Balance Macroscopico de Energia

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BALANCE MACROSCOPICO DE ENERGIA MECANICA -Existen numerosas aplicaciones de interés práctico donde resulta más importante evaluar magnitudes vinculadas con la energía del sistema (por ejemplo la potencia W de una bomba necesaria para bombear un determinado caudal de fluido) que magnitudes dinámicas (como caudales, pérdidas de carga, etc). -Por esta razón es necesario realizar un estudio de las diferentes formas de energía y de interconversión de las mismas que pueden existir en un sistema. Salida de masa

Energía Mecánica

Energía Interna

W

Q

Ev Ep

Entrada de masa -Así, la energía puede acumularse como potencial, cinética e interna y puede transferirse como calor o trabajo. -La energía potencial es aquella asociada con la posición de la materia. -La energía cinética es aquella asociada con el movimiento de la materia.

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-La energía interna incluye todas las formas de energía de un sistema, excepto las debidas a la posición (energía potencial) y al movimiento (energía cinética). -Cuando existe una transferencia de energía entre el sistema y los alrededores debido a la existencia de una diferencia de temperaturas, se dice que la energía se transfiere por medio de un flujo calórico o calor Q. -Todos las demás formas de transferir energía entre el sistema y los alrededores que no sean flujo calórico o por transferencia de masa se denominan trabajo W. -Por convención se adopta al trabajo como positivo cuando el sistema lo realiza sobre los alrededores y negativo cuando los alrededores realizan un trabajo sobre el sistema. -Cuando al sistema ingresa o egresa masa se genera una transferencia convectiva de energía cinética, potencial y/o interna. -Resulta útil agrupar las energías cinética y potencial bajo la denominación de energía mecánica diferenciándola de la energía interna. -La energía mecánica puede alterarse por la realización de trabajo o por el ingreso/egreso de masa. -La energía interna puede alterarse por la existencia de un flujo calórico o por el ingreso/egreso de masa. -Cuando se realiza esta "separación" de formas de energía es necesario considerar que parte de la energía mecánica puede transformarse de manera irreversible en energía interna por fricción, E v. Y que ambas formas de energía pueden interconvertirse por efectos de compresión/expansión, Ep. -Con el próposito de poder evaluar magnitudes como la potencia de una bomba es que se realiza un   balance parcial de energía, tomando únicamente en cuenta la energía mecánica del sistema.

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-Objetivo: obtener una expresión matemática para la variación de energía mecánica de un volumen de control arbitrario. -Suposiciones: 1)Se considera que la posibilidad de interconversión de energía mecánica e interna es despreciable frente a la conversión irreversible de energía mecánica en interna (Ev >> Ep). Esta es una buena suposición para fluidos incompresibles. 2)Las secciones de entrada y salida se adoptan normales al vector velocidad -Aplicando el principio de conservación: Velocidad   de

Velocidad   de

Velocidad   de

 acumulació n  de

entrada  de

 salida  de

energía  cinética

energía  cinética

energía  cinética

 y  potencial 

 y  potencial 

 y  potencial 

Velocidad   de

Conversión

 realizació n  de

irreversible  de

 trabajo  sobre

energía  mecánica

los  alrededore s

en energía

int erna

-Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica a un volumen de control arbitrario: S1 W

Volumen de control: Va

S2

h1 Z

h2

Y X 114

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-Se obtiene :  d  K  tot

1 2 v vdA 2

 tot

 dt

1 2 v vdA 2

S1

S2

 pvdA S1

 ˆ vdA S1

 ˆ vdA S2

 pvdA W   E v S2

-Donde:

1 2 v  dV  2

 K  tot

 ˆ

 ˆ dV 

 tot

V  a

V  a

 g x x  g y y  g z z

Energía potencial por unidad de masa.

-El trabajo realizado por el sistema sobre los alrededores se ha desdoblado en dos contribuciones: W representa el trabajo realizado por el sistema sobre partes móviles de los alrededores (por ejemplo mover una turbina) y luego está el trabajo necesario para introducir al fluido en el volumen de control a través de S 1 y para sacarlo a través de S2. -Este trabajo se denomina "trabajo de circulación" y está dado por los términos:  pvdA S1

 pvdA S2

-Recordando la definición de valor medio de una función, podemos definir:

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v 3 dA v3

-Si además, suponemos que , expresión del balance queda:

S

S

y p son constantes sobre S 1 y S2 la

3

3

v  dA  d  K  tot

 tot

 dt

1 S1 S 2 1 1 S1

v  dA

1 S2 S 2 2 2 S2

vdA

 ˆ 1 1 S1 S1 S

vdA

 ˆ 2 2 S2 S 2 S

1

vdA  p1 S1

S1

S1

+ 2

vdA  p2 S 2

S2

W   E v

S2

-Utilizando las definiciones de valores medios:  d  K  tot  dt

 tot

1 2

3 S v 1 1 1

1 2

 p1 S1 v1

 p2 S 2 v 2

3 S v 2 2 2

 ˆ 1

1 S 1 v1

 ˆ 2

2 S2 v2

W   E v

-Esta ecuación es el balance macroscópico de energía mecánica y posee las siguientes restricciones: 1)La interconversión de energía mecánica e interna es despreciable frente a la conversión irreversible de energía mecánica en interna (E v >> Ep).

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2)Las secciones de entrada y salida se adoptan normales al vector velocidad 3)En las secciones de entrada y salida , y p son constantes. -Para régimen turbulento se deberá cumplir que: v3

v

3

-Para régimen laminar o perfiles de velocidad muy distorsionados esta no es una buena aproximación y se utiliza un factor de corrección definido como: v

3

v3

-El valor de tiende a 0.5 para régimen laminar (perfil de velocidad parabólico) y a 1 para régimen turbulento (perfil de velocidad casi plano). -Si el sistema de ejes se toma como en la figura con el eje "z" vertical y apuntando hacia arriba entonces: gx = gy = 0 y gz = -g, por lo tanto:

 ˆ

 gz

-Con estas consideraciones el balance macroscópico de energía mecánica queda:  d  K  tot  dt

 tot

1 S1 v1

3

2 1  p1 S1 v1

2 S2 v2

2 2  p2 S 2 v 2

-Utilizando el operador :

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3 1 S1 v1  gZ1 W   E v

2 S 2 v 2  gZ 2

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 d  K  tot

v

 tot

3

S

 g v SZ  p v S

2

 dt

W   E v

-Donde el primer término del miembro de la derecha representa la entrada neta de energía cinética al volumen de control, el segundo la entrada neta de energía potencial, el tercero el trabajo neto de circulación del fluido, el cuarto el trabajo que el sistema realiza sobre los alrededores y el quinto la conversión irreversible de energía mecánica en interna. -Para el caso particular en que el sistema opera en estado estacionario el balance macroscópico de materia conduce a: 1 v1 S1

2 v2 S2

-Además, en estado estacionario:  d  K  tot

 tot

 dt

0

-Por lo tanto, es posible dividir todos los términos por balance se reduce a: v

2

2  gZ

 p

 ˆ  E  ˆ v W 

v S y el

0

-Donde:

 ˆ W 

W 

 ˆ v  E

v S

 E v v S

COEFICIENTES DE FRICCION -De manera análoga a lo que sucede con el balance macroscópico de cantidad de movimiento, el balance macroscópico de energía mecánica 118

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puede utilizarse de manera directa para calcular E v o para calcular magnitudes de mayor interés aplicado, por ejemplo la potencia necesaria para bombear un determinado fluido. -Cuando se desea calcular alguna magnitud diferente a E v, también de manera análoga a lo que ocurre con F en cantidad de movimiento, es necesario utilizar una vía independiente para evaluar E v. -La metodología utilizada consiste, nuevamente, en definir un coeficiente de fricción adimensional "e v" que deberá ser evaluado experimentalmente. -Para ello se define la siguiente ecuación:

 ˆ v  E

ev

1 2 v , donde v es una velocidad característica del sistema. 2

-Por lo tanto, la siguiente etapa consiste en realizar las evaluaciones experimentales de "ev" para diferentes sistemas de flujo: conductos rectos, accesorios de tuberías, flujo en orificios, sistemas de agitación, etc. COEFICIENTE DE FRICCION EN CONDUCTOS RECTOS -Puesto que el fenómeno que origina a los coeficientes "f" y "e v" es el mismo y que existe una total analogía en el tratamiento de los balances macroscópicos de cantidad de movimiento y de energía mecánica, se puede pensar que debe existir alguna relación entre "f" y "e v". -Así, por ejemplo, en conductos rectos F incluye arrastre de forma y fricción de piel, mientras que E v corresponde a las pérdidas irreversibles de energía mecánica en interna debidas al roce provocado por estos dos mismos fenómenos. -Con el objetivo de encontrar la vinculación existente entre "f" y "e v" para conductos circulares y rectos plantearemos simultáneamente los balances macroscópicos de materia, cantidad de movimiento y energía, aplicándolos a un mismo volumen de control: un tramo del conducto circular y recto.

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-Suponiendo que por el conducto circula un fluido newtoniano de y constantes en estado estacionario y con flujo desarrollado, los balances simplificados resultan:

Plano "1"

L

z

Plano "2"

Plano de referencia

-Balance macroscópico de materia: v1

v2

-Balance macroscópico de cantidad de movimiento:  F

S  p1

 p2

SLg

-Balance macroscópico de energía mecánica: -En estado estacionario: v

2

2  gZ

 p

 ˆ  E  ˆ v W 

0

-Como el flujo es desarrollado 1 = 2 y el sistema no realiza trabajo sobre los alrededores, por lo tanto W=0, se obtiene:

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 ˆ v  E

 p

 g  Z

 p1  p2

 g 0  L

 p1  p2

 gL

-Reemplazando:  F

 ˆ v  E

S

-Si se reemplaza por las definiciones de F y E v en función de "f" y "e v" se obtiene:

4 L

ev

 D

 f 

-Esta ecuación puede generalizarse para conductos de sección no circular en régimen turbulento utilizando el radio hidráulico 4R h=D ev

 L  R h

 f 

-Nótese que para conductos no es necesario realizar una nueva evaluación experimental para obtener "ev" ya que es posible utilizar la evaluación de "f" y luego calcular "e v" con cualquiera de las dos ecuaciones anteriores. COEFICIENTES DE FRICCION EN ACCESORIOS DE TUBERIAS -En las conducciones para fluidos no sólo existen partes rectas sino que además hay diferentes tipos de accesorios: codos, válvulas, contracciones, expansiones, bifurcaciones, etc que contribuyen de manera significativa a las pérdidas irreversibles de energía mecánica. -Para estos accesorios no es posible utilizar la ecuación deducida antes que vincula a "f" y "ev" ya que ésta sólo es válida para conductos rectos. Por esta razón se han realizado evaluaciones experimentales para cada tipo de accesorio. -Por lo tanto, las pérdidas totales de energía mecánica por fricción pueden evaluarse sumando las pérdidas producidas en los tramos rectos y en cada uno de los accesorios existentes en la conducción: 121

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 ˆ v  E  tramos  rectos

1 2  L v  f  2  R h

1 2 v ev 2  accesorios

-Para las pérdidas en cada tramo recto se utiliza la velocidad media correspondiente a ese tramo, mientras que en el caso de los accesorios si se producen cambios de sección es necesario saber si en la evaluación experimental de "ev" se utilizó como velocidad característica la velocidad aguas arriba o aguas abajo del accesorio. -En expansiones bruscas la mayor parte de las pérdidas por fricción se deben a los torbellinos que se producen por desprendimiento de la capa límite al pasar de una zona de baja presión (alta velocidad en el conducto mas estrecho) a una de alta presión (debido a la disminución de velocidad al producirse la expansión).

-Por este motivo cuando se desean disminuir las pérdidas de energía en una conducción se utilizan difusores en los lugares donde es necesario realizar cambios de diámetro en la conducción. En ellos el cambio es gradual, con lo que se evita el desprendimiento de la capa límite y se reducen sustancialmente las pérdidas de energía. Un fenómeno similar existe en las contracciones. LONGITUD EQUIVALENTE DE CAÑERIA -Una forma alternativa de evaluar "ev" en accesorios consiste en utilizar la denominada "longitud equivalente" . -La longitud equivalente se define como: "la longitud de tubería recta y lisa de igual diámetro que el accesorio que produce igual pérdida de energía que éste" .

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-Cuando existen contracciones o expansiones la longitud equivalente se expresa adoptando el diámetro de la conducción de menor sección. -Existen tablas y nomogramas en los cuales están evaluadas las longitudes equivalentes de distintos tipos de accesorios. -Llamando Le a la longitud equivalente, las pérdidas totales de energía mecánica por fricción pueden evaluarse de acuerdo con la siguiente ecuación:

 ˆ v  E  tramos  rectos

1 2  L v  f   R h 2

 accesorios

1 2  Le v  f   R h 2

-El cálculo de Ev utilizando "ev" o "Le" es equivalente.

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