Belajar excel

1

lnclined Plane with Friction

INCLINE.XLS Chapter 4

3

l,,rlass

t4

Ac c e e raticil:oFg ravity Coefficient of static friction

r5 b ,7

I

K

69

)

m/s2

degree Normal Force

10 11 123 134 145 156 167 178 189

kg

1

2

r ) x\ttcru.(&Ettl*Et2l

97.98507 97.9403 97.86569 97.76128 97.62708 97.46315 97.26952 97.04627 96.79346

Force Down the Plane 0 1.710336 3.420151

5.128924

48.95 48.91

6.836'134

48.9: 48.8f

8.541263

48.8'

10.24379 11.9432 13.63896 15.33058

48.7: 48.61

48.5: 48.3!

l,

Nrnyur m

Ilmuwan

S.C. BTOCH

4

EXCEL untuk Insinyur dan Ilmuwan Edisi Kedua

.!t l.'

{

t"

S. C. BLOCH Universit-y of Soutlt Florida

PENERBIT ERLANGGA Jl. H. Baping Raya No. l0t) Ciracas. Jakarta [37;10 http://www.erlangga.co.id e-mai l:editor@ erlangga.net

(Anggota IKAPI)

?9 '*1 /ItUZte MtI-lK Bcdan Petilrr-('lai:a3rt -[-itl tf Prnoin:i 'zrva

EXCEL untuk Insinrur dan Ilmuxan

S C B-.'.: Juciul

.\.1i: E\CEL for Engineers and Scientists

S C B]...:Originel

Coplright

e

ISB\ John

o-+- I :56361

\\iler s

Sons. Inc.

franslation copl-ri_uht e l0O- 6r Penerbit Erlangga. All rights reserved. This translation of EXCEL tbr Engineer: and Scientists Second Edition is published by arangement *ith John \\ilcr & Sons, Inc. Hak terjemahan dalam Bahasa Indone:il ptda Penerbit Erlangga berdasarkan perjanjian resnri tangral l5 Oktober 2005

Alih Bahasa: Soni Astranto.

S.Si.

Editor: Lemeda Simarmata.

S.T.

Taufan Prasetlo. S.Kom. Buku ini diset dan dilayout oleh Basian ProdLrksi Penerbit Erlangga dengan Power Macintosh G5 tTimes l0 pt1 Setting oleh: Tim Setting Perti

Dicetak oleh: PT Gelora Aksara Pratama

1110090807

654321

Dilartrng keras mengutip, ntenjiplak. memfuokopi, atau memperbtutt'ak dalcun bentuk apopun, baik sebugian utau keseluruhan isi bukLr irti, serta ntentperjuttlbelikunnya tttnpa i:.in terttiis dari Penerbit Erlangga.

O HAK CIPTA DILINDUNGI OLEH UNDANG-UNDANG

Pendahuluan lntisari dari ilmu pengetahuan adalah memilikinya, lalu mengaplikasikannya Confucius (K'ung Futse, 551 SM - 479 SM)

EXCEL adalah lembar pengolah angka (spread.sheet) yang sangat populer untuk aplikasi-aplikr.r

di bidang sains, rekayasa, dan teknik karena fasilitas-fasilitasnya yang begitu kaya dan berlaku secara universal. EXCEL merupakan sebuah aplikasi pengolah angka yang lengkap yang marnpu mempercepat serta memudahkan Anda menganalisis, mengatur, menginterpretasikan maupun memaparkan data-data. Aktivitas di bidang rekayasa dan sains membutuhkan kemampuan dalam berimajinasi. pemahaman. nalar, dan perhitungan. Semuanya saling terkait satu sama lainnya, sehingga bila Anda dapat memiliki salah satunya saja maka sebenarnya Anda telah memiliki lebih daripada 25 persen keuntungan di tahap awal. Buku ini akan membantu Anda dari sisi yang paling mudah, yaitu perhitungan. Tiga hal lainnya tergantung kepada diri Anda sendiri.

Tujuan buku ini Buku ini bertujuan untuk membantu Anda dalam melakukan perhitungan dan analisis terhadap data-data. Perhitungan lebih mudah dilakukan daripada berimajinasi, memahami, dan bernalar. namun perhitungan tidak selalu mudah dilakukan dan kadang justru membosankan. Ini adalah buku mengenai "Bagaimana harus berbuat" yang dimaksudkan untuk memberikan kemampuan dalam memecahkan persoalan yang Anda butuhkan menyelesaikan pekerjaan. Di dalamnya akan terdapat banyak topik lanjutan yang dapat Anda pelajari nanti. Buku ini didesain agar dapat masuk ke dalam tas punggung dan dapat digunakan secara interaktif dengan notebook atau komputer desktop Anda. Hidupkan komputer Anda dan masukkan CD-nya. Jalankanlah EXCEL bersama dengan buku kerja di dalam CD sambil Anda membaca buku ini bab demi bab insatlah bahwa: -

. . .

Saya mendengar, saya lupa. Saya melihat, saya ingat.

Saya melakukan, saya paham.

Siapa yang membutuhkan buku ini? Buku ini diperuntukkan bagi para insinyur dan ilmuwan, juga orang-orang yang ingin nren-1adr insinyur atau ilmuwan, atau bagi siapa saja yang ingin mengetahui hal-hal spesifik dari sesuaru yang telah diketahuinya sebelumnya. Buku ini pada dasarnya diperuntukkan bagi para pentuil. para mahasiswa yang mungkin menghadapi kesulitan dalam mata kuliah kalkulus. kimia. fi6log:. fisika, dan baru mulai mempelajari ilmu-ilmu statika, dinamika, termodinamika. biologi molek:i. rangkaian arus bolak-balik, elektrodinamika, mekanika kuantum, dan berbagai disiplin :.- lainnya.

Pendahuluan

lsi buku ini mencakup: . ' . . . . . . .

Ada 90 buah contoh buku kerja di dalam CD yang dikelompokkan berdasarkan bab. Penjelasan-penjelasannya dibuat dalam format teks maupun gambar, sederhana, dan langsung ke pokok masalah. Seluruh gambar di dalam CD ditampilkan berupa buku kerja (tvorkbook) dan berwarna. Bagaimana cara membuat struktur data, melakukan efisiensi. mendokumentasikan komposisi buku kerja melalui sel-sel data masukan, merangkum hasil dan statistik sel, maupun memberikan

catatan (comment) terhadap sel. Tips dan trik penggunaan EXCEL untuk keperluan aplikasi-aplikasi rekayasa dan sains. Strategi pengajaran untuk membantu para pemula. Titik berat pemaparan data secara grafis diberikan dalarn tbrmat yang standar. Disediakan web sire untuk mengupdate materi dan CD. Link ke Internet. Lampiran 2 dan Daftar Pustaka terdapat di dalam CD dalam format HTML agar dapat diakses melalui w^eb brovser. Metode diferensiasi dan teknik integrasi sederhana dijabarkan dan diperbandingkan dengan jelas.

. . . ' . . ' . . . . .

Penjabaran secara menyeluruh terhadap fasilitas-fasilitas di dalam Analvsis ToolPak menjadikan

EXCEL berguna secara teknologi. Latihan-latihan untuk meningkatkan kemampuan diberikan di retiap hab. Aplikasi-aplikasi operasi matriks berformat EXCEL. Penggunaan EXCEL untuk mengimpor, menganaliri:. Jun 11.'lsgkspot- data ke aplikasi pengolah kata (u,ord processor'). Menyisipkan lembar kerja aktif ke dalam aplika.i penSolrh kltri. Memasukkan klip video maupun klip gambar ke drl.rnr lenrber kerja nlorls/reer). Penggunaan EXCEL untuk menarik data secara Lrtr)nrati. d;rn nrencontrol eksperimen baik lokal maupun jarak jauh. Penggunaan EXCEL bersama-sama dengan hardu are Jrn :trtiri are populer lainnya. Penarikan data eksperimen melalui port serial. atau p.rrelel tanpa bantuan perangkat tambahan lainnya. Pengunaan data eksperimen EXCEL melalui Trorr USB. Petunjuk penggunaan Fast Fourier Transform dengan brnruan EXCEL. Petunjuk penggunaan Fast Fourier Transform dalani apiiku:i-aplikasi rekayasa dan sains dengan bantuan beberapa fungsi dan operasi di dalam E\CEL.

Yang baru di Edisi Kedua ini: . Kaya akan buku kerja yang mendemonstrasikan ta\iiira\-iasilitas di EXCEL. . Pertanyaan yang sertng diajukan (Frequentlr'-ri.rA't,r1 Qtrt,srirtr.s. FAQ) beserta jawabannya. ' Ditampilkannya lebih banyak contoh kasus dalam disiplin ilrnu rekayasa dan sains. . Penjelasan luas mengenai metode integrasi. . Kaya akan metode-metode matriks beserta contoh-contohnva. ' Menambahkan penekanan pada pendokumentasian lembar kerja melalui pemberian catatan tambahan (commenr')

di

sel.

'

Kaya akan contoh-contoh dan penjelasannva mengenai pemecahan masalah persamaan

.

diferensial. Menggunakan fasilitas-fasilitas terbaru dari EXCEL 2002 (Microsofi OFFICE XP).

,endahululan

Para mahasiswa yang aktif di lab telah melakukan suatu evolusi di bidang pekertailnn\; r-.tJen-san mengubah penggunaan format kertas-panjang (read-the-tneter) menjadi penankin -.:eksperimen dengan bantuan komputer. EXCEL ternyata ideal untuk mereka dan dapar dip,i'. .eluruh tingkatan pekerjaan karena mudah digunakan dan sudah ada di banyak komputer. Beber;:. \ofiware untuk keperluan para mahasiswa pun mengekspor datanya ke lembar pen-uolah .in,ri,.PASCO Scientific (Science Workshop), National Insftuments (LabVIEW and Measure)dan \e:-

nier Software (Multi-Purpose Laboratory lnterface lbr Windows, Data Logger) memiliki sofrrr ar: analisis sendiri di dalamnya, namun mengekspor data-datanya ke Excel akan memberikan par" mahasiswa dan pembimbingnya suatu kekuatan yang lebih dalam melakukan analisis. EXCEL tidak hanya mampu menarik data dan mengotomatiskan eksperimen, namun juga dapat nt.-nrbangkitkan sinyal-sinyal dan mengontrol eksperimen-eksperimen tingkat lokal maupun dunia. bahkan bila diinginkan, bisa melalui Intemet. Beberapa software yang disebutkan di atas memiliki Fast Fourier Translbrm (FFT) seba_s.n bagian dari program mereka, namun mengimpor data mentah ke Excel memberikan para mahasisu r suatu keleluasaan, ada perasaan ingin mengendalikan proses, dan banyak lagi apresiasi yang dapat dilakukan. Selain itu, grafik-grafik dan data-data dari lembar pengolah angka cukup mudah untuk disisipkan ke dalam laporan praktikum yang dibuat dengan software pengolah kata. Hal ini akan meningkatkan kemampuan seseorang dalam berkomunikasi.

Koneksi Internet Internet merupakan suatu sumber daya yang besar bagi para insinyur dan ilmuwan. Isi Lampiran 2 dan Daftar Pustaka memudahkan Anda untuk mengunjungi situs-situs yang berguna di Internet. Masukkan saja CD yang disertakan di dalam buku ini, bukalah salah satu file HTML-nya dan kliklah situs-situs yang Anda minati. EXCEL 2002 dibuat agar terhubung dengan Internet sehingga Anda dapat sangat mudah melakukan impor data dari situs-situs di Internet. Anda dapat juga mengambil data-data dari eksperimen jarak jauh, fasilitas-fasilitas manufakturing, dan bahkan dari pesawat luar angkasa dan planet-planet lain. JikaAnda ingin sering mengganti beberapa data agar tetap berada dalam kondisi terkini, maka fasilitas web terbaharui yang telah ada dalam EXCEL 2002 menjadikan tugas tersebut semakin mudah untuk dilakukan. Jika Anda terkoneksi ke Intemet, klik saja http://www.microsoft.com. Ini adalah situs doy'nloatl gratis dari Microsoft.

Bagaimana cara menggunakan buku ini Versi EXCEL Versi terakhir EXCEL (Microsoft OFFICE XP) sangat diperlukan agar Anda dapat melihat secara utuh fasilitas-fasilitas buku kerja di dalam CD. Namun demikian, buku ini beserta bukubuku kerjanya dapat digunakan secara efektif melalui Excel versi-versi sebelumnya. Versi larnr yang direkomendasikan untuk dipakai adalah Excel 97. EXCEL 2002 dapat melakukan proses impor buku kerja yang dibuat dengan EXCEL rer.; sebelumnya maupun dari pengolah-pengolah angka lain seperti Lotus 1-2-3 dan Quattro. Hidupkan komputer Anda dan masukkan CD yang diserlakan bersama dengan buku rni Mulailah menjalankan EXCEL dan panggillah sebuah file yang Anda inginkan. Anda akan menen',;kan cara efektif menggunakan buku ini pada saat Anda mengerjakannya di depan kompurer -.: mengikuti pembahasan-pembahasan melalui penjelajahan lembar-lembar kerja yan-u ntun.-'-. layar sesuai dengan yang Anda baca di buku ini. Buku ini dirancang untuk bahan belajar singkat atau sebagai materi tambahan di nt,:. - *-

'

Pendahuluan

yang sesungguhnya. Sebagian besar isinya diperuntukkan bagi para pemula dan tidak dapat mencakup keseluruhan fasilitas yang ada di EXCEL. Di dalamnya terdapat beberapa bab dan latihan, dua bab terakhir diperuntukkan bagi parii mahasiswa tingkat lanjutan: bab-bab itu ditandai dengan

0.

I Bab 2 Bab 3 Bab

Bab

Memulai

Menjelajahi EXCEL Grafik-grafik dalam EXCEL

.1 Matematika

Cepat

Keempat bab pertama

Bab

5

ini

adalah yang terpentins.

Dif'erensial dan Integral

Bagian 5.1-5.2 melingkupi dif'erensial dan integral dasar. Bagian-bagian yang tersisa melingkupi fasilitas khusus di EXCEL (\lorins .\rerage and Exponential Smoothing) beserta teknik-teknik filter lainnya. Bab

6

Fungsi-fungsi Keteknikan (Engineering Functitrn. t dalam EXCEL

Bab ini merupakan sebuah survei terhadap \eluruh operasi dalam kategori Engineering Functions EXCEL berikut metode matriks.

Bab 7 Persamaan Diferensial Bab ini boleh dihilangkan di perkuliahan singkrt. Di dalamnya tercakup dua buah buku kerja interaktif mengenai elemen-hingga untuk per\iinraan Laplace, di samping metodemetode untuk persamaan diferensial biasa.

Bab 8 Analisis ToolPak

Ini

merupakan hasil survei terhadap beberapa

ir.ilita:

bantu yang sering dipakai di

EXCEL. Bab 9 Penggunaan EXCEL di lab Bab ini membahas mengenai penggunaan EXCEL

di laboriitorium komputer kampus

dengan dua paket pendrikan data ilmiah ranr populer dan satu buah software add-in untuk keperluan dunia industri dari National In:truntents.

Bab 10 Matematika Kompleks Bab ini dapat dihilangkan untuk tingkat pen.rula. nanrun Bab I I dan 12 akan bergantung pada Bab l0 ini. Bab ini juga disediakan di dalanr CD. Bab 1l Analysis ToolPak: Fast Fourier Transform O Di sini akan ditunjukkan cara penggunaan fasilrtl:-fr>ilita\ )'iing sangat berguna pada

EXCEL, yaitu Fast Fourier Transform (FFTt. Beberapa paket software untuk keperluan lab memiliki fasilitas FFT, namun Anda dapat melakukan sesuatu yang lebih bermakna dan memperoleh hasil yang lebih baik dengan bantuan EXCEL. Di dalam CD ini disertakan panduan

FFI

pembuatan jendela (.tuinclotr). pernberian alias. pemberian skala terhadap

frekuensi. dan kerapatan spektrum daya. Bab ini terdapat pula di dalam CD dalam format Acrobat PDF. Software Acrobat Reader disenakan pula di dalam CD.

Bab

12 Analysis ToolPak:

Aplikasi FFT O

Bab ini akan menampilkan beberapa aplikasi FFT, termasuk konvolusi, dekonvolusi, fungsi korelasi silang, identifikasi sistem, fungsi koheren dan fungsi SNR. Bab 12 ini tersedia di dalam CD dalam format Adobe Acrobat PDF. Versi terbaru Acrobat Reader dapat di-dottnlottcl secara gratis dari www.adobe.com.

,{

Pendahululan

Latihan-latihan lain untuk masing-masing bab disediakan di dalam folder-f,,iier CD r-'--. saat selesai membaca buku ini, Anda diharapkan dapat memiliki kemarnpuan talnhdhri. .j:-mungkin akan sangat berguna bagi pengembangan karirAnda, karena versi EXCEL nrenJr:i:-akan dibuat berdasarkan dasar-dasar ini. Program-program matematika lanjutan juga dapat dikerjakan menggunakan EXCEL. Seb.,L,, contoh, MAILAB (www.mathworks.com) memiliki linkke EXCEL dan EXCEL BUILDER untuk membuat beberapa add-in berbasis MAILAB di EXCEL. MAIHEMAIICA (wwu'.uoltiam.c,rnr memiliki MATHEMATICA LINK FOR EXCEL dan MATHCAD (www.mathsofi.conr) nrc'nrilik: sebuah komponen l/O data untuk EXCEL. Waterloo MAPLE (www.maplesofi.com) purl nrr-nrilrkr sebuah add-in untuk EXCEL.

Ucapan Terima Kasih Ucapan terima kasih disampaikan atas bantuan, arahan, dan kesabaran dari teman-teman di John Wiley & Sons. Saya mengucapkan terima kasrh kepada Mary Beth Bohman, Monique Calelkr. Jack Drucker, editor Joseph P. Hayton, Katherine Hepburn, Mary Mohan, Kenneth Santor. Erie

Shivak. dan Lisa Van Horn. Untuk Edisi Pertama, saya juga ingin mengucapkan terima kasih kepada Profesor Williani Beckwith (Clemson University), Melanie Bengtson (North Dakota State University), Daniel A. Gulino (Ohio University) dan Georg F. Mauer (University of Nevada. Las Vegas) atas bantuann\ ir dalam pemeriksaan naskah. Untuk di Edisi Kedua. saya sampaikan terima kasih kepada Dr. Roy Fitzgerald L6pez Carrera. Prof'esor Dan'ell G. Fontane (Colorado State University), Dr. Calvin Johnson. Profesor Patrick J. Jordan (University of Canterbury, New Zealand). Profesor J. C. Simonis (University of Texas-San Antonio), Profesor Garry W. Waren (University of Alabama) dan di John Wiley & Sons. Simon Durkin, Bonnie Kubat dan Angie Vennerstrom. Sekali lagi, terirna kasih kepada editor Joseph P. Hayton. Saya sangat berterima kasih atas saran, komentar, dan dorongan dari Dr. Lawrence Edward Bloch, Dr. Robert Dressler. Profesor Donald T. Haynie (Louisiana Tech University), Curt Lorenc dan Janis Walters. Terima kasih juga saya sampaikan kepada Dr. Daniel H. Fylstra dari Frontline Systems (www.solver.com) atas izinnya untuk menyertakan tutorial soflware Solver di dalam CD. National Instruments (wr,,,w.ni.com). PASCO Scientific (www.pasco.com) dan Vernier Softuare ( www.vernier.com).

Kontak dan Update Untuk infbrmasi mengenai judul buku ini dan buku-buku lainnya yang juga berhubungan. Anda dapat mengunjungi situs-situs: http://www.wiley.com/college/bloch dan http://www.wiley.com Untuk layanan teknis mengenai CD, silakan kunjungi situs: http://www.wiley.com/techsupport atau email ke techhelp @ wiley.com Untuk update dan download intb-info terbaru buku ini, silakan kunjungi situs: http ://sylvanbloch.hypermart. net/

ApabilaAnda memiliki saran atau menemukan hasil koreksi yang belum tercantunr. llrrh,,:'. untuk mengirimkannya ke alamat email di bagian kontak setiap situs tersebut. Selamat meng gtmakan

E.r.cel

!

Daftar lsi

1. Memulai

1

1.1 Sel, lembar kerja, buku kerja I 1.2 Informasi sel 5 1.3 Rumus 6 1.4 Operasi copy 6 1.5 Referensi sel 1 1.6 Contoh workbook: lintasan baseball 8 1.1 Apakah Analysis ToolPak sudah rerinsral I 1.8 Tips panduan menggunakan Excel ll .9 Tombol-tombol Fungsi l3

I

I

1

1.10 1.11

l.l2

mouse 13 CONVERT 11

Tombol kanan Penggunaan

Trik untuk merekam tampilan di

layar

1+

Kustomisasi EXCEL 15 Tips untuk mengatur komposisi lembar kerja 1.15 Menggunakan OFFICE BINDER sebagai penjilid 1.16 Apa yang baru di EXCEL 2002 17

1.13 1.14

Apa selanjutnya? 18 Daftar Pustaka 19

Uji

2.

kemampuan

Anda

Menjelajahi

Mengenai apa isi bab

19

Excel

ini 2l

2'l

2.1 Office Assistant 21 2.2 Menu-menu File, Edit, dan View 23 2.3 Menu-menu Insert, Format, dan Tools 21 2.1 Menu-menu Data, Window, dan Help 25 2.5 Di manakah menu grafik (chart)? 26 2.6 Fungsi Paste 21 2.1 Referensi lembar kerja 3-D 28 Apa selanjutnya? 29

Uji

kemampuan

Anda

30

15

digital

16

Daftar lsi

Membuat Grafik di Excel

3.

31

31 Mengenai aPa isi bab ini 31 diagram xy sederhana membuat Wizard: Chart 3.1

3.2 Dua sumbu-Y 38 dB 39 3.3 Logaritma clan sumbu 42 oiigram kolorn dan batang . 3: .1 45 i.s Dirigram radar dan Polar 3.6 Statistik diagram 47 Tsiolkovskii persamaan 3.'7 -Ooini llmu Roket: gral'ik -50

49

ilmiah melaltri paparan Apa selanjutnYa? 5l Daftar Pustaka 5l

Uji

kemamPuan

4.

Anda

51

Singkat 55

Matematika

Mengenai aPa isi bab ini 4.1 Dasai-dasar oPerator 55 ;:; Fungsi-fungsi trigonometri 55

1.3

4:,.1

5J ^

Buku kerja nenienai bidang-mirinc 62 Buku kerja deret Fourier

60

Fungsitlngsi hiPerboia 66 APa selanjutnYa? 61 Daftal Pustaka 6T Uji kemamPuan Anda 68

+.S

5.

Diferensial dan

Mengenai aPa isi bab

ini

lntegral

70

10

70

5.1 Diferensial 5.2 lr)tegral 16 5.3 Moving Average 82 89 \.0 ExPonJntial smoothing .94 5.5 Fungsi-fungsi Savitsky-Golay unt;k data yang terganggu Menggunakan"f'"nOfin" 5.6 diingat 98 5!7 Hal-hal Yang Perlu .l03 APa

selanjumya'/

Daftar

Uji

Pustaka

kemarnPuan

6.

103

Anda

Fungsi-fungsi

l0,+

Engineering

Mengenai aPa isi bab ini 6.1 Fungsi-lungsi Matematika

6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.1 6.8 6.9

107

10'7

Fungsi-tunisi kompleks

Khusus

.-

107

113

113 Fungsi-lunlsi konversi bilangan,115 bermant'aat Fungsi-tungsi lain yang

rto*"t'i p*g'"'iutun' CONVERT Aljabar matriks 118

116

Fungsi

Memecahkanpersamaan-persamaansimultan 124 Aplikasi *u"ik'' mesin Atwood Rotasi

koordinat

121

121

96

Daftar lsi

6.10 Fungsi lembar kerja Apa selanjutnya? 130 Dattar Pustaka 130 Uji Kemampuan

Anda

INDEX

128

130

7.

Persamaan

1.3 1.4 1.5 1.6 1 .1

Metode numerik Euler 138 Vibrasi yang baik l'13

Diferensial

133

133 Mengenai apa isi bab ini 1.1 Operasi-operasi pendahuluan I 33 1.2 Contoh: variabel yang dapat dipisah

ODE

131

Metode Rurrge-Kutta 1,16 Metode elemen hingga: Laplace 111 Pemisahan variabel-variabel PDE l-5-+

Apa selanjutnya? 159 Daftar Pustaka 159

Uji

kemampuan

8.

Anda

Analysis

ToolPak

Mengenai apa isi bab

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 U.6 8.7 8.8 8.9

161

ini

164

l6-+

Korelasi 166 Kovarian 170 Statistika Deskiptif

110 Pemulusan Eksponensial (Exponential Snrtrr,tirinS

Analisis

Fourier

r

I

7i

173

Histogram 173 Moving Average 176 Random number generation Regresi 180

177

Apa selanjutnya? 182 Dafiar Pustaka 184

Uji

kemampuan

9.

Anda

184

Pemakaian Excel di

Lab

187

ini 187 9.1 Mengimpor data 187 9.2 Membuat program makro urrtuk rnen-sotonratiskan tugas 190 9.3 Meng-sunakan Excel clengan PASCO Scienct-- \\'orkshc'rp 193 9.4 Menggunakan Excel dengan Intertirce Lab Vernier 198 Mengenai apa isi bab

Multifungsi

9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12

198

Menggunakan Excel dengan softr,''are I'IEASURE buatan National Instruments 200 N4enggunakan Excel dengan TAL Technologies SOFTWAREWEDGE 205 Penarikan data port serial DATAQ 106 Penarikan dirta melalui poft paralel 201 Penarikan data melalui Universal Serial Bus (USB) 108 Merata-ratakan gabungan data eksperinlen 210 Menyisipkan lembar kerja Excel ke dalam Microsoft Word 216 Menempelkan klip lilm ke dalarn lembar kerja 216

Apa seianjutnya? 219

I

Daftar lsi

Daftar

Pustaka

Uji kemampuan

219

Anda

Lampiran 1. Buku

220

Kerja

223

lnternet 227 jttga terdapot di dalam CD dalam fbrmat lile teks HTML, Ar:robat, dttn ASCII. Gtmo-kan brow'ser Andu dengut.file HTML atau Acrobot untuk akses internet tang mudtth. Lampiran 2. Link-link

Lunpiran

2

Lampiran 3. Persamaan

Trendline

235

Lampiran 4. Wizard untuk Goal Seek, Solver, dan

Lookup

Lampiran 5. PivotTable Wizard, lnternet Assistant

Wizard 25'l

Daftar

Pustaka

256

Daftar pustaka jugcL tertlapat di dalom CD meng gltrrurkart bruyt

lndeks

se

240

daLcnn

r Anda.

259

Cutaton: Latihan tambahan terdapat di dalam CD.

.forntat HTML. Akseslah dengan

XVI

llmu hitung sangat diperlukan hingga ke pencarian akar kuadrat dan akar pangkat tiga; aljabar diperlukan hingga ke persamaan kuadrat; dan penggunaan logaritma pun sering kali begitu berharga bagi kasus-kasus biasa; tetapi di luar semua itu terdapat sebuah kenikmatan; kenikmatan yang begitu membangkitkan selera; namun janganlah menjadi terbuai karena pengaruh seseorang yang hanya ingin menuruti hawa nafsunya saja. Thomas Jefferson 1743-1826

Matematika mungkin dapat disetarakan dengan pekerjaan seni yang akan menghasilkan sesuafu yang indah, namun demikian, apa yang Anda hasilkan bergantung dari apa yang Anda masukkan... Thomas Henry Huxley 1

869

... jika Anda dapat mengukur apa yang Anda ucapkan dan menyatakannya dengan angka, berarti Anda mengetahui sesuatu tentangnya; tetapi jika Anda tidak dapat mengukurnya, maka Anda tidak dapat menyatakannya dalam angka, berafti pengetahuan Anda pun masih sedikit dan belum memuaskan... Lord Kelvin Pengajar di lnstitution of Civil Engineers, 3 Mei 1883

Andai saja para insinyur mau membaca buku petunjuk, dunia akan menjadi tempat yang lebih baik...

Andrew S. Grove CEO lntel Corporation, 1999

i

Bab

1

Memulai Spredsheet berawal dari kotak-kotak hitung akuntan yang dikomputerisasikan, yang dirancang untuk melakukan perhitungan matematika dan statistik, serta mengurut-urutkan data. Spreadsheet berkembang dengan cepat menjadi program matematika yang ampuh, yang menarik perhatian insinyur dan ilmuwan. Excrl, khususnya, menjadi perangkat favorit mereka. Selain untuk kalkulasi. spreadsheet berguna untuk membuat grafik secara cepat dan bagus, dan juga dapat melakukan operasi database sederhana. Fitur grafik yang dimiliki ExcEl ini sangat berguna untuk memvisualisasikan hubungan di atas angka-angka data yang kita pelajari. Sangat mengagumkan bagaimana sebuah grafik yang sederhana dapat membantu kita memahami hubungan yang ada di antara data. Inilah kehebatan Excgr-. Dalam bab ini kita akan mendiskusikan dasar-dasar Excnr-, sehingga Anda dapat segera bersiap dan dapat segera berlari dengan cepat. Topik-topik yang lebih lanjut akan dibahas kemudian. Anda memegang kendali atas spreadsheet Anda, dari angka-angka yang Anda input ke dalamnya, sampai tampilan yang tampak di layar monitor. Untuk memahami spreadsheet, Anda tidak perlu seorang ahli, Anda hanya perlu memahami sel dan formula.

1.1 Sel, lembar kerja, buku kerja Sebuah lembar kerjo (worksheet) terdri dari sejumlah .re1. Yang dimaksud dengan sel adalah pelpotongan antara baris dengan kolom. Sebagai contoh, sel yang menempati pelpotongan antara kolom-C dan baris-2 disebut sel C2 (lihat Gambar l-1). C2 merupakan alamat sel. Alamat sel berfungsi seperti kotak surat. Kelak Anda akan menemukan bahwa ada dua jenis alamat sel, yaitu absolut dan relatif, tapi untuk sementara kita tidak akan membahasnya, lembar kerja Excer- yang ditujukan dalam Gambar 1-1 adalah salah satu dari tiga lembar kerja dalam buku kerja ini. BLrku kerjo (w-orkbook) adalah sekumpulan lembar kerja.

Tips Masukkan formula atau alamat sel alih-alih data numerik kapanpun Anda bisa, agar Ercrt. dapat segera meng-update perhitungannya setiap kali Anda merevisi data Anda dengan yang terbaru.

Bukalah sebuah buku kerja baru dan jelajahilah toolbar di bagian atas lembar kerja. Sel Cl dalrrnr kondisi terpilih pada Gambar 1-1. Perhatikan bahwa isi sel C7 terpampang di baris editor rei r,r..' berada di atas label kolom (label kolom adalah A, B, C, dan seterusnya). Perhatikan tiga buah tab di sisi kiri bawah. Ketiganya merupakan lembar keria di Ju.::: sebuah buku kerja. Anda dapat menambah lembar kerja itu sebanyak 256 lembar. atau -\ndir ij:i: menghapusnya. Anda juga dapat meng-klik tab-tab tersebut untuk mengeanti namani r

Bab 1: Memulai

Eile 4dt

ul:e hYl Fgtm* lmle qda winds Lblf

D6& &&rx tl(&&s; "::...,&?.: 18-B.fU ;

FE€E

Isial

S

Al zl 2t Aa

%

p iF

g,tr$ rsov..,€ Fi Er - .&. S.'

i,!"1qllq

c 1

your mouse 0 explore the tool bars.

1

The small dot in the lower right corner is the fill

I

4

is i

handle.

11 J

? t!0

press the left mouse button, drag the cell up or down, lefi or right. The cell contents will be copied to all cells that you have dragged over.

11

Sheet 1 is the

1? 13 14

first worksheet

1S

workbook.

in this

A workbook can have up to 256 worksheets

16 :l

Use the fill handle to copy a cell. Put the cursor on the fill hanclle,

i, rl\stee$J

sheet,

lstueia

I

j..

Gambar 1-1. Tampilan EXCEL. Sel C7 dalam kondisi terpr rh narrun pointer mouse berada di sel C9. Pointer mouse berbentuk tanda tambah. Tanda tambah ini akan berubah menjadi tanda + kecil pada saat Anda menempelkannya ke bingkai isian sel. Cobalah di komputer AnCa.

Slide bar yang terdapat di sisi kanan dan bauah nreniudahkan Anda untuk berpindah secara cepat ke bagian lain dari lembar kerja. Setiap lembar terdiri dari 256 kolom dan 65.536 baris. Tekanlah tombol Home untuk menuju kolom A: tekan Ctrl+Home untuk menuju sel Al, yaitu sisi kiri atas dari lembar kerja. Menekan tombol Ctrl+Home artinya menekan keduanya secara bersamaan.

Pilihlah sel kosong di sembarang tempat di dalanr lembar kerja dan pergunakan klik kanan di tombol mouse. Cara ini akan mengaktifkan menu pop-up seperti ditunjukkan oleh Gambar I -2. Menu pop-up memiliki sepuluh perintah operasi Lrmum vang dikelompokan untuk memudahkan penggunaan. Anda harus mencoba operasi Cut. Copr. dan Paste karena operasi ini akan sering Anda gunakan. Cobalah meng-klik perintah-perintah operasi lainnya dan perhatikan apa yang akan dikerjakannya. kita akan membahasnya nanti. Gambar 1-3 memperlihatkan tampilan ErcnL- dan MyWoRreooK yang nantinya akan Anda

pakai. Aktifkan ExcEt- dan bukalah workbook baru. Tekanlah tombol EnterJ setelah Anda mengetikkan informasi-infbrmasi berikut ini ke dalam setiap sel:

Ketik ltyworkbook di sel Al. Ketik Press Function Key F9 to recalculate di sel El. Tekan tombol Align Right (rata kanan) yang terletak di bagian atas baris editor sel. Lihat Gambar 1-3. Ketik 2 di sel D2. Gunakan ikon Border dan lakukan pilihan di menu panahnya agar muncul kotak yang akan mengelilingi sel D2.

1

1 Sel, lembar keria, buku kerja

5 3+$P53 5$ E5+F5 Sdl, $UM(E*:E$)

Addition

&

&

Eopv

@ fa:te

ssund: i:3

Insert {r&ment

S

Earmal (ells.,,

Fir! Frpx Lisl..

,

Gambar 1-2. Menu pop-up muncul pada saatAnda meng-klik tombol kanan mouse. Pointer mouse memilih Cir apabila Anda meng-klik tombol kiri.

610 .---"-,-"-

-l

",;d---.

Utr,

G

H

MyWorkbook Press Function Key F$ to recaleulate ZI 1 Enter a nunrberl

Chapter

Loterry Winning Numbers: 7g

85

Roundin

lnteger Rouncldown Roundup Round

2? ?2

44

u6,

Addition

51

5 3*$S52 59 E5+F5 64 SUMTES:E9)

n,{

Double-Click here for sound:

Gambar 1-3. Lembar kerja Anda yang lengkap akan berbentuk seperti ini, kecuali untuk suara.

Ketik Enter a number di sel C2. Tekan tombol Align Right yang terletak di bagi.rn . baris editor sel. Pointer mouse adalah panah yang tertera pada Gambar l -3. (Di bab-bab :elan_'u:: . kita akan membahas bagaimana cara menyisipkan suara, foto, dan video ke dalam lemh.r: \.: * Ketik l,ottery Winning Numbers di sel ,A4. Ketik = rNT(RAND O*46* $D$2) di sel ,A5. Mari kita pelajari ruurus ini. INT adalah sebuah fungsi di lembar kerja yang akan membulatkan angka ke baurh i: -':-terdekat. RAND( ) adalah sebuah lungsi di lembar kerja yang akan mengembalikan ni.,: .. angka yang lebih besar daripada atau sama dengan 0 dan lebih kecil daripada 1. Jrn,c":. rnenyertakan tanda kurung kosong ( ). Setiap angka baru yang acak akan dikemt.i...

Bab 1: Memulai

lembar kerja melakukan perhitungan. Informasi lebih lanjut mengenai INT dan RAND( ) dapat dilihat di menu Help. $DS2 adalah suatu alamat sel absolut yang selalu mengacu ke sel D2, walaupun Anda mengopinya ke sel lain. Jangan menempatkan spasi di ontara simboL di dalam rutnus.

Letakkan pointer mouse Anda ke bingkai sel isian di sel A5 dan tarik (drag) ke sepanjang baris 5. Berhentilah di sel F5. Ini akan mengkopi rumus di sel A5 ke sel-sel lain hingga berakhir di sel F5. Anda dapat menyaksikan sesuatu seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 1-3, namun angka-angka di baris 5 akan berbeda. Tekan Tombol Fungsi F9 dan Anda akan menyaksikan angka-angka tersebut berubah. Ketik Roundinq di sel A7 dan klik ikon Align Right. Ketik22.959 di sel 87. Sekarang mari kita lihat beberapa operasi lain yang cukup berguna. Carilah di menu Help mengenai perbedaan antara fungsi pembulatan (rowtclirtg) ini dan bagaimana penggunaannya: Ketik =rNT (22.959 ) di sel 88. (Nilainya akan dibulatkan ke bawah.) Ketik =ROUNDDOi^IIJ (22.959,0) di sel 89. (Lihat keterangannya di menu Help.) Ketik =RoUNDUP(22.959,0 ) di sel B10. (0 berarti tidak ada angka desimal.) Ketik =ROUND(22.959,0) di sel B1l. tLihat keterangannl,a di menu Help.) Sekarang kita akan menuliskan tiga rumus berikutnl a dan perhatikan bagaimana cara menambahkan sekelompok (ran ge) angka. Ketik Addition di sel D8. Klik ikon Align Right. Ketik =3+$D$2 di sel 88. lni akan r.nenambahkan 3 beserta isi dari sel D2. Ketik =E5+F5 di sel E9. Ini akan menambahkan isi sel E5 dan F5. Ketik =SUM(E8:E9) di sel El0. Ini akan menambahkan sebuah kelompok dari sel E8 hingga E9 dan memasukkan nilai totalnl'a ke sel El0. Silakan lihat ke menu Help untuk penggunaan SUM dan bagaimana SUM men-rperlakukan nilai yang bukan angka. Ini jauh lebih bermanfaat dibandingkan cara penambahan i ang sederhana. Ketik 3+glg2 di sel F8. Perhatikan bahwa ketikan ini akan muncul di sel F8 persis seperti apa yang Anda ketikkan karena ini bukan rumus, tidak ada tanda = di depannya. Ketik E5+F5 di sel F9. Ketik suM (E8 : E9 ) di sel F10. Arahkan pointer mouse Anda ke tab bernama Sheet 1 di sisi kiri bawah dari lembar kerja Anda. Tanda tambah akan berubah meniadi panah. Klik kanan tombol mouse Anda dan menu pop-up berukuran kecil akan muncul. Ada enam pilihan yang muncul di daiamnya. Klik kiri di pilihan Rename dan gunakan tombol Delete atau Backspace untuk menghapus tulisan Sheet 1. Ketikkan kata Main dan klik di sembarang sel di dalam lembar kerja. Klik tab tersebut lalu tariklah ke antara tab-tab lainnya. Masuklah ke menu File dan klik Save As. Pilih sebuah lokasi dan nama untuk workbook Anda ini. Selamatl Anda baru saja membuat sebuah workbook yang interaktif. Sekarang marilah kita beralih ke workbook yang lebih rumit yang selanjutnya akan kita pelajari secara detail. Bukalah lembar kerja bernama BASEBALL dan Anda bisa melihatnya di Gambar l-4. Anda dapat mengetikkan angka-angka, teks, maupun rumus di dalam sebuah sel. Memindahkan kursor sel (yang menyerupai sebingkai kotak di dalam pengolah angka) dapat dilakukan dengan cara menekan tombol-tombol panah atau dengan menggunakan mouse. Arahkan pointer (yang menyerupai tanda tambah) ke dalam sebuah sel, kemudian klik tombol kiri mouse satu kali. Seluruh operasi dan fungsi Excrl dapat dilakukan dengan meng-klik ikon f yang biasa disebut Paste Function (lihat Bab 2, Bagian 2.6). Apabila Anda ingin mengetahui di mana kursor Anda berada, lihatlah ke dalam sel referensi di bagian kiri atas, yaitu kira-kira di atas tempat bertemunya huruf kolom dan nomor baris (lihat Gambar 1-4, bagian yang bertuliskan Bll). Perhatikan sebuah noktah hitam di pojok kanan bawah bingkai di sel Bll. Ini adalah.fill handle yang telah disinggung di bagian awal.

1.2 lnformasi sel

u rt v1 nl#gil

UEli, ln EJt

rtllr$! Ip]l ?{*

Silrdaw {3lp

6&iZ .*{bffid ":' &W ry,*F€ffi,.s '0..'.,.I ; -$E$EaClt5{$E$I"pl{l/lBfl}"A'l

Arial

x&.

racr* i= n.&,A-

8r{i & S 4] );* ;19. iF

tJt

1

] 2

Projectile I'ilrtirn: Twu firnensirns, l'.lo Alr Hesislanrr {See Halliday, Pesnick & \r,r-alker, Sirlh Editian, Chapter 4)

BASEBALL.XLS Chapter'1

3

Ent*r r*f

6:

em rl

r-l

10

r-l

13

rl 0tr5l il 0?16511 0 012378 bt 0.t11 00433[1 0r]2451

't3

0.r:r'1

tl

14

E

0.r:16455;1 0.r:1383$X

02

11.0866t13 0.[4804

0.0i.i5 [.1t]8213

t3

ll.0l-sl4-10

ll.0: 0.'t2!l!,04

J6

1I

0

1r

rl35 0.15J55{ 0.r:r4

0

IJ

30 )1

ll45

[.0t

&ep,t

r*J con*))r'ons.

Tir"ns ixrrpma*l g Initial velocity. m/E lnitial ansle. desrees

5

lEfrffiTTX6IiEl

3(

di ^, r.-

-' ;tru E

H

0-1

10.6278684,0.25947

E.or

0

0,5

[.07t]5y 0.t-]S21S

0 19{856 0 Jn2576

1

1,5

2

2,5

X 0isplncefirefit. nr

r1.ti8149fi

[.'1732[5

lll0RE: Fg0rr

t}.00:

Ba*eball, x arr{l y co{trdiniries

0.J16f;0x t].1r2rf,

0.055 [.23G151 0 122676 0.tr6 tt.255,8t18 0.132:S 0.rl6t 0!8145X 0 |4r7$*

)i ttl ta

11.07

0.:83109

[.075

I

BI! I P,eadr

til\

fi.15fi98

0.:2476 fi.1!S9:8

B?seUat! /,X *rC V-,{ rra:Eitory .r'

Gambar 1-4. lni adalah sisi kiri atas dari sebuah workbook. Bukalah workbook ini di komputer Anda lalu arahkan pointer mouse ke setiap ikon untuk mengetahui keperluan apa sajakah dari ikon-ikon tersebut. Perhatikan bahwa bingkai sel isian tengah berada di sel B1'l dan rumusnya tercantum di baris editor sel, di bawah toolbar. Pointer mouse tepat berada di grafik, di sana tertera nilai untuk x,y. Perhatikan tab-tab di bagian kiri bawah,

seluruhnya menyatakan nama-nama lembar kerja di dalam workbook ini.

1.2

lnformasi sel

Anda dapat memasukkan tiga tipe dasar informasi ke dalam sel lembar pengolah angka: Angkct-angka merupakan masukan yang utama di dalam sebuah lembar kerja. Anda dapat mengatur jumlah digit yang akan ditampilkan, dalam bentuk desimal (seperti 3.14159) atau dalanr tbrmat ilmiah (seperti 6.02823 atau 6.02x10^23). Angka tersebut setara dengan 6.02 x 10rr. Rumus-rtrmtrs menghitung hasil berdasarkan angka-angka atau sel-sel yang direferensikan oleh rumus. Pada saat Anda memasukkan sebuah rumus, akan langsung ditampilkan hasilny'a. -\_rar EXCEL dapat mengenali sebuah rumus, maka penulisannya harus didahului dengan sebuah tand., sama-dengan (seperti =2+3 atau =A3+87l10). Infonnasi berupa teks dapat digunakan untuk mengidentifikasi data-data, catatan lantpir"r. dan informasi lainnya yang bersifat umum. Ini merupakan sebuah ide yang bagus. mengsun;lk;r-. catatan untuk mendokumentasikan apa yang Anda kerjakan dan mengapa Anda melakuklr::r. Sebuah workbook tanpa dokumentasi pendukung bagaikan sebuah misteri, bahkan bagi penuir.:.. sekalipun. Catatan-catatan (comments) dapat ditambahkan ke dalam sebuah sel tlihat Glnrb,: l-dan 2-8). Bacalah tulisan karya K. R. Morison dan P. J. Jordan di Daftar Pustaka hal:n:.:. . -

Bab 1: Memulai

Masukkan teks, angka-angka, maupun rumus-rumus dengan meletakkan kursor ke sel yang Anda inginkan, kemudian ketiklah informasinya. Anda akan melihat karakter-karakter masuk ke dalam sel, namun sebenarnya Anda bekerja di baris editor sel yang berada di atas label kolom. Untuk memasukkan informasi ke dalam sel, lakukan salah satu cara berikut: tekan tombol Enter J, tekan tombol Tab, atau berpindah keluar dari sel dengan menekan salah satu tombol panah. Apabila Anda membuat kesalahan ketik dan ingin kembali ke kondisi sebelumnya, pilihlah sel dimaksud, tekan tombol fungsi F2, kemudian klik ikon "X" di baris editor sel. Cara ini akan membatalkan perubahan yang dilakukan.

1.3 Rumus Rumus merupakan persamaan matematika atau statistika yang dimasukkan ke dalam sel untuk melakukan proses perhitungan. Operasi aljabar dasar di dalam rumus adalah:

2+2 {penambahant

2-2 (pengurangan) 2*2 (perkalian) 2/2 (pembagian) 2^2 (pemangkatan). Penulisan rumus selalu diawali dengan trindl = dan terL'tak di dalant tanda kurung. Jika Anda lupa menuliskan tanda =. rumus itu akan ditarnpilkan rebagai teks dan ErcEr- tidak akan menghitung apa pun yang berada di dalam sel itu. Pada saat Ancla menulis rumus. .\nda dapat menSgunakan angka-angka dan sel referensi. Sebagai contoh, rut'nus untuk rnenghitung suatu perrenta:e adalah: suatu data sembarang dibagi dengan jumlah total data, dikalikan dengan 100 Iik:r 89 adalah sembarang data dan B10 adalah

jumlah dari seluruh data, maka rurlusnva nleniadi = 39 810 ) *100. EXCEL rnemiliki fungsi untuk menghitung \e.urtu \eperti rata-rata, nilai tengah, dan jumlah. Untuk menggunakan fungsi ini, ketik tanda =. nama iLingsi dan, dalam tanda kurung, kelompok sel yang dipisahkan oleh tanda titik clua. Contoh. untuk rnenghitung rata-rata dari data-data di dalam sel 85 hingga 88. rumusnya ntenjadi =.r.-.-;:;-CE (B5: BB ).

1.4 Operasi copy Operasi ini dapat menghemat waktu dan tenaga Anda untuk mengetik. Daripada mengetikkan rumus ke dalam setiap sel, operasi COPY memun-gkinkan Anda untuk sekali saja mengetikkan rumus, kemudian tinggal mengkopikannva ke seluruh sel yang Anda butuhkan.

1. I r

Pilih sel berisi rumus yang akan Anda pindahkan atau kopikan. \rahkan pointer mouse ke bingkai sel tersebut. Untuk rnemindahkan sel, tarik pilihan itu ke arah kiri atas sel di dalam area paste.

EXCEL akan mengganti data lama yang terdapat di area paste itu. Untuk mengkopi sel, tekan dan tahan tombol CTRL sambil Anda menarik rnouse Anda. Anda juga dapat mengkopi rumus ke sel terdekat dengan menggunakan fill handle yang telah dijelaskan sebelumnya. (Fill handle adalah sebuah noktah hitam di pojok kiri bawah bingkai isian sel.) Pilih sel yang memuat rumus, kemudian tarik noktah hitamnya menuju kelompok yang ingin Anda isi. (Klik menu Help untuk informasi lebih lanjut mengenai operasi pengkopian yang khusus, serta mengenai ref-erensi sel absolut dan relatif.)

'.5

Referensi sel

1.5 Referensi sel Scbuah referensi mengidentifikasikan sebuah sel atau kelompok sel di dalam lentbar kc,r-tu c';. nremberitahukan kepada Excsr- di mana harus mencari data yang akan digunakan di dalant mn,uDengan referensi. Anda dapat menggunakan data pada Iembar kerja yang berbeda untuk dintasukkr: re dalam sebuah rumus atau menggunakan nilai dari sebuah sel untuk dipakai di banyak rulnu. \nda juga dapat mengacu ke sel-sel lain di dalam satu workbook, workbook lain, bahkan ke dar.' Ji program-program lain. Ret-erensi yang mengacu ke workbook lain merupakan ref'erensi ekstenut... Ref'erensi ke data-data di program lain adalah referensi remote.

ffi )0K

ffi=

Tips Pada saat Anda memindahkan rumus dengan metode Cut dan Paste, referensi sel

di dalamnya

ridak akan berubah. Pada saat Anda ntengkopl rumus. ref'erensi sel absolut tidak akan berubah. Pada saat Anda mengkrpi rumus, rel'erensi sel relatif akon berubah saat dikopi.

Pada kondisi standar, Excsl menggunakan lbrmat penulisan referensi A1, yang menamai kolon.t dengan huruf (A sampai IV, totalnya 256 kolom) dan menamai baris dengan angka ( I sampai 6-5536). Untuk mengacu ke sebuah sel, masukkan huruf kolom diikuti dengan angka baris. Sebagai contoh, C61 mengacu ke sel yang berpotongan dengan kolom C dan baris 61. Untuk mengacu ke sekelompok sel, masukkan referensi sel di pojok kiri atas dari kelompok tersebut, sebuah tanda titik dua (:), dan kemudian referensi sel di pojok kanan bawah dari kelompok tersebut. Berikut ini adalah contoh-contoh ref'erensi.

Untuk mengacu ke: Sel di kolom A dan baris 10 Kelompok sel di kolom A dan baris l0 hingga 20 Kelompok sel di baris 15 dan kolom B hingga E Seluruh sel di baris 4 Seluruh sel di baris 4 hingga 1 I Seluruh sel di kolom C Seluruh sel di kolom D hingga K

O Anda

Gunakan

Al0 A10:A20 B l5:E1,5

l:l 4:11

C:C

D:K

juga dapat menggunakan format penulisan lain dalam bentuk baris dan kolom lembaL kerja yang dinomori. Format RlCl digunakan untuk proses komputasi posisi baris dan kolom di dalam program makro dan dapat digunakan untuk menunjukkan referensi sel. Di dalam format RlCl ini, Excer- mengenali lokasi sebuah sel berdasarkan huruf "R" yang diikuti oleh nomor barir dan huruf "C" yang diikuti oleh nomor kolom. Untuk informasi lebih lanjut mengenai referensi RlCl, lihatlah menu Help online atau buku petunjuk Anda. Anda juga dapat mengkombinasikan beberapa referensi. Sebagai contoh, $Cl2 akan :el.,l.. nlengacu ke kolom C, tetapi nomor barisnya akan berubah bila Anda kopikan ke posisi :el l,: : Selain itu, C$12 akan selalu mengacu ke baris 12, tetapi kolomnya akan berubah bila dikcr:r *-

ie posisi sel lain.

Bab '1 : Memulai

Tips Bergantung pada tugas yang ingin Anda lakukan, Anda dapat menggunakan referensi sel relatifmatpun referensi sel absolto. Referensi sel relatif adalah referensi terhadap sel-sel yang relatif mengacu ke sel t'ang berisi nunus. Sebagai contoh, C12 adalah sebuah referensi sel relatif. Apabila Anda melakukan Copy dan Paste terhadap sel ini ke posisi sel lain, maka referensinya berubah menjadi sel baru. Ret'erensi sel absolut akan selalu mengacu ke sel-sel di lokasi tertentu. Sebagai contoh. $C$ I 2 akan tetap sama bila Anda kopikan ke posisi sel lain.

Itulah yang perlu Anda ketahui pada saat akan bekerja dengan lembar pengolah angka. Anda dapat membuat pengolah angka Anda menjadi sebesar atau serumit yang Anda inginkan. Nanti kita akan lihat bagaimana penggunaan analisis statistik terbaik untuk menggali lebih banyak infbrmasi.

1.6 Gontoh workbook: lintasan baseball Setiap mahasiswa teknik dan sains mengerjakan problem lintasan sebuah objek memakai percepatan gravitasi yang konstan dan tanpa memperhitungkan hambatan angin. Problem pertama melibatkan sebuah massa yang bergerak jatuh bebas. Berikutnya Anda akan menghadapi contoh dua dimensi, seperti gerakan baseball, bola kaki. atau peluru meriam (Gambar l-5). Pada saat Anda memecahkan problern-problem tersebut dengan kalkulator, Anda hanya akan mendapatkan jawaban tunggal seperti lamanya waktu saat berada di udara, tinggi maksimum maupun jarak tempuhnya. Anda akan mendapatkan lebih banyak infbrmasi bila menggunakan bantuan pengolah angka. Contoh. Anda dapat men-uikuti lintasan gerak benda dalam bentuk komponen vertikal dan horizontal. berikut jarak dan u'aktunya. Suatu grafik sederhana di dalam pengolah angka akan memberikan analisis atas kalkulasi Anda. Sebelum mulai mengolah angka, Anda perlu men-getahui beberapa hal mengenai rumus. Pada saat menggunakan sebuah fungsi, pernyataan dari fun_srsi tersebut harus berada di dalam tanda kurung. Contoh, logaritma natural dan 10 harus ditulis menjadi =1n(10). Fungsi trigonometri menggunakan radiart di dalam pemyataannya, bukan derajat. Karena terdapat 2nradian dalam 360 derajat, Anda dapat menskonversikan derajat menjadi radian dengan mengalikan derajat dengan n/l80. Sebagai contoh. rumus untuk sinus 30 derajat dapat ditulis

I S G

k,

pi

kr m

se

de

m( Gambar 1-5. Bentuk lintasan tanpa hambatan udara. Kecepatan awal adalah vo dan sudut awalnya adalah 0o dari titik pusat koordinat (0, 0). Perhatikan bahwa komponen horizontal perubahan komponen rafl4' lf,onstan vertikal.

Badan Perrrlstlklan P.r'n,nri 'tua

i lm!tr

Pe

me

de,

9r

1.6 Contoh workbook: lintasan baseball

=sin (30*pf O /180). Huruf n selalu ditulis sebagai pI0. Jangan lupa untuk nt.n\3:i*\*. di tengahnya! \{ari kita mempelajari problem fisika yang ditunjukkan oleh Gambar l-,5 dan ntenulr.i.:r

::-,enladi

:.-nda kurung tanpa karakter apa-apa

rer\amaan untuk pergeseran horizontal dan vertikal sebagai fungsi waktu /, posisi aualnva ud;1,:i dan t',,, kecepatan awalnya u,,, dan sudut awalnya 0,. -t(1) Persamaan

-

x,,

+

u,,

cos(0o)r

(l-l

(l- l) menyatakan bahwa

pergeseran horizontal pada sembarang waktu adalah pergeseran dengan pergeseran yang disebabkan oleh komponen horizontal clari recepotofl awal yang konstan, dikalikan dengan /.

r\\al dari x = 0, ditambah

.l'(/) =

.r,,,

1

1,,,

sin(0,)/

-

0,5 gtz

(1-l)

Persamaan ( 1-2) menyatakan bahwa pergeseran vertikal adalah pergeseran awal dari i. - 0, clitarnbah ,iengan pergeseran yang disebabkan oleh komponen vertikal dari kecepatan awal, dikalikan dengan r. dikurangi pergeseran yang disebabkan oleh percepatan gravitasi, g m/s2. Anda dapat memasukkan persamaan-persamaan tersebut langsung ke Excrr-. Waktu akan nluncul sebagai parameter di dalam Persamaan (1-l) dan (l-2), selanjutnya Anda dapat n.rengeliminasi waktu di antara kedua persamaan tersebut untuk memperoleh batasan R horizontal sebagai iungsi kecepatan awal dan sudut peluncuran,

R

),,1 = ''"

I

sint 0,, tcos( 9,,

).

(1-3r

Batasan tersebut dapat dituliskan secara lebih sederhana dengan menggunakan persamaan trigonometri untuk sudut ganda, sin(20) = 2sin(0) cos(0). Persamaan (l-3) menjadi: R=

t-lL

sin(20.'1

(

1-4)

Konstruksi Lembar Kerja Sekarang marilah kita membuat lembar kerja berdasarkan informasi yang ada. Kita akan mengIni sangat nyaman dilakukan dan menghemat waktu karena Anda dapat memasukkan data baru dan seluruh lembar kerja akan menghitungnya kembali. Anda tidak perlu memasukkan data baru di setiap sel serta melakukan pengkopian apa -eunakan referensi sel untuk memasukkan data awal.

pun.

Mengacu ke Gambar l-4 dan l-6. sel E5 memuat data time increment. Ini digunakan di kolom A dalam cara berikut ini: sel Al0 memiliki waktu awal, yaitu 0 menurut contoh. Sel Al I memiliki rumus =A10+$n$5, seperti ditunjukkan oleh Gambar l-6. Sel Al I dikopikan ke kelompok sel yang diinginkan di kolom A. Sel di kolom B memuat Persamaan (1-l), yaitu rumus untuk koordinat r pada ser.nbarans waktu. Sebuah rumus yang khas, untuk sel B10, ditunjukkan oleh Gambar l-7. Akhirnya kita sampai di kolom C yang memuat rumus untuk koordinat ,r, dan berhubunse; dengan Persamaan (1-2). Rumus di dalam sel C10 ditunjukkan oleh Gambar l-g. (pada saar.\nJ,, n.rengetikkan rumus, jangan menyisipkan spasi). Lihat kembali Gambar l-4. Sel H4 merupakan report range yang berhubunean den..:Persamaan (l-4). Pada saat membuat lembar kerja, Anda akan sering merasakan ntanflr: i-,: menemukan hasil atas sebuah hasil perhitungan komputer (seperti nilai tengah. nilai r"r"-:.:. deviasi standar, varian, dan sebagainya) di dalam area dengan posisi yang mencolok. G;n:-": 9 menunjukkan bentuk detail dari report range.

Bab 1: Memulai

10

D

Projectile Motion. Two i$ee Halliday. Resnict Enter initial canditions Trrne increment, s

tJ UU3

lnrtralvelocity m/s

5 30

nitial angle. degreee

Gambar 1-6. Rumus yang khas untuk menentukan dasar waktu. Sel A11 menggunakan nilai awal di sel A10

dan penambahannya berada di sel E5. Di sini akan ada penggunaan referensi sel relatif dan absolut dalam satu rumus.

818

rtr

#

41il

=$[$6"t]t3${$E$7*F10i1

;,fi;i,;.iti::."f'--.-.i;;"'S-. Pr*j*r'lile Moti*n

I .,-""f,,...--

Tv+o

Dirn*nsin

{Se* Halliday. ft*snitk ,1\Valk*

fnfer

rnrtrbJ

candrfeons.

,QeP,:tl

[.005

Time rnrrernent, s lnitial veletitx. rnJs lnitial anqle, d*,Ir*es

5 30

\"/ Gambar 1-7. Rumus untuk koordinat x pada saat t = 0 diperlihatkan dalam sel B10. Perhatikan bahwa referensi sel absolut digunakan untuk kecepatan awal dan sudut awal, dan referensi sel relatif untuk waktu di dalam sel A10. perhatikin pula konversi sudut derajat menjadi radian yang dibutuhkan oleh operasi cosinus dalam Excel.

!1!.-.-- "-_j"....----:'":"1"f'1g::I!{$E$r.pl0r1BBJ:{q:!i!3-.9:fl9:?-. 1

1

BASEBALL,XLS Chapter 1

Projectile Motion: Two Dimensions. No Air iSee Halliday. Resnick & Walker. Fifth Edit

3 E nter i n ttia I

4

condifions.

5

Time increment.

o

lnitialvelocitv. mls

7

lnitial anqle. deorees

;o

s

{0

Time

s

0.005 3{

+

Gambar 1-8. Rumus untuk koordinat y pada waktu t = 0 ditunjukkan di dalam sel C10. Faktor 9.8 adalah g, yaitu percepatan gravitasi dalam satuan m/s2. Rumus ini merupakan bentuk Persamaan (1-2) yang dituliskan ke dalam bentuk rumus di pengolah angka, berlaku untuk kondisi di titik pusat koordinat (0, 0).

1.7 Apakah analysis toolpak sudah terinstal? -i'::{$ESE^2,56)*5lNE-$E$l"Frr't,180J

oTEFGH

Projectile Motion. Two Dimensions. No llr Resstan.e {See Halliday. Resnick & Walker. Fifth Edition. Chapter -i,

BASEBALL.XLS Chapter 1

1

1 ,t

{

E nte

r

i n iti a

! condifiors.

Tinre increment.

s

Faporf,' 0.0s5

lnitial velocity, m/s

5

lnitialanole. deorees

30

Basehall.xandyr

Gambar 1-9. Panah mouse menunjuk ke sel H4, yang merupakan report range yang mengacu ke Persamaan (1-4)

1.7

Apakah Analysis ToolPak sudah Terinsta!?

Sekarang adalah saat yang tepat untuk melihat apakah Analysis ToolPak sudah terinstal di ExcEl-. ToolPak sendiri bagaikan kunci pintu utama di sebuah tambang emas. Klik menu Tools untuk mencari menu Data Analysis, seperti diperlihatkan di Gambar 1-10, kemudian klik menu tersebut sehingga muncul tampilan seperti di Gambar 1-11. Apabila Data Analysis tidak muncul, silahkan mengikuti petunjuk di bawah Gambar l-12.

Fl riu rart ?iefl lr,ieri

n6w,&&g

Fp.lmit lo{ds

#" re liu

Trerk {ianges

l BASEtsALL.XLS Chapter

5

-.1

6

rl

,:.:

1

rr**l w ts^Y-r'uE

Fnl

T;

60e{ 5s.ek.,,

Iil

,rgnaritl5..,

Ulu

Agdilirg

I

t.,

&e

4B

.

-

tcvt

t3

a=t=-1L-AL-

MT

Brreball. x and y coordinate:

Sii:ro

tt

Time

1?,

r

4,1&!ns.,,

tl

:

l1l l-i '14

.0')

rrrr%

Tmn lirnnrrsians, l',]u,{ir Resistance rk & Walker, Fiftl'r Editinn, ChaFter 4)

7

Itl

ZI

grrde.Iran

4 3l

{elp 17

&uln,:orrsct,,

Arial

2 a

[.:ta Sird*ur

gpelline..,

i:t

lu5ton{ze.,, QFti*ns,.,

[05

Wizard

001 0 ll'15

0fit

tl.tt?5

{}

2

o r) 1t

1

(]

n

0.0

fi1 [

Llp,Jatr Add-in Lir*"s,..

Gambar 1-10. Menu Tools dengan Data Analysis yang sudah te

Klik menu Data Analysis untux

"nemunculkan Analisis ToolPak.

Kotak pilihan Data Analysis ditunjukkan oleh Gambar 1-ll. Pergunakan scroll bar di .:.: kanan dallar isinya untuk melihat item-item selanjutnya. Gambar 1-11 memperlihatkan hanya sebagian dari menu DataAnalysis. Bila Anda nren-rr..\. Y'

tn

.edikit waktu luang, pergunakanlah scroll bar untuk melihat-lihat tool ini. Sara pikir.\ni; "r,: menjadi bersemangat. Apabila Data Analysis tidak muncul di menu Tools Anda. klik .\iJ-l:- -: nrenu Tools (lihat Gambar 1-10). Anda dapat memilih Add-Ins dari kotak dialos rerc::. r--:

Bab'1:Memulai

1Z lnitisl velnr

6

ir

lrritial

em

11tl I 11 I I 13 I i 13 i iu 115, 16 1l:

&rglysis T(,ols

0

D

I

i Trr)o-Fact0r V,1ith REFlirali(n : luo-Fn,:tor V,lithout F.pF ication

0.005 n.[:1651 tr.tr]]ll$ 0

01 0 0433[1

0,02451

tl.B15 0.n64S53 n.*:63S6 o

02

rl DEG603 tr Blao,r

n.0?5 ll.ttl6353 u.[59438

Etl3 012,],J04 007il59 S.S35 n.151554 n.nn14ffi

Gambar 1-11. Kotak dialog Data Analysis untuk Analysis Tools, di dalamnya terdapat sejumlah fasilitas bantu statistik dan Fourier Analysis (lihat Bab 9 dan 11).

BA$T8&I-L,XL5 r1

1

*h

?

&dd-lns evsibbf*l

3 4

&nalysir T*olFak - !'$&

3

&utcrSar.re

l.1

{*nditirnal 5um }trizard

7

LurkuF',1/iaard 14icr**of I Bnol,"shalf Integr.*li*n

IJ

1r 111 41

,

Template Utilities Updat* Add-in tinks

Tim*

$

1I

1l

|],iltls rl.ff?1s5 [.01 n.fi4330 [.fi15 il |]&,{.s5

1rl

s.02 tr,fifififi0

15

[,il25 n,1fi*?s

.l

,:'

tt ttl

11

r-Anclysi* T*dFak

{ ,1.3ftn

Gambar 1-'l2.Kolak dialog Add-ln. Selain Analysis ToolPak, Anda dapat menggunakan Analysis ToolPak-VBA. .'BA mengacu ke Visual Basic forApplicationsAdd-ln; yang dibutuhkan untuk merekam program makro. Lihat

3a5 9) :.-:riirkkan dalam Gambar l-12. Analysis ToolPak adalah salah satu bagian yang akan kita pelajan l:i1rm. Pilihan Measure Serial Add-In mungkin saja tidak muncul di menu Anda. Pilihan ini r'_-:,,. ke :ebuah program bernama MEesunr yang berfungsi menarik data ke ExcEt-: lihat Bab

-:

i- :

.,:r',

\lrrsrnn dibuat oleh National Instruments,

http://www.ni.com.)

1,8 Tips panduan menggunakan Excel 1 ---. .;. :-: ':r.r.k "-arlr untuk berpindah-pindah dari satu sel ke sel lain dan melakukan berbagai ':.--- - :,::-- j j-:.-::r E\r rr. Jika Anda telah begitu terbiasa menggunakan Excrl, maka Anda .--r:i. i-.:rj=rr-.r:rjr.;r-. i.'bie.:ran kerja tersebut melalui bantuan toolbar dan tombol-tombol cepat ,: : ..,. -:11-r :-.3.:rir..:n proredur-prosedur yang sering Anda lakukan. Pada saat Anda telah

irinr:Ji

.eurrn_i

it:!.un.1 Er-:-

tingkat atas. Anda dapat mengutak-atik sendiri rangkaian toolbar

Jan t.rmttri-t1'11p1,l .3.,1;i Jan!Jn keinginan Anda.

1.9 Tomboltombol funqsi Tekanlah tombol Home. Aktivitas ini akan membuat kursor Anda pindah ke kolcrnt \ ir :":.. tempatAnda sekarang berada. Untuk menuju ke sel pertama yang ada isinya. tekan tontboi E^: kemudian tekan tombol panah ke kiri 81

Lebih kecil daripada

A1 =81

atau sama denganl

= (tanda iebrh besar daripada

(tanda tidak sama dengan)

4.2 Funosi-funosi trioonometri Operator teks teks tunggal.

"&"

(Tabel 4-4) mengkombinasikan satu atau lebih nilai teks untuk n-ienlh;-..r.-

Tabel 4-4. Operator Teks dalam Rumus Operator Teks

Atli

Contoh

& (tanda dan)

Menghubungkan atau merangkaikan dua nilai untuk menghasilkan sebuah nilai teks yang menyambung

"North" & "wind" menghasilkan "Northwind'

Operator-operator referensi (Tabel 4-5) mengkombinasikan batasan sel-sel untuk keperluan kalkula:i

Tabel 4-5. Operator-operator Referensi dalam Rumus Operator referensi (tanda titik dua)

Afti

Contoh

Operator pembatas, yang menghasilkan sebuah referensi terhadap seluruh sel yang ' berada di antara dua referensi, termasuk kedua referensi

C5:C22

tersebut

Operator penggabung, yang mengkombinasikan beberapa referensi menjadi sebuah

(tanda koma)

SUM(85:815,D5:D15)

referensi

Operator perantara, yang menghasilkan sebuah referensi terhadap sel-sel milik dua referensi lain

(spasi tunggal)

SUM(83:B22 A3:D11) Contoh: sel 87 adalah milik kedua buah batasan tersebut. (Cobalah).

4.2 Fungsi-fungsi trigonometri EXCEL memiliki koleksi 10 fungsi sirkular trigonometri yang sangat bermanfaat,

sebagainlanr,

ditunjukkan oleh Tabel 4-6. Fungsi tersebut akan dijelaskan secara rinci di bawah ini. Fung.ifungsi hiperbola akan diperlihatkan di Tabel 4-1. Tabel 4-6. Fungsi-fungsi Trigonometri Dasar ACOS

ASIN

ATAN

ATAN2

cos

DEGREES

Pt0

RADIANS

stN

TAN

ACOS(bilangan) menghasilkan arccosinus dari suatu bilangan. Arccosinus adalah :udut cosinusnya berupa bilangan. Sudut yang dihasilkan adalah dalam bentuk radian dengan (nol) hingga z.

Syntax ACOS(bilangan)

,.

'

h;t;--:

Bab 4: Matematika Sinqkat

rersebur adalah cosinus sudut yang Anda inginkan dan harus bernilai antara -1 hingga l. \n.ia in-ein mengkonversi suatu hasil dari radian menjadi derajat (degrees). kalikan bilangan

rr.;ijrn J.r"

:.i..lnll

dengan 180/PI0.

Contoh:

rCOSr-0.5) sama dengan 2,094395 (ini adalah 2r/3 radian) \COS(-0.5)x180/PI0 sama dengan 120 (derajat) ASIN(bilangan) menghasilkan arcsinus dari suatu bilangan. Arcsinus adalah sudut yang sinusnya berupa bilangan. Sudut yang dihasilkan adalah dalam bentuk radian dengan batasan

-rl2

hingga

trl). Syntax .\SIN(bilangan) bilangan tersebut adalah sinus sudut yang Anda inginkan dan harus bernilai antara -1 hingga Untuk menuliskan arcsinus dalam derajat, kalikan bilangan hasilnya dengan 180/PI0.

1.

Contoh:

ASIN(-0,5) sama dengan -0,5236 (ini adalah -nl6 tadian) ASIN(-0,5)*180/PI0 sama dengan -3,0 (derajat) ATAN(bilangan) menghasilkan arctangen dari suatu bilangan. Arctangen adalah sudut yang tangennya berupa bilangan. Sudut yang dihasilkan adalah dalam bentuk radian dengan balasan -nl2 hingga nl2. Dengan kata lain, ini merupakan arctangen kuadran-dua.

Syntax ATAN(bilangan) bilangan'tersebut adalah tangen sudut yang Anda inginkan. Untuk menuliskan arctangen dalam derajat, kalikan bilangan hasilnya dengan 180/PI0.

Contoh: ATAN(1) sama dengan 0,785398 (ini adalah

rl4

tadian)

ATAN(l)*180/PI0 sama dengan 45 (derajat) ATAN2(bilangan) menghasilkan arctangen untuk koordinat-koordinat tertentu

r

dan

,).'.

Arctangen

aclalah sudut dari sumbu-x terhadap garis yang mengandung pusat koordinat (0. 0) dan sebuah titik dengan koordinat (x_num, y_num). Sudut yang dihasilkan adalah dalam bentuk radian dengan

-n hingga 7[, namun -n tidak termasuk di dalamnya. (Ini merupakan arctangen kuadranenlpat. Bandingkan dengan ATAN).

batasan

Syntax ATAN2(x-num, y-num) X_num adalah koordinat-x titik tersebut. \'_num adalah koordinat-y titik tersebut. Suatu hasil yang positif menggambarkan sebuah sudut yang berlawanan dengan arah jarum jam dari sumbu-x; hasil yang negatif menggambarkan sudut yang searah dengan jarum jam. .\TA\l(a. ll) sama dengan ATAN(&/a), pengecualiannya adalah a boleh bernilai 0 di ATAN2. .\pabila \-num dan y-num adalah 0, ATAN2 menghasilkan nilai salah #DM0!. L'nruk menuliskan arctangen dalam derajat, kalikan bilangan hasilnya dengan I 80/PI0. Contoh:

.\TA\1,

l.

I r \arna dengan 0,785398 (ini adalah nl4 radian)

.\TA\lr-1. -1 r sama dengan -2,35619 (ini adalah -3nl4 .\TA\1-1. -1r"l80,PItt sama dengan -135 (derajat)

radian)

COS(bilangan) menghasilkan cosinus untuk sebuah sudut. Syntax

4.2 Funqsi-funqsi triqonometri COS(bilangan) bilangan tersebut adalah sudut dalam radian yang ingin Anda cosinuskan. Jika sudutnl a Lhn\ ri dalam derajat, kalikan dengan PI(y180 untuk mengkonversinya menjadi radian.

,\j1

Contoh: COS(1,047) sama dengan 0,500171 COS(60*PI0/180) sama dengan 0,5, yaitu cosinus 60 derajat

DEGREES(sudut) mengkonversi radian menjadi derajat (degrees). Syntax DEGREES(sudut) sudut adalah sudut yang dinyatakan dalam radian yang akan Anda konversikan.

Contoh: DEGREES(PI0) sama dengan 180 PlQ bernilai 3,14159265358979 dan merupakan sebuah konstanta matematika Syntax PI0 Contoh:

r,

tepat l5 digit.

PI0/2 sama dengan 1,51079... SIN(PI(y2) sama dengan 1

Jika jari-jari sebuah lingkaran disimpan di dalam sel bemama Radius, rumus berikut akan menghitung

luas lingkaran tersebut: Pl0*(Radius^2).

RADIANS(sudut) mengkonversi derajat

menj adi radian.

Syntax RADIANS(sudut) sudut adalah sebuah sudut dalam derajat yang akan Anda konversikan.

Contoh: RADIANS(270) sama dengan 4,712389 (ini adalah 3n/2 radian).

SIN(bilangan) menghasilkan sinus untuk sebuah

sudut.

Syntax SIN(bilangan) bilangan adalah sudut dalam radian yang akan Anda sinuskan. Bila pernyataan Anda adalah dalam derajat, kalikan dengan PI(yl80 untuk mengkonversikannya menjadi radian.

Contoh:

SIN(PI0) sama dengan 1.22F-16, nilainya mendekati nol. Sinus n adalah nol. SIN(PI(y2) sama dengan I SIN(30"PI(y180) sama dengan 0,5, yaitu sinus 30 derajat.

TAN(bilangan) menghasilkan tangen untuk sebuah

sudut.

Syntax TAN(bilangan)

bilangan adalah sudut dalam radian yang ingin Anda tangenkan. Bila pernyataan Anda adalah dalam derajat, kalikan dengan PI(y180 untuk mengkonversikannya menjadi radian. Contoh: TAN(0,785) sama dengan 0,99920

TAN(45*P()/180) sama dengan

1

Bab 4: Matematika Sinqkat

Penggunaan arctangen di EXCEL B:r:rr-hatilah dalam penggunaan fungsi arctangen. Fungsi ini berasal dari dua sumber seperti ::13:.: Jr atas. ),aitu ATAN dan ATAN2. Keduanya menghasilkan nilai sebuah sudut dalam radian, r.:r'.Lro tungsi AIAN menggunakan bilangan tunggal sebagai masukan. dan ATAN2 menggunakan :*; brlan_san sebagai masukan. Gambar 4-l menunjukkan beberapa contoh dari dua fungsi arctangen ':r

-1

2

3 4

ATAH & ATAI'IZ.XLS

ff.r'-1:ATAN2S2,6X) [,7*53Sfi

!

:T i-r:l-

=.aI.qlG{-fi},63} =ATAN2F3.-&?}

:.:35S1S4

-tr.7fi54

"--

H**l-i-,

=,4TA1112(-6?,-63}

-?.35613

5

? E

.s

=ATAhr6:iE2) =ATAri(.62rri2) =ArAN$j2l.62) 0

785398

-0

7854

-fi

7854

=ATArrJi-621.62) 0 7S5398

Gambar 4-1. Perbandingan antara fungsi ATAN dan ATAN2.

Suatu hasil yang positif mencerminkan sebuah sudut yang berlawanan dengan arah jarum jam dari sumbu--r; hasil negatif mencerminkan sebuah sudut yang searah dengan jarum jam. (Gambarlah sketsanya untuk melihat mengapa seperti itu). ATAN2(a,D) sama dengan ATAN(b/a) ketika a dan b bernilai positif. Nilai a mendapatkan pengecualian, yaitu boleh bernilai 0 di dalam ATAN2. Apabila -r_num dan r'_num adalah 0, maka ATAN2 akan menghasilkan nilai salah #DIV/O!. Radian menjadi clerajat'. Anda dapat menggunakan DEGREES(ATAN2(.r-num,r'_num)) atau DEGREES(ATAN(n)). Anda bisa juga mengalikan hasil radian dengan 180/PI().

TIPS Fungsi (sin r)/-r adalah sesuatu yang para insinyur dan ilmuwan serin-e jumpai karena berhubungan dengan pulsa kotak yang dibangkitkan oleh transfbrmasi Fourier (lihat Bab 1l). Bentuk ini begitu umum sehingga bentuk yang telah sedikit dimodiflkasi diberikan nama khusus, yaitu fungsi srnc yang sama dengan (sin zt)/(zr). Fungsi sinc kerap disebut sebagai titrt,e,.si interpolasi dan memiliki beberapa sifat menarik. Anda diharap berhati-hati untuk nilai .r = 0 karena lembar pengolah angka tidak akan menghasilkan nilai yang tepat untuknya. Dari ilmu kalkulus. Anda mengetahui bahwa (sin 0)/0 = l, namun lembar pengolah angka akan nrenrberikan pesan yang cukup menyedihkan, yaitu: #DIV/0!. Anda dapat menghindari kesalahan

ini Jc'ncan memberikan tambahan nilai kecil ke x, misalnya -r +

l0-16.

4,3 Buku kerja mengenai bidang miring -\lunlrh kir., hrr.rn_ilk untuk menjelajahi fungsi-fungsi trigonometri di dalam aplikasi tertentu.

Bukalah buku kerli, I\CLI\E. Buku kerja ini merupakan sebuah contoh penggunaan fungsi-fungsi tri_sononrerri dan di.igranr-diaqrarn.r'r dalam kaitannya dengan kasus yang sering dihadapi oleh

4.3 Buku keria menoenai bidano mirinq seluruh mahasiswa baru untuk bidang ilmu rekayasa dan sains. Buku kerja ini ntenganali.r. benda yang berada di bidang miring kasar, seperti ditunjukkan oleh Gambar 4-2.

:;:-.*

Gambar 4-2. Kri: Sebuah koin berada di atas buku yang tergeletak secara miring. Kanan: Berat dan gaya gesek diproyeksikan ke dalam komponen-komponen tegak lurus dan sejajar terhadap bidang miring. Gaya gesek statik selalu berlawanan dengan arah gerak benda. (Sumber CD Physics, Version 3.0, Wiley).

Sebuah bidang miring berhubungan dengan metode yang mungkin digunakan oleh Bangsa Mesir Kuno untuk membangun piramid, karena ini ef'ektif untuk meredam gaya gravitasi. Dengan menggunakan bidang miring, Anda dapat mengirimkan sebuah benda ke tempat yang lebih tinggi dengan menggunakan gaya yang lebih sedikit dibandingkan dengan mengangkatnya langsung ke arah vertikal, namun jarak yang harus ditempuhnya menjadi lebih jauh dibandingkan bila diangkat langsung ke arah vertikal.

Cara yang biasa (dan mudah) digunakan dalam melakukan analisis bidang miring adalah dengan memproyeksikan berat dan gaya gesek yang dialaminya ke dalam komponen paralel dan bidang tegak lurus. Kita akan membuat lembar kerja yang menghasilkan gaya-gaya ini sebagai fungsi sudut. Pada saat komponen berat yang menyentuh bidang miring lebih besar daripada ga1'a gesek maksimumnya, maka benda akan mulai bergerak. Berat dapat diproyeksikan menjadi gaya W sin 0 yang sejajar dengan bidang miring dan 11' cos 0 yang tegak lurus terhadap bidang miring. Penentuan ini masuk akal mengingat gaya yans sejajar dengan bidang miring akan menjadi nol apabila sudut kemiringannya juga nol dan gara tegak lurusnya sama dengan berat benda pada saat sudut kemiringan sama dengan nol. Koefisien gesek maksimum adalah pN, di mana p adalah koeflsien gesek statik dan N adalah gaya normal. Komponen dari gaya gesek maksimum ke atas bidang adalah pl{ cos 0. Gerak akrn terjadi pada saat gaya meluncur ke bawah setara dengan gaya gesek statik maksimum, W sin e = ptW cos 0. Sistem seperti ini mudah dianalisis di dalam lembar pengolah angka. Seperti biasa, kita akirr mengikutsertakan beberapa fasilitas yang dibutuhkan di EXCEL. Sel D3:D6 memuat data maruk:rn yang digunakan oleh rumus di kolom A, C, E, dan H. (Mengikutsertakan percepatan grar iti.: sebagai data masukan akan membuat lembar kerja menjadi lebih berlaku umum; lembar kerta r:. dapat digunakan terhadap planet-planet lain maupun terhadap bulan-bulan yang mengorbitn'.Lembar kerja utama ditunjukkan oleh Gambar 4-3. Pelajarilah sel-sel di baris 9. Sel A9 memuat bilangan 0, digunakan untuk memulai sudut sumbu di titik 0. Sel .\ lll n'.::'-rumus =A9+gDg6 yang akan menaikkan nilai sudut sumbu dengan menan.rbahkan nilai :.:- '. A6 ke dalam nilai sel sebelumnya. Rumus ini dikopikan hingga ke akhir cakupan sel l ans i:r:: -.-

al

Bab 4: Matematika Si

Sel C9 memuar rumus = gDg 3 * gDg 4 *CoS (RADIANS (.A9 ) ) yang merupakan versi penulisan rumus m8 cos 0 di lembat pengolah angka untuk sebuah gaya normal t;erhadip bidang ftfmponen b'erat adalah tegak Iurus bidang). Perhatikan penggunaan RADIANS unruk mengkonversi

ieraiat

menjadi radian. Sel E9 memuat rumus =$D$3*gDg4*SrN(RADIANS (A9) ) yang merupakan versi rumus "is sin 0 atau W sin 0 di lembar pengolah angka untuk komponen berat ke barvah bidang. Sel H9 memuat rumus =$D$5*C9 yang merupakan gaya gesek ntaksimum di sudut ini, jelasnya ini adalah perkalian antara koefisien gesek statik dengan gaya normal. Diagram di Gambar 4-4 menunjukkan hasilnya. Perhatikan di mana grafik gay.a vang menuruni bidang (force down the plane) berpotongan dengan gaya friksi maksimum. Benda mulai bergerak pada saat gaya menuruni bidang mencapai nilai yang setara dengan ga),a gesek statik. Setelah uerak terjadi, grafik ini tidak berlaku lagi karena koefisien gesek statik berubah menjadi koefisien ,eesek kinetik (biasanya lebih kecil). Dari pengalaman kita mengetahui bahua lebih sulit untuk mulai menggerakkan benda ketimbang mempertahankannya agar tetap bergerak.

*l---4 _ {11 ",,, ** __:;_1r_F_t:.j$.r^81-!!${HAnlAhis{At0}} E*:---?.-f-3 :*U*ql lHtltlNE.XL

1

ln*[]ned FIam*

S

2

:l

ku

4

my'sr

:

5

6 v

I

ANQ,LE {d*greerJ

90

Nrmal F*rc*

:5fi Ih

sr :6t:fi

|i.43613,1

.16 8806.1

87.627nfi 3/ 4Al t:1 9r.2S953

s.541263 10 ?4379 r 1 9432

4A 8r35.{

9I.[4$:7

r3 63891i r 5 13[58

3

sr.sbrss,

4

5

,18 17fr 1ES 19 ?0

s7.a{n3

7

1[

.

Friction Fcrrce

5 1:8924

t

',

t3b

0

49 46 9?25d 4A ?7015 4A 33265

97 S85tr7l

i1l :

12 .13 ,14

Frrte Oown tti* Ptan*

96.19346 S6.5t I l6 96.1 9946

1.11[:36

3

ti

420151

.u

llhl

18 69928

)t

11 1-)

:*E.rraaa,

ir:.iisir

))

1il

23

ss.,{raii

t4

s5.fi8frgS

7? 045: 23 70815

.lE ,/ I t1/ 46

5_1476

4U

5l:i14

{E.JYtj/ J 48 25558 48 [997]

47 92923 J7 1t {rl?

? I 1 t11t) ' ' tirro J{9*J

Gambar 4-3. Tampilan utama buku kerja INCLINE. Rumus di dalam sel C10 ditampilkan di kotak editor sel

>:.:niutnva. mari kita lihat apa yang bisa kita lakukan dengan han1,a menambahkan sinus dan ':n1.. Pada saat mempelajari perpindahan panas, Count Jean Baptiste Joseph Fourier menemukan r::- 't.; hlnlpir setiap fungsi periodik dapat diwakili oleh deret sinus dan cosinus. Deret Fourier dan

-

'';:::,

:.i Fourier merupakan penemuan penting pada abad kesembilan belas. penemuan ini .:Jerhena namun luar biasa. yaitu membuka sebuah medan yang luas di bidang mate-

rr:l i.: :::

i:ll-i ::l-a.ii.

'tplikasi-aplikasi ilmu rekayasa dan sains. dan tetap menjadi subjek penelitian

4.4 Buku keria deret Fourier Bidang Miring

2 6

o

-*-

Gaya formal Gaya menuruni Bidang Miring

Gambar 4-4. Gaya pada sistem bidang miring sebagai fungsi sudut. Benda akan mulai bergerak pada saat gaya menuruni bidang miring menyamai nilai gaya friksi statik maksimumnya.

Sejumlah besar aplikasi yang tidak biasa dilakukan akhirnya bermunculan setelah pengembang-

an komputer digital dan algoritma Fast Fourier Transform (FFT) pada abad kesembilan belas. (EXCEL memiliki FFT di dalamAnalysis ToolPak, lihat Bab 11.) Fourier menuliskan ke dalam catatan hariannya, "Kemarin adalah hari ulang tahun keduapuluh satu saya, pada usia itu Newton dan Pascal telah memperoleh beberapa hukum kekekalan." Fourier pun mencapainya dan naman) a akan senantiasa diingat atas karyanya dalam deret dan transformasi. Menambahkan komponen-komponen Fourier (atatt harmonika-harmonika) untuk membuat fungsi periodik dinamakan sintesis Fourier; membedah suatu fungsi ke dalam komponen-komponennya dinamakan analisis Fourier. Bentuk yang biasa dipakai untuk deret tersebut diberikan sebagai.

ro

=

!. i[o, *'(T). u,,,*(T))

(4-l

)

di mana /(r) adalah fungsi yang ingin Anda anggap sebagai deret, Ao adalah konstanta, nilainya dapat berharga nol (ini adalah nilai "dc" dari fungsi), A, adalah koefisien Fourier untuk bagian genap dari deret (cosinus), B, adalah koefisien Fourier untuk bagian ganjil dari deret (sinus), T adalah periode dari fungsi periodik /(r). Deret begitu mudah diimplementasikan ke dalam lembar kerja. Untuk membuatn\a tetrp mudah, kita hanya akan melakukannya terhadap sebuah contoh sintesis Fourier. Bukalah t'ui. kerja FOURIER dan Anda akan melihat sembilan koefisien Fourier yang digunakan untuk melaliuk":r sintesis terhadap sebuah pendekatan gelombang kotak (lihat Gambar 4-5). Makin banl'ak koetlrre: yang digunakan maka pendekatannya akan semakin baik. Hitunglah redaman di gelombang kirt*. ada lima buah di sana, ditandai dengan lima buah harmonika bukan nol yang muncul. L.;.::-'. mudahnya, perlambahan periode dan waktu dimasukkan ke sel F6 dan G6. Cobalah Je:....mengganti-ganti pertambahan periode dan waktunya.

Bab 4: Matematika Sinqkat

(zn

-l

-A

ci:St$7-CtSB-Pl0-1'{;A20l$F$6]+$t1$7"tllr(2'Pl0-i'$A2rl/$F$6]

6

ffiF

s.--r

Fi)u8lEB.xL$ fl*uri*r s*rie*

k

J

L

:j i.haptir,l ,t

FfisriBr IoericiBnl dala in aolurrns C and L

5

tt

6

i

[

{dc}

0.0,]|l[n

r)

1.[t[]il0

B

8.0c008

I

2 3

1n

{

1

0 t)

B 0c1J00

1l

0

B

1l

6

f)

B

7

0

0.14:86

ll

Lr.Blnair

11

i:JllJll

l4 3

15

3I0t:l 0[&]il

ib 17

IS

r0 33

0

1l

ll

0 r6ll5E5

21

0

5

B

Ir 0:a1,J,13

0.32$S67

C

1.,186^I

C198Bl4

rr

I

0 131895 n1n2n68

0 rl.1 1118.!2 [ 001]9:E

l"J

7J6561

D?l63Ci

Gambar4-5. Tampilan utama buku kerja deret Fourier. Koefisien C6:D15 digunakan untuk melakukan sintesis gelombang kotak untuk sembilan komponen, empat dr antaranya adalah nol. Pemilihan koefisien-koefisien ini menghasilkan gelombang kotak yang mulai naik di perpotongan titik nol dan tidak memiliki komponen dc. (Tentu saja gelombang kotak nampak simetris sepanjang sumbu waktu). Perhatikan bahwa amplitudo gelombang kotak dengan koefisien-koefisien ini adalah rl4, bukan 1. Amplitudo frekuensi fundamental adalah 1.

Gerakkan mouse Anda sepanjang lembar kerja dan amatilah isi sel-selnl a. Anda akan melihat bahwa kolom-kolomnya akan mendapat tambahan hingga sembilan ba-uian dalam deret di Persamaan

(4-l). Deret Fourier untuk gelombang kotak seperti nampak di Gambar -1-5 diberikan sebagai,

f(i)

1

I

| ()tr,1t l+ /2zxlr\ l+- t.(2rx3r\ Stnl l- srnl \e,37sl 3 \e,375i s \q..17.5 l

srnl

dan seluruh harmonika ganjil yang lebih tinggi, mewakili sebuah gelon.rbang kotak

rlrlle) dengan amplitudo sebesar

(scluure

7Tl4.

Deret Fourier tidak hanya dibatasi untuk fungsi-fungsi yang kontinu: deret ini juga rnemiliki kemampuan luar biasa untuk merepresentasikan fungsi periodik y'ang diskontintt. Di titik-titik diskontinuitas, deret akan bertemu dengan nilai rata-rata titik-titik tersebut sebelum dan sesudah redaman. Deret Fourier merupakan suatu bentuk representasi deret yan-: optimum. dalam arti tidak ada deret lain yang memiliki tingkat kesalahan lectst-ntenn-squore vans be-situ kecil dalam merepresentasikan fungsi periodik yang diberikan. Gambar 4-6 menunjukkan komponen-komponen Fourier untuk -selombang kotak, dan Gambar 1-7 menunjukkan spektrum dari gelombang kotak, sudah jelas bahri a itu adalah amplitudo dari kontponen Fourier. Sebuah gelombang kotak biasa digunakan sebagai sinl al qi coba secara umum. Perhatikan bahwa gelombang kotak murni tidak memiliki sedikit pun harmonika. Jadi, apabila .\nda rnenggunakan gelombang kotak sebagai sinyal uji coba terhadap sebuah sistem dan mendapati beherapa harmonika muncul di dalamnya, maka dapat Anda simpulkan bahwa sistem tersebut nren,calami distorsi harmoniko. (Ini biasa terjadi di dalam amplifier dengan keluaran yang tinggi). Bilt perbandingan amplitudo harmonika keluaran tidak sama dengan masukannya, maka Anda .l.rprr menyimpulkan bahwa telah terjadi distorsi frekuensi. Sebuah -telombang kotak periode :Jn.jring dapat memperkirakan suatu/angsl langkah (step func'tion). yang dapat digunakan untuk nr;ndapatkan respon frekuensi secara lengkap (berupa amplitudo dan fase) dari sebuah sistem

lrnier rlihat Bab

11).

4.4 Buku keria deret Fourier

Foi.r'rBr

Seile:

5

{Df c84erti Lr'.i'jqrSrF r'i.t

n5

a!

Gambar 4-6. Komponen-komponen gelombang kotak di Gambar 4-4. Diagram ini akan mudah dicerna dengan tampilan berwarna di layar Anda. (Diagram ini terdapat di dalam buku kerja FOURIER).

$pectrum (nrr DC torfiprlnent)

t.{riooit ,1.s0[f0

B.StUt'0

0.7nrlrfi

u 3 5

0.$1]{r)B

it5r1ftl0

E

-'

o lo,:rug

r,r.rl0B0i1

i].f{i0{0 i.1i]rt0 n.n088,1

r Frequer'l'r'd

Gambar 4-7. Spektrum gelombang kotak di Gambar 4-5. Perhatikan bahwa hanya harmonika ganjil (1, ) yang muncul, dengan indikator satu untuk gelombang kotak yang murni.

3

Cobalah latihan-latihan yang terdapat di dalam buku kerja FOURIER di bagian akhir h.rl'

5

r::

Anda akan melihat bagaimana melakukan sintesis terhadap bentuk-bentuk gelonlbang pcnr\i r yang umum. Lakukanlah untuk beberapa harmonika dan koefisien yang berbeda. (Ini akan lllen kan bagaimana music synthesizer bekerja).

u:1,

-'

-

1 r/e19rne!!!?lr!sle1

TIPS Seluruh fungsi matematika di EXCEL dapat diakses secara cepat dengan mengklik ikon f. Ikon ini dinamakan ikon Paste Function dan terdapat di baris atas bar menu. di antara Auto Sum

(I)

4.5

dan ikon Sort Ascending.

Fungsi-fungsi hiperbola

Fungsi-fungsi hiperbola meliputi eksponensial

riil. Seluruhnya

merupakan solusi cepat untuk

beberapa permasalahan. (Lihat Latihan 1. Bab 2). Tabel 4-6. Fungsi-fungsi hiperbola di EXCEL ACOSH

ASINH

ATANH

COSH

SINH

TANH

ACOSH menghasilkan kebalikan cosinus hiperbola dari suatu bilangan. Bilangan tersebut harus lebih besar daripada atau sama dengan l. Kebalikan cosinus hiperbola adalah nilai yang cosinus hiperbolanya berupa bilangan. sehingga ACOSH(COSH(bilangan)) sama dengan bilangan.

Syntax ACOSH(bilangan) Bilangan adalah sembarang bilangan

riil

yang sama dengan atau lebih besar daripada

1.

Contoh:

ACOSH(l) sama dengan 0 ACOSH(10) sama dengan 2,993223

ASINH menghasilkan kebalikan sinus hiperbola dari suatu bilangan. Kebalikan sinus hiperbola adalah nilai yang sinus hiperbolanya berupa bilangan, sehingga ASINH(SlNH(bilangan)) sama dengan bilangan.

Syntax ASINH(bilangan) bilangan adalah sembarang bilangan riil.

Contoh:

.\SI\H(-2,5) sama dengan -1,64723 ASI\H(10) sama dengan 2,998223 COSH nrenghasilkan cosinus hiperbola dari suatu bilangan. Syntax COSHT bilangan

r

Rumus untuk co:inus hiperbola adalah: cosh(z)

=+

Contoh: COSH(+) sama densan 17.30823 COSH(EXPI

l))

sama dengan 7.61012-5. dengan EXP(1) adalah e, basis dari logaritma natural

Aoa selaniutnva?

SINH menghasilkan sinus hiperbola dari

suatu bilangan.

Syntax SINH(bilangan) bilangan adalah sembarang bilangan riil. Rumus untuk sinus hiperbola adalah: sinh(z)

Contoh: SINH(1) sama dengan 1,115201194

SINH(-I)

sama dengan -1,175201194

Anda dapat menggunakan fungsi sinus hiperbola untuk melakukan pendekatan terhadap distribu't probabilitas kumulatif. Anggap nilai hasil uji coba di lab berada di antara 0 dan l0 detik. Sebuah analisis empirik terhadap rekaman data yang dikumpulkan dari eksperimen menunjukkan bahu a probabilitas hasil yang diperoleh, yaitu r, yang nilainya lebih kecil daripada 1 detik adalah hasil pendekatan dari rumus berikut:

P(x <

0 = 2,868 * SINH(0,0342 * t),dengan 0 < t < l0

Untuk menghitung probabilitas hasil yang lebih kecil daripada 1,03 detik, masukkan nilai 1,03 ke dalam t: 2,868*SINH(0,0342* 1,03) sama dengan 0,101049063 Anda dapat memperkirakan hasil ini akan muncul sebanyak kira-kira 101 kali untuk setiap 1000 percobaan.

TANH menghasilkan tangen hiperbola dari suatu bilangan. Syntax TANH(bilangan) Bilangan adalah sembarang bilangan riil. Rumus untuk tangen hiperbola adalah: tanh(z)

_

sinh(z) cosh(z)

Contoh:

TANH(-2) sama dengan -0,96403 TANH(0) sama dengan 0 TANH(0,5) sama dengan 0,462117

Apa selaniutnya? Di dalam Bab 5 kita akan menjelajahi beberapa teknik dif'erensial dan integral numerik. Inte-urul merupakan bagian penuntun di dalam tasilitas Moving Average dan Exponential Smoothing di EXCEL. Kita akan lihat pula bagaimana mudahnya mengimplementasikan beberapa operasi integr:r'i yang berguna dengan bantuan aritmetika sederhana. Integrasi akan membantu pada saat dlt-1 mengalami gangguan atau Anda ingin mengambil informasi dari data yang rusak.

Daftar Pustaka N. Momison, Intodltction to Fourier Analysls (John Wiley & Sons, Inc., New York. 199-l t. Dr ditunjukkan bagaimana cara menghitung koefisien-koefisien Fourier untuk sebuah deret memang berada di luar cakupan bab ini.

:. C \\il:trn. Forlrrer Series and Optical ' :r .t Sons. Inc.. New York, 1995).

..i

Transform Techniques in Contentporan Optic:s (.John

S C Bloch. "Fourier Perspective," Chapter 6 in Introtluction to Clas.sical and Quontum Harmonic ' r":llutot's (John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997). Di dalamnya memuat contoh-contoh :ringenai bagaimana cara menghitung koefisien-koefisien Fourier untuk gelombang kotak dan _iik)mbang segitiga.

Uji kemampuan Anda Per_cunakanlah lembar pgngolah angka Anda untuk perhitungan-perhitungan berikut:

l. l. 3. +. .5. 6. 1. 8. 9.

=ATAN2(15,30)

=ATAN2(15,-30) =ATAN2(-15,30) =ATAN2(-15,-30) =DEGREES(ATAN2(36,36)) =DEGREES(ATAN2(_36,36)) =ATAN(30/15) =ATAN(-3OI15)

=ATAN(30/-15)

10. =ATAN(-30/-15) I

l.

Buatlah satu lembar kerja untuk sebuah benda yang didorong ke atas di sebuah bidang miring kasar. Peristiwanya kira-kira seperti yang tertera di Gambar .1-2 dan -1-3. tetapi sekarang gaya gesek dan komponen berat ke arah bawah bidang memiliki arah yang sama karena gerak yang terjadi adalah ke atas. Gaya yang diberikan untuk mendorong benda agar bergerak ke atas harus lebih besar daripada jumlah gaya yang menuju ke bawah bidang. Berapakah gaya minimum, sebagai fungsi sudut, yang diperlukan untuk menggerakkan benda tersebut? Tunjukkanlah data-datanya dengan diagram XY. (Soal latihan ini berhubungan dengan topik mengenai posisi dan gerak benda - gerak dan gaya yang diberikan oleh National Science Education Standard).

12. Sebuah batu bata tengah berada di atas sebidang papan ka1,u. Pada saat papan tersebut dimiringkan dengan sudut kemiringan 60 derajat, batu bata rnulai bergerak turun. Berapakah koefisien gesek statiknya'? (Ini merupakan metode standar untuk rnengukur koefisien gesek statik antara dua buah permukaan, seperti karet ban dengan aspal. Perhatikan bahwa koefisien

itu bergantung pada berat dan luas permukaan kontak).

13

Tunjukkanlah amplitudo-amplitudo komponen harmonika 3. 5. 7. dan 9 dari sebuah gelombang kotak dalam satuan dB, relatif terhadap harmonika I (frekuensi fundamental).

-

Pr-rgunakanlah buku kerja FOURIER untuk melakukan sintesis terhadap gelombang gigi

,:r'r!.r.ti. Seluruh harmonika akan muncul. Amplitudo-amplitudo harrnonikanya adalah: l/1, . l. i 1. l/1. 1/5. 1/6 dan seterusnya. Anda sering melihat aplikasi gelombang gigi gergaji ini, .,:.... ';it\lk digunakan sebagai bujur horizontal di monitor komputer. osiloskop, dan layar.;,.r iel:', i.i.

,: L;s'jr;r:rh

.inte.is deret Fourier untuk gelombang segitiga. Pergunakan buku kerja FOURIER ir.'1:rkuk.rnn\ a. Di dalarn kasus ini, seluruh harmonika genap bernilai nol. Amplitudournpiirujrr h.rrnt.,nik.i ranjilnva adalah: ll12J.32, 1/52, 1/1). 1192, dan seterusnya.

inlik

Uji kemampuan Anda

16.

_

A-,

::.':::

, f,3 Kemiringan jalan raya yang berbentuk kurva. Di Bagian 4.3 kita telah nrenrbahrbidang miring yang kasar. Pada saat sebuah kendaraan melintasi sebuah jalan rara le::r.'-:-. kurva, Anda tidak dapat memperkirakan apakah gesekan akan mampu rnelindunsin... .-.,tergelincir karena adanya genangan air maupun oli di atas jalan, sehingga ini men-i-^.:kondisi permukaan jalan. Jalan raya akan dimiringkan di bagian yang berupa belokan h;t:::-menyerupai kurva untuk menghindari kendaraan tergelincir. Ini ada pelmasalahan l ang din.,r:r.i namun dapat dijadikan statik sehingga menjadi serupa dengan bidang miring biasa. Kit., .'k.r mencoba memiringkan jalan raya untuk mendapatkan gaya normal terhadap pusat lengkuncdn

jalan yang akan menghasilkan sebuah gaya sentripetal. Tidak ada percepatan yang tegak lurujalan sehingga N, = N cos 0 = W = rrrg. Dalam arah radialnya, komponen N adalah:

N. = N

,ir1 = n'!' R

dengan R adalah jari-jari kurva dan l adalah kecepatan kendaraan. Bagilah N,. dengan .\. untuk mendapatkan tangen sudut kemiringan, tang = v2lkR).Perhatikan bahwa sudut kemiringan tidak tergantung pada massa kendaraan. Ini adalah hal yang penting, karena kurr a jalan yang miring akan menghasilkan ef'ek yang sama terhadap setiap jenis kendaraan y'ang melintas dengan kecepatan yang sama. Buatlah lembar kerja yang akan menghitung sudut yang dibutuhkan untuk kecepatan maksimum 20, 30, 40, dan 50 m/s dan R sama dengan -50. 75, 100, dan 125 m. (Soal latihan ini berhubungan dengan topik mengenai posisi dan gerok benda - gerak clan gdl'd yang diberikan oleh National Science Education Standard).

t].

Mernbahas mengenai kolektor vektor. Buku kerja bernama VECTORS menunjukkan bagaimana

cara menambah, mengurangi, dan mengalikan vektor. Perkalian vektor menghasilkan dua bentuk, yaitu skalar (titik) dan vektor (silang). Jelajahilah rumus-rumus di dalam sel-selnf ii untuk melihat betapa mudahnya melakukan perhitungan tersebut. Diberikan A = 3i + 4j - 5k dan B = 2i + llj - 3k. Masukkan keduanya ke dalam lembar kerja untuk mencari A + B. A- B, lA + Bl, lA- Bl, lAl, lBl, A x B, B x A, A. B dan sudut terkecil di antara A dan B. Cocokkan jawaban itu dengan hasil perhitungan tangan. Berapakah A x A? Berapakah

A . A? Mengapa?

Bab 5 Diferensial dan lntegral Mengenai apa isi bab ini Operasi-operasi kalkulus dasar untuk diferensial dan integral dapat diukur dalam bentuk numerik melalui Excsr-. Kita akan menjelajahi beberapa metode untuk keilua operasi tersebut, dan amati masing-masing kelebihan dan kekurangannya. Integral berhubungan dengan upaya menghaluskan garis kurva dan kita akan lihat bagaimana penggunaan dua buah fasiiitas bantu di ExcrrlMoving

Average dan Exponential Smoothing) untuk mengerjakan inte-sral bertipe khusus. Kita akan menunjukkan cara penggunaan fungsi-fun-esi Sar itskr -Golay, yang mengkombinasikan diferensial dan integral untuk melakukan estimasi leasr-mean-square terhadap daia yang terganggu. Fungsi-fungsi ini pada awalnya berlaku di bidan-e kimia. namun kini berguna pula untuk bidang ilmu lainnya dan Anda pun layak untuk mengetahuinr a. Pada akhirnya Anda dapat melihat bagaimana penggunaan fasilitas Trendline di ExcEr- untuk data-dara \ ang terganggu dan Anda pun dapat menghitung sebuah pusat massa beserta momen inersian_ra. Integrator telah tersedia di Internet. Anda dapat menuliskannva ke cialam sebuah tungsi dan mendapatkan hasil integralnya dengan segera melalui lllrruerr.urca. Kunjungilah situs http:// integrals. wolfram.com/index.en.cgi. Lihat contohnya di Gantbar,5 - g. Kapan Anda membutuhkan diferensial dan integral numerik l Dara-data eksperimen seringkali tidak mengikutsertakan fungsi yang diketahui, sehinsga merode-metode numerik menjadi penting.

Mengambil turunan suatu fungsi merupakan sebuah keahlian analitis menclasar yang Ancla pelajari di kalkulus. Turunan membantu menjawab pertanyaan. bagaimanakah nilai perubahan suatu fungsi? Turunan dapat mengurangi perubahan-perubahan di dalam suatu fungsi atau sekumpulan data. Hal ini berlawanan dengan integral, yang membolehkan perubahan (untuk tujuan memuluskan kurva). Kita sering tertarik untuk mengamati angka perubahan waktu, namun turunan tidak akan dibatasi oleh waktu. Sebagai contoh, kita mungkin in-ein mengetahui nilai perubahan di sebuah ruang, seperti sebuah gradien, bila kita bekerja dengan temperatur, tekanan, atau potensial listrik. Interpretasi geometri untuk turunan pefiama adalah kecontlongan (slope) clari sebuah fungsi di titik tertentu. Turunan keduanya merupakan angka perubahan kecondongan. Turunan kedua ini muncul

dalam hukum Newton mengenai gerak dan identifikasinya terhadap nilai maksimum dan minimum.

5.1 Diferensial Interpretasi seperti ini baik dilakukan untuk fungsi-fi.rngsi kontinu dan nilar pcrluli,r;.-.:i...yang tidak terbatas, narnun untuk data yang menyebar kita harus memperhatikan interr "i .: ... titik-titik datanya. Miserlnya, kecepatan rata-rata diberikan sebagai, A^s

ri-

I

Lt Dengan As adalah interval jarak yang berhubungan dengan interval waktu At. Garis yanu terdrip,l di atas u menunjukkan "nilai rata-rata" sepanjang interval waktu tertentu. Kita perlu memutu.krn apa yang akan kita lakukan pada akhir pertambahan ruang dan waktu. Ini semua akan rlenia.| jelas pada saat Anda menggunakan buku kerja DERIVAIIVE. Ada tiga cara untuk mengoluh pertambahan-pertambahan ini terhadap data-data berurutan yang berbeda:

. . .

turunan maju (forward derivative), turunan mundur (bach,.'ad derivcttive'), turunan tengah (central derivative).

Marilah kita lihat ke titik dengan koordinat .r0, )0. Koordinat titik sebelumnya adalah x ,, r' , dan koordinat sesudah,r;,.r'o adalah.r+1,J,+r. (Gambarkanlah sebuah kurva pada selernbar kertas dan tandailah ketiga titik tersebut. Saya bisa saja menunjukkan gambarnya tetapi Anda akan dapat belajar lebih banyak bila melakukannya sendiri). Di dalarn mata kuliah kalkulus, Anda telah mempelajari bahwa turunan pefiama sebuah fungsi diberikan sebagai,

dy_ Iz-)r dx

t

5-1i

h

dengan limit I mendekati nol, iz adalah pertambahan .r. Sebelum i mendekati nol, terjadi sebuah kesalahan estimasi dalam menghitung turunan untuk /2, yaitu biasa disingkat dengan O(/r). Jadi, muncullah sebuah pefiambahan kecil yang diinginkan, namun kita juga perlu mempelajari efek dari pembulatan nilai-nilai yang salah dan pemilahan data akurat dari sebaran data sehingga perlu kehati-hatian dalam mernbuat pernyataan umumnya. Thbel 5-1 berisi ringkasan ketiga tipe turunan pefiama di titik xo, )0. Tabel 5- I muncul untuk menyatakan bahwa Anda perlu sesering mungkin menggunakan turunan tengah, namun turunan ini membutuhkan jumlah titik data yang sama untuk kedua sisi titik yang ditanyakan. Di bagian akhir sebuah urutan data, Anda dapat nrenggunakan turunan rnaju atau mundur untuk menghindari kesalahan yang serius. Selain itu, turunan Maju dan Mundur memberikan

Tabel 5-1. Estimasi Turunan Pertama untuk Sebaran Data Tipe turunan

Rumus

Maju (Fot'vvard). (Lihat lembar kerja untuk rumusnya).

AJ'Ar

h

Mundur (Backwardl (Lihat lembar kerja untuk rumusnya).

Al' _ )o Ar

-

Tengah (Central). (Lihat Gambar 5-2, sel F105 untuk rumusnya).

A],

Ar

Orde kesalahan

-]'*r

-)'-r

h

-)kr

h

,)'-r

h

- )' 2h

hz r

Bab 5: Dlfe-rensial dan lntegral -

-.

i.ing terbaik terhadap data yang memiliki banyak perubahan. Pergunakanlah turunan mundur

sebuah perubahan besar dan turunan maju untuk kondisi sesudahnya. Karena turunan pertama adalah analog terhadap kelajuan (atau kecepatan, jika itu merupakan ,..:.,rr. maka turunan keduanya analog terhadap percepatan. Dengan kata lain, turunan kedua -*,ilh turunan dari turunan pertama. Tabel 5-2 menunjukkan rumus dan orde-orde yang salah dari

-:-r.',nt melakukan

.:re turunan kedua.

Tabel 5-2. Estimasi Turunan Kedua untuk Sebaran Data Tipe turunan

Rumus

Orde kesalahan

Maju.

Arl

h

(Lihat lembar keria untuk rumusnya).

Ar2

Mundur.

A2-y-)'o-2.,-r+l:

(Lihat lembar kerja untuk rumusnya). Tengah.

(Lihat Gambar 5-1, sel J12 untuk rumusnya).

A2-r'-,yr Ar2 -

lt

-2.rn+l-,

h

h2

h2

Tentu saja, untuk mendapatkan turunan yang lebih tinggi Anda dapat menggunakan pengulangan aplikasi-aplikasi turunan pertama" selain menggunakan rumus khusus. Marilah kita mengimplementasikan turunan-turunan ini ke dalam buku kerja kemudian membandingkan hasilnya dengan fungsi kontinu .1,(1) = 6t2 yang dapat kita turunkan secara analitis nrenjadi bentuk dy,lclt = l2r. [Pada tahun 1676, Leibniz membuktikan ./(,\'') = rrl'-rdrl. Bukalah buku kerja bernama DERIVATIVE dan lihatlah Gambar 5-1 dan 5-2. Dengirn pertambahan sebesar l, turunan pertama Maju dan Mundur nlasing-masing akan menghasilkan konstanta kesalahan +6 dan -6. Jelasnya, pertambahan sebesar I terlalu besar untuk memberikan hasil yang dapat diterima terhadap nilai dari perubahan sekumpulan data ini. Selanjutnya, mari kita coba menguranginya dari I menjadi 0, 1. Gambar 5-3 dan 5-'1 menunjukkan pengurangan konstanta kesalahan untuk turunan pertama Maju dan Mundur seba-eai penurunan pertambahan. Namun demikian, kesalahan-kesalahan di bagian akhir selalu saja nluncul. Amatilah kesalahan-kesalahan yang terjadi terhadap turunan-turunan \'Iaju. \ltrndur. dan Tengah

di ujung-ujung data. Sekarang Anda dapat memahami mengapa hal ini begitu sering dibutuhkan untuk berpinclah dari turunan Maju. ke Tengah, ke Mundur, sehingga Anda dapat nrengikutsertakan seluruh titik data, walaupun di bagian akhir data masih mengalami kesalahan dibandingkan dengan keseluruhan data. Walaupun turunan numerik tidaklah sempurna, namun Anda tetap dapat n.renghasilkan sesuatu \ ang ridak dapat dilakukan dengan kalkulus analitis. Data dari eksperirnen-eksperimen yang se\unsguhnya selalu memiliki gangguan acak dan hampir tidak mun-ukin untuk merepresentasikan rlaranr,a ke dalam bentuk fungsi yang diketahui. Di dalam kondisi yang sesungguhnya, kita membutuhkan operasi-operasi numerik. Gambar 5-2 dan 5-4 memiliki tampilan lembar kerja yang dikunci secara vertikal sehingga .\ndl dapat melihat judul kolom (baris 5 dan 6) setiap saat. Untuk melakukan penguncian tersebut, pilihlah :ebuah sel, kemudian masuklah ke menu Window dan klik Freeze Panes. Gambar 5--5 ntenuniukkan sebuah contoh turunan maju yang diterapkan terhadap suatu fungsi yang terdiri dari :ebuah pulsa (7rrrl.ie) dan segmen sinus.

5.'l

Diferensial

113

3-2"81!+fi

={S1

":"i

--A ,. . B,

,----

:l

IEKIVATI\IE,XLS

'l L

unalller

D ltE

C

1

y$D$3^2

F:S

I

Fir*t and S*rond }erivalivs

t

f, *l

1

lncrement

I

I

4

(

6 &l -.-t

.9 .,

lnl

Time 0

dvr'dl

AvJAt

ll

llr F,;

1

'j 54

i11

4

sEi

ti

5 6

2'r6i

7

:s4

tl

:{j4

15

Fr:nrr'ard

YIJl

J

illi '

Analrltical

I

DI

i

Centrxl

&.nalvticsl

F*nnrard

Sarkvrarc

Ay/&t

&v/&l

d:y/,it:

.$v181?

&2y,'al2

12 i ti,lALUE!

*&/,ALlJEl i *tv'ALLIEI

tt

Itl

6

11

24 3f JU

an

tol

?4

41

3S

1i

48

b4

4Z)

4fi

60

6B

5jl

{1

Itr

bb

sil 7) Ei

tt

fi4 vb

i

B*ck',rr,art

5rl 1ra1

t1

ss

9tl

Cer::; iil.ri,.

i'

#./,11

_r=!

l::#{All,lEl 12t 17 {a t!

41 tl

tl

trt

12, 1!, t1: tt ,t1

i1: 1r-

12[-:j l"t, r-t: ll: 11:

12

ta t: 1l

Gambar 5-1. Tampilan utama buku kerja DERIVATIVE. Perhatikan bahwa turunan Mundur dan Tengah mengalami kesalahan di bagian awal data, tetapi turunan Majunya trdak mengalami kesalahan. Di titik-titik lain, turunan Tengah sesuai dengan Analytical. Turunan pertama Maju memiliki konstanta kesalahan +6. Turunan pertama Mundur memiliki konstanta kesalahan -6. Perhatikan titik-titik lain untuk turunan kedua.

__-t-lu5

1

?

I

s,

I

AEC

*f,Jr

=tBj il6.S1fi.1y€'$0$3J

D

*_*t_l-"

G

First antl Sec**d &*rivalive

CIERIVATIVE,XLS

2,Chaptrr5 lncrenrent

3

I

1

4

s

E

&.rialvtic*l

F,:ruVard

Eackvgsrr

drrldl

AulAt

&v1At

Central

Ifi2

t)[

5415t1

1

1

146

1

1:4

&v/Ar I't .dfi

irle

3b

Edlqfi

1

1

15S

1

146

tat

1fi41

$7

58454

1

1

'170

{ iEo I IJU

lssl

98

eirzr

rlQ6

39

5fifi06

Time

i1' r 1[[

"1{r1

t--__

bUUUU

1iln 152 16d, '1176 118-fl 12il0

r 1fi3

1

1'l$il

1 1fi2

-6tl[[D

1

17U

1S4

' 1

184

r:re! I I Ll'f

-:s4tl3

Anelvtirs Ftr*v*rd B*ckward tlentral d'v/dt: ,{2rr/&tl &!ti&t? lf-rj1al1: 12

12 'I"] 41 ta

12 1: 12

{"l {a t4 11 -61 194

BtlDfffi

12 12 1'l 12 12 1I

12

ri 1: 1-

,6119i

1*A

Gambar 5-2. Di bagian akhir urutan data, untuk pertambahan yang diberikan, turunan Maju dan Tengamemiliki angka kesalahan yang besar namun turunan Mundur mungkin kesalahannya masih dapat diterirna Bandingkan dengan Gambar5-1. Kecuali di bagian akhir, turunan Tengah sesuai denganAnalytical. (Lemrakerja ini menggunakan pilihan Freeze Panes di menu Window).

Bab 5 Ditqlgrylgl dan lntegral

": .l - A*- B*-*T

'"*fl _I--*

:-,:lRg3:g:ll:gxl{.llp:?

,,'.-j

D

,*-t*-N*'-F****""

G

First arrd $*c*nrl Serivalive

DERIVATIVE.XLS i- irapter 5

lncrenr*nt

6

Time

Yit)

7 rl ..- 0 I [ 1 t].08

I

0.1

I(t) = 6t?

(nalvtrc al

Forr,vard

Eatkrnrart

tlenlral

A.nalvtrca

Fonnard

dv/dt

Av/Al

,lv,r&t

&rrlAt

dx',rjdt2

A3'i/'itr

s 0.: n.zq 1o i [.44 11 tt 4 rl.9B _gl ns_ rs 13 D.B 1.16 1.{, rr.i i.g4

t a-"" J

i.4

lo

l

t.4

2 ... 3.. 3.8 4!. - .l'1S 6.6. .5a..-. "". 6 tlb l'd / I ;^ .,; Y i t-J Dr+

3.6

D

- 1i

0.6 rs,lALUEl - "nL:#,,1ALUE

t_l

tt 4,* 6

?) i:r 4

4

12 12

#'/AL1-IE! .fi.1}LlJEl

#'lALUEt 12 1! 12 12 12 1: ti 12 12 12

1) t1

5,4-. .

&3v/At?

1:

!:

{lentral

Back'ryard

12

r:f-1iI

r'J

1l tf

e

rl

11

la

12

12

12

-l

Gambar 5-3. Data yang sama untuk fungsi y(l) pada Gambar 5-'1 dan 5-2 diturunkan dengan pertambahan sebesar 0,1. Turunan Tengah begitu sesuai dengan turunan Analytical, kecuali di bagian akhirnya. Turunan pertama Maju dan Mundur memiliki kesalahan masing-masing sebesar +0,6 dan -0.6. Menurut perkiraan, kesalahan ini sepuluh kali lebih kecil daripada pertambahan yang besarnya 1.

1

BERIVATIVE.XL$

2

Chapter 5

First and Seconrl Oetiv.rlive

lncrement

3

I

v(t) = bt'

0.1

,:1

{nalvtical

5

6

iTirn*

100 1tl1

r03 tn: rnr tu3 lub 1

r-l-

9.3

rrftl 51S 94

!.4 53[.1& !,.5 541 5 s.6 552 96 97 50454 '., E 578.'14 3 5fi8.06 1rl Btl0 ,r:t

dv,'dt 1r 1,8 I lt.8 114

F*m,'ard

B*ckw*rt

Centrsl

An*lvtira

F'rruvard

B*ckward

**ntral

&v1Al

A,r*/Al

Av/At

cl2v./dt2

A2vlAl?

&rurl1.tI tit!

&!v/&t?

{il I tz a i

111

11:4

11:.:

I14.6

113 d

15.8

114.6

118..1

117

1is.B

11i.6

11S.2

117

't1s 4

1182

.stltill

1'13.4

115,t q tI to {U.U

fin

1

111 6

III

U

r:-:r;! I l:).1

I15.4

,

117 6 t tu t)

-tstr:r.:

11

12 {a l! 1'l tL

12 '1: 12 12

1') 12

ta lz r

-]

ri

12 12

-61194

Etltlm

1: 17 It

12 12 12 1:

41 tz ldr

12 1't

1: 12

12 .6',11S4

!:-,C

Gambar 5-4. lni adalah tampilan bagian bawah buku kerja DERIVATIVE yang menunjukkan kesalahan-kesalahan tur-ucdi cr Dagran tersebut. Bandingkan dengan Gambar 5-2. (Penguncian sel dapat mempertahankan baris 1-6 aEar letap nuncu di layar).

5.1 Diferensial

Gambar 5-5. Turunan pertama maju terhadap pulsa kotak dan segmen sinus. Fungsi asli y(t) diidentifikasikan dengan noktah di tiaptiap titik data. Turunan dari pulsa (tanpa noktah) mengutamakan kondisi pada saat pulsa mulai dan berakhir (seperti sebuah pendeteksi ujung-ujung). Turunan pertama dari sinus adalah cosinus, seperti yang Anda harapkan. Perhatikan turunan di bagian akhir segmen sinus yang tibatiba terjal.

Pertonyoon yorg sering murcd T: Apakah ado penjela,san )'ang sederhana mengenai turunan dan integral?

J: Ya. Pikirkanlah grafik

sebuah fungsi. Pada saat turunan pertama dievaluasi di suatu titik, maka turunan pertama akan mendapatkan nilai kemiringan garis. Itulah yang dinamakan tangen kurva fungsi di suatu titik. Apabila turunan pertama sama dengan nol, ini mengindikasikan bahwa sebuah fungsi adalah konstan atau turunannya dievaluasi pada saat kondisi maksimum atau minimum. Turunan kedua adalah "kemiringan dari sebuah kemiringan," atau angka perubahan dari sebuah kemiringan. Pada saat turunan kedua bernilai positif, grafik fungsinya berbentuk parabola terbuka ke atas. Turunan kedua yang negatif mengindikasikan bahwa fungsinya akan berupa parabola terbuka ke bawah. Jadi, sebuah turunan pertama bernilai nol dengan turunan kedua yang bernilai positif mengidentifikasikan sebuah fungsi minimum. Turunan pertama bernilai nol dengan turunan kedua yang bernilai negatif mengidentifikasikan sebuah fun-qsi maksimum. Perhatikan bahwa fungsi-fungsi tersebut dapat memiliki lebih daripada satu nilai

maksimum atau minimum. Interpretasi geometri terhadap sebuah integral adalah area di bawah kurvanya. Sebuah integral dapat diinterpretasikan sebagai limit dari jumlah total bagian area-areanva. Ini memungkinkan kita untuk membuat perkiraan integral numerik dengan sejumlah bentuk r an_t berhingga. Ilmuwan dan matematikawan besar Archimedes (287-212 SM) memiliki beber.rp; ide dasar kalkulus, namun beliau tidak memiliki pengembangan konsep yang utuh untuk dere: tak berhingga dengan nilai yang berhingga.

Bab 5: Diferensiql dan lntegral

Pcrtonyoot YatE/ sering muncul ttntttk keperluan opakoh tttrLtnon tingkat tinggi?

Seringkali Anda sekalian membutuhkan turunan pertama dan kedua. Di dalam bidang rlekanika. turunan ketiga terhadap waktu adalah angka perubahan percepatan. Turunan ketiga rr,rhadap waktu ini juga muncul di dalam reaksi radiasi. Turunan keempat terhadap ruang

J:

tlibutuhkan untuk melakukan analisis pembelokan sinar secara mekanik. Turunan tingkat yang lebih tinggi

r5-1r

)';Ar,

Bila perubahan Ar adalah konstan, maka perubahan tersebut dapat difaktorkan keluar dari penjumlahan aljabar (sum). Contoh sederhana yang menggunakan sebuah penjumlahan 0, I adalah, t

1=

0,lI

:-i = 0,1(0,22 + 0,36 + 0,46 + 0.65

*

0.66).

(s-4)

Bila urutan data memiliki perubahan yang cepat maka Anda dapat menggunakan Ar yang lebih kecil. Pada saat perubahannya lamban. Anda dapat men-ugunakan Ar l ang besar. Ini dinamakan uktrran loncutut yang adaptif. Tentu saja. jika Ar bervariasi sehingga tidak clapat difaktorkan ke

luar dari penjumlahan maka Anda harus menggunakan Persamaan (5-3 ). Pada saat data eksperimen

dikumpulkan dengan interval yang biasa, Anda dapat menurunkan ukuran loncatan dengan melakukan interpolasi di antara titik-titik data. Gambar 5-10 menunjukkan tampilan utama buku kerja INTEGRAIION-101. Buku kerja ini memuat tiga metode integrasi numerik dan membandingkan ketiganya dengan hasil eksak dari krlkulasi analitik. Seperti vang Anda duga, keakuratan membaik sesuai dengan kenaikan n dan penurunan Ar, ietripi perse-li panjang yang berhingga tidak dapat mencocokkan kurva begitu dekat kecuali lebarnya ..-t rh kecil diiripada perubahan yang berhubungan dengan kurva. Lihat Gambar 5-12 dan 5-13. Buku kerja ini juga memperlihatkan masalah yang timbul atas metode persegi panjang. Anda :!'::J ltt.mutu:kan apakah akan memilih lajur persegi panjang sisi kiri atau sisi kanan. Lihat

Gr:l.r.:i

-