Bab II Analisis Real

 

Bab 2 Sistem Bilangan Real 2.1. 

 Aksioma Bilangan Bilangan Real Misalkan   adalah himpunan bilangan real, P  himpunan  himpunan bilangan positif dan fungsi ‘+’ dan ‘.’ dari  ×   ke   dan asumsikan memenuhi aksioma-aksioma berikut:  Aksioma Lapangan Lapangan Untuk semua bilangan real x , y , dan z  berlaku:  berlaku:  A1. x   + + y   = = y   + + x   x   +  y   +  A2. ( x + y   ) + z   = = x  +  + (  + z   )  A3. ∃0 ∈   sehingga x  +  + 0 = x , untuk setiap x  ∈     A4. ∀x  ∈  , ∃! w  ∈   sehingga x   + + w  =  = 0  A5. xy   = = yx   xy   yz   A6. ( xy   )z   = = x ((     )  A7. ∃1 ∈   sehingga 1 ≠ 0, dan x .1 .1 = x  ∀x  ∈    x  ∈  , x  ≠ 0, ∃w  ∈   sehingga xw  =  A8.  = 1  A9. ∀ x ((   y      + + z   ) = xy   + + xz  

Himpunan yang memenuhi aksioma di atas disebut lapangan (terhadap operasi + dan .). Diperoleh dari A1 bahwa elemen 0 adalah tunggal. Elemen w   pada A4 juga tunggal dan dinotasikan dengan ‘– x x ’.’ . Elemen 1 pada A7 unik dan elemen w   pada A8 juga unik dan dinotasikan dengan ‘ x  –1’ Kemudian didefinisikan pengurangan dan pembagian sebagai berikut: x  = xy −1   x   –  y  – y   = = x  +  + (–   ) dan  y   Aksioma Urutan Urutan Misalkan P  adalah  adalah himpunan bilangan real positif, P  memenuhi  memenuhi aksioma berikut: B1. x , y  ∈ P ⇒ x   + + y  ∈   

B2. x , y  ∈ P  ⇒ x.y  ∈    B3. x  ∈   ⇒ (x = 0) atau ( x x  ∈ P   ) atau ( x x  ∈ P   ) Suatu sistem yang memenuhi aksioma lapangan dan aksioma urutan disebut lapangan terurut (ordered field). Sehingga bilangan real adalah lapangan terurut. Begitu juga dengan himpunan bilangan rasional merupakan lapangan terurut. Dalam lapangan terurut didefinisikan x   < p −  ε  0

dan q = sup( B ) ⇔ .( iii ) q ≥ b , ∀b ∈ B

0

 

2

  .( iv )  ∀ε  > 0, ∃b0 ∈ B ∋ b0 > q −   ε 2 Dari (  ) ii   dan ( iiii  ii   ) diperoleh  p + q  ≥ a   + + b , ∀a  ∈  A A dan b  ∈ B. Jadi, p + q  ≥ a  +  + b , ∀a  +  + b ∈  A A + B ……………….. (*)  Jadi p + q  batas  batas atas dari A + B  i  dan ( iiv  v  Dari ( iii   )  ) diperoleh A dan b 0 ∈ B sehingga a 0 + b 0 > (   p + q  ∀ε > 0, ∃a 0 ∈  A  ) – ε ……………………………. (**)  A + B ) Dari (*) dan (**) terbukti bahwa p + q  =  = sup( 

   Aksioma Kelengkapan Kelengkapan Setiap himpunan bagian dari   yang tidak kosong dan terbatas di atas mempunyai batas atas supremum  terkecil ( supremum   ).bagian dari    yang tidak kosong dan terbatas di bawah mempunyai batas Setiap himpunan infimum  bawah terbesar ( infimum   ). 2.2. 

Bilangan Real yang Diperluas Untuk memperluas sistem bilangan real  , maka ditambahkan elemen ∞ dan – ∞. Himpunan baru ini disebut himpunan bilangan real yang diperluas  * . Relasi < diperluas definisinya pada  *   menjadi – ∞ < x   < < ∞ untuk setiap x  ∈  . Kemudian didefinisikan ∀x  ∈  . x   + + ∞ = ∞, x   – – ∞ = – ∞  x .∞ = ∞  jika x  >  > 0 x ..–  – ∞ = – ∞  jika x  >  > 0 dan ∞ + ∞ = ∞, – ∞ – ∞ = – ∞ 

∞.( ±∞ ) = ±∞, – ∞.( ±∞ ) = ∓ ∞  Sedangkan operasi ∞ – ∞ tidak didefinisikan. Tetapi, 0.∞ = 0. Salah satu kegunaan  *   adalah untuk mendefinisikan sup( S S   )  dan inf( S S   )  untuk semua S   himpunan himpunan bagian dari   yang tidak kosong S .  Jika S  tidak  tidak terbatas di atas, maka sup( S S   )  = ∞   Jika S  tidak  tidak terbatas di bawah, maka inf( S S   )  = – ∞  ∅ )   = – ∞.  Jadi, didefinisikan didefinisikan sup( ∅   2.3. 

Bilangan Asli dan Bilangan Rasional sebagai Subset dari Bilangan Real Kita telah menggunakan simbol 1 bukan hanya untuk menyatakan bilangan asli pertama tetapi juga bilangan real ‘spesial’ seperti yang dituliskan dalam aksioma A7. Pertama, didefinisikan bilangan real 3 sebagai 1 + 1 + 1. Dengan demikian kita dapat mendefinisikan bilangan real yang berkorespondensi berkorespon densi dengan sembarang bilangan asli.

Berdasarkan prinsip rekursif maka terdapat sebuah fungsi ϕ  :    →   yang memetakan bilangan asli ke bilangan real dengan definisi sebagai berikut: 23

 

Bab 2 – Sistem Bilangan Real

Compiled by : Khaeroni, S.Si 

ϕ (1) (1) = 1 ϕ ((  n  n + n  )  + 1  + 1) = ϕ (( n  (Catatan: 1 menyatakan bilangan real pada sisi kanan dan bilangan asli pada sisi kiri) Kita harus menunjukkan bahwa fungsi ϕ   adalah fungsi satu-satu. Untuk menunjukkannya cukup ditunjukkan bahwa fungsi ϕ  monoton.  monoton.

Bukti :  Akan dibuktikan ϕ  monoton  monoton naik.  p  ) ϕ ((   p  ) > ϕ ((   p  ) < ϕ ((   p   + ( k + 1)). Artinya pernyataan benar untuk n  =  Jadi, ϕ ((   = k + 1. Berdasarkan induksi di atas, terbukti ϕ  monoton.  monoton. Dengan kata lain, terbukti ϕ  satu-satu.  satu-satu.

  Selanjutnya, juga dapat dibuktikan (dengan induksi matematika) bahwa ϕ ((   p   + q   ) = ϕ ((   p  ) + ϕ (  ( qq   )  dan ϕ ((   pq   p  ) ϕ (     ) = ϕ ((  ( qq   )  Bukti : Pertama: Misalkan q   = = n  , , ∀n ∈  . Diperoleh ϕ ((   p   + n   ) = ϕ (  ( p  ) + ϕ (  (nn    )  Untuk n  =  = 1 ϕ ( p + 1) = ϕ ( p ) + 1 = ϕ ( p ) + ϕ (1)     Jadi pernyataan benar benar untuk n  =  = 1.  Asumsikan pernyataan pernyataan benar unt untuk uk n   = = k, yaitu ϕ ((   p   + k ) = ϕ (  ( p  ) + ϕ (  (k   )  Akan dibuktikan pernyataan pernyataan benar u untuk ntuk n   = = k + 1, yaitu: ϕ ( p + ( k + 1)) = ϕ (( p + k ) + 1 1))

= ϕ ( p + k ) + 1   = ϕ ( p ) + ϕ ( k ) + 1 = ϕ ( p ) + ϕ ( k + 1)  Jadi pernyataan benar benar n   = = k + 1. Berdasarkan prinsip induksi, terbuk terbukti ti bahwa ϕ ((   p   + q   ) = ϕ (  ( p  ) + ϕ (  (qq    )  Kedua:

Misalkan q   = = n  , , ∀n ∈  . Diperoleh

ϕ ((   pn     ) = ϕ (  ( p  ) ϕ (  (nn    )  24

 

Bab 2 – Sistem Bilangan Real

Compiled by : Khaeroni, S.Si 

Untuk n  =  = 1 ϕ ((   p  1) = ϕ ((   p  ) = ϕ (  ( p  )1 = ϕ (  ( p  )ϕ (1) (1)  Jadi pernyataan benar benar untuk n  =  = 1.  Asumsikan pernyataan pernyataan benar un untuk tuk n   = = k, yaitu: ϕ ((   pk    ) = ϕ (  ( p  )ϕ (  (k   )  Akan dibuktikan pernyaaan berlaku u untuk ntuk n = k + 1, yaitu: ϕ ( p( k + 1)) = ϕ ( pk + p )

= ϕ ( pk ) + ϕ ( p ) = ϕ ( )ϕ ( k ) + ϕ ( p )   = ϕ ( p ) (ϕ ( k ) + 1) = ϕ ( p)ϕ ( k + 1)  Jadi pernyataan benar benar n   = = k + 1. Berdasarkan prinsip induksi, terbuk terbukti ti bahwa ϕ ((   pq     ) = ϕ ((   p  ) ϕ (  ( qq   )    Sehingga ϕ   memberikan memberikan korespondensi satu-satu antara himpunan bilangan asli dengan subset bilangan real. Artinya ada korespondensi satu-satu antara himpunan bilangan asli dengan himpunan bagian dari bilangan real yang mengawetkan operasi penjumlahan, perkalian, dan relasi y − 12  

 Jika kedua ruas ditambah 1, diper diperoleh oleh k + 1 > y + 21 > y   Karena y  supremum,   supremum, maka k + 1 ∉ S . Karena k + 1 bilangan bulat yang bukan elemen S , maka k + 1 > x   cool !!)  Jadi dipilih n   = = k + 1 ∈   . ( cool  !!)

   Akibat :  Terdapat suatu bilangan bilangan rasional diantara diantara dua bilanga bilangan n real sembarang

 < r  <   ( y − x )−1 . Bilangan q   inilah yang diambil sebagai q q q   y   – bilangan bulat yang lebih besar4 dari (  – x   ) –1  Bukti :  Jika x  ≥ 0, maka untuk setiap bilangan real (  y   – – x   ) –1 ada q ∈   sehingga 1 1 q > ( y − x )  −1  atau  y − x > ⇔ < y − x   q q  Misalkan ⎧ ⎫ n  S = ⎨n ∈  + | ≥ y ⎬   q  ⎩ ⎭ S  ≠ ∅ karena paling tidak y  ∈ S . Dari definisi S  tersebut  tersebut S  terbatas  terbatas ke bawah. Karena S  ≠ ∅ dan S    Karena p ∈ S  maka terbatas ke bawah maka S  memiliki  memiliki infimum, misalkan p = inf( S  ).  maka  p  p ≥  y  atau  y ≤   q  q   p

−

< (  y − x ) ⇔ y − x >

Karena p ∈ S  maka  maka p – 1∉ S . Oleh karena itu,  p − 1  p − 1 <  y  atau  y  >   q  q  Sehingga   ≤ p  dan x = y − ( y − x )    > – x  atau n  +  + x  >  > 0. Jadi, menurut pembuktian di atas, ada r  ∈  ∈   dengan n   + + x   < < r   <  ∆   lim x n = −∞, jika ∀∆ > 0, ∃N ∋ ∀n ≥ N , x n  <  −∆

Misalkan S (( l  l,  ε  ) = {x  ∈  : |x  –   –   l l | < ε}, maka l  = N    = lim x n , jika ∀ε  >  > 0, ∃ N , ∋ x n  ∈ S (  ( ll ,  ε  ), ∀n  ≥  N  Pada kasus ini l  adalah   adalah titik limit ( cluster  cluster   point  point   ) dari . Jadi titik l  dikatakan   dikatakan titik limit ( Cluster  Cluster   Point   ) dari barisan jika ∀ε  >   > 0, terdapat sedikitnya satu titik x  N  sehingga |x  N  – l| < ε . Bilamana konsep ini diperluas pada  * ,   l   = ∞ titik limit dari barisan , jika ∀∆ > 0 terdapat paling sedikit satu titik x  N  sehingga x  N  ≥ ∆.  Jika adalah suatu barisan, didefinisikan limit superior sebagai lim x n = lim sup x n = inf su sup x k = inf{sup{x 1 , x 2 , ....}, sup{x 2 , x 3 , ...}  , ...} 6  n 

k ≥ n 

Simbol lim dan lim sup keduanya digunakan untuk limit superior. Bilangan real l   dikatakan limit superior dari barisan jika dan hanya jika : (i)  ∀ε  >  > 0, ∃n  ∋ ∀k ≥ n , x k < l   + + ε   (ii)  ∀ε  >  > 0 dan ∀n , ∃k ≥ n , x k > l   – – ε  (ada  (ada paling sedikit satu titik x k sehingga x k > l   – – ε   Untuk bilangan real yang diperluas ∞ adalah limit superior jika dan hanya jika ∀∆ dan n   terdapat k  ≥  n  sedemikian  sedemikian sehingga x k  ≥  ∆. Bilangan real – ∞ adalah limit superior < x n > jika dan hanya jika – ∞ = lim x n . Limit inferior didefinisikan sebagai lim x n = lliim iin nf x n = sun p ikn≥fn  x k = sup{inf{x 1 , x 2 , ....}, iin nf{x 2 , x 3 , ...}  , ...}   Sifat-sifat: 1)  lim ( −x n ) = −lim x n    2)  lim x n ≤ lim x n   3)  lim x n = l (pada  * ) ⇔ l = lim x n = lim x n     4)  lim x n + lim yn ≤ lim ( x n + y n ) ≤ lim x n + lim yn      

≤ lim ( x n + y n ) ≤ li m x n + l im y n       2.5. 

Himpunan Terbuka dalam Bilangan Real a,  b  x ,  δ  ) = { y   | |x   –  y | < δ } = ( x x   – δ , x   + δ  ) Selang buka ( a   ) = {x   | a   < x   < b }. }. Notasi B( x x ,  δ  ) adalah selang buka. menyatakan bola yang berpusat di x  dan  dan berjari-jari δ . Dalam bilangan real, B( x

5 Limitnya 6 Diantara

ada supremum-supre supremum-supremum mum tersebut, manakah infimumnya? 27

 

Bab 2 – Sistem Bilangan Real

Compiled by : Khaeroni, S.Si 

Definisi : Himpunan O dikatakan terbuka di   jika ∀x ∈ O , ∃δ > 0 ∋ B( x , δ ) ⊂ O  

Dengan kata lain, ∀x  ∈ O selalu terdapat selang buka I  yang  yang memuat x  sehingga  sehingga I  ⊂ O. Selang buka adalah contoh dari himpunan terbuka. Himpunan kosong dan   juga contoh dari himpunan terbuka. Proposisi :  Jika O1 dan O2 terbuka maka O1 ∩ O2 terbuka. Bukti : Diambil sebarang x  ∈ O1 ∩ O2. Akan ditunjukkan ∃δ  >  > 0 sehingga B( x x ,  δ  ) ⊂ O1 ∩ O2. Karena x   ∈  O1  ∩  O2, maka x   ∈  O1 dan x   ∈  O2. Karena O1  dan O2 terbuka maka ∃δ 1, δ 2  > 0 x ,  δ 2 ) ⊂ O2. Artinya x ,  δ 1 ) ⊂ O1 dan B( x sehingga B( x |t   – – x | < δ 1  dan |t   – – x | < δ 2  δ 1  , δ 2 ), diperoleh Dengan mengambil δ  =  = min( δ |t   – – x | < δ  <  < δ 1  dan |t   – – x | < δ  <  < δ 2  x ,  δ 2 ), dengan δ  = x ,  δ  ) berlaku t  ∈ B( x x ,  δ 1 ) dan t  ∈ B( x  = min{δ 1, δ 2}. Dengan kata lain, ∀t  ∈ B( x  Jadi B( x x ,  δ  ) ⊂ O1 dan B( x x ,  δ  ) ⊂ O2. Sehingga B( x x ,  δ  ) ⊂ O1 ∩ O2.

 

 Akibat : Irisan sejumlah berhingga himpunan terbuka adalah terbuka. Bukti : n 

Misal Oi  , i  =  = 1, …, n  himpunan  himpunan terbuka. Akan dibuktikan

∩O

i 

 terbuka. Maka,

i =1

n 

x ∈ ∩ Oi ⇔ .x ∈ Oi  , i = 1,  , n   i =1

⇔ .∃δ i > 0 ∋ B( x , δ i ) ⊂ Oi  , i = 1,  , n     ⇔ .B( x , δ ) ⊂ Oi , δ = min{δ i }, i = 1, 1,  , n    Jadi,

n 

∩O

i 

 terbuka.

i =1

 Another version version (alternate soln) : n 

Diambil sebarang x ∈ ∩ Oi  , maka x  ∈ Oi  dengan Oi  terbuka ∀i . i =1

x ,  δ 1 ) ⊂ O1  Karena x  ∈ O1 dan O1 terbuka, maka terdapat δ 1 > 0 sehingga B( x Karena x  ∈ O2 dan O2 terbuka, maka terdapat δ 2 > 0 sehingga B( x x ,  δ 2 ) ⊂ O2  Demikian seterusnya. x ,  δ  ) Karena x  ∈ On  dan On  terbuka, maka terdapat δ n > 0 sehingga B( x n  ⊂ On   x ,  δ  ) ⊂ B( x x ,  δ  )i  ⊂ Oi , i  = Diambil δ  =  = min{δ 1, δ 2, . . ., δ n }, jelas bahwa δ  >  > 0. Maka B( x  = 1, 2, …, n   n 

yang berakibat bahwa B( x , δ ) ⊂ ∩ Oi  . Jadi terbukti bahwa i =1

n 

∩O

i 

 terbuka

i =1

  Konvers dari proposisi di atas diberikan pada proposisi sebagai berikut 28

 

Bab 2 – Sistem Bilangan Real

Compiled by : Khaeroni, S.Si 

Proposisisi : Setiap himpunan terbuka di   merupakan gabungan terhitung dari selang-selang terbuka yang saling asing. Bukti : Misalkan O sebarang himpunan terbuka di  . Karena O terbuka, maka untuk setiap x  ∈ O terdapat y  >  > x  sedemikian  sedemikian sehingga ( x x ,  y   ) ⊂ O. Misalkan b  =  = sup { y  |  | ( x x ,  y   ) ⊂ O}, dan

⊂ z  |  selang = inf {terbuka  |buka ( zz ,  x   ) } maka a < x   < < b  dan  dan I x  = ( a  a,  b   ) adalaha  = ter yang Omemuat x . Klaim I x   ⊂  O. Diambil sebarang w   ∈  I x , sebut x   < w   < b , berdasarkan definisi b  di   di atas, maka x ,  y  diperoleh bilangan y   > > w  sehingga  sehingga ( x  ) ⊂ O. Jadi w  ∈ O. x ,  b  + Klaim b  ∉ O. Andaikan b  ∈ O, maka ada ε  >  > 0 sehingga ( bb   – – ε , b  +  + ε  ) ⊂ O atau ( x  + ε  ) ⊂ O. Kontradiksi dengan definisi b . Secara sama dapat dibuktikan bahwa a  ∉ O. Himpunan {I x }, x  ∈ O merupakan koleksi selang-selang buka. Karena setiap x  di  di O termuat di I x  dan setiap I x  termuat di O, diperoleh O = ∪ I x  .

Misalkan ( a  a,  b   ) dan ( c  c,  d   ) sebarang dua selang di O  dengan beberapa titik yang sama. Maka haruslah c   < < b  dan  dan a   < < d . Karena c  ∉ O, maka c  ∉ ( a  a,  b   ). Diperoleh c  ≤ a . c,  d  Karena a  ∉ O, maka c  ∉ ( c   ). Diperoleh a  ≤ c .  Jadi a   = = c . Secara sama, diperoleh b   = = d . Akibatnya ( aa ,  b   ) = ( c  c,  d   ). Sehingga setiap dua selang yang berbeda di {I x x}  pasti saling asing. Jadi, O merupakan gabungan selang-selang buka yang saling asing. Terakhir tinggal ditunjukkan O terhitung. Setiap selang buka memuat bilangan rasional 7. Karena O  gabungan selang-selang buka yang saling asing dan setiap interval buka memuat bilangan rasional maka terdapat korespondens korespondensii 1-1 antara O dengan himpunan bilangan rasional atau himpunan bagiannya. Jadi O terhitung.   Proposisi :  Jika C  koleksi  koleksi himpunan terbuka di  , maka ∪ O  himpuan terbuka di  . O∈C 

Bukti : x ∈ ∪ O ⇔ .x ∈ O , untu untukk suat suatu u O ∈C

 

O∈C 

⇔ .∃δ > 0 ∋ B( x , δ ) ⊂ O , untuk suatu O ∈ C     O ⇔ .∃δ > 0 ∋ B( x , δ ) ⊂ O∪ ∈C 

 Jadi,

∪ O  himpunan terbuka di  .

O∈C 

 Another version version (with countable revision) revision) :   Diambil sebarang x ∈ ∪ O , maka terdapat O  ∈  C  sehingga   sehingga x   ∈  O. Karena O terbuka maka O∈C 

terdapat δ   > 0 sehingga B( x x ,  δ  ) ⊂  O  ⊂ 

∪ O . Jadi terbukti bahwa untuk setiap

O∈C 

x ,  δ  ) ⊂  ∪ O  yang berarti terdapat δ  >  > 0 sehingga B( x O∈C 

x ∈ ∪O  O∈C 

∪ O  terbuka.

O∈C 

 

7 Aksioma

Archimedes 29

 

Bab 2 – Sistem Bilangan Real

Compiled by : Khaeroni, S.Si 

Perlu diperhatikan bahwa, jika C   koleksi himpunan terbuka di    maka

∩O

8

  belum tentu

O∈C 

⎛ 1 1⎞ himpunan terbuka di  . Sebagai contoh, On  = ⎜ − , ⎟   selang terbuka, tetapi ⎝ n n ⎠

∞

∩O

n 

= {0} {0}   bukan

n =1

himpunan hingga di  . Proposisi (Lindelöf) : Misalkan C  koleksi   koleksi himpunan terbuka di  , maka terdapat {Oi } subkoleksi terhitung dari C  

sedemikian sehingga

∞

∪ O = ∪O

i 

O∈C

 

i =1

Bukti : Misal U = ∪{O |O ∈ C }  

Diambil sebarang x  ∈ U . Maka terdapat himpunan O ∈ C , dengan x  ∈ O. Karena O  terbuka, maka terdapat selang buka I x   sehingga x   ∈  I x   ⊂  O. Diperoleh9  bahwa J x  ⊂  I x . Karena koleksi terdapat selang buka J x dengan titik akhir bilangan rasional sehingga x   ∈  J  semua selang buka dengan titik akhir bilangan rasional adalah terhitung, maka himpunan { J x }, x   ∈ U  terhitung  terhitung dan U = ∪ J x  . x ∈U 

Untuk setiap selang di { J x } pilih himpunan O di C  yang  yang memuat  J x . Diperoleh subset terhitung ∞

  ∞

{Oi }  i =1  dari C , dan U = ∪ O = ∪ Oi    O∈C

i =1

 

2.6. 

Himpunan Tertutup Penutup himpunan E dinotasikan  E   Definisi : x ∈ E ⇔ ∀δ > 0, ∃y ∈ E ∋| x − y | 0, ∃ y ∈ E = ( 0, 1] ∋ | x − y |< δ   

Perhatikan bahwa  y n  =

1 →0  n 

∀δ  >  N , ∋ | y n  – 0| < δ , ∀n  ≥ n 0   > 0, ∃n 0 ∈ N  atau, ∀δ  >  > 0, | y n  – 0| < δ   1 1 Pilih  y n 0 = ∈ (0,1] . Karena → 0 , maka ∀δ  >  > 0, | y n  – 0| < δ . Sehingga x  =  = 0 ∈  E . n 0

n 

 Jadi,  E = [0,1] . 8

 Irisan proposisi tak berhingga terbuka 9 Lihat : Jikahimpunan-himpunan x  dan  dan y  bilangan  bilangan real dan x   < 0, y  ∈ ( x x   – – δ , x + δ  ). Jadi, setiap selang terbuka terbuka yang memuat x, juga memuat suatu titik (yaitu  y   ) di E. 10 |x  –  – y |

30

 

Bab 2 – Sistem Bilangan Real

Compiled by : Khaeroni, S.Si 

Proposisi : 1.  Jika  Jika  A ⊂ B  maka  A ⊂ B  

2.  A ∪ B = A ∪ B   Bukti : 1.  Diambil sebarang δ > 0 dan x ∈ A . A ∋ | y   – Karena x ∈ A , maka ∃ y  ∈  A – x | < δ . Karena A ⊂ B, maka y  ∈ B ∋ | y   – – x | < δ . Menurut definisi, x ∈ B . Jadi terbukti  A ⊂ B . 2.  Karena A ⊂  A A ∪ B, berdasar 1) di atas maka  A ⊂ A ∪ B . A ∪ B maka B ⊂ A ∪ B . Jadi,  A ∪ B ⊂ A ∪ B . Hal yang sama, karena B ⊂  A Kemudian, akan dibuktikan bahwa  A ∪ B ⊂ A ∪ B . Disini dibuktikan kontraposisinya, yaitu jika x ∉ A ∪ B  maka x ∉ A ∪ B . Karena x ∉ A ∪ B , maka x ∉ A  dan x ∉ B . x ∉ A ⇒ ∃δ 1 > 0 ∋ tidak ada y ∈ A dengan | x − y |< δ  1   x ∉ B ⇒ ∃δ 2 > 0 ∋ tidak ada y ∈ B dengan | x − y |< δ  2

Diambil δ  =  = min{δ 1, δ 2}, maka tidak ada y  ∈  A A ∪ B dengan | y   – – x | < δ .  Jadi, x ∉ A ∪ B . Ini berarti, jika x ∉ A ∪ B  maka x ∉ A ∪ B . Bukti lain : Diambil sebarang δ  >  > 0 dan x ∈ A ∪ B . x ∈ A ∪ B ⇒ ∀δ > 0, ∃y ∈ A ∪ B ∋| y − x | 0, ∃y ∈ ∅, ∋| y − x |< δ  

⇔ .∀δ > 0, ∃ y ∈ ∅, ∋ y ∈ B( x , δ )   ⇔ .x ∈ ∅  Jadi, ∅ ⊂ ∅ . Oleh karena itu terbukti bahwa ∅ ⊂ ∅ .  

Proposisi : Penutup himpunan E adalah tertutup. 31

 

Bab 2 – Sistem Bilangan Real

Compiled by : Khaeroni, S.Si 

Bukti :  Akan dibuktikan  E = E . Dari definisi,  E ⊂ E . Jadi, tinggal dibuktikan  E ⊂ E . Misalkan x ∈ E .     δ    x ∈ E ⇔ ∀δ  > 0, ∃y ∈ E , ∋| y − x |<

2 Karena  y ∈ E  maka untuk δ  di  di atas, terdapat z  ∈  E E s  seehingga |z − y |  > 0 sehingga B( x c  Karena x  ∈ O, maka x  ∉ O .  x ,  δ  ). Karena B( x x ,  δ  ) ⊂ O maka y  ∈ O. Misalkan y  ∈ B( x 32

 

Bab 2 – Sistem Bilangan Real

Compiled by : Khaeroni, S.Si 

– x | < δ . Sehingga, jika | y   – – x | < δ  maka   maka  y   ∈  O. Artinya, tidak ada  y   ∈  Oc  sehingga | y   – Sesuai definisi penutup, x ∉ O c    2.  Misalkan F  himpunan  himpunan tertutup. Akan dibuktikan bahwa F c  terbuka. Diambil sebarang x   ∈  F c , akan dibuktikan bahwa terdapat δ  >   > 0 sehingga B( x x ,  δ  ) ⊂  F c . x ,  δ  ) ⊂  F c . Akan dibuktikan  Jika δ  >   > 0 diambil sembarang, maka cukup dibuktikan B( x kontraposisinya. Karena x   ∈  F c   maka x   ∉  F . Karena F   tertutup, maka x ∉ F = F  . Artinya, tidak ada  y ∈ F  sehingga untuk setiap δ  >  > 0 yang diberikan berlaku | y   – – x | < δ . Sehingga, untuk x ,  δ  ). Jadi, untuk setiap x ,  δ  ). setiap y  ∉ F c  maka y ∉ B( x setiap y  ∈ F  berlaku  berlaku y ∉ B( x   Koleksi himpunan C  disebut  disebut selimut ( covers  covers   ) dari himpunan himpunan F  jika  jika F ⊂ ∪{O : O ∈ C }  covering  dalam hal ini koleksi himpunan C   disebut menyelimuti ( covering   ) F . Jika setiap O  ∈  C   terbuka, maka open covering  koleksi C   disebut selimut terbuka ( open  ) dari F . Jika C   hanya memuat sejumlah berhingga  finite covering  himpunan-himpunan, himpunan-him punan, maka koleksi C  disebut  disebut selimut hingga (   ). Dalam hal ‘selimut terbuka’, kata sifat ‘terbuka’ tersebut menunjukkan sifat himpunan-himpunan dalam selimut dan tidak bermakna ‘diselimuti oleh himpunan terbuka’. Demikian juga dengan istilah ‘selimut hingga’ tidak menunjukkan bahwa selimutnya merupakan himpunan berhingga.  Teorema (Heine-Borel) (Heine-Borel) : Misalkan F  tertutup   tertutup dan terbatas pada  . Maka setiap selimut terbuka dari F  mempunyai   mempunyai selimut bagian yang berhingga. Dengan kata lain, jika C   adalah koleksi himpunan terbuka sehingga F ⊂ ∪{O : O ∈ C }  n 

 sehingga F ⊂ ∪ Oi  . maka ada koleksi berhingga { O1, O2, . . ., On } pada C  sehingga i =1

Bukti : (see ‘Real Analysis’, 3rd ed., H.L. Royden, page 45) 2.7. 

Fungsi Kontinu Misalkan f fungsi bernilai real dengan domain E merupakan himpunan bilangan real. Berikut ini definisi-definisi definisi-defin isi kontinu di titik, kontinu pada E, dan kontinu seragam pada E11. Definisi :

∀ ∃ ∈ ∀  f  dikatakan c ontinuous E jika ε  >  > 0 sehingga  y    > 0, δ  > Fungsi  dikatakan di titik  ) x     E ∈  E E, dengan | y   – – x kontinu | < δ  maka  maka | f (( x x   (  )continuous – f ((   y    )|  > 0, ∃δ  >  > 0 sehingga E, dengan | y   – x   y  ∀x , y  ∈  E – x | < δ  maka  maka | f ((  x  )  – f ((    )| < ε . Untuk selanjutnya, jika disebutkan  f   kontinu, maka yang dimaksud adalah  f   kontinu pada domainnya. Proposisi : Misalkan  f   fungsi bernilai real yang kontinu dan didefinisikan pada F . Jika F   kontinu dan terbatas, maka f  terbatas  terbatas pada F  dan  dan mempunyai titik maksimum dan minimum pada F .  Artinya ada titik x 1 dan x 2 di dalam F  sehingga  sehingga f (( x x    1  ) ≤  f f (  ( x x   )  ≤  f f (  (x x    2  ), ∀x  ∈ F . Bukti : 11 Pembedaan

x , y , atau δ  ) ini hanya terlihat dari bagaimana ketergantungan pemilihan δ  terhadap  terhadap yang lain ( x  33

 

Bab 2 – Sistem Bilangan Real

Compiled by : Khaeroni, S.Si 

(see ‘Real Analysis’, 3rd ed., H.L. Royden, page 47) Proposisi : Misalkan  f   fungsi bernilai real yang didefinisikan pada  . Fungsi  f   kontinu pada  jika dan hanya jika f  –1( O ) terbuka untuk setiap O himpunan terbuka di  . Bukti : (see ‘Real Analysis’, 3rd ed., H.L. Royden, page 47–48)  Teorema (Teorema Nilai Antara) : Misalkan f  fungsi   fungsi bernilai real dan kontinu pada [ aa ,  b   ]. Jika  f (  (aa    )  ≤  f f (  ( y    ) ≤  f f (  ( bb   )  atau  f (  (bb    )  ≤  f f (  ( y    ) ≤  f f (  (aa    )  a,  b  c  )  = y . maka ada c  ∈ [ a   ] sedemikian sehingga sehingga f (( c  Proposisi :  Jika  f   fungsi fungsi bernilai real dan kontinu pada himpunan tertutup dan terbatas F  maka   maka  f   kontinu seragam pada F . Bukti : (see ‘Real Analysis’, 3rd ed., H.L. Royden, page 48) Definisi : Misalkan barisan fungsi pada  E. Barisan dikatakan konvergen titik demi titik ( converge  converge    pointwise   ) pada  E ke fungsi  f , jika ∀x   ∈  E E dan ε  >   > 0, ∃ N 12 sehingga | f (  (x x    )  –  f n ( x x   )|   < ε, ∀n   ≥  N  N . Barisan dikatakan konvergen seragam ( converge  converge   uniformly   ) pada  E ke fungsi  f , jika ∀ε   > 0, 13  x x    < ε , ∀n  ≥ N  E, | f (( x x   )|   )  – f n n(   N . ∃ N   sehingga ∀x  ∈  E

2.8. 

Himpunan Borel  Walaupun irisan dari sebarang koleksi himpunan tertutup adalah tertutup dan gabungan dari koleksi berhingga dari himpunan tertutup juga tertutup, tetapi gabungan dari koleksi terhitung himpunan-himpunan himpunan-him punan tertutup tidak harus tertutup. Sebagai contoh, himpunan bilangan rasional adalah gabungan dari koleksi terhitung himpunanhimpunan tertutup yang setiap himpunannya memuat tepat satu anggota. Definisi : Koleksi himpunan Borel B adalah aljabar-σ terkecil yang memuat semua himpunan-himpunan terbuka.

Eksistensi aljabar-σ ini dijamin oleh proposisi14  3 di Bab I. Lebih lanjut, aljabar-σ terkecil ini juga memuat semua himpunan-himpunan tertutup dan memuat pula semua selang-selang buka. Himpunan yang merupakan gabungan terhitung dari himpunan-himpunan tertutup disebut F σ  atau dikatakan memiliki tipe F σ  ( F  F untuk  untuk tertutup, σ untuk jumlah). Sehingga, himpunan D  dikatakan   dikatakan ∞

memiliki tipe F σ jika dapat ditulis D = ∪ F n   untuk setiap himpunan tertutup F n  di R . n =1

 Jika F  himpunan  himpunan tertutup, maka F  memiliki  memiliki tipe F σ sebab F  dapat  dapat ditulis menjadi ∞

F = ∪ F n    n =1

 ) dengan F 1  = F ; F 2  = F 3  = F 4  = . . . = ∅ yang merupakan himpunan tutup. Juga, selang buka ( aa ,  b  memiliki tipe F σ, sebab

12 Pemilihannya

bergantung pada x   tidak bergantung pada x   14 Proposisi : Misalkan C koleksi himpunan bagian dari  X , maka terdapat aljabar- σ terkecil R  yang  yang memuat C. 

13 Pemilihannya

34

 

Bab 2 – Sistem Bilangan Real

Compiled by : Khaeroni, S.Si  ∞

1⎤ ⎡ 1 ( a , b ) = ∪ ⎢ a + , b −  ⎥   n n ⎦ n =1 ⎣ Dari sini diperoleh bahwa setiap himpunan terbuka memiliki tipe F σ. Sebab, jika O buka maka : ∞ 1⎤ ⎡ 1 O = ∪ ⎢a + , b − ⎥   n n ⎦ n =1 ⎣ Dengan a = batas bawah O, dan b = batas atas O. Irisan terhitung dari semua himpunan terbuka dikatakan memiliki tipe Gδ. Jadi, suatu himpunan δ

dikatakan terbuka. memiliki tipe G  jika himpunan tersebut merupakan irisan terhitung dari semua himpunan  Jadi, komplemen dari himpunan yang memiliki tipe F σ adalah himpunan yang memiliki tipe Gδ  dan demikian juga sebaliknya. Sebab, c

∞

c 

∞ ⎛ ⎞ ⎛∞ ⎞ c  Fσ = ∪ Fn ⇒ ⎜ Fσ = ∪ Fn ⎟ ⇔ ( Fσ  ) . = ⎜ ∪ Fn  ⎟   n =1 n =1 ⎝ ⎠ ⎝ n =1 ⎠   ∞

. = ∩ F n c  n =1

Karena F n   tertutup untuk setiap F n   di    maka menurut proposisi, F n c   terbuka. Terlihat ( F  Fσ  )c   merupakan irisan terhitung dari himpunan-himpunan terbuka. Jadi terbukti bahwa ( F  Fσ  )c  memiliki tipe Gδ. Bukti sebaliknya analog. Himpunan yang memiliki tipe F σ dan Gδ adalah contoh himpunan Borel, yaitu aljabar-σ terkecil yang memuat semua himpunan terbuka dan tertutup.

35