Barisan Dan Deret Tak Hingga

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

Banjar/Barisan Tak Hingga Barisan tak hingga {Sn} = S1, S2, S3, … , Sn, … adalah suatu fungsi dari n dimana daerah domainnya adalah himpunan bilangan bulat positif (bilangan asli). Contoh: Bila n = 1, 2, 3, ……….., maka fungsi Suku-suku

1 1 1 1 , , , , .......... 2 3 4 5

1 n +1

menghasilkan urutan atau banjar

banjar ini disebut Banjar Tak Berhingga untuk

menunjukkan bahwa tak ada suku terakhir. Fungsi

1 n +1

disebut suku umum atau

ke-n dari banjar. Suatu banjar tak berhingga dinyatakan dengan menutup suku umum dalam kurung  1  kurawal seperti   , atau dapat ditulis : 1 + n  1 1 1 1 1 , , , , ....., , ..... 2 3 4 5 n +1

Contoh lain: 1.

{1, 2, 3, 4, ……… Un} → Un = n

2.

{3, 6, 9, 12, ……… Un} → Un = 3n 1 1 1

1

3. {1, , , , .............U n } → U n . = 2 3 4 n 4. 1, 4, 7, 10, 13, …  an = 3n – 2, 1 1 2 3 4 5. 0, , , , ,   a n = 1 - , 2 3 4 5 n

Andiani / Kalkulus I / September’08

n≥1 n ≥1

1

3 2 5 4 7 6 6. 0, , , , , , ,  2 3 4 5 6 7

n  b n = 1 + (-1)

3 2 5 4 7 6 7. 0, , - , , - , , - ,  2 3 4 5 6 7

n  c n = (-1) +

8. 0.999, 0.999, 0.999, 0.999, … Barisan sehingga :

1 , n

n ≥1 1 , n

n ≥1

 dn = 0.999, n ≥ 1

{Sn} dikatakan terbatas jika terdapat bilangan-bilangan

P

dan

Q

P ≤ Sn ≤ Q untuk semua n.

Contoh: 3 5 7 2n + 1 , , , ... , , ... 2 4 6 2n

adalah terbatas karena untuk semua n : 1 ≤ Sn ≤ 2 Tetapi 2, 4, 6, ... , 2n, ... adalah tidak terbatas.

Barisan {Sn} dikatakan tidak turun jika S1 ≤ S2 ≤ … ≤ Sn ≤ … Dan dikatakan tidak naik jika S1 ≥ S2 ≥ … ≥ Sn ≥ … Contoh: Barisan  n 2  1 4 9 16 , ... adalah barisan tidak turun. 1.   = , , , 2 3 4 5  n + 1 2. {2n - (-1)n} = 3, 3, 7, 7, … adalah barisan tidak turun. 1 1 1 1  3.   = 1, , , , ... 2 3 4 n 

adalah barisan tidak naik.

4. {-n} = -1, -2, -3, -4, …

adalah barisan tidak naik

Limit Barisan Jika titik-titik berurutan yang diperoleh dari barisan : 3 5 7 9 1 1, , , , , ...., 2 - , ..... (*) 2 3 4 5 n

Andiani / Kalkulus I / September’08

2

terletak pada garis bilangan, dan untuk n cukup besar akan terletak disekitar titik 2. Keadaan seperti ini dikatakan bahwa Limit barisan adalah 2. Jika x adalah peubah yang jangkauannya barisan (*), maka dikatakan bahwa x



mendekati 2 sebagai limit atau x menuju 2 sebagai limit dan ditulis : x → 2 1 lim  U n = lim  (2 - ) = 2 n n →∞ n →∞ Kekonvergenan Barisan

{Sn} dikatakan konvergen ke bilangan berhingga

[ lim S = S] , jika untuk setiap bilangan positif n → +∞

n

∈,

S sebagai limit,

bagaimanapun kecilnya, terdapat

bilangan bulat positif m sehingga untuk n > m akan berlaku S - Sn < ∈ Jika suatu barisan memiliki limit, maka disebut barisan konvergen. Jika suatu barisan tidak memiliki limit, maka disebut barisan divergen. Barisan {Sn} dikatakan divergen ke ∞,

[ lim S n → +∞

n

]

= ∞ , jika untuk setiap bilangan

positif M, bagaimanapun besarnya, terdapat bilangan bulat positif m sehingga untuk n> m maka S n

> M.

Jika Sn > M maka Jika Sn < -M maka

lim S n = + ∞ .

n → +∞

lim S n = - ∞ .

n → +∞

Jadi dapat disimpulkan: Definisi -

Barisan {an} dinamakan konvergen menuju L atau berlimit L dan ditulis sebagai: lim a n = L

n→∞

-

Apabila untuk tiap bilangan positif ε , ada bilangan positif N sehingga untuk •

n ≥ N => | an – L | < ε

Andiani / Kalkulus I / September’08

3

-

Suatu barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan L yang terhingga dinamakan divergen.

Teorema-Teorema Barisan 1. Setiap barisan tidak turun atau tidak naik dan terbatas adalah konvergen. 2. Setiap barisan yang tidak terbatas adalah divergen. 3. Barisan konvergen atau divergen akan tetap konvergen atau divergen sesudah n suku pertama dihapus. 4. Limit dari barisan konvergen adalah tunggal.  Andaikan {sn} dan {tn} barisan-barisan yang konvergen dan k sebuah konsatanta, maka s n = s dan lim t n = t Jika nlim → +∞ n → +∞ s n = ks dimana k konstanta 5. Lim (k.sn) = k nlim → +∞ lim ( s n ± t n ) = lim s n ± lim t n = s ± t

6.

n → +∞

7.

n → +∞

8.

n → +∞

n → +∞

lim ( s n . t n ) = lim s n . lim t n = s . t n →+ ∞

n → +∞

lim s n s  s lim  n  = n → ∞ = n → +∞ tn t  t n  nlim → +∞

jika t ≠ 0 dan tn ≠ 0 untuk semua n

9. Jika {sn} adalah barisan suku-suku tidak nol dan jika : lim s n = ∞ , maka lim S1 = 0 n → +∞ n

n → +∞

an = + ∞ 10. Jika a > 1, maka nlim → +∞ 11. Jika

rn = 0 r < 1, maka nlim → +∞

Jumlah : ∞

∑S n =1

n

= s1 + s 2 + s3 +  + s n + 

............... (1)

Dan barisan tak hingga {Sn} disebut deret tak hingga. Untuk setiap deret terdapat sebarisan jumlah parsial : Andiani / Kalkulus I / September’08

4

S1 = s1 S2 = s1 + s2 S3 = s1 + s2 + s3  Sn = s1 + s2 + s3 + … + sn 

Jika

lim Sn = s suatu bilangan hingga, maka deret (1) dikatakan konvergen dan s

n → +∞

disebut jumlahnya. S n = tidak ada , maka deret (1) dikatakan divergen. Jika nlim → +∞ Suatu deret adalah divergen karena

lim S n = ∞

n → +∞

atau jika n membesar maka Sn

membesar dan mengecil tanpa mendekati suatu limit. Contoh : Deret : 1 – 1 + 1 – 1 + ..... Untuk deret ini : s1 = 1,

s2 = 0,

s3 = 1,

s4 = 0 , ……

Contoh-Contoh:

1. Gunakan Teorema 1 untuk memperlihatkan bahwa barisan

{ 1- } 1 n

adalah

konvergen. Penyelesaian : Barisan Jika Sn

{ 1 - } adalah terbatas karena 0 ≤ = { 1 - } , maka : 1 n

Sn ≤ 1 untuk semua n. Karena :

1 n

Andiani / Kalkulus I / September’08

5

S n +1 = 1 -

=1-

1 n +1 1 1 + n n(n + 1)

= Sn +

1 n(n + 1)

Berarti bahwa Sn+1 ≥ Sn , merupakan barisan yang tidak turun. Jadi barisan ini konvergen ke s = 1

2. Gunakan Teorema 1 untuk memperlihatkan bahwa barisan

1.3.5.7... ..(2n - 1)     2.4.6.8... ..(2n) 

adalah konvergen. Penyelesaian : Barisan

1.3.5.7... ..(2n - 1) adalah terbatas, karena 0 ≤ Sn ≤ 1 untuk semua n. 2.4.6.8... ..(2n)

Karena : Jika S n =

1.3.5.7... ..(2n - 1) 2.4.6.8... ..(2n)

Maka : S n +1 =

=

1.3.5.7... ..(2n + 1) 2.4.6.8... ..(2n + 2) 2n + 1 . Sn 2n + 2

Berarti barisan ini tidak naik, jadi barisan konvergen ke s = 0 3. Limit dari barisan konvergen adalah tunggal. Misalkan berlaku kebalikannya sehingga: lim Sn = s dan lim S n = t , dimana s - t > 2ε > 0 n→∞

n→∞

Lingkungan ε dari s dan t mempunyai sifat-sifat yang saling berkontradiksi : Andiani / Kalkulus I / September’08

6

i)

Tidak memiliki titik-titik persekutuan

ii)

Masing-masing memiliki semua suku-suku barisan kecuali sejumlah berhingga dari suku-suku tersebut.

Jadi s = t dan limitnya adalah tunggal. an = + ∞ 4. Jika a > 1, maka nlim →∞ Ambil M > 0, betapapun besarnya. Misalkan a = 1 + b dimana b > 0, maka : a n = (1 + b )

n

= 1 + nb + Jika n > Karena

n(n - 1) 2 b + ...... > 1 + nb > M 1.2

M b an > M

dan jika

n >

M b

untuk

M

betapapun besarnya maka

lim a n = + ∞

n→∞

5. Deret aritmatika tak hingga a + (a + d) + (a + 2d) + ….. + [a + (n-1)d] divergen jika a2 + d2 > 0 Untuk deret a + (a + d) + (a + 2d) + ….. + [a + (n-1)d] Sn = ∞ Sn = ½ n [2a + (n-1)d] dan nlim →∞ Kecuali untuk a = d = 0 Jadi deret divergen jika a2 + d2 > 0 6. Deret geometri tak hingga a + ar + ar2 + ….. + arn-1 + ….., dimana a ≠ 0 Konvergen ke

a jika 1- r

r < 1 dan divergen jika

r ≥1

Untuk deret a + ar + ar2 + ….. + arn-1 :

Andiani / Kalkulus I / September’08

7

a - ar n Sn = 1- r =

a a n r , r ≠1 1- r 1- r

Jika

r n = 0 sehingga lim S n = a r < 1 , maka nlim →∞ n →∞ 1- r

Jika

r n = ∞ sehingga Sn divergen. r > 1 , maka nlim →∞

Jika

r = 1 , deretnya berbentuk a + a + a + a + a + ……….

Atau a – a + a – a + a + ………… yang divergen. 7. Untuk deret 1 +

1 1 1 1 + + + ... + , 2 3 4 n

Jumlah bagiannya adalah : S4 > 2 S8 > 2 ½ S16 > 3 S32 > 3 ½ S64 > 4  Jadi barisan jumlah-jumlah bagiannya tidak terbatas dan divergen, Jadi deretnya divergen. Uji Konvergensi dan Divergensi dari Deret Positif Uji Integral Misalkan f(n) menyatakan suku umum Sn dari deret ∑ Sn yang suku-sukunya semua positif. Jika f(x) > 0 dan tidak pernah naik dalam interval x > ξ , dimana ξ suatu bilangan bulat positif, maka deret ∑ Sn konvergen atau divergen tergantung kepada apakah +∞

∫ξ f(x) dx

ada atau tidak ada. Uji Banding untuk Konvergensi

Andiani / Kalkulus I / September’08

8

Suatu deret positif

∑ Sn adalah konvergen jika setiap suku (mungkin sesudah

sejumlah berhingga) adalah lebih kecil atau sama dengan suku yang bersesuaian dari suatu deret positif konvergen yang diketahui ∑ cn Uji Banding untuk Divergensi Suatu deret positif

∑ Sn adalah divergen jika setiap suku (mungkin sesudah

sejumlah berhingga) adalah sama dengan atau lebih besar dari suku yang bersesuaian dari suatu deret positif divergen yang diketahui ∑ dn

Uji Rasio Deret positif

lim

n →∞

∑ Sn

konvergen jika

Sn + 1 < 1 , dan divergen jika n →∞ S n lim

Sn + 1 S > 1 . Jika lim n + 1 = 1 uji ini tidak dapat dipakai. n → ∞ Sn Sn

Contoh : Selidiki konvergensi dari :

1 3

1

+

5

+

1 7

+

1 9

+

Dengan menggunakan uji integral. Penyelesaian : f(n) = Sn = Ambil f(x) =

1 2n + 1

,

n = 1, 2, 3, ...

1 2x + 1

Pada interval x > 1, f(x) > 0 dan menurun jika x naik. Ambil ξ = 1 dan pandang :

Andiani / Kalkulus I / September’08

9

+∞

∫ f(x) dx 1

u

= lim

u → +∞

= lim

u →∞

∫ 1

u

dx = lim 2x + 1 u→∞ 2x + 1 1

2u + 1 -

3 = ∞

Nilai integralnya tidak ada, jadi deret divergen.

Soal : Dengan menggunakan uji integral selidiki kekonvergensian dari : 1. 2. 3.

1 1 1 1 + + + + ... 4 16 36 64 sin π + 1+

1 1 1 1 1 1 sin π + sin π + sin π + ... 4 2 9 3 16 4

1 1 1 1 + p + p + p + ... (p > 0) p 2 3 4 5

Uji Banding Suku umum dari deret yang diketahui yang akan diuji konvergensinya akan dibandingkan dengan suku umum dari deret yang diketahui konvergensinya atau divergensinya. Deret-deret berikut akan berguna sebagai deret uji : a) Deret geometri a + ar + ar2 + ….. + arn + ….., dimana a ≠ 0 akan konvergen jika 0 < r < 1 dan divergen jika p ≥ 1.

Andiani / Kalkulus I / September’08

10

b) Deret 1 +

1 1 1 1 + p + p ++ p + p 2 3 4 n

konvergen jika p > 1 dan divergen jika p ≤ 1 Contoh : 1 1 1 1 1 + + + ++ 2 + 2 5 10 17 n +1

Selidiki konvergensi dari :

Dengan menggunakan uji banding. Penyelesaian : 1 1 1 1 1 + + + ++ 2 + 2 5 10 17 n +1 1 1 < 2 n +1 n

Suku umum S n =

2

Jadi suku-suku deret ini adalah lebih kecil dari suku-suku deret : 1+

1 1 1 + +  + 2 +  yang konvergen karena p = 2 4 9 n

Jadi deret yang diketahui juga konvergen. (Uji integral juga dapat digunakan disini) Lanjut Soal : Dengan menggunakan uji banding, selidiki konvergensi dari : 4. 5.

1 1

+

1+

1 2

+

1 3

+

1 4

+

1 1 1 + + +  2! 3! 4!

Tugas Selidiki konvergensi dari deret-deret dengan menggunakan uji banding : 1.

2 +

3 4 5 + 3 + 3 + 3 2 3 4

Andiani / Kalkulus I / September’08

11

2.

1+

1 1 1 + 3 + 4 + 2 2 3 4

3.

1+

22 + 1 32 + 1 42 + 1 + + + 23 + 1 33 + 1 43 + 1

Uji Rasio Deret positif ∑ Sn konvergen jika nlim →∞ Dan divergen jika nlim →∞ Jika nlim →∞

Sn +1 1. Sn

Sn + 1 = 1 uji ini tidak dapat dipakai Sn

Contoh : Dengan menggunakan uji rasio, selidiki konvergensi dari :

1 2 3 4 + 2 + 3 + 4 + 3 3 3 3

Penyelesaian : Suku umum S n = S n +1 n + 1 3n = n +1 . Sn n 3 Maka nlim →∞

n n +1 S n +1 = n +1 n , maka 3 3 =

n +1 3n

Sn +1 n +1 1 = lim =