Balance de Cantidad de Movimiento

BALANCE DE CANTIDAD DE MOVVIMEINTO

Al estudiar los balances de cantidad de movimiento, energía y materia se puede resaltar una similitud en el modo en que son planteados y en la forma en que sus términos son análogos entre sí; Este estudio plantea una comparación entre dichos balances analizando cuatro aspectos significativos: los métodos matemáticos utilizados, la ecuación general del balance, las condiciones límites y las leyes por las cuales está regido cada fenómeno. Primero se selecciona una envoltura delgada de fluido que tenga la misma geometría que el objeto sobre el cual se hace el balance. La ecuación para el flujo rectilíneo en estado estacionario, el balance de

cantidad de movimiento es:

Fuerzas de interés son: Presión (que actúa sobre la superficie) y gravedad (que actúan sobre el volumen).

Transporte de cantidad de movimiento con generación. Un fluido newtoniano fluye hacia arriba en estado estable en el interior de un conducto circular largo de longitud L. Considérese una sección del tubo alejada de los extremos del mismo. Se toma a z como la dirección hacia arriba, y a r como la distancia desde el centro. La velocidad en la dirección z positiva es vz, la que depende de la posición radial. En z = 0 la presión que actúa uniformemente sobre el área transversal πR2 es P0; en z = L es PL. La densidad ρ del fluido se asume constante. En estas condiciones se dice que el flujo está completamente desarrollado, indicando que la velocidad vz es sólo función de r, no cambiando con z. Adicionalmente se supone que

el fluido está en flujo laminar. Esto significa que una partícula trazadora colocada en una posición cualquiera, radial y angularmente hablando, permanece en la misma posición radial y angular a medida que avanza axialmente con el fluido. Para un fluido newtoniano fluyendo en un conducto circular el flujo laminar existe, para valores del número de Reynolds inferiores a 2100. El número de Reynolds es una cantidad adimensional definida, para el caso de conductos circulares por la expresión Re = dvρ/μ. Como problema de diseño se puede pensar en la necesidad de determinar la diferencia de presiones P0 – PL requerida para bombear un fluido con determinada viscosidad a través de un conducto de radio R y longitud L a una velocidad promedio V, con el fin de determinar el tamaño de la bomba necesaria.

Velocidad promedio. Si la densidad es constante, la velocidad promedio v med se define en términos del caudal volumétrico Q’ [m 3/s] por: Q’ = Azvmed, en la que Az es el área transversal (πR2 para el tubo). Para hallar v med a partir de la distribución de

velocidad para tubos vz(r), se debe encontrar primero una ecuación para Q’ en términos de vz. Para hacerlo, se considera un elemento de área dA z = 2πrΔr. El caudal volumétrico para este elemento de área para cualquier z es ΔQ’= vz(2πrΔr). Para hallar el caudal volumétrico para el tubo completo se integra sobre el área transversal, haciendo tender Δr a cero:

Donde dAz es un elemento diferencial de área, normal a la dirección del flujo. En el ejemplo anterior dA z = d(πr2) = 2πrdr. Observando la ecuación es

claro que el cálculo de vmed requiere el conocimiento de vz en cada posición radial. Para esto es necesario realizar un balance de cantidad de movimiento en la dirección z sobre el elemento de volumen ΔV = 2πrLΔr . Como se supuso estado estable no hay aceleración neta y la suma de fuerzas actuando en la dirección z es cero. Estas son fuerzas superficiales como la presión, y del cuerpo o que actúan a través del fluido como las gravitacionales. En general las fuerzas viscosas pueden actuar ya sea perpendicularmente a las superficies del fluido (fuerzas normales) o tangencialmente a las mismas (fuerzas cortantes). Sin embargo, para un fluido incompresible y newtoniano no hay esfuerzos viscosos normales como τzz puesto que éstos dependerían de ∂vz/∂z, que es cero en flujo completamente desarrollado (v z no es función de z). El balance de cantidad de movimiento viscoso en la dirección r y conectivo en la dirección z debe equilibrarse con la suma de fuerzas de presión y gravitatorias que actúan sobre el elemento de volumen, entonces:

Como la velocidad en la dirección z no cambia sobre la misma línea de corriente, el segundo término del lado izquierdo, correspondiente al cambio de cantidad de movimiento convectivo en la dirección z, es cero. Recordando que Sr = 2πrL y ΔV = 2πrLdr, dividiendo por ΔV, evaluando cuando éste tiende a cero, y como por la disposición de los ejes gz = − g:

Ecuación 18.10 ΦM Es el término de generación de cantidad de movimiento. Las condiciones para resolver la ecuación son: En r = 0 r τrz = 0 En r = R vz = 0 Con lo que se obtiene:

Ecuación 18.11

Ecuación 18.12

Ecuación 18.13 de donde: τrz = ΦM (r/2) = τs (r/R). Aquí τs es el flujo de cantidad de movimiento en r = R. Esta expresión indica que la distribución de flujo es lineal. Usando la ley de Newton de la viscosidad: − μ(dvz/dr) = ΦM (r/2). Separando variables e integrando entre r y R se obtiene:

Ecuación 18.14

Transferencia de cantidad de movimiento. El movimiento se transfiere de dos maneras 1. Viscoso: es una transferencia perpendicular al movimiento del fluido. 2. Cinético: es un transferencia paralela al movimiento del fluido.

Procedimiento para la resolución de un problema: 1. Escribir el balance de cantidad de movimiento para una envoltura de espesor finito. 2. Se hace tender el espesor a cero utilizando la definición matemática de la primera derivada con el fin de obtener la ecuación diferencial que describe la distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento. 3. Se introduce la expresión newtoniana de la densidad de flujo de cantidad de movimiento para obtener una ecuación diferencial para la distribución de velocidad. 4. Se resuelve la ecuación para obtener las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de movimiento y de velocidad en el sistema. 5. Se evalúan las constantes de integración utilizando las condiciones límites del sistema.

Los tres procesos de transporte molecular de momento lineal, calor y masa se caracterizan por el mismo tipo de ecuación de transporte.

BALANCES DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN LA ENVOLTURA Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR

Aplicando balances de cantidad de movimiento a una delgada «envoltura» de fluido. La ecuación anterior solamente se aplica cuando las líneas de corriente del sistema son líneas rectas (es decir, para el flujo rectilíneo).

CONDICIONES LÍMITE  En interfasessólido-fluido, la velocidad del fluido es igual a la velocidad con que se mueve la superficie solida se denomina “condición sin deslizamiento”

 En un plano interfaciallíquido-líquido de x constante, las componentes tangenciales de velocidad vy yvz son continuas a través de la interfase  En un plano interfaciallíquido-gas de x constante, las componentes del tensor de esfuerzo

τ xy ' y τ xz'

se toman como iguales a cero.

ANALOGÍAS ENTRE LOS TRES BALANCES