Bab I Vektor

 

BAB I PENDAHULUAN

Di samping besaran-besaran pokok seperti massa, waktu, suhu, panjang, intensitas cahaya, kuatarus, dan jumlah zat, masih ada satu hal lagi dalam ilmu matematika yang perlu diketahui yaitu: sifat yang menyangkut arah. Hukum  Newton yang membahas tentang gerak, biasanya kita pelajari ada 3, dimana ketiga hokum tersebut sering menjadi acuan kita untuk meninjau suatu gerak. Oleh karena itu besaran-besaran tersebut masih dapat dibagi dalam dua golongan yaitu: besaran

Skalar 

dan besaran

Vektor .

Besaran

Skalar :

adalah

 besaran yang hanya ditentukan oleh besarnya atau nilainya saja. Contoh: panjang, massa, waktu, kelajuan, dan sebagainya. Besaran

Vektor :

adalah Besaran yang

selain ditentukan oleh besarnya atau nilainya, juga ditentukan oleh arahnya. Contoh: kecepatan, percepatan, gaya dan sebagainya. Dua buah vector dikatakan sama apabila keduanya memiliki panjang dan arah yang sama. Dua Buah Vektor  disebut sejajar (paralel) apabila garis yang merepresentasikan kedua buah vector  sejajar.

1

 

BAB II PEMBAHASAN VEKTOR 

A.  PENGERTIAN VEKTOR DAN PENYAJIAN VEKTOR 

1.  Vektor adalah segmen garis berarah yang berarah mempunyai besaran. Vector adalah besaran yang mempunyai arah. Misalnya: kecepatan, momen, gaya, percepatan, gerak dan lain l ain sebagainya. 2.  Skalar adalah suatu besaran yang tidak mempunyai arah. Misalnya:  panjang, luas, gerak, suhu, energi, volume, kalori, bilangan-bilangan real dan sebagainya. a)  PenyajianVektor  1)  Penyajian secara geometris Secara geometris, suatu vector yang dapat digambarkan sebagai sebuah garis berarah pada salah satu ujungnya. Panjang garis itu menyatakan besar. 1.1) 

Ruas garis berarah AO me mewakili wakili vector vector OA A

dimana O disebut titik pangkal (intial point) dan A sebagai titik terminal. Vector AO

O

diwakili oleh vector ā. Sehingga dinyatakan dengan OA = ā. 

2

 

1.2) 

B

PenulisanVektor,

jika

suatu

ruas

garis

menghubungkan titik A dan B dari A ke B.

u

Maka vector itu ditandai dengan AB. Titik A A dan B (huruf tebal) atau dengan AB atau AB (atau AB dan AB) dan dibawahnya a seperti u atau u. jadi vector AB= u. vector nol. Symbol vector nol adalah O. dan vector nol adalah vector yang mempunyai panjang nol dan arahnya tidak tentu. 1.3) 

Vektor satuan simbolnya ialah ē yaitu vektor 

yang panjangnya satuan panjang dan arahnya

a

sesuai dengan vector yang dibicarakan jadi

| |

=

I. vector satuan yang arahnya sama dengan ā

e

adalah ē =

||. Dengan kata lain, vector satuan ||.

dari vector ā ialah ē =

1.4) 

P Setiap ruas garis yang menghubungkan dua titik  P

dari titik O ketitik ujung P (maka lambing vektornya sesuai dengan noma titik ujungnya yang ditulis dengan huruf kecil misalnya OP = p.

O

 jadi vector posisi titik p ialah p. Vector posisi titik A ialah ā dan set erusnya.

3

 

Arahnya

1.5) 

pergeseran

suatu

vector 

dinotasikan dengan pasangan bilangan yaitu

()

A

sebagai contoh pergeseran titik p ke o.

yaitu 5 satuan ke kanan dan 3 satuan keatas. Yang dinotasikan dengan dimana a = 5

()

O

dan b = 3. Disebut elemen/anggota vector  PQ.  b)  Penyajian secara analisis Secara penyajian analisis sebuah vector disajikan oleh n-tupel terurut  bilangan real, yaitu U =

  

dan n adalah bilangan

asli. Bilangan real a, untuk I < I < n disebut komponen ke- I dari vector  U .Untuk n = 2, dikatakan bahwa vector berada diruang dimensi 2 dan untuk n = 3 vektor berada diruang dimensi 3. Jadi untuk n = 2, U =

 

dan n = 3, U =

  

.

B.  VEKTOR DIBIDANG RUANG R  DAN R    2

3

1.  Vector dibidang R 2dan vector basis dalam bidang Untuk menyatakan suatu vector dibidang sebagai pasangan terurut dibidang bilangan bilangan real, diperlukan pemaha pemahaman man konsep vector-vektor vector-vektor basis dalam bidang misalkan Î dan Î adalah vector-vektor dengan panjang satusatuan, vector Î berimpit dengan sumbu x positif dan vector Î berimpit dengan sumbu y positif. Jelas bahwa vector Î dan Î tidak terletak pada sebuah garis yang sama. Sehingga diketahui itu dikatakan tak-kalinier. Sekarang misalkan diketahui titik p dibidang atau di R-2 dengan kordinat (3,3) titik (3,3) disajikan dala dalam m system kordinat cartesius cartesius sebagaima sebagaimana na diperlihatkan pada gambar. Dengan demikian, ruas-ruas garis berarah OA dan OB dapat dinyatakan sebagai berikut: OA = 3ί dan OB = 2ί 

4

 

Dengan menggunakan aturan penjumlahan vector-vektor yang dinyatakan dalam bentuk garis berarah. Makadi peroleh hubungan: OP = OA + AP OP = OA + AB sebab AP = OB OP = 3ί + 2ί  Perhatikan bahwa terdapat korespondensi atu rankesepadanan antara koorinat titik p (3,3) vector OP = 3ί + 3ί.   y y

p (x,y)

B

p(3,3) 3ί 

yί

 jί 

3ί 

ί 

0 0

ί

A

(a)

r  

xί  ί

(b)

x

x

Maka: OP = OA + AP OP = OA + OB sebab AP = AB

   ||||| √  √ 

OP =

 

== == ==

 

 

 

Ada beberapa istilah yang perlu dipahami diantaranya adalah sebagai

 berikut: a.  Bilangan-bilangan x dan y disebut sebagai komponen-komponen vector r. dan bilangan bilangan-bilangan -bilangan itu berpa berpadanan danan dengan dengan koordinat titik  (x,y)  b.  Vektor-vektor ί dan ί disebut sebagai vector basis dibidang atau di R-2 dalam sumbu x positif dansumbu y positif. 5

 

c.  Untuk mengingat cara  penulisan vector r = xί + y  ί dapat dinyatakan dalam berikut: 1)  Vector baris sebagai r = (x, y) atau 2)  Vektor kolom sebagai r =

(*)+   *+ *+ *+

Maka AO mewakili vector ā

maka AB = b-ā =

.

=

-

dan OB mewakili vector b =

=

*+

dengan titik pangkal di A

(xa,ya) dan titik ujung B (x b,y b). Rumus: AB =

*+

  3

2.  Vektor dalam dimensi tiga (R  ) a)  Koordinat ruang dimensi tiga Koordinat ruang dimensi tiga terdiri dari sumbu-sumbu OX, OY, dan OZ yang satu dengan sama lain saling tegak lurus. Sebuah titik dalam ruang dimensi tiga disajikan dalam pasangan berurutan (x,y,z) misalkan koordinat cartesius p (2,2,3) (2,2,3) vector posisi titik p ada adalah lah A AP P = P.  p (x,y,z) 

zx 2

3

r  yx 

y k  0

2

xr 

  Vector satuanpadasumbu x:ί =



  Vector satuanpadasumbu y:ί =



6

   

  dan

 

 

  Vector satuan pada 2: k =



 

 

Secara analisis vector OP = P dapat disajikan sebagai sebagai OP OP=P =P

      +2

+3

 

 

=2

P = 2ί + 2 j + 3k 

Secara umum jika koordinat titik p (a1, a2, a3) maka:

  ||| ||     

-  Vector posisi p adalah OP = P = P = a1ί + a2ί + a3k. -  Besaran vector OP adalah C.  OPERASI ALJABAR VEKTOR 

atau

=

=

1.  Penjumlahan dan pengurangan vector  Diketahui vector ā =

*+

= a1ί +a2 j dan vector b =

[]

 

= b1ί +b2 j.

a)  Penjumlahan vector  ā dan b lakukan dengan menjumlahkan elemenelemen yang sejenis Vector perpindahan AB ini merupakan penjumlahan dari vector-vektor   perpindahan OA dengan vector perpindahan AB, jadi AB=OA + AB atau c = ā +b. misalkan ini divisualisasikan pada gambar berikut: B

a)

B  b O ā

b

ā+b

c=

A 

o ā

A

Secara geometris atau diagram vector resukan c = ā + b dapat   ditentukan melalui dua cara yaitu menggunakan. a.  Aturan segitiga  b.  Aturan jajar genjang 7

 

 b)  Sifat-sifat penjumlahan dua vector  Definisi vector nol adalah suatu vector yang besarnya atau panjangnya sama dengan nol dan arahnya sebarang. Vector nol dituliskan dengan notasi O. Sifat-sifat penjumlahan vector. a.  Sifat komulatif = ā + b = b + ā    b.  Sifat asosiatif = (ā+b) + c = ā + (b+c) 2.  Dalam operasi penjumlahan vector dapat sebuah unsure identitas atau unsure satuan (o + ā = ā + o = ā)  3.  Dalam operasi penjumlahan vector setiap vector mempunyai lawan bagi vector itu. ā adalah lawan bagi b. (dan sebaliknya) maka sifatnya adalah: ā + b = o. c)  Pengurangan vector  ā dan b. dilakukan dengan mengurangi elemenelemen yang sejenis. Misalkan: diketahui ā dan b. Pengurangan atau selisih vector ā dengan

lawan dari vector b. ditulis.

a-b = a + (-b)

*+ [] [  ]  

a-b =

-

   

a-b = =

 

ί + (a1-b2)ί 

* +

D.  PERBANDINGAN

Andaikan titik membagi vektor AB dengan perbandingan AP: PB = M: n seperti gambar dibawah ini. Kegunaan vector positif adalah untuk menentukan letak suatu titik pada suatu vector. Oleh karena itu untuk menentukan letak  titik (koordinat) p, kita menentukan vector posisititik p yaitu p.

8

 

ya

m

 p ā

AP: PB = m:n  N AP = m PB

n

p

b

 N (p-ā) = m ( b –  p )

 b

o

x

 N p- nā = mb- mp

(m+n) p = nā + mb  

P=

   

Jadi, jika AP: PB m: n maka vector-vektor posisi titik P adalah P = a.  Rumus Perbandinga Perbandingann

   

Maka rumusnya adalah: A (X1,Y1,Z1) dan B (X2,Y2,Z2) maka: M

        *    + +n

 

Koordinat titik P adalah

 

1.  Vector posisi titik A dan B masing-masing dinyatakan dengan a dan b. nyata vector posisi titik p. dengan a dan b. Jika: a.  Titik p membagi AB didalam dengan perbandingan 3:2  b.  Titik p membagi AB diluar dengan perbandingan 3:2 Jawab: Misalkan vector posisi titik p adalah p. a.  Perhatikan seketsa dibawah ini

A P=

P

          

D

 b.  Perhatikan seketsa dibawah ini A

P B

9

 

P=

   

E.  PERKALIAN SEKALAR DUA VEKTOR (OPERASI DOT)

Hasil kali sekalar dua vector a dan b yang ditulis a

a:b didefinisikan sebagai

| |  |

cos Q, dimana Q cos

adalah sudut antara vector a dan b. o O

a-b =

b

| |  |

 cos ө 

Salah satu penggunakan perkalian scalar dari dua

f 

vector dalam pelajaran pelajaran fisika adalah menentukan  besar usaha U, yang dilakukan oleh gaya f. terhadap suatu benda yang berpindah sejauh s.

Q

Rumus:

U = f.s

s Tentukan hasil kali scalar  Jika

| | | | = 5,

= 6 dan

a.b = 5x6 cos 60 = 30 x 0,5 = 15. a)  Sifat-sifat hasil scalar dua vector  1.  Dua vector yang sejajar 

o

a.b = = c

a

 

cos o   ..11

| | | | |  | | |

b

=

 

 

 b)  Dua vector yang yang saling tegak lurus 2.  Jika a dan b merupakan dua vector yang saling tegak lurus maka:

10

 

 b

| | | | | | |  | | | |  |

a.b = = =

O

 

cos 900 

 

..11

 

 

a

c)  Dua vector yang berlawanan arah. Jika a dan b merupakan dua vector yang arahnya berlawanan maka: a.b = =  b

o

| | |  | | | | | || ||

=

a

cos 1800

 

 

.(-1) .(-1)

 

 

d)  Tanda hasil kali sekalar dan vector  Tanda dari hasil kali scalar dua vector ditentukan oleh besar sudut yang dibentuk oleh dua vector-vektor tersebut. Besar sudut (Q)

Tanda

O < Q 90

Po Posi siti tif  f 

Q = 90

d

No Noll

90 < Q < 18 1800

Ne Neggatif  atif  k

e)  Sifat komutatif a.b = b.a a.b =

| | | | |  | | | | | | | | | |  |  

oleh karena

 cos ө dan b.a =  

=

 

 

 cos ө 

, maka a.b = b.a

f)  Sifat distributive a. (b+c), = a.b+a.c

 b)  Perkalian scalar dua vector dalam bentuk komponen

11

j

 

Misalkan vector a dan b dinyatakan dengan bentuk sempel sebagai  berikut: a = a1i + a2i + a3k dan b = b1i + b2i + b3k. Maka: a.b (a1i + a2i + a3k) . (b1i + b2i + b3k) Dengan menggunakan sifat distributive dan hasil kali sekalar 2 vektor   basis yang saling tegak lurus da dann searah yaitu: yaitu: i.i = I.j.j = I.k.k= I, i.j = o, i.k = o, j.k = o Maka, perkalian sekalar diatas dapat disajikan pada table berikut ini: a.b

b1 i

b2 j

b3k 

a1 j

a1 b1 

0

0

a2 j a3k 

0 0

a2 b2 0

0 a3 b3 

Dengan demikian, kita peroleh rumus hasil kali sekalar dua vector  adalah (a.b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3). Soal: Diberikan vector-vektor sebagai berikut: ā=

    b=

 

a.  Tentukan ā.b 

 b.  Tentukan ā. ā  Jawab: a.  ā.b =

   .

ā.b

= (1.5) + (2.4) + (4.0) = 5 +8+4 = 13 

12

 

c)  ā. ā =

   || .

= 1 +4+ 16 = 21

Sedangkan

2

Jadi, ā. ā =

2.

= I2 +22 +42 = 21

F.  SUDUT ANTARA DUA VEKTOR 

Salah satu penerapan dari hasil kali sekalar dua vector adalah untuk  menentukan besar sudut antara antara ddua ua ve vector ctor (baik vector-vektor dibidang maupun vector-vektor diruang) penerpaan ini dapat ditentukan denan mengacu definisi hasil kali scalar dan vector. Rumus mencari hasil kali scalar dua vector: ā.b = x1.x2 + y1.y2 +z1.z2.

     ||||=      =

Maka menghasilkan: menghasilkan: ā.b =

|| ||  

cos ө =

cos ө 

|||| 

a.  Sudut antara dua vector dibidang Misalkan vector  ā =

*+

dan vector b =

*+

adalah vector-vektor 

dibidang yang dinyatakan dalam bentuk vector kolom. -  Hasil kali vector ā dengan b: ā.b = x1.x2 + y1.y2 

-  Panjang vector ā: 

||     ||     =

 

-  Panjang vector b: =

 

13

 

Subsitusikan ā.b,

| | || , dan

  diatas kepersamaan cos ө =

                 b =*+  *+ dan vector

|| maka

diperoleh cos ө =

Maka ā =

 b.  Rumus sudut antara dua vector diruang Misalkan vector ā =

 

dan vector b =

 

 

Jika ө menyatakan besar sudut antara vector ā dengan vector b, maka

kosinus sudut ө ditentukan dengan rumus.

           vector  Hasil kali         Panjang vector || = || =    + 

Cos ө =

- 

ā dengan kolom 

ā.b =

||  ||      Panjang vector  =

=

+  

Contoh soal:

  || ||

dan vector b =

Diketahui vector ā =

a.  Hitunglah ā.b.

dan

 

 

 

 b.  Tentukan besar sudut antara vector ā dengan vector b.  Jawab:

         ||        √  ||        √ 

a.  ā.b = -  - 

 

= 2x (-1) + 1x3 + (-3) x (-2) =7 =

=

=

14

 

 

 

 b.  Dengan menggunakan menggunakan rumus kosinus sudut antara dua vector  Cos  =

|||| = √ √   √  = √  =  

ө = 600 

Jadi, besar sudut vantara vector ā dan vector b

sama dengan 600 

G.  PROYEKSI VEKTOR PADA VEKTOR LAIN (ARTHOGONAL)

a.  Proyeksi scalar orthogonal Perhatikan gambar berikut ini: A

Vector OA = a dan OB = b serta sudut antara vector a dan b adalah ө. 

a

Jika garis OA diperoyeksika diperoyeksikann kkegaris egaris OB dan

ө 

o

c

c

misalkan hasil proyeksi diwakili oleh OC, maka

B

 pada OCA siku-siku c.  b Panjang ruas garis OC adalah

|| ||  || | ||| || |||  || =

||| ||  | =

cos ө  cos

 cos ө …………. ..1

=

………………. 2 ……………….

Maka dari dari (1) dan (2) diperoleh =

 

 

 = a.    |Dimana || ||| | adalah|| vector satuan di b. jadi panjang proyeksi a ke b adalah: || = ||  =

Jika lambing vector proyeksi dari suatu vector ke vector lainnya adalah c maka: 1.  Panjang proyeksi vector ā ke b adalah

2.  Panjang proyeksi vector b ke ā adalah

15

| | | |

|| dan  = ||   =

 

 b.  Vector proyeksi Perhatikan kembali gambar diatas tadi, vector proyeksi ā terhadap b adalah OC = c=e. vector proyeksi pro yeksi OC berimpit dengan vector b. sehingga: OC = C=

x vector satuan b.   =   b. b.

*||||+*|||+ *||+ *||+ *||+ ||

Jadi vector proyeksi ā dan b dinyatakan dengna rumus:

C=

 b atau  b

   

Soal: 1.  Diketahui vector  ā =

*+

dan vector b =

*+

adalah vector-vektor 

dibidang yang disajikan dalam bentuk vector kolom. a.  Tentukan proyeksi sekalar orthogonal dari vector ā pada arah sekalar b dan proyeksi se sekalar kalar orthogona orthogonall dari vector b pada ara arahh vector ā.

 b.  Tentukan proyeksi vector orthogonal dari vector ā pada arah vector   b dan proyeksi proyeksi scalar orthogo orthogonal nal dari vector b pada arah ā. Jawab: Proyeksi scalar orthogonal vector ā pada arah b. ditentukan oleh:  

| |

=

|| =    =    = 2

Jadi proyeksi scalar orthogonal vector ā pada arah b adalah

| |

=2

Proyeksi scalar orthogonal vector b pada arah vector ā adalah

ditentukan:

|| ||     || √  =

=

=

√  = 2 √  

Jadi proyeksi scalar orthogonal vector vector b pada arah vector ā adalah ≠

=2

 

16

 

2.  Proyeksi vector orthogonal vector ā pada arah vector b ditentukan oleh:

 b =       =      | | +     *+  *+ * C =  *+ 

C=

Jadi proyeksi vector orthogonal vector ā pada arah vector b adalah

Proyeksi vector orthogonal vector b pada arah vector ā. Ditentukan oleh:

  || *||+ [  ] * + *       + *+  =

 ā =

=

=

 

Jadi proyeksi vector orthogonal vector b pada arah vector ā adalah d =

 

H.  VALIDITAS PEMBUKTIAN

Pembuktian-pembuktian yang telah kita bicarakan diatas merupakan  pembuktian yang berlangsung dalam suatu argument yang valid. Premis dalam suatu argument yang valid. Paling sedikit ada satu premis atau vector  dalam menentukan sekalar dan vector berdasarkan arah. Maka vector  mengatakan suatu luas yang searah ata u berarah. Maka setiap barisan scalar seperti temperature, tekanan, masa dan sebagainya selalu diartikan dengan vector. Disamping disebutkan lanjuanya disebutkan juga arahnya dan mempunyai arah.

17

 

BAB III KESIMPULAN

Dari pembahasan makalah diatas, maka dapat penulis simpulkan bahwa mata kuliah vector matematika, mempelajari beberapa hal yang berkaitan dengan vector seperti kecepatan, muatan, gaya percepatan beratr, dan vector dapat dinyatakan dalam bentuk ruas garis berarah akan dijelaskan yang melalui ilustrasi. Dan yang menghubungkan penulisan vector, vector nol, dan secara analisis yang melalui nilai bilangan riel.

18