Baustatik2_Skriptum2004_IBK

BAUSTATIK 2 Seilstatik | Theorie II. Ordnung und Stabilität | Traglastverfahren | Tragwerksdynamik | Nährungsmethoden | Modellbildung

S-2-03/2004

Gernot Beer Institut für Baustatik Technische Universität Graz

Forschungsberichte | Diplomarbeiten | Skripten | Vorträge/Tagungen

Einführung

1

Seilstatik

1 Dehnstarre Seile Dehnbare Seile

2 10

Theorie II. Ordnung und Stabilität

27

Stabilitätsprobleme

29

Spannungsprobleme II. Ordnung

34

Systemberechnung Theorie II. Ordnung

37

Traglastverfahren

43

Elasto - plastisches Verhalten von Tragwerken

43

Traglastverfahren

64

Tragwerksdynamik

77

Systeme mit einem Freiheitsgrad

77

Systeme mit mehreren Freiheitsgraden

85

Dynamische Lasten

98

Maschinenfundamente

102

Modale Analyse

103

Antwortspektrenverfahren

105

AWeiterführende Literatur

110

Näherungsmethoden

113

Verfahren nach Ritz

113

Beispiel, gevouteter Träger

124

Methode der Finiten Elemente

126

Modellbildung

139

Einführung

139

Idealisierung der Tragwerksgeometrie

139

Auflager

144

Verbindungen

145

Tragwerkselemente

147

Definition der Schnittkräfte für Biegestabelement

152

Einwirkungen

153

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In Baustatik 1 wurden Berechnungsmethoden für Tragwerke vorgestellt welche „exakte“ Lösungen in dem Sinn ergeben, dass die Lösungen die Bedingung für Gleichgewicht und Verträglichkeit exakt erfüllen. Allerdings sind diese Lösungen nur möglich, wenn man vereinfachte Annahmen trifft. Die in Baustatik 1 getroffenen Annahmen sind: Annahme 1: Für die Aufstellung der Gleichgewichtsgleichung wird das unverformte Tragwerk betrachtet Annahme 2: Das Material ist linear elastisch Annahme 3: Die Lasten werden unendlich langsam aufgebracht Annahme 4: Ebene Querschnitte normal zur neutralen Achse bleiben auch nach der Verformung eben und normal zur verformten neutralen Achse (Bernoulli Hypothese). Letztere Annahme hat eine starke Idealisierung des Bauwerks zu Folge. Bauwerke sind in Wirklichkeit dreidimensionale Objekte, die durch die Annahme von Bernoulli in ein aus Geraden bestehendes Modell zurückgeführt werden können. In vielen Fällen wird die Berechnung durch die Reduzierung auf zwei Dimensionen weiter vereinfacht. Diese Vereinfachnungen vorzunehmen ohne dass zu grösse Fehler in der Berechnung entstehen ist eine nicht einfache Aufgabe . Diese ist auch unter dem Begriff Modellbildung bekannt. Für viele Probleme im konstruktiven Ingenieurwesen muß man die oben erwähnten Annahmen hinterfragen um die Sicherheit und Wirtschaftlichkeit von Tragwerken zu gewährleisten. Bei manchen Problemstellungen können die Annahmen sogar zu vollkommen falschen Ergebnissen führen. In Baustatik 2 befassen wir uns daher mit der Modellbildung und speziellen Berechnungsmethoden die angewendet werden müssen, wenn bestimmte der oben aufgezählten Annahmen nicht mehr zutreffen.

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So werden z.B. sehr oft Seile oder Membrane in Tragkonstruktionen verwendet. Hier sehen wir dass Annahme 1 zu keinem vernünftigen Ergebnis führen würde, da sich die Form des Seils an die Belastung anpaßt. Dies ist unsere erste Einführung in sogenannte geometrisch nichtlineare Probleme. Bei Tragwerken mit hohen Druckkräften sehen wir dass die Tragwerksverformungen (obwohl noch immer sehr kleine Verformungen angenommen werden) sich stark auf das Gleichgewicht auswirken können. Bei nichtlinearen Problemen kann eine Lösung nur iterativ oder inkrementell ermittelt werden. Der Rechenaufwand ist wesentlich größer als bei linearen Problemen und die Güte der Ergebnisse von der verwendeten Größe des Inkrements abhängig. Das Sicherheitskonzept des EUROCODE verlangt die Berechnung einer Traglast, unter vollen Ausnutzung der sogenannten plastischen Reserve. In Kapitel 3 wird ein Verfahren vorgestellt wie man diese Traglast bestimmen kann. Dabei müssen wir die Annahme 2 fallen lassen und auch inelastische Verformungen zulassen. Dies ist eine Einführung in materiell nichtlineare Probleme. Es ist klar das für beide Arten von Nichtlinerität das Superpositionsprinzip nicht mehr gilt. Betrachten wir die Belastungen die auf Tragwerke wirken, so werden diese im seltensten Fall „unendlich langsam“ aufgebracht. Man denke nur an Verkehrs-,Wind und Erdbebenbelastung. Daher ist es wichtig herauszufinden was passiert wenn Annahme 3 nicht mehr zutrifft. Dies trifft besonders für Tragwerke zu, die in Erdbebengebieten gebaut werden. Schließlich ist die Bernoulli Hypothese schon für gedungene Stäbe nicht mehr anwendbar. Für die Berechnung von Scheiben, Krafteinleitungsproblemen etc. muß man ohne diese Hypothese auskommen. Es wird gezeigt das, ausgenommen für extrem einfache Problemstellungen, hier nur Näherungsmethoden angewendet werden können, bei denen sogar teilweise die Gleichgewichtsbedingungen verletzt werden. Die Lösungen sind trotzdem brauchbar, da bei genügendem Rechenaufwand die Fehler sehr klein werden. Natürlich ist eine Lösung nur mehr mit EDV Programmen möglich. Da in den meisten Zivilingenieurbüros Finite Elemente Programme verwendet werden ist es wichtig das jeder Ingenieur mit dem Konzept der Näherungslösung und den potentiellen Fehlerquellen, die auftreten können zumindest ein wenig vertraut ist.

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Seile werden sehr oft als Tragelemente in Tragwerken verwendet. Beispiele sind Hänge- und Schrägseilbrücken, zugbeanspruchte Strukturen (Überdachungen) und Seilbahnen. Abb. 1.1 zeigt ein Beispiel für die Verwendung von Seilen bei der neuen Schrägseilbrücke in der Normandie. Der Ausdruck „Seil“ bezieht sich eigentlich auf Kabel, die entweder aus Stahl oder Kunststoffdrähten zusammengesetzt sind (im Englischen wird dieses auch als cable bezeichnet). So ist eine Schrägseilbrücke z.B. eine cable stayed bridge (eine Hängebrücke wird aber wie im Deutschen als eine suspension bridge bezeichnet).

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Abbildung 1.2 zeigt den Aufbau des Kabels für die größte Hängebrücke der Welt. Für Seile nimmt man angenähert an, dass die Biegesteifigkeit EI vernachlässigbar klein ist. Daher können keine Biegemomente und (da die Knicklast null ist) keine Druckkräfte aufgenommen werden. Die Biegesteifigkeit des Kabels in Abbildung 1.2 ist sicher nicht null, aber wenn man die Spannweite des Kabels von 2 km betrachtet sind die Einflüsse aus Biegung vernachlässigbar klein. Bei Seilen spielt der Durchhang bzw. die Form des Seiles eine große Rolle. Da sich die Form des

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Seiles aufgrund der Belastung ändert, sprechen wir von einem geometrisch nichtlinearen Problem.

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Die Seilkraft und die Seilgeometrie kann aus der Bedingung, dass an keiner Stelle des Seiles Biegemomente auftreten können oder aus der Differentialgleichung des Gleichgewichts errechnet werden. Die (relativ zu linearen Problemen) aufwendige Berechnung von nichtlinearen Problemen kann durch Weglassen von vernachlässigbar kleinen Einflüssen vereinfacht werden. Im folgeneden werden zuerst Seile behandelt, bei denen die Längenänderung des Seiles vernachlässigbar klein ist.

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Hier wird die elastische Dehnung des Seiles aufgrund der Seilkraft vernachlässigt.

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Für ein Seil mit vernachlässigter Biegesteifigkeit gilt, dass das Biegemoment an jeder Stelle null sein muß, d.h. M( x ) = M0 ( x ) + H ⋅ y ( x ) = 0

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Aus dieser Gleichung kann man den Durchhang y(x) bestimmen M0 ( x ) y ( x ) = --------------H Aus Gründen des horizontalen Gleichgewichts muß bei vertikaler Belastung die horizontale Komponente der Seilkraft H an jedem Punkt gleich sein. Für die Seilkräfte gilt (siehe Abb. 1.4): H S 1 = -----------cos α

H S 2 = -----------cos β

H S 3 = ----------cos γ 0

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Für eine vertikale konstante Gleichlast q, bezogen auf die horizontale Achse, erhält man aus der Bedingung M ( x ) = 0 die Gleichung für den Durchhang: qx- ( L – x ) y ( x ) = -----2H Der Durchhang in der Mitte f (Stich) ist: L qL 2 y --- = f = --------8H 2 und die Horizontalkraft qL 2 H = --------8f

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Die Seillinie ist durch folgende Gleichung gegeben: 4fx y ( x ) = -------- ( L – x ) L2 Die Seildurchhangskurve ist also eine Parabel 2. Ordnung. Ermittlung der Seillänge Die Länge der Parabel erhält man aus der Differentialbeziehung ds =

dx 2 + dy 2

ds ------ = dx

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1 + y' 2

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Wenn y' 2 « 1 ist, dann gilt näherungsweise: 1+

y' 2

y' 2 = 1 + -----2 L

L

Die Länge des Seiles ist

ds s 0 = ------ dx dx 0

oder s 0 = 0

y' 2 1 + ------ dx 2

mit: 4f y' ( x ) = ----- ( L – 2x ) 2 L Das Integral kann nach Simpson numerisch ausgewertet werden, wobei mit drei Stützpunkten eine Parabel exakt integriert werden kann:

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x = 0

4f y' = ----L

L x = --2

y' = 0

x = 1

4f y' = – ----L

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L 8f 2 8f 2 s 0 = --- ⋅ 1 + ------2- + 4 ⋅ 1 + 1 + ------2L L 6 Die Seillänge ergibt sich zu 8f 2 s 0 = L + ------3L

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Wir betrachten einen kleinen Teil des Seiles mit der Länge ds, das mit einer vertikal nach unten wirkenden verteilten Belastung q (bezogen auf die horizontale Länge) belastet ist. Aus der Gleichung für das horizontale Gleichgewicht ergibt sich, dass die horizontale Komponente H der Seilkraft S, die entlang des Seiles wirkt, über die Seillänge konstant sein muß. !

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Aus dem vertikalen Gleichgewicht ergibt sich: V – qdx – V – dV = 0 oder dV = – qdx

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Setzt man die Beziehung V = H tan α ≈ Hy' ein, dann ergibt sich dV = Hy''dx und mit der Gleichung für vertikales Gleichgewicht die Diffgl. für die Seillinie Hy'' = – q Die Lösung dieser Differentialgleichung ist im Abschnitt 1.2.2. gegeben. Ist die Belastung des Seiles das Eigengewicht, dann muß die verteilte Belastung q auf die wirkliche Seillänge ds bezogen werden. Für das vertikale Gleichgewicht erhält man 2

dV = – qds = – q 1 – y' dx die Differentialgleichung lautet in diesem Fall: Hy'' = – q 1 – y'

2

Die Lösung der Differentialgleichung ist die bekannte Form der Kettenlinie: H q y ( x ) = ---- cosh ---- ( x – C 1 ) + C 2 q H Der Unterschied zwischen Seillinie und Kettenlinie ist, dass die Seillinie gegenüber der Kettenlinie im Scheitelbereich stärker gekrümmt ist. Die Tabelle zeigt die Unterschiede zwischen der berechneten Haltekraft der Seillinie (HP) und der Kettenlinie (Hk), dem Stich der Seillinie (fP) und dem der Kettenlinie (fk) für verschiedene Verhältnisse Seillänge s0 zur Spannweite L. ./ 8

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Die Tabelle zeigt, dass für Seile mit Eigengewicht bis zu einem Verhältnis s0/L < 1,10 eine Fehlberechnung der Horizontalkraft H um nur 1,4 % erfolgt, d.h dass man dafür in der Praxis die einfachere parabolische Seillinie für die Berechnungen heranziehen kann. Dies würde einem Verhältnis von Stich zu Spannweite (f/L) von 0,194 entsprechen. So hat zum Beispiel die längste Hängebrücke der Welt (Akashi Kaikyo Brücke in Japan, Abb. 1.8) mit einer Spannweite von 1990 m und einem Stich von 201 m ein Verhältnis f/L von 0,101. In den folgenden Betrachtungen wird eine parabolische Seillinie angenommen.

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Für dehnstarre Seile, die mit einer Gleichlast q belastet sind, gibt es eine einfache Beziehung zwischen der Haltekraft H, dem Durchhang (Stich) f, und der Spannweite L: qL 2 H = --------8f Wird ein Seil mit gegebener Seillänge so über eine Spannweite L gespannt, so kann man den Durchhang und die Seilkraft ausrechnen. Unter Annahme einer parabolischen Seilkurve erhalten wir nach Auflösung der Formel für die Seillänge den Stich f: f =

3 --- L ( s o – L ) 8

Und damit die Haltekraft: 1 qL 2 H = --------- -----------------------------8 3 --- L ( s o – L ) 8

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Das Diagramm zeigt, dass bei einem dehnstarren Seil die Haltekraft mit der Vergrößerung der Spannweite L zunimmt und bei einer Spannweite gleich der Seillänge s0 (das bedeutet ein gerades Seil) theoretisch unendlich wird. Dies ist deshalb der Fall, weil für ein Seil, das nicht gekrümmt ist, kein Gleichgewicht zwischen den inneren Kräften (Seilkräfte tangential zum Seil) und der Belastung hergestellt werden kann.

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Das Kabel der Akashi Kaikyo Brücke hat einen Durchmesser von 1,122 m und daher ein Fläche von 0,988 m2. Unter der Annahme eines spez. Gewichts von Stahl von 7850 kg/m3 ergibt sich eine Gleichlast q von 77,6 KN/m. Mit der Spannweite von 1990 m und einem Stich von 201 m ergibt sich folgende horiz. Haltekraft 2

77, 6 ⋅ 1990 qL 2 H = --------- = ------------------------------ = 191109 kN = 191, 109MN 8f 8 ⋅ 201 H Die Seilkraft ergibt sich aus der Gleichung S = -----------wobei α = atan ( y' ) cos α Aus Abschnitt 1.1.2 ergibt sich die Seilneigung an der Pylonspitze (x=0) mit 4f 4 ⋅ 201 y' = ----- = ---------------- = 0, 404 L 1990 und daraus ein Winkel α = 22° . Die (maximale) Seilkraft am oberen Ende des Pylons beträgt 191, 109 S = --------------------- = 206, 14MN 0, 927 Dies ist 7,8 % der minimalen Seilkraft in der Mitte, die gleich der horizontalen Haltekraft H ist.

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Sind die Fixpunkte eines Seiles nicht auf gleicher Höhe, so teilt man die verteilte vertikale Last q in zwei Komponenten. Die Komponente der Gleichlast q in Richtung normal zur Sehne ist: q ⊥ = q ⋅ cos α und parallel zur Sehne q s = q ⋅ sin α

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Der Stich der Seillinie (in Richtung normal zur Sehne) ergibt sich aus: 2

q⊥ L f = -----------8S Die Haltekraft S ist q⊥ ⋅ L2 S = ---------------- + q S ⋅ L 8⋅f

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Aus dem Gleichgewicht in der Seilmitte erhält man PL H = ------- . 4f

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Die Seilkraft ist PL s Hs H S = ------------ = ------- = ------- ⋅ --4f L L cos α

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Aus der Geometrie (Satz von Pythagoras) erhält man nach Umordnung 2

L s = 2f ⋅ 1 + ----2f

und somit für die Seilkraft (konstant über das Seil)

L P S = --- 1 + ----2f 2

2

Die Länge des gedehnten Seiles ergibt sich mit dem Hooke’schen Gesetz als S s = s 0 ⋅ 1 + -------EA Setzt man die aus geometrischen Beziehungen und aus der Längenänderung berechneten Werte für s gleich, dann ergibt sich L 2f ⋅ 1 + ----2f

2

L P = s 0 ⋅ 1 + ----------- 1 + ----2f 2AE

Die Kraft P in Abhängigkeit vom Durchhang f ergibt sich zu

2f P ( f ) = 2AE ----L

Dies ist in Abb. 1.12 für A = 0,001 m²

s0 = 50 m

E = 16 ⋅ 10 6 kN/m²

L = 50 m

L 1 ---- – -------------------------s0 L 2 1 + ----2f

2

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aufgetragen. Dies entspricht einem gewichtslosen Seil, das vor der Belastung durch P gerade ist. Die Nichtlinearität der Verformungs-Belastungskurve für höhere Werte von P ist deutlich zu sehen.

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4 1 10 8000

Seilkraft [kN]

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6000 P( f ) 4000 2000 0

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15 15

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Bei stark gespannten Seilen, wie sie z.B. bei Schrägseilbrücken vorkommen, muß die Seildehnung berücksichtigt werden. Man kann jedoch mit der Näherung einer parabolischen Seillinie rechnen, da das Verhältnis f/L klein ist. Bei der Berechnung von dehnbaren Seilen ergibt sich folgende Aufgabenstellung: Gegeben: s0

... Länge des ungedehnten, unbelasteten Seiles

L

... Spannweite

q0

... Gewicht pro Seillänge des ungedehnten Seiles

Gesucht: Kraft S

Die Wirkungsrichtung der Seilkraft S ist stets tangential, sie ist daher verschieden von der Auflagerkraft S . Den folgenden Überlegungen liegt die Annahme zugrunde, dass der Stich f klein ist („stark gespanntes Seil“), daher kann S ∼ S gesetzt werden.

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Da sich bei einer starken Anspannung des Seiles der Seilquerschnitt verkleinert, reduziert sich auch das Gewicht pro Meter Seil. Das veränderte Gewicht pro Meter Seil erhält man aus der Bedingung, dass das Gesamtgewicht des Seiles konstant bleiben muß. Es gilt G = q 0 s 0 = qL Daher ist das Gewicht pro Meter des gedehnten Seils q0 s0 q = ---------L Die Gleichlast in Richtung normal und tangential zur Sehne beträgt: q ⊥ = q ⋅ cos α

q = q ⋅ sin α s

Berechnung der Haltekraft S Die Haltekraft S setzt sich aus 2 Komponenten zusammen, die aus der Querbelastung S1 und die aus der Längsbelastung S2, die bei stark gespannten Seilen im Verhältnis zu S1 klein ist. Daher wird im folgenden S=S=S1 angenommen. Unter der Annahme, daß die Seilkraft S über die Seillänge konstant ist, ergibt sich die Länge des gedehnten Seiles mit: SL s = s 0 + -------AE

(Glg. 1.1)

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q⊥ L S 1 = -----------8f L q⊥

S2 = qs s 0

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Aus der Geometrie erhält man bei der Annahme einer parabolischen Seillinie 2

8f s = L + ------3L Wird für den Stich f q⊥ ⋅ L2 f = ---------------8⋅S eingesetzt, ergibt sich q⊥ L2 8 s = L + ------- ⋅ -----------3L 8S

2

2

q⊥ L3 1 = L + ------ ⋅ ----------24 S 2

(Glg. 1.2)

Durch Gleichsetzen der Gleichungen (Glg. 1.1) und (Glg. 1.2) erhält man 2

3 SL ⊥L 1- ⋅ q----------s 0 + -------- = L + ----AE 24 S 2

6

× S2

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S3 L 1- q 2 L 3 s 0 S 2 + --------- = S 2 L + ----⊥ AE 24 2

q⊥ L 3 AE s0 3 2 S + S AE ---- – AE – -------------------- = 0 24L L und mit

a 2 = ( s 0 – L ) AE -------L

und

q 0⊥ s 0 AE a 0 = – -----------------------24

2

2

wobei q 0⊥ = q 0 ⋅ cos α . Die Gleichgewichtsgleichung für das Seil ergibt sich als: S3 + a2 S 2 + a0 = 0 Beispiel: Stahlkabel, Durchmesser 0,05 m Gegeben: A = 1,96 10-3 m2 q0= 0,154 kN/m E = 210 106 kN/m2 s0 = 40,0 m α = 0° , 60° and 90° Gesucht: Diagramm Seitkraft (S) zu Spannweite (L) EA = 1, 96 ×10 210 ×10 = 411, 6 ×10 –3

6

3

Die Koeffizienten errechnen sich zu: 3 40 a 2 = 411, 6 ×10 ------ – 1 L

1. α = 0°

,

q⊥0 = 0, 154 kN/m 2

2

( 0, 154 ) ⋅ ( 40 ) ⋅ 411, 6 ×10 6 a 0 = – ---------------------------------------------------------------------- = – 15, 59 ×10 24 2. α = 60° ,

3

q ⊥0 = 0, 154 × 0, 5 = 0, 077 kN/m 2

2

( 0, 077 ) ⋅ ( 40 ) ⋅ 411, 6 ×10 6 a 0 = – ---------------------------------------------------------------------- = – 3, 897 ×10 24 3

8

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2. α = 90° ,

q ⊥0 = 0 , a0 = 0 S = ( s 0 – L ) AE -------L

Die Seilkraft in Abhängigkeit von der Spannweite L ist in Abb. 1.15 dargestellt.

S (kN)

500 α = 0°

α = 60°

α = 90° L (m) 40

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Um Tragkonstruktionen mit Seilen mit dem Weggrößenverfahren berechnen zu können, muß die veränderliche Steifigkeit des Seiles berücksichtigt werden. Bei nichtlinearen Problemen muß die Definition der Steifigkeit geändert werden. Statt der Definition, dass eine Steifigkeit eine Kraftgröße zufolge Einheitsverformung ist, definieren wir eine Tangentialsteifigkeit als Änderung der Seilkraft mit der Verschiebung des Seilendes.

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Eine Änderung der Spannweite L bewirkt eine Änderung der Seilkraft um dS- ⋅ dL dS = -----dL Die Tangentialsteifigkeit ist somit: dS k T = ------dL Die Ableitung der Seikraft S erhält man durch die Bildung des totalen Differentials der kubischen Gleichung f ( S, L ) = S 3 + a 2 S 2 + a 0 = 0 Dieses ist: ∂f dL = 0 ∂f-dS + -----df = ----∂L ∂S und somit ist die Tangentensteifigkeit ∂f ⁄ ∂L dS k T = ------- = – ---------------∂f ⁄ ∂S dL Die Ableitungen von f ergeben sich mit: ∂a 2 ∂f AEs -----= S 2 -------- = – S 2 ------------02 ∂L ∂L L ∂f ------ = 3S 2 + 2a S = 3S 2 + 2 ( s – L ) AES -----------2 0 ∂S L Dies ergibt für die Tangentialsteifigkeit: 2

S AEs 0 -------------------------------------------------------------kT = 2 2 AES L 3S + 2 ( s 0 – L ) -----------L oder 2

Ss 0 AE kT = -------- ----------------------------------------------------s 0 3 SL2 + 2 ( s – L )AEL 0

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Die Tangentialsteifigkeit des Seiles kann wie folgt geschrieben werden: AE k T = -------- f ( S, L ) s0 wobei der Ausdruck in Klammern die (lineare) Steifigkeit des gewichtslosen Seils mit der ursprünglichen Länge s0 darstellt. Der Multiplikator ist s0 2 S f ( S, L ) = ---- --------------------------------------------------L 3 S + 2 ( s 0 – L )AE ⁄ L Für den Fall L=s0 ergibt sich f(S,L) als 1/3. Die Änderung der Steifigkeit wird in Abbildung 1.17 für das Seil auf Seite 1-15 mit einer Neigung von 60 Grad gezeigt. f (S,L) 1.0

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Man sieht, dass die Steifigkeit des Seiles mit zunehmender Spannweite L dem Wert des Fachwerkstabes asymptotisch zustrebt. Wird das Seil als Tragwerkselement verwendet, so muß immer die derzeit aktuelle Spannweite L eingesetzt werden. Betrachtet man z.B. das Tragwerk in Abb. 1.18, das aus einem Seil und einem Kragarm besteht, so wird sich die Spitze des Kragarms nach Einbau des Seiles auf Grund der Seilkraft leicht nach links bewegen. Bringt man ein Inkrement der Belastung ∆P nach rechts wirkend an, so kann man die Änderung der Seilkraft näherungsweise mit ∆S = k T ⋅ ∆L berechnen, wobei kT mit der Spannweite L0 (Bild 1.17) berechnet wird.

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Dies ist nur eine Näherung, da sich während der Verformung die Spannweite L und somit auch die Tangentialsteifigkeit kT ändert. Der Fehler, der bei der Wahl eines zu grossen Inkrements gemacht wird, ist in Abb. 1.18 dargestellt. Dieser Fehler stellt eine Kraft dar, die zur Erfüllung des Gleichgewichts am Ende des Kragarms fehlt. Um die durch die Linearisierung falsch berechnete Verformung ∆L zu erreichen, ist eine größere Kraft als ∆P notwendig (nämlich ∆P+∆R).

Last-Verformungskurve des Tragwerks

P

∆R (Fehler)

Punkt sollte hier liegen ∆P

Berechneter Punkt . „linearisierter“ Verlauf

L

∆L(exact) L0 ∆L(Näherung) %

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Da die Steifigkeit bei der Verlängerung der Spannweite zunimmt, wurde bei der Näherungsberechnung mit einer zu kleinen Seilkraft gerechnet, d.h. das Seil wirkt in Wirklichkeit viel mehr am Tragverhalten mit, als angenommen. Man nennt den Fehler auch eine Ungleichgewichtskraft (engl. force unbalance). P Exakte Lösung

Näherungslösung ∆R (Fehler)

∆P/2 ∆P/2

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Es gibt zwei Strategien, die man hier anwenden kann: Man kann die Größe des Inkrements verkleinern, d.h. die Belastung ∆P in kleine Inkremente unterteilen (siehe Beispiel in Abb. 1.19 mit 2 Inkrementen). Man sieht, dass der Fehler bei der Unterteilung der Last in zwei Schritte wesentlich kleiner wird, jedoch die berechnete Kurve bei jedem Schritt immer mehr von der exakten Kurve abweicht. Eine andere Methode ist es, den Fehlbetrag der Kraft auszurechnen und wieder auf das System aufzubringen. Rechnet man dabei mit einer veränderlichen Steifigkeit (d.h. man rechnet die Steifigkeit nach Ende der Iteration immer neu aus), so spricht man von einer Newton Raphson Iteration, bei der der Fehler quadratisch abnimmt.

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Das Verfahren führt daher zu einer schnellen Konvergenz, d.h. die Iteration kann nach wenigen Schritten abgebrochen werden. Dies wird im Bild 1.20 gezeigt.

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Es wurde dargestellt, dass ein Seil mit Eigengewicht ein nichtlineares Tragwerkselement darstellt, dessen Steifigkeit sich mit der Verformung ändert. Das Weggrössenverfahren kann auch für solche Fälle angewendet werden muß, aber auf Grund der Veränderlichkeit der Steifigkeit modifiziert werden. Seile mit Eigengewicht werden in der Berechnung wie Fachwerkstäbe behandelt, jedoch wird die Steifigkeit EA/so mit einem Faktor f(S,L) multipliziert, der von der Seilkraft S und der Spannweite L abhängt. Die Berechnung erfolgt nun in folgenden Schritten. 1. Schritt: Einbau des Seiles. Beim Einbau des Seiles in das Tragwerk belastet es dieses mehr oder weniger stark, abhängig davon ob es stark oder schwach gespannt ist. Mit der ursprünglichen Seillänge vor dem Einbau, s0 und der Spannweite, L0 wird eine Seilkraft S0 ermittelt. Da sich durch diese Belastung Verformungen und damit eine Änderung der Spannweite des Seils ergeben, ist zu überprüfen, ob die Veränderung der Seilkraft vernachlässigbar ist. Ist dies nicht der Fall, muß die Seilkraft und Spannweite iterativ verbessert werden. Weitere Schritte Newton Raphson Verfahren 1. Lineare Berechnung mit Belastung ∆P mit Anfangssteifigkeit kT0 Mit dem im ersten Schritt berechneten Werten für S (S0) und L (L0) wird die Anfangssteifigkeit kT0 berechnet. Es erfolgt eine lineare Berechnung. Die erhaltenen Verformungen u0 verändern die Spannweite L und damit auch auf die Seilkraft S. 2. Überprüfung des Gleichgewichts Mit den neu errechneten Spannweiten L1 werden neue Seilkräfte S1 errechnet. Mit diesen neuen Seilkräften wird das Gleichgewicht überprüft und der Fehlbetrag ∆R1 ausgerechnet. 3. Lineare Berechnung mit Belastung ∆R1 und Steifigkeit kT Der berechnete Fehlbetrag wird auf das System aufgebracht, es ergibt sich eine Verbesserung der Verformung (∆u1). Die verbesserte Verformung wird mit u 1 = u 0 + ∆u 1 berechnet. Mit der neuen Verformungen werden neue Spannweiten L berechnet und die Schritte 2. und 3. solange wiederholt, bis der Fehlbetrag unter einer Toleranzgrenze fällt.

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Beispiel: Abgespannter Kragarm mit Belastung am Ende

∆L

+

u

150 kN

40 m

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α = 60°

%

#

,

" " -* ?

Gegeben: Seil: EA = 441,6 103 kN , q0= 0,154 kN/m, s0 = 40,0 m (siehe Seite 1-15) Biegeträger: EI= 1,0 107 kNm2 , A >> Gesucht: a) Last-Verformungsdiagramm b) Verformung am Ende des Kargarms aus Belastung von 150 kN Da für den Kragarm A >> , hat das System nur einen Freiheitsgrad u (siehe Bild 1.21). Die Steifigkeit des Seils ohne Eigengewicht beträgt: EA 441, 6 ×10 2 k S = -------- ( cos 60° ) = --------------------------0, 25 = 2756 kN/m s0 40 3

Die Steifigkeit des Biegeträgers ist 3 × 1 ×10 3EI k B = --------- = ----------------------- = 724 kN/m 3 3 ( 34,6 ) L 7

1. Einbau des Seiles Wird das Seil mit einer Spannweite von 40 m eingebaut, ergibt sich eine Seilkraft von 157 kN (siehe Seite 1-15).

$ +

*

!

Diese Belastung bewirkt eine Verformung nach links am Ende des Kargarms von 157 u 0 = --------- = 0, 217 m 724 Daraus ergibt sich eine Verkleinerung der Spannweite des Seiles um ∆L 0 = u 0 cos α = 0, 217 × 0, 5 = 0,108 m Das Seil hat nun eine Spannweite von L-∆L=39,891 m. Daraus ergibt sich eine Seilkraft von S= 57,4 kN. Aus dieser Seilkraft ergibt sich eine kleinere Verformung als vorher. Es wird solange iteriert, bis sich die Seilkraft nur mehr geringfügig ändert (siehe Tabelle). 5

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Die Last- Verformungskurve ist nichtlinear. Die Lösung muß inkrementell ermittelt werden (Laststeigerung).

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A

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Nach kompletter Entlastung verbleiben Verformungen und innere Spannungen (Restspannungszustand). Das Tragwerk hat nach Erreichen der Fließgrenze in einem Stab noch bedeutende Tragreserven. Ein Ausnützen der Systemtraglast geht mit großen Verformungen einher (Gebrauchstauglichkeit ist möglicherweise nicht mehr gegeben).

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Bei reiner Biegung treten keine Normalkräfte auf und es wirken nur Momente.

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σB

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σB

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σB

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Im elastischen Bereich gilt

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A

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M⋅y σ = Eε = -----------I

mit

M σ max = --------W el

Die Spannungsnullinie wandert nach Erreichen der Fließgrenze in einer Randfaser von der Schwerachse zur Flächenhalbierenden. Bei Erreichen des (theoretischen) Grenzzustandes bei dem der Querschnitt voll plastifiziert (Fließspannung am ganzen Querschnitt erreicht) verlangt das Gleichgewicht der horizontalen Kräfte, daß die resultierende Kraft des Kompressions und des Zugsspannungsblockes gleich groß ist. Dies ist nur der Fall wenn die Zug und Druck spannungen auf gleiche Flächen wirken, d.h. A A N = σ dA = σ F ---- – σ F ---- = 0 2 2 Das Moment das dieser Querschnitt aufnehmen kann wird durch das Integral M pl =

σ F y dA

berechnet. Für das letzte Spannungsdiagram in Abb. 3.7 ergibt sich das plastische Moment als M pl = 1--- Aσ F ( y 1 + y2 ) 2 Das plastische Widerstandsmoment ist W pl = 1--- A ( y 1 + y 2 ) 2 womit Beispiel:

M pl = σ F W pl Rechteckquerschnitt

. .

h y 1 = y 2 = --4

α pl

Beispiel:

58

I-Profil

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. . !& # ? $ A

*

bh 2 W el = -------6

!& # B &

$ $ *

$

&

h h W pl = 1--- bh --- + --4 4 2

2 bh -------W pl 4 - = 1,5 = --------- = ------------2 W el bh -------6

bh 2 = -------4

α pl ... Formbeiwert

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'

A

#

bh 3 ( b – t 1 ) ⋅ ( h – 2t 2 ) 3 W el = 2--- -------- – --------------------------------------------12 h 12 bh 2 ( b – t 1 ) ⋅ ( h – 2t 2 ) 3 W el = -------- – --------------------------------------------6 6h W pl = bt 2 ( h – t 2 ) + 1--- t 1 ( h – 2t 2 ) 2 4 W pl α pl = --------- ≈ 1,14 W el

*

α?

:

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α pl = 2,0

α pl = 1,5

α pl = 1,14

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α pl = 1,7

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F

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α pl = 2,37

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εD

-

εU – εO 1 κ = ----------------- = --ρ h

Mit der Krümmung:

+

ε

erhält man das Momenten-Krümmungs-Diagramm: /

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/? /B

#

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α

Krümmung (κ) %

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,

""

+

""

Man sieht, das die Krümmung bei einem Moment Mpl gegen unendlich geht. Eine unendliche Krümmung würde einem Gelenk entsprechen, da kein kontinuierlicher Übergang der Tangenten mehr erfolgt.

Idealisierung des Systems für Traglastberechnung

58

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A

#

Das System kann nun idealisiert bis Mpl als elastisch betrachtet werden. Bei Mpl bildet sich ein Fließgelenk aus und eine Steigerung des Momentes ist an dieser Stelle nicht mehr möglich. Es wird für das System eine Fließbedingung formuliert. Diese lautet M ≤ M pl und muß in jedem Punkt des Tragwerks eingehalten werden.

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1

7

7 /

1 6

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Wird die Fließgrenze in einer Randfaser erreicht, so gilt P = PF und das maximale Moment unter der Last ist dann PF L M F = --------- = σ F W el 4 Bei Erreichen der Traglast P = P T gilt PTL M pl = ---------- = σ F W pl 4 mit

W pl α pl = --------W el

folgt auch

PT αpl = ------ , PF

αpl hängt vom Querschnitt ab.

Statisch bestimmte Systeme haben eine vernachlässigbar kleine Traglastreserve, die Querschnittsreserve.

58

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A

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1 F

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1B @

6/? L 6/B

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: L

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: L 6

Die Belastung wird gesteigert, bis an den Einspannstellen Mpl erreicht wird: /? @

:B L

/? @

:B L

:B L 6

qF L2 ----------- = M pl 12

12M pl q F = -------------L2

Die Durchbiegung in Feldmitte ergibt sich zu

5 85

'

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'

A

#

δ pl

qF L 4 M pl L 2 --------------------------= = 384EI 32EI

Bei dieser Belastung bilden sich an den Einspannstellen Fließgelenke aus, das Moment in der Mitte beträgt 1/2 Mpl. Für eine weitere Belastung wirken die Fließgelenke wie Gelenke, das System wird statisch bestimmt (Einfeldträger).

∆:

∆qL ∆M = ------------8 2

%

'#

∆:

/ "

Die Traglast des Systems wird erreicht wenn das Moment in der Mitte MPl wird 2

M max

∆qL 1 = --- M pl + ------------- = M pl 2 8

Dies ergibt 4M pl ∆q = ----------L2 Die Traglast des Systems ist 12M pl 4M pl - + -----------q T = q F + ∆q = -------------L2 L2 16M pl q T = -------------L2 Die plastische Systemreserve lautet βpl =16/12=1,33; die gesamte plastische Reserve hängt zusätzlich noch von der Querschnittsform ab und beträgt αpl ⋅ β pl . Für ein I-Profil z.B.: 1,14 ⋅ 1,33 = 1,52, d.h. ein eingespannter Träger mit diesem Querschnitt hat 52% plastische Reserve! Nach dem Plastizieren liegt eine kinematische Kette vor; die Systemtraglast ist erreicht.

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5 86

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A

#

Die zusätzliche Durchbiegung aus ∆q ergibt sich zu 2

5q pl L 4 5M pl L 5∆qL 4 ∆δ = ---------------- = ---------------------- = -----------------96EI 384EI 3 ⋅ 384EI und damit ist die gesamte Durchbiegung M pl L 2 M pl L 2 5M pl δ T = δ pl + ∆δ = --------------- + ------------ = --------------12EI 32EI 96EI :

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B E A

α? L

B E

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/1 L 5

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Wird das mit qT belastete System entlastet erfolgt dies elastisch.

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Aus einer Belastung mit 16M pl ∆q T = – -------------L2

5 88

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A

#

ergeben sich folgende zusätzlichen Momente 16M pl L 2 4M pl - = ----------∆M Rand = -------------------2 3 L 12 2M pl 16M pl L 2 - = – ----------∆M Mitte = – -------------------3 L 2 24 Die endgültigen Momente sind über den Träger konstant: M pl 4M pl M Rand = ------------ – M pl = -------3 3

M Mitte

2M pl M pl = – ------------ + M pl = -------3 3

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/? L G

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δC /1 L /1 L 6 5

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δ

/1 L

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Die Restverformung läßt sich aus obigem Diagramm leicht ermitteln.

δ Rest

16M pl M pl L 2 --------------- ⋅ --------------M pl L 2 M pl 32EIL2 -----------------------------------------------------------= = – 12EI 24EI 12M pl --------------L2 L2

Eine einfachere Bestimmung der Traglast erfolgt mit dem Prinzip der virtuellen Weggrößen.

5 8;

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A

#

A

Ist die Versagensform (kinematische Kette) bekannt so kann zur Bestimmung der Traglast die Methode der virtuellen Weggrößen verwendet werden. Wird das System um eine virtuelle Verformung δ verschoben so muß die gesamte (innere und äußere) virtuelle Arbeit verschwinden. W ges = W

(a)

+W

(i)

= 0

Bei der Berechnung der Traglast wird das Tragwerk als eine kinematische Kette angenommen bei der in den Fließgelenken Mpl wirkt. Das Gleichgewicht der an den Gelenken wirkenden Momente und der äußeren Belastung die bei erreichen der kinematischen Kette wird mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Arbeiten hergestellt. Beispiele: 1.) Eingespannter Träger unter Gleichlast :A

/?

/?

φ

φ φ

φ

/?

Die äußere Arbeit (Last mal Weg, summiert über die Trägerlänge) ergibt sich zu W

(a)

1 1 = q T ⋅ --- ⋅ L ⋅ --- Lφ = 1--- q T L 2 φ 2 2 4 F läche der Dreiecke

die innere Arbeit ist Moment mal Drehwinkel φ: W

(i)

= – M pl φ – M pl 2φ – M pl φ = – 4M pl φ = – D

D ist die Dissipationsarbeit (immer positiv):

D = –W

(i)

Die Summe der gesamten Arbeit muß 0 sein, daher gilt

58

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'

A

W ges = W

(a)

#

+W

(i)

1 --- qT L 2 φ = 4M pl φ 4

= 0 16M pl q T = -------------L2

q.e.d

2.) Eingespannter Träger mit mittiger Einzellast. 1

7

7

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φ

φ φ

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φ

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P T ⋅ 1--- ⋅ L ⋅ φ = 4M pl ⋅ φ 2

5 8<

" 5B E

8M pl P T = -----------L

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A

#

3.) Dreifeldträger mit mittiger Einzellast und unterschiedlichen Feldweiten. 7

1

7

1 6

1A M pl sind. Um die Fließbedingung einzuhalten werden alle Momente mit 1/3 multipliziert. Die Momente ergeben sich zu M 2 = – 1--- M pl 3

M 1 = –M pl

M 3 = 1--- M pl 3

M 4 = – 1--- M pl 3

M 5 = M pl

2PL = 2 ⋅ 1--- M pl + 1--- M pl + 1--- M pl 3 3 3 2M pl P Stat = -----------3L

daraus

... untere Schranke

Auch dies kann nicht die Traglast sein, da sich nur in den Punkten 1 und 5 ein plastisches Gelenk ausbildet. Damit liegt auch hier keine kinematische Kette vor. Kinematische Kette: Kombination von 1. und 2. Versuch 1

φ 51 φ

5 /?

φ

/?

6 φ

φ

φ

φ

M M M

φ /?

/?

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Aus

' 1 ,

"

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3PL = M 2 + M pl + M pl + M pl 2PL = 2M pl – M 2 + M pl

5

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8

M M

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3PL = M 2 + 3M pl 2PL = 3M pl – M 2

1 2 3 4 5

= –M

pl

= ? = M

pl

= –M = M

pl

pl

"$ A

6M pl P Kin = -----------5L

erhält man

Nach dem Prinzip der virtuellen Arbeiten gilt 3PφL + 2PφL = 6M pl φ 6M pl P Kin = -----------5L

... obere Schranke

Überprüfung der Fließbedingung: 6M pl L - = M 2 + M pl + M pl + M pl 3 ⋅ --------------5L 3M pl ------------ = M 2 5

M 2 = 0,6M pl

Die Fließbedingung wird somit eingehalten da M < M pl ist. Bei dieser kinematischen Kette werden alle 4 Voraussetzungen erfüllt. w Gleichgewicht w M ≤ M pl Fließbedingung w kinematische Kette muß vorhanden sein w Dissipationsarbeit muß positiv sein D = – W

Die Traglast ist daher

(i)

6M pl P T = -----------5L

Prinzipieller Berechnungsvorgang: PStat aus mehreren Momentenverläufen ermitteln (Gleichgewichts- und Fließbedingung einhalten) untere Schranke verschiedene kinematische Ketten auswählen und PKin errechnen (Gleichgewichtsbedingung, kinematische Kette, positive Dissipationsarbeit einhalten) obere Schranke wenn PKin und PStat gleich sind, ist PT erreicht Kontrolle der 4 Voraussetzungen

5

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8

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Die Traglast des im vorangegangenen Beispiel behandelten Rahmens soll nun mit Hilfe eines geeigneten Computerprogramms (z.B.: RuckZuck 4.0) ermittelt werden. Treten hohe Normalkräfte auf, so verliert die Handrechenmethode ihre Gültigkeit, da ein Teil der Querschnittsreserven für die Aufnahme der Normalspannungen aus Normalkraft aufgebraucht wird und zur Aufnahme des Biegemoments nicht mehr zur Verfügung steht. Man spricht von NormalkraftMomenten-Interaktion. Bei Vergleich der Handrechnung mit Computerberechnungen ist daher darauf zu achten, daß beim erläuterten Handrechenverfahren keine Interaktion zwischen Biegemoment und Normalkraft berücksichtigt wird, was nur dann gültig ist, wenn N/Npl

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Anprall von Fahrzeugen

Sind Bauteile wie Stützen oder Stiele nicht durch besondere Vorkehrungen gegen den Anprall von Fahrzeugen geschützt, so ist bei der Bemessung die Einwirkung von Anprallkräften zu berücksichtigen. In der Regel geschieht das durch Ansetzen statischer Ersatzlasten. Erdbebenkräfte

Die Wirkung aus Erdbeben auf Bauwerke besteht vor allem im Auftreten großer Horizontalkräfte aus waagrechten Beschleunigungen. Das ist deshalb so ungünstig, weil Bauwerke vorwiegend auf vertikale Lasten bemessen sind. Erdbebenkräfte sind von der Masse- und Steifigkeitsverteilung eines Bauwerks abhängig.

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8

Von großer Bedeutung für eine vernünftige Idealisierung ist das Prinzip von SaintVenant. Es wurde vom französischen Ingenieur Saint-Venant 1855 formuliert und besagt: Zwei verschiedene Verteilungen einer Last, die auf dieselbe Stelle eines Körpers wirken, haben grundsätzlich dieselbe Auswirkung auf jene Teile des Körpers, die genügend weit weg von der Laststelle sind vorausgesetzt die angreifenden Lasten haben die gleiche Resultierende.

Folgendes Bild soll diesen Sachverhalt erläutern: L

τ

x σ

p(x)

gleiche Spannungsverläufe

a