BANCO-DE-PROBLEMAS-INGENIERÍA.pdf

March 14, 2018 | Author: Emilio Ochoa | Category: Set (Mathematics), Proposition, Logic, Mathematical Logic, Physics & Mathematics

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1

UNIVERSIDAD DE CUENCA

FACULTAD

DE

INGENIERÍA

** BANCO DE PROBLEMAS ** DIRIGIDO A LOS ASPIRANTES A INGRESAR EN EL PRIMER AÑO DE LAS ESCUELAS DE INGENIERIA CIVIL, ELÉCTRICA, INFORMÁTICA Y ELECTRONICA & TELECOMUNICACIONES

SEPTIEMBRE 2011 – JULIO 2012

2

I N D I C E

TEMA

PAGINA

PRESENTACION

3

ALGEBRA

5

RAZONAMIENTO LOGICO

93

MISCELANEA DE RAZONAMIENTO LOGICO

121

FISICA

153

GEOMETRIA

209

TRIGONOMETRIA

251

GEOMETRIA ANALITICA

277

ANEXO 1

294

3

PRESENTACION La Facultad de Ingeniería de la Universidad de Cuenca, una de las más prestigiosa del País, por su elevado nivel académico, a través del presente documento hace llegar un cordial saludo a todos los señores bachilleres, y al mismo tiempo invitarles a que sean parte de nuestra Facultad, participando en el examen de admisión a una de las carreras que ofrecemos, y cuyos perfiles brevemente nos permitimos describir: INGENIERÍA CIVIL: Formar profesionales de excelencia, líderes emprendedores con sólidos valores morales y éticos. Preparados en el campo científico y tecnológico con miras a obtener un ingeniero generalista con conocimientos en las áreas de vialidad, construcciones, hidráulica y sanitaria en el que se incluyen aspectos relacionados con la conservación del medio ambiente, que contribuyan al desarrollo del país, para mejorarlo en lo social, económico, ambiental y político. INGENIERÍA ELÉCTRICA: Formar Ingenieros Eléctricos, altamente competitivos, con bases sólidas en el campo tecnológico y humanístico; con habilidades y conocimientos en las áreas de gestión y administración, de manera que apliquen la Tecnología en las áreas de Potencia, Electrónica y Control, a fin de plantear soluciones adecuadas a problemas de la sociedad. INGENIERÍA DE SISTEMAS: Formar Ingenieros de Sistemas, altamente competitivos, con bases sólidas en el campo tecnológico y humanístico, de manera que apliquen las Tecnologías de Información y Comunicación para proponer soluciones adecuadas para el desarrollo de las empresas e instituciones tanto privadas como públicas. INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES: Proporcionar a la región y al país profesionales altamente capacitados e íntegros en el área de las telecomunicaciones, quienes a través de su aporte creativo permitan una mayor y mejor participación de los ecuatorianos en la sociedad de la información y la comunicación. Considerando la creciente demanda de aspirantes que tiene nuestra Facultad y la limitada disponibilidad de espacios en aulas y laboratorios, nos obliga a fijar los siguientes cupos para los nuevos estudiantes que aspiran a ingresar: Ingeniería Civil: 120 Ingeniería Eléctrica: 70 Ingeniería Informática: 100 Ingeniería Electrónica y Telecomunicaciones: 90 Para cubrir estos cupos, se tomará un examen de admisión a los aspirantes a la carrera que previamente se hayan inscrito.

4

Con la finalidad de que los aspirantes tengan una orientación sobre el nivel mínimo de conocimientos requeridos para su ingreso a nuestra Facultad, se pone a consideración el documento adjunto que lo hemos llamado BANCO DE PROBLEMAS, que cubre las áreas de: Algebra, Razonamiento Lógico, Geometría, Trigonometría, Geometría Analítica, y Física.

Todos los aspirantes, previo al examen de admisión, en forma obligatoria, deberán inscribirse a través del portal web de la Universidad de Cuenca www.ucuenca.edu.ec , en la opción INSCRIPCIONES a partir del 16 de MAYO 2011 hasta el 17 DE JUNIO DE 2011. El examen de admisión se receptará el día miércoles 03 de agosto de 2011 a partir de las 8 horas, y sus resultados serán expuestos como máximo hasta el día jueves 04 de agosto de 2011. TODOS LOS ASPIRANTES PARA RENDIR EL EXAMEN DE ADMISIÓN DEBERÁN PORTAR SU CÉDULA DE IDENTIDAD O SU PASAPORTE. Se recomienda a los aspirantes revisar el Anexo 1: Instructivo Básico para rendir el Examen de Admisión.

El Decano

5

RESUMEN TEORICO El concepto de conjunto es aceptado en matemáticas como primitivo, pues es imposible dar una definición en términos de conceptos más elementales. Es un término no definido. Intuitivamente, un conjunto es una reunión, colección o agrupación bien definida de objetos, llamados elementos. NOTACION.- Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas, mientras que los elementos con letras minúsculas, encerrados entre llaves y separados por comas. Ejemplo: El conjunto A, formado por los números impares positivos menores que 9, entonces: A = { 1, 3, 5, 7 } . Si un objeto x es elemento de un conjunto A se escribe: x A ; lo que se lee: “ x pertenece al conjunto A. En caso contrario escribiremos: x ∉ A. DETERMINACION DE UN CONJUNTO.1.

POR EXTENSION O TABULACION: Un conjunto queda determinado por extensión, cuando se nombra a todos y cada uno de los elementos. Ejemplo:

B = { 2, 4, 6, 8 } C = { a, b, c, d, e, f }

2.

POR COMPRENSION O CONSTRUCCION: Un conjunto queda determinado por comprensión o construcción, cuando se nombra una propiedad común que caracteriza a todos los elementos del conjunto, se emplea generalmente x / x : “ x tal que x ” Ejemplo:

B = { x / x es par positivo menor que 10 } C = { x / x es una de las primeras seis letras del alfabeto }

CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO.- La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos de dicho conjunto y se denota como n( … ). En los … se coloca el nombre del conjunto; así: Ejemplo: n( B ) = 4 n( C ) = 6 CLASES DE CONJUNTOS.1.

CONJUNTO FINITO.- Tiene una cantidad de elementos contables.

2.

CONJUNTO INFINITO.- Tiene una cantidad ilimitada de elementos, imposible de contar.

3.

CONJUNTO VACIO.-

Llamado también conjunto NULO; es aquel conjunto que carece de

elementos. Se denota como: { } = ∅ . Al conjunto vacío se le considera incluido en cualquier otro conjunto. El conjunto vacío no tiene ningún subconjunto propio y su cardinalidad es n(∅ ∅)=0

6

4. 5.

CONJUNTO UNIVERSO.-

Es el que contiene a todos los conjuntos, se le denota como U.

CONJUNTO UNITARIO.- Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplos: A={xI/2 40

50. El valor de K para que las soluciones de la ecuación kx² + 2x - 5 = 0 sean reales diferentes es: a) > - 0.2

b) 2

c) -2

d) 4

e) > 0.2

60 51. La suma de los valores de k que hacen que la ecuación: (4-k)x² + 2kx +2 =0, tenga sus raíces iguales, es: a) 2

b) -2

c) 3

d) -3

e) -4

52. La menor raíz de la ecuación (k-2)x² - (2k-1)x + (k-1) = 0 sabiendo que el discriminante es 25 es: a) 3/4

b) 1/2

c) 4/5

d) 1/5

e) 5/3

53. Si la ecuación (a+4)x² - 1 = (2a+2)x – a presenta única solución, entonces el valor de a es: a) 5

b) 3

c) 2

d) 1

e)

0

54. Si una de las raíces de la ecuación 2x² - 4x +C² - 2C – 3 = 0 es cero, el valor de C (C que se lee: “ mayor que “ < que se lee: “ menor que “

≤ que se lee: “ menor o igual que “

≥ que se lee: “ mayor o igual que “ LEY DE TRICOTOMIA EN R .- Dados dos números reales a y b , ellos verifican una y solo una de las siguientes relaciones: a=b

“ a igual b “

a>b

“ a mayor que b “

a b

∨

a b 2. a b si

a–b>0

2. Una cantidad a es menor que otra cantidad b , si la diferencia ( a – b ) es negativa, es decir: a 0 DESIGUALDAD RELATIVA.- Llamada inecuación, se verifica solo para un cierto conjunto solución de sus incógnitas. Ejemplo: 1. 3x – 4 > 0 2. x² - 3x + 1 < 0 RECTA REAL.- Es la recta geométrica donde a cada uno de sus puntos se hace corresponder uno y solo un número real. NUMEROS POSITIVOS.- Es aquel conjunto de números mayores que cero. ( x > 0 ). NUMEROS NEGATIVOS.- Es aquel conjunto de números menores que cero. ( x < 0 ). PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES.1. El sentido de una desigualdad no se altera si se suma o resta una misma cantidad a ambos miembros. a. Si: x > y →

x+n>y+n

b. Si: x > y →

x–n>y–n

2. Si a los dos miembros de una desigualdad se le multiplica o divide por una misma cantidad positiva, el sentido de la desigualdad no cambia. a. Dado x > y ; n > 0

→

b. Dado x > y ; n > 0

→

x.n>y.n

x y > n n

3. Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por una misma cantidad negativa, el sentido de la desigualdad cambia. a. Dado x > y ; n < 0

b. Dado x > y ; n < 0

4.

→

x.n b y b > c → a > c b. Si a b  m > n  + a. ______  a+m>b+n

b.

ab c 0

9. a. Si

b. Si

a > 0 → a .b > 0 ; ( b ≠ 0) b a c d

y b

1 1 > a b

del mismo signo, entonces:

→ ab

11. a. Para: b > 1; si:

bm > bn

→ m>n

b. Para: 0 bn

a<

a+b 0

y

p

a =3 b

Columna A

Columna B

a

b

7.

l

xo

xo

yo

Columna A

Columna B

yº

180-2xº

8. R, S y T son dígitos no cero de los números positivos: RS.T y 0.0RST

9.

Columna A

Columna B

10 × RS.T 10000

0.0RST

x, y y z son números primos consecutivos en orden ascendente y x = 2 Columna A

Columna B

1 1 1 + + x y z

1

10. El volumen de una esfera con radio r es igual a

4 3 πr 3

Columna A El volumen de una esfera de radio 6

Columna B El volumen total de 2 esferas radio 3

cada

una

de

71 11. Para todos los números positivos n y k, se define la operación n ⊗ k como: n ⊗ k = (n − k )k . Adicionalmente: 0 < r < s Columna A

Columna B

r ⊗s

s⊗r

Columna A

Columna B

12.

a(b − c ) + f

ab − c + f

13. 8 elementos químicos diferentes representan más del 99% de la composición de la corteza terrestre Columna A

Columna B

El porcentaje de la corteza terrestre formada de todos los elementos químicos excepto los

1%

8 mencionados

14. Columna A

Columna B

El área de un

El área de un

rectángulo con

rectángulo con

perímetro 40

perímetro 60

15. Si 2 < x < 5 y 3 < y < 8 ¿Cuál de los siguientes literales es verdad para x + y ? a)

1< x + y < 8

b)

2< x+ y 6 ? a) - 4

b)

4

c)

3

d) - 5

e) - 2

d) x < 0

e) x = x

27. Si 0 > x , entonces: a) - x < 0

b) - x < x

c) - x > 0

28. Si se sabe que: 0 < m < n < 1, ¿ Cuál de las siguientes expresiones es la mayor ? a)

2m/n

b) 2n/m

c)

n/m

d)

n/(m+1)

e) m/(n+1)

29. Si a > 0 , b < 0 , indique lo falso: a) ab < 0

b)

a+b² > 0

c)

a/b < 0

d)

a-b > 0

e) a < b

30. Hallar un número entero positivo, sabiendo que su quíntuplo más 7 es mayor que 39 y que su cuádruple menos 4 es menor que 28. a)

5

b)

6

c)

7

d) 8

e) 9

31. Lucio vende 100 libros, le quedan más de la mitad de lo que tenía, si luego vende 52 le quedan menos de 50. ¿ Cuántos libros tenía? a) 201

b) 200

c)

203

d)

210

e) 199

32. Si a > b > c , en el conjunto N se cumple que: a) a+c < b+c

b) a > b c

c)

c

a b > c c

d)

b

a >

b

c

e) Todas las anteriores.

33. Dar los valores de x para los cuales se verifica la siguiente desigualdad: x² - 1 > 0 a) x > 1 ⋁ x < - 1

b) x > 2

c) 1 > x > 0

d) - 1 < x < 0

e) x > 1 .

34. Si el perímetro de un rectángulo de 10 cm. de largo debe ser menor de 30 cm. , los valores que puede tomar la altura son: a) < 10 cm.

b) < 5 cm.

c) < 2 cm.

d) < 15 / 2 cm.

35. Si a = 1/ b ⋀ b ≤ -1, ¿ Cuál es el valor mínimo que a a) - 1 / 2

b) - 1

c) - 2

d) 0

e) Ninguna de las anteriores.

puede alcanzar ? e) No se puede determinar.

74 36. El mayor número entero cuyo triple sea menor que 63 es: a) 16

b) 17

c) 20

d) 21

e) Ninguno de los anteriores.

37. La base mayor de un trapecio tiene por medida 4x – 13 y la base menor 6x – 23 . ¿ Qué valores puede tomar x ? a) 5

b) 4

c) 7

d) 6

e) Ninguno de los anteriores.

38. La suma de un número real positivo y su triple no puede sobrepasar a 2. x puede tomar los valores: a) 0＜x ≤ 1/2

b) 0＜x ≤ 2

c) 0＜x ≤ 3/2

d) 0＜x ≤ 3

e) Ninguno de los anteriores.

39. Una máquina impresora de papel puede imprimir 5000 hojas por hora como máximo. Si en la primera media hora ha impreso 2000 hojas, ¿En que rango imprime en la segunda hora? a) 0≤ x ≤ 5000

b) 0≤ x ≤ 2000

c) 0≤ x ≤ 7000

d) 0≤ x ≤ 3000

e) Ninguno de los anteriores.

40. La longitud de un segmento es 3x – 12. ¿ Qué valores puede tomar x ? a) x ≥ 12

b) x ≥ 3

c) x ≥ 4

d) x ≥ 9

e) Ninguno de los anteriores.

41. A Manuel le dieron a vender una cierta cantidad de patos, vendió 35 y le quedaron más de la mitad. Luego le devuelven 3 y vende después 18, con lo que le resta menos de 22 patos.

¿ Cuántos patos

le dieron ? a) 67

b) 68

c) 69

d) 70

e) 71

42. El precio de cierto tipo de fresa puede variar de $2.50 a $3.00 por cada libra y el precio de cierto tipo de cakes puede variar de $0.80 a $1.10 la docena. Para estar seguro de tener suficiente dinero para comprar c libras de fresas y r docenas de cakes, ¿una persona necesita al menos cuantos dólares en términos de c y r?

a)

c+r 3 + 1 .1

c r + 3 1 .1 b)

c) 2.5c + 0.8r

d) 3c + 1.1r

e)

(3 + 1.1)(c + r )

43. La diferencia entre un número real positivo y su mitad no puede sobrepasar a 4.5. ¿ Qué valores tomará x ? a) 0≤ x ≤ 4.5

b) 0≤ x ≤ 6

c) 0≤ x ≤ 7.5

d) 0≤ x ≤ 9

e) Ninguno de los anteriores.

75 44. Eduardo tiene un cierto número de canicas. Si este número es duplicado y se tira una canica, por lo menos tendría cinco canicas sobrantes. ¿ Cuantas canicas tenia Eduardo para empezar ? a) Por lo menos 8

b) Por lo menos 7

c) Por lo menos 4

d) Por lo menos 3

e) Ninguno de los anteriores.

45. En un viaje en canoa remamos durante un día. Si remamos 7 millas al día siguiente, recorrimos por lo menos 18 millas durante los dos días. ¿ Cuántas millas remamos durante el primer día ? a) Por lo menos 11

b) Por lo menos 9

c) Por lo menos 7

d) Por lo menos 5

e) Ninguno de los anteriores.

46. Si José pone $ 7 en el banco, tendrá como máximo $ 18. Como máximo, ¿ Cuántos dólares tenía para empezar ? a) Tenía como máximo 7

b) Tenía como máximo 18

d) Tenía como máximo 22

e) Ninguno de los anteriores.

47. Si: -5 < x – 3 < -2 a) -3 1 a) 4

IV.- Si x² < 1 , entonces x < 1

b) 3

c) 2

d) 1

64. Si a y b son números reales tales que: -5 ≤ a ≤ 7 a) -3 a -2

b) -15 a 2

e) Ninguna

y

c) -18 a 3

2 ≤ b ≤ 6.5 ; entonces

d) -16 a 6

a - 2b varía de: 3

e) -6 a 1

65. El producto de dos números pares consecutivos es menor o igual que 440. La suma de las cifras del mayor de estos números, es: a) 9

b) 2

c) 4

d) 6

e) 7

66. Si a varía entre 4 y 40 y b varía entre 5 y 12, entonces a) 1/8 y 3

b) 2.4 y 10

c) 0.8 y 10/3

a / b varía entre:

d) 3 y 8

e) 1/3 y 8

67. Que valor de x hace que se verifique la desigualdad: ( 2x + 1 )² < 0 a) x = 1 / 2

b) x = - 1 / 2

c) x = -1

d) x = 1

e) Ninguno.

68. La solución de: x² < 25 es: a) ( -5, 5)

b) (0, 5)

c) (-5, 0)

d) (1, 5)

e) Ninguna de las anteriores.

69. Si a la edad de Ruthcita le disminuimos 5 años y luego lo multiplicamos por 7, el resultado no excede a 49. ¿ La mayor edad que puede tener Ruth, es?: a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

e) Ninguna de las anteriores.

78 70. La cuarta parte de 12, más el doble de la edad de Juan es mayor o igual que 33. ¿ La mayor edad que puede tener Juan es?: a) 8

b) 15

c) 12

d) 9

e) Ninguna de las anteriores.

79

RESUMEN TEORICO VARIABLE.- Es la expresión que cambia de valor y en los polinomios se escribe con las últimas letras del alfabeto: x, y, z, etc. CONSTANTE.- Es una expresión que tiene un valor fijo o determinado, y se representa comúnmente con las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d, etc. REGLA DE CORRESPONDENCIA.- Es una ecuación de la forma: y = f(x). IDEA DE FUNCION.- Es la relación de igualdad que existe entre dos variables: Dependiente e Independiente. De modo tal que para un valor de la variable independiente exista un único valor de la variable dependiente. Ejemplo: En la función:

y = x³ + 5

y : será la variable dependiente; x: la variable independiente, y 5: constante. DEFINICION DE FUNCION Si a cada elemento de un conjunto A se le hace corresponder de alguna manera, un elemento único de un conjunto B ; se dice que esa correspondencia es una función. Llamando a esta correspondencia por f , escribimos: f: A → B que se lee: f es una función de A en B DOMINIO DE f.- se representa por D f o D(f) , y es el conjunto A o también el conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados, en una función. RECORRIDO DE f ( rango de f ).- Se representa por R f o R(f) , y es el conjunto B , o también el conjunto de los segundos elementos de la función. Dada una función de un conjunto A en un conjunto B , al primer conjunto se le llama “ Conjunto de partida “ , y al segundo conjunto se le llama “ Conjunto de llegada “. Ejemplos: 1.

Sean los conjuntos: A = { a, b, c, d } y B = { x, y, z, v } La relación entre ambos será: R = { ( a, x ), ( b, y ), ( c, z ), ( d, v ) } Que es una función de A en B, ya que:

80

2.

Dada la relación f: A → B

Se tiene entonces: Para cada elemento de A le corresponde un único elemento de B. Entonces: f: A → B donde: D f = A = { 2, 4, 6 } → Conjunto de partida. R f = B = {3, 7, 9 } → Conjunto de llegada. FUNCION REAL.- f = { ( x, f(x) ) RxR / x D(f) } Ejemplo: Sea la función: f : R → R definida por la regla f(x) = 3x – 1 , esta también se puede escribir como: f = { (x, 3x-1 ) / x R } x = 1 → f(1) = 3(1) – 1 = 2

Si:

Luego:

x=2 →

f(2) = 3(2) – 1 = 5

x=3 →

f(3) = 3(3) – 1 = 8 ; etc.

f = { (1, 2 ), ( 2, 5 ), ( 3, 8 ). ……………… }

VALOR NUMERICO DE UNA FUNCION.- Es el valor que adquiere aquella, cuando se le atribuye determinados valores a sus variables. Ejemplo: Si

f(x) = x³ - 4x + 3 ; hallar f(5). f(5) = 5³ - 4(5) + 3 = 125 – 20 + 3 = 108

81 EJERCICIOS: 1. Si f(x) = x² - 1 ; f(5) + f(3) es: a) 30

b) 28

c) 24

d) 32

e) 34

2. Si f(x) = ax² - 5 ; y además f(x)+f(2x)+f(3x) = 140x² -15 , entonces el valor de a es : a) 12

b) 10

c) 8

d) 6

e) 4

d) 220

e) 240

3. Si P(x-2) = x² +3x + 2 , entonces P(6) + P(7) es: a) 160

b) 180

c) 200

4. Si P(x) = x² - 4x + 2 , el resultado de P(a+6) – P(a+3) es: a) 6a+15

b) 8a+14

c) 2a – 1

d) 10a+13

e) ninguno de los anteriores

5. Si f(x + 7) = x² - 6x + 2 ; entonces f(h+9) es: a) h²-2h-6

b) h²+2h-6

c) h²+4h+4

d) h²+2h+6

e) ninguno de los anteriores

6. f ( x ) = 5x + 1 , g ( x ) = 3x – 2. ¿ Para qué valor de t es f ( t ) ≥ g ( t ) ? a) t ≥ - 6 / 3

b) t = - 5 / 2

c) t < 3 / 2

d) t ≥ - 3 / 2

e) t ≥ 3 / 2

7. Si f ( x ) = 3x² + kx – 1 y f ( - 1 ) = 1 , ¿ El valor de k es ? a) - 3

b)

2

c)

1

d)

0

e) - 1

8. Si f ( x ) = 2x + 1 , ¿ Cuál de las siguientes expresiones es verdadera ? a) f ( x + 3 ) = f ( x ) + 3

b) f ( x ) + a = f ( x ) + f ( a )

c) f ( ax ) = a f ( x )

d) f ( x + a ) = f ( x ) + 2a

e) f ( x + a ) = f ( x ) + f ( a ) 9. Consideremos la siguiente función f : R → R , definida por gráfica cartesiana de esta función:

f ( x ) = ax² + bx + c ; a, b, c ∊ R ; la

82 a) Es necesariamente una parábola.

b) Es necesariamente una recta.

c) Puede ser una recta paralela al eje x.

d) Puede ser una recta paralela al eje y.

e) Ninguna de las anteriores. 10. Si se define: f(x) = ax² - 5 y si f(x) + f(2x) - f(3x) = 40x² - 5 , entonces el valor de a será: a) -12

b) -15

c) -10

11. Dada P(x – 2) = x² + 3x + 2 a) -12

d) -14

e) Ninguno de los anteriores.

el valor de E = P(6) - P(7)

b) -20

c) -15

es:

d) -22

e) Ninguno de los anteriores.

12. Si f(x) es una función lineal; además: f ( f ( x ) ) = 16x + 30 ; el valor de f ( 5 ) es: a) 21

b) 23

13. Si f ( x ) = x² - x – 5

c) 24

d) 26

e) Ninguno de los anteriores.

y g ( x ) = x² - 9 ; entonces ( f + g ) ( x ) es:

a) ( x – 3 )² ( x + 3 ) ( x + 2 )

b) ( x + 2 ) / ( x + 3 ) , x ≠ 3

d) x – 4

e) Ninguna de las anteriores.

14. ¿ Para cuáles de las siguientes expresiones se cumple que a) f ( x ) = x²

b) f ( x ) = 1 / x + x + 1 / x + x

d) f ( x ) = 2 + 1 / x

e) f ( x ) = 1 / x

c) 2x² - x – 14

f(3)=f(1/3)? c) f ( x ) = ( x + 2 ) x

15. Si: f(x) = f(x – 3) + f(x – 1) ; y además f(2) = 4 y f(-1) = 3 , entonces f(1 ) es: a) 1

b) 5

c) 0

d) 4

e) 3

16. H = { (2, a-4) , (5, 6) , ( 2, 7) , ( 5, b-2) , (3 , 9) } es función siempre y cuando: a) a = 11 y b = 8

b) a = 4 y b = 2

d) a = 8 y

e) Ninguno de los anteriores.

b = 11

c) a = 11 y b = 6

17. F = { (2, 4) , (3, x+y) , (5, 6) , (3, 8) , (2, x-y) } los valores de x e y para que F represente una función, son: a) x = 2 y y = 6

b) x = 3 y y = 5

c) x = 6 y y = 2

d) x = 5 y y = 3

e) Ninguno de los anteriores.

83 18. La regla de correspondencia de la función F = { (1, 3) , (2, 6) , (3, 11) , (4, 18) } es: a) F(x) = x² + 1

b) F(x) = x² - 1

c) F(x) = x² - 2

d) F(x) = x² + 2

e) Ninguno de los anteriores.

19. Si f es una función real de variable real, tal que f( 2x – 5 ) = 2x + 1 + a) 8

b) 6

c) 4

d) 2

x + 5 ;el valor de f( 3 ) es:

e) Ninguno de los anteriores.

20. Si f: R → R es definida por f( x ) = -3x² - 4x + 16. ¿ Cuál de los siguientes pares ordenados pertenecen al gráfico de f ? a) (2, 12)

b) (3, -9)

c) (3, 9)

d) (-2,12)

e) Ninguno de los anteriores.

21. Dada la función f: R → R cuya regla de correspondencia es f( x ) = 2x + 3, ¿ Cuál de los siguientes pares ordenados no pertenecen al gráfico de f ? a) (1, 5)

b) (3, 9)

c) (-2, -1)

d) (4, 11)

e) (6, 12)

22. Si x es el lado de un cuadrado, entonces el área del cuadrado en función de su diagonal d es: a) d2

b) x2

c) x2 /2

d) d2/2

e) Ninguna de las anteriores

23. Si el volumen V de una pirámide es igual al tercio de su altura multiplicado por el área de la base, y si la base es un hexágono regular cuyo lado mide 6 metros, entonces la altura de la pirámide en función del volumen esta dado por: a)

3 V / 54

b) V / 2

c) 3V / 54

d) Ninguna de las anteriores

24. Si el volumen V del cilindro circular recto es igual al área del círculo de la base multiplicado por su altura que mide 4 metros, entonces el radio del círculo en función del volumen es: a) -[ V / (4 π) ]1/2

b) 1/2[ V / π ]1/2

c) 16 π

d) Ninguna de las anteriores

25. Si el volumen V de una esfera es cuatro tercios de π multiplicado por el cubo del radio, y si V = 36 m3 , entonces el radio es igual a: a) 4 π /3

b) 3 π 3

c) 3/( π1/3)

26. El valor de a en: f(a+1) – f(a-1) = 4 , a) 8

b) 6

c) 4

d) Ninguna de las anteriores

si f(x) = x² - 2x + 3 es: d) 2

e) Ninguno de los anteriores.

84 27. Sea la función a) 8

F definida asi: b) 5

F = { (2, 5) , (3, a²), (2, a+b), (3, 4), (b, 5) }. El valor de a + b es:

c) 4

d) 2

e) Ninguno de los anteriores.

28. Si F(x) = x² - 1 es una función, cuyo dominio es D(F) = [ -1 , 1 ] . El recorrido o rango de F es: a) [ -1 , 0 ]

b) [ 0 , 1 ]

c) [ - 1 , 1 ]

d) [ -1 , 0 ]

e) Ninguno de los anteriores.

29. Si la relación R = { (1, 2a), (2, 7), (5, 1), (1, 3a – 5), (7, 9) } es una función; la suma de los elementos del rango es: a) 37

b) 17

c) 27

d) 19

e) Ninguno de los anteriores.

30. El dominio de G = { (x, y) / xy = 1 } es: a) I

b) I – { 1 }

c) R

d) R – { 0 }

e) Ninguno de los anteriores.

d) ( -5 , 5 )

e) Ninguno de los anteriores.

31. El rango de R = { (x, y) / x² + y² ≤ 25 } es: a) [ -5 , 5 ] 32. Si el conjunto

b) [ 5 , +∞ )

c) ( -∞ , 5 ]

A = { 1, 2, 4 }

y

f

es una función definida en

A

por:

= { (1, 3), (2, a), (a+1, 2), (1, b-1) } . El valor de f(1) – f(2) – f(4) es: a) 0 33. Si f(x) =

b) -1

c) -2

d) 1

e) -3

x -1 , el valor de f(2).f(3).f(4) es: x +1

a) 1 / 10

b) 2 / 10

c) 3 / 10

d) 4 / 10

e) Ninguno de los anteriores.

34. Si F es la función F = { (3, a+1), (4, b-1), (2, 5), (3, 4), (4, 7) } ; el valor de a.b es: a) 18

b) 16

c) 20

d) 24

e) Ninguno de los anteriores.

35. El valor de m , para que F = { (6, 5), (m+1, 4), (3, 8), (6, m²+1) } sea una función es: a) +2

b) ±2

c) -2

d) 0

e) Ninguno de los anteriores.

36. El valor de n en la función f = { (7, 9), (n, 2) ,(3, 4), (7, n²) } es: a) 3

b) -3

c) ±3

d) 2

e) Ninguno de los anteriores.

f

85 37. Si f es una función definida por f(x-2) = 2x – 5 ; entonces f(a) será: a) a + 1

b) a – 1

c) 2a + 1

d) 2a – 1

e) Ninguno de los anteriores.

38. Si f(x) = x + 1 y x ∈ [ 1, 4 ] , entonces la gráfica de f está en el cuadrante: a) I

b) II

c) III

d) IV

e) Ninguno de los anteriores.

39. Si para la función f(x) = ax² + b ; se tiene que f(1) = 8 y f(0) = 5 , entonces el producto de las constantes a y b es: a) 5

b) 10

c) 15

d) 20

e) Ninguno de los anteriores.

40. Sea la función G = { (3, 5),(6, b), (3, a), (ab, a+b), (6, 1) } ; entonces el valor de G(5) es: a) 5

b) 0

c) 6

d) -6

e) No exista.

86

RESUMEN TEORICO E C U A C I O N

E X P O N E N C I A L .-

Es una igualdad relativa, donde la incógnita se encuentra en el exponente. El valor de la incógnita al ser reemplazada en la ecuación original se transforma en una igualdad; se llama raíz o solución de la ecuación. CASOS: 1. FORMA

m

x

=n

p

Donde la incógnita es x se debe tratar de lograr bases iguales para luego igualar los exponentes. También se expresa así:

x

2. FORMA x = A

x

a

b = b → x = a , donde b ≠ 0 y 1 .

Donde la incógnita es x se debe buscar formar una analogía o semejanza utilizando la teoría de exponentes. También se expresa así: x

x

x =a

a

→ x=a

x =n n → x=n

;x≠0

L O G A R I T M O S .DEFINICION.- El logaritmo de un número es el exponente al cual se debe elevar otro número real y positivo llamado base para obtener el número dado. NOTACION LOGARITMICA.-

Log a N = y Donde: N = Número a = base y = Logaritmo ( exponente de la base ).

Es decir:

ay = N

Notación exponencial.

BASE DE UN SISTEMA DE LOGARITMOS.- Es cualquier número real y positivo. Luego: a = 10

→

Cuando la base es 10, se llama logaritmo decimal, vulgar o de Briggs.

87 a=e

→

Cuando la base es e = 2.7182818245…. ( un número irracional) se llama logaritmo Neperiano.

PROPIEDADES GENERALES.1.

En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es la unidad. Si:

2.

a = a¹ →

Log a a = 1

En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la unidad es el cero. →

Si: Log a 1 = 0 3.

aº= 1

Los números mayores que 1, tendrán logaritmo positivo y los números menores de 1 , tendrán logaritmo negativo. Ejemplos: 1. 10 = 10¹ 100 = 10² 2. 0.1 = 10

−1

0.01= 10 4. 5. 6.

Log 10 10 = 1

→

Log 10 100 = 2

→

Log 10 0.1 = -1

→

Log 10 0.01= -2

El logaritmo de un número aumenta cuando el número aumenta y disminuye cuando el número disminuye. En el campo de los números reales, no existe el logaritmo de un número negativo. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. Sean: A y B Luego:

los factores.

A=a

x

→ Log a A = x

B=a

y

→ Log a B = y

Entonces: A . B = a 7.

−2

→

x+y

, de lo cual

Log a (A . B) = Log a A + Log a B

En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador, menos el logaritmo del denominador. De la propiedad anterior, considerando las dos primeras igualdades, tenemos entonces:

A A = a x - y → Log a = x - y B B Log a 8.

A ( ) = Log a A - Log a B B

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo del número.

88 m

Log a A 9.

= m Log a A

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad sub-radical dividido entre el índice del radical.

Log a

n

A =

1 Log a A n

CAMBIO DE BASE DE UN SISTEMA DE LOGARITMOS.- conociendo el logaritmo en base a del número N . Hallar el logaritmo en base b del mismo número. Dato:

x

Log a N ; incógnita Log b N = x → b = N

Entonces:

o

Log a N = Log a b

x

Log a N = x Log a b = Log b N . Log a b

Luego:

Log b N =

Log a N Log a b

IDENTIDAD FUNDAMENTAL DE LOS LOGARITMOS.b

Log b N

=N

1. El producto de dos logaritmos recíprocos es igual a la unidad. Como:

b

Log b a

= a aquí tomamos logaritmos en base a luego:

Log a b

Log b a

=Log a a →

Log b a . Log . Log a b = 1

2. Si al número y a la base de un logaritmo se potencia o se extraen radicales de un mismo grado, el logaritmo no se altera. b

m Log b a

=a

m

→

b

Log b a

=a

Log b m a

m

elevando a la potencia m se tendrá: = Log b a

y

Log n b

n

a = Log b a

LOGARITMOS NEPERIANOS.- Son aquellos cuya base es el número e , también se llaman logaritmos naturales. NOTACION: Ln N = Log e N y para la conversión a logaritmos vulgares o viceversa, se emplea la siguiente expresión:

Ln N =

Log N Log e

ECUACIONES LOGARITMICAS.- Se llaman ecuaciones logarítmicas a aquellas que contienen el logaritmo de la incógnita o de las incógnitas. Ejemplos: 1. Log 5x = 2 2.

Log(x+4) + Log(x-5) = 1

89 EJERCICIOS: 1. El valor de x en:

27 = 81 es: x

a) 3

6

b) 5

c) 4

2. El valor de n en la ecuación: a) 10

n

2a

=

e) 8

c) 14

d) 16

e) 18

c) 23

d) 24

e) 25

n = 4 2 , es:

b) 12

3. Hallar a si: a

d) 6

51 .542 .5.5...... 435 100 veces

a) 21

b) 22

4. El valor de x en: a) 10

2 x +1 + 2 x + 2 + 2 x +3 + 2 x + 4 = 1920 es: b) 8

5. Resolver para x: 16 = 8 x

a) 5 x

b) 9

7. Hallar x en: (0.008) a) 1

1 x

-

=1/9

a) ( 0, - 2 )

c) 2

d) 8

e) 6

c) 3

d) 16

e) 1/3

c) 3

d) 4

e) 6

=5

b) 2 x+y

e) 2

x =9 3

a) 27

8. Si 3

d) 4

8

b) 3

6. Resolver:

c) 6

y 2

x-y

= 4, ¿ Cuál de las siguientes parejas es ( x, y ) ?

b) ( 0, 2 )

c) ( 2, 0 )

d) ( - 2, 1 )

e) ( - 1, - 1 )

9. Si 4 - x = 8 x + 1 , x = ? a)

2

b) - 6

10. El valor de x , para 2 + 2 x

a)

7

b) 8

c) x- 1

+2

x-2

+2

4 x-3

c) 9

+2

d) – 3 / 5 x-4

e) 1

= 992 , es: d) 10

e) Más de 10.

90 11. Hallar n , si 2 + 2 +2 +2 = 1024 : n

a)

n

n

7

b) 8

12. El valor de x en 13 a)

1

n

c) 9

x+1

- 13 = 156 es:

b) 3

c) 5

d) 10

e) Más de 10.

x

d) 7

e) Ninguno de los anteriores.

13.Si log15 3 = a , entonces log 5 15 es igual a : 13. a) ( 1 – a )

b) ( 1 + a )

c) 1 / ( 1 + a )

d) 1 / ( 1 – a )

e) Ninguna de las anteriores.

14. Halle el valor de x tal que log ( x + 4 ) + log ( x – 4 ) = 1 . a) - 6

b)

16

c) 5

d)

26

e) No se puede determinar.

15. Si log 2 k 3 = 6 , ¿ A qué es igual k ? a) 2

b) 4

c) 6

d) 0

e) 3

d) 2 y = 5

e) 2 y = 5 2

16. Si y = log 2 5 , entonces: a) y = 5 / 2 17.

18.

a) log 6 = log 2 + log 3

b) log 12 – log 2 = log 6

d) log 6 = log ( 12 / 2 )

e) log 6 = ( 1 / 2 ) log 36

c) log 6 = log 3 . log 2

log3 ( 1 + y )2 = 2 , entonces y = ?

Si

El

b) 2, - 4

c) 1, 4

b) 1 / 3

c) - 5 / 3

Si log 2 5 = m , ¿ A qué es igual a) m

d) 3, 2

e) - 2, 4

log8 ( 1 / 32 ) es :

a) - 1 / 3 20.

c) y = 5²

Cual de las siguientes expresiones es falsa:

a) 4, 2 19.

b) y = 2

b) 1 + m

d) 5 / 3

e) 2

log 2 10 ?

c) 1 / m

d) 1 – m

e) m – 1

91 21.

Si log x =

1 log a – log b 2

a) 2

y

b) 1

a = 9 b² , el valor de x es : c) -2

d) 4

e) 3

22. La solución que se obtiene al resolver: log ( x - 8 ) (x² - 16 ) = 2 , es: a) {3} 23.

El valor de log 2 a) 1/2

24.

Si

Si

b) 4

−4

28.

Si

e) {0}

c) 2/3

d)

2

e) 3

d) 3

e) 1

c) 2

log a (

b) 3

1 1 ) = log 8 ( ) , es: 81 16

−3

c) 3

3

d) 3

e) 3

1

4

log ( a 2 - 15a ) = 2 , el valor de a es:

a) -2 27.

d) ∅

8 es:

b) 3/2

El valor de a en a) 3

26.

c) {5}

log ( x - 1 ) 256 = x - 1 ; el valor de x es:

a) 5 25.

b) {3, 5}

b) -3

c) -4

d) -5

e) -6

log x + 7 + log x - 8 = 1 ; el valor de x es:

a) 13

b) 15

En la ecuación

log x

a) 10

b) 10

1

c) 17 log x

d) 19

e) 21

− log x 4 = 5 ; x es: c) 10

2

3

d) 10

4

e) 10

5

29. 29. El valor de E = Log 2 32 - Log 1 64 , es: 2

a) 11 30. Si Log a b = 3 a) 6

b) 13 y

c) 15

d) 14

e) Más de 15

Log b 32a = 2 ; el valor de b es:

b) 8

c) 10

d) 0

e) Ninguno de los anteriores.

92 31. Si Log a b = 3

y

a) 6

Log b 32a = 2 ; el valor de a + b es:

b) 8

32. Determinar E = 27 a) 6

a) 6

Log a (0 +1)

c) 10 +a

b) 7

34. El valor de S = a

Log a (0 +1)

d) 0

d) 0

Log a (1+ 2)

+a

c) 8 -a

b) 5

Log a (1+ 2)

Log a (2 +3)

e) Ninguno de los anteriores. , es:

d) 9 +a

c) 4

Log a (2 +3)

e) Ninguno de los anteriores.

, es:

d) 3

e) Ninguno de los anteriores.

35. Si: Log 2 4 + Log 2 4² + Log 2 4³ + ………. + Log 2 4 a) 6

e) Ninguno de los anteriores.

:

b) 8

33. El valor de S = a

a) 6

Log 3 2

c) 10

b) 5

c) 4

n

= Log 2 4⁶ . El valor de n es:

d) 3

e) Ninguno de los anteriores.

36. El valor de x en: Log 4 [ Log 3 ( Log 2 x ) ] = 0 , es: a) 6

b) 5

c) 8

d) 7

e) Ninguno de los anteriores.

37. Si Log 2 x = 30 ; entonces el valor de Log 4 x es: a) 16

b) 15

c) 18

d) 17

e) Ninguno de los anteriores.

38. Si Log 3 x + Log 81 16 - Log 3 6 = 2 , entonces el valor de x es: a) 36

b) 25

c) 38

d) 27

e) Ninguno de los anteriores.

39. Si el logaritmo de 32 en una cierta base es 5 / 6 ; dicha base es: a) 16

b) 8

c) 64

d) 32

40. La suma de las soluciones de la ecuación : a a) -1 / 2

b) 2

c) -2

e) Ninguno de los anteriores.

Log a x 2

+b

d) 1

Log b x

+c

Log c 1

= 3 , es:

e) -1

93

El término razonamiento se define de diferente manera según el contexto, normalmente se refiere a un conjunto de actividades mentales consistentes en conectar unas ideas con otras de acuerdo a ciertas reglas o también puede referirse al estudio de ese proceso. En sentido amplio, se entiende por razonamiento la facultad humana que permite resolver problemas. Se llama también razonamiento al resultado de la actividad mental de razonar, es decir, un conjunto de proposiciones enlazadas entre sí que dan apoyo o justifican una idea. El razonamiento se corresponde con la actividad verbal de argumentar. En otras palabras, un argumento es la expresión verbal de un razonamiento. El razonamiento lógico se refiere al uso de entendimiento para pasar de unas proposiciones a otras, partiendo de lo ya conocido o de lo que creemos conocer a lo desconocido o menos conocido. Se distingue entre razonamiento inductivo y razonamiento deductivo. ÁREA - HABILIDAD COGNITIVA Esta área consta de cuatro tipos de ejercicios: secuencias lógicas, relaciones lógicas, transformaciones lógicas y consideraciones lógicas. A continuación se presenta una descripción de cada uno de estos ejercicios. SECUENCIAS LÓGICAS: Tienen como propósito evaluar la capacidad para percibir patrones de relación entre números y letras. Mide la habilidad del candidato para organizar información de forma inductiva. Instrucciones: En cada uno de los siguientes ejercicios se presenta un par de palabras relacionadas, seguido de cinco pares de palabras o frases designadas con las letras A, B, C, D y E. Seleccione la letra que se refiere al par de palabras que mejor indica una relación similar a la expresada en el par original. Marque el espacio de la letra correspondiente en la hoja de respuestas. Ejemplo: VOCACIÓN : OFICIO :: (A) necesidad : satisfactor (B) sacrificio : triunfo (C) capacidad : tarea (D) producción : producto (E) calidad : meta La respuesta correcta es la opción (C), por lo tanto debe marcar:

A

B

C

D

E

94 1. ABEJA : PANAL : :

a. flores : polen b. dromedario : joroba c.

mariposa : oruga

d. gusano : tierra e. araña : telaraña 2. NACIMIENTO : CRECIMIENTO : : a. sonoridad : composición musical b. merecimiento : éxito c.

elección : nombramiento

d. problema matemático : ecuación e. fuego : cenizas 3. LUZ : TÚNEL : : a. jueces : meta b. baño : agua c.

oxígeno : arteria

d. alimento : saliva e. caminante : kilómetros 4. MONTAÑA : ALPINISTA : : a. playa : buzo b. garrocha : atleta c.

bicicleta : ciclista

d. pista : corredor e. balas : tirador 5. HOMBRES : CONDOMINIO : : a. hormigas : hoyo b. reses : corral c.

perros : jardín

d. abejas : panal e. aves : nido

95 RELACIONES LÓGICAS: Tiene como propósito medir la habilidad de extraer relaciones y hacer comparaciones basadas en reglas de similitud. Se utilizan preguntas de analogías y metáforas. Instrucciones: Instrucciones En los siguientes ejercicios elija la alternativa que mejor representa el significado de la frase que se ofrece o la relación numérica similar al par original. Seleccione el encasillado correspondiente en las posibles respuestas. Ejemplo: El ocaso de la vida (A) adolescencia (B) nacimiento (C) vejez (D) juventud (E) madurez La alternativa correcta es la respuesta (C), porque ocaso significa descenso. La contestación correcta que debe marcar es:

A

1. Sus proyectos se estrellaron ante la realidad a. se extendieron

B

C

D

E

96 b. se deshicieron c.

fueron modificados

d. tuvieron gran impacto e. se alteraron 2. La duda fue el veneno de mi felicidad a. matar b. enfermar c.

acabar

d. disminuir e. alimentar 3. 8 : 64 : : a.

7 : 65

b.

9 : 90

c.

10 : 110

d. 13 : 187 e. 15 : 225 4.

20 3

a.

: 60 45

: 90

20

b.

50

: 500

10

c.

72

: 18

4

d.

80

: 100

8

e.

100

: 333

3

5. 123 : 6 : : a. 456 : 8 b. 234 : 9 c. 345 : 10 d. 678 : 10 e. 456 : 12

97 CONSIDERACIONES Y TRANSFORMACIONES LÓGICAS: Miden la capacidad para usar correctamente las reglas de inferencia lógica. Se incluyen ejercicios de razonamiento condicional y de diagrama. El candidato debe analizar una situación particular y seleccionar la hipótesis o inferencia más apropiada. Instrucciones: Instrucciones En los siguientes ejercicios elija la alternativa que mejor se relaciona con la información dada; luego seleccione el encasillado correspondiente en las posibles respuestas. Ejemplo: En la fila del banco, el Sr. Hernández está formado después del Sr. González, y el Sr. González está después del Sr. Ruiz. ¿En qué orden están formados? (A) González, Ruiz, Hernández (B) Ruiz, Hernández, González (C) Hernández, González, Ruiz (D) Ruiz, González, Hernández (E) González, Hernández, Ruiz La alternativa correcta es la respuesta (D). La respuesta que debe marcar es: A

B

C

D

E

98 1. Si A está después que B y C, y D está antes que C pero después que B, entonces, el orden de las letras es a. D B C A b. B C D A c.

BCAD

d. B D A C e. B D C A 2. Israel está menos poblado que Japón. Filipinas tiene mayor población que Japón. La población de Inglaterra es menor que Israel, sin embargo supera a Cuba en esta variable. Entonces: a. Cuba está más poblada que Inglaterra. b. Japón e Inglaterra tienen, cada una, más gente que Israel. c.

los habitantes en Israel son más escasos que en Cuba.

d. Filipinas no supera a Japón en cuanto al número de habitantes se refiere. e. el número de habitantes en Japón es superior al de Cuba. 3. Si consideramos los siguientes datos: A=Z+D+F B=A+R D=J F=K+E+B R=L+O A+B=_____ a. Z + J + K + E + B + L + O b. L + O + Z + D + K + E + A + R c.

Z+J+K+E+B+L+O

d. Z + J + K + E + B + Z + D + F + R e. K + E + B + J + Z + L + O + J + F 4. Ocho caballos corren por la pradera hacia la granja. Lirio llegó tres lugares después que Rubí pero uno antes que Sami. Mac le ganó a Chato mas no así a Rubí. Lulo entró 3 lugares antes que Chato y Toto entró 2 lugares después que Cucho, pero uno después que Sami. ¿Cuál de los ocho caballos entró en 4o. lugar? a. Mac. b. Sami.

99 c.

Lirio.

d. Chato. e. Cucho. 5. Julio nació antes que Gloria y que Pablo; Miguel es menor que Silvia, pues nació después que Pablo, pero antes que Gloria; y Julio es menor que Silvia. ¿Quién de los cinco jóvenes ocupa el tercer lugar en el orden de nacimiento? a. Julio. b. Gloria. c.

Pablo.

d. Miguel. e. Silvia. 6. Manolo y Manuel salieron a piscar moras, durante la primera mitad de la jornada Manolo había recolectado 2/3 veces más moras que Manuel. Al final de la jornada, Manolo tenía 59 kilos de moras y Manuel tenía 14 kilos menos. ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es FALSA? a. En la segunda mitad de la jornada Manolo recolectó 24 kilos de moras. b. Manolo y Manuel recolectaron la misma cantidad de moras en la segunda mitad de la jornada. c.

Manuel tenía 21 kilos de moras al finalizar la primera mitad del día.

d. Manolo tenía 14 kilos más de moras que Manuel al iniciar la segunda parte del día. e. Manolo tenía 39 kilos de moras a la mitad de la jornada. 7. En una tienda de artesanías se venden varios objetos diferentes, si María quiere comprar una muñeca de juguete; ¿a qué zona de la tienda debe dirigirse?

collares 5 1 figuras 6 muñecos

mujeres 4

3

esculturas

a. 2 b. 3 c.

4

d. 5 e. 6

2

juguetes

100 8. Carlos camina 5 cuadras al este, da vuelta a la derecha y camina otro tramo igual, después sigue hacia su izquierda y camina otro poco más; de pronto da una vuelta entera (360°) ¿En qué dirección va? a. Norte. b. Sur. c.

Este.

d. Oeste. e. Poniente. 9. Lolo es un perro entrenado por Sebastián, Xito es un gato callejero. Samuel protege a los gatos y perros sin hogar. ¿Cuál de las siguientes alternativas es VERDADERA? a. Samuel entrenó a Lolo. b. Sebastián entrenó a Xito. c.

Xito y Lolo viven con Samuel.

d. Samuel no protege a Lolo. e. Xito vive con Sebastián. 10. Hay 3 bolsas de papel; cada una de ellas está pintada de un color: rosa, rojo y blanco. Se sabe que dentro de ellas hay maíz, sorgo y trigo, pero se ignora en cuál bolsa está depositado cada uno de los granos. Si la bolsa de maíz no es rosa, el sorgo está en la bolsa blanca, entonces el(la) a. trigo está en la bolsa roja. b. maíz está en la bolsa roja. c.

bolsa roja tiene sorgo.

d. trigo está en la bolsa blanca. e. bolsa blanca tiene maíz. 11. Un pintor empieza a pintar ventanas a las 8:00 a.m. logrando acabar 4 ventanas por hora. Una hora más tarde, a las 9:00 a.m. , su compañero inicia su tarea también de pintar ventanas, pero él alcanza a pintar 5 ventanas por hora. ¿Cuántas horas llevará pintando el primero cuando su compañero logre igualar el número de ventanas ya pintadas? a. 3 b. 4 c.

5

d. 6 e. 7 12. En un restaurante en donde fueron a comer 5 muchachos, Gilberto pedía lo mismo que Joel. Rogelio ordenaría pastel, sólo si Joel comía enchiladas. Joaquín quería algo diferente de lo que comieran los otros

101 4 jóvenes y Claudio lo mismo que Rogelio. Aunque se ordenaron finalmente 2 órdenes de enchiladas, 2 de hamburguesas y 1 de pastel, Rogelio no comió pastel. ¿Quiénes comieron hamburguesas? a. Joel y Gilberto. b. Joaquín y Rogelio. c.

Joel y Claudio.

d. Gilberto y Joaquín. e. Claudio y Rogelio. 13. Raúl viaja con frecuencia a las ciudades A , B y C. A está a 4 horas de la casa de Raúl. Para llegar a B tarda el doble de tiempo que le lleva viajar de ida y vuelta a C. C está solamente a una hora menos que A. ¿Cuántas horas tarda el viaje de ida y vuelta a B? a. 6 b. 9 c.

12

d. 18 e. 24 14. La calle Soledad es paralela a la calle Luciérnaga.

La avenida Estrella es perpendicular a la calle

Pastora. La calle Pastora es paralela a la calle Luciérnaga. La calle Soledad es perpendicular a la calle Gaviota. Si la avenida Estrella corre de norte a sur, ¿cuál de las siguientes aseveraciones es FALSA? a. La calle Gaviota es perpendicular a la calle Pastora. b. La calle Soledad es paralela a la calle Pastora. c.

La calle Gaviota corre de norte a sur.

d. La calle Luciérnaga y la calle Soledad corren de este a oeste. e. La avenida Estrella es paralela a la calle Soledad. 15. Un maestro de piano debe seleccionar a 4 de sus 6 alumnos para participar en un programa de televisión. Para decidir quiénes van, toma en cuenta que puede ir Alfredo o Tomás, pero no pueden ir los dos porque tienen el mismo repertorio, pero es preciso que uno de los dos vaya. Como Rosaura, Tomás y Carlota son hermanos, sólo llevará a dos de ellos. Si va Noemí, a fuerza deberá ir Arturo pues no quieren separarse. Es necesario llevar a dos mujeres; o va Alfredo o va Rosaura ya que como están peleados no deben ir los dos pero uno de ellos debería ejecutar la pieza principal. ¿Quiénes son los dos jóvenes que NO irán al programa de televisión? a. Arturo y Nohemí b. Carlota y Tomás c.

Tomás y Alfredo

d. Rosaura y Tomás

102 e. Alfredo y Carlota RAZONAMIENTO VERBAL.Mide el potencial lingüístico que posee el aspirante y las habilidades VERBAL adquiridas para comprender conceptos y analizar situaciones específicas. El contenido de esta área es: antónimos, completación de oraciones, comprensión de textos y analogías. Antónimos: Los antónimos consumen la menor cantidad de tiempo. Miden la amplitud de su vocabulario. Cada ejercicio consiste en la presentación de un término para el que usted deberá escoger aquella palabra o frase con su significado opuesto. Instrucciones: Instrucciones Cada una de las siguientes preguntas consta de una palabra o frase impresa en letras mayúsculas, seguida de cinco palabras designadas con las letras A, B, C, D y E. Elija la letra de la palabra o frase que indica el antónimo o significado opuesto de la palabra en letras mayúsculas; luego seleccione el encasillado correspondiente en la hoja de respuestas. Como algunas de las preguntas requieren que se distinga entre varios significados parecidos, asegúrese de que ha estudiado todas las posibilidades antes de decidir cuál es la mejor. ADECUADO (A)

analizado

(B)

estupendo

(C)

inadvertido

(D)

incorrecto

(E)

inesperado

El antónimo de EDECUADO es incorrecto, por lo tanto la respuesta correcta es la D , y debe marcar: A

1. AUTÉNTICA a. falsa b. dependiente c.

devaluada

d. descompuesta e. flexible 2. DIVERSIDAD a. uniformidad b. opulencia c.

llaneza

B

C

D

E

103 d. oposición e. aburrimiento 3. NOTORIO a. escabroso b. detallado c.

caprichoso

d. ilusorio e. inadvertido 4. REACIO a. confuso b. fácil c.

dócil

d. rancio e. inútil 5. DESCASTADO a. amargado b. solitario c.

agradecido

d. descarriado e. descentrado COMPLETACIÓN DE ORACIONES: Se mide la habilidad para reconocer las relaciones entre distintas partes de una oración. Requiere que conozca el significado de las palabras y su uso adecuado en el contexto de la oración. Instrucciones: Cada una de las siguientes oraciones tiene uno o dos espacios en blanco. Cada espacio indica que se ha omitido una palabra o frase. Debajo de las oraciones hay cinco palabras o frases, señaladas con las letras A, B, C, D y E. Elija la palabra o frase que al insertarse en la oración, complete mejor su significado; luego seleccione el encasillado correspondiente en la hoja de respuestas.

104 Ejemplo: Los animales pueden _ _ _ _ _ de muchas formas los problemas _ _ _ _ _ por los cambios estacionales. (A)

soportar - comunitarios

(B)

afrontar - causados

(C)

rechazar - proporcionados

(D)

esquivar - esperados

(E)

someter - propiciados

La respuesta correcta es la opción (B), por lo tanto debe marcar:

A

B

C

D

E

1. La mundialización del ideal democrático no suprime las relaciones de _ _ _ _ _ entre las naciones. a. masas b. fuerza c.

comprensión

d. pobreza e. impulso 2. En este ensayo se examinarán tres tendencias generales que caracterizan a todos los grupos de _ _ _ _ _; la burocratización, la centralización y la política. a. campaña b. concientización c.

élite

d. electores e. propaganda 3. Si alguien _ _ _ _ _ sin gracia una anécdota jocosa, a. examina . . . disipará b. designa . . . desligará c.

narra . . . aburrirá

d. escoge . . . preocupará e. medita . . . sensibilizará

_ _ _ _ _ a sus oyentes en lugar de divertirlos.

105 4. El espía se encargó de recoger la _ _ _ _ _ de esa potencia extranjera. a. información b. recompensa c.

condonación

d. representación e.

inoperancia

ANALOGÍAS: Estos reactivos miden la habilidad para ver relaciones en un par de palabras, entender las ideas que se expresan y reconocer una relación similar o paralela. Instrucciones: Instrucciones En cada una de las siguientes preguntas se presenta un par de palabras relacionadas, seguidas de cinco pares de palabras designadas con las letras A, B, C, D y E. Elija la letra del par de palabras que mejor indique una relación similar a la expresada en el par original. Seleccione el encasillado correspondiente en la hoja de respuestas. Ejemplo: VOCACIÓN : OFICIO : : (A)

sacrificio : triunfo

(B)

necesidad : satisfactor

(C)

capacidad : tarea

(D)

producción : producto

(E)

calidad : meta

La respuesta correcta es la alternativa (C), por lo tanto, debe marcar:

A

1. VOLCÁN : ERUPCIÓN : : a. caldera : explosión b. película : emoción c.

carácter : acción

d. ruido : presión e. temperatura : división

2. CANCIÓN : COMPOSITOR : : a. escultura : piedra b. pintura : composición

B

C

D

E

106 c. novela : lector d. película : actor e. poesía : poeta 3. AVIÓN : DESPEGA : : a. cohete : estalla b. tren : acelera c.

helicóptero : aterriza

d. submarino : frena e. barco : zarpa 4. TELESCOPIO : LEJANO : : a. arado : siembra b. radio : baile c.

cine : historia

d. microscopio : pequeño e. periscopio : submarino 5. SIGNOS : DESCIFRAR : : a. ejercicio : entrenar b. escalera : ascender c.

actos : automatizar

d. reglas : disciplina e. trazos : proyecto COMPRENSIÓN DE TEXTO: Esta sección pretende que el candidato demuestre su habilidad para asimilar información escrita. Este apartado contiene dos tipos de análisis: el tradicional y el crítico.

En el análisis tradicional se presenta un pasaje seguido por preguntas basadas en su contenido. En esta sección se le preguntará sobre la idea principal, inferencias, conclusiones y vocabulario, entre otras cosas.

En el análisis crítico aparecen dos pasajes, seguidos por preguntas basadas en su contenido. En este análisis el candidato deberá interpretar los textos, sintetizar, analizar y evaluar los elementos de los mismos. A continuación se presenta un ejemplo:

107 Instrucciones: Instrucciones: A continuación aparecen dos pasajes, A y B, seguidos por preguntas basadas en su contenido. Después de leer los pasajes, elija la mejor respuesta a cada pregunta basándose en lo que el pasaje afirma o implica. Seleccione el encasillado correspondiente en la hoja de respuestas. (Los pasajes para esta prueba han sido tomados de material impreso que presenta contenidos propios para el análisis o la evaluación. Las ideas que se incluyen en cada pasaje son responsabilidad exclusiva de su autor).

Análisis Crítico Pasaje A

(1)

Si la extinción es un proceso natural e inevitable ¿por qué debemos preocuparnos hoy en día?

Es cierto que se ha estudiado la importancia de los cambios térmicos en la influencia, por ejemplo de la extinció

los grandes mamíferos habitantes de Europa: mamuts y otros. Asimismo se conocen bastante bien algunas de l

(5)

causas que provocaron la desaparición de una especie en un lugar determinado, pero no la extinción de especie

en un lugar cuyas condiciones han cambiado, por lo que se plantea el problema: Por la propia vida de las espec como tales, independientemente de los individuos, es o no limitada. (10)

“A diferencia de las extinciones que ocurrieron en el pasado de forma natural, las actuales están sucediendo a un ritmo muy acelerado y no obedecen a una incapacidad natural de adaptación de las especies, ni son el resultado de un proceso evolutivo, sino que se debe a alguna actividad que el hombre lleva a cabo”.

(15)

En los últimos tiempos, en un plano de importancia trascendental, el problema de la extinción de las especies se atribuye a la desaparición de otras especies, reducidas ya a zonas geográficas limitadas, como consecuencia de la explotación humana directa. Si además consideramos que la extinción de una especie no es un evento aislado, sino que puede generar una “reacción en cadena” (muchas especies que requieren de una u otra forma de la que se extingue enfrentan serios problemas para sobrevivir, e incluso pueden llegar a desaparecer por esta razón), nos daremos cuenta de que en consecuencia habrá procesos esenciales para la vida que se verán afectados. Es por ello que es necesario, al menos .... CONSERVAR.

(1)

Pasaje B “La especie toda había disminuido hasta casi extinguirse, pues ésta (Labrador) era la única isla donde todavía se reproducían las alcas grises”, escribía en su diario George Cartwright, uno de los pocos

(5) residentes permanentes de esa isla en 1785. La matanza de estas delicadas aves, descritas con un plumaje negro en la cabeza y en el dorso, y blanco en el vientre, concluyó el 3 de junio de 1844, cuando un cazador dio muerte a la última pareja de alcas y su único huevo fue arrojado al mar.

(10)

108 La extinción de estas aves a manos del ser humano se suma a una larga lista de otras especies: la ballena gris del Océano Atlántico, aniquilada desde principios del siglo XVIII por pescadores europeos; el bisonte norteamericano destruido por los aventureros estadounidenses del siglo XIX; el visón marino, desaparecido de la faz de la tierra hacia 1880. Con métodos que indignan, el hombre sistemáticamente se ha dedicado a destruir la naturaleza. En el caso del visón marino, por ejemplo, los cazadores se valían de jaurías adiestradas, barras con ganchos de acero o carretadas de azufre para sacar a los visones de sus madrigueras y poder así matarlos más fácilmente. Aves, felinos, lobos, osos, bisontes, tortugas y otros muchos animales han dejado de existir en los últimos 300 años debido a la guerra que ha declarado el hombre en contra de la naturaleza. Y no sólo han sido animales, sino también bosques, selvas, barreras de coral, ríos y hasta el lecho de los océanos los que han perdido todo rastro de vida. Además del asalto directo de la mano del hombre contra la naturaleza, el desarrollo industrial del mundo ha contribuido al efecto de invernadero, al adelgazamiento y ruptura de la capa de ozono y al desequilibrio cada vez más extendido de los ecosistemas. Y no obstante los avances en cuanto a investigación, programas de conservación nacionales o internacionales, nunca como ahora se ha estado tan cerca de precipitarse en una extinción generalizada de las especies. En el pasaje A, líneas 7-9, el propósito del autor es (A)

contrastar las extinciones del pasado con las del presente.

(B)

restar importancia a los procesos naturales de extinción.

(C)

enumerar diferentes procesos evolutivos.

(D)

valorar la importancia de las acciones humanas.

(E)

ejemplificar dos formas de extinción.

La respuesta correcta es la opción (A); por lo tanto, debe marcar: A

B

C

D

E

En el pasaje B, líneas 1-3, el autor utiliza como recurso para introducir el tema un (A)

momento del pasado.

(B)

dato impresionante.

(C)

testimonio valido.

(D)

signo de peligro.

(E)

suceso hasta ahora desconocido.

La respuesta correcta es la opción (C); por lo tanto, debe marcar: A

B

C

D

E

109

Ambos pasajes difieren en cuanto a las causales de extinción que tratan, mientras que el A se refiere a un proceso natural y a la acción humana, el B menciona (A)

la matanza de las especies.

(B)

desde la disminución hasta la extinción de las alcas.

(C)

el asalto directo de la mano del hombre y el desarrollo industrial del mundo.

(D)

la poca efectividad de la investigación y de programas de conservación.

(E)

el descuido de muchos animales durante 300 años.

La respuesta correcta es la opción (C); por lo tanto, debe marcar: A

B

C

D

E

Ambos pasajes mencionan lo que podría ser la solución para la extinción de las especies que es (A)

resolver si se trata de un proceso natural e inevitable.

(B)

regenerar los procesos esenciales para la vida.

(C)

penalizar la caza.

(D)

conservar.

(E)

avanzar más en la investigación.

La respuesta correcta es la opción (D); por lo tanto, debe marcar: A

B

C

D

E

RAZONAMIENTO NO VERBAL: Los Test de Razonamiento No Verbal son pruebas que miden el razonamiento abstracto y la capacidad de razonar sobre problemas de lógica,

mediante símbolos o figuras, problemas de agilidad mental,

razonamiento espacial , razonamiento numérico, etc A continuación se presentan algunos ejemplos resueltos de este tipo de problemas:

1. Cuatro hermanos tienen 45 rublos. Si el dinero del primero es aumentado en 2 rublos, el del segundo reducido en 2 rublos, se duplica el del tercero y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrán la misma cantidad de rublos. ¿Cuánto dinero tenía cada uno?

110

Posible Solución Si son cuatro hermanos, entonces: A + B + C + D = 45 Por lo tanto: (A + 2) + (B – 2) + (2C) + (D / 2) = ¿? En un principio pensé que la cantidad sumaría 45, sin embargo, eso no es necesariamente cierto. Porque es evidente que los dos rublos que se le quitan a B se le agregan a A. Hasta ese punto la cifra sigue en 45, sin embargo, la mitad que se le quita a D no es la misma mitad que se agrega a C. Por esta razón, decidí hacer un estimado de las cantidades. Se entiende que son rublos enteros, así que no se pueden tener fracciones. Ahora, despejando D de la relación que existe entre 2C = D / 2, tenemos que D = 4C. De todos los múltiplos de cuatro hay tres posibles soluciones para D: 4, 20 y 28. La razón es que con esos resultados, C y D suman un número impar: 5, 25 y 35, respectivamente, lo cual significa que dejan números pares para la otra mitad de la operación: 40, 20 y 10, respectivamente. Esa parte de la operación debe ser par porque se necesita dividir entre 2, y a una mitad quitarle 2, A, y a la otra mitad sumarle esos 2, B. Sin embargo, de todas esas opciones, la única que cumple con la igualdad es la combinación: A = 8, B = 12, C = 5 y D = 20. 2. A ambas orillas de un río crecen dos palmeras, la una frente a la otra. La altura de una es de 30 codos, y la de la otra, de 20. La distancia entre sus troncos, 50 codos. En la copa de cada palmera hay un pájaro. De súbito los dos pájaros descubren un pez que aparece en la superficie del agua, entre las dos palmeras. Los pájaros se lanzaron y alcanzaron el pez al mismo tiempo. ¿A qué distancia del tronco de la palmera mayor apareció el pez?

Posible Solución

Para resolver este problema se genera dos triángulos rectángulos y se aplica el teorema de Pitágoras. Para la solución se está suponiendo que ambos pájaros vuelan a la misma velocidad. La distancia que buscamos es la que existe entre el pez y el tronco, así que a esta distancia la llamaremos x, por lo tanto, la distancia entre el pez y la palmera menor es 50-x. Las hipotenusas de ambos triángulos son iguales. Por lo tanto: 30² + x² = (50 - x)² + 20². Desarrollando la igualdad tenemos: 900 + x² = 2500 – 100x + x² + 400. Las x² se eliminarán al despejar x y el resultado es: x = 20. El pez apareció a 20 pies de la palmera mayor.

3. Un grupo de alumnos de la secundaria se hizo cargo de construir una zanja en la huerta de la escuela y para eso formaron una brigada. Si hubiera trabajado toda la brigada, la zanja habría sido cavada en 24 horas. Mas el trabajo fue comenzado por un solo miembro de la brigada. Poco después se le unió otro y

111 más tarde un tercero, al cabo del mismo tiempo se incorporó un cuarto, y así sucesivamente, hasta el último. Cuando se hizo el balance del trabajo efectuado, resultó que el primero había invertido en el trabajo 11 veces más de tiempo que el último.¿Cuánto trabajó el último?¿Cuántos trabajadores hay en la brigada de cavadores?

Posible Solución Queremos saber el tiempo que trabajó el último miembro, así que a este tiempo le llamaremos x. Por lo tanto, el primer miembro trabajó 11x. Ahora, el número de miembros de la brigada se desconoce, por lo tanto, hablamos de y cavadores. El balance del trabajo efectuado se puede sacar a través de un promedio del máximo y el mínimo, es decir: (11x + x) / 2. Lo cual nos da un total de 6x horas por cavador. Además, se nos da como premisa que si todos hubieran trabajado desde el principio habrían terminado en 24 hrs. Lo cual significa que se requieren y personas durante 24 hrs. para terminar el trabajo, esto lo representamos como 24y. Si relacionamos el promedio de horas trabajadas por cavador, con la expresión anterior, obtenemos: 6xy = 24y. Al despejar x obtenemos x = 4. Por lo tanto, el último cavador sólo trabajó 4 horas.

Con esta última ecuación, sólo podemos saber el valor de x, para obtener el número de cavadores hace falta saber el progreso que tenían en el tiempo o algo así, porque sustituir x nos dará como resultado 24y = 24y, lo cuál no nos permite saber el número de miembros de la brigada 4. La distancia entre dos pinos es de 40 m. Sus alturas son: 31 m y solo 6 m. ¿Pueden calcular la distancia entre sus cimas? Posible Solución Sí, sólo hay que aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo superior. La distancia entre las puntas es la hipotenusa, la base es de 40 metros y la altura es 31 – 6 =25. Con esto tenemos que c² = 40² + 25². Resolviendo tenemos: c² = 2225 Por lo tanto, la distancia entre sus cimas es c =

2225 = 47.17m.

112 E J E R C I C I O S: 1. Al formar un cubo cuyo desarrollo es el de la figura, ¿qué letra tiene la cara opuesta a la marcada con x?

a. A b. B c.

C

d. D e.

E

2. Existe un terreno con la forma que se ve en la figura. Este terreno posee la propiedad de que si medimos su perímetro en km y su área en km², las dos medidas están representadas por el mismo número. ¿Cuál es el perímetro del terrenito?

a.

2.8 Km

b. 16.2 km c.

28 Km

d. 31.36 Km e. 39.47 Km 3. En una familia el padre, que se llama Petardo, es 6 años mayor que la madre, de nombre Sandalia. La media de sus edades es de 39 años, mientras que la media de las edades del padre y de su hija Pirula es de 27 años. Así que, ¿cuántos años tiene Pirula? a. 9 años b. 8 años c.

10 años

d. 11 años e. 12 años

4. Un grupo de amigos fue a tomar unos refrescos y unos bocatas, y lo pusieron todo en una cuenta, que ascendió a 36 euros. Todos iban a pagar por igual, pero dos de ellos se habían ido, por lo que a cada uno le tocó pagar 1,14 euros más. ¿Cuántas personas conformaban el grupo original? a. 8 b. 9 c.

10

113 d. 11 e. 12 5.

Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo, pero hace cinco años era cuatro veces más joven. ¿Cuántos años tiene? a. 11 años b. 12años c.

13 años

d. 14 años e. 15 años 6. Judith y Manuel visitaron la granja de su tío. Durante su estancia vieron un corral con cerdos y gallinas. Manuel dijo haber contado dieciocho animales en total. Judith afirmó haber contado cincuenta patas. ¿Cuántos cerdos había? y ¿Cuántas gallinas? a. 13 gallinas y 5 cerdos b. 12 cerdos y 6 gallinas c.

10 cerdos y 8 gallinas

d. 7 cerdos y 11 gallinas e. 8 cerdos y 10 gallinas 7. Cuatro vacas negras y tres vacas marrones dan tanta leche en cinco días como tres vacas negras y cinco marrones en cuatro días. ¿Qué clase de vaca es mejor lechera, la negra o la marrón?. a. Las dos iguales b. La marrón c.

La negra

d. Unas veces la marrón y otras la negra e. La vaca negra no da leche 8.

En el fondo de un pozo de doce metros de profundidad hay un caracol que sube tres metros durante el día y desciende uno durante la noche.¿Cuánto tardará en salir el caracol del pozo? a. 8 días y 7 noches b. 5 días y 6 noches c.

6 días y 5 noches

d. 5 días y 5 noches e. No sale nunca

114 9. Alex piensa tres números. Si los agrupa de dos en dos y los suma, obtiene 38, 44 y 52.¿Cuáles son esos números? a. 15, 23 y 29 b. 20, 21 y 22 c.

17 , 20 y 31

d. 38, 44 y 52 e. 16, 22 y 28 10. Cuántos números de tres cifras hay que cumplen la propiedad de que la suma de la cifra de las centenas y la de las decenas nos da la cifra de las unidades? a. 9 b. 20 c.

22

d. 40 e. 45 11. Un tronco redondo pesa 150 kilos. ¿Cuánto pesaría si fuera el doble de grueso y la mitad de largo? a. 150 Kg b. 300 Kg c.

750 Kg

d. 600Kg e. 200 Kg

12. La doctora Numeratti era una de esas personas que siempre andan buscando relaciones entre números. Por ejemplo, un buen día se dio cuenta de que los números de su casa y las de sus amigas eran tres números primos consecutivos tales que multiplicados los tres daban su número de teléfono. La doctora Numeratti vivía entre sus dos amigas y tenía un número de teléfono de cinco cifras que empezaba por 6. Averigua el número de la casa de la doctora Numeratti, así como su número de teléfono. a. El número de la casa es 37 y su teléfono es 56321 b. El número de la casa es 41 y su teléfono es 65231 c.

El número de la casa es 23 y su teléfono es 23155

d. El número de la casa es 13 y su teléfono es 31356 e. El número de la casa es 29 y su teléfono es 35621

115 13. Si pliegas una tira de papel por la mitad y después otra vez por la mitad, al desdoblarla verás tres marcas, una hacia arriba y dos hacia abajo. Preguntamos: a) ¿Cuántas marcas habrá si el proceso de plegado por la mitad se hace 6 veces? b) ¿Cuántas marcas estarán hacia arriba y cuántas hacia abajo? a. a)63 b)31 hacia arriba y 32 hacia abajo b. a)6 c.

b)3 hacia arriba y 3 hacia abajo

a)64 b)32 hacia arriba y 32 hacia abajo

d. a)31 b)15 hacia arriba y 16 hacia abajo e. a)127 b)63 hacia arriba y 64 hacia abajo 14. Dividimos un rectángulo en 4 rectángulos con segmentos paralelos a los lados como indica la figura. Si las áreas de tres de estos 4 rectángulos son las que se muestran, ¿cuál es el área del cuarto rectángulo? a.

10

b. 15 c.

20

d. 21 e. 25 15. En la cena de Nochebuena, Juan compra una pizza enorme y la corta en 24 trozos iguales. Marcos se come 1/6 de la pizza. Claudia se come 1/4 de lo que queda y Silvia 1/3 del resto después de que Claudia y Marcos se han servido. Si Juan se come lo que queda, ¿qué fracción de la pizza se ha comido Juan? a. 5/12 b. 3/7 c.

6/17

d. 9/24 e. 11/24 16. Una persona tarda 90 segundos en recorrer los 60 metros de una cinta mecánica que no funciona. En marcha, la cinta transporta a la gente en 60 segundos. ¿Cuánto tiempo necesitará esa persona para recorrer los 60 metros si anda mientras la cinta está en funcionamiento? a. 30 seg b. 36 seg c.

40 seg

d. 45 seg e. 50 seg

116 17. Noventa personas han solicitado trabajo como vendedor de un empresa editorial. Diez solicitantes no han trabajado nunca en ventas ni en editoriales. Sesenta y cinco han trabajado en ventas, y cincuenta y ocho tienen cierta experiencia en el ramo editorial. ¿Cuántos solicitantes tienen experiencia tanto en ventas como en empresas editoriales? a. 40 b. 41 c.

42

d. 43 e. 44 18. Isabel tiene en su mano monedas de 1 céntimo de euro, de 5 céntimos y de 10 céntimos, que suman 80 céntimos. Si tiene un total de 15 monedas y tiene igual número de monedas de 1 que de 5 céntimos, ¿cuántas monedas de 10 céntimos tiene? a. 1 b. 2 c.

3

d. 4 e.

5

19. Como se muestra en la figura, hemos quitado al triángulo equilátero ABC, de lado 3, un triángulo de la esquina con DB = EB = 1. ¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero ADEC que queda? a. 6 b. 6.5 c.

7

d. 7.5 e. 8

20. Han hecho falta 4221 caracteres para numerar las páginas de un libro. Cuántas páginas tiene? a. 1108 b. 1246 c.

1332

d. 1533 e. Ninguna de las respuestas

117 21. Un equipo de baloncesto ha ganado 30 partidos de 40 jugados. Entre los 30 partidos que todavía quedan por jugar, ¿cuántos debe ganar el equipo para conseguir un 80% de victorias en la liga? a. 10 b. 15 c.

25

d. 26 e. 30 22. Juan ha gastado el 40 % de sus ahorros para comprarse bombones y ha dado a su hermana el 30 % de lo que le queda. ¿Qué porcentaje de sus ahorros conserva? a. 18% b. 30% c.

35%

d. 42% e. 50% 23. María ha gastado 7 euros en la compra de 100 caramelos. Si los de menta cuestan 5 céntimos cada uno, los de fresa cuestan 6 céntimos cada uno y los de limón 7, ¿cuántos caramelos de limón más que de menta ha comprado? a. 50 b. 60 c.

70

d. 100 e. Falta información Una partícula se mueve a lo largo del primer cuadrante de la forma siguiente: durante el primer minuto va desde el origen al punto (1, 0). Luego continúa con la trayectoria indicada en la figura con velocidad constante, de manera que en cada minuto recorre una unidad de distancia con camino paralelo a algún eje. ¿En qué punto estará la partícula al cabo de una hora y media? a. (9,9) b. (9,0) c.

(8,9)

d. (10,9) e.

(0,9)

24. En un bosque un guarda forestal ha observado que 3000 árboles deben talarse. En este bosque encontramos un 40 % de coníferas y un 60 % de otras familias de árboles, entre las que se encuentran los

118 chopos, que constituyen el 62 % de esos árboles. Los pinos constituyen el 25 % de las coníferas. ¿Cuántos chopos y pinos se talarán en total? a. 1326 b. 1416 c.

1500

d. 2610 e. Ninguna de las respuestas anteriores 25. Jorge lava su coche en 30 minutos, mientras que su hermana María lo lava en 45 minutos. ¿Cuánto tiempo les costará lavar el coche entre los dos? a. 15 minutos b. 18 minutos c.

20minutos

d. 25 minutos e. 37 minutos 26. Cortamos un cuadrado en tres rectángulos con rectas paralelas a un lado. Si el perímetro de cada uno de estos tres rectángulos es 24, ¿cuál es el área del cuadrado original? a. 24 b. 36 c.

64

d. 81 e. 96 27. Un atleta comienza la carrera recorriendo 300 metros durante el primer minuto, pero comienzan las molestias y sigue la carrera disminuyendo 20 metros la distancia que recorre cada minuto que pasa hasta que por fin se para. ¿Qué distancia habrá recorrido desde el minuto ocho de carrera hasta que por fin se pare? a. 640 m b. 720 m. c.

800 m

d. 850 m e. No se puede saber

119 28. Tenemos tres números naturales: el segundo es 5 unidades más que el primero y el tercero es el doble de la suma de los dos primeros. Si la suma de los tres es75, ¿cuál es el segundo? a. 6 b. 10 c.

15

d. 30 e. 50 29. El precio postal de un paquete es de 3 dólares para el primer kilo y de 1/5 de centavo por cada gramo suplementario. Además, se paga 1 dólar si la ciudad está a menos de 50 km y se añaden 0,15 dólares por cada km que sobrepasa. ¿Cuál será el precio postal de un paquete de 3,5 kilos que se dirige a una ciudad que está a 115 km? a. 10.25 b. 11.55 c.

12.05

d. 13.75 e. 18.75 30. Se dan 28 saludos en una recepción en la que todo el mundo se da la mano una vez. ¿Cuántas personas están presentes? a. 6 b. 7 c.

8

d. 12 e. 14 31. En una sala el número de filas es igual al doble del número de sillas de una fila. Si hay 1352 sillas y cada fila tiene el mismo número de sillas, ¿cuántas filas hay en la sala? a. 12 b. 26 c.

37

d. 52 e. Ninguna de las respuestas anteriores

120 32. Una caja contiene 24 cubos idénticos. ¿Cuántos cubos podrán colocarse en una caja de dimensiones dobles a la anterior? a. 48 b. 96 c.

144

d. 192 e. La información es incompleta

121

1. En un cajón existen 5 pares de medias negras y 5 pares de medias blancas, si sacamos de una en una y sin mirar.¿Cuántos como mínimo debemos sacar para tener la certeza de obtener un par del mismo color? a) 2

b) 1

c) 3

d) 7

e) 11

2. Un total de 55 estrechadas de mano se efectuaron en una fiesta. Suponiendo que cada uno de los participantes es cortés con cada uno de los demás, el número de personas era: a) 11 3.

b) 10

c) 12

d) 13

e) 14

En una caja hay 2 cajas y 3 bolas. En cada una de estas cajas hay 2 cajas y 3 bolas y finalmente en cada una de estas cajas hay 2 cajas y 3 bolas. ¿ El número total de bolas es ? a) 21

b) 18

c) 20

d) 19

e) 22

4. Si de cada 20 mujeres 10 son solteras. ¿Cuántas casadas habrán de 200 que no sean casadas ? a) 100

b) Más de 100.

c) Más de 20 pero menos de 100.

d) Ninguna.

e) Menos de 100. 5. A un número, se le multiplica por tres, se le resta seis. Luego se le multiplica por cinco, al nuevo resultado se le divide por ocho, al resultado se eleva al cuadrado, luego se le resta ciento setenta y uno para luego extraerle la raíz cúbica obteniéndose nueve. ¿El duplo de la cuarta parte del número inicial es:? a) 24

b) 9

c) 18

d) 36

e) 7

6. Entre Cuenca y Guayaquil hay 5 líneas diferentes de autobuses y entre Guayaquil y Salinas hay 3 líneas de autobuses. ¿ de cuántas maneras puede una persona ir de Cuenca a Salinas y regresar en líneas diferentes ? a) 125

b) 123

c) 120

d)

23

e) 15

7. ¿ Cuántas veces debemos lanzar un dado para obtener al menos dos veces la misma puntuación ? a) 6

b) 8

c) 12

d) 7

e) 14

122 8. Halle la proposición equivalente a “No es cierto que, nos esforcemos y no ingresemos “. a) Ingresamos o no nos esforzamos.

b) Nos esforzamos o ingresamos.

c) Nos esforzamos o no ingresamos.

d) No Ingresamos y no nos esforzamos.

e) Nos esforzamos e ingresamos. 9. Entre las siguientes opiniones, señale la que contiene información: a) Dijo que le parecía injusto. b) Belleza es la de Lucía. c) La situación política es incierta. d) La paz es deseable.

e) Hicieron lo que debían hacer en este caso.

10. 10. A la una de la tarde Ana y Luisa salen las dos de un mismo punto y empiezan a correr por una pista circular. Ana corre en el sentido de las manecillas del reloj y Luisa en sentido contrario. A las tres de la tarde las dos se encuentran otra vez en el punto de partida. Si Ana ha dado 10 vueltas a la pista y Luisa ha dado 14 vueltas, ¿Cuántas veces se han cruzado durante la carrera ? a) 24 veces.

b) 23 veces.

c) 22 veces.

d) 14 veces.

e) 10 veces.

11. 11. Un niño tarda 2 horas en ver un programa de televisión. ¿ Cuánto tardarán tres niños en ver el mismo programa ? a) 3

b) 6

c) 4

d) 2

e) Ninguno de los anteriores.

12. 12. Juan es mas pesado que Luis. Andrés es más pesado que Jaime. Jaime es más liviano que Paco. Luis y Paco tienen el mismo peso. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta? a) Andrés es más pesado que Paco.

b) Andrés es más pesado que Juan.

c) Luis es más liviano que Andrés.

d) Juan es más pesado que Jaime.

e) Luis es mas liviano que Jaime. 13. 13.

123

Miguel mira a Pedro. Ramón mira a Benito. Jordi y Benito miran a Miguel. Pedro y Narciso se miran. Entonces: Pedro y Ramón son: a) 1 y 2.

b) 4 y 5.

c) 2 y 3.

d) 5 y 6.

e) Ningún par de los anteriores.

14. 14. María tiene un hermano llamado Juan. Juan tiene tantos hermanos como hermanas. María tiene el doble de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos chicos y chicas hay en la familia? a) Cuatro chicos y tres chicas.

b) Cuatro chicos y cuatro chicas.

c) Tres chicos y cuatro chicas.

d) Tres chicos y tres chicas.

e) Ninguno de los anteriores. 15. 15. En una habitación hay cierto número de niños. Cada uno de los niños ve 5 niños. ¿Cuántos niños hay en la habitación ? a) 8

b) 6

c) 5

d) 7

e) Ninguno de los anteriores.

16. 16. Un tendero dispone de una balanza y cuatro pesas distintas, y estas pesas son tales que le permiten pesar cualquier número exacto de kilogramos desde 1 a 40. ¿Qué pesa cada una de las pesas? a) Las pesas son de: 1, 4, 9 y 26 Kg.

b) Las pesas son de: 1, 3, 9 y 27 Kg.

c) Las pesas son de: 1, 5, 12 y 22 Kg.

d) Las pesas son de: 1, 4, 12 y 23 Kg.

e) Ninguna de las anteriores. 17. 17. De cuatro corredores de atletismo se sabe que C ha llegado inmediatamente detrás de B, y D ha llegado en medio de A y C. El orden de llegada será: a) A – B – C y D.

b) C – D – A y B.

c) A – D – C y B.

d) B – C – D y A.

e) Ninguno de los anteriores.

124 18. 18.

Nicolás, Carlos y Pedro llevan una misma bufanda. Ramón y Antonio también. Carlos y Ramón llevan la gorra del mismo color. Nicolás y Antonio no llevan gorra. Entonces Pedro y Ramón son: a) 1 y 3.

b) 2 y 4.

c) 1 y 4.

d) 2 y 5.

e) No se puede determinar.

19. 19. Si se coloca 20 esferas formando una pirámide de triángulo regular, el número de esferas de la base es: a) 8

b) 10

c) 12

d) 14

e) Ninguno de los anteriores.

20. 20. Tres personas A , B y C deben repartirse 21 vasos iguales, de los cuales 7 están llenos, 7 medios llenos y 7 vacíos. Si a cada uno debe tocarle la misma cantidad de vino y el mismo número de vasos. ¿ Cuál es el número de vasos vacíos que le toca a la persona que tiene 3 vasos llenos ? a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 0

21. 21. Armando, Basilio, Carlos y Dionisio fueron, con sus esposas, a comer en un restaurante. Se sentaron en una mesa redonda, de forma que: Ninguna mujer se sentaba al lado de su marido. Enfrente de Basilio se sentaba Dionisio. A la derecha de la mujer de Basilio se sentaba Carlos. No había dos mujeres juntas. ¿Quién se sentaba entre Basilio y Armando? a) La esposa de Carlos.

b) La esposa de Dionisio.

d) La esposa de Armando.

e) Es imposible determinarlo.

c) La esposa de Basilio.

22. 22. Tres niños se comen tres pasteles en un minuto y medio. ¿Cuántos niños hacen falta para comer 60 pasteles en media hora? a) 30 niños.

b) 40 niños

c) 6 niños

d) 2 niños

e) 3 niños.

125 23. 23. Angel, Boris, César y Diego se sentaron a beber. El que se sentó a la izquierda de Boris, bebió agua. Angel estaba frente al que bebía vino. Quien se sentaba a la derecha de Diego bebía anís. El del café y el del anís estaban frente a frente. ¿Cuál era la bebida de César? a) Anís.

b) Agua.

c) Vino.

d) Café.

e) No hay como saber.

24. 24.

María y Juan se miran. Rosa mira a Carlos. Carlos y Antonio se hacen un guiño. Las chicas son: María, Luisa y Rosa. Entonces los personajes 3. y 4. son: a) Carlos y Rosa. b) Juan y Rosa. c) Antonio y María d) Juan y María e) Carlos y Luisa. 25. 25. A lo largo de una carretera hay cuatro pueblos seguidos: Los Rojos viven al lado de los Verdes pero no de los Grises; los Azules no viven al lado de los Grises. ¿Quiénes son los vecinos de los Grises? a) Los Verdes.

b) Los Azules.

c) Los Rojos.

d) Los Grises.

e) Los Amarillos.

26. 26. Tomás, Pedro, Jaime, Susana y Julia realizaron un test. Julia obtuvo mayor puntuación que Tomás, Jaime puntuó más bajo que Pedro pero más alto que Susana, y Pedro logró menos puntos que Tomás. ¿Quién obtuvo la puntuación más alta? a) Jaime.

b) Julia.

c) Pedro.

d) Susana.

e) Tomás.

126 27. 27.

El tío Ramón lleva unos grandes bigotes. El tío Pedro, una gran barba. El tío Ernesto y el tío Manuel llevan gafas. El tío Juan y el tío Ernesto son calvos. Los personajes 2. y 5. son: a) Pedro y Ramón.

b) Manuel y Juan.

d) Juan y Ernesto.

e) Ramón y Juan.

c) Ernesto y Ramón.

28. 28. Todos los neumáticos son de goma. Todo lo de goma es flexible. Alguna goma es negra. Según esto, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) Todos los neumáticos son flexibles y negros.

b) Todos los neumáticos son negros.

c) Sólo algunos neumáticos son de goma.

d) Algunos neumáticos no son flexibles.

e) Todos los neumáticos son flexibles y algunos negros.

127 29. 29.

Pedro y Antonio llevan el sombrero igual. Jaime y Andrés también. Andrés y Pedro llevan lazos iguales. Juan y Antonio también. El que lleva el sobrero blanco es: a) Andrés.

b) Antonio.

c) Jaime.

d) Juan.

e) Pedro.

30. 30. Todas las ostras son conchas y todas las conchas son azules; además algunas conchas son la morada de animalitos pequeños. Según los datos suministrados, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) Todas las ostras son azules.

b) Todas las moradas de animalitos pequeños son ostras.

c) a) y b) no son ciertas.

d) a) y b) son ciertas las dos.

e) Ninguna de las anteriores. 31. 31.

Pepe imita a Juan en todo. Juan sólo imita a Luis en el fumar. Ernesto sólo imita a Luis en el sombrero. Juan y Felipe están de lado. Entonces el que fuma en pipa y el que fuma cigarrillo son respectivamente: a) Juan y Felipe.

b) Felipe y Ernesto.

d) Pepe y Ernesto.

e) Ernesto y Juan.

c) Luis y Juan.

128 LA SIGUIENTE EXPLICACION SIRVE DE BASE PARA RESPONDER LOS PROBLEMAS DEL 32 AL 37. 37. Un colegio debe escoger cuatro estudiantes para un concurso con otros colegios . Hay siete candidatos con iguales aptitudes: X, Y, y Z que se encuentran en el sexto curso y A, B, C, y D del quinto curso. Es requisito que sean dos del quinto curso y dos del sexto curso. También es necesario que todos los concursantes puedan trabajar entre si, pero: Los estudiantes A y B ; A y Y ; y , Z y C no pueden trabajar juntos respectivamente. 32. 32. Si el estudiante B es seleccionado y el Y eliminado, entonces el equipo debe estar integrado por: a) X, Z, A y B.

b) X, Z, D y B.

d) X, D, C y B

e) Z, C, D y B.

c) X, Z, C y B.

33. 33. Si el estudiante A es seleccionado, ¿Cuáles son los otros tres que deben ser escogidos? a) X, Y y D.

b) X, Z y D.

d) X, Z y C

e) C, Z y D.

c) X, Z y B.

34. 34. Si los estudiantes Y y Z son seleccionados, ¿Cuáles son los otros dos que deben ser escogidos? a) C y D.

b) Solamente D.

d) B y D.

e) Solamente C.

c) B y A.

35. 35. ¿Cuál de la(s) siguiente(s) frase(s) es falsa: I. Los estudiantes Y y C nunca se les selecciona juntos. II. Los estudiantes Z y B nunca se les selecciona juntos. III. Los estudiantes Z y D nunca se les selecciona juntos. a) Solamente la I.

b) Solamente la II.

d) Solamente la I y III.

e) La I, II y III.

c) Solamente la III.

36. 36. ¿Cuál de las siguientes frases es verdadera para el estudiante X: I. El estudiante X debe ser seleccionado como uno del sexto curso. II. El estudiante X debe ser seleccionado si el estudiante C lo es.

129 III. El estudiante X no puede ser seleccionado si A y B son eliminados. a) Solamente la I:

b) Solamente la II.

d) Solamente la I y la III.

e) La I, II y III.

c) Solamente la III.

37. 37. ¿Cuál de las siguientes frases debe ser siempre verdadera: I. Si X es seleccionado, B es también seleccionado. II. Si X no es seleccionado, B es seleccionado. III. Si D no es seleccionado, entonces X y Y son seleccionados. a) Solamente la I.

b) Solamente la II.

d) Solamente la II y la III.

e) La I, II y III.

c) Solamente la III.

38. 38.

Pedro y Antonio llevan el sombrero igual. Jaime y Andrés también. Andrés y Pedro llevan lazos iguales. Juan y Antonio también. Los personajes que llevan sombrero negro son: a) Andrés y Juan.

b) Antonio y Jaime.

d) Juan y Andrés.

e) Pedro y Antonio.

c) Jaime y Pedro.

Cada pregunta desde la 39 hasta la 43 está formada de un dibujo que muestra un pedazo de cartón que que se debe doblar. Las Las rectas punteadas indican los puntos donde se debe doblar. doblar. Escoja Escoja el dibujo a, b, c o d que se obtenga al doblar el cartón del dibujo. Marque a la derecha su respuesta:

39.

130 40. A

B

C

D

41.

42. A

B C

D

A B C D

43. A

B C

D

Cada pregunta desde la la 44 hasta la 49 está formada por un dibujo que muestra una caja que se debe desdoblar. Si la caja estuviera sin doblar se parece a uno de los dibujos A, B, C o D de la derecha. Escoja la letra del cartón que al doblarlo dé la caja. Marque su respuesta respuesta a la derecha.

44.

45.

A

B

C

D

131 46. A

B

C

D

A

B C

D

A

B C

D

A

B C

D

47.

48.

49.

Examine cuidadosamente cada figura, y seleccione la cantidad de bloques que existe en cada una de ella ellas s . Señale Señale su opción de las cinco que se indican.

50.

a) 70 b) 80 c) 60 d) 90 e) 40

132 51. a) 48 b) 50 c) 46 d) 56 e) 40 52. a) 32 b) 34 c) 26 d) 28 e) 30

53. a) 46 b) 48 c) 50 d) 44 e) 52

54. a) 38 b) 40 c) 36 d) 42 e) 34

133

55. a) 106 b) 112 c) 118 d) 124 e) 130

56. a) 32 b) 36 c) 34 d) 40 e) 38

57. a) 45 b) 46 c) 47 d) 48 e) 49

134 58. a) 85 b) 90 c) 95 d) 100 e) 105

Analice la secuencia y complete el número que hace falta. Elija su respuesta de las opciones mostradas. 59. 59.

3

13

4

15

5

a) 20 60. 60.

4

8

20

16

24

3

25 8

32

23

14

28

37

54

e) 27

c) 96

d) 62

e) 52

c) 31

d) 30

e) 29

c) 68

d) 72

e) 70

c) I H

d) G I

e) I G

d) A B

e) D C

c) O M

d) M O

e) O P

c) R S

d) R T

e) T U

c) C

d) D

e) E

c) O

d) Q

e) R

?

29

34

?

?

b) 69 b) K L

b) C B

c) B A

b) N O

b) S T

B D B B D D B B B ? a) A

68. 68.

25

d) 25

A C E G I K M O Q ? ? a) S U

67. 67.

31

c) 21

A B C F E D G H I L K J M ? ? a) O N

66. 66.

26

?

J I H G F E D C ? ? a) B C

65. 65.

48

7

A B D C E F H ? ? a) G H

64. 64.

40

b) 32

a) 67 63. 63.

19

b) 56

a) 33 62. 62.

6

b) 23

a) 64 61. 61.

17

b) B

T R S S Q R R P Q Q O ? a) T

b) P

135 LA SIGUIENTE EXPLICACION SIRVE PARA RESPONDER LAS PREGUNTAS QUE VIENEN A CONTINUACION: Hay tres relaciones posibles entre dos conjuntos. 1. La figura indica que uno de los conjuntos contiene completamente al otro, pero no viceversa. Es decir uno de ellos es subconjunto del otro.

2. La figura indica que ningún conjunto está completamente contenido en el otro, pero los dos tienen elementos comunes. Son conjuntos intersecantes.

3. La figura indica que los dos conjuntos no tienen elementos en común. Son conjuntos disjuntos.

136 Las preguntas de la 69 a la 78 están basada en los siguientes 5 diagramas; de los cuales se deberá escoger el que ilustra la relación entre tres conjuntos, de la mejor manera. El tamaño de los círculos no indican el tamaño relativo de los conjuntos.

A

B

C

D

E

69. 69. Zancudos, moscas, insectos. a)

b)

c)

d)

e)

c)

d)

e)

c)

d)

e)

d)

e)

70. 70. Acuerdos, acuerdos de paz, oficiales del ejército. a)

b)

71. 71. Elefantes, jirafas, mamíferos. a)

b)

72. 72. Esmeraldas, diamantes, piedras preciosas. a)

b)

c)

137 73. 73. Vehículos, motos, automóviles. a)

b)

c)

d)

e)

c)

d)

e)

c)

d)

e)

c)

d)

e)

d)

e)

d)

e)

74. 74. Atletas profesionales, científicos jóvenes, profesionales. a)

b)

75. 75. Animales, perros, seres vivos. a)

b)

76. 76. Líquidos, jugos, agua de lluvia. a)

b)

77. 77. Caricaturistas, artistas, pintores de paisajes. a)

b)

c)

78. 78. Deportistas, competidores de natación, ternos de baño. a)

b)

c)

138 Las preguntas de la 79 a la 88 están basadas basadas en los siguientes 5 diagramas; de los cuales se deberá escoger el que ilustra la relación entre tres conjuntos, de la mejor manera. El tamaño de los círculos no indican el tamaño relativo de los conjuntos.

A

B

D

C

E 79. 79. Personas, cuencanos, quiteños. a)

b)

c)

d)

e)

c)

d)

e)

c)

d)

e)

c)

d)

e)

80. 80. Equipo de emergencia, vehículos, sogas. a)

b)

81. 81. Mamíferos, gatos, gallinas. a)

b)

82. 82. Ecuatorianos, lojanos, indígenas. a)

b)

139 83. 83. Cosas de pesca, anzuelos, recompensas. a)

b)

c)

d)

e)

c)

d)

e)

c)

d)

e)

c)

d)

e)

c)

d)

e)

d)

e)

84. 84. Plantas, cactus, crisantemos. a)

b)

85. 85. Bachilleres, mujeres, ciclistas. a)

b)

86. 86. Cóndores, aves, perros. a)

b)

87. 87. Artistas, actores, aficionados. a)

b)

88. 88. Ecuatorianos, americanos, pilotas de avión. a)

b)

c)

89. 89. Seis amigos viven en un edificio, cada uno en un piso distinto. Carlos vive más abajo que Roberto, pero más arriba que David; Franco vive 3 pisos más abajo que Carlos; Andrés vive 2 pisos más arriba que Carlos y a 4 pisos de Enrique. El tercer piso lo ocupa: a) Roberto

b) David

c) Franco

d) Carlos

e) Enrique

90. 90. Seis ovejas tardan en saltar una cerca 6 minutos. Si las ovejas están igualmente espaciadas. ¿ Cuántas ovejas saltarán en una hora ? a) 60

b) 40

c) 51

d) 46

e) 48

91. 91. En una carrera de caballos participaron 5 de estos veloces animales: Jet, Trueno, Galaxia, Expreso y el favorito Láser. Se sabe que no llegaron a la meta más de uno a la vez, además se sabe que Expreso llegó después de Jet y Galaxia; Trueno llegó entre los 3 primeros puestos. El favorito no defraudó. Galaxia llegó a la meta antes que Trueno, por una nariz. Los últimos tres lugares los ocuparon respectivamente: a) Trueno, Galaxia, Expreso

b) Jet, Expreso, Galaxia

d) Expreso, Jet, Tueno

e) Galaxia, Trueno, Expreso

c) Trueno, Jet, Expreso

140 92. 92. Tres niños: Andrés, Beto y Toño tienen 5 caramelos, 3 caramelos y 2 caramelos. Beto le dice al que tiene 3 caramelos, que el que tiene 2 caramelos es simpático. El que tiene 3 caramelos le pregunta a Toño, por su estado de ánimo. a) Andrés 5, Beto 3, Toño 2.

b) Andrés 3, Beto 5, Toño 2.

d) Andrés 5, Beto 2, Toño 3.

e) Andrés 2, Beto 3, Toño 5.

c) Andrés 2, Beto 5, Toño 3.

93. 93. Las fachadas de los edificios, en una calle, tienen 8 ventanas y 2 puertas. Si en la calle hay 8 edificios en cada acera, ¿ Cuántas ventanas más que puertas hay ? a) 128

b) 72

c) 24

d) 48

e) 96

94. 94. Las hermanas Rosa, Juana y Roberta van de compras y deciden comprar el mismo modelo de vestido pero de colores diferentes, rojo, azul y verde. Juana dice: El verde no va con mis zapatos, Rosa dice: El azul me hace ver más delgada. Entonces podemos decir que: a) Rosa llevó el rojo

b) Roberta lleva el verde

d) Roberta lleva el rojo

e) Rosa lleva el verde

c) Juana lleva el verde

95. 95. Cuatro ovejas tardarán en saltar una cerca en 4 minutos. Si las ovejas están igualmente espaciadas. ¿ Cuántas ovejas saltarán en una hora ? a) 60

b) 45

c) 46

d) 50

e) 55

96. 96. Tengo una caja azul con 8 cajas rojas dentro y 3 cajas verdes dentro de cada una de las rojas, el total de cajas es: a) 33

b) 23

c) 43

d) 19

e) 30

97. 97. Cuatro hermanos viven en un edificio de 4 pisos. Arturo vive en el primer piso, Mario vive más abajo que Jorge y Willy vive en el piso inmediatamente superior a Mario. ¿ En qué piso vive Willy ? a) En el primer piso.

b) En el segundo piso.

d) En el cuarto piso.

e) Faltan datos.

c) En el tercer piso.

98. 98. Mario, Luis e Iván viven en 3 ciudades diferentes: Quito, Ambato y Cuenca estudiando una carrera distinta: Educación, Derecho e Ingeniería. Si se sabe que: Mario no vive en Ambato. Luis no vive en Cuenca. El que vive en Ambato no estudia derecho. Quien vive en Cuenca estudia ingeniería. Luis no estudia educación. ¿ Dónde vive Iván y que estudia ?

141 a) Quito - ingeniería

b) Quito – Educación

d) Ambato – educación

e) Cuenca – derecho.

c) Quito – derecho

99. 99. En el planeta X, Dios se escribe FKQU, entonces BESO se escribirá: a) CGTP

101.

b) BFUQ

c) DGUQ

d) CFTP

e) APRN

En un determinado mes existen 5 jueves, 5 viernes y 5 sábados. Hallar el día de la semana que

cae 25 de dicho mes. a) jueves

b) lunes

c) domingo

d) viernes

e) martes

101. 101. En una fábrica trabajan tres padres y tres hijos, ¿ Cuál es el menor número de personas que pueden trabajar en esa fábrica ? a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

102. 102. Tres amigos: Fernando, Julio y Luis, tienen cada uno un animal diferente. Se sabe que: Fernando le dice al dueño del gato que el otro amigo tiene un canario. Julio le dice al dueño del gato que su mascota y el perro pelean siempre. ¿ Qué animal tiene Julio y quién es el dueño del perro ? a) perro – Julio

b) perro – Fernando

d) gato – Luis

e) canario – Fernando.

c) canario – Luis

103. 103. Con un alambre de 60 cm se construye un tetraedro regular. Calcular la velocidad de desplazamiento de una arañita que tarda como mínimo 7 minutos en recorrer todas las aristas del tetraedro ( en cm / min ). a) 8

b) 9

c) 10

d) 11

e) 12

104. 104. Pedro no vive junto a Iván; Alberto no vive junto a Víctor, Víctor no vive junto a Pedro. Si los cuatro viven en la misma calle y en la misma acera. ¿ Quiénes viven en el centro ? a) Alberto e Iván

b) Iván y Pedro

d) Juan y Víctor

e) Faltan datos.

c) Pedro y Alberto

105. 105. Se pintan las caras de un cubo, se corta hasta obtener 64 cubitos. ¿ Cuántos cubitos tendrán ninguna cara pintada ? a) 8

b) 16

c) 4

d) 12

e) 0

142

106. 106. Martha compró q kilogramos de pan a q dólares el kilogramo y además compro 25 dólares de mantequilla. Cuantos kilogramos de pan compró si en total pago 106 dólares. a) 4,24

b) 8,48

c) 9

d) 7

e) Ninguna de las anteriores

107. 107. El costo de energía para preparar una comida para tres familias es de $24. La familia A pone cinco leños, la familia B pone 3 leños, la familia C no poneleños, y se prepara la comida, entonces la familia C entrega $ 8 para que serepartan entre las que pusieron los leños, con el objeto de que el costo seaigual para cada familia. Entonces: a) A recibe $ 5 y B recibe $ 3

b) A recibe $ 6 y B recibe $ 2

d) A recibe $ 3 y B recibe $ 5

e) Ninguna de las anteriores.

c) A recibe $ 7 y B recibe $ 1

108. 108. Al preguntarle a un postulante qué parte del examen ha contestado éste responde: he contestado los 4/5 de lo que no contesté. ¿Qué parte del examen ha contestado?

a) 4/9

b) 1/5

c) 1/9

d) 5/9

e) Ninguna de las anteriores

109. 109. Tres muchachos están escalando un cerro. Jaime se encuentra más arriba que Antonio y Milton se encuentra arriba de Jaime. ¿Cuál de los muchachos se encuentra en el segundo lugar? a) Jaime

b) Antonio

c) Milton

d) Ninguno

e) Ninguna de las anteriores

110. 110. Un soldado raciona su agua para 10 días. Después de 4 días le dicen que debe hacer alcanzar el agua para 8 días más. ¿En qué porcentaje debe disminuir su ración de agua ? a) 80 %

b) 75 %

c) 50 %

d) 25 %

e) Ninguna de las anteriores

111. 111. Cuatro chicos son enviados al director del colegio por indisciplinados en clase. Para esperar su castigo tienen que esperar en fila ante la puerta del despacho, ninguno quiere ser el primero desde luego. Los niños se llaman Andrés, Benito, Carlos y Daniel (los llamaremos A, B, C y D). Queremos escribir todos los órdenes posibles, por ejemplo: Para el orden ABCD, 1, 2, 3 y 4 respectivamente escribimos ABCD, ¿Cuantas formas diferentes hay en total? a) 6

b) 12

c) 18

d) 24

e) Ninguna de las anteriores

112. 112. En una urna hay tres bolas numeradas con los dígitos 2, 4 y 7 extraemos una bola de la urna y anotamos su número, sin devolver la bola extraída, se extrae una segunda bola y se

143 anota su número y sin devolverla se saca la tercera bola y se anota su número. ¿Cuántos números de tres cifras diferentas podemos obtener? Ejemplo el número 724 a) 4

b) 6

c) 12

d) 8

e) Ninguna de las anteriores

113. 113. Disponemos de 5 cartas cada una de ellas tiene grabado una letra A, B, C,C y C ¿De cuantas formas diferentes se puede colocar las cartas en la mesa formando una hilera, una al lado de la otra? Ejemplo ACBCC. a) 4

b) 6

c) 8

d) 12

e) Ninguna de las anteriores

114. 114. Una maestra tiene que elegir tres estudiantes para borrar la pizarra. Para ello dispone de cinco voluntarios: Elisa, Fernando, Germán, Jorge y María. ¿De cuantas formas puede elegir tres de esos alumnos? Ejemplo: Elisa, Fernando y María. a) 15

b) 10

c) 5

d) 20

e) Ninguna de las anteriores

115. 115. María y Carmen tienen cuatro cromos numerados de 1 a 4. Deciden repartírselos entre las dos (dos cromos para cada una) ¿De cuantas formas se pueden repartir los cromos? Ejemplo: María puede quedarse con los cromos 1 y 2 y Carmen con los cromos 3 y 4 a) 6

b) 12

c) 18

d) 24

e) Ninguna de las anteriores

116. 116. La nota media conseguida en una clase de 20 alumnos ha sido de 6. Ocho alumnos han suspendido con un 3 y el resto superó el 5. ¿Cuál es la nota media de los alumnos aprobados? a) 6

b) 7

c) 8

d) 7,5

e) Ninguna de las anteriores

117. 117. De cuatro corredores de atletismo, se sabe que C ha llegado inmediatamente detrás de B, y D ha llegado en medio de A y C. El orden de llegada es: a) ABCD

b) CBDA

c) ADCB

d) BDCA

e) Ninguna de las anteriores

118. 118. Tenemos cuatro perros: un galgo, un dogo, un alano y un podenco. Éste último come más que el galgo; el alano come más que el galgo y menos que el dogo, pero éste come más que el podenco. Es más barato mantener a: a) Galgo

b) Dogo

c) Alano

d) Podenco

e) Ninguna de las anteriores

144 119. 119. Ana, Beatriz y Carmen. Una es tenista, otra gimnasta y otra nadadora. La gimnasta, la más baja de las tres, es soltera. Ana, que es suegra de Beatriz, es más alta que la tenista. La que practica gimnasia es: a) Ana

b) Beatriz

c) Carmen

d) Luisa

e) Ninguna de las anteriores

120. 120. Ana, Beatriz y Carmen. Una es tenista, otra gimnasta y otra nadadora. La gimnasta, la más baja de las tres, es soltera. Ana, que es suegra de Beatriz, es más alta que la tenista. La que practica tenis es: a) Ana

b) Beatriz

c) Carmen

d) Luisa

e) Ninguna de las anteriores

121. 121. Un recipiente con 10 litros de agua contiene 15 gramos de sal común, semezcla con otro recipiente con 15 litros de agua con 10 gramos de sal común,un litro de la nueva solución contiene: a) 2,5 gramos de sal

b) 1,5 gramos de sal

c) 1 gramos de sal

d) 2 gramos de sal

e) Ninguna de las anteriores

122. 122. Un hombre que quería comprar unos cigarrillos que costaban 100 centavos, entregó al vendedor un billete de 10 dólares, éste no tenía cambio y cambió el billete en la tienda de comestibles de al lado, y le devolvió a su cliente 9 dólares. Una vez que éste se hubo marchado, apareció el tendero, alegando que el billete de 10 dólares era falso y al vendedor no le quedo más remedio que restituirle su dinero. ¿Cuánto perdió el vendedor? a) 9 dólares

b) 1 dólares

c) 10 dólares

d) 11 dólares e) Ninguna de las anteriores

123. 123. Un hombre tiene en su poder 9 monedas de oro. Sabe que una de las monedas no pesa lo suficiente. Utilizando una balanza provista de dos platillos, y un fiel que indica únicamente la igualdad de peso de ambos platillos. ¿Cuántas veces tiene que pesar como mínimo las monedas para descubrir la que pesa menos? a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) Ninguna de las anteriores

124. 124. Pedro compro 4 botellas de cerveza ordinaria y José sólo una de cerveza tipo Pilsen. Ésta última costo dos veces más que una botella de cerveza ordinaria. Francisco no compro nada, pero aportó 50 pesetas, que se utilizaron para sufragar los gastos totales. Si las 50 pesetas de Francisco bastaron para pagar su parte, ¿Cuanto costo la botella de cerveza tipo Pilsen? a) 75

b) 30

c) 50

d) 46

e) Ninguna de las anteriores

145 En las preguntas 12 125 a 12 127 proceda de acuerdo al ejemplo que ha Continuación se expone: Inserte en el espacio correspondiente, el número que falta:

Ejemplo:

Respuesta 12

125 125. Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:

a) 12

b) 3

c) 10

d) 1

e) Ninguna de las anteriores

126. 126. Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:

a) 1

b) 2

c) 4

d) 3

e) Ninguna de las anteriores

127. 127. Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:

a) 11

b) 9

c) 13

d) 10

e) Ninguna de las anteriores

146

En las preguntas 12 128 a 13 135 inserte el número que falta en el espacio correspondiente. La misma regla aritmética vincula cada uno de los números de abajo con el correspondiente de arriba. Ejemplo: Inserte en el espacio correspondiente, el número que falta:

El número que falta es el 5, puesto que el número de las casillas inferiores superan en uno a los de las casillas superiores. 128. 128. Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:

a) 4

b) 10

c) 6

d) 2

e) Ninguna de las anteriores

129. 129. Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:

a) 11

b) 3

c) 6

d) 9

e) Ninguna de las anteriores

130. 130. Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:

a) 12

b) 14

c) 16

d) 19

e) Ninguna de las anteriores

131. 131. Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:

a) 18

b) 22

c) 32

d) 20

e) Ninguna de las anteriores

132. 132. Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:

a) 16

b) 17

c) 23

d) 12

e) Ninguna de las anteriores

147 133. Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:

a) 25

b) 14

c) 22

d) 38

e) Ninguna de las anteriores

134. 134. Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:

a) 7

b) 9

c) 11

d) 13

e) Ninguna de las anteriores

135. 135. Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:

a) 15

b) 13

c) 18

d) 21

e) Ninguna de las anteriores

En la resolución de los ejercicios 136 a 145 se debe insertar el número que corresponda según la relación aritmética aritmética existente entre ellos. Ejemplo: Inserte el número que corresponda: 7 9 13 ___ 37 Las cifras van incrementando primero en 2 luego en 4 posteriormente en 8, en 16 y así sucesivamente, por lo tanto se inserta el número 21. 136. 36. Complete la serie: a) 49

1, 7, 21, 35, 35, ___

b) 21

137. 37. Complete la serie: a) 12

c) 42 c) 9

138. 138. Inserte el número que corresponda b) 55

5

2 3

b) ─1

1 3

c) ─1

b) 50 b) 18 b) 26

2 3

2

2

a) 10

c) 7

25

40

1 3

3

1

─

12

8

16

32 7

d) 8

14

16

6

___

e) Ninguna de las anteriores 23

d) 28 ____ 11

____ e) Ninguna de las anteriores

14 16

___ e) Ninguna de las anteriores

d) 22 11

1 3

1 3

7

___ e) Ninguna de las anteriores

d) 57

8 5

2

d) ─2

c) 32

143. 143 Qué término falta b) 9

15

2 3

c) 4

142. 142. Hallar el término que continua a) 30

3

c) 54

141. 41. Inserte el número que corresponda a) 20

e) Ninguna de las anteriores

d) 75

140. 140. Inserte el número que corresponda a) 48

d) 10 10

c) 65

139. 139. Inserte el número que corresponda a) ─

e) Ninguna de las anteriores

1, 3, 6, ___, 15

b) 8

a) 60

d) 56

____ e) Ninguna de las anteriores

17 e) Ninguna de las anteriores

148 144. 144. Qué término continua

5

a) 38

c) 49

b) 40

8

145. 145. Qué término continua

1 2

a) 6

c) 7

b) 5

a) M

c) Ñ C

a) N

c) Ñ H

a) U

c) Y

b) P

2

D

147. 147. Qué letra continua 148. 148. Qué letra continua

27 ____

G

L

I

e) Ninguna de las anteriores

L ____ d) M

Ñ

e) Ninguna de las anteriores

K ____ d) O

F

e) Ninguna de las anteriores

4 ____ d) 8

B

b) O

18

d) 48

1

146. 146. Qué letra continua b) N

12

e) Ninguna de las anteriores

R ____ d) V

e) Ninguna de las anteriores

149. 149. En un corral hay gallinas y conejos, el número de patas es 14 más 2 veces el número de cabezas. ¿ Cuántos conejos hay ? a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) Ninguna de las anteriores.

150. 150. Pepe dice: “ Yo tengo tantas hermanas como hermanos “; pero Bertha hermana de Pepe dice: “ Tengo la mitad de hermanas que de hermanos “. ¿ Cuántos son en total ? a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) Ninguna de las anteriores

151. 151. Al comprar cuatro artículos, se paga por cada uno un número entero de dólares diferentes en cada caso; si el artículo de menor precio costó $ 3 y en total se pagó $ 19. ¿ Cuánto costó el artículo de mayor precio ? a) $ 7

b) $ 6

c) $ 5

d) $ 4

e) Ninguna de las anteriores

152. 152. Si Luisa ama a Timo, entonces: a) Timo ama a Luisa

b) Timo no ama a Luisa

d) Timo y Luisa se aman

e) Luisa no ama a Timo

c) Timo es amado por Luisa

153. 153. No hay perro que pueda cantar, pero algún perro puede hablar, siendo asi: a) Algún perro puede cantar

b) Ningún perro puede cantar

d) Los perros son caninos

e) Los perros son carnívoros

c) Ningún perro puede hablar

154. 154. Sólo los pájaros tienen plumas. ¿ Cuál es, pues, entre las afirmaciones que siguen, la exacta ? a) Las culebras no tienen plumas

b) Los pájaros cambian de plumas

c) Todas las plumas son ligeras

d)

Algunos pájaros tienen plumas

e) Ninguna de las anteriores 155. 155. Si X es perpendicular a Z, Y será paralela a Z, luego:

149 a) X es paralela a Z

b) X se opone a Z

c) Z no se opone a Y

d) Y es perpendicular a X

e) Ninguna de las anteriores.

156. 156. Si X es igual a Y ; Y es diferente que Z, luego Z y X serán: a) Iguales

b) Diferentes

c) Z es mayor

d) X es mayor

e) Ninguna de las anteriores.

157. 157. En una fiesta hay dos padres y dos hijos y un nieto. ¿ Cuántas personas como mínimo se encuentran en la reunión ? a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

158. 158. Seis amigas viven en un edificio de 3 pisos, en el cual hay dos departamentos por piso, si se sabe que: Sara y María viven en el mismo piso. La casa de Ana se encuentra más abajo que la de María. Para ir a la casa de Julia y a la de Pachy hay que bajar dos pisos. ¿ Cuál de las siguientes es la proposición falsa ? a) Pachy no vive en el segundo piso

b) Ana vive más abajo que Sara

c) Ana y Adela no viven en el mismo piso

d) Sara vive en el tercer piso

e) María no vive en el segundo piso 159. 159. Si el pasado mañana de ayer es jueves. ¿ Qué día será el anteayer del ayer de mañana ? a) Domingo

b) Lunes

c) Martes

d) Miércoles

e) Sábado

160. 160. Tres amigos: Jorge, Orlando y Ricardo viven en las casas A, B y C , y tienen cada uno un auto; azul, verde y rojo, no necesariamente en ese orden. Se sabe además que: Nadie tiene su auto estacionado frente a su casa. Ricardo es dueño del auto verde y de la casa C. El auto rojo esta frente a la casa B. El auto verde está frente a la casa de Orlando. ¿ Quién es el dueño del auto que está frente a la casa del dueño del auto azul ? a) Jorge

b) Orlando

c) Ricardo

d) Javier

e) No se puede determinar.

161. 161. Paco saca su billetera, observa una foto y piensa: “ El padre de este hombre ( el de la foto ) es el único hijo de mi padre “. ¿ Quién es la persona de la foto ? a) El padre de Paco

b) Paco

c) El hijo de Paco

d) El nieto de Paco

e) No se

puede determinar. 162. 162. Los pesos de 4 paquetes son M , N , P y Q , y se sabe que: M < N < P < Q. ¿ Cuál de las siguientes alternativas podría ser verdadera ? a) M + P = Q + N

b) M + N = P + Q

c) M + N + Q = P

d) N + P = M

e) M + Q = N + P

163. 163. ¿ Cuántas bisabuelas tuvo mi abuela ? a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 8

164. 164. En una reunión se encuentran presentes un bisabuelo y 3 padres, 4 hijos, 3 nietos, 2 bisnietos y 2 hermanos. Cada uno lanza tres dados y obtienen entre todas 28 puntos. Si todos excepto el bisabuelo,

150 obtuvieron el mismo valor cada uno y la cantidad de personas reunidas es la mínima. ¿ Cuál es el máximo valor que puede obtener el bisabuelo ? a) 16

b) 18

c) 20

d) 22

e) No se puede determinar.

165. 165. Cuatro amigas van al cine y encuentran una fila de seis butacas vacías numeradas del 1 al 6. Alicia eligió una butaca con numeración mayor en 2 unidades que la de Bety. Daniela eligió la butaca con un número impar mayor que la de Alicia. ¿ Cuánto suman los números de las butacas que quedarán vacías en esa fila ? a) 10

b) 9

c) 8

d) 7

e) No se puede determinar.

166. 166. Cuatro amigas van al cine y encuentran una fila de seis butacas vacías numeradas del 1 al 6. Alicia eligió una butaca con numeración mayor en 2 unidades que la de Bety. Daniela eligió la butaca con un número impar mayor que la de Alicia. ¿ Cuánto suman los números de las butacas que ocupan Daniela y Bety en esa fila ? a) 10

b) 9

c) 8

d) 7

e) No se puede determinar.

167. 167. Abel, Beto, Paco y Pocho tienen $4, $6, $10 y $11, no necesariamente en ese orden. Se sabe que: Abel no tiene $4, ni Paco $6. Beto no tiene $11, ni tampoco $6. Abel y Beto juntos tienen $21. ¿ Cuánto tienen juntos Beto y Pocho ? a) 10

b) 13

c) 16

d) 19

e) No se puede determinar.

168. 168. En un almuerzo estaban presentes: Padre, madre, tío, tía, hermano, hermana, sobrino, sobrina y 2 primos. ¿ Cuál es el menor número de personas presentes ? a) 2

b) 4

c) 8

d) 9

e) No se puede determinar.

169. 169. Una señora le muestra la foto de un hombre a su hija y le dice: “ La medre de ese hombre es la suegra de mi marido “. ¿ Qué viene a ser la hija de la señora, del hombre de la foto ? a) Su hija

b) Su sobrina

c) Su nieta

d) Su nuera

e) Su hermana

170. 170. Ana es mayor que Katy. Silvia es menor que Julia, quién es menor que Ana. Katy es menor que Silvia. ¿ Quién es la mayor ? a) Katy

b) Ana

c) Silvia

d) Julia

e) No se puede determinar.

171. 171. La ciudad X tiene más habitantes que la ciudad A. La ciudad A tiene menos habitantes que la ciudad Y, pero más que la ciudad Z. Si X tiene menos habitantes que Y, ¿ Qué ciudad tiene menos habitantes ? a) X

b) Y

c) Z

d) A

e) No se puede determinar.

172. 172. En una carrera compiten 5 amigos: Antonio llegó antes que Armando, quien llegó en cuarto lugar. Si Arsesio llegó inmediatamente después que Angel, Arsesio llegó después que Antonio y Angel llegó antes que Ernesto. ¿ Quién llegó en segundo lugar ? a) Antonio

b) Angel

c) Arsesio

d) Armando

e) Ernesto

173. 173. El volcán Temboro está ubicado al Este del Krakatoa. El volcán Singapur al Oeste del Krakatoa. El Sumatra a su vez ésta ubicado al Oeste del Singapur. ¿ Cuál es el volcán ubicado más al Este ? a) Krakatoa

b) Singapur

c) Sumatra

d) Temboro

e) No se puede determinar.

174. 174. Se tiene un edificio de seis pisos en el cuál viven seis personas A , B , C , D , E y F ; cada una en un piso diferente. Si se sabe que: E vive adyacente a C y B. Para ir de la casa de E a la de F hay que bajar 3 pisos. A vive en el segundo piso. ¿ Quién vive en el último piso ?

151 a) A

b) B

c) C

d) D

e) E

175. 175. Ocho estudiantes de diversas aulas de la facultad de Ingeniería, van al comedor, se sientan en una mesa circular guardando la misma distancia entre sí: El del 110 está frente al del 121 y es el único en medio del 112 y 122. El del 124 está a la izquierda del de 121 y frente al del 112.

Frente al del 122

está el del 113, éste a su vez está a la izquierda del de 123. ¿ Cuál de ellos está entre los estudiantes del 104 y 121 ? a) 113

b) 112

c) 123

d) 124

e) Ninguno de los anteriores.

176. 176. Cuatro hermanos: Ana, Pachy, Susy y Paulo, para hacer sus tareas se sientan alrededor de una mesa circular con 4 sillas igualmente separadas entre si. Sabemos que: Pachy se sienta a la derecha de Susy. Los hermanos cuyos nombres tienen la misma cantidad de letras no se sientan juntos. ¿ Quién está sentado frente a Paulo ? a) Pachy

b) Ana

c) Susy

d) Polo

e) No se puede determinar.

177. 177. Adolfo es mayor que Alfonso; Aniceto es menor que Alonso y Alfonso es más viejo que Alonso. ¿ Quién posee más dinero, si está en relación directa con las edades ? a) Alfonso

b) Adolfo

c) Aniceto

d) Alonso

e) No se sabe.

178. 178. Ana, Aurora, Elcira y Bety viven en cuatro casas contiguas: Ana está al este de Elcira. Aurora no está al oeste de Bety, Ana vive muy al lado de Bety y Elcira. ¿ Quién vive en el extremo derecho ? a) Aurora

b) Elcira

c) Aurora o Elcira

d) Bety

e) No se sabe.

179. 179. se tiene en una urna, 4 bolas negras, 6 bolas blancas y 5 bolas azules. ¿ Cuántas bolas deberán extraerse como mínimo, para tener la certeza de tener dos bolas negras ? a) 10

b) 13

c) 16

d) 19

e) No se puede determinar.

180. 180. Se tienen 50 bolos numerados desde el 1 hasta el 50. ¿ Cuántos bolos, como mínimo, se deben extraer al azar para tener la certeza de extraer 5 bolos pares, mayores de 30 ? a) 40

b) 30

c) 45

d) 35

e) No se puede determinar.

181. 181. Se tienen 10 candados con igual número de llaves. ¿ Cuántos insertos como mínimo se deben realizar para determinar la correspondencia entre llaves y candados ? a) 40

b) 45

c) 50

d) 55

e) No se puede determinar.

182. 182. Se tiene un mazo de 52 cartas. ¿ Cuántas barajas, como mínimo, se deben extraer al azar, para tener la certeza de extraer 5 tréboles y 10 espadas ? a) 52

b) 51

c) 50

d) 49

e) No se puede determinar.

183. 183. se tiene un mazo de 52 cartas. ¿ Cuántas barajas, como mínimo, se deben extrae al azar, para tener la certeza de extraer 2 ases ? a) 52

b) 51

c) 50

d) 49

e) No se puede determinar.

184. 184. En una caja hay 5 pares de zapatos negros y 4 pares de zapatos cafés. ¿ Cuántos zapatos hay que extraer para obtener un par útil del mismo color ? a) 10

b) 18

c) 8

d) 16

e) No se puede determinar.

185. 185. En cierto depósito se tienen 3 pares de guantes rojos y 3 pares de guantes negros. ¿ Cuántos guantes deben extraerse al azar para obtener con seguridad un par de guantes útiles de color negro ? a) 8

b) 10

c) 6

d) 12

e) No se puede determinar.

152 186. 186. En un cajón se tienen guantes de box: 3 pares de guantes rojos, 4 pares de guantes negros y 2 pares de guantes blancos. “ Tyson “ desea tener un par de guantes usables del mismo color. ¿ Cuántos guantes debe extraer al azar y como mínimo para tener con certeza lo que quiere ? a) 20

b) 16

c) 12

d) 10

e) No se sabe.

187. 187. Una caja contiene 12 canicas rojas, 13 verdes y 9 azules. ¿ Cuál es el mínimo número de canicas que se debe extraer al azar para tener la certeza de haber extraído entre ellas tres canicas de diferentes colores ? a) 20

b) 30

c) 26

d) 36

e) No se puede determinar.

188. 188. En una caja hay 4 cubos rojos, 3 cubos blancos y 2 cubos negros. ¿ Cuál es el menor número de cubos que deben extraerse, para tener la seguridad de haber tomado un cubo blanco ? a) 10

b) 9

c) 8

d) 7

e) No se puede determinar.

189. 189. Una familia está formada por los padres y cuatro hijos . Dos son hijos de padre y madre, uno es solo hijo de padre y el otro solo de la madre.

Dos de los abuelos (as) , han fallecido.

¿ Cuál es el mínimo

número de abuelos vivos ? a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 8

190. 190. ¿ Qué es respecto a mi el abuelo materno del mellizo de Adrián, si la madre de Adrián es la hermana de mi hermano gemelo ? a) Abuelo

b) Hijo

c) Tío

d) Padre

e) Yerno

191. 191. En una familia se notan 2 esposos, 2 hermanos, 3 sobrinas y 3 hermanas. ¿ Al menos, cuántas personas conforman esta familia ? a) 10

b) 8

c) 6

d) 4

e) No se puede determinar.

192. 192. Mi nombre es Daniel. ¿ Qué parentesco tiene conmigo el tío del hijo de la única hermana de mi padre ? a) Mi Abuelo

b) Mi Hijo

c) Mi Tío

d) Mi Padre

e) No se puede determinar.

193. 193. Si el hijo de Manuel es el padre de mi hijo. ¿ Qué parentesco tengo con Manuel ? a) Mi Abuelo

b) Mi Suegro

c) Mi Tío

194. Se dan para multiplicar 24 y 30 .

d) Mi Cuñado

e) No se puede determinar.

Si el multiplicando se hace 5 veces, ¿ Cuántas unidades es

preciso restar al multiplicador para que el producto no varíe ? a) 24

b) 12

c) 6

d) 4

e) No se puede determinar.

195. Se han de repartir 160 caramelos entre 45 niños de un salón, dándole tres caramelos a cada varón y cuatro a cada niña. ¿ El número de niñas que hay en el salón, es ?: a) 12

b) 15

c) 40

d) 25

e) No se puede determinar.

153

RESUMEN TEORICO CANTIDAD ESCALAR.- o simplemente escalar es una magnitud que no tiene nada que ver con direcciones espaciales. Muchos conceptos fiscos tales como longitud, tiempo, temperatura, masa, densidad carga eléctrica y volumen son escalares; cada una tiene una escala o tamaño (valor), pero no tiene asociada una dirección. El número de estudiantes en la clase, la cantidad de azúcar en una taza de café, el costo de una casa o de cualquier otro objeto son ejemplos familiares de escalares. Los escalares se especifican mediante números ordinarios y se suman y restan de acuerdo a las propiedades de los números reales. VECTOR O CANTIDAD VECTORIAL.El vector es una representación gráfica de una magnitud física vectorial, el cual es definida a partir de tres de sus componentes: Módulo: Valor de un vector que determina el tamaño de este. Es decir, a mayor valor del vector (módulo) mayor será su tamaño en una representación gráfica. Sentido: Esta definido según “hacia donde apunte la flecha del vector”. Si bien existe una relación estrecha entre sentido y dirección de un vector, estos términos poseen significados distintos. Dirección: la dirección de un vector está definido por el ángulo existente entre las líneas de acción del vector y la línea de referencia. Está última es determinada en forma arbitraria por quién está desarrollando el análisis vectorial.

Varios conceptos físicos como desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, momento, campo eléctrico son cantidades vectoriales. Una cantidad vectorial puede ser representada geométricamente mediante una flecha dibujada a escala. La longitud de la flecha es proporcional a la magnitud de la cantidad vectorial (2 cm, 20 N, 40 km/h). La dirección de la flecha indica la dirección de la magnitud vectorial.

r

En material Impreso los vectores se representa mediante negrita, A; B, F; P o también como A , etc. Los vectores no quedan completamente especificados hasta que no se establezca la regla para su comportamiento. LA RESULTANTE O SUMA DE VECTORES.- de un tipo particular (vectores de fuerza, de velocidad de momento, por ejemplo) es un vector simple que tiene el mismo efecto o resultado de todos los vectores originales tomados conjuntamente.

154 METODO GRAFICO DE ADICION.-

r

r r r

1. (METODO POLIGONAL).- Este método es para encontrar la resultante R de algunos vectores ( A, B , C ) y consiste en ir uniendo consecutivamente el inicio de un vector con el final del otro, respetando las escalas y las direcciones. El orden de la suma puede ser cualquiera

r r r r r r r A+ B + C = C + A+ B = R

La resultante queda representada por una flecha con su extremo inicial coincidiendo con el extremo inicial del primer

r

vector que se va a sumar y la punta final coincidiendo con la punta final del último vector que se sumo. Si R es la

r

resultante, R = R es el tamaño o magnitud de la resultante. Ejemplo: Sea los siguientes vectores con sus módulos en centímetros. El bosquejo muestra la obtención del vector resultante para la operación de álgebra de vectores:

2. METODO DEL PARALELOGRAMO.- La resultante de dos vectores actuando bajo cualquier ángulo se puede representar por la diagonal de un paralelogramo. Los dos vectores son dibujados como lados del paralelogramo y la resultante es la diagonal que sale desde el origen de los dos vectores.

155 r

r

SUSTRACCION DE VECTORES.- Para sustraer el vector B del vector A hay que invertir el sentido del vector

( ) . Y en el paralelogramo es la otra

r r r r r r B , manteniendo su dirección y sumarlo al vector A , esto es A − B = A + − B

diagonal, con el sentido hacia el vector minuendo. DETERMINACIÓN DE LAS COMPONENTES DE UN VECTOR .La obtención de las componentes de un vector se puede lograr utilizando un método de cálculo. Para ello, se hace necesario utilizar las funciones trigonométricas seno (sen) y coseno (cos). Con las cuales, al multiplicar el módulo del vector (v) con las funciones coseno y seno obtenemos las componentes Rx y Ry respectivamente. Observe como las funciones coseno y seno son aplicadas sobre el ángulo θ de inclinación del vector R. Nota: Dependiendo del ángulo que posea el vector respecto a la referencia horizontal, la interpretación del signo de la componente al determinarla a través del método de cálculo está ligada con el signo que acompaña a las funciones seno y coseno al considerar los cuadrantes del plano cartesiano. Así por ejemplo, la componente en el eje X del vector R es positiva, dado que el coseno del ángulo del vector R es positivo. Otro ejemplo sería los signos negativos para ambas componentes de un vector (ubicado en el 3er cuadrante, donde el seno y coseno son negativos).

r r r r Rx = R cos θ y Ry = R sin θ ,o en forma equivalente Rx = R cos θ , Ry = Rsin θ COMPONENTES PARA LA SUMA DE VECTORES.-Cada vector se descompone en sus componentes x, y, z tomando las componentes negativas en dirección negativa. La componente escalar x de la resultante Rx, es igual a la suma algebraica de las componentes de los vectores que se están sumando, de igual manera se obtiene Ry y Rz. Cuando se conocen las componentes la magnitud de la resultante está dada por:

R = Rx2 + Ry2 + Rz2 En dos dimensiones el ángulo que forma la resultante con el eje x puede ser encontrado de la relación

tan θ =

Ry Rx

LOS VECTORES UNITARIOS .-tienen magnitud igual a uno y se representan por letras negritas, o con su respectiva flecha. Los vectores unitarios especiales i, j, k se asignan a los ejes x, y, z respectivamente. Un vector 3i representa un vector en la dirección x con magnitud igual a 3, mientras el vector -5k representa un vector en la dirección –z de

r

magnitud 5. Un vector R que tienen las componentes escalares x, y, z ,Rx, Ry, Rz, puede ser escrito como:

r r r r R = Rx i + Ry j + Rz k EL DESPLAZAMIENTO.- Cuando un objeto se mueve en el espacio de un punto a otro el desplazamiento es un vector que va desde la posición inicial a la posición final. Este es independiente de la distancia real que ha viajado el objeto.

156

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como marque el escalar, que de ser negativo cambia el sentido (ver gráfico). Partiendo de un escalar ( n ∈ R ) y de un vector , el producto de por es , es el producto de cada una de las componentes del vector por el escalar, representando el vector por sus componentes:

si lo multiplicamos por el escalar n:

esto es:

Representando el vector como combinación lineal de los vectores:

y multiplicándolo por un escalar n:

esto es:

PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES.El producto escalar de vectores se puede definir de dos maneras equivalentes, una manera algebraica, y otra geométrica. Comenzaremos con la manera geométrica, que tiene un significado intuitivo. Tomemos dos vectores vectores es:

En que

y

, y llamemos

al ángulo que ellos forman. Entonces, el producto escalar entre dichos

r r a y b corresponden a las longitudes de los vectores

y

, respectivamente. Naturalmente, debe cumplirse

que

Si usamos la representación cartesiana, se tiene que:

Es decir, se satisface el teorema de Pitágoras, conocido de nuestros estudios de geometría elemental. Indudablemente, la definición del producto escalar de vectores puede usarse para definir el ángulo entre dos vectores,

De acuerdo a la definición dada, es fácil ver que el producto escalar de dos vectores puede también definirse usando las componentes cartesianas de los vectores,

157

PRODUCTO VECTORIAL.Sean dos vectores a y b en el espacio vectorial R3. El producto vectorial entre a y b da como resultado un nuevo vector, c. Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo, dirección y sentido:

El módulo de c está dado por

c = a b senθ donde θ es el ángulo entre a y b. La dirección de c es tal que c es ortogonal a a y ortogonal a b. El sentido en el que apunta el vector c está dado por la regla de la mano derecha.

El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. Para evitar confusiones con la letra x, algunos autores denotan el producto vectorial mediante a ∧ b cuando escriben a mano. El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

r a × b = n a b senθ donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su sentido está dado por la regla del sacacorchos y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla del sacacorchos se la llama a menudo también regla de la mano derecha.

158 E J E R C I C I O S: 1. Si

a,

b,

c

representan

escalares

y

r r r A, B, C representan vectores indique cual

de las siguientes operaciones tiene sentido:

(

r r r a) a+ A + B + C b) a+b+c

( ( ( (

)

(b + B ) ( c + C ) r

c)

6. En las expresiones que se indican señale la correcta para cada resultante, de los diagramas de más abajo:

r

2. Es correcto poner

r r r r r r r r r A+ B +C = B +C + A = C + A+ B a) si

b) no

3. Los vectores se pueden sumar mediante el método del paralelogramo, polígono o por componentes. El resultado a)

a) depende del método b) no depende del método c) ninguna de las anteriores 4. En la siguiente figura se muestran dos vectores y su resultante. El valor de la resultante es:

b)

a) R = 3.6, b) R = 4.6 c) R = 5.6 d) ninguna de las anteriores 5. En la siguiente figura se dan dos vectores

c)

¿Cuál es la dirección de la resultante? 0

0

0

a) 36 b) 72 c) 100 d) ninguna de las anteriores

d)

r

)R r )R r )R r )R

r r = 46i + 39 j r r = − 0 .8 8 i + 4 .4 8 j r r = −94i − 71 j r r = 5 .7 i − 3 .2 j

159 r

7.- Para un vector A que se encuentra en el segundo cuadrante sus componentes son:

a ) Ax > 0, Ay > 0 c) Ax < 0, Ay < 0

12.-Se

r C son:

r r r A + B − 3C = 0 las

b) cx = 1.5, cy=2.8 d) cx = 1.5, cy=- 2.8

tienen

dos

vectores

r r r r r r A = 3i − 2 j , B = −i − 4 j la resultante Ry de r r la suma A + B es

d ) Ax < 0, Ay > 0 8.- Dos vectores de 6 y 9 unidades forman ángulos de: 0

componentes de a) cx = 4.5, cy=8.4; c) cx = -1.5, cy=2.8

b) Ax > 0, Ay < 0

0

cm, respectivamente. Si

0

0

a) 0 ; b)60 ;c) 90 d) 140 ;e) 180

a) Ry = 6, b) Ry = - 6, c) Ry = 2 e) ninguna de las anteriores

0

d) Ry = - 2

r

Indique entre paréntesis el valor del ángulo que corresponde a las respectivas resultantes:

13.- Un vector A tiene una magnitud de 35 0 unidades y forma un ángulo de 37 con el eje x positivo. La componente Cx del vector

r C que

r A producer un vector cuya longitud es el doble de A y apunta en la al sumarse a

( ) R = 3;

( ) R = 13.07;

( ) R=10.81

dirección negativa de y es:

( ) R = 5.85; ( ) R = 15

9.- Dados dos vectores de 8 y 6 unidades. La resultante de los vectores vale 12 unidades. El ángulo entre ellos es: 0

0

0

0

a) 35 ; b) 45 22´; c) 62 43’; d) 152 43’;

a) Cx= 28, b) Cx= -28, c) Cx= 91, d) Cx=- 91, e) ninguna de las anteriores 14.- Los vectores mostrados en la figura tienen igual magnitud. La magnitud del vector suma resultante es:

r

10.- Un vector A tiene una magnitud de 35 0 unidades y forma un ángulo de 37 con el eje x positivo. El vector que esta en la dirección

r

opuesta al de A forma un ángulo con el eje x de 0

0

0

0

0

0

a) 37 -180 b) 37 +180 c) 37 + 90

a) 0; b) 2; c) 5; d) 7 e) ninguna de las anteriores

r

11.- El vector A tiene las componentes x y y de - 8.7cm y 15 cm. respectivamente; el vector

r B tiene las componentes x y y de 13.2 y - 6.6

15.- Las figuras de abajo representan cuadrados en los cuales todos los lados son formados por vectores de módulos iguales.

La resultante del sistema de vectores es nula en la figura número. a) 1;

b) 2;

c) 3;

d) 4

e)

ninguna

de

las

anteriores

160 16.- El módulo de la suma de dos vectores es igual a la suma de sus módulos │A + B│= │A│+│B│ cuando: a) Los vectores tienen igual módulo y distinta dirección b) Los vectores son perpendiculares entre sí c) Los vectores tienen igual dirección y sentido contrario d) Los vectores tienen igual dirección y sentido e) Ninguna de las anteriores

igual a C veces el módulo del vector d) No existe la multiplicación de un escalar por un vector e) Ninguna de las anteriores

17.- La velocidad es una Magnitud Física a) Escalonada creciente o decreciente b) Discontinua c) Escalar d) Vectorial e) Ninguna de las anteriores

22.- El producto escalar de dos vectores es igual a: a) La suma de sus módulos b) Al producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman entre sí los dos vectores. c) Al producto de sus módulos por el seno del ángulo que forman entre sí los dos vectores. d) No se pueden multiplicar dos vectores e) Ninguna de las anteriores

18.- Dos desplazamientos tienen módulos iguales a 3 metros y a 4 metros respectivamente el módulo de la resultante es 7 metros cuando: a) Los dos son perpendiculares entre sí b) Siempre ya que 4+3=7 c) Tienen igual dirección y sentido d) Tienen igual dirección y sentido contrario e) Ninguna de las anteriores 19.- El producto de un escalar C > 0 por un vector da como resultado: a) Una magnitud escalar b) El valor del escalar al cuadrado c) Un vector de igual dirección y sentido con un módulo igual a C veces el módulo del vector d) No existe la multiplicación de un escalar por un vector e) Ninguna de las anteriores 20.- El producto de un escalar C < 0 por un vector da como resultado: a) Una magnitud escalar b) El valor del escalar al cuadrado c) Un vector de igual dirección y sentido contrario con un módulo

21.- La aceleración es una Magnitud Física a) Escalonada creciente o decreciente b) Discontinua c) Escalar d) Vectorial e) Ninguna de las anteriores

23.- El producto escalar de un vector por si mismo da como resultado: a) El cuadrado de su módulo b) Otro vector cuyo módulo es el cuadrado del módulo del vector que se multiplica por si mismo c) Cero d) No es posible ésta operación e) Ninguna de las anteriores 24.- El producto escalar de dos vectores de igual dirección y sentido, da como resultado: a) La suma de sus módulos b) La resta de sus módulos c) El producto de sus módulos d) Cero e) Ninguna de las anteriores 25.- El producto escalar de dos vectores de igual dirección y sentido contrario, da como resultado: a) La suma de sus módulos

161 b) c) d) e)

La resta de sus módulos Menos el producto de sus módulos Cero Ninguna de las anteriores

26.- Para que la suma de tres vectores sea cero, debe: a) Los vectores tener igual módulo b) Uno de los vectores ser cero c) Uno de los vectores tener como módulo, el módulo de uno cualquiera de los otros dos vectores y ser de dirección contraria d) Uno de los vectores tener como módulo, el módulo de la suma de los otros dos vectores y ser de dirección contraria e) Ninguna de las anteriores 27.- La suma algebraica de los módulos de dos vectores de distinta dirección es: a) Mayor que el módulo de la suma vectorial de dichos vectores b) Menor que el módulo de la suma vectorial de dichos vectores c) Igual que el módulo de la suma vectorial de dichos vectores d) Es indiferente e) Ninguna de las anteriores 28.- Si los vectores A y B forman un ángulo θ el módulo del vector │A B│ es: a)

A2 + B 2 + 2 AB cos θ

A+ B

2

b) 2 2 c) A + B d) A cosθ + Bsenθ e) Ninguna de las anteriores 29.- Si los vectores A y B forman un ángulo θ el módulo del vector │A B│ es: a)

A 2 + B 2 − 2 AB cos θ

A− B b) 2 2 c) A − B d) A cosθ − Bsenθ e) Ninguna de las anteriores 2

30.- Si el vector A indica la posición inicial de un cuerpo y el vector B la posición final del mismo, el vector traslación del cuerpo es: a) Módulo de A+B b) Módulo de A-B c)

 →

 →

 →

 →

A− B

d) B − A e) Ninguna de las anteriores 31.- Un cuerpo se traslada hacia el este 4 Km, luego hacia el oeste 8 Km y finalmente hacia el norte 3 Km. El módulo de su traslación total es: a) 15 Km b) 5 Km c) 7 Km d) No se pueden sumar vectores de distintas direcciones e) Ninguna de las anteriores 32.- Señale la operación vectorial correcta: a) A + B = A - B b) A - B = B - A c) A – B = - (B – A) d) │A + B│= A.B e) Ninguna de las anteriores 33.- Si el producto escalar de los vectores A y B es igual al producto escalar de los vectores A y C, entonces: a) Solo si B = C b) Solo si B ≠ C c) Puede ser B = C ó B ≠ C d) No tiene relación e) Ninguna de las anteriores 34.- Si la suma de los vectores A y B es igual al Vector C y la suma del módulo de A más el módulo de B es igual al módulo de C, entonces: a) Los vectores A y B son perpendiculares entre Sí b) Los vectores A y B son paralelos y de sentido contrario

162 c) Los vectores A y B son paralelos y del mismo sentido d) No se da ese caso e) Ninguna de las anteriores 35.- Si el módulo de la suma vectorial de A y B es igual al módulo de A – B entonces los vectores A y B son: a) Los vectores A y B son perpendiculares entre Sí b) Los vectores A y B son paralelos y de sentido contrario c) Los vectores A y B son paralelos y del mismo sentido d) No se da ese caso e) Ninguna de las anteriores 36.- Si el vector B es igual al producto de una constante K por el vector A entonces B es: a) Los vectores A y B son perpendiculares entre Sí b) Los vectores A y B son paralelos y de sentido contrario c) Los vectores A y B son paralelos y del mismo sentido d) No se da ese caso e) Ninguna de las anteriores 37.- Se está probando un automóvil en una pista circular de radio R. El módulo del vector desplazamiento después de haber completado media vuelta es: a) π R b) 2 R 2R c) 2 d) R e) Ninguna de las anteriores

38.- Se está probando un automóvil en una pista circular de radio R. El módulo del vector desplazamiento después de haber completado una vuelta es: a) π R b) 2 R 2R c) d) Cero

e) Ninguna de las anteriores 39.- Una magnitud Física es vectorial cuando para su plena determinación es necesario conocer: a) El valor numérico de la magnitud b) El valor numérico, su dirección y su sentido c) Su valor funcional en dependencia del tiempo d) Su valor funcional en dependencia de la trayectoria e) Ninguna de las anteriores 40.- Cuando se suman más de dos vectores de distintas direcciones y su resultado es cero se obtiene: a) Una figura geométrica abierta b) Un polígono cerrado c) Una recta d) No se pueden sumar vectores de distintas direcciones e) Ninguna de las anteriores 41.-Dos vectores de la misma naturaleza poseen módulos A = 6 y B = 10, formando entre sí un ángulo

θ .

θ , si su La medida del ángulo resultante es R = 14 es : a) π /3 b) π /6 c) π d) π /4 e) Ninguna de las anteriores

42.- Dos vectores coplanares y concurrentes tienen una resultante que mide 74 unidades, y su correspondiente vector diferencia mide 37 unidades. El ángulo que forman dichos vectores, si se sabe además que sus módulos son iguales es: a) 57° b) 53° c) 55° d) 51° e) Ninguna de las anteriores

163 r r r 43.- Si los vectores A = 9i + 12 j y r r r B = 12i − mj son codirigidos. El valor de m es: a) 16 b) 17 c) -17 d) -16 e) Ninguna de las anteriores

44.- El ángulo que forman los r r r vectores A = 8i − 6 j y r r r B = 24i + 7 j es: a) 43° b) 73° c) 53° d) 63° e) Ninguna de las anteriores

164

RESUMEN TEORICO LA RAPIDEZ Es una magnitud escalar. Si un objeto le toma un tiempo Rapidez promedio = distancia total viajada / tiempo empleado

t en viajar una distancia l , entonces:

l t En esta expresión la distancia es la longitud total viajada a lo largo del camino. v pro =

LA VELOCIDAD es una magnitud vectorial. Si un objeto realiza un desplazamiento s en un intervalo de tiempo

r r s t entonces: Velocidad promedio = vector desplazamiento/ tiempo v pro = t

La dirección del vector velocidad es la misma que del vector desplazamiento. Las unidades de la velocidad y rapidez son las mismas de la distancia dividida por el tiempo, es decir m/s, km/h. LA ACELERACION mide el cambio de la velocidad con el tiempo. Aceleración promedio = cambio en el vector velocidad / tiempo

r r v f − vi r a pro = t Donde

r r vi es la velocidad inicial, v f es la velocidad final y t es el intervalo de tiempo en el cual ha ocurrido

el cambio de la velocidad; las unidades de la aceleración son las de velocidad dividida para el tiempo. Son 2 ejemplos típicos (m/s)/s = m/s , otro es (km/h)/s Km/h.s. Tome en cuenta que la aceleración es una magnitud r r vectorial que tiene la dirección del cambio de la velocidad v f - vi . MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO. Esta es una situación importante. En este caso el vector aceleración es constante y está dirigido a lo largo de la línea del vector desplazamiento por lo r r que la dirección de v y de a puede ser especificada con signo + o -. Si representamos el desplazamiento por s (positivo si está en la dirección positiva y negativo si está en la dirección negativa), el movimiento se puede describir con las siguientes cinco ecuaciones del Movimiento Uniformemente Acelerado: s = v pro t v pro = a=

v f + vi

2 v f − vi

t v 2f = vi2 + 2as 1 s = vi t + at 2 2

Frecuentemente s es reemplazado por x o y si el movimiento es en el plano, y a veces vf y vi se escriben como v y vo respectivamente.

165 VELOCIDAD INSTATÁNEA es la velocidad promedio evaluada para un intervalo de tiempo que se aproxima a r cero. Así si un objeto realiza un desplazamiento ∆s en un intervalo de tiempo ∆t , entonces para este objeto la velocidad instantánea es: r ∆s r v = lím ∆ t → 0 ∆t

r

Donde el significado de la expresión anterior es que la relación ∆s / ∆t debe ser evaluada para un intervalo de tiempo ∆t que se aproxima a cero. Las interpretaciones gráficas para el movimiento a lo largo de una línea recta son las siguientes: 1.- La velocidad instantánea de un objeto en cierto instante de tiempo es la pendiente en la gráfica del desplazamiento versus tiempo en ese instante de tiempo, esta puede ser positiva, negativa o cero. 2.-La aceleración instantánea de un objeto en cierto instante de tiempo es la pendiente en la grafica de la velocidad versus tiempo en ese instante de tiempo. 3.- Para el movimiento con velocidad constante la gráfica de x versus t es una línea recta. Para un movimiento con aceleración constante la gráfica de velocidad versus tiempo es una línea recta. 4.-En general para una, dos o tres dimensiones la tangente de la grafica distancia versus tiempo en cualquier instante de tiempo es la rapidez. ACELERACION DEBIDA A LA GRAVEDAD (g): La aceleración de un cuerpo que se mueve solo bajo la acción de la fuerza de gravedad es g, aceleración de la gravedad o de caída libre que está dirigida 2 2 verticalmente hacia abajo. En la tierra g = 9,8 m/s o (32,2 ft/s ). En la luna la aceleración de caída libre es 1,6 2 m/s . COMPONENTES DE LA VELOCIDAD: suponiendo que un objeto se mueve con la velocidad v bajo cierto r r ángulo con respecto al eje x, entonces la velocidad tiene componentes en x y y, vx y v y . Las componentes escalares correspondientes son:

vx = v cos θ

v y = v sin θ

Estas componentes pueden ser valores positivos o negativos dependiendo del ángulo Como regla: 1.- Si la velocidad está en el primer cuadrante vx > 0, vy > 0 2.-Si la velocidad está en el segundo cuadrante vx < 0, vy > 0 3.- Si la velocidad está en el tercer cuadrante vx < 0, vy < 0 4.- Si la velocidad está en el cuarto cuadrante vx > 0, vy < 0

θ.

MOVIMIENTO DE PROYECTILES. Puede ser analizado fácilmente si es ignorada la fricción del aire. Se debe considerar éste movimiento como dos movimiento independientes: Movimiento horizontal con a = 0 y velocidad final = velocidad inicial = velocidad promedio, esto es con rapidez constante; y un movimiento vertical con a = g 2 = 9,8 m/s hacia abajo.

166 E J E R C I C I O S: 1. La figura muestra la trayectoria de una pelota. En el punto A, de altura máxima

a) la velocidad es 0, pero la aceleración no es 0. b) la velocidad, no es 0, pero la aceleración es 0. c) la rapidez es menor que en B, pero la aceleración es mayor en B. d) la velocidad y la aceleración son perpendiculares entre si. e) ninguna de las anteriores 2. Una piedra se arroja hacia arriba y alcanza una altura H antes de caer de nuevo al piso T segundos después. Su velocidad media durante el intervalo de tiempo T es a) 0. c) H/T. b) H/2T. d) 2H/T. c) ninguna de las anteriores 3. Un automóvil que viaja con una rapidez inicial v se para en un intervalo de tiempo t. Si la desaceleración durante este intervalo es constante, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta para dicho intervalo? a) La distancia recorrida es (v.t) / 2. b) La rapidez media es v.t. c) La aceleración es –v / 2. 2 d) La distancia recorrida es (v.t ) / 2. 4. Una pelota se arroja verticalmente hacia arriba; alcanza su punto más alto y regresa. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) La aceleración siempre está en la direcci6n del movimiento. b) La aceleración siempre se opone a la velocidad. c) La aceleración siempre está dirigida hacia abajo. d) La aceleración siempre está dirigida hacia arriba.

5. Un objeto se deja caer desde el reposo. Durante el primer segundo cae una distancia S1 y una distancia adicional S2 en el siguiente segundo; la relación S2/S1 es a) 1. c) 3. b) 2. d) 5. 6. Una piedra se tira hacia arriba y alcanza una altura H antes de caer al piso T segundos después. Su rapidez media durante el intervalo T es a) 0. c) H/T. b) H/2T.

d) 2H/T.

7. Una piedra de masa M se lanza hacia arriba, con una velocidad inicial vo; alcanza una altura H. Una segunda piedra de masa 2M se tira hacia arriba con una velocidad inicial de 2v0. ¿.Que altura alcanzará? a) H/2. d) 2H. b) H e) 4H. c) 2H . 8. Una pelota se arroja hacia arriba. Después de que se suelta su aceleración: a) permanece constante. b) aumenta.

c) disminuye. d) es cero.

9. Una piedra de masa m1 se deja caer desde el techo de un edificio alto. Al mismo instante, otra piedra de masa m2 se deja caer desde una ventana 10 m abajo del techo. La distancia entre las dos piedras durante su caída. a) disminuye. b) permanece en 10 m siempre. c) aumenta. d) depende de la relación m 1 / m 2 10. Una maceta se cae desde el pretil de una ventana de un quinto piso. Exactamente cuando pasa por la ventana del tercer piso alguien deja caer accidentalmente un vaso de agua desde esa ventana. ¿Cual de las siguientes afirmaciones es correcta? a) La maceta llega primero al piso y con una velocidad mayor que la del vaso. b) La maceta toca el piso al mismo tiempo que el vaso, pero la rapidez de la maceta es mayor.

167 c) La maceta y el vaso tocan el piso al mismo instante y con la misma velocidad. d) El vaso toca el piso antes que la maceta. 11. Una piedra se lanza horizontalmente desde una barranca de 20 m de altura con una velocidad inicial de 10 m/s. Una segunda piedra se deja caer simultáneamente desde esa barranca. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es la correcta? a) Ambas chocan con el suelo con la misma velocidad. b) Las dos llegan al suelo con la misma rapidez. c) Durante el vuelo, es igual al cambio de velocidad de ambas piedras. d) Durante el vuelo, es igual al cambio de la rapidez de ambas piedras. 12. Una pelota de beisbol, al ser golpeada por un bateador, viaja hacia los jardines. La aceleración de la pelota durante el vuelo es: a) la misma durante todo el trayecto. b) depende de si la pelota va hacia arriba o hacia abajo. c) máxima en la cúspide de su trayectoria. d) depende de cómo se le pegó e) ninguna de las anteriores 13. Dos pelotas se tiran horizontalmente desde un edificio alto al mismo tiempo, una con velocidad v0 y la otra con velocidad v0 / 2 a) La pelota con velocidad inicial v0 llega primero al suelo. b) La pelota con velocidad inicial v0 / 2 llega primero al suelo. c) Ambas pelotas llegan al suelo al mismo tiempo. d) No se puede saber cual llega primero si no se conoce la altura del edificio. 14. Un vehículo viaja por una pista circular a velocidad constante. a) Su aceleración es cero. b) Su aceleración es constante. c) Tanto a) como b) son correctos. d) Ni a) ni b) son correctos. 15. Dos proyectiles, A y B se disparan desde el piso plano horizontal con velocidades iníciales idénticas. La velocidad inicial de A hace un ángulo θ A con la horizontal, y B hace un ángulo θ B también con la horizontal. Si θ A < θ B < 90 °

a) el proyectil B dura más tiempo en el aire y viaja más lejos que A. b) el proyectil B dura más tiempo en el aire y no llega tan lejos como el A. c) el proyectil B dura más tiempo en el aire y alcanza mayor elevación que el proyectil A d) tanto a) como b) son correctas. 16. Un cazador le tira a un pato que vuela horizontalmente a una altura H. El intervalo de tiempo entre el acertar al pato y cuando este llega al suelo depende de a) que tan rápido volaba el pato. b) cuán rápido volaba el pato y cuál era la altura H. c) la altura H. d) la altura H y la distancia entre cl cazador y cl pato cuando lo alcanzo la bala. 17. Dos automóviles, A y B, viajando a velocidades VA y VB se acercan por una carretera recta. Cuando t = 0, están a una distancia de 2 km. El tiempo que tardan en encontrarse es proporcional a:

r

r

a) VA + VB

r

r

r

c) 1 VA − VB

r

b) VA − VB

r

r

d) 1 VA + VB

18. Un pequeño aeroplano sigue el rumbo norte según su brújula. Su velocidad en el aire es de 80 km/h. Sopla un fuerte viento del noreste al suroeste también a 80 km/h. La velocidad del aeroplano con respecto al suelo es: a) 80 km/h. b) mayor que 80 km/h. c) menor que 80 km/h. d) No se puede determinar con la información proporcionada.

19.- Cuál de las siguientes situaciones es imposible: a) Un cuerpo tiene una velocidad hacia el este y una aceleración hacia el oeste b) Un cuerpo tiene una velocidad cero y una aceleración diferente de cero c) Un cuerpo tiene una velocidad hacia el norte y una aceleración hacia el noroeste d) Un cuerpo tiene una velocidad constante y una aceleración constante

168 e) Ninguna de las anteriores 20.- Un niño en una plataforma de un camión que se traslada en una trayectoria rectilínea horizontal a velocidad constante, lanza una pelota verticalmente hacia arriba respecto del camión, sin considerar la resistencia del aire, la pelota cae: a) b) c) d) e)

En sus manos Delante de él Atrás de él Fuera del camión Ninguna de las anteriores

21.- Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba, en un planeta en el que la aceleración de la gravedad es el doble que la de la Tierra. La altura que sube respecto de la altura al que subiría en la Tierra es: a) Igual b) El doble c) La mitad d) La cuarta parte e) Ninguna de las anteriores 22.- Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba, con una velocidad V=2Vo en un planeta en el que la aceleración de la gravedad es el doble que la de la Tierra. La altura que sube respecto de la altura a la que subiría en la Tierra si se lanzaría con una velocidad Vo es: a) b) c) d) e)

Igual El doble La mitad La cuarta parte Ninguna de las anteriores

23.- El entrenador de la competencia atlética de 100 metros planos determina que las velocidades de Juan y María son de 10 y 9 metros por segundo respectivamente, entonces se propone que Juan y María compitan saliendo Juan un segundo después

de María para compensar las velocidades. Entonces al competir: a) b) c) d)

María llega primero que Juan Llegan iguales Juan llega primero que María Ninguna de las anteriores

24.- Una persona que está al borde de un edificio, a cierta altura sobre el suelo, lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad inicial Vo y después lanza una piedra verticalmente hacia abajo, con la misma velocidad inicial Vo; despreciando la resistencia del aire la velocidad con la que llegan al suelo es: a) La pelota llega con mayor velocidad que la piedra b) La piedra llega con mayor velocidad que la pelota c) Llegan con igual velocidad d) Ninguna de las anteriores 25.- Dos cuerpos A y B parten del reposo, a una cierta altura h del suelo, el cuerpo A resbala por una superficie sin fricción inclinada un ángulo θ, el cuerpo B cae libremente, la velocidad con que llegan al suelo es: a) Igual b) La velocidad de A es mayor que la de B c) La velocidad de B es mayor que la de A d) Depende del ángulo θ e) Ninguna de las anteriores 26.- Una partícula en movimiento rectilíneo uniforme, parte de la posición P1(3;4) metros, después de 10 segundos se encuentra en la posición P2(33;44) metros, el módulo de la velocidad de la partícula es: a) 3 m/s b) 6 m/s c) 7 m/s d) 5 m/s e) Ninguna de las anteriores

169 27.- Un tren parte de un punto A hacia un punto B, con una velocidad constante VA, Al mismo tiempo parte un automóvil de B hacia A con una velocidad constante VB, si el tren y el automóvil se encuentran, medido desde A a un cuarto de la distancia de A a B, las velocidades son: a) VA = 3/4 VB b) VA = 1/3 VB c) VA = 3 VB d) VA = 1/4 VB e) Ninguna de las anteriores 28.- Un cuerpo recorre una distancia de 100 metros en 5 segundos entre dos puntos P1 y P2 con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado si su velocidad en P2 es de 30 m/s su velocidad en el punto P1 es de: a) Cero b) 20 m/s c) 10 m/s d) 5 m/s e) Ninguna de las anteriores 29.- Un cuerpo recorre una distancia de 100 metros en 5 segundos entre dos puntos P1 y P2 con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado si su velocidad en P2 es de 30 m/s su aceleración de: a) b) c) d) e)

4 m/s² 2 m/s² 6 m/s² 5 m/s² Ninguna de las anteriores

30.- Considere un proyectil en lo más alto de su trayectoria, la dirección de su aceleración respecto a la dirección de su velocidad es: a) La misma b) Depende del ángulo inicial del disparo c) Es perpendicular d) En lo más alto de su trayectoria no tiene aceleración e) Ninguna de las anteriores

31.- Si un cuerpo duplica su velocidad Vo en tres segundos, su aceleración es: a) b) c) d) e)

Vo / 3 2 Vo / 3 Vo 3Vo Ninguna de las anteriores

32.- Se deja caer un cuerpo desde una altura h desde el suelo, al mismo tiempo se lanza un segundo cuerpo desde el suelo, con una velocidad igual a la que el primer cuerpo golpearía el suelo. En el punto de encuentro la velocidad de un cuerpo respecto del otro es: a) b) c) d) e)

Vo / 4 Vo/ 2 Vo Depende de la altura Ninguna de las anteriores

33.- Un helicóptero vuela en línea recta, sobre un terreno horizontal, con una rapidez constante de 5 m/s. desde el helicóptero se lanza horizontalmente un paquete con una rapidez de 12 m/s respecto a éste y en dirección opuesta después de 10 segundos toca el terreno, el paquete ha recorrido una distancia horizontal respecto a Tierra de: a) b) c) d) e)

50 m 120 m 170 m 70 m Ninguna de las anteriores

34.- Un helicóptero vuela en línea recta, sobre un terreno horizontal, con una rapidez constante de 5 m/s. desde el helicóptero se lanza horizontalmente un paquete con una rapidez de 12 m/s respecto a éste y en dirección opuesta después de 10 segundos toca el terreno, el helicóptero estuvo a una altura de :

170 a) b) c) d) e)

98 m 49 m 196 m 64 m Ninguna de las anteriores

35.- Un helicóptero vuela en línea recta, sobre un terreno horizontal, con una rapidez constante de 5 m/s. desde el helicóptero se lanza horizontalmente un paquete con una rapidez de 12 m/s respecto a éste y en dirección opuesta después de 10 segundos toca el terreno, la distancia al helicóptero es de: a) b) c) d) e)

50 m 120 m 170 m 70 m Ninguna de las anteriores

36.- Para una misma velocidad inicial en el movimiento parabólico el ángulo que produce el mayor alcance horizontal es: a) 0 grados b) 45 grados c) 30 grados d) 90 grados e) Ninguna de las anteriores 37.- Cuál de los siguientes ángulos de lanzamiento en el movimiento parabólico para una misma velocidad produce la altura máxima es: a) 0 grados b) 45 grados c) 30 grados d) 60 grados e) Ninguna de las anteriores 38.- Una partícula que se mueve en línea horizontal, pasa por las siguientes posiciones en los instantes de tiempo indicados: X (metros) 8 5 4 5 8 T (segundos) 0 1 2 3 4 La velocidad media de la partícula, en el intervalo de tiempo comprendido entre 0 y 1 segundos es: a) -3 m/s b) -4 m/s c) -2 m/s d) 6 m/s e) Ninguna de las anterior.

39.- Una partícula que se mueve en línea horizontal, pasa por las siguientes posiciones en los instantes de tiempo indicados: X (metros) 8 5 4 5 8 T (segundos) 0 1 2 3 4 La velocidad media de la partícula, en el intervalo de tiempo comprendido entre 0 y 2 segundos es: a) -3 m/s b) -4 m/s c) -2 m/s d) 6 m/s e) Ninguna de las anteriores

40.- Una partícula que se mueve en línea horizontal, pasa por las siguientes posiciones en los instantes de tiempo indicados: X (metros) 8 T (segundos) 0

5 1

4 2

5 3

8 4

La aceleración de la partícula supuesta constante, en el intervalo de tiempo comprendido entre 0 y 1 segundos es: a) No se puede determinar m/s² c) 2 m/s² e) Ninguna de las anteriores

b) 1 d) 6 m/s²

41.- Una partícula que se mueve en línea horizontal, pasa por las siguientes posiciones en los instantes de tiempo indicados: X (metros) 8 T (segundos) 0

5 1

4 2

5 3

8 4

Si la velocidad en t=0 es cero, la aceleración de la partícula supuesta constante, en el intervalo de tiempo comprendido entre 0 y 1 segundos es: a) -3 m/s² b) -1 m/s² d) 6 m/s² e) anteriores

c) -2 m/s² Ninguna de

las

171 42.- Un tren acelera 1 m/s² , partiendo del reposo en una estación, durante la mitad de la distancia a la siguiente estación, después desacelera 1 m/s² , durante la mitad final del recorrido. Si las estaciones están separadas 100 metros. El tiempo de recorrido entre las estaciones es: a) 10 s. d) 50 s.

b) 20 s. c) 100 s. e) Ninguna de las anteriores

c) V = 12m / s; ↓ a = 9,8m / s 2 ↓ d) V = 12m / s; ↑ a = 1,2m / s 2 ↓ e) Ninguna de las anteriores 46.- Un globo desciende con una rapidez de 12 m/s y una aceleración de 1,2 m/s² hacia abajo, en ese instante deja caer un paquete, la velocidad y aceleración iniciales del paquete serán: a) V = 0m / s; ↑ a = 1,2m / s 2 ↑

43.- Un tren acelera 1 m/s² , partiendo del reposo en una estación, durante la mitad de la distancia a la siguiente estación, después desacelera 1 m/s² , durante la mitad final del recorrido. Si las estaciones están separadas 100 metros. La máxima velocidad del tren es: a) b) c) d) e)

10 m/s 20 m/s 100 m/s 50 m/s Ninguna de las anteriores

44.- Un globo asciende con una rapidez de 12 m/s y una aceleración de 1,2 m/s² hacia arriba, en ese instante deja caer un paquete, la velocidad y aceleración iniciales del paquete serán: a) V = 0m / s; ↑ a = 1,2m / s 2 ↑ b) V = 0m / s; ↓ a = 9,8m / s 2 ↑ c) V = 12m / s; ↑ a = 1,2m / s 2 ↑ d) V = 12m / s; ↓ a = 9,8m / s 2 ↓ e) Ninguna de las anteriores 45.- Un globo desciende con una rapidez de 12 m/s y una aceleración de 1,2 m/s² hacia arriba, en ese instante deja caer un paquete, la velocidad y aceleración iniciales del paquete serán: a) V = 0m / s; ↑ a = 1,2m / s 2 ↑ b) V = 0m / s; ↓ a = 9,8m / s 2 ↓

b) V = 0m / s; ↓ a = 9,8m / s 2 ↓ c) V = 12m / s; ↓ a = 1,2m / s 2 ↓ d) V = 12m / s; ↓ a = 9,8m / s 2 ↑ e) Ninguna de las anteriores 47.- Un cazador dispara con un ángulo en línea de vista, a una ardilla que se encuentra en el extremo más alto de un árbol, en el mismo instante en el que dispara la ardilla se deja caer con la finalidad de no ser alcanzada por el proyectil. Entonces: a) El impacto depende de la velocidad del proyectil b) El impacto depende del ángulo de disparo c) Nunca le impacta d) Le impacta siempre e) Ninguna de las anteriores 48.- Una bola rueda sobre una mesa horizontal, cayendo al piso en 1 segundo y a una distancia horizontal del borde de la mesa de 3 metros. Sin considerar la resistencia del aire, la rapidez con la que abandona la mesa es: a) 3 m/s

b) ( 3 +

2 gh )

c) 6 m/s

d) 3/9,8 m/s e) Ninguna de las anteriores 49.- Una bola rueda sobre una mesa horizontal, cayendo al piso en 1 segundo y a

172 una distancia horizontal del borde de la mesa de 3 metros. Sin considerar la resistencia del aire, la altura de la mesa:

a) Igual b) La mitad c) El doble d) No tiene relación e) Ninguna de las anteriores

a) 3 m

54.- Un electrón gira alrededor de un protón −11 en una orbita circular de 4 x10 m de radio

b) ( 3 +

2 gh )

c)

6

6 con una rapidez de 2x10 aceleración del electrón es:

m d) 4,9 m

e) Ninguna de las anteriores

50.- Para una misma velocidad inicial en el movimiento parabólico el ángulo que produce el mayor alcance horizontal es: a) 0 grados

m/s . La

b) 45 grados c) 30 grados

d) 90 grados e) Ninguna de las anteriores 51.- Cual de los siguientes ángulos de lanzamiento en el movimiento parabólico para una misma velocidad produce la altura máxima:

a) 1019 m/s² b) 10 23 d) 2 x 10 m/s² anteriores

23

m/s²

23 c) 0,5 x 10 m/s²

e) Ninguna de las

55.- Un bombardero en picada con un ángulo de 60 grados con la horizontal, deja caer una bomba, ésta impacta en el suelo 240 segundos después a una distancia horizontal de 24 Km. La velocidad del bombardero en el instante que deja caer la bomba es de: a) 360 Km/h d) 100 m/s

b) 720 Km/h c) 540 Km/h e) Ninguna de las anteriores

a) 0 grados b) 45 grados c) 30 grados d) 60 grados e) Ninguna de las anteriores 52.- La velocidad en el movimiento parabólico es una función del tiempo. Siendo Vo su velocidad inicial y θ el ángulo de elevación (ángulo que forma con la horizontal) su función es:

56.- La velocidad angular de un motor que gira a 1800 revoluciones por minuto es:

a) V = V 02 − 2 gtV 0 senθ + g 2 t 2

57.- La velocidad lineal V1 de un punto de la periferia de una polea de radio R1 se transmite mediante una banda el movimiento a una segunda polea de radio R2 = 0.5R1, la velocidad lineal en un punto de la periferia de la segunda polea es:

b) V = V02 cos θ + 2 gtV0 senθ − g 2 t 2 c)

V = V02 + 2 gtV0 senθ − g t

d) V = V0 senθ − gt e) Ninguna de las anteriores 53.- Para un mismo movimiento parabólico, el tiempo de alcance máximo horizontal es con respecto al tiempo de altura máxima:

a) 60π r/s d) 30π r/s

a) el doble d) Igual anteriores

b) 30 r/s c) 15 r/s e) Ninguna de las anteriores

b) la mitad e)

c)

el

Ninguna

cuádruplo de

las

173 58.- La velocidad angular w1de un punto de la periferia de una polea de radio R1 se transmite mediante una banda el movimiento a una segunda polea de radio R2 = 0.5R1 , la velocidad angular en un punto de la periferia de la segunda polea es: a) el doble

b) la mitad

c)

el

cuádruplo

d) Igual

e) Ninguna de las anteriores

59.- Para una velocidad inicial de disparo fija, existen dos ángulos que dan igual alcance horizontal en el mismo sentido y estos son: a) El un ángulo es el doble del otro b) Son suplementarios entre sí c) No existe dos ángulos que den el mismo alcance horizontal d) Son complementarios entre sí e) Ninguna de las anteriores 60.- En un movimiento parabólico el módulo de la velocidad del cuerpo considerada en un plano horizontal cualquiera que corte a la trayectoria es: a) Distinta en los puntos de corte considerados b) Su valor se ha incrementado de acuerdo a la aceleración de la gravedad c) Su valor ha disminuido en g·t d) Tiene el mismo valor en los puntos de corte considerados e) Ninguna de las anteriores

61.- En el movimiento parabólico, el tiempo en el que la partícula alcanza la altura máxima es: a) El doble del tiempo de alcance máximo horizontal b) Igual al tiempo de alcance máximo horizontal

c) La mitad del tiempo de alcance máximo horizontal d) No tiene relación e) Ninguna de las anteriores 62.- En un movimiento parabólico los ángulos θ1 y θ2 que forma el vector velocidad con la horizontal en un plano horizontal cualquiera que corte a la trayectoria son: a) b) c) d) e)

θ1 = θ2 Sus valores no guardan relación alguna θ1 = 90 - θ2 θ2 = 360 - θ1 Ninguna de las anteriores

63.- Para una misma velocidad angular, en un movimiento cuya trayectoria es circular, la aceleración normal es: a) b) c) d) e)

Mayor a mayor radio Mayor a menor radio No existe aceleración normal Es independiente del radio Ninguna de las anteriores

64.- Si en un movimiento circular la rapidez del cuerpo se duplica, la aceleración normal: a) b) c) d) e)

Se duplica Permanece igual Se cuadruplica No hay aceleración normal Ninguna de las anteriores

174

RESUMEN TEORICO LA MASA de un objeto es la medida de la inercia del cuerpo. La inercia es la tendencia de un cuerpo en reposo a permanecer en reposo y la de un cuerpo en movimiento a continuar moviéndose con la misma velocidad. Por muchos siglos los físicos encontraron que es útil pensar en la masa como la representación de la cantidad de materia. EL KILOGRAMO ESTANDAR es un patrón cuya masa está definida como la de 1 kilogramo. La masa de otros cuerpos se encuentra por comparación con este patrón. La masa de un gramo es igual 0,001 Kg. LA FUERZA es en general un agente de cambio, en mecánica es el agente que cambia la velocidad de un cuerpo. La fuerza es una cantidad vectorial que tiene magnitud y dirección. Una fuerza externa es una fuerza cuya fuente se encuentra fuera del sistema que está siendo considerada. LA FUERZA NETA EXTERNA actuando sobre un objeto obliga a que ese objeto se acelere en la dirección de esta fuerza. La aceleración es proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa. EL NEWTON es la unidad de la fuerza en el SI. Un Newton (1 N) es la fuerza necesaria para acelerar un 2 cuerpo de 1 kilogramo de masa en 1m/s .La libra (Pound) es igual a 4,45 N. PRIMERA LEY DE NEWTON: Un objeto en reposo permanecerá en reposo; un objeto en movimiento continuará en movimiento con velocidad constante. El reposo o el movimiento deben ser referidos a un sistema de referencia. SEGUNDA LEY DE NEWTON: Como Newton demostró la segunda ley debe ser expresada en términos del concepto del Momento, esto es una formulación correcta y rigurosa, también puede ser considerada de una

r

manera menos fundamental pero altamente útil. Si la resultante o fuerza neta F que actúa sobre un objeto de masa m no es cero, el objeto se acelera en dirección de la fuerza. La aceleración a es proporcional a la

r

fuerza e inversamente proporcional a la masa del objeto. Si F está en Newtons, m en kg y segunda ley se puede formular matemáticamente

r a en m/s2 la

r r r r F a= o F = ma m r r a tiene la misma dirección de la fuerza resultante F r r La ecuación vectorial F = ma puede ser escrita en términos de componentes como: LA ACELERACIÓN:

∑F

x

= max

∑F

y

= ma y

∑F

z

= maz

TECERA LEY DE NEWTON: Los cuerpos interactúan con cuerpos y las fuerzas siempre aparecen en pares. Para cada fuerza aplicada sobre un cuerpo hay una fuerza igual en magnitud y en sentido opuesto. Con frecuencia esta ley se llama Ley de Acción y Reacción. Tome en consideración que las fuerzas de acción y reacción actúan sobre dos cuerpos interactuantes diferentes. LEY DE LA GRAVEDAD UNIVERSAL: Cuando dos masas M y m interactúan gravitacionalmente, estas se atraen una a la otra con fuerza de igual magnitud. Para masas puntuales o cuerpos simétricamente esféricos la fuerza de atracción está dada por:

Mm r2 -11 2 2 Donde r es la distancia entre los centros de las masas, G es igual a 6,67 x 10 Nm / kg cuando FG está en newtons, M y m están en kg, y r en metros. FG = G

175

EL PESO de un objeto ( Fw ) es la fuerza gravitacional actuando hacia abajo sobre un objeto. En la tierra esta es la fuerza gravitacional ejercida sobre un objeto por el planeta, sus unidades son newton en el sistema SI y pounds en el sistema británico. RELACION ENTRE EL PESO Y MASA: Un objeto de masa m que cae libremente hacia abajo en la tierra está sujeto solamente a una fuerza: la influencia de la gravedad a la que llamamos peso Fw del objeto. La

r

r

aceleración del objeto debido a Fw es la aceleración de caída libre g . Por lo tanto F = ma nos 2 proporciona la relación F = Fw ; a = g y m; esto es Fw = mg. Por cuanto en promedio g = 9,81 m/s en la tierra un cuerpo de 1 kg pesa 9,81 N en la superficie de la tierra. LA FUERZA DE TENSION (FT) actuando sobre una cuerda, cadena o tendón es una fuerza aplicada que tiende a estirar. La magnitud de la fuerza de tensión es la Tensión (FT)

LA FUERZA DE FRICCION (Ff) es una fuerza tangencial que actúa sobre un objeto y se opone al deslizamiento sobre una superficie adyacente con la cual está en contacto. La fuerza de fricción es paralela a la superficie y opuesta a la dirección de movimiento o de movimiento inminente. Solo cuando la fuerza aplicada excede el máximo de la fuerza de fricción estática el cuerpo comenzara a deslizarse.

LA FUERZA NORMAL (FN) sobre un cuerpo es la que actúa en forma perpendicular a la superficie del cuerpo por parte de otra superficie o cuerpo con la cual se encuentra en contacto.

176 DIAGRAMAS DE CUERPOS Y FUERZAS. A continuación se indican como referencias algunos sistemas de cuerpos y fuerzas. Identifique cada situación y descríbala.

EL COEFICIENTE DE FRICCION CINETICA

µk

está definido para el caso en el que una superficie se

desliza sobre otra con velocidad constante. Este es

µk = Fuerza de fricción/Fuerza normal = Ff / FN EL COEFICIENTE DE FRICCION ESTATICA µ s está definido para el caso en el que una superficie esta justo al borde del deslizamiento sobre otra superficie

µ s = Fuerza de fricción máxima/Fuerza normal = Ff (max) / FN Donde el máximo de la fuerza de fricción ocurre cuando el objeto esta justo al borde de comenzar el deslizamiento, pero sin embargo todavía se encuentra en reposo. ANALISIS DIMENSIONAL. Todas las cantidades como aceleración y fuerza pueden ser expresadas en términos de tres dimensiones fundamentales longitud: L, masa M y tiempo T. Por ejemplo, la aceleración es 2 2 una longitud (una distancia) dividida para el tiempo ; decimos entonces que tiene las dimensiones L/T , que -2 3 -1 se puede escribir como [LT ]. Las dimensiones de un volumen son [L ], y para una velocidad son [LT ]. -2 Puesto que la fuerza es masa multiplicada por aceleración sus dimensiones son [MLT ]. Las dimensiones

177 son muy útiles para chequear si las ecuaciones están correctas, puesto que cada termino de la ecuación debe tener las mismas dimensiones. Por ejemplo, las dimensiones de la ecuación 2

S = vit +1/2 a t

-1

-2

2

[L] = [LT ] [T] + [LT ] [T ]

Son

Por lo que cada término de la ecuación tiene la misma dimensión de longitud L. Recuerde que todos los 3 términos en una ecuación deben tener las mismas dimensiones. Un volumen [L ] no puede ser sumado a 2 -2 -1 una área [L ], o a una fuerza [MLT ] no le puede ser sustraída una velocidad [LT ]; estos términos no tienen las mismas dimensiones. En el análisis dimensional no importan los factores numéricos, importan solo, las magnitudes físicas y sus dimensiones, y este es aplicable a todas las áreas de la física. OPERACIONES MATEMATICAS CON UNIDADES: En cada operación matemática las unidades de los términos deben ser consideradas conjuntamente con los números y someterse a las mismas operaciones matemáticas que se realizan sobre los números. Las cantidades no pueden ser sumadas o restadas mientras no tengan las mismas unidades y dimensiones. Por ejemplo, si queremos sumar algebraicamente 5 m. y 8 cm. debemos primero convertir los m a cm. , o los cm. a m. De otro lado las magnitudes de cualquier naturaleza pueden ser combinadas en multiplicaciones o divisiones en las que las unidades así como los números obedecen a las leyes de potenciación, cancelación, etc.

(1) 6m2 + 2m2 = 8 m2 ( 2 ) 5cm × 2cm2 = 10 cm3 ( 3) 2m3 × 1500 ( 4 ) 2s × 3

kg = 3000 kg m3

km km =6 2 s s

15 g = 5 cm3 (5) 3 3 g cm

(m + m → m ) ( cm × cm → cm ) 2

2

2

2

3

 3 kg   m × 3 → kg  m   km   km s× 2 →  s  s   g  cm3 → g× → cm3   3 g  g cm 

178 E J E R C I C I O S: 1.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones que describen un cuerpo en equilibrio no es cierta? a) la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es cero. b) el cuerpo se mueve a velocidad constante. c) el cuerpo debe permanecer en reposo. d) el cuerpo se mueve a rapidez constante.

6.- El bloque que se muestra en la figura esta sostenido sobre un plano sin fricción Su aceleración es:

2.- Un bloque de masa M esta resbalando por un plano inclinado sin fricción, como se muestra en la figura. La fuerza de reacción ejercida por el plano sobre el bloque es:

a) g c) g .sen θ

b) g .cos θ d) g. tan θ

7.- Suponiendo que se observa que el bloque de la figura resbala hacia abajo del plano a velocidad constante. Se concluye que el coeficiente de fricción cinética µ k entre el bloque y el plano está definido por:

a) g .sen θ b) M.g .cos θ c) M.g. sen θ d) cero porque el plano tiene fricción. 3.- Se suspende una masa de una cuerda y se acelera hacia abajo con una aceleración igual a 0.7g. Se concluye que la tensión en la cuerda es: a) igual al peso de la masa. b) no cero, pero menor que el peso de la masa. c) mayor que el peso de la masa d) cero. 4.- Un bloque de masa m descansa en un plano 0 inclinado de un ángulo de 30 con la horizontal ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la fuerza de fricción estática es verdad? a) fs > m·g c) fs = m·g ·tan 30° b) fs>= m·g·tan 30°. d) f s = m·g ·sen 30° 5.- Un objeto se está moviendo a velocidad constante. La fuerza total F que actúa sobre ese objeto esta dada por:

F = v 2 2m c) F = mg a)

F = mv d) F = 0

b)

a) tan θ c) 1- cos θ

b) cos θ - sen θ d) M.g .sen θ

8.- Una masa m sobre un plano horizontal se empuja levemente para que tenga una velocidad inicial v 0 . Si se detiene después de recorrer una distancia D, el coeficiente de fricción cinética contra la masa y el plano es: a)

v0 Dg 2

c) v0 2 Dg

b)

v0 2 Dg 2

d) v0 2 D

e) ninguna de las anteriores

179 9.- En la figura se muestra un sistema que esta en equilibrio. No hay fricción entre el bloque de masa M1 y el plano inclinado, y la polea no tiene fricción. La masa M2 = 5 kg. la masa M 1 SE desconoce. La tensión en la cuerda es:

a) b) c) d) e)

5g N. 5g.cos θ N. 5g.sen θ N. no se puede determinar porque no se da M1 ninguna de las anteriores

10.- Un bloque de masa M se jala sobre una superficie, como se ilustra en la figura. La velocidad del bloque es constante. Si µ es el coeficiente de fricción cinética y T la tensión, T es igual a:

a) T= µ g c) T= M.g / µ

b) T=M. µ g d) ninguna de las anteriores

11.- Un bloque de masa m se remolca sobre una superficie como se muestra en la figura. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie es µ y la tensión de la cuerda T. La aceleración del bloque entonces es:

= T cosθ µ mg b) a = T cos θ µ mg c) a = T cos θ / m + µ mg a) a

d) ninguna de las anteriores

12.- Un bloque cuyo peso es de 20 N descansa sobre una superficie horizontal. El coeficiente de fricción estática entre el bloque y la superficie que la soporta es de 1.0. Una cuerda es atada al bloque. La tensión de la cuerda es 0 de 15 N y la cuerda hace un ángulo de 30 con la horizontal:

a) el bloque permanecerá en reposo. La fuerza de fricción estática es de20 N b) el bloque se moverá horizontalmente c) el bloque se levantará de la superficie debido a la cuerda d) el bloque permanecerá en reposo, la fuerza de fricción estática es de 13 N e) ninguna de las anteriores 13.- Un objeto resbala sobre una superficie horizontal, a causa de un empujón que se le impartió con una velocidad inicial v en la dirección positiva de las x. Si el coeficiente de fricción cinética entre el objeto y la superficie es u, la aceleración el objeto es: a) ax = − µ m b) ax = − g µ c)

ax = − µ mg

d)

ax = − µ g

e) ninguna de las anteriores 14.- Un bloque liso de aluminio y un bloque de madera de igual masa parten al mismo instante del reposo sobre un plano inclinado de 2 m de longitud, que hace un ángulo de 45° con la horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque de aluminio y el plano es despreciable; el del bloque de madera y el plano es de 0.3. Marque las afirmaciones correctas: a) ambos bloques alcanzaran el extremo del plano al mismo tiempo y con la misma velocidad. b) el bloque de aluminio llegará primero al extremo, pero los dos tendrán la misma velocidad cuando alcancen el extremo. c) el bloque de aluminio alcanzará el extremo

180 del piano primero y se moverá mas rápido que el bloque de madera cuando este alcance el extremo. d) ambos bloques llegan al extremo del plano al mismo tiempo, pero el bloque de madera se mueve más despacio que el bloque de aluminio. 15.- Un bloque cuyo peso es de 20 N descansa sobre una superficie horizontal. A este bloque se le fija una cuerda. El coeficiente de fricción estática entre el bloque y la superficie es de 1.0. Se tira de la cuerda en el sentido horizontal con una fuerza de 15 N: a) la fuerza de fricción que actúa sobre el bloque es de 20 N. b) la fuerza de fricción que actúa sobre el bloque es de 15 N. c) la fuerza de fricción que actúa sobre el bloque es de 5N. d) no se puede determinar la fuerza de fricción. Porque la fuerza normal entre el bloque y la superficie no se conoce.

16.- Una persona de peso W está sobre una balanza en un ascensor, cuando el ascensor asciende con una aceleración hacia arriba de 4,9 m/s2. La balanza marca: a) W b) 1,5 W c) 2W d) 0.5 W e) Ninguna de las anteriores

c) 3g / 2 dirigida hacia abajo d) ninguna de las anteriores 18.- Dos masas M y m, siendo M > m, se cuelgan de una polea sin masa y sin fricción, como se muestra en la figura. La aceleración de la masa M hacia abajo es:

a) g d)

b)

M −m g Mm

M g m

c)

M −m g M +m

e) ninguna de los anteriores

19.- En la figura la tensión en la cuerda que soporta la polea sin masa es

17.- La tensión T en la cuerda que esta atada a la masa m en la figura es T = mg/2. La aceleración de la masa m es: a) g / 2 dirigida hacia arriba b) g / 2 dirigida hacia abajo

Mm 2Mm b) g g M +m M +m 4Mm 2Mm c) d) g g M +m M −m e) Ninguna de las anteriores

a)

181

d) 0.5 W

e) Ninguna de las anteriores

23.- Si las magnitudes fundamentales son: 20.- En la siguiente figura M2 está sobre el plano horizontal sin fricción. La tensión de la cuerda es:

M1 M 2 2M 1 M 2 g b) g a) M1 + M 2 M1 + M 2 4M 1 M 2 2M 1 M 2 c) g d) g M1 + M 2 M1 − M 2 e) Ninguna de las anteriores

21.-Dos masas m1 y m2 se aceleran uniformemente sobre una superficie sin fricción, como se muestra en la figura. La relación de las tensiones T1 / T2 está dada por:

m a) 1 m2

m b) 2 m1

c)

( m1 + m2 ) m2

m1 d) e) ninguna de las anteriores ( m1 + m2 ) 22.- Una persona de peso W está sobre una balanza en un ascensor, cuando el ascensor asciende con velocidad constante m/s. La balanza marca: a) W b) 1,5 W c) 2W

La longitud L, la fuerza F y el tiempo T, las dimensiones de la masa son: −2 a) FLT −2

FL T

−1

−1 2 b) FL T

c) FLT

d)

e) Ninguna de las anteriores

24.- Si las magnitudes fundamentales son: La longitud L, la masa M y el tiempo T, las dimensiones de la Fuerza son: −2 −1 2 a) MLT b) ML T −2 −1 d) ML T c) MLT e) Ninguna de las anteriores 25.- Un cuerpo está suspendido mediante una cuerda, del techo de un elevador. La tensión en la cuerda es máxima cuando: a) El elevador está en reposo b) El elevador asciende con rapidez constante c) El elevador desciende disminuyendo su rapidez d) El elevador desciende aumentando su rapidez e) Ninguna de las anteriores 26.- La fuerza de la gravedad actúa en un cuerpo de 2 Kg masa y también se ejerce sobre él una fuerza horizontal de 2 Kg fuerza el módulo de su aceleración es: a) g b) 2g c) 2 g d) g/2 e)Ninguna de las anteriores 27.- Un viajero espacial cuya masa es de 60 Kg, abandona la tierra, su peso en el espacio interplanetario es: a) 60 Kgf b) 598 Nw c) Cero d) 58,58 Nw e) Ninguna de las anteriores 28.- La fuerza de fricción del aire en un cuerpo de 0,25 Kg de masa que cae con una aceleración de 9,4 m/s² es:

182 a) 0,1 Nw b) 0,1 Kgf c) 2 Nw d) 2 Kgf e) Ninguna de las anteriores 29.- En una pelota de golf que viaja a través del aire, en movimiento parabólico la fuerza de la gravedad actúa: a) En dirección del viaje b) Contraria a la dirección del viaje c) Estando en movimiento no actúa d) Hacia el centro de la Tierra e) Ninguna de las anteriores

30.- En el centro de una cuerda que jalan dos estudiantes cada uno con una fuerza de 30 Kg, como indica la figura, se ha instalado un dinamómetro, cuanto marca el dinamómetro 30 Kg

a) 60 Kg d) 45 Kg

30 Kg

b) 0 Kg c) 30 Kg e) Ninguna de las anteriores

31.- Masa inercial es: a) El peso de un cuerpo b) La fuerza de atracción que ejerce sobre otro cuerpo c) La que opone resistencia al cambio de estado de reposo o de movimiento del cuerpo d) La que produce el movimiento del cuerpo e) Ninguna de las anteriores 32.- A menudo en lugar de conocer la masa de un cuerpo, se da el peso W del mismo, la aceleración producida por una fuerza F que actúa sobre ese cuerpo está dada por:

Wg Fg W b) a = c) a = F W Fg W e) Ninguna de las anteriores a= F

a) a =

d)

33.- Cuando se aplica la misma fuerza a dos cuerpos de masas M1 y M2 respectivamente la relación de sus masas está dada por: M a M a a) 2 = 2 b) 2 = 1 M 1 a1 M 1 a2 c) M 2 . M 1 = a 2 . a1 d) Las masas no están relacionadas e) Ninguna de las anteriores 34.- La Tierra es un cuerpo de masa Mt, considerando un cuerpo de masa Mc que cae libremente con una aceleración g. La Tierra acelera hacia el cuerpo con una aceleración a igual a: M .g M .g a) Cero b) c c) t Mt Mc d) Ninguna de las anteriores 35.- Suponga que sobre un cuerpo actúan sólo dos fuerzas y que el cuerpo se mueve con una cierta aceleración en dirección y sentido de la velocidad, entonces: a) La velocidad puede llegar a ser Cero b) Las dos fuerzas deben actuar a lo largo de la misma línea c) La suma de las dos fuerzas no puede ser cero y su dirección es la de la velocidad d) La suma de las dos fuerzas debe ser cero e) Ninguna de las anteriores 36.- Dos cuerpos de igual masa uno en la Tierra y otro en la Luna están sometidas a igual resultante de fuerzas. Entonces: a) La aceleración del cuerpo que está en la Tierra es Mayor que la que está en la Luna b) La aceleración del cuerpo que está en la Tierra es Menor que la que está en la Luna c) Tienen igual aceleración d) Es indiferente e) Ninguna de las anteriores

183 37.-Un estudiante quiere determinar el coeficiente de fricción estática entre una caja y un tablón. Coloca la caja sobre el tablón y levanta éste gradualmente. Cuando el ángulo llega a ser 30 grados la caja empieza a deslizarse hacia abajo. El coeficiente de fricción estático entre la caja y el tablón es: 1 2 3 b) c) a) 2 3 3

d) 0,5

e) Ninguna de las anteriores

38.- Una fuerza F aplicada a un objeto de masa M1 produce una aceleración de 2 m/s² La misma fuerza aplicada a un objeto de masa M2 produce una aceleración de 6 m/s² Si se sujetan M1 y M2 bajo la acción de la misma fuerza su aceleración es: a) 2,5 m/s² b) 3 m/s² c) 1,5 m/s² d) 4 m/s² e) Ninguna de las anteriores 39.- Un objeto de 6 Kg experimenta una aceleración de 2 m/s² la fuerza resultante aplicada en esa dirección es: a) 12 Kg b) 1200 dinas c) 117,16 N d) 12 N e) Ninguna de las anteriores 40.- Una partícula de 2 Kg se mueve a lo largo del eje X, bajo la acción de una sola fuerza constante. Si la partícula parte del reposo, en t = 0 y después de 2 segundos se encuentra en X = 8 metros, la magnitud de la fuerza aplicada es: a) 4 N b) 8 N c) 16 N d) 32 N e) Ninguna de las anteriores

41.- Un proyectil de masa 15 gramos sale del cañón de un rifle con una rapidez de 800 m/s. Si la longitud del cañón es de 75 cm, la fuerza supuesta constante que acelera el proyectil es: a) 15000 N b) 6400 N c) 1125 Kg d) 11200 N e) Ninguna de las anteriores 42.- Un tractor de 3 toneladas proporciona una aceleración de 1 m/s² a un remolque de 7 toneladas, en las mismas condiciones éste tractor a un remolque de 17 toneladas le proporciona una aceleración de: a) 0,41 m/s² b) 0,18 m/s² c) 0,50 m/s² d) 0,59 m/s²

43.- El momento de una fuerza con respecto a un punto se define como: a) El equilibrio estático b) El equilibrio dinámico c) La fuerza por la distancia al punto d) La fuerza por la distancia que recorre el cuerpo e) Ninguna de las anteriores 44.- Masa gravitacional es: a) El peso de un cuerpo b) La que interactúa con otra atrayéndose mutuamente con una fuerza c) La que opone resistencia al cambio de estado de reposo o de movimiento del cuerpo d) La que produce el movimiento del cuerpo e) Ninguna de las anteriores

184 45.- Una partícula está en equilibrio estático cuando: a) La resultante de las fuerzas aplicadas es igual a cero b) La suma de los momentos de las fuerzas aplicadas con respecto a cualquier punto es cero c) Las fuerzas aplicadas concurren a un punto

d) Las fuerzas aplicadas son paralelas e) Ninguna de las anteriores

185

RESUMEN TEORICO EL TRABAJO realizado por una fuerza se define como el producto de fuerza por la distancia, cuando la fuerza es paralela al desplazamiento. W = F s Si la fuerza no es paralela al desplazamiento, entonces debe considerarse la componente de la fuerza paralela al desplazamiento. W = F. s .cos θ Tenga en cuenta que

θ

r

es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento. Si el vector de fuerza F es paralela al

r r r s , cos θ = cos 0º = 1 y W = F.s. Por el contrario, si F y s tienen direcciones opuestas cos θ = cos180º = −1 y W = -F s; esto es, el trabajo es negativo. Las fuerzas como la fricción frecuentemente

desplazamiento

detienen el movimiento del objeto y por lo tanto son opuestas a la dirección del desplazamiento, éstas fuerzas usualmente realizan trabajo negativo. El trabajo transfiere energía desde un objeto a otro por medio de la acción de la fuerza aplicada sobre una distancia. LAS UNIDADES DE TRABAJO en el sistema SI es el N.m = Joule. 1 Joule es el trabajo realizado por una fuerza de 1 newton cuando se desplaza un objeto un metro en la dirección de la fuerza. Otra medida usada a veces es el Ergio. 1 Erg = 10-7 joule, y el ft-lb = 1,355 Joule. La energía es la medida del cambio que sufre un sistema, este cambio se realiza cuando una fuerza realiza trabajo sobre el objeto. La cantidad de energía transferida al cuerpo es igual al trabajo realizado; cuando el objeto realiza trabajo este pierde energía igual al trabajo hecho por el cuerpo. La energía y el trabajo tienen las mismas unidades. La energía como el trabajo son magnitudes escalares. Un objeto es capaz de realizar trabajo si es que almacena energía. LA ENERGÍA CINETICA es la energía que posee un cuerpo debido a su movimiento. Si un cuerpo de masa m se mueve con rapidez v, este tiene una energía cinética traslacional dada por:

K=

1 2 mv 2

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA es la que posee un cuerpo debido a la interacción gravitatoria. En una caída libre desde una altura h, una masa m puede realizar un trabajo en una magnitud igual a mgh. Definimos la energía potencial gravitatoria de un objeto respecto a un nivel de referencia que por lo común es la superficie de la tierra, si el objeto está a una altura h sobre el nivel cero de referencia la energía potencial

U = mgh Donde g es la aceleración debida a la gravedad. Tenga en cuenta que mg es el peso del objeto. La energía 2 potencial se mide en Joule cuando m está en Kg, g en m/s y h en metros. EL TEOREMA DE TRABAJO-ENERGÍA: Si en el trabajo hecho sobre una masa puntual o un cuerpo rígido no hay cambio en su energía potencial elástica ( el cuerpo no se deforma), la energía impartida al cuerpo, puede solamente aparecer en forma de energía cinética. Cuando el cuerpo no es totalmente rígido, sin embargo, la

186 energía puede ser transferida a sus partes y el trabajo realizado sobre este no es precisamente igual al cambio en la energía cinética. CONSERVACION DE LA ENERGÍA. La energía no puede ser creada ni destruida, solo puede ser transformada de una forma a otra. POTENCIA es el ritmo con el cual se realiza el trabajo.

Potencia promedio =

trabajo hecho por la fuerza = Fv tiempo empleado para realizar el trabajo

Donde la velocidad se mide en la dirección de la fuerza aplicada al objeto. Más generalmente la potencia es el ritmo de transferencia de energía. En el SI la potencia se mide en Watt, 1 W = J / s. Otra unidad de potencia usada frecuentemente es el HP (caballo fuerza) 1HP = 746 W. EL KILOWATT-HORA es una unidad de energía. Si una fuerza está haciendo trabajo con un ritmo de 1Kw (1000 J / s), entonces en una hora se realizará un trabajo de 1Kw-h 6

1kw-h = 3,6 x 10 Joule = 3,6 MJ.

187 E J E R C I C I O S: 1.- Una fuerza cambia el movimiento de un objeto. Cuando se multiplica la fuerza por el tiempo en el que se aplica, a esa cantidad se le llama impulso, el cual cambia la cantidad de movimiento de ese objeto. ¿Cuál es el nombre de la cantidad fuerza x distancia? a) Potencia b) trabajo c) momento de la fuerza d) ninguna de las anteriores 2.- El trabajo que se realiza al subir un saco de 25 kg. una distancia de 4 m. y un saco de 50 kg. una distancia de 2 m: a) es mayor para el saco de 50 kg. b) es mayor para el saco de 25 kg. c) Los trabajos son iguales. d) ninguna de las anteriores 3.- ¿Cuántos watts de potencia se producen cuando una fuerza de 1N mueve 2 m a un libro y se tarda 1 s: a) 1wt b) 2wt c) 0.5 wt 4.- La fuerza de gravedad efectúa trabajo sobre: a) una rueda de bolos que rueda sobre una pista b) un automóvil que va por una carretera plana c) un automóvil que va por una cuesta. 5.- Una pelota rebota a mayor altura que aquella desde la que se deja caer: a) Si b) No c) Ninguna 6.- Una pelota se lanza al aire directo hacia arriba. En qué posición es máxima su energía cinética: a) cuando comienza el movimiento b) cuando alcanza la altura máxima c) cuando termina el movimiento d) ninguna de las anteriores 7.- Se deja caer una piedra desde cierta altura, y penetra en el lodo. En igualdad de las demás condiciones si se deja caer la piedra de una altura doble esta se hunde: a) la mitad b) el doble c) la misma cantidad

d) ninguna de las anteriores 8.- La energía cinética de un coche cambia más cuando su velocidad cambia de: a) 20 km / h a 30 k m / h b) 40 k m / h a 55 k m / h 9.- ¿Cuál de los siguientes es escalar? a) Velocidad b) Potencia. c) Aceleración. d) Desplazamiento. 10.- ¿Cuál de las siguientes no es una cantidad de energía? a) W • s. b) N . m. c) kg • m/s. d) J. 11.- La dimensión de potencia es 2 2 a) [M] [L] / [T] b) [M] [L] / [T] 2 3 c) [M] [L] / [T] d) ninguna anterior 12.- Juan y Pedro mueven cajas idénticas a lo largo de distancias iguales en dirección horizontal. Juan resbala la caja en una superficie que no tiene fricción. Pedro levanta su caja, y la carga la distancia requerida y luego la baja de nuevo: a) Juan Hace menos trabajo que Pedro b) Juan hace más trabajo que Pedro. c) Ni Juan ni Pedro hacen trabajo alguno. d) La cantidad de trabajo que hace cada uno depende del tiempo que tomaron. 13.- Suponer que un saltador de garrocha alcanza toda su altura mediante la conversión completa de su EC en EP. Si su velocidad al momento exacto antes de bajar su garrocha es v, la altura alcanzada esta dada por a)

2vg 2

c) 2g / v

2

b) v / 2g d) v / 2g

14.- La energía potencial de una masa cambia en - 6 J. Se concluye que el trabajo hecho por la fuerza gravitacional sobre la masa es: a) 6 J, y la elevación de la masa disminuye. b) -6 J, y la elevación de la masa disminuye. c) 6 J, y la elevación de la masa aumenta. d) -6 J, y la elevación de la masa aumenta.

188 15.- La fuerza ejercida por un resorte es F = -k x en donde x es la elongación. La dimensión de la constante del resorte k es: 2 2 a) [M] / [T] b) [M] [L] / [T] 2 c) [M] [L] / [T] c) ninguna de las anteriores 16.- La defensa de un automóvil se fija al marco por medio de un resorte cuya constante es k. Cuando el vehículo choca en una pared de concreto a una velocidad de 1.0 km/h, el resorte se comprime 1.0 cm. Si el vehículo choca a una velocidad de 2.0 km/h, el resorte se comprimirá: a)

2cm

b) 2 cm. d) 1

c) 4 cm.

2cm.

17.- El trabajo efectuado para acelerar un automóvil desde 0 hasta 30 m/s es: a) menor que el necesario para acelerarlo desde 30 m/s hasta 60 m/s. b) igual al necesario para acelerarlo desde 30 m/s hasta 60 m/s. c) mayor que el necesario para acelerarlo desde 30 m/s hasta 60 m/s. d) puede ser cualquiera de los anteriores, dependiendo del tiempo empleado para cambiar la velocidad.

20.- Una masa m se deja caer partiendo del reposo desde una altura h hasta el piso. Señale la afirmación correcta: a) La velocidad de la masa al tocar el piso es proporcional a h. b) La EC de la masa cuando llega al piso es proporcional a /;. c) La EC de la masa al golpear al piso es independiente de m. d) La velocidad de la masa cuando pega en el piso es proporcional a m 21.- Dos automóviles de masa M1 y M2 siendo M1>M2 viajan por una carretera recta. Sus energías cinéticas son iguales. Si el coeficiente de fricción estática entre llantas y pavimento es el mismo para ambos, y se detienen en la distancia mínima sin derrapar: a) el auto 1 se para en menor distancia que el automóvil 2. b) ambos automóviles se detienen en la misma distancia. c) el automóvil 2 se detiene en menor distancia que el automóvil 1. d): a), b) o c) pueden ser ciertos, dependiendo del coeficiente de fricción estática. 22.- Una masa m se empuja hacia arriba por un

18.- Una lenteja de péndulo de masa M se suspende por una cuerda de longitud L. La lenteja se jala hacia un lado para que este a una altura L/4 sobre su nivel cuando cuelga libremente. Si la lenteja se suelta partiendo del reposo, su velocidad en su punto más bajo esta dada por: a) c)

v = MgL 8

gL 2

b)

gL 8

d)

MgL 2

19.- Dos cañones de juguete idénticos A y B disparan proyectiles directamente hacia arriba. El proyectil del cañón A tiene una masa MA y el del B, una masa MB =2MA. La altura que alcanza el proyectil A es H. La altura que logra el proyectil es: a) H / 4 b) H / 2 c) H

2

d) H

piano inclinado que hace el ángulo θ con la horizontal, como se muestra en la figura. En la parte superior del piano inclinado la velocidad de la masa es v. Si la masa partió del reposo y el plano no tiene fricción, el trabajo efectuado es:

θ. 2 b) m.g.L .sen θ + 1 2 mv c) m.g.L. sen θ . 2 d) m.g.L .cos θ + 1 2 mv a) m.g.L. cos

189 23.- Un cañón de juguete dispara un proyectil directo hacia arriba. La altura máxima que alcanza el proyectil es H cuando se ha comprimido el resorte del cañón x cm. Para que el proyectil alcance una altura de 211, el resorte del cañón debe comprimirse: a) 2x cm. b) 4x cm. c) 2x cm

d) 2 2x cm

24.-Se supone que cuando se aplican los frenos, se ejerce una fuerza constante de fricción sobre las ruedas de un automóvil. Si esto es así, se deduce que: a) El coche pierde EC con una rapidez constante. b) La distancia que viaja el automóvil antes de detenerse es proporcional a la velocidad del vehículo justo antes de aplicar los frenos. c) La distancia que recorre el vehículo antes detenerse es proporcional al cuadrado de la velocidad que tenia exactamente antes de aplicar los frenos. d) La EC del automóvil es inversamente proporcional al tiempo, siendo t = 0 el instante en que se aplican los frenos. 25.- Dos masas se sueltan desde una altura H sobre el piso. M1 resbala hacia abajo de un piano inclinado sin fricción que hace un ángulo de 30° con la horizontal; M2 resbala pendiente abajo en un piano semejante que hace un ángulo de 45° con la horizontal. ¿Cual de las afirmaciones siguientes es verdad? a) M1 llega al final después que M2 y la velocidad de M1 en ese punto es menor que la de M2 b) M1 y M2 llegan al final al mismo tiempo y con la misma velocidad. c) M1 alcanza el fondo después que M2 ,pero ambas llegan con la misma velocidad a ese punto d) Ninguna de las afirmaciones anteriores son correctas. 26.- Irma, Miguel y Eduardo cargan bloques de concreto idénticos desde el piso hasta la parte trasera de un camión. Irma levanta sus bloques casi verticalmente del piso hasta el piso del camión. Miguel desliza sus bloques hacia arriba por una tabla tosca. Eduardo desliza sus bloques hacia arriba por un plano inclinado con rodillos sin fricción. La tabla de Miguel tiene la misma longitud que la del plano inclinado sin fricción de Eduardo. Los tres cargan el mismo número de

bloques. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) Irma hace más trabajo que Miguel, y Miguel hace más trabajo que Eduardo. b) Irma y Eduardo hacen el mismo trabajo, y Miguel hace más. c) Miguel hace más trabajo que Eduardo, y este hace más trabajo que Irma. d) Irma, Eduardo y Miguel realizan la misma cantidad de trabajo. 27.- Una piedra se arroja directamente hacia arriba desde el piso de un edificio, con una velocidad inicial v0. En el mismo instante, se lanza una segunda piedra hacia arriba con un ángulo de 60° con la horizontal y con la misma velocidad inicial v0: a) Ambas piedras llegan al piso al mismo tiempo y con velocidades iguales. b) Las dos piedras llegan al piso al mismo tiempo, pero a distintas velocidades. c) Las piedras llegan al piso en tiempos distintos, pero con las mismas velocidades. d) Las piedras llegan al piso en diferentes tiempos y con distintas velocidades. 28.- Una masa m resbala a velocidad constante pendiente abajo por un plano inclinado que hace un ángulo θ con la horizontal. Mientras la masa se mueve una distancia D a lo largo del plano, el trabajo hecho por la fuerza de fricción sobre la masa es: a) –M.g.D. sen θ . b) –M.g.D. cos θ c) –M.g.D. tan θ . d) ninguno de los anteriores. 29.- Una persona de 70 kg. de masa camina por una escalera y sube hasta el tercer piso de un edificio. El trabajo en joules que realizó su peso durante el recorrido, si se sabe que cada piso tiene 4 m. de altura, es:

a) b) c) d) e)

- 5600 - 6500 5600 6500 Ninguna de las anteriores

190

30.- Un resorte de constante k =10 N /cm. se encuentra estirado x 1 =20 cm. El trabajo que costará estirarlo adicionalmente ∆ x =10cm. será:

a) b) c) d) e)

0.25 J 0.35 J 0.15 J 0.05 J Ninguna de las anteriores

31.- Un cuerpo es soltado desde una altura H =240m. ¿ En que relación se encuentran las energías potencial y cinética al cabo de t=4seg?

a) b) c) d) e)

1 2 3 4 Ninguna de las anteriores

32.- Un cuerpo de masa m=5kg. Es lanzado pendiente abajo con una velocidad v 0 =4 m/s. El trabajo neto que realizarán las fuerzas externas a él hasta el instante en que su velocidad es v f = 10 m/s. es:

a) b) c) d) e)

180 J 190 J 200 J 210 J Ninguna de las anteriores

191

RESUMEN TEORICO r

EL MOMENTUM LINEAL p de un cuerpo es el producto de su masa m y su velocidad

r r p = mv

r v.

El Momentum es una cantidad vectorial cuya dirección es de la velocidad. Las unidades del Momentum son kg.m / s en el SI.

r

EL IMPULSO es el producto de la fuerza F por el intervalo de tiempo ∆t durante el cual actúa la fuerza. Sus unidades son N / s en el SI. Un impulso causa variación o cambio en el Momentum. El cambio del Momentum producido por el impulso es igual al impulso en magnitud y dirección. Así si una fuerza constante actúa durante un intervalo de tiempo ∆t sobre un cuerpo de masa m, ésta cambia su velocidad desde una

r vi hasta un valor final v f , entonces:

Impulso = cambio en el Momentum

r r r F ∆t = m ( v f − vi )

r

La segunda ley de newton como la conocemos es F =

r r ∆p r de lo que se sigue que F ∆t = ∆p ∆t

CONSERVACION DEL MOMENTUM LINEAL. Si la fuerza neta externa actuando sobre un sistema de cuerpos es cero, la suma vectorial del Momentum de los objetos se mantiene constante. En colisiones y explosiones la suma vectorial del Momentum justo antes del evento es igual a la suma vectorial del Momentum justo después del evento. La suma vectorial del Momentum de los cuerpos involucrados no cambia durante la colisión o la explosión. Cuando dos cuerpos de masa m1 y m2 colisionan. Momentum total antes del impacto = Momentum total después del impacto

r r r r m1u1 + m2 u2 = m1v1 + mv2 r r r r Donde u1 y u2 son las velocidades antes del impacto, en tanto que v1 y v2 son las velocidades después del impacto. En una dimensión, para las respectivas componentes, tenemos:

m1u1x + m2 u2 x = m1v1x + mv2 x Y de forma semejante para las otras dos componentes, si es el caso. UNA COLISION PERFECTAMENTE ELASTICA es aquella en la que la suma de las energías cinéticas traslacionales de los cuerpos no cambia durante la colisión. En el caso de dos cuerpos,

1 1 1 1 m1u12 + m2 u22 = m1v12 + m2 v22 2 2 2 2 COEFICIENTE DE RESTITUCION Para algunas colisiones entre dos cuerpos en la que los cuerpos se mueven solamente a lo largo de una línea recta se define un coeficiente de restitución, dado por:

e=

v2 x − v1x u1x − u2 x

Donde las componentes en u son antes del impacto, en tanto que las componentes en v son después del impacto. Para una colisión elástica perfecta e=1, para una inelástica e

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