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 S ema emass del 28 de julio ju lio de 2011 a all 16 de ag agos os to D E 2011 R EFUER ZO DE PE R IODO IODO IIII II COLEGIO BAUTISTA SANTA ANA

TERCER PERIODO DE MATEMÁTICA PROFESORES: Andrés Alonso Henríquez Villalobos GUÍA PARA EL ESTUDIANTE. UNIDAD 4: ESTUDIEMOS LA PROBABILIDAD

Fenómeno o experimento aleatorio: Se llama fenómeno o experimento aleatorio a todo aquello que no se sabe exactamente de qué manera ocurrirá.

Espacio muestral: Es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Suceso o evento: Se llama suceso o evento a todo subconjunto del espacio muestral.

Sucesos mutuamente excluyentes: Es cuando no pueden ocurrir al mismo tiempo. Un suceso y su contrario son mutuamente excluyentes.

Probabilidad: La probabilidad mide la creencia que se tiene de que va a ocurrir un suceso específico.

Enfoques de la probabilidad: Subjetivo, de la frecuencia relativa y clásico.

Suceso imposible: Es cuando un suceso no ocurre nunca, o sea su probabilidad es igual a 0.

Suceso seguro: Es cuando un suceso ocurre siempre, o sea su probabilidad es igual a 1

Fórmulas básicas bajo el enfoque de frecuencia relativa: C

P(A) = 1  – P(A ) P(A ó B) = P(A) + P(B)  – P(A y B)

 

Ejemplo de ejercicios para practicar: (Repasar guía 13 y 14)

a)  b)  c)  d) 

1.  Si se sabe que P(A) P(A) = 0.5, P(B) =0.35, P(A ó B) = 0.7; entonces al calcular calcular P( A y B) obtenemos como resultado: 0.3 1.55 0.85 0.15 2.  De acuerdo a la definición anterior se puede deducir lo siguiente:

I.  II.  III.  IV. 

El menor valor que puede tomar la probabilidad es 0 La probabilidad probabilidad es, a veces, veces, mayor que 1 El mayor valor que puede tomar la probabilidad es 1 La probabilidad es, a veces, menor que 0

a)  b)  c)  d) 

Es correcta únicamente la I Son correctas la I y la II Es correcta únicamente la IV Son correctas la I y la III

3.  Un niño tiene dentro de una bolsa once canicas, seis de color blanco y cinco de color negro. El niño mete la mano dentro de la bolsa y extrae, de una sola vez, siete canicas. Encontrar la probabilidad probabilidad que extraiga 3 canicas blancas y 4 negras. a)  0.4545…  b)  0.0416…  c)  0.3030…  d)  0.0085…  4.  En una ciudad se publican dos periódicos A y B. realizada una encuesta, se estima que de todos los habitantes de dicha ciudad 25% lee A, 19% lee B; mientras que 4% lee ambos. ¿Cuál es el porcentaje de personas que lee al menos uno de estos dos periódicos? a)  40% b)  44% c)  0.40% d)  48%

 

UNIDAD 5: ESTUDIEMOS LA PROBABILIDAD

Variables aleatorias: La variable aleatoria es una función que a cada uno de los posibles resultados del espacio muestal le asigna un número real. real.

Variable aleatoria discreta: Es la que solamente puede tomar valores numéricos asilados, es decir se pueden enumerar los posibles valores del rango o recorrido.

Variable aleatoria continua: Es la que puede tomar cualquier valor de un intervalo i ntervalo por tanto los elementos del recorrido no pueden ser enumerados.

Características de un experimento binomial: I.  II.  III. 

El fenómeno aleatorio se puede repetir varias veces. Cada una de las repeticiones es independiente de las otras. Se está interesado solamente en dos posibles resultados.

Fórmula que se usa para calcular probabilidades de experimentos binomiales:

            

Estudiar significado de cada uno de los elementos que integran la fórmula.

Población normal: Se dice que una población es normal si cumple las siguientes características características:: I.  La mitad de la población es menor que la l a media y la mitad es mayor. Esto de manera simétrica, es decir que ambas mitades son iguales. II.  La media, la mediana y la moda coinciden. Por lo que dan origen a un grá gráfico fico simétrico. III. 

Aproximadamente Aproximadament e el 68% de la población se encuentra cerca de la media y a una distancia no mayor de una desviación típica. El número de elementos de la población decrece uniformemente, en ambas direcciones a partir de la media.

IV. 

Variable normal tipificada: Si una variable es normal con media 0 y desviación típica 1, entonces se dice que dicha variable es normal típica y se representa por medio de la letra z.

Fórmula para tipificar una variable normal con media distinta de 0 y desviación típica distinta de 1

    

 

Ejemplo de ejercicios para para practicar: (Repasar guía 15, 16 y 17)  1.  Es la que solamente puede tomar valores numéricos aislados, es decir que se pueden enumerar los posibles valores del rango o recorrido. La definición anterior corresponde a una variable aleatoria: a)  b)  c)  d) 

Discreta Nominal Ordinal Continua

2.  En la siguiente figura de la curva normal normal tipificada, el área sin sombrear representa el 95.44 % del área total bajo la curva. Entonces para la variable tipificada  el valor del área sombreada a su izquierda es:

–

a)  0.0456 b)   – 0.0228 c)   – 0.0456 d)  0.0228

-z

0

z

3.  Si se han realizado pruebas con focos eléctricos, observándose que el período de duración es normal, con media 1800 horas y desviación típica 150 horas. Al calcular la probabilidad de que al comprar un foco, este dure más de 1950 horas obtenemos: a)  b)  c)  d) 

0.1587 0.3413 0.8413 1.0000

Diviértete un rato A la derecha y debajo de la tabla 3x3 de la figura aparece el total de puntos asignados a cada fila y a cada columna, dependiendo del valor que se da al signo que aparece en cada casilla. Calcula el valor de  de 

 A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

 

INSTRUCCIONES GENERALES GENERALES PARA EL USO DEL ÁREA BAJO LA CURVA 0.5

-4

0.5

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

A continuación se ilustra los casos más comunes y se muestra el camino para obtener la respuesta correcta

1.  ¿cómo calcular el área a la derecha de z. cuando z es positiva?

Cuando este caso se dé, lo único que se debe hacer es buscar el valor de z en la tabla y el área encontrada será la respuesta. 0

z

Ejemplo 1: Calcular P(Z ≥ 1.43 )  Solución. Lo primero que debo hacer es dibujar la curva y luego ubicar el valor de z, que en este caso, como es positivo queda ubicado delante de la media. Buscamos el valor de 1.43 en la tabla tabla y obtenemos el área buscada buscada osea: 0.0764

0

1.43

 

2.  ¿Cómo calcular el área a la izquierda de z cuando z sea negativo? Para este caso se procede exactamente igual que en el primer caso, es es decir, solo debo debo buscar el valor de z en la tabla (valor en positivo) y el área encontrada encontrada es la respuesta, -z

0

por simetría de la curva.-

Ejemplo 2: Calcular P(Z ≤-2 )  Solución. Lo primero que debo hacer es dibujar la curva y luego ubicar el valor de -z, que en este caso, como es negativo negativo queda ubicado ubicado atrás de la media. Buscamos el valor de 2 en la tabla y obtenemos el área buscada buscada osea:

0.0228

-2

0

3.  ¿Cómo calcular el área a la izquierda de z, cuando z es positivo? En este caso se busca el valor de z en la tabla (pero el área encontrada no es la respuesta definitiva) y como el área total debajo de la curva es 1, para encontrar la respuesta final se hace lo siguiente: A 1 le resto el área encontrada previamente en la

Z

0

tabla.

 

Ejemplo 3: Calcular P(Z ≤ 1.02 )  Solución. Lo primero que debo hacer es dibujar la curva y luego ubicar el valor de z, que en este caso, como es positivo, queda queda ubicado ubicado delante de la media.Buscamos media.Buscamos el valor de 1.02 1.02 en la tabla el cual es 0.1539, entonces la repuesta final será: 0.8461 0.1539

0

1.02

1 - 0.1539 = 0.8461 R/

 

4.  ¿Cómo calcular el área a la derecha de z cuando z es negativo? Cuando esto ocurre, se procede exactamente igual que en el caso Nº 3. Por la propiedad de simetría.

-z

Ejemplo 4: 4: Calcular P(Z ≥ -1.12 ) 

Solución. Lo primero que debo hacer es dibujar la curva y luego ubicar el valor de  –z. Buscamos el valor de 1.12 1.12 en la tabla al cual corresponde corresponde 0.1314, y luego para tener la respuesta final a 1 le restamos esa área o sea:

1-0.1314 = 0.8686

0.8686 0.1314

-1.12

5.  ¿Cómo calcular el área entre  –Z1 y Z2? Cuando esto ocurre, calculamos el valor de  –Z1

en la tabla, luego calculamos el valor de Z2

y para la respuesta final a 1 se le resta cada una de las áreas encontradas previamente. 0

-Z

Z  

Ejemplo 5: Calcular P(-1.6 ≤ Z ≤ 1.47)  Solución. Dibujamos la curva y ubicamos cada cada uno de los valores de z, luego buscamos en la tabla el valor de 1.6 el cual es 0.0548 y luego buscamos el valor de 1.47 el cual es 0.0708 para finalmente a 1 le restamos re stamos cada uno de estos valores. 0.8744

1  - 0.0548  – 0.0708

0.0548 0.0708

-1.6

0

1.47

= 0.8744

 

6.  ¿Cómo calcular el área entre 0 y Z, cuando Z es positivo? En este caso, buscamos buscamos el valor de z en la tabla y para obtener la respuesta final, a 0.5 le restamos el área encontrada en la tabla. Z

0

 

Ejemplo 6: Calcular P(0 ≤ Z ≤ 1.23) 

Solución. Buscamos el valor de 1.23 en la tabla el cual es 0.1093 y luego para obtener la respuesta final a 0.5 le restamos el área anterior o sea: 0.5 0.5 - 0.1093 = 0.3907 R/ 0.3907 

0

1.23

7.  ¿Cómo calcular el área entre 0 y Z, cuando Z es negativo? En este caso se procede de forma similar que en el caso anterior (el número 6) 0

-Z

Ejemplo 7: Calcular P(- 1.40 ≤ Z ≤ 0)  Solución. Buscamos el área de 1.40 (esto por simetría) en la tabla obteniendo 0.0 0.0808 808 y para la respuesta final a 0.5 le restamos el área encontrada. encontrada. 0.5  – 0.0808

0.4192

= 0.4192

-1.40

0

 

8.  ¿Cómo calcular el área entre Z1 y Z2, cuando ambos son positivos? En este caso buscamos en la tabla el valor de Z1, luego, el valor valor de Z2 Z2 y finalmente al área correspondiente a Z1 le restamos el área correspondiente a Z2. 0 Z1  

Z2

Ejemplo 8: Calcular P(1.04 ≤ Z ≤ 2.12) 

Solución. Buscamos en la tabla el valor de 1.04 y obtenemos 0.1492, luego, buscamos en la tabla el valor de 2.12 obteniendo 0.0170. Finalmente a 0.1492 le restamos 0.0170 obteniendo 0.1322. 0.1322

0 1.04 2.12

9.  ¿Cómo calcular el área entre Z1 y Z2 cuando ambos son negativos? En este caso se procede de la misma manera que en caso Nº 8 ya que por simetría el área será la misma.

-z2

-z1

0

Ejemplo 9: Calcular P(-2.36 ≤ Z ≤ -0.48)  Solución. Se busca el área correspondiente a 0.48 la cual es 0.3156, luego buscamos el área de 2.36 encontrando 0.00914 por lo tanto la respuesta final se obtiene 0.3156  – 0.00914 = 0.30646.

-2.36 -0.48 0