Baustatik Kompakt 6.Auflage

Baustatik kompakt

BBB

Bauwerk-Basis-Bibliothek

Prof. Dipl.-Ing. Klaus-Jürgen Schneider Prof. Dipl.-Ing. Erwin Schweda

Baustatik kompakt Statisch bestimmte und statisch unbestimmte Systeme Neu bearbeitet von: Prof. Dr.-Ing. Christoph Seeßelberg Prof. Dr.-Ing. Christof Hausser

6., umfangreich ergänzte und vollständig überarbeitete Auflage

Bauwerk

Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar. Schneider / Schweda / Seeßelberg / Hausser Baustatik kompakt 6. Aufl. Berlin: Bauwerk, 2007 ISBN 978-3-89932-168-5

© Bauwerk Verlag GmbH, Berlin 2007 www.bauwerk-verlag.de [email protected] Alle Rechte, auch das der Übersetzung, Vorbehalten. Ohne ausdrückliche Genehmigung des Verlags ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus auf fotomechanischem Wege (Fotokopie, Mikrokopie) zu vervielfältigen sowie die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen vorzunehmen. Zahlenangaben ohne Gewähr

Druck und Bindung: Druckservice EuroPB s.r.o., CZ Scan by woddi

Vorwort zur 6. Auflage Das in 5 Auflagen bisher beim Werner Verlag erschienene Buch „Schneider/Schweda: Baustatik - Statisch bestimmte Systeme“ erscheint nun als 6. Auflage beim Bauwerk Verlag unter dem geänderten Buchtitel „Baustatik kompakt“ . Das Buch wurde dan­ kenswerterweise von den Professoren Seeßelberg und Hausser aktualisiert und erweitert. Einzelheiten entnehmen Sie bitte dem Vorwort der neuen Autoren. Somit steht auch der neuen Generation von Bauingenieurstudenten dieses in der Lehre weit verbreitete Grundlagenbuch der Statik als 6. Auflage weiterhin zur Verfügung. Klaus-Jürgen Schneider

Erwin Schweda

Mittlerweile sind nahezu alle Fachhochschulen und viele Universitäten den Forderungen aus der Politik gefolgt und haben ihre Studiengänge auf Bachelor- und Masterabschlüsse umgestellt. Mit dieser Umstellung geht eine Aktualisierung der Studieninhalte einher, von der auch die Baustatik nicht ausgenommen bleibt. Das vorliegende Buch orientiert sich bei seiner Stoffauswahl an typischen Baustatik-Modulen von Bachelorstudien­ gängen. Es behandelt erstmalig sowohl statisch bestimmte als auch unbestimmte Trag­ werke. Die Baustatikausbildung im Bachelorstudium verfolgt im Wesentlichen zwei Lernziele: - Die sichere Beherrschung der Berechnung von Schnittgrößen an statisch bestimmten, ebenen Stab- und Fachwerken. - Die Fähigkeit zur Berechnung der Schnittgrößen von statisch unbestimmten, ebenen Tragwerken. Besonders statisch unbestimmte Tragwerke werden in der Praxis der Tragwerksplanung nahezu ausschließlich mit Hilfe von Computerprogrammen und nicht mehr von Hand berechnet. Für die Baustatikausbildung folgt daraus: - Es kommt nicht mehr darauf an, Rechentechniken zur Vereinfachung von Handrech­ nungen zu erlernen (z.B. Dreimomentengleichung, Belastungsumordnungsverfahren, Iterationsverfahren usw.). Solche Themen wurden daher nicht in das Buch aufge­ nommen. - Um das Tragverhalten statisch unbestimmter Stabtragwerke kennen zu lernen, ist es ausreichend, beispielhaft ein geeignetes Berechnungsverfahren von Hand anwenden zu können. Aus didaktischen Gründen haben wir uns für das Kraftgrößenverfahren entschieden. - Fähigkeiten, mit denen EDV-Ergebnisse überprüft werden können, sollen statt dessen mehr im Vordergrund stehen. Neu aufgenommen wurden zwei Abschnitte:

5

- Im Abschnitt „Senkrecht belastete, ebene Tragwerke“ wird gezeigt, dass Trägerroste mit derselben Methodik (Schnittprinzip, Gleichgewicht) berechnet werden können wie in ihrer Ebene beanspruchte Systeme. - Mit dem Abschnitt „Einführung in das Arbeiten mit Stab Werksprogrammen“ sollen Studierende an die Anwendung von Stabwerksprogrammen und die Bewertung der Ergebnisse herangeführt werden. Beispielhaft erfolgt dies mit Hilfe des für die Lehre bestens geeigneten Programms Stab2D. Die Themen aus dem Bereich der Festigkeitslehre bleiben - wie bisher - einem eigenen Buch Vorbehalten. Wir danken sehr herzlich den Herren Professoren Klaus-Jürgen Schneider und Erwin Schweda für die Möglichkeit, dieses bewährte, schon in 5 Auflagen erschienene Fach­ buch in die durch neue Studienabschlüsse geprägte Zeit fortführen zu können. München, im September 2007

6

Christoph Seeßelberg, Christof Haus ser

Inhaltsverzeichnis 1 G rundlagen ............................................................................................................. 1.1 Vorbemerkungen ............................................................................................ 1.2 Kräfte und Momente ....................................................................................... 1.2.1 K räfte.................................................................................................... 1.2.2 Moment einer Kraft bezüglich einer A c h se..................................... 1.2.3 Moment eines K räftepaares.............................................................. 1.2.4 Darstellung eines Momentes ............................................................ 1.2.5 Versetzungsmoment .......................................................................... 1.3 Symbole und Begriffe bei statischen System en............................................ 1.3.1 Stabachse, Q uerschnitt...................................................................... 1.3.2 A chsenkreuz........................................................................................ 1.3.3 Gelenk, L a g e r...................................................................................... 1.3.4 Stützw eite............................................................................................ 1.4 Belastungen bei B auw erken........................................................................... 1.4.1 Lastarten und Belastungsannahmen................................................. 1.4.2 Lastermittlungen ................................................................................ 1.5 Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften ................................................ 1.5.1 Zusammensetzen von Kräften auf zeichnerischem W e g e .............. 1.5.1.1 Kräfte mit gemeinsamem Schnittpunkt ........................... 1.5.1.2 Kräfte ohne gemeinsamen Schnittpunkt........................... 1.5.2 Zerlegen von K räften.......................................................................... 1.5.2.1 Vorbemerkungen ................................................................ 1.5.2.2 Zeichnerische M ethode....................................................... 1.5.2.3 Rechnerische Methode ....................................................... 1.5.3 Zusammensetzen von Kräften auf rechnerischem W eg e................ 1.5.3.1 Kräfte mit gemeinsamem Schnittpunkt ........................... 1.5.3.2 Kräfte ohne gemeinsamen Schnittpunkt........................... 1.6 Gleichgewicht.................................................................................................. 1.6.1 Allgemeines ........................................................................................ 1.6.2 Rechnerische Gleichgewichtsbedingungen..................................... 1.7 Schnittgrößen .................................................................................................. 1.8 Nebenbedingungen ........................................................................................ 1.9 Statische Bestimmtheit ................................................................................... 1.10 Überlagerungsprinzip .....................................................................................

13 13 14 14 16 16 17 18 19 19 19 20 24 25 25 28 28 28 28 30 32 32 32 33 35 35 38 40 40 41 44 44 45 46

2 Statisch bestimmte Systeme ohne N ebenbedingungen................................... 2.1 Vorbemerkungen ............................................................................................ 2.2 Ermittlung der Auflagerreaktionen............................................................... 2.2.1 Allgemeines ........................................................................................ 2.2.2 Ermittlung der Auflagerreaktionen auf rechnerischem Wege . . . . 2.2.3 Reaktionen und Aktionen an Lagerstellen....................................... 2.3 Vorzeichendefinition der Schnittgrößen.......................................................

47 47 47 47 47 53 53 7

Inhaltsverzeichnis 2.3.1 Allgemeines ................................................................................. 2.3.2 Vorzeichendefinition mit Hilfe eines Achsenkreuzes ................. 2.3.3 Vorzeichendefinition der Schnittgrößen ohne Achsenkreuz........ 2.4 Ermittlung der Schnittgrößen................................................................... 2.4.1 Allgemeines ................................................................................. 2.4.2 Allgemeine Anwendung des Schnittprinzips .............................. 2.4.3 Rekursionsformeln zur Ermittlung von Schnittgrößen ................ 2.5 Funktionsgleichungen der Schnittgrößen................................................. 2.5.1 Allgemeines ................................................................................. 2.5.2 Funktionsgleichungen beim Träger auf zwei Stützen für spezielle Lastfalle .................................................................... 2.6 Zusammenhang zwischen Kraftgrößen und Schnittgrößen..................... 2.6.1 Auswirkungen von Einzelkraftgrößen......................................... 2.6.2 Auswirkungen von Streckenlasten Differentialgleichungen ................................................................ 2.6.3 Zusammenfassung für Kräfte senkrecht zur Stabachse............... 2.7 Zustandsflächen M8, V, N ......................................................................... 2.7.1 Allgemeines ................................................................................. 2.7.2 Belastung durch Einzellasten Fx, Fz ............................................. 2.7.3 Gleichmäßig verteilte Last qz = const........................................... 2.7.4 Dreieckförmig verteilte Streckenlast qz ( x ) .................................. 2.7.5 Belastung durch Einzellastmomente M1^ ...................................... 2.7.6 Merkmale für das Zeichnen von Zustandslinien........................... 2.7.7 Anwendung des Überlagerungsprinzips....................................... 2.7.8 Ermittlung der Schnittgrößen durch Integration........................... 2.8 Ermittlung maximaler Biegemomente ..................................................... 2.8.1 Allgemeines ................................................................................. 2.8.2 Gerader Stabwerksabschnitt mit speziellen Belastungen ............ 2.8.3 Träger auf zwei Stützen mit speziellen Belastungen ................... 2.8.4 Beispiele ....................................................................................... 3 Fachwerke ........................................................................................................ 3.1 Vorbemerkungen - Gelenkfachwerk, statische Bestimmtheit, Stabilität (Unverschieblichkeit)................................................................ 3.2 Rechnerische Stabkraftermittlung............................................................ 3.2.1 Knotenschnitt................................................................................ 3.2.2 Ritterscher Schnitt........................................................................ 3.3 Bestimmung der Nullstäbe ....................................................................... 4 Statisch bestimmte Systeme mit Nebenbedingungen .....................................

4.1 4.2 4.3 4.4

8

Allgemeiner Lösungsgang ....................................................................... Gelenkträger............................................................................................. Unter-bzw. überspannte Träger............................................................... Dreigelenkrahmen .................................................................................... 4.4.1 System, Wirkungsweise ...............................................................

53 54 55 56 56 56 66 71 71 72 78 78 79 81 82 82 84 87 88 88 89 90 93 100 100 100 103 103 109 109 113 113 116 122 124

124 126 135 139 139

Inhaltsverzeichnis 4.4.2 Berechnung von Dreigelenkrahm en................................................. Dreigelenkbögen ........................................................................................... 4.5.1 Systeme, Bogengleichung ................................................................ 4.5.2 Berechnung von Dreigelenkbögen ................................................... 4.5.2.1 Allgemeiner Lösungsgang ................................................. 4.5.2.2 Stützlinie ..............................................................................

141 147 147 149 149 152

5

Ausnutzung von Sym m etrieeigenschaften.......................................................

156

6

Senkrecht belastete, ebene Tragwerke ............................................................. 6.1 Einführung...................................................................................................... 6.2 Schnittgrößen Gleichgewichtsbedingungen .............................................. 6.3 Auflager, Gelenke, statische Bestimmtheit ................................................ 6.3.1 A uflager................................................................................................ 6.3.2 Gelenkarten.......................................................................................... 6.3.3 Statische Bestim m theit...................................................................... 6.4 Schnittgrößenberechnung bei statisch bestimmten Trägerrosten............. 6.4.1 Vorgehensweise, D arstellung............................................................ 6.4.2 Beispiele .............................................................................................. 6.5 Einfeldträger unter Torsionslast...................................................................

162 162 163 164 164 164 165 165 165 166 170

7

Das Prinzip der virtuellen Verrückungen, Beziehungen aus der Kinematik, A nw endungen...................................................................... 7.1 Das Prinzip der virtuellen V errückungen.................................................... 7.2 Beziehungen aus der Kinem atik................................................................... 7.2.1 Hauptpole, Nebenpole........................................................................ 7.2.2 Satz der gedrehten Verschiebungen ................................................. 7.3 Untersuchung der Stabilität (Unverschieblichkeit) von System en........... 7.4 Ermittlung von Auflagerreaktionen und Schnittgrößen auf kinematischem W ege................................................................................

4.5

172 172 172 172 174 175 177

8

E influsslinien.......................................................................................................... 8.1 Vorbemerkungen ........................................................................................... 8.2 Ermittlung von Einflusslinien auf kinematischem W eg e.......................... 8.3 Auswertung von Einflusslinien ................................................................... 8.4 Ungünstigste Laststellungen.........................................................................

181 181 182 186 187

9

K raftgrößenverfahren.......................................................................................... 9.1 Übersicht über Berechnungsmethoden für statisch unbestimmte Stabwerke ................................................................................ 9.2 Feststellen der statischen U nbestim m theit.................................................. 9.2.1 Allgemeines ........................................................................................ 9.2.2 Aufbaukriterium ................................................................................ 9.2.3 A bzählform el...................................................................................... 9.2.3.1 Allgemeine Stabwerke......................................................... 9.2.3.2 Fachwerke ............................................................................

190 190 191 191 191 195 195 197 9

Inhaltsverzeichnis 9.3

Grundgedanke des Kraftgrößenverfahrens................................................... 9.3.1 Allgemeines ....................................................................................... 9.3.2 Auflagerkraft als statisch U nbestim m te........................................... 9.3.3 Stützmoment als statisch U nbestim m te........................................... Allgemeine Darstellung des Kraftgrößenverfahrens ................................. 9.4.1 Statisch bestimmtes Grundsystem ................................................... 9.4.2 Überlagerung und Überlagerungsform el......................................... 9.4.3 Verträglichkeitsbedingungen als Bestimmungsgleichungen des Kraftgrößenverfahrens................................................................ 9.4.4 Ermittlung der Koeffizienten 432;

q = 23>4°

Alternativ ermittelt man nach Gin. (1.12a) und (1.12b): _ Rx 1,73 tan Q= ~r~ = — — = -0 ,4 3 2 ; Rz —4 ßi = 180° - 23,4° = 156,6°;

q2 = 360°

- 23,4° = 336,6°

• l ’73 n TQ7 e " H " 4 J 6 = 0 '397 = 23,4°; Ql = 180°-23,4° = 156,6° Der übereinstimmend gefundene Winkel Abb. 1.34d).

q\

= 156,6° ist maßgebend (vgl. auch

Die negativen Vorzeichen ergeben sich aus der Tatsache, dass Fx\ und Fz2 entgegen der positiven z-Achse wirken. Da die Rechnung auch für Rz einen negativen Wert ergibt, wirkt auch Rz entgegen der positiven z-Achse. In Abb. 1.34 sind die Komponenten Rz und Rx mit ihrem tatsächlichen Richtungssinn eingetragen.

37

1 Grundlagen

1.5.3.2 Kräfte ohne gemeinsamen Schnittpunkt Die Ermittlung von Betrag, Richtung und Richtungssinn der Resultierenden R erfolgt wie bei „Kräften mit gemeinsamem Schnittpunkt“. Nach Zerlegung der gegebenen Kräfte in x- und z-Komponenten werden die Gin. (1.09) bis (1.12b) angewendet. Die Lage von R ergibt sich aus der Überlegung, dass R die gleiche Momentenwirkung haben muss wie die gegebenen Kräfte F\. Zerlegt man R am Schnittpunkt mit der x-Achse in die Komponenten Rx und Rz Abb. 1.35a) und errechnet für den Koordinatenanfangs­ punkt die Momente, so erhält man auf Grund der vorgenannten Überlegung:

Rz - x r + Rx ■0 = Fz] ■X i + F z2 ■x 2 + Fz3 ■x 3 - (Fxl • z, + F x3 *z3 + F4 ■z4) Bei beliebig vielen Kräften Fx ergibt sich somit die Ordinate des Schnittpunktes von R mit der x-Achse zu: (1.13)

38

1.5 Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften Entsprechend erhält man nach Abb. 1.35b für den Schnittpunkt von R mit der z-Achse:

R

x

- z r + R z - 0 = F x \ • z \ + F x 2 • z2 + F x3 • z3 - ( F zi -xi + F z 2 - x 2 )

Daraus folgt für beliebig viele Kräfte F2\ (1.14)

Vorzeichenregelung:

I

Kräfte F xi bzw. Fzl sind in den Gin. (1.13) und (1.14) mit negativem Vorzeichen einzusetzen, wenn sie entgegen der positiven x- bzw. z-Achse wirken.

Die Wirkungslinie der Resultierenden R ist durch die Richtung von R (Richtungswinkel q oder q, s. S. 36) und durch einen Achsenabschnitt (xR bzw. zR) oder durch die beiden Achsenabschnitte xRund zR festgelegt. Für tabellarische Rechnungen wird mit a nach Abb. 1.30 folgende Tabelle empfohlen: i

sin ocj cos

l* il

(Xi -

(1)

kN

(2)

o

(3)

-

(4)

-

(5)

1

^

F« = _ Fi • cos ocj

Z{

Xj

Fxi *z\

F Z1 * Xj

kN

kN

m

m

kNm

kNm

(6)

(7)

(8) (9)

(10)

( 11)

F*i= _ • sin ai

2

Z

-

-

-

-

^x =

Rz =

-

-

B eispiel 1-2 (Abb. 1.36) Man ermittle für die Kräfte F x bis F4 (Abb. 1.36a) die Resultierende R. Es ist nur eine Zerlegung von F2 (Abb. 1.36b) erforderlich: Fx2 = Fz2 = F2 • sin 45° = 3,0 • 0,7071 = 2,12 kN Bei der Ermittlung von xR und zR spart man Rechenarbeit, wenn man z. B. den Koordi­ natenanfangspunkt in den Angriffspunkt der Kraft F x legt (Abb. 1.36c). Die Koordinaten der Kraftangriffspunkte betragen dann: x j = 0; Z| = 0 x3 = 4,5 m; z3 = 0

x2 = 2,0 m; x4 = 5,3m;

z2 = 0 z4 = 2,0 m

Aus Gin. (1.09) bis (1.11) folgt: Rx = 2,12 + 1,5 = 3,62 kN;

Rz = 1,2 + 2,12 - 2,0 = 1,32 kN 39

1 Grundlagen

Abb. 1.36 |/?| = V 3,622 + l,3 2 2 = 3,85 kN Entsprechend Abb. 1.36d ist tan q = 3,62/1,32 = 2,74;

g = 70°

Aus Gl. (1. 13) folgt: XR= 1 3 2 •[2>1 2 - 2’0 + ( - 2’0) - 4-5 - 1>5 - ( - 2’° ) ] = - 1>33m Mit q undxR ist die Wirkungslinie vonT^ festgelegt (Abb. 1.36c). Ergänzend folgt aus Gl. (1.14):

1.6 Gleichgewicht 1.6.1 Allgemeines Statik ist die Lehre vom Gleichgewicht der Kräfte und Momente. Sie untersucht die Bedingungen, unter denen sich eine Konstruktion, die durch Kräfte und Momente belastet ist, im Gleichgewicht befindet: Gleichgewichtsbedingungen. Für ein ebenes Stab werk wird Gleichgewicht erreicht, d. h., es findet keine beschleunigte Bewegung statt, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: 40

1.6 Gleichgewicht a) Die Resultierende aller am Stabwerk wirkenden Kräfte muss gleich null sein. Das ist der Fall, wenn die Summe der Komponenten aller am Stabwerk wir­ kenden Kräfte in zwei beliebigen, jedoch nicht parallelen Richtungen in der Stabwerksebene gleich null ist. b) Die Summe aller Momente der am Stabwerk wirkenden Kraftgrößen um eine beliebige Achse senkrecht zur Stabwerksebene muss gleich null sein. Aus a) und b) ergeben sich also entsprechend den drei Freiheitsgraden eines ebenen Systems drei voneinander unabhängige Gleichgewichtsbedingungen. Für die Zerlegung der Kräfte in Komponenten ist es zweckmäßig, zwei zueinander senkrechte Richtungen zu wählen.

1.6.2 Rechnerische Gleichgewichtsbedingungen Fällt eine Stabwerksebene mit der x, z-Ebene eines Achsenkreuzes nach Abb. 1.11b zusammen, so ergeben sich die drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene in folgender Form: 1. 2. 3.

Summe aller Kräfte in x-Richtung gleich null ZFX= 0

(1.15)

Summe aller Kräfte in z-Richtung gleich null ZFz = 0

(1.16)

Summe aller Momente um eine beliebige Achse senkrecht zur Stabwerks­ ebene gleich null^ £M = 0 (1.17)

An Stelle der beiden Gleichgewichtsbedingungen EFX= 0 und ZFz = 0 können zusätz­ liche Momentengleichgewichtsbedingungen EM = 0 verwendet werden. Den Beweis liefert folgende Überlegung: Man geht von einer durch beliebige Kräfte und Momente belasteten Konstruktion aus (Abb. 1.37). Ist zunächst nur EMj = 0 erfüllt, so könnte noch eine durch den Punkt i gehende, beliebig gerichtete Resultierende R wirken. Ist auch eine zweite Momentengleichgewichtsbedingung, z.B. EMk = 0, erfüllt, so könnte nur noch eine Resultierende wirken, deren Wirkungslinie durch die Punkte i und k geht. Ist die dritte Gleichung ZFX= 0 oder XFZ= 0 ebenfalls erfüllt, so besagt das, dass auch diese Resultierende gleich null ist. Liegen allerdings die Punkte i und k auf einer Parallelen zur z-Achse, dann ist nur die Erfüllung der Gleichung EFZ= 0 eine Bedingung dafür, dass R = 0 ist, da R keine Komponente in x-Richtung hat. Entsprechendes gilt, wenn die Punkte i und k parallel zur x-Achse liegen. In diesen beiden Fällen hätte man also keine Auswahlmöglichkeit unter den beiden Gleichungen ZFX= 0 und ZFz = 0. Wird statt der zuvor verwendeten einen Kraftgleichgewichtsbedingung noch eine dritte Momentengleichgewichtsbedingung gewählt, deren Bezugspunkt n jedoch nicht auf Die Achse stellt sich in der x, z-Ebene als Punkt dar (vgl. 1.2.2), der im Folgenden als Bezugspunkt bezeichnet wird.

41

1 Grundlagen einer Geraden durch die Punkte i und k liegen darf, und ist diese Gleichung erfüllt, so ist damit ebenfalls gegeben, dass die Resultierende gleich Null ist. Für ein ebenes System lassen sich somit grundsätzlich nur drei voneinander unabhängi­ ge Gleichgewichtsbedingungen aufstellen. Alle weiteren Gleichgewichtsbedingungen, z.B. Momentengleichgewichtsbedingungen um neue Bezugspunkte, ergeben nichts Neues; sie sind von den bereits vorhandenen drei Gleichgewichtsbedingungen linear abhängig.

Abb. 1.37

Vorzeichenregelung Beim Aufschreiben der Gleichgewichtsbedingungen ist auf Folgendes zu achten: Erhalten Kräfte, die den gleichen Richtungssinn haben, ein positives Vorzeichen, so sind die Kräfte, die den umgekehrten Richtungssinn haben, mit einem negativen Vorzeichen zu versehen. Entsprechendes gilt für rechts- und linksdrehende Momente. Um Fehlerquellen beim praktischen Rechnen auf ein Minimum herabzusetzen und im Hinblick auf eine tabellarische und programmierte Lösung von statischen Aufgaben ist es zweckmäßig, beim Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen nach einem be­ stimmten Prinzip zu arbeiten. Im Rahmen dieses Buches wird daher folgendermaßen vorgegangen: Kräfte und Momente erhalten in den Gleichgewichtsbedingungen ein positives Vor­ zeichen, wenn sie im Sinne des Achsenkreuzes^ wirkend dargestellt sind; andernfalls erhalten sie ein negatives Vorzeichen. Anhand der beiden folgenden Beispiele wird die Anwendung der Gleichgewichtsbedin­ gungen gezeigt.

Beispiel 1-3 Man stelle fest, ob die in Abb. 1.38 dargestellte Konstruktion im Gleichgewicht ist. Zur Lösung der Aufgabe müssen die Gleichgewichtsbedingungen aufgeschrieben werden, um feststellen zu können, ob sie erfüllt sind.

Im Sinne des Achsenkreuzes bedeutet bei Kräften: in Richtung der positiven Koordina­ tenachsen, bei Momenten: in Richtung des positiven Drehsinns (vgl. 1.3.2).

42

1.6 Gleichgewicht LFX = 0: - 2 + 2 = 0 (?); 0 = 0 LFZ =0: - 4 + 5 -1 = 0(?); 0 = 0 £M a = 0: 2 - 0 + 4- 0 - 5- 2+1 • 10 + 2- 0 = 0 (?) 0= 0 Die in Abb. 1.38 dargestellte Konstruktion ist also im Gleichgewicht, da alle Gleichge­ wichtsbedingungen erfüllt sind. 'M

"w z 15 kN

2kN

l*kN

1kN

Fx1=3kN £ io ö

2kN So

-2 -i - ------------- 8 m -------- -

1.2 m Abb. 1.39

Abb. 1.38

Beispiel 1-4 (Abb. 1.39) Gegeben sind in diesem Beispiel Betrag, Richtungssinn und Lage vonF xl sowie die Lage von F xa Fza, Fzb. Der Betrag und der Richtungssinn von F xa,F za und Fzb sollen so bestimmt werden, dass alle vier Kräfte im Gleichgewicht sind. Dienoch unbekannten Pfeilrichtungen (Richtungssinn) von F xa, F za und Fzb werden zunächst beliebig ange­ nommen. Ergibt sich für eine Kraft nach Ausrechnung der Gleichgewichtsbedingungen ein positives Vorzeichen, so stimmt der wirkliche Richtungssinn mit der angenommenen Pfeilrichtung überein; ergibt sich ein negatives Vorzeichen, so ist der wirkliche Rich­ tungssinn der Kraft entgegengesetzt der im Bild eingetragenen Pfeilrichtung. Die Gleichgewichtsbedingungen lauten für die in Abb. 1.39 gewählten Pfeilrichtungen der Kräfte: EFx = 0:

F xa- F xl = 0;

F xa = F x l= 3 k N

ZMa = 0:

F xl -0,5 +F zb- 1,2 = 0

EFZ= 0:

Fzb = Y i -F za - Fzb = 0

• ° ’5) = Y i

3 ' 0 ,5 )= ' 1,25 kN

F za = - F zb = - ( - l,2 5 ) = l,2 5 k N Zur Ermittlung vonF za könnte z. B. auch die Gleichgewichtsbedingung EMb = 0 genutzt werden: - F za • 1,2 + F xl • 0,5 = 0 Fza = Fxi • 0,5/1,2 = 3 -0,5/1,2=1,25 kN Werden, wie in diesem Beispiel, mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen Betrag und Richtungssinn von unbekannten Kräften ermittelt, so ist der Rechenaufwand am ge­ ringsten, wenn jede Gleichung nur eine Unbekannte enthält. Um in der Gleichung 43

1 Grundlagen ZM = 0 nur eine Unbekannte zu erhalten, muss der Bezugspunkt entsprechend gewählt werden. Das wird z. B. erreicht und gleichzeitig eine Fehlerfortpflanzung vermieden, wenn als Bezugspunkt der Schnittpunkt zweier der anfangs unbekannten Kräfte gewählt wird. Im Beispiel 1-4 wurden daher als Momenten-Bezugspunkte die Punkte a oder b gewählt. Die Beispiele 1-3 und 1-4 zeigen, dass man mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen einerseits feststellen kann, ob ein Gleichgewichtszustand vorliegt und andererseits Un­ bekannte so ermittelt werden können, dass Gleichgewicht herrscht.

1.7 Schnittgrößen Wird eine Konstruktion durch äußere Kräfte oder Momente belastet und damit auch verformt, so treten im Innern der Konstruktion sog. SchnittgrößenX) (innere Kräfte und innere Momente) auf. Man verwende folgendes Gedankenmodell: Die einzelnen Quer­ schnitte einer Konstruktion werden durch „innere Fesseln“ zusammengehalten. Sie sind aneinander „gefesselt“ . In den „inneren Fesseln“ wirken innere Kräfte und Momente. Sie sorgen dafür, dass jedes einzelne Stabelement einer Konstruktion im Gleichgewicht steht. In jedem Schnitt einer ebenen Konstruktion können drei Schnittgrößen auftreten: Biegemoment Querkraft Längskraft

M3 V (Kraft quer zur Stabachse) N (Kraft in Richtung der Stabachse)

Abb. 1.40 In Abb. 1.40 ist ein in zwei Teile geschnittener Träger dargestellt. An den freigelegten Schnittufern sind die Schnittgrößen eingetragen. Sie treten aus Gleichgewichtsgründen immer paarweise auf und sind entgegengesetzt gleich. Weitere Einzelheiten siehe Ab­ schnitt 2.3.

1.8 Nebenbedingungen Es gibt Baukonstruktionen, die an bestimmten Stellen so konstruiert sind, dass eine oder zwei Schnittgrößen an diesen Stellen nicht übertragen werden können, d. h. gleich null sind. Man spricht in diesem Zusammenhang von Nebenbedingungen.

Diese Schnittgrößen sind Resultierende der in einem Querschnitt infolge äußerer Belas­ tung auftretenden Spannungen (siehe [2]).

44

1.9 Statische Bestimmtheit Bezugnehmend auf das Gedankenmodell (vgl. 1.7) könnte man sagen, dass die entspre­ chenden „inneren Fesseln“ an diesen Stellen „zerschnitten“ sind und damit keine Kräfte bzw. Momente übertragen können. Zum Beispiel sind bei sog. Gelenkträgern (vgl. 4.2) an bestimmten Stellen Gelenke konstruiert, so dass hier das Biegemoment M6 = 0 ist. Diese Tatsache ist für die Berechnung solcher Konstruktionen von großer Wichtigkeit, da man durch die Ausnutzung der Nebenbedingungen zusätzliche Gleichungen zur Berechnung von Auflagerreaktionen und Schnittgrößen erhält (vgl. 4.1). In Abb. 1.41a wird gezeigt, wie bei Stahlträgern solche Gelenkstellen aussehen kön­ nen1\ Es ist ersichtlich, dass zwar eine Querkraft und eine Längskraft, jedoch kein Biegemoment übertragen werden kann.

Mb=0 — o—

o)

Symbolische Darstellung

Langloch im Trägersteg

it r t^ r 1'I! er V \rf A z -1 = F z • b,

wobei der Krummpfeil den jeweils positiven Drehsinn bzgl. des gewählten Bezugs­ punktes angibt. Soll wie im vorstehenden Fall mit Hilfe der Momenten-Gl. B. eine Kraft errechnet werden, so können gleich beim ersten Aufschreiben beide Gleichungsseiten durch den Hebelarm, den die gesuchte Kraft zum gewählten Bezugspunkt hat, dividiert werden; es ergibt sich dann unmittelbar: 1

aus ZM2 = 0 folgt: A z = - (Fz • b)

48

(2.01a)

2.2 Ermittlung der Auflagerreaktionen

R-ql

■(+) Ax

Abb. 2.02

>111111111111111rfn iip

A,

-

^

4

Für einen mit einer gleichmäßig verteilten Streckenlast belasteten Träger (Abb. 2.02) ergeben sich folgende Gleichungen: £M 2 = 0: - A z -l + q l -1/2 = 0 A z = q-l / 2 £ F Z= 0:

I F x = 0:

ql-Az- B z=0 Bz = q l - A z = q l - q • 1/2 Bz = q • 1/2 Ax = 0

(2.04)

(2.05) (2.06)

Zu diesen Ergebnissen kommt man auch aus der Anschauung. Es ist einleuchtend, dass die Auflager bei symmetrischer Belastung je die Hälfte der Gesamtbelastung aufneh­ men. In Abb. 2.03a ist ein Träger dargestellt, bei dem die Bewegungsrichtung des beweglichen Lagers nicht parallel zur Stabachse verläuft. Die Auflagerkräfte lassen sich wie folgt ermitteln: 1. Möglichkeit (Abb. 2.03a) ZM2 = 0: ZMi =0:

EFX= 0:

- A z -l + F - b = 0 Az =F-b/l

(2.07)

B • / cos ol- F • a = 0 Fa B = -------/ cos a - A x - B sin a = 0 ™• Fa A x = - B s ma = - ------- sin a / cos a A x = - - F • ö ta n a

(2.08)

(2.09)

^ x lässt sich auch relativ schnellermitteln, wenn man die Gleichgewichtsbedingung UM = 0 um den Schnittpunkt von^4z und B aufstellt.

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2 Statisch bestimmte Systeme ohne Nebenbedingungen v

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