Ball and Beam

1

´ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ´ EN CENTRO DE INVESTIGACION ´ COMPUTACION

Control Dual PD con compensador no-lineal para el sistema mesa esfera

Tesis que presenta el M. en C. Sergio Galvan Colmenares para obtener el grado de Doctor en Ciencias de la Computaci´ on

Directores de Tesis:

Dr. Marco Antonio Moreno Armend´ariz Dr. Floriberto Ortiz Rodr´ıguez (ESIME Zacatenco)

M´exico D.F. 29 de Julio del 2013.

2

3

Dedicatoria A Frida, el amor de mi vida, por su apoyo, cari˜ no y motivaci´ on.

4

Agradecimientos Hace cuatro a˜ nos cuando inici´e el doctorado, el final se ve´ıa muy lejano y el camino parec´ıa muy complicado. Hoy que he logrado mi objetivo, el principio me parece cercano y el camino recorrido lo observo sencillo. Esta sensaci´ on, estoy seguro, la debo en gran manera al apoyo de muchas personas e instituciones. En forma especial quiero agradecer a los siguientes: A mi asesor, el Dr. Marco Antonio Moreno Armend´ ariz por su apoyo incondicional, sus m´ ultiples consejos y sus valiosas ense˜ nanzas. A mi codirector, el Dr. Floriberto Ortiz Rodr´ıguez, por toda su motivaci´ on, su enorme confianza, y su paciencia. A mis compa˜ neros y amigos, por todo su apoyo, su compa˜ nerismo, y sus valiosas sugerencias y comentarios. Al CONACYT por el apoyo econ´ omico que me otorg´ o durante estos cuatro a˜ nos, al Centro de Investigaci´ on en Computaci´ on, por la gran oportunidad de realizar mis estudios en la mejor instituci´ on de computaci´ on del pa´ıs. Finalmente, a mi familia, mis pap´ as, hermanas, por su gran cari˜ no y motivaci´ on. Tambi´en a mi esposa por su paciencia, confianza, y por todas esas alegr´ıas y preocupaciones que compartimos.

5

Resumen El sistema mesa-esfera tiene cuatro grados de libertad y consta de una esfera que puede moverse libremente sobre el plano. Esto lo hace atractivo para poner a prueba m´ ultiples estrategias de control. Este trabajo discute un m´etodo de regulaci´on para el sistema mesa-esfera, el problema es dise˜ nar leyes de control las cuales generan un voltaje u para los servomotores, los cuales mueven la esfera de su posici´on actual hacia la posici´on deseada. Los controladores son construidos agregando compensadores no-lineales a controladores tipo PD. As´ı es posible mejorar la precisi´on del control. Para llegar a esto, primero se describe en que consiste el modelado del sistema a controlar, as´ı como el modelo din´amico al cual es transformado y se describen las propiedades de los elementos que conforman el modelo din´amico. Tambi´en se hace menci´on del m´etodo empleado para encontrar las leyes de control. Se explica las diferentes representaciones del sistema a controlar y se establecen sus respectivas ventajas y desventajas. Para asegurar la estabilidad del sistema completo acoplado,se emplea el m´etodo directo de Lyapunov. Para ello se realiza una transformaci´on del sistema mesa esfera, al modelo general la ecuaci´on din´amica de un robot manipulador. Se plantea el desarrollo matem´atico para obtener la ley de control propuesta, analizando el sistema en lazo cerrado. Por u ´ltimo, se ilustran los resultados obtenidos mediante simulaciones num´ericas. Se muestran las gr´aficas del desempe˜ no del controlador propuesto, se observa el comportamiento de la posici´on y velocidad de la esfera en cada uno de sus ejes de referencia. Tambi´en se realizan diversas simulaciones comparando con otros dos m´etodos para validar las leyes de control propuestas.

6

Abstract The ball and plate system has four degrees of freedom and consists of a ball that can move freely on the plate. This makes it attractive for multiple testing control strategies. In this thesis, the normal proportional derivative (PD) control is modificated into a new dual form for the regulation of a ball and plate system. First, to analyze this controller, a novel complete nonlinear model of the ball and plate system is obtained. Second, an asymptotic stable dual PD control with a nonlinear compensation is developed. Finally, the simulation results of ball and plate system are provided to verify the effectiveness of the proposed methodology.

7

´Indice general Dedicatoria

4

Agradecimientos

5

Resumen

6

Abstract

7

1. Introducci´ on 1.1. Motivaci´on . . . . . . . . . . 1.2. Planteamiento del Problema . 1.3. Hip´otesis . . . . . . . . . . . 1.4. Objetivos . . . . . . . . . . . 1.4.1. Objetivo General . . . 1.4.2. Objetivos Particulares 1.4.3. Aportaci´on . . . . . . 1.5. Estructura de la tesis . . . . . 1.6. Estado del arte . . . . . . . . 1.7. Trabajos relacionados . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

1 1 1 2 2 2 2 2 3 4 5

2. Marco Te´ orico 2.1. El sistema mesa-esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Controlador PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Din´amica y Control de un Robot Manipulador . . . . . . 2.3.1. Modelo mec´anico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Control tipo PD de un Robot Manipulator . . . . 2.4. An´alisis de la Estabilidad de los Sistemas no-lineales . . . 2.4.1. Estabilidad de los Puntos de Equilibrio . . . . . . 2.4.2. Aproximaciones Lineales de los sistemas no-lineales 2.4.3. Estabilidad en el sentido de Lyapunov . . . . . . . 2.4.4. Principio de Invariancia . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. L´ogica Difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Aplicaciones de la l´ogica difusa . . . . . . . . . . . 2.5.2. Teor´ıa de conjuntos difusos . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Funciones de Pertenencia . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4. El Controlador Difuso . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Fusificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Defusificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11 14 15 15 16 16 17 18 20 22 22 23 24 25 26 27 27

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

´INDICE GENERAL

I

3. Control Dual PD con compensador 3.1. Dise˜ no del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Transformaci´on del modelo mesa-esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. An´alisis de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28 28 33 35

4. Evaluaci´ on y discusi´ on 4.1. Fase de simulaci´on: Modelado Matem´atico . . . . . . . . 4.2. Fase de simulaci´on a lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Control PD con Compensador y sin compensador 4.2.2. Control con l´ogica difusa . . . . . . . . . . . . . 4.3. Resultados de simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

44 44 45 46 47 47

5. Conclusiones y trabajos futuros 5.1. Art´ıculos aceptados y en revisi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56 57

Referencias

57

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

´Indice de figuras 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.

Sistema barra esfera construido por Berkeley Robotics Laboratory [38] . Ball and Beam Balancer construido por la universidad de Lakehead [43] Ball and Beam module construido por Quanser [39] . . . . . . . . . . . . Ball and Beam construido por Hirsch [40] . . . . . . . . . . . . . . . . . A Robotic Ball Balancing Beam construido por Lieberman [41] . . . . . Mesa-esfera construido por Cheng [42] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

7 8 9 9 10 10

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

Sistema mesa-esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trayectorias: (a) estable, (b) inestable y (c) asint´oticamente Ejemplos de conjuntos difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . Funci´on de pertenec´ıa de un conjunto difuso triangular . . . Funci´on de pertenec´ıa de un conjunto difuso trapezoidal . . Estructura de un modelo difuso . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

12 18 25 25 26 27

3.1. Esquema de control del sistema mesa-esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

4.1. Bloque de simulink del sistema completo a lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Resultados de Simulaci´on; Desplazamiento de la esfera sobre el eje-x . . . . . . . . . 4.3. Resultados de Simulaci´on; Desplazamiento de la esfera sobre el eje-y . . . . . . . . . 4.4. Resultados de Simulaci´on; Desplazamiento de la mesa sobre el eje-x . . . . . . . . . 4.5. Resultados de Simulaci´on; Desplazamiento la mesa sobre el eje-y . . . . . . . . . . . 4.6. Esquema de control PD Dual con compensador en Simulink . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Bloque de simulink del controlador fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Bloque de simulink de la funciones de membresia de posici´on . . . . . . . . . . . . . 4.9. Bloque de simulink de la funciones de membresia de velocidad . . . . . . . . . . . . . 4.10. Bloque de simulink de la funciones de membresia del par . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11. Bloque de simulink de las reglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12. Resultados de Simulaci´on; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-x sin compensador 4.13. Resultados de Simulaci´on; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-y sin compensador 4.14. Resultados de Simulaci´on; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-x con compensador 4.15. Resultados de Simulaci´on; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-y con compensador 4.16. Comparaci´on tres metodos; Posici´on de la esfera sobre el eje-x . . . . . . . . . . . . . 4.17. Comparaci´on tres metodos; Velocidad de la esfera sobre el eje-x . . . . . . . . . . . . 4.18. Comparaci´on tres metodos; Se˜ nales de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44 45 45 46 46 47 48 48 49 49 50 50 51 51 52 52 53 53

II

. . . . . estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

´Indice de tablas 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

Constantes de los controladores PD . . . . . . . . . . . . Simulaciones con el control PD Dual con Compensador Simulaciones con el control de logica difusa . . . . . . . Simulaciones con el control PD Dual sin Compensador .

III

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

54 54 54 55

Cap´ıtulo 1

Introducci´ on 1.1.

Motivaci´ on

La motivaci´on principal de este trabajo es mostrar la importancia del dise˜ no de controladores para sistemas no-lineales, as´ı como las ventajas y desventajas que conlleva el usar este tipo de controladores. Tambi´en se pone ´enfasis en como el modelado de un sistema f´ısico que es descrito mediante ecuaciones matem´aticas, puede utilizarse para dise˜ nar las leyes de control necesarias para que se comporte de acuerdo con los requerimientos propuestos, tomando en cuenta las limitaciones propias del sistema y de los dispositivos utilizados para alcanzar dichos requerimientos.

1.2.

Planteamiento del Problema

Hoy en d´ıa el control de procesos es usado en una gran variedad de ´ambitos por la eficiencia y seguridad que dan a los sistemas en general, dicho control se realiza ya sea por medio de dispositivos f´ısicos o de software, de los cuales existe una gran diversidad, entre ellos se encuentra el controlador PD que es utilizado extensamente en la industria por las importantes funciones que realiza, las cuales permiten un amplio control de los m´ ultiples sistemas existentes. En la actualidad son muchas las funciones y problemas se trabajan mediante el control de un proceso, ya sea para controlar lo posici´on de un objeto, el nivel de una sustancia, o la temperatura de un l´ıquido, estos controles pueden ser mediante los m´etodos cl´asicos de control despu´es de linealizar el sistema a controlar, o por las nuevas t´ecnicas como la l´ogica difusa, redes neuronales, etc... Tambi´en se realizan controladores para sistemas no-lineales, determinando las leyes de control para los diversos procesos. Lo anterior lleva a la siguiente pregunta: ¿C´omo poder realizar el control de la posici´on mediante 1

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

2

un esquema de control que considere todos el modelo completo y acoplado no-lineal del sistema mesa-esfera?

1.3.

Hip´ otesis

Es posible desarrollar un sistema de control, para un sistema no-lineal sin tener la necesidad de tener que hacer el proceso de linealizar el modelo, y que mediante la comparaci´on con otros m´etodos se demuestre que el control propuesto alcanza el valor deseado en menor tiempo.

1.4.

Objetivos

1.4.1.

Objetivo General

Dise˜ nar un control PD con compensador no-lineal, para control de regulaci´on del sistema mesaesfera y su an´alisis de estabilidad mediante el m´etodo directo de Lyapunov.

1.4.2.

Objetivos Particulares

1. Realizar un estudio del estado del arte sobre los trabajos que utilizan el sistema mesa-esfera. 2. Dise˜ nar las leyes de control para en un sistema de control en cascada para controlar la posici´ on de la esfera sobre la mesa. 3. Desarrollar el an´alisis de estabilidad de un control PD con compensador no-lineal. 4. Llevar a cabo simulaciones en Matlab del sistema, considerando el modelo completo y acoplado.

1.4.3.

Aportaci´ on

La principal aportaci´on de esta tesis es el desarrollar el an´alisis de estabilidad del sistema nolineal completo y acoplado. Para ello adicionalmente se realiza la transformaci´on del modelo del sistema a la forma de la din´amica de un robot manipulador.

1.5. ESTRUCTURA DE LA TESIS

1.5.

3

Estructura de la tesis

La conformaci´on de la tesis es la siguiente:

En la Introducci´on se explica con detalle la motivaci´on de la tesis, se plantea de forma general cual es el problema de control, cu´al es su relevancia y se detalla cada uno de los objetivos particulares.

En el Cap´ıtulo 2 se describe en que consiste el modelado del sistema a controlar, as´ı como el modelo din´amico al cual es transformado y se describen las propiedades de los elementos que conforman el modelo din´amico, por u ´ltimo se hace menci´on del m´etodo empleado para encontrar las leyes de control. Se explica las diferentes representaciones del sistema a controlar y se establecen sus respectivas ventajas y desventajas.

En el Cap´ıtulo 3 se describe la aportaci´on principal de esta tesis, a saber, condiciones para la estabilidad del sistema mesa-esfera bajo una acci´on PD m´as un compensador no-lineal. Se plantea el desarrollo matem´atico de la ley de control propuesta, analizando el sistema en lazo cerrado.

El Cap´ıtulo 4 ilustra los resultados obtenidos mediante simulaciones num´ericas. En este cap´ıtulo se observa de manera gr´afica el desempe˜ no del controlador propuesto, se muestra el comportamiento de la posici´on y velocidad de la esfera en cada uno de sus ejes de referencia. Tambi´en se realizan diversas simulaciones comparando con otros dos m´etodos, para validar las leyes de control propuestas.

En el Cap´ıtulo 5 se discuten los resultados obtenidos en esta tesis, es decir, cuales son las implicaciones de los resultados obtenidos, el impacto de estos, adem´as de detallar cual a sido la principal aportaci´on en el campo de control no-lineal. En esta secci´on tambi´en se mencionan los trabajos futuros que se puede desarrollar a partir de este trabajo de tesis. Finalmente se describe un listado de los art´ıculos que se encuentran aceptados y en revisi´on derivados de este trabajo.

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

4

1.6.

Estado del arte

Los sistemas de control son una parte integral de la sociedad moderna y muchas aplicaciones que nos rodean hace uso de un sistema de control. Un ejemplo de un sistema que utiliza la teor´ıa de control es el sistema mesa-esfera. El sistema mesa-esfera es un modelo muy popular e importante de laboratorio y muy utilizado en la ense˜ nanza de la ingenier´ıa de control del sistemas.

El presente trabajo de tesis, trata del modelado, an´alisis y control visual de un sistema mesaesfera. El sistema mesa-esfera tiene cuatro grados de libertad y consta de una esfera que puede moverse libremente sobre el plano. Esto lo hace atractivo para poner a prueba m´ ultiples estrategias de control. En nuestro caso, incorporamos un sistema de visi´on y un controlador proporcionalderivativo mas un compensador no-lineal. Debido a la naturaleza del objeto a manipular en algunos sistemas, como es el caso del sistema mesa-esfera, es casi imposible utilizar sensores convencionales (ultras´onicos, infrarrojos, de presi´on, etc.) que permitan adaptarse a su entorno y proporcionar informaci´on adecuada para realizar una determinada tarea, ya que esta depende de un conocimiento a priori de su espacio de trabajo y de la localizaci´on del objeto a manipular. Una caracter´ıstica importante del sistema mesa-esfera es la incorporaci´on del sistema de visi´on, el cual tienen como ventaja principal mimetizar el sistema de visi´on humana que es capaz de obtener rasgos del objeto a manipular. Esta informaci´on ser´a usada por el controlador.

Muchos investigadores han investigado el problema de regulaci´on en el sistema mesa-esfera. El sistema mesa-esfera es uno de los mas famosos e importantes modelos de laboratorio para la ense˜ nanza. El sistema mesa-esfera es una planta multi-variable, la cual es la extensi´on de el tradicional sistema barra-esfera [1]-[6]. El sistema barra-esfera tiene dos grados de libertad el cual consiste en una esfera rodando sobre una barra r´ıgida. De otra manera, El sistema mesa-esfera tiene cuatro grados de libertad el cual consiste en que una esfera puede rodar libremente sobre una mesa r´ıgida. Este sistema no a atra´ıdo demasiado la atenci´on ; la principal desventaja de este sistema es la dificultad de construirlo. Sin embargo, se considera que este sistema tiene un enorme potencial como mesa de pruebas para diferentes estrategias de control como control con redes neuronales [7], l´ogica difusa [8]-[12], [13] y [6], control convencional [14], an´alisis de estabilidad [15] y [16], control no-lineal [17]-

1.7. TRABAJOS RELACIONADOS

5

[19], control con modos deslizantes [20],[21] y [22], etc. El objetivo de esta investigaci´on es desarrollar un control PD para regulaci´on con compensaci´on de los t´erminos no-lineales del sistema, capaz de controlar la posici´on de la esfera sobre la mesa para ambos ejes (x, y). La posici´on inicial de la mesa es aquella donde no existe inclinaci´on en ninguno de los ejes. Para mover la esfera de la posici´ on inicial a la posici´on deseada, se generan inclinaciones del plano mediante un servomotor para cada eje. La posici´on de la esfera sobre la mesa ser´a medida mediante una c´amara, ver todos los detalles en [13]. Se ha trabajado con una versi´on del sistema barra-esfera, este sistema tiene dos grados de libertad y nuestro grupo de investigaci´ on a obtenido muy buenos resultados [23]. En este trabajo fue realizado usando el prototipo del sistema mesa-esfera [24], en esta tesis se analizara la estabilidad del control PD para regulaci´on con el modelo no-lineal completo del sistema mesa-esfera.

As´ı que con el fin de mejorar la precisi´on del control y la estabilidad del sistema, se introduce un compensador no-lineal, y se utiliza junto con PD para controlar el movimiento de la esfera sobre el plano.

Las dificultades para controlar el sistema son los siguientes: 1. El sistema mesa-esfera tiene 8 variables de estado, que es dif´ıcil de ser representado por un modelo matem´atico preciso y ser controlado de manera eficaz por algoritmos de control tradicionales. 2. El sistema es no-lineal e inestable.

Las principales aportaciones de este trabajo son la introducci´on de un nuevo algoritmo de control para el sistema mesa-esfera y el an´alisis de estabilidad.

1.7.

Trabajos relacionados

En [25], una nueva funci´on de Lyapunov es propuesta la cual puede ser utilizada para dise˜ nar un esquema de control estable (switching control). Ellos introdujeron nuevos conceptos acerca de sus m´etodos de control mediante Lyapunov. Ellos implementaron herramientas para encontrar un

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

6

esquema de control que sea asint´oticamente estable para el sistema mesa-esfera. En [19], presentan un m´etodo de control de modos deslizantes para el sistema barra-esfera. Los autores dise˜ naron un modelo deslizante estacionario y uno din´amico del sistema. El primero usa el modelo simplificado del sistema barra-esfera para dise˜ nar el modelo estacionario, el segundo es un controlador din´amico de modos deslizantes para el sistema, los autores usan el modelo completo para dise˜ nar estos controladores. En [26], el objetivo de control es controlar un brazo de robot para alcanzar el objeto deseado mediante un sistema de visi´on. Este estudio incluye tambi´en un an´alisis de estabilidad mediante Lyapunov. En esta tesis incluiremos un an´alisis similar de estabilidad mediante el m´etodo de Lyapunov, transformamos el sistema completo del mesa-esfera en una estructura din´amica de robot. En [27] discuten la concepci´on y desarrollo de un sistema mesa-esfera basado en los principios de un dise˜ no mecatronico. Ellos dise˜ nan un controlador basado en el modelo lineal del sistema mesaesfera, un controlador PID controlador es adecuado para obtener una respuesta muy r´apida. Ellos desarrollan su propio prototipo usando la herramienta para prototipos de control en tiempo real del programa dSpace. En [22] los autores presentan un control servo-visual para el sistema mesa-esfera para guiar a la esfera a su trayectoria deseada. Un controlador de modos deslizantes es dise˜ nado. Muchos autores prefieren los t´ecnicas de control difuso, tales como [28], ellos proponen un esquema de control difuso jer´arquico y ellos proponen algoritmos gen´eticos para controlar y ajustar el valor de las funciones de membrec´ıa de salida del controlador difuso para optimizar la trayectoria de la esfera. En [29] y [15], los autores usan un control PD con compensador exacto para realizar la sincronizaci´on de dos sistemas barra-esfera, despu´es una red neuronal de funci´on radial es aplicada para aproximar el compensador no-lineal. En este trabajo la sincronizaci´on puede ser en paralelo y serie y ellos tambi´en discuten la estabilidad del esquema de sincronizaci´on. En [31] G. Wang y Z.S. Sun han realizado una investigaci´on preliminar sobre el sistema mesa-esfera, en el que se detecta la posici´on de la esfera mediante una c´amara, un motor paso a paso se utiliza como mecanismo, y el controlador ha sido dise˜ nado utilizando el m´etodo de control difuso.

El sistema de mesa-esfera en [32] se ha dise˜ nado para prop´ositos educativos y desarrolla para control de seguimiento a trav´es de control geom´etrico y controladores PID. HUMUSOFT [33] es un sistema mesa-esfera que est´a disponible comercialmente.

1.7. TRABAJOS RELACIONADOS

7

El sistema es un punto de referencia para poner a prueba diferentes sistemas de control nolineal. La regulaci´on de la salida (output regulation) del sistema mesa-esfera incluye el control de la regulaci´on y el control de seguimiento de trayectoria. El control de regulaci´on es mantener la esfera en una posici´on deseada sobre la mesa y el seguimiento de una trayectoria se trata de que el control mueva a la esfera para seguir un trazado geom´etrico sobre el plano. Ambas tareas son dif´ıciles, especialmente cuando los problemas de la precisi´on deseada del seguimiento sea alta.

Arroyo [38] construy´o el sistema denominado Barra esfera en 2005, como se observa en la Figura 1.1. El sistema emplea el sensor de hilo resistivo para medir la posici´on de la bola. El sensor de posici´on act´ ua como un limpiador similar a un potenci´ometro.

Figura 1.1: Sistema barra esfera construido por Berkeley Robotics Laboratory [38]

Quanser [39] en el 2006 desarrollo un sistema barra esfera donde la se˜ nal del sensor se procesa en un DSP. Se utiliz´o un motor de corriente continua con un reductor. El sistema estaba controlado por un controlador PD. Este sistema es f´acil de construir, y el controlador PD era f´acil de dise˜ nar. Aunque la posici´on de la pelota fue controlada por el controlador PD, el ´angulo de inclinaci´on de la barra no fue medido ni controlado. Por lo tanto, el sistema puede no ser muy robusto. El Departamento de Ingenier´ıa El´ectrica de la Universidad de Lakehead construy´o un sistema llamado el Ball and Beam

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

8

Balancer [43], como se muestra en la Figura 1.2. El sistema emplea un motor de CC con una caja de cambios integrada, un sensor de la posici´on del alambre resistivo, y un codificador digital. El sistema ten´ıa una entrada (entrada de tensi´on del motor) y dos salidas (la posici´on de la bola y el ´angulo de inclinaci´on de la barra). El sistema puede ser muy robusto debido a que el m´etodo de espacio de estado con el controlador dise˜ nado.

Figura 1.2: Ball and Beam Balancer construido por la universidad de Lakehead [43]

Quanser [39] presenta su producto comercial llamado ball and beam module, que se muestra en la Figura 1.3. El m´odulo de barra y esfera consisti´o en el sensor de posici´on hecho por cables resistivos y un servo motor de corriente continua con una caja reductora. El sistema podr´ıa ser controlado por un controlador PID o un controlador de espacio de estado. Hirsch [40] construy´o su Ball on Beam System en 1999. Una fotograf´ıa del sistema se muestra en la Figura 1.4. El sistema emplea un sensor ultras´onico para medir la posici´on de la bola. El ´angulo de la viga se midi´o mediante el uso de un potenci´ometro. El motor con una caja de cambios fue impulsado con un circuito amplificador operacional de alta potencia. El sistema est´a controlado por un controlador PD. El sistema de Hirsch era f´acil de construir debido a la configuraci´on mec´anica sencilla. Lieberman [41] construy´o un sistema llamado A Robotic Ball Balancing Beam’, que se muestra en la Figura 1.5. El sistema es similar al sistema barra esfera [40]. La diferencia entre los dos sistemas es que el sistema de Lieberman utiliza un sensor de la posici´on del alambre resistivo, y el sistema de Hirsch utiliza un sensor de posici´on ultras´onico.

1.7. TRABAJOS RELACIONADOS

9

Figura 1.3: Ball and Beam module construido por Quanser [39]

Figura 1.4: Ball and Beam construido por Hirsch [40]

Cheng [42] desarroll´o un prototipo de mesa-esfera, figura 1.6. El sistema se construye mediante dos actuadores magn´eticos de suspensi´on de dos grados de libertad. Para obtener un rendimiento de control, emplean un microprocesador de un solo chip, sirviendo como n´ ucleo de control. Realizan el dise˜ no del control a lazo cerrado, y el an´alisis de estabilidad mediante Lyapunov. Varios escenarios de operaci´on din´amica, incluyendo oscilatoria, estabilizaci´on y seguimiento de la trayectoria circular ponen a prueba para verificar el funcionamiento del sistema y su capacidad. El modelado del sistema se reduce de forma que el sistema queda desacoplado, y as´ı resulta m´as f´acil realizar el control.

10

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

Figura 1.5: A Robotic Ball Balancing Beam construido por Lieberman [41]

Figura 1.6: Mesa-esfera construido por Cheng [42]

Cap´ıtulo 2

Marco Te´ orico En este cap´ıtulo se describe en una primera parte el modelo del sistema mesa esfera, el cual consta de cuatro ecuaciones diferenciales, obtenidas mediante el m´etodo de Lagrange, despu´es se describen las principales caracter´ısticas del controlador PD, este controlador es el seleccionado para controlar la posici´on de la esfera sobre la mesa, como se trata de un sistema no-lineal y acoplado se le agrega un compensador para la parte no-lineal, este compensador es encontrado a partir de la transformaci´on del sistema en una ecuaci´on que representa la din´amica de un robot manipulador, cuyas caracter´ısticas se describen en este cap´ıtulo, por u ´ltimo se mencionan las definiciones de estabilidad en el sentido de Lyapunov.

2.1.

El sistema mesa-esfera

Para el sistema mesa-esfera descrito en la Figura 2.1, una esfera es puesta sobre una superficie lisa donde podr´a rodar. El modelado del sistema mesa-esfera es presentado anteriormente en [24], en esta tesis se desarrolla el modelo completo del sistema mesa-esfera, tomando en cuenta el sistema acoplado, para el an´alisis de estabilidad se convertir´a el modelo en la forma de una ecuaci´on general para representar sistemas mec´anicos de la forma descrita en la ecuaci´on (2.1).

M (q)¨ q + C(q, q) ˙ q˙ + G(q) = B q¯ + Dπ

(2.1)

En ausencia de fricci´on o de otros disturbios, la din´amica del sistema mesa-esfera puede ser obtenida mediante el m´etodo de Lagrangiano. 11

´ CAP´ITULO 2. MARCO TEORICO

12

Figura 2.1: Sistema mesa-esfera

La energ´ıa cin´etica del sistema es: 1 1 mv 2 + Icdm w2 2 cdm 2 µ 2 ¶ 1 1 1 x˙ + y˙ 2 1 = m(x˙ 2 + y˙ 2 ) + m(xθ˙x + y θ˙y )2 + Icdm + Icdm (θ˙x2 + θ˙y2 ) 2 2 2 R 2 Ec =

(2.2) (2.3)

donde Ec es la energia cinetica de la esfera; m es la masa de la esfera; Icdm es el momento de inercia de la esfera; R es la velocidad de la esfera; (x˙ 2 + y˙ 2 ) es la velocidad lineal de la esfera; x y y son la posici´on de la esfera sobre la mesa; θx y θy son posiciones angulares de la mesa; w es la velocidad 2 2 angular de la esfera; (θ˙x + θ˙y ) es la velocidad angular de la mesa.

Por otro lado, la energ´ıa potencial debido a la gravedad es: Ep = −mG(x sin(θx ) + y sin(θy ))

(2.4)

donde Ep es la energ´ıa potencial de la esfera; G es la aceleraci´on debido a la gravedad. De (2.3) y (2.4), la ecuaci´on de Lagrange es: 1 1 1 L = m(x˙ 2 + y˙ 2 ) + m(xθ˙x + y θ˙y )2 + Icdm 2 2 2

µ

x˙ 2 + y˙ 2 R

¶

1 + Icdm (θ˙x2 + θ˙y2 ) 2 − mG(x sin(θx ) + y sin(θy )) (2.5)

2.1. EL SISTEMA MESA-ESFERA

13

Las ecuaciones de Lagrange de movimiento son: · ¸ ∂ ∂L ∂L − =0 ∂t ∂ x˙ ∂x

(2.6)

· ¸ ∂L ∂ ∂L − = τx ∂t ∂ θ˙x ∂θx

(2.7)

· ¸ ∂ ∂L ∂L =0 − ∂t ∂ y˙ ∂y

(2.8)

# " ∂L ∂ ∂L − = τy ∂t ∂ θ˙y ∂θy

(2.9)

donde τx y τy son el torque aplicado a la mesa. El sistema completo mesa-esfera esta dado por las ecuaciones (2.10),(2.11),(2.12) y (2.13): µ ¶ Icdm m+ 2 x ¨ − mxθ˙x2 − my θ˙x θ˙y + mG sin θx = 0 R

(2.10)

¢ Icdm + mx2 θ¨x + 2mxx˙ θ˙x + mxy θ¨y + (mxy˙ + mxy) ˙ θ˙y + mGx cos θx = τx

(2.11)

µ ¶ Icdm m + 2 y¨ − my θ˙y2 − mxθ˙x θ˙y + mG sin θy = 0 R

(2.12)

¡ ¢ Icdm + my 2 θ¨y + 2my y˙ θ˙y + mxy θ¨x + (mxy˙ + mxy) ˙ θ˙x + mGy cos θy = τy

(2.13)

¡

donde: x: Representa la posici´on de la esfera sobre el plano en el eje x y: Representa la posici´on de la esfera sobre el plano en el eje y θx : Representa la posici´on angular de la mesa en el eje x θy : Representa la posici´on angular de la mesa en el eje y τx : Torque aplicado al plano en el eje x τy : Torque aplicado al plano en el eje y G: Aceleraci´on debido a la gravedad R: Radio de la esfera M : Masa de la esfera Icdm : Momento de inercia de la esfera es 25 M R2

´ CAP´ITULO 2. MARCO TEORICO

14

2.2.

Controlador PD

Un tipo de controlador que funciona como un amplificador con una ganancia constante k se conoce como control proporcional, ya que la se˜ nal de control a la salida del controlador est´a relacionada con la entrada del controlador mediante una constante proporcional. El controlador de tipo Proporcional derivativo (PD) presenta la siguiente funci´on de transferencia (2.14):

G(s) = KP + KD s

(2.14)

donde KP , KD son las constantes proporcional y derivativa. El control proporcional es un tipo de controlador b´asico, pero utilizado ampliamente en la industria y en muchos de los aparatos de uso cotidiano. La gran extensi´on de su uso radica en que no se necesita conocer mucho sobre teor´ıa de control o modelado matem´atico de sistemas para utilizarlo de forma eficiente, dado la facilidad de sintonizaci´on, si los requerimientos de desempe˜ no no son muy estrictos.

Una de las desventajas de los controladores P y PI, es que su respuesta al escal´on presenta un sobrepaso m´aximo muy grande. Esto es generalmente indeseado, con mayor raz´on en sistemas como el presentado en este trabajo, en donde un sobrepaso grande puede convertirse en sacar la esfera fuera de la mesa. Adem´as de esto, el sobrepaso demanda un esfuerzo extra para los motores y para las partes mec´anicas de la mesa, ocasionando desgaste de los mecanismos y desperdicio de energ´ıa. Si en un control proporcional se intenta disminuir el sobrepaso se debe de disminuir la ganancia proporcional (KP) y esto implica que el sistema sea m´as lento y que tenga un error en estado estacionario mayor. Por otra parte, el controlador PI por s´ı mismo tiene el efecto de aumentar el sobrepaso m´aximo. Si se intenta reducir, se disminuyen las ganancias proporcionales (KP) e integral (KI), lo que tendr´ıa como consecuencia el aumento en el tiempo de asentamiento del sistema y en el tiempo en el que el sistema llega al error cero en estado estacionario. El controlador proporcional y derivativo (PD), soluciona el problema del sobrepaso m´aximo a˜ nadiendo una acci´on correctiva que es proporcional a la derivada del error de posici´on.

´ 2.3. DINAMICA Y CONTROL DE UN ROBOT MANIPULADOR

2.3.

Din´ amica y Control de un Robot Manipulador

2.3.1.

Modelo mec´ anico

15

En este trabajo se transforma el modelo completo y acoplado del sistema mesa-esfera en la forma de la din´amica de un robot manipulador r´ıgido de n eslabones conectados de manera serial[46], la cual se escribe como:

M (q)¨ q + C(q, q) ˙ q˙ + G(q) + F (q) ˙ =τ

(2.15)

donde q ∈ < es el vector de variables articulares y determina la posici´on de los eslabones, q˙ ∈