bacalaureat 2008 Rezolvari matematica mt2 sI

Varianta 1 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

REZOLVARE 1. Calcul direct. Se obţine suma egală cu 3 + 6 = 9 . JJJG 2. A B = ( − 1 − 2 ) iG + ( 3 + 1 ) Gj = − 3 iG + 4 Gj ⇒ a = − 3, b = 4 .  4  3. Condiţie de existenţă: 3 x + 4 > 0 ⇒ x ∈  − , ∞  ; Ecuaţia devine 3x + 4 = 25 ⇒ x = 7.  3  1 1 x +x 1 4. + = 1 2 =− . 2 x1 x2 x1 x2 5.

f (1) = −1, f ( x ) = − x 2 ≤ 0, ∀x ∈ [ 0,1] ⇒ f ( x ) ∈ [ −1, 0 ].

6. Se aplică teorema cosinusului în triunghiul ABC ⇒ cos B =

AB 2 + BC 2 − AC 2 3 = . 2 AB ⋅ BC 2

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 2 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar REZOLVARE 1. Deoarece f ( 3) = 0 rezultă că produsul este egal cu 0. 2. Condiţie de existenţă: x ∈ ( 0, ∞ ) . Ecuaţia devine x 2 + 2 x = 8 ⇒ x = 2. 3. Inecuaţia se scrie x 2 − 5 x + 4 ≤ 0 ⇒ x ∈ [1, 4 ] ∩ ] = {1, 2,3, 4} . Suma soluţiilor întregi este 10.

( )

3 3 4. Deoarece lg x + lg x = 2 ⋅ ⇒ lg x x = 3 ⇒ x = 103 ⇒ x = 10 ⇒ x = 100 . 2 JJJG JJJG JJJG JJJG G G G G G G 5. OA + OB = ( 4i − 8 j ) + ( 6i + 3 j ) = 10i − 5 j . Vectorul OA + OB are coordonatele (10, −5 ) .

6. Aria ∆ABC =

AC ⋅ AB ⋅ sin A = 2. 2

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 3 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar REZOLVARE 1. Şirul este o progresie aritmetică de raţie r = 6 ⇒ a10 = a1 + 9r = 55. 2. Există 23 numere naturale de câte trei cifre scrise cu elemente din mulţimea {1, 2} . Dintre acestea sunt divizibile cu 3 numerele 111 şi 222. Probabilitatea este egală cu 0,25. 3. Condiţie : x ∈ [ 0, ∞ ) . Ecuaţia devine x 2 − x − 2 = 0 ⇒ x = 2. 4. Calcul direct. f ( −2 ) + f ( −1) + f ( 0 ) + f (1) = −3 − 1 + 1 + 3 = 0. 5. Calcul direct. Ecuaţia dreptei AB : x − y − 3 = 0. AC ⋅ AB ⋅ sin A 1 = . 6. Aria ∆ABC = 2 2

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 4 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar REZOLVARE 1. Inecuaţia se scrie x 2 − x − 6 < 0 ⇒ x ∈ ( −2,3) ∩ ] = {−1,0,1, 2}. 2. Raţia este egală cu 2. a5 = 9, S5 =

( a1 + a5 ) 5

= 25. 2 3. Condiţie: m < 0 ⇒ m ∈ ( −∞,0 ) . Valoarea maximă a funcţiei este egală cu −

∆ ⇒ 64 + 12m = −20m ⇒ m = −2. 4a

4. Condiţie: x ∈ ( 5, ∞ ) . Ecuaţia se scrie log 2

x+2 x+2 = 3⇒ = 8 ⇒ x = 6. x−5 x−5

G G 2 a ⇒ a = −4. 5. Vectorii u , v sunt coliniari ⇔ = 3 a−2 3 AB 6. Se aplică teorema sinusurilor. = 2 R ⇒ = 2 R ⇒ R = 3. 1 sin C 2

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 5 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

REZOLVARE

(

)

1. sin100D = sin 180D − 80D = sin 80D ⇒ sin 2 80D + cos 2 80D = 1. 2. În mulţimea {1, 2,3,...,30} singurele cuburi perfecte sunt 1, 8 şi 27, deci probabilitatea este 3. Calcul direct. Ecuaţia devine 8 x + 8 = 0 ⇒ x = −1.

3 = 0,1 . 30

18 + 15 − 23 = 5. 4. Numărul elevilor care îndrăgesc ambele sporturi este egal cu 2 G G G G G G G 5. 5u + 3v = −15i + 10 j + 15i − 3 j = 7 j . Coordonatele cerute sunt ( 0,7 ) . 6. BC = 2 AD = 10. Se aplică teorema lui Pitagora în + ABC : AB 2 = BC 2 − AC 2 = 64 ⇒ AB = 8 .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 6 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

REZOLVARE 1. Se foloseşte formula a 2 + b 2 = ( a + b ) − 2ab = 16 − 6 = 10. 2

2. Se rezolvă sistemul

 y = x 2 − x + 1 ⇒ x 2 − x + 1 = x + 4 ⇒ x1 = −1, x2 = 3 ⇒ y1 = 3, y2 = 7 .   y = x + 4

Coordonatele cerute sunt ( −1,3) şi ( 3,7 ) .

3. Se calculează 3x − 1 + 5 ⋅ 3x + 1 = 6 ⋅ 3x = 2 ⋅ 3x+1 , deci numerele sunt în progresie aritmetică. 2 4. Singurele numere raţionale din mulţimea A sunt 4 şi 9. Probabilitatea este egală cu . 9 2 1 5. Din condiţia de paralelism a dreptelor = − rezultă a = −4. a 2 AC 2 5 6. Deoarece AB 2 + AC 2 = BC 2 ⇒+ ABC dreptunghic în A, deci cos B = = BC 5

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 7 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar REZOLVARE 1. Deoarece x1 + x2 = 2, x1 x2 = −2 ⇒ x1 + x2 + x1 x2 = 0. 1  2. Inecuaţia se scrie 2 − 8 x ≥ 0 ⇒ x ∈  −∞,  . 4  3. Condiţie: x ≥ 0 ⇒ x ∈ [ 0, ∞ ) . Ecuaţia devine 3 x −1 = 3 −

1 − x ≥ 0 ⇒ x ∈ [ 0,1] ⇒ x 2 − 3x + 1 = 0 ⇒ x1 =

x

⇒

x = 1 − x.

Condiţie:

3− 5 3+ 5 3− 5 ∈ [ 0,1] , x2 = ∉ [ 0,1] ⇒ x = ∈ [ 0,1]. 2 2 2

4. Calcul direct: 3 − 3 = 0. 5. AB & CD ⇔ mAB = mCD ⇒ mAB = −a − 1, mCD = 2 ⇒ a = −3 . 6. Se aplică teorema cosinusului în + ABC ⇒ cos A =

AB 2 + AC 2 − BC 2 1 = . 2 AB ⋅ AC 5

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 8 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

REZOLVARE 1. Deoarece 2008:6 = 336 ⋅6 + 4 , atunci în partea zecimală a numărului sunt 336 de grupe de câte 6 cifre care se repetă şi mai ramân până la a 2008-a zecimală încă 4 cifre ⇒ a2008 = 7. 2. Condiţie : f ( x ) = x ⇒ 2 x + 1 = x ⇒ x = −1. Punctul cerut are coordonatele ( −1, −1) . 3. Ecuaţia se scrie 2 x + 8 ⋅ 2 x = 36 ⇒ 2 x = 4 ⇒ x = 2 .

(

)

4. Deoarece sin130D = sin 180D − 50D = sin 50D ⇒ sin 2 50D + cos 2 50D = 1. 5. Panta dreptei date este egală cu -2, deci ecuaţia dreptei cerute este y − 1 = −2 ( x − 1) ⇒ 2 x + y − 3 = 0. 6. Aria + ABC =

AB ⋅ AC ⋅ sin A 3 3 ⇒ Aria + ABC = . 2 2

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 9 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

REZOLVARE 1. Este suma unor termeni în progresie aritmetică de raţie 4, cu a1 = 1 şi an = 25 .Se află n din relaţia

25 = 1 + ( n − 1) 4 ⇒ n = 7 ⇒ S =

(1 + 25 ) 7 = 91.

2 −∆ 2. Condiţii: m>0 şi = 1 ⇒ m 2 − 4m = 0 ⇒ m = 4 . 4a 3.

(

)

(

)

log 2 tg 45D + log 2 ctg 45D = 2log 2 1 = 0 .

4. Singurele numere raţionale din mulţimea A sunt 4 şi 9 . Probabiliatea este egală cu 0,8. 1 1 5. Panta dreptei date este egală cu − , deci ecuaţia dreptei cerute y + 3 = − ( x − 2 ) ⇒ x + 2 y + 4 = 0. 2 2 2 2 2 6. Se aplică teorema cosinusului în + ABC ⇒ BC = AB + AC − 2 AB ⋅ AC ⋅ cos A = 76 ⇒ BC = 2 19.

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 10 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

REZOLVARE 1. a9 = 243 ⋅

1 8

3

=

1 . 27

2. Prin calcul direct, ecuaţia devine 4 x 2 − 4 x = 0 ⇒ x ∈ {−1,1} . 3. Se notează 2 x = t > 0 şi se rezolvă ecuaţia în t , t 2 − 3t + 2 = 0 ⇒ t ∈ {1, 2} . Atunci x ∈ {0,1}. 4. Condiţie ∆ = 0 ⇒ m = 0. 5. Prin calcul direct, a = b = 8. AB ⋅ AC ⋅ sin A 1 = 15 ⇒ sin A = . 6. Aria + ABC = 2 2

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 11 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

REZOLVARE 1. Calcul direct. Suma este egală cu 5 + 120 = 125. 2. Este suma a 5 termeni în progresie geometrică de raţie 3. Se obţine 3ax + 3b + 2 = 3 x + 5, ∀x ∈ \ ⇒ a = b = 1. 4. Condiţii : x 2 − 6 > 0 şi 2 x − 3 > 0 ⇒ x ∈

(

1 121 ⇒ suma este egală cu . 3 81

)

6, ∞ . Se rezolvă ecuaţia x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

1 2 1 1 5. Aria + ABC = | −1 1 1 | = 2. 2 3 5 1 6.

Se aplică teorema sinusurilor în + ABC ⇒

BC = 2R ⇒ R = 4 2 . sin A

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 12 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

REZOLVARE 1. Deoarece x 2 + x + 1 > 0, ∀x ∈ \ , după aducerea la acelaşi numitor şi efectuarea calculelor, inecuaţia

devine x 2 − x − 2 ≤ 0 ⇒ x ∈ [ −1, 2]. 2. Panta dreptei AB este egală cu 1.Ecuaţia dreptei AB este y − 3 = x − 2 ⇒ x − y + 1 = 0. 3. Deoarece f ( −5 ) = f ( 5 ) = 0 , produsul din enunţ este egal cu 0. 4.

x1 este soluţie a ecuaţiei x 2 − 2008 x + 1 = 0 ⇒ x12 − 2008 x1 + 1 = 0 .Împărţind această relaţie prin 1 x1 ≠ 0 ⇒ x1 + = 2008. x1

5. Condiţie: n ≥ 2, n ∈ `. Ecuaţia devine n 2 − n − 56 = 0 ⇒ n = 8. AB ⋅ BC ⋅ sin B 1 = 6 ⇒ sin B = . 6. Aria + ABC = 2 2

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 13 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

REZOLVARE 1. Ecuaţia are două soluţii reale distincte deoarece ∆ = 1 > 0. 2. Deoarece f ( 5 ) = f ( 6 ) = 0 , produsul este egal cu 0. 3. Ecuaţia se scrie 8 ⋅ 2 x − 2 x = 28 ⇒ 2 x = 4 ⇒ x = 2. 2 4. Prin cel puţin 2 puncte din cele 10, oricare 3 necoliniare, trec C10 = 45 drepte. 5. AB = 5 6. aplică teorema cosinusului în triunghiul ABC ⇒ AC 2 = 12 ⇒ Perimetrul + ABC = 6 + 2 3 .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 14 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

REZOLVARE 1. Numărul submulţimilor cu câte k elemente ale unei mulţimi finite cu n elemente, 0 ≤ k ≤ n este

Cnk ⇒ C42 + C44 = 7. 1 2. Ecuaţia se scrie 53 x = 5−1 ⇒ 3x = −1 ⇒ x = − . 3 1 1  3. Condiţie: ∆ ≤ 0 ⇒ 1 − 4m ≤ 0 ⇒ m ≥ ⇒ m ∈  , ∞  . 4 4  4. 5.

2 ⋅ 4 x = 3 ⋅ 2 x + 2. Notând 2 x = t > 0, se rezolvă ecuaţia 2t 2 − 3t − 2 = 0 ⇒ t = 2. Deci x = 1. JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G AB + BC + CA = AC + CA = AC − AC = 0 .

6. Se aplică teorema cosinusului în triunghiul ABC ⇒ BC 2 = 21 ⇒ Perimetrul + ABC = 9 + 21 .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 15 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar REZOLVARE 3 3 1. Calcul direct. C8 − C8 = 0. 2. Condiţie: x + 5 > 0 ⇒ x ∈ ( −5, ∞ ) , deci x + 5 = 8 ⇒ x = 3 .

3. Se notează x1 + x2 = S , x1 ⋅ x2 = P. . Deoarece x 2 − Sx + P = 0 ⇒ x 2 − x − 2 = 0 . 4. Deoarece f ( 0 ) = 2 ⇒ f ( 2 ) − f ( 2 ) = 0.

xC + 5 y +4 ⇒ C ( −9, −2 ) . şi 1 = C 2 2 AB ⋅ AC 12 = . 6. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, deci lungimea înălţimii din A este egală cu BC 5

5. Punctul C este mijlocul segmentului AC ⇒ −2 =

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 16 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar REZOLVARE

2 . 2 2. Condiţii : x + 1 ≥ 0 şi 5 − x ≥ 0 ⇒ x ∈ [ −1,5]. Prin ridicarea egalităţii la pătrat se obţine 1. sin135° = sin (180° − 45° ) = sin 45° =

x 2 − 11x + 24 = 0 ⇒ x = 3. 2x 3. Ecuaţia se scrie + 2 x = 12 ⇒ 2 x = 8 ⇒ x = 3. 2 4. Condiţie : n ≥ 1, n ∈ `. Ecuaţia se scrie 2n = 10 ⇒ n = 5.

5. Funcţia f este descrescătoare pe [ 0, 2] , f ( 0 ) = 3, f ( 2 ) = −5, deci f ( x ) ∈ [ −5,3]. JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G 6. Fie D mijlocul segmentului BC, atunci OB + OC = 2OD = AO = −OA ⇒ OA + OB + OC = OA − OA = 0 .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 17 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

REZOLVARE 1. log 2 3 + log 2

1 = log 2 3 − log 2 3 = 0. 3

5 . 6 3. Se notează 2 x = t > 0. Ecuaţia devine t 2 + 5t − 14 = 0 ⇒ t = 2, deci x = 1. 2. Deoarece 5! = 120, 4! = 24 ⇒ probabilitatea este egală cu

(

)

4. Deoarece ∆ = 4sin 2 a − 4 (1 + cos a )(1 − cos a ) = 4sin 2 a − 4 1 − cos 2 a = 4sin 2 a − 4sin 2 a = 0 ⇒ ecuaţia

admite soluţii reale egale, ∀a ∈ \. JJJG JJJG G G G G G G 5. 3OA − 5OB = 6i − 9 j − 5i + 10 j = i + j ⇒ α = β = 1. 6. Se aplică teorema sinusurilor în triunghiul ABC ⇒

BC BC = 2 R ⇒ sin A = = 1. sin A 2R

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 18 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

REZOLVARE 1. log 6 24 − log 6 4 = log 6 6 = 1.

(

)

2. sin135D = sin 180D − 45D = sin 45D ⇒ cos 2 45D + sin 2 45D = 1. 3. Condiţie: x − 5 ≥ 0 ⇒ x ∈ [5, ∞ ) . Din x − 5 = 4 ⇒ x = 9. 4. Condiţie: n ≥ 5, n ∈ ` , deci

( 5 − a )2 + ( 2 + a )2 = 5 ⇒ a 2 − 3a + 2 = 0 , deci f (1) = f ( 2 ) = 0, deci produsul este egal cu 0.

5. AB = 6.

( n − 5 )!( n − 4 )( n − 3) = ⇒ n − n − = ⇒ n2 − n + = ⇒ n = . 6 ( 4 )( 3) 6 7 6 0 6 ( n − 5 )! a ∈ {1, 2} .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 19 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar REZOLVARE

12 = 1. 4 2. Condiţie: x 2 − x − 2 ≥ 0 ⇒ x ∈ ( −∞ , −1] ∪ [ 2, ∞ ) . Ecuaţia devine x 2 − x − 6 = 0 ⇒ x ∈ {−2,3}.

1. log3 6 + log3 2 − log3 4 = log3

3. Se notează x1 + x2 = S , x1 ⋅ x2 = P . Deoarece x 2 − Sx + P = 0 ⇒ x 2 − 2 x − 3 = 0. m+2 4. Condiţie: m − 1 > 0 ⇒ m ∈ ( 0, ∞ ) . Din = 2 ⇒ m = 2. 2 ( m − 1) 5. AB = 16 + 9 = 5. 6. Condiţie: x ∈ ( 0, ∞ ) . Conform teoremei lui Pitagora ( x + 8 ) = x 2 + ( x + 7 ) ⇒ x 2 − 2 x − 15 = 0 ⇒ x = 5. 2

2

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 20 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

REZOLVARE 1. 2 log 3 4 − 4 log 3 2 = 4 log 3 2 − 4 log 3 2 = 0.

2. f (0) + f (1) + … + f (5) = 2 (1 + 2 + ... + 5 ) + 6 ⋅ 3 = 48.



2

3. Scăzând 2 din fiecare membru al inegalităţii şi apoi împărţind cu 3, se obţine x ∈  −2,  . 3  4. Distanţa este egală cu x1 − x2 , unde x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei f ( x) = 0 ⇒ x1 − x2 = −2 − 4 = 6. 5. AB = 2 BC ⇒

AB = 2. BC

6. Conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul ABC este dreptunghic A.Aria ABC =

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

AB ⋅ AC = 24. 2

Varianta 21 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar REZOLVARE 1. 2 x = 8 ⇒ x = 4.

2. Distanţa este egală cu x1 − x2 , unde x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei f ( x) = 0 ⇒ x1 − x2 = 7 −1 = 6.

3. 1 + 3 + 5 + … + 21 este suma a 11 termeni în progresie aritmetică de raţie egală cu 2, deci E = 112 = 11. 4. Cu elementele mulţimii {1, 2,3, 4} se pot forma A43 = 24 de numere de câte trei cifre distincte. 5. Din CA = 2CB ⇒ CA − 2CB = 0 ⇒ BC + CA = CB ⇒ BA = CB. Deci 3i − j = ( −1 − xC ) i + ( 2 − yC ) j ⇒ C ( −4,3) . 6. Se aplică teorema sinusurilor în triunghiul ABC ⇒

AB BC 4 2 3 = ⇒ = ⇒ sin A = . sin C sin A 4 3 sin A 2

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 22 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

REZOLVARE

(

)

3 . 2 2. f ( x ) = y ⇒ x 2 − 6 x + 5 = −4 ⇒ x = 3 , deci dreapta intersectează reprezentarea grafică a funcţiei f în 1. sin120° = sin 180° − 60D = sin 60D =

punctul de coordonate ( 3, −4 ) . 3. Condiţie: x > 3 .Deoarece x − 3 = 1 ⇒ x = 4.

4. Cu elementele mulţimii {1, 2,3, 4} se pot forma 42 = 16 numere de două cifre. JJJG JJJG G G JJJJG OA + OB 3i + j 3 G 1 G JJJJG 3 1 5. OM = = = i + j . Coordonatele vectorului OM sunt  ,  . 2 2 2 2 2 2 7 9 6. Deoarece 6 ≤ 2 x − 1 ≤ 8 ⇒ 7 ≤ 2 x < 9 ⇒ x ∈  ,  ∩ ] ⇒ x = 4. 2 2

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 23 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

REZOLVARE 1. 1 + 3 + 5 + … + 21 este suma a 11 termeni în progresie aritmetică de raţie egală cu 2, deci este egală cu 121. 2. ∆ = −4a 2 < 0, ∀a ∈ 3. ∆ = ( m − 2 ) ⇒ − 2

1 4.   4

−2

∗

, deci ecuaţia nu admite soluţii reale.

( m − 2 )2 4

= 2 4 , 64 = 26 şi

3

1 = − ⇒ m ∈ {1,3}. 4

8 = 2 , deci

3

1 8 0  5  ⇒ x ∈ − ,∞  . 2  2   x + 3 x + 3 > 0

3. 

  5   x = 1∈  − 2 , ∞     2 x + 5 = x 2 + 3x + 3 ⇒  .  x = −2 ∈  − 5 , ∞      2  1 3

4. C42 = 6, C52 = 10, C43 = 4 ⇒ p = . 5 7  

5. Fie M mijlocul lui BC ⇒ M  ,  . 2 2 2

2

5  7 2  AM =  2 −  +  3 −  = . 2  2 2 

6. sin 60° − cos30° =

3 3 − = 0. 2 2

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 28 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

REZOLVARE 1. Numărul tuturor submulţimilor de 2 elemente ce se pot forma cu elemente din mulţimea {1, 2,3, 4,5} este egal cu C52 = 10.

 2 2. Ecuaţia se scrie f ( x) + g ( x) = 0 ⇒ 3x 2 − 2 x = 0 ⇒ x ∈ 0,  .  3 3. Ecuaţia se scrie log 3 ( x − 2 ) = 2. Condiţie: x ≠ 2 ⇒ x − 2 = 3 ⇒ x = 5. 2

4. Condiţie: ∆ = 0 ⇒ m 2 − 4m + 4 = 0 ⇒ m = 2. l 2 3 25 3 = . 4 4 AB ⋅ AC ⋅ sin A 6. Aria + ABC = = 7 ⇒ AB = 14 . 2

5. AB = 5 ⇒ Aria + ABC =

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 29 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Rezolvare  y = 2 x − 3  x = 2, y = 1 ⇒ ⇒  2 2  x = −2, y = −7  x + 2 x − 7 = y  x = 4



1. 

2x − y = 3

2. f (−6) + f (0) + f (6) + f (12) = 0 . 3. x 2 − 1 > 0 ⇒ x ∈ ( −∞, −1) ∪ (1, ∞ ) . x 2 − 1 = 3 ⇒ x = ±2 ∈ ( −∞, −1) ∪ (1, ∞ ) .

4. C52 − A42 + 6 = 10 − 12 + 6 = 4 . 3 − m + n = 0  m = 1 . ⇒ 1 + m + n = 0 n = −2

5. 

6. sin 0° = 0 ⇒ produsul este 0.

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 30 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Rezolvare 1. 1 + 2 + 22 + ... + 27 = 1 ⋅

28 − 1 = 255 . 2 −1

2. x 2 − 3 x + 2 > x − 3 ⇒ ( x − 2 ) + 1 > 0 ∀x ∈ \ . 2

2 x + 3 ≥ 0 ⇒ x ∈ [ 0, ∞ ) .  x≥0

3. 

 x = 3 ∈ [ 0, ∞ ) 2x + 3 = x2 ⇒  ⇒ x = 3.  x = −1∉ [ 0, ∞ ) 4 5

4. Inegalitatea este verificată de 1, 2, 4 şi 5 ⇒ p = .

5.

−2 − m = ⇒m=± 2. 1 m

1 2

6. sin 30° − cos 45° + sin 60° = −

2 3 1− 2 + 3 . + = 2 2 2

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 31 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Rezolvare  a1 = 1 a = 1 . ⇒ 1  a5 = 13  r = 3

1. 

a2008 = a1 + 2007 r = 6022 .

 x1 + x2 = −m .  x1 ⋅ x2 = 2

2. 

m 2 − 4 = 5 ⇒ m = ±3 .

3. 2 x

2

−x

 x=2 . = 22 ⇒ x 2 − x − 2 = 0 ⇒   x = −1 1 4

1 4

4. f (1) ≥ − ⇒ m 2 − 1 + m + 1 ≥ − ⇒ 4m2 + 4m + 1 ≥ 0 ⇒ ( 2m + 1) ≥ 0 ∀x ∈ \ . 2

5. Fie O = AD ∩ BC ⇒ O este mijlocul lui AD şi BC. 5



O mijlocul BC ⇒ O  , 2  . O mijlocul AD ⇒ D ( 6,5 ) . 2  6. cos x + cos (π − x ) = 0 ⇒ cos100° + cos80° = 0.

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 32 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Rezolvare 1. a10 − a2 = 16 ⇒ 8r = 16 ⇒ r = 2.

( )

( )

2. f (2) + f 22 + ... + f 27 = 2 + 3 + 22 + 3 + ... + 27 + 3 = 275 . x +1 ≥ 0 ⇒ x ∈ [1, ∞ ) . x −1 ≥ 0

3. 

4. Inegalitatea este verificată de 1 şi 4 ⇒ p =

2 1 = . 4 2

2 x − y − 2 = 0 ⇒ A ( 2, 2 ) .  x + 3y − 8 = 0

5. 

d = 2 2 + 22 = 2 2 .

6. sin 2 B + sin 2 C =

AC 2 BC 2

+

AB 2 BC 2

=

AC 2 + AB 2 BC 2

=1

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 33 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Rezolvare 1. r = a2 − a1 = 2 . a10 = a1 + 9r = 20. S10 =

( a1 + a10 ) ⋅10 2 7 2

2. xV = ⇒ −

= 110 .

b 7 = ⇒ m =3. 2a 2

3. 32 x −1 = 35− x ⇒ 2 x − 1 = 5 − x ⇒ x = 2 . 4. A52 − P3 = 20 − 6 = 14 . 5. 4 − 3 + m = 0 ⇒ m = −1 . MN ⋅ NP ⋅ sin N = 6. Aria∆MNP = 2

4⋅6⋅ 2

2 2 =6 2.

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 34 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Rezolvare 1. ( 2 x − 1) ≤ 9 ⇒ −3 ≤ 2 x − 1 ≤ 3 ⇒ x ∈ [ −1, 2] . 2

2. f (0) + f (1) + ... + f (10) = 1 + 2 + ... + 11 = 66.  x 2 − 4 > 0 3.  ⇒ x ∈ ( −∞, −2 ) ∪ ( 2, ∞ ) . 2  x − 3x + 2 > 0 x 2 − 4 = x 2 − 3 x + 2 ⇒ x = 2 ∉ ( −∞, −2 ) ∪ ( 2, ∞ ) ⇒ S = ∅ . 2 3

4. P3 = 6, A31 = 3, C43 = 4 ⇒ p = . x

y

1

−3 1 = 0 ⇒ x + y + 1 = 0 . −3 2 1

5. AB : 2

AB ⋅ AC ⋅ sin A = 6. Aria∆ABC = 2

3 2 = 15 3 . 2 2

5⋅6⋅

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 35 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Rezolvare 1. log5 10 + log5 3 − log5 6 = log5

10 ⋅ 3 =1. 6

2. f (1) + f (2) + ... + f (6) = 3 + 5 + ...13 = 48 . 3. 5 x

2

−x

 x =1 . = 55 x −5 ⇒ x 2 − x = 5 x − 5 ⇒  x = 5

4. Se notează cu x preţul iniţial. Se obţine ecuaţia x ⋅ 5. AB =

( −2 − 2 )2 + ( 2 + 1)2

110 120 ⋅ = 660 ⇒ x = 500 lei. 100 100

=5.

6. NP 2 = MN 2 + MP 2 − 2 ⋅ MN ⋅ MP ⋅ cos N ⇒ NP = 19 .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 36 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Rezolvare 1. ( a − 3) + ( b + 2 ) = 0 ⇒ a = 3, b = −2 . 2

2

2. f (5) = 0 ⇒ produsul este 0. 2 x 2 − x − 1 > 0 ⇒ x ∈ (1, ∞ ) .  2 x + 1 > 0

3. 

∆ < 0 −4 < 0 ⇒ a > 0  1 > 0

4. 

adevărat ∀x ∈ \ .

1 1 1 5. 2 3 1 = 0 ⇒ m = 5 . 3 m 1

6. Mediana este jumătate din ipotenuză ⇒ mediana are lungimea 3.

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 37 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Rezolvare 2

1. 2 x = 24 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = ±2 . 2. f (2) = 0 ⇒ produsul este 0.  x 2 − x − 2 ≥ 0 ⇒ x ∈ [ 2, ∞ ) .  x − 2 ≥ 0

3. 

x 2 − x − 2 = x 2 − 4 x − 4 ⇒ x = 2 ∈ [ 2, ∞ ) .

1 2

4. Inegalitatea este verificată de 5 şi 6 ⇒ p = . 5. Fie C simetricul lui A faţă de B ⇒ B este mijlocul lui AC ⇒ C (0,0) . 6. sin10° = cos ( 90° − 10° ) = cos80°. sin 2 80° + sin 2 10° = sin 2 80° + cos 2 80° = 1 .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 38 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Rezolvare 1. q =

b2 =3. b1

b5 = b1 ⋅ q 4 = 162 .

2. −

∆ 1 = − ⇒ m 2 − 8 = 1 ⇒ m = ±3 . 4a 4

 x=3 .  x = −1

3. 2 x − 5 = x 2 − 2 x − 3 ⇒ 

4.

 x=7 x! = 21 ⇒  . 2!⋅ ( x − 2 )!  x = −6

-6 nu convine ⇒ x = 7 . 5. d : y = x + n

A (1,1) ∈ d ⇒ n = 0 ⇒ d : y = x .

6. cos B =

AB 2 + BC 2 − AC 2 3 . = 2 ⋅ AB ⋅ BC 2

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 39 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Rezolvare 1  

−1

1. log 2 4 +   − 3 8 = 2 + 2 − 2 = 2 . 2 2. f (0) + f (1) + ... + f (6) = 3 + 1 − ... − 9 = −21 . 3. 5 − x 2 ≥ 0 ⇒ x ∈  − 5, 5  . 5 − x 2 = 4 ⇒ x = ±1∈  − 5, 5  .

4. A43 = 24 . 5. Fie D mijlocul lui BC ⇒ D ( 2,0 ) AD =

( 2 − 2 )2 + ( 4 − 0 )2

= 4.

6. Catetele sunt 4 şi 4 3 ⇒ Aria = 8 3 .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 40 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Rezolvare 1. x 2 − Sx + P = 0 ⇒ x 2 − 5 x + 6 = 0 . y =2− x



 x = 1, y = 1 . ⇒  x − 2 x + 2 − x = 0  x = 2, y = 0

2. 

2

3. 9 − x 2 > 0 ⇒ x ∈ ( −3,3) . 9 − x 2 = 5 ⇒ x = ±2 ∈ ( −3,3) . 1 2

4. Inegalitatea este verificată de 1 şi 2 ⇒ p = . 5. sin (π − x ) = sin x ⇒ sin135° = sin 45° . 2 sin145° = 2 =1. cos 45° 2 2

AB ⋅ AC ⋅ sin A 6. Aria∆ABC = = 2

8⋅ 4⋅ 2

2 2 = 8 2.

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 41 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Rezolvare 1. x 2 − 9 ≤ 0 ⇒ x ∈ [ −3,3] .  2009 

2. f   = 2 ⇒ punctul aparţine graficului.  2008  3. 3x = t > 0 . t = 1 ⇒ x = 0 t 2 − 4t + 3 = 0 ⇒  . t = 3 ⇒ x = 1

4. 2 x + 1 = x

1+ 9 ⇒ x = 2. 2

y 1

5. MN : 1 2 1 = 0 ⇒ x + y − 3 = 0 . 2 1 1 1 3

4 3

6. tg 2 30° + ctg 2 45° = + 1 = .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 42 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Rezolvare 1. r = a2 − a1 = −1 . a7 = a1 + 6r = 0 . 2. x 2 + 3 ≤ 12 ⇒ x ∈ [ −3,3] . t = 2 ⇒ x =1 . t = 4 ⇒ x = 2

3. 2 x = t > 0 ⇒ t 2 − 6t + 8 = 0 ⇒  4. A54 = 120 .

5. AB = 2 2, AC = 2, BC = 10 ⇒ AB 2 + AC 2 = BC 2 ⇒ ∆ABC este dreptunghic în A. 6. cos x + cos (π − x ) = 0 . (cos10° + cos170°) + (cos 20° + cos160°) = 0 .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 43 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Rezolvare x + y = 3 x = 2 . ⇒  x − y =1  y =1

1. 

( )

( )

2. f ( 2 ) + f 22 + ... + f 25 = 2 + 5 + 22 + 5 + ... + 25 + 5 = 87 .

3. 22 x

2

+3 x − 2

 x =1  = 23 ⇒ 2 x 2 + 3 x − 2 = 3 ⇒  5. = − x  2 1 2

4. Inegalitatea este verificată de 2 şi 3 p = . 2

5. −2 0

−1 1 a 0

1 = 0 ⇒ a = 1. 1 4 5

6. sin 2 x + cos 2 x = 1 ⇒ cos x = ± . x ∈ ( 0°,90° ) ⇒ cos x > 0 ⇒ cos x =

4 . 5

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 44 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Rezolvare 1. a8 = a2 + 6r = 23 .

( )

( )

2. f (3) + f 32 + ... + f 35 = 3 + 2 + 32 + 2 + ... + 35 + 2 = 373 .  1     1  2x + 1 = 5 ⇒ x = 2 ∈  − , ∞  .  2 

3. 2 x + 1 > 0 ⇒ x ∈  − , ∞  . 2

4. C62 = 15. 5. Fie C mijlocul lui AB. Se obţine C(1,1). 6. sin (π − x ) = sin x ⇒ sin150° = sin 30° . sin 2 150° + cos 2 30° = sin 2 30° + cos 2 30° = 1 .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 45 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Rezolvare 1. xV = − yV = −

b = −2 . 2a

∆ = −9 . 4a

2. f (1) + f (2) + ... + f (10) = −1 + 2 + ... + 26 = 125. 3. 10 − x > 0 ⇒ x ∈ ( −∞,10 ) . 10 − x = 9 ⇒ x = 1∈ ( −∞,10 ) .  n=4 . n = −3

4. n ⋅ ( n − 1) = 12 ⇒ 

- 3 nu convine ⇒ n = 4 . 5. AB = 4, AC = 13, BC = 13 . P = 4 + 2 13.

1 2

6. sin 30° = , sin 45° =

2 3 , sin 60° = . 2 2

1 p= . 3

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 46 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Rezolvare 1. q =

b2 =3. b1

b4 = b1 ⋅ q3 = 27.

 x1 + x2 = 1 .  x1 ⋅ x2 = m

2. 

1 1 3 3 3 + =− ⇒ = − ⇒ m = −6 . x1 + 1 x2 + 1 4 m+2 4

 x 2 − 4 ≥ 0 ⇒ x ∈ [ 2, ∞ ) .  x − 2 ≥ 0

3. 

x 2 − 4 = x − 2 = 0 ⇒ x = 2 ∈ [ 2, ∞ ) .

3 4

4. Inegalitatea este verificată de 1, 2 şi 4 ⇒ p = . 5. Fie C simetricul lui A faţă de B ⇒ B este mijlocul lui AC. Se obţine C(1, 3).

6. Aria∆MNP =

MN ⋅ NP ⋅ sin N = 2

10 ⋅ 4 ⋅ 2

3 2 = 10 3.

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 47 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Rezolvare  a1 = 7 a = 7 ⇒ 1 ⇒ a10 = 52 ⇒ S10 = 295. a7 = 37  r = 5

1. 

2. f (7) = 0 ⇒ produsul este 0. 3. x ≥ 1.

x − 1 = 2 ⇒ x = 5 ∈ [1, ∞ ) .

4. C75 − C65 − C64 = 21 − 6 − 15 = 0.  a=3 =5⇒   a = −5 - 5 nu convine ⇒ a = 3 .

5.

( 2 + 1)2 + ( a + 1)2

6. h =

l 3 l2 3 ⇒ l = 6. A = =9 3. 2 4

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 48 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Rezolvare  a1 = 3  a1 = 3 . ⇒  a3 = 7  r = 2

1. 

S10 =

( a1 + a10 ) ⋅10 2

= 120 .

m = 2 . m =1

2. f (m) = −1 ⇒ 

 3    3   2 x + 3 = 25 ⇒ x = 11∈  − , ∞  . 2  

3. 2 x + 3 > 0 ⇒ x ∈  − , ∞  . 2

4. C53 = 10. 5. Fie M mijlocul lui AB ⇒ M (0,0). CM = 5.

6. Aria∆ABC =

AB ⋅ AC ⋅ sin A = 2

8⋅8⋅ 2

1 2 = 16

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 49 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Rezolvare  a1 = 3  a1 = 3 . ⇒  a3 = 7  r = 2

1. 

S10 =

( a1 + a10 ) ⋅10 2

= 120 .

m = 2 . m =1

2. f (m) = −1 ⇒ 

 3    3   2 x + 3 = 25 ⇒ x = 11∈  − , ∞  . 2  

3. 2 x + 3 > 0 ⇒ x ∈  − , ∞  . 2

4. C53 = 10. 5. Fie M mijlocul lui AB ⇒ M (0,0). CM = 5.

6. Aria∆ABC =

AB ⋅ AC ⋅ sin A = 2

8⋅8⋅ 2

1 2 = 16

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 50 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Rezolvare 3 1.   2

−1

−3

8 2 2 = − =0. 27 3 3

2. f ( x) = g ( x) ⇒ x = 1 ⇒ y = 4 ⇒ A (1, 4 ) . 3. 31− x = 32 ⇒ x = −1 .  x+2>0 5  ⇒ x ∈ ,∞  . 2  2 x − 5 > 0

4. 

x+2 5  = 5 ⇒ x = 3∈  , ∞  . 2x − 5 2 

5. d : y = x + n A ∈ d ⇒ n = −2 ⇒ d : y = x − 2 .

6. A =

l2 3 ⇒l =2⇒ P =6. 4

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 51 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. a) Se rezolvă ecuaţia 2 ( 2 x − 3) = x + 1 + x − 3 şi se obţine x = 2 .

10 x = 99 , de unde x = 110 (lei). 100 3. Numărul este 0 deaoarece combinările sunt complementare. 4. Dacă f ( x ) = ax 2 + bx + c cu a, b, c ∈ \ , a ≠ 0 , atunci f (1) = 3 , f ( 0 ) = 5 şi f ( −1) = 11 , de unde a = 2 , b = −4 şi c = 5 . 1 5  1 5. Se notează 2 x cu t şi se rezolvă ecuaţia t + = . Se obţine t ∈  2;  şi x ∈ {1; −1} . t 2  2 6. Din teorema cosinusului se obţine cos A = 0 2. Dacă x este preţul iniţial al produsului, atunci x −

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 52 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie

3 = log 2 3 − 1 . 2 2 x + y − 4 = 0 2. Se rezolvă sistemul  şi se obţine punctul comun A (1;2 ) . x + y − 3 = 0 3. Raţia progresiei este 2 şi x = 2 . 4. Se aplică teorema sinusurilor şi se obţine AC = 2 .  7 5. Se înlocuieşte x cu 5 şi se obţine m ∈ 1; −  .  4

1. Numărul este 1 deoarece log 2

6. În urma ridicării la pătrat se obţine ecuaţia 3x 2 + 2 x − 1 = 0 cu soluţiile −1 şi

1 . 3

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 53 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. 0 1 2 1 3. − . 15 4. ( 3;7 ) .

2 3

2. lg + lg + ... + lg

9 1 = lg = −1 . 10 10

5. a ∈ {1;6} . 6. x ∈ {1; −1} .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 54 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. 1. 2. 1. 3. m ∈ {−3;5} . 4. A ( −1;3) , B ( 5;9 ) . 5. Calcul direct. 6. M ( 3;3) .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 55 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. 22 < log 2 5 . 2. m = 1 . 3. x = ± 3 . 4. n = 4 . 5. 0 3 4

6. − .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 56 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. A ( 2;1) . 2. n = 6 . 3. 2∈ ` . 3 5

4. cos B = . 5. m = ±1 . 6. Calcul direct.

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 57 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. m = ±6 . 2. 210. 3. 57. 4. x ∈ {−6;3} . 5. x + 2 y − 4 = 0 6. 4 3 .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 58 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. Calcul direct. 2. a = 3 , b = 1 . 3. 0 4. n ∈ {0;1;2;3} . 5. 5 6. 8

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 59 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie  

1 2

1. x ∈ −3;  . 2. 38 lei. 3. 2 + 2 < 6 . 4. 15 şi 8. 5. x ∈ ( −∞;2] . 6. 2 x − y − 4 = 0 .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 60 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. x ∈ {1; −2} . 2. 5 7 . 3. m ∈ {1;2} . 4. 0 3  2  6. M ( 3; −2 ) .

5. D =  ; ∞  .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 61 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. 20∈ ` . 2. 1 3. 25 4. 15 5. 1 6. x ∈ [ −1;5] .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 62 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. 20 2. -6 3. 7 4. a ∈ {−11;13} . 5. n ∈ {2;3;4} . 6.24

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 63 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. 3. 2. 0. 3. 40 3 . 4. -4. 5. D ( 0;4 ) . 6.

2 . 5

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 64 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. 2008 2. 3 2 . 3. A ( −2;1) . 4. x ∈ {10;11;...;17} . 3 . 2 6. x ∈ {−2;3} .

5.

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 65 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. 3∈ ` . 2. x ∈ {1;3} . 25 . 6 1 4. . 45 5. m = 2 .

3.

6. 1.

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 66 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. A ( 0;2 ) , B ( −1;0 ) . 2. 10. 3. AB = 4 , AC = 4 3 . 4. 4. 5. Calcul direct. 1 6

6. m = − .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 67 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. Calcul direct. 2. A (1;0 ) , B ( −1;0 ) , C ( 0; −1) . 3. 10 2 . 4. 6,5. 5. ∆ = 5m 2 + 4 > 0 , ∀m ∈ \ . 6. 26.

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 68 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. 0  

2

2. x ∈  −2;  . 3 

3. 20%. 4. 4 5. 6 şi 6. 6. 1.

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 69 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. 0 2. x ∈ [ −3;5] .

(

)

3. sin10D = cos 90D − 10D . 4. Segmentele MP şi NQ au acelaşi mijloc; MP = NQ = 2 10 . 5. 2. 6. m = −1 .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 70 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. x ∈ [ 2;3] . 2. a = 2 . 3. ±2 . 4. 10. 5. 3. 1 2

6. − .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 71 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. Calcul direct. 2. 2 3. Se folosesc relaţiile lui Viete. 4. x ∈ {−4;2} . 5. 40. 6.

2 . 3

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 72 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. -1. 2. 6 3. 24 4. V (1;1) . 5.

7 . 25

6. Calcul direct.

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 73 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. 15. 2. n = 4 . 3. ∆ > 0 , ∀m ∈ \ . JJJG JJJG 4. AC = CB . 5. x = −1 . 6. AB = 12 , AC = 9 .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 74 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. 0 2. 2 3. 3 4. x 2 − 11x + 30 = 0 . 5. x + y − 7 = 0 . 6. 25 3 .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 75 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. 3 2. Calcul direct. 3. A ( 2;0 ) . 4. ( 2;3) , ( 3;5 ) . 5. 3 6. 20.

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 76 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. Cum f (2) = 2 − 2 = 0 , rezultă produsul 0. 2. Avem log3 9 = log3 32 = 2 log3 3 = 2 ⋅ 1 = 2 , şi progresie geometrică de raţie 2.

3

3

64 = 43 = 4 ; cum 2 = 1 ⋅ 4 , rezultă că termenii sunt în

3. Condiţii de existenţă: x 2 + 2 x − 3 ≥ 0 , prin ridicare la pătrat avem

echivalent x 2 + 2 x − 3 = 12, x 2 + 2 x − 15 = 0 , ecuaţie de gradul 2 cu soluţiile x = 3 şi x = −5 , ce verifică condiţiile de existenţă, deci S = {−5;3} . 4. ----------------------5. Coordonatele punctului B sunt mediile aritmetice ale coordonatelor punctelor A şi C, deci 0 + (−2) 3+5 x= = 4, y = = −1 . 2 2 6. Utilizăm formula sin(1800 − x) = sin x , deci sin1350 = sin(1800 − 45 ) = sin 450 ; obţinem proprietatea

fundamentală sin 2 135D + cos 2 45D = sin 2 45D + cos 2 45D = 1

Observaţie Pb. 4 trebuie reformulată: Să se determine numărul tuturor segmentelor orientate nenule care se pot forma cu elementele unei mulţimi de 4 puncte din plan, oricare trei necoliniare. Rezolvare: Din condiţiile date, a obţine un segment orientat nenul echivalează cu a alege 2 puncte din cele 4, contând ordinea, deci numărul tuturor segmentelor orientate este A42 = 4 ⋅ 3 = 12

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 77 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Soluţie 1. Utilizăm proprietăţile log 2 A + log 2 B = log 2 AB, A, B > 0 şi log 2 A − log 2 B = log 2 A / B, A, B > 0, B ≠ 1 ; 5 ⋅ 12 = log 2 2 = 1 obţinem log 2 5 + log 2 12 − log 2 30 = log 2 30 2. Situarea deasupra axei OX implică în orice pereche (x,f(x)) pe f(x)>0;cum coeficientul lui x 2 este pozitiv, 4 impunem ∆ < 0 , deci m 2 − 4(m 2 + 1) < 0, 3m 2 > −4, m 2 ≥ 0 > − , deci pentru orice m real discriminantul 3 este negativ, funcţia păstrează semnul + pe tot domeniul de definiţie, deci reprezentarea grafică a funcţiei f este situată deasupra axei OX. 3. din condiţiile problemei, impunem ca termenul din mijloc să fie medie aritmetică a termenilor alăturaţi; obţinem: 2 ⋅ (4a + 1) = 2a + 2a+ 2 . Notăm 2a = t > 0 şi avem 2t 2 + 2 = t + 4t , 2t 2 − 5t + 2 = 0 , ecuaţie de 1 gradul 2 cu soluţiile t = 2, t = , deci a = 1, a = −1 . 2 3 4. Condiţii de existenţă şi de sens: 2 x + 3 ≥ 0, x + 2 ≥ 0 , adică x ≥ − , obţinem prin ridicare la pătrat 2 2 2 2 x + 4 x + 4 = 2 x + 3, x + 2 x + 1 = 0,( x + 1) = 0, x = −1 ce verifică restricţiile problemei, deci S={-1}. G G 5. AD este diametru al cercului circumscris hexagonului regulat dat, de centru notat O, AD = 2 AO . Pe de JJJG JJJG JJJG altă parte, ABOF paralelogram şi din regula paralelogramului, AO = AB + AF , de unde rezultă egalitatea cerută.

(

)

(

)

6. Avem formulele trigonometrice: cos 90D − x = sin x şi cos 180D − x = − cos x , obţinem proprietatea

(

)

fundamentală sin 2 x + cos 2 x = 1, oricare x ∈ 0D ,90D .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 78 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Soluţie 1. Avem formulele Pn = n !, Ank = 2. Impunem x + 1 =

P + C1 n! n! , Cnk = , deci P2 = 2, C41 = 4, A31 = 3 , deci 2 1 4 = 2 . (n − k )! k !⋅ (n − k )! A3

( x − 1) + (2 x − 1) , deci 2 x + 2 = 3 x − 2, x = 4 . 2 0

1

2

3

4

24 + 23 + 22 + 2 + 1 25 − 1 31 1 1 1 1 1 3. f ( 0 ) + f (1) + … + f ( 4 ) =   +   +   +   +   = = = . 16 16 2 2 2  2  2 24 −(m − 1) −m 4. Utilizăm relaţiile lui Viete: S = x1 + x2 = − deci = m − 1; P = x1 x2 = = −m , 1 1 m − 1 = 2(− m + 4), 3m = 9, m = 3. y − yA x − xA = 5. Utilizăm ecuaţia dreptei care trece prin două puncte de coordonate cunoscute: , deci y B − y A xB − x A y −1 x − 2 , y − 1 = 3 x − 6, obţinem AB : y = 3x − 5 . = −2 − 1 1 − 2 6. Aplicăm exprimarea ca rapoarte de laturi a funcţiilor trigonometrice în triunghi dreptunghic şi formula

înălţimii:

sin B =

AC AB AB ⋅ AC , sin C = , AD = ; obţinem BC BC BC

2

AD 2 = AB ⋅ AC ⋅

AC AB  AB ⋅ AC  , ⋅ = BC BC  BC 

adevărat.

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 79 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Soluţie 1. log5 18 − log5 2 = log 5

log5 18 − log5 2 2 ⋅ log5 3 18 = = 2. = log5 9 = 2 log5 3 , deci 2 log5 3 log5 3

2. ( g + h)( x) = g ( x) + h( x) = 5 x + 5 = 5( x + 1) = 5 f ( x) , f ( x) ⋅ [( g ( x) + h( x)] = f ( x) ⋅ 5 f ( x) = 5 f 2 ( x) ;

f ( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ h( x) = f ( x) ⋅ 2 ⋅ f ( x) + f ( x) ⋅ 3 ⋅ f ( x) = 5 f 2 ( x) , deci relaţia se verifică. 3. Cum 4 x = (22 ) x = 2 x , din egalitatea dată obţinem 23 x = 8 = 23 şi din injectivitatea funcţiei exponenţiale rezultă x=1. 4. Problemă echivalentă cu a număra toate funcţiile injective f :{a, b, c, d } → {1, 2, 3, 4} , deci P4 = 4! = 24 . 5. Din condiţia mijlocului unui segment, obţinem egalitatea: 5 =

m2 − 1 + 2 ,10 = m 2 + 1, m 2 = 9, m = 3 sau 2

m = −3 6. Aplicăm regula triunghiului pentru adunarea vectorilor şi proprietatea: două segmente orientate sunt egale sau opuse dacă şi numai dacă cele 4 puncte ce determină segmentele orientate formează un paralelogram JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG (eventual degenerat). În cazul de faţă, DC = AC − BC = AC + CB, DC = AB . Cum am obţinut vectori egali A,B,C,D sunt vârfuri în patrulater, deci necoliniare, rezultă ţinând cont şi de sensurile vectorilor că ABCD paralelogram.

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 80 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. Utilizăm formula C1n = n, n ∈ ` * şi obţinem

2!+ 3! C81

=

2+6 =1 8

2. Echivalent cu a arăta că f 2 (0) = f (1) ⋅ f (−3) , adică 32 = 1 ⋅ 9, 9 = 9 , adevărat. 3. Metoda substituţiei implică din prima ecuaţie y = 3 − x , deci a doua ecuaţie devine

x 2 + x = 3 − x, x 2 + 2 x − 3 = 0 , ecuaţie de gradul 2 cu soluţiile x1 = 1, x2 = −3 , care implică y1 = 2, y2 = 6 ; deci S = {(1, 2); (−3, 6)} . 4. Condiţii de existenţă: deci x ≥1; 3 x + 1 ≥ 0, x − 1 ≥ 0 , log5 ( 3x + 1) = log5 5 + log 5 ( x − 1) , log 5 ( 3x + 1) = log 5 5 ( x − 1) şi din injectivitatea funcţiei logaritm avem 3x + 1 = 5 x − 5, 2 x = 6, x = 3 soluţii ce verifică condiţiile de existenţă, deci S = {3} . 5. Simetricul punctului M(-2,3) faţă de O(0,0) este punctul N, deci ON=OM= (−2 − 0)2 + (3 − 0) 2 = 13 ,

deci MN=2OM= 2 13 . 6.

Aplicăm teorema sinusurilor şi obţinem

BC BC 6 3 3 = = = , deci = 2 R , adică sin A = sin A 2R 4 3 2 3 2

m()A) ∈{600 ;1200 } ; dar triunghiul ABC este ascuţit unghic, deci m()A) = 600.

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 81 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Soluţie

1 = log 2 2−2 = −2; 3 −8 = −2 , deci -2-(-2)=-2+2=0. 4 2. Prin desfacerea parantezelor şi prin reducerea termenilor asemenea se obţine inecuaţia de gradul 2:

1. log 2

2 x 2 + 2 x − 12 ≤ 0, echivalentă cu x 2 + x − 6 ≤ 0, deci este negativă între rădăcinile -3 şi 2, deci S = [−3, 2] . 26 − 2 3. Suma reprezintă suma primilor + 1 = 9 termeni ai unei progresii aritmetice de prim termen 2 şi 3 (2 + 26) ⋅ 9 = 126 . raţie 3, deci S9 = 2 4. Cum coeficientul lui x 2 este negativ, este de ajuns să arătăm că abscisa vârfului parabolei asociate b 4 funcţiei este egală cu 2. Cum xV = − , obţinem xV = − = 2 , deci f(2) este maximul funcţiei, deci −2 2a f ( x ) ≤ f ( 2 ) , oricare ar fi x ∈ \. 5. Din formula distanţei dintre două puncte date prin coordonatele lor, avem 2 2 OM 2 = xM + yM = 22 + m2 = 5 , deci m2 = 5 − 4 = 1, m = ±1 . 6. Aplicăm teorema cosinusului pentru unghiul A, pentru a afla lungimea laturii BC: 2 BC = AB 2 + AC 2 − 2 ⋅ AB ⋅ AC ⋅ cos A , deci BC 2 = 16 + 36 − 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ cos 600 = 52 − 24 = 28, BC = 2 7 .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 82 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Soluţie

3

3

1. Cum 3 = 33 , obţinem

3

3

=

3 3

3

3

3

3

= 32 = 3 9 , deci obţinem 0.

2. Din relaţiile lui Viete avem x1 + x2 = − x

p −p = − p; x1 x2 = = − p , deci x1 + x2 − x1 x2 = − p − ( − p ) = 0 . 1 1

−1

2 2 3. Obţinem echivalent   =   şi din injectivitatea funcţiei exponenţiale avem x = −1. . 3 3 4. Arătăm că 2 f (2) = f (1) + f (4) , echivalent cu 2 log 2 2 = 2 ⋅ 1 = 2; log 2 1 = 0; log 2 4 = 2 , deci 2=0+2 adevărat. y − yA ( x − x A ) ne conduce la AB: y = 2 x + 1 . Ecuaţia lui CD: 5. Ecuaţia lui AB: y − y A = B xB − x A y − yC y − yC = D ( x − xC ) ne conduce la CD: y = 2 x − 1 . AB este paralelă cu DC pentru că pantele sunt xD − xC egale mAB = mCD = 2 şi ordonate la origine diferite (-1 ≠ 1 ).

6. Utilizăm proprietăţile unghiurilor suplementare: sin(1800 − x) = sin x, cos(1800 − x) = − cos x , deci

sin100D + cos100D − a = sin(180o − 80o ) + cos(180o − 80o ) − a = sin 80o − cos 80o − a = a − a = 0

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 83 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Soluţie 1. 2C31 − A32 = 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ 2 = 0 .

14 ⋅ 3 7⋅6 = log 2 = log 2 7 , adevărat. 6 6 3. Impunem condiţiile de existenţă: x − 1 ≥ 0, x 2 − x − 2 ≥ 0 ; ridicăm la pătrat ecuaţia şi obţinem 2. log 2 14 + log 2 3 − log 2 6 = log 2

x − 1 = x 2 − x − 2 , adică x 2 − 2 x − 1 = 0 cu soluţiile x1,2 =

2±2 2 = 1 ± 2 , dar numai 1 + 2 satisface 2

condiţiile de existenţă, deci S = {1 + 2} . −( m + 1) m = m + 1; x1 x2 = = m , deci x1 + x2 − x1 x2 = (m + 1) − m = 1 . 4. Din relaţiile lui Viete, x1 + x2 = − 1 1 5. Aplicăm formula ariei triunghiului când cunoaştem lungimile a două laturi şi măsura unghiului dintre 2 4⋅6⋅ AB ⋅ AC ⋅ sin( BAC ) 2 =6 2 . = acestea AABC = 2 2 o 6. Cum sin(90 + x) = cos x , obţinem

sin135D + tg45D − cos 45D = sin(90o + 45o ) − cos 45o + tg 45o = cos 450 − cos 45o + 1 = 0 + 1 = 1

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 84 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Soluţie 1. Cum

2 > 1 şi

2 + 3 > 1 , obţinem b < 1 < a .

2. Cerinţa e echivalentă cu a arăta că ∆ = 0 . Cum ∆ = (−4) 2 − 4 ⋅ 4 = 16 − 16 = 0, obţinem parabola este tangentă la Ox. 3. Ecuaţia este echivalentă cu (3 ⋅ 5) x = 15;15 x = 151 , şi din injectivitatea funcţiei exponenţiale avem x = 1 . 4. p% ⋅ 10000 = 5000 , deci p = 50% . JJJG JJJG 5. Cum diagonalele în pătrat sunt congruente şi se taie în părţi egale, rezultă că vectorii OA, OC , respectiv JJJG JJJG JJJG JJJG G JJJG JJJG G OB, OD sunt opuşi deci suma lor este 0 ; deci OA + OB + OC + OD = 0 . 6. Cunoaştem că unghiurile hexagonului regulat sunt egale cu 1200, deci 3 sin120o = sin(180o − 60o ) = sin 60o = . 2

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 85 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Soluţie 3

1 1 1. Conform formulei progresiei geometrice, bn = b1 ⋅ q n−1 , obţinem b4 = 16 ⋅   = 16 ⋅ = 2 . 8 2 2. Sistemul este echivalent cu rezolvarea ecuaţiei t 2 − St + P = 0 , unde S = x + y = −6, P = xy = 8 , deci

t 2 + 6t + 8 = 0 , ecuaţie ce admite soluţiile -2 şi -4; deci sistemul are soluţiile S = {(−2, −4); (−4, −2)} . 3. Ecuaţia este echivalentă cu 2− x = 22 şi din injectivitatea funcţiei exponenţiale obţinem − x = 2, x = −2 . 4. Numărul cazurilor posibile este egal cu numărul tuturor funcţiilor f :{a, b} → {1, 2, 3} , adică 3 1 32=9.Numărul cazurilor favorabile este 3; deci P = = 9 3 JJJG JJJG 5. În paralelogramul dat, AB şi CD sunt laturi opuse, deci paralele şi congruente, deci vectorii AB, CD sunt G opuşi, suma lor fiind 0 . 4 6. Avem proprietatea sin 180D − x = sin x , deci sin 180D − x = 5

(

)

(

)

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 86 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. Sistemul este echivalent cu rezolvarea ecuaţiei t 2 − St + P = 0 , unde S = x + y = 5, P = xy = 6 , deci

t 2 − 5t + 6 = 0 , ecuaţie ce admite soluţiile 2 şi 3; deci sistemul are soluţiile S = {(2, 3); (3, 2)} . 2. f ( −1) = 5− ( −1) = 5; f ( 0 ) = 50 = 1;5 f (1) = 5 ⋅ 5−1 = 50 = 1 , obţinem f ( −1) + f ( 0 ) + 5 f (1) = 5 + 1 + 1 = 7 . 3. Cum (1 + 2)2 = 1 + 2 2 + 2 = 3 + 2 2 obţinem (3 + 2 2) x = (3 + 2 2)1 şi din injectivitatea funcţiei exponenţiale obţinem x = 1 . 4. Din formula generală pentru numărul tuturor submulţimilor de k elemente dintre cele n ale unei mulţimi 6⋅5 = 15 date, Cnk , 0 ≤ k ≤ n , avem în cazul de faţă C62 = 2 1 + (−3) 2+4 5. Fie M(x,y) mijlocul segmentului AB, deci x = = 3; y = = −1 , deci M(3,-1) . 2 2 1 6. Avem proprietatea cos 180D − x = − cos x , deci cos 180D − x = − 3

(

)

(

)

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 87 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Soluţie 1. Impunem condiţii de existenţă: x − 1 ≥ 0 , deci x ≥ 1 ; obţinem echivalent: x − 1 = 2; x − 1 = 4, x = 5 convine condiţiilor impuse, deci S = {5} . 2. Impunem condiţiile ∆ > 0, P < 0 , de unde se obţine: 1 − 4m > 0 şi m < 0 ; intersecţia intervalelor de soluţii ale celor două inecuaţii dă soluţia finală S = ( −∞, 0) . 3. Condiţii de existenţă: x 2 − x − 2 > 0; 2 x − 4 > 0 ; din proprietăţile logaritmilor obţinem echivalent:

(

)

log 2 x 2 − x − 2 = log 2 (2 x − 4) + 1 = log 2 (2 x − 4) + log 2 2 = log 2 2(2 x − 4) şi din injectivitatea funcţiei

logaritm avem x 2 − x − 2 = 4 x − 8, x 2 − 5 x + 6 = 0 , cu soluţiile 2 şi 3, dintre care doar 3 verifică condiţiile impuse, deci S = {3} ;. 4. Conform formulei progresiei aritmetice, an = a1 + (n − 1) r , deci a4 = 2 + 3 ⋅ 3 = 11 . 2

 2 1 5. Cum sin(180 − x) = sin x , obţinem 2 sin 135 = 2 sin 45 = 2 ⋅  = 2 ⋅ =1.  2  2   1 2⋅2⋅ AB ⋅ AC ⋅ sin A 2 = 1. = 6. AABC = 2 2 o

2

D

2

o

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 88 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Soluţie 1. Suma cerută reprezintă suma primilor

raţie 10, deci S10 =

(2 + 92) ⋅ 10 = 470 . 2

92 − 2 + 1 = 10 termeni ai progresiei aritmetice de prim termen 2 şi 10

b −2 ∆ =− = 1; yV = − = f (1) = −4 . Înlocuind în 2a 2 4a ecuaţia dreptei coordonatele vârfului obţinem 3 ⋅ 1 + (−4) + 1 = 0 , deci vârful V(1,-4) verifică ecuaţia dreptei. 2. Coordonatele vârfului parabolei asociate sunt xV = −

3. Avem proprietatea Cnk = Cnn− k , 0 ≤ k ≤ n , deci a = C62 − C64 = C62 − C62 = 0 ;

(

)

b = log 2 2−1 ⋅ 4 = log 2 (2−1 ⋅ 2) = log 2 1 = 0 , deci numerele sunt egale.

4⋅3 + 4 = 6 + 4 = 10 2 JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 5. Fie D în plan astfel încât 2 AM = AD Rezultă că M este mijlocul lui AD şi cum AB + AC = AD , rezultă că ABDC paralelogram (eventual degenerat) , deci AD şi BC diagonale; cum M este mijlocul lui AD, rezultă M mijlocul lui BC. 6. Cum sin (90o-x)=cosx, obţinem 4. C42 + C43 = C42 + C41 =

sin 2 25D + sin 2 65D = sin 2 (90o − 25D ) + sin 2 65D = cos 2 65D + sin 2 65D = 1 .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 89 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Soluţie 1. Sumă de 7 termeni în progresie geometrică cu primul termen 1 şi raţia 2 , obţinem 1 + 2 + 22 + … + 26 = 27 − 1 = 127 . 2. Inecuaţia se rescrie astfel ( x − 1)( x + 1)2 ≥ 0 ; cum ( x + 1) 2 ≥ 0 , pentru x ≠ −1 impunem x − 1 ≥ 0 , deci x ≥ 1 . Pentru x = −1, inecuaţia se verifică, deci soluţia este S = {−1} ∪ [1, +∞) . −m = −1 , deci constant . 3. Cum ∆ = 20082 + 4m 2 > 0 , există soluţii reale şi din relaţiile lui Viete, P = m 4. Condiţii de existenţă: n ∈ , n ≥ 1 . Cn0 + Cn1 = 1 + n = 8 , deci n = 7 . 5. Din proprietăţile hexagonului regulat, avem că ABOF este paralelogram (romb), din regula paralelogramului pentru suma de vectori de aceeaşi origine, obţinem AB + AF = AO .

(

)

6. Cum printre factorii produsului se află şi lg tg45D = lg1 = 0 , tot produsul este 0.

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 90 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Soluţie

25 − 1 + 1 = 7 termeni în progresie aritmetică de prim permen 1 şi de raţie 4, deci 4 (1 + 25) ⋅ 7 S7 = = 91 . 2 2. Cum x, y ∈ ] , avem condiţiile x 2 , y 2 ≤ 1 , deci se obţin soluţiile (1,0);(-1,0);(0,1);(0,-1) , deci A = {(1,0);(-1,0);(0,1);(0,-1)} .

1. Sumă de

3. Condiţii de existenţă: 2 x+1 − 1 > 0 ; din definiţia logaritmului obţinem 2 x +1 − 1 = 1, 2 x +1 = 2 , şi din injectivitatea funcţiei exponenţiale obţinem x + 1 = 1, x = 0 , soluţie ce verifică restricţiile impuse. 4. Cerinţă echivalentă cu a determina numărul funcţiilor injective f :{a, b, c} → {1, 2} , adică 23=8. JJJG JJJG G JJJG JJJG 5. Relaţia AB + CD = 0 se rescrie AB = DC , ceea ce implică faptul că AB || CD, AB=CD (condiţie de paralelogram) şi sensul de citire a vârfurilor paralelogramului este ABCD. . BC 10 1 6. Din teorema sinusurilor avem = 2 R , deci sin A = = . sin A 20 2

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 91 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Soluţie

40 − 1 + 1 = 14 elemente.. 3 2. Termenii sumei sunt în progresie geometrică de raţie 2, deci 20 + 21 + ...27 = 28 − 1 = 255 .

1. Elementele mulţimii A sunt termeni în progresie aritmetică de raţie 3, deci sunt

3. Condiţii de existenţă: x>0; obţinem din definiţia logaritmului că 3 x = 2, x = 23 = 8 . 4. Cerinţă echivalentă cu numărul permutărilor de 3 elemente, adică 3!=6. 5. Din condiţia de apartenenţă a lui B la dreaptă rezultă a − 1 + 4 − 5 = 0 , deci a = 2 . Din condiţia de apartenenţă a lui A la dreaptă rezultă 2 + b − 5 = 0 , deci b = 3 . 6. Printre factorii produsului se află şi cos 50 − cos 50 = 0 , deci produsul este 0.

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 92 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Soluţie 1. Utilizând notaţiile uzuale, avem: b1 = 2, b2 = −2, b3 = 2 2 , deci b1b2 b3 = −8 . 2. f ( x) + 2 g ( x) = 4 x 2 − 4 x + 1 + 2(2 x − 1) = 4 x 2 − 1 = −1, x 2 = 0, x = 0 . 3. 32 x + 2 ⋅ 3x − 3 = 32 x − 3x + 3 ⋅ 3x − 3 = 3x (3x − 1) + 3(3x − 1) = (3x − 1)(3x + 3) = 0 , deci convine doar

3x = 1, x = 0 . 4. P3 − C42 = 3!−

4⋅3 =6−6=0 2

5. Aplicăm formula distanţei, AO = ( −6) 2 + 82 = 10 . 6. Cum ABC este dreptunghic în A, avem sin B =

AC AB AB + AC , cos B = , sin B + cos B = . BC BC BC

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 93 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Soluţie 1 1 log 2 9 = log 2 3 − ⋅ 2 log 2 3 = 0 . 2 2 2. Cum f (1) = 0 , tot produsul este 0.

1. log 2 3 −

3. Cum funcţia este definită pe \ şi coeficientul lui x 2 este pozitiv, rezultă că minimul funcţiei se realizează ∆ = −2, deci m 2 − 8 = 8, m 2 = 16, m = ±4 . în vârful parabolei, deci impunem − 4a 4. Condiţii de existenţă: x > 0 , utilizăm proprietatea a log a x = x , deci x=4 satisface restricţiile impuse. 5. Din condiţiile de simetrie, obţinem B (2, −3) şi C (−2, 3) , deci

BC = (2 − (−2)) 2 + (−3 − 3)2 = 52 = 2 13 . 6. Din teorema sinusurilor,

BC 1 = 2 R , deci BC = 2 ⋅ 4 ⋅ = 4 . sin A 2

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 94 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Soluţie 1. log 2 18 = log 2 32 ⋅ 2 = 2 log 2 3 + log 2 2 = 2 a + 1 .

2. f (1) + f (2) + f (3) = (a + b) + (2a + b) + (3a + b) = 6a + 3b , deci b = 0 .Cum f ( 4 ) = 8 , obţinem 4a = 8, a = 2 . 3. Intersecţia cu Oy este (0, f (0)) = (0, 6) .Pentru intersecţia cu Ox rezolvăm ecuaţia

f ( x) = 0, 2 x +3 = 2, x + 3 = 1, x = −2 , deci intersecţia este (−2, 0) . 4. Avem echivalent 3− x = 32 şi din injectivitatea funcţiei exponenţiale rezultă − x = 2, x = −2 . a 2 2 5. Impunem condiţia: = ≠ .Din a 2 = 16 rezultă a = ±4 , dar pentru a = 4 cele 3 fracţii devin egale, deci 8 a 4 nu convine decât a = −4 . 2+0 0+2 6. Dacă M(x,y) este mijlocul lui BC, atunci x = = 1, y = = 1 , deci M (1,1) . În acest caz mediana 2 2

AM are lungimea

(2 − 1) 2 + (3 − 1) 2 = 5 .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 95 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Soluţie 1. (1 + 2) 2 + (1 − 2) 2 = 1 + 2 2 + 2 + 1 − 2 2 + 2 = 6 ∈ ` . 2. Cerinţa este echivalentă cu x 2 − 4 x + 3 ≥ −1, adică x 2 − 4 x + 4 = ( x − 2) 2 ≥ 0 oricare x real. 3. Împărţim prima ecuaţie prin 2 şi notăm S = x + y = 8, P = xy = 12 , deci x, y sunt soluţii ale ecuaţiei t 2 − St + P = 0 , adică t 2 − 8t + 12 = 0 , ecuaţie verificată de 2 şi 6, deci sistemul are soluţiile (2,6) şi (6,2). 4. Condiţii de existenţă: n ∈ `, n ≥ 2 . Împărţim ecuaţia prin (n − 2)! ; se obţine n(n − 1) = 12 = 3 ⋅ 4 , deci singura soluţie număr natural este n = 4 . 5. Utilizăm scrierea pe coordonate a vectorilor de poziţie, deci JJJG G G JJJG G G JJJG JJJG JJJG G G OA = i − j ; OB = 3i + 5 j , OC = OA + OB = 4i + 4 j , deci C (4, 4) .

6. Utilizăm teorema cosinusului pentru unghiul A: cos A =

AB 2 + AC 2 − BC 2 4 + 16 − 9 11 = = . 2 AB ⋅ AC 16 16

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 96 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Soluţie 1. Impunem ca termenul din mijloc să fie media aritmetică a vecinilor săi, deci 2 x − 2 =

obţinem 4 x − 4 = 2 x + 2, 2 x = 6, x = 3 .

( x − 1) + ( x + 3) ; 2

2. Cum ∆ = m 2 + 4 > 0 , condiţia ca soluţiile să fie opuse ca semn este ca produsul rădăcinilor să fie negativ, −1 deci P = = −1 0 , deci m < şi P = 1 , deci m = 1 . (Se obţine ecuaţia x 2 − 3 x + 1 = 0 ). 4 3. Condiţii de existenţă: x > 0

1. Impunem x + 1 =

lg 2 x − 4 lg x + 3 = lg 2 x − lg x − 3 lg x + 3 = lg x ⋅ (lg x − 1) − 3(lg x − 1) = (lg x − 1)(lg x − 3) = 0 , deci x = 10 şi

x = 103 = 1000 . 4. Punctele de pe Oy au abscisa 0, deci f(0)=-6 şi punctul de intersecţie este (0,-6). 5. Calculăm AB 2 = (−m − 2)2 + ( m + 2) 2 = (4 2)2 , deci 2( m + 2) 2 = 32, ( m + 2) 2 = 16, m + 2 = ±4, m = 2 şi m = −6 .

AB 2 + AC 2 − BC 2 25 + 755 − 100 = = 0 (sau 2 AB ⋅ AC 50 3 prin reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic în A, deci cosA=0). 6. Utilizăm teorema cosinusului pentru unghiul A: cos A =

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 98 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Soluţie 1. log 3 24 = log 3 (3 ⋅ 23 ) = log 3 3 + 3 log 3 2 = 1 + 3a . 2. Condiţia dată este echivalentă cu − a + b = −b + a, 2a = 2b, a = b , deci f ( x) = g ( x) = ax + a, f , g : \ → \ , deci f = g . 3. Avem echivalent 4 x−1 = 4−1 şi din injectivitatea funcţiei exponenţiale rezultă x − 1 = −1, x = 0 4. Cnk reprezintă numărul de submulţimi de k elemente din cele n ale unei mulţimi date, deci impunem n(n − 1) Cn2 = 6, = 6, n(n − 1) = 12 = 4 ⋅ 3 , deci singura soluţie număr natural este n = 4 . 2 x y 5. Deci dreapta este determinată de tăieturile sale cu axele de coordonate; obţinem ecuaţia + = 1 . 3 4 6. Evident triunghiul MON este dreptunghic în O, are catetele de lungimi 3,4 deci ipotenuza este 5 şi 3 ⋅ 4 12 = . înălţimea din O este 5 5

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 99 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Soluţie 1. Din 2 x + 1 ≥ 3x − 1 , obţinem x ≤ 2, x ∈ ` , deci A = {0,1, 2} .

2. f (1) + f (4) − f (2) = log 2 1 + log 2 4 − log 2 2 = 0 + 2 − 1 = 1 .

9 m şi P = = m < 0 , deci m ∈ (−∞, 0) . 4 1 4. Numărul cazurilor posibile este 4; numărul cazurilor favorabile este 2 (pentru n = 2 şi n = 4) , deci 2 1 probabilitatea este = 4 2 1 3 1 3. Impunem condiţiile ∆ = 9 − 4m > 0, deci m <

5. Impunem 2 5 1 = 0 , deci m − 7 = 0, m = 7 . 3 m 1 6. Dacă B(x,y), atunci avem 3 =

4+ y 2+ x , x = 4; 5 = , y = 6 , deci B (4, 6) . 2 2

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

Varianta 100 MT2 Subiectul I

www.ebacalaureat.ro

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar Soluţie 1. b1b2 b3 = 1 ⋅ (−2) ⋅ 4 = −8 . 2. f (1) + f ( 3) = 2 + log 3 1 + 23 + log 3 3 = 2 + 0 + 8 + 1 = 11 . 3. Ecuaţia nu necesită condiţii de existenţă, obţinem echivalent 1 − x = (−2)3 = −8, x = 9 . b −12 3 3 9 3 =− = ; yV = f ( ) = 4 ⋅ − 12 ⋅ + 9 = 9 − 18 + 9 = 0 . (sau observam că legea funcţiei se 4. xV = − 2a 8 2 2 4 2 2 restrânge ca binomul (2 x − 3) ). 2

2

3+ 2 5 2+3 5 3 2 3 3 = ;y= = , rezultă că OM =   +   = 2 2 2 2 2 2 2     BC 4 6. Aplicăm teorema sinusurilor, =4. = 2 R , deci R = 1 sin A 2⋅ 2 5. Dacă M ( x, y ) , atunci x =

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

.