BAB I Integral

BAB I INTEGRAL TENTU

Tujuan Pembelajaran Umum: 1. Mahasiswa mampu memahami konsep dasar integral. 2. Mahasiswa mampu menggunakan konsep dasar integral untuk menyelesaikan masalah teknik sipil.

Tujuan Pembelajaran Khusus: 1. Mahasiswa mampu menghitung integral tentu dari fungsi-fungsi dasar dengan menggunakan sifat-sifat integral tentu. 2. Mahasiswa mampu menghitung integral fungsi trigonometri, fungsi pecahan rasional, dan pengintegralan parsial. 3. Mahasiswa mampu menyelesaikan masalah pada penerapan integral untuk luas daerah, volume benda putar, dan penentuan pusat massa.

1.1 Pendahuluan Pembahasan integral pada bab ini mencakup sifat-sifat integral tentu, teknik pengintegralan, dan penerapan integral dalam beberapa masalah teknik mesin. Pembahasan dilakukan hanya pada penghitungan praktis bidang teknik. Misalnya, pada subbab tentang sifat-sifat integral tentu tidak dijelaskan dengan terinci persyaratan secara matematis dari sebuah sifat integral tentu, tetapi diasumsikan bahwa sifat ini selalu dapat digunakan.

1.2 Sifat-sifat Sifat-sifat Integral Tentu Integral tentu adalah integral yang memiliki batas (atas dan bawah). Sifat-sifat pada integral tentu sangat membantu penghitungan integral sehingga langkah-langkah penghitungannya menjadi lebih pendek. Sifat-sifat integral tentu yang yang sering digunakan dalam masalah-masalah teknik yaitu

∫   ∫          ∫   ∫   ∫–    ∫   

1. Jika a konstanta, berlaku contoh 1:

2. Untuk 

maupun

Contoh 2:

, berlaku

3. Sifat penambahan selang, yaitu

∫   ∫   ∫ 

bagaimanapun urutan a, b, dan c. Contoh 3:

  ∫ √     ∫ √      ∫ √    

4. Pendiferensialan suatu integral tentu. Jika  x variabel di dalam selang

          –

Contoh 4:

.

  

 *∫  +        

5. Nilai rata-rata di dalam integral. Jika c sebuah bilangan di dalam selang berlaku

dengan



, berlaku

Contoh 5: Nilai rata-rata fungsi

pada interval

pada interval [-1, 2] adalah

6. Definisi:  f(x) fungsi genap jika dan hanya jika  f(x) fungsi ganjil jika dan hanya jika

Jika  f(x) fungsi genap, berlaku Jika  f(x) fungsi ganjil, berlaku Contoh 6: Karena

,

   ∫                      + ∫                 ∫   ∫  ∫                    

adalah nilai rata-rata fungsi

Teorema Simetri:

  

merupakan fungsi genap, berlaku



.

.

Contoh 7: Karena

  

merupakan fungsi ganjil, berlaku



  

 7. Teorema Periodik:

∫   ∫                 

Jika  f(x) fungsi periodik dengan periode p, berlaku Contoh 8: Karena

adalah fungsi periodik dengan periode

,

Latihan 1 Andaikan

∫   ∫  ∫   ∫ 

∫   ∫  ∫   ∫   ∫    ∫    ∫ √      ∫         ∫   1.

Carilah

6. 7. 8. 9. 10.

∫  ∫ ∫ ∫   ∫  ∫   ∫ 

jika

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

hitunglah!

 ∫    ∫    ∫ √  

1.3 Teknik Pengintegralan

Tabel 1 No

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Rumus-Rumus Integral

Rumus Integral

  ||                    | |  ||  ||  √          √     ||    || 

1.3.1 Penggunaan Rumus Dasar Integral

∫              ||    ||    

Contoh 1 : Hitunglah

Misalnya

, sehingga

Contoh 2 :

    Contoh 3 :

     √ Contoh 4 :

       Contoh 5 :

 √  || ||  1.3.2 Integral Fungsi Pecahan Rasional Definisi:

Sebuah fungsi rasional merupakan hasilbagi dua fungsi suku banyak, sehingga dapat ditulis sebagai

. 

Jika derajat  p(x) kurang dari derajat q(x), fungsi ini disebut fungsi rasional sejati. Sebaliknya,  jika derajat  p(x) sama atau lebih dari derajat q(x), fungsi ini disebut fungsi rasional tidak sejati. Fungsi rasional tidak sejati selalu dapat ditulis sebagai jumlah fungsi suku banyak dan fungsi rasional sejati. Misalnya,

             

Fungsi suku banyak mudah diintegralkan, sedangkan fungsi rasional sejati sekalipun tidak selalu mudah, namun secara teori selalu dapat diintegralkan. Contoh 1 (Faktor Linear Berbeda):

    

Fungsi integran (fungsi yang diintegralkan) dipecah menjadi fungsi-fungsi rasional dengan pembagi linear sebagai berikut

                                                        ||   ||  maka

.

Dengan pemisalan

dan

maka diperoleh

Jadi,

Contoh 2 (Faktor Linear Berulang):

    

Fungsi integran dipecah menjadi fungsi-fungsi rasional sebagai berikut

Jadi, Jadi,

                                       ||      . Dengan pemisalan

Contoh 3 (Faktor Kuadrat):

     

dan

maka diperoleh

Fungsi integran dipecah menjadi fungsi-fungsi rasional sebagai berikut

                                        | |                   

Jadi, diperoleh

. Jadi,

Dengan pemisalan

dan

Contoh 4 (Faktor Kuadrat Berulang):

                                                              Fungsi integran dipecah menjadi fungsi-fungsi rasional sebagai berikut

Jadi,

.

diperoleh

Dengan pemisalan Jadi,

dan

Contoh 5 (Derajat pembilang sama atau lebih besar dari derajat penyebut):

       Fungsi integran disederhanakan dengan melakukan pembagian terlebih dulu karena fungsi ini merupakan fungsi rasional tidak sejati (derajat polinom pembilang dan penyebutnya sama).

     Jadi,              

Hasil pembagiannya adalah

1.3.3 Integral Parsial Teknik pengintegralan yang terakhir dan jarang ditemui adalah pengintegralan parsial. Rumusnya adalah

∫    ∫  

∫            ∫           ∫         ∫          ∫     ∫     ∫           ∫    ∫            ∫        

Contoh 1: Hitunglah

Misalnya

Menurut rumus (1.1)

Contoh 2: Hitunglah

Misalnya

Menurut rumus (1.1)

Untuk menyelesaikan misalnya

Menurut rumus (1.1)

, digunakan pengintegralan parsial lagi, yaitu

. Jadi,

Dengan demikian,

     



Latihan 2 Hitunglah!

    ⁄             ∫   ∫                     9.

     √              ∫   ∫ √                           8.

10.

1.4 Penerapan Integral Penerapan integral pada subbab ini mencakup luas daerah, volume benda putar, dan pusat massa. Penghitungan integral pada pusat massa memiliki kesamaan dengan luas daerah maupun volume benda putar. Oleh karena itu, pemahaman pada bahasan luas daerah akan membantu pada bahasan volume benda putar dan pusat massa.

1.4.1

Luas Daerah Bidang Rata

Terdapat dua cara menghitung luas daerah bidang rata ini, yaitu dengan mempartisi daerah secara vertikal atau secara horisontal. Jika mempartisi secara vertikal, bentuk integralnya dalam dx dan mempartisi secara horisontal bentuk integralnya dy. Sebuah daerah yang dibatasi oleh kurva pertama di bagian atas dan kurva kedua di bagian bawah akan lebih mudah jika diselesaiakan dengan cara mempartisi secara vertikal. Demikian juga untuk daerah yang dibatasi oleh kurva pertama di sebelah kanan dan kurva kedua di sebelah kiri lebih mudah diselesaikan dengan cara mempartisi secara horisontal.  y  xi

 f(xi)-g(xi)

a

 y = f ( x)

y = g( x)

b

x

 xi

G.1 Penghitungan Luas dengan Partisi Vertikal Pada gambar G.1 diperlihatkan sebuah daerah yang dibatasi oleh kurva  f ( x) di bagian atas dan kurva g( x) di bagian bawah, sedangkan sebelah kiri dibatasi oleh garis  x = a dan sebelah kanan dibatasi oleh garis  x = b. Karena kurva yang membatasinya di bagian atas dan bawah, digunakan cara yang pertama, yaitu mempartisi secara vertikal. Daerah yang berwarna gelap adalah partisi ke- i. Misalnya daerah yang dibatasi oleh kurva  f ( x), kurva g( x), garis x = a, dan garis x = b disebut  L. Maka, luas partisi ke-i adalah sehingga

  ∑  ∑    

Jika



        ∑          ,

. Jadi,

Contoh 1. Tentukan luas daerah bidang rata yang dibatasi oleh kurva dengan persamaan , sumbu x, garis x = -1, dan garis x = 2!

  

 y

 x = 2

 xi

 y =

  

-1

3

x

-y

 xi

G.2 Contoh Penggunaan Partisi Vertikal Berdasarkan gambar G.2, penghitungan luas daerah digunakan cara pertama yaitu mempartisi secara vertikal. Penghitungannya dibagi dua bagian berdasarkan perbedaan rumus luas partisi, yaitu bagian pertama luas daerah pada nilai  x antara dan bagian kedua luas daerah pada





. Bagian pertama, luas partisinya adalah  y x dan bagian kedua, luas partisinya

adalah - y x. Jadi, luas seluruh daerah di atas adalah

               Contoh 2. Tentukan luas daerah bidang rata yang dibatasi oleh kurva dengan persamaan  dan  ! Sketsa daerah ini pada bidang xy, sebagai berikut  y  y2 =



 xi

 y1  –  y2

 x  y1 =



G.3 Contoh Penggunaan Partisi Vertikal Titik potong kedua kurva di titik (0, 0) dan titik (1, 1). Jadi, batas integralnya adalah 0 dan 1. Berdasarkan gambar G.3 penghitungan luas daerah digunakan cara pertama yaitu mempartisi secara vertikal, dengan 1uas partisi ( y1  –  y2)  x sehingga luas seluruh daerah di atas adalah

       Contoh 3. Tentukan luas daerah bidang rata yang dibatasi oleh kurva dengan persamaan dan !

  

 y

  

 x1  –  x2  yi

 x

G.4 Contoh Penggunaan Partisi Horisontal Titik potong kedua kurva di titik (1/4, -1) dan titik (4, 4). Pada gambar G.4, penghitungan luas daerah digunakan cara kedua yaitu mempartisi secara horisontal sehingga batas integralnya adalah -1 dan 4. Luas partisinya adalah ( x1  –  x2)  y sehingga luas seluruh daerah di atas adalah

               Latihan 3. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva di bawah ini! 1. 3. 5.

            ,

,

, dan

, dan sumbu  x

dan

.

2. 4. 6.

     ||     , dan

, dan ,

.

,

, dan sb y

7.

  ||  

1.4.2

dan

Volume Benda Putar

Terdapat tiga bagian bahasan dalam subbab ini, yaitu metode cakram, metode cincin, dan metode kulit tabung. Seperti ketika menghitung luas daerah, menghitung volume juga menggunakan pendekatan partisi. Untuk bagian pertama dan kedua digunakan pendekatan rumus volume tabung atau cakram sebagai berikut.

 ̅ ∑   

 ̅

 ̅  

adalah luas penampang benda pada partisi ke- i dan adalah lebar partisi ke- i. Jika sebelah kiri dibatasi oleh garis  x = a dan sebelah kanan dibatasi oleh garis  x = b dan , diperoleh



  ̅    ∑       Rumus di atas diperoleh jika mempartisi secara vertikal. horisontal maka bentuk integralnya dalam dy.

Namun jika mempartisi secara

a. Metode Cakram Contoh 1.

Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi oleh kurva sumbu x, dan garis  x = 4 jika R diputar mengelilingi sumbu  x ! Sketsa daerah R pada bidang xy, sebagai berikut  y

 √ 

 xi

0

 x

4

G.5 Daerah R 

x

 √ 

,

Daerah R diputar mengelilingi sumbu  x, diperoleh benda putar

  √ 

 x

0

4

x

 x

G.6 Daerah R diputar mengelilingi sumbu x Gambar G.5 menunjukan daerah dengan sebuah jalur pemotongan (partisi). Jika daerah ini diputar mengelilingi sumbu  x, daerah ini membentuk sebuah benda putar (gambar G.6) dan jalur ini membentuk sebuah cakram yang volumenya didekati (diaproksimasi) oleh volume tabung dengan tinggi tabung

(√ )



dan jari-jari alas tabung

√ 

. Jadi, volume tabung ini adalah

 

Jika volume tabung-tabung ini dijumlahkan dan diintegralkan, diperoleh volume

benda putar

          Contoh 2.

Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah D yang dibatasi oleh kurva sumbu y, dan garis  y = 3 diputar mengelilingi sumbu  y ! 3

 y

y=x

3

 



 y

 y

0

 x

G.7 Daerah D



,

 x  y

 y  x

G.8 Daerah D diputar mengelilingi sumbu y Dalam kasus ini, lebih mudah  y digunakan sebagai variabel pengintegralan atau mempartisi benda secara horisontal. Volume partisi adalah volume tabung dengan tinggi dan jari-jari alas tabung

 



. Jadi, volume tabung ini adalah

(  )



maka volume benda putar yang dibentuk oleh daerah D adalah

  √      [ ]       b. Metode Cincin

Metode ini digunakan jika partisi volumenya berupa cakram yang di tengahnya terdapat lubang atau berupa cincin. Contoh 3.

Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah A yang dibatasi oleh kurva dan diputar mengelilingi sumbu  x!

 

2

 y

y=x

 √ 

4  x

√ 



,

 x

2

 x

0

 x

G.9 Daerah A

 x

G.10 Daerah A diputar mengelilingi sumbu x Seperti sebelumnya, dalam proses penghitungan volume benda putar ini digunakan metode potong menjadi jalur-jalur, kemudian diaproksimasi dan diintegralkan. Volume cincin dengan tebal  x, jari-jari luar

√ 

 *(√ ) +

dan jari-jari dalam

adalah

maka volume benda putar yang dibentuk oleh daerah A dengan sumbu putar sumbu  x adalah

                     c. Metode Kulit Tabung

Untuk beberapa kondisi, metode ini lebih mudah digunakan dari pada metode cakram atau metode cincin. Sebuah kulit tabung adalah sebuah benda yang dibatasi oleh dua tabung lingkaran tegak yang sumbu simetrinya berimpit. Jika jari-jari tabung dalam adalah r 1 dan jari jari tabung dalam adalah r 2 , sedangkan tinggi tabung h maka volume tabung adalah

        

Jadi, V = 2 . (rata-rata jari-jari).(tinggi).(tebal) = 2  rh r.

Contoh 4. Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah B yang dibatasi oleh kurva

 √ 

, sumbu x, garis x = 1, dan garis  x = 4 diputar mengelilingi sumbu  y!  y  y= f(x)  x

 y  x

 x

G.11 Daerah B Tebal kulit tabung yang dihasilkan setelah daerah B diputar adalah tingginya  y. Karena y = f(x), diperoleh volume kulit tabung yaitu

 x,

jari-jarinya  x, sedangkan

 Jadi, volume benda putar yang dibentuk oleh daerah B dengan sumbu putar sumbu  y adalah  jumlah semua kulit-kulit tabung yang terbentuk dari  x = 1 hingga x = 4.

         [  ]        √     Latihan 4 A. Hitunglah volume benda putar yang dibentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurvakurva yang diberikan di bawah ini diputar mengelilingi sumbu x!

1. 2.

   

, sumbu x, sumbu y, dan garis , sumbu x, dan garis



 

.

3. 4. 5.

  √ 

, sumbu x, dan sumbu  y , sumbu x, dan sumbu  y ,

antara garis

   , dan

B. Hitunglah volume benda putar yang dibentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurvakurva yang diberikan di bawah ini diputar mengelilingi sumbu y!

1. 2. 3. 4. 5.

                

, sumbu x, dan sumbu  y , sumbu x, dan sumbu  y

,

,

, dan

,

dan

dan

C. Hitunglah volume benda putar yang dibentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurvakurva yang diberikan di bawah ini diputar mengelilingi sumbu yang diberikan!

1. 2. 3. 4. 5.

         √               ,

,

, mengelilingi sumbu y

dan

,  x = 0, y = 0 dan mengelilingi sumbu y

,  x = 4,  y = 0 dan mengelilingi garis  x = 4

,

, dan

,

, mengelilingi sumbu x

,

dan

mengelilingi garis  y = 3

1.4.3 Pusat Massa (Centroid ) Pusat massa pada sebuah garis lurus adalah titik tengah garis lurus tersebut, sedangkan pada bidang rata beraturan seperti segitiga, persegi, maupun jajaran genjang adalah titik tengah bidang (untuk persegi dan jajaran genjang merupakan titik perpotongan diagonal-diagonalnya). Secara khusus untuk lingkaran, pusat massanya adalah titik pusat lingkaran. Penentuan pusat massa seperti di atas adalah dengan asumsi garis atau bidang ini memiliki massa yang homogen. Jadi, massa tidak menentukan atau memengaruhi posisi pusat massa. Dengan

kata lain, garis atau bidang yang memiliki massa yang homogen, pusat massanya berimpit dengan pusat geometrinya ( centroid -nya). Pembahasan pusat massa pada subbab ini dikhususkan untuk bidang yang memiliki massa yang homogen. Karena bidang-bidang yang beraturan tidak membutuhkan integral untuk menentukan pusat massanya, pembahasan hanya untuk bidang yang tidak beraturan. Lamina homogen adalah lempeng tipis yang rata dengan kepadatan massa, , konstan. Jadi, lamina homogen merupakan bidang rata yang memiliki massa yang homogen. Perhatikan ilustrasi dari sebuah lamina pada gambar berikut ini!

 y

 y = f ( x)  xi

 y = g( x) •

½( f(xi) + g(xi)) a

 x b

 xi

G.12 Penentuan Pusat Massa dengan Partisi Vertikal Titik hitam di tengah-tengah partisi adalah pusat massa dari partisi. Pusat massa partisi ke- i adalah ( xi , ½(  f(xi) + g(xi))). Pusat massa lamina adalah jumlah semua momen dari partisi dibagi massa lamina. Misalnya

adalah massa sebuah partisi maka m adalah massa lamina. Karena , diperoleh

m

  

    

Misalnya  M  x dan  M  y berturut-turut adalah momen sebuah partisi terhadap sumbu x dan momen sebuah partisi terhadap sumbu  y maka

    dan

         

Maka  M  x dan M  y adalah momen lamina terhadap sumbu  x dan momen lamina terhadap sumbu  y, yaitu

                          Jadi, pusat massa lamina adalah

Karena



̅  ̅      dengan

konstan, dapat diabaikan dalam penghitungan.

Contoh: Tentukan pusat massa dari daerah yang dibatasi oleh kurva

  √  dan

Sketsa daerah ini pada bidang xy, sebagai berikut  y  y2 =  xi



 y1 =

√ 

 y

 x

G.13 Contoh Penentuan Pusat Massa dengan Partisi Vertikal Dari gambar G.13 diperoleh

     (√  )  (√  )  ∫ ̅  ∫(√  )  

. Jadi,

dan

  (√  )(√  )  ∫     ∫(√  )  

!

Latihan 5. Tentukan pusat massa dari daerah yang dibatasi oleh kurva 1. 3. 5.

             ,

,

,

.

,

.

2. 4.

 √        ,

,

, dan

.