BAB III. LOGIKA PROPOSISI

LOGIKA PROPOSISI

3.1 Proposisi Proposisi adalah suatu pernyataan yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya. Logika yang menangani atau memproses atau memanipulasi penarikan kesimpulan secara logis dari proposisi-proposisi disebut logika proposisional. Contoh 3.1-1 : 1. Bali memiliki sebutan pulau dewata (Benar). 2. 2 + 2 = 4

(Benar).

3. Semua mahasiswa Manajemen Informatika berparas cantik (Salah). 4. 4 adalah bilangan prima

(Salah).

5. 5 x 12 = 90

(Salah).

Ada proposisi-proposisi yang disebut tautologi yaitu proposisi-proposisi yang nilainya selalu benar. Untuk mengenali suatu proposisi, dapat dibantu dengan jawaban jika ada pertanyaan “Apakah nilainya benar atau salah?” Pernyataan yang tidak tergolong proposisi adalah, jika 

pernyataan berupa kalimat perintah dan kalimat pertanyaan



pernyataan yang tidak memiliki nilai benar atau salah



pernyataan berbentuk kalimat terbuka.

Contoh 3.1-2 : 

Komang, bersihkan lantai ini ! (kalimat perintah)



Anda mahasiswa jurusan apa ? (kalimat tanya)



x + 5 = 7. (kalimat terbuka)



Angka 13 adalah angka keramat (kalimat yang tidak memiliki nilai benar atau salah)

28

Selain pernyataan yang menimbulkan banyak pendapat, serta kalimat perintah dan kalimat tanya, suatu proposisi tidak boleh digantikan dengan proposisi lain yang artinya sama. Lihat contoh berikut ini : Contoh 3.1-3 : 



Ayu pintar

Ayu tidak bodoh

Pada pernyataan pertama dengan pernyataan kedua artinya sama, tetapi pada proposisi, pemberian variabel proposisional harus berlainan karena proposisi tidak diijinkan menafsir arti kalimat. Contoh 3.1-4 : 

A = Ayu pintar, maka “Tidak A” = Ayu tidak pintar.



B = Ayu bodoh, maka “Tidak B” = Ayu tidak bodoh.

Jadi tidak diperbolehkan mengganti “Tidak A” dengan B, walaupun arti kalimatnya sama. Proposisi-proposisi dapat digabung dan dimanipulasi sedemikian rupa dengan berbagai cara sehingga membentuk proposisi yang rumit. Penggabungan tersebut dilakukan

dengan

perangkai-perangkai

sehingga

disebut

proposisi

majemuk

(compound propositions). Proposisi majemuk sebenarnya terdiri dari banyak proposisi atomik. Sedangkan proposisi atomik adalah proposisi yang tak dapat dipecah-pecah menjadi beberapa proposisi lagi. Contoh 3.1-5 : 

Wayan sedang memasak dan Kadek sedang mencuci piring

Kalimat di atas merupakan proposisi majemuk yang terdiri dari 2 proposisi atomik yang dirangkai dengan perangkai “dan”. Jika kalimat tersebut dipisah, akan menjadi dua kalimat berikut : 

Wayan sedang memasak



Kadek sedang mencuci piring

3.2 Pemberian Nilai pada Proposisi Huruf A, B, C, dan seterusnya digunakan untuk menggantikan proposisi dan disebut variabel-variabel proposisional (variabel logika), dan hanya memiliki nilai benar (True = T) atau salah (False = F). Jadi, pemberian nilai pada variabel-variabel proposisional, hanya ada T dan atau F. Simbul berupa huruf T dan F disebut

29

konstanta-konstanta proposisional. Tentunya di sini tidak memakai B (benar) dan S (salah) karena akan mengacaukan antara variabel proposisional dengan konstanta proposisional. Variabel proposisional dan konstanta proposisional adalah proposisi atomik, atau proposisi yang tak bisa dipecah-pecah lagi. Contoh 3.2-1 : 

A atau B



A dan B



Tidak A

Setiap proposisi majemuk akan mempunyai nilai tertentu dengan aturan tertentu pula berdasarkan nilai pada setiap variabel proposisional dan atau konstanta proposisional. Pemberian nilai tersebut diberikan dari perangkai logika yang digunakan. Contoh 3.2-2 : Berdasarkan contoh 3.2-1 di atas, jika nilai A = T dan B = F, maka “A atau B” menghasilkan nilai T. Nilai-nilai A atau B, dapat ditentukan dengan tabel kebenaran. 3.3 Perangkai Logika Setiap perangkai pada logika memiliki nilai kebenarannya masing-masing sesuai dengan jenis perangkai logika yang digunakan. Untuk mengetahui nilai kebenarannya, digunakan aturan dengan memakai tabel kebenaran. Tabel kebenaran adalah suatu tabel yang menunjukkan secara sistematis satu demi satu nilai-nilai kebenaran sebagai hasil kombinasi dari proposisi-proposisi yang sederhana. Perangkai-perangkai logika yang digunakan adalah Tabel 3.3-1 Perangkai dan Simbolnya Perangkai

Simbol

Bentuk

Tidak / Bukan (not)/Negasi

¬

Tidak …….

Dan (and) / konjungsi



……. dan ……

Atau (or) / disjungsi



…… atau ……

Implikasi (if … then / implies)



Jika … maka …

Ekuivalensi (if and only if)



…. Jika dan hanya jika ….

30

3.3.1 Negasi (Ingkaran, atau Penyangkalan) Negasi (negation) digunakan untuk menggantikan perangkai “tidak (not)”. Perhatikan pernyataan : “Sekarang hari hujan”. Ingkaran dari pernyataan tersebut : "Sekarang hari tidak hujan”. Jika pernyataan semula bernilai benar maka ingkaran pernyataan itu bernilai salah. Negasi dinotasikan dengan ¬. Contoh 3.3-1 : 1. Jika

p

: Jakarta ibu kota RI

(T)

maka

¬p : Tidak benar bahwa Jakarta ibu kota RI

(F)

atau

¬p : Jakarta bukan ibu kota RI

(F)

2. Jika

q

: Karisma mempunyai rambut keriting

maka

¬q : Tidak benar bahwa Karisma mempunyai rambut keriting

atau

¬q : Karisma tidak mempunyai rambut keriting

3. Jika

r

:2+7