Baróti, Kis, Schmidt, Lukács - Matematika feladatgyűjtemény

BUDAPESTI MŰSZAKI FŐISKOLA Kandó Kálmán Villamosmérnöki Kar

Dr. Baróti György - Kis Miklós Schmidt Edit - Sréterné dr. Lukács Zsuzsanna

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

BMFKVK 1190 BUDAPEST, 2005

Budapesti Műszaki Főiskola Kandó Kálmán Villamosmérnöki Kar

Dr. Barótí György - Kis Miklós Schmidt Edit - Sréterné dr. Lukács Zsuzsanna

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Budapest, 2005

Szerkesztette: Srétemé dr. Lukács Zsuzsanna főiskolai docens Lektorálta: dr. György Anna főiskolai docens Szerzők: dr. Baróti György főiskolai docens - 6., 7., 14. fejezet, Kis Miklós főiskolai adjunktus - L, 11., 13. fejezet, Schmidt Edit főiskolai adjunktus - 4., 5., 8. (8.3.1.-8.3.5. kivételével), 9. fejezet, Srétemé dr. Lukács Zsuzsanna főiskolai docens - 2., 3., 8.3.1.-8.3.5., 10., 12., 15. fejezet

Felelős kiadó: Dr. Turmezei Péter, a BMF KVK dékánja. Munkaszám: BMF KVK 1190

KVK-1190

ELŐSZÓ Feladatgyűjteményünket a korábbi Kandó Kálmán Műszaki Főiskola hallgatói számára készítettük, akik ma a Budapesti Műszaki Főiskola három karán tanulnak. Az összeállításkor a nálunk folyó képzés igényeit tartottuk szem előtt, és tekintetbe vettük a különböző oktatási formák (nappali-, esti-, levelező tagozat, távoktatás) sajátosságait is. A kötet két részből áll: az első a feladatokat, a második a megoldásokat tartalmazza. A feladatok, egy-egy témakörön belül, nehézségi sorrendben következnek egymás után. A példák összeválogatásánál, a terjedelmi korlátok szabta kereteken belül, igyekeztünk bőséges és változatos kíná­ latot adni a zárthelyikre és a vizsgákra való felkészüléshez. A megoldási részben a feladatokhoz vagy végeredményeket (E), vagy vázlatos (V), vagy részletes megoldásokat (M) közlünk. Ezt jelzik a feladatok sorszá­ ma mögött álló betűk. A gyűjteményünkben a mi követelményeinknek megfelelő feladatok szerepelnek. Reméljük azonban, hogy más felsőokta­ tási intézmények hallgatói is eredményesen tudják majd használni. Az észrevételeket, a könyvben előforduló esetleges hibák közlését kérjük és köszönettel fogadjuk. Budapest, 2000. szeptember A szerkesztő

KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS Mindenekelőtt megkülönböztetett köszönettel tartozunk dr. Bognár Sán­ dor kari főigazgató, főiskolai tanárnak, akinek kezdeményezésére és tá­ mogatásával készítettük el ezt a régi hiányt pótló feladatgyűjteményt. Köszönjük a könyv lektorának, dr. György Anna kari főigazgató-helyet­ tes főiskolai docensnek hasznos megjegyzéseit és javaslatait, amelyekkel segítette munkánkat. Végül köszönettel tartozunk a kötet szerkesztőjének, Srétemé dr. Lukács Zsuzsanna főiskolai docensnek az észrevételeiért, a gondos és körültekin­ tő szerkesztői munkájáért, amellyel biztosította, hogy formailag és tar­ talmilag egységes, reményeink szerint jól használható feladatgyűjteményt adhassunk hallgatóink kezébe. Budapest, 2000. szeptember A szerzők

KVK-1190

KVK-1190

1. KOMPLEX SZAMOK 1.1. Komplex számok ábrázolása 1.1.1. írja fel az alábbi komplex számok valós és képzetes részét, vala­ mint algebrai alakban a konjugáltját, és számítsa ki az abszolút ér­ téküket! A megadott komplex számokat és a konjugáltakat ábrázol­ ja a komplex számsíkon egy-egy pontként! a)(M )z, = 3 - j ; b)(V) z , = - 2 + 2j; c)(V) Z3 = 2 + 3j; d)(E) z , = - 3 - 3 j ; e)(E) Z3 = - 5 ;

f) (E) z , = - 4 j ;

g)(E) z, = - l + 3 j;

h)(E) z , = 4 + j.

1.1.2. íija fel az alábbi komplex számok konjugáltját trigonometrikus alakban, nemnegatív, a teljes szögnél kisebb irányszöggel. A meg­ adott komplex számokat és a konjugáltakat ábrázolja a komplex számsíkon egy-egy pont helyvektoraként! a)(M) Zj = 3 (cos 45°+ j sin 45°); b)(V) Zj =4(cos210° + jsin210°); c)(V) Z3 =V2(cos420° + jsin420°); d)(V) Z4 =3,5(cos(-1140°) + jsin(-1140°)); e)(E) Zj = 4

71 6

. . 71^ 6/

COS — + j s m —

2n

f) (E) z, =5 cos

3 2 0 71

g)(E) z ,= 4 ,5 cosh)(E) z ,= V 3 cos

12

27t

+ jsm ■+ j s m -

20 7T

1371 + jsm 4

13 71 //

KVK-1190 1.1.3. írja fel az alábbi komplex számok konjugáltját exponenciális alak­ ban, nemnegatív, a teljes szögnél kisebb irány szöggel. A megadott komplex számokat és a konjugáltakat ábrázolja a komplex számsí­ kon egy-egy pont helyvektoraként! .19 71

a)(M )z, = 3 e '" « ;

b)(V) Z2 = 2 e^";

. 5 71

. 2 1 71

c)(E) Z3 = 5 e ' ^ ;

d)(E) z, = 3 e " '^ ;

■23 71

■25 71

e)(E) Z5 = 2 e'

;

f) (E) z, = 4 e ‘^ ^ ;

—In5+j— g)(M) Z7 =e^ 3. 1 ,

^

. 71

,

=e

1

•

^ .

1.2. Áttérés a komplex szám egyes alakjai között 1.2.1. írja fel algebrai alakban az alábbi, trigonometrikus illetve exponen­ ciális alakban megadott komplex számokat! a) (M) z = 3 (cos 60° + j sin 60°); b)(V) z = 4 (cos (-45°) + j sin (-45°)); c) (E) z = 2 (cos (-330°) + j sin (-330°)); d)(E) z = V2 (cos765° + jsin 765°); .571

e) (M) z = V2 e

-J-T ^;

_ .l l 7 I

g)(E) z = 6 e ' ® ;

^ __

^

.771

f) (E) z = 2 e'’ ^ ; ■ 2 9 71

h)(E) z = \Í3 o’

.

1.2.2. írja fel trigonometrikus és exponenciális alakban az alábbi, algebrai alakban megadott komplex számokat! a)(M) z = l + V3 j ; b)(M) z = - 5 V 3+5 j ; c )(M )z = - 5 j ; d)(E) z = - 4 - 4 j ; e)(E) z = -5 ; f)(E) z = - e + e j ; g)(E) z = -0,61-8,83 j ;

h)(E) z = - 1 0 “' - 1 , 3 -lO^^ j .

1.2.3. írja fel az alábbi komplex számokat algebrai, trigonometrikus és exponenciális alakban!

KVK-1190 a) (M) z = -2 (cos 135° - j sin 225°); b)(V) z = V2 (-s in 9 0 ° -js in 2 7 0 ° ); c)(V) z = 6(tgl35° + jsin60°); d) (E) z = - VS (ctg (-210°) - j tg (-300°)); e)(V) z = ( ln e ') - ( lg lO ^ ) f ;

f) (E) z = 4 f - 2 f ;

g)(E) z = (2j)'“ ;

h)(E) z = (3 j)-\

1.2.4. Határozza meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét úgy, hogy irányszöge, illetve abszolút értéke a megadott le­ gyen! A kapott komplex számot írja fel algebrai és trigonometrikus alakban is! a)(M) z = -3 + b j,h a (p = 150°;

b)(E) z = a + V2 j,h a (p = - y ;

c )(E) z = a + b j ,h a cp = -240° és r = 5; d)(E) z = a + b j ,h a (p =

és r = 17 .

1.3. Műveletek különféle alakú komplex számokkal 1.3.1. Végezze el a kijelölt műveletet, és az eredményt adja meg trigono­ metrikus alakban! a)(M )z = (2 + 9 j)-h (4 -3 j); b)(E) z = ( - 7 - 4 j ) - ( l - 4 j ) ; c)(E) z = ( - l + 3 j) + ( 3 - 5 j) ;

d)(M) z = (-3 V 3 + 3 j)(V3 - j);

e)(V) z = (-2 V 3 -3 j)(-2 + V3j); f )(M )z = (2 V 3 -2j)(-V 3+ V 3j); g)(E) z = (3 + 2 j ) ( - 4 - j ) ;

h)(V) z = (-2 + 2 ^3 j)';

i)(E) z = (-2 V 3 + 2 V 3 j)';

j) (V) z =

k )(E )z = - ^ ^ ; -V 2 + V 2 j’

l)(E )z = n)ÍE)

-2 V ^H -2 j ’

( 2 '2 j ) - ( 7 - 3 j ) . (-3 + 7 j ) - ( - 5 + 9 j ) ’

, - 2 V 3 -2 V 3 j 1+ V3j •

KVK-1190 1.3.2. Végezze el a kijelölt műveletet, és az eredményt adja meg algebrai alakban! a)(M) z = (2(cos37° + jsin37°))(3(cosll3° + js in ll3 ° )); b)(E) z = (VS (cos 108° + j sin 108°))(V2 (cos 72° + j sin 72°)); c)(V) z = (5(cosl69° + jsinl69°))(0,3(cos(-199°) + js in (-199°))); d)(E) z = z ,z 2 ,h a \ \ 25 n 25 Ti COS + jsin Z2 = Vs (cos 240° + j sin 240°); 6(cosl78° + jsin 178°) e) (M) z = ---------------------------- ; 2 (cos 133° + jsin 133°) _ V2(cos336° + js in 336°), V8(cosl26° + jsinl26°) ’ _

3 ^ ( c o s ( - i 7 ”) + i s m ( , - 3 r ) ) ,

„

V6(cos(-127°) + js in (-127°)) ’ 4,28(cos(-257°) + jsin(-257°)) l,07(cos323° + jsin 323°)

1.3.3. Végezze el a kijelölt műveletet, és az eredményt adja meg algebrai alakban! a)(M) z = (3(cosl5° + jsin l5 °))^ b)(E) z = (2 (cos45° + js in 45°))^; c)(E) z = (2(cosl35° + jsinl35°))''; d)(E) z = (cos(-3°) + jsin (-3 °))‘^ e)(M) z = ^ 2 7 (cos 180° + jsin 180°); Í)(E) z = Vl6(cosl20° + jsinl20°); g)(E) z = ^7,83(cos66° + js in 66°); h)(V) z = (cos(-60°) + jsin(-60°))‘l .

KVK-1190 1.3.4. Végezze el a kijelölt műveletet, és az eredményt adja meg algebrai alakban! í . 71 ■IIA Jt -^1 b)(E) z = 1,25 e a)(M) z = "Jt

c)(V) z = 3 e “'3 V /

d)(E) z =

e)(M) z = ^ 2 V 2 e j ’' ;

f)(E) z = V81ej^" .

1.4, Vegyes feladatok 1.4.1. Végezze el a kijelölt műveleteket, és az eredményt adja meg algeb­ rai és trigonometrikus alakban is! j((6 +

5j ) - ( 6

+

3j))

1+

1- J

-

(l + j )

e)(E) z =

.

0-------(E ) z =

(-l-j)(3 -3 j)^ ’ gXV, z - M 1+ J i) (E) z =

l í l M +J

+J

6- j

;

j

1+ J

4 + 2 - j; V 3 -j

h )(E )z = ^

+J

; -

3j

: + 2 -j.

1.4.2. Végezze el a kijelölt műveletet, és az eredményt adja meg algebrai alakban! 3

3V3 .

a)(M)z = V ^ ;

b)(V) z =

c)(V) z = V-5,47-10-^ ;

81 81 - V 3 . d)(E) z = ^ - y + — j;

e)(E) z = ^ ( 4 - 4 j ) ^

0 (E ) z = ^ - 1 6 ^ 3 + 1 6 j ;

8

-j;

KVK-1190

1.4.3. Adja meg az alábbi komplex számokat algebrai és trigonometrikus alakban is! a) (M) z =

Z3, ha Zl J z, = 2 e ^ , Z2 =2a/3(cos90° +jsin90°) és Z3 = - j ; .5 71

b)(V) z =

Z3, ha Zl . 7t

z, =1 + V3 j , Z2 = 2 V3 (cos270°+ js in 270°) és Z3 l+~ c)(V) z = ---- ^ ( z i - z 2),h a 1

-

—

Z2 z, = 2 V2 (cosl35° + jsinl35°) és Zj = 2 - 2 j ; „)(E) z = í l < í ^ , h a Z2Z3 z, =14e'' ^ , Zj = - 5 + V3 j és Z3 =1 + SV3 j; z, Z2 Z3 e)(E) z = --------- ---------------,h a Zj Z2 + Z3 + Z2 Z3 ■Jl

42 .

- ji

-i\ .

V2

V2 .

Zj +Z2 +Z3 . 71 Zj = 3 e''^, Z2 = - V 3 + j és Z3 = 2 (cos30° + js in 30°);

10

;

KVK-1190 g)(E) z = ^ i^ 2 _ ± ^ ,h a Z,Z2 - Z 3 Zj = 2 (cos300°+ jsin 300°), Zj =1 + V3 j és Z3 = 4 e ^ ; 2

.71

h)(E) -L^—---- ha z, =

. 3 ti

és Z2 = 3e^ 2

Z1 - Z 2

1.4.4. Adja meg az alábbi komplex számokat algebrai és trigonometrikus alakban is! a)(M) z ^ ^Zi (Z2 +Z3) , ha z, =2e^", Z2 = 4 (cos 90° + j sin 90°) és Z3 = 4 + 4 j ; b)(M )z = ^

Zi + Z 2

,h a

j-

\Fl

z, = 2 a/2 ( cos90° + jsin 9 0 °), Zj =46^"^ és Zj = ------ ; 8 c)(E) z = ^

^ ,h a Z2 + Z 3

71

. . 71

2

■’

COS— + i s m —

Z, = - 2 yÍ2 , Z2 =

4 V2 d)(E) z = ^z, Z2 ’ , ha Z[ =

2

es Z3 = — + j 8 8

í ) és Zj = 8V3 e'' ® ;

VZ1Z2 +Z3 ■5 ti

z, =2e^ ^ , Z2 =1 + V3j és Z3 = 4 ( cos 270° + j sin 270°); f)(E) z = 4 y

Z, + ( Z j + Z 3 ) z

3 — - + Z3, ha z, - Z 2 + z

Z[ = l + 2 j, Z2 = 2 - j és Z3 = l - j .

11

KVK-1190 1.4.5. Oldja meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán, és a gyököket adja meg algebrai alakban! Q ÍÖ a ) ( M ) z ^ - ( l + V3j) = 0; b)(V) 3 / , ; z^(3 + 3j) c)(E) ^ + (2 -2 V 3 j)2 e ^ ’'= 0 ; d)(E) z " - ^ i - ^ = 0 ,h a Z3 z, = - V 3 - j , Z2 = Vl2 (cosl20° + js in l20°) és Zj = 2 j. 1.4.6. Oldja meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán, és a gyököket adja meg exponenciális alakban! a)(M) z ' - 2 z + 4 = 0; b)(E) 4 z ' - 5 z + 25 = 0; c)(V) z ^ 6 z ' +36 = 0; 1.4.7. Jelentsen R,

d)(E) z '+ 9 z = 0.

és X l mindegyike egy-egy tetszőleges, pozitív

valós számot. Határozza meg az alábbiakban megadott, z^ komp­ lex számok valós és képzetes részét!

é r R

jx ,

1.4.8.(V) Jelentsen R, X^ és X^ mindegyike egy-egy olyan paramétert, amelyek csak pozitív valós számokat vehetnek fel értékül. Adott X(, és X l esetén, hogyan válasszuk meg R értékét, hogy a 1 Zo =-^ ------ j— + JX l r

“ P ^

komplex szám képzetes része nulla legyen? Milyen feltételt kell teljesíteniük X^, és X^ értékeinek ebben az esetben?

12

KVK-1190

2. LINEÁRIS ALGEBRA 2.1. Mátrixok 2.1.1. Adottak az alábbi mátrixok: a* = 2 - 1 1 5 3], b* = 0 1 0 01 ^

0‘

'2

- 3

A= 1

2

-1

0

1

5

■-3

-1

D=

0 -2

'1

0 0‘

B = 0 -2 ■

0

'0

0

0 0‘

c = 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0‘ 1 - 4 5 , E= 0 1 0 3 7 6 0 0 1 2 4

'1

a)(E) Határozza meg az a*, B és D mátrixok típusát és a D mátrix di2, Ó23 és d32 elemeit! b)(E) Milyen speciális mátrixokat talál a fenti mátrixok között? c) (E) írja fel a b*, B és D mátrixok transzponált]át! 2.1.2. Döntse el, hogy a mátrixokban szereplő a, b, c, d, f valós változók mely értéke esetén lesznek a mátrixok egyenlöek (e az Euler-féle szám)! a b In Ve sin 30° a)(M) A = B= c -1 logsl -1

b)(E) A =

0

a tg^

0

arctgl

B =

log^4

b

0

c

0

d

13

KVK-1190 I n e ^ -ln — cos480° e c)(E) A = sin(-300°)

0

a

b

B= c

d

2 -1

0

f

3

arccosO

2.1.3. Adottak a következő mátrixok (j a képzetes egység, e az Euler-féle szám)! '2 -1 3‘ ■-1 2 0' A= B= 0 5 1 1 -1 1

C=

2e 2

cosO

In 4

sinO

3 (cos 180° + j sin 180°)

Végezze el az alábbi műveleteket! a) (E) A - 3B; b)(V) A - B + 2C. 2.1.4. Számítsa ki az alábbi skaláris szorzatok értékét! a)(E) a * b , h a a* = [l - 3 2 O], b* = [3 1 0 1 b)(E) c * d , ha c* = [2 -1 6 0 2],d* = [ - l 2 1 - 1 3 2.1.5. Adottak a következő mátrixok: ’l

-2

3'

A= 6

4

0

2

-1

1

'1

0 2

1 0 E= 0

0=

1

-f

B= 5

2

0

1

3

-1

4

2

Számítsa ki az alábbi szorzatokat! a)(E) A E ; b)(E) BO ;

14

1 0

0 0

'0

0

c)(M) AB.

0 0’

0 0 0 0 0

0

_0 0

0

KVK-1190 2.1.6. Adottak a következő mátrixok: 0 '2 1 - 1 ;l

r

3

-1

0

2

A=

2

-1

0

1

-1

0

2

1

1 0 0

B=

,

1_

_5

3 0’

'5 - 2

a* = 2 4 6 5 Végezze el a kijelölt szorzásokat! a)(E) a * A ; b)(M) Aa ; d)(M )D B ; e)(E) AC. D=

1

,

'2

-1

0'

1

2

1

3

-1

2

c=

1^

0

-3

1

1_

1 \ .

c)(E) AB;

2.1.7. Számítsa ki az AB és BA szorzatot és vizsgálja meg, hogy egyenlőek-e! ■3 - f '1 2 - í A= B= 0 2 _3 2 4_ ’ 1 -1 ■-1 b)(E) A =

c)(E) A =

0

5 3 B = -2 8 _ 3

f 1 1 f -■2 1 2 1 2_ —

1

3

-4

2

0

5

-1

2

2

3 -4

1

,

2

—

-2 -2

■3 2

-5

0'

B= 1 4 2 2

-1

3

4

-3_

2.1.8.Számítsa ki az AA* szorzatot és állapítsa meg, hogy milyen sza­ bályosság van az eredmény mátrixban!

15

KVK-1190 ■-2

5

3

-1

a)(E) A =

2

r

4 ;

b)(E) A =

0 7

3

-1

1

0

2

4

1 5

-1

0 i 1

2.1.9. (M) Számítsa ki az AP és PA szorzatokat és állapítsa meg, hogy milyen kapcsolat van az eredmény mátrix és az A mátrix kö­ zött, ha 1 8 '0 1 0‘ 0' A = -3

5

-1

1 -2

2_

0 0

1

1 0

0_

2.2. Determinánsok 2.2.1. Számítsa ki az alábbi determinánsok értékét (j a képzetes egység, e az Euler-féle szám)! 3 2 j 1+ j b)(M) D = -5 4 2 -j -4 c)(M) D =

12

2

-3 ;

d)(M )D = 0 -■3 0 9 0 0 5

-1

1

5

10

0

-3 0

3

-1

2

e)(M) D = - 1 0

5

3

-4

-1 ; 2

0

1+ j f)(V )D =

j 1- j

0

1

j

0 1- j ; 1 ■j

cos450° + j •sin450° .71

g)(V) D =

16

•28

2

2 (cos 180° + j •sin 180°)

1+ j

•14

KVK-1190

h)(E) D =

4

-3

9

1

-2

7

-2

2

3

9

5

-1

1

3

4

2

;

i)(E )D =

1 2

-1

1

3

2

0

1

-3

1

2

5

2

0

4

6

2.2.2. Határozza meg, hogy mely valós vagy komplex x értékek esetén lesz az alábbi determinánsok értéke nulla (j a képzetes egység)! X 1 1 1 1 2 a)(V) D = 1 2 - x ' 2

c)(V) D =

3 1 1

1- j

b)(E) D = 1 X

2;

1

1

-j

1

1 X

-][

X

-][ .

1

i

2.2.3. (V) Igazolja, hogy az alábbi egyenlőség bármely valós x esetén teljesül! 1 + cosx 1 + sinx 1 1 - sinx

1 + cosx

1

1

1 = 1.

1

2.3. Lineáris egyenletrendszerek 2.3.1. Oldja meg Cramer-szabállyal az alábbi egyenletrendszereket! a)(M) b)(E) X i + 4 x 2 - 7 X 3 = - 7, X , + 2 X 2 + 3x j = 4 , x, + 6X2 - 10X3 = - 8,

X ,- X 2 - X 3 = 3,

3X [+ 2x 2 - X 3 = 9;

3 x ,- X 2 + 2X3 =5;

17

KVK-1190 c)(E) 2x

d)(E) 2 x i - X 3 = 1,

3 x 2 + 4 x 3 = 3,

i+

X , - 6 X 2 + 2 X 3 = - 1,

4x

,+3x2-8X3=

e)(E) 2x , + 3 X 4x

1;

, + 4 X 2 - X 3 = 1,

- X , +8X2+3X3 =

2;

f)(E) j-X 3=

5,

2x 2 + X 3 =

- X ,+

2x

3x

, - X 2 +2X3 = -

6,

X,-X3=

2x , + X

, -3 x 2 -2 X 3 = -8;

g)(V)

4,

1,

2 + 3 X 3 = - 1;

h)(V) 5Xi

-3X i - 2x 2 + X3 = 6, X, -

3x 2 +

2 x 3 = - 1,

x, +X 2 + 3X3 = 5;

+3X2 + 4 X 4 =

7,

5X2 + X3 + 6X4 =

30,

Xj + X 2 + X 4 =

7,

+2X2 +3X4 =

10.

4x ,

A megoldást a természetes számok halmazán keresse! 2.3.2. Számítsa ki Cramer-szabállyal a kijelölt ismeretlen értékét! a)(M) b)(E) X; + X 2 + X 3 + X 4 = 0, Xl + X 2 + 5 X 3 + 2 X 4 2x ,

-

3Xj

- 2 X 3 = 1,

2x,

- 2Xi + 3Xj + 6X3 - 6X4 = 1, - X , -X2 -5X3 -7X4 =

+X2 +3x3 + 2 x 4 = -

1, 3,

2X5+ 3X2 + 11X3 + 5X4 = 2, 0;

X, + X 2 + 3 X 3 + 4 x 4 = -

X4=?

3;

X, = ?

c)(E)

d)(E) X,+X2+X3+X4=

5,

X , + 2 X 2 - X 3 +4X4 = -

2x i 3x , + X

-

3x 2 - X 3

-5X4 = -

2 +2X3+11X4 =

2x ,

+ X 2 - 5 X 3 + X4 =

8,

3x 2 - 6 X 4 =

9,

2,

X,-

2,

2X2 - X 3 + 2 X 4 = -

0;

X,+4X2-7X3+6X4 =

X3=?

18

=

X2=?

5, 0;

KVK-1190 2.3.3. Oldja meg Cramer-szabállyal az alábbi egyenletrendszereket a komplex számok halmazán! a)(M) b)(E) - 2 j x i + (2 - j ) x 2 = 5 - 4 j, X, + 2 x 2 = 1 + j, (1 + j)xi - 5x 2 = - l l + 6j; c)(V) ( - l + j ) x , - X 2 = 0,

3xi + jx j = 2 - 3 j ; d)(E) x , + 2x 2 + 4x j =

Xi + X2 + j X 3 = 1, - j x , + (l + j)x 2 = -3 + j;

8,

Xi + jXj - X 3 = - j , X,

+(1 + j)x 2 + 2jx 3 = - 2 + 2j.

2.3.4. Oldja meg Gauss-módszerrel az alábbi inhomogén egyenletrend­ szereket! a)(E) b)(E) 5x, + X2 + 4X3 - 2X4 = 3, Xj + 2Xj - X3 = 0, -X , +X 2 +X 3 +X 4 = 6, 2xj - X2 + X3 = 5, - 8xj +2Xj - X 3 - X 4 = -3 , -X , + 3X2 - 4X3 = -5; X2 + 2X3 + 3X4 = 14; c)(M) X.+X2+2X3+3 x 4= 1,

d)(E) 2 x ,+ X 2 -5 X 3 + X 4 = 8,

Xj + 2X2 + 3X3 - X4 =-4,

X , - 3x 2 —6 X 4 =

3x, - X2 - X3 - 2x4 = -4,

2xj - X3 + 2X4 = -5,

2x, + 3x2 - X3 - X4 = -6; e)(V) X j- 8X2 + 9X3 = -3 2 , 2 x , - X j + 3X3 = -1 , X ,+

2 x 2 ~ X 3 = 12;

X, + 4X2 - 7X3 + 6X4 =

9, 0;

f)(E) 2 X ]-X 2 + 7 x 3 = 13, 9 x , + 4X2 - 8X3 = 5X [ + 6 X 2 - 2 2 X 3

= -

2, 14;

19

KVK-1190 g)(M)

h)(E)

X , - 3 x 2 + 2 X 3 - X4 =

1’

2x , - 3 x 2 + X3 + X4 =

6,

X 2 - X 3 + 2 X4 = - 1,

X[+ 2 x 2 - 4 x 3 =

4,

Xj - 2xj + X3 + X4 =

0,

Xj-X2+3x4=

0;

i) (M) 2x , - X 2 + 3 x 3 =

3x , - X 2 - 3 X 3 - X 4 = - 2, 13x , - 2x j - 1 6 x 3 =

j) (E) 1,

X,+X2+4x4=3,

2xj - 8X2 + 22X3 = -8,

X2 - X3 + 3x4 = 1,

3 x , + 2 X2 - 5 X3 =

,

X j - 2 x 2 + 3 X3 - 5 X 4 = 0 ,

7;

3 x j - X j + 4 X3 =5;

6

5xi+ X 2-2x3=

k)(V)

1) (E)

X, - X 2 + X 3 + X 4 = 1,

X j + 2 X2 + X4 + X5 = 7 ,

X2+2x3~X4=2,

X i - X 2 + X 3 - 2 X4 = 5 ,

2 x , +5X3=8,

X 2 + X 3 + X 4 +3 x5 =6,

x,-X 2+X 4=3;

2

m)(E)

X ( - X 3 - 2 X4 - 4 x j

= 2;

n)(E)

- 2 x , + 3 X 2 + 2 X3 - 2 X4 =

1,

X[+X2 +X3 - X 4 =

4,

4 Xi + 6 X 2 - 7 X 3 - 5 X 4 = - 2 ,

X, - X 2 + X 3 + X 4 =

8

2

x , + X 2 - 3 X 3 - X 4 = - 1;

o)(V)

,

3X[ + X 2 + 3 X 3 - X 4 = 1 6 ;

p)(E)

- X j + 2 X 2 + 4 X 3 + 2 X 4 = 7,

2 Xj + X 2 - X 3 + 3 X 4 = 13,

3xj - 2x 2 + 2X3 - 2X4 = 1,

X, - X 2 + 2X3 - X 4 = 1,

X , + 2 x 2 + 1 0 X3 + 2 X4 = 1 5 ,

3x,+X 2 +X4 =

- 2 X [ + 2 X2 + X 3 + 2 x 4 =

3;

írjon fel egy konkrét megöldást is!

20

4;

9,

X2-X3~X4=-5;

írjon fel két konkrét megol­ dást is!

KVK-1190 2.3.5. (M) Állapítsa meg, hogy a c valós paraméter mely értéke esetén van az alábbi egyenletrendszernek legalább egy megoldása és oldja meg ezen érték esetén! Xj + 2X2 - X 3 +X 4 = 2, 2 X[

+3X2 - 3 X 3 - 2 X 4 =

4,

- 3x, - Sxj + 4X3 + X4 = c. 2.3.6. Oldja meg Gauss-módszerrel az alábbi homogén egyenletrendsze­ reket! a)(M) b)(V) 2 x , + X2 - X3 = 0, X, - 2 x j - 4X3 + X4 - 3X5 = 0, X; + 2Xj = 0,

- Xj + X2 - 2X3 - 2x 4 - 2X5 = 0,

3xi +X 2 - X 3 = 0;

2x, - 5x 2 - H X 3 +X 4 - ll X j = 0;

c)(E)

d)(E) X,-

4x 2 +

2X3 =

0,

X1+X2+4X4=0,

2x i - 3 x 2 - X 3 - 5X4 = 0, 3X[

-

7x 2 + X 3

-5X4 =

X2 - X 3 + 3X4 = 0,

0,

X, -

X2 - X 3 - X 4 = 0;

2x 2 + 3 X 3

-5X 4 =

0,

3 x i - X 2 + 4X3 = 0;

e)(V) f)(E) 3X[ - X2 + X3 - X4 + 2X5 = 0, Xj + X2 + 2X3 - 3X4 = 0, X ,- 2 X 3 +X4+X5 =

0,

2X [ + 3 X 2 - X 3 + X 4

=

0,

- 2x, + 2X2 + 3X4 -X j = 0,

2x, - 2X2 - X 3 + 4X4 = 0,

3X2 - X 3 + 6X4 +Xj = 0;

Xj -4 x 2 “ 3x3 + 2X4 = 0;

g)(E) X, + X j - X 3 + X 4 - X 5 = 0 ,

2X[ +X 2 - 3X3 - X 4 +X 5 = 0, - 2xi - X2 - X3 + X4 - X5 =0;

h)(E) x, - 2X2 + 2X3 - X 4 + 2X5 = 0, 2x 2 - X 3 +X 4 = 0, Xj + 2X2 + X4 + 2X5 =0, X, + X 3 + 2 X 5 =

0.

21

KVK-1190

3. VEKTORGEOMETRIA 3.1. Alapfogalmak, alapműveletek 3.1.1. Adja meg az alábbi vektorok koordinátáit és számítsa ki abszolút értéküket! a ) ( E ) i ,j ,k ; b)(M) a = 8 i- 4j + k ; c)(E) b = -2 i + 3k. 3.1.2. Adottak az a(2; -1; 0), b(4; 6; -2), c(3; -3; 5) vektorok. Számítsa ki az alábbi vektorok koordinátáit! a)(E) V, = a - b , V2 = b - a ; b)(E) V 3 = 2 a -3 b + c; c)(E) V4 = - -1.b- + -1c . 2 3 3.1.3. Adottak az A (-l; 2; 1), B(0; 1; 5), C(2; 1; 3) pontok, írja fel a kijelölt vektorokat és számítsa ki a hosszukat! a )(M )A C é s C A ;

b)(E) AB;

c )(E )^ .

3.1.4. Döntse el, hogy párhuzamosak-e az alábbi vektorok! a)(M) a(-2;3;l), b(0;0;0); b)(V) c(6;-12;18), d(-4;8;-12); c)(E) / i ; 2 \J

JJ

;

f(-2;-12;3).

3.1.5. Döntse el, hogy egy egyenesen vannak-e az alábbi pontok! a)(E) A (l; 4; 6), B(-3; 2; 2), C(5; 6; 10); b)(E) A(2; 1;-1), B(3; 0; 1), C (2 ;-l;3 ). 3.1.6. írja fel az adott vektorok irányába mutató egységvektort! a)(M) a(-5; VÍT; s); b)(E) b(-3; 4; 0); c)(E) c (-l; -3; 2).

22

KVK-1190 3.1.7.(V) Számítsa ki az A (-l; -2; 4), B(-4; -2; 0), C(3; -2; 1) csúcs­ pontú háromszög kerületét! Milyen nevezetes háromszög az ABC háromszög? 3.1.8.(V) Adott az A(8; 2; -1), B(-3; 4; 1), C(2; -4; 0) csúcspontú há­ romszög. Állapítsa meg a szögek kiszámítása nélkül, hogy a háromszög melyik csúcsánál van a legnagyobb belső szöge! 3.1.9. (V) Egy háromszög csúcspontjai: A(3; -8; -2), B(-5; -2; 8), C(-3; -16; 8). Mutassa meg, hogy a háromszög szabályos! 3.1.10. Egy háromszög két csúcspontja A (l; 2; -1), B(-2; 1; 3), súlypont­ ja S ( l;l;- 1 ) . a)(E) Határozza meg a C csúcspont koordinátáit! b)(E) Számítsa ki az A csúcsból induló súlyvonal hosszát!

3.2. Vektorok szorzása 3.2.1. Számítsa ki az alábbi vektorok skaláris szorzatát és a hajlásszög kiszámítása nélkül döntse el, hogy a vektorpárok hajlásszöge hegyes-, derék- vagy tompaszög! a)(M) a = 3i + 2 j - 4 k , b = -2 i + 5j + 3k; b)(E) c(-l;2;0), d(-3;4;2); í c)(E) e l ; - 2 ; i f ( - 2 ;- 3 ;- 8 ) . 3.2.2. (V) Egy háromszög csúcspontjai: A (-l; -2; 4), B(x; -2; 0), C(3; -2; 1). Határozza meg x értékét úgy, hogy a háromszög A csúcsánál derékszög legyen! 3.2.3. Határozza meg az alábbi vektorok hajlásszögét! a ) ( M ) a ( - l;l;0 ) , b ( 2 ;- l;2 ); b)(E) c (2 ;3 ;-l), d (l;4 ;3 ). 3.2.4. Számítsa ki az alábbi csúcspontú háromszögek belső szögeit és a háromszög területét!

23

KVK-1190 a)(E) A(4; 1; 1), b)(V) A (l;3 ;2 ),

B(-2; -1; 5), C(0; 2; 6); B (l;5 ;0 ), C (-2 ;3 ;5 ).

3.2.5.(V) Mutassa meg, hogy az a(10; -5; 10), b (-l 1; -2; 10), c(-2; -14; -5) vektorok egy kockát feszítenek ki! 3.2.6. Számítsa ki az alábbi vektoriális szorzatokat! a ) ( M ) a x b ,h a a (-3 ;2 ;-^ ), b (3 ;l;5 ); b)(E) d x c ,h a c(3 ;5 ;-4 ), d (2 ;-1 0 ;-l); c)(E) e x f , h a e (2 ;0 ;-l), f ( - 3 ;- l;2 ) . 3.2.7.(E) Számítsa ki a(b xc)-t, ha a (2 ;-3; 2), b (l; 1; 1), c(-2; 0;-2)! 3.2.8. (M) Számítsa ki az A (l; 5; 6), B(-2; -1; 0), C(2; 2; 1) csúcspontú háromszög területét! 3.2.9.Egy háromszög csúcspontjai: A (l; 0; 2), B(2; 1; 2), C(3; 1; 4). a)(V) Mekkora a háromszög legkisebb és legnagyobb szögének öszszege? b)(V) Mekkora a háromszög területe? 3.2.10. Egy háromszög csúcspontjai: A(2; 1; 3), B(3; 1; X, + 3), C (l;2 ; 3). a)(E) Mekkora a X értéke, ha a háromszög A csúcsánál lévő szöge 135°? b)(E) Számítsa ki a háromszög területét, ha X, = 0! 3.2.11. Egy háromszög csúcspontjai: A(3; 1; 1), B(2; 1; -1), C(2; 0; 1). a)(M) Döntse el, hogy a háromszög tompaszögű-e! b)(M) Számítsa ki az A csúcsból induló magasság hosszát! 3.2.12. Egy paralelogramma csúcspontjai: A(3; -8; -2), B (l; 6; -2), C (-5 ;-2 ;8 ),D (-3 ;-1 6 ;8 ). a)(E) Számítsa ki a paralelogramma szögeit! b)(E) Számítsa ki a paralelogramma területét!

24

KVK-1190 3.2.13.(E)Egy háromszög csúcspontjai: A (l; 2; -2), B(2; 3; 2), C(2; 1; -2). Számítsa ki a háromszög területét! Legyen a há­ romszög BC oldalához tartozó magasságának talppontja T! Számolja ki a BT szakasz hosszát!

3.3. Vektorok geometriai alkalmazása 3.3.1. írja fel a P pontra illeszkedő, v vektorral párhuzamos egyenes pa­ raméteres egyenletrendszerét! Adjon meg még egy pontot az egye­ nesen! a)(E) P (-2 ;5 ;l), v (-l;2 ;3 ); b)(E) P(3;5;-2), v(-4; 3; 12). 3.3.2. írja fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenletrendszerét, a)(E) amely átmegy az A(3; 1; 2) és B (l; -2; 1) pontokon! b)(V) amely illeszkedik a P(6; -3; 4) pontra és merőleges az a(-2; 3; 1) és b(2; 0; 1) vektorokra! 3.3.3. (E) írja fel az origóra illeszkedő és az e egyenessel párhuzamos egyenes paraméteres egyenletrendszerét, ha e : x = 3 + 2t,

y = -t,

Döntse el, hogy az A

z = - + 2 t!

1

1 O és B(2; 6 ’3

1) pontok ezen

az egyenesen vannak-e! 3.3.4.Döntse el, hogy párhuzamos-e az ei és 62 egyenes! a )(M )e i:x - l + 2t, y 2 - 3 t, z -3 + 4 t, e2: x = - t ,

y = l + |- t ,

b)(E) ei: x = ^ + 2t, e2: x = 3 - 3 t ,

z = l - 2t;

y = -4 t,

z = 3t,

y = 6t,

z = -t.

3.3.5. írja fel a P pontra illeszkedő és az n vektorra merőleges sík egyen­ letét! Döntse el, hogy a sík illeszkedik-e az A pontra! 25

KVK-1190 a)(E) P (-2 ;l;3 ), b)(E) P(2; 0; -5),

n ( l; - l ; 2 ) , n(-3; 2; 1),

A (1;0;1); A(0; -1; -8).

3.3.6. írja fel az A, B, C pontok által meghatározott sík egyenletét! Adjon meg még egy pontot a síkban! a )(M )A ( l;0 ;-l) , B(-2; 1; 1), C (0 ;-l;2 ); b)(E) A(-2; 3; 5), B(3; 2; 7), C(-3; 6; -2). 3.3.7. (E) írja fel a P(-3; 2; 5) pontra illeszkedő és az e egyenesre merő­ leges sík egyenletét, ha e: X = 3 - 5 t , y = 4, z = 2 + 4t ! 3.3.8.(V) írja fel az A (-l; 2; 3), B(2; -2; 1), C(-4; 5; 3) pontok által meghatározott síkra merőleges és az AB szakasz felezőpontján átmenő egyenes paraméteres egyenletrendszerét! 3.3.9. Állapítsa meg az e egyenes és az S sík kölcsönös helyzetét! a)(M )e: x = - l + 2t, y = -5 + 3t, z = -6 + 4t, S: x - y + z - l = 0; b)(V) e: x = l + t, y = t, z = - l + 3t, S: 5x + y - 2 z = 0 ; c) (V) e: X = 2 + 1, y = t, z = 5 + 3t, S: 5x + y - 2z = 0. 3.3.10. (M) írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely illeszkedik a P(-2; 3; 1) pontra és párhuzamos az Si és S2 síkokkal, ha S, : 2 x - 4 y + 6 z - 5 = 0, Sj :3x + 2 z - 3 = 0 ! 3.3.11. (E) íija fel a P(0; 2; -5) pontra illeszkedő sík egyenletét, amely párhuzamos az alábbi ei és e2 egyenesekkel! e i:x = - l + 3t, y = l + 2t, z = l - 4 t ; 1 3 e2: x = —+ —t, y = 2 - t , z = 2t. 2 2 ^ 3.3.12. Egy háromszög csúcspontjai: A (l; 1; 2), B(0; 2; 0), C(0; 1; 1). a)(E) írja fel a háromszög A csúcsán átmenő és a háromszög síkjá­ ra merőleges egyenes paraméteres egyenletrendszerét! b)(E) Számítsa ki a háromszög területét!

26

KVK-1190 3.3.13. Egy háromszög csúcspontjai: A(l; 2; -1), B(0; 3; 3), C (2;2;-3). a)(E) Bizonyítsa be, hogy a háromszögnek van tompaszöge! b)(E) írja fel a BC oldalhoz tartozó súlyvonal egyenesének paramé­ teres egyenletrendszerét! c) (E) írja fel a háromszög síkjának egyenletét! d)(E) Számolja ki a háromszög területét! 3.3.14. (V) Határozza meg az x + y - 2z - 1 = 0 és a 2x + 2y - 4z + 6 = 0 síkoktól egyenlő távolságra fekvő sík egyenletét! 3.3.15. (E) írja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik a P(2; 7; -3) pontra és az e egyenesre, ha e : x = - l + 2t, y = 4 + t, z = 2 - 3 t . 3.3.16. (M) Adott az ABCD paralelogramma három csúcspontja: A(3; -8; -2), B (l; 6; -2), C(-5; -2; 8). írja fel a BD átló paraméteres egyenletrendszerét!

27

KVK-1190

4.EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 4.1. Sorozatok 4.1.1.írja fel az alábbi sorozatok első hat elemét! Bizonyítás nélkül álla­ pítsa meg, hogyan viselkednek a sorozatok monotonitás és konver­ gencia szempontjából! / 1 a)(E) a „ = 3 + b)(M) a„ = 10 2-] 0, c)(E) a „ = ( - i r '- V i i ‘;

d)(E) a„ =

ha n páros,

1

e)(E) a „ = |7 - 2 n |;

ha n páratlan; n f)(E ) a„ =10000 - 0 0 )";

. f 2nji'^ g)(M) a„ =sm

h)(E) a„ = 2 k=l V

2

120 i) (M) a„ = ---- , a h o ln != l-2 -...-n . n! 4.1.2. írja fel az alábbi sorozatok első négy elemét! Számítsa ki a határértéküket határértékszámítási szabályok alkalmazásával! a) (M) a„ = n ' - lOn^ + 5 ; c)(E) a „ = .

n^+1 5n^ - n

b) (V) a„ = d)(V ) a„ =

ha n > 2;

1-n^ 1

V n + 1 - Vn

4.1.3. Állapítsa meg, hogy az alábbi sorozatok esetében hányadik elemtől kezdve teljesül, hogy az elemeknek a határértéktől való eltérése ki­ sebb a megadott s értéknél! a)(E)

28

e = 0,01;

b ) ( M ) a „ = ^ í ^ , s = 0,l; 3 n -l

KVK-1190 c)(V) a„ = — ------ , £ = 0,1. "

2"+100

4.2. Egyváltozós valós függvények elemi vizsgálata 4.2.1. Adja meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, ame­ lyen az alábbi függvények értelmezhetők! 1 x+2 a)(E) f(x) = ^ --------b)(E) f(x) = x^-x X -x -2 c) (V) f(x) =

;

d)(E) f (X) =

;

X

e)(V) f(x )=

^ ; 1 - vx

0 (E ) f(x) = log2x";

g)(V) f(x) = lgcosx;

h)(M) f(x) = ln

^1 + x^ vl-Xy

i)(E ) f(x) = 2 ' -

j)(E ) f(x)=

x -1

4.2.2. Képezze a megadott f(x) és g(x) függvényekből az f(g(x)) és g(f(x)) összetett függvényeket, és állapítsa meg ezek értelmezési tartomá­ nyát! (E fejezet további részében és a következő fejezetben vala­ mely f(x) egyváltozós valós függvény értelmezési tartományán, hacsak másképp nincs megadva, a valós számoknak azt a legbő­ vebb részhalmazát értjük, amelyen a függvény értelmezhető.) a)(E) f(x) = sinx, g(x) = Vx ; b)(E) f(x) = e% g(x) = - x ; c)(V) f(x) = lgx, g(x) = lg x ;

d)(E) f(x) = tgx, g(x) = ^ - x ;

e)(M )f(x ) = ^ i = , g(x) = l ; V l-x'

X

f) (E) f(x) = ^ , g(x) = 3 x - l . x"

29

KVK-1190 4.2.3.Adjon meg az alábbi f(x) összetett függvényekhez egy h(x) külső és egy g(x) belső függvényt, hogy f(x) = h(g(x)) teljesüljön! Ké­ pezze fordított sorrendben is az összetételt! a)(E) f(x)==cosx^; b)(E) f(x) = ; c)(E) f(x) = l n - ;

d)(E) f(x) = arctglO ^

X

f)(E) f(x) = sh (-x ).

e)(E) f(x) = e^^

4.2.4. Vizsgálja meg az alábbi füg; ^vényeket paritás szempontjából! a)(M) f(x) = 0, D ,= - 1 ; 1

;

b)(E) f(x) = - l ; 3x 4 x ^ -1 ’

c)(E) f(x) = (x ^ + l)^

d)(M) f(x) =

e)(M) f(x) = - ^ x^+1

f)(E) f(x) = e 2 ;

g)(E) f(x) =

e^-e“^

e’' + e “ 1 i)(E ) f(x) = sm X + cos X j) (M) f(x) = - x + l , haO<

h)(M) f(x) = In

Df =

^e+x e -x

n

4’4 X < 2, ésf(x + 2) = f(x ), ha x

e

R;

k)(E) f(x) = -3|x|, h a -7 i< x < 7 r, é sf(x + 27i) = f (x ),h a x e R . 4.2.5. Döntse el, hogy a valós számoknak mely részhalmazára képezi le az alábbi hozzárendelés a valós számoknak megadott A, B illetve C részhalmazait! a)(M) f(x) = x \ A = N, B = ]-l;l[, C = R; b)(E) f(x) = sinx, c) (E) f(x) = 2x -1 , ...

1 X

30

A = {k7i|k€Z}, B =

K n , C = R; 2 2

A = N, B = [0;+oo[, C = R " ; 1 n e N s B = ^1;0;, n

KVK-1190 4.2.6.Ábrázolja a megadott függvényeket, és jellemezze a következő szempontok szerint: értékkészlet, korlátosság, tengelymetszetek, monotonitás, konvexitás! Állapítsa meg a függvények határértékeit a zárójelben megadott helyeken! a) (E) f (x) = -x^ + 6x - 5, 0 < x < 5, (0 - bán jobbról, 5 - ben balról); G ^ \\3i X. ^ 0 b)(E) f(x) = 0 , 4,

ha

( - 00-ben, 0-ban, + 00-ben);

0 < X < 71,

c) (M) f (x) = < 4 é sf(x + 27i) = f(x), hax 6 R, ---- x + 8, ha7i:< x< 2 k , ,

n

(0 - bán balról és jobbról, + oo - ben). 4.2.7. Számítsa ki az alábbi határértékeket! a)(M) lim (-2x^ + x), lim (-2x^ + x), V __^ _rr\

I

lim (-2x^ + x );

VX^+OO _

3

b)(E) lim

10

x^+x^

c)(M) lim x^o i - 2 x ’ lim

lim

x^+x^

lim

i-2 x ’

2

2

3 -4 x d)(E) h m --------, 2+x

x^+oo

X +x'

lim In

x^+x^ l-2 x ’

3 -4 x limu -------- , m 2+ x

3 -4 x lim -------- , mn 2+ x

1

lim e ’‘,

lim e ''.

x^+oo

x^O

lim e"";

x^O^

1

f) (V) lim — , x-^-oo ^

-10 0 x ^-1 0 0 0

+x^ l-2x

1 1

10

lim

l-2 x ’

3 -4 x h m -------- , 2+ x

i

e)(M) lim e ’^,

x^-l+

lim

-lOOx'-lOOO

lim — ,

x^+oo ^

lim

e"

x->0^ X

ri+ x ^ r i+ x ^ , lim In x^r [l-Xj ll-x j

31

KVK-1190 1+ x

lim In

1- X

x ^ -c c

1+ x

lim In

1-x

,

lim In

x^+oo

lim In x -> r

Ig^X^, i) (E) lim-^--x^O

,

1+ x 1-x 1+ x 1-x

,

lim In

,

lim In

x^r

1+ x 1 -x 1+ x 1 -x

Ig^x^

h m -2-----

X

X

4.2.8.írja fel az alábbi függvények értelmezési tartományát intervallu­ mok egyesítéseként, majd számoljon határértéket ezen intervallu­ mok végpontjaiban a megfelelő oldalról! a)(E) f(x) = a x ^ + b x ^ + c x + d, ahol a ,b ,c ,d € R és a > 0 ; b)(E) f(x) =

2x

1-x^ ^

c)(V) f(x) =

(x + 1)^ x+1

d)(E) f(x) = ln ^x;

e)(E) f(x) =

f) (M) f(x) = a rc tg -;

g)(E) f(x) = e”'’\ ahol p s R

;

X

J_

h)(E) f(x) = e ^ ;

i) (V) f(x) = arccosx •log^ x .

4.2.9.Döntse el, hogy folytonosak-e az alábbi függvények! í 0, ha X < 0, a)(M) f(x) = +oo

1) (M) lim x^O

^ 1 sinx

P X

5.2.4. Számítsa ki az alábbi függvények x-szerinti első és második deriváltfíiggvényeinek zérushelyeit! ,3 1 a)(E) f(x) = . b)(E) f(x) = e x+2 2x c)(M) f(x) = x - ( l - l n x )'; d)(E) f(x) = V ? + e) (V) f(x) =

38

•sin X.

KVK-1190 5.2.5. Végezzen teljes fuggvényelemzést az alábbi függvényeken! a)(E) f(x) = x ( x - 2 ) ^

b)(M) í ( x ) = { x ^ - l j - ,

c)(E) f(x) = - i ^ ; X +1

d)(V) f(x )=

e)(E) f(x) = g)(M) f(x) =

2x'

(x + 1)^

2x^+3’

f)(E ) f(x) = _ i L (l-x )^

(x-1)^ . 3x 2 ’

h)(E) f(x) = - ^ ; x -1

,.3

i)(E ) f(x) = x -e '- ^

j) (M) f(x) = x-e

k )(M )f(x )=

1)(E) f(x) = e'^ ;

^ e ^ -(2 -x )

m)(E) f(x) = ln ^x; o)(M) f(x) =

;

n)(E) f(x) = ln (x ^ -4 x + 8);

1

p)(V) f(x) =

x-lnx

X

1 -ln x ’

q)(M) f(x) = ( 3 - x ) V ^ ;

r)(E) f(x) =

s)(V) f(x) = ( 1 5 x - 7 ) V ^ ;

t)(E ) f(x) =

X

x+2 , ^|x + l ’

u)(E) f(x) = Vx-InVx . 5.2.6. Adj a meg az alábbi függvények megadott intervallumon felvett legnagyobb illetve legkisebb értékét! a)(E)

=

(1-x)^

[-2;0];

c)(M) f(x )= = x -(l-ln x ), d)(V) f(x ) =

1

b)(E) f(x) = x ^ -e^ \

[-2 ;!];

1 -;e 0;+ oo

Vx^ - 2 x + 5

39

KVK-1190 5.2.7.Állapítsa meg az alábbi függvények értékkészletét! a)(E) f(x) = 4 x ^ + - , b)(E) f(x) = e S

D f= ]0 ;+ a ,[;

D ,= ]0; + ^ [ ;

c)(M) f(x) = ln^ x - ln x ^ , D f= [l; + oo[; d)(E) f(x) = ln(sinx + cosx), e)(V) f(x) = arctgV x-1,

= = [ 1;4].

5.2.8. (M) Az egységsugarú körbe írt téglalapok közül melyiknek maxi­ mális a területe? 5.2.9. (V) Az ábrán látható kapcsolási rajzon a belső ellenállás R értéke rögzített, a külső ellenállás r értéke változtatható. Az utóbbinak mely értéke esetén legnagyobb a felvett teljesítménye? U,R

5.2.10. Egy termék költségfüggvénye C(x) = x^ - 15x^ + 76x + 2 5 , árbe­ vételi függvénye R(x) = 55x - 3x^ ezer pénzegységben, ahol x az előállított termék mennyiségét jelöli ezer tonnában. a)(V) íija fel a határprofit függvényt! b)(M) Számítsa ki, mennyi többletköltséget okoz a termelés ezer ton­ nával való növelése 2000 tonnás, illetve 4000 tonnás termelés esetén! c) (V) Milyen mennyiségű termelés esetén lesz maximális a profit?

40

KVK-1190 5.2.11. (E) Egy termék árbevételi függvénye R(x) = x •

500 - ^ , ahol

X az előállított termék darabszámát jelöli. Milyen termékszám esetén lesz maximális az árbevétel? 5.2.12. Egy termék költségfüggvénye C(x) = 100 + 601n(2x^-2x + l), ahol x az előállított termék darabszámát jelöli ezer egységben. a)(E) Határozza meg a fix költség értékét! b)(E) Milyen termékszám esetén lesz minimális a költség?

41

KVK-1190

6.EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁROZATLAN INTEGRÁLJAI 6.1. Alapintegrálokkal megoldható feladatok 6.1.1. Határozza meg a következő integrálokat! a)(M) (Sx' + 2x + l)d x ; b)(E) dx;

e)(V)

d)(E)

(sx^ - 2 ^ / x - X

3 x -V x + x

''jd x ;

dx;

4 - ^

e)(M)

(le"" -3 sin x ) d x ;

f)(E)

g)(E)

(4 c h x -3 s h x )d x ;

h)(V)

3 + x^

dx;

j)(V )

1 + x'

1+ x '

k)(E)

dx;

1)(E)

1-x^

m)(M)

■dx;

n)(E)

V l-x

r)(V)

2^ - 1 - 5 ^

-dx;

3^^

i)(M )

o)(M)

(3-10’' + 5 co sx )d x ;

<

■tg^x d x ; 2 - s h 'x

dx;

P)(E)

2x^ +3x^ + 2 x + 4 1+ x'

■dx; 1 -x

2 -3 V l-x "

dx ;

x" - 1

3 + sin^x sin^x

dx;

s)(E)

cth^x d x ;

u)(E)

3sh—eh—d x . 2 2

ch^x

t) (V)

42

X

X

sin—cos—d x ; J 2 2

dx;

KVK-1190

6.2.

|f(a x + b)dx (a, b e R, a ^ O) típu SÚ f e la d a t o k

6.2.1. Határozza meg a következő integrálokat! a)(M)

(l-x f’ x' -3x + 4 -KM ) J V ^ d x ; •' l - 2 x

x+3 dx; x+2

c)(V)

V2x + 3 -

e)(E)

dx; 1

g)(V)

l + 4x^ 1

h)(V)

16 + x^

•+

1 9 + 25x"

j) (E)

' 2 + x^

m)(E) j

cos 3x dx;

dx ; V9-X'

2 1 6 -9 x ^

^ 4 _ 49x^

2

1

l-3x^

dx

k)(V)

5

3 4-x^

dx

f)(E )

9x^-1

i)(E )

dx

b)(E)

+ l)^” d x ;

X +4x + 5 dx

yllx - x^

■ V s-2 x '

dx;

dx;

1)(E) n)(E)

dx x" - x + 1 dx

^|3+6x-x^

6.2.2.Határozza meg a következő integrálokat! b)(E) cos'^x d x ; a)(M) sin^xdx; c)(E)

d)(V)

fch^xdx;

e)(V) J

3e’'

dx;

f)(E)

sh'^x d x ; 1

co s^(l-3 x )

dx;

43

KVK-1190 g)(E)

i) (M)

6.3.

1 sin (2x + 5)

dx;

ctg^Sxdx;

1

h)(E)

dx;

eh ' j) (E)

j[f(x)] f'(x )d x ( a e R , a ^ - i )

th 2 4x dx .

típusú feladatok

6.3.1. Határozza meg a következő integrálokat! a)(M) J x (2 -3 x ')* d x ; X

c)(E)

b)(E)

2 x ' • V4 + 2x^ dx ;

d)(E)

:dx;

(l + x ') e) (M) í)(V )

(sin 'x e o sx -2 ch ^ x shx) d x ; sinx chx dx; , . cos X VI + shx

g)(M) Jcos^xdx;

h)(E) Jsh^xdx;

i)(V ) J ^ d x ; •’ Sin X k)(V) í t g ^ d x ;

j)(E )

m)(E)

n)(V)

e’‘ • Vl - 2e’‘ d x ;

•’eh X 1)(E) eth'^x d x ;

X

P)(E)

») o) típusú kifejezéseket tartalmazó integrálokat! a)(M) f V 4 - x ' dx; ■’ c) (E)

48

í V l - 2 x - x ^ dx;

b)(V) f . ^ — dx; •’V5 + 4 x - x ^ d)(V)

X

KVK-1190

6.9. Vegyes feladatok 6.9.1. Határozza meg a következő integrálokat! 2^ + 5 ’ a)(E) dx; b)(E) Jctg^xdx; 10^

d)(E) e)(E)

th^xdx; dx

g)(E)

X (1 + Inx) ’

0 (E ) h)(E)

Vö"-^ arccosx dx

^

^

x^ + 8

A d x;

J ( 3 - c o s 'x ) '

•’4x + 4 x + 5 k)(E) |ch^3xdx;

J)(E) f ; , ^ dx; ••x - 6 x + 13 1)(V) jsh ^xdx;

m)(M) jsin^x cos^x d x ;

n)(V) jsh^x ch^x d x ;

o)(V) Jtg^xdx;

p)(E)

r)(M) f _ Í = d x ;

s)(M) *■ x ( l + ln^x) ’

W l-x'^

t)(E)

sinVx

Vx

dx;

«)(M)

cth^xdx;

’cos^x

dx.

J r

6.9.2.Határozza meg a következő integrálokat! dx a)(V) .K V ) í ^ ; (x + l)(9x^+12x + 4) dx d)(E) íx • V l - x d x ; ')(E ) k r ’ ■'2 + Vx f)(E)

e)(E) f

g)(E)

------- dA x ; l + e ’‘

fi+vm dx;

ll)(E) J

X +x

l + e^’^

dx.

49

KVK-1190 6.9.3. Határozza meg a következő integrálokat!

c)(E)

x^sinSxdx; Inx

e)(M) J

50

dx

b)(E)

.)(V ) ^

; g)(M) f(x) = arctg2x ;

f) (M) f(x) = — ^ ; 4 + x^ h)(M) f(x) = l n ( 2 - x ) ;

i)(V ) f(x) = xMn(x + 2);

j) (E) f(x) = lg ( l - 2 x ) ;

k)(E) f(x) = V5 - x ;

1)(E) f(x) = 2 x a rc c o s(-x ).

11.2.4. Az Xq = 0 körüH, harmadrendű Taylor-polinom alkalmazásával, adja meg két egész szám hányadosaként az alábbi függvények kö­ zelítő értékét a megadott Xj helyen, és adjon felső becslést a kö­ zelítő érték hibájára! a)(M) f(x) = e ’‘, ha Xj = -0,1; b)(E) f(x) = Vl + x, ha X[ = 0,1; c)(E) f(x) = cosX, ha X, = 0,2; d)(E) f(x) = arctg2x, ha Xj = 0,1.

82

KVK-1190 11.2.5. Az integrandus Xg - 0 körüli, negyedfokú Taylor-polinomjának alkalmazásával, adja meg két egész szám hányadosaként az alábbi határozott integrálok közelítő értékét, és adjon felső becslést a közelítő érték hibájára! “’fsin2x "’f 2 a)(M) í^ ^ d x ; b)(E) f e - ^ x . 0 X J 11.2.6. Az integrandus Xg = 0 körüli Taylor-polinomjának alkalmazásá­ val, számítsa ki az alábbi határozott integrálok közelítő értékét úgy, hogy a pontos értéktől való eltérés legfeljebb 10"® legyen! 0,2

0,2

a)(M) fe-’''d x ; 0 0,6

c)(E)

b)(V)

jV l + x^ d x ;

f ---- dx; o:”!

_________

0 ,4

- X

0,5

X .

d)(E) 0

^

11.3. Fourier-sorok 11.3.1. írja fel, és ábrázolja az alábbi periodikus függvények Fouriersorának első három, nullától különböző Fourier-együtthatójú tag­ ját, a függvény egy periódusában! Ábrázolja ezek összegét és a megadott függvényt is! - 71, ha - 271 < X < 0, a)(M) f(x) = 71, ha 0 < X < 271, és f(x) = f(x + 47t) minden x € R esetén; b)(V) f(x) = x, ha - 7 r< x < 7 i, és f (x) = f (x + 2ti) minden x € R esetén. 11.3.2. Ábrázolja az alábbi periodikus, páratlan vagy páratlanná transz­ formálható függvények három periódusát, és határozza meg a Fourier-sorukat! A szakadási helyeken számítsa ki a sor összegét!

83

KVK-1190 3,

a)(M) f(x) =

ha

- 7i< X < 0,

- 3, ha 0 < X < 71, és f(x) = f(x + I n) minden x e R esetén;

b)(V) f(x) =

0,

ha

- 7i< X < 0,

6, ha 0 < X < 7T, és f(x) = f(x + I ti) minden x € R esetén; c)(E) f(x) = - x , ha - 7 i< x < 7 t, és f(x) = f(x + 2ti) minden x g R esetén; d)(E) f(x) =

-

X

- 7t, ha

- 7i<

X

< 0,

- X + 71, ha 0 < X < 71, és f(x) = f(x + In) minden x e R esetén;

e)(E) f(x) =

-1 ,

ha

-1 < X < 0,

1, ha 0 < X < 1, és f(x) = f(x + 2) minden x g R esetén;

f) (E) f(x) = 2 X , ha -1 < X < 1, és f(x) = f(x + 2) minden x e R esetén. 11.3.3. Határozza meg az alábbi periodikus, páratlan vagy páratlanná transzformálható függvények Fourier-sorát! x^+ 3 , ha - l < x < 0 . a)(V) f(x) = - x ^ + 3 , ha 0 < x < l , és f(x) = f(x + 2) minden x e R esetén; 0,

ha

-1 < x < -0,5 ,

b)(V) f(x) = 0 és X > 0 valós számok, vektor-skalár függvény hatá­ rozza meg?

94

KVK-1190 13.1.8. (V) 80 mm átmérőjű, kör keresztmetszetű, szigetelőanyagból készült csévetestre, 1,4 mm átmérőjű, ugyancsak kör keresztmet­ szetű huzalból, 300 menetet tekercselnek. Egy rétegben pontosan 100 menet fér el. A rétegek közötti szigetelés vastagsága 0,2 mm. Milyen hosszú huzalra van szükség a tekercs elkészítéséhez, ha a két kivezetés egyenként 120 mm hosszú?

13.2. Skalár-vektor függvények 13.2.1. íija fel az alábbi kétváltozós, valós függvények teljes differenciál­ ját! a) (M) f(x; y) = cos x y ; b)(M) f(x; y) = log^ (x - y )^ c)(V) f(x;y) = a r c c t g ^ 2 ^ ; d)(E) X +y e)(E) f(x;y) = 3(^-»^

=

c h ( l- y )

f) (E) f(x;y) = (x^

13.2.2. írja fel az alábbi kétváltozós, valós függvények iránymenti deri­ váltját! a)(M) f(x;y) = sin(x^ +y^) ;

b)(M) f(x ;y) =

c)(V) f(x;y) = arccos------ ; x+y

d)(E) f(x;y) = e^tgx

e)(E) f(x;y) = arctg ^ ; f) (E) f(x;y) = ( l n x - l n y ) t g ^ . e^ - e ^ X 13.2.3. Számítsa ki az alábbi kétváltozós, valós fíiggvények gradiensét a megadott Po(Xo;yo) helyen! a)(M) f(x;y) = x ^ + 2 x y + y^ és Po(-l;2); b )(M )f(x ;y ) = ^ ^ ^ é s P „ ycosx c)(E) f(x;y) = a r c t g ^ é s ? o ( l ; l ) ; 1+ x d)(E) f(x;y) = e-M n y é s? o (0 ;l);

95

KVK-1190 e)(E) f(x ;y ) = s h - ^ c h : ^ é s P o ( 0 ; 0 ) ; 1 + y^ 1+ x^ f) (E) f(x ;y ) =

és P„(3;l). lo g 2 (x -y )

13.2.4. Számítsa ki az alábbi kétváltozós, valós függvény megadott Pi3(Xo;yi3) helyen vett gradiensvektorával párhuzamos egyenes meredekségét! a)(V) f(x;y) = x ^ - y ' és Po(l;l); / \ ' 7T 71 ' b)(E) f(x ;y ) = - & é s P „ siny v 6 ’ 3. c)(V) f(x;y) = ^ ^ | ^ é s P o ( e ; e ) . ylogv X 13.2.5. A megadott a esetén, számítsa ki az alábbi kétváltozós, valós függvények Po(X(,;yo) pontbeli, iránymenti deriváltját! a)(M) f(x;y) = s i n - ^ ^ , a = 30° és Po(l;V2); X +y

b)(E) f(x ;y ) = ^ x y ' + x V , a = 135° és P„(3;l); c)(E) f(x;y) = sh^ x y -a rc c tg —, a = 60° és Po(-l;2). 13.2.6. A V = ui + vj vektorral meghatározott irány esetén számítsa ki az alábbi kétváltozós, valós iránymenti deriváltját!

függvények

Po(Xo;yo)

a)(V) f(x ;y ) = ^y/x^"+^, v = i - V 3 j és Po(l;-l); b)(E) f(x;y) =

x-y

, v = i - j és P„

2 ’4

c)(E) f(x;y) = In^xy + x^ + x ^ , v = V3i + j és Po(e;e).

96

pontbeli,

KVK-1190 13.2.7. Számítsa ki az alábbi kétváltozós, valós függvények P(,(Xo;yo) pontbeli, iránymenti deriváltjának legnagyobb értékét! x+2 4 -x '-y ^ b)(E) f(x; y) = xy -

X+

y és Pg (0;0); \

c) (E) f (x; y) = cos(V3x + y) és Pq

71

71

V3’6

13.2.8. írja fel a megadott kétváltozós, valós függvény által meghatáro­ zott felület Qo(xo;yo;Zo) pontbeli érintősíkjára merőleges, pontra illeszkedő egyenes paraméteres egyenletrendszerét, ha x ^, yo adott és z„ =f(Xo;yo)! a)(M) f(x;y) = xy^ - x V , h a Xq = 2 és yo = - 1 ; b)(E) f(x; y) = e ’^-^ + x^ - y \ ha x„ = 2 és y« = 3; r/ N c o s (x -y ) , n , n c)(V) f ( x ; y ) = — i-----^ , h a x„ = - es yo = - ; sm(x + y) 3 4 d)(E) f(x;y) = ^ ^ ; í l ^ , h a x „ = l é s y , = - l . chxy 13.2.9. írja fel az alábbi kétváltozós, valós fíiggvények által meghatáro­ zott felület Qo(Xo;yo;Zo) pontbeli érintősíkjának egyenletét, ha Xq, yo adott és z^ =f(Xo;yo)! a)(M) f(x;y) = x^ - a r c tg y ,h a x^ =1 és yo = 1; b)(V) f(x;y) = (x - y)arcsin(y- x ) , ha Xo = ^ és yo = 1; c)(E) f(x;y) = ^ —í ^ , h a Xo = 2 és yo = 1; 3^ + x d)(V) f(x ;y )=

y ’‘ - x ^

— - ^ ^ , h a Xq =1 és yo = 2 ; x^+y

e)(E) f(x;y) = ^(2 + x)^ , ha Xq = 1 és yo = 2;

97

KVK-1190 f)(V ) f(x;y) = ln — y ^ ha Xq = ^ és cos(x + y) 6

=^. 6

13.2.10. Számítsa ki annak a Pq pontnak az Xg, yg koordinátáit, ame­ lyikben a megadott kétváltozós, valós függvény minden irány­ menti deriváltja nulla! írja fel a függvény által meghatározott fe­ lület Qo(Xo;yo;Z|3) pontbeli érintősíkjának egyenletét, ahol Zo =f(xo; yo)! a)(M) f(x ;y ) = +4y^ - 4 x + 8y + 9; b)(E) f(x; y) = 3

.

c)(E) f(x;y) = x ^ + y ^ + x y + x + 4 y - l ; d)(E) f(x; y) = log3(6x' + 18x + 3 y' + 14y - 2xy + 48). A következő feladatokban r , illetve u(r) az r(x;y;z) vektort, illet­ ve az u(x;y;z) skalár-vektor függvényt jelenti. 13.2.11. írja fel az alábbi skalár-vektor függvények teljes differenciálját! a)(M) u(x;y;z) = shxyz;

b)(E) u(x;y;z) - l ogj — x+y+z arcctgxyz d)(V) u(x;y;z) = ln(x^ + yz] ’

_ox+y^z. c)(E) u(x;y;z) = 2 e)(E) u(r) = ~ ; r

13.2.12. Számítsa ki a V =

f)(E) u(r) = ln

+

k (V olv.: nabla) V^Zy Hamilton-operátor és az alábbi skalár-vektor függvények szorzatát! ydXy

1

a)(M) u(x;y;z) = (x + z)(l + y);

98

j+

b)(E) u(x;y;z) = xyztg— ; yz

KVK-1190 c)(E) u(x;y;z) = ( x " + 2^)“"'; d)(E) u(x;y;z) = a r c c t g ^ ; f)(E) u(r) =

e)(E) u ( r ) = r In

r arc sin r

13.2.13. írja fel az alábbi skalármezők gradiensét! a)(M )u (r) = 3 ^ r + 2 ) ^

b)(E) u(r) = -1 )’

c)(E) u(r) =

d)(E) u (x ;y ;z)=

+1

'

— j-. X +y +z

13.2.14. Számítsa ki az alábbi skalár-vektor függvények gradiens vekto­ rának koordinátáit a megadott r,3(Xo;yo;Zo) helyen! a)(M) u(x;y;z) =

eh xyz , és ro(-l;0;l); ^xyz

b)(V) u(x;y;z) = ^ 1 2 - ( x ' + y ' + z ' ) és ro (2 ;-l;-l); c) (E) u(x; y; z) = - + - + - és To(3;2;1); y

z

X

Z

X

d)(E) u(x;y;z) = -------arc cos— és r,3(-l;2;l); x+y yz e) (M) u(r) = logj

1

és r„(l;l;l);

+ jr| + 2)^ 0 ( E ) u(r) =

r arc tg r

és r„(-l;0;0).

13.2.15. Megadott r,3(Xo;yo;Zo) és Ai^(AXo;Ayo;Azo) esetén, becsülje meg az alábbi skalár-vektor függvények értékének abszolút és relatív hibáját! a)(M) u(x;y;z) = x" -y ^ + z " , h a ro(2;2V2;4) és b)(E) u(x;y;z) = x ^ '", ha ro(2;2;-5) és Ar^(0,02;0,01;0,025);

99

KVK-1190 c) (E) u(x; y; z) - 4 = = = = ^ha +y^ +z^ At ,

(e; e; e) és

e e e ^50 20 50, / 11 11 71 ^ és Ar,3 10 5 12

d)(E) u(x;y;z) = x^ycosz, ha Tf,

e)(E) u(x;y;z) = ^ , h a r o ( 1 0 ; 2 ; 5 ) és Ar„(0,02;0,01;0,25). 2z 13.2.16. (V) Egy tekercs villamos jellemzőit mérjük. Önindukciós együtthatójának mért értéke Lg = 7,2 mH , a műszer méréshatá­ ra M l =1 0mH, a méréshatárra vonatkoztatott, relatív hibája pedig h^ - 2 % . Ellenállásának mért értéke R,, = 5 ,6 Q , az ellenállásmérö méréshatára = 1 0 Q , erre vonatkoztatott rela­ tív hibája h[^ = 5%. A frekvencia mért értéke f,, = 49,8Hz, egy Mf = 60 Hz méréshatárú műszerrel mérve, amelynek a mérés­ határra vonatkoztatott, relatív hibája hf = 1% . A tekercs impe­ danciájának abszolút értékét a Z = VR'+(2-7i-f-Lf összefüggés alapján számítjuk ki. Legfeljebb mennyi lesz az im­ pedancia kiszámított értékének abszolút és relatív hibája?

13.3. Vektor-vektor függvények A következő feladatokban r , v(r), illetve Vj (r) (i = 1; 2; 3) rendre az r(x;y;z) vektort, a v(x;y;z) vektor-vektor függvényt, illetve a koordinátafüggvényét, a Vj(x;y;z) skalár-vektor függvényt jelenti.

13.3.1. Számítsa ki a V =

1+

dy J +

k

Hamilton-operátor és

az alábbi vektor-vektor függvények skaláris szorzatát!

100

KVK-1190 a)(M) v(x;y;z) =

^ z i + xy^Vz j +Vx yz^ k;

b)(M) v(x; y;z) = (tg xyz)i + (cos(x + y + z))j + (sin(x + y - z ) ) k ; c)(E) v(x;y;z) = ^ ^ i + - ^ ^ j + ^ ^ k ; z X y d)(E) v(x; y; z) = y (in X" )i + z (in y ")j + X(in z ^ ) k ; e)(E) v(r) = |rji + |r|^ j + |r|^ k ; f) (E) v(r) = (ln|r|)i + (arc ctg|r|)j + —k . r 13.3.2. írja fel az alábbi vektor-vektor függvények divergenciáját! a)(M) v ( x ; y ; z ) - : ^ ^ i + ^ ^ ^ j + ^ ^ ^ k ; X

y

z

b)(V) v(x;y;z) = 2’^(lóg, z)i + 2^ (lóg, y)j + 2>'(log, x ) k ; c) (E) v(x;y;z) = (x + y)M + (y + z)" j + (x + z)>'k ; d)(V) v( r ) = e) (E) v(r) = (sh|r|)i + (ch|r|)j + (thjr|)k; f)(E) v(r) = rel'‘l. 13.3.3. Döntse el, hogy forrásmentesek-e az alábbi vektor-vektor függvé­ nyek által meghatározott vektormezők! a)(M) v(x;y;z) = (x^ +3xy^ - 2 x z )i-(3 x ^ y + y^)j + z^k; b)(E) v(x;y;z) = ^ i + - ^ j + ^ k ; y" z ’^ x^ c)(E) v(x;y;z) = x(x^ + 3 y )(ln z)i-3 x ^y (ln z)j + 3 y z (l-ln z )k ; d)(M) v(r) =

In r

101

KVK-1190 13.3.4. Számítsa ki a V =

1

dx

+

j+

ydz.

k Hamilton-operátor és

az alábbi vektor-vektor függvények vektoriális szorzatát! a)(M) v(x;y;z) = x ^ ^ z i + xy^z^j + x ^ z ^ k ; b)(V) v(x; y; z) = (lóg, y)i + (log^ z) j + (lóg, x) k ; c)(E) v(x;y;z) = ^ i + — j + ^ k ; X+ z x+y y+z d)(V) v ( r ) = r r ; , , , cos x y . sin yz . cos x z , e)(E) v(x;y;z) = ------ ^i + ---- ^ j + --------k; f)(E) v(r) =

+2

13.3.5. írja fel az alábbi vektor-vektor függvények rotációját! a)(M) v(x;y;z) = — i + — j + — k ; yz xz xy b)(M) v(x; y; z) = 2“’'"=' i + j + 4"^" k ; c) (E) v(x; y; z) = (ch(x + z))i + (cth(x - y))j + (sh(y - z))k ; d)(E) v(r) = (sin'

-cos"

+ COS.2 |r |- l) r .

13.3.6. Döntse el, hogy örvénymentesek-e az alábbi vektor-vektor függ­ vények által meghatározott, egyes vektormezők! a)(M) v(x;y;z) = 2x(siny)(lnz)i + x^(cosy)(lnz)j + — b)(M) v(x;y;z) = - ^ i + —^ j + — í ^ k ; X yz xy z xyz c)(E) v(x;y;z) = ^ d)(E) v (r) ^

102

y"

i + f f i j +i ^ k ;

^i +

z"

Z

^ j + (xy)^(Inxy)k .

z

^k ;

KVK-1190 13.3.7. Döntse el, hogy a megadott skalár-vektor függvény potenciálfüggvénye-e a vektor-vektor függvénynek! 1

a)(M) v(x;y;z) =

(xi + y j + zk) és u(r) =

■sjx^ +y^ +z^

y . X , xy b)(V) v(x;y;z) = - ^ i + ^ j - ^ k

és u(x;y;z) = ^ ;

l j ^ (x + z) , , 1

c)(V) v(x;y;z) =

y u(x;y;z) = sh d)(E) v(r) =

, x+z , eh ------ es

y x + z

és u(r) = log2 In 2

13.3.8. írja fel az alábbi skalár-vektor függvények gradiensét, majd a gradiens divergenciáját és rotációját! 1 b)(M) u(r) = a)(M) u(x;y;z) = d)(E) u(r) = arcsin

c) (E) u(r) = r lóg.

13.3.9. Számítsa ki az alábbi vektor-vektor függvények vonalmenti integ­ rálját a megadott görbe mentén és határok között! a) (M) v(x; y; z) = (y + z)i + (x + z)j + (x + y )k , ha r(t) = t^ i + V tj + tk és 0 < t < l ; b)(M) v(r) = r r , ha r(t) = t i +

j +k, l< t< 2 ;

c)(V) v(r) = — , ha r(t) = e‘ i + j + -yjle* k és 0 < t < In2; d)(E) v ( x ; y ; z ) - — i + i j + — k , yz

X

xy

ha r(t) = (t^ +2 t ) i + t^ j + t k és l < t < 2 ;

103

KVK-1190 e)(E) v(r) = 2e''

1

,

—T+ ln

2

r,

ha r(t) = 5(cos2t)i + 5(sin2t)j + e'*'"‘ k és 0 < t < 7i; f)(E) v(x;y;z) = 3 Í Í i + i ha r(t) = (cos^ t)i + (sin^ t)j +

k és —< t < —. 6 4

13.3.10. Számítsa ki az alábbi vektor-vektor függvények vonalmenti in­ tegrálját a P, kezdő- és Pj végpontú szakasz mentén! / N x^+y. y^+z, x + z \ a)(M) v(x;y;z) = ------ + ---------- j + -------- k , z X y ha P,(l;l;l) és P,(2;2;2); b)(V) v(x;y;z) = (ycosx)i + (zsin y )j + x z k , ha P,(0;0;0) és Pj

n K v.6 ^

’ 3 ’ 44^.

c)(E) v(x;y;z) = xe^M + y z j + xz(ln(l + y ) ) k , ha P,(0;0;0) és P2(2;l;3); d)(E) v(x; y; z) = (x y sh z)i + (y - z)(ch x)j + x y z k , h aP ,(l;2 ;l) é sP ,(3 ;2 ;2 ); e)(E) v(r) = -* y ,h a P ,(-2 ;-l;3 ) és P2( - l ; 0;4); r f) (E) v(r) = r ln(l + |r|), ha P, (0; 0; 0) és P^ (2; -1; - 2). 13.3.11. Számítsa ki az alábbi vektor-vektor függvények vonalmenti in­ tegrálját a Pl, ?2 és P3 pontok által meghatározott törött-vonal mentén! a)(M) v(x;y;z) = — i - ^ j - ^ k , yz y z yz ha P,(2;l;3), P ,(l;2;l) és P3(3;l;3);

104

KVK-1190 b)(E) v(x;y;z) = i Ü ^ i . y Í 2 a ± í ) j . y í k , X X X ha P ,(-2 ;l;0 ), PA-2;2;2) és P3( - 2;l;3). 13.3.12. Számítsa ki az alábbi vektor-vektor függvények vonalmenti in­ tegrálját a Pl, Pj, P3 és P4 pontok által meghatározott törött­ vonal mentén! ^ y^cos x. 2ysinx . y^si nx, a)(M) v(x;y;z) = -i^ — 1+ — , .J ~ ^ , k , e e" e ha P,(3;2;5), P2( - l ; 4;3), P3( - 2; - l ; 6) és P4(3;2;5); 1 . arctgx . arctgx b)(E) v(x;y;z) = - ----- ----------- 1- - ------ -------------- ^ k , (l + x^)(y + z) (y + z) (y + z)' ha P ,(l;l;l), P ,(-2;4;3), P3(5;3; - 6) és P^O;!;!).

105

KVK-1190

14.VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 14.1. Eseményalgebra 14.1.1. Egy dobókockával háromszor egymás után dobunk. Jelölje Ai azt az eseményt, hogy az i-edik dobás 6-os (i = 1, 2, 3)! írja fel az Ai, A2 és A3 eseményekkel az alábbi eseményeket: a)(E) legalább az egyik dobás 6-os; b)(E) mindhárom dobás 6-os; c) (E) az első dobás 6-os, a második és harmadik dobás nem 6-os; d)(M) pontosan egy dobás 6-os; e) (E) pontosan két dobás 6-os; f) (V) legalább két dobás 6-os; g)(E) legfeljebb két dobás 6-os! 14.1.2. Milyen kapcsolat van az A és B események között, ha: a)(E) A + B = B; b)(V) (A + B) - B = A; c)(E) A + AB = A; d)(V) A + B = AB ? 14.1.3. Milyen A és B eseményre teljesülnek a következő egyenlőségek? a)(V) A + B = Á ;b)(E ) ÁB = A;c)(E) A + B = AB. 14.1.4. (M) Adott az A és B esemény. írja fel az X eseményt, ha X+A+X+A=B! 14.1.5. Bizonyítsa be a következő egyenlőségeket: a)(V) A + AB = A;

b)(V) AB + AB + AB = AB;

c)(V) A (B -C ) = A B -A C ; d)(V) ( a + b )c = C - C ( A + B); e)(V) A -{ A -[B -(B -C )]} = ABC; f)(V) (a + b )(a + c )(b + c ) = a b + a c + b

106

c

!

KVK-1190 14.1.6. Tekintsük elektromos jelfogók egy hálózatát. Mindegyik jelfogó­ hoz hozzárendelhető egy esemény, amely akkor és csak akkor kö­ vetkezik be, ha a jelfogón folyik áram. Két jelfogó soros kapcso­ lásának a megfelelő események szorzata, párhuzamos kapcsolásá­ nak a megfelelő események összege felel meg. Ha egy jelfogón sohasem folyik áram, akkor annak a lehetetlen esemény, ha min­ dig folyik áram, akkor a biztos esemény felel meg. írja fel a kö­ vetkező hálózatoknak megfelelő eseményalgebrai kifejezéseket, majd egyszerűsítse azokat és ezután rajzolja fel az egyszerűsített kifejezéseknek megfelelő hálózatokat! a)(E)

b)(E)

107

KVK-1190

14.2. Valószínűségek kombinatorikus kiszámítási módja 14.2.1. Bizonyítsa be a következő egyenlőségeket! a)(V) p (a ) = 1 - P ( a ); b)(V) p (a b )= P(a )-P (A B ); c) (V) P(A + B) = P(a ) + P(b ) - P(AB) ; d)(V) P(A + B + C) = P(a ) + P(b ) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC). 14.2.2. Egy szabályos dobókockát feldobva, mennyi annak a valószínű­ sége, hogy a) (E) 6-ost dobunk; b)(E) legalább 5-öt dobunk; c) (E) nem az 1-est dobjuk; d)(E) törzsszámot dobunk? 14.2.3. Két szabályos dobókockát feldobva, mennyi annak a valószínűsé­ ge, hogy a)(M) legalább az egyiken 6-os áll; b)(E) a dobott számok minimuma 3; c)(E) a dobott számok maximuma 3; d)(E) a dobott számok összege kisebb, mint 5; e) (E) a dobott számok legnagyobb közös osztója 2? 14.2.4. Egy szabályos pénzdarabot ötször feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a)(E) dobunk fejet és írást is; b)(E) legalább két fejet dobunk; c) (M) több írást dobunk, mint fejet; d)(E) nem dobunk két fejet egymás után; e) (E) dobunk három fejet egymás után? 14.2.5. (E) Egy dobozban 20 cédula van 1-től 20-ig megszámozva. Talá­ lomra kiveszünk 5 cédulát. Mennyi annak a valószínűsége, hogy kihúzott számok mindegyike 8-nál nagyobb?

108

KVK-1190 14.2.6. Egy főiskolán 400 oktató tanít. Angolból 120-nak, németből 100-nak és oroszból 85-nek van nyelvvizsgája. Angolból és né­ metből 45-nek, angolból és oroszból 20-nak, németből és orosz­ ból 25-nek van nyelvvizsgája. 4 oktatónak mind a három nyelvből van nyelvvizsgája. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy talá­ lomra kiválasztott oktatónak a három nyelv közül a)(V) egyikből sincs nyelvvizsgája; b)(V) csak oroszból van nyelvvizsgája; c) (V) csak angolból és németből van nyelvvizsgája? 14.2.7.32 lapos magyar kártyából 3 lapot találomra kihúzva, mennyi an­ nak a valószínűsége, hogy a)(M) a kihúzott lapok különböző színűek; b)(M) a kihúzott lapok között van piros is és ász is? 14.2.8. Egy szabályos dobókockát négyszer feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a) (E) különböző számokat dobunk; b)(E) a harmadik dobásnál dobunk először 6-ost; c) (M) nem dobunk két 6-ost egymás után; d)(M) a dobott számok maximuma 4; e) (M) dobunk 6-ost és 1-est is, de a 6-os előbb van, mint az 1-est? 14.2.9. (M) 5 különböző dobozba találomra belehelyezünk 10 különböző golyót. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindegyik do­ bozban pontosan két golyó lesz? 14.2.10.(E) 5 különböző dobozba találomra belehelyezünk 10 egyforma golyót. Két elhelyezést csak akkor tekintünk különbözőnek, ha az egyiknél található legalább egy olyan doboz, amelyben nem ugyanannyi golyó van, mint a másiknál ebben a doboz­ ban. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindegyik doboz­ ban pontosan két golyó lesz? 14.2.11.Tekintsük az első 6 pozitív egész szám egy véletlen permutáció­ ját! Mennyi annak a valószínűsége, hogy a)(E) az 1 és a 2 nem lesz egymás mellett; b)(E) megtalálható benne a 123 háromjegyű szám? 109

KVK-1190

14.3. Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel 14.3.1. (M) 100 alkatrész közül 5 selejtes. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 10 alkatrészt találomra kiválasztva, azok között 3 selej­ tes lesz? 14.3.2.32 lapos magyar kártyából 4 lapot találomra kiválasztva mennyi annak a valószínűsége, hogy a kihúzott lapok között a) (E) pontosan két piros lesz; b)(E) legalább egy ász lesz; c) (E) legfeljebb egy zöld lesz? 14.3.3. (E) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az ötös lottón egy talá­ lomra kitöltött lottószelvénnyel pontosan k találatot érünk el (k = 0,1, 2, 3, 4, 5)? 14.3.4. Egy urnában 5 piros és 3 fehér golyó van. Az urnából 10-szer húzunk úgy, hogy a kihúzott golyót mindig visszatesszük. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a)(M) pontosan 3 piros golyót húzunk; b)(M) legalább egy fehér golyót húzunk; c) (M) több piros golyót húzunk, mint fehéret? 14.3.5. Bizonyos típusú tranzisztorok 3 %-a selejt. Mennyi annak a való­ színűsége, hogy 10 db tranzisztort vásárolva azok között a)(M) 3 selejtes lesz; b)(M) több selejtes lesz, mint jó? 14.3.6. Alkatrészek közül egy mintát veszünk. A mintában szereplő selej2 tes alkatrészek várható értéke 2, szórásnégyzete —. a) (M) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a minta legfeljebb 2 selejtes alkatrészt tartalmaz, ha a minta 5 elemű és a mintát viszszatevés nélkül vesszük? b)(M) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a minta legfeljebb 2 selejtes alkatrészt tartalmaz, ha a mintát visszatevéssel vesszük?

110

KVK-1190

14.4. Feltételes valószínűség és függetlenség 14.4.1. (M) Számolja ki a P(A + B) és a P(A I B ) valószínűségeket, ha: P(A) = i

P (A |B ) = ^ é s P ( B | A ) = i !

14.4.2. (M) Két szabályos dobókockát feldobunk. Jelölje A azt az ese­ ményt, hogy az egyik kockán 6-os áll, Bi azt, hogy a két szám különböző, B2 azt, hogy az összeg páros és B3 azt, hogy a dobott számok minimuma 4. Számolja ki a P(A | Bi) feltéte­ les valószínűségeket (i = 1, 2, 3)! 14.4.3. Két urna közül az egyikben 6 piros és 4 fehér, a másikban 5 piros és 3 fehér golyó van. Találomra kiválasztjuk az egyik urnát és ab­ ból találomra kihúzunk egy golyót. a) (V) Mennyi annak a valószínűsége, hogy ez a golyó piros? b)(V) Megnézzük a kihúzott golyót és látjuk, hogy piros. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első urnából húztunk? 14.4.4. (V) Tíz gép mindegyikén ugyanannyi és ugyanolyan típusú alkat­ részeket gyártanak. Hat gépnél 2 %, három gépnél 1 % és egy gépnél 0,5 % a selejt. A tíz gép által gyártott alkatrészekből találomra kiválasztunk egyet. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ez nem selejtes? 14.4.5. (V) Egy szabályos dobókockát egyszer feldobunk. Ha a dobott szám k, akkor feldobunk k-szor egy szabályos pénzdarabot. Mennyi annak a valószínűsége, hogy nem dobunk kétszer egymás után fejet? 14.4.6. (E) 100 csavar közül 10 selejtes. Visszatevés nélkül egyesével kihúzunk 4 darabot és látjuk, hogy ezek mindegyike jó. Ezu­ tán ugyanígy kihúzunk 4 darabot. Mennyi a valószínűsége, hogy ezek között 2 selejtes lesz?

111

KVK-1190 14.4.7. (V) Egy oktatót keresünk a főiskolán. Tudjuk, hogy p annak a valószínűsége, hogy az oktató a főiskolán tartózkodik és itt ugyanolyan valószínűséggel lehet öt adott terem valamelyik­ ében. Feltéve, hogy négy termet megnézve nem találjuk az oktatót, mennyi annak a valószínűsége, hogy az ötödik te­ remben megtaláljuk? 14.4.8. (E) Egy üzletben 50 műszer van. Jelölje Ai azt az eseményt, hogy a műszerek között i darab szépséghibás van (i=0, 1, 2, 3, 4). Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy hibátlan műszert veszünk, ha bármelyik műszert ugyanolyan valószínűséggel vehetjük meg és P (A ,) = i 4

P(A ,) = i 6

P (A ;) = P (A ,) = - i , P (A ,) = - ^ ? Íz

Íz

14.4.9. (V) 32 lapos magyar kártyából találomra kiválasztunk egy lapot. Jelölje A azt az eseményt, hogy a kihúzott lap piros, B azt, hogy ász és C azt, hogy az az alsó, felső, király, ász valame­ lyike. Igazolja, hogy az A és a B, valamint az A és a C füg­ getlenek, de a B és a C nem függetlenek! 14.4.10.(M)Bizonyítsa be, hogy ha az A és B események függetlenek, akkor az A és B, valamint az A és B események is függet­ lenek! 14.4.1 l.(E) Egy üzemben három gép dolgozik egymástól függetlenül. Az első hetenként 0,15, a második 0,2 és a harmadik 0,1, való­ színűséggel esik ki a termelésből. Mennyi annak a valószínű­ sége, hogy egy hét folyamán legalább az egyik gép kiesik a termelésből? 14.4.12.(E) Egy 1000 darabból álló szállítmány 4%-a szépséghibás. A szállítmány átvevője találomra megvizsgál 15 darabot, majd ezeket visszatéve megismétli a vizsgálatot. A szállítmányt csak akkor veszi át, ha az egyik vizsgálatnál sem talál szép­ séghibás darabot. Mennyi annak a valószínűsége, hogy átve­ szi a szállítmányt?

112

KVK-1190

14.5. Diszkrét valószínűségi változók és nevezetes eloszlások 14.5.1. (E) Egy szabályos pénzdarabot 4-szer feldobunk. Jelölje ^ azt a valószínűségi változót, hogy hány fejet dobunk. írja fel ^ el­ oszlását! 14.5.2. Az alábbi számsorozatok közül melyek alkotnak valószínüségeloszlást? a)(V) p', 3 p \ , 3 p q \ q'

b)(V)

k

no^

Í 2^

(q = 1 - p, 0 < p < 1);

10-k

, k

=

0,l,...,

k = 0 , l , 2,...;

c)(V) ^ e - ^ k! 14 ^ d)(V) U J

'20^

k = 0,l,2,3,4;

.4 ; e)(V)

1 k(k + 1)’

k = l, 2,...;

k = 0,l,. v3y 14.5.3. (M) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy tízgyermekes csa­ ládban pontosan 4 lány van, ha egy fiúgyermek születésének valószínűsége 0,51 és egy lánygyermek születésének a való­ színűsége pedig 0,49?

113

KVK-1190 14.5.4. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockát 20-szor feldobva a)(E) legalább háromszor dobunk 3-mai osztható számot; b)(E) legalább 3, de legfeljebb 5 dobás lesz 3-mai osztható szám? 14.5.5. Egy dobozban 60 kártya van. Húsz kártyán van A betű, tíz kár­ tyán B betű és harmincon C betű. Egymás után 5 kártyát visszatevéssel kihúzunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a)(E) pontosan 3-szor húzunk A betűt; b)(E) legalább kétszer húzunk B betűt; c) (E) páros sokszor húzunk C betűt? 14.5.6. Egy céltáblára 15 fiú ad le egy-egy lövést. Mindenki 0,6 valószí­ nűséggel talál bele a 10-es körbe. Mennyi a valószínűsége, hogy a)(E) pontosan 5 találat lesz a 10-es körbe; b)(E) legfeljebb négy találat lesz a 10-es körbe, c) (E) legalább két találat lesz a 10-es körbe? 14.5.7. (V) Legalább hányszor dobjunk fel egy szabályos dobókockát ahhoz, hogy legalább 0,5 valószínűséggel a hatos dobások száma legalább kettő legyen? 14.5.8.Egy telefonközpontba 1 perc alatt átlagosan 5 hívás érkezik be. Ha adott időtartam alatt beérkező hívások száma Poisson-eloszlású, mennyi annak a valószínűsége, hogy egy perc alatt: a) (M) pontosan 2 hívás érkezik be; b)(M) legfeljebb 3 hívás érkezik be; c) (M) legalább egy hívás érkezik be? 14.5.9. (M) Egy 400 oldalas könyvben 100 sajtóhiba van. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 20 véletlenszerűen kiválasztott oldalon nem lesz sajtóhiba, ha feltesszük, hogy a sajtóhibák száma Poisson-eloszlású valószínűségi változó? 14.5.10.(E) Egy ruhaszövet anyagában 50 méterenként átlag 2 hiba van. Egy 400 méteres szövetet 4 méteres darabokra vágunk szét. Várhatóan hány hibás darab lesz ezek között, ha feltesszük, hogy a hibák száma Poisson-eloszlást követ? 114

KVK-1190 14.5.11. (M)Egy üzemben egymástól függetlenül azonos típusú gépek működnek. Jelölje a § valószínűségi változó azt, hogy hány gép hibásodik meg egy adott időn belül. A tapasztalatok azt mutatják, hogy a gépek közül átlagosan 500 óránként romlik el egy. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 5000 óra alatt legfeljebb 5 gép romlik el? 14.5.12. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókocká­ val dobva a hatodik dobásnál dobunk a)(M) először hatost; b)(M) másodszor hatost; c) (M) harmadszor hatost? 14.5.13. Egy szabályos dobókockával egymás után dobunk. a)(V) Jelölje a ^ valószínűségi változó azt, hogy hányadik dobás­ nál dobunk először 6-ost. írja fel ^ eloszlását! b)(V) Mennyi annak a valószínűsége, hogy páros sorszámú dobás­ nál dobunk először 6-ost? c) (V) Jelölje az r| valószínűségi változó azt, hogy hányadik do­ básnál dobunk másodszor 6-ost. írja fel r\ eloszlását! 14.5.14. Egy dobozban 21 piros és 7 fehér golyó van. Kihúzunk a doboz­ ból 10 golyót. Jelölje a ^ valószínűségi változó a kihúzott golyók között a piros golyók számát! Melyik értéket veszi fel ^ a legna­ gyobb valószínűséggel, ha a)(M) visszatevés nélkül húzzuk ki a 10 golyót; b)(M) visszatevéssel húzunk ki a 10 golyót? 14.5.15. (V) Jelölje a ^ valószínűségi változó az ötös lottón kihúzott számok közül a legnagyobbat és t] a legkisebbet! írja fel ^ és T| eloszlását! 14.5.16. (E) Legyen ^ X paraméterű Poisson-eloszlású valószínűségi változó. Melyik k természetes szám esetén lesz a P(^ = k) valószínűség a legnagyobb?

115

KVK-1190

14.6. Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény 14.6.1. Igazolja, hogy F(x) eloszlásfüggvény. írja fel az F(x) eloszlásfíiggvényű ^ valószínűségi változó sűrűségfüggvényét és számolja ki a felírt valószínűségeket! a)(M) F(x) =

(-oo CA =

, ezért a háromszög

legnagyobb szöge az AB oldallal szemben, a C csúcsnál van.

180

KVK-1190 3.1.9. A háromszög szabályos, ha oldalai egyenlő hosszúak. A B (-8 ;6 ;1 0 ), AB

BC

B C (2 ;-1 4 ; O),

CA(ó ; 8 ; - l O) ,

CA = I0 V2 , tehát a háromszög szabályos.

3.1.10. a)C(4; 0; - 5 ) .

3 b)A súlyvonal hossza: — egység.

3.2. Vektorok szorzása 3 .2 . 1 .

a ) a b = 3 - ( - 2 ) + 2 - 5 - 4 - 3 = -8 . Mivel ab = -8 < 0, ezért a és b hajlásszöge tompaszög. b)c és d hajlásszöge hegyesszög. c) e és f hajlásszöge derékszög. 3.2.2.Ha az A csúcsnál derékszög van, akkor az AB(x + 1; 0; - 4 ) és AC(4; 0; - 3) vektorok skaláris szorzata nulla. Ez x - ^ teljesül.

esetén

3.2.3. a) Jelöljük a hajlásszöget a-val! A skaláris szorzat definíciója alapján ab -2-1 -3 1 cosa = ----- = —r=— = —7=— = — , tehat a = 135 . ab V2-V9 V2-3 yÍ2 b)Hajlásszög ~ 54,79°. 3.2.4. a)a = 30°, p = 60°, T = 7 • V3 területegység.

y = 90°,

181

KVK-1190 b)cosa =

ABAC AB AC

a =120°.

2

r>A cosp = ^ r - ^ T = r « 0,802955, BC BA

p ~ 36,59°.

y - 1 8 0 ° - ( a + p)«23,41° . T = - AB AC sinl20° = 3V3 területegység. 2 3.2.5. A kocka egy csúcsból induló élei páronként merőlegesek egymásra és hosszuk egyenlő. a| = |b| = |c| = 15 és ab = bc = ca = 0, tehát a három vektor egy kockát feszít ki. 3.2.6. i a) a Xb = - 3 3

•

k J 2 -4 -3 2 -4 =i -j 1 5 3 1 5

-4 5

+k

-3

2

3

1

= i(l0 + 4 ) - j ( - 1 5 + 12) + k ( - 3 - 6 ) = 14i + 3 j - 9 k . b ) d x c = 45i + 5j + 40k . c) e Xf = - i - j - 2k . 3.2 .7 .a(b x c) = 0 . 3.2.8. A háromszög területe: ^ = ~

x AC .

(Bármelyik egy csúcsból kiinduló két oldalvektorát használhat­ nánk.) AB(-3;-6;-6),

182

AC(1;-3;-5) .

KVK-1190

i

j

A B xA C = - 3

-6

1 -3

k

-6 -6 =1 -3 -5

-6 -5

-3

-J

-6

1 -5

+k

-3

-6

1 -3

= i( 3 0 - 1 8 ) - j( l5 + 6) + k(9 + 6 )= 1 2 i-2 1 j + 15k, ABxAC = V144 + 441 + 225 = V ^ = 9VÍÖ,

^ _ 9-VlÖ

területegység.

3.2.9.

a) AB

AC = 3, BC = V s, a legnagyobb szög tehát a B

csúcsnál levő p szög, a legkisebb szög a C csúcsnál levő y szög. Mivel p + Y= 180° - a , ezért elég a-t kiszámítani. cosa = ^ , a = 45°, így P + y = 135° . V2 b)A B xA C = 2 i - 2 j - k , 1 T = - AB XAC = — területegység . 2 2 3.2.10. a)?^ = 0. 3.2.11. a) A tompaszög a háromszög leghosszabb oldalával szemben lehet. A B (- l;0 ;- 2 ) , AB = V5,

B C (0 ;-1 ;2 ),

BC = V5,

CA(1; 1; O),

C A =V 2,

AB

BC > CA

Két tompaszög nem lehet, ezért a háromszög nem tompaszögű.

183

KVK-1190

b) Az A csúcsból induló magasság: m =

i A B xA C = -1

-1

j

2T

A BxA C

BC

BC

k

0 - 2 = -2 i + 2j + k , -1 0

A B xA C = V4 + 4 + l = 3 ,

3 SVS m = - p = —— egyseg. v5 5

3.2.12. a) A és C csúcsnál levő szögek: 120°, B és D csúcsnál levő szögek: 60°, b) T = 100 • Vs területegység. 3.2.13. T = 3 területegység,

9 9^f5 BT hossza: - p = ------egység. V5 5

3.3. Vektorok geometriai alkalmazása 3.3.1. a )x = - 2 - t , y = 5 + 2t, z = l + 3 t . Még egy pont az egyenesen: A(-3; 7; 4) (t = 1 választással). b )x = 3 - 4 t , y = 5 + 3t, z = -2 + 12t . Még egy pont az egyenesen: B(7; 2; -14) (t = -1 választással). 3.3.2. a)x = 3 + 2t, y = 1 + 3t, z = 2 + 1vagy x = 1+ 2t, y = -2+ 3t, z =1 + 1. b) a Xb merőleges a-ra és b-re is, ezért irányvektomak vehetjük az aX b = v(3; 4; - 6 ) vektort. Az egyenes egyenletrendszere: x = 6 + 3t, y = -3 + 4t, z = 4 - 6 t .

184

KVK-1190 3.3.3. X = 2t, y = -t, z = 2t. Az A pont rajta van, a B pont nincs rajta az egyenesen. 3.3.4. a) A két egyenes párhuzamos, ha irányvektoraik párhuzamosak. ( 3 ei irányvektora: vi(2; -3; 4), ea irányvektora \ ^ = -1 ; —; - 2 V 2 A megfelelő koordináták hányadosa: -1 f -2 1 azaz V 2 = - - V i. 2 2 ■- 3 ~ 4 " 2 ’ Mivel Vi és V2 párhuzamosak, ezért az egyenesek is párhuzamosak. b)Nem párhuzamosak. 3.3.S. a) X - y + 2z - 3 = 0,

a sík illeszkedik az A pontra.

b ) 3 x - 2 y - z - l l = 0 , a sík nem illeszkedik az A pontra. 3.3.6. a) A síkot egy pontja és egy, a síkra merőleges vektor határozza meg. Pontnak válasszuk pl. az A-t (nyilván bármelyiket választhatjuk). Síkra merőleges vektort kapunk, ha vesszük a sík két vektorának, például AB, AC-nek a vektoriális szorzatát. A B (-3 ;1 ;2 ), i — — A B xA C= - 3

A C (-1 ;-1 ;3 ), j k ■' 1 2 =i

- 1 - 1 3

1 2 -3 ^ ^ -j -1

2 3

+k

-3

1

-1

-1

= 5i + 7j + 4k . Tehát normálvektomak n(5; 7; 4)-et felhasználva a sík egyenlete: 5 ( x - l ) + 7 y + 4(z + l) = 0 . Rendezés után: 5x + 7y + 4 z - l = 0 .

185

KVK-1190 A sík egy pontját megkapjuk, ha pl. x-nek és y-nak választunk va­ lamilyen értéket, amelyeket a sík egyenletébe behelyettesítve meg­ kapjuk a pont harmadik koordinátáját. Legyen pl. x = 0, y =0,

ekkor z = — .

r A D 0; 0; — a sík egy pontja. 4 b) X + 33y + 14z-167 = 0, a sík még egy pontja: D(l; 1; 9,5) . 3.3.7. 5 x - 4 z + 35 = 0 . 3.3.8. Az AB oldal felezőpontja: F \ Az egyenes v irányvektora merőleges a síkra, tehát annak bármely vektorára, így például AB és AC vektorokra. Az irányvektor tehát párhuzamos az AB x AC vektorral. AB XAC = 6i + 6j - 3 k , vegyük ennek ^ -szorosát, v(2; 2; -1). Az egyenes egyenletrendszere: x = ^ + 2 t, y = 2t, z = 2 - t . 3.3.9. a) Ha van közös pontjuk, akkor a koordináták kielégítik az egyenes és a sík egyenleteit is. A sík egyenletébe behelyettesítjük az egyenes paraméteres egyenletrendszerből x, y, z-t: -1 + 2t + 5 - 3t - 6 + 4t - 1 = 0 . Rendezés után 3t = 3, azaz t = 1. A síknak és az egyenesnek tehát egy közös pontja van, az egyenes t = 1 paraméterértékhez tartozó pontja: x = 1, y = -2, z = -2. A közös pontjuk: D (l; -2; -2).

186

KVK-1190 b)Az a) feladat megoldásához hasonlóan járunk el: 5 + 5t + t + 2 - 6 t = 0 . Rendezés után 7 = 0, ami nem teljesülhet, tehát az egyenes egyetlen pontja sincs a síkban. Az egyenes pár­ huzamos a síkkal. c) Az a) feladat megoldásához hasonlóan járunk el: 10 + 5t + t - 1 0 - 6 t = 0 . Rendezés után 0 = 0, tehát bármely t esetén teljesül az egyenlő­ ség. Az egyenes a síkban fekszik. 3.3.10. Ha az egyenes párhuzamos a síkokkal, akkor merőleges a két sík normálvektorára, ni-re és n2-re, vagyis párhuzamos (ni x n2)-vel. A síkok normálvektora:ni(2; -4; 6), n2(3; 0; 2).

i j k -4 6 2 6 2 -4 +k n, xHj = 2 - 4 6 = i -J 3 0 0 2 3 2 3 0 2 - - 8 i + 14j + 12k . Iránjrvektomak vehetjük a v =

^ **2)vektort: v(4; -7; -6).

Az egyenes egyenletrendszere: X = - 2 + 4t, y = 3 - 7 t, z = l- 6 t. 3.3.11.2y + z + 1 = 0 . 3.3.12. a) Az egyenes egyenletrendszere: x = l - t , y = l + t ,

z = 2 + t.

b) T = — területegység . 3.3.13. a) Az A csúcsnál tompaszög van. b)A súlyvonal egyenesének egyenletrendszere: x = l,

y = 2 + ^ t,

z = -l +t.

187

KVK-1190 c) A háromszög síkjának egyenlete:

2 x - 2 y + z + 3 = 0.

3 d) T = — területegység. 3.3.14. A két sík párhuzamos, tehát van ilyen sík. A keresett sík normál­ vektora párhuzamos a két sík normálvektorával, így az n ( l; 1; -2)-t választhatjuk normálvektomak. írjuk fel az első sík egy tetszőleges pontján, például P(l; 2; 1) ponton átmenő, a síkokra merőleges egyenes paraméteres egyen­ letrendszerét: x = l + t , y = 2 + t, z = l - 2 t . 4 l' fi pontban döfi. A kereEz az egyenes a másik síkot D 3 ’ 3 ’ 3, '2 5 5 felezőpontjára, így sett sík illeszkedik a PD szakasz F \ 3’ 3’ 3 egyenlete: x + y - 2 z + l = 0. 3.3.15. 4x + y + 3 z - 6 = 0 . 3.3.16. Jelöljük a B pont helyvektorát b-vel, a D pontét d-vel, amely d = b + BD alakban állítható elő és BD = BA + B C . Számítsuk ki a BA, BC vektorokat: BA(2; -1 4 ; O), B C (-6 ; - 8 ; lO), így B D (-4; - 2 2 ; lO), tehát d ( - 3 ; - 1 6 ; 8). A D pont koordinátái megegyeznek d koordinátáival, így a paralelogramma negyedik csúcspontja: D(-3; -16; 8). A BD átló egyenesének irányvektorának vegyük a BD vektor -szeresét: v(2; 11; -5). A B pontot használva, az átló egyenesének egyenletrendszere: x = l + 2 t, y = 6 + l l t , z = - 2 - 5 t .

188

KVK-1190

4.EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 4.1. Sorozatok 4.1.1. a ) 3,1; 3,01; 3,001; 3,0001; 3,00001; 3,000001. Szigorúan monoton csökken, konvergens, határértéke 3. 3, 3. 9. 15. 33, 63 2 ’ 4 ’ 8 ’ 16’ 3 2 ’ 64 ' Mivel egy negatív valós szám pozitív egész kitevős hatványai vál­ takozó előjelűek, ezért a sorozat elemei váltakozva kisebbek illetve

f 1Y abszolút nagyobbak - 1-nél. Így a sorozat nem monoton. A — V 2^

értéke n növekedésével csökken, 0-hoz tart. Tehát a sorozat eleme­ inek - 1 -töl való eltérése 0-hoz tart. így a sorozat konvergens, ha­ tárértéke - 1 . c) 1; -V 2 ; V3; - 2 ; Vs, - V 6 . Nem monoton, divergens, nincs ha­ tárértéke. d)l; 0; —; 0; — ; 0. Nem monoton, konvergens, határértéke 0. 9 23 e)5; 3; 1; 1; 3; 5. A negyedik elemtől kezdve szigorúan monoton nő, divergens, határértéke + oo. f) 9990; 9900; 9000; 0; - 90000; - 99000. csökken, divergens, határértéke - oo.

Szigorúan

monoton

n. A . - A . n 2 ’ 2 ’ ’ 2 ’ 2 ’ ■ Az előjel váltakozása miatt nem monoton. Mivel bármely indextől

189

KVK-1190 kezdve van a sorozat elemei között

és is, nincs olyan 2 2 valós szám, amelytől ezen elemeknek való eltérésének abszolút ér­ téke kisebb lenne, mint például ^ . Tehát a sorozatnak nincs határ­ értéke, divergens. 1 3 7 15 31 63 ^ ^ , h )—; —; —; — ; — ; — . Szigorúan monoton no, konvergens, ha^2 4 8 16 32 64 ® tárértéke 1. i) 120; 60; 20; 5; 1;

6 Mivel n növekedésével a nevezőben álló n! értéke is növekszik, ezért a sorozat szigorúan monoton csökken. A sorozat elemei a ha­ todik elemtől kezdve 1-nél kisebbek, s az n-edik elem nevezője az előző elem nevezőjének n-szerese. A nevezők minden határon túl való növekedésével a törtek 0-hoz tartanak. Tehát a sorozat kon­ vergens, határértéke 0.

4.1.2.Figyelje meg, hogy egy sorozat első néhány eleméből általános esetben még nem tudjuk megsejteni a határértéket! Ebben a feladatban és a továbbiakban is egy szorzat vagy hányados határértékének megállapítjuk a „típusát”, és ezt az egyenlőségjel alatt zárójelben megadjuk. (Azaz szorzatnál a tényezőknek, hánya­ dosnál a számlálónak és a nevezőnek külön kiszámítjuk az adott helyen vett határértékét.) a) a, = -4; &2 - -27; aj = -58; = -91; de pl. ajo = 4005. / \ 1 1^ = + 00, felhasználva, hogy lim a„ = lim n ^ 1 10- +5- , n n ^/ (+ 00.1) V 10- —^ 1 0 - 0 = 0, é s 5 - ^ - > 5 - 0 = 0 ,h a n ^ + o o . n n^

190

KVK-1190 7. 9. 11. 13 üj 3.9 — 5 3-0 — , 3.4 — , 3,c — ' 3 ' 8 ^ 15 ' 24 lim a„ = lim

n—>+00

n—>+00 —

1+ ------ ^ ^

1

= Hm

o ^ ----2 2n

n-^+Qo

= 0.

c)0,71; 0,71; 0,82; 0,92. lim a„= +oo. n->oo

d) a, =2,41;

a^ =3,15; aj =3,73; a^ =4,24,

Vn +1 + Vn hm a„ = h m --------------- = +00. n^+®

n^+” (n +1) - n

4.1.3. a) n > 10001. 34 4n + 10 4 1 telie 1. Ebből sül, ha < — , hiszen 3 (3 n -l) 10^ 3 (3 n -l) átrendezéssel kapjuk, hogy 340 < 9n - 3, azaz n > 39. a „ -A

c) lim a„ = 1, és 1- a„ = 1- a„, mivel 1- a„ > 0. n-^+QO

2” 1 1-------------< — , azaz 900 < 2" teljesül, ha n > 10. 2 " +100 10

4,2. Egyváltozós valós függvények elemi vizsgálata 4.2.1. a )x € R \{ 2 ;-l} .

b )x e R \{ -l;0 ;l} .

191

KVK-1190 2

c) - 2 - 3x > 0, és X 0, így X €

d )x e ] - o o ; - 2 ] U [ 2 ; + oo . e) X > 0 és 1- VX

0, azaz x

1, így x e [ 0; 1 [ u J 1; + oo

f) x e R \ { 0 } . g) cos X > 0,

-— + k-2n; —+ k-27i , ahol k e Z ,

azaz x g

2

2

h)Csak pozitív kifejezéseknek értelmezzük a logaritmusát, így 1+ X ------> 0 . Ez pontosan akkor teljesül, ha l + x > 0 é s l - x > 0 , 1 -x vagy l + x < 0 és l - x < 0 . Összesítve: -1 < x < 1. (Az utóbbi két egyenlőtlenség nem teljesülhet egyszerre.) Tehát x e ] -1; 1 j) X € R \{ 1 ]

i) X € R \{ o }. 4.2.2. a)f(g(x)) = sinVx,

x g

[0 ; + oo[;

g(f(x)) = Vsinx, X G [ k •2 k ; tih-k•2ti ], ahol k g Z . b)f(g(x)) = e"%

x g R;

g(f(x)) = -e%

c)f(g(x )) = g(f(x)) = lg lg x . lg x > 0 , a z a z x > l, így x

g

] 1 ; +

oo

xgR.

.

/ \ 71 d)f(g(x)) = tg ----—- X , X G R \{k-7i } ,a h o lk e Z ; v2 y 71

g(f(x)) = —- tg x ,

192

x g R\<

71

—+ m-7i [>,aholmGZ.

KVK-1190 e)f(g(x)) = 1

-1 -

X x; A tört nevezőjében a gyök alatt csak pozitív szám állhat, ezért - 1 > 0 , azazx^ >1. Ez teljesül, ha x e ] - o o ;-1 [U] 1;+ 0, azaz x^ < 1. Ez teljesül, ha x e [ -1; 1 ]. f)f(g (x )) = — ( 3 x - l)

xe R\ | i | ; [3J

4.2.3. a) h(x) = cos X, g(x) = x ^ b)h(x) = e% g(x) = ctgx, c) h(x) = In X, g(x) = - , X

g(f(x)) = 3 — -1 , x € R \{ o } . X

g(h(x)) = cos^ x . g(h(x)) = c tg e \ g(h(x)) =

Inx

d)h(x) = arctgx, g(x) = 10% g(h(x)) = e)h(x ) = e% g(x) = e% g(h(x)) = e ^ \ f) h(x) = sh X, g(x) = - x , 4.2.4. a)D f

g(h(x)) = -sh x ,

szimmetrikus a 0-ra, és bármely x e

esetén f (-x ) = 0.

Mivel f(-x ) = f(x) = - f(x ) = 0 is teljesül, a függvény páros és pá-

193

KVK-1190 ratlan is. Megjegyzés: Azon függvények, melyek egyszerre párosak és páratlanok, pontosan a következők: f(x) = 0, szimmetrikus a 0-ra. b)Páros.

c) Páros. 1

d)D f =R\ 0. x^-1-l - 2 x 2 x^+x^ 1 lim --------- = - 00, felhasználva, hogy x > — esetén 1- 2x < 0. . 1; l - 2 x (X] ’ 2

d) lim f(x) = -4, lim f(x ) = -4, lim f(x ) = -oo, lim f( x ) = +oo. x^-00 X^+QO x^-2~ x^-2"^ e) Összetett függvények esetén a határértékszámítást belülről kifelé haladva végezzük, akárcsak a fíiggvényértékszámítást. i 1 lim e ’‘ = 1 , hiszen lim —= 0 , és lim e’^ = 1 . x^-00

x^-00 ^

x^O

1 1 lim e"" =1^, hiszen lim —= 0^, és lim e"" =1^.

x^+00

x->+oo ^

x^O"^

1 1 lim e"" =0^, hiszen lim —= - 00, és lim e"" = 0^. x-^0 x^O X x^-QO 1 lim e ’' = +00, hiszen lim —= +00, és lim e"" = +00 . x-^0^ x^O^ X x^+00

pX —0 , í) lim X->-00 X " 1 '

198

lim — — 0% X^+QO X ' 1 ' ^+00^

lim — — X ^+00^ . 0^ y

KVK-1190 r i+ x ^ r i+ x ^ = - 00, hiszen lim =0 \ g) lim In x^-l* U - x J x^-r [ l - x j r i+ x ^ ^1 + x^ = +00 = +CO, hiszen lim lim In x^r { í - x j x^r U -X y

h)

lim In

x^±oo

1+ X

1 -x

= 0, hiszen lim

X^±QO _

^

J

X+ 1

= -1, így lim

X^+QO - X

= +1.

+ 1

1+ X 1+ X = 0^ = - 00, hiszen lim lim In x^-l* 1 - x 1 -x lim In

i)

1+ X

1+

X

= +0O. = +00, hiszen lim x^l* 1 - x 1-X

lim f(x) = - 00, x->0“

lim f(x ) = +oo. x^O’"

4.2.8. a )D f = ]-o o ;

+ Go [,

lim f(x ) = -oo,

lim f(x ) = +oo.

b)D f = ] - o o ;- l[ U -1;1 U]l;+oo[, lim f(x ) = 0"‘, lim f(x) = +co, x -^ -o o

x-^ -1

lim f(x) = -oo, lim f(x ) = +oo, lim f(x ) = -oo, lim f(x ) = 0". x ^

- r

x - ^ r

x ^ l-"

x -» + o o

c) Df = ] - o o ; - l [U ]-l;+ o o . lim = l i m ^ = l. x^±®x^+2x + l x-^±co

lim

= +00 . ^ (x + 1)^ _i_' ‘ 'i

d)D f = ]0 ; +00 [,

lim f(x) = lim f(x) = + 00, Vn+ V_ x^O

e ) D f = l0 ; + o o ,

lim f(x )= lim f(x) = +oo, x-^0^ x^+co

199

KVK-1190 f) Df = ] - oo; 0 [U ] 0; + 00 lim arctg—= 0“, hiszen lim —= 0”, és lim arctgx -- 0“ .

X-^-QO

^

x^-oo ^

1 lim arctg —= — x->o

X

x-^0

1 , hiszen lim —= -oo, és lim arctg x = —

2

X

x^-co

.

2

Mivel a függvény páratlan, ezekből következnek az alábbiak: ^ ^ 1* 1 + hm arctg—= — ,es hm a r c t g - = 0 .

1*

X

g)D f

= ] - o o ;

h ) D f

=]

0 ;

2

+

+00

oo

[,

X

[,

lim f(x ) = + o o , lim f(x ) = + o o , X-^0^

lim f(x ) = 0^. lim f(x ) = r . X-^+QO

i) Df = ] 0; 1 ], felhasználva, hogy a g(x) = arccos x függvény értel­ mezési tartománya: Dg = [ -1; 1 . lim arccosX-lóg„ X

x ^ 0+

"

í n.

=

- o o .

.)

lim arccos x •log„ x = arccos 1•log^ 1 = 0. X—>1

4.2.9. a ) lim f ( x ) = 0, lim f(x ) = l - e =0, azaz lim f(x) = f(0) = 0 . x^O x^O^ x^O Az f, (x) = 0 és az fj (x) = 1- e”^’‘ elemi függvények, így folytono­ sak. Az f(x) függvény a 0-ban is folytonos a fentiek alapján, tehát értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. Az f(x) függvény folytonos függvény. b)Nem folytonos.

c) Folytonos.

4.2.10. a)f(x) szigorúan monoton nő, f(x) =

200

x+4

KVK-1190 b)Az

X, < X2

egyenlőtlenséggel ekvivalensek az alábbiak:

- X i > - X 2, 1 - x , > 1 -X 2 , ^ 1 - x , > ^ 1 -X 2 . (Felhasználtuk, hogy a g(x) = Vx

függvény szigorúan monoton nő.) Tehát

Xi < X2 esetén f ( x ,) > f ( x 2) , azaz az f(x) függvény szigorúan monoton csökken. Mivel y = V l - x esetén y^ = 1- x , azaz X=

1- y \ az f(x) függvény inverze: f(x) = 1- x \

c)f(x) szigorúan monoton nő, f(x) =

logj 2x

4.2.11. a)D - = { 2 n |n e N } u { - ( 2 n - l) |n € N } és f(x) =

b)Legyen fj(x) = x - l és

X,

ha x > 0,

- X,

ha X < 0.

= A = ]-oo;0]. Ekkor a 4.2.5. és a

4.2.10. feladatok megoldásait és jelöléseit alkalmazva fi(A) = ]-oo;-l] és fi(x) = x + l. Hasonlóan legyen f2(x) = x^, D f^=B = ]0;l], ezekre f2(B) = ]0;l], f2(x) = V x. Végül legyen f3(x) = - —, Df = C = ]l;+oo[, ezekre f3(C) = ]-l;0[, f3(x) = - —. X ' x Ezen adatok segítségével az inverz függvény: X +1, ha X < -1, D - = f ,( A ) U f 3(C )U f2(B),

,

f(x) =

h a -l< x < 0 ,

X

Vx,

h a O < x < l.

4.2.12. b) c) V(17) '( i + 2 ^ + 2 ') = 51,

líri

\ Í TÍ

3

3

2"

16

d )20.

201

KVK-1190 492

g )2 .

e) {rj

h)0.

j) log2 sin

i) 5. 3n

k )-6 .

n) arctg tg ^

- 5 - 2 n = lóg 2 sin

1) ctg

v’ 2,

= 0.

m) - V3 ,

7t

= arctg (- V s)= - —.Megjegyzés:

arctgtg Xq = Xj, ahol x, e

o) 0, mertarccosl = 0.

q )lo g ^l = 0.

'2

v4.

7l _ 71

2 ’2

, és X, = Xg + k • 71,aholk s Z .

» > -!■

r)0 .

S ) - f

2 /gln2 _g-ln2 >2 t) (thln2)' =

Í2 -i^ 2 2 .1 2;

202

rs^ ' _ 9 ~25

KVK-1190

5.EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 5.1. Differenciálhányados és deriváltfüggvény 5.1.1. a) f'(Xq) = lim ^^0 Ax^O

^ 1

b )fX x .) = lim Ax^o

1 Ax

•Ax + Ax^) = 3xq

Ax^O

Xo-(Xo+Ax) = lim

Ax

- lim ----- -------------- Í- = lim “^ Ax^o(x„+Ax)-Xo Ax ^= -----. 99! t i n!

5.1.3. a ) f '( x ) - — ^ - s i n V ^ . 3Vx"

b )f'(x ) = — : sin^ e’‘

c) f(x) = h(g(x)), ahol h(x) = 2% h'(x) = 2"" • In2 és g(x) = sin x , így f'(x) = h'(g(x)) •g'(x) =

206

•In 2 •(sin x) = In 2 •2®'"’‘ •cos x .

KVK-1190 d) f(x) = h(g(x)), ahol h(x) = arctg x, h'(x) = —^

és g(x) = - ,

1+ x

r ( x ) = h'(g(x))-g'(x) =

1

így

X

1

l + (g(x))^

1+

x^+1 e) u'(v) -

í) g'(t) =

1 (InM O)t-lgt

g) f (x) = h(g(x)), ahol h(x) = In x, és g(x) = a x , így bármely a e R \{ o }

esetén

f'(x) = h'(g(x))-g'(x) = — •(ax)' = — •a = —. ax ax

Az integrálszámításban felhasználjuk azt az eredményt, hogy (in (-x )) = (in x) = —, s ebből következően (in x ) = —.

i) f'(x) = ( - l n l 0 ) 1 0 '\

h )g'(t) = e^‘ -e*.

j) Többszörösen összetett függvények esetén a láncszabályt alkalX.

mázzuk. f(x) = h(g(x)), ahol h(x) = x^ és g(x) = tg —.

f'(x) = 2 - tg - .

X

= 2 tg -.

2 X v4.

COS —

k )f'(x ) =

X 2Ocos 2 —

-chx 2 -^ sh x

207

KVK-1190 1

1

6

log 3 thx

th x -ln 3

ch^ X

ln 3

sh 2 x

1) f'(x) = 3(log3 thx)--

(F e lh a sz n á ltu k , h o g y s h 2 x =

^

2

s h x - c h x .)

chV x^

3

m )f (x) = - - - = -------

n )f'(x ) =

=2

• l n 5 '(cos^

In 5 •5“ *

'•

cos

2

2

x) = ln

x • ((- sin

(F e lh a sz n á ltu k , h o g y s i n 2 x =

2 2

5

- 5 “ ®'^’‘ • Í 2 - c o s 2 x - ( c o s 2 x )

V

x ) •( 2 x ) ' )

=-2

In 5

•5 " ° * ' •s i n 4 x

/ .

s in x - c o s x .)

- sin In X I --------------------------- --------------------------------

111

I---------------------------------------

—

V l-cos-M „x

x -c o s M n x jl-

' COS I n x

5.1.4. y (t) = “ A •a •sin at + B •b •cos bt + C •c •e‘"‘ . b )f'(x ) = 2 sin x -co sx -2 x sin x ^ ^ 4xtgx^ COS X

d) f'(x ) = 12(3x + 2 y - (31n4)4'’‘^". e)Az alábbi megoldásban megmutatjuk, hogyan célszerű racionális törtfüggvények vizsgálatakor a deriváltfíiggvényt kiszámítani. A zárójelek felbontása előtt kiemelünk, majd egyszerűsítünk.

208

KVK-1190 r u ) = 2 (2 x -3 )-2 -(x + 1 )^ -(2 x -3 )^ -3 (x + 1)^ ^ (x + 1)*^

_ (2x - 3)(x +1)^ (4(x +1) - 3(2x - 3)) ^ (2x - 3)(-2x +13) (x + 1)^

“ g )f'(x ) = l -

(R + r)^

h )f'(x ) =

2(2 - x )V l-x

ex^-'-cthe’^ e^-thx^ sh 'e " c h 'x '

r i) f Xx ) = - — -\n x + —

j) f'(x ) =

(x + i r

x ^ -1 x^ +x^

’

_ ln x (ln x - l) Inx (lnlO)xlti^ X (lnlO)x vlnx^

V

1) f'(x ) = -

/ T \2 2x 1+ 1 -x '

2

+ 2x^

2x 1 -x ' ^ 2(l + x ^ )^

1+

J ____ 2 (l-x ^ )+ 2 x -2 x 4x^

(l-x^r

2

(l-x ^ )^ + 4 x ^ + 1+ x^ Megjegyezzük, hogy a megadott függvény deriváltfliggvénye a kö­ zös értelmezési tartományban megegyezik a g(x) = 2arctgx függ­ vény déri váltfíiggvény ével.

209

KVK-1190 /

m )f'(x ) = 5Í V S -tg

TIX

N

\4

71 1 2 7TX *2 COS — 2 y /

V

5k

V s - tg

\

nx

\4

2cos^ n) f'(x ) = sin(x •cos x) + X•(cos(x •cos x))- (cos x - x •sin x) 1

o) f '(X) =

1-

X - Vx^ - 1

1

Vx^ -1

(ln4)(x + sh x -eh x )

^

,

Vx^ -1

(x + sh x -ch x )' (In 4)(x + sh X•eh x) 2eh^ X

q)r'((t)) =

1+ ch^x + sh^x (In 4)(x + sh x •eh x)

. (Felhasználtuk, hogy 1+ sh x = eh x .)

2-sin^2(j) 2eos2(j)(2 + sin^ 2(()) 2 sin 2(1) 71

(2-sin'2(|))'

-2 x ^ +X

TIX

r) f (x) = ------- p = = ^ - c o s 'y/(2x^ + x f V2x^ + x 5.1.5. a )f(x ) = x '+ l + 2x,

210

2 a/ x ^ - 1

V x '- l -

x -V x ^ -1 p )f'(x ) =

X -V x ^ ^

2x

f'(x ) = 2x + 2.

KVK-1190 1 1 \ b )f(x ) = - x « - - x 2 ,

f'(x) = 1 8 ^

3V Í

’

( l„ 3 ) x - Í ' c) f(x) =

Vvlv? d) f(x) =

’V9x'=

- e“’‘, f'(x) = e ’‘ +

e) f(x) = (in x ^)• e ^

= -3 e ’‘ •In x,

. 1 , f'(x) = -3 e ’ —+ lnx x

(Felhasználtuk, hogy ln x “^ = -3 1 n x , hiszen a két függvény értel­ mezési tartománya megegyezik, a függvényértékek azonosságát pedig az ismert logaritmus azonosság biztosítja.) 1 f)í(x) = yÍ3x\

/T f'(x) = - ^ .

2vx

g )f(x ) = X,

f'(x) = l.

5.1.6. a) A deriválhatóság szükséges feltétele, a folytonosság teljesül. x < O e se té n f(x )-f[(x ), aholf,(x) = 0, ezért x < 0 esetén a deri­ vált, illetve az x = 0 helyen a baloldali derivált f/(x) = 0. 0 < X < 1esetén f(x) = f2(x), ahol fjíx ) = x ^ , ezért 0 < x < 1 esetén a derivált, illetve az x = 0 helyen a jobboldali, az x = 1 helyen a baloldali derivált (^) = 2 x . x > le se té n f(x ) = f3(x), aholf3(x) = l, ezért x > l esetén a deri­ vált, illetve az X = 1 helyen a jobboldali derivált f3(x) = 0. Mivel az X = 0 helyen a bal-, illetve jobboldali derivált is 0, ezért itt a függvény deriválható, de az x = 1 helyen a baloldali derivált 2, a jobboldali derivált pedig 0, tehát itt a függvény nem deriválható.

211

KVK-1190 (A deriváltfuggvény az x = 1 helyen nincs értelmezve.) 0, ha X < 0, f'(x ) = 1. b)A

függvény az x=0 0, ha X < 0, f'(X ) =

helyen

nem

deriválható.

A-e"^’‘,h a x > 0.

5.1.7. (3)

a )(ln x r =

—

^ =

1^ , 2 X y

~

800000 f) f"(x) = 3e'’‘-’‘'( 3 ( l - x ^ ) '- 2 x )

í U

3

-

J

V /

2

f"(V3)= 6 (ó -V s).

5.2. A differenciálszámítás alkalmazásai 5.2.1. a)A Po(Xo,yo) ponton áthaladó, m meredekségü egyenes általános egyenlete: y - Yo = ni(x - Xq) , ahol m = f'(X q) • (Ld. az ábrát.) Xo=4,

yo=f(X o) = 2,

=

m = f'(Xo) = ^ .

Az érintő egyenes egyenlete: y - 2 = —(x - 4 ), azaz y = —x +1. 4 4

212

KVK-1190

b )y = x . 4 4 d )Y o = — , m = 0, y = — e e

e )y = ^ x — . 71

( 2 x - e ) - ln '( 2 x - e )

71

, y = — x + 3. e

5.2.2. 7t

b) df = — ^ d x , ^ 96

c)Az f(x) függvény

Xg helyen vett x-szerinti differenciálja:

df = f'(X o)dx. A megadott adatokkal: 1

f'(x) =

2^íx^^|l-x

,

f'

1

= 1, df = dx.

v2. V2 ’ V2

5.2.3. Ebben a feladatban és a továbbiakban is egy szorzat, hányados, összeg vagy különbség határértékének „típusát” az egyenlőségjel alatt zárójelben megadjuk, ahogy ezt a sorozatoknál is tettük. (Ez azt jelenti, hogy szorzat esetében a tényezők, összeg és különbség esetében a tagok, hányados esetében pedig a számláló és a nevező adott helyen vett határértékét külön-külön kiszámítjuk.) a ,,i„ Í Í Z ^

,

H „ z X2 z í ) 1 , 2x

= lim 3(2 - x) = +C0 . (A szabályt kétszer alkalmaztuk.)

213

KVK-1190 b) lim X^+OO_ 2x

lim (-1) = -1 . X^+QO

c)0"^.

e) 0.

f) lim — ^

X^+CO e ’‘ _ e

^

= lim —

= lim ---- = 0^.

X^+OO

X^+CO

g) lim ( l - x ) e ’‘ , = .lim X —> - 0 0

l^+oo-O '^ j x - ^ - o o

Q

1-x

_ g

x^-oo _ Q 1-x

(Felhasználtuk, hogy (e’‘ ' ) ' = e' h )0 \ i) lim

^ lim ------- — = lim e"' = +oo. (Megjegyezzük, hogy x^O* - X

X

átalakítás zsákutcába vezet.)

az x -e ’‘ =

k )-l.

j) 0-. 1) lim x^O

1

1

=

x - s in x 1 -c o sx h m ---------- = h m --------------x^o- smx + x-cosx x^o- X •sin X

smx = lim "0^ 2 c o s x -x -s in x . 0,

UJ

5.2.4. a) f '(0) = f '(-3) = 0,

214

f"(0) = 0.

b ) f '( x ) ^ 0 ,

f" " i " = 0. v ’2.

K VK-1190 í 1 c )f'(x ) = ( l - l n x ) '+ x - 2 ( l - l n x ) - - = ( l - l n x ) '- 2 ( l - l n x ) = l x; = In^ X- 1 . f'(x) = 0, ha In^ x = 1,azaz Inx = 1,tehátx = e, 1 vagy In X = -1, tehát x = —. e

í f'(e) = f ' — =0. yej

f"(x) = 21nx-—, f"(x) = 0, h aln x = 0, azaz x = l,

f"(l) = 0.

X

d ) f '( - l) = 0,

f"(x)9tO.

e) f'(x) = e’‘(sinx + cosx), f"(x) = 2e’‘ -cosx,

Ti ^ f ' — + k-7i = 0, ahol k € Z . 4

n —+ m-7i = 0, ahol m € Z . 2 /

f

5.2.5. Az alábbi feladatban, hacsak külön nem jelezzük, a deriváltfügg­ vények értelmezési tartománya megegyezik, vagy bővebb az erede­ ti függvény értelmezési tartományánál, a) Rf = R .

b )l. Értelmezési tartomány: D f = R = ] - oo; + 00 .

2. Párosság: f (-x ) = ((-x)^ -

-

1)^ = f ( x ) , tehát az f(x) függvény páros, 215

KVK-1190 elemzését a [ 0 ,+ o o [ intervallumon végezzük, majd tükrözzük a képét az y-tengelyre. 3. Határértékek; lim f(x) = +oo. X^+QO

4. Tengelymetszetek: x-tm; Pj (1; 0 ), mert (x^ - 1)^ = 0, ha x = 1 (x > 0 m ellett), y-tm: P2( 0; - l ) , mert f(0) = - l . 5. Monotonitás: f'(x) = 3(x^ - 1)^ •2x = 6x(x^ - 1)^, f'(x ) = 0, ha X = ±1, vagy x = 0. Az értelmezési tartománj^ olyan intervallumokra bontjuk, melye­ ken belül a derivált előjele egységes. Most kivételesen megvizsgál­ juk a ]-l;0 [ intervallumot is, hogy eldönthessük, van-e szélsőérték az x = 0 helyen. (Az előjelvizsgálathoz felhasználjuk, hogy (x^ - l ) ^ > 0 , ha X 9^ + 1 .)

-

0 0

01

0

-

+

0

+

t

P2

t

t

Lokális maximum: P, 6. Konvexitás: x ^ -3 x + 2

= 2 ^ ^ -^ , x

= - ( l - 3 x ^+ 2 x

==-(óx ^ - 6 x '*) =

f"(x) = 0, ha X = 1.

2 (Felhasználjuk, hogy — > 0, ha x e D f.) X

219

KVK-1190 0 +

t

P.

4

t

Lokális maximum: Pj (-1 ; - e ). 6. Konvexitás: f"(x) =

=e

=e 1

X

1+ - - 1

=e

1 r, 1" i+ - +e 1

X

(Felhasználjuk, hogy e

f"(x) f(x)

Rj, = ] - Q o ; - e ] U ] 0 ; + oo

222

--

> 0, ha x e

.)

x 0 +

n

u

KVK-1190 k) f(x) = ------ alakban vizsgáljuk a függvényt. 2 -x 1. Értelmezési tartomány: Df = R \ { 2 } = ] - oo;2 [ U ] 2 ;+ oo\ 2. Határértékek: e“’‘ -e -^ h m ------ = + 00, lim = Hm c lim x-^-oo 2 -X 2 - x ^+00^ X->-QO -1 ^+00, 0+ lim

e'^ 2 - x ^e-2 ^

e”" X-^+QO 2 - x lim

Oü,

(X)^

3. Tengelymetszetek: x-tmnincs, mert e”"" ^ 0 , y-tm: Pj 4. Monotonitás: f -( x )= z £ líz í) z p z l),í;íiz » , (2 -x )' (2 -x )'

r ( x ) = 0 , h a x = l.

(Felhasználjuk, h o g y -------- ^ >0, ha x € D f.) (2-x)

f'(x) f(x)

0

l0* Inx ^+00^ x->0* \ V J X ”'

P

= -00,

x -‘ _ = lim x->r Inx ^ 1^

00,

x ”‘

lim — = + 00, lim — = x^iM nxí± l x->” lnxío"' 3. Tengelymetszetek: x-tm nincs, mert x”' 0, y-tm: nincs, mert 0 g D f.

225

KVK-1190 4. Monotonitás: - x '^ - I n x - x ”'-x'* f'(x ) = (Inx)'

- x ’^(lnxH-l) lnx + 1 (x-lnx) 2 ’ I n 'x 1 f'(x ) = 0, h aln x = - l , azaz x = - . e (Felhasználjuk, hogy (x •In x)^ >0, ha x e D f.)

f'(x) f(x)

0 0, ha x e D ^ .)

228

KVK-1190 x

>2

f"(x)

-

f(x)

n

Rf = —co: ■ r ) R(. = } - o o ; 0 ] U [ 4; + o o

229

KVK-1190 s) Df = [O;+ oo[,

lim f(x) = +co.

105 f'(x) = y x H 3 x - l ) , f"(x) = - ^ x 2 ( 5 x - l ) , Rf

230

:+oo

KVK-1190 u)R f = — ;+oo e

5.2.6. a)Maximum: f(0) = 1, minimum: f ( - l ) = 0. b)Maximum:f(l) = e^, minimum: f(0) = 0 . (Megjegyezzük, hogy a minimum értéke rögtön adódik az gek figyelembevételével.) c)

1 -;e

Df

f'(x) = ( l- l n x ) + x

> 0, e^** > 0 egyenlőtlensé­

1

A deriváltfuggvény segítségével monotonitásvizsgálatot végzünk a függvényen a megadott intervallum fölött.

e f'(x) f(x)

+ t

1

1< X < e

0 lók. max.

-

1

A függvény menete alapján a maximum: f(l) = 1, a minimum le1 3 r 1^ hetséges helyei: x = — , vagy x = e . Mivel f(e) = 0 < - y = f — e" e y ezért a minimum: f(e) = 0.

231

KVK-1190 d )f'(x ) =

„ ■ f'(l) = 0, V (x ^ -2 x + 5 )‘

f(0) = - í - , V5

lim f(x ) = 0*.

1

5.2.7. a ) R f = [ 3 ; + oo[.

c)A megadott intervallumon érvényes az Inx^ s 21nx azonosság. l; + o o [ e D f

f'(x ) = 21nx- —- 2 - —= —( in x - l) , X

f'(e) = 0.

X X

A deriváltfuggvény segítségével monotonitásvizsgálatot végzünk a függvényen a megadott intervallum fölött. 1< X < e f'(x ) f(x) f(l) = 0,

f(e) = - l ,

-

1

e 0 lók. min.

X>

e

+ t

lim (lnx-(lnx-2))= (+ oo-+ oo) = +oo. X -> + Q O

A fiiggvény menetét vázölva, s felhasználva, hogy a függvény foly­ tonos, értékkészlete a fenti adatokból leolvasható: Rf = [-1; + oo .

d)R f = 0;

e )f'(x ) = - ^ = , 2 x V x -l'

232

f'(x )> 0 ,

Rf =

KVK-1190 5.2.8. Válasszuk a téglalap oldalainak felét a illetve b egységnek.

Ekkor nyilván 0 < a < l , 0 < b < l és b = V l-a ^ A téglalap terüle­ te: T(a) = 2a •2b ==4aVl - a^ . Vizsgáljuk meg a T(a) függvény menetét. T'(a)==4

-2 a

a +a-

=4

j

2V TV A deriváltfüggvény zérushelye 0 < a < 1 esetén a =

T'(a) T(a)

0 x í - V sin X V sm x .. th^x ^ J) —^ + c .

k) ft g^xdx= f (tg ^ x ) í^ ^ ---- l l d x = |f(tg^x)— ^ - t g ^ x ■' •’ \c o s X J cos X tg^x

fT 1 • - 1 dx = Vcos X

dx =

- tgx + X+ C .

cth^x . ^ 1 ) ------------cthx + x + C.

m ) - |( l - 2 e " ) í +C = - | ( l - 2 e ’‘) V l - 2 e ’‘ +C.

n)

dx = - '(2 + e->)’ ( - e - ) d x = - Í ^ Í ^ + C,

6

+C.

o )-

4 4 -In 10

(3-In 2) 3 - 2 2 V y 243

KVK-1190 In^x r ) ------+ C

In^'x q )—— + C .

dx

s)

xln

V,

\-2

(Inx)

X

1j (inx) ^ 1 •—dx = -^— -— + C = ------ + C X -2 + 1 Inx

t) - V 2 + 3 -ln x + C . 6.3.2.

a)£SÍ8Ji + c . 3 3(arctgx)3 ^ ^ _ 3arctgx ^arctgx 4 d )-

4 ^ arcsin^Sx ^ e ) ------------ + C , 15

1 ■+ C. 3arctg X

^ arcsin x ^ f ) -----------+ C.

h)

dx ^(l - x^jarcsinx

arccos x ^ i ) ------------- + C.

244

g ). (arcsinx)

arcsinx 1

• +c ,

rdx = 2Varcsinx + C .

Vl - X" (3 + 2arctgx)^ , ^ 12

KVK-1190

6.4. f^^dx típusú feladatok f(x)

641

. . . a) Az 1+ x^ deriváltja 2x. Ezért az integrált a következő alakban ír­ hatjuk fel: f X , 11 f 2 x — ^dx = dx. 2 1 + x^ [+ x ' f Most alkalmazhatjuk az — dx = In f + C képletet, amelyen f he­

lyére (l + x^ )-et kell írni. Tehát az integrál értéke: ~ln(l + x^), ahol felhasználtuk, hogy 1 + x' = l + x^, mivel az 1+ x^ mindig pozitív. b) f— ^— dx = — f —- — dx = —ln(x^ - 2x + 3)+ C . 'J x '- 2 x + 3 2 J x '- 2 x + 3 2 ^ ^ c) - ln ( l - s i n x ) + C .

d )^ ln (2 + 3chx)+C .

cosx e) ctgx dx = —;— dx = In sinx + C . smx f) ^Inch2x + C.

ln3

g ) - l n 2 - e ’‘ + C .

i)

dx xlnx

Inx

dx = In Inx + C

j) - |l n |3 - 2 1 n x | + C.

245

KVK-1190 k) 7-----------------= - ^ ± ^ d x = ln arctg x + C . (l + x^) arctgx •’ arctgx 1) ln| 1+ arcsinx| + C .

m) - In(arccosx) + C .

n) - ^ ln( 4 + Sarcctgx) + C .

6.5.

típusú feladatok

Jf(g(x))g'(x)dx

6.5.1. a) Mivel a

deriváltja -x, legyen az

f(g(x))g'(x)dx = F(g(x))+C

(F '= f) képletben az f = e’' és

x^ g - — Y ■Ekkor g’ = -x és F = e^. így: |x e ^ dx = - e ^ ( -x ) d x = - e ^ + C .

co s(n -2 x -)^ C . 6 c) Legyen az f(g(x))g'(x)dx = F(g(x))+C

(F '= f) képletben f = — 1+ X

g = x ^ . Ekkor f(g(x)) = — í— , g'= 2x és F = arctgx. így: 1 +x X

1 f

1

^

,

1

2

^

------ - = — ------ - •2x dx = —arctgx + C . 1+ x ' 2 J 1+ X' 2 d)Legyen az f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C (F' = f) képletben

246

és

KVK-1190 f = Inx és g = Inx. Ekkor f(g(x)) = Inlnx, g'= — és a 6.6.2. b) felaX

dat megoldása alapján F = x(lnx - 1). így: r Inlnx (inlnx)- —dx = (ln x )(ln ln x -l) + C. X

3x^

e)

■3x^ dx = arcsinx + C

dx =

V l-x ^

re^ t f , dx = X

1 í

K

^

^2 1 dx = -6"^ + C.

J

6.6. Parciális integrálással megoldható feladatok 6.6.1. a) Legyen a parciális integrálás

f 'g d x = f g - fg'dx képletében

f ' = e'"'^ és g = X. Ekkor f = -e '" ’^ és g' = 1. így a feladat megoldá­ sa a következő; Jx e '-’‘ dx = x ( - e '- ’‘) - j ( - e ' - ’‘)-ld x = -x e'-" - e '- ’‘ +C = =

(x + l)+ C .

b ) ( x '- 2 x + 3)e’‘ + C .

^ xsin2x cos2x ^ c ) --------- + -------- + C . 2 4

d) (x ^ + x )sin x d x = (x ^ + x )(-co sx )+ (2x + 1) cosx dx = = -(x^ + x) cosx + (2x + 1) sinx + 2cosx + C = = (2 - x^ - x) cosx + (2x + 1) sinx + C . e) (2x + 1) chx - 2shx + C .

247

KVK-1190 f) (4 x '+ 6 x + 3 6 ) s h |- -( l6 x + 1 2 )ch |- + C.

6. 6. 2. a) Legyen a parciális integrálás

f 'g d x ^ f g -

fg'dx képletében

1 f ' = X és g = Inx. Ekkor f = — és g'= —. így: 3 X x ' Inx 1 fx ' 1 x^ dx = x^ Inx dx = — Inx —dx = 3 x _ xMnx x^ _ x^(31nx-l) + C. b) Gyakran a parciális integrálás képletét úgy alkalmazzuk, hogy az integrandus elé egy 1-es szorzót írunk és ezt választjuk f'-nek. Eb­ ben a feladatban a parciális integrálás j f 'g d x = f g - fg'dx képle­ tében f '= 1 és g = Inx, tehát f = x és g'= —. így; X

jlnxdx = x ln x - |x •—dx = x ln x - Jdx = x ln x - x + C = = x ( ln x - l) + C . c) 2-v/x (inx - 2 ) + C . d) J(2x + 1) In^x dx = (x^ + x) In^x - 2 (x + 1) Inx dx = = (x^ + x ) ln ^ x - 2

dx

-+ x In x vv

V

= (x^ + x )ln ^x -(x ^ + 2x)lnx + — + 2x + C.

^ ) (x ^ + l) a r c t g x -x ^ C .

248

f) x arctg 2x -iln (l + 4x>)+C.

KVK-1190 g)Legyen először a parciális integrálás

f 'g dx = fg - Jfg'dx képle­

tében f ' = 3x^ és g = arctgx. Ekkor f = x^ és g'= — í—r-. így: 1+ x 3x^ arctgx dx = x^ arctgx -

■dx. 1+ x ' A kapott racionális törtfüggvény számlálója nem alacsonyabb fokú, mint a nevezője, tehát elvégezzük az osztást: x^ x(l + x M -x x rf' , X- ^ , ------ r- = —^------- i ---- = x --------- Ha az — dx = ln f + C kep1+ x ' 1+ x ' 1+ x" Jf 2x letben f helyére (l + x")-et írunk, akkor azt kapjuk, hogy a 1 + x^ egy primitív függvénye ln(l + x "), vagyis az — 1“1“ X függvénye

egy primitív

+ x"). Az elmondottakat felhasználva a következő

eredményhez jutunk: JSx "arctgx dx = x ^arctgx - ^

- x arctgx “ ~ (x - arctgx - ln(l + x ")) + C .

h)

i)

+ -^ln(l + x " )+ C .

f

f

arcsinx dx = 1 •arcsinx dx = x arcsinx -

= X arcsmx

f

,

X

dx =

+ — ( l - x " ) 2 ( - 2x)dx = xarcsinx + V l- x" + C 2

249

KVK-1190 6.6.3. a) Az

•sin(cx + d)dx és az

•cos(cx + d)dx (ahol a, b, c

és d állandók) típusú integrálok egyikét parciálisán integrálva a másik típusú integrált kapjuk. Ezt - az első integrálásnál használt szereposztással - újra parciálisán integrálva az eredeti integrál egy számszorosához jutunk. így a kapott egyenletből meghatározhatjuk az eredeti integrált. Ebben a feladatban a parciális integrálás f 'g dx = fg - fg' dx képletében legyen f ' = e"" és g = sin2x. Ekkor: f = e"" és g’=2cos2x. kye’‘sin2xdx = e’‘sin 2 x -2 e’‘cos2xdx. Most legyen a parciáhs integrálás felírt képletében f '= e ’‘ és g = cos2x. Ekkor: f = e ’^és g'= -2sin2x . így: e’‘cos2x dx = e’‘cos2x -

e’‘(- 2sin2x)dx.

Ezt felhasználva az eredeti integrálra a következő egyenletet kap­ juk: esin 2 x dx = esin 2 x - 2e cos2x - 4 esin 2 x dx . •

•

Ebből az alábbi egyenlőséghez jutunk: 5 e ’‘sin2xdx = e’‘(sin2x-2cos2x)+ 5C , ahol a jobb oldalra egy állandót írtunk, hiszen a baloldal tartalmaz egy állandót. A célszerűség kedvéért ezt az állandót 5C alakban ír­ tuk fel. Tehát a végeredmény: e’‘sin2x dx = — (sin2x - 2cos2x)+ C . e2x+3 b) —^— (2 cosx + sinx) + C .

250

KVK-1190

6.7. Racionális törtfüggvények integrálása 6.7.1. 1 a )A 2 x - x - l = 0 másodfokú egyenlet gyökei — és 1. így: 2 x ' - x - l = 2 x + - (x - 1) = (2x + l)(x - 1). Ezért a résztörtekre 2 való felbontást a következő alakban kereshetjük: x+2 A B (2x + l ) ( x - l ) “ 2x + l x - T mivel a felbontásban a (2x + 1) elsőfokú tényezőnek

2x + l

es az

B felel meg, ahol A és B állandók. x -1 Az egyenlőség mindkét oldalát (2x + l)(x - l)-gyel megszorozva a következő egyenlőséghez jutunk: ( *) x + 2 = A (x -1 ) + B(2x + 1). X

- 1 e ls ő fo k ú

té n y e z ő n e k

r n Az első résztört nevezőjének zérus-helye a — . Ezt a (*) egyen­ lőségbe az X helyére behelyettesítve azt kapjuk, hogy: 1 - i + 2 = A - i - i , mivel a B(2x + 1 ) tényező az ^ 2 2 kénél 0. Ebből A = -1. A második résztört nevezőjének zérushelye 1. Ezt az x helyére be­ helyettesítve a következő egyenlőséghez jutunk: 1+ 2 = B(2 •1+ 1), mivel az A(x - 1) tényező az x = 1-nél 0. így B = 1. A kapott értékeket felhasználva az alábbi felbontást kapjuk: x+2

1

1

(2x + l ) ( x - l )

2x + l

x -1

x+2

í(2 x + l ) ( x - l )

1

'

• így: 1

+■ 2x + l x - 1

dx =

251

KVK-1190 In 2x +1

+ In X -1 + C .

,^ x ^ -4 x ^ + 2 x x ( x ^ -5 x + ó ) + x ^ - 4 x b) — =^ = X+ x "-5 x + 6 x "-5 x + 6 x ^ -5 x + 6 + x - 6 , x -6 , 4 + -------;-----------------------= X + 1+ —^------------ = X + 1+ x -2 x^ - 5 x + 6 X -5 x + 6 -x^ -4 x ^ + 2x dx = X + 1+x -2 x -3 x ' -5 x + 6

3 x -3

x 2

= — + x + 4 1 n x - 2 - 3 1 n x -3 + C.

c) 31nx - 3 1 n l- x - I n l + x + C. d ) 3 1 n x -2 - 2 1 n x - l - lnx + 3 + C. e) A résztörtekre való felbontást a következő alakban kereshetjük: x '+ 3 x + 7 A B C ■+ ^------ r:r + (x -3 )(x + 2)^ x - 3 (x + 2)^ x + 2 felel meg. x -3 továbbá (x + 2)^ az x + 2 elsőfokú tényező második hatványa, B C aminek a ------- — + ------ összeg felel meg. A felírt egyenlőség (x + 2) x+2

mivel a felbontásban az x - 3 elsőfokú tényezőnek

mindkét oldalát (x - 3)(x + i f -nel megszorozva az alábbi egyenlő­ séget kapjuk: ( *) x ' + 3 x + 7 = A ( x + 2 f + B ( x - 3 ) + C ( x + 2 ) ( x - 3 ) Az eredeti tört (x - 3)(x + 2)^ nevezőjének zérushelyei: 3 és -2. A (*) egyenlőségben x helyére 3-at behelyettesítve a következő egyenlőséghez jutunk: 3 '+ 3 - 3 + 7 = A(3 + 2 f ,

252

KVK-1190 mivel a jobb oldalon szereplő másik két tag értéke x = 3-nál 0. így 25 = 25A, azaz A = 1. Ezután a (*) egyenlőségben az x helyére a nevező másik zérushelyét a (-2)-t írjuk. Ekkor azt kapjuk, hogy: (-2 f+ 3 (-2 )+ 7 = B (-2 -3 ), mivel a jobb oldalon szereplő másik két tag értéke x = -2-nél. így; 5 = -5B, azaz B = -1. A (*) egyenlőség baloldalán az x^ együttha­ tója 1. A jobb oldalon az A(x + 2)^-ből Ax^-et, C(x + 2 )(x -3 )ból Cx^-et kapunk, így ezen az oldalon az x^ együtthatója A + C. Tehát 1 = A + C. Az A értéke 1 volt. Ezért C = 0. A kapott értéke­ ket felhasználva a felbontás a következő: 1 x" +3x + 7 . Tehát a végeredmény: (x -3 )(x + 2)' x - 3 (x + 2)' x +3x + 7 (x -3 )(x + 2y

dx = J

x -3

(x + 2)^

dx = In X - 3 + -+ c x+2

.

f) In X - 2 + — -----In X +1 + C . x+1 g ) ---- 21nx - Inx + 1 + 3 1 n x - l + C. X

h) A résztörtekre való felbontást a következő alakban kereshetjük; x '+ 7 x - l A B C D (x - l ^ x + 6)" " (x -1)" X - 1 (x + 6)" X + 6 ■ A végeredmény; x" + 7 X -1 ^ 1 f 1 1 ■dx = ^ +■ + 6)^ 7 J l^ (x -l)^ x -1

í( x - lf ( x

x -1

+ In X-1

x+6

1

1

(x + 6 f

x+6

dx =

- In X + 6 + C.

i) A nevező az x és a nem felbontható 1 + x^ tényezők szorzata. A résztörtekre való felbontást a következő alakban kereshetjük;

253

KVK-1190 +X + 2 _ A ^ B x + C X

1+ x^

mivel az elsőfokú x tényezőnek — és a nem felbontható 1 + x X

tényezőnek -------^ felel meg. Mindkét oldalt x(l + x^)-tel meg1“I" X szorozva a következő egyenlőséget kapjuk: (*) x^ + x + 2 = a (i + x ")+(B x + C) x . Az eredeti x(l + x^) nevezőnek egy zérushelye van és ez a 0. Ezt az (*) egyenlőségbe helyettesítve az alábbi egyenlőséghez jutunk: 0^ + 0 + 2 - a (i + 0^), vagyis A = 2. így a (*) egyenlőség a következő alakban írható fel: x^ + x + 2 = 2(l + x^)+(Bx + C )x,azaz x^ + x + 2 = (B + 2) x ^ + Cx + 2. A baloldalon az x^ együtthatója 1, a jobb oldalon B + 2, tehát B = -l. A baloldalon az x együtthatója 1, a jobb oldalon C, tehát C = 1. A kapott értékeket felhasználva az alábbi felbontáshoz jutunk: ■>f^+x + 2 2 - x + 1 í .3 X 1+ x^r • így: X + X •x^ + X+ 2 2 ^-x +í dx = x^ + x X 1 + x^ '2 1 2x 1 -+ ■ dx = 21n X “ )+ arctgx + C . 2 1 + x" 1+ x^ j) -ln |x + l| + —ln (x ^ + 4 )-2 arctg —+ C. k)A nevező az x^ és a nem felbontható 1 + x^ tényezők szorzata. A résztörtekre való felbontást a következő alakban kereshetjük: 3x - 2 A B Cx + B

254

KVK-1190 mivel a felbontásban a nevezőben szereplő x elsőfokú tényező máA B sodik hatványának — H— és a nem felbontható +1 tényezőX

X

nek

— felel meg. Mindkét oldalt x^íx^ +l)-tel megszorozva x^+1 a következő egyenlőséget kapjuk: (*) 3x - 2 = a (x ' + 1)+ B x(x' + 1)+ (Cx + D) x ' .

A tört x^(x^ + l) nevezőjének egy zérushelye van a 0. Ezt a (*) egyenlőségbe behelyettesítve az alábbi egyenlőséghez jutunk: 3 - 0 - 2 = a ( 0 '+ i ), mivel a jobb oldalon szereplő másik két tag értéke x = 0 estén 0. Tehát A = -2. így a (*) egyenlőség a következő alakban írható fel: 3 x - 2 = -2(x^ + l)+ B x(x^ + i )+(C x + D) x ^, vagyis 3x - 2 = (B + C) x '+ ( D - 2 ) x ' + B x - 2 . Itt a baloldalon az x együtthatója 3, a jobboldalon B, tehát B = 3. A baloldalon az x^ együtthatója 0, a jobboldalon B + C, tehát B + C =0. Mivel B = 3, ebből C = -3. A baloldalon az x^ együttha­ tója 0, a jobb oldalon D - 2. tehát D = 2. A kapott értékeket felhasználva a következő felbontást írhatjuk fel: 3 x -2 -2 3 -3 x + 2 ^ ^ , - 2/' 2 " — + - + 2 1..• így ^ vegeredmeny: X (x + lj X X X +1 . 1 3 2x ^ 1 ^ d x = f ( - 2 ) - , + 3 ------------ r---- + 2 --------; dx = X 2 X +1 1+ x' 2 = —+ 31nx — ln(x^ + l)+2arctgx + C. X

^

1) ln|x| + ^ ln ( x '+ 2 x + 4 )+ C .

255

KVK-1190

6.8. Integrálás helyettesítéssel 6.8.1. a) Ha egy integrálban egy lineáris függvény különböző gyökei szere­ pelnek, és a lineáris függvénynek azt a gyökét vezetjük be új válto­ zónak, amelynek a gyökkitevöje a szereplő gyökkitevők legkisebb közös többszöröse, akkor általában egy racionális törtfüggvény in­ tegráljához jutunk. Ebben a feladatban legyen: t = Vx + 1, azaz X = t^ - 1 , tehát dx = 2t d t. Ezeket az integrálba behelyettesítve azt kapjuk, hogy: | x ' V ^ d x = |( t ^ - l ) 't - 2 t d t = J ( t '- 2 t '+ l ) 2 t ^ d t = = 2 Í ( t ^ - 2 t " + t ') d t = 2

=2

(Vx + l)^ ^ 7

7

5

3

^ {jx +\J

5

3

+C—

+ C , ahol az utolsó lépés-

ben visszahelyettesítettük a t helyére a (Vx + l]-et. b)Legyen \[x - t , azaz x = t^ és dx = 3t^. Ekkor: dx 3t' dt = ln3t + l + C = dt = - 3 t' + t ' 3t + l 3x + \ [ x^ = ln 3-V ^ + l + C.

c)2 Vx + 4 - In

2 + V x+4 ____ ,C . 2 -V x + 4 j

e) x + 4 (V x -l + ln V x - l -1 + C .

g ) |ln ( l + V j^ + C.

256

d ) x - 2 ( V ^ - ln ( l + V ^))+C.

f) 3 V x + ln V x - l ) + C .

KVK-1190 h ) 4 1 n ^ - l + ln(Vx + Vx + l)+ 2V 3arctg^

- + C.

+ arc;tgVx + C .

i) 6

6 j) lnx + ^--------^ + -

12

-12-ln(l + '^ ) + C .

6.8.2. a)Legyen t = 6*^. Ekkor: e^^^ = r

dt í , x = Int és dx = — . így;

dx r 1 dt dt f e2x _gX ~ } ^ 2 _ ^ ^ - J t ^ ( t - l ) - J

i i t' t

1 ^ dt = t-lj

= - - l n t + l n t - l + C = e “" - x + ln e ’‘ - 1 + C . t b) X - ln(e’‘ + 1)+ —-— + C . ^ ^ e ’‘ + l c) Legyen t = e’' . Ekkor: sh x = ----- -— = - — - = -— ^ és dx = — 2 2 2t t dx 2t dt 1 -t dt = In +C— shx 1+ t t^ - 1 t" -l t In

l - e ’^ 1+ e"

+ C = ln t h ^ + C. 2 X

d) X - ln(l + e’‘)+ 2arctge^ + C . e) ^ - - ^ I n e ’^- 1 -■^ln(e’‘ + 2 )+ C .

f)chx + ln t h ^ + C.

257

KVK-1190 6.8.3. a) A sinx és cosx racionális törtfüggvényeit gyakran a t = tg — he2t iiZdt lyettesítéssel célszerű integrálni. Ekkor sinx = ^;— -7 , dx = 1+ t^ 1+ t ' Ezeket behelyettesítve azt kapjuk, hogy: x^ f ax dx _ f 1 2dt = ln t + C = ln tg ^ sin\ 1+ t^ t V ^ J ahol az utolsó lépésben visszaírtuk a t helyére a 2 te c) —arctg—^ + C .

X

b )ln l + t g - + C .

d ) 21n l + tg |-

"t-

In 1 + t g ^ - + C

5 tg f+ 1 X 6 e )iln + — arctg— ---- + - + C, 2 2 5 5 tg -f + 2 tg f + l 5

f) — In 25

3 t g 'f - 8 t g f - 3 1+ tg ^ f

H-------X + C

25

6.8.4. a)Ha egy másodfokú kifejezés négyzetgyökét tartalmazó integrál teljes négyzetté való kiegészítés után

■yja^ -

{cx + df

(a, b, c € R és a > 0) típusú kifejezést tartal­

maz, akkor gyakran a cx + d = a-sint (vagy a ex + d = a cost) he­ lyettesítést célszerű alkalmazni. Ebben a feladatban legyen X = 2sint, ekkor dx = 2cost dt. Ezeket az integrálba behelyettesítve azt kapjuk, hogy: ^ | 4 - x ^ d x = -y/4-4sin^t -2costdt -

258

4cos^tdt.

KVK-1190 Most alkalmazva a 1“h cos2t cos^t = ----------- ún. linearizáló formulát a következőhöz jutunk: sin2t 4cos^tdt = 2 (l + cos2t)dt = 2 t + + C. Ebből felhasználva, hogy sin2t = 2 sint cost = 2 sint •Vl - sin ^t és visszaírva az (x = 2 sint)-böl adódó t = arcsin— értéket, az alábbi eredményt kapjuk: X

X

|V 4 - x ^ dx = 2 arcsin—+ — 1 2 2]j

+C=

X x-\l4-x‘ - 2 arcsin—+ ■+ C.

2 2 Megjegyezzük, hogy valójában kétszer is „csaltunk”, mivel V 4 -4 sin ^ t ==2cost és cost = ±Vl -sin ^ t . A végeredmény mé­ gis helyes, amiről differenciálással könnyű meggyőződni. Tehát ar­ ról van szó, hogy „a két csalás kiegyenlíti egymást”, amit nem ne­ héz precízen is bizonyítani. b) 5 + 4x - x^ = 9 - (x - 2)^. Tehát, legyen x - 2 = 3 sin t. Ekkor: X = 2 + 3sint és dx = 3cost d t . így: dx = V 5 -4 x -x '

(•(2 + 3 sint J

(4 + 12sint + 9sin^t)dt = = 4 t-1 2 c o st + — 2

•3costdt =

3 cost

sin2t

4 + 12sint + 9-

1 - cos2t

dt =

+ C = — t - 1 2 V l - s i n 't 2

. x - 2 (x + 6W5 + 4 x - x ^ ^ 9 . ^ r---- ^ 17 — s m tv l-s m t + C = — arcsm----------------- ----------------- + C. 2 2 3 2 Megjegyezzük, hogy néhány átalakítást a 6.8.4. a) feladat megoldá­ sánál elmondottak szerint végeztünk el.

259

KVK-1190 . x + 1 (x + l W l - 2 x - x ' ^ c) arcsin— ---------------- + C . V2 2

d)Legyen x = sint. Ekkor: ■dx = X

= ln

= cost d t . így:

cos^t 1 -sin ^t dt = dt = sint sint

t + cost + C = In '« 2

= ln

dx

sint

- sint dt =

sin^t + V l-sin ^ t + C = sínt

+ V l-x ^ + C .

1 Felhasználtuk, hogy a 6.8.3. a) feladat megoldása alapján az — sinx egy primitív függvénye In • s f . Felhasználtuk továbbá a követke^ X 1 - cosx 1 - V l-sin ^ x zo egyenloseget is: tg — = ---------- = ------------------ . 2 sinx sinx Megjegyezzíik, hogy néhány átalakítást a 6.8.4. a) feladat megoldá­ sánál elmondottak szerint végeztünk el.

6.9. Vegyes feladatok 6.9.1.

yx a ) - ^ ----- — + C. In5 ln2

b)-x-ctgx+C.

o

d) In 1+ Inx + C .

^

5

. c

,

e) X - th X + C .

260

f) ^ ln ( x '+ 8 ) + C ,

KVK-1190 g) -2V arccosx + C.

h )-

■+ C. 4(3

i)

- cos ^x)"

j)-^ln(x^ - 6x + 13)+ arctg

x -3 -+C.

, . X sh6x ^ k) - + ------ + C . 2 12

1)

sh^x dx = (ch^x -l)sh x dx = (ch^x shx - shx)dx = ch 'x

- chx + C .

m)A sin2x = 2sinxcosx és a sin^x =

1- cos2x

azonosságok alapján:

• 2 2 sin 2x l-c o s4 x r sin X cos X = ---------= ------------ . így: , 1 sin 2 X cos 2 X dx =— (l-co s4 x )d x = — 8J

• •

X-

sin4x

+C.

n) Jsh^xch^x dx = ((sh^x)(l + sh^x)chx) dx = sh X sh X _ = (sh^xchx + sh'^xchx)dx = ------+ -------+ C.

o) tg^x dx =

p) In sh X

cos x

cth^ X

- 1 tg X dx =

X

— + In cos X + C.

+ C.

r) Legyen az Jf(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + C (F' = f ) képletben

261

KVK-1190 f = J - — és g = x ^ Ekkor: f(g(x)) = - 7 = L = , g' = 8x’ , -/iT^ Vl-X'® V ^ -2

és F(g(x)) = arcsinx^. így: 1 V arcsin x dx = — •8x dx = ----------- + C . V l-x'® 8 ^yf [Z .16 s) Legyen az 1 + x^

f(g(x))g'(x)dx = F(g(x))+ C (F' = f ) képletben és g = Inx. Ekkor:

f(g(x)) = :;— g' = - , F = arctgx és F(g(x)) = arctglnx. így: 1 + ln X X dx c l 1 —dx = arctglnx + C . :(l + ln^x) M + ln^x x t) -2 c o s V x + C . u)Legyen az

f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C

(F' = f ) képletben

f = Inx, g = tgx. Ekkor: és a 6.6.2. b) feladat megoldása sze­ cos X rint: F = x(ln X- 1), s ezért F(g(x)) = (tg xXln tg x - 1). így:

f(g(x)) = Intgx, g' =

cos X

dx = (tgx)(lntgx - 1) + C .

6.9.2.

a)

dx (x + l)(9x^ + 6 X + 4) = In X+1

262

1

3

x + 1 (3x + 2)^

1 —In 3x + 2 + C . 3x + 2

3x + 2

KVK-1190 1 --------1 1 1----------1-----dx = X X X x- 1

dx x ^ -x ^

b)

2x'

x

c) 2(V ^-21n(2 + V ^))+C .

e) 6

3

d)3

(1 -x )^ 7

(1 -x )^ 4

+c

.

+ C.

2

f) 2 In Vx + 1 -1 - ln(x +1) + C .

g) e’‘ - ln(l + e’‘)+ C

h) X+ ------+ C . 1+ e 6.9.3. a)Legyen x = sint. Ekkor: dx = cost dt és Vl - x^ = cost. így: dx dt + C , ahol az utolsó lépésben a = In sint x V l-x ' 6.8.3. a) feladat megoldásában felírt eredményt használtuk fel. . . . , ^ a 1 -co sa 1 - V l-s in ^ a • *u i ' Mivel tg —= ----------= ------------------ , azért a smt helyere vissza2 sina sina írva x-et a következő végeredményhez jutunk: dx

= ln

1 -V T ^

+c.

Megjegyezzük, hogy néhány átalakítást a 6.8.4. a) feladat megoldá­ sánál elmondottak szerint végeztünk el.

263

KVK-1190 \Í +c.

c) -

X cos3x

2xsin3x -+ ■

2cos3x 27

d)Legyen a parciális integrálás képletében g = x + 1 és f ' = 2 x+1 + dx = ■(x + 1)2-’‘ dx = •dx = ln2 ^ ^ ln2 x+1 1 •+ C. 2Mn2 2M n'2 e) Legyen a parciális képletében f ' = x

. így:

és g = In x . így:

’ . 2,

Inx^

Újra parciálisán integrálunk az f ' = x ^ és a g = Inx szereposztás­ sal. ’ -2 1 j Inx x Inx dx = ------ +

Tehát a végeredmény: í dx = - —(ln^x + 21nx + 2 )+ C . •’V X j X

g)Legyen a parciális integrálás képletében f ' = x^ és g = arccos2x. .3

Ekkor: f = — és g' = — , ^ •így: 3 V T4? x^ arccos2x dx = — arccos2x + — f , ^ 3

264

dx,

KVK-1190 Alakítsuk át a kapott integrandust! V l-4 x ^ 32

l (l-4 x ^ )x -x _

1

4

4

V l-4 x ^

x^|l-4x^ -

X

V l-4 x ^

(l - 4 x ' )2(- 8 x )- (l - 4x^ )'2 ( - 8x)

Mivel (l - 4x^) = - 8 x , azért alkalmazhatjuk az ^a+1 ff “ f ' dx = ------ + C (a 7^ - l ) képletet az f = 1- 4x^ és az •' a +1 a = —, valamint az a = - — választásokkal. Tehát: 2 2 x^ arccos2x dx = 3 1 / i _i ' = ^ a r c c o s 2 x + — j ( l- 4 x ^ ) ^ ( - 8 x ) - ( l- 4 x ^ ) ^(-8x) dx =

x^ (l-4 x ^ )^ V l-4 x ^ = — arccos2x + -^^---------^-----------------+ C . 3 72 24 h)Parciálisan integrálunk. f . / , x^arcsin(x-l) 1 Xarcsm(x -1 j dx = ----------------- - —

dx

A kapott integrált pl. az x - 1 = sint helyettesítéssel lehet kiszámol­ ni. így; dx =

cost

rí. . l-c o s 2 t = J 1 + 2smt + ----------- dt =

•cost dt = (l + 2sint + sin^t)dt = —+ 2sint -

2

cos2t

2

dt =

3^ - ^ sin2t ^ 3^ - r. s in tV l-s in 't = - t - 2 c o s t ---------+ C, = - t - 2 V l - s m n ------------------ + c , . 2 4 ' 2 2 így - egyszerű átalakítások után - a feladat végeredménye:

265

KVK-1190 . / (x + 3)V 2x-x" arcsin in(x -1 ) +-5^------------------ ■+c . Megjegyezzük, hogy néhány átalakítást a 6.8.4. a) feladat megoldá­ sánál elmondottak szerint végeztünk el. i) - - ^ ( s i n x + cosx) + C.

j) cos^x = ^ + cos2x | e ’'cos2x dx =

e’‘sin2x 2

e’‘sin2x 1---1 e’‘cos2x ----------2 2 2

integrálással kapjuk, hogy: 1 e’‘sin2x dx = 2 1 2 J

e’‘cos2x dx

Ebből egyszerű átalakítások után következik, hogy: 5- e’‘cos2xdx = e''(2sin2x + cos2x)+Ci. Ezt felhasználva a feladat végeredménye: 1 e ’‘ —x + — Í2 sin2x + cos2x) + C . 2 10^ ^ k)

266

■+ C. 1 -tg f

1) —x + —arctg-^^ + C. 2 4

KVK-1190

7.EGYVALTOZOS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁROZOTT INTEGRÁLJAI 7.1. Alapíntegrálokra és az

Jf(g(x)) g'(x)dx = [F(g(x)) a

képlet speciális eseteire visszavezethető feladatok (F' = f)

I

3

a) Az

egy primitív függvénye — , a Vx =

egy primitív függvé-

X. 3 3 ~ ' nye p e d ig ----- = —x ^ . így a Newton-Leibniz formula alapján: 1+1 4 3 1 -----x^

(x^ - Vx)dx =

3

3

4

=

12

=

------

3

11.83 4

-

159,08.

d)i. sh2 e)

dx

In X + Vl + x^ 13^, = ln(sh2 + Vl + sh^2

shl Vl + x^ - ln[sh 1+ Vl + sh^l) = ln(sh2 + ch2) - ln(sh 1+ eh l) = = Ine^ - Ine = 2 -1 = 1, ahol felhasználtuk, hogy 1+ sh^x = ch^x és shx + chx = e’' . Egyszerűbben juthatunk célhoz, ha ismerjük az shx függvény inverzét, mert ekkor:

267

KVK-1190 sh2

dx

arshx]j“ = 2 - 1 = 1

shlVl + X^

31

sin^ —d x = — (l-c o sx )d x = —X- sinx

f)

ln 2 x -l

ln2 h)

k z2xí í

dx =

^

A

ln3

ln2 M - 4 e " + e '’‘ 2x 0

-2x 4 -------- 4 ------ + x -2 -1 A

^Í3

^

1 = - - + ln2. 2

i) l n | .

j) 0

cos"^ —dx = J ^^ ^ l + 2cosx +

dx = —J(l + 2cosx + cos^x)dx = ^0

l + cos2x

dx = 43t + 9V3 32

sin2x x + 2sinx + — x + 2

6 10 1 sh6x k) sh^3x dx = — (ch6x - l)dx = — n

268

2 ^

2

-X

6 _ s h l- 1 . "

12

KVK-1190 chl 3

ln(3x + - l )

dx

X _ ln(chl + shl) _ 1 “ 3 ~3

m ) y + 7 1 n2. -1

dx n) j_2X + 4x + 5

_2 l

dx

arctg(x + 2)_

+ (x + 2 f

-I _ n

-^ “ 4

,

1 10 o) - I n — 3 7 -3

P)

-3

1

dx = -4 ( x + s y

-4 V

dx =

(x + 5)>

(x + 5)* -3

1

-+

2(x + 5)^

r)

x+2

13 12

5 3(x + 5)^

-4

x + 2

dx =

X +2x

+x

1 x(x + l)'

2-ln

+■

- 2 • In X + 1

X

'V 3

dx 1 ^ f i 1 l - x ^ " 2 J vl + X^

( x + l)^

x + 1

1 ^ , 4 = — + 2 • In —. 6 3

x + 1

[

dx =

dx =

M

dx =

“7 3

1 . + —In l l 1+ x —arctgx 2 4 1 -x

K 1, V3 +1 = —+ —ln-7=— . ± 6 2 V 3 -1 ”V3 ^

269

KVK-1190 l.\2.

a)

^

X

,

V3

1 ^

dx = - (l + x^) 2 . 2x dx = Vl + x 2 0 0 Vl + x^

b)0.

c)

1 shln2

1 shlnS

12

e)

< .) f.

V5

f)

x -1 ______ - ( x ^ - l ) ~ 2 .2 x — i V x '- i ^|x^ - I - In x + Vx^ -1

g)

V x ^ -i V s+ 2'

8 - 5V2 12

h) c t g \ = ctg^x •ctg^x = (ctg^x)í —^ -1 Vsin X ^ = (c tg ^ x )-T ^ - ctg^x = (ctg^x)-:^^-------+1. így: sin X sin X sin X ctg'^xdx =

i)

ctg

X + CtgX + X

3 _SV 3 27

K

6■

1 2-ln3

7.1.3. ]_‘'r-2sin2x a) tg2x dx = — 2 cos2x b)ln3.

270

In cos2x

n ,^ ln 2

“

= 1.

2

InlO

KVK-1190 X

+ X

,

Ír,

c) —;-------;----- dx = — ln ( x '+ 2 x '+ 2 ) ] ‘ x "+2x^+2

sinx - cosx dx = - In sinx + cosx 2 = 0 . sinx + cosx

d)

e)

4

1 2X + 1-1 2 x^+x + 1

x^+x + 1

-1 X^

+X

ln3

+1

1, / 2 —Inix 2 ^

1 2x + l 2 x ^ + x + 1 31 + +X

i'i V3 2x + l + 1I------ arctg— 1=— ’ 3 S -1

TtVs

x^+3x 2x rdx = •’ í;( x + l)(x^+ l) 0VX +1

X

1 +1

x+1

1 _ 71 ln(x^ + 1)+ arctgx - ln|x +1 0 “ 4 g)Ha f egy primitív függvénye F, akkor f(g(x))g'(x) egy primitív függvénye F(g(x)). Tehát, legyen f = , = és g = 2 e \ Ekkor V l-x ^ F = arcsinx és g' = 2e’‘ . így; - |. „ 2

’4ln2 in(2e’‘) -2-ln2 ,........... dx = — arcsmi 2 -2-ln2 V l-4 e '"

7T 12

Megjegyezzük, hogy a t = e’^ helyettesítéssel talán könnyebb meg­ oldani a feladatot. h)0.

i ) e - 1.

j)

71

12

271

KVK-1190

7.2. Parciális integrálással megoldható feladatok 7.2.1. a) Legyen a parciális integrálás képletében g = x és f ' = e g' = 1 és f = - e “’‘. Tehát: ln2

xe

dx = - x e

ln2

ln2

0 ■ f(-e " ’‘)dx = -

ln2

. Ekkor:

_ 1 - ln2 0 ~ Z

ln2

c)4 ti.

d) 2(2 ln4 + l)sh ln2 -

8ch ln2 + 8 = - | + 61n2.

e)0.

e^ -1

í)

7.2.2. a) Legyen a parciális integrálás képletében f ' = 1 és g = ln(x + 1). Ekkor: f = x és g' = —^ . Tehát: x +1 X

ln(x + 1) dx = [x ln(x + 1) = ln 2 -

b) —

4

272

+ln4.

1-

x+1

- dx = ln2 x +1 í

dx = ln2 - x - In X + 1

. 6 + ^| 3n c ) ---------- . 12

= ln4 - 1 .

d) — 7 + 5-• In 2, ^ 9

x+1

dx

KVK-1190 V3

4i e)

(x - -v/3)arctgx dx = V3

1 ' dx = r 1 1+ x ' 0\ 2 / V3

í(x -v jr • 2 0\

f)

arctgx Vs 2x 2 1+ x^

1 ' dx = 1+ x^ y

7i-ln4 8

7.2.3. a) Kétszer egymás után ugyanolyan szereposztással parciálisán integ­ rálva az eredeti integrál egy számszorosához jutunk, s ebből már az integrál értéke felírható. í 2. e^’‘cosx dx = e^’‘sinx 2 _ 2e^'‘sinx dx = e" + e ” + 2 2 7t

71

n

+ 2 e cosx 271 _ 2x

2.

~2

2e '‘cosxdx = e " + e ” - 4

e^’‘cosxdx. így;

2

azt kapjuk, hogy: 5 e^’‘cosx dx = e" + e " = 2ch7i, s ebből: Je^’‘cosx dx =

b ) | e 1+ e

c)

e"-3

2ch;r

d) — (e^"^‘ + e)

273

KVK-1190

7.3. Helyettesítéssel megoldható feladatok 7.3.1. a) Legyen t = Vl + x , ekkor x = - 1 , s ezért dx = 2t dt. Az új hatá­ rok: Vl + 0 = 1 és Vl + 1 = V2 . így az integrál: V2 ^ 4(1 + 7 2 ) ( t '- l ) - t - 2 t d t = 2 í(t" - t^ )d t = 2 5 3 15

b) t = V x -1 , t -t

X = t^ +1, dx = 6 t ^ t . így az integrál:

.5 6t" dt = 6

i t '- l 54V3 - 34V2

1 •dt = 6 t " - t ^ + l - 1+ t' Vat" +1 V2

dt =

- 2 ti + 6arctgV2 .

c) Legyen e’^= t. Ekkor: x = Int, s ezért dx = ^ . Az új határok: e° = 1 -in3— inj

és e^

I--

r

= V3 . így az integrál: VJ t^ + 2 t dt S t + 2 dt = t '+ l +1 t ^ 2 t^ + l ^/3 _ ln2 71 -^ln(t^ + l)+ 2arctgt “^ ^ 6

1 + 1 dt 2 -t t

t '+ l

dt =

■

1 3 1 + - dt = I [- 3 • ln|2 - 1| + ln|t|] f = ln(2 V3). 2 / '^ 2 - t t

X* X ^ . 2t . 2dt ^ * M e) tg —= t , sinx = —— , dx = -— — . így az integrál:

274

KVK-1190 ____ dt dt V 1 2dt _ ________ .J2--23' 2 - 1+ *- T 7 7 " J t ^ - t + r 3 J ü ^ '

2 V371

2 t-l arctgV3

i S

X 1-t^ , 2dt ' •* M f) tg—= t, cosx = -----dx = ---------. így az integrál: 2

1 “1“ t

‘

1 V33 + ^

2dt 1 + t^

arctg

g)x = 2

sin t,

t

1 “1“ t

Vdt 1 V dt ^ 2 + t^ 2 ^ 1 +

1' _V2

V2 ^

-\/4-x^

2

= 2

arctg ^

cost

1

V2

1 ^

arctg

A/6 y

, d x = 2 c o s t dt. í g y a z in te g rá l: 71

2 4 s in ^ t-2 c o s t-2 c o s td t = |4 s in ^ 2 td t = 2 ( l- c o s 4 t) d t = J i, 0

0

0

h) X = — , Vl + 4x^ = cht, dx = — d t. így fiÍLl dt = — f(ch2t - 1) dt = — i 8 16^ 16

sh2

-1

az

integrál:

e"* -4e^ -1 64?

i) x = cht, -y/(x-l)^(x + l) = |x-l|V x^ -1 = |cht-l||sht dx = sht d t. így az integrál: (cht-l)sh^tdt -

sh tch t--

ch2t-l^

dt =

275

KVK-1190 sh^t sh2t ---1^ ----------------1 3 4 2

j) t =

sh^2

sh4

-1 , X = ln(l + ) , dx =

1 le dt = [2(t - arctgt) l +V

+ 1.

• így

integrál:

4 -7 1

7.4. Vegyes feladatok 7.4.1. a ) l - ch

d)

g)

/

ln2

7 ^ 12 (x + 1)^ dx = I (x ^ + l)(x ^ + 2 )

f)0.

e) — . 16 2x

2x

1 42

ln(x^ + l)-ln (x ^ + 2)+ — a r c t g ^ 2 -\/2 71

. , 1, 2 1) - I n - . 6 5

j) 7 + ln4.

k) e’^ = t , dx = ^ . így az integrál értéke:

276

2 ^ 693 _ 4

42- k , 3 ------ + ln—. 8 2

dx =

KVK-1190 VI

't + f '

dt t

V3

dt = arctgt +1

1) - l + - ln 3 .

~12

m )— lnl2. 5

n) 1+ 2sin^x = sin^x + cos^x + 2sin^x = cos^x + Ssin^x = = (cos^x)(l + 3tg^x)= (cos^x)íl + (V3tgxf \ Tudjuk, hogy V y f(g(x))g'(x) egy primitív függvénye F(g(x)), ahol F a f egy primi­ tív függvénye. Legyen f = — és g = Vs tg x . Ekkor: F = arctgx 1+ x V3 és g' = —-Y~ • Ezeket felhasználva az integrál értéke a következő: cos x n _L J L d x = J - arctgl(V stgx) 04 ”— sVs ^3 (, 1 + {^13 tgx)^ X Vs

■

Megjegyezzük, hogy a feladat megoldható a szokásos t = tg— he­ lyettesítéssel is, de ez hosszadalmas és nehéz számoláshoz vezet. o)

P)

3 ;i-2 -ln l6 36

f2’‘ +3^

1

dx = J

2 vey

+

dx =

1 e

e -2 e ( l-ln 2 )

+

1 In e

e -3 e (l-ln 3 )‘

277

KVK-1190

7.5. Határozott integrálok alkalmazásai 7.5.1. a)Az x ^ - 4 x + 5 = 0 másodfokú egyenlet diszkriminánsa negatív, ezért a megfelelő függvény minden x-re, s így 0 < x < 3 esetén is pozitív. Tehát a görbe és az x tengely közti terület: )

b)7i.

(x^ - 4 x + 5)dx =

■-2x" +5x

c )l.

d)

= 6.

ch(2-ln3)-ch(2-ln2)_175 144

e)Az x ^ + x - 2 = 0 másodfokú egyenlet egyik gyöke -2, a másik 1. Ezért a megfelelő görbe a (-2; 1) intervallumban negatív, azon kí­ vül pozitív. így a kérdezett terület: 1 z x ^ + x - 2 dx = ( - ( x ^ + x - 2 ) ) d x + (x^ + X -2 )d x = 3.

f) |x ( l - x ^ ) d x = -2

x (l-x ^ ) d x -jx (l-x ^ ) d x + -2

-1

x ( l- x ^ ) d x 0

- 'x ( l - x ^ ) d x = — .

g ,k ± l3 ^ -3 ,„ 2 . 6

h)

l + ln^2

7.5.2. a)Mivel az adott intervallumban y = sin t> 0 és x = -2 sin t< 0 , a kérdezett terület értéke a következő: yx dt = (sint)(2sint) dt = (1 - cos 2t) dt

278

t

sin2t^’'

.j t .

KVK-1190 b)37r.

7.5.3. a)A két görbe közös pontjainak abszcisszáit a 6 x - x ^ - 7 = x - 3 másodfokú egyenlet gyökei adják meg. Ezek l é s 4 . A z l < x < 4 intervallumban 6 x - x ^ - 7 > x - 3 , tehát a kérdezett terület: x^ 5x^ J ó x - x ^ - 7 - ( x - 3 ) dx = --------[__ - 4 x 3 2

9 2

b ) 1 8 e " '- 2 . c)A két görbe közös pontjának abszcisszáit a tgx = —cosx egyenlet gyökei adják meg. Az egyenletből - egyszerű átalakítások után - a 2sin^x + 3sinx - 2 = 0 egyenlethez jutunk, amiből sin x = —. Ennek 2 n n intervallumban az X = 0-hoz legközelebb eső gyöke —. A 0; 6 tgx < —cosx, így a kérdezett terület a következő:

—c o sx -tg x dx = —sinx + Incosx 3

3 4 r

d)

XVl - X - (x^ - x) dx = ( l - t ^ ) t ( - 2 t ) d t A 1 25

5 25

= 0,230805.

279

KVK-1190 7.5.4. a) A kérdezett térfogat a következő: 2 2 8x' x ' 7t dx = 711(4 dx = 7t 16x------- + — 3 5 -2 -2

b ) |l n 3 .

1-

ln2

d)

-2

51271 15

ln2 /

\ 2

ír .

f u4 1 rfc h 2 x + l l 71 I eh X dx = 71 J ---------ln2

-ln2 V

ch4x +1 = ií

ln2

dx = -

2

(eh ^ 2x + 2eh2x + l)dx =

4 -ln2

+ 2ch2x +1 dx =

-ln2

5MlJ5?) + sh(2.1n2)+ 3-ln2

. 8

^

’

2

735 + 3-ln2 128

)

7.5.5.

a) y' = 3x^ , tehát az ívhossz az s = jVl + (yO^

dx = 1+ 3x2 (l + 9x) 27 V y 1

b) s =

X

f)3 + ln2.

= 74.

\2

11 dx 1+ dx = [V 2 x -x ^ J 11 V l - ( x - l ) ' 1 -x

25 3

e)

g)ln3.

h)

d)

280

11

2

s=

képlet alapján:

40

V2

KVK-1190 7.5.6. a) x = 2t, y = -^-3t^. így x^ + y^ = 3 t '+ - . Tehát: 3y 3y s=

i\ 3 t ' + - dt = t ^ + -

3

27

, 1 sh2 c ) - + ---^2 4

b)10.

4

d)V 2.

e ) s = í^ ( 6 t '- 1 0 t " ) '+ ( 4 V Í 5 t ') ' d t= { (ó t'+ 1 0 t")d t = 2 V2 271 f) s = -y/(-Beoszt sin t+ (3 sin ^tco st)^

2)t ~2

sin2t dt -

= 6 sin 2t dt = 6.

g)

+y^ = (l-co st)^ + sin h = 2 (l-c o st) = 4sin^-^. 2tü

.

s= J2sin—dt = 8.

h)l.

281

KVK-1190 57T

\2

í

- sin t +

k )s-

sínt

571 6 + cos^ t dt = 'y/ctg^t dt = (- ctgt)dt =

Stt Insint] ® = ln2. 2 7.5.7. a) Legyen n = 2k, h = ------ és Xj = a +ik (0 < i< n). n Ekkor a Simpson-formula a következő; f ( x ) d x « ^ f ( x J + f ( x J + 2 - £ f ( x 2 j) + 4 - ^ f ( x 2 j_ i) j= i

j= i

így ha f = = ^ , a = l , b = 2 é s n = 4, akkor: X dx ^ x" Ha n = rdx 1 x'

1 J_6 ]6 0,50004. 1+ - + 2 - - + 4 12 ^ 4 9 2 5 ^ 4 9 yy 8, akkor pedig: 64 64 64 + + ---- + 24 100 144 196,

64 64 64 + ---- + ----- + « 0,50003. 81 121 169 225_ Megjegyezzük, hogy az integrál pontos értéke: +4

dx

64

= 0,5.

b)n = 4 esetén: 1,14778; n = 8 esetén: 1,14779. c) n = 4 esetén: 0,74686; n = 8 esetén: 0,74682.

282

KVK-1190 7.5.8. A T idő alatt fejlődött Q hőmennyiség a következő: T

7T

71

Q = 24 f[l(t)f dt =24 f[sin(2t)f dt =12 f(l-co s4 t)d t =12ti.

7.5.9. Ha a folyadéknyomás alatt álló falfelületet alulról az y,(x) és y 2(x) görbe, felülről az x = 0 egyenes (a vízszint) határolja, akkor h

a falfelületre ható nyomóerő:

F = y (yj (x) (x))x dx , 0 ahol h a felület mélypontjának a folyadéktükörtöl való távolsága és Ya folyadék faj súlya. Az adott értékekkel: yi(x) = - y 2(x) = 3,4- l l - - ^ és Y = 1 0 0 0 ^ . így: V 10 m 10 X 1----- dx =1,36-10® f t ' ( t ' - l ) d t « 181300. 10 J 7.5.10.Egyszerű hasonlóságból következik, hogy a kúp alakú homokra­ kás X magasságú metszetének sugara r = l ,2 ( l- x ) . így ebben a magasságban a homokrakás dx vastagságú elemének dG súlya közelítőleg a következő: dG = fajsúly • térfogat = 2 r^ji dx = 2,887i(l - x)^ d x . Tehát annak a munkának a nagysága, amellyel ezt az elemet a földről x magasságra lehet felemelni: dW = dG • X = 2,88ti x (l - x)^ dx . így a keresett munka - amely ezen elemi munkák „összege” -: W = 2,88ti x (l-x )^ d x = 2,8871

2x^ x^ -----+ —

2,8871

12

283

KVK-1190

7.6. Improprius integrálok 7.6.1. e"’' dx = - e

a)

+00

0

b)2. +00

c) [— dx = — lti(l + x^)o” = ^ (lim ln (l + x ^ )-ln l]. Jl + X^ 2 Mivel limlnll + x^ ) = + q o , az integrál divergens. x-^oo ^ ' d )-i(l-c th (2 -ln 2 ))= -i.

X)

J

dx x^ - 1

g)

In

e )l.

1+ x 1 -x

ln3

36

'x " + 3 x X

2 -2 x + l j ~ + — i— — dx = fyx X +3

In+ — arctg x"+ 3 3

X

71V 3

+ ln4.

i)l.

k)Parciálisanintegrálunkag = x és f ' = e ^ választással. így

284

KVK-1190 X

c

+00

= -2 x e 2 _

= -2 -lim xe

( - 2)e ^ dx = _0

x> 2 -

X-^QO V

-

X

4e" 2

= 0 - 4-lim e ^ + 4 - 4 . X-^QO

Felhasználtuk, hogy a L’Hospital-szabály alapján: lim xe

x->co

1)7. m)Mivel, e '‘sinx < e és az e -nek a 0-tól a +oo-ig vett improprius integrálja konvergens, azért az e ’‘sinx megfelelő integrálja is kon­ vergens éslim e"’‘sinx = 0. Hasonló állítások igazak (e“’‘cosx)-re x-^oo

^

'

is. Kétszer parciálisán integrálunk, majd rendezzük az egyenlősé­ get. -t-ou -t-QO

e ’^cosxdx = - e '‘cosx 0

e ’‘sinx dx = - e ’‘sinx

í'

-t-OO

-t-00

- je “’‘sinx dx = 1- Je^’^sinx dx . Tehát:

+00

=

^ +00

^

h ---- ; ^ 2 t d t = - |(l + t ') ''( 3 t') d t = - o(l + t'J ----------------------------------------- 3 1 + t'

2 3

o) Legyen ^/e^ - e ^ - t. Ekkor az integrál; 1 2dt ■= 2 ^t + t^ t

í ± _ l

_ l _ )

t"^ l + t

i+ ti dt = 2 r —1 + ,ln----t t

= 2 (l-ln 2 ).

285

KVK-1190 7.6.2. c) cth(ln2)-l = —.

a)e.

d)Parciálisan integrálunk az f ' = 1 és g =arctgx választással. így: 0 arctgx = [x a r c t g x ] ^ dx = - lim (x arctgx) 1+ x^ ln(l + x^) = lim x^-oo

= lim ■^ln(l + x ^ ) - x arctgx

ln(l + x") 2x

arctgx

Itt a L’Hospital-szabály alapján: l n ( ^ lim = 0 , tehát az 2x

ln(l + x^) 2x

arctgx

71

határértéke a (^ )- b e n —, aminek x-szerese (-^)-hez tart. így az integrál divergens. e) ^ e'" . 4 7.6.3.

a)

1 dx i l + 4x' /K 2

arctg2x 2 -00 w n 71 2

lim arctg2x - lim arctg2x 2'

2'

(Felhasználtuk, hogy az

1 l + 4x^

integrálható és primitív függvénye értelmezve van és korlátos.)

286

bármely [a, b] intervallumban bármely valós számra

KVK-1190

— + arctgx

c)

dx =

1+ x '

d)Az ^J\ + x^

2 I, = —7t^

—+ arctgx

= —(l + x ^ ) 2 2 x 2

egy primitív függvénye ^/l + x "‘

------- dx oVl + x" integrál divergens, s ezért az eredeti integrál is divergens.

Ennek határértéke a (+oo)-ben +00. így, például a

+00

e)4.

g)

X

-e

f) J:

i ( x ’ + l)(x= + 2) ,

X^+1

V2

dx =

2x X +2

2x -QoV X +1 X

In —;-----+ — arctg x"+ 2 2 V2

= 0.

1 dx = X +2

7T

h)Legyen e’^= t. Ekkor az integrál a következő: dt 1 1 dt = i . 8 (l + 2ty t 2 J ^ l + 2t)’ (l + 2ty Megjegyezzük, hogy az l + 2e’‘ = t helyettesítéssel egy kicsit egy­ szerűbb a számolás. 7.6.4. a)

dx V l-x

- 2 V I-X Ó= lim ( - 2 V l- x ) + 2 = 0 + 2 = 2. x^l

287

KVK-1190 b )H a V 2 -x = t , akkor az integrál:

“ -2[arctgt

0

n

1+ x . Ennek az 1-ben a 1 -x 1 X 2 baloldali határértéke +oo. így az integrál divergens.

c)Az —

egy primitív függvénye —In

d) f - ^ ^ d x = [ 2 V ^ b = 2 - l i m ( 2 - > & r ) - 2 - 0 - 2 Vsinx ^ / c in

V

X —^ 0 ^

2tdt

e) HaVx = t , akkor az integrál:

t^ + t

= 2[ln(l + t)]o = 2 -ln 3 .

f) Parciálisán integrálunk az f ' = 1 és g = Inx választással. így: 1 I 1 Inx dx = 1• In x dx =[x InxJ - x •—dx = - 1 , ahol felhasználtuk, hogy a L’Hospital-szabály alapján: lim(xlnx) = lim

x^.0*

x->0*

1

= lim

x^.0*

\

1

= 0.

X

g)

dx

arcsinx

- V l-x ' 71

2

/

71

= lim arcsinx - lim arcsinx = x^i x^~r

\ = 71..

v ’ 2^

h) Mivel a — = (inx) ^ •— egy primitív függvénye — ^ és enxln X X Inx nek az 1-ben a baloldali határértéke +oo, az integrál divergens.

288

KVK-1190 i) 0 .

j) Az integrandus nevezője (-l)-nél 0, tehát: 0 -1 -1 + (x + l) 3 dx = (x + l) 3 dx + (x + l) 3 = 3 (x + 1) -2 -2 -2 -1 + 3 (x + l):

= 3 + 3 = 6. -1

k)Az integrandus nevezője a

71

0, tehát:

j fSinx , rsinx sinx , tg x d x = ------ dx+ -------dx. cosx ^ cosx

sinx cosx

egy primitív függvénye a

intervallumban

K - Incosx, amelynek a baloldali határértéke a —-nél +00, így az ere­

deti integrál divergens.

7.6.5. a) e’^= t. í— - •— = [2arctgt h+t~' t

= 31.

b)Ha tg —= t , akkor l + sinx = l+

1+ t"

1+ t^

és dx =

2dt 1+ t 2 ’

továbbá az új határok; tgO = 0 és lim tg —= +00. így az integrál: x->7t 2 -dt = (t+ iy

t+1

= 2.

289

KVK-1190 dt c) Legyen e ^ = t. Ekkor dx = —^ , az új határok pedig e

= 1 és

lim e‘’‘ = 0. így az integrál értéke a következő; dt

Iníl + t)]® = ln2.

1+ t

Megjegyezzük, hogy a z ----- ^ egy primitív függvénye: 1+ e - ln(l + e“*) és ezt felhasználva is célhoz jutunk.

d)Ha t = Vx - 1 , akkor az integrál:

+00

J

X f dx e) 1 ----- = • 'x

-X

1

dx ■+ x^-x

+00

2tdt - 2[arctgt (1 + t ^ t

dx . ----- . Az X

1 1 — egy primi­ x-1 X

1 X

-X

= 71 .

-X

1-x tív függvénye a (0 ; 1) intervallumban In------, aminek a 0-ban a X

jobb oldali határértéke +oo, így az eredeti integrál divergens, ^

f

dx gx_____ _ “rf

_l(l + x^)^arctgx (arctgx):

ax dx

^ °ff

_i(l + x^)^arctgx 3 + — (arctgx) 2

ax dx

o (l + x^)Varctgx

= 0.

Megjegyezzük, hogy ha egy páratlan függvény integrálható a számegyenesen, akkor a számegyenesen vett integrálja 0.

290

KVK-1190

8.KÉTVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 8.1. Kétváltozós valós függvények értelmezése 8.1.1. A tartományokat a 8.1. ábrán ábrázoltuk. b)

a)

y y ^ /v /^ /

d)

c)

ív v ^

e)

f^

/ / / /\ w

8.1. ábra a) Df = R ^

b)D f = { ( x ;y )e R ^ |y ^ -x } .

c) Df = { (x ;y )€ R ^ |(x > 0 és y > 0 ) vagy (x < 0 és y^O )}.

291

KVK-1190 d)x^ -y ^ = (x -y X x + y);>iO miatt Dj. = { (x ;y )€ R ^ |y ^ ± x } . e) Négyzetgyök alatt csak nem negatív kifejezés állhat, ezért l - x ' - y ^ >0, azaz x^ + y" 0, y > 0 feltételeket, az egyenletrend­ szer megoldásaiból csak az x = 1, y = 2 felel meg. A stacionárius pont: P(l;2).

301

KVK-1190 (3) f:;(x ;y )= 2 + ^ , C (x ;y )= C (x ;y )= 1, f''(x ;y )= 2 + ^ . (4) Mivel D (1;2)=26>0 és f;,(l;2 )= 6 > 0 , ezért a P(l;2) pont­ ban lokális minimum van, amely értéke: f(l;2) = 7 - 101n2. m )(l) f ( x ; y ) = x - y - x V + xy^

f ^ (x ;y )= l-2 x y + y^ = 0 ,

fy(x;y) = - l - x ^ +2xy = 0. (2) Összeadva a két egyenletet; y^ - x^ = 0, tehát y = x vagy y = -x. Az első egyenletbe való behelyettesítésükkel kapjuk, hogy az egyenletrendszer megoldásai: x = l ,y = 1 ésx = - l , y = - l . A stacionárius pontok: P,(l;l) és P2( - l ; - l ) . (3) C ( x ;y ) = - 2 y , f .;( x ;y ) = f ;( x ;y ) = - 2 x + 2 y , f ;( x ;y ) = 2 x . (4) Mivel d (1;1) = - 4 < 0 , ezért nincs lokális szélsőérték a P,(l;l) pontban. A Pi(l;l) pont nyeregpont. Mivel D ( - 1 ;- 1 ) = - 4 < 0 , ezért nincs lokális szélsöérték a P2( - l ; - l ) pontban. A P2( - l ; - l ) pont nyeregpont. n)A P ,

és a P,

pontokban lokális minimum van, ame{_

O ;>4; ’ 2. V ^y (A P3(0;0) pont nyeregpont.) lyek értéke: f

=f

19

8.3.2.Minimális lesz a költség, ha az A jelű termékből 2000 tonnát, a B jelűből 3000 tonnát állítanak elő. 8.3.3. (1) A profit függvény: P(x;y) = R(x;y) - C(x;y), így P(x;y) = -x^ + 2 x y -2 y ^ - 4 x + 12y + 5. P '(x ;y )= -2 x + 2 y - 4 = 0, P'(x;y) = 2 x - 4 y + 12 = 0 .

302

KVK-1190 (2) Az egyenletrendszer megoldása: x = 2, y = 4. A stacionárius pont: Q(2;4). (3) P ;(x ;y ) = -2 , P ;(x ;y )= P ;(x ;y )= 2, P ;( x ;y ) = - 4 . (4) Mivel D(2;4) = 4 > 0 és P;,(2;4) = -2 < 0, ezért a P(2;4) pontban lokális maximum van. Maximális lesz a profit, ha az A jelű termékből 2000 tonnát, a B jelűből 4000 tonnát állítanak elő. 8.3.4. A felület P (0;0;-l) pontja van legközelebb az origóhoz. 8.3.5.Jelölje x, y az alaplap éleit és z a tartály magasságát méterben. A tartály felülete: F(x;y) = xy + 2xz + 2 y z. A tartály térfogata: 8

8

xyz = 4. Tehát az FÍx;y)= xy + —+ — kétváltozós függvény lokáy X lis minimumát keressük. (1) F ; ( x ; y ) = y - ^ = 0,

F ; ( x ; y ) = x - ^ = 0.

(2) Az egyenletrendszer megoldása: x = 0, y = 0 és x = 2, y = 2. A feladat geometriai tartalmából következik, hogy a stacionárius pont: P(2;2). (3) F;;(x;y) = ^ , X

F,;(x;y)= F;;(x;y)= 1, F;;(x;y) = ^ . y

(4) Mivel D (2 ;2 )= 3 > 0 és F"^(2;2)= 2 > 0 , ezért a P(2;2) pont­ ban lokális minimum van. Tehát azon négyzetalapú tartályhoz kell a legkevesebb anyag, amelynek az alapélei 2 méter, ma­ gassága 1 méter hosszúak. 8.3.6. a) Az átfogó c hosszát a következő kétváltozós függvénnyel számít­ juk: c(a;b) = letet

+b^ . Az abszolút hiba becslésére az alábbi kép­

használjuk:

Ac « c'(ao;b(,)|- Aa + cJ,(ao;bo)|- Ab ,

ahol

ÜQ és b() a mért értékek, Aa és Ab pedig a mérési hibák. Az adatok

cm-ben: a,, =5; b,, = 12; Aa = 0,1; Ab - 0,2.

303

KVK-1190 2a

< (a ;b ) = cUa;b) =

2V a^+^ 2b

13

Va^ +b^ b

12

2 V a'+ b ^ így az abszolút hiba: Ac

— •0,1 + — -0,2 « 0,22. Mivel a mért 13 13 adatokkal számolt érték: c(a(,;bo) = 13, a mérés relatív hibája: 5c =

Ac c(ao;bo)

b) AT «1,1;

ŐT « 0,037.

c) (tgpXa;b) = A(tgp)| = 8.3.7. R =

0,22 13

(tgPX (a;b) = (tgp), (a;b) = - , a 12 0,1 0,2 « 0,088; 5(tgp) = 0,037. 25

R, R

—«2,536; AR. = AR, = 0,05 a kerekítés miatt. Rl + ^ 2 A R « 0,026. Tehát R = 2,54 ± 0,03 f2 . A kiinduló adatok egy

tizedesjegyre kerekítve vannak megadva, így a számolt adatot is elég ekkora pontossággal megadni: R = 2,5 Q , vagy R = 2,6 Q . 8.3.8. p = 524+ 9 kg3 m

•

8.3.9. a) A véges növekmények tétele szerint A f(x;y)«f;(X o;yo)-A x + f;(Xo;yo)-Ay, ahol Po(Xo;yo) egy a P(x;y) ponthoz közeli olyan pont, ahol a függvényérték könnyen számítható, s Af(x;y) = f(x ;y )-f(X o ;y o ) illetve Ax = x - X q, Ay = y - y o .

304

Legyen

Po(3;2)

ez

a

kiinduló

pont.

Ekkor

KVK-1190 f (Pi3)= ln ( 3 ^ -2 ^ ) = 0 .A további adatok; Ax = 3 ,0 2 -3 = 0,02; Ay = 1,96 - 2 = -0 ,0 4 .

=

X - y

f;(P.)=7 = 6. 1

-12

= -

12 .

így Af (P)« 6 •0,02 + (-12)- (-0,04) = 0,6, s végül: f (?)« f (Po) + Af (P) = 0 + 0,6 = 0,6. b ) f ( - 1,98; 3,01)« 37,22.

8.4. Kétváltozós valós függvények integrálszámítása 8.4.1. a) Amikor az egyik változó szerint integrálunk, a másikat konstans­ ként kezeljük. Ha mindkét változó határa konstans, akkor tetszőle­ ges sorrendben számolhatjuk a kettős integrált. \ 2 1/ \ \ Í2 / 1 X y2 dx = 4 Í f l - - dx = 8 í i - i ^ - y dy dx = y ^ y o j • 3 8 -2 3; 3 4, J -1 V-2 -1

^>1-

c )iln 5 .

d)Itt az integrálást célszerű x-szerint kezdeni. 1+ xy d x ld y = x+y ~ dy= í ^ ( ( 2 + 2 y )1 y • ’ . l y 2 „ U - Yy -r y -iV o -1* 0/ y+1 dy = -2 1+ - (O + 0))dy = j ^ r ^ d y = -2 dy = y -1 1 -y -iv y - 1 -1 = -2[y + 21n|y-l|]_“ = -2((0 + 0 ) - ( - l + 2 1 n 2 ))= 4 1 n 2 -2 e) In 2.

305

KVK-1190 f) Itt az integrálást célszerű y-szerint kezdeni. í ' x ' • e’‘'^ dy dx= fx^ j

-ll^O

f(ay+b)

j

f(g(x>g'(x)

1

x^‘ 2 _

dx = [ie«_2

fr

1

0

1/ 2

xle’^ \ '- l dx =

dx =

9

X

-1

e’'" - x ^ .

r -e +— ^ /e 4

e - i w

842

. . . a )l.

b )l

c)T = { (x ;y ^ l< x < 2 , 0 < y < 2 }

2-

2/2

,2^y dx = (x + y ) X 1V x+2

2^ dx = J - X z.

X

x+y /

+1 dx = V

( _ 1

I

V

1

1

x+2

X

2 9 ^ 1 ^ + 1 dx = 2 x+2 x + 2; J 1

^2[ln|x + 2 |f = 2 (ln 4 -ln 3 )= 2 1 n ^ .

843

. . . a)A T tartomány az x-tengelyre nézve normális. Ezért az integrálást y-szerint kell kezdeni, a megadott határok között. (8.2.a. ábra.)

306

KVK-1190 V3

0 V3 = 27 arctg^x — í-y dx = 27 1+ x

arctg X

=9

71

-0^

71

Jy

^>1c)A T tartomány egy origó középpontú, 2 egység sugarú körtarto­ mány az xy-síkon. Ez az x-tengelyre (és az y-tengelyre) nézve normáltartomány, melyet határaival így is megadhatunk: T = |(x;y) - 2 < x , y = ^ x - - ^ . 16 4 ^ 4^ ^ ^ 4 2 16

4

15

- X ---------

14

4

2

(x + 8y)dy -2

2

d )2

2e'

+ 8 1 n -. 4

e)A tartomány egy tengelypárhuzamos derékszögű háromszögtarto­ mány, ez mindkét tengelyre nézve normáltartomány. Mivel az in­ tegrálást y-szerint egyszerűbb elkezdeni, válasszuk ezt a sorrendet. A CB egyenes egyenlete az ábráról leolvasható: y = - x + 2, mert a í-2 V —V 0 = - 1 , és az y-tengelyt 2-nél meredeksége m = — — — - — Xb - X c 1 _ o metszi. így T = 1

(x;y) 0 < x < —, —< y < - x + 2 k (8.3.b. ábra.) 2 2 ^ ' ^

í -x+2

2y

-x+2

( y '- x ^ r - 2 y d y dx =

dy dx = J 3

2

308

V 2

( f ( y ) ) “ -f'(y)

KVK-1190 - x+2

dx = - J y^ -x ^

1

( -x + 2 )2" - x^2

v2. 1

-í

- 4 x+ 4

1 dx = — 9_ 2 4 J X

4

3

1

3

9

2

2

l - 'x

H--- *—•— In

4

-X

dx + — x - l

4

J_r, In x - 1

dx =

^ 2^2

9

2 \2

dx =

1 - —X V-^ /

ln --0 2

+ l(ln 2 -0 ) =

3

= - - l n 2 + - ln 2 = — ln2. 4

3

12

b)

c)

8.3. ábra 309

KVK-1190 f) T = { (x ;y )|0 < x < 4 , x < y < x + l}. x+l dy dx =

1+ e’

■+ ( 2 x + 1)2

242 +-

dx = In

8.4.5. 12

6

4

b)Az ABC háromszög az y-tengelyre nézve normáltartomány, ahol x alsó határa az AC egyenes, felső határa pedig a BC egyenes. y —4 Az AC egyenes egyenlete: y = 2x + 4, azaz x = ^ , a BC egyenesé pedig y = -2 x + 4, azaz x = T = |( x ;y )

2

x^

2 0 .

h )y = l n ( c - e

9.2.2. a) Az elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenletek speciális szétválasztható változójú differenciálegyenletek. Megoldásuk tehát a változók szétválasztásával és integrálással történhet. x ^ = 3y, dx

-d y = -d x , y X

ahol Cl > 0. így y = Ci

—dy= f—dx, y Jx

Íny = 3 1 n x + ln C j,

y -C x ^ C g R .

Érdemes megjegyezni a megoldásfüggvény alábbi alakját. Az y' + p(x)-y = 0 alakú elsőrendű lineáris homogén differenciál­ egyenlet általános megoldása: y . = Ce"’’^''^, ahol P(x) a p(x) függvénynek egy primitív függvénye, és C tetszőleges valós szám. Ennek alkalmazásához a differenciálegyenletet a megfelelő alakra kell hozni:

319

KVK-1190 y ' - - . y = 0 ,íg y p(x) = - - , ebből P(x) = -31n|x|. így X

X

y , (x) =

= C, x a z a z y = C x^ C € R

c) y = Csinx.

b) y = Ce

d)p(x) =

x '- l

P(x) = - - l n

1+ x 1 -x

y = C-,

1+ x 1 -x

9.2.3. a) Lineáris inhomogén differenciálegyenletek általános megoldását az egyenlethez tartozó homogén differenciálegyenlet (a továbbiakban röviden homogén egyenlet) általános megoldásának és az inhomo­ gén egyenlet egy partikuláris megoldásának összege adja. (yi,á = yh,á+yi,p •) 1. A homogén

egyenlet:

szétválasztásával megoldva: dy _ 1 y» - d y = ^ —dx, y x+1 dx x + 1

y ' ---- í— y = 0. x+1

Ezt

a

változók

f-d y = f-^ d x , ■'v •’x + l •'y

Íny = ln x + l+ ln C i = lnC , x + 1, C j> 0 ,

y = C , x + 1.

így yh,á = c (x + l), C € R .

2. Az állandó variálásának módszere szerint ekkor az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását yj p = k(x) •(x + 1) alakban keressük. Ekkor y'p = k'(x)-(x + l)+ k (x ). Ezeket az inhomogén egyenletbe helyettesítjük. k '(x )•(x + 1)+ k (x )---- — •k (x )•(x + 1) = x^ - 1 . x+1 Ha jól dolgozunk, a k(x) -et tartalmazó tagok összege 0. Ezután k'(x) =

320

x ^ - l ^ ( x - l) ( x + l) = x -l. x+1 x+1

KVK-1190 A k(x) függvény a k'(x) primitív függvénye, pl. k(x) = — + x . / -+ x (x + l) =

így yi,p = k (x )-(x + l) = V

/

\ (x + 1).

2

\

3. y i4 =C(x + l)+ x ^ + 1 (x + l) = (x + l)j^C + ^ + x v2 . b )y = C e'’‘ - x - | . - , 1 1 X c) y + —y = —cos—. X X 2 11-Y V h.á-'-'ie —C

-- C ^ - -'-1 c •— '- i ^i„|x|

2- Yi,p =

k'(x) = c o s^ , 2

X

3* yi,á =

d )y = Ce

í)y

1

VYh,á—— - ^

•

k(x) = 2 s i n ^ . 2

C + 2 s in -

+ -^ -e

e) y =

C + ln

x -1 x+2

„X 1 1 + — arctg X+ —arctg X- —X

1 y = —•e’ 1 -‘ -Inx . gX )y , + — . 1 1. y' + ~Yy = 0. A 10.2.2.a) feladatban leírt képletet használva:

321

KVK-1190 p(x) = i ,

P(x) = - i ,

y ,,,= C e -'’« = C e : . 1\

2. y .p = k (x )-e ^ ,

y 'p = k '(x )-e ^ + k (x )-e ’

Ezeket az inhomogén egyenletbe helyettesítve: i

1

i

1

-

1

-

k '(x )-e'‘ -k (x )- — •e’‘ + — •k (x )-e’‘ = —•e’' -Inx, azaz X^

x^

' 1 ‘ k '(x )-e'‘ = - • 6 ’' -Inx,

X

1 k'(x) = - - l n x .

X

X

Érdemes megjegyezni, hogy ha yjp = k (x )-r(x ) alakú, akkor eb­ q(x) egyenlethez jutunk, ahol r(x) alakra hozott differenciálegyenlet

ben a lépésben mindig az k'(x) = q(x) az y' + p(x)-y = q(x) jobboldala. 1 k '( x ) = l n x - - ,

. . . In^ X k(x) = 2

X (f(x))“ .f'(x)

1 c+

3. yi,á = e

In^ X

-

yi,p=-

In x

X

h )y = tgx C + ln t g j

2—In

»)1. yh,á=C,e 2. k'(x) =

2

1 -x 1+ x

1+x 1-x

1+ x 1 -x 2 ^ , k(x) = - x + 21nx + l 1 -x+1

=C

3. y ^ , = i ^ ( c - x + 21n|x + l|). 1

322

X.

KVK-1190 C arctgVx j ) y = ^ + i ------Vx vx , C Inx m) y = -----A------Inx 2 n)A differenciálegyenletet a szokásos alakra rendezzük: xy' + y ( x - l ) = - x \ = 0,

1. y' + y

y' + y

= -X

P(x) = x -ln |x |,

.

y^_. = C x - e ’‘ .

2. yi p = k(x) •x •e”’‘, k'(x) = - x •e’‘. Parciális integrálással: k(x) = e ’‘(l-x ),

yjp = e ’‘( l - x ) - x - e '’‘ = x ( l - x ) = x - x ^ .

3. y-j^ = C x -e”’‘ + x ( l - x ) . 9.2.4. a) y = -12Vx + —x^.

b )l. y,^, =C,e'"l“ ^’‘l = C co sx . 2. k'(x) = -2 cos^ X = -(l + cos 2x),

k(x) = -X --

sin2x

( sin2x 3. yj^ = cosx C - x ----------

4. C = l,

y =(cosx)- 1 - x -

c) y = (x -2 )ln Inx

sin2x

1 -c h x . d) y = ---------- hsh X. x -e

323

KVK-1190 e )l. y' + - ^ y = 0, 1 -x 2- Yi,p

y h ,á = C -^ . 1+x k'(x) = ( l - x ^ ) - | ^ = (l + x)%

1+ X

1- X

k(x) = Í L Í 3 Í , y ^ , = f i ± 2 Í ( l z í ) 3 3 ^ V -r

1 -x

1 4. C = - - , Yp 3 ^ f ) l . y' + y = 0,

( i+ x y ( i - x ) 1 1 - x (l + x )^ (l-x ) + 3 1+x 3

p(x) = l,

P(x) = x,

y h ,^= C e"\

2. yi =k(x)-e"%

k'(x) = ^ ^ = e’‘ -sinx. e A k(x) meghatározásához k'(x)-et kétszer parciálisán integráljuk, majd átrendezéssel adódik a határozatlan integrál, e^^ •sin Xdx = e’‘ •sin Xf'(x) g(x)

e’‘ •cos x = e’‘ - s in x - e ’‘ -cos x -

J f'(x) g(x)

>

e'^-sinxdx.

Azaz

2 e’^-sinxdx = e’^ • s in x - e ’^-Cosx + Ci,

e’^-sinxdx = —e’‘(s in x - c o s x ) + c . Például a c = 0 választással 2 ^ megkapjuk k'(x)-nek egy primitív függvényét. (Az integrálási konstanst ebben a lépésben le kell rögzíteni, mert egy elsőrendű differenciálegyenlet partikuláris megoldása nem tartalmazhat sza­ badon választható konstanst.) Tehát: .

k(x) = -^e’‘(sin x -co sx ),

yjp = k (x )-e ”’‘ = -^ (sin x -c o sx ).

3. yj^ =Ce"'‘ + ^ (s in x -c o s x ). 4. y(o) = —, —= C-1 + —(O -l),

C = l. így a kezdeti feltételt ki-

elégítő partikuláris megoldás: yp = e ”’‘ + ^ (s in x -c o s x ). (Érdemes

324

KVK-1190 összehasonlítani ezt a megoldást a 10.2.5.a) példa megoldásával.)

g )y = Vl + x ^ ( x - a r c t g x - 2 ) .

h )y = ^ ~ / 2 4sm X

i) y = l - ( e + l)e'*‘" \ -3 x ^ + x -2 x -1 yh,á = c x+2

j) 1- P(x) =

1

1

x+2

x -1

2. k'(x) = ^ ^ = l + ^ , x -1 x -1

, - P(x) = In

x -1 x+2

k(x) = x + 3 1 n x - l

3. y-, = ——í-(c + x + 3 1 n x - l) . ■’' x + 2 '' ’ x -1 4. Yp = —---- (x + 3 1 n x -l - ó ) . x+2 9.2.5. a) A megoldás szerkezete megegyezik az előző feladatokban alkalma­ zott szerkezettel, csak más módszereket alkalmazunk az y^. és Yi p megoldások számítására. 1. A homogén egyenlet; y' + y = 0. Az ennek megfelelő elsőfokú karakterisztikus egyenlet: X,+1 = 0, melynek megoldása; = -1 . Ha az elsőrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciál­ egyenlet karakterisztikus egyenletének gyöke X.,,, akkor megoldá­ sa; y = Ce^“’‘. így itt y^^^ = Ce"’‘ . 2. A próbafíiggvény módszer alapján q(x) = sinx miatt az inho­ mogén egyenletnek yjp = A sinx + Bcosx alakban keressük a megoldását. Ekkor yjp = A c o s x - B s in x . Ezt a két kifejezést az inhomogén egyenletbe helyettesítve;

325

KVK-1190 (Asinx + B c o sx )+ (A co sx -B sin x ) = s in x , rendezve: (A -B )sin x + (A + B)cosx = sinx. Az egyenletben szereplő két függvény együtthatóit összehasonlítva: sinx: A - B = l, cosx: A + B = 0. Az A, B-re kapott egyenletrendszert megoldjuk: Visszahelyettesítve: yjp = ^ s i n x - ^ c o s x . ^ -X 1 • 1 3. y i4 =C e + —s i n x - —c o s x . (Érdemes összehasonlítani ezt a megoldást a 10.2.4.f) példa megol­ dásával.) b )y = Ce^’‘ - 2 x - l .

c) 1. X.Q -

2

,

y^ —Ce ^ 4

2. y^,p=Ae^’‘ +Be-%

.

y'^ = 2 A e^^-B e“\

5A e'’‘ - B e “’'= 1 0 e '" + 1 0 e '\

A = 2, B = -1 0 .

3. y^,, =C e 2 +2e"’‘ - 1 0 e - \

d )y = Ce'^’‘ -c o s3 x + —sin S x - —. 4 2 9.2.6. a)A huroktörvény szerint U - U

l-U

^ = 0, aholUL = L ~ = L -i'

és U r = R - i. Tehát a differenciálegyenlet U - L i '- R i = 0, azaz Li' + Ri = U . A megadott adatokkal: 0,8 •i' + 0,4 •i = 12 . b ) i( t) - 3 0 ( l- e '® '‘).

326

KVK-1190

9.3. Másodrendű differenciálegyenletek 9.3.1. a )y = C,e^"+C2e’\ b)Az állandó együtthatójú másodrendű lineáris homogén differenci­ álegyenlet általános megoldását a (másodfokú) karakterisztikus egyenletének gyökeinek segítségével kaphatjuk, mely itt; + 5A- = + 5) = 0. Ennek gyökei: A., = 0, = -5 . Két különböző valós gyök esetén az általános megoldás, mely két szabadon választható független paramétert tartalmaz: y= =C,+ . _x

c )y = C,+C2e"4_

d )y = C ,e'’‘ +C2X-e^\

e) A karakterisztikus egyenlet: + 2X. +10 = 0, ennek diszkriminánsa D = 4 - 4 0 = -36 negatív. Az egyenletnek így nincsenek valós gyökei, a komplex gyökök: -

^^^-*= - i + 3j, hiszen V - ^ = 6 V ^ , és

értéke j vagy - j . Ha a karakterisztikus egyenletnek a ± pj a komplex gyökei, akkor az általános megoldás: y = e“’‘(Cj cosPx + Cj sinP x). Itt a = - l , P = 3,tehát y = e"'‘(CiCOs3x + C2SÍn3x). (Megjegyzés: a p = -3 választás is helyes.) f)A,^+4 = 0,

7^ =- A,

X = 0 ± 2 j,

y = Cl cos2x + C2 s in 2 x .

9.3.2. a )y = Cie3 +C^q ^ - 4 .

-4 x , /-I „3x b )y = C ,e'"’‘ + € 26^’^----^ 2

24

327

KVK-1190 c )l. y" + y = 0,

X.^+1 = 0,

A, = ±j,

= C, cosx + Cj sinx.

2. yi p = Ax^ + Bx + C . (Ügyeljen arra, hogy a próbafüggvény nem hiányos polinom akkor sem, ha a differenciálegyenlet jobboldalán álló zavarófiiggvény az volt!) A = 3, B = 0, C = -6 , y.p = 3 x ^ - 6 . 3. y;^ = C ,co sx + C2SÍnx + 3x^ - 6 .

d )y = C ,+C 2e"’'+ 8 e 2 . e )l. 5y" + y' = 0,

5A,^+X = ^5X + l)= 0 ,

X ,= 0 , X2 = - | .

_x

í§y yh,á “ ^1 + ^ 2® ^ • 2. Ha az egyenlet jobboldalán álló zavarófiiggvény több fiiggvény összege, akkor a próbafuggvényt tagonként állítjuk elő, természete­ sen különböző paraméterekkel, így itt; yj p = Ae* + Bcosx + C s in x . A deriváltak: y'p = Ae* - B s in x + Ccosx,

y"p = Ae"' - B c o s x - C s i n x .

5y" + y = 5(Ac’‘ - Bcos x - C sin x)+(A e’‘ - B s in x + C cosx)= = 6Ae’‘ + (C -5 B )co sx + (-B -5 C )s in x = 18e’‘ -5 c o s x . A szereplő fíiggvények együtthatóinak összehasonlításával: e’‘ :6A = 18, A = 3, c o s x :C -5 B = -5, s in x ; - B - 5 C = 0. 25 5 A két utóbbi egyenletből: B = — , C = 26 26 X 25 5 . — C O S X --------így y^ p = 36^^+ — COSX — ísin X . 26 26 -25 5 3- Ym =yh,á+yi,p = C i+ C 2e s+ S e ’^H-— COSX-— sinX.

Q y = C ,c o s ^ + C2SÍn^ + 17e

328

-5 e^ ’‘ .

KVK-1190 X —

g )y = e

2

\ 24 C, cos—x + C, sin—X -2 0 x ^ -1 6 x + ' 2 ' 2

h )y = Cie ^'‘ +€26 ' '

13

i) y = Cie^’‘ H-CjC j) 1. Xj 2 = ~lj

sin— cos— 2 13 2

-2 co sx -2 x .

yh,á~^l®

+ C 2X-e

2. Yip = Acos2x + Bsin2x,

A = 2, B = - l .

3. Yi^ = C ,e"’‘ + C 2X-e“'‘ + 2 c o s2 x -sin 2 x . k )l. X, 2 = ±2j,

4 = Cj cos2x + C2 sin 2 x .

2. Mivel - sh3x = -------- -— = - —e^’‘ + —e”^’‘ , ezért 2 2 2 , 3x

, t)„-3x

Y: =A e"’‘ + B e-^ \

*

1

^

1

A = ----- , B = 26 26

3. Yj. =C,C0s2x + C 2 s in 2 x -— e^’‘ + — e“^’‘ . ' 26 26 1)1. X ,=5, ^ 2 = -2 ,

Yh,.=Qe^’‘ +C2e-^’‘-

2. Mivel 2e’‘ •shx = 2e’‘ • Yi„ = Ae"’'+ B ,

2

= e^’‘ - 1 , ezért

A=- —, B=— . 12 10

3. Yi J'-.aá = C.e'" 1 + C2e-"’ ^ '- — 12 e '’^ + — 10 . m )l. Y" + y = 0, y h,á

=

A,^+1 = 0,

X^=-l,

^ i 2 = ± j.

C, cos x + C 2 sin x .

2. Yi,p = (Ax + B)e“’‘ a zavarófíiggvény alakjából.

329

KVK-1190 y'_p = Ae

- (Ax + B)e ,

y"p = - Ae

- Ae ’‘ + (Ax + B)e'

Különválasztva az e”"" és x ■e"'' függvényeket: Yi p = Ax • + Be~% y ■p = A x • e”’^ + (B- 2A )e“’‘ . Ebből y " + y = 2Ax • x-e^":2 A = l,

+ (2B - 2A)e"’‘ = x •e'" + e“" .

A=|,

e '^ 2 B - 2 A = l,

B = l.

így y>,p = 3* Yi,á = yh,á + yi,p = c , cos X + Cj sin x +

n )y = C,e^"

+ (óx' +18x + 2 l)e ".

o )y = Cie'''‘ +€26

10

e"" - s i n x - — e^^ -cosx. 10

/ 6^ f. 42^ p )y = Ci +C2e^’‘ + 3x + — COSX + 6x — sinx 5, V 5;

9.3.3. 3 . 3 a) y = - c o s —x - s i n —X. ^ 2 2 c )l. A., =1, A,2 = 2,

b )y = Ce“^’‘ + l - C

y, = C ,e ^ + C 2e ' \

2. y,(0) = C ,+ C 2 = l.

y ; = C , e ^ + 2C2e^\

y'(o )= C ,+20^ =0.

A két egyenletből: C, = 2, Cj = -1, d ) l . - y " + 4 y '- 5 y = 0, A.,.= '-1,2

330

yp = 2e'' - e^’‘.

- X ^ + 4 X - 5 = 0,

-4 +V ^ - 4 + 2Í =— ■ - ^ -' = 2 ± (-l)j= ^ 2 ± j . -2 -2

KVK-1190 Yh = e^'‘(C, cos X+ C2 sin x ). 2. y,_p = A x '+ B x + C + D e '\ y ' p = 2Ax + B + 2De^^,

= 2A + 406^^^.

A behelyettesítést a jobboldalon szereplő függvények együtthatói­ nak alábbi táblázatos elrendezésével megkönnyíthetjük: X

x^

-y" 4y' -5 y

-5 A

8A -5 B

1 -2 A 4B -5 C

-4D 8D -5D

A három sort összeadva: - y" + 4y' - 5y = (- 5A ) x ^ + + (8A - 5B)x + (- 2A + 4B - 5C)+ (- D)e'" = 25x" + e"". x ^ A = -5,

x :B = -8 ,

l:C = - — .

így y , p = - 5 x ^ - 8 x - y - e ^ \ 22 3. Yi. = e^’‘(C, C0SX + C2 sinx)-5x^ - 8 x - — - e ^ ’^. 99 4 .y (0 ) = C , - y - l = 0, Y p -e 2x

C,

77

27

cosx + Csinx _ 5 x ^ - 8 x - — - e ^ \ 5 (Megjegyzés; Ha nincs két konstans, akkor felesleges a paraméter indexelése. Legyen Cj = C .) . + —cosx. 1 e )y = —1 e -X —1 smx 2 2 2 9.3.4. a) A gyökökből: y,, ^ = C,e

+ C 2e . A próbafuggvényt a q(x)

alakjából következtetjük k i : yj p = Ae^’^ + Bx + C . Azonban össze-

331

KVK-1190 hasonlítva a tagokat a homogén általános megoldás tagjaival, látjuk, hogy az Ae^’‘ tag rezonál (szerkezetében megegyezik a C,e^’‘ tag­ gal). Ekkor ennek a rezonáló tagnak az x-szeresével kell próbál­ kozni: yi p = Ax •e^’‘ + Bx + C . Ez már rezonanciamentes. b )y = A x e " ’‘ + B x . c) y = A cosx + Bsinx + Cx^ +Dx . (Megjegyzés: Polinomnak minden tagját szorozzuk x-szel, noha csak a konstans tagja rezonálhat.) d)yh,á = C ,e ’‘ + C 2X -e\ A q(x) alakjából: yjp = Ae“’‘, amely rezonál, hiszen szerkezeté­ ben megegyezik a homogén általános megoldás egyik tagjával. A következő próbálkozásunk, yip = A x-e”’‘ pedig a másik taggal re­ zonál. Ilyenkor az eredeti próbafuggvényt x^-tel kell szorozni. yj = Ax^ •e . Ez már rezonanciamentes. e) y = Ax -e g)yh,á

+B e

.

f) y = Ax-cosx + B x-sinx.

cosSx + CjSinSx.

(yj p = Acos3x + Bsin3x]t

yj p = Ax-cos3x + Bx-sin3x .

h) y = Ax •e’‘ •sin X + Bx •e’‘ •cos x . 9.3.5. a )l. y " -5 y ' + 6y = 0,

X ^ - 5 X + 6 = 0,

X^=2,X^=3.

2. (yjUPp = Ae^'^ + Be^^ + c ). A rezonancia miatt:

yjp = Ax •e^’^ + Bx •e^’‘ + C . y ' p = Ae'" + 2 Ax •e '’' + B e'’^+ 3Bx •

332

.

KVK-1190 y';p =2A e'" +2Ae"’‘ +4A x-e"’' +3Be"’‘ +3Be"’‘ +9Bx-e^’‘

.

A behelyettesítést táblázattal végezzük:

y"

-5 y ' 6y

x-e^’‘ 4A -lO A 6A

x-e^’^ 6B 9B -15B -5 B 6B

4A -5 A

1

6C

y " - 5y' - 6y = - Ae^" + Be^’^ + 6C = Se^’^ - Se^’^ + 6. e"’‘ ; - A = 3,

A = -3,

e^’‘ :B = -5,

1:6C = 6,

C = l.

Yi p = -3 x •e^’‘ - 5x •e^’‘ +1. 3. y ., = C ,e '’‘ + C^e'’^ - 3x •e '’^- 5x •e '’^ +1. 4 3 c )y = C ,+ C 2e ^ - 2 s i n —- 6 c o s —+ 2x. 2 2

d )l. X , = 0 , X j = i , 2*

(yi,p

y „ = C ,+ C ,e " . yj p = Ax^

= Ax + b )

+

Bx,

A = -1, B = 1

X

3. yi_i = C,

-x ^ + x .

e) y = C] cos 3x + Cj sin 3x - - X(sin 3x + cos 3x). 6 f) y = C ,+ C 2C - 2 c o s x - 4 s i n x + x + x . g ) l . - y " - 6 y ' + 7y = 0,

- X ^ - 6 X + 7 = 0,

X, = 1 ,^ 2 = - 7 .

y ,,,= C .e ’‘ +C2e-’\

333

KVK-1190 2. Mivel shx = —e""

e

, ezért a próbafíiggvény:

= Ae^ + Be-^ + c )

= Ax •e^ + Be-’' + C .

y'^p = Ae’' + Ax •e" - B e '" ,

= 2Ae" + Ax •e’' + Be^’^.

Behelyettesítve: - y" - 6y' + 7y = -(2 Ae^ + Ax •e’' + Be“^) - óÍAe’' + Ax •e" - B e '" )+ ?(Ax •e" + Be"’' + c ) = - 8 Ae’^+ + 12Be“’‘ +7C = - e " - - e “" + l. 2 2 1 X 1 -X 1 Yin = ----- x -e ’^------e + - . 16 24 7 1 x_ -ex ’' 3. y ,, = C ,e’‘ + C ,e,-V- x'" - — ' ' 16

A=- —, B=- — , C=16 24 7

1 e"’‘ „ -X — + -1. 24 7

h)yi,á =C[e^ H-CjC 2 +2x-e^ - x ^ . i) y = C, + Cje""" + x^ + X+ 2x •e“\ j) y = C,e'’‘ +C2X-e'’‘ + - x '-e " ^ + x + l. k )l. y" + 8y' + 16y = 0,

= 4,

y , , =C ie"’‘ + C ,x -e " \

2. q(x) = 4ch4x = 2e''’‘ + 2e“'’’‘ miatt: y.,p = Ax^-e^’‘ + B e-^ \

A = l, B = ^ .

3. y i, = C,e'^ 1 + Cjx 2 •e '’^ + x ' •

+— 22 e ' '’^.

1) y = Cie”’‘ + C 2X-e”’‘ +x^ •e’’^ -4 c o s 2 x -3 s in 2 x

334

KVK-1190 m )l. y " -3 y ' = 0,

X ,= 0, ^ 2 = 3 ,

2. yj p = A e"+ (B x '+ C x )e'% 3. y j . = Cl +

y,,, = C ,+ C ,e ^ \ A = -1 , B = 1, C = 1.

+ (x^ + x)e^''.

9.3.6. a )y = l - e “' ’‘ + 2 x ^ - 3 x '+ 2 x . b )l.

y " -6 y ' = 0,

X ^ - 6 X = 0,

X^=0,X^=6,

2. (yjp = A + Bsinx + Ccosx), y'p = A + B c o sx -C sin x ,

=C^+C^e^\

yjp = Ax + Bsinx + C cosx. y"p = - B s in x -C c o s x .

y " - 6 y ' = ( -B s in x - C c o s x )- 6 (A + B c o sx -C sin x ) = = -6 A + (6C -B )sinx + (-6 B -C )c o s x = 12 + 3 7 sin x . 1 :-6 A = 12, A = -2 , s in x :6 C -B = 37, cosx : - 6 B - C = 0, B = - l , C = 6. Behelyettesítve: yjp = - 2 x - s in x + 6 c o s x . 3. yj . =C , + C 2e®’‘ - 2 x - s i n x + 6 c o s x . 4. A kezdeti feltételeket helyettesítjük: y(o) = C i+ C 2+6 = 2. y ', = 6C2e‘'’‘ - 2 - c o s x - 6 sinx,

y'(0) = ó C j- 2 - 1 = 0 .

A két konstansra kapott egyenletrendszert megoldjuk: 6C,=2,

C,+C,=-4,

Végül: yp

C ,= - |.

- 2 x - s i n x + 6cosx .

c) y = C - Ce^’‘ + X•e^’‘ - 3 x . d )l. y " -5 y ' + 6y = 0,

X '-5?i + 6 = 0,

X , =2, 1 ^ = 3 ,

2. {yi p = Ae^’‘ + B sin X+ C cos x ). A rezonancia miatt: yjp = A x-e^’‘ + B sinx + C cos x . Ez már rezonanciamentes. y[p = Ae^’‘ +2A x-e^’‘ + B c o s x -C s in x .

335

KVK-1190 y' =2Ae^’‘ +2Ae^'' +4Ax-e^’‘ - B s in x - C c o s x .

y" -5 y ' 6y

x-e^’‘ 4A -lO A 6A

sinx 4A -5 A

-B 5C 6B

cosx -C -5 B 6C

y " - 5y' + 6y = -A e^’^ + (SC + 5B)sin x + (- 5B + 5C)cos x = = -3e^’‘ + 10sinx. sinx:5C + 5B = 10,

,2x

: - A = -3, A = 3, c o s x : -5 B + 5C = 0, B = C = 1.

Behelyettesítve: y^p = 3 x -e ’‘ + sinx + c o s x . 3. yj^ 'i,á = € 16^"^ + C 2e^’‘ +3x-e^’‘ +sinx + cosx. 4. y(0) = C i+ € 2+1 = 0, C, =C, C2 = - ( l + C). így Yp =Ce^’‘ - ( l + C)e^'‘ +3x-e^’‘ + sinx + c o s x . e) y = -3 co sx + Csinx + x-sin x . f) y = -c o s2 x + — sin2x + —x - s in 2 x - —x -c o s2 x . 8 2 4 g ) l . y , , = C , e ^ ’‘ + C 2 e \

2. (y; p = Ae'^ + Be”’^ + Cx + d ), y; p = Ax •e’^ + Be“’‘ + Cx + D . - Ae’^ + 6Be“" + 2Cx + (2D - 3C) = 12e’‘ + 12e“’‘ + 12x. y; p = -12x •e’‘ + 26""^ + 6x + 9. 3. y . ^

+ C^e’^ - 12x •e’^+ 2e"’‘ + 6x + 9.

4. C ,+ C 2 = -1 1 ,

2 C ,+ C 2 = 8 .

yp = 19 e '’‘ - 30e’‘ - 12x •e" + 2e-’‘ + 6x + 9. h )l. A,|2 = il?

yh,á = CjC + C 2Q

2. (yj p = (Ax + B)e’‘\

336

y; p = (Ax^ + Bx)e’‘ = Ax^ •e^^ + Bx •e’‘ .

KVK-1190

3* yi,á = C ,e ’‘ +C2e"’‘ + ^ ( x ^ - x ) e \ 4. Cl = € 2 = 0 ,

9.3.7. a)A

yp=^(x^-x)e\

huroktörvényböl

U -U

r - U l -U ^

=0,

ahol

Ur = R -í ,

U l = L - — , U c = —-Q és U = Uo-sincot. így a differenciáldt C egyenlet;

sincot = L — + R i + — Q , ahol — = i. Ez utóbbi dt C dt összefüggést figyelembe véve deriváljuk t-szerint az egyenletet, hogy csak az i(t) függvény legyen ismeretlen. így i(t) -re egy ál­ landó együtthatójú másodrendű lineáris differenciálegyenletet ka­ punk. d 'i ^ di 1 U qCo •cos cot = L •— —+ R ----~ 1— •i , azaz a megadott adatokkal: dt^ dt C 10676 cos 314t = 0,5 •i" + 40 •i' + 40000 •i . b)Kissé hosszadalmas számolás után, az együtthatókat kerekítve: i = e“''°‘(C, cos280t + C2 sin280t)-0,41cos314t+ 0,55sin314t.

337

KVK-1190

lO.LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓ 10.1. Laplace- és inverz Laplace-transzformált 10. 1. 1. 2 3-7! 2 a)f(s) = ------+ —^------- . ^ s-9 s* s

X 9 21 1 b )f(s) = -------- + —--------------7 ^ ^ s + 12 s '+ 4 9 2s'

C )f(s)= ------ J— 77 + :;— 7- d)f(s}=, \ R 1 1 e)f(s) = - --------- + -■ L s + co

(ö C s^+co^

+1 s +1 _2e + f)f(s)\ = ^2 q + _-----s --------= s (s + l) ^ - 2 5 s s^ + 2 s-2 4 vagy felhasználjuk, hogy ch5t kifejezhető exponenciális függ­ vénnyel: f(t) = 2e + e“‘ •- —

— = 2e + —e"" + —e”®‘ és ekkor 2 2 ^ 2e 1 1 1 1 2e 1 1 f (s) = — + ----------+ -----------= — + -------- + s 2s-4 2 s +6 s 2 s - 8 2s + 12 Ez az eredmény látszólag különbözik a korábbiakban kapottól, de közös nevezőre hozás után a két eredmény formailag is megegye­ zik. \ cí \

• (s-3 )' ■

2

^ 6s + 2 h )f(s )= — ^ + 9 ( s - 3 ) '- 4 3(s + } ) ' - 7 5 ‘

\ s- 5 36 0 f(s )= 7 — — : +■ ( s - 5 ) '+ 4 (s + l f + 8 1

338

s-5

36

s " - 1 0 s + 29

s^ + 2 s + 82

KVK-1190 j) f(t)-t a linearizáló képlettel átalakítjuk először, hogy olyan függ­ vényeket kapjunk, amelyek képletét megtaláljuk a táblázatban: fíA ■ 2* l-c o s 2 t 1 1 f(t) = sm t = -----------= --------cos2t , 2 2 2 + 4 -s^ f(s) = — - i ___^ = —T_____ r = -T_____ 2s 2 s ^ + 4 2s(s^ + 4) s(s^ + 4 ) k)A hatványfüggvénnyel szorzott függvény Laplace-transzformációs képletét fogjuk alkalmazni n = 1 esetén. L sint

^

, kiszámítjuk az első deriváltját;

s^ +1

2s (s^ +]

f

1 ^

2s

f(s)-

2s

+ly

m)f(t)-ben az sht függvényt kifejezzük exponenciális függvények­ kel, sin^t + cos^t helyébe pedig az ismert összefüggés alapján 1-t írunk. A műveletek elvégzése után: f(t) = 4e‘ - c o s 3 t- 4 e “‘ -cosSt + l , 1 5/ N 4s - 4 4s + 4 +f(s) = {s-lf+ 9 [s + l f + 9 s 4s - 4

4s + 4

s ^ - 2 s + 10

s^ + 2 s + 10

s

2 4 20 n) f(s) = — + ------- + ----- -----^ s^ 4 s - 3 25s' - 4

339

KVK-1190

10.1.2. a)f(s)=e-” 4 - s

b )f(s)= e -'-.^ . s +1

c) f(t)-t először átalakítjuk, hogy kiolvashassuk, hogy melyik függ­ vényre kell az eltolási tételt alkalmazni: 0, ha t < 2 f(t) = c o s3 (t-2 ), ha t > 2 . Látható, hogy a cos3t függvény van 2 egységgel pozitív irányba eltolva, így f(s) =

-2s

S

s +9

10.1.3. a )f(t) = 2e^‘ + s in 2 t- 5 .

b )f(t) = ^ t " + ^ e " ''- 8 c h 2 t .

c) f(s)-t két tört összegére bontjuk: s^ +5

s^ +5 ’

s Az első tagról már látjuk, hogy —;----- - alakú. A második tag s +a /' pedig az —----- - képlethez hasonló alakú, a nevezőből a-ra v5 -t s +a kapunk. A tört számlálójából a 3-at kiemeljük és ezután a törtet -tel és -tel is szorozzuk, ekkor már a visszatranszformáVs láshoz megfelelő alakú lesz.

f(t) = 2cosV5t + -7=sinV5t V5

340

.

K.VK.-1190 1

12

8 s ^ -f 63s^+f A nevezőbeli törteket egyszerűsítjük, majd az a^-nek megfelelő tagból kiolvassuk a-t és ezeket előállítjuk a számlálókban a meg­ felelő számokkal való szorzással és osztással. f(s)= T 4 s^ -(f)=

7 s = + (ir

f(t) = —sh —1 + —sin —t . ^^4 2 7 3 e) Ha a nevezőben s^ + bs + c (b O) kifejezés áll, akkor a neve­ zőt teljes négyzetté egészítjük ki, majd az exponenciális függ­ vénnyel szorzott függvény képlete alkalmazható. 6 f(s) = =4 ,

f(t) = 4e2 - s h ^ t = 4e

It

3

—t -e 2

f) f(t) = - t ^ + e"‘ • c h 2 t í = - ( t ' + e ‘ + e '^ ‘) 2 V 2 g )f(t) = 5t-e-^‘ . h )f(t) = e

-sint + —t^ -e^‘

s-1 0 f(s) = v ( s - 9 ) +1 Az exponenciális függvénnyel szorzott függvény képletét akkor alkalmazhatjuk, ha a számlálóban is az s helyén s - 9 áll, ezért két tört összegére bontjuk:

i) A nevezőt teljes négyzetté egészítjük ki:

341

KVK-1190 f(s) =

^ f ------ ------------- , (s-9 )" + l (s-9 )" + l

f(t) = e’* •cost - e^‘ • sin t.

j) Ha a Laplace-transzformált olyan valódi racionális törtfüggvény, amely nevezője legalább harmadfokú polinom, akkor a törtet rész­ törtek összegére bontjuk. ^

15S-15

A

B

C

f (s)= ^s(s- + ; v3)(s r - +A5) = -s + —^ s + 3 + ■s + 5 ’ A = -l,

B = 10,

C = -9 .

f(s) = - l + ^ ^ -------f ( t ) = - l + 1 0 e'^ * -9 e"'‘ . s s+ 3 s+ 5 2J 2 k )f(t) = -2 t + ^ •sinV2t . 1) f(s)-t résztörtek összegére bontjuk: X

s^ +18 _ A

B

C

Ds + E

Mindkét oldalt megszorozzuk s^(s^ +9)-cel: s^ +18 = a (s ' + 9 )+ B s (s ' + 9 )+ C s ^(s ' + 9 ) + s'(D s + E) . Válasszuk s-nek a nevező valós gyökét: s = 0: 18 =9A, ahonnan A = 2. Hasonlítsuk össze az s hatványok együtthatóit: s"; 0 = C + D, s^

0 = B + E,

s ^ : 1 = A + 9C, ahonnan C = - ^ , az első egyenlet alapján

D =

s : 0 = 9B, ahonnan B = 0 , a második egyenlet alapján E = 0. f(s) = ^ - - - - + ---r-^ — , ^ s' 9 s 9 s ' + 9

342

f(t)= t^ - - + - c o s 3 t. ^^ 9 9

KVK-1190

^ w

2

9

9

9

,

n) f(s)-t résztörtekre bontjuk: 7;/ \ 15 A Bs + C fis) = - 7-^----------- \ = — . s(s - 2 s + 5) s s - 2s + 5 A = 3, B = - 3 , C = 6 . s

(s - 1)^+4

2 (s-1 )^ + 4 ’

f(t) = 3-3e* •cos2t + -^e‘ •sin2t .

10.2. Lineáris differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval 10.2.1. A feladatok megoldásánál a továbbiakban az alábbi lépésekre az előttük álló számokkal fogunk hivatkozni. (1) A differenciálegyenlet mindkét oldalának képezzíik a Laplace-transzformáltját, és behelyettesítjük a kezdeti feltétel(ek)ben adott érték(ek)et. (2) Kifejezzük az ismeretlen függvény Laplace-transzformáltját. (3) Elvégezzük a visszatranszformáláshoz szükséges átalakításo­ kat. (4) Inverz Laplace-transzformációval meghatározzuk a keresett partikuláris megoldást.

a) (1) sy - 4 + 3y = -

^ s-5

—í ^ 1 — 4s ~ 28 (2) y(s + 3j = --------+ 4, ahonnan y = s- 5 ’ (s + 3)(s - 5)

(s + 3)(s - 5)

s+3

s-5

Mindkét oldalt megszorozzuk (s + 3)(s - 5)-tel: 4 s - 2 8 = A(s - 5 ) + b (s + 3).

343

KVK-1190 s = -3: ^ 0 = - 8 A, ahonnan A = 5. s = 5: -8 = 8B, ahonnan B = -1. f 5 1 ^ 1 1 így y = --------------- = 5 ----------------- . s+ 3 s - 5 s+ 3 s - 5 (4) y = 5e-'’‘ - e ' \ b )y = e '’‘ + 5 e -'’‘ - e - ' \ c) y = - 5 x - l + 2 e '\ d )(l) sy + 2y = ^

40 +16

40 (s + 2)(s^ +16) 40 A

Bs + C

(s + 2){s' + 1 6 ) " s + 2 ^ s ^ +16 A = 2, B = -2 , C = 4. + 1 6 ^ s ^ +16 (4) y = 2e~^^ - 2cos4x + sin4x. 3 3 1 . e ) y = — e + —cosx + —sin x . ^ 5 5 5 f) y = 2x + l-2 e '= ‘ -66=^ + 7 e '\

344

®

" “ ( s - l) ( s + i r '

(3)

= (s - l)(s + 1)^ S - 1 (s + l)^ A = l , B = -2, C = - l .

"

S+1

KVK-1190 íg y y = ^ -2 s- 1

^ (s + 1)^

s+1

(4) y = e ’'- 2 x - e - ’‘ - e ‘\

(s-2 )^ H -r _ 17S-34 ^ ~ ( s + 2)(s' - 4 s + 5 )‘ 17S-34 A Bs + C (3) / .X/ , .---- T i - ---- r + (s + 2)(s^ - 4s + 5) s + 2 s ^ - 4 s + 5 A =^ , B = 4, C = -7. í _ 4 4s - 7 így y = ------ r + s + 2 s -4 s + 5 ^ 1 ^ s-2 1 = - 4 ------- + 4 • -------------- + ■ s+2 (s-2 )"+ l ( s - 2 ) " + r

4 4

( ) y = - e “^’‘ +4e^’' • cosx + e^’‘ • sin x .

i) y = l + x . e '’' - - e ' \ ^ ^ 3 3 10.2.2. A feladatok megoldásánál a 10.2.1.-ben bevezetett jelöléseket használjuk. a )(l) s ^ - y - l + 9y = —. s (2) y(s=H .9)=Í + l,.e h á t s+9

A

Bs + C

s(s^ + 9)

s

s^ + 9

y=; ^

.

Mindkét oldalt megszorozzuk s(s^ +9)-cel: s + 9 = a(s^ + 9)+ (Bs + C )s. s = 0; 9 = 9A, ahonnan A = 1. s^: 0 = A + B, ahonnan B = -1.

345

KVK-1190 s: 1 = C. í _ 1 -s+ 1 1 s 1 3 így y = - + — — = ------ 7— - + s s^+ 9 s s^+ 9 3 s ^ + 9 (4) y = 1 - cosBx + ^ sinSx . b) y =

+ sin2x.

c) y = X +1 -

+ 2e“^’‘.

d )y = e^’‘ - 2 e - ’‘ + e “" \ e) y = 2e’‘ - 2 x - 2 . 0 (1 ) s ^ y -6 s y + 9y = ^ ^ . s+2 " “ (s + 2 ) Í - 3 ) ^ ' 25 _ A B C (s + 2 ) ( s - 3 ) " ” s + 2 '" { s - 3 ) " ''s - 3 A=l, I _

B = 5, 1

C = -l. 5

1

(4) y = e-^‘ + 5 t - e '‘ - e ' ‘ . g) y = 17 -

- 1 6cosx - 4sinx.

h )y = t - —+ - e 4 3

—e 12

i) (1) s ^ y - 2 s - 3 + 3 ( s y - 2 ) - 4 y =

346

^ s '- 9

KVK-1190 (2) y =

(3)

2s^ +9s^ - l S s - 7 8 (s-3 )(s + 3)(s + 4 ) ( s - l ) '

2 s ^ + 9 s ^ - lS s - 7 8 A B C D =— r +— r +— +(s - 3)(s + 3)(s + 4)(s - l ) s - 3 s + 3 s + 4 s-1 A = — , B = -, C = - - , D = — . 28 8 7 8 í _ 1 1 1 1 2 1 17 1 így y = — — r + - — T - - — 7 + 28 s - 3 8 s+ 3 7 s+ 4 8 s-1

(4) y = J _ e ' ^ + i e “' 28 8

^ 7

+—e\ 8

j) y = -1 t ^3 + 2 + 2e-‘ .

k) y =

- cosV2 x - V2sinV2 x ,

1) y = -6 + e-^’‘ +2e^’‘ + 3 e '\ 5 m )y = 2e’‘ — 4

3 9 — cos2x — sin2x . 4 4

2^. 25 n)(l) s y + 4sy + 4y = s-3 25 (2) y=. (s-3 )(s + 2 ) 25 A B C (3) = — 7 + 7— :^ + (s-3 )(s + 2 f s-3 (s + 2)' s + 2 A=l, i -

B = -5, I

C = -l. 5 1

(4) y = e"'‘ - 5 x - e “' ^ - e “' \

347

KVK-1190 o)(l) s ^ y -6 s y + 9y = (s-sr (2) y (s^ -6 s + 9 )= — ^ , t e h á t y = - r - ^ s (s-3 ) (s-3 ) (3) A számlálóban 4! = 24-et kell előállítani: _ 1 24 " '% '( s - 3 r

-.x * . ,2^. . - 13 p )(l) s y + 2sy + 5y = s-2 (2) y(s^+ 2s + 5 ) = - ^ ^ , tehát ^ ’ s-2 (s-2 )(s^ +2s + 5)

s-2

y = 7--------------------- \( s - 2 ) ( s '+ 2 s + 5) s^+2s + 5

Szorozzuk meg mindkét oldalt (s - 2)(s^ + 2s + 5)-tel: 13 = a (s ' + 2 s + 5)+(B s + C)(s - 2). s = 2: 13 = 13A, ahonnan A = l . s^: 0 = A + B, ahonnan B = -1. s; 0 = 2A - 2B + C, ahonnan C = - 4. í _ 1 s+ 4 1 s+ 4 így y= s - 2 s^ + 2s + 5 s - 2 (s + 1)^ + 4 A második tagot a visszatranszformálás előtt átalakítjuk: __ 1 (s + l) + 3 _ 1 s+1 ^ “ s - 2 (s + l ) ' + 4 ~ s - 2 (s + l ) ^ + 4 2 (s + l ) ' + 4 ‘

(4) y = e^’‘ - e - c o s 2 x - - ^ e - s i n 2 x . q) y = -12x • e - '’‘ - 9 e-'’‘ + 8e-’‘ + e"’‘ .

348

KVK-1190 r)

y = 1 - e’^ • cosx + e’‘ • sinx.

s )( l) s ^ y - s - l + 4 ( s y - l) + 4y = — s+2 (2) y (s^ + 4 s + 4 )= —^

+ s + 5,tehát

S “h 2

_

s ^ + 7 s + 18 (s + 2y

(3)

•

s ' + 7 s + 18 A B C . = ^ ^ + 7— TT7 + (s + 2)^ {s + i y {s + 2 f s+2 Mindkét oldalt megszorozzuk (s + 2)^ -nal: + 7s + 18 = A + B(s + 2) + C(s + 2 )^ s = -2; 8 = A. s^: 1 = C. s: 7 = B + 4C, ahonnan B = 3. í _ 8 3 1 így y = 7 — iTT+7— IT7+ (s + 2)^ (s + 2)^ s + 2 Az első és második tag számlálójában előállítjuk a megfelelő konstansokat: (s + 2)^

(4) y = 4x^

(s + 2)^

s+2 ■

+3x •e'^’‘ +e"^’‘.

2- _ 8 24 = t ) ( l ) s^^Vy— - yV = — +■ s-1 _ 24s'+8s-8 (2) y = s^ (s-l)^ (s + l) 24s'+8s-8 A B C D E (3) ^ ^ - T T ^ - T = ^ + - + 7— TT + — 7 + s ^ ( s - l f ( s + l) s^ s ( s - l f s-1 s + 1 A = -8 , B = 0, C = 12, D = -2 , E = 2.

349

KVK-1190 így y = -8 •^ +12 • , ^ ,, - 2 • +2• ^ (s -l)^ s -1 s+1 (4) y = - 8x + 12x - e " - 2e " + 2e ' \ u) y =

• cosx -

•sinx.

10.2.3. (1) s^y-sy(o)-y'(o) + 3(sy-y(o))= Legyen y(o) = a,

m

y'(o) = b

^ s -1 (a,b G R )l

y(s^ + 3s)= + as + b + 3as ^ ’ s -1 ^ ,_ l + a s ( s - l) + b ( s - l ) + 3 a ( s - l ) _ s(s + 3 ) (s -l) _ as^ + (2a + b)s +1 - 3a - b s(s + 3 ) (s -l) +(2a + b)s + l - 3 a - b _ Ai Aj ? T\7 “ * r s(s + 3 ) (s -l) s s+3

A s -1

Mindkét oldalt megszorozzuk s(s + 3)(s - l)-gyel: as^ + (2a + b)s +1 - 3a - b = A, (s + 3)(s - 1)+ Ajs(s - 1) + + A 3s(s + 3). s = 0: s = -3: s=

(4)

350

1 - 3a - b = -3A i, ahonnan A, •

^—1 3 l-4 b 9a -6a -3b + l- 3a-b= 12A2, ahonnan A , = ------- . ' 12

1: a + 2a + b + 1 - 3 a - b = 4A3,ahonnan A 3 = ^ .

í _ 3a + b - l 1 l - 4 b 1 1 1 így y = -----;-------- + —T--------- r + T3 s 12 s+3 3a + b - l l-4 b _3, 1 , y = -------------------+ ---------------e ^ ’‘ + - e " . 3 12 4

4s-l

KVK-1190 Bevezetjük az alábbi jelöléseket: 3a + b - l _ ^ l-4b_^ 3 ” 12 Az általános megoldás tehát; y = C, + C 2e"^’‘ + ^ e \

10.2.4. i(t) = 0 ,5 (l- e -'') . 10.2.5. (1) x(0) = 0, x (0 )-2 . s ^ x - 2 + 5sx + x = 0. ^2/

^1 ^ - 5 + ^ ^0,2087; (3)

( s - s ,) ( s - s 2 ) A=

=

« S- Sj

S-Sj

0,4364;

S; = » - 4 , 7 9 1 3 .

B=—

-0,4364.

yÍ2Í

.így _

X= -

2

1 s-Si

2

1 S-S2

(4) x(t)= 0,4364(e

351

KVK-1190

11. VÉGTELEN SOROK 11.1. Számsorok 11.1.1. a) A számsor általános tagja egyszerűsíthető: n+2 n+2 1 n + 3n + 2 (n + l)(n + 2) n +1 A részletösszegek sorozatának első három eleme: 1 s, =ai = - , 1 1 5 S2=a,+a2=s,+a2=- +- =-, 5 1 13 s, =a, + a , + a , = s , +a , = - + —= — . 3

1

2

3

2

3

6

4

12

A konvergencia szükséges feltétele teljesül, mert 1 lim= 0. n-^oo n + 1 14 78 Sj - ■ 5 ^ 25 A konvergencia szükséges feltétele teljesül.

b) S| —2, Sj —

,

c) A részletösszegek sorozatának első három eleme: s =

2

S2 —2

V Í 9 - l f , , V19 - I ,— 1+ V5 + I V5 + I

S3 = 2

^

V Í9 -1 V5 + I

1+

V Í9 -1 VS + 1

1+

VI9 - I •yfS + 1

A konvergencia szükséges nem feltétele nem teljesül, mert

352

KVK-1190 lim

n^QO

7 1 9 -0

• 1 —p=---- > 1.1 = 00, mivel V5+1

Vs+i

8 121 d)s, = 0 , s, = — , s, = — . ' ^ 10 ' 70 A konvergencia szükséges feltétele nem teljesül, mert 1 1- - 2 n - 2 on -l_ ^ -n + l lim --, . = lim ---- = 1. \ n^-oo3t>-l + 3-"+' n—>co 1+ 2n -2 e) Sj —1+ V2 , S2 = 1+ 2V2 + V3 , S3 = 3 + 2^V2 + V3 j. A konvergencia szükséges feltétele nem teljesül. f) s, = ^ Í 3 - ^ f 5 , S2 = 2 + V 3 - V 5 - a /6 , Sj = 2 + V 3 - V ó - V 7 . A konvergencia szükséges feltétele teljesül.

a) A geometriai sor kvóciense pozitív, és q = —c» 5 h{5)

3 sor összege: lim V ^ 'n=2v5 V 5-’/ c) írjuk fel 3" +7" 21" írjuk fel

= lim V N-»oo"

8 =-+lim y ^ 5 8 5

5 2

8 5

10

a sor tagjait az alábbi módon: _ 1 _1_ ~ 7" 3" ■ a sor N-edik részletösszegét: N i Ni 1 1 n=l

n=l W

/

n=l

A jobboldalon álló összegek rendre az

és ^ kvóciensű geo­

metriai sorok N-edik részletösszegei. Képezve mindkét oldalon a határátmenetet, a sor összegét kapjuk: ,. ^3"+7" , . ^ 1 1 , . ^ 1 1 1 1 2 hm > --------- = hm > ---------r- + hm > ------- r = —+ —= —. 21" N - ..^ 7 7"-' N^“ ^ 3 3"-‘ 6 2 3 e) Divergens.

d)Divergens.

Q Konvergens, lim V (Vs - 2) N->oo'“ ^ n=l

r v iö

'

v ^ + v í ö +10

V5+1

1 1 . 1 .3 .

a) Tekintsük a sor

354

(n + l)(n + 2)

általános tagját.

KVK-1190 Minden, n > 0 egész szám esetén 2 2 (n + l)(n + 2) n + 1 n + 2 ’ ezért a sor N-edik részletösszegét megadhatjuk ilyen alakú általá­ nos taggal is. Ez részletesen, az áttekinthetőség céljából az egyes tagokat zárójelbe téve: \ / +• s„=(2-l) + 1-^ + ^N + 1 N + 2, 3/ V Mivel az első és az utolsó kivételével, minden szám összeadandóként is és kivonandóként is szerepel, ezért összevonás után

_ ___^

Sn = 2 ----N+2 A sor összege a részletösszegek sorozatának határértéke: N

^

= 2. lim V ---------------- = lim 2 - N+2 ^ (n + l)(n + 2) b)Mivel n > 1, ezért n + 2 0, így a sor általános tagját egyszerű­ síthetjük. A kapott általános tag két parciális tört összege: ___ 1 _ n(n + 4) n n+4 00

J____1 sort, és az előző feladatban alkalma­ n+4 n=l n zott módszerrel kiszámítjuk az összegét. n ri fi fi 0 + ...+ í , - r + fi + + + 5; u 8y l5 9J 6j U , 1 1 1 1 1 1 = 1 h---- 1---- 1-------------2 3 4 N+4 ^N N + 4, Az így felírt részletösszegek sorozatának határértéke a sor össze­ ge: IN í 1 1 1 1 1 = lim 1h— I— I----lim Y N —>00 n+4 2 3 4 N+4 12 n=l Mivel a megvizsgált sor konvergens, ezért tagjait egy adott, valós számmal sorozva is konvergens sor adódik. Ennek határértékét Tekintsük a ^

=

------ ■ --------------

—

'--------------

—

-------------

—

--------------

355

KVK-1190 úgy kapjuk meg, hogy a megvizsgált sor határértékét megszoroz­ zuk a valós számmal: 3 1 1 n(n + 2)(n + 4) 4 n n+4 4 ' l 2 " 16 c) s = — . 18 e) s =

144

d) s = —. 4 .

f) s = -3 .

11.1.4. a) Leibniz-féle sor, mert a sor tagjainak abszolút értékeiből képzett sorozat monoton csökkenve tart nullához: l i m ^ — = 0. n+2 A Leibniz-féle sorok konvergensek. b)A sor divergens, mert nem elégíti ki a konvergencia szükséges feltételét: lim ^ - ^ ^ - ^ í^ ^ ^ 0. 2n +1 c) Alkalmazzuk a cosn;i = (-1)" összefüggést! A sor konvergens. d) Alkalmazva, hogy s i n ^ = -1 és minden, n > 0 egész szám ese­ tén n! 1 (n + 2)! (n + l)(n + 2 ) ’ a konvergens á S ( n + 2)! sort kapjuk.

e) Konvergens. 356

2

ti

n(n + l)

f) Konvergens.

KVK-1190

11.1.5. a) A D ’Alembert-féle hányadoskritériumot alkalmazva, 3(n + l) 3. ^n+1 n+1 1 l i m— = l i m ^ i ----- = lim -------= - < 1, tehát konvergens. 3n 5n 5 n n ^ Q o

^

b) nl->iQmo ^^ ^

n -> oo

n -^ o o

= lim ^ ^^> 1, tehát divergens. n->oo 3

c) Divergens.

d)A Cauchy-féle gyökkritériumot alkalmazva, 2 ^2 = limn - lim ------ = 0 < 1, tehát konvergens. n^” y(n + 3)" n-^“ n + 3 e) lim s/a^ = lim V 2 n -l > 1, tehát divergens. n^QO

n—>00

f) Konvergens. 11.2. Hatványsorok 11.2.1. a) x, =0,5 és X2 = 3 behelyettesítésével is pozitív tagú számsort kapunk, amelyekre alkalmazhatjuk a D’Alembert-féle hányados­ kritériumot: 0 5”^^Tn + 2) lim ^ ------------ - = 0,5 < 1, tehát konvergens az x, = 0,5 helyen. 0,5"(n + 3) lim ------------ - = 3 > 1, tehát divergens az x, = 3 helyen. 3"(n + 3) 6 2

357

KVK-1190 b)X[ =1 behelyettesítésével váltakozó előjelű sort kapunk, amely tagjainak abszolút értékeiből képzett sorozat nem nullához tart, hanem végtelenhez, ezért itt a hatványsor divergens. Xj =5 behe­ lyettesítésével pozitív tagú sort kapunk, amelyről a D ’Alembertféle hányadoskritériummal megállapítható, hogy divergens, ezért a hatványsor itt is divergens. c) Az X, = 2 helyen konvergens, az Xj = 6 helyen divergens. d)Az

X,

= 0,5 és az

Xj

= 0,25 helyen is konvergens.

e) x, = 2 és %2=2e esetén is alkalmazzuk a D ’Alembert-féle 2 hányadoskritériumot. Az első esetben a határérték —< 1, a másoe dik esetben pedig 2. Ezért a hatványsor az Xj = 2 helyen kon­ vergens, az - 2 e helyen pedig divergens. f)

Az

X, =

0,1 helyen konvergens, az

Xj = 10

helyen divergens.

11.2.2. a)Mivel f(x) = 2'' legalább háromszor differenciálható az Xg=l 3

helyen, ezért a T3(x) = V ---- ^ ( x - x,,)" felírható. fo n! f(x) = 2=^ f (1) = 2 f'(x ) = 2M n2

f'(l) = 21n2

f"(x) = 2 M n '2

f"(l) = 21n^2

f'"(x) = 2Mn^2

f"'(l) = 21n^2 3 2 In” 2 A fentiek alapján: Tj (x) = V -------- (x -1 )". ti n! b) Mivel a függvény legalább háromszor differenciálható a megadott helyen, ezért itt felírható a harmadrendű Taylor-polinomja.

358

KVK-1190 f(x)=

Inx 2 X

f(e )= ;

X f(e ) = ; f » = 4e^

X

■(X

c) Mivel n = 2k + l esetén

e)" +

3e

= 0 , ahol k = 0;l;2;..., ezért a

harmadrendű Taylor-polinom csak másodfokú: ^ T3(x) = 1+ - X - 2l 2, -j

/

\

d) T3(x) = 5 (x -1 ) + 20(x - 1 ) ' + 35 (x -1)^. e) T3(x) = e + 2 ( x - e ) + ^ ( x - e ) ^ - ^ ( x - e ) ^ 2e 6e lOe f) T3(x) = e - 2 e ( x + l) + 3e(x + l)^ ------- (x + l ) \

11.2.3. a) Alkalmazva az ismert, sinu =

. ha u € R , ^0 (2n + l)! összefüggést, és az u = 3 x helyettesítést, a megadott függvény Xq = 0 körüli Taylor-sora:

359

KVK-1190 -sin S x = - s i n u = - > 1 1 2 ^

— ---------= > — -- -------------- . (2n + l)! h 2(2n + l)! 00

J

Mivel minden u e R esetén sinu = V (-1 )" ---------- u^"^', ezért (2n + l)! a kapott sor minden x € R esetén előállítja a függvényt. b)Alkalmazzuk a sin2xcosx = -^(sin3x + sinx) azonosságot, és az a) feladat megoldásának eredményét! A jobboldalon álló függvé­ nyek összegének Taylor-sora, a két függvény Taylor-sorának öszszege. Mivel a két függvényt minden x e R esetén előállítja a Taylor-sora, ezért kiemelés után, a keresett Taylor-sor: ,i„ 2 x c o sx = | ; í = i n í ^ , - , h a x . R . S 2( 2n+l ) t c) Alkalmazva az u = - x helyettesítést, és felhasználva, hogy e“ = V —u ” , ha u e R , kapjuk a megadott függvény nulla körüli Taylor-sorát: 4 = É H r 4 ’‘M 'a x £ R . e ’‘ n!

d)

x^e^’‘ = V — x"^^, ha x e R . n!

e) cosx^ =

x**", ha x e R . h

(2n)!

f) A megadott függvényt felírhatjuk f(x) = 1-

360

X

\

KVK-1190 alakban. Legyen u = — — , és alkalmazzuk az ismert 1

5 ]u " , h a |u |< l 1 -u összefüggést. Ekkor ------- =

4 + x^ Mivel u = — — és |u| < 1, ezért a Taylor-sora

|x|

< 2 esetén állítja

elő a függvényt. 2 l + 4x" tS A derivált függvény Taylor-sorát tagonként integrálva kapjuk a megadott függvény Taylor-sorát: arctg2x = j |; ( - l ) " 2 " " " 't'" d t = |] ( - 1 ) " 2 '" " ' jt^M t = 0 n=0

00 /^2n+l = T ( - Í ) - ----- X á 2n + l

n=0

, ha

h )f(x ) = ln (2 -x ) = ln2 + ln

0

1

= In 2 + g(x) átalakítás után.

=- Z | x | ^ J_ _ n=0 ^ 2 Tagonként integrálva a g'(x) Taylor-sorát: 1 A megadott függvény Taylor-sora tehát: 1 ln (2 -x ) = l n 2 - J x""‘ ,h a S 2 " ^ '( n + 1)

3, akkor

0,2 í x^Mx= y J h ( 2 n + l)n\

.

( 1) r>o2n+l x,J

n

sin(n •(2m +1) • ti))

Az f(x) függvény páratlan, ezért a^ = 0 , a„ = 0 és b„

=

0.

0.

369

KVK-1190 00 2

f(x) = V —sin n x , ha X I m n (m = 0;±1;±2;...)tfn A függvény szakadási helyei: x^ = Imii (m = 0;±1;±2;...), \

00

Hm f(x )+ Hm f(x) = V —sin(2-n-m -7i) = 0.

e) A függvény páratlan, ezért a^ = 0, a„ = 0 és b„ 9^0.

-1

1 .-1 o -

X

n;i ha X 0;±l;+2;__

A függvény szakadási helyei: x^ = 0;±1;±2;..., ^'"lim f(x )+ lim f(x )l = y ^ ~ L->x,“

x^x,+

/

n=l

^sin(n • ti • x ,) = 0. ^

Az f (x) függvény páratlan, ezért ao = 0 , a„ = 0 és b„ ^ 0 . X

y ' — — -— sinnjtx,ha ti nTT x ;é2 m + l (m = 0;±1;±2;...).

f(x) =

A függvény szakadási helyei: x ^ = 2m +1 ( m = 0;±1;±2;...), 1

370

lim f(x) + lim f(x) = i-^x," x->x3+ J

n ;r

sin(n • n • (2m +1)) = 0.

KVK-1190 11.3.3. a) Legyen g(x) = - 3 , és tekintsük az alábbi páratlan, periodikus függvényt: x\ ha - l < x < 0 , és h(x) = h(x + 2). h(x) = f(x) + g(x) = - x ^ , ha 0 < x < l , Ennek a függvénynek az esetében b .= 2 'f( -x » ) s in „ .x ) d x = ^

njc

= 0, a„ = 0 és +l t e : ) n K

Mivel f (x) = h(x) - g (x ), ezért az adott függvény Fourier-sora

n=l

tlTT

n 71

sinnjtx, ha X ±l;+3;....

b)A megadott függvény páratlan, ezért a o = 0 , a „ = 0 . n > 2 ese­ tén, alkalmazva a sin a sin p = ^ (cos(a - P) - cos(a + P)) trigo­ nometrikus azonosságot, 0,5

b„ = |2sin;ixsinnjtxdx = - 0 ,5

0,5

(co s(n -l)7 tx-cos(n + l)3tx)dx. - 0 ,5

Integrálás és azonos átalakítások után, b„ = — — — cos — . (1 - n ) ti 2 n = 1 és - 0,5 < X < 0,5 esetén cos(n - 1)tix = 1, így 0,5

bj =

(l - cos27ix)dx = 1. A függvény Fourier-sora; - 0 ,5

O U 4n nTt f (x) = sin Jrx + ^ ------— cos— sm njix, — ;— ^ ( 1 - n )7t 2 ha X 0,5 + m (m = 0;±1;±2;...).

c) A b) és a 11.3.2. f) feladat megoldása alapján, - ha x ( m = 0 ; ± 1 ; ± 2 ; a függvény Fourier-sora:

0,5 + m

371

KVK-1190 ti cos Sin 7IX+ y —

f(x ) =

IITI: 2

(-1 )” sin nTix,

11.3.4.

a) Mivel a függvény páros, ez­ ért b„ = 0.

íY

-7 1

71

X

2 2dx + Idx

1 ao = 2n

3 2

2 n

3tt

2, ^ 2 cos nxdx + cos nxdx

a„ = Ti

2(2 + cosn7i) . nn --------------- ^sin — nTi 2

71

2 A megadott függvény Fourier-sora; , 3 -A 2(2 + cosnTi) . nji f(x) = - + > —i------------ ^sin — cosnx, ^ ^ 2 ti nn 2 ha

n

X^ —+

m u (m = 0;±1;±2;...).

b) n A függvény páros, ezért a ^ - — .

7

és b„ = 0 . n^n A függvény Fourier-sora: a„ =

N -7 1

/

?

. 71

cosnx

X 2

372

n=l

^

^

KVK-1190 c) A függvény páros, ezért a,, = 1, a„ =

4 (1- ( - ! ) " ) , . . ' es b = 0 .

A függvény Fourier-sora; n=l

^ ^ n^Ti^

n7ix

cos----2

11.3.5. a) A függvény páros, ezért b„ = 0 . 21

e ^ -1 2 ’ nTix n;tx . nrex \ cos----- + ------sin----2 2 2 ^ \2 nn 1+ v2.

1^ nTix i„ = 2 - - Je’^cos— dx = T

(2 4 ( ( - i r e '- l ) | e c o s n 7i - l j =— — ~ ~ n .— • 4 + n^n^ 4 + n 71 A megadott függvény Fourier-sora: e ^ -1 -A 4 ( (- l)" e ^ - l) nux 2 ^ 4+n n - . n;i n7i 4V2 2n sin------cos— 2 2 b ) f ( x ) = ^ + |; cos 2n7ix, 7 i(4 n '-l) ti ha X

(m = 0;±1;±2;...).

, 4 ^ 1 6 (-1 )" nTTX C )f(x) = - + X - ^ “ S— 3 n=i n 71 2

.

373

KVK-1190 11.3.6.

a) _

A függvény nem páros és nem páratlan, ezért ^0,

y: ^ c .1 Ti

T2

. ím

a„ 0 és b„ ^ 0 . ao értéke a Ti=T2, azaz az 1,25 •71•m = 0,75 • ti • (2 - m)

,

-n

n

X

egyenlet megoldásaként is kiszámítható: a^ = m = 0,75. . nn -----2—sm 5

1 ’'f, a„ = K

nn

2 sin nxdx =

n

2 n;i

/

4

n7i

COS -------4 V

A függvény Fourier-sora: nn nn - s m — cosnx + cos------cos n7i sm nx 4 4 Ztnn 4 7t — + 2m.K és Tz + l m n (m = 0;±1;±2;...). 4 Csak „szinuszos” tagokkal kifejezve: 3 f(x) = - + X c„sin (n x + (p J,

ha X ^

^

n=l

ha X —+ 2m7i és x ^ n + 2m7i: ( m = 0;±1;±2;...), 4 ahol n7i , cosnTicos— es c 4 n7i V n7i sm T (p„ = arc t g - ^ = arc tg nTt b„ cosnTi-cos-

374

KVK-1190 b) A függvény nem páros, nem páratlan. ao ‘0 = 0 , _ 4(cosn7i-l) a„ =

2 --

-2

_ 2(cosn7i-l) b„ = n7i

-2

f(x) = Z n=l

4(cosn7c-l) nTix 2(cosn7i-l) . nnx —^— — — ^cos---- + —----------- ^sm-----

nn

2

nn

2

0;+2;+4;__

ha X

Mivel I 2 TT r,-----T T 4(cos n7i - 1) , c„=Va„ +b„ =Vl + n7t ,— ^ees

n 71

a 2 (p„ = a rc tg -^ = arctg— b„ H7l így a sor csak „szinuszos” tagokkal: ■4(cosn7i-l) . f(x) = ^ V l + n^7i^ „2^2— sin n 71 n=l ha x ^ 0;±2;+4;....

H71X

+ arctgn7i

11.3.7.

a)ao =

Z

1 VO

1

1

1

Idx + Jx^dx

(1 + X ) dx + 1dx y

VO

0

2

a„ = (1 + x )cosn7ixdx + cosnTixdx = X cosn7ixdx és b„ = (l + x^)sinn7Txdx+Jsinn7ixdx = x^ sinnTixdx. Kiszámítva az egyes integrálokat, a Fourier-együtthatók:

375

KVK-1190 a

a = f-ir^ é s b

- (-ir(2 -n V )-2

A függvény Fourier-sora: 1

2 ( - 00l ) "

(-l)" (2 -n ^ 7 i" )-2

.

f(x) = - 4 . S — — cos iiTix + ----------- — --------- Sin nTix n 71 n=> - n 71 ha X ±1;±3;±5;.... A Fourier-sor, csak „szinuszos” tagokkal: y

00

f(x) = —+ 6

sin(n7ix + (p„), ha x

±1;±3;±5;..., ahol

n=l

/...2 — c„= V a„ +b„

V 8 ( l- ( - l) " ) + n V ( n V + 4 ( - l ) " ) , = -------------------- ---------------------------es n 71

» „ = a rC g ^ = a r = ,g ^ ^ ^ - ^ ^ 2 :^ .

b) f(x )= 2 ti

4n

cosx + ^ ^ ^ s i n x + 871

00

+ ^ ( a „ cosnx + b„ sinnx), n=2

ha x ^ — + 2mn (m = 0;±1;±2;...), ahol 4 rr,

.

n7i

n7T

V 2 (-l) + nsin — + cos— a 4 4 V2 7i(n^-1) " A függvény Fourier-sorának másik alakja:

n7i

, 2 + V 2 a / 9 t i ' +1271 + 8 . f , 2 ^ f(x) = ---------+ -------------------- sin x - a r c t g -------- + ^

271

871

+ Z ^nS Ín(nx + (p J , n=2

376

l

.

n7i

n cos------sin — 4 4 V2 7 i(n '-1 )

^371 + 2

KVK-1190 3 + n '+ 2 V 2 ( - l) " n sin — + cos — 4 4

és

V2 7 i(n '-1 ) rr ,

,, n

.

T17t

ÜTI

cos V 2 (-l) + nsin — + cos_________ 4 4 (p„ = arctg. n n7i sm — n cos — 4 4

^ ^ 9 ^/3 sin nx + c) f(x) -------------COSTTX+ 1+ 8ti 4n 4ti oo

+ ^(a„ cosn7ix + b„ sinnTix), n=2

ha

X

-^ + 2m ( m = 0;±1;±2;...), ahol

3 (2(-l)” + n ,+ n V 3 ^ i) ^ 3(^1- n ^ i j 27i(n"-l) ” 27i(n"-l) ' A függvény Fourier-sorának másik alakja: 16V37r-18 , 9 V39 + 64ti'+48V371 . f f(x) = — + -------------------------sin n x -a rc tg Ali 8ti \V 64 ti' - 2 7 00

+ S ‘^nSÍn(n7ix + (p J, n=2

ha x íí ^ + 2m (m = 0;±1;±2;...), ahol 3-^5 + n ^ ( 2 -|^ 4 ) + n ( V 3 - l|i3 +2(-l)"(n2V 3^, - ^ i j 27i(n^-l) 3 ( 2 ( - ir + n V 3 |g ,+ ^ J 9n =arctg1^1- n ^ 2 A Fourier-együtthatókat és az eltolási szöget meghatározó kifeje­ zésekben használt jelölések:

377

KVK-1190 .ÜTI nir . Imi , 2nn |a, =sin — , 1^2 = c o s— , Hj = s i n - ^ es IÍ4 = c o s ^ —, 11.3.8. a) A grafikonnal megadott függvény esetében elsőként a függvény képletét kell felírni. Mivel a grafikon szakaszokból áll, ezért egyegy egyenes egyenletét határozzuk meg, figyelemmel a folytonos­ ságra, a szakaszok végpontjában. X + 71, ha - 71< X < 0, , f(x) = es f ( x ) - f ( x + 27i), - 71, ha 0 < X < 71,

ahol 2n a függvény periódusa. A függvény nem páros, nem pá­ ratlan. A Fourier-együtthatókat a két intervallumon vett integrálok őszszegeként kell kiszámítani: 0

1 71 (x + 7i)dx+ (-7i)dx ao 4 2n ^0 (x + 7i)cosnxdx + (-Ti)cosnxdx = V -7 T

n^Ti

71 V-7T

í 0 ( x + 7i) s i n n x d x +

K V-7T

( - 7i ) s i n n x d x

(-l)" -2

0 y (A két utóbbi Fourier-egjóittható esetében, az első integrál értékét a parciális integrálás módszerével számítottuk ki, és a tömörség céljából, a cosn7i = (-l)" azonosságot alkalmaztuk az együttha­ tók megadásában.) A kiszámított együtthatókkal, a függvény Fourier-sora; l-(-l)" (-l)" -2 . cosnxH--^^—^------smnx n^7i ha x

378

m7i (m = 0;±1;±2;...).

KVK-1190 b) A függvény: 4

ha

0 < X < 3, és f(x) = f(x + 6).

f(x) = ha

8 -jX ,

3 < X < 6,

A Fourier-együtthatók kiszámítása: 3/1 6/ dx = 2. j^xdx+ j 3 V

nTTX 4 —xcos dx + 3 3

4 ^ 8 —

X

3

nrcx , cos----- dx

(nji)

b„ = 0 , mert a függvény páros. A függvény Fourier-sora: f(x) = 2 + V — n=l

(n7i)

— ^cos

nTTX 3

c) A függvény: 3

ha

f(x) =

ha 2 < X < 4, 0, A megadott függvény Fourier-sora: í-/ \ 3 ■ A f3 ((-1 )"-l) nTix 3(-l)"'"‘ . nnix ------+1--sin----f(x) = --- h / — — --------’cc\ 0, (2X[ - 3x 2 +X 3) ^ m a x .

X i + X 2 - 3 X3 < - 5 ,

2x , - 3x 2 +X 3 < 2, - 2 X i + 3 x j - X 3 < -2,

Xi, X2, X3 > 0, (3x, - X 2 + 4x 3)-> m ax .

381

KVK-1190 a)

Csúcspontok: A(2;3), B(8;3), C(8;4), D(4;8), E(2;8)

c)

Csúcspontok: A(2;0), B(4;0), C(9;5), D(0;2)

C(4;0)

12.1. ábra 12.2.2. Jelölje Xiaz Aj termékből gyártandó mennyiséget, i=l,2,3,4! Fogalmazzuk megjelöléseinkkel a feltételeket! A feladat matematikai modellje: X] + 2X2 + 4X3 + 3X4 < 100,

3X2 + 2X3 + X4 = 120, 2 x , + 4X 4 < 8 0 , X ,-X 2 -X 3 >

0,

X, , X2, X3>

0,

(l5xj + 20X2 + 25X3 + 17X4) —> m ax.

382

KVK-1190

12.3. Kétváltozós lineáris programozási feladat grafikus megoldása 12.3.1. a )l. lépés; A feltételrendszer L megoldáshalmazát a 12.1.1. a) fela­ dat megoldásában ismertetett módon kapjvik meg. Az L halmaz azon pontjait keressük, amelyekben a célfüggvény maximális, illetve minimális értéket vesz fel. 2. lépés: Ábrázoljuk az xi + X2 = k egyenest olyan k értékkel, hogy az egyenesnek és az L halmaznak legyen közös pontja! Válaszszűk például a k = 4 értéket! Az egyenest szaggatott vonallal rajzoljuk meg. Az egyenest egyik irányba önmagával párhuza­ mosan eltolva k érték nő, míg a másik irányba tolva csökken. 3. lépés; z = xi + X2 > 4 esetén kaphatunk maximális értéket. Ezt a félsikot kiválasztjuk és az egyenest eltoljuk az L halmaz ezen félsikbeli legtávolabbi pontjáig. Látható, hogy bármely távol­ ságnál még messzebb is eltolható az egyenes úgy, hogy van közös pontja az L halmazzal. A célfüggvény nem korlátos az L halmazon. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a feladatnak nincs op­ timális megoldása. 4. lépés; z = xi + X2 < 4 esetén kaphatunk minimális értéket, ek­ kor az egyenest a másik irányba kell tolni. Az L halmaz ezen félsíkbeli legtávolabbi pontja a P csúcspont. A feladat egyetlen optimális megoldását tehát a P pont adja, amely koordinátái le­ olvashatók az ábráról; xi = 0, X2 = 2. Az optimális célfuggvényérték; Zmm= 2. (12.2. a. ábra)

b)A Zi célfüggvény esetén a feladat optimális megoldását a Pi pont 70 24 116 adja; Xj = — , x^ = — , Zi„,, - — .

f

A Z2 célfüggvény esetén végtelen sok optimális megoldás van; a 70 24^ P, — ; t Y pontokat összekötő szakasz pontjai, Z2rain = -6. (12.2. b. ábra)

383

KVK-1190 c) A zi célfüggvény esetén nincs optimális megoldás az L halmazon, (5 16^ Z2 célfüggvény esetén az optimális megoldást a P —; — pontból V^ 3 y induló, L-et határoló félegyenes pontjai adják, Z2^í„=-40. ( 12.2. c. ábra) d)A zi célfüggvény esetén a feladat optimális megoldását a Pi pont 14 4 82 adja: x, = y , ^ 2 = - , z ,.„ a x = y A Z2 célfüggvény esetén az optimális megoldást a ?2 pont adja: Xi = T ’ ^2

Zimin = - ^ -

(12.2. d. ábra)

e) A zi célfüggvény esetén a feladat optimális megoldását a ?i pont adja: xi = 12, X2 = 7, zjmax = 201. A Z2 célfüggvény esetén végtelen sok optimális megoldás van: a (2

8^

P2(2; 0), ?3 —; - pontokat összekötő szakasz pontjai, y3 3J Z2min=12. (12.2. e. ábra)

f) A zi célfüggvény esetén végtelen sok optimális megoldás van: a Pi(0; 1), ? 2(3; 0) pontokat összekötő szakasz pontjai, zimax = - 6. A Z2 célfüggvény esetén az optimális megoldást a P3 pont adja: Xi = 0, X2 = 5, Z2min = -25. (12.2. f. ábra) g)A zi célfüggvény esetén a feladat optimális megoldását a P pont adja: xi = 0, X2 2, zimin = 6. A Z2 célfüggvény esetén nincs optimális megoldás az L halmazon. ( 12.2. g. ábra) h)A zi célfüggvény esetén végtelen sok optimális megoldás van: a P i(l; 3), P2(2; 2) pontokat összekötő szakasz pontjai, zimin = 12. A Z2 célfüggvény esetén az optimális megoldást a P3 pont adja: x i = 1 , X 2 = 6, Z2max = 8. (12.2. h. ábra)

384

KVK-1190 a)

b)

c)

d)

í)

385

KVK-1190 h)

g)

12.2. á b r a

12.3.2. - Xj + 2 X 2 < 4 , X, + X 2 < 8 , X, - X 2 < 4 , X,, X 2 > 0 ,

z = (4X[ + 4 x 2 )-> m ax .

A feladatnak végtelen sok optimális megoldása van, a C(6; 2) és D(4; 4) pontok által meghatározott szakasz pontjai, Zmax = 32.

386

KVK-1190 12.3.3. Jelölje: xi: A bánya üzemeltetési ideje (óra) X2: B bánya üzemeltetési ideje (óra) A feladat matematikai modellje: 2x, + Xj >100, 3x, + 2X2 >180, 3x, + 6X2 >240, Xi , X2>

0,

z = (250xi + 275x 2) ^ m i n .

A költség minimális lesz, ha az A bányát 50 óra, a B bányát 15 óra hosszat üzemeltetik.

387

KVK-1190

13. VEKTORANALÍZIS 13.1. Vektor-skalár függvények 13.1.1. a) Egy vektor-skalár függvény deriváltja, a koordinátafuggvények deriváltjaival, mint koordinátafuggvényekkel meghatározott, vek­ tor-skalár függvény. A megadott függvény deriváltja:

r(t) = (sin t + 1cos t)i + (cos t - 1sin t)j — , ^

b ) r(t)=

^

k.

'^^,i + (3‘ ln3 + l)j + ^^—k

1 -t '

•' tln2

.2 . .. 1 . 1 c) r(t) = (3t^ - 3)i + — Y - Í + - T - k . cos t 3^t

d) A szorzat deriválási szabályát alkalmazva, az f(t) = -

((sh 2t)l + (eh 2t)j + (cth t)k) + th t eh t 1 +• (2ch2t)i + (2 sh 2 t)j-----^ k th t sh t vektor-skalár függvény adódik. Azonos átalakítás után, ... 4 c h 2 tc h t- 2 c h t. c h 4 t-2 c h 2 t, 4 ch t , r(t) = --------------------- 1 + ---------------- 1 ------------ k, sht c h 2 t-l c h 2 t-l

e) r(t) = — l + (l + t")

f) r(t) =

388

+ (2te‘ + t^e‘)j +

• ^Je+2t

-Ví)jH-(t^

KVK-1190 +

1+ 3 t ' -

2 t4ije,

J + 2 t-

241

13.1.2. a) Az r(0) = j a Pj(0;l;0), az r(l) = i + k pedig a P2(l;0;l) pont helyvektora. A P, és Pj pontokat összekötő szakasz egyenesének irányvektora legyen a PjPj = r(l) - r(0) = i - j + k vektor. Ekkor, - amint azt az ábra mutatja, - a PjPj szakasz bármelyik pontjá­ nak p(t) helyvektora megadható p(t) = r(0) + 1 • PjPj alakban, ahol 0(ln2)x2 = x(ln2)2'"’‘'^'-^') kiemelhető. így az iránymenti derivált: af da

c) A kiszámított parciális deriváltak egyszerűsítése és kiemelés után, az iránymenti derivált: 8f 1 , (-y cos a + Xsm a ) . — = ---------- . öa (x + y)V2xy + y ' \ 1 dí e cosa + d ) ^ = 7 ^ ( tg y ) tgxda tg X cos^ y

395

KVK-1190 +

e"' '^ ( 4 ^ - s i n 2 y ) ^ . sin a . 4V ytg xcos^ y

e) — = -----------rr---------cosa da [Qy-e-^yj +e^-

i2

cosa-

da

y^

sina,

In ^

tgf)

2x

+ e"’‘

-+ ■ sin a . 2 y xcos — xy

13.2.3. a) A kétváltozós, valós függvény gradiense a PQ(xQ;yo) helyen:

= (fx(xo;yo); fy(x;o ;yo))Az egyes parciális deriváltak és értékük a P,3(-l;2) helyen: fx(x;y) = 2x + 2y és f;(x ;y ) = 2x + 2 y , f '( - l;2 ) = 2 é s f ; ( - l ; 2 ) = 2. A megadott függvény gradiense a P(,(-l;2) helyen: gradf|_,^=(2;2). n 71

helyen: ,6 3, x (y c o sy -sin y) (cosx + x sin x )sin y , fx(x;y) = ^------------- 7- ^ ---- ^ es f;(x ;y ) = ycos‘ x ' y sinx

b) Az egyes parciális deriváltak és értékük a

Tt-SVs 2n / \ 71 71 helyen: A megadott függvény gradiense a Pq 6 ’3 f'

396

IS + TiVs , - Y n 71^ = ----------- es f„ 6 ’3 6n v6 3 ,

71 71

KVK-1190 I 8 + 71V3 71- 3 V3 671 2n

gradf

í

c) gradf Po

e) gradf

Po

1 . 2 ^

d) gradf

5 ’ 5 j

=(1;0).

f) gradf

Po

Po

=(0;1).

23 81n2 161n2

13.2.4.

, fy(xo;yo) ,h a f;(Xo;yo)?íO. a) Az egyenes meredeksege: m = — fx(xo;yo) A parciális deriváltak és értékük a Po(l;l) helyen: fx(x;y) = 2x és f^(x„;yo) = 2, f;(x ;y ) = -2 y és fy(xo;yo) = -2 Az egyenes meredeksége: m = -1 .

b )m = -

V 3

c) A parciális deriváltak kiszámítása előtt alkalmazzuk az logj,b =

, h a a > 0 , b > 0 , c > 0 , a^^l, c?^l, logca azonosságot, így a megadott függvény felírható f(x;y) =

,h a x > 0 , y > 0 , x^^l, y^^l, alakban. y(lnx) Az egyenes meredeksége: m = -1 . 13.2.5. a) A kétváltozós, valós függvény iránymenti deriváltja a Po(Xo;y,3)

helyen, egy a szöggel meghatározott irány esetén:

397

KVK-1190 df da

= fx(Xo;yo)cosa + f' (Xo;yo)sina.

A megadott kétváltozós, valós függvény parciális deriváltjai és értékük a Po(l;V2] helyen: 71

7TX

fx(x;y) =

COS

2xyn nx , n^f2 fv(x;y) = - ,-;--^ ^ x , cos , , , f^(xo;yo) = Az iránymenti derivált a Po(l;V2) helyen, a = 30° szög esetén: dí

^ tz( S - 2 ^ ]

100

da

b)

dí

11V2

da Po

sVs

c)

Öf da

13.2.6. a) Ha u = V cos a , v = v sin a , - ahol v

0, - akkor v = ui + vj

az egyik irányvektora a PQ(x,3;yQ) ponton átmenő, a irányszögű egyenesnek. Ezért egy kétváltozós, valós függvény iránymenti de­ riváltja a Pq pontban, a v vektor által meghatározott irány esetén: U öf = fx(xo;yo) +fv(xo;yo) da Po Vu^ + v^ A megadott függvény iránymenti derivált értéke: _ ^ 2(2 + 7 3 ) af 4 da

b)

398

2V6 öa

c)

Öa

l + 4e + V3(3 + 4e) 8e

KVK-1190

13.2.7. a) Egy megadott pontban, a kétváltozós, valós függvény iránymenti deriváltjának értéke, a pontbeli gradiensvektor irányában a legna­ gyobb: df fx(xo;yo) + max = fx(xo;Yo) 0x„,

ha

x< x..

P f e < 2x J = 2 , o

p (o 2 )= |,

ha

X > 1.

P (0 < 5 < 3 ).i

14. 6.2.

a)Ha F(x) eloszlásfüggvény, akkor lim F (x )-0 és lim F (x )= l,

71

A -B -- =0 2

A + B - = l. 2

Ebből A = — és B = —. A kapott F(x) = —+ —arctgx függvény 2 71 2 71 szigorúan monoton növekvő és folytonos. így teljesülnek az el­ oszlásfüggvény tulajdonságai. b )A = B = i ,

c) lim F( x ) = 1, tehát A = 1. F(x) a 0-ban balról folytonos, tehát X-^H-oo

A + B - 0 . ígyB = - l . d)Az eloszlásfüggvény balról folytonos, tehát: 0 = lim F( x ) = F ( - l) = a + B • arcsin(-1) = A + B • x -> -r

A + B ~ = A + B-arcsinl = liinF(x) = F(l) = l . x^r

442

/

71

\

KVK-1190 A kapott egyenletrendszerből: A = -^ és B = —. Ezzel az A és B értékkel felírt F(x) függvény teljesíti az eloszlásfüggvény tulaj­ donságait. e )A = lé s B = - l.

í)A = O é sB = l.

g)A = 0 é sB = 3 .

14.6.3.

a )f(x )> O é s

1

dx

f(x)dx =

—arctgx

7 t(l + X ^ )

71

= 1. K 2 n 2y így teljesülnek a sürüségfüggvény tulajdonságai. F (x ) =

du

ff(u )d u =

—arctgu 71

,

/

\

1 1 = —+ —arctgx. 2 71 71 v ' 2 .

1 1 = —arctgx---71

71

b) f(x) > 0 és +00

0

f(x )d x = — 00

+00 f(x )d x +

+00

f(x )d x =

-0 0

0

>ie^^’‘ d x =

- e Xx

= 1.

0

Tehát teljesülnek a sűrűségfüggvény tulajdonságai. X

Ha x < 0, akkor

F (x ) =

íf(u )d u X

Ha X > 0, akkor

u

U

f(u )d u =

F (x ) =

= 0 , mert

< 0 esetén

f(u )

= 0.

A

f(u )d u +

f(u)du =

—00 X

du = = - e -A,u mert u < 0 esetén f(u) = 0 és u > 0 esetén f (u) = A,e “ .Tehát:

443

KVK-1190 F(x) =

1- e

ha

X> 0,

0,

ha

X

< 0.

c) Teljesülnek a sűrűségfüggvény tulajdonságai. 0, ha x < l , F(x) =

+00

d)f(x)>0 1í

x +-

dx =

2

U

1

O O

Jf(x)dx= jf(x)dx+ f(x)dx + Jf(x)dx =

és

1

x" —

= 1.

+ -X

2

2

így teljesülnek a sűrűségfüggvény tulajdonságai. Ha X < 0, akkor F(x) = 0, mert u < 0 esetén f(u) = 0. 0

X

H a 0 < x < l , akkor f( x )=

=

í(

f(u )d u =

X

f(u )d u +

f(u)du

x^+x u^ 1 u + - du = ----+ - U 2, _ 2^ 2^ _Joo ' 2 ’ L

mert u < 0 esetén f(u) = 0 és u > 0 esetén f(u) = u + —. Ha X > 1, akkor F(x) = 1. e) Teljesülnek a sűrűségfüggvény tulajdonságai. 0,

F(x)= 2sin2x - l ,

1,

444

71

ha

X O és fX - c dx + 3 -c

f(x)dx =

"(x -c )^ ' _ 2 (3 -c)_ 3 -c

c+l 4 -x Idx + dx = 3 c C+l

3

+

Ic+l , X o +

L

C

,

3 -c

'( 4 - x ) ^ ■ _ - 2 (3 - c )_ c+l ,

--------+ C - 2 + ---------= 1.

14.6.5. a) A sűrűségfüggvény integrálja a számegyenesen 1. így: +00

1=

f(x )d x =

f(x )d x +

f(x)dx =

rc

dx =

c

c

2 x^

8

Tehát c = 8. Ezzel a c-vel felírt f(x) függvény nem negatív. Tehát f(x) valóban sűrűségfüggvény. Ha X < 2, akkor f(x) = 0, tehát x < 2 esetén F(x) = 0. Ha X > 2, akkor: 8

F( x ) = jf( u ) d u =

f(u )d u + Jf(u )d u = j — du = 9

0, F( x ) =

b) J

4 X

ha

1

4

1---- ha

^

dx 3 4

u

x < 2,

x > 2.

1

+ X -2

9 U-

x -1

dx = - 1In-----x +2 J 3 x+2

ln2

3

Tehát c = ln2 Ha X < 4, akkor F(x) = 0. Ha x > 4, akkor: 1 1 u -1 In du = FW =r ln2 u+2 4 ln2 u + U -2

1 In------1 = 11 + ----ln2 x+2

445

KVK-1190 c) c = 1 és 0,

F(x)=

ha

x < 0,

l - ( x + l)e“’‘, ha

X> 0 .

+00

0

dx = fe'‘ dx + e

d)

dx =

+ -e

= 2.

1

F( x ) = f - e 'l “'d u =

f - e “ du =

Ha x > 0 , akkor:

— 00 X

e) c = — . 14 0,

F(x) =

(x + l ) l - l

,

1,

ha

x < 0,

ha

0+oo

szórás nem létezik. -t-OU

f)

-fOD

^

■*

M (^)= íx f(x )d x = Íx -T------— fln(l + x^)

i

i

Ml+íí )

2’'

+ 00 — 00 *

Mivel lim ln(l + x^)=+oo, ez az improprius integrál divergens, x^+oo

^

^

tehát a várható érték nem létezik. Ekkor nem létezik a szórás sem. g) M f e )

=

d x = - [ln(l + J 7 l(l + X

j

71

1

4x'

Mfe^)=ío 7 l(l + X ^ ) ^ ^

71

1 1 -

]ln

452

« 03,441.

)]ó =

71

1 + X^

2 -ln2

-

7t

dx = — X - arctgx n

\2

0,280.

KVK-1190 h)Mivel az J x

dx improprius integrál konvergens és f(x) páros

-0 0

függvény, a várható érték M(^) = 0. +00

2

00

x^e"'’‘'d x =

x^e”’‘ dx = 2. így D(^)= V2 . n

i) Mivel létezik a várható érték és f(x) páros függvény, a várható érték M(^) = 0. sin^t •cost cost

2 ti

1

j) M (^)= Jxarccosxdx =

x^ - a r c c o s x 2

4 í

'

1' J__

x^

0 2 J V l-X ^

dx =

sin t •cost dt = - '(l-co s2 t)d t = - « 0,393. cost 4 8

M fe")= jx'

arccosx dx =

X -arccosx

1

+-

0 ^0 V l - x ^

dx =

~3

sin t •cost dx = - (l-co s^ t)sin td t = —. u X cost

Dfe)= í

Í-Y UJ

: 0,261.

453

KVK-1190 /

k) M(^) =

« 0,571 és D(^) =

\2

TC

v4.

1) M fe )= 2 és Dfe) =

le^ - 7

dx =

)M fe) = V 4x + 9

dx =

Mfe^)=

3 2

n-2

0,157.

« 0,441.

j

j +2-9 11 1---- 1 . 1 dt = — «1,83. 4t 2. 6 M

d

32

. =

10

D (^ )= 4 P * U 6 .

30

n)M (0 =

V71

71

Megjegyezzük, X f (x) dx

hogy,

ha

0,798.

x < 0 esetén f(x) = 0,

akkor

az

integrál akkor és csak akkor abszolút konvergens, ha

konvergens. 1

Vn 1

e ^ dx = 1, ahol felhasználtuk, hogy az

Í2 ■J — e ^ páros függvény és a standard normális eloszlás szóVn rása 1. így

454

d (0

=

=

KVK-1190

o) Mivel ^ várható értéke létezik és f(x) páros függvény M(^) = 0. f hoc x^'e ^ d x - V - - x e 2 dx = - x^e 2 J V

+00

X

+C0

:

=

—00

-0 0

+00

+3

áx

=3-yl2K

1

x^ -0 0

-0 0

/

X

2\

dx = 3-V2\Ti,

.e “

[ylln

J

Tehát D (^)= V 3. 14.7.8. a) M(ti) = 1 és D(ri) = 2.

b) M(ti) = M(2^ + 1)=2M (^)+1 = - + 1. A.

D (ll)= D (2 5 + l ) = 2 D f e ) = | .

14.8. Nevezetes folytonos eloszlások 14.8.1. a)A {|^|>0,2} esemény a fe 0,2} egymást kizáró

események összege. így: P(^ > 0,2)= P(^ < -0,2)+ P(^ > 0,2). Mivel a ^ eloszlásfüggvénye folytonos: P(^ < - 0,2) = F (- 0,2) és P(^ > 0,2) = 1- F(0,2). Az m várható értékű, és a szórású normális eloszlás F(x) eloszlásfüggvénye és a standard normális eloszlás (x) eloszlásfüggvé/

\

nye között az alábbi összefüggés áll fenn: p(x) = O a

Most m = 0 és a = 0,1. Tehát: 0,2 - 0 ' -0,2 - 0 ' = 0,2) = 2 - 2 •0,9772 = 0,0456. Ezután a második kérdésre adjuk meg a választ. 0,0668 = P(^ > x ) = 1- f ( x ) . Ebből az előzőekben felhasznált öszszefüggések alapján a következő egyenlőséghez jutunk:

,

^x - 0 ^

0,5) = 1- 0 (0,5) = 0,3085 . b)

P(|^| < 0,2) = P (- 0,2 < ^ < 0,2) = 0 (0,2) - 0 ( - 0,2) = = 2 0 (0,2)-1 = 0,1586.

14.8.3. Jelölje az F(x) eloszlásfüggvénjm ^ valószínűségi változó a flako­ nokba töltött mosószer mennyiségét és a a szórását!

456

KVK-1190 0,9876 = P(0,98 < ^ < 1,02) = F(1,02) - F(0,98) = O - 2 m ) = P (^ > 1 2 ,8 ) = 1 - f (1 2 ,8 ) = 1 - 0 = 1 - 0 ( 1 ,6 )

= 0,0548.

14.8.7. Jelölje az F(x) eloszlásfiiggvényü, m várható értékű és a szórású ^ valószínűségi változó a lécek hosszát! 143-m ^ m -1 4 3 ^ = 1 -0 0,3085 = P(^ < 143) = F(143) = O [ o J ÍJ > O

m = 0 ,5 a+ 143

(1)

0,1587 = P(^> 146) = 1-F(146) = 1 - 0 O

146- m

1 4 6 -m m = 146- a

(2)

(1) és (2)-ből: m = 144 és a = 2. P(l43,5 < ^ < 144,5) = F(1 4 4 ,5 )-F(1 43,5) = O - 4.

KVK-1190 A várható érték: M(^) = 2,5. A szórás: D(^) = 14.8.9. Tudjuk, hogy ha ^ az (a;b) intervallumon egyenletes eloszlású, akkor:

és így a feladat feltételei alapján a következő egyenletrendszert ír­ hatjuk fel: a + b = 8; (b - a)^ = 48, amelyből a = 4 - 2yÍ3, b = 4 + 2^J3 . Tehát a ^ sűrűségfüggvénye f(x) a következő: f(x) =

-V ,

h a 4 -2 V 3 < x < 4 + 2V3,

aS

0,

máshol.

Az eloszlásfüggvény F(x) pedig: 0,

ha - ( 4 - 2V3 )

F(x) =

, ha

X < 4 - 2V3, 4 - 2V3 < X < 4 + 2V3,

4V3 1,

ha

X > 4 + 2V3.

Végül P(3 < ^ < 5) = F(5) - F(3) - ^ 4v3

_ 3 (4 2 4 Í ) ^ 4v3

2V 3 14.8.10.

a) Annak a valószínűsége, hogy ^ értékének első tizedes jegye a 3-as: P(0,3 < ^ < 0,4) = 0,1. b)Mivel a (0;1) intervallumban ugyanannyi szám van amelynek az első tizedes jegye a 3-as, mint amelynek az ötödik tizedes jegye a 3-as, annak a valószínűsége, hogy ^ értékének az ötödik tize­ des-jegye a 3-as szintén 0,1. 459

KVK-1190 14.8.11. Minden esetben először felírjuk az r) valószínűségi változó F(x) eloszlásfüggvényét, majd ezt deriválva kapjuk meg az f(x) sűrű­ ségfüggvényét. Az F(x) felírásához a ^ valószínűségi változó E(u) eloszlásfüggvényét használjuk fel, amely a következő: 0, ha u < -1, u+1 E(u) = ------,

1 ha

- l ,< u < /lI.

ha

u > 1.

1,

a) F(x) = P ( t | < x ) = P ( 2 ^ - l < x ) = P

x+1

Ez a - ^ eloszlásfüggvényét felhasználva - a következő alakban írható fel: i, ^ + 1 ^ -1,1 h a ------<

0,

x+1 x+1

+1

, ha

, x+1 , -1 < ------< 1,

1

x +1 , ------>1.

ha

1,

Tehát egyszerű rendezés után megkapjuk az F(x)-et, majd ezt deriválva f(x)-et; 0, ha X < -3, F(x) =

x+3 1,

ha

- 3 < X < 1,

ha

x>l.

—, ha - 3 < x < l , f(x) = 4 0, máshol. Megjegyezzük, hogy a kapott eredmény azt mutatja, hogy r\ egyenletes eloszlású a (-3;1) intervallumon.

KVK-1190 b) F(x) = P(ti < x ) = P(j^| < x) = P (- X < ^ < x) = E(x) - E ( - x ) ,

ha 0 < x < 1. F(x) = 0, ha X < 0, továbbá F(x) = 1, ha x > 1. -----^ »

Mivel 0 < X < 1 esetén E(x) - E (-x ) = a felírtak alapján: f(x) =

1, ha 0,

0 < X < 1,

máshol.

Megjegyezzük, hogy a kapott eredmény azt mutatja, hogy r\ egyenletes eloszlású a (0;1) intervallumon. c) F(x) = P ( r i < x) = P (^ ^ < x) =

P (-

Vx < ^ < Vx )=

,e(V ^)- e ( - V ^), ha 0 < X < 1. F(x) = 0, ha x < 0, továbbá F(x) = 1, ha x > 1. Mivel 0 < X < 1 esetén E(x) - E (-x) = 1

a felírtak alapján: f(x) =

ha

Vx +1

- V x +1

2

2

0 < X < 1,

2 -V Í’

0,

máshol.

d) F(x) = P(t| < x ) = P(arcsin^ < x) = P(^ < sin x) = E(sin x ) ,

ha - ^ <

X

< ^ . F(x) = 0, ha

X

<

7C

továbbá F(x) = 1, ha x > —. H a - —< X < —, akkor E(x) = ^ ^ , tehát: 2 2 2 cos X , 71 n ------ , ha — < x < —, f(x) = 2 2 2 máshol. 0,

461

KVK-1190 14.8.12. Jelölje a várakozási időt a X paraméterű exponenciális eloszlású ^ valószínűségi változó. Ekkor 0,1 = P(^ > 3) = e“^^, tehát e“" = \IÖ J és így P(^ < l ) - l - e “^ = l - ^ Ö J « 0,536 . 14.8.13. Az {ri > x} esemény azt jelenti, hogy mind a 10 alkatrész élet­ tartama x-nél nagyobb. Annak a valószínűsége, hogy egy m pa­ raméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó x-nél nagyobb e“”’‘ . Mivel az alkatrészek élettartamai egymástól füg­ getlenek, a megfelelő események valószínűségeit össze lehet szorozni, tehát ha F(x) jelöli az r\ eloszlásfüggvényét, akkor: F(x) = 1- P(ri > x) = 1- e“””‘ •

•... •

ha x > 0 és F(x) = 0, ha

X

< 0.

így az T| is exponenciális eloszlású valószínűségi változó, amelynek a paramétere: m = m, + m 2 + . . . + m,^. Tehát az ex­ ponenciális eloszlás ismert tulajdonságait felhasználva azt kap­ juk, hogy az r\ sűrűségfüggvénye 0, ha x0. Várható értéke és szórása is — . m

462

KVK-1190

15.MATEMATIKAI STATISZTIKA 15.1. A statisztikai minta jellemzői 15.1.1.Vonalak húzásával számoljuk össze egy segédtáblázatban az egyes osztályokba eső adatok számát! Vonalak

Magasság (cm) 1 1 9 < h < 124 1 2 4 < h < 129 1 2 9 < h < 134 1 3 4 < h < 139 1 3 9 < h < 144

1 Ili lllllll Ilin

A gyakorisági eloszlás: Magasság (cm) 1 1 9 -124 1 2 4 -129 1 2 9 -1 3 4 1 3 4 -1 3 9 1 3 9 -1 4 4

Osztályközép 121,5 126,5 131,5 136,5 141,5

Gyakoriság 1 4 7 5 3

15.1.2. gyakoriság 12

- -

9—

5 -

27 126 135 144 153 162 171 180

idő(mp)

463

KVK-1190 15.1.3. a ) X = 4 ,1 6 ;

Sn ~ 2 ,4 0 9 .

b ) X = 7 ,1 6 ;

2 ,4 0 9 .

15.1.4. a) Xi

15

16

17

18

19

fi

1

4

5

4

2

N = X f,= 1 6 ; i=l

X fiX ,= 2 7 4 ; i= l

X f,X f= 4 7 1 2 . i=l

A megfelelő képletekbe való behelyettesítéssel: X = 17,125; 8^=1,234375; S„« 1,111.

b )N = 2 f | = 1 5 ; i=l

=80; i=l

i=l

A megfelelő képletbe való behelyettesítéssel: X = 5,3; S^=6,48; S„^ 2,547. 15.1.5. X «17,8; tehát átlagosan 18 perc körüli idő alatt érnek be az isko­ lába. gyakoriság 16 +

10-

2 --

I I I I

464

10

14

20

24

idő (perc)

KVK-1190 15.1.6. Pontszám 5 0 - 60 6 0 - 70 7 0 - 80 8 0 - 90 9 0 -1 0 0

Xi 55 65 75 85 95

fiXi 825 1170 2775 1700 950 7420

fi 15 18 37 20 10 1 00

I

— 7420 X= =74,2. Tehát a matematika szigorlaton átlagosan 74,2 pontot értek el a legalább elégségesre vizsgázó hallgatók.

15.1.7. Jelölje N = ^ f ; =100, i= l

Osztályok

Xi

fi

fiXi

fiXf

61-63 63-65 65-67 67-69 69-71

62 64 66 68 70

5 18 42 27 8 100

310 1152 2772 1836 560 6630

19220 73728 182952 124848 39200 439948

I

465

KVK-1190 X = - ^

100

S*"' "

= 6 6 ,3 ;

= —

100

)

*

15.1.8. ^ f i X , =31695; i=l

- 4 3 9 9 4 8 - 6 6 ,3 '= 3 ,7 9 ;

S„~l,95.

•

=734312,5. i=l

X « 22,23; S>4,6; Cv«0,2. A szállóvendégek átlagéletkora 22 év, és közepes változékonyság állapítható meg az életkorukban. 15.1.9. Az átlagos szénatermés hektáronként 70,4 q, a szórás 21,3 q.

15.2. Konfidencíamtervallum várható értékre 15.2.1.p = 0,05;

o ( u p ) = l - ^ = 0,975; Up=l,96.

A konfidenciahatárok: X-u„ ~

=1 4 - 1, 9 6 1 2 , 0 4

X + u„ —

= 14+ 1 , 9 6 1 5 , 9 6

A konfidenciaintervallum: (12,04; 15,96). 15.2.2. (1) X - 1,96 • -7 ^ = = 8,182

(2) X + 1,96 •- - ^ = 8,298 V200 Adjuk össze (1 )-et és (2)-t: 2X = 16,48. Tehát a minta átlaga: X = 8,24. Vonjuk ki (2)-böl (l)-t: 2• 1,96 - 7^ = = 0,116,ahonnan (5-0,42. yflÖO Tehát a szórás közelítően 0,42 . Határozzuk meg a 98 %-os konfidenciaintervallumot!

466

KVK-1190 p = 0,02; u •

30) van, ezért normális eloszlással közelíthetünk. 0(tp)

= 0,985;

tp = 2 , 1 7 ;

a = l,2;

tp --^ «0 ,238 .

Vn

A konfídenciaintervallum: (8,162; 8,638). 15.2.5. (4,7; 5,56). (Kis minta volt!) 15.2.6. Legalább 97 elemű mintát kell venni.

15.3. Statisztikai próbák 15.3.1. Ebben a feladatban egymintás u-próbát alkalmazunk. a) Kétoldali próbát alkalmazunk. p = 0,01; o ( up) = 1 *

.1

•

-1

“ 0 , 9 9 5 ; a kritikus érték: Up = 2,58. r-X -m „

^ 197-200

,

A probastatisztika: u = V n ----------= 4 -------------- -- -4 . 3

Mivel |u| = 4 > Up = 2,58; ezért a Ho hipotézist 1 %-os szignifikanciaszinten elvetjük. b)u ~ -0,7; a Ho hipotézist 5 %-os szignifikanciaszinten elfogadjuk. c) Egyoldali próbát alkalmazunk. p = 0,05; o( u p ) = 1 - p = 0,95; a kritikus érték: Up = 1,64. A próbastatisztika: u =

* -1,565.

467

KVK-1190 Mivel u ~ -1,565 > -Up = -1,64; ezért 5 %-os szignifikanciaszinten elfogadjuk a Ho hipotézist. d)u ~ 3,536; a Ho hipotézist 1 %-os szignifikanciaszinten elvetjük. 15.3.2. Ho: nio = 1600; H i : nio 1600; u = -2,5; így5 %-os szignifikan­ ciaszinten Ho-t elvetjük, a villanykörték élettartama megváltozott. Az 5 %)-os szignifikanciaszint azt jelenti, hogy 0,05 annak a való­ színűsége, hogy helytelenül döntöttünk Ho elvetésekor. 15.3.3. Ho : mo = 1506,5 kg; Hi : mo > 1506,5 kg. Egyoldali próbát alkalmazunk. U p=l,64; u=: 2,488; u ~ 2,488 > Up = 1,64. A Ho hipotézist 5 %-os szignifikanciaszinten elvetjük. A minta alapján feltételezhetjük tehát, hogy a gép túlsúlyos bálákat állít elő. p = 0 ,0 1 ;

up = 2 ,5 8 ;

U p ~ « 0 ,3 1 1 .

Vn A konfidenciaintervallum: (1506,49; 1507,11). 15.3.4. a) A cipók 10,6 %>-a lesz 475 grammnál kevesebb tömegű és 6,7 %-a 530 grammnál nagyobb tömegű.

b)Egyoldali u-próbát kellett alkalmaznunk, u = -2,5. 5 %-os szinten szignifikáns az eltérés, ezért feltételezhetjük, hogy a teljes kész­ letnél csökkent a tömeg átlagos értéke. 15.3.5. Ebben a feladatban egymintás t-próbát alkalmazunk. a)Egyoldaii próbát alkalmazunk, nagy minta miatt a kritikus érték meghatározásánál közelíthetünk normális eloszlással.

S^=^^«151,4S, *12,31. 64 p = 0,02; o ( t p ) = 1 - p = 0,98; a kritikus érték: tp = 2,06. A ^1• •, 1997-2000 r-r A probastatisztika: t = -----------------v64 » -1,95. 12,31

468

KVK-1190 t -1,95 > -tp = -2,06, tehát 2 %-os szinten nincs szignifikáns eltérés, ezért a Ho hipotézist elfogadjuk. b) Kétoldali t-próbát alkalmazunk. 0,000336, S„«0, 0183.

— -^|9 » -3,601. 0,0183 p = 0,01; tp = 3,25 (szabadságfok: 9). t « 3,601 > tp = 3,25, tehát 1 %-os szinten az eltérés szignifikáns, A próbastatisztika; t »

ezért a Ho hipotézist elvetjük.

c) t ~ 2,152; a Ho hipotézist 5 %-os szignifikanciaszinten elvetjük. 15.3.6. t ~ -0,84; 5 %-os szinten megállapíthatjuk, hogy a tojásszállít­ mány nem tér el szignifikánsan a 7 grammtól. 15.3.7. H o: mo = 500; Hi : mo < 5 0 0 ; p = 0,05; szabadságfok: 9; tp= 1,833; t « -2,35. Mivel t ~ -2,35 < -tp = -1,833; ezért a Ho hipotézist 5 %-os szignifikanciaszinten elvetjük, tehát a gépről feltételezhetjük, hogy kevesebbet tölt az üvegekbe. 15.3.8. Ebben a feladatban kétmintás u-próbát alkalmazunk, a) Kétoldali próbát alkalmazunk. p = 0 ,0 5 ;

u=

U p = l,9 6 ;

X ,-X 2 _ 2 2 ^1 + — ^2 Hl

5400-6000 900^

100

« -4 ,4 6 .

1000'

-I--

100

u « 4,46 > Up = 1,96, tehát 5 %-os szinten szignifikáns különbség van a két alapsokaság mi és mi várható értéke között, ezért a Ho hipotézist elvetjük. b)Egyoldali próbát alkalmazunk, u ~ 1,32; tehát 5 %-os szinten nincs szignifikáns eltérés mi és ma között, a Ho-t elfogadjuk. c)Egyoldali próbát alkalmazunk, u ~ -1,402; tehát 2%-os szinten nincs szignifikáns eltérés mi és nij között, ezért a Ho hipotézist el­ fogadjuk. 469

KVK-1190 15.3.9. Ebben a feladatban kétmintás t-próbát alkalmazunk. a) Kétoldali próbát alkalmazunk, t ~ 2,423; a H q hipotézist 2 %-os szignifikanciaszinten elvetjük, az eltérés szignifikáns. b) Egyoldali próbát alkalmazunk, a nagy minta miatt a kritikus érték meghatározásánál normális eloszlással közelíthetünk. i 2 n i . T? 1 1 C. o 2 X = 110; S;=121; Y = 115; S^=81; 72-121 + 68-81 ^2 = ------------------------: ^ 1*^1 "^^2*^2 n, + n 2 - 2 72 + 6 8 - 2

a

a « 1 0 ,1 5 ;

tp = 2 ,3 2 ;

X-Y

t= a*

* 1 0 3 , 0 4 ;

110-115

1 1 + ■ n, n

1 0

, 1 5 - j

—

72

+

^

68

Mivel t ~ -2,913 < -tp = -2,32; ezért a Ho hipotézist 1 %-os szig­ nifikanciaszinten elvetjük, feltételezhetjük, hogy mi < m2. 15.3.10. Kétmintás u-próbát alkalmazunk. H„:mi=m2;

H , :m i?s:m 2 .

p = 0,05; Up=l,96; X, - X , u= -« -2 ,4 9 . Cf.

]jn, u

+ n.

s 2, 49>u =1,96; tehát 5 %-os szinten szignifikáns az elté­

rés, ezért a Hqhipotézist elvetjük. 15.3.11. Kétmintás t-próbát alkalmazunk. H j , : m i = m 2; H, :m, < m j ; p = 0,05; szabadságfok: 15; tp =1,753; a » 2,329; t=-

X. - X , ^ - 1 , 1 3 .

1

470

1 + — n.

KVK-1190 Mivel t ~ - 1 , 1 3 > -tp = - 1 , 7 5 3 , ezért a Ho hipotézist elfogadjuk, feltételezhetjük tehát hogy az A egyetemen a sportoló fiúk nem alacsonyabbak, mint a B egyetemen sportolók. 15.3.12. x^-próbát alkalmazunk.

i=i

nPi

npi = 2 00 ,

ezért

= ^ ^ ( f i - 2 0 0 ) " =1,41; 2 UU

p = 0,05; szabadságfok: 6 - 1 = 5 ; %l=l 1,07. Mivel

=l,41 ‘ i y i - " X Y = 1 3, 7. k=l

r=-

» 0,81. Szoros lineáris korreláció van.

VQ.Qy b)a = ^ » l , 0 4 ;

b= Y -aX »9,22.

Qx

A regressziós egyenes egyenlete: y = l,04x+9,22. 475

KVK-1190

c) 4 hetes súly: x = 5 kg; 8 hetes súly;

y == 1,04-5 + 9,22 ~ 14,42 kg.

15.4.4. a)r

~ 0,919. Szoros lineáris korreláció van.

b)A regressziós egyenes egyenlete: y = 5,76x - 17,83. 15.4.5.

a) A regressziós egyenes egyenlete: y = 0,66x + 29,13. b) A matematika dolgozata várhatóan 92 pontos lenne. 15.4.6.

~ 0,82. Szoros pozitív korreláció van a talaj humusztartalma és a burgonya terméseredménye között.

a)r

b)A regressziós egyenes egyenlete: y = 0,12x - 20,46.

476

KVK-1190

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ................................................................................ 3 1.....KOMPLEX SZÁMOK.................................................. 5 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

2.

Komplex számok ábrázolása..........................................................5 Áttérés a komplex szám egyes alakjai között.............................. 6 Műveletek különféle alakú komplex számokkal.......................... 7 Vegyes feladatok.............................................................................9

LINEÁRIS ALGEBRA............................................... 13 2.1. Mátrixok........................................................................................ 13 2.2. Determinánsok..............................................................................16 2.3. Lineáris egyenletrendszerek.........................................................17

3. VEKTORGEOMETRIA............................................. 22 3.1. Alapfogalmak, alapműveletek.....................................................22 3.2. Vektorok szorzása.........................................................................23 3.3. Vektorok geometriai alkalmazása............................................... 25

4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK............ 28 4.1. Sorozatok...................................................................................... 28 4.2. Egyváltozós valós függvények elemi vizsgálata........................ 29

5.

EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA................................. 34 5.1. Differenciálhányados és deriváltfüggvény.................................34 5.2. A differenciálszámítás alkalmazásai........................................... 37

6.

EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁROZATLAN INTEGRÁLJAI......................... 42 6.1. Alapintegrálokkal megoldható feladatok....................................42

477

KVK-1190 6. 2 . 6 .3 .

f (ax + b ) d x f(x )]

(a , b e R , a

f'(x )d x

(aeR ,

O) típ u sú f e la d a t o k ......................... 4 3 a^^-l)

típ u sú fe la d a to k .................... 4 4

6 .4 .

■ f'(x ) ^ d x típ u sú fe la d a to k ......................................................................... 4 5

6 .5 .

f (g(x)) g' (x) dx típusú feladatok............................................. 46

6.6. 6.7. 6.8. 6.9.

Parciális integrálással megoldható feladatok............................. 46 Racionális törtfüggvények integrálása........................................47 Integrálás helyettesítéssel.............................................................47 Vegyes feladatok...........................................................................49

f(x)

7. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁROZOTT INTEGRÁLJAI

51

b

7.1. Alapintegrálokra és az

f(g(x)) g'(x)dx = F(g(x))^ .............51 a

7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6.

Parciális integrálással megoldható feladatok............................. 53 Helyettesítéssel megoldható feladatok........................................54 Vegyes feladatok...........................................................................54 Határozott integrálok alkalmazásai............................................. 55 Improprius integrálok................................................................... 58

8. KÉTVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK............. 61 8.1. Kétváltozós valós függvények értelmezése................................61 8.2. Kétváltozós valós függvények differenciálszámítása................62 8.3. Kétváltozós valós függvények differenciálszámításának alkalmazásai.................................................................................64 8.4. Kétváltozós valós függvények integrálszámítása...................... 66

9. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK.. 70 9.1. Alapfogalmak................................................................................70 9.2. Elsőrendű differenciálegyenletek................................................ 70 9.3. Másodrendű differenciálegyenletek............................................ 73

478

KVK-1190

10. LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓ............................ 76 10.1. Laplace és inverz Laplace-transzformált....................................76 10.2. Lineáris differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval...........................................................77

11. VÉGTELEN SOROK...................................................80 11.1. Számsorok..................................................................................... 80 11.2. Hatványsorok................................................................................81 11.3. Fourier-sorok.................................................................................83

12. LINEÁRIS PROGRAMOZÁS................................... 88 12.1. Lineáris egyenlőtlenségek grafikus megoldása......................... 88 12.2. Lineáris programozás alapfeladata............................................. 88 12.3. Kétváltozós lineáris programozási feladat g r a f i k u s m e g o l d á s a ......................................................................................... 9 0

13. VEKTORANALÍZIS................................................... 92 13.1. Vektor-skalár függvények............................................................92 13.2. Skalár-vektor függvények............................................................95 13.3. Vektor-vektor függvények.........................................................100

14. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS................................. 106 14.1. 14.2. 14.3. 14.4. 14.5. 14.6. 14.7. 14.8.

Eseményalgebra..........................................................................106 Valószínűségek kombinatorikus kiszámítási módja................108 Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel......................110 Feltételes valószínűség és függetlenség....................................111 Diszkrét valószínűségi változók és nevezetes eloszlások....... 113 Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény.....................................116 Várható érték és szórás.............................................................. 120 Nevezetes folytonos eloszlások................................................ 123

15. MATEMATIKAI STATISZTIKA........................... 126 15.1. A statisztikai minta jellemzői.....................................................126 15.2. Konfidenciaintervallum várható értékre...................................128 15.3. Statisztikai próbák...................................................................... 129 15.4. Lineáris korreláció, regressziós egyenes...................................134 479

KVK-1190

MEGOLDÁSOK................................................................139 1.....KOMPLEX SZÁMOK...............................................141 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

2.

Komplex számok ábrázolása......................................................141 Áttérés a komplex szám egyes alakjai között.......................... 145 Műveletek különféle alakú komplex számokkal...................... 148 Vegyes feladatok.........................................................................153

LINEÁRIS ALGEBRA..............................................161 2.1. Mátrixok...................................................................................... 161 2.2. Determinánsok............................................................................166 2.3. Lineáris egyenletrendszerek.......................................................168

3. VEKTORGEOMETRIA............................................179 3.1. Alapfogalmak, alapműveletek...................................................179 3.2. Vektorok szorzása...................................................................... 181 3.3. Vektorok geometriai alkalmazása............................................. 184

4. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK.......... 189 4.1. Sorozatok.................................................................................... 189 4.2. Egyváltozós valós függvények elemi vizsgálata...................... 191

5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA............................... 203 5.1. Differenciálhányados és deriváltfüggvény...............................203 5.2. A differenciálszámítás alkalmazásai......................................... 212

6. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁROZATLAN INTEGRÁLJAI....................... 235 6.1. Alapintegrálokkal megoldható feladatok..................................235 6.2. f (ax + b)dx (a, b e R, a tí: O) típusú feladatok.................. 238 6.3.

480

f' (x)dx (a € R, a ^ - l ) típusú feladatok..............241

KVK-1190 6.4.

f-(x) f(x)

dx típusú feladatok........................................................245

6.5.

|f(g(x))g'(x)dx típusú feladatok............................................ 246

6.6. 6.7. 6.8. 6.9.

Parciális integrálással megoldható feladatok........................... 247 Racionális törtfüggvények integrálása......................................251 Integrálás helyettesítéssel...........................................................256 Vegyes feladatok........................................................................ 260

7. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁROZOTT INTEGRÁLJAI

267

b

7.1. Alapintegrálokra és az

12. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6.

8.

J

f (g(x)) g'(x)dx = [F(g(x))] I .......... 267

a

Parciális integrálással megoldható feladatok........................... 272 Helyettesítéssel megoldható feladatok......................................274 Vegyes feladatok.........................................................................276 Határozott integrálok alkalmazásai........................................... 278 Improprius integrálok................................................................. 284

KÉTVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK........... 291 8.1. Kétváltozós valós függvények értelmezése............................. 291 8.2. Kétváltozós valós függvények differenciálszámítása..............292 8.3. Kétváltozós valós függvények differenciálszámításának alkalmazásai...............................................................................299 8.4. Kétváltozós valós függvények integrálszámítása.................... 305

9.

KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 316 9.1. Alapfogalmak..............................................................................316 9.2. Elsőrendű differenciálegyenletek.............................................. 317 9.3. Másodrendű differenciálegyenletek.......................................... 327

10. LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓ.......................... 338 10.1. Laplace- és inverz Laplace-transzformált.................................338 10.2. Lineáris differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval.........................................................343

481

KVK-1190

11. VÉGTELEN SOROK................................................ 352 11.1. Számsorok................................................................................... 352 11.2. Hatványsorok..............................................................................357 11.3. Fourier-sorok...............................................................................365

12. LINEÁRIS PROGRAMOZÁS................................. 381 12.1. Lineáris egyenlőtlenségek grafikus megoldása....................... 381 12.2. A lineáris programozás alapfeladata......................................... 381 12.3. Kétváltozós lineáris programozási feladat g r a f i k u s m e g o l d á s a .......................................................................................3 8 3

13. VEKTORANALÍZIS.................................................388 13.1. Vektor-skalár függvények..........................................................388 13.2. Skalár-vektor függvények..........................................................394 13.3. Vektor-vektor függvények.........................................................407

14. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS................................. 421 14.1. 14.2. 14.3. 14.4. 14.5. 14.6. 14.7. 14.8.

Eseményalgebra..........................................................................421 Valószínűségek kombinatorikus kiszámítási módja................423 Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel...................... 429 Feltételes valószínűség és függetlenség....................................432 Diszkrét valószínűségi változók és nevezetes eloszlások....... 434 Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény.....................................440 Várható érték és szórás.............................................................. 449 Nevezetes folytonos eloszlások................................................ 455

15. MATEMATIKAI STATISZTIKA........................... 463 15.1. 15.2. 15.3. 15.4.

482

A statisztikai minta jellemzői.....................................................463 Konfidenciaintervallum várható értékre...................................466 Statisztikai próbák...................................................................... 467 Lineáris korreláció és a regressziós egyenes........................... 473