Bac Physique Oscillations Electriques Libres Circuit RLC

Objectifs spécifiques du chapitre - Réaliser un montage permettant de suivre les oscillations libres d’un circuit RLC série. - Reconnaître le régime pseudopériodique et le régime apériodique. - Reconnaître le facteur responsable de l’amortissement. - Reconnaître les grandeurs oscillantes d’un circuit RLC série. - Etablir l’équation différentielle des oscillations libres d’un circuit RLC série. - Interpréter la diminution de l’amplitude des oscillations libres d’un circuit RLC série par le transfert d’énergie de l’oscillateur vers le milieu extérieur. - Ecrire l’expression d’une grandeur oscillante en régime libre non amorti. - Définir la pulsation propre ω0 et la période propre To d’un oscillateur RLC non amorti. - Exprimer To en fonction de L et de C. - Déterminer la période, l’amplitude et la phase initiale d’une grandeur oscillante sinusoïdale d’un circuit RLC série non amorti. - Démontrer la conservation de l’énergie totale d’un oscillateur LC. - Interpréter le cas particulier des oscillations libres non amorties.

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Plan du cours A- Oscillations électriques libres amorties

Décharge d'un condensateur dans un dipôle RL

1. Montage

2. Les différents régimes d’oscillations dans un circuit RLC libre. a- Régime pseudo-périodique b- Régime apériodique c- Régime apériodique critique

3. Equation différentielle d’un circuit RLC

4 . Non conservation de l’énergie électromagnétique totale

B- Oscillations électriques libres non amorties (oscillateur harmonique)

1. Montage 2. Equation différentielle 3. Solution de l’équation différentielle 4. L’expression de l’intensité i(t) 5. Bilan énergétique 6. Représentations graphiques

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A- Oscillations libres amorties Décharge d'un condensateur dans un dipôle RL 1. Montage

L'étude expérimentale de la décharge d'un condensateur dans un dipôle RL s'effectue à partir du montage ci-dessus. L'interrupteur K étant en Position 1, le condensateur est chargé. La courbe de variation de la tension aux bornes du condensateur au cours du temps est donnée sur la figure suivante.

À t= 0, on bascule K dans la position 2. Il y a alors décharge oscillante du condensateur dans la bobine d'inductance L et de résistance interne r, 3

et dans le conducteur ohmique de résistance R. Ce circuit constitue un circuit RLC série en oscillation libre et amortie. Le système évolue ensuite sans apport extérieur d'énergie. On étudie l'évolution de la tension uC aux bornes du condensateur.

2. Les différents régimes d’oscillations dans un circuit RLC libre. On dit qu'un circuit RLC série est en régime libre lorsqu'il ne subit aucun apport d'énergie après l'instant initial. À L et C fixés, la valeur de la résistance totale du circuit RTot = r + R détermine le régime observé parmi les trois régimes libres du circuit RLC: pseudopériodique, apériodique ou apériodique critique. a- Régime pseudo-périodique Le régime pseudo-périodique est observé pour des faibles valeurs de RTot. La tension uC présente alors des oscillations amorties. Elle passe périodiquement par des valeurs nulles. La durée entre deux passages successifs par une valeur nulle, avec une pente de même signe, définit la pseudo-période Tp des oscillations amorties.

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b- Régime apériodique Lorsque les valeurs de RTot sont élevées, l'amortissement est important: le régime est apériodique. On observe une décharge du condensateur sans que la tension uC oscille.

- Régime apériodique critique

Lorsque RTot =2

L ( ) le régime est qualifié de critique la tension uC s’annule le plus C

rapidement possible.

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www.sciences.univ-nantes.fr_physique_perso_gtulloue_index.html/www.sciences.univnantes.fr/physique/perso/gtulloue/Elec/Transitoire/Condensateur1_flash.html Se limiter à la partie ou les deux courbes sont symétriques par rapport à zéro At=0 Le condensateur est initialement chargé sa tension est egale à ( 5 V ) la simulation commence quand on bascule l’interrupteur mauve de la position verticale vers la position horizontale

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3. Equation différentielle d’un circuit RLC en oscillations libre et amorties

En appliquant la loi des mailles au circuit fermé sur la position 2

uBM=uBD+ uDE + uEM. uBM= uC ; uBD=-ri ; uDE= e=-Ldi/dt ; uEM=-R2i. i=dq/dt; q=CuC. i=Cdu/dt. L d2uC/dt2 + (RTot) duC/dt + (1/C) uC =0 (1)

; RTot= R2 + r

d2uC/dt2 + (R/L) duC/dt + (1/LC) uC =0 Equation différentielle qui admet une solution uC(t) qui se présente suivant différents régimes ( pseudopériodique , apériodique et apériodique critique).

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www.sciences.univnantes.fr_physique_perso_gtulloue_index.html/www.sciences.univnantes.fr/physique/perso/gtulloue/equadiff/equadiff.html

Se limiter à cette partie de l’écran Car ca ne concerne que ce type d’équations différentielles Boutons f(t) ; ω0 et λ ,Actifs

Allure de la courbe de variation de la tension aux bornes du condensateur

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Courbe de variation de l’intensité au cours du temps

On remarque bien que l’intensité du courant s’annule quand la tension aux bornes du condensateur est maximale ou minimale. L’intensité i(t) est en rapport avec la tangente à la courbe uc(t) puisque i=dq/dt=C.duc/dt.

4. Non conservation de l’énergie électromagnétique totale : L’énergie totale dans le circuit est égale à ETot= EBob + ECond ETot = ½ CuC2 + 1/2 Li2.

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dE/dt=C.duC/dt + Lidi/dt = CuCduC/dt + L( C duC/dt) d/dt(CduC/dt) = uC C (duC/dt) + LC2(duC/dt)d2uC/dt2 =C (duC/dt)[ uC + LCd2uC/dt2]= = C (duC/dt)[ -RTot.C duC/dt]= -RTot.i20 , et i= CduC/dt alors i(0)=Cω0UMaxcos(φ)=0

 sin(φ)>0   cos(φ)=0

Donc φ=π/2 ; UMax=U0 et 13

La solution est uC(t)= U0 sin( ω0t + π/2)

4. L’expression de l’intensité i(t) = C duC(t)/dt si uC(t)= U0 sin( ω0t + π/2) =C ω0 U0cos( ω0t + π/2)= IMax cos(ω0t + π/2) = ω0 QMax cos( ω0t + π/2). Avec IMax= ω0 QMax

Simulation pour la résolution de l’équation différentielle

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5. Bilan énergétique L’énergie totale dans le circuit est ETot= Econd + EBob = 1/2 Li2 + ½ Cuc2.

dETot/dt= Li di/dt + uC C duC/dt =i [ Ldi/dt + uC ] = i ( 0 )=0 car d’après

L’équation différentielle Ldi/dt + uC=0

dETot/dt=0 alors ETot = Constante

ETot = ½ C U02 = ½ L IMax2

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6. Représentations graphiques Pour L= 400mH ; C= 400µF ; E=6V.

• uC(t)= U0 sin( ω0t + π/2)

• i(t) =IMax cos(ω0t + π/2

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L’expression de l’énergie emmagasinée dans le condensateur est Econd= ½.c.uc2. En remplaçant uc par son expression on a Econd= ½.CU02 sin2( ω0t + π/2)= =¼.C U02 (1- cos(2ω0t + π)) fonction périodique de pulsation ω= 2 ω0 , de période T T= 0. 2

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