Bài tập môn XSTK

BÀI TẬP

XÁC SUẤT & THỐNG KÊ Ấn bản thứ hai

NGUYỄN VĂN THÌN Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM

LƯU HÀNH NỘI BỘ

BÀI TẬP XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ c 2011, 2012 Nguyễn Văn Thìn

Bản quyền thuộc tác giả. Mọi tổ chức, cá nhân muốn sử dụng tác phẩm dưới mọi hình thức phải được sự đồng ý của chủ sở hữu quyền tác giả. Ấn bản đầu tiên

9/2011

Ấn bản thứ hai

9/2012

Lời nói đầu Ngày nay xác suất và thống kê toán đã trở thành một khoa học có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kĩ thuật khác nhau như: vật lí, thiên văn học, hóa học, sinh học, y học, tâm lí học, kinh tế học . . . Vì thế mà môn học xác suất và thống kê toán đã trở thành môn bắt buộc cơ sở được giảng dạy ở hầu hết các trường đại học, cao đẳng cho các sinh viên ngay từ năm nhất hoặc năm hai. Mục đích của tài liệu này là nhằm giúp bạn đọc thông qua việc giải các bài tập (được trình bày dưới nhiều ngữ cảnh, tình huống và trong nhiều lĩnh vực khác nhau) có thể hiểu đúng bản chất của những khái niệm và phương pháp cơ bản nhất của xác suất và thống kê, và qua đó có thể áp dụng được chúng, đi sâu tìm hiểu được phương pháp thích hợp cho những tình huống cụ thể trong chuyên nghành mà bạn theo đuổi. Tài liệu gồm có hai phần chính cộng thêm phần phụ lục: Phần I là những bài tập về lí thuyết xác suất gồm khoảng 200 bài được sưu tầm và biên soạn gồm bốn chương: • Chương 1 nói về các khái niệm tối thiểu của lí thuyết tập hợp và giải tích tổ hợp, nhằm chuẩn bị các kiến thức để bạn đọc có thể lĩnh hội và giải các bài tập về sau được dễ dàng. • Chương 2 dành cho các bài tập về các khái niệm cơ bản của lí thuyết xác suất chẳng hạn như không gian các biến cố, xác suất cổ điển, xác suất hình học, xác suất có điều kiện, công thức xác suất đầy đủ,. . . • Chương 3 trình bày các bài tập về biến ngẫu nhiên và hàm phân phối cùng các đặc trưng của các biến ngẫu nhiên như kì vọng, phương sai, trung vị,. . . • Chương 4 trình bày các bài tập về các biến ngẫu nhiên thông dụng như biến ngẫu nhiên có phân phối Bernulli, phân phối Poison, phân phối đều, phân phối chuẩn. Phần II là những bài tập thống kê toán học gồm khoảng 70 bài được sưu tầm và biên soạn bao gồm ba chương: • Chương 5 dành cho các bài tập về lí thuyết mẫu, tính toán các đặc trưng của mẫu như trung bình mẫu, phương sai mẫu,. . . • Chương 6 trình bày các bài tập về lí thuyết ước lượng, chủ yếu là ước lượng khoảng cho trung bình, tỉ lệ của tổng thể. i

ii

• Chương 7 nói đến các bài tập về lí thuyết kiểm định các giả thuyết thống kê. Trong mỗi chương tôi có chia ra thành các mục nhỏ theo từng chuyên đề để các bạn có thể rèn luyện chuyên sâu và tập trung hơn. Tài liệu gồm những bài tập để rèn luyện kĩ năng tính toán, rèn luyện tư duy và phương pháp chứng minh cũng như giúp bạn đọc nắm vững và vận dụng các khái niệm cơ bản về xác suất và thống kê. Một số bài tập được đánh dấu (*) là các bài tập khó, thử thách dành cho các sinh viên khá giỏi đã nắm vững và vận dụng sáng tạo các kiến thức đã học trên lớp. Trong tài liệu này đi kèm các bài tập là các chú thích, hướng dẫn, đáp án tùy theo mức độ khó dễ của chúng. Vì khả năng có hạn, chắc chắn tài liệu còn có nhiều thiếu sót, tôi mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các bạn đọc để ấn bản tiếp theo được hoàn thiện hơn.

Tp. Hồ Chí Minh, Mùa hè, 2012

Nguyễn Văn Thìn

Mục lục Lời nói đầu

i

1 Tập hợp - Giải tích tổ hợp

1

1.1

Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Giải tích tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2 Biến cố và xác suất

10

2.1

Biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2

Xác suất cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.3

Xác suất hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.4

Các công thức tính xác suất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.5

Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes . . . . . . . . . . . . . . .

19

3 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối

24

4 Một số phân phối xác suất thông dụng

36

4.1

Phân phối Bernoulli, nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4.2

Phân phối Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

4.3

Phân phối chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

5 Lí thuyết mẫu

46

6 Ước lượng tham số thống kê

49

6.1

Ước lượng trung bình tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

6.2

Ước lượng tỉ lệ tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

6.3

Tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

7 Kiểm định giả thuyết thống kê 7.1

54

So sánh kì vọng với một số cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

54

MỤC LỤC

iv

7.2

So sánh hai kì vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

7.3

So sánh tỉ lệ với một số cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

7.4

So sánh hai tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

A Các bảng phân phối

63

Chương 1

Tập hợp - Giải tích tổ hợp 1.1

Tập hợp

Bài 1.1 (*). Cho dãy tập hợp A1 , A2 , . . . , An , . . .. Chứng minh rằng luôn luôn tồn tại dãy tập hợp B1 , B2 , . . . , Bn , . . ., sao cho: (a) Các Bi từng đôi một rời nhau; S∞ S (b) ∞ k=1 Bk . i=1 Ai = Hướng dẫn. Hãy bắt đầu với hai trường hợp dễ nhất n = 2 và n = 3. Chú thích.

S∞

i=1



Ai = {x|∃n, x ∈ An }.

Bài tập này chỉ ra cách xây dựng một họ các tập rời nhau từ một họ các tập bất kì.



Bài 1.2. Chứng minh rằng các hệ thức sau đây tương đương nếu A và B là tập hợp con của Ω: A ∪ B = Ω, A ⊂ B, B ⊂ A. Hướng dẫn. Hãy chứng minh A ∪ B = Ω ⇒ A ⊂ B ⇒ B ⊂ A ⇒ A ∪ B = Ω.



Bài 1.3. Khẳng định sau có đúng hay không: "nếu A, B, C là các tập con của tập Ω sao cho A ⊂ B ∪ C và B ⊂ A ∪ C thì B = ∅" ? Bài 1.4. Chứng minh rằng nếu A, B, C là các tập hợp con của tập hợp Ω, sao cho A ∩ B ⊂ C và A ∪ C ⊂ B, thì A ∩ C = ∅

Bài 1.5. Tìm biểu thức đơn giản của các biểu thức sau: (a) (A ∪ B)(A ∪ C) (b) (A ∪ B)(A ∪ B) 1

1.1. TẬP HỢP

2

(c) (A ∪ B)(A ∪ B)(A ∪ B) (d) (A ∪ B)(A ∪ B)(A ∪ B) (e) (A ∪ B)(B ∪ C) Bài 1.6. Hệ thức nào trong các hệ thức sau đây đúng. Nếu đúng hãy chứng minh, nếu sai hãy cho ví dụ minh họa. (a) A ∪ B ∪ C = A ∪ (B \ AB) ∪ (C \ AC) (b) A ∪ B = (A \ AB) ∪ B (c) (A ∪ B) \ A = B (d) (A ∪ B) \ C = A ∪ (B \ C) (e) ABC = AB(C ∪ B) (f) AB ∪ BC ∪ CA ⊃ ABC (g) (AB ∪ BC ∪ CA) ⊂ (A ∪ B ∪ C) (h) ABC ⊂ A ∪ B (i) A ∪ BC = AC ∪ BC (j) A ∪ BC = C \ (C(A ∪ B)) Chú thích. Đôi khi vì sự đơn giản và tiện lợi người ta viết AB thay cho A ∩ B, A + B thay cho A ∪ B và A0 hoặc Ac thay cho A. Chữ c nhỏ trong Ac là viết tắt của từ "complement" (phần bù) trong tiếng Anh. 

Bài 1.7. Chứng minh rằng: (a) A ∪ B ∪ A ∪ B = A (b) (A ∪ B)AB = AB ∪ BA Bài 1.8. Chứng minh (a) Nếu A ∪ B = AB thì A = B (b) A ∪ BC ⊃ (A ∪ B)C (c) Nếu A1 ⊂ A, B1 ⊂ B và A ∩ B = ∅ thì A1 ∩ B1 = ∅ Bài 1.9. Hệ thức nào trong các hệ thức sau đây đúng? Đối với các hệ thức sai, hãy chỉ ra điều kiện để hệ thức đúng. (a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (b) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (c) (A ∪ B) ∩ C = A ∪ (B ∩ C)

1.1. TẬP HỢP

3

(d) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) Bài 1.10. Cho A, B, C là các tập con của Ω. Đặt A 4 B = (A \ B) ∪ (B \ A). Chứng minh: (a) B 4 A = A 4 B (b) A 4 ∅ = A (c) A 4 A = ∅ (d) A 4 Ω = A (e) A 4 B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) (f) (A 4 B) 4 C = A 4 (B 4 C) Chú thích. Phép toán 4 ở trên gọi là hiệu đối xứng. Hiệu đối xứng của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A 4 B, là tập hợp gồm các phần tử chỉ thuộc A hoặc chỉ thuộc B, không đồng thời thuộc cả A và B. 

Bài 1.11. Cho A, B, C là các tập con của Ω. Chứng minh: (a) ((A ∩ B) ∪ (C ∩ D))0 = (A0 ∪ B 0 ) ∩ (C 0 ∪ D0 ) (b) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B 0 ) ∩ (A0 ∪ B) ∩ (A0 ∪ B 0 ) = ∅ (c) A \ B = A ∩ (A 4 B) (d) A ∪ B = (A 4 B) 4 (A ∩ B) (e) (A ∩ B 0 ) 4 (B ∩ A0 ) = A 4 B (f) A 4 B = C 4 D ⇒ A 4 C = B 4 D (g) A ∩ (B 4 C) = (A ∩ B) 4 (A ∩ C) (h) A 4 B = (A 4 C) 4 (C 4 B) Bài 1.12 (*). Cho A ⊂ Ω. Định nghĩa, IA , là hàm chỉ (the indicator function, hay người ta còn gọi là hàm đặc trưng - the characteristic function) của A như sau: IA : Ω → [0, 1] với

( IA (x) :=

1 nếu x ∈ A 0 nếu x ∈ A0

(a) Cho A, B là các tập con của Ω. Chứng minh rằng A = B nếu và chỉ nếu IA = IB (b) Chứng minh các hệ thức sau i. IΩ = 1; I∅ = 0 ii. IA∩B = IA IB

1.2. GIẢI TÍCH TỔ HỢP

4

iii. IA∪B = IA + IB − IA IB iv. IA0 = 1 − IA v. IA4B ≡ IA + IB (mod 2) vi. IA\B = IA (1 − IB ) (c) Bằng cách sử dụng các hệ thức liên quan đến hàm chỉ trong câu b, chứng minh các hệ thức liên quan đến tập hợp trong bài 1.11 Chú thích. Cho số nguyên dương n, hai số nguyên a, b được gọi là đồng dư theo mô-đun n nếu chúng có cùng số dư khi chia cho n (tức là a − b chia hết cho n). Kí hiệu là a ≡ b (mod n). Ví dụ: 1 ≡ 3 (mod 2). 

Bài 1.13 (*). Cho Ω là một tập hợp và giả sử rằng R là một tập khác rỗng các tập con của Ω. Ta nói rằng R là một vành các tập con của Ω nếu (A ∈ R và B ∈ R) ⇒ (A ∪ B ∈ R và A \ B ∈ R). (a) Giả sử R là một vành các tập con của Ω. Chứng minh rằng ∅ ∈ R. (b) Cho một ví dụ một vành R các tập con của Ω sao cho Ω ∈ / R. (c) Gọi R là một tập các tập con của Ω. Chứng minh rằng R là một vành nếu và chỉ nếu (A ∈ R và B ∈ R) ⇒ (A ∩ B ∈ R và A 4 B ∈ R). (d) Cho S là một tập các tập con của Ω. Giả sử rằng (A ∈ S và B ∈ S) ⇒ (A ∩ B ∈ S và A \ B ∈ S). Chứng minh rằng S không nhất thiết là một vành các tập con của Ω. (e) Chứng minh rằng giao của hai vành các tập con của Ω là một vành các tập con của Ω. Hướng dẫn. Trong câu (c), sử dụng kết quả câu (c) và (d) trong bài 1.11

1.2



Giải tích tổ hợp

Bài 1.14. Nếu một người có 6 đôi vớ khác nhau và 4 đôi giày khác nhau. Có bao nhiêu cách kết hợp giữa vớ và giày? Đáp án. 24.



Bài 1.15. Một lớp có 40 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra một ban cán sự lớp gồm 3 người: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quỹ. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn ban cán sự lớp? Đáp án. 59280.

Bài 1.16. Một lô hàng có 50 sản phẩm.



1.2. GIẢI TÍCH TỔ HỢP

5

(a) Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên cùng lúc 5 sản phẩm để kiểm tra? (b) Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên lần lượt 5 sản phẩm? Đáp án. (a) 2118760 (b) 254251200.



Bài 1.17. Trong một hệ thống điện thoại nội bộ 3 số (a) có bao nhiêu máy có các chữ số khác nhau? (b) Có bao nhiêu máy có số 9 ở cuối còn các chữ số còn lại đều khác nhau? Đáp án. (a) 720 (b) 90.



Bài 1.18. Mã vùng điện thoại của một quốc gia có dạng một dãy gồm 3 số. Số đầu tiên là một số nguyên nằm giữa 2 và 9., số thứ hai là 0 hoặc 1, và số thứ ba là một số nguyên bất kì từ 1 đến 9. (a) Có thể có tối đa bao nhiêu mã vùng? (b) Có bao nhiêu mã vùng bắt đầu với số 4? Đáp án. (a) 144 (b) 18



Bài 1.19. Một hộp có 8 bi đỏ, 6 bi trắng, 4 bi vàng. Người ta chọn ra 6 bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu: (a) Không yêu cầu gì thêm. (b) Phải có 2 bi đỏ, 2 bi trắng, 2 bi vàng. (c) Có đúng 2 bi vàng. Đáp án. (a) 18564 (b) 2520 (c) 6006.



Bài 1.20. Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B còn 4 người trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công? Đáp án. 1260.



Bài 1.21. Một tổ sản xuất có 12 người, trong đó có 4 nữ, cần chia thành 4 nhóm đều nhau. Hãy tìm số cách phân chia sao cho mỗi nhóm có 1 nữ? Đáp án. 10080.



Bài 1.22. Xếp 12 hành khách lên 4 toa tàu. Tìm số cách sắp xếp: (a) Mỗi toa có 3 hành khách. (b) Một toa có 6 hành khách, một toa có 4 hành khách, 2 toa còn lại mỗi toa có 1 hành khách.

1.2. GIẢI TÍCH TỔ HỢP

6

Đáp án. (a) 369600 (b) 665280.



Bài 1.23. (a) Có bao nhiêu cách xếp 3 nam và 3 nữ ngồi thành một hàng? (b) Có bao nhiêu cách xếp 3 nam và 3 nữ ngồi thành một hàng nếu mỗi nam và mỗi nữ ngồi cạnh nhau? (c) Có bao nhiêu cách xếp nếu 3 nam phải ngồi cạnh nhau? (d) Có bao nhiêu cách xếp nếu không có hai nam hoặc hai nữ nào được ngồi cạnh nhau? Đáp án. (a) 720 (b) 72 (c) 144 (d) 72.



Bài 1.24. Có 6 học sinh được sắp xếp ngồi vào 6 chỗ đã ghi số thứ tự trên một bàn dài. Tìm số cách xếp (a) 6 học sinh vào bàn. (b) 6 học sinh này vào bàn sao cho 2 học sinh A, B ngồi cạnh nhau. (c) 6 học sinh này ngồi vào bàn sao cho 2 học sinh A, B không ngồi cạnh nhau. Đáp án. (a) 720 (b) 240 (c) 480.



Bài 1.25. Năm người A, B, C, D, E sẽ phát biểu trong một hội nghị. Có bao nhiêu cách sắp xếp để: (a) B phát biểu sau A. (b) A phát biểu xong thì đến lượt B. Đáp án. (a) 120 (b) 24.



Bài 1.26. Từ 8 sinh viên nữ và 6 sinh viên nam, một nhóm làm việc gồm 3 nam và 3 nữ phải được lập ra. Có bao nhiêu cách lập nhóm nếu (a) 2 trong số các sinh viên nam không chịu làm việc cùng nhau? (b) 2 trong số các sinh viên nữ không chịu làm việc cùng nhau? (c) 1 nam và 1 nữ không chịu làm việc cùng nhau? Đáp án. (a) 896 (b) 1000 (c) 910.



Bài 1.27. Một người có 8 người bạn. Người này dự định mời 5 trong số 8 người bạn tham dự một bữa tiệc liên hoan. Có bao nhiêu cách chọn nếu (a) 2 trong số các người bạn giận nhau và sẽ không tham dự cùng nhau? (b) 2 trong số các người bạn sẽ chỉ tham dự cùng nhau? Đáp án. (a) 36 (b) 26.



1.2. GIẢI TÍCH TỔ HỢP

7

Bài 1.28. Xét một lưới các điểm được cho như hình bên dưới. Giả sử bắt đầu tại điểm A, ta có thể đi một bước lên trên hoặc một bước ngang sang phải và tiếp tục như vậy cho đến khi đến được điểm B. Hỏi có bao nhiêu đường đi từ A đến B? s s s s sB

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

A Đáp án. 35.



Hướng dẫn. Chú ý rằng để đến B, ta cần đi 4 bước ngang sang phải và 3 bước lên trên.



Bài 1.29. Trong bài 1.28, có bao nhiêu đường đi từ A đến B qua C như trong hình bên dưới? s s s s sB

s

s

sC

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

A Đáp án. 18



Bài 1.30. Các đại biểu đến từ 10 nước trong đó có Nga, Pháp, Anh, và Mỹ được xếp ngồi vào một hàng ghế. Có bao nhiêu cách xếp chỗ sao cho đại biểu Anh và Pháp ngồi kế nhau và đại biểu Nga và Mỹ không ngồi kế nhau? Đáp án. 564480.



Bài 1.31 (*). 8 món quà giống nhau được chia cho 4 bạn. (a) Có bao nhiêu cách chia? (b) Có bao nhiêu cách chia nếu mỗi bạn nhận ít nhất một món quà? Đáp án. (a) 165 (b) 35



Bài 1.32 (*). Ta có 20 triệu đồng để đầu tư vào 4 hạng mục. Mỗi khoản đầu tư phải là bội số của 1 triệu đồng và mỗi hạng mục đều yêu cầu một khoản đầu tư tối thiểu nếu ta đầu tư vào đó. Các khoảng đầu tư tối thiểu này tương ứng là 2, 2, 3 và 4 triệu đồng. Có bao nhiêu cách đầu tư nếu ta đầu tư

1.2. GIẢI TÍCH TỔ HỢP

8

(a) cả 4 hạng mục? (b) ít nhất 3 trong 4 hạng mục? Đáp án. (a) 220 (b) 572



Bài 1.33. Các chữ cái của các từ sau đây có thể được sắp xếp theo bao nhiêu cách? (a) HANOI (b) NGHEAN (c) NHATRANG Đáp án. (a) 120 (b) 360 (c) 10080



Bài 1.34 (*). Người ta có thể sắp xếp các chữ cái của từ MUHAMMADAN theo bao nhiêu cách sao cho 3 chữ cái giống nhau không ở gần nhau? Chú thích. Muhammadan, trong tiếng Anh, là một tính từ và có nghĩa là (thuộc/liên quan đến) đạo Hồi.



Đáp án. 88080.



Bài 1.35. Cho số nguyên n ≥ 2, chứng minh rằng (a) 1 + Cn1 + Cn2 + · · · + Cnn = 2n (b) 1 − Cn1 + Cn2 + · · · + (−1)n Cnn = 0 (c) Cn1 + 2Cn2 + · · · + nCnn = n2n−1 (d) Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 + · · · + (−1)n−1 nCnn = 0 (e) 2.1.Cn2 + 3.2.Cn3 + · · · + n(n − 1)Cnn = n(n − 1)2n−2 Hướng dẫn. Sử dụng công thức nhị thức Newton.



Bài 1.36. Cho m, n là các số nguyên dương. Chứng minh rằng n+1 n n n Cnn + Cn+1 + Cn+2 + · · · + Cn+m = Cn+m+1 k+1 Hướng dẫn. Sử dụng hệ thức Cn+1 = Cnk + Cnk+1 .

Bài 1.37. Cho m, n, r là các số nguyên dương. Chứng minh rằng (a)

m X

r+1 r+1 r Cn−k = Cn+1 − Cn−m

k=0

(b)

m X k=0

m (−1)k Cnk = (−1)m Cn−1



1.2. GIẢI TÍCH TỔ HỢP

9

k+1 Hướng dẫn. (a) Sử dụng hệ thức Cn+1 = Cnk + Cnk+1 . (b) Quy nạp.



Bài 1.38. Chứng minh rằng với các số nguyên dương n, k k−1 k−2 0 Cn0 Cnk − Cn1 Cn−1 + Cn2 Cn−2 − · · · + (−1)k Cnk Cn−k =0

Tổng quát hơn, k X

k−i i Cni Cn−i t = Cnk (1 + t)k

i=0

Bài 1.39 (Hệ thức Vandermonde). Giả sử m, n, r là các số nguyên dương. Chứng minh rằng 0 r 1 r−1 r 0 Cm Cn−m + Cm Cn−m + · · · + Cm Cn−m = Cnr Chú thích. Hệ thức này được tìm ra bởi nhà toán học Alexandre-Théophile Vandermonde vào thế kỉ 18.



Hướng dẫn. So sánh các hệ số tr trong hai vế của hệ thức (1 + t)m (1 + t)n−m = (1 + t)n .



Bài 1.40. Chứng minh rằng Cn0


2

+ Cn1


2

n + · · · + (Cnn )2 = C2n

Hướng dẫn. Áp dụng bài 1.39.



Bài 1.41. Chứng minh rằng n X k=0

2n! n 2 = (C2n ) − k)!]2

(k!)2 [(n

Hướng dẫn. Áp dụng bài 1.40.



Bài 1.42 (*). Cho r ≤ n là các số nguyên dương. Chứng minh rằng ( n X 0 nếu r < n (−1)n−k Cnk k r = n! nếu r = n k=0

Hướng dẫn. Xét đạo hàm cấp r của (1 − et )n tại t = 0.



Bài 1.43. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 Cn1 − Cn2 + · · · + (−1)n−1 Cnn = 1 + + + · · · + 1 2 n 2 3 n Hướng dẫn. Tích phân trên [0, 1] hệ thức

n−1 X k=0

(1 − t)k = [1 − (1 − t)n ]t−1 .



Chương 2

Biến cố và xác suất 2.1

Biến cố

Bài 2.1. Một hộp bút có 3 cây bút xanh, đỏ, tím. Xét phép thử lấy ra một cây bút từ hộp, sau đó trả lại hộp và rút ra cây bút thứ hai. (a) Hãy mô tả không gian mẫu. (b) Trong trường hợp cây bút thứ nhất không được trả lại hộp, hãy mô tả không gian mẫu. Bài 2.2. Khi nào thì có các đẳng thức sau: (a) A + B = A (b) AB = A (c) A + B = AB Hai sự kiện A và A + B có xung khắc không? Đáp án. (a) A = ∅, B = Ω (b) A = Ω, B = ∅ (c) A = B; Có.



Bài 2.3. Một chiếc tàu thủy gồm một bánh lái, 4 nồi hơi, 2 tuốc bin. Gọi A, Bi (i = 1, . . . , 4), Cj (j = 1, 2) lần lượt là các sự kiện bánh lái hoạt động tốt, nồi hơi thứ i hoạt động tốt, tuốc bin thứ j hoạt động tốt. Biết rằng tàu hoạt động tốt khi và chỉ khi bánh lái, ít nhất 1 nồi hơi và ít nhất một tuốc bin đều hoạt động tốt. Gọi D là sự kiện tàu hoạt động tốt. Hãy biểu diễn D và D qua A, Bi , Cj . Bài 2.4. Có 4 sinh viên làm bài thi. Kí hiệu Bi (i = 1, . . . , 4) là biến cố sinh viên thứ i làm bài thi đạt yêu cầu. Hãy biểu diễn các biến cố sau đây: (a) Có đúng một sinh viên đạt yêu cầu. (b) Có đúng ba sinh viên đạt yêu cầu. (c) Có ít nhất một sinh viên đạt yêu cầu. 10

2.1. BIẾN CỐ

11

(d) Không có sinh viên nào đạt yêu cầu. Bài 2.5. Tung hai con xúc sắc. Gọi E là biến cố tổng số nốt là lẻ, F là biến cố xuất hiện mặt một nốt, và G là biến cố tổng số nốt là 5. Hãy mô tả các biến cố sau EF , E ∪ F , F G, EF c , và EF G. Đáp án. EF = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (4, 1), (6, 1)}; F G = {(1, 4), (4, 1)}; EF G = {(1, 4), (4, 1)}.



Hướng dẫn. Trước hết hãy viết ra không gian mẫu Ω và các biến cố E, F và G.



Bài 2.6. Xét phép thử: Gieo một xúc xắc 2 lần. Mô tả không gian biến cố sơ cấp ứng với phép thử trên? Gọi A: "Tổng số nốt chia hết cho 3”, B: "Trị tuyệt đối của hiệu số nốt là số chẵn”. Biểu diễn A, B? Bài 2.7. A, B và C thay phiên nhau lần lượt tung một đồng xu. Người đầu tiên tung được mặt ngửa là người thắng cuộc. Không gian mẫu của thí nghiệm này được định nghĩa như sau S = {1, 01, 001, 0001, . . . , 0000 · · · } (a) Hãy giải thích không gian mẫu trên. (b) Hãy mô tả các biến cố sau theo cách biểu diễn của S: (i) A = “A thắng”. (ii) B = “B thắng”. (iii) (A ∪ B)c . Giả sử rằng A tung đầu tiên, sau đó đến B, đến C, rồi quay lại A, tiếp tục như vậy. Bài 2.8. Một hệ thống máy có năm bộ phận. Mỗi bộ phận có thể hoạt động hoặc bị hư. Xét một phép thử quan sát tình trạng của các bộ phận này, và kết quả của phép thử được ghi lại trong một vector (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ), với xi bằng 1 nếu bộ phận i hoạt động và bằng 0 nếu bị hư. (a) Có bao nhiêu biến cố sơ cấp trong không gian mẫu của thí ngiệm này? (b) Giả sử rằng hệ thống hoạt động nếu bộ phận 1 và 2 đều hoạt động, hoặc nếu bộ phận 3 và 4 đều hoạt động, hoặc nếu bộ phận 1, 3 và 5 đều hoạt động. Gọi W là biến cố hệ thống hoạt động. Hãy biểu diễn W . (c) Gọi A là biến cố các bộ phận 4 và 5 đều bị hư. A có bao nhiêu biến cố sơ cấp? (d) Hãy biểu diễn biến cố AW . Đáp án. (d) AW = {(1, 1, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0, 0)}.



Bài 2.9. Xét một phép thử bao gồm xác định loại công việc lao động–hoặc lao động trí óc hoặc lao động chân tay–và nơi sinh–miền Bắc, miền Trung, hoặc miền Nam–của 15 thành viên thuộc một đội bóng nghiệp dư. Hỏi có bao nhiêu biến cố sơ cấp

2.2. XÁC SUẤT CỔ ĐIỂN

12

(a) trong không gian mẫu? (b) trong biến cố “có ít nhất một trong các thành viên là lao động trí óc”? Đáp án. (a) 615 (b) 615 − 315 .



Bài 2.10. Cho A, B là hai biến cố ngẫu nhiên đã biết. Tìm biến cố X từ hệ thức: X +A+X +A=B Đáp án. X = B.



Bài 2.11. Cho A, B là các tập con của Ω. Tìm điều kiện cần và đủ để tồn tại một tập con X của Ω thỏa AX + BX 0 = ∅. Đáp án. B ⊂ A0



Bài 2.12. Xét phép thử: Bắn không hạn chế vào 1 bia cho đến khi trúng bia lần đầu tiên thì dừng. Biểu diễn không gian biến cố sơ cấp của biến cố trên. Chỉ ra một hệ đầy đủ các biến cố. Hướng dẫn. Có nhiều hệ đầy đủ các biến cố cho không gian mẫu này. Hãy tìm một hệ đơn giản nhất.



Bài 2.13. Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi Ai là biến cố xảy ra khi số nốt ở mặt trên con xúc xắc thứ nhất là i(i = 1, . . . , 6), Bk biến cố xảy ra khi số nốt ở mặt trên con xúc xắc thứ hai là k(k = 1, . . . , 6). (a) Hãy mô tả các biến cố A6 B6 , A3 B5 (b) Viết bằng kí hiệu các biến cố: • A: “hiệu giữa số nốt ở mặt trên con xúc xắc thứ nhất và thứ hai có trị số tuyệt đối bằng ba”. • B: “số nốt ở mặt trên hai con xúc xắc bằng nhau”. (c) Hãy chỉ ra một nhóm đầy đủ các biến cố.

2.2

Xác suất cổ điển

Bài 2.14. Một nhóm n người xếp ngẫu nhiên thành một hàng dài. (a) Tìm xác suất để 2 người định trước đứng cạnh nhau. (b) Tìm xác suất để 2 người đó đứng cách nhau 2 người. (c) Tìm xác suất để 2 người đó đứng cách nhau r người (0 < r < n − 2). (d) Xét trường hợp khi họ xếp thành một vòng tròn. Đáp án. (a)

2 n

(b)

2(n−3) (n−1)n

(c)

2(n−r−1) (n−1)n

(d) Nếu r =

n−2 2

thì P =

1 . n−1

Nếu r 6=

n−2 2

thì P =

2 . n−1



2.2. XÁC SUẤT CỔ ĐIỂN

13

Bài 2.15. Thang máy của một tòa nhà 7 tầng, xuất phát từ tầng một với 3 người khách. Tính xác suất để: (a) Tất cả cùng ra ở tầng bốn. (b) Tất cả cùng ra ở một tầng. (c) Mỗi người ra một tầng khác nhau. 1 6 6·5·4 (b) 3 (c) 63 6 63

Đáp án. (a)



Bài 2.16. Có n quả cầu được phân ngẫu nhiên lần lượt vào n hộp, mỗi hộp có thể chứa nhiều quả cầu. Khi phân biệt hộp và cầu, tìm xác suất để mỗi hộp chứa một quả cầu. Đáp án.

n! nn



Bài 2.17. Cho một lô hàng gồm n sản phẩm trong đó có m sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó k sản phẩm. Tìm xác suất sao cho trong số sản phẩm lấy ra có đúng s sản phẩm xấu (s < k). Đáp án.

k−s s Cn−m Cm k Cn



Bài 2.18. Ta gieo liên tiếp 4 lần một đồng tiền cân đối đồng chất. Tìm xác suất của các biến cố: (a) A: “Có hai mặt sấp”. (b) B: “Có ba mặt ngửa”. (c) C: “Có ít nhất một mặt sấp”. Đáp án. (a) 0.375 (b) 0.25 (c) 0.9375



Bài 2.19. Mười hai sản phẩm được sắp ngẫu nhiên vào ba hộp. Tìm xác suất để hộp thứ nhất có chứa ba sản phẩm. Đáp án. 0.212



Bài 2.20 (*). Gieo đồng thời hai con xúc xắc đồng chất cân đối n lần liên tiếp. Tìm xác suất để xuất hiện ít nhất một lần hai mặt trên cùng có 6 nốt. Đáp án. 1 −


35 n . 36



2.3. XÁC SUẤT HÌNH HỌC

2.3

14

Xác suất hình học

Bài 2.21. Một thanh sắt thẳng được bẻ thành ba khúc một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để ba khúc đó tạo được thành một tam giác. Biết rằng thanh sắt dài l (đơn vị dài.) Đáp án. 0.25



Bài 2.22 (* Bài toán Butffon). Trên mặt phẳng có các đường thẳng song song cách đều nhau 2a, gieo ngẫu nhiên một cây kim có độ dài 2l (l < a). Tìm xác suất để cây kim cắt một đường thẳng nào đó. Đáp án.

2l . aπ



Bài 2.23. Trên đường tròn bán kính R có một điểm A cố định, chọn ngẫu nhiên một điểm B. Tìm xác suất để cung AB không quá R. Đáp án.

1 . 3



Bài 2.24. Trên đoạn thẳng OA ta gieo một cách ngẫu nhiên hai điểm B, C có tọa độ tương ứng là OB = x, OC = y(y ≥ x). Tìm xác suất sao cho độ dài của đoạn BC bé hơn độ dài của đoạn OB. Đáp án. 0.25

2.4



Các công thức tính xác suất cơ bản

Bài 2.25. Một hệ thống được cấu tạo bởi 3 bộ phận độc lập nhau. Hệ thống sẽ hoạt động nếu ít nhất 2 trong 3 bộ phận còn hoạt động. Nếu độ tin cậy của mỗi bộ phận là 0.95 thì độ tin cậy của hệ thống là bao nhiêu? Đáp án. 0.9928



Hướng dẫn. Gọi • Bi là biến cố “Bộ phận thứ i hoạt động tốt” (i = 1, 2, 3) • H là biến cố “Hệ thống hoạt động tốt” Biểu diễn H theo Bi và tính P (H).



Bài 2.26. Một hộp có 7 bi đỏ và 3 bi đen. (a) Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp ra để kiểm tra. Tính xác suất nhận được bi đen. (b) Lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoàn lại 2 bi. Tính xác suất để lấy được 2 bi đen. (c) Lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi từ hộp. Tính xác suất để lấy được 2 bi đen. Đáp án. (a) 0.3 (b) 0.09 (c) 0.067



2.4. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CƠ BẢN

Bài 2.27. Cho P (A) = 13 , P (B) =

1 2

15

và P (A + B) = 43 .

Tính P (AB), P (A.B), P (A + B), P (AB), P (AB). Đáp án.

1 , 1 , 11 , 1 , 5 . 12 4 12 4 12



Bài 2.28. Tỷ lệ người bị bệnh tim trong một vùng dân cư là 9%, bị bệnh huyết áp là 12%, bị cả hai bệnh là 7%. Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng. Tính xác suất để người đó (a) Bị bệnh tim hay bị bệnh huyết áp. (b) Không bị bệnh tim cũng không bị bệnh huyết áp. (c) Không bị bệnh tim hay không bị bệnh huyết áp. (d) Bị bệnh tim nhưng không bị bệnh huyết áp. (e) Không bị bệnh tim nhưng bị bệnh huyết áp. Đáp án. (a) 0.14 (b) 0.86 (c) 0.93 (d) 0.02 (e) 0.05



Hướng dẫn. Gọi • A là biến cố “nhận được người bị bệnh tim” • B là biến cố “nhận được người bị bệnh huyết áp” Ta có: P (A) = 0.09; P (B) = 0.12; P (AB) = 0.07 Biểu diễn các biến cố trong từng câu theo A và B và tính xác suất các biến cố đó.



Bài 2.29. Bạn quên mất số cuối cùng trong số điện thoại cần gọi (số điện thoại gồm 6 chữ số) và bạn chọn số cuối cùng này một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để bạn gọi đúng số điện thoại này mà không phải thử quá 3 lần. Nếu biết số cuối cùng là số lẻ thì xác suất này là bao nhiêu ? Đáp án. 0.3; 0.6



Hướng dẫn. Gọi Ai là biến cố “gọi đúng ở lần thứ i” (i = 1, 2, 3) Biểu diễn các biến cố cần tìm theo Ai và áp dụng các công thức tính xác suất để tìm xác suất của các biến cố này. 

Bài 2.30 (*). (a) Cho A, B là hai biến cố độc lập. Chứng minh rằng A, B; A, B và A, B đều là các cặp biến cố độc lập. (b) Cho A1 , A2 , . . . , An là n biến cố độc lập. Chứng minh rằng A1 , A2 , . . . , An cũng là n biến cố độc lập. Từ đó suy ra rằng nếu xét n biến cố B1 , B2 , . . . , Bn với Bi = Ai hoặc Bi = Ai thì B1 , B2 , . . . , Bn cũng là n biến cố độc lập. Bài 2.31. Một đợt xổ số phát hành N vé, trong đó có M vé có thưởng. Một người mua r vé (r < N − M ). Tính xác suất để người đó có ít nhất một vé trúng thưởng. Đáp án. 1 −

r CN −M r CN

.



2.4. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CƠ BẢN

16

Bài 2.32. Một người có 3 con gà mái, 2 con gà trống nhốt chung một lồng. Một người đến mua, người bán bắt ngẫu nhiên ra một con. Người mua chấp nhận mua con đó. (a) Tìm xác suất để người đó mua được con gà mái. Người thứ hai đến mua, người bán lại bắt ngẫu nhiên ra một con. (b) Tìm xác suất người thứ hai mua được gà trống, biết rằng người thứ nhất mua được gà mái. (c) Xác suất trên bằng bao nhiêu nếu người bán gà quên mất rằng con gà bán cho người thứ nhất là gà trống hay gà mái? Đáp án. (a) 0.6 (b) 0.5 (c) 0.4



Bài 2.33 (*). Có một nhóm n sinh viên, mỗi người có một áo mưa giống hệt nhau. Một hôm trời mưa, cả nhóm cùng đến lớp và treo áo ở mắc áo. Lúc ra về vì vội vàng mỗi người lấy hú họa một cái áo. Tính xác suất có ít nhất một sinh viên chọn đúng áo của mình. Đáp án. 1 −

1 2!

+

1 3

1 − · · · + (−1)n−1 n! .



Hướng dẫn. Gọi • Ai là biến cố “Sinh viên thứ i nhận đúng áo của mình” (i = 1, . . . , n) • A là biến cố “Có ít nhất một sinh viên nhận đúng áo của mình” Biểu diễn A theo Ai và áp dụng công thức cộng xác suất.



Bài 2.34 (*). Một người viết n lá thư và bỏ n lá thư này vào trong n phong bì đã viết sẵn địa chỉ. Tìm xác suất sao cho có ít nhất một lá thư được bỏ đúng vào phong bì của nó. Hướng dẫn. Tương tự bài 2.33.



Bài 2.35. Ba xạ thủ, mỗi người bắn một viên đạn vào mục tiêu với xác suất trúng đích của mỗi người là 0.6; 0.7; 0.8. Tìm xác suất (a) chỉ có người thứ hai bắn trúng. (b) có đúng một người bắn trúng. (c) có ít nhất một người bắn trúng. (d) cả ba người đều bắn trúng. (e) có đúng hai người bắn trúng. (f) có ít nhất hai người bắn trúng. (g) có không quá hai người bắn trúng. Đáp án. (a) 0.056 (b) 0.188 (c) 0.976 (d) 0.336 (e) 0.452 (f) 0.788 (g) 0.664



Hướng dẫn. Gọi Ai là biến cố “Xạ thủ thứ i bắn trúng” (i = 1, 2, 3) Biễu diễn các biến cố cần tìm theo Ai và áp dụng các công thức tính xác suất.



2.4. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CƠ BẢN

17

Bài 2.36. Cho hai biến cố xung khắc A và B, sao cho P (A) 6= 0, P (B) 6= 0. Chứng minh rằng A và B phụ thuộc nhau. Hướng dẫn. Dùng định nghĩa.



Bài 2.37. Ba con ngựa a, b, c trong một cuộc đua ngựa. Nếu xuất hiện bac có nghĩa là b đến đích trước, sau đó là a và về cuối là c. Khi đó tập hợp tất cả các khả năng xuất hiện là Ω = {abc, acb, bac, bca, cab, cba}. Giả sử rằng P [{abc}] = P [{acb}] = 1/18 và bốn khả năng còn lại đều có xác suất xảy ra là 2/9. Hơn nữa, ta định nghĩa các biến cố A = "a đến đích trước b"

và

B = "a đến đích trước c"

(a) Hai biến cố A và B có tạo thành một hệ đầy đủ của Ω? (b) Hai biến cố A và B có độc lập nhau? Đáp án. (a) không (b) có.



Bài 2.38. Có tồn tại hai biến cố xung khắc và độc lập không? Hướng dẫn. Hãy viết ra các định nghĩa hai biến cố xung khắc và hai biến cố độc lập nhau.



Bài 2.39. Một máy tính điện tử gồm có n bộ phận. Xác suất hỏng trong khoảng thời gian T của bộ phận thứ k bằng pk (k = 1, 2, . . . , n). Nếu dù chỉ một bộ phận bị hỏng thì máy tính ngừng làm việc. Tìm xác suất để máy tính ngừng làm việc trong khoảng thời gian T . Đáp án. 1 − (1 − p1 )(1 − p2 ) · · · (1 − pn ).



Bài 2.40. Chứng minh rằng nếu P (A|B) > P (A), thì P (B|A) > P (B)

Bài 2.41. Giả sử P (AB) = 1/4, P (A|B) = 1/8 và P (B) = 1/2. Tính P (A). Đáp án. 5/16.



Bài 2.42. Biết rằng ta đã nhận được ít nhất một mặt ngửa trong 3 lần tung đồng xu độc lập. Hỏi xác suất đạt được cả 3 mặt ngửa là bao nhiêu? Đáp án. 1/7



Hướng dẫn. Áp dụng công thức xác suất có điều kiện.



Bài 2.43. Tung một con xúc sắc hai lần độc lập nhau. Biết rằng lần tung thứ nhất được số nốt chẵn. Tính xác suất tổng số nốt hai lần tung bằng 4. Đáp án. 1/18



2.4. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CƠ BẢN

18

Bài 2.44. Giả sử P (A) = P (B) = 1/4 và P (A|B) = P (B). Tính P (AB). Đáp án. 3/16



Bài 2.45. Bắn liên tiếp vào một mục tiêu đến khi trúng mục tiêu thì ngừng. Tìm xác suất sao cho phải bắn đến viên thứ 6, biết rằng xác suất trúng đích của mỗi viên đạn là 0.2 và các lần bắn là độc lập. Đáp án. 0.0655



Hướng dẫn. Gọi • Ai là biến cố “Bắn trúng lần thứ i” • A là biến cố “Phải bắn đến viên thứ 6” Biểu diễn A theo Ai và áp dụng các công thức tính xác suất.



Bài 2.46. Giả sử các biến cố A1 , . . . , An độc lập có xác suất tương ứng P (Ak ) = pk (k = 1, . . . , n). Tìm xác suất sao cho: (a) không một biến cố nào trong các biến cố đó xuất hiện. (b) có ít nhất một biến cố trong các biến cố đó xuất hiện. Từ đó suy ra công thức khai triển tích n Y

(1 − pk )

k=1

Đáp án. (a)

Qn

k=1 (1

− pk ) (b) 1 −

Qn

k=1 (1

− pk ).



Bài 2.47. Có ba tiêu chí phổ biến cho việc chọn mua một chiếc xe hơi mới nào đó là A: hộp số tự động, B: động cơ V6, và C: điều hòa nhiệt độ. Dựa trên dữ liệu bán hàng trước đây, ta có thể giả sử rằng P (A) = 0.7, P (B) = 0.75, P (C) = 0.80, P (A+B) = 0.80, P (A+C) = 0.85, P (B + C) = 0.90 và P (A + B + C) = 0.95, với P (A) là xác suất người mua bất kì chọn tiêu chí A, v.v. . . . Tính xác suất của các biến cố sau: (a) người mua chọn ít nhất một trong 3 tiêu chí. (b) người mua không chọn tiêu chí nào trong 3 tiêu chí trên. (c) người mua chỉ chọn tiêu chí điều hòa nhiệt độ. (d) người mua chọn chính xác một trong 3 tiêu chí. Đáp án. (a) 0.95 (b) 0.05 (c) 0.15 (d) 0.3



Bài 2.48. Giả sử A, B là hai biến cố bất kì. Ta định nghĩa khoảng cách d(A, B) giữa A và B như sau: d(A, B) = P (A 4 B) Chứng minh rằng nếu A, B, C là các biến cố thì d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C) Đây là bất đẳng thức tam giác cho hàm khoảng cách d.

2.5. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ, CÔNG THỨC BAYES

Hướng dẫn. Sử dụng bài 1.11(h).

19



Bài 2.49 (*). Giả sử A, B là hai biến cố bất kì. Ta định nghĩa khoảng cách d(A, B) giữa A và B như sau ( P (A4B) nếu P (A ∪ B) 6= 0 P (A∪B) d(A, B) = 0 nếu P (A ∪ B) = 0 Chứng minh rằng nếu A, B, C là các biến cố thì d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C) Đây là bất đẳng thức tam giác cho hàm khoảng cách d.

2.5

Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes

Bài 2.50. Giả sử P (B|A1 ) = 1/2, P (B|A2 ) = 1/4 với A1 và A2 là hai biến cố đồng khả năng và tạo thành một hệ đầy đủ các biến cố. Tính P (A1 |B). Đáp án. 2/3



Bài 2.51 (*). Một hộp đựng 10 phiếu trong đó có 2 phiếu trúng thưởng. Có 10 người lần lượt rút thăm (không hoàn lại). Tính xác suất nhận được phiếu trúng thưởng của mỗi người. Đáp án. 0.2



Bài 2.52. Có hai hộp đựng bi. Hộp 1 đựng 20 bi trong đó có 5 bi đỏ và 15 bi trắng. Hộp 2 đựng 15 bi trong đó có 6 bi đỏ và 9 bi trắng. Lấy một bi ở hộp 1 bỏ vào hộp 2, trộn đều rồi lấy ra một bi. Tính xác suất nhận được bi đỏ? bi trắng? Đáp án. 0.391; 0.609



Hướng dẫn. Gọi • A là biến cố “Bi nhận được từ hộp 2 là bi đỏ” • B là biến cố “Bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2 là bi đỏ”



Bài 2.53. Trong một vùng dân cư, cứ 100 người thì có 30 người hút thuốc lá. Biết tỷ lệ người bị viêm họng trong số người hút thuốc lá là 60%, trong số người không hút thuốc lá là 30%. Khám ngẫu nhiên một người và thấy người này bị viêm họng. (a) Tìm xác suất người này hút thuốc lá. (b) Nếu người này không bị viêm họng thì xác suất người này hút thuốc lá là bao nhiêu. Đáp án. (a) 0.462 (b) 0.197



Hướng dẫn. Gọi • A là biến cố “Người này hút thuốc” • B là biến cố “Người này bị viêm họng”



2.5. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ, CÔNG THỨC BAYES

20

Bài 2.54. Một chiếc taxi gây tai nạn và bỏ chạy khỏi hiện trường vào nửa đêm. Trong thành phố có hai hãng taxi, gọi là taxi Đen và taxi Trắng. Ta biết rằng 85% taxi trong thành phố là Đen và 15% là Trắng. Có một nhân chứng lúc tai nạn xảy ra, theo nhân chứng, taxi gây ra tai nạn là Trắng. Một khảo sát về độ tin cậy của nhân chứng đã chỉ ra rằng, dưới các điều kiện tương tự về thời gian, địa điểm, ánh sáng,. . . như lúc xảy ra tai nạn, nhân chứng có khả năng xác định chính xác màu sắc của một taxi trong 80% trường hợp. (a) Không làm phép toán, bạn nghĩ rằng taxi Đen hay Trắng có khả năng gây ra tai nạn lớn hơn? (b) Tính xác suất taxi gây tai nạn là Trắng. (c) So sánh đáp án ở hai câu hỏi trên. (d) Hãy khảo sát độ nhạy cảm của đáp án trong câu (b) với các thông tin sau. Giả sử rằng 0 ≤ p ≤ 1 và 100p% taxi là Trắng và 100(1 − p)% taxi là Đen. Độ tin cậy của nhân chứng vẫn là 80%. Chứng minh rằng xác suất taxi Trắng gây tai nạn lớn hơn 0.5 nếu và chỉ nếu p > 0.2. Biết rằng nhân chứng nói rằng taxi gây tai nạn là Trắng. (e) Hãy khảo sát độ nhạy cảm của đáp án trong câu (b) với các thông tin sau. Giả sử rằng 0 ≤ p ≤ 1 và 100p% taxi là Trắng và 100(1 − p)% taxi là Đen. Giả sử rằng 0 ≤ q ≤ 1 và độ tin cậy của nhân chứng là 100q%, tức là nhân chứng có thể xác định chính xác màu của một taxi trong 100q% trường hợp. Xác định miền bên trong hình vuông {(p, q) : 0 ≤ p ≤ 1, 0 ≤ q ≤ 1} mà xác suất taxi Trắng gây tai nạn lớn hơn 0.5. Biết rằng nhân chứng nói rằng taxi gây tai nạn là Trắng. Chú thích. Bài toán này minh họa rằng phán đoán trực giác có thể sai và một số thông tin quan trọng đã không được xét tới vì bị cho là không cần thiết hoặc không liên quan.  Đáp án. (b) 0.41



Bài 2.55. Giả sử có một loại bệnh mà tỷ lệ người mắc bệnh là 1/1000. Giả sử có một loại xét nghiệm, mà ai mắc bệnh khi xét cũng ra phản ứng dương tính, nhưng tỷ lệ phản ứng dương tính nhầm (false positive) là 5% (tức là trong số những người không mắc bệnh có 5% số người thử ra phản ứng dương tính). Hỏi khi một người xét nghiệm bị phản ứng dương tính, thì khả năng mắc bệnh của người đó là bao nhiêu? Chú thích. Đây là một bài toán được 3 nhà toán học Cassels, Shoenberger và Grayboys đem đố 60 sinh viên và cán bộ y khoa tại Harvard Medical School năm 1978. Kết quả là chỉ có 18% người trả lời đúng.  Đáp án. ≈ 2%. (Điều đó có nghĩa là trong số những người xét nghiệm ra dương tính, có khoảng 98% số người là không mắc bệnh!) 

Bài 2.56 (*). Một trung tâm chẩn đoán bệnh dùng một phép kiểm định K. Xác suất để một người đến trung tâm mà có bệnh là 0.8. Xác suất để người khám có bệnh khi phép kiểm định dương tính là 0.9 và xác suất để người khám không có bệnh khi phép kiểm định âm tính là 0.5. Tính các xác suất (a) phép kiểm định là dương tính.

2.5. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ, CÔNG THỨC BAYES

21

(b) phép kiểm định cho kết quả đúng. Đáp án. (a) 0.75 (b) 0.8



Hướng dẫn. Gọi • A là biến cố “Người khám có bệnh” • B là biến cố “Phép kiểm định dương tính”



Bài 2.57 (*). Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính. Các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất là 0.5. Thống kê cho thấy 34% cặp sinh đôi là trai; 30% cặp sinh đôi là gái và 36% cặp sinh đôi có giới tính khác nhau. (a) Tính tỷ lệ cặp sinh đôi thật. (b) Tìm tỷ lệ cặp sinh đôi thật trong số các cặp sinh đôi có cùng giới tính. Đáp án. (a) 0.28 (b) 0.4375



Hướng dẫn. Gọi • A là biến cố “Nhận được cặp sinh đôi thật” • B là biến cố “Nhận được cặp sinh đôi có cùng giới tính”



Bài 2.58. Có 10 hộp bi, trong đó có 4 hộp loại I, 3 hộp loại II, còn lại là hộp loại III. Hộp loại I có 3 bi trắng và 5 đỏ, hộp loại II có 4 bi trắng và 6 bi đỏ, hộp loại III có 2 bi trắng và 2 bi đỏ. (a) Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy hú họa 1 bi. Tìm xác suất để được bi đỏ. (b) Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy 1 bi thì được bi trắng. Tìm xác suất để bi lấy ra thuộc loại II. Đáp án. (a) 0.58 (b) 0.286



Hướng dẫn. Gọi • Ai là biến cố “Lấy được hộp thứ i” (i = 1, 2, 3) • B là biến cố “Lấy được bi đỏ”



Bài 2.59. Có hai lô sản phẩm, lô thứ nhất có 10 sản phẩm loại I và 2 sản phẩm loại II. Lô thứ hai có 16 sản phẩm loại I và 4 sản phẩm loại II. Từ mỗi lô ta lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Sau đó, từ 2 sản phẩm thu được lấy hú họa ra một sản phẩm. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra sau cùng là sản phẩm loại I. Đáp án. 0.79 Hướng dẫn. Gọi



2.5. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ, CÔNG THỨC BAYES

22

• Ai là biến cố “Sản phẩm lấy ra lần đầu ở lô thứ i là loại I” (i = 1, 2) • B là biến cố “Sản phẩm lấy ra lần sau là loại I”



Bài 2.60. Có 2 lô gà. Lô thứ nhất gồm 15 con, trong đó có 3 con gà trống. Lô thứ hai gồm 20 con, trong đó có 4 gà trống. Một con từ lô thứ hai nhảy sang lô thứ nhất. Sau đó từ lô thứ nhất ta bắt ngẫu nhiên ra một con. Tìm xác suất để con gà bắt ra là gà trống. Đáp án. 0.2



Bài 2.61. Ba máy tự động sản xuất cùng một loại chi tiết, trong đó máy I sản xuất 25%, máy II sản xuất 30% và máy III sản xuất 45% tổng sản lượng. Tỷ lệ phế phẩm của các máy lần lượt là 0.1%; 0.2%; 0.4%. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm từ kho thì (a) được chi tiết phế phẩm. (b) chi tiết phế phẩm đó do máy II sản xuất. Đáp án. (a) 0.00265 (b) 0.226



Bài 2.62. Giả sử 3 máy M1 , M2 , M3 sản xuất lần lượt 500, 1000, 1500 linh kiện mỗi ngày với tỉ lệ phế phẩm tương ứng là 5%, 6% và 7%. Vào cuối ngày làm việc nào đó, người ta lấy một linh kiện được sản xuất bởi một trong 3 máy trên một cách ngẫu nhiên, kết quả là được một phế phẩm. Tìm xác suất linh kiện này được sản xuất bởi máy M3 . Đáp án. 0.5526



Bài 2.63 (*). Ba khẩu pháo cùng bắn vào một mục tiêu với xác suất trúng đích của mỗi khẩu là 0.4; 0.7; 0.8. Biết rằng xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt khi trúng một phát đạn là 30%, khi trúng 2 phát đạn là 70%, còn trúng 3 phát đạn thì chắc chắn mục tiêu bị tiêu diệt. Giả sử mỗi khẩu pháo bắn 1 phát. (a) Tính xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt. (b) Biết rằng mục tiêu đã bị tiêu diệt. Tính xác suất để khẩu thứ 3 có đóng góp vào thành công đó. Đáp án. (a) 0.6412 (b) 0.8883



Hướng dẫn. Gọi • Ai là biến cố “Khẩu pháo thứ i bắn trúng” (i = 1, 2, 3) • Bk là biến cố “Mục tiêu trúng k phát đạn” (k = 0, 1, 2, 3) • B là biến cố “Mục tiêu bị tiêu diệt”.



Bài 2.64 (*). Hộp I có 10 linh kiện trong đó có 3 bị hỏng. Hộp II có 15 linh kiện trong đó có 4 bị hỏng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một linh kiện. (a) Tính xác suất để cả 2 linh kiện lấy ra đều hỏng.

2.5. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ, CÔNG THỨC BAYES

23

(b) Số linh kiện còn lại trong 2 hộp đem bỏ vào hộp III. Từ hộp III lấy ngẫu nhiên ra 1 linh kiện. Tính xác suất để linh kiện lấy ra từ hộp III bị hỏng. (c) Biết linh kiện lấy ra từ hộp III là hỏng. Tính xác suất để 2 linh kiện lấy ra từ hộp I và II lúc ban đầu là hỏng. Đáp án. (a) 0.08 (b) 0.2797 (c) 0.0622



Bài 2.65. Có 3 cửa hàng I, II, III cùng kinh doanh sản phẩm Y , trong đó thị phần của cửa hàng I, III như nhau và gấp đôi thị phần của cửa hàng II. Tỉ lệ sản phẩm loại A trong 3 cửa hàng lần lượt là 70%, 75% và 50%. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 1 cửa hàng và từ đó mua một sản phẩm. (a) Tính xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A. (b) Giả sử khách hàng đã mua được sản phẩm loại A, hỏi khả năng người ấy đã mua được ở cửa hàng nào là nhiều nhất. Đáp án. (a) 0.63 (b) cửa hàng I.



Bài 2.66 (*). Cho một phép thử ngẫu nhiên với 3 biến cố sơ cấp có thể xảy ra là A, B và C. Giả sử ta tiến hành phép thử vô hạn lần và độc lập nhau. Tính theo P (A), P (B) xác suất biến cố A xuất hiện trước biến cố B. Đáp án.

P (A) P (A)+P (B)



Chương 3

Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối Bài 3.1. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất sau: −2 1/8

X P

−1 2/8

0 2/8

1 2/8

2 1/8

(a) Tìm hàm phân phối xác suất F (x).
(b) Tính P (−1 ≤ X ≤ 1) và P X ≤ −1 hoặc X = 2 . (c) Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = X 2 . Đáp án. (b) 6/8, 4/8. (c)

Y P

0 2/8

1 4/8

4 2/8



Bài 3.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm xác suất cho bởi f (x) =

2x + 1 , 25

x = 0, 1, 2, 3, 4

(a) Lập bảng phân phối xác suất của X. (b) Tính P (2 ≤ X < 4) và P (X > −10). Đáp án. (b) 12/25, 1.



Bài 3.3. Gọi X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất sau X P

−1 0.5

0 0.2

3 0.3

(a) Tính độ lệch chuẩn của X. (b) Tính kì vọng của X 3 . (c) Tìm hàm phân phối của X. (d) Ta định nghĩa Y = X 2 + X + 1. Lập bảng phân phối xác suất của Y . 24

25

Đáp án. (a) 1.7436 (b) 7.6 (d)

Y P

1 0.7

13 0.3

Bài 3.4. Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên    −x fX (x) = x   0



X là nếu − 1 ≤ x ≤ 0 nếu 0 < x ≤ 1 nếu khác

Tính FX (1/2). Đáp án. 3/8



Bài 3.5. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x) như sau ( kx(2 − x) khi 1 < x < 2 f (x) = 0 nơi khác (a) Xác định giá trị của k để f (x) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X. Với k vừa tìm được tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X. (b) Tìm hàm phân phối F (x) của biến ngẫu nhiên X. (c) Tìm hàm phân phối G(y) của biến ngẫu nhiên Y = X 3 . Đáp án. (a) k = 3/2, EX = 1.375, DX = 0.0594   x≤1  0 −1 3 3 2 (b) F (x) = x + x − 1 1 1 với c là một hằng số dương. Tìm (a) hằng số c (b) trung bình của X (c) phương sai của X (d) hàm phân phối FX (x). Đáp án. (a) 3/4 (b) 0 (c) 1/5 (d) FX (x) =

  

0 − 14 x3 + 34 x +   1

Bài 3.11. Cho

( fX (x) =

Tính fY (y) với Y = −2 ln X.

1 2

nếu x < −1 nếu − 1 ≤ x ≤ 1 nếu x > 1

1/e nếu 0 < x < e 0 nếu khác



27

Bài 3.12 (*). Biến ngẫu nhiên liên tục   f (x) = 

X có hàm mật độ 1 x 2 0

khi 0 < x < 2 nơi khác

Tìm hàm phân phối và hàm mật độ xác suất của các biến ngẫu nhiên sau: (a) Y = X(2 − X). (b) Z = 4 − X 3 . (c) T = 3X + 2.  (  y≤0  0 √ √1 0 π2



π 2

với a, b là hằng số. (a) Tìm a và b. (b) Với a và b tìm được ở câu a), tính hàm mật độ f (x) của X và M od(X), M ed(X), P (X > π4 ) Đáp án. (a) a = 1/2; b = 1/2.



Bài 3.39. Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập và có phân phối xác suất tương ứng là X P

−1 0.2

0 0.3

1 0.3

2 0.2

Y P

−1 0.3

0 0.4

1 0.3

Tìm phân phối xác suất của X 2 , X + Y . Tính kì vọng, phương sai của X, X + Y . Bài 3.40 (*). Một mẫu gồm 4 biến ngẫu nhiên X1 , X2 , X3 , X4 độc lập với nhau từng đôi một. Mỗi biến ngẫu nhiên Xi , i = 1, . . . , 4 có hàm mật độ như sau: ( 2x khi 0 < x < 1 f (x) = 0 nơi khác Đặt Y = max{X1 , X2 , X3 , X4 } và Z = min{X1 , X2 , X3 , X4 }. Tìm hàm mật độ của Y và Z. Hướng dẫn. Chú ý rằng • max{x, y} < z ⇔ x < z và y < z • min{x, y} < z ⇔ x < z hoặc y < z.



Bài 3.41 (*). Cho FX là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X. Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên ( X |X| nếu X 6= 0 Y = 1 nếu X = 0 ( Hướng dẫn. Chú ý rằng x/|x| =

−1 1

nếu x < 0 . nếu x > 0

Bài 3.42 (*). Tìm hàm phân phối của

1 (X + |X|) nếu hàm phân phối của X là FX . 2



35

Bài 3.43 (*). Giả sử X có hàm phân phối liên tục F (x). Xác định hàm phân phối của Y = F (X). Đáp án. Y ∼ U (0, 1)



Bài 3.44 (*). Giả sử F (x) là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên dương liên tục X, có tính chất P (X < t + x|X > t) = P (X < x) với x, t > 0 Chứng minh rằng F (x) = 1 − e−λx với x > 0.

Chương 4

Một số phân phối xác suất thông dụng 4.1

Phân phối Bernoulli, nhị thức

Bài 4.1. Có 8000 sản phẩm trong đó có 2000 sản phẩm không đạt tiêu chuẩn kỹ thuật. Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) 10 sản phẩm. Tính xác suất để trong 10 sản phẩm lấy ra có 2 sản phẩm không đạt tiêu chuẩn. Đáp án. 0.282



Hướng dẫn. Gọi X là số sản phẩm không đạt tiêu chuẩn trong 10 sản phẩm lấy ra. Ta có, X ∼ B(10,

2000 ) = B(10, 0.25) 8000



Bài 4.2. Khi tiêm truyền một loại huyết thanh, trung bình có một trường hợp phản ứng trên 1000 trường hợp. Dùng loại huyết thanh này tiêm cho 2000 người. Tính xác suất để (a) có 3 trường hợp phản ứng, (b) có nhiều nhất 3 trường hợp phản ứng, (c) có nhiều hơn 3 trường hợp phản ứng. Đáp án. (a) 0.18 (b) 0.86 (c) 0.14



Bài 4.3. Giả sử tỷ lệ sinh con trai và con gái là bằng nhau và bằng

1 . Một gia đình có 4 2

người con. Tính xác suất để 4 đứa con đó gồm (a) 2 trai và 2 gái. (b) 1 trai và 3 gái. (c) 4 trai. Đáp án. (a) 0.375 (b) 0.25 (c) 0.0625



36

4.1. PHÂN PHỐI BERNOULLI, NHỊ THỨC

37

Bài 4.4. Một nhà máy sản xuất với tỷ lệ phế phẩm là 7%. (a) Quan sát ngẫu nhiên 10 sản phẩm. Tính xác suất để i) có đúng một phế phẩm. ii) có ít nhất một phế phẩm. iii) có nhiều nhất một phế phẩm. (b) Hỏi phải quan sát ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất nhận được ít nhất một phế phẩm ≥ 0.9 Đáp án. (a)-(i) 0.364 -(ii) 0.516 -(iii) 0.848 (b) 32



Bài 4.5. Tỷ lệ một loại bệnh bẩm sinh trong dân số là p = 0.01. Bệnh này cần sự chăm sóc đặc biệt lúc mới sinh. Một nhà bảo sinh thường có 20 ca sinh trong một tuần. Tính xác suất để (a) không có trường hợp nào cần chăm sóc đặc biệt, (b) có đúng một trường hợp cần chăm sóc đặc biệt, (c) có nhiều hơn một trường hợp cần chăm sóc đặc biệt. Tính bằng quy luật nhị thức rồi dùng quy luật Poisson để so sánh kết quả khi ta xấp xỉ phân phối nhị thức B(n; p) bằng phân phối Poisson P (np). Đáp án. (a) 0.818 (b) 0.165 (c) 0.017



Bài 4.6. Tỷ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên A trong một cuộc bầu cử là 60%. Người ta hỏi ý kiến 20 cử tri được chọn một cách ngẫu nhiên. Gọi X là số người bỏ phiếu cho A trong 20 người đó. (a) Tìm giá trị trung bình, độ lệch chuẩn và Mod của X. (b) Tìm P (X ≤ 10) (c) Tìm P (X > 12) (d) Tìm P (X = 11) Đáp án. (a) 12; 2.191; 12 (b) 0.245 (c) 0.416 (d) 0.16



Bài 4.7. Giả sử tỷ lệ dân cư mắc bệnh A trong vùng là 10%. Chọn ngẫu nhiên 1 nhóm 400 người. (a) Viết công thức tính xác suất để trong nhóm có nhiều nhất 50 người mắc bệnh A. (b) Tính xấp xỉ xác suất đó bằng phân phối chuẩn. Đáp án. (b) 0.953



4.1. PHÂN PHỐI BERNOULLI, NHỊ THỨC

38

Bài 4.8. Một chiếc máy bay muốn bay được thì phải có ít nhất một nửa số động cơ hoạt động. Nếu mỗi động cơ hoạt động, độc lập nhau, với xác suất 0.6, thì một máy bay có 4 động cơ có đáng tin cậy hơn một máy bay có 2 động cơ hay không? Giải thích? Đáp án. không



Hướng dẫn. Gọi X, Y lần lượt là số động cơ hoạt động trong 4 động cơ và trong 2 động cơ. So sánh P (X ≥ 2) và P (Y ≥ 1). 

Bài 4.9. Số lượng X các phân tử phát ra từ một nguồn phóng xạ nào đó trong 1 giờ là một biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số λ = ln 5. Hơn nữa, ta giả sử rằng sự phát xạ này độc lập nhau qua mỗi giờ. (a) Tính xác suất có ít nhất 30 giờ, trong 168 giờ của một tuần nào đó, không có phân tử nào được phát ra. (b) Sử dụng phân phối Poisson để tính xấp xỉ xác suất trong câu (a). Đáp án. (a) 0.7549 (b) 0.7558



Bài 4.10. Một máy sản xuất ra sản phẩm loại A với xác suất 0.485. Tính xác suất sao có trong 200 sản phẩm do máy sản xuất ra có ít nhất 95 sản phẩm loại A. Đáp án. 0.61



Bài 4.11. Dựa vào số liệu trong quá khứ, ta ước lượng rằng 85% các sản phẩm của một máy sản xuất nào đó là thứ phẩm. Nếu máy này sản xuất 20 sản phẩm mỗi giờ, thì xác suất 8 hoặc 9 thứ phẩm được sản xuất trong mỗi khoảng thời gian 30 phút là bao nhiêu? Đáp án. 0.6233



Bài 4.12. Mười mẫu có kích thước 10 được rút ra ngẫu nhiên và không hoàn lại từ các thùng chứa 100 sản phẩm, trong mỗi thùng có 2 phế phẩm. Một thùng sản phẩm được chấp nhận nếu có nhiều nhất một thứ phẩm được phát hiện trong mẫu tương ứng. Hỏi xác suất có ít hơn chín thùng được chấp nhận là bao nhiêu? Đáp án. 0.0036



Bài 4.13. Xác suất để một sản phẩm được sản xuất bởi một máy nào đó phù hợp với các yêu cầu kĩ thuật là 0.95, độc lập với các sản phẩm khác. Ta tiến hành lấy ra các sản phẩm được sản xuất bởi máy này cho đến khi được sản phẩm đạt các yêu cầu kĩ thuật. Thí nghiệm ngẫu nhiên này được lặp lại trong 15 ngày liên tiếp (độc lập). Gọi X là số ngày, trong 15 ngày thí nghiệm, mà ta phải lấy ít nhất 2 sản phẩm để nhận được một sản phẩm phù hợp với các yêu cầu kĩ thuật. (a) Tìm giá trị trung bình của X. (b) Sử dụng phân phối Poisson để tính xấp xỉ xác suất có điều kiện P (X = 2|X ≥ 1). Đáp án. (a) 0.75 (b) 0.2519



4.1. PHÂN PHỐI BERNOULLI, NHỊ THỨC

39

Bài 4.14. Xác suất trúng số là 1%. Mỗi tuần mua một vé số. Hỏi phải mua vé số liên tiếp trong tối thiểu bao nhiêu tuần để có không ít hơn 95% hy vọng trúng số ít nhất 1 lần. Đáp án. 299



Bài 4.15. Trong trò chơi "bầu cua” có ba con xúc sắc, mỗi con có sáu mặt hình là: bầu, cua, hưu, nai, tôm và gà. Giả sử có hai người, một người chơi và một người làm cái. Nếu mỗi ván người chơi chỉ đặt ở một ô (một trong các hình: bầu, cua, hưu, nai, tôm và gà) sau khi chơi nhiều ván thì người nào sẽ thắng trong trò chơi này. Giả sử thêm mỗi ván người chơi đặt 1000 đ nếu thắng sẽ được 5000 đ, nếu thua sẽ mất 1000 đ. Hỏi trung bình mỗi ván người thắng sẽ thắng bao nhiêu? Đáp án. 972.2222



Bài 4.16. Có ba lọ giống nhau: hai lọ loại I, mỗi lọ có 3 bi trắng và 7 bi đen; một lọ loại II có 4 bi trắng và 6 bi đen. Một trò chơi được đặt ra như sau: Mỗi ván, người chơi chọn ngẫu nhiên một lọ và lấy ra hai bi từ lọ đó. Nếu lấy được đúng hai bi trắng thì người chơi thắng, ngược lại người chơi thua. (a) Người A chơi trò chơi này, tính xác suất người A thắng ở mỗi ván. (b) Giả sử người A chơi 10 ván, tính số ván trung bình người chơi thắng được và số ván người A thắng tin chắc nhất. (c) Người A phải chơi ít nhất bao nhiêu ván để xác suất thắng ít nhất một ván không dưới 0,99. Đáp án. (a) 0.0889 (b) 0.889; 0 (c) 50



Bài 4.17 (*). Cho X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập. (a) Giả sử X ∼ B(1, 51 ), Y ∼ B(2, 15 ). Lập bảng phân phối xác suất của X + Y và kiểm tra rằng X + Y ∼ B(3, 15 ) (b) Giả sử X ∼ B(1, 21 ), Y ∼ B(2, 15 ). Tìm phân bố xác suất của X + Y . Chứng minh rằng X + Y không có phân bố nhị thức. (c) Giả sử X ∼ B(n1 , p1 ), Y ∼ B(n2 , p2 ). Chứng minh rằng X + Y có phân phối nhị thức khi và chỉ khi p1 = p2 . Bài 4.18. Hai cầu thủ ném bóng vào rổ. Cầu thủ thứ nhất ném hai lần với xác suất trúng rổ của mỗi lần là 0.6. Cầu thủ thứ hai ném một lần với xác suất trúng rổ là 0.7. Gọi X là số lần trúng rổ của cả hai cầu thủ. Lập bảng phân phối xác suất của X, biết rằng kết quả của các lần ném rổ là độc lập với nhau. Đáp án.

X P

0 0.048

1 0.256

2 0.444

3 0.252



Bài 4.19. Bưu điện dùng một máy tự động đọc địa chỉ trên bì thư để phân loại từng khu vực gởi đi, máy có khả năng đọc được 5000 bì thư trong 1 phút. Khả năng đọc sai 1 địa chỉ trên bì thư là 0,04% (xem như việc đọc 5000 bì thư này là 5000 phép thử độc lập).

4.1. PHÂN PHỐI BERNOULLI, NHỊ THỨC

40

(a) Tính số bì thư trung bình mỗi phút máy đọc sai. (b) Tính số bì thư tin chắc nhất trong mỗi phút máy đọc sai. (c) Tính xác suất để trong một phút máy đọc sai ít nhất 3 bì thư. Đáp án. (a) 2 (b) 2 (c) 0.323



Bài 4.20. Một bài thi trắc nghiệm gồm có 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm và câu trả lời sai bị trừ 2 điểm. Một sinh viên kém làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên một phương án cho mỗi câu hỏi. (a) Tính xác suất để học sinh này được 4 điểm. (b) Tính xác suất để học sinh này bị điểm âm. (c) Gọi X là số câu trả lời đúng, tính E(X) và V ar(X). (d) Tính số câu sinh viên này có khả năng trả lời đúng lớn nhất. Đáp án. (a) 0.146 (b) 0.2503 (c) 2.5; 1.875 (d) 2



Bài 4.21. Các sản phẩm được sản xuất trong một dây chuyền. Để thực hiện kiểm tra chất lượng, mỗi giờ người ta rút ngẫu nhiên không hoàn lại 10 sản phẩm từ một hộp có 25 sản phẩm. Quá trình sản xuất được báo cáo là đạt yêu cầu nếu có không quá một sản phẩm là thứ phẩm. (a) Nếu tất cả các hộp được kiểm tra đều chứa chính xác hai thứ phẩm, thì xác suất quá trình sản xuất được báo cáo đạt yêu cầu ít nhất 7 lần trong một ngày làm việc 8 giờ là bao nhiêu? (b) Sử dụng phân phối Poisson để xấp xỉ xác suất được tính trong câu (a). (c) Biết rằng lần kiểm tra chất lượng cuối cùng trong câu (a), quá trình sản xuất được báo cáo đạt yêu cầu. Hỏi xác suất mẫu 10 sản phẩm tương ứng không chứa thứ phẩm là bao nhiêu? Đáp án. (a) 0.6572 (b) 0.6626 (c) 0.4118



Bài 4.22. Một công ty bảo hiểm có 20 nhân viên kinh doanh. Mỗi người, tại một thời điểm nào đó, có thể ở văn phòng hoặc đang trên đường giao dịch. Biết rằng nhân viên kinh doanh làm việc ở văn phòng vào lúc 14h30, vào một ngày làm việc trong tuần, với xác suất là 0.2, độc lập với các ngày làm việc khác và những nhân viên khác. (a) Công ty muốn bố trí một số lượng ít nhất các bàn làm việc sao cho một nhân viên kinh doanh bất kì có thể tìm thấy một bàn trống để làm việc trong ít nhất 90% trường hợp. Tìm số lượng bàn ít nhất này. (b) Tính số lượng bàn ít nhất trong phần (a) bằng cách sử dụng xấp xỉ Poisson. (c) Một người phụ nữ đã gọi điện đến công ty vào lúc 14h30 vào 2 ngày làm việc cuối cùng trong tuần để nói chuyện với một nhân viên kinh doanh nào đó. Cho rằng cô ta không sắp xếp cuộc hẹn từ trước. Tìm xác suất cô ta phải gọi ít nhất hai lần nữa với giả sử rằng cô ta luôn gọi vào 14h30. Đáp án. (a) 6 (b) 7 (c) 0.8



4.2. PHÂN PHỐI POISSON

4.2

41

Phân phối Poisson

Bài 4.23. Một trung tâm bưu điện nhận được trung bình 3 cuộc điện thoại trong mỗi phút. Tính xác suất để trung tâm này nhận được 1 cuộc, 2 cuộc, 3 cuộc gọi trong 1 phút, biết rằng số cuộc gọi trong một phút có phân phối Poisson. Đáp án. 0.149; 0.224; 0.224



Bài 4.24. Tính P (X ≥ 1|X ≤ 1) nếu X ∼ P (5) Đáp án. 5/6



Bài 4.25 (*). Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập, X ∼ P (λ1 ), Y ∼ P (λ2 ) (a) Tính xác suất P (X + Y = n) (b) Tính xác suất P (X = k|X + Y = n) Bài 4.26. Một cửa hàng cho thuê xe ôtô nhận thấy rằng số người đến thuê xe ôtô vào ngày thứ bảy cuối tuần là một đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số λ = 2. Giả sử cửa hàng có 4 chiếc ôtô. (a) Tìm xác suất không phải tất cả 4 chiếc ôtô đều được thuê. (b) Tìm xác suất tất cả 4 chiếc ôtô đều được thuê. (c) Tìm xác suất cửa hàng không đáp ứng được yêu cầu. (d) Trung bình có bao nhiêu ôtô được thuê. (e) Cửa hàng cần có ít nhất bao nhiêu ôtô để xác suất không đáp ứng được nhu cầu thuê bé hơn 2% Đáp án. (a) 0.857 (b) 0.143 (c) 0.053 (d) 2 (e) 5



Bài 4.27. Một tổng đài bưu điện có các cuộc điện thoại gọi đến xuất hiện ngẫu nhiên, độc lập với nhau và có tốc độ trung bình 2 cuộc gọi trong 1 phút. Tìm xác suất để (a) có đúng 5 cuộc điện thoại trong 2 phút, (b) không có cuộc điện thoại nào trong khoảng thời gian 30 giây, (c) có ít nhất 1 cuộc điện thoại trong khoảng thời gian 10 giây. Đáp án. (a) 0.156 (b) 0.368 (c) 0.283



Bài 4.28. Các cuộc gọi điện đến tổng đài tuân theo phân phối Poisson với mức λ trên mỗi phút. Từ kinh nghiệm có được trong quá khứ, ta biết rằng xác suất nhận được chính xác một cuộc gọi trong một phút bằng ba lần xác suất không nhận được cuộc gọi nào trong cùng thời gian.

4.2. PHÂN PHỐI POISSON

42

(a) Gọi X là số cuộc gọi nhận được trong mỗi phút. Tính xác suất P (2 ≤ X ≤ 4). (b) Ta xét 100 khoảng thời gian một phút liên tiếp và gọi U là số khoảng thời gian một phút không nhận được cuộc gọi điện nào. Tính P (U ≤ 1). Đáp án. (a) 0.6161 (b) 0.0377



Hướng dẫn. U ∼ B(100, 0.0498)



Bài 4.29. Tại một điểm bán vé máy bay, trung bình trong 10 phút có 4 người đến mua vé. Tính xác suất để: (a) Trong 10 phút có 7 người đến mua vé. (b) Trong 10 phút có không quá 3 người đến mua vé. Đáp án. (a) 0.06 (b) 0.433



Bài 4.30. Các khách hàng đến quầy thu ngân, theo phân phối Poisson, với số lượng trung bình 5 người mỗi phút. Tính xác suất xuất hiện ít nhất 10 khách hàng trong khoảng thời gian 3 phút. Đáp án. 0.9301



Bài 4.31. Số khách hàng đến quầy thu ngân tuân theo phân phối Poisson với tham số λ = 1 trong mỗi khoảng 2 phút. Tính xác suất thời gian đợi đến khi khách hàng tiếp theo xuất hiện (từ khách hàng trước đó) nhỏ hơn 10 phút. Đáp án. 0.9933



Bài 4.32. Số lượng nho khô trong một cái bánh quy bất kì có phân phối Poisson với tham số λ. Hỏi giá trị λ là bao nhiêu nếu ta muốn xác suất có nhiều nhất hai bánh quy, trong một hộp có 20 bánh, không chứa nho khô là 0.925? Đáp án. 2.9977



Bài 4.33. Một trạm cho thuê xe Taxi có 3 chiếc xe. Hàng ngày trạm phải nộp thuế 8 USD cho 1 chiếc xe (bất kể xe đó có được thuê hay không). Mỗi chiếc được cho thuê với giá 20USD. Giả sử số xe được yêu cầu cho thuê của trạm trong 1 ngày là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Poisson với µ = 2.8. (a) Tính số tiền trung bình trạm thu được trong một ngày. (b) Giải bài toán trên trong trường hợp trạm có 4 chiếc xe. (c) Theo bạn, trạm nên có 3 hay 4 chiếc xe? Đáp án. (a) 32 USD (b) 24 USD (c) 3



Bài 4.34 (*). Ta có 10 máy sản xuất (độc lập nhau), mỗi máy sản xuất ra 2% thứ phẩm (không đạt chuẩn).

4.3. PHÂN PHỐI CHUẨN

43

(a) Trung bình có bao nhiêu sản phẩm được sản xuất bởi máy đầu tiên trước khi nó tạo ra thứ phẩm đầu tiên? (b) Ta lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ mỗi máy sản xuất. Hỏi xác suất nhiều nhất hai thứ phẩm trong 10 sản phẩm này là bao nhiêu? (c) Làm lại câu (b) bằng cách sử dụng xấp xỉ Poisson. (d) Phải lấy ra ít nhất bao nhiêu sản phẩm được sản xuất bởi máy đầu tiên để xác suất đạt được ít nhất một thứ phẩm không nhỏ hơn 1/2 (giả sử rằng các sản phẩm là độc lập với nhau)? Đáp án. (a) 49 (b) 0.9991 (c) 0.9989 (d) 35



Bài 4.35. Số lỗi đánh máy trong một quyển sách 500 trang có phân phối Poisson với tham số λ = 2 mỗi trang, độc lập trên từng trang. (a) Hỏi xác suất phải lấy ít nhất 10 trang, ngẫu nhiên và có hoàn lại, để đạt được 3 trang trong đó mỗi trang chứa ít nhất 2 lỗi là bao nhiêu? (b) Giả sử rằng thật sự có 20 trang, trong 500 trang, mỗi trang chứa chính xác 5 lỗi. (i) Nếu 100 trang được lấy, ngẫu nhiên và không hoàn lại, thì xác suất nhiều nhất 5 trang chứa chính xác 5 lỗi mỗi trang là bao nhiêu? (ii) Ta xét 50 bản sao của quyển sách này. Nếu thí nghiệm ngẫu nhiên trong phần (i) được lặp lại cho mỗi bản sao, thì xác suất có chính xác 30 trong 50 bản sao mà mẫu lấy ra có nhiều nhất 5 trang với 5 lỗi mỗi trang là bao nhiêu? Đáp án. (a) 0.0273 (b)-(i) 0.8083 -(ii) 0.000357

4.3



Phân phối chuẩn

Bài 4.36. Các kết quả của bài kiểm tra chỉ số thông minh (IQ) cho các học sinh của một trường tiểu học cho thấy điểm IQ của các học sinh này tuân theo phân phối chuẩn với các tham số là µ = 100 và σ 2 = 225. Tỉ lệ học sinh có điểm IQ nhỏ hơn 91 hoặc lớn hơn 130 là bao nhiêu? Đáp án. 0.2971



Bài 4.37. Giả sử chiều dài X (đơn vị tính m) của một nơi đỗ xe bất kì tuân theo phân phối chuẩn N (µ, 0.01µ2 ). (a) Một người đàn ông sở hữu một chiếc xe hơi cao cấp có chiều dài lớn hơn 15% chiều dài trung bình của một chỗ đậu xe. Hỏi tỉ lệ chỗ đậu xe có thể sử dụng là bao nhiêu? (b) Giả sử rằng µ = 4. Hỏi chiều dài của xe là bao nhiêu nếu ta muốn chủ của nó có thể sử dụng 90% chỗ đậu xe? Đáp án. (a) 0.0668 (b) ≈ 3.49



4.3. PHÂN PHỐI CHUẨN

44

Bài 4.38. Đường kính của một chi tiết máy do một máy tiện tự động sản xuất có phân phối chuẩn với trung bình µ = 50 mm và độ lệch chuẩn σ = 0.05 mm. Chi tiết máy được xem là đạt yêu cầu nếu đường kính không sai quá 0.1 mm. (a) Tính tỷ lệ sản phẩm đạt yêu cầu. (b) Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Tính xác suất có ít nhất một sản phẩm đạt yêu cầu. Đáp án. (a) 95.4% (b) 0.999



Bài 4.39. Trọng lượng X (tính bằng gam) một loại trái cây có phân phối chuẩn N (µ, σ 2 ), với µ = 500 (gam) và σ 2 = 16 (gam2 ). Trái cây thu hoạch được phân loại theo trọng lượng như sau: (a) loại 1 : trên 505 gam, (b) loại 2 : từ 495 đến 505 gam, (c) loại 3 : dưới 495 gam. Tính tỷ lệ mỗi loại. Đáp án. (a) 0.106 (b) 0.788 (c) 0.106



Bài 4.40. Một công ty kinh doanh mặt hàng A dự định sẽ áp dụng một trong 2 phương án kinh doanh. Ký hiệu X1 là lợi nhuận thu được khi áp dụng phương án thứ 1, X2 là lợi nhuận thu được khi áp dụng phương án thứ 2. X1 , X2 đều được tính theo đơn vị triệu đồng/ tháng) và X1 ∼ N (140, 2500), X2 ∼ N (200, 3600). Nếu biết rằng, để công ty tồn tại và phát triển thì lợi nhuận thu được từ mặt hàng kinh doanh A phải đạt ít nhất 80 triệu đồng/tháng. Hãy cho biết công ty nên áp dụng phương án nào để kinh doanh mặt hàng A? Vì sao? Đáp án. phương án 2



Bài 4.41. Nghiên cứu chiều cao của những người trưởng thành, người ta nhận thấy rằng chiều cao đó tuân theo quy luật phân bố chuẩn với trung bình là 175 cm và độ lệch tiêu chuẩn 4 cm. Hãy xác định: (a) tỷ lệ người trưởng thành có tầm vóc trên 180 cm. (b) tỷ lệ người trưởng thành có chiều cao từ 166 cm đến 177 cm. (c) tìm h0 , nếu biết rằng 33% người trưởng thành có tầm vóc dưới mức h0 . (d) giới hạn biến động chiều cao của 90% người trưởng thành xung quanh giá trị trung bình của nó. Đáp án. (a) 0.106 (b) 0.68 (c) 173.24 (d) 6.6



Bài 4.42. Ta quan tâm đến tuổi thọ X (theo năm) của một thiết bị. Từ kinh nghiệm trong quá khứ, ta ước lượng xác suất thiết bị loại này còn hoạt động tốt sau 9 năm là 0.1.

4.3. PHÂN PHỐI CHUẨN

45

(a) Ta đưa ra mô hình sau cho hàm mật độ của X fX (x) =

a (x + 1)b

với x ≥ 0

trong đó a > 0 và b > 1. Tìm hai hằng số a, b. (b) Nếu ta đưa ra một phân phối chuẩn với trung bình µ = 7 cho X, thì giá trị tham số σ là bao nhiêu? (c) Ta xét 10 thiết bị loại này một cách độc lập. Tính xác suất 8 hoặc 9 thiết bị loại này có tuổi đời hoạt động ít hơn 9 năm. Đáp án. (a) 1; 2 (b) 1.5601 (c) 0.5811



Bài 4.43. Entropy H của một biến ngẫu nhiên liên tục X được định nghĩa là H = E[− ln fX (X)] với fX là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X và ln là logarit tự nhiên. Tính entropy của biến ngẫu nhiên Gauss với trung bình 0 và phương sai σ 2 = 2. Đáp án. ≈ 1.766



Bài 4.44 (*). Một nhà sản xuất bán sản phẩm với một mức giá cố định s. Nhà sản xuất sẽ hoàn lại tiền cho khách hàng nếu khách hàng phát hiện trọng lượng sản phẩm nhỏ hơn trọng lượng cho trước w0 và thu lại sản phẩm, có giá trị tái chế là r(< s). Trọng lượng W tuân theo phân phối chuẩn với trung bình µ và phương sai σ 2 . Một cài đặt thích hợp cho phép nhà sản xuất cố định giá trị µ bằng một giá trị mong muốn, nhưng không thể cố định giá trị σ. Chi phí sản xuất C là một hàm theo trọng lượng của sản phẩm: C = α + βW , với α và β là các hằng số dương. (a) Hãy xác định biểu thức cho lợi nhuận Z theo W . (b) Chứng minh rằng lợi nhuận trung bình, z(µ), được xác định bởi z(µ) = s − α − βµ − (s − r)P [W < w0 ] Tìm giá trị µ0 của µ làm cực đại z(µ).

Chương 5

Lí thuyết mẫu Bài 5.1. Số liệu về chiều cao của các sinh viên nữ (Đơn vị: inch) trong một lớp học như sau: 62 64 66 67 65 68 61 65 67 65 64 63 67 68 64 66 68 69 65 67 62 66 68 67 66 65 69 65 70 65 67 68 65 63 64 67 67 (a) Tính chiều cao trung bình và độ lệch tiêu chuẩn. (b) Trung vị của chiều cao sinh viên lớp này là bao nhiêu? Đáp án. (a) 65.811; 2.106 (b) 66



Bài 5.2. Cho bộ dữ liệu sau: 4.2 4.7 4.7 5.0 3.8 3.6 3.0 5.1 3.1 3.8 4.8 4.0 5.2 4.3 2.8 2.0 2.8 3.3 4.8 5.0 Tính trung bình mẫu, phương sai mẫu và độ lệch tiêu chuẩn. Đáp án. 4; 0.866; 0.931



Bài 5.3. Cho bộ dữ liệu sau: 43 47 51 48 52 50 46 49 45 52 46 51 44 49 46 51 49 45 44 50 48 50 49 50 Tính trung bình mẫu, phương sai mẫu và độ lệch tiêu chuẩn. Đáp án. 48.125; 7.245; 2.692

Bài 5.4. Xét biểu thức y =



Pn

i=1 (xi

− a)2 . Với a nào thì y đạt giá trị nhỏ nhất?

Đáp án. x



Bài 5.5. Xét yi = a + bxi , i = 1, . . . , n và a, b là các hằng số khác 0. Hãy tìm mối liên hệ giữa x và y, sx và sy . 46

47

Đáp án. y = a + bx; sy = |b|sx



Bài 5.6 (*). Giả sử ta có mẫu cỡ n gồm các giá trị quan trắc x1 , x2 , . . . , xn và đã tính được trung bình mẫu xn và phương sai mẫu s2n . Quan trắc thêm giá trị thứ (n + 1) là xn+1 , gọi xn+1 và s2n+1 lần lượt là trung bình mẫu và phương sai mẫu ứng với mẫu có (n + 1) quan trắc. (a) Tính xn+1 theo xn và xn+1 . (b) Chứng tỏ rằng ns2n+1 = (n − 1)s2n +

n(xn+1 − xn )2 n+1

Bài 5.7. Từ bảng các số ngẫu nhiên người ta lấy ra 150 số. Các số đó được phân thành 10 khoảng như sau: xi ni

1− 10 16

11− 20 15

21− 30 19

31− 40 13

41− 50 14

51− 60 19

61− 70 14

71− 80 11

81− 90 13

91− 100 16

Xác định trung bình mẫu và phương sai mẫu. Đáp án. 48.97; 834.9



Bài 5.8. Khảo sát thu nhập của công nhân ở một công ty, cho bởi bảng sau (đơn vị ngàn đồng). Thu nhập Số người

[500, 600] [600, 700] [700, 800] [800, 900] [900, 1000] [1000, 1100][1100, 1200] 2 10 15 30 25 14 4

Xác định thu nhập trung bình, độ lệch chuẩn. Đáp án. 874; 136.4



Bài 5.9. Đo lượng huyết tương của 8 người mạnh khoẻ, ta có 2, 863, 372, 752, 623, 503, 253, 123, 15 Hãy xác định các đặc trưng mẫu. Đáp án. n = 8, x = 3.0775, s2 = 0.096



Bài 5.10. Quan sát thời gian cần thiết để sản xuất một chi tiết máy, ta thu được số liệu cho bảng sau: Khoảng thời gian (phút) 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55

Số lần quan sát 2 14 26 32 14 8 4

48

Tính trung bình mẫu x, phương sai mẫu s2 . Đáp án. 36.6; 45.14



Bài 5.11. Đo độ dài của một loại trục xe, ta có kết quả Nhóm ni

18.4-18.6 1

18.6-18.8 4

18.8-19 20

19-19.2 41

19.2-19.4 19

19.4-19.6 8

19.6-19.8 4

Hãy tính độ dài trung bình và phương sai mẫu. Đáp án. 19.133; 0.054



Chương 6

Ước lượng tham số thống kê 6.1

Ước lượng trung bình tổng thể

Bài 6.1. Trên tập mẫu gồm 100 số liệu, người ta tính được x = 0.1 s = 0.014. Xác định khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình thật. Đáp án. (0.0973, 0.1027)



Bài 6.2. Chọn ngẫu nhiên 36 công nhân của xí nghiệp thì thấy lương trung bình là 380 ngàn đ/tháng. Giả sử lương công nhân tuân theo phân phối chuẩn với σ = 14 ngàn đồng. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng mức lương trung bình của công nhân trong toàn xí nghiệp. Đáp án. (375.423, 384.573) ngàn đ/tháng



Bài 6.3. Đo sức bền chịu lực của một loại ống thí nghiệm, người ta thu được bộ số liệu sau 4500, 6500, 5200, 4800, 4900, 5125, 6200, 5375 Từ kinh nghiệm nghề nghiệp, người ta cũng biết rằng sức bền đó có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn σ = 300. Hãy xây dựng khoảng tin cậy 90% cho sức bền trung bình của loại ống trên. Đáp án. (5149.991, 5500.009)



Bài 6.4. Sản lượng mỗi ngày của một phân xưởng là biến ngẫu nhiên tuân theo luật chuẩn. Kết quả thống kê của 9 ngày cho ta: 27, 26, 21, 28, 25, 30, 26, 23, 26 Hãy xác định các khoảng tin cậy 95% cho sản lượng trung bình. Đáp án. (23.755, 27.805)



Bài 6.5. Quan sát chiều cao X (cm) của một số người, ta ghi nhận x (cm) Số người

140-145 1

145-150 3

150-155 7 49

155-160 9

160-165 5

165-170 2

6.1. ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TỔNG THỂ

50

(a) Tính x và s2 (b) Ước lượng µ ở độ tin cậy 0.95 Đáp án. (a) 156.2; 37.68 (b) (153.77, 158.63)



Bài 6.6. Điểm trung bình môn toán của 100 thí sinh dự thi vào trường A là 5 với độ lệch chuẩn là 2.5. (a) Ước lượng điểm trung bình môn toán của toàn thể thí sinh với độ tin cậy là 95%. (b) Với sai số ước lượng điểm trung bình ở câu a) là 0.25 điểm, hãy xác định độ tin cậy. Đáp án. (a) (4.51, 5.49) (b) 68.26%



Bài 6.7. Tuổi thọ của một loại bóng đèn được biết theo quy luật chuẩn với độ lệch chuẩn 100 giờ. (a) Chọn ngẫu nhiên 100 bóng đèn để thử nghiệm, thấy mỗi bóng tuổi thọ trung bình là 1000 giờ. Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn xí nghiệp A sản xuất với độ tin cậy là 95%. (b) Với dung sai của ước lượng tuổi thọ trung bình là 15 giờ, hãy xác định độ tin cậy. (c) Để dung sai của ước lượng tuổi thọ trung bình không quá 25 giờ với độ tin cậy là 95% thì cần phải thử nghiệm ít nhất bao nhiêu bóng. Đáp án. (a) (980.4, 1019.6) (b) 86.64% (c) 62



Bài 6.8. Khối lượng các bao bột mì tại một cửa hàng lương thực tuân theo phân phối chuẩn. Kiểm tra 20 bao, thấy khối lượng trung bình của mỗi bao bột mì là 48kg, và phương sai mẫu s2 = (0.5 kg)2 . (a) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng khối lượng trung bình của một bao bột mì thuộc cửa hàng. (b) Với dung sai của ước lượng ở câu a) là 0.284 kg, hãy xác định độ tin cậy. (c) Để dung sai của ước lượng ở câu a) không quá 160 g với độ tin cậy là 95%, cần phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu bao? Đáp án. (a) (47.766, 48.234) (b) 0.98 (c) 38



Bài 6.9. Đo đường kính của một chi tiết máy do một máy tiện tự động sản xuất, ta ghi nhận được số liệu như sau: x n

12.00 2

12.05 3

12.10 7

12.15 9

12.20 10

12.25 8

với n chỉ số trường hợp tính theo từng giá trị của X (mm).

12.30 6

12.35 5

12.40 3

6.1. ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TỔNG THỂ

51

(a) Tính trung bình mẫu x và độ lệch chuẩn s của mẫu. (b) Ước lượng đường kính trung bình µ ở độ tin cậy 0.95. (c) Nếu muốn sai số ước lượng không quá ε = 0.02 mm ở độ tin cậy 0.95 thì phải quan sát ít nhất mấy trường hợp. Đáp án. (a) 12.21; 0.103 (b) (12.18, 12.24) (c) 102



Bài 6.10. Người ta đo ion N a+ trên một số người và ghi nhận lại được kết quả như sau 129, 132, 140, 141, 138, 143, 133, 137, 140, 143, 138, 140 (a) Tính trung bình mẫu x và phương sai mẫu s2 . (b) Ước lượng trung bình µ của tổng thể ở độ tin cậy 0.95. (c) Nếu muốn sai số ước lượng trung bình không quá ε = 1 với độ tin cậy 0.95 thì phải quan sát mẫu gồm ít nhất mấy người? Đáp án. (a) 137.83; 19.42 (b) (135.01, 140.63) (c) 75



Bài 6.11. Quan sát tuổi thọ x (giờ) của một số bóng đèn do xí nghiệp A sản xuất, ta ghi nhận x n

1000 10

1100 14

1200 16

1300 17

1400 18

1500 16

1600 16

1700 12

1800 9

với n chỉ số trường hợp theo từng giá trị của x. (a) Tính trung bình mẫu x và độ lệch chuẩn mẫu s. (b) Ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn ở độ tin cậy 0.95. (c) Nếu muốn sai số ước lượng không quá ε = 30 giờ với độ tin cậy 0.99 thì phải quan sát mẫu gồm ít nhất mấy bóng đèn? Đáp án. (a) 1391.41; 234.45 (b) (1350.79, 1432.03) (c) 235



Bài 6.12. Chiều dài của một loại sản phẩm được xuất khẩu hàng loạt là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với µ = 100 mm và σ 2 = 42 mm2 . Kiểm tra ngẫu nhiên 25 sản phẩm. Khả năng chiều dài trung bình của số sản phẩm kiểm tra nằm trong khoảng từ 98mm đến 101mm là bao nhiêu? Đáp án. 88.82%



6.2. ƯỚC LƯỢNG TỈ LỆ TỔNG THỂ

6.2

52

Ước lượng tỉ lệ tổng thể

Bài 6.13. Trước bầu cử, người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 2000 cử tri thì thấy có 1380 người ủng hộ một ứng cử viên K. Với độ tin cậy 95%, hỏi ứng cử viên đó thu được tối thiểu bao nhiêu phần trăm phiếu bầu? Đáp án. 66.97%



Bài 6.14. Một loại bệnh có tỷ lệ tử vong là 0.01. Muốn chứng tỏ một loại thuốc có hiệu nghiệm (nghĩa là hạ thấp được tỷ lệ tử vong nhỏ hơn 0.005) ở độ tin cậy 0.95 thì phải thử thuốc đó trên ít nhất bao nhiêu người? Đáp án. 1522



Bài 6.15. Để ước lượng xác suất mắc bệnh gan với độ tin cậy 90% và sai số không vượt quá 2% thì cần phải khám ít nhất bao nhiêu người, biết rằng tỷ lệ mắc bệnh gan thực nghiệm đã cho bằng 0,9. Đáp án. 613



Bài 6.16. Giả sử quan sát 100 người thấy có 20 người bị bệnh sốt xuất huyết. Hãy ước lượng tỷ lệ bệnh sốt xuất huyết ở độ tin cậy 97%. Nếu muốn sai số ước lượng không quá 3% ở độ tin cậy 95% thì phải quan sát ít nhất bao nhiêu người? Đáp án. (0.1132, 0.2868); 683



Bài 6.17. Một loại thuốc mới đem điều trị cho 50 người bị bệnh B, kết quả có 40 người khỏi bệnh. (a) Ước lượng tỷ lệ khỏi bệnh p nếu dùng thuốc đó điều trị với độ tin cậy 0.95 và 0.99. (b) Nếu muốn sai số ước lượng không quá 0.02 ở độ tin cậy 0.95 thì phải quan sát ít nhất mấy trường hợp? Đáp án. (a) (0.69, 0.91); (0.65, 0.946) (b) 1537



Bài 6.18. Ta muốn ước lượng tỷ lệ viên thuốc bị sức mẻ p trong một lô thuốc lớn. (a) Nếu muốn sai số ước lượng không quá 0.01 với độ tin cậy 0.95 thì phải quan sát ít nhất mấy viên? (b) Quan sát ngẫu nhiên 200 viên, thấy có 18 viên bị sứt mẻ. Hãy ước lượng p ở độ tin cậy 0.95. (c) Khi đó, nếu muốn sai số ước lượng không quá 0.01 với độ tin cậy 0.95 thì phải quan sát ít nhất mấy viên? Đáp án. (a) 9604 (b) (0.051, 0.13) (c) 3147



6.3. TỔNG HỢP

53

Bài 6.19. Muốn biết trong ao có bao nhiêu cá, người ta bắt lên 2000 con, đánh dấu xong lại thả xuống hồ. Sau một thời gian, người ta bắt lên 500 con và thấy có 20 con cá có đánh dấu của lần bắt trước. Dựa vào kết quả đó hãy ước lượng số cá có trong hồ với độ tin cậy 95%. Đáp án. (34965.03, 877719.3)



Bài 6.20. Để có thể dự đoán được số lượng chim thường nghỉ tại vườn nhà mình, người chủ bắt 89 con, đem đeo khoen cho chúng rồi thả đi. Sau một thời gian, ông bắt ngẫu nhiên được 120 con và thấy có 7 con có đeo khoen. Hãy dự đoán số chim giúp ông chủ vườn ở độ tin cậy 99%. Đáp án. (785.1688, 27396.59)

6.3



Tổng hợp

Bài 6.21. Cân thử 100 quả cam, ta có bộ số liệu sau: Khối lượng (g) Số quả

32 2

33 3

34 15

35 26

36 28

37 6

38 8

39 8

40 4

(a) Hãy ước lượng khối lượng trung bình các quả cam ở độ tin cậy 95%. (b) Cam có khối lượng dưới 34 g được coi là cam loại 2. Tìm khoảng ước lượng cho tỷ lệ loại 2 với độ tin cậy 90%. Đáp án. (a) (35.539, 36.241) (b) (0.014, 0.086)



Bài 6.22. Đem cân một số trái cây vừa thu hoạch, ta được kết quả sau: X (gam) Số trái

200-210 12

210-220 17

220-230 20

230-240 18

240-250 15

(a) Tìm khoảng ước lượng của trọng lượng trung bình µ của trái cây với độ tin cậy 0.95 và 0.99. (b) Nếu muốn sai số ước lượng không quá ε = 2 gam ở độ tin cậy 99% thì phải quan sát ít nhất bao nhiêu trái? (c) Trái cây có khối lượng X ≥ 230 gam được xếp vào loại A. Hãy tìm khoảng ước lượng cho tỷ lệ p của trái cây loại A ở độ tin cậy 0.95 và 0.99. Nếu muốn sai số ước lượng không quá 0.04 ở độ tin cậy 0.99 thì phải quan sát ít nhất mấy trường hợp? Đáp án. (a) (222.98, 228.72); (222.08, 229.63) (b) 293 (c) (0.2963, 0.5085); (0.2627,0.5421); 1001



Chương 7

Kiểm định giả thuyết thống kê 7.1

So sánh kì vọng với một số cho trước

Bài 7.1. Giám đốc một xí nghiệp cho biết lương trung bình của 1 công nhân thuộc xí nghiệp là 380 ngàn đ/tháng. Chọn ngẫu nhiên 36 công nhân thấy lương trung bình là 350 ngàn đ/tháng, với độ lệch chuẩn s = 40. Lời báo cáo của giám đốc có tin cậy được không, với mức có ý nghĩa là α = 5%. Hướng dẫn. Ta cần kiểm định các giả thuyết (

H0 : µ = 380 H1 : µ 6= 380

Đây là trường hợp n = 36 ≥ 30 và σ 2 chưa biết, nên ta dùng √ n(x − µ) z = s √ 36(350 − 380) = 40 = −4.5 Ta thấy |z| > z1− α2 = z0.975 = 1.96. Do đó ta bác bỏ giả thuyết H0 . Nghĩa là lời báo cáo của giám đốc không đáng tin cậy. 

Bài 7.2. Trong thập niên 80, trọng lượng trung bình của thanh niên là 48 kg. Nay để xác định lại trọng lượng ấy, người ta chọn ngẫu nhiên 100 thanh niên đo trọng lượng trung bình là 50 kg và phương sai mẫu s2 = (10 kg)2 . Thử xem trọng lượng thanh niên hiện nay phải chăng có thay đổi, với mức có ý nghĩa là 1%? Đáp án. z = 2. Trọng lượng thanh niên hiện nay không thay đổi so với trước kia.



Bài 7.3. Một cửa hàng thực phẩm nhận thấy thời gian vừa qua trung bình một khách hàng mua 25 ngàn đồng thực phẩm trong ngày. Nay cửa hàng chọn ngẫu nhiên 15 khách hàng thấy trung bình một khách hàng mua 24 ngàn đồng trong ngày và phương sai mẫu là s2 = (2 ngàn đồng)2 . Với mức ý nghĩa là 5%, kiểm định xem có phải sức mua của khách hàng hiện nay thực sự giảm sút hay không. Biết rằng sức mua của khách hàng có phân phối chuẩn. Đáp án. t = −1.9365. Sức mua của khách hàng hiện nay thực sự giảm sút.

54



7.1. SO SÁNH KÌ VỌNG VỚI MỘT SỐ CHO TRƯỚC

55

Bài 7.4. Đối với người Việt Nam, lượng huyết sắc tố trung bình là 138.3 g/l. Khám cho 80 công nhân ở nhà máy có tiếp xúc hoá chất, thấy huyết sắc tố trung bình x = 120 g/l; s = 15 g/l. Từ kết quả trên, có thể kết luận lượng huyết sắc tố trung bình của công nhân nhà máy hoá chất này thấp hơn mức chung hay không? Kết luận với α = 0.05. Đáp án. z = −10.912. Lượng huyết tố trung bình của công nhân nhà máy thấp hơn mức chung.



Bài 7.5. Trong điều kiện chăn nuôi bình thường, lượng sữa trung bình của 1 con bò là 14 kg/ngày. Nghi ngờ điều kiện chăn nuôi kém đi làm cho lượng sữa giảm xuống, người ta điều tra ngẫu nhiên 25 con và tính được lượng sữa trung bình của 1 con trong 1 ngày là 12.5 và độ lệch chuẩn s = 2.5. Với mức ý nghĩa α = 0.05. hãy kết luận điều nghi ngờ nói trên. Giả thiết lượng sữa bò là 1 biến ngẫu nhiên chuẩn. Đáp án. t = −3. Điều kiện chăn nuôi kém đi làm cho lượng sữa giảm xuống.



Bài 7.6. Tiền lương trung bình của công nhân trước đây là 400 ngàn đ/tháng. Để xét xem tiền lương hiện nay so với mức trước đây thế nào, người ta điều tra 100 công nhân và tính được x = 404.8 ngàn đ/tháng và s = 20 ngàn đ/tháng. Với α = 1% (a) Nếu lập giả thiết 2 phía và giả thiết 1 phía thì kết quả kiểm định như thế nào? (b) Giống câu a, với x = 406 ngàn đ/tháng và s = 20 ngàn đ/tháng. Bài 7.7. Một máy đóng gói các sản phẩm có khối lượng 1 kg. Nghi ngờ máy hoạt động không bình thường, người ta chọn ra một mẫu ngẫu nhiên gồm 100 sản phẩm thì thấy như sau: Khối lượng Số gói

0.95 9

0.97 31

0.99 40

1.01 15

1.03 3

1.05 2

Với mức ý nghĩa 0.05, hãy kết luận về nghi ngờ trên. Đáp án. z = −6.9204. Máy hoạt động không bình thường.



Bài 7.8. Trọng lượng trung bình khi xuất chuồng ở một trại chăn nuôi trước là 3.3 kg/con. Năm nay người ta sử dụng một loại thức ăn mới, cân thử 15 con khi xuất chuồng ta được các số liệu như sau: 3.25, 2.50, 4.00, 3.75, 3.80, 3.90, 4.02, 3.60, 3.80, 3.20, 3.82, 3.40, 3.75, 4.00, 3.50 Giả thiết trọng lượng gà là đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn. (a) Với mức ý nghĩa α = 0.05. Hãy cho kết luận về tác dụng của loại thức ăn này? (b) Nếu trại chăn nuôi báo cáo trọng lượng trung bình khi xuất chuồng là 3.5 kg/con thì có chấp nhận được không? (α = 0.05). Đáp án. (a) t = 3.0534. Thức ăn mới này làm thay đổi trọng lượng gà. (b) t = 1.1409. Trại chăn nuôi báo cáo trọng lượng trung bình khi xuất chuồng là chấp nhận được.



7.1. SO SÁNH KÌ VỌNG VỚI MỘT SỐ CHO TRƯỚC

56

Bài 7.9. Đo cholesterol (đơn vị mg%) cho một nhóm người, ta ghi nhận lại được Chol. Số người

150 –160 3

160 - 170 9

170 - 180 11

180 - 190 3

190 - 200 2

200 - 210 1

Cho rằng độ cholesterol tuân theo phân phối chuẩn. (a) Tính trung bình mẫu x và phương sai mẫu s2 . (b) Tìm khoảng ước lượng cho trung bình cholesterol trong dân số ở độ tin cậy 0.95. (c) Có tài liệu cho biết lượng cholesterol trung bình là µ0 = 175 mg%. Giá trị này có phù hợp với mẫu quan sát không? (kết luận với α = 0.05). Đáp án. (a) 173.2759; 143.3498 (b) (168.7226, 177.8292) (c) t = −0.7755. Giá trị mẫu phù hợp với tài liệu. 

Bài 7.10. Quan sát số hoa hồng bán ra trong một ngày của một cửa hàng bán hoa sau một thời gian, người ta ghi được số liệu sau: Số hoa hồng (đoá) Số ngày

12 3

13 2

15 7

16 7

17 3

18 2

19 1

Giả thiết rằng số hoa bán ra trong ngày có phân phối chuẩn. (a) Tìm trung bình mẫu x, phương sai mẫu s2 . (b) Sau khi tính toán, ông chủ cửa hàng nói rằng nếu trung bình một ngày không bán được 15 đoá hoa thì chẳng thà đóng cửa còn hơn. Dựa vào số liệu trên, anh (chị) hãy kết luận giúp ông chủ cửa hàng xem có nên tiếp tục bán hay không ở mức ý nghĩa α = 0.05. (c) Giả sử những ngày bán được từ 13 đến 17 đoá hồng là những ngày “bình thường”. Hãy ước lượng tỉ lệ của những ngày bình thường của cửa hàng ở độ tin cậy 90%. Đáp án. (a) 15.4; 3.5 (b) t = 1.069. Ông chủ cửa hàng nên tiếp tục bán. (c) (0.6191, 0.9009)



Bài 7.11. Một xí nghiệp đúc một số rất lớn các sản phẩm bằng thép với số khuyết tật trung bình ở mỗi sản phẩm là 3. Người ta cải tiến cách sản xuất và kiểm tra 36 sản phẩm. Kết quả như sau: Số khuyết tật trên sản phẩm Số sản phẩm tương ứng

0 7

1 4

2 5

3 7

4 6

5 6

6 1

Giả sử số khuyết tật của các sản phẩm có phân phối chuẩn. (a) Hãy ước lượng số khuyết tật trung bình ở mỗi sản phẩm sau khi cải tiến, với độ tin cậy 90%. (b) Hãy cho kết luận về hiệu quả của việc cải tiến sản xuất ở mức ý nghĩa 0.05. Đáp án. (a) (2.1333, 3.1445) (b) z = −1.1785. Cải tiến không hiệu quả.



7.2. SO SÁNH HAI KÌ VỌNG

57

Bài 7.12. Đánh giá tác dụng của một chế độ ăn bồi dưỡng mà dấu hiệu quan sát là số hồng cầu. Người ta đếm số hồng cầu của 20 người trước và sau khi ăn bồi dưỡng: xi yi xi yi

32 40 38 32

40 45 45 54

38 42 43 58

42 50 36 30

41 52 50 60

35 43 38 35

36 48 42 50

47 45 41 48

50 55 45 40

30 34 44 50

Với mức ý nghĩa α = 0.05, có thể kết luận gì về tác dụng của chế độ ăn bồi dưỡng này? Đáp án. t = 3.0386. Chế độ ăn bồi dưỡng làm thay đổi hồng cầu.



Hướng dẫn. Đặt Z = Y − X để chỉ số lượng hồng cầu thay đổi sau khi ăn bồi dưỡng.



Bài 7.13. Giả sử ta muốn xác định xem hiệu quả của chế độ ăn kiêng đối với việc giảm trọng lượng như thế nào. 20 người quá béo đã thực hiện chế độ ăn kiêng. Trọng lượng của từng người trước khi ăn kiêng (X kg) và sau khi ăn kiêng (Y kg) được cho như sau: X Y X Y

80 75 63 62

78 77 72 71

85 80 89 83

70 70 76 72

90 84 77 82

78 74 71 71

92 85 83 79

88 82 78 76

75 80 82 83

75 65 90 81

Kiểm tra xem chế độ ăn kiêng có tác dụng làm thay đổi trọng lượng hay không (α = 0.05). Đáp án. t = −3.3002. Chế độ ăn kiêng có tác dụng làm thay đổi trọng lượng.

7.2



So sánh hai kì vọng

Bài 7.14. Một nhà phát triển sản phẩm quan tâm đến việc giảm thời gian khô của sơn. Vì vậy hai công thức sơn được đem thử nghiệm. Công thức 1 là công thức có các thành phần chuẩn và công thức 2 có thêm một thành phần làm khô mới được cho rằng sẽ làm giảm thời gian khô của sơn. Từ các thí nghiệm người ta thấy rằng σ1 = σ2 = 8 phút. 10 đồ vật được sơn với công thức 1 và 10 đồ vật khác được sơn với công thức 2. Thời gian khô trung bình của từng mẫu là x1 = 121 phút và x2 = 112 phút. Nhà phát triển sản phẩm có thể rút ra kết luận gì về ảnh hưởng của thành phần làm khô mới? Với mức ý nghĩa 5%. Hướng dẫn. Ta cần kiểm định các giả thuyết (

H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 > µ2

Ta tính được z

=

x1 − x2 q 2 σ1 σ2 + n22 n1

=

121 − 112 q 2 82 + 810 10

=

2.5156

Ta thấy z > z1−α = z0.95 = 1.65. Do đó, ta bác bỏ giả thuyết H0 nghĩa là thành phần làm khô mới làm giảm thời gian khô. 

7.2. SO SÁNH HAI KÌ VỌNG

58

Bài 7.15. Tốc độ cháy của hai loại chất nổ lỏng được dùng làm nhiên liệu trong tàu vũ trụ được nghiên cứu. Người ta biết rằng độ lệch chuẩn của tốc độ cháy của hai loại nhiên liệu bằng nhau và bằng 3 cm/s. Hai mẫu ngẫu nhiên kích thước n1 = 20 và n2 = 20 được thử nghiệm; trung bình mẫu tốc độ cháy là x1 = 18 cm/s và x2 = 24 cm/s. Với mức ý nghĩa α = 0.05 hãy kiểm định giả thuyết hai loại chất nổ lỏng này có cùng tốc độ đốt cháy. Đáp án. z = −6.3246. Hai loại chất nổ lỏng này có tốc độ đốt cháy khác nhau.



Bài 7.16. Theo dõi giá cổ phiếu của 2 công ty A và B trong vòng 31 ngày người ta tính được các giá trị sau

Công ty A Công ty B

x 37.58 38.24

s 1.50 2.20

Giả thiết rằng giá cổ phiếu của hai công ty A và B là hai biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn. Hãy cho biết ý nghĩa kì vọng của các biến ngẫu nhiên nói trên? Hãy cho biết có sự khác biệt thực sự về giá cổ phiếu trung bình của hai công ty A và B không? Với mức ý nghĩa α = 5% Đáp án. t = −1.3801. Giá cổ phiếu trung bình của hai công ty A và B bằng nhau.



Bài 7.17. Hàm lượng đường trong máu của công nhân sau 5 giờ làm việc với máy siêu cao tần đã đo được ở hai thời điểm trước và sau 5 giờ làm việc. Ta có kết quả sau: Trước: Sau:

n1 = 50 n2 = 40

x = 60 mg% y = 52 mg%

sx = 7 sy = 9.2

Với mức ý nghĩa α = 0.05, có thể khẳng định hàm lượng đường trong máu sau 5 giờ làm việc đã giảm đi hay không? Đáp án. t = 4.6851. Hàm lượng đường trong máu sau 5 giờ làm việc đã giảm đi.



Bài 7.18. Trồng cùng một giống lúa trên hai thửa ruộng như nhau và bón hai loại phân khác nhau. Đến ngày thu hoạch ta có kết quả như sau: • Thửa thứ nhất lấy mẫu 1000 bông lúa thấy số hạt trung bình của mỗi bông là x = 70 hạt và sx = 10. • Thửa thứ hai lấy mẫu 500 bông thấy số hạt trung bình mỗi bông là y = 72 hạt và sy = 20. Hỏi sự khác nhau giữa X và Y là ngẫu nhiên hay bản chất, với α = 0.05? Đáp án. t = −2.5824. Sự khác nhau giữa X và Y là do bản chất.



Bài 7.19. Để so sánh trọng lượng trung bình của trẻ sơ sinh ở thành thị và nông thôn, người ta thử cân trọng lượng của 10000 cháu và thu được kết quả sau đây:

7.2. SO SÁNH HAI KÌ VỌNG

Vùng Nông thôn Thành thị

59

Số cháu được cân 8000 2000

Trọng lượng trung bình 3.0 kg 3.2 kg

Độ lệch chuẩn mẫu 0.3 kg 0.2 kg

Với mức ý nghĩa α = 0.05 có thể coi trọng lượng trung bình của trẻ sơ sinh ở thành thị cao hơn ở nông thôn hay không? (Giả thiết trọng lượng trẻ sơ sinh là biến ngẫu nhiên chuẩn). Đáp án. t = −28.2885. Trọng lượng trung bình của trẻ sơ sinh ở thành thị cao hơn ở nông thôn.



Bài 7.20. Để so sánh năng lực học toán và vật lý của học sinh, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 8 em bằng hai bài toán và vật lý. Kết quả cho bởi bảng dưới đây (X là điểm toán, Y là điểm lý): X Y

15 15

20 22

16 14

22 25

24 19

18 20

20 24

14 16

Giả sử X và Y đều có phân phối chuẩn. Hãy so sánh điểm trung bình giữa X và Y , mức ý nghĩa 5%. Đáp án. t = −0.3913. Điểm trung bình của X và Y là như nhau.



Bài 7.21. Hai máy được sử dụng để rót nước vào các bình. Người ta lấy mẫu ngẫu nhiên 10 bình do máy thứ nhất và 10 bình do máy thứ hai thì được kết quả sau: Máy 1 Máy 2

16.03 16.02

16.01 16.03

16.04 15.97

15.96 16.04

16.05 15.96

15.98 16.02

16.05 16.01

16.02 16.01

16.02 15.99

15.99 16.00

Với mức ý nghĩa α = 0.05 có thể nói rằng hai máy rót nước vào bình như nhau không? Đáp án. t = 0.7986. Hai máy rót nước vào bình như nhau.



Bài 7.22. Để nghiên cứu ảnh hưởng của một loại thuốc, người ta cho 10 bệnh nhân uống thuốc. Lần khác họ cũng cho bệnh nhân uống thuốc nhưng là thuốc giả. Kết quả thí nghiệm thu được như sau: Bệnh nhân Số giờ ngủ có thuốc Số giờ ngủ với thuốc giả

1 6.1 5.2

2 7.0 7.9

3 8.2 3.9

4 7.6 4.7

5 6.5 5.3

6 8.4 5.4

7 6.9 4.2

8 6.7 6.1

9 7.4 3.8

10 5.8 6.3

Giả sử số giờ ngủ của bệnh nhân tuân theo phân phối chuẩn. Với mức ý nghĩa 5%, hãy kết luận về ảnh hưởng của loại thuốc trên. Đáp án. t = 3.7134. Loại thuốc trên ảnh hưởng đến số giờ ngủ của bệnh nhân.



Bài 7.23. Quan sát sức nặng của bé trai (X) và bé gái (Y) lúc sơ sinh (đơn vị gam), ta có kết quả Trọng lượng Số bé trai Số bé gái

3000-3200 1 2

3200-3400 3 10

3400-3600 8 10

3600-3800 10 5

3800-4000 3 1

7.3. SO SÁNH TỈ LỆ VỚI MỘT SỐ CHO TRƯỚC

60

(a) Tính x, y, s2x , s2y . (b) So sánh các kì vọng µX , µY (kết luận với α = 5%). (c) Nhập hai mẫu lại. Tính trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu nhập. Dùng mẫu nhập để ước lượng sức nặng trung bình của trẻ sơ sinh ở độ tin cậy 95%. Đáp án. (a) 3588; 3450; 40266.67; 37407.41 (b) t = 2.5476. Trọng lượng bé trai và bé gái lúc sơ sinh khác nhau. (c) 3515.094; 206.9896; (3459.367, 3570.821)

7.3



So sánh tỉ lệ với một số cho trước

Bài 7.24. Một máy sản xuất tự động với tỷ lệ chính phẩm là 98%. Sau một thời gian hoạt động, người ta nghi ngờ tỷ lệ trên đã bị giảm. Kiểm tra ngẫu nhiên 500 sản phẩm thấy có 28 phế phẩm, với α = 0.05 hãy kiểm tra xem chất lượng làm việc của máy có còn được như trước hay không? Hướng dẫn. Gọi p là tỉ lệ chính phẩm của máy sản xuất tự động sau một thời gian hoạt động. Ta cần kiểm định các giả thuyết ( H0 : p = 0.98 H1 : p < 0.98 Ta có n = 500, f =

500 − 28 = 0.944, nf = 472 ≥ 5 và n(1 − f ) = 28 ≥ 5. 500

Do đó, ta dùng z

= = =

√ n(f − p) √ pq √ 500(0.944 − 0.98) √ 0.98 × 0.02 −5.7499

Ta thấy z < zα = z0.05 = −z0.95 = −1.65. Do đó ta bác bỏ giả thuyết H0 . Nghĩa là chất lượng làm việc của máy không còn tốt như trước. 

Bài 7.25. Trong một vùng dân cư có 18 bé trai và 28 bé gái mắc bệnh B. Hỏi rằng tỷ lệ nhiễm bệnh của bé trai và bé gái có như nhau không? (kết luận với α = 0.05 và giả sử rằng số lượng bé trai và bé gái trong vùng tương đương nhau, và rất nhiều). Đáp án. z = −1.4745. Tỉ lệ mắc bệnh của bé trai và bé gái là như nhau.



Bài 7.26. Đo huyết sắc tố cho 50 công nhân nông trường thấy có 60% ở mức dưới 110 g/l. Số liệu chung của khu vực này là 30% ở mức dưới 110 g/l. Với mức ý nghĩa α = 0.05, có thể kết luận công nhân nông trường có tỷ lệ huyết sắc tố dưới 110 g/l cao hơn mức chung hay không? Đáp án. z = 4.6291. Công nhân nông trường có tỷ lệ huyết sắc tố dưới 110 g/l cao hơn mức chung.



Bài 7.27. Theo một nguồn tin thì tỉ lệ hộ dân thích xem dân ca trên Tivi là 80%. Thăm dò 36 hộ dân thấy có 25 hộ thích xem dân ca. Với mức có ý nghĩa là 5%. Kiểm định xem nguồn tin này có đáng tin cậy không?

7.4. SO SÁNH HAI TỈ LỆ

61

Đáp án. z = −1.584. Nguồn tin này đáng tin cậy.



Bài 7.28. Một máy sản suất tự động, lúc đầu tỷ lệ sản phẩm loại A là 20%. Sau khi áp dụng một phương pháp cải tiến sản xuất mới, người ta lấy 40 mẫu, mỗi mẫu gồm 10 sản phẩm đề kiểm tra. Kết quả kiểm tra cho ở bảng sau: Số sản phẩm loại A trong mẫu Số mẫu

1 2

2 0

3 4

4 6

5 8

6 10

7 4

8 5

9 1

10 0

Với mức ý nghĩa 5%. Hãy cho kết luận về phương pháp sản suất này. Đáp án. z = 16.875. Phương pháp cải tiến sản xuất mới thay đổi tỉ lệ sản phẩm loại A.



Bài 7.29. Tỷ lệ phế phẩm của một nhà máy trước đây là 5%. Năm nay nhà máy áp dụng một biện pháp kỹ thuật mới. Để nghiên cứu tác dụng của biện pháp kỹ thuật mới, người ta lấy một mẫu gồm 800 sản phẩm để kiểm tra và thấy có 24 phế phẩm. (a) Với α = 0.01. Hãy cho kết luận về biện pháp kỹ thuật mới này? (b) Nếu nhà máy báo cáo tỷ lệ phế phẩm sau khi áp dụng biện pháp kỹ thuật mới là 2% thì có chấp nhận được không? (α = 0.01). Đáp án. (a) z = −2.5955. Biện pháp kĩ thuật mới làm thay đổi tỉ lệ phế phẩm. (b) z = 2.0203. Nhà máy báo cáo tỷ lệ phế phẩm là chấp nhận được.

7.4



So sánh hai tỉ lệ

Bài 7.30. Trong 90 người dùng DDT để ngừa bệnh ngoài da thì có 10 người nhiễm bệnh; trong 100 người không dùng DDT thì có 26 người mắc bệnh. Hỏi rằng DDT có tác dụng ngừa bệnh ngoài da không? (kết luận với α = 0.05) Hướng dẫn. Gọi p1 : tỉ lệ người mắc bệnh dùng DDT p2 : tỉ lệ người mắc bệnh không dùng DDT Ta cần kiểm định các giả thuyết (

H 0 : p1 = p2 H1 : p1 < p2

n1

=

90 ≥ 30

n2

=

f1

=

f2

=

pˆ

=

100 ≥ 30 10 = 0.1111 90 26 = 0.26 100 n1 f1 + n2 f2 n1 + n2 10 + 26 = 0.1895 90 + 100

Ta có

=

7.4. SO SÁNH HAI TỈ LỆ

62

Ta tính được z

=

= =

r

f1 − f2  pˆqˆ n11 +

1 n2



0.1111 − 0.26 q

0.1895(1 − 0.1895)

1 90

+

1 100




−2.6149

Ta thấy z < zα = z0.05 = −z0.95 = −1.65. Do đó ta bác bỏ giả thuyết H0 . Nghĩa là DDT có tác dụng ngừa bệnh ngoài da. 

Bài 7.31. Người ta điều tra 250 người ở xã A thấy có 140 nữ và điều tra 160 người ở xã B thấy có 80 nữ. Hãy so sánh tỉ lệ nữ ở hai xã với mức ý nghĩa 5%. Đáp án. z = 1.1885. Tỉ lệ nữ ở hai xã bằng nhau.



Bài 7.32. Áp dụng hai phương pháp gieo hạt. Theo phương pháp A gieo 180 hạt thì có 150 hạt nảy mầm; theo phương pháp B gieo 256 hạt thì thấy có 160 hạt nảy mầm. Hãy so sánh hiệu quả của hai phương pháp với mức ý nghĩa α = 5%. Đáp án. z = 4.7241. Hiệu quả của hai phương pháp khác nhau ở mức ý nghĩa 5%.



Bài 7.33. Theo dõi trọng lượng của một số trẻ sơ sinh tại một số nhà hộ sinh thành phố và nông thôn, người ta thấy rằng trong số 150 trẻ sơ sinh ở thành phố có 100 cháu nặng hơn 3000 gam, và trong 200 trẻ sơ sinh ở nông thôn có 98 cháu nặng hơn 3000 gam. Từ kết quả đó hãy so sánh tỉ lệ trẻ sơ sinh có trọng lượng trên 3000 gam ở thành phố và nông thôn với mức ý nghĩa 5%. Đáp án. z = 3.3005. Tỉ lệ trẻ sơ sinh có trọng lượng trên 3000 gam ở thành phố và nông thôn khác nhau ở mức ý nghĩa 5%. 

Phụ lục A

Các bảng phân phối

63

64

z 1 − 12u 2 Φ(z) = P(Z < z) = ⌠ e du ⌡−∞ 2π

Φ(z)

z

0

Bảng A.1: Phân phối chuẩn tắc 0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

−3.4 −3.3 −3.2 −3.1 −3.0

0.0002

0.0003

0.0003

0.0003

0.0003

0.0003

0.0003

0.0003

0.0003

0.0003

0.0003

0.0004

0.0004

0.0004

0.0004

0.0004

0.0004

0.0005

0.0005

0.0005

0.0005

0.0005

0.0005

0.0006

0.0006

0.0006

0.0006

0.0006

0.0007

0.0007

0.0007

0.0007

0.0008

0.0008

0.0008

0.0008

0.0009

0.0009

0.0009

0.0010

0.0010

0.0010

0.0011

0.0011

0.0011

0.0012

0.0012

0.0013

0.0013

0.0013

−2.9 −2.8 −2.7 −2.6 −2.5 −2.4 −2.3 −2.2 −2.1 −2.0

0.0014

0.0014

0.0015

0.0015

0.0016

0.0016

0.0017

0.0018

0.0018

0.0019

0.0019

0.0020

0.0021

0.0021

0.0022

0.0023

0.0023

0.0024

0.0025

0.0026

0.0026

0.0027

0.0028

0.0029

0.0030

0.0031

0.0032

0.0033

0.0034

0.0035

0.0036

0.0037

0.0038

0.0039

0.0040

0.0041

0.0043

0.0044

0.0045

0.0047

0.0048

0.0049

0.0051

0.0052

0.0054

0.0055

0.0057

0.0059

0.0060

0.0062

0.0064

0.0066

0.0068

0.0069

0.0071

0.0073

0.0075

0.0078

0.0080

0.0082

0.0084

0.0087

0.0089

0.0091

0.0094

0.0096

0.0099

0.0102

0.0104

0.0107

0.0110

0.0113

0.0116

0.0119

0.0122

0.0125

0.0129

0.0132

0.0136

0.0139

0.0143

0.0146

0.0150

0.0154

0.0158

0.0162

0.0166

0.0170

0.0174

0.0179

0.0183

0.0188

0.0192

0.0197

0.0202

0.0207

0.0212

0.0217

0.0222

0.0228

−1.9 −1.8 −1.7 −1.6 −1.5 −1.4 −1.3 −1.2 −1.1 −1.0

0.0233

0.0239

0.0244

0.0250

0.0256

0.0262

0.0268

0.0274

0.0281

0.0287

0.0294

0.0301

0.0307

0.0314

0.0322

0.0329

0.0336

0.0344

0.0351

0.0359

0.0367

0.0375

0.0384

0.0392

0.0401

0.0409

0.0418

0.0427

0.0436

0.0446

0.0455

0.0465

0.0475

0.0485

0.0495

0.0505

0.0516

0.0526

0.0537

0.0548

0.0559

0.0571

0.0582

0.0594

0.0606

0.0618

0.0630

0.0643

0.0655

0.0668

0.0681

0.0694

0.0708

0.0721

0.0735

0.0749

0.0764

0.0778

0.0793

0.0808

0.0823

0.0838

0.0853

0.0869

0.0885

0.0901

0.0918

0.0934

0.0951

0.0968

0.0985

0.1003

0.1020

0.1038

0.1056

0.1075

0.1093

0.1112

0.1131

0.1151

0.1170

0.1190

0.1210

0.1230

0.1251

0.1271

0.1292

0.1314

0.1335

0.1357

0.1379

0.1401

0.1423

0.1446

0.1469

0.1492

0.1515

0.1539

0.1562

0.1587

−0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 −0.0

0.1611

0.1635

0.1660

0.1685

0.1711

0.1736

0.1762

0.1788

0.1814

0.1841

0.1867

0.1894

0.1922

0.1949

0.1977

0.2005

0.2033

0.2061

0.2090

0.2119

0.2148

0.2177

0.2206

0.2236

0.2266

0.2296

0.2327

0.2358

0.2389

0.2420

0.2451

0.2483

0.2514

0.2546

0.2578

0.2611

0.2643

0.2676

0.2709

0.2743

0.2776

0.2810

0.2843

0.2877

0.2912

0.2946

0.2981

0.3015

0.3050

0.3085

0.3121

0.3156

0.3192

0.3228

0.3264

0.3300

0.3336

0.3372

0.3409

0.3446

0.3483

0.3520

0.3557

0.3594

0.3632

0.3669

0.3707

0.3745

0.3783

0.3821

0.3859

0.3897

0.3936

0.3974

0.4013

0.4052

0.4090

0.4129

0.4168

0.4207

0.4247

0.4286

0.4325

0.4364

0.4404

0.4443

0.4483

0.4522

0.4562

0.4602

0.4641

0.4681

0.4721

0.4761

0.4801

0.4840

0.4880

0.4920

0.4960

0.5000

z

∗ Với

z ≤ −3.50, xác suất sẽ nhỏ hơn hoặc bằng 0.0002.

65

z 1 − 12u 2 Φ(z) = P(Z < z) = ⌠ e du ⌡−∞ 2π

Φ(z)

z

0

Bảng A.2: Phân phối chuẩn tắc (tt) 0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.5000

0.5040

0.5080

0.5120

0.5160

0.5199

0.5239

0.5279

0.5319

0.5359

0.5398

0.5438

0.5478

0.5517

0.5557

0.5596

0.5636

0.5675

0.5714

0.5753

0.5793

0.5832

0.5871

0.5910

0.5948

0.5987

0.6026

0.6064

0.6103

0.6141

0.6179

0.6217

0.6255

0.6293

0.6331

0.6368

0.6406

0.6443

0.6480

0.6517

0.6554

0.6591

0.6628

0.6664

0.6700

0.6736

0.6772

0.6808

0.6844

0.6879

0.6915

0.6950

0.6985

0.7019

0.7054

0.7088

0.7123

0.7157

0.7190

0.7224

0.7257

0.7291

0.7324

0.7357

0.7389

0.7422

0.7454

0.7486

0.7517

0.7549

0.7580

0.7611

0.7642

0.7673

0.7704

0.7734

0.7764

0.7794

0.7823

0.7852

0.7881

0.7910

0.7939

0.7967

0.7995

0.8023

0.8051

0.8078

0.8106

0.8133

0.8159

0.8186

0.8212

0.8238

0.8264

0.8289

0.8315

0.8340

0.8365

0.8389

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

0.8413

0.8438

0.8461

0.8485

0.8508

0.8531

0.8554

0.8577

0.8599

0.8621

0.8643

0.8665

0.8686

0.8708

0.8729

0.8749

0.8770

0.8790

0.8810

0.8830

0.8849

0.8869

0.8888

0.8907

0.8925

0.8944

0.8962

0.8980

0.8997

0.9015

0.9032

0.9049

0.9066

0.9082

0.9099

0.9115

0.9131

0.9147

0.9162

0.9177

0.9192

0.9207

0.9222

0.9236

0.9251

0.9265

0.9279

0.9292

0.9306

0.9319

0.9332

0.9345

0.9357

0.9370

0.9382

0.9394

0.9406

0.9418

0.9429

0.9441

0.9452

0.9463

0.9474

0.9484

0.9495

0.9505

0.9515

0.9525

0.9535

0.9545

0.9554

0.9564

0.9573

0.9582

0.9591

0.9599

0.9608

0.9616

0.9625

0.9633

0.9641

0.9649

0.9656

0.9664

0.9671

0.9678

0.9686

0.9693

0.9699

0.9706

0.9713

0.9719

0.9726

0.9732

0.9738

0.9744

0.9750

0.9756

0.9761

0.9767

2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

0.9772

0.9778

0.9783

0.9788

0.9793

0.9798

0.9803

0.9808

0.9812

0.9817

0.9821

0.9826

0.9830

0.9834

0.9838

0.9842

0.9846

0.9850

0.9854

0.9857

0.9861

0.9864

0.9868

0.9871

0.9875

0.9878

0.9881

0.9884

0.9887

0.9890

0.9893

0.9896

0.9898

0.9901

0.9904

0.9906

0.9909

0.9911

0.9913

0.9916

0.9918

0.9920

0.9922

0.9925

0.9927

0.9929

0.9931

0.9932

0.9934

0.9936

0.9938

0.9940

0.9941

0.9943

0.9945

0.9946

0.9948

0.9949

0.9951

0.9952

0.9953

0.9955

0.9956

0.9957

0.9959

0.9960

0.9961

0.9962

0.9963

0.9964

0.9965

0.9966

0.9967

0.9968

0.9969

0.9970

0.9971

0.9972

0.9973

0.9974

0.9974

0.9975

0.9976

0.9977

0.9977

0.9978

0.9979

0.9979

0.9980

0.9981

0.9981

0.9982

0.9982

0.9983

0.9984

0.9984

0.9985

0.9985

0.9986

0.9986

3.0 3.1 3.2 3.3 3.4

0.9987

0.9987

0.9987

0.9988

0.9988

0.9989

0.9989

0.9989

0.9990

0.9990

0.9990

0.9991

0.9991

0.9991

0.9992

0.9992

0.9992

0.9992

0.9993

0.9993

0.9993

0.9993

0.9994

0.9994

0.9994

0.9994

0.9994

0.9995

0.9995

0.9995

0.9995

0.9995

0.9995

0.9996

0.9996

0.9996

0.9996

0.9996

0.9996

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9998

∗ Với

z ≥ 3.50, xác suất sẽ lớn hơn hoặc bằng 0.9998.

z

66

q

0

tvq

Bảng A.3: Phân vị tvq của phân phối Student q HH H H 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120

HH v

0.60

0.75

0.90

0.95

0.975

0.99

0.995

0.9995

0.3249 0.2887 0.2767 0.2707 0.2672 0.2648 0.2632 0.2619 0.2610 0.2602 0.2596 0.2590 0.2586 0.2582 0.2579 0.2576 0.2573 0.2571 0.2569 0.2567 0.2566 0.2564 0.2563 0.2562 0.2561 0.2560 0.2559 0.2558 0.2557 0.2556 0.2550 0.2545 0.2539

1.0000 0.8165 0.7649 0.7407 0.7267 0.7176 0.7111 0.7064 0.7027 0.6998 0.6974 0.6955 0.6938 0.6924 0.6912 0.6901 0.6892 0.6884 0.6876 0.6870 0.6864 0.6858 0.6853 0.6848 0.6844 0.6840 0.6837 0.6834 0.6830 0.6828 0.6807 0.6786 0.6765

3.0777 1.8856 1.6377 1.5332 1.4759 1.4398 1.4149 1.3968 1.3830 1.3722 1.3634 1.3562 1.3502 1.3450 1.3406 1.3368 1.3334 1.3304 1.3277 1.3253 1.3232 1.3212 1.3195 1.3178 1.3163 1.3150 1.3137 1.3125 1.3114 1.3104 1.3031 1.2958 1.2886

6.3138 2.9200 2.3534 2.1318 2.0150 1.9432 1.8946 1.8595 1.8331 1.8125 1.7959 1.7823 1.7709 1.7613 1.7531 1.7459 1.7396 1.7341 1.7291 1.7247 1.7207 1.7171 1.7139 1.7109 1.7081 1.7056 1.7033 1.7011 1.6991 1.6973 1.6839 1.6706 1.6577

12.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1314 2.1199 2.1098 2.1009 2.0930 2.0860 2.0796 2.0739 2.0687 2.0639 2.0595 2.0555 2.0518 2.0484 2.0452 2.0423 2.0211 2.0003 1.9799

31.8205 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.5835 2.5669 2.5524 2.5395 2.5280 2.5176 2.5083 2.4999 2.4922 2.4851 2.4786 2.4727 2.4671 2.4620 2.4573 2.4233 2.3901 2.3578

63.6567 9.9248 5.8409 4.6041 4.0321 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208 2.8982 2.8784 2.8609 2.8453 2.8314 2.8188 2.8073 2.7969 2.7874 2.7787 2.7707 2.7633 2.7564 2.7500 2.7045 2.6603 2.6174

636.6192 31.5991 12.9240 8.6103 6.8688 5.9588 5.4079 5.0413 4.7809 4.5869 4.4370 4.3178 4.2208 4.1405 4.0728 4.0150 3.9651 3.9216 3.8834 3.8495 3.8193 3.7921 3.7676 3.7454 3.7251 3.7066 3.6896 3.6739 3.6594 3.6460 3.5510 3.4602 3.3735