Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003
Baricentri Maria Grazia Naso
[email protected]
Dipartimento di Matematica Universit` a degli Studi di Brescia
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Asta omogenea Determiniamo il baricentro di un’asta AB, di lunghezza L e densit`a constante ρ. PSfrag replacements Scelto il sistema di riferimento Oxy come in figura y
O≡A
P
B
x
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il baricentro G dell’asta appartiene all’asse x. Quindi yG = 0 . Per definizione Z
L
x ρ dx
0
xG = Z
L
ρ dx
L = . 2
0
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Arco di circonferenza omogeneo Determiniamo il baricentro di un arco di circonferenza omogeneo di b = 2α. raggio R e apertura AOB Si introduca il riferimento cartesiano Oxy, con origine O nel centro della circonferenza cui appartiene l’arco e asse y coincidente con l’asse di simmetria dell’arco. PSfrag replacements y P A
θ
B
α
O
x
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Per simmetria si ha xG = 0 . _
b := θ ∈ [−α, α]. Indicata con Sia P un punto dell’arco AB e y + OP _
ρ la densit`a (costante) di massa, la massa dell’arco AB `e _
m = ρ 2Rα e AB = 2Rα. Risulta Z α 1 sin α yG = ρR cos θ} R dθ = R . | |{z} {z m −α α =yP
=dl
π 2R : xG = 0, yG = I Nel caso di una semicirconferenza α = . 2 π
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Settore circolare omogeneo Determiniamo il baricentro di un settore circolare omogeneo di b = 2α. raggio R e apertura AOB Si introduca il riferimento cartesiano Oxy, con origine O nel centro delreplacements cerchio a cui appartiene il settore circolare e asse y coincidente PSfrag con l’asse di simmetria del settore. y A
θ P B α
r
O
x
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Per simmetria si ha xG = 0 . Sia P un punto del settore circolare AB. Siano b := θ ∈ [−α, α] e |P − O| := r ∈ [0, R]. Indicata con ρ la y + OP densit`a (costante) di massa, la massa del settore circolare AB `e m = ρ R2 α. Risulta Z RZ α 1 2R sin α yG = ρ r| cos θ} |r dθ dr} = . {z {z m 0 −α 3 α =yP
I Nel caso di un semicerchio
=dS
4R π : xG = 0, yG = . α= 2 3π
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Asta non omogenea Determiniamo il baricentro di un’asta AB, di lunghezza L e densit`a α ρ(P ) = ρ0 1 + k AP , P ∈ AB, ρ0 > 0, k, α ≥ 0. PSfrag replacements Scelto il sistema di riferimento Oxy come in figura y
O≡A
P
B
x
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il baricentro G dell’asta appartiene all’asse x. Quindi yG = 0 . Per definizione Z
L
x ρ(x) dx
xG = Z0
0
L
ρ(x) dx
Z
L
x ρ0 1 + k OP
= Z0
0
L
ρ0 1 + k OP
α
α
dx
dx
2kLα L 1+ α+2 . = α kL 2 1+ α+1 L I Asta omogenea (k = 0 o α = 0) ⇒ xG = . 2
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Esercizio 1. Determinare il baricentro di un’asta AB non omogenea, di lunghezza L ed avente (a) densit` a lineare: ρ(P ) = k|P − A|, dove P ∈ AB, k > 0. (b) densit` a quadratica: ρ(P ) = k|P − A|2 , dove P ∈ AB, k > 0. Risoluzione. In entrambi i casi il baricentro G dell’asta AB appartiene al segmento AB. 2 (a) AG = L. 3 3 (b) AG = L. 4
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Semidisco non omogeneo Determiniamo il baricentro non omogeneo di raggio di un semidisco 1 R e densit`a ρ(P ) = k 1 + OP , dove P `e un punto del R semidisco e k > 0. PSfrag replacements Si introduca il riferimento cartesiano Oxy, come in figura. y
P
θ r A
O
B
x
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Per simmetria si ha xG = 0 .
π π Sia P un punto del semidisco. Siano := θ ∈ − 2 , 2 e |P − O| := r ∈ [0, R]. La massa del semidisco `e Z π Z R 2 r 5 2 r| dr dθ kπ R k 1+ = . m= {z } R 6 −π 0 b y + OP
=dS
2
Si ha
yG
1 = m
Z
π 2
− π2
Z
0
R
r 7R r| cos θ k 1+ r dr dθ = . | {z } {z } R 5π =yP
=dS
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Lamina rettangolare non omogenea Determiniamo il baricentro di una lamina rettangolare ABCD, con 2 AB = a e AD = b, non omogenea di densit`a ρ(P ) = k OP , dove P `e un punto della lamina ABCD e k > 0. Si introduca il riferimento cartesiano Oxy, come in figura. PSfrag replacements y
C
D P
O≡A
B
x
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Sia P un punto della lamina ABCD. Siano xP := x ∈ [0, a] e yP := y ∈ [0, b]. La massa della lamina `e Z bZ a 1 2 2 2 2 m= k x + y dx dy = kab a + b . | {z } 3 0 0 =dS
Si ha
xG
1 = m
Z bZ 0
a 0
2
k |{z} x x +y
2
=xP
2a2
3b2
2
2
a 3a + 2b dx dy = 4 (a2 + b2 )
.
+ . Analogamente yG = 2 2 4 (a + b ) b
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` distributiva Applicazione della proprieta nel calcolo del baricentro di una figura composta Teorema 1 (Propriet` a distributiva del baricentro). Comunque si scomponga un sistema materiale nella somma di due sistemi, rispettivamente di massa m1 ed m2 e di baricentri G1 e G2 , allora il baricentro G di tutto il sistema di massa m coincide con il baricentro del sistema formato dai due punti materiali (G1 , m1 ) e (G2 , m2 ), cio`e m1 (G1 − O) + m2 (G2 − O) (G − O) = . m1 + m 2
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Segmento circolare (omogeneo) ad una base Determiniamo il baricentro di un segmento circolare (omogeneo) ad b = 2α. una base di raggio R e apertura AOB PSfrag replacements Si introduca il riferimento cartesiano Oxy, come in figura. y P A
α
B
θ r
O
x
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Sia P un punto del segmento circolare ad una base e siano R cos α +b y OP := θ ∈ [−α, α], OP := r ∈ cos θ , R . Per simmetria xG = 0 . Il segmento circolare `e dato dalla differenza tra il settore circolare M
AOB (→ [1]) e il triangolo AOB (→ [2]). m1 = ρR2 α (2R sin α) (R cos α) = ρR2 sin α cos α 2 2R sin α = 3 α 2 = R cos α. 3
m2 = ρ y G1 y G2
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Per la propriet`a distributiva del baricentro, si ha: m1 y G1 − m 2 y G2 m1 y G1 − m 2 y G2 = yG = m m1 − m 2 Pertanto: yG
cos2 α
2R sin α 1 − = 3 (α − sin α cos α)
2R sin3 α = . 3 (α − sin α cos α)
4R π : xG = 0, yG = I Semidisco omogeneo α = . 2 3π
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Disco omogeneo con foro circolare Determiniamo il baricentro di un disco omogeneo, di raggio R, con foro circolare, di raggio R2 . Si introduca il riferimento cartesiano Oxy, come in figura. y
PSfrag replacements O ≡ G2
G1
A
x
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Per simmetria yG = 0 . R x G2 = 0 x G1 = , 2 2 πR m1 = ρ , m2 = ρπR2 . 4 Per la propriet`a distributiva del baricentro, si ha: xG
m2 x G2 − m 1 x G1 R = =− m 6
.
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Lamina omogenea Determiniamo il baricentro di una lamina omogenea, di massa m, costituita da • un rettangolo di dimensioni 2a e 2b, (→ [1]); • un disco di raggio b, (→ [2]); • un semidisco di raggio a, (→ [3]).
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Si introduca il riferimento cartesiano Oxy, come in figura. y PSfrag replacements
G2 D
C G1
A
O G3
B
x
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AB = 2a ,
AD = 2b
y G1 = b ,
yG2 = 3b ,
m1 = ρ4ab ,
m2 = ρb2 π ,
4a y G3 = − 3π a2 π m3 = ρ 2
Per simmetria xG = 0 . Per la propriet`a distributiva del baricentro si ha m1 y G1 + m 2 y G2 + m 3 y G3 . yG = m Pertanto 2
3
3
2 12ab + 9πb − 2a yG = . 2 2 3(8ab + 2πb + πa )
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