Basis Ortonormal 2

TUGAS KELOMPOK 7 ALJABAR LINIER ELEMENTER

TENTANG BASIS ORTONORMAL; PROSES GRAM-SCHMIDT; DEKOMPOSISI QR

OLEH: NURHALIMAH AULA (NIM F04112055) NURUL HIDAYATIE (NIM F04112075) LISLIANA (NIM F04111044)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MIPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS TANJUNGPURA PONTIANAK 2014

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

DEFINISI:

Suatu himpunan vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasilkali dalam disebut sebagai hi mpunan or togonal  togonal (orthogonal set)  jika setiap pasangan vektor yang berbeda di dalam

himpunan tersebut adalah ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yang vektor-vektornya memiliki norma 1 disebut ortonormal (orthonormal). 3 CONTOH 1 Himpunan Ortogonal pada R 

Misalkan

         〈 〉  〈 〉  〈 〉  ‖‖  ||‖‖ ‖‖  ‖‖ ‖‖ ‖‖  ‖‖ ‖‖  

dan asumsikan bahwa  R3  memiliki hasilkali dalam Euclidean. Berdasarkan hal ini maka himpunan vektor S  = {u1, u2, u3} adalah ortogonal karena



Jika v  adalah sebuah vektor taknol pada sebuah ruang hasilkali dalam, maka

 berdasarkan Teorema 6.2.2 bagian (c) yaitu

, vektor

memiliki norma 1, karena

Proses mengalikan sebuah vektor taknol v dengan nilai resiprok (kebalikan) dari panjangnya

untuk memperoleh sebuah vektor dengan norma 1 disebut sebagai menor menor mali sasi asi kan v (normalizing v   ). Sebuah himpunan ortogonal yang terdiri dari vektor-vektor taknol akan selalu

dapat

dikonversikan

menjadi

sebuah

himpunan

ortonormal

menormalisasikan setiap vektornya. CONTOH 2 Membentuk Membentuk sebuah Himpunan Ortonormal

 Norma-norma Euclidean dari vektor-vektor dalam Contoh Contoh 1 adalah

dengan

cara

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

  ‖‖     ‖‖  (√    √ )    ‖‖  (√   √ )

Buktikan bahwa himpunan S  = {v1, v2, v3} adalah ortonormal dengan cara menunjukkan  bahwa

〈 〉  〈 〉  〈 〉    ‖‖  ‖‖  ‖‖  

Di dalam sebuah ruang hasilkali dalam, sebuah basis yang terdiri dari vektor-vektor ortonormal disebut sebagai basis ortonormal , dan sebuah basis yang terdiri dari vektorvektor ortogonal disebut sebagai basi basi s ortogonal  or togonal . Sebuah contoh basis ortonormal yang cukup kita kenal adalah basis standar untuk R untuk  R3 yang memiliki hasilkali dalam Euclidean: i = (1, 0, 0),  j = (0, 1, 0), k  =  = (0, 0, 1)

Basis ini adalah basis yang diasosiasikan dengan sistem koordinat siku-siku. Secara lebih umum, pada R pada Rn yang memiliki hasilkali dalam Euclidean, basis standar e1 = (1, 0, 0, . . . , 0),

e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . ,

en = (0, 0, 0, . . . , 1)

adalah basis ortonormal. Koordinat-koordinat Koordinat-koordinat Relatif terhadap Basis Ortonormal

Keinginan

untuk

melakukan pencarian basis-basis ortonormal untuk ruang hasilkali dalam sebagian dilandasi oleh teorema berikut ini. Teorema 6.3.1

 Jika S = { v   , v  v1  2 , . . . , v  3 } adalah sebuah basis ortonormal untuk sebuah ruang hasilkali dalam V, dan u  adalah  adalah sebuah vektor sebarang pada V, maka

  〈 〉  〈 〉    〈 〉

Bukti. Karena S = {v1, v2, . . . , vn} adalah sebuah basis, sebuah vektor u dapat dinyatakan

dalam bentuk  =  = k 1v  u  1 + k 2v  2 + . . . + k nv  n

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

〈 〉  〈     〉  〈 〉  〈 〉    〈 〉 〈 〉  ‖‖    〈 〉       〈 〉 〈 〉   〈 〉 〈 〉   〈 〉

Karena S  =  = {v1, v2, . . . , vn} adalah sebuah himpunan ortonormal, kita memperoleh

Oleh karena itu, persamaan di atas untuk

 dapat disederhanakan menjadi  dapat

Dengan menggunakan terminologi dan notasi, skalar-skalar

di dalam Teorema 6.3.1 adalah koordinat-koordinat dari vektor u  relatif terhadap basis ortonormal S  =  = {v1, v2, . . . , vn} dan

  〈 〉 〈 〉   〈 〉

adalah vektor koordinat dari u relatif terhadap basis ini.

CONTOH 3 Vektor Koordinat Relatif terhadap terhadap Basis Ortonormal Ortonormal

Misalkan

     (    )    (   )

Adalah mudah untuk membuktikan bahwa S  = {v1, v2, v3} adalah sebuah basis ortonormal untuk  R3  yang memiliki hasilkali dalam Euclidean. Nyatakan vektor u  = (1, 1, 1) sebagai sebuah kombinasi linear dari vektor-vektor di dalam S , dan tentukan vektor koordinat ( u)S .  Penyelesaian.

〈 〉   〈 〉    〈 〈 〉  

Oleh karena itu, berdasarkan Teorema 6.3.1 kita memperoleh

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

yaitu,

     (    )   (   )   〈 〉 〈 〉 〈 〉 (   )

Vektor koordinat dari u relatif terhadap S  adalah  adalah

CATATAN.

Manfaat Teorema 6.3.1 6.3.1 dapat terlihat jelas dari contoh ini apabila apabila kita

mengingat bahwa untuk basis-basis bukan ortonormal, kita selalu harus menyelesaikan sebuah sistem persamaan untuk dapat menyatakan suatu vektor dalam bentuk sebuah basis. Basis ortonormal untuk ruang hasilkali dalam sangat bermanfaat karena sejumlah rumus yang telah kita kenal berlaku untuk basis-basis semacam ini sebagaimana akan diperlihatkan oleh teorema berikut ini. Teorema 6.3.2

 Jika S adalah sebuah basis ortonormal untuk sebuah ruang hasilkali dalam berdimensi n, dan jika

               ‖‖                    〈 〉      

maka: a) b) c)

CATATAN.

Perhatikan bahwa sisi kanan kesamaan pada bagian bagian (a)  (a)  adalah norma dari

vektor koordinat ( u)S   merujuk pada hasilkali dalam Euclidean pada  Rn, dan sisi kanan kesamaan pada bagian (c)  (c)  adalah hasilkali dalam Euclidean dari (u)S   dan (v)S . Sehingga, dengan menggunakan basis-basis ortonormal, perhitungan norma dan hasilkali dalam yang umum dapat disederhanakan menjadi perhitungan norma dan hasilkali dalam Euclidean dari vektor-vektor koordinat.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Akan tetapi, jika kita misalkan  R3  memiliki basis ortonormal S   seperti yang diberikan di dalam contoh sebelum ini, maka kita dapat mengetahui dari contoh itu bahwa vektor

 (   )

koordinat dari u relatif terhadap S  adalah  adalah

 Norma u juga dapat dihitung dari vektor ini dengan menggunakan bagian (a) Teorema (a) Teorema 6.3.2. Perhitungan ini menghasilkan

       ‖‖    ( )  ()     √ 

Koordinat-koordinat Koordinat-koordinat Relatif terhadap Basis Ortogonal  Jika S  =  = {v1, v2, . . . , vn} adalah

sebuah basis ortogonal untuk sebuah ruang vektor V , maka normalisasi tiap-tiap vektor di

  {‖‖  ‖‖    ‖‖}   〈 ‖‖〉 ‖‖  〈 ‖‖〉 ‖‖    〈 ‖‖〉 ‖‖   〈‖‖〉   〈‖‖〉     〈‖‖〉  

dalam basis ini akan menghasilkan basis ortonormal

Sehingga, jika u adalah sebuah vektor sebarang di dalam V , berdasarkan Teorema 6.3.1 kita akan memperoleh

yang berdasarkan Teorema 6.1.1 bagian (c) dapat dituliskan kembali sebagai

Rumus ini menyatakan u sebagai sebuah kombinasi linear dari vektor-vektor di dalam basis ortogonal S . Terbukti dengan sendirinya bahwa jika v1, v2, dan v3 adalah tiga vektor taknol pada  R3 yang saling tegak lurus satu sama lainnya, maka tidak satu pun dari ketiga vektor ini yang terletak pada bidang yang sama dengan salah satu dari kedua vektor lainnya; sehingga, vektor-vektor ini bebas linear. Teorema berikut ini merupakan generalisasi dari hal tersebut. Teorema 6.3.3

 Jika S = { v   , v  v1  2 , . . . , v  n } adalah suatu himpunan ortogonal vektor-vektor taknol pada sebuah ruang hasilkali dalam, maka S bebas linear. . Asumsikan bahwa Bukti 

      

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

〈     〉  〈 〉   〈 〉  〈〈〉〉    〈 〉   〈 〉  

Untuk setiap vi di dalam S , berdasarkan Rumus (2) kita memperoleh

atau secara ekuivalen,

Dari ortogonalitas S   kita memperoleh

  jika  j

≠ i, sehingga persamaan ini dapat

disederhanakan menjadi

Karena vektor-vektor di dalam S   diasumsikan sebagai vektor-vektor taknol,

〈     〉  

 berdasarkan aksioma positivitas untuk hasilkali dalam. Dengan demikian, k i  = 0. Karena subskrip i adalah sebarang, kita memperoleh k 1 = k 2 = . . . = k n = 0; 0; sehingga, S  bebas  bebas linear. CONTOH 5 Menggunakan Menggunakan Teorema 6.3.3

     (√    √ )    (√   √ )

Dalam Contoh 2 kita telah tela h menunjukkan bahwa vektor-vektor

Membentuk sebuah himpunan ortonormal dengan merujuk pada hasilkali dalam Euclidean  pada R  pada  R3. Melalui Teorema 6.3.3, vektor-vektor ini merupakan himpunan vektor bebas linear, dan karena R3 berdimensi tiga, S  = {v1, v2, v3} adalah sebuah basis ortonormal bagi  R3 melalui Teorema 5.4.5 yaitu  Jika V adalah suatu ruang vektor berdimensi n, dan jika S adalah suatu himpunan pada V dengan tepat n vektor, maka S adalah basis untuk V jika salah satu dari hal berikut berlaku, S merentang V atau S bebas linear. Proyeksi Ortogonal Sekarang kita akan mengembangkan beberapa hasil yang dapat

membantu kita menyusun basis-basis ortogonal dan ortonormal untuk ruang hasilkali dalam. Di dalam ruang  R2 dan  R3 yang memiliki hasilkali dalam Euclidean, secara geometrik dapat dibuktikan bahwa jika W  adalah   adalah sebuah garis atau sebuah bidang yang melewati titik

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Vektor w1  pada teorema di atas disebut sebagai proyeksi ortogonal u  pada W (orthogonal projection of u on W) dan dinotasikan dengan proj Wu. Vektor w2 disebut sebagai komponen u yang ortogonal terhadap W (component of u orthogonal to W) dan dinotasikan dengan proj W┴ u. Dengan demikian, Rumus (3) di dalam Teorema Proyeksi dapat dinyatakan sebagai u = projWu + projW┴ u  (4)

Karena w2 = u – w1, kita memperoleh  projW┴ u = u - proj Wu sehingga Rumus (4) juga dapat dituliskan sebagai u = projWu + (u - proj Wu)

(5)

Teorema 6.3.5

 Misalkan W adalah sebuah subruang berdimensi terhingga dari suatu ruang hasilkali dalam V. a) Jika a)  Jika { v   , v  ortonormal untuk W, dan u  adalah  adalah sebuah vektor v1  2 , . . . , v  r  r }   adalah sebuah basis ortonormal

  〈 〉  〈 〉    〈 〉   〈‖‖〉   〈‖‖〉     〈‖‖〉               〈 〉  〈 〉

 sebarang pada V, maka maka

  (6)

b) Jika b)  Jika { v   , v   }  adalah  adalah sebuah vektor v1  2 , . . . , v  r  r  adalah sebuah basis ortogonal untuk W, dan u   sebarang pada V, maka maka

CONTOH 6 Menghitung Proyeksi

Misalkan R Misalkan R3 memiliki hasilkali dalam Euclidean, dan W  adalah  adalah subruang yang direntang oleh vektor-vektor ortonormal

dari vektor u = (1, 1, 1) pada W  adalah  adalah

. Dari (6), proyeksi ortogonal

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Perhatikan bahwa proj W┴ u  ortogonal terhadap v1  dan v2  sehingga vektor ini ortogonal terhadap setiap vektor di dalam ruang W  yang   yang direntang oleh v1  dan v2, sebagaimana yang seharusnya. Menentukan Menentukan Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal Ortonormal

Kita telah melihat bahwa basis

ortonormal memiliki berbagai sifat yang berguna. Teorema kita berikutnya, yang merupakan hasil terpenting dari pengkajian kita pada subbab ini, menunjukkan bahwa setiap ruang vektor taknol berdimensi terhingga memiliki basis ortonormal. Pembuktian mengenai hal ini sangatlah penting, karena akan menyediakan sebuah algoritma atau metode, untuk mengkonversikan suatu basis sebarang menjadi sebuah basis ortonormal. Teorema 6.3.6

Setiap ruang hasilkali dalam taknol berdimensi te rhingga memiliki sebuah basis ortonormal.

    

Bukti. Misalkan V adalah suatu ruang hasilkali dalam taknol berdimensi terhingga sebarang,

dan misalkan {

} adalah basis sebarang untuk V. Akan cukup kiranya

apabila kita dapat menunjukan bahwa V   memiliki sebuah basis ortogonal, karena vektorvektor di dalam basis ortogonal itu dapat dinormalisasikan untuk menghasilkan sebuah basis

    

ortonormal untuk V  .   . Urutan langkah berikut ini akan menghasilkan sebuah basis ortogonal {

} untuk V.

Langkah 1. Misalkan

    =

Langkah 2. Kita dapat memperoleh sebuah vektor

menghitung komponen

 

  yang ortogonal terhadap

  yang ortogonal terhadap ruang

Dengan menggunakan Rumus (7) :

 

  dengan

  yang direntang oleh

.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.



   

        ‖ ‖   ‖ ‖                               ‖ ‖   ‖ ‖   ‖ ‖            Langkah 3. Untuk membuat sebuah vektor

menghitung komponen

 yang ortogonal terhadap

 yang ortogonal terhadap ruang

 yang direntang oleh

Dari (7)

=

 maupun

 dan

.

 =

Sebagaimana pada langkah (2), kebebasan linear dari {

 bahwa

, kita

} memastikan

≠ 0.

Langkah 4. Untuk menentukan sebuah vektor

kita menghitung komponen , dan

  yang ortogonal terhadap

  yang ortogonal terhadap ruang

, dan

,

  yang direntang oleh

. Dari (7) kita memperoleh

=

 =

Apabila kita terus melakukan hal ini, setelah langkah ke-n ke-n kita akan memperoleh himpunan

vektor –  vektor  vektor ortogonal {

}. Karena V berdimensi n  berdimensi n dan setiap himpunan

ortogonal bersifat bebas linear, maka himpunan {

} adalah sebuah basis

ortogonal bagi V .

Langkah –  langkah  langkah diatas yang disusun untuk mengkonversikan suatu basis sebarang menjadi sebuah basis ortogonal disebut sebagai pros pr ose es Gr am-Schmi dt. CONTOH 7. Menggunakan Proses Gram-Schmidt

Perhatikan ruang vektor



  yang memiliki hasilkali dalam euclidean. Terapkan proses

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

              ‖ ‖   ‖ ‖     –         = (0, 1, 1)

Langkah 3.

(1, 1, 1) =

=

 =

= (0, 0, 1)

=

(1, 1, 1)

    

Sehingga,



                 ‖‖ √  ‖‖ √  ‖‖ √   √   √   √   ‖‖  √   √   √       

= (1, 1, 1),

,

 =

. Norma vektor –  vektor  vektor ini adalah

Membentuk sebuah basis ortogonal untuk

 =

Sehingga basis ortonormal untuk

 ‖‖  =

=

=

 ,

 =

,

 =

 adalah

,

 =

 =

,

 =

Catatan : pada contoh di atas kita menggunakan proses Gram-Schmidt untuk menghasilkan

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

{

          

}, namun proses ini melakukan hal itu sedemikian rupa sehingga untuk k 

≥ 2 berlaku hubungan –  hubungan sebagai berikut : 

{

} adalah sebuah basis ortonormal untuk ruang yang direntang

oleh {



}.

 ortogonal terhadap ruang yang direntang oleh {

    

}.

Dekomposisi QR

  vektor kolom yang Masalah. Jika A adalah sebuah matriks m x n yang memiliki vektor  –  vektor  bebas linear, dan jika Q adalah sebuah matriks yang memiliki vektor

 –   vektor kolom

ortonormal yang dihasilkan dari penerapan proses Gram-Schmidt pada vektor  –  vektor  vektor kolom A, hubungan apa, yang terdapat di antara A dan Q?

               | |  | | |  |               

Jawab : misalkan vektor  –   vektor kolom dari A adalah vektor kolom ortonormal dari Q adalah A=

; sehingga,

  dan Q =

Kita mengetahui dari teorema 6.3.1 bahwa  bentuk vektor –  vektor  vektor

  dan vektor  – 

 sebagai

  dapat dinyatakan dalam

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Atau secara lebih ringkas sebagai A= QR

(8)

     〈  〉 〈〈 〉〉  〈〈 〉〉    〈  〉

Akan tetapi, sifat Gram-Schmidt menggariskan bahwa untuk  j terhadap

≥ 2, vektor



  ortogonal

; sehingga, semua entri yang terletak di bawah diagonal utama

 R adalah  R adalah nol,

 R =  R =

 

(9)

Dengan demikian (8) adalah faktorisasi matriks A menjadi hasilkali dari matriks Q yang memiliki vektor  –   vektor kolom ortonormal dengan matriks segitiga atas R yang dapat dekomposii si QR dari A. dibalik. Kita menyebut (8) sebagai dekompos

Teorema 6.3.7

Dekomposisi QR

 Jika A adalah sebuah matriks m x n yang memiliki vektor  –  vektor   vektor kolom yang bebas linear, maka A dapat difaktorkan sebagai  A = QR

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

    []  []  []  =

,

 =

,

 =

Dengan menggunakan proses Gram-Schmidt yang diikuti dengan normalisasi pada vektor  –  vektor kolom ini akan menghasilkan vektor  –  vektor  vektor ortonormal (contoh 7)

       √  √     √ √      √ √      √ √  〈[  〉 〈〈 〉〉 〈〈 〉〉]    √    √ √    √ √    〈 〉     √  [  ]   √ √   √ √    √     √    √ √    √ √       √    √    √      √   =

,

 =

,

 =

dan dari (9) matriks R matriks R adalah  adalah

 R =  R =

 =  =

Dengan demikian , dekomposisi QR dari matriks A adalah

 =  =

A

Q

R

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

  〈 〉               〈 〉 〈   〉 〈  〉  〈 〉 〈  〉 〈         〉 〈 〉  〈 〉    〈 〉 〈 〉 〈 〉  〈 〉    〈 〉 〈  〉 〈 〉 〈 〉 W .Untuk membuktikan bahwa

  ortogonal terhadap W , kita harus menunjukkan bahwa

  = 0 untuk setiap vektor

 pada W . Akan tetapi ,jika

adalah sebuah vektor

sebarang pada W , vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear  =

dari vektor –  vektor  vektor basis

,

 =  =

,

 ,

 =  =

 Dengan demikian

 

(12)

Tetapi

 =  =

=

Berdasarkan teorema 6.3.2 bagian (c)  =  =

Maka ,

 dan  dan

 adalah sama, sehingga (12) menghasilkan  adalah

 =  = 0.

Untuk mengetahui apakah (10) dan (11) memang benar satu  –  satunya  satunya pasangan vektor yang

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Karena

   〈   〉 〈 〉  〈 〉            〈     〉            dan

ortogonal terhadap W , selisih keduanya juga ortogonal terhadap W ,

karena untuk sebuah vektor

sebarang pada W kita dapat menuliskan  =  = 0 – 0 = 0

 =  =

Akan tetapi

 itu sendiri adalah sebuah vektor pada W   , karena dari (14) diperoleh

hasil bahwa vektor itu adalah selisih dari kedua vektor subruang W . Sehingga

  dan

yang terletak di dalam

 pastilah ortogonal terhadap dirinya sendiri; jelasnya  =  = 0

Hal ini mengimplikasikan bahwa Sehingga,

 =

, dan berdasarkan (14),

 = 0 berdasarkan aksioma 4 untuk hasilkali dalam.  =

.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

LATIHAN

1. Manakah di antara himpunan-himpunan vektor berikut ini yang merupakan himpunan ortogonal, merujuk pada hasilkali dalam Euclidean pada R pada  R2? (a) (b)

      √    √   √   √ 

(c)

 √   √   √   √ 

(d) (0, 0), (0, 1)

2. Manakah di antara himpunan-himpunan vektor pada nomor 1 yang merupakan himpunan ortonormal, merujuk pada hasilkali dalam Euclidean pada R pada  R2? 3. Manakah di antara himpunan-himpunan vektor berikut ini yang merupakan himpunan ortogonal, merujuk pada hasilkali dalam Euclidean pada R pada  R3? (a) (b)

√    √   √   √    √  √    √                 √   √     √   √    √    √    √     

 

(c)

(d)

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

〈 〉    

8. Buktikan bahwa himpunan vektor-vektor [(1, 0), (0, 1)] adalah ortogonal, merujuk pada hasilkali dalam

  pada  R2; kemudian konversikan himpunan ini

menjadi sebuah himpunan ortonormal dengan menormalisasikan kedua ve ktornya. 9. Buktikan

bahwa

vektor-vektor

                

membentuk sebuah basis ortonormal untuk  R3  yang memiliki hasilkali dalam Euclidean; kemudian gunakan Teorema 6.3.1 untuk menyatakan tiap-tiap vektor di bawah ini sebagai kombinasi linear dari v1, v2, dan v3. (a)

(b)



 

(c)

     