Bab Iv Model Analitik

 

BAB IV  MODEL ANALITIK DARI FENOMENA ACAK 

4.1. 4.1. VARI VARIAB ABEL EL ACA ACAK K

Dalam ilmu pengetahuan alam dan rekayasa, terdapat banyak fenomena acak yang berhubungan dengan hasil (outcomes) numeric dari beberapa besaran fisik. Pada berbagai contoh yang dibahas sebelumnya, kita mengkaji jumlah buldoser yang masih bisa bisa diop dioper eras asik ikan an sete setela lah h en enam am bu bula lan, n, jang jangka ka wa wakt ktu u yang yang dibu dibutu tuhk hkan an un untu tukk menyelesaikan suatu proyek, dan banjirnya suatu sungai diatas tinggi permukaan aliran rata-ra rat a-rata, ta, yan yang g sem semuan uanya ya mem memberi berikan kan has hasilil (ou (outco tcomes mes)) yan yang g din dinyat yataka akan n seca secara ra numeric. Akan tetapi, kita juga telah melihat beberapa contoh dimana hasilanya tdk dinyat din yatakan akan dal dalam am besa besaran ran num numerik erik sebaga sebagaii contoh contoh,, kea keadaan daan pen penyel yelesa esainy inya a suat suatu u proyek dalam satu tahun, mampu bertahan atau putusnya suatu rantai, dan tersedianya pola pol a pen pengan gangkut gkutan an yan yang g ber berbed beda a bed beda. a. Peri Peristi stiwawa-peri peristi stiwa wa sej sejeni eniss sepe seperti rti yan yang g terakhi ter akhirr ini jug juga a dap dapat at dinyat dinyatkan kan seb sebaga agaii num numeri ericc den dengan gan men menggu ggunak nakan an bes besaran aran buatan buat an (art (artifi ifisia sial) l) unt untuk uk set setiap iap per perist istiwa iwa lai lain n yang mun munkin kin;; seb sebaga agaii cont contoh, oh, ket ketiga iga 87

 

keadaan kead aan pen penyele yelesai sain n suat suatu u proy proyek ek dal dalam am sat satu u tah tahun un pas pastiti (selesai, munkin selesai, dan pasti tdk selesai) dapat dinyatakan masing- masing dengan angka 1, 2 dan 3. Dengan perkataan lain, hasil yang munkin dari suatu fenomena acak dapat dinyatakan secara numeric, baik sebenarnya maupun buatan. Dalam segala hal, suatu hasil atau peristiwa dapat dinyatakan dengan nilai- nilai suatu fungsi; fungsi yang demiki dem ikian an ada adalah lah variabl variable e acak (random variable variable), ), yang lazimnya ditunjukkan dengan huruf besar. Harga ( atau jangkauan harga) suatu variable acak dengan demikian menyatakan peristiwa tertentu (district); misalnya; bila harga X  harga  X  menyatakan  menyatakan banjir diatas permukaan rata- rata, maka X  maka X   > > 7 ft menyatakan terjadinya banjir yang melampaui 7 ft, dan bila y  adalah   adalah keadaan penyelesaian suatu proyek dalam satu tahun, maka Y = 2 berar be rartiti ba bahw hwa a pe peny nyel eles esai aian an pro proye yekk terse tersebu butt da dala lam m wa wakt ktu u satu satu tahun tahun dirag diraguk ukan. an. Ring Ringka kasn snya ya vari variab abll ac acak ak meru merupa paka kan n suat suatu u alat alat (yan (yang g diol diolah ah jika jika pe perl rlu) u) un untu tukk menyat men yataka akan n sua suatu tu peri peristi stiwa wa dal dalam am bes besara aran n num numeri eric. c. Ole Oleh h kar karena ena itu itu,, kita kita dap dapat at mengatakan bahwa (X-a), atau (X ≤ b), atau (a < X ≤ b) merupakan suatu peristiwa.

Gambar 4.1 Pemetaan peristiwa-peristiwa ke garis real melalui vaariabel acak X  acak  X 

88

 

Secara lebih formal, variable acak dapat dipandang sebagai suatu aturan yang memetakan peristiwa – peristiwa dalam ruang sampel ke suatu garis riel. Pemetaan tersebut bersifat satu lawan satu ( one to one), juga peristiwa – peristiwa yang saling eksklusif dipetakan keselang – selang (interval) yang tidak saling bertumpang – tindih pada garis riel. Peristiwa E 1,E2 dan seterusnya dalam Gbr. 3.1 dari ruang sampel s dipetakan ke garis riel melalui variable acak X; peristiwa – peristiwa ini kemudian dapat dinyatakan sebgai berikut: E1 = (a < X ≤ b) E2 = (c < X ≤ d) E1  u E2 = (X ≤ a) u (X > d) ; E 1E2 = (c < X ≤ b) Sama seperti ruang sampel yang mendasarinya, suatu variable acak bisa diskrit atau ata u men menerus erus.. Tuj Tujuan uan dan keu keuntu ntunga ngan n dari pen penyert yertaan aan per perist istiwa iwa dengan dengan bes besaran aran numeric tentunya jelas hal ini akan memungkinkan pernyataan analitik yang mufa dan penampilan peristiwa dan probabilitasnya secara grafis. 4.1.1. Distribusi Probabilits Variable Acak

Karena harga suatu variabel acak menyatakan suatu pristiwa, maka harga variabel acak dapat berupa besaraan numeric hanya dalam probabilitas yang bersangkutan atau ukuran ukur an pro probabi babilit litas. as. Atu Aturan ran untuk untuk men menyat yatakan akan uku ukuran ran probabil probabilita itass yang berk berkait aitan an probabilitas  (  probability  dengan den gan semua harga sua suatu tu variabl variable e acak adal adalah ah distribusi probabilitas  distribution ) distribution  ) atau “hukum probabilitas”.

89

 

Ji Jika ka X ad adal alah ah vari variab able le ac acak ak,, ma maka ka dist distri ribus busii pr proba obabi bililita tasny snya a sela selalu lu dap dapat at dinyatakan dinyat akan dengan fungsi distribusi komulatif   ( cumulative distribution function, CDF ), yaitu Fx ( x ) ≡ P ( X ≤ x )

untuk semua X*

(4.1)

Di sini X merupakan variable acak diskrit diskrit jika  jika hanya beberapa harga diskrit x memiliki probabilitas yang positif.alternatifnya X meupakan variable acak  acak   menerus  menerus  jika ukuran probabilitas probabi litas terdefi terdefinisi nisi untuk setiap harga x. suatu variable acak juga dapat diskrit dan menerus sekaligus contoh dari variable acak campuran seperti ini diperlihatkan dalam Gbr. 3.2c. Distribusi Distri busi probabilit probabilitas as untuk suatu variab variable le acak diskrit X juga dapat dinyat dinyatakan akan dalam fungsi massa probabilitas (probabilitas mass distribution, disingkat PMF), yang merupakan merupa kan fungsi yang menyatak menyatakan an P ( X = x ) untuk semua x. Dengan demikian, demikian, bila X adalah variable variable acak diskri diskritt dengan PMF Px (xi) ≡ p (X = xi), maka fu funsi nsi distri distribusi busi yang bersangkutan adalah  Fx (  xx )= P ( X  X ≤ x )=∑ P ( X   X = xi )=∑  px ( xi ) Semua xi ≤ x

(4.2)

Semua xi ≤ x

 Akan tetapi, jika x bersifat b ersifat menerus, probabilitas berkaitan dengan selang-selang (interval) pada garis riel (karena peristiwa didefinisikan sebagai selang pada garis riel); sehing seh ingga ga pada x ter terten tentu, tu, misa misalny lnya a X = x, hanya kerapat kerapatan an probabil probabilitas itas (density of   probability ) lah yang terdifinisikan. Dengan demikian, untuk variable acak menerus, hukum hu kum pr proba obabi bililita tass juga juga da dapa patt di dinya nyata taka kan n n da dala lam m fungsi kerapat kerapatan an probab probabilita ilitass

90

 

( PDF ), sehingga bila fx (x) adalah PDF dari X, maka probabilitas dari X dalam selang ( a,b ) adalah b

 x ) dx  P ( a