — r, es decir, hacia el centro de la circunferencia. A partir de (2.36) o (2.32) podemos poner v = »r y entonces la magnitud de la aceleración se puede volver a escribir en la forma a = — r

(2.38)

Esta aceleración se llama c e n tr íp e ta (que busca el centro) y debe resultarnos familiar por los estudios de física previos. La velocidad angular tiene una relación sencilla con la fre­ cuencia ordinaria /. En la unidad de tiempo, el vector í en la ecuación (2.34) describe