Barisan Dan Multiset

Isnaini Rosyida, Emi Pudjiastuti, Mulyono UNNES-2018





Definisi 1. Barisan merupakan sebuah fungsi dari himpunan bilangan bulat positif  {0,1,2, … } atau {1,2,3, … } ke sebuah himpunan  . Notasi    digunakan untuk menyatakan peta dari bilangan bulat   oleh fungsi tersebut. Notasi    juga melambangkan sebuah suku dari barisan tersebut. Sebuah barisan dengan sukusuku   dinotasikan dengan { }. Contoh 1. Diberikan barisan  dengan      

 

,  ≥ 1. Barisan    dapat dituliskan

sebagai berikut: 1, , , , ….   



Definisi 2. Barisan geometri merupakan sebuah barisan yang berbentuk ,,  ,   , … ,    ,

dengan rasio  . 

Contoh 2. Barisan  dengan    (1) . { } dan    2. 5 merupakan barisan geometri.

Definisi 3. Barisan aritmatika merupakan sebuah barisan yang berbentuk ,   ,   2,   3, … ,    , dengan selisih   . Contoh 3. Diberikan barisan  dengan     (1)  4 dan barisan  dengan    7  3 merupakan barisan aritmatika.

Permasalahan yang sering muncul: menentukan rumus suku ke-  dari sebuah barisan.   

Contoh 4. Tentukan formula untuk menentukan suku ke-  dari barisan berikut ini: 1, , , , …   8

 

Penyelesaian. Diperhatikan bahwa rasio dari barisan tersebut adalah . Oleh karena itu, rumus suku

ke- dari barisan tersebut sebagai berikut:  

 ( )− ,  



≥ 1.





Contoh 5.

Tentukan formula untuk menentukan suku ke- dari barisan berikut ini: 1, 1,1, 1,1

Penyelesaian. Diperhatikan bahwa rasio dari barisan tersebut adalah    1 . Oleh karena itu, rumus suku ke- dari barisan tersebut sebagai berikut:    (1)+ ,

 ≥ 1. 

Tentukan formula untuk menentukan suku ke- dari barisan berikut ini:     1, , , , ⋯   8 



Penyelesaian. Diperhatikan bahwa rasio dari barisan tersebut adalah   . Oleh

karena itu, rumus suku ke- dari barisan tersebut sebagai berikut:  

   ( ) , 

≥ 0.







Notasi sigma digunakan untuk menyatakan jumlah   suku dari sebuah barisan. Contoh: diberikan barisan { }. Jumlahan suku-suku   , + , … ,  dapat dinyatakan dengan σ =      +   ⋯   . Contoh 6.   

 Ekspresikan jumlahan 100 suku dari barisan { } sebagai berikut 1, , , , ⋯   

Penyelesaian. Diperhatikan bahwa jumlahan tersebut dapat dinyatakan dengan  σ = . 



 Ekspresikan jumlahan 50 suku dari barisan { } sebagai berikut 1 , 2 , 3 , ⋯

 Penyelesaian. Jumlahan tersebut dapat dinyatakan dengan σ  =  

 Ekspresikan jumlahan 200 suku dari barisan {  } sebagai berikut 1,1,2 , 3 , 4 ⋯

 Penyelesaian. Jumlahan tersebut dapat dinyatakan dengan σ  = ()













Definisi 4. Diberikan himpunan semesta  . Sebuah multiset   pada    adalah sebuah himpunan dengan unsur-unsurnya dapat muncul lebih dari satu kali, yaitu   { .  ,  .  , … ,  .  } dengan unsur  muncul sebanyak  kali, unsur   muncul sebanyak    kali dan seterusnya sampai dengan unsur   muncul sebanyak    kali. Muliplisitas    merupakan sebuah fungsi dari   ke himpunan bilangan bulat positif. Contoh 7.

 Himpunan {, ,, ,} merupakan multiset dengan unsur   muncul sebanyak 3 kali dan unsur    muncul sebanyak 2 kali.  Himpunan {1,1,1,3,3,5,5,5} merupakan multiset dengan unsur 1  muncul sebanyak 3 kali, unsur  3 muncul sebanyak 2 kali, dan unsur 5 muncul sebanyak 3 kali.  Himpunan {,, } juga dapat disebut multiset dengan unsur  , ,  masing-masing muncul sebanyak 1 kali.  Himpunan {4. a, 5. b, 6. c, 7. d} merupakan multiset dengan unsur   muncul sebanyak 4 kali, unsur   muncul sebanyak 5 kali, unsur   muncul sebanyak 6 kali, dan unsur  muncul sebanyak 7 kali





 Diberikan himpunan semesta  , multiset   dan   pada   dengan fungsi multiplisitas masing-masing  dan   .  Gabungan  ∪  adalah multiset  dengan fungsi multiplisitas   didefinisikan sebagai berikut  ()  max{ (), ()} untuk setiap  ∈  .



 Irisan   ∩  adalah multiset  dengan fungsi multiplisitas  didefinisikan sebagai berikut  ()  min{ (),  ()} untuk setiap  ∈  .



 Multiset   disebut termuat dalam multiset  , dinotasikan   ⊆  , jika  () ≤  () untuk setiap  ∈  .





 Diberikan himpunan semesta  , multiset   dan   pada   dengan fungsi multiplisitas masing-masing  dan   .  Selisih multiset     adalah multiset  dengan fungsi multiplisitas   didefinisikan sebagai berikut        () untuk setiap  ∈ 





 Jika nilai selisih dalam   negatif, maka didefinisikan       0. Jumlahan multiset    adalah multiset  dengan fungsi multiplisitas  didefinisikan sebagai berikut        () untuk setiap  ∈ 





Contoh 8.

 Diberikan himpunan semesta   himpunan bilangan bulat positif. Diberikan multiset

   {1,1,2,2,2,3}  dan   {1,2,2,2,3,3,3,4} 1. Gabungan  ∪   {1,1,2,2,2,3,3,3,4}. 2. Irisan   ∩   {1,2,2,2,3}. 3. Multiset   termuat dalam multiset  . 4. Selisih      {1} 5. Jumlahan     {1,1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4}



Contoh 8.



Diberikan himpunan semesta   yang merupakan himpunan alfabet. Diberikan multiset

   {2a, 3b, c} dan   {a, 2b, 4d} 1. Gabungan   ∪   {2a,3b, c,4d}. 2. Irisan   ∩   {a, 2b}. 3. Selisih      {a, b, c} 4. Jumlahan      {3a, 5b,c, 4d}



Diberikan himpunan semesta   yang merupakan himpunan alfabet. Diberikan multiset

   {5a, 3b} dan   {6a, 7b, 3d} 1. Gabungan   ∪   {6a,7b, 3d}. 2. Irisan   ∩   {5a, 3b}. 3. Selisih      {} 4. Jumlahan      {11a,10b, c,3d}