Bab 8. Model Black Scholes Merton

Bab 8 Model Black-Scholes-Merton

8.1 Formula Harga Opsi Model Black Scholes 8.1.1. Distribusi Probabilitas Harga Saham Model

yang

digunakan

untuk

mengembangkan

model

BSM

mengasumsikan harga saham berdistribusi lognormal. Dengan menggunakan sifat transformasi variabel random, diketahui bahwa ln dari variabel random berdistribusi lognormal akan berdistribusi normal, jadi diperoleh ln harga saham berdistribusi normal sebagai berikut (

(

)

)

(8.1)

Dimana ST

= harga saham pada waktu T

S0

= harga saham pada waktu 0

µ

= harapan keuntungan saham per tahun

σ

= volatilitas saham pertahun

Contoh 8.1. Penghitungan mean and standard deviasi. Misalkan suatu saham mempunyai harga awal S0 = $25, harapan tingkat pengembalian 12%, dan volatilitas tahunan 20%. Hitunglah mean dan standard deviasi dari distribusi harga saham dalam 3 bulan ke depan. Jawab. Diketahui bahwa T = 3/12 = 0.25 tahun. Distribusi harga saham 3 bulan ke depan mengikuti [(

(

)

Ln ST~N(3.244; 0.1).

90

)

]

Karena Ln ST berdistribusi normal, 95% nilai-nilainya akan berada dalam interval 1.96 standard deviasi dari mean-nya. Jadi, Ln ST akan terletak antara 3.244 ± 1.96*0.1, atau exp3.244-1.96*0.1 < ST < exp3.244+1.96*0.1 21.073 < ST < 31.187. Contoh 8.2 Distribusi return. Misalkan suatu saham mempunyai harapan pengembalian tahunan 12% dan volatilitas tahunan 20%. Hitunglah mean dan standard deviasi dari distribusi probabilitas untuk rata-rata tingkat pengembalian majemuk kontinu selama 4 tahun. Jawab. Dari data yang disebutkan sebelumnya, kita dapat menghitung

  12  2

mean = dan

standard deviasi =

= 0.12-0.22/2 = 0.10,

 T

= 0.2/√4 = 0.10.

8.1.2 Expected Value. Dengan menggunakan sifat dari distribusi lognormal (ingat kembali ekspektasi distribusi normal dan lognormal), ST akan berdistribusi lognormal dan kita dapat menunjukkan bahwa nilai harapan dari ST , (

)

(

)

Sedangkan variansinya adalah Var(ST) = S02 e2μT (eσ^2*T - 1) dimana µ = nilai harapan tingkat pengembalian.

Contoh 8.3. Nilai harapan harga saham. Misalkan suatu saham sekarang berharga 25 dengan nilai harapan pengembalian tahunan 20% dan volatilitas 40%. Hitunglah nilai harapan harga saham 6 bulan ke depan.

91

Jawab. Nilai harapan harga saham dapat dihitung sebagai berikut = $25*e0.2*0.5

E(ST)

= $27.63. Hasil ini cocok dengan definisi dari

µ sebagai nilai harapan tingkat

pengembalian. Nilai variansi dari ST , var(ST), dapat ditunjukkan = S02 e2μT (eσ^2*T - 1)

Var(ST)

= 625*e2*0.2*0.5*(e0.2*0.2*0.5 -1) = 63,58.

Contoh 8.4. Misalkan suatu saham dimana harganya adalah $20, dan nilai harapan pengembaliannya adalah 20% pertahun serta volatilitas 40% per tahun. Dapat dihitung nilai-nilai harapan dan variansi E(ST) = 20*e0.2*1 = 24.43 dan Var(ST) = 400* e2*0.2*1 *(e0.4*0.4*1 -1) = 103.54. Standard deviasi harga saham dalam 1 tahun adalah $10,18.

8.1.3 Distribusi Return Saham Sifat lognormal dari harga saham dapat digunakan untuk mencari informasi distribusi probabilitas return saham atau tingkat pengembalian majemuk kontinu dari suatu saham antara waktu 0 dan T. Jika kita mendefinisikan tingkat pengembalian majemuk kontinu antara waktu 0 dan T sebagai x, maka diperoleh ST = S0exT Sehingga x= Dari persamaan (8.1) diketahui jika ln ST berdistribusi normal dengan mean lnS0 + (μ-σ2/2)T dan variansi

2T,

maka dapat dibuktikakn juga bahwa x berdistribusi

normal dengan mean

92

E(X)

=

(

= [ (

(

) )

) ]

= Dan variansinya adalah V(X) =

(

(

)

)

= Sehingga dapat dituliskan X~N(μ-σ2/2, σ2/T) Jadi, tingkat pengembalian majemuk kontinu pertahun berdistribusi normal dengan mean (μ-σ2/2) dan standard deviasi σ/√T.

Selanjutnya, dapat dihitung persamaan : E (ST) = S0eµT Ln E (ST) = ln S0 + μT Mungkin kita tergoda untuk membuat manipulasi aljabar Ln E (ST) = ELn (ST), sehingga E [Ln (ST)- ln S0] = μT, atau E [Ln (ST/S0 )] = μT, yang akan menuntun kita pada E(R) = μ. Kita tidak dapat melakukan hal tersebut karena ln bukan fungsi linear. Faktanya adalah Ln E (ST) > ELn E(ST), sehingga E[ln(ST/S0)] < μT, yang menuntun pada E(x) < μ. (Seperti yang sudah ditunjukkan di atas, E(x) = μ-σ2/2).

Contoh 8.5. Misalkan suatu saham dengan nilai harapan pengembalian 17% per tahun dan volatilitas 20% per tahun. Distribusi probabilitas untuk rata-rata tingkat pengembalian selama 3 tahun adalah normal, dengan mean (0.17 -0.22/2) = 0.15 dan standard deviasi 0.2/√3 = 0.1155 per tahun. Selanjutnya kita dapat melihat interval konfidensi 95% bahwa rata-rata return pertahun dalam 3 tahun mendatang 0.15 – 1.96*0.1155 < μ< 0.15 + 1.96*0.1155 -7.6% < μ < 37.6%

93

8.1.4. Volatilitas Volatilitas suatu saham adalah suatu ukuran ketidakpastian dari return atau tingkat pengembalian dari suatu saham. Suatu saham biasanya mempunyai volatilitas antara 15% and 60%. Dari persamaan (7.1) di bab 7, volatilitas dari suatu harga saham dapat didefinisikan sebagai standard deviasi dari return saham dalam 1 tahun ketika return diekspresikan menggunakan pemajemukan kontinu. Ketika nilai T cukup kecil, persamaan (7.1) menunjukkan bahwa σ√T secara aproksimasi sama dengan standard deviasi dari persentase perubahan harga saham pada waktu T. Misalkan σ = 0.3, atau 30% per tahun, dan harga saham sekarang adalah $50. Standard deviasi dari persentase perubahan harga saham dalam 1 minggu adalah 30 × 1/√52 = 4.16%. Standard-deviasi harga saham dalam 1 minggu dapat dihitung 50 × 0.0416 = $2.08. Persamaan (7.1) menunjukkan bahwa ketidakpastian terhadap harga saham ke depan, yang diukur dengan standard deviasi-nya meningkat sebanding dengan akar kuadrat panjang waktu ke depan-nya. Sebagai contoh, standard deviasi harga saham dalam 4 minggu sama dengan 2 kali standard deviasi dalam 1 minggu. 8.1.5. Hari Perdagangan versus Hari Kalender Hal lain yang penting adalah masalah waktu jatuh tempo, apakah waktu jatuh tempo seharusnya diukur dalam hari kalender atau hari perdagangan ketika mengestimasi volatilitas. Riset menunjukkan bahwa volatilitas membesar ketika bursa dibuka untuk perdagangan dibandingkan ketika bursa ditutup. Sebagai hasilnya, praktisi cenderung mengabaikan hari-hari ketika bursa ditutup pada waktu mengestimasi volatilitas dari data historis dan ketika menghitung umur opsi. Volatilitas pertahun dihitung dari volatilitas perhari perdagangan dengan menggunakan formula Volatilitas per tahun = standard deviasi return harian/252. Banyaknya hari perdagangan dalam 1 tahun biasanya diasumsikan 252 untuk saham. Waktu hidup opsi juga biasanya diukur menggunakan hari

94

perdagangan dibandingkan dengan hari kalender. Banyaknya hari perdagangan dihitung sebagai T tahun, dimana T = banyaknya hari perdagangan sampai waktu jatuh tempo/ 252. Cukup wajar mengasumsikan bahwa volatilitas dari suatu saham disebabkan oleh informasi baru yang sampai ke pasar. Informasi baru ini menyebabkan orang untuk merevisi pendapat atau pandangan tentang harga saham. Harga saham berubah dan secara otomatis akan memunculkan angka volatilitas.

8.2 Formula BLACK-SCHOLES untuk Opsi Call Model penentuan harga opsi yang paling terkenal dan banyak digunakan orang adalah model Black Scholes. Hasil perhitungan harga opsi beli model Black Scholes untuk tipe Eropa sama dengan tipe Amerika. Untuk alasan di atas, di sini akan diturunkan formula matematis harga opsi beli tipe Eropa dengan fungsi keuntungan opsi fT = (ST-K)+ = maks(ST-K,0). Harga rasional premi opsi Black Scholes CBS adalah : ( )–

(

)

(8.2)

dengan

d1 

d2  dan N  x  

1 2

x



ln S 0 / K   T r   2 / 2



(8.3)

 T



ln S 0 / K   T r   2 / 2

e

 T  y2 / 2

d

1

 T

(8.4)

dy adalah nilai kumulatif distribusi normal standard.



Pembuktian formula Black-Scholes secara matematik tidaklah mudah. Black-Scholes sendiri membuktikan formulanya dengan pendekatan PD parsial yang relatif panjang dan tidak mudah untuk dipahami. Pada materi kuliah ini, formula harga opsi model Black-Scholes di atas akan dibuktikan melalui

95

pendekatan statistika, dengan menggunakan distribusi variabel random lognormal dan normal. Pendekatan ini relatif lebih sederhana dan mudah untuk dipahami. Fungsi densitas dari ST yang berdistribusi lognormal dapat ditulis sebagai berikut 1  ln ST        1  e 2   g ( S T )   S  2 T  0

2

, ST  0 , ST  0

Secara umum harga kontrak opsi dapat dituliskan dalam bentuk harga harapan keuntungan opsi pada waktu jatuh tempo yang terdiskon oleh suku bunga bebas resiko r. [

(

)]

dimana ST adalah harga saham pada waktu T dan E menunjukkan nilai harapan. Di bawah proses stokastik diasumsikan oleh Black-Scholes bahwa ST berdistribusi lognormal. Diasumsikan harga saham mengikuti proses random gerak brownian geometrik ST = S0 exp [ (r-0.5σ2)T +σWT ] , di mana WT adalah proses brownian berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan variansi T. Terlihat bahwa ST merupakan fungsi eksponen dari WT, sehingga ST berdistribusi lognormal. Selanjutnya diperoleh Ln ST = ln S0 + (r-0.5σ2) T +σWT merupakan fungsi linear dari WT sehingga ln ST berdistribusi normal. Rata-rata dan variansi dari ln ST masing-masing E(ln ST) = m = ln S0 + (r-0.5σ2) T ; Var(ln ST) = σ2 T Deviasi standar dari ln ST adalah σ√T. Dengan transformasi diperoleh (

√

)

(8.5)

Dan diperoleh hubungan ln ST = Zσ√T+m atau ST = eZσ√T+m. Selanjutnya ekspektasi fungsi keuntungan opsi dapat dijabarkan dalam bentuk integral sebagai berikut 

E[max( ST  K , 0)]   ( ST  K ) g ( ST )dST K





K

K

  ST g (ST )dST  K  g (ST )dST

96

Dari nilai maks(ST-K,0), yang dihitung integralnya adalah nilai ST yang lebih besar dari K. Sedangkan untuk nilai ST yang lebih kecil dari K, keuntungan opsinya akan sama dengan nol. Integral dari fungsi nol sama dengan nol.

Harga harapan keuntungan opsi di atas mengandung dua integral, Integral I dan II. Integral I akan dibawa ke variabel random Z dengan transformasi normal standard (8.5) di atas. Batas bawah ST = K menjadi (

∫

)

. Integralnya menjadi

√

√

∫

( )

√

Sekarang kita lihat √

√

( )

√ ( (

√ )

)

√ ( (

√ ) )

√

(

√ )

(8.6)

Selanjutnya diperoleh (

∫

)

∫

(

√ )

√

Misalkan z-σ√T = y, dz = dy, batas bawah z dikurangi σ√T. Dengan menggunakan sifat sifat distribusi normal 1-N(-a) = N(a), integral di atas menjadi [

(

√

√

[

)]

( [ (

√

√

)]

]

)

(8.7)

97

Untuk integral yang kedua II ∫

(

)

( )

∫ √

(

√

( (

)

)

√ )

(8.8)

dengan d1 dan d2 seperti persamaan (8.3) dan (8.4) . Selanjutnya dengan memasukkan faktor diskonto selama waktu jatuh tempo T tahun ke dalam formula harga opsi, diperoleh rumus harga opsi beli model Black Scholes sebagai nilai present value dari harapan keuntungan opsi call seperti pada persamaan (8.2) di atas. [ [ ( )

(

)]

( )

( (

)]

)

Contoh 8.6 Sebagai contoh dapat dilihat opsi saham Barnes Group Inc. yang ditawarkan di situs www.yahoo.finance. Pada tgl 26 nov 2009, harga saham perusahaan tersebut S0 = 15,92$. Kita pilih opsi dengan harga kontrak K = 12.5$. Opsi tersebut di pasaran dijual dengan harga 4.73$. Bagaimana harga opsi menurut Black Scholes?

98

Berikut diberikan informasi harga opsi

Menurut BlackScholes, dengan nilai volatilitas 30%, tingkat suku bunga r = 0,25%, harga opsinya adalah sebagai berikut:

d1 

ln 15,92 /12,5    0, 0025  0, 04 / 2  22 / 365  0, 2 22 / 365

 4.044507695

d 2  4.044507695  0, 2 22 / 365  3.984205426 Nilai yang bersesuaian untuk distribusi normal kumulatif dapat ditentukan N(d1) = 0.999973783,

dan

N(d2) = 0.999966147. Selanjutnya harga opsi beli dapat

dihitung dengan menggunakan rumus C = 15,92 x 0.999973783 – 12.5xexp(-0.0025*22/365)x 0.999966147 = 3.421883474 Bagaimana dengan harga yang ditawarkan di pasar untuk opsi tersebut? Apakah harga opsi di pasar tidak terlalu berbeda dengan harga opsi model Black Sholes?

99

8.1.7 Formula BLACK-SCHOLES untuk Opsi Put Dengan cara yang sama dapat diturunkan formula harga opsi jual model Black Scholes. Secara matematis harga opsi jual merupakan present value dari nilai harapan keuntungan opsi pada waktu jatuh tempo dengan suku bunga bebas resiko r dan waktu jatuh tempo T tahun, atau dapat dituliskan dalam bentuk p = erT

E[maks(K-ST,0)]. Selanjutnya ekspektasi fungsi keuntungan opsi dapat

dijabarkan dalam bentuk integral sebagai berikut [

(

)]

) (

∫ ( (

∫

)

) (

∫

)

Pembuktian rumus harga opsi put di atas diberikan sebagai berikut. Dari nilai maks(K-ST,0), yang dihitung integralnya adalah nilai ST yang lebih kecil dari K. Sedangkan untuk nilai ST yang lebih besar dari K, nilai maksimalnya akan sama dengan nol. Integral dari fungsi nol akan sama dengan nol. Penjabaran Secara matematisnya dapat dilihat sebagai berikut: Untuk integral yang pertama ∫ (

)

(

)

(

(

)

(

(

(

)

)

)

)

Kita tahu bahwa (r-0.5σ2)T+σWT ~ N((r-0.5σ2)T, σ2T). Dengan transformasi variabel random diperoleh (

)

( √

) √

100

(

)

Selanjutnya diperoleh









 ln K  ln S0  r  0.5 2 T    g  ST dST  Pr    Z    T   K

 ln  S0 / K   r  0.5 2 T    Pr    Z      T    N  d 2  . Untuk Integral yang kedua dibawa ke variabel random Z dengan transformasi normal standard (8.5) di atas. Batas atas ST = K menjadi

√

. Integralnya

menjadi √

(

∫

)

√

∫

( )

Dari persamaan (8.6) di atas diperoleh √

( )

(

√ )

Selanjutnya diperoleh √

(

∫

)

∫

(

√ )

Misalkan z-σ√T = y, dz = dy, batas atas z dikurangi σ√T. Dengan menggunakan sifat sifat distribusi normal integral di atas menjadi (

√

√

)

( (

dengan d1 dan d2 seperti persamaan (8.3) dan (8.4).

101

√

)

)

Diperoleh rumus harga opsi jual model Black Scholes sebagai berikut: [

(

[

( (

)] ) )

( (

)]

)

Dapat diringkas, harga opsi call dan opsi put tipe Eropa model Black-Scholes, tanpa pembayaran dividen adalah sebagai berikut : C = S0 N(d1) – Ke-rT N(d2) dan P = Ke-rT N(–d2) – S0 N(–d1)

Contoh 8.7. Harga saham 6 bulan dari waktu ekspirasi suatu opsi adalah $42, dan harga kontrak opsi tersebut $40, suku bunga bebas resiko 10% per tahun, dan volatilitas 20% per tahun. Ini berarti S0 = 42, K = 40, r = 0.1, σ = 0.2, T = 0.5, d1 = (ln(42/40) + (0.1 + 0.22/2)0.5)/(0.2*sqrt(0.5)) = 0.7693 d2 = 0.7639- )/(0.2*√0.5) = 0.6278 Untuk opsi call tipe Eropa, harga opsinya adalah c = 4.76, sedangkan untuk opsi put, harga opsinya adalah p = 0.81. Contoh 8.8 Suatu perusahaan dengan 1 juta lembar saham seharga masingmasing $40 sedang mempertimbangkan mengeluarkan 200,000 warrant yang memberikan pemegangnya hak untuk membeli 1 lembar saham dengan harga $60 dalam 5 tahun. Ingin diketahui biaya untuk hal ini. Tingkat suku bunga 3% per tahun, volatilitas 30% per tahun. Tidak ada deviden yang dibagikan. Dari persamaan (13.20), harga dari opsi call tipe Eropa 5 tahun adalah $7.04. Pada kasus ini, N = 1,000,000 dan M = 200,000, sehingga harga warrant adalah 1,000,000/(1,000,000 + 200,000)*7.04 = $5.87. Biaya total dari warrant adalah 200,000 × 5.87 = $1.17 million. Assuming the market perceives no benefits from the warrant issue, we expect the stock price to decline by $1.17 to $38.83.

102

Latihan Soal 1. Opsi put tipe Eropa mempunyai karakteristik sebagai berikut : S0 = $50, K =$45, r = 5%, T= 1 tahun dan volatilitas 25%. Berapakah harga opsi put tersebut di atas? a. $1.88 b. $3.28 c. $9.07 d. $10.39 2. Opsi call tipe Eropa mempunyai karakteristik sebagai berikut : S0 = $50, K =$45, r = 5%, T= 1 tahun dan volatilitas 25%. Berapakah harga opsi call tersebut di atas? a. $1.88 b. $3.28 c. $9.06 d. $10.39 3. Suatu sekuritas dijual seharga $40. Suatu opsi call dengan harga kontrak $42, dengan waktu jatuh tempo 3 bulan dan suku bunga bebas resiko 3%, berharga $2.49 Berapakah harga opsi put menurut put-call parity? a.

$1.89

b. $3.45 c. $4.18 d. $6.03 4. Saham ABC diperdagangkan seharga $60. Opsi call dan put nya dikeluarkan untuk waktu jatuh tempo 1 tahun dengan harga kontrak $60. Standard deviasi tahunannya 10% dan suku bunga majemuk kontinunya 5%. Harga opsi call dan put versi Black Scholes adalah a. $6.21 dan

$1.16

b. $4.09 dan c. $4.09 dan d. $6.21 dan

$3.28 $1.16 $3.28

5. Yang mana dari kondisi berikut yang bukan merupakan asumsi dari teori penentuan harga opsi model BSM?

103

a. b. c. d.

Opsi hanya dapat dijalankan pada waktu jatuh tempo Suku bunga bebas resiko konstan Return majemuk kontinu berdistribusi lognormal Saham pokok tidak menghasilkan aliran dana

Jawab: 1. Dihitung nilai d1 = (ln(50/45) + (0.05 + 0.0625/2)1)/(0.25*sqrt(1)) = 0.74644 d2 = 0.74644 - 0.25*sqrt(1) = 0.49644 N(-d1) = 0.2266 N(-d2) = 0.3085 p = 45e-0.05(1) (0.3085) – 50(0.2266) = $1.88 2. Dihitung nilai d1 = (ln(50/45) + (0.05 + 0.0625/2)1)/(0.25*sqrt(1)) = 0.74644 d2 = 0.74644 - 0.25*sqrt(1) = 0.49644 N(d1) = 0.7731 N(d2) = 0.6915 c = 50 (0.7731) – 45e-0.05(1) (0.6915) = $9.055 3. Dengan menggunakan formula put call parity, diperoleh P = c + Ke-rT – S = 2.49 + 42e-0.03×0.25 – 40 = $4.18 4. Dihitung nilai d1 = (ln(60/60) + (0.05 + 0.5×0.102)1)/(0.1*sqrt(1)) = 0.55 d2 = 0.55 - 0.1*sqrt(1) = 0.45 N(d1) = 0.7088 N(d2) = 0.6736 -0.05(1) c = 60 (0.7088) – 60e (0.6736) = $42.53-$38.44 = $4.09 selanjutnya dihitung p = c + Ke-rT – S0 = $4.09 + 60e-0.05×1 – 60 = $1.16 5. Beberapa asumsi model BSM dapat disebutkan sebagai berikut a. Tidak ada kesempatan arbitrase b. Harga saham berdistribusi lognormal, bukan return saham c. Volatilitas aset pokok konstan d. Aset tidak mempunyai cash flow atau aliran dana e. Tipe opsi adalah tipe Eropa

104