Balance de Energia Mecanica

Cap. 2 Principios de transferencia de momento lineal y balances globales

73

El valor de HI = 0. La ecuación (2.7-10) se convierte en H2-H,+O+O=Q-

0

La ecuación final para el calorímetro es H2 = Q + Hl

(2.7-22)

Al sustituir Q = 2971 kJ/kg y HI = 0 en la ecuación (2.7-22), H2 = 2971 kJ/kg a 250 “C y 150 kPa, que se acerca al valor de la tabla de vapor de 2972.7 kJ/kg. 2.7F

Balance general de energía mecánica

Un tipo de balance de energía más útil para el flujo de fluidos, en especial de los líquidos, es una modificación del balance total de energía que considera la energía mecánica. Casi siempre, a los ingenieros les interesa primordialmente este tipo especial de energía, llamado energía mecánica, que incluye el término de trabajo a la energía cinética, a la energía potencial y la parte de trabajo de flujo del término de entalpía. La energía mecánica es una forma de energía que es, o bien un trabajo, o una forma que puede transformarse directamente en trabajo. Los otros términos de la ecuación de balance de energía ( 2.7-lo), los términos de calor y la energía interna, no permiten una con-versión simple a trabajo debido a la segunda ley de la termodinámica y a la eficiencia de la conversión, que depende de las temperaturas. Los términos de energía mecánica no tienen esta limitación y pueden convertirse casi en su totalidad en trabajo. La energía que se convierte en calor, o energía interna, es trabajo perdido o una pérdida de energía mecánica causada por la resistencia fricciona1 al flujo. Es conveniente escribir un balance de energía en términos de esta pérdida, u, que es la suma de todas las pérdidas por fricción por unidad de masa. Para el caso de flujo de estado estacionario, cuando una unidad de masa pasa de la entrada a la salida, el trabajo realizado por el flujo W’, se expresa como W’= j;pdV-XF

(b >O)

(2.7-23)

Este trabajo W’ difiere de W de la ecuación (2.7-l), que también incluye los efectos de energía cinética y de energía potencial. Escribiendo la primera ley de la termodinámica para este caso, donde hE se transforma en AV, AU=Q-W’

(2.7-24)

La ecuación que define la entalpía, ecuación (2.7-5) puede escribirse como ~=AU~ApV=AU+~~‘~~dV~~~Vd~

(2.7-25)

Al sustituir la ecuación (2.7-23) en la (2.7-24) y combinar el resultado con la ecuación (2.7-25) se obtiene AH=Q+D+jfVdp

(2.7-26)

*

2.7 Balance global de energia

14

Por último, se sustituye la ecuación (2.7-26) en la ( 2.7-10) y llp para V, para obtener la ecuación de balance general de energía mecánica 1 2a [v2 prom - 4 prom ]+g(z, -z,)+jpTp+cF+K

=o

(2.7-27)

Para unidades del sistema inglés, los términos de energía cinética y de energía potencial de la ecuación (2.7-27) se dividen entre g,. El valor de la integral en la ecuación (2.7-27) depende de la ecuación de estado del fluido y de la trayectoria del proceso. Si el fluido es un líquido incompresible, la integral se transforma en (p2 -pl)lp y la ecuación (2.7-27) toma la forma I ,2:

(2.7-28)

EJEMPLO 2.7-4. Balance de energía mecánica en un sistema de bombeo A través de una tubería de diámetro uniforme fluye agua con densidad de 998 kg/m3 y auna velocidad de flujo de masa en estado estacionario. La presión de entrada del fluido es 68.9 kN/m2 abs en la tubería conectada a una bomba que suministra 155.4 J/kg del fluido de la tubería. (La tubería de salida de la bomba es del mismo diámetro que la entrada.) La sección de salida de la tubería está 3.05 más arriba que la entrada y la presión de salida es 137.8 kN/m2 abs. El número de Reynolds de la tubería es superiora 4000 para el sistema. Calcule la pérdida por fricción u en el sistema de tuberías. Solución: Primero se dibuja un diagrama de flujo del sistema (Fig. 2.7-4), con una adición de energía mecánica al fluido de 155.4 J/kg. Por lo tanto, Ws = -155.4, pues el trabajo efectuado por el fluido es positivo. Estableciendo la altura de referencia, z1 = 0, z2 = 3.05. Como la tubería es de diámetro constante, VI = ~2. Además, para un flujo turbulento, M. = 1.0 y

-$-p -v:)=o z2g = (3.05 m)(9.806 mIs*) = 29.9 J/kg

Pz-= 137.8 kN/m’

Vl

PI = 6 8 . 9 kN/m2

FIGURA

2.7-4

Diagrama de jlujo del proceso del ejemplo 2.7-4.

Cap. 2 Principios de transferencia de momento lineal y balances globales

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Puesto que se considera que el líquido es incompresible, se aplica la ecuación (2.7-28) pr _ 68.9 x 1000 - = 69.0 J/kg P 998 &_‘137*8x1000 998 P-

=1380

J/kg

41 usar la ecuación (2.7-28) y despejar D, las pérdidas por fricción:

Sustituyendo los valores conocidos y calculando las pérdidas por fricción: u = - (-155.4) + 0 - 29.9 + 69.0 - 138.0 = 56.5 J/kg (18.9 pie . lbf/lb,) EJEMPLO 2.7-5. Potencia de un motwparir üti ,Tdeflrrio ’ Una bomba que ope~~‘esq un régimen de 69.1 gal/mm extra una solución líquida con !“’ densidad t114.8 Ib, /pie3 de hn tanque de alma-0 que tiene una sección transversal considerable, por rJle$iodeqva de succión de 3.068 pulg de DI. La bomba descarga a través de una linea de 2.067 pulg’de DI a un tanque elevado abierto. El extremo final de la línea de descarga e&a5@pié~por encima del nivel del líquido en el tanque de alimentación. Las pérdidas por fricción en el sistema de tuberías son xF= 10.0 Ib-pie fuerzaAb masa. ¿Qué presión debe desarrollar la bomba y cuál deberá ser su potencia con una eficiencia del 65% (q = 0.65)? El flujo es turbulento. Solución: Primero se traza un diagrama de flujo del proceso (Fig. 2.7-5). Se usará la ecuación (2.7-28). El término Ws en la ecuación (2.7-28) se convierte en

*

w, = - q wp

(2.7-30)

donde - Ws= energía mecánica que la bomba suministra al fluido, esto es, trabajo mecánico neto, q = eficiencia fraccionaria y Wp = energía o trabajo axial suministrado a la bomba.

.4

F IGURA 2.7-5.

Diagrama de @jo del proceso para el ejemplo 2.7-5.

2.7 Balance global de energía

76

Con los datos del apéndice A.5 se sabe que el área de sección transversal de la tubería de 3.068 pulg mide 0.05134 pie2 y la correspondiente a la de 2.067 pulg, 0.0233 pie2. La velocidad de flujo es velocidad de flujo = (69.1 $)(g)( 7~~~gal] = 0.1539 pie3/s

v2 = (0.1539 @$)(,.023i pie2) = 6.61 pies/s

Puesto que el tanque es muy grande, vt = 0. Por lo tanto, v:/2g, = 0. La presión pr = 1 atm y p2 = 1 atm. Además, a = 1 .O ya que el flujo es turbulento. Por consiguiente: p12&0 P P

vi

(6.61)2

_ o 678 pie. %

2g, - 2(32.174)

- *

Lbm

Al usar el dato de referencia de zl = 0 se obtiene, z2 g = (50.0)=& = 50.0 9 m c Al aplicar la ecuación (2.4-28), despejando W, y sustituyendo los valores conocidos:

pie. lbr = 0 - 50.0 + 0 - 0.678 + 0 - 10 = -60.678 r m Al usar la ecuación (2.7-30) y despejando Wp 60.678

pie.

h

Ib, _pie. g3.3

velocidad de flujo de masa =

potencia de la bomba = = 3.00 hp Para calcular la presión a la que debe operar la bomba, la ecuación (2.7-28) se adapta con respecto a la propia bomba entre los puntos 3 y 4 como lo muestra el diagrama,

v3 =

(,,,,, $)[o.051~4 pie2 1 = 3.00 pies/s*

v4 = v2 = 6.61 pie&

Cap. 2 Principios de transferencia de momento lineal y balances globales

Puesto que la diferencia de nivel entre z3 y z4 de la propia bomba es despreciable, puede rechazarse. Reescribiendo la ecuación (2.7-28) entre los puntos 3 y 4 y sustituyendo los valores conocidos (EF = 0 puesto que se trata del sistema de bombeo), (2.7-31)

p i e Ib, = 0 - 0 + 0.140 - 0.678 + 60.678 = 60.14 --jjy-

= 48.0 Ib fuerza/pulg2 (presión en lb/pulg2 desarrollada por la bomba) (331 k Pa) 2.76

abs

Ecuación de Bernoulli para el balance de energía mecánica

En el caso especial en que no se añade energía mecánica (W, = 0) y no hay fricción (% = 0), la ecuación (2.7-28) se convierte en la ecuación de Bernoulli, ecuación (2.7-32), para flujo turbulento, cuya importancia requiere explicaciones adicionales,

zg+3+O=Z*g+!L+B 1

2

P

2

P

(2.7-32)

Esta ecuación cubre muchas situaciones de importancia práctica y se usa con frecuencia junto con la ecuación de balance de masa (2.6-2) para estado estacionario. m = h4v = ~24~~ Se considerarán varios ejemplos de su uso.

EJEMPLO 2.7-6.

Velocidad de flujo a partir de mediciones de presión

Un líquido con densidad constante de,p kg/m3 fluye a velocidad desconocida vl m/s a través de una tubería horizontal cuya área de corte transversal es Al m2 y a presión pl N/m2, para después pasar a una sección de la tubería en la que el área se reduce gradualmente a A2 m2 y la presión es p2. Suponiendo que no hay pérdidas por fricción, calcule las velocidades vl y y con base en la medición de la diferencia de presión (pl-~2).

Solución:

En la figura 2.7-6 se muestra el diagrama de flujo con tomas de presión para medir las presiones p1 y p2 . Con base en la ecuación de continuidad de balance de masa (2.6-2) para una p constante, donde p1 = p2 = p. VI 4 v2 =A2

(2.7-33)

78

2.7 Balance global de energía

FIGURA 2.7-6.

Diagrama de j7ujo del proceso para el ejemplo 2.7-6

Para el caso de la ecuación de Bernoulli (2.7-32) y una tubería horizontal, 21 =q = 0 Entonces, la ecuación (2.7-32) se transforma, al sustituir v2 por la ecuación (2.7-33), 2 o+$+g=o+

v:A;/A; +pz 2

P

(2.7-34)

Al reordenar,

PV:[(4A2)2 -11 PI -P2 =

(2.7-35)

2

vl = P1d

P2 p

(SI)

[(AI,:>’

-11

(2.7-36) v1=

d

PI - P2 ~

p

%c

[(4Ad2

(Unidades del sistema inglés) -11

Según la misma deducción pero en términos de 9,

v2 = PI -p2 2 d p 1-(A,IAd2

(2.7-37)

EJEMPLO 2.7-7. Velocidad de flujo en la tobera de un tanque Una tobera de sección transversal A2 descarga a la atmósfera y está localizada en el costado de un tanque grande en el que la superficie expuesta del líquido está Hm por arriba de la línea central de la tobera. Calcule la velocidad 19 en la tobera y la tasa volumétrica de descarga, suponiendo que no hay pérdidas por fricción. Solución: En la figura 2.7-7 se muestra el flujo del proceso, con el punto 1 situado en el líquido a la entrada de la tobera y el punto 2 a la salida de la misma.

Cap. 2 Principios de transferencia de momento lineal y balances globales

19

Puesto que A 1 es muy grande comparada con AZ, vt E 0. La presión pt es superior a 1 atm (101.3 kN/m2) y la diferencia es la carga de fluido de H m. La presión p2 a la salida de la tobera es de 1 atm. Usando el punto 2 como referencia, 22 = 0 y zl = 0 m; reordenando la ecuación (2.7-32), (2.7-38)

Al sustituir los valores conocidos,

o+o+yLo+$

(2.7-39)

Al despejar y,

v2, =

FIGURA

2.7-7.

2(P* i

P2)

(2.7-40)

m/s

P

Diagrama de flujo de la tobera en el ejemplo 2.7-7.

Puesto que p1 - p3 = Hpg y p3 = p2 (ambas a 1 atm), Hz PI-P2

Pg

(2.7-41)

m

4

donde H es la carga de líquido con densidad p. Entonces, la ecuación (2.4-40) se transforma en (2.7-42)

y = m

La velocidad de flujo volumétrico es velocidad de flujo = y A2

m3Js

(2.7-43)

Para ilustrar el hecho de que pueden usarse diferentes puntos en el balance, utilizaremos ahora los puntos 3 y 2. Escribiendo la ecuación (2.7-32), z2gi2

:P2pP3- ’

2

z3g+-

(2.7-44)