Bab 7 Ruang Vektor Dan Sub Ruang Vektor

BAB 7

7.1 7.1

RUANG VEKTOR DAN SUB RUANG VEKTOR 

DEFI DEFINI NISI SI RUAN RUANG G VEK VEKTO TOR R & SUB SUB RUA RUANG NG VEKT VEKTOR  OR 

RUANG VEKTOR DEFINISI

Misalkan V adalah suatu himpunan tak kosong dari objek-objek sebarang, di mana dua operasinya didefinisikan, yaitu penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan). •

Oper Operasi asi Penju Penjuml mlah ahan an (addition) addition) dapa dapatt diar diarti tika kan n seba sebaga gaii suat suatu u atur aturan an yang ang mengasosiasikan setiap pasang objek u dan v pada V dengan suatu objek objek u + v, yang

•

disebut jumlah ( sum)  sum) dari u dan v. Operasi Perkalian kalar ( scalar  scalar multiplication), multiplication), dapat diartikan sebagai suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k  dan   dan setiap objek u pada V dengan suatu objek  k u, u, yang disebut kelipatan skalar  dari  dari u oleh k .

!ika aksioma( "# aksioma) aksioma) berikut dipenuhi dipenuhi oleh semua objek u, v, w  pada V dan semua skalar k  dan   dan l , maka kita menyebut V sebagai  RUANG VEKTOR (vector space) space ) dan kita menyebut objek-objek pada V sebagai VEKTOR . ") $) %) &)

!ika u dan dan v adalah adalah objek-o objek-objek bjek pada pada V, V, maka u + v berada pada V. u+v = v+u u + (v + w) = (u + v) + w 'i dalam dalam V terda terdapat pat suatu suatu objek objek #, yang yang diseb disebut ut vektor nol  untuk   untuk V, sedemikian rupa

sehingga 0 + u = u + 0 = 0 untuk semua u pada V. ) ntuk setiap u pada V, terdapat terdapat suatu suatu objek objek *u pada V, yang disebut disebut sebagai sebagai ne!"#$  dari u, sedemikian rupa sehingga u + (%u) = (%u) + u = 0 +) !ika k  adalah   adalah skalar skalar sebaran sebarang g dan u adalah objek sebarang pada V, maka k u terdapat  pada V. V. ) k (u (u  v)  k u  k v /) (k     l ) u  k u  l u 0) k (l u) u)  (kl  (kl ) (u) "#) "#) lu  u

RUANG VEKTOR BAGIAN ( SUBSPACE   SUBSPACE )

Pandang V suatu 1uang Vektor. 2 himpunan bagian dari V,2 (misalnya dengan suatu sifat khusus) memenuhi semua aksioma 1uang Vektor, sehingga merupakan 1uang Vektor  tersendiri, maka 2 kita sebut 1uang Vektor Vektor 3agian (Subspace ( Subspace)) dari V. 4adang kadang dihilangkan kata 53agian6 dan menyebutnya dengan 5ruang vektor di V6, atau pula 5ruang bagian dari V6 'n"' 1 

Pand Pandan ang g

 R

3

dengan dengan susuna susunan n 7artesi 7artesian an dimana dimana 8, 9, : adalah adalah sumbusumbu-sum sumbu bu

koordinatnya. ;impunan vektor-vektor pada bidang 8O9 merupakan ruang vektor bagian dari

R

3

. 'apat mudah dipahami bah 8O9  ? (@,y,#A@

∈

1, y

∈

 1 B

7ontoh anggota 8O9 adalah !  C",",#D, *  C#,",#D,  = C$,%,#D, #  C#,#,#D, dan lain-lai lain-lain. n. !elas bah