Balance de Energia Con Friccion

PROBLEMAS DE BALANCE DE ENERGÍA CON FRICCIÓN RESUELTOS

1. Con la válvula cerrada, agua circula desde el estanque A al B tal como se muestra en la figura. ¿Cuál es el flujo al estanque B cuando la válvula se abre para permitir también el flujo de agua al estanque C?. Despreciar todas las pérdidas en los accesorios del sistema (válvula, entrada, salidas, etc.), considerar los niveles de los 3 estanques constantes, y asumir que el factor de fricción es 0.02 en todas las cañerías. Usar sistema de unidades internacionales internacionales SI, respuesta en m 3/s.

Balance de materia en la bifurcación: QA = QB + QC, entonces: ρAvAAA = ρBvBAB = ρCvCAC. Dado que: ρA = ρB = ρC y AA = AB = AC, por lo tanto: vA = vB + vC  (1) Ecuación de Bernoulli entre distintos puntos (ver Figura) BA = BD + hfA BD = BB + hfB BD = BC + hfC Como BB = BC, por lo tanto: hf B =hfC f LBvB2/2Dg = f LCvC2/2Dg 40 vB2 = 75 vC2 

(2)

De las ecuaciones: ecuaciones: BA = BD + hfA BD = BB + hfB BA – BB = hfA + hfB 15 = 0.02 x 80 v A2/(2x0.1x9.8) /(2x0.1x9.8) + 0.02 x 40 vB2/(2x0.1x9.8)

(3)

Resolviendo (1), (2) y (3): vA = 3.97 m/s vB = 2.29 m/s MECÁNICA DE FLUIDOS IWQ 221

vC = 1.67 m/s

QB ≈ 0.018 (m3/s) Adrián Rojo O. 1

2. Desde un estanque grande circula agua a través de un filtro, y regresa al mismo estanque tal como se muestra en la figura. La potencia agregada al agua por la bomba es de 200 ft ·lbf/s. Determine el flujo a través del filtro. Usar sistema de unidades inglesas, respuesta en ft 3/s.

Para un circuito cerrado, la ecuación de Bernoulli se reduce a: W – hf = 0 El trabajo (W) se relaciona con la potencia a través de: P = Q W; donde Q es flujo másico (ρvA). Sustituyendo en (1): P/Q = (fL/D + ∑Ki) v2/2gc P = 200 (ft-lb f/s); A = (π/4) 0.12 = 0.0078 (ft 2); ρ = 62.4 (lbm/ft3) Q = 62.4 v 0.0078 L/D = 2000 (-) ∑Ki = 5x1.5 + 12 + 6 + 0.8 + 1 = 27.3 Reemplazando: 200 x 2 x 32.2/(0.0078 x 62.4) = (2000 f + 27.3) v 3 Iteración f (supuesto) 0.038 0.0395

v 6.34 6.28

Re 3.8 104 3.8 104

e/D 0.01 0.01

f (calculado) 0.0395 0.0395

Q = 6.28 x 0.0078 (ft 3/s) = 0.049 (ft3/s)

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3. La manguera de ½ pulgada de diámetro que muestra la figura puede resistir una presión máxima de 200 psi sin romperse. Determinar la máxima longitud, l , permitida si el factor de fricción es 0.022 y el flujo volumétrico es de 0.010 ft3/s (cfs). Desprecie la fricción en la boquilla y use el sistema de unidades inglesas (resultado en ft).

La máxima presión se verificaría a la salida de la bomba. Balance de Energía: (1) descarga de la bomba (2) descarga al ambiente B1 = B2 + hf p1/ρ + v12/2gc + (g/gc)·z1 = p2/ρ + v22/2gc + (g/gc)·z2 + hf Datos: p1 = 200 [psi] p2 = 0 [psi] z1 = 0 [ft] z2 = 10 [ft] v1 = Q/A1 v2 = Q/A2 hf = f·( l  /D)·v12/2gc A1 = (π/4)·D12 = (π/4)·(0.5/12) 2 = 0.00136 [ft 2] A2 = (π/4)·D22 = (π/4)·(0.3/12) 2 = 0.00049 [ft 2] v1 = 7.3 [ft/s] v2 = 20.4 [ft/s] Reemplazando valores: 200·144/62.4 + 7.3 2/2·32.2 + (1)·0 = 0·144/62.4 + 20.4 2/2·32.2 + (1)·10 + 0.022·( l  /(0.5/12)) ·7.32/2·32.2 Despejando:  l  = 1011.2 [ft] ≈ 1011 [ft] MECÁNICA DE FLUIDOS IWQ 221

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4. Agua circula a través de la rejilla instalada en la tubería como muestra la figura. Determinar el coeficiente “número de alturas de velocidad” (K) que sirve para estimar las pérdidas por fricción para la rejilla. Usar sistema de unidades inglesas. (40 puntos)

Balance de Energía: (1) antes de la rejilla (toma del manómetro) y (2) después de la rejilla (toma del manómetro) B1 = B2 + hf hf = B1 – B2 hf = (p1 – p2)/ρ (ya que: v1 = v2 y z1 = z2) También se cumple para la rejilla: hf = Krejilla·v2/2gc Igualando (p1 – p2)/ρ = Krejilla·v2/2gc Krejilla = (2gc/v2)·((p1 – p2)/ρ) Equilibrio estático: p1 + ρagua·(g/gc)·(6/12) = p2 + SG·ρagua·(g/gc)·(6/12) p1 - p2 = ρagua·(SG – 1)·(g/gc)·(6/12) (p1 – p2)/ρ = (SG – 1)·(g/gc)·(6/12) Reemplazando en K rejilla Krejilla = (2·32.2/202)·(3.2 – 1)·(1)·(6/12) = 0.177 ≈ 0.18 [-]

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5. La bomba que muestra la figura entrega una altura de 250 ft al agua. Determinar la potencia que la bomba entrega al agua. La diferencia de elevación entre los dos estanques es de 200 ft. Respuesta en hp, usar sistema de unidades inglesas.

(1) cañería inferior donde se mide la presión estática (piezómetro) (2) descarga en cañería de salida B1 + Hbomba = B2 + hf12 B1 = p1/ρ + v12/2gc + z1·(g/gc) B2 = p2/ρ + v22/2gc + z2·(g/gc) Hbomba = 250 hf12 = (f ·L/D + ΣK L)·v2/2gc Valores conocidos: p1 = p2, v1 = v2 = 0, z2 – z1 = 200 Reemplazando valores: 250 = 200 + (f ·L/D + ΣK L)·v2/2gc ΣK L = válvula + 4codos + entrada + salida = 5.0 + 4·1.5 + 0.8 + 1.0 = 12.8

L/D = 500/0.75 = 666.67 250 = 200 + (f ·666.67 + 12.8)·v2/2·32.2 Despejando para v: v = (3220/(f ·666.67 + 12.8))0.5 Ecuación que se resuelve por iteraciones, considerando ε/D = 0: Sea νagua = 1.40·10-5 ft2/s fsupuesto 0.015 0.0135

v ft/s 11.88 12.15

Re 6.37·105  6.51 ·105 

ε/D

0 0

fcalculado 0.0135 0.0135

Solución: v = 12.15 ft/s Q = v·A = v·π·D2/4 = 12.15·π·0.752/4 = 5.37 ft3/s Potencia = Q·ρ·Hbomba = 5.37·62.4·250 = 83760 ft-lb f/s = 152.3 hp MECÁNICA DE FLUIDOS IWQ 221

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6. Un ventilador produce una velocidad constante de 40 m/s para el aire que circula en el circuito de cañería cerrado que muestra la figura. La cañería de 3 m de diámetro es lisa, y cada uno de los cuatro codos de 90° posee una constante de 0.30 para determinar las pérdidas según el método de las alturas de velocidad. Estimar la potencia que entrega el ventilador al aire. Exprese su resultado en kW y use el sistema de unidades SI. Nota: trate el aire como un fluido incompresible a presión atmosférica estándar y a 20°C, ρ = 1.204 kg/m3, ν = 1.51·10-5 m2/s.

Balance de Energía en el circuito cerrado indica que: Hventilador = hf hf = (f·L/D + ΣKi)·v2/2 L/D = 60/3 = 20 ΣKi = 4·0.30 = 1.2 v2/2 = 402/2 = 800 Determinación de f: Re = Dv/ν = 3·40/1.51·10-5 = 7.95·106, y ε/D = 0 (tubo liso) f = 0.0085 del Diagrama de Moody f·L/D = 0.0085·20 = 0.17 Finalmente: hf = (f·L/D + ΣKi)·v2/2 = (0.17 +1.2)·800 = 1096 J/kg Flujo másico de aire: Aflujo = (π/4)·D2 = (π/4)·32 = 7.07 m2 Waire = ρaire·v·Aflujo = 1.204·40·7.07 = 340.4 kg/s Luego la potencia será: P = Hventilador·Waire = 1096·340.4 = 373103.6 J/s (W) ≈ 373 kW

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PROPUESTOS

1. Dos estanques de grandes dimensiones A y B están conectados por una cañería de acero comercial de 6” de diámetro schedule 40 de 1000 ft de largo total equivalente. Determinar el flujo de descarga entre ambos estanques, si el fluido es agua a 60°F. Ver figura esquemática. Recomendaciones y datos: • Utilice la ecuación (flujo turbulento) para el factor de fricción de Faning de Von Karman para cañerías rugosas. • ε acero comercial = 0.00015 ft • cañería de DN 6’’ schedule 40 DI = 6.065’’ Área de flujo = 0.2006 ft 2 Respuesta:

Q = 2.96 ft3/seg

2. Para aumentar la descarga en el caso anterior, se proponen dos alternativas: a) reemplazar la tubería original por una lisa y b) conectar una cañería de 12” schedule 40 del mismo material de la original en los puntos C y D que se encuentran a 300 y 800 ft de A. Ver figura esquemática Determinar el aumento de la descarga en ambos casos, si el fluido es agua a 60°F.. Recomendaciones y datos: • Utilice la ecuación (flujo turbulento) para el factor de fricción de Faning de Prandtl para cañerías lisas y de Von Karman para cañerías rugosas. • ε tubería lisa ≈ 0.0 ft • ε acero comercial = 0.00015 ft • cañería de DN 6” schedule 40 DI = 6.065” Área de flujo = 0.2006 ft 2 • cañería de DN 12” schedule 40 DI = 11.938” Área de flujo = 0.7773 ft 2 Respuestas:

a) Q = 3.48 ft3/seg b) Q = 4.12 ft3/seg

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3. En los cruces de canales que conducen aguas de lluvia con algunas calles del Gran Santiago, generalmente se producen problemas de inundaciones cuando aumentan las precipitaciones en invierno. Analice la siguiente situación que se produce en un cruce: se dispone para la conducción de las aguas de un tubo de hormigón de 6 [m] de largo y 1.5 [m] de diámetro (rugosidad absoluta ε = 0.01 [ft]) con una inclinación de 2° (entre la entrada y la salida). a) ¿Cuál es la capacidad máxima del cruce? b) En cuánto aumenta el flujo máximo de agua en [m 3/seg] si se aplica un revestimiento superficial al tubo de hormigón para reducir la rugosidad a la de un material liso ( ε ≈ 0.0 [ft]). Para efectos de aproximación desprecie los efectos de fricción en la entrada y la salida del tubo. Nota: Utilice las ecuaciones (flujo turbulento) para el factor de “fricción de Faning” de Von Karman para cañerías muy rugosas y de Prandtl para cañerías lisas.

Respuestas:

a) Q = 11.7 m3/seg b) Q = 21.8 m3/seg 4. La figura muestra un sistema de circulación de lodo de un pozo de perforación de petróleo. El lodo, lubricante de la perforación, desde un estanque de mezcla T circula a la entrada de la bomba P, la cual descarga a través de BD a la cañería de perforación interior DE. Durante la perforación, el flujo de lodo debe ser estacionario en Q = 100 [gpm]. El lodo es un líquido newtoniano con µ  = 5.0 [cP] y la temperatura media de circulación es de 70°F, y su densidad, debido a los agentes y aditivos empleados es ρ  = 67 [lbm/ft3] La cañería de perforación, de 10000 [ft] de profundidad, está rodeada por la envoltura C. En el fondo, el lodo sale como un chorro a través del taladro y circula de retorno a través del espacio anular hasta F, y de allí de vuelta al estanque T. Las cañerías de la superficie tienen un largo total equivalente (incluyendo todas las válvulas, codos, etc.) de 1000 [ft]. El acero de construcción de las cañerías y del pozo de perforación tiene una rugosidad absoluta ε = 0.00015 [ft]. Otras propiedades de las cañerías están dadas por la tabla siguiente:

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Tabla: Datos cañerías (todas de shedule 80) Diámetro Diámetro Diámetro Cañería nominal [”] exterior [”] interior [”] Superficie 2 2.375 1.939 Interior del pozo DE 2 2.375 1.939 Envoltura del pozo C 6 6.625 5.761 Calcular: a. El flujo Q en [ft 3/s] a través del sistema. b. Velocidades medias en [ft/s] en las cañerías de la superficie, en la interior del pozo, y la del espacio anular del pozo. c. Energía disipada por fricción en las cañerías de la superficie, en la interior del pozo, y la del espacio anular del pozo. d. Si la bomba funciona con una eficiencia del 79%, determine la potencia en [hp] del motor requerido. Respuestas: a) Q = 0.2228 [ft 3/s] Superficie: 10.86 [ft/s] b) Pozo: 10.86 [ft/s] Anular: 1.48 [ft/s] Superficie: 283.6 [ft-lb f/lbm] c) Pozo: 2836.1 [ft-lb f/lbm] Anular: 39.9 [ft-lbf/lbm] d) 32.86 ≈ 33 [hp]

5. La figura muestra una pequeña instalación hidroeléctrica. Agua desde el depósito de grandes dimensiones fluye en forma estacionaria a través de una cañería de 12” de diámetro nominal y un largo efectivo total de 1500 ft a una turbina. Finalmente el agua es descargada al ambiente por una cañería corta de 12” (despreciable fricción en este tramo), donde la elevación está a 600 ft por debajo del nivel del depósito. Si el flujo de agua es de 12.5 [ft 3/s], y la combinación turbina/generador produce 425 kw de potencia eléctrica útil, determine lo siguiente: a) La eficiencia de la combinación turbina/generador. b) La presión (psig) a la entrada de la turbina. c) La potencia (kW) disipada por fricción en la cañería. Datos: Diámetro interno de la cañería = 11.939” Rugosidad absoluta = 0.00015 ft Viscosidad del agua = 1.475 cP.

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Respuestas:

a) η = 77.5% b) p = 224.7 ≈ 225 [psig] c) P = 81.9 ≈ 82 [kW] 6. Para el bombeo de kerosene se puede utilizar un gas inerte como el nitrógeno ajustando la presión p1 en el depósito, para que se impulse el flujo deseado al estanque elevado. Si el depósito y el estanque elevado, están conectados por una cañería de acero comercial de 2” DN (Schedule 40) con un largo efectivo total de 150 [ft] incluyendo accesorios, determine la presión p 1 que garantice un flujo de 100 [gpm]. Nota: El kerosene está a 75ºF, ( ρ = 51.0 [lbm/ft3], µ = 4.38 [lbm /ft hr]). Considere el nivel de kerosene en el depósito constante.

Respuesta: p1 = 17.93 ≈ 18 [psig]

7. Diseñar un sistema para conectar 2 estanques. Por el circuito circularán 1.5 [galones/seg] de benceno, las cañerías son de acero comercial Schedule 40. La presión en (1) es de 100[psig], en (2) es de 150 [psig], la densidad del benceno ρ = 0.887 [g/cm 3] y su viscosidad µ = 0.72 [cP]. Determine además: a. Presión en la succión de la bomba b. Presión en la descarga de la bomba c. Potencia del motor de la bomba si la eficiencia η es de 60% Nota: se recomienda que la velocidad de succión sea 2/3 de la velocidad de descarga. MECÁNICA DE FLUIDOS IWQ 221

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Respuestas:

Diseño: Descarga D = 2½” Sch 40 Succión D = 3” Sch 40 a) pS = 106.6 [psig] b) pD = 212.9 [psig] c) P = 9.4 [hp] 8. En una instalación petrolera se descarga petróleo desde los estanques A a 85 [ft] de altura y B a 34 [ft] de altura, hacia un tercer estanque C. Desde los estanques A y B parten tuberías de 12” y cada una de largo 2600 [ft]. Las tuberías se unen en el punto D, desde donde parte una tubería de 20” y 650 [ft ] de largo hasta el estanque C. La viscosidad del petróleo es de 4.7 · 10-4 [lbm/ft· s] y su densidad es de 870 [kg/m 3]. Determine el caudal horario de petróleo descargado en el estanque C. • Plantee las ecuaciones necesarias • Indique el procedimiento de cálculo • Calcule

Respuesta:

Q1 = 34809 [ft 3/hora] Q2 = 21135 [ft 3/hora] Q3 = 55944 [ft 3/hora] 9. Se dispone de agua en un lago a 280 ft de altura sobre una casa de turbinas. Una compañía de prospección determinó la mejor ruta para tirar las tuberías desde el lago hasta la casa de turbinas, con una extensión total de 3100 ft. ¿Cuál es el tamaño mínimo de tubería de manera que el flujo sea de 1000 gpm (galones por minuto), con una presión de entrada a la turbina de 30 psig? Respuesta: D = 5.8”

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10. Agua circula con un flujo de 2.0 [ft 3/s] por una cañería vieja corroída (con herrumbre) de 6 inch de diámetro que tiene una rugosidad relativa de 0.010. Se propone insertar un revestimiento de plástico liso (tipo liner) con un diámetro interior de 5 inch dentro de la cañería vieja, tal como muestra la figura, para que se pueda reducir la caída de presión por cada milla de cañería. Indique si es cierto que la cañería revestida puede transportar el flujo requerido de 2.0 [ft3/s] con una caída de presión mas baja que la cañería vieja. Justifique su respuesta con cálculos apropiados. Respuesta:

Reducción efectiva, caída de presión cañería vieja es 17% mayor. 11. La bomba que muestra la figura agrega 20 kW de potencia al agua que circula a través de ella. La única pérdida significativa en la figura es la que ocurre a través del filtro en la entrada de la bomba. Determine la altura de energía en metros que se pierde en este filtro. Use el sistema SI de unidades.

Respuesta:

hfiltro = 7.69 m 12. Agua escurre desde un estanque presurizado a través de un sistema de cañería, tal como muestra la figura. La altura de energía de la turbina es igual a 116 [m]. Si los efectos de entrada (estanque-cañería) son despreciables, determine el flujo que circula por el sistema en [m 3/s]. Use el sistema SI de unidades.

Respuesta:

Q = 3.71·10-2 [m3/s]

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13. Sin la bomba que se muestra en la figura se puede determinar que el flujo que descarga en (2) es demasiado pequeño. Determine los hp agregados al fluido para que la bomba pueda duplicar el flujo natural anterior. Asuma que el factor de fricción permanece constante en 0.020 en ambos casos, y que el número de altura de velocidad para la entrada (estanque-cañería) es K L = 0.5. Respuesta:

P = 1.51 hp

14. Una central hidroeléctrica funciona bajo las condiciones indicadas en la figura. La altura de fricción asociada con el flujo desde el nivel de agua (1) de la represa a la descarga de la turbina (2) a la atmósfera es de 20 [m]. Cuanta potencia se transfiere desde el flujo de agua a la turbina? Nota: Utilice el sistema de unidades SI y exprese su resultado en [MW]

Respuesta:

P = 23.5 [MW]

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15. Agua debe circular a un flujo de 1.0 [m 3/s] a través de una cañería de concreto (ε = 3 [mm]) que conecta dos estanques. Determine el diámetro de cañería para que circule el flujo indicado, si la diferencia de elevación entre los dos estanques es de 10 [m] y el largo de cañería es de 1000 [m]. Desprecie pérdidas menores o en accesorios. Nota: Utilice el sistema de unidades SI y exprese su resultado en [m] Respuesta:

D = 0.748 [m] 16. Una piscina de 30 [ft] de diámetro y 5 [ft] de profundidad se llena con una manguera de jardín (superficie interior lisa) de 100 [ft] de largo y de 5/8 [inch] de diámetro. Si la presión en el grifo donde se conecta la manguera permanece fija en 55 [psi], cuanto tiempo tomará en llenarse la piscina? El agua sale de la manguera como un chorro libre a 6 [ft] sobre el grifo. Respuesta:

t = 32.0 [h] 17. El suministro de agua potable de una comunidad campesina se obtiene por gravedad desde una laguna ubicada a una altura de 66 ft sobre el nivel donde se ubican los estanques de acopio de la planta de potabilización. Para el transporte del agua se utiliza una cañería de acero comercial de 6” cuyo largo de equivalente total considerando los accesorios de una instalación de este tipo es de 120 ft. El diseño original del suministro contempló sobre-dimensionar en un 20% el flujo demandado por la comunidad, con el propósito de satisfacer posibles aumentos en la demanda del recurso. Sin embargo, a causa del envejecimiento de las cañerías debido a la corrosión, la rugosidad de la superficie interna de la cañería se ha incrementado linealmente con una tasa de 0.0058 [mm/año]. Considerando que la demanda de agua de la comunidad no se ha incrementado ni se incrementará respecto del requerimiento inicial. ¿Es factible mantener vigente el

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 plazo de 10 años, establecido para la renovación de las cañerías del sistema de suministro? ε acero comercial = 0.00015 ft

Respuesta:  Si es factible mantener el plazo de 10 años para la renovación de cañerías, ya que el flujo que se obtiene es mayor que la demanda que no varía.

18. Un código de la asociación de protección contra incendios requiere de una presión mínima de 65 psi en la salida de mangueras de  250 pies de largo y  4  pulgadas de diámetro, cuando el flujo de agua es de 500 gal/min. ¿Cuál es la presión mínima en psi permitida en el carro de los bomberos para suministrar agua a las mangueras? Asuma para las mangueras una rugosidad = 0.03 pulgadas , y utilice el siguiente esquema de ayuda. Viscosidad cinemática del agua a temperatura ambiente = 1.21 10-5 ft  2 /s. Respuesta: p = 94.0 [psi]

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