Barisan Dan Deret Geometri 1h

A. Barisan Geometri 1).Definisi barisan geometri Suatu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan suatu konstanta (rasio/pembanding) atau nilai konstan . Bentuk umum barisan geometri (dengan suku awal dan rasio r) adalah :

a + ar + ar 2 + ar 3 + ...........ar n−1 U 1 + U 2 + U 3 + U 4 + .........U n

2). Suku ke-n barisan geometri Diketahui r adalah rasio ,

Un =

suku ke-n , a = suku pertama

Jadi, suku ke-n adalah:

U n = ar n −1 Mencari rasio geometri

r =

un u n −1

Contoh: 1. Tentukan suku keenam dari barisan geometri : 1,2,4,8,….. Jawab : Diketahui U 1 = 1, U 2 = 2, maka r=

u2 2 = =2 a 1

U 6 = ar 5 = 1.2 5 = 32

Jadi suku keenamnya adalah 32.

1

2. Barisan geometri suku ke-3 adalah 128, suku ke-8 sama dengan 4. Tentukan suku pertamanya? Jawab :

U 3 = ar 2 =128

U 3 = ar 2

U 8 = ar 7 = 4

1 128 = a ( ) 2 2

u8 ar 7 4 = = Berarti, u3 ar 2 128 r5 =

128 =

1 1 ⇔r = 32 2

1 a 4

a = 128 × 4 = 512

Jadi , a = 512

3) Nilai Tengah Barisan Geometri Barisan bilangan yang memiliki suku tengah apabila banyak sukunya ganjil. Jika suku ke-t atau Ut merupakan suku tengah, maka banyaknya suku adalah (2t – 1) dan suku terakhir adalah suku ke-(2t – 1) atau U(2t – 1). sehingga diperoleh hubungan U t 2 = (U 1 × U ( 2t − 1)) Karena U(2t -1) merupakan suku akhir dari deret tersebut dan U 1 merupakan suku awal, maka:

U tengah = U awal −U akhir

2

B.

Deret geometri Suatu deret barisan barisan bilangan dimana perbandingan antara setiap

suku dengan suku sebelumnya adalah tetap, dan suku-sukunya dijumlahkan, akan membentuk suatu bangun aljabar yang disebut deret goemetri. Barisannya disebut barisan geometri. Perbandingan antara dua suku yang berdekatan itu disebut pembanding. Beberapa contoh deret geometri: Deret geometri

pembanding

1 + 2 + 4 + 8 + .........

r=2

1 + x + x 2 + x 3 + ...........

r=x

a + ap + ap 2 + ap 3 + .........

r=p

Rumus suku ke-n deret geometri (U n )

U 1 = a = a.r 0 = a.r 1−1 U 2 = a.r = a.r 1 = a.r 2−1 U 3 = a.r.r = a.r 2 = a.r 3−1 jika deret goemetri banyaknya suku adalah n, maka deret itu dapat ditulis : a + ar + ar 2 + ar 3 + ...........ar n−1 , suku pertama a, pembanding jika suku terakhir diberi lambang U n , maka : U n = ar n −1 Demikian juga diperoleh : r=

xn x n −1

Contoh : Suku ke empat dan ke tujuh suatu deret geometri adalah 54 dan 1458 tentukan deret itu. Jawab : suku ke empat : U 4 = ar 3 = 54 ar 6 1458 = = 27 54 ar 3 6 Suku ke tujuh : U 7 = ar = 1450

Terdapat r 3 = 27 = 33 ⇒ r = 3 seterusnya a=2 Deret geometri adalah 2 + 6 + 18 + 54 + .......

3

1) Jumlah deret geometri : jika jumlah n suku deret geometri adalah S n , maka jumlah tersebut dapat ditulis : S n = a + ar + ar 2 + ..............ar n −1 S n = ar + ar 2 + ......ar n −1 + ar n r (1 − r ) S = a − ar n = a 1 − r n

(

)

Diperoleh :

(

)

(

)

a 1− rn a r n −1 Sn = = 1− r r −1

Catatan : jika r < 1 digunakan rumus Jika r > 1 digunakan rumus

(

)

a 1− r n 1− r a r n −1

(

r −1

)

Contoh 1. 1+3+9……tentukan sampai suku ke-6? Jawab : Diketahui 1+3+9……sampai suku ke-6 a=1,r=3

Sn S6 S6 S6

a (r n − 1) = r −1 1(36 − 1) = 3 −1 (729 − 1) = 2 728 = = 364 2

4

2) Jumlah deret tak hingga Jika r < 1 maka r n mendekati nol untuk n → ∞ sehingga nilai r n dapat ditiadakan Terdapat rumus a 1− r Jumlah deret geometri tak terbatas dengan r < 1 S∞ =

Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1 Catatan: a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + .................

Deret geometri dengan -1 < r < 1 ini disebut deret geometri konvergen (memusat). Kasus 1

Kasus 2

Deret geometri dengan r < -1 atau r > 1 ini disebut deret geometri divergen (memencar)

5

Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

S ganjil =

a+ar2 +ar4+ .......

a (1 − r 2 )

Jumlah suku-suku pada kedudukan genap a + ar3 + ar5 + ......

S genap =

ar (1 − r 2 )

Didapat hubungan :

S genap s ganjil

=r

Contoh 1. Tentukan rasio dan jumlah deret geometri tak terbatas : 2 6 + 4 + 2 + ....... 3 Jawab : a = 6 r =

U2 4 2 = = U1 6 3

karena -1 < r < 1

S∞ =

a 6 6 = = = 6 × 3 = 18 2 1 1− r 1− 3 3

6

2. Jumlah deret geometri tak hingga 6, jika jumlah suku-suku yang bernomor ganjil adalah 4 maka rumus suku ke - n deret tersebut adalah..... Jumlah semua sukunya :

Sn = 6 a =6 1− r

..... (i)

Jumlah semua sukunya yang ber nomor ganjil :

S ganjil =

a =4 1− r2

a =4 (1 − r )(1 + r ) 1 6× =4 1+ r 6 = 4(1 + r ) 6 = 4 + 4r 4r = 2 ⇔ r =

1 2

……(ii) Substitusikan (i) dan (ii)

a =6 1− r a a =6⇔ =6 1 1 1− 2 2 a=3 Sn =

Maka

U n = ar n −1 1 U n = 3.( ) n −1 ⇔ U n = 3.{(2) −1 }n −1 2 U n = 3.(2)1− n

7

3) Suku tengah deret geometri Suku tengah suatu deret geometri (Ut) terletak di tengah-tengah antara a dan Un dengan banyak suku ganjil. Suku tengah deret geometri dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut:

Uk = a ×Un

contoh : Tentukan suku tengah barisan 3,6,12,....,3072 ! Jawab :

U k = 3 × 3072 = 9216 = 96

4) Sisipan deret geometri Sisipan pada Deret Geometri adalah menambahkan beberapa buah bilangan diantara dua suku yang berurutan, sehingga terjadi deret geometri yang baru. Rasio deret baru (r1) setelah disisipkan beberapa buah bilangan diantara x dan y dapat ditentukan dengan rumus berikut :

r ' = k +1 r r ' = k +1

, jika banyak suku yang disisipkan genap.

y x

Contoh : Diantara bilangan rasio barisan tersebut

1 dan 8 disisipkan sebanyak 4 buah bilangan, tentukan 4

Jawab : Diket. y = 8 , x = Dit. r’... ??

1 ,k=4 4

Penyelesaian .

r ' = k +1

y 8 ⇔ r' = 4+1 1 x 4

r ' = 5 32 ⇔ r ' = 2 8

SOAL LATIHAN 1. Dalam deret geometri diketahui suku ke-2 = 10 dansuku ke-5 = 1250. Jumlah n suku pertama deret tersebut adalah … 2. Barisan geometri suku ke-6 adalah -4 dan suku ke -9 adalah 32. Tentukan suku ke-2 ! 3

3. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 2,5 meter dan memantul dengan ketinggian 5 3 kali tinggi semula. Dan setiap kali memantul berikutnya, mencapai ketinggian 5 kali tinggi pantulan sebelumnya. Maka jarak lintasan bola sampai bola berhenti adalah … 4. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjangmasing-masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6 cm dan panjang potongan tali terpanjang sama dengan 384 cm, panjang keseluruhan tali tersebut adalah .. 5. Pada saat awal diamati 8 virus jenis tertentu. Setiap 24 jam masing-masing virus

membelah diri menjadi dua. Jika setiap 96 jam seperempat dari seluruh virus dibunuh, maka banyaknya virus pada hari ke-6 adalah... 6. Jika (a+2),(a-1),(a-7)......membentuk barisan geometri.

Maka rasionya adalah... 7. Diketahui barisan geometri dengan

U1 = 4 x 3

dan

U4 = x x

. Rasio barisan

geometri tersebut adalah …. 8. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp. 80.000.000,00 . Setiap tahun nilai jualnya

menjadi ¾ dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah 3 tahun? 9. Pada deret geometri diketahui U 2 = 6 dan U 5 = 48 , maka S10 …. ? 10. Pada deret geometri diketahui U 2 + U 5 = 5 dan U 3 + U 6 = 10 , maka U 4 …. ? 11. Pada suatu deret geometri, S n menyatakan jumlah suku pertama. Jika S 6 = 43,

maka suku pertama deret tersebut adalah … 9

4 3

S 3 = 48

dan

12. Jumlah tak hingga suatu deret geometri adalah 4, suku pertamanya

. Jumlah

semua suku yang bernomor genap dari deret tersebut adalah…. 13. Diketahui deret geometri 1 + (x - 2) + (x - 2)2 +(x - 2)3 + .. Tentukan batas-batas nilai x agar deret tersebut konvergen 1

1

1

14. Ditentukan barisan geometri 8 , 4 , 2 ,…,128 carilah suku tengahnya ! 15. Pada barisan geometri diketahui 27,9,3,1, ... carilah rumus ke-n dan suku ke-8 !

10