Bab 6 Defleksi Balok

 

BAB VI DEFLEKSI BALOK  

6.1. Pendahuluan 

Semua balok akan terdefleksi (atau melentur) dari kedudukannya apabila terbebani. Dalam struktur bangunan, bangunan, seperti : balok dan plat lantai tidak boleh melentur terlalu berlebihan untuk mengurangi/meniadakan pengaruh psikologis (ketakutan) pemakainya. Ada beberapa metode yang dapat dipergunakan untuk menyelesaikan  persoalan-persoalan defleksi pada balok. Dalam diktat ini hanya akan dibahas tiga metode, yaitu metode integrasi ganda  ganda  (”doubel integr ations”), ations”), luas bidang momen  momen  (”Momen Area Method”), Method”), dan metode luas bidang momen sebagai beban. Metode integrasi ganda sangat cocok dipergunakan untuk mengetahui defleksi sepanjang  bentang sekaligus. Sedangkan metode luas bidang momen sangat cocok dipergunakan untuk mengetahui lendutan dalam satu tempat saja. Asumsi yang dipergunakan untuk menyelesaiakan persoalan tersebut adalah hanyalah defleksi yang diakibatkan oleh gaya-gaya yang bekerja tegak-lurus terhadap sumbu balok, defleksi yang terjadi relative kecil dibandingkan dengan panjang baloknya, dan irisan yang berbentuk bidang datar akan tetap berupa bidang datar walaupun terdeformasi.

6.2. Metode Integrasi Ganda

Suatu struktur sedehana yang mengalami lentur dapat digambarkan sebagaimana gambar 6.1, dimana y dimana  y adalah  adalah defleksi pada jarak  x  x,, dengan x dengan  x adalah  adalah  jarak lendutan yang ditinjau, dx dx adalah  adalah jarak mn, d    sudut mon, dan r  adalah   adalah jari  sudut  jari lengkung.

62

 

 

63

O

d

r A  

B 

y 

m

n d

dx  x 

Gambar 6.1. Balok sederhana yang mengalami lentur Berdasarkan gambar 6.1. didapat besarnya dx = r tg d  karena besarnya

d  relatif

sangat

kecil

maka

tg

d   d  saja sehingga

 persamaannya dapat dapat ditulis menjadi dx = r.d  atau

1 r 



d   dx

 

Jika dx bergerak kekanan maka besarnya besar nya d akan semakin mengecil atau semakin  berkurang sehingga sehingga didapat persamaan 1   d     r  dx Lendutan relatif sangat kecil sehingga

     tg     

dy dx

, sehingga didapat persamaan

 d 2 y        2    r  dx  dx   dx  

1

Persamaan tegangan

1 r 



 M   EI 

d   dy 

, sehingga didapat persamaan

 d 2 y  Sehingga didapat persamaan  EI  2     M     dx  

 M   EI 



d 2 y dx 2

 

(6.1)

 

 

64

Persamaan 6.1 jika dilakukan dua kali integral akan didapat persamaan

 dy  dM   V       dx dx    

 EI 

 EI  y    dV     q  dx

6.2.1. Contoh 1 Aplikasi pada balok sederhana dengan beban merat merata a q

A

B

 L

 x 

BMD 

Gambar 6.2. Balok Sederhana dengan beban merata

Dari gambar 6.2 besarnya momen pada jarak x sebesar  M  x = R A . x -

1 2

qL  M  x =

2

q x2 1

 . x -

2

2

qx

Persamaan tersebut disubstitusi ke dalam persamaan 6.1 sehingga didapat

 d 2 y  qL 1  EI  2       x  qx 2   2 2  dx   Diintegral terhadap x sehingga didapat

 d 2 y  1 2   qL  EI  dx 2       2  x  2 qx   2

3

qLx qx  dy   EI         C 1   4 6  dx 

 

 

65

Momen maksimum terjadi pada x =  L , dan pada tempat tersebut terjadi defleksi 2

dy

maksimum ,

dx

 0 , sehingga persamaannya menjadi

 L 2  L 3 qL  q         2      2   C    0 1 4 6

0 C 1  

qL3 48 qL3 24

 

qL3 16

 C 1  

 

Sehingga persamaan di atas akan menjadi

qLx 2 qx 3 qL3  dy       EI       4 6 24  dx  Dari persamaan tersebut diintergralkan kembali terhadap t erhadap x sehingga menjadi

qLx 2 qx 3 qL3  dy   EI  dx      4  6  24    EI   y  

qLx 3 12

 

qx 4 24



qL3 x 24

 C 2  

Pada x = 0, lendutan l endutan y = 0, sehingga didapat C 2, dan persamaannya menjadi 0 = 0 + 0 + 0 + C 2  C 2 = 0 3

4

3

 EI   y   qLx   qx  qL x  0   12 24 24 qx

 y 

24 EI  qx

 y 

 2 Lx  L 

3

24 EI 

2

  x 3   L3  

 2 Lx 2   x 3  

Pada x =  L  akan diperoleh lendutan maksimum sehingga didapat 2

q

 y max

 L

      L   L   2  L3  2 L     24 EI     2   2  2

      

3

 

 

66

 y max

qL   3  L3  L3    L       48 EI    2 8  



 y max

qL  5 L3 

   48 EI     8  

Sehingga lendutan maksimum yang terjadi di tengah bentang didapat :

 y max   

  4 5qL

384 EI 

 

(6.2)

6.2.2. Contoh 2 Aplikasi pada cantilever dengan beban merata

q

L

 x 

BMD 

Gambar 6.3. Balok Cantilever dengan Beban Merata Dari gambar 6.3 besarnya momen pada jarak x sebesar  M  x = -

1 2

q x2

Persamaan tersebut disubstitusi ke dalam persamaan 6.1 sehingga didapat

 d 2 y  1 2  EI    2   qx    dx   2 Diintegral terhadap x sehingga didapat

 d 2 y    1 2   2    qx    EI  dx 2   3  dy  qx  EI      C 1   6 dx    

 

 

67

Momen maksimum terjadi pada x = L, dan pada tempat tersebut tidak terjadi defleksi,

dy

 0 , sehingga persamaannya menjadi

dx

qx 3 0  6   C 1   C 1   

qL3

 

6

Sehingga persamaan di atas akan menjadi 3 qL3  dy  qx    EI      6 6  dx 

Dari persamaan tersebut diintergralkan kembali terhadap t erhadap x sehingga menjadi 3

3

qx qL  dy       EI      dx   6 6    EI   y 

qx 4

qL3 x

24

6

  

 C 2  

Pada x = L, lendutan y = 0, sehingga se hingga didapat C 2 

0

qL4

 

24

C 2  

qL4

qL4

6

 C 2  

 

8

Persamaannya menjadi

qx 4  EI   y  24    y 

q 24 EI 

 x 

4

qL3 x

qL4

6

 8  

 4 L3 x  3 L4   

Pada x = 0 akan diperoleh lendutan maksimum sehingga didapat

 y max   y max   

q

    0  0  3 L4   

24 EI  3qL

24 EI 

 

Sehingga lendutan maksimum cantilever (pada ujung batang) didapat :

 

 

68

 y max   

qL4 8 EI 

 

(6.3)

6.2.3. Contoh 3 Aplikasi pada cantilever dengan titik

P

L

 x 

BMD 

Gambar 6.4. Balok Cantilever dengan Beban Titik

Dari gambar 6.4 besarnya momen pada jarak x sebesar  M  x = - Px  Persamaan tersebut disubstitusi ke dalam persamaan 6.1 sehingga didapat

 d 2 y   EI    2    Px    dx   Diintegral terhadap x sehingga didapat

 d 2 y    2    Px    EI  dx   2

 dy   Px  EI       C 1   2  dx  Momen maksimum terjadi pada x = L, dan pada tempat tersebut tidak terjadi defleksi,

dy dx

 0 , sehingga persamaannya menjadi

 PL2 0     C 1   2

 

 

69

C 1   

 PL3

 

2

Sehingga persamaan di atas akan menjadi 2

2

 EI      Px   PL    dy   2 2  dx  Dari persamaan tersebut diintergralkan kembali terhadap t erhadap x sehingga menjadi 2

2

 dy   Px  PL  EI    dx    2  2    EI   y   EI   y 

 Px 3

 PL2 x

6

2

  

 Px 6

 C 2  

  L3  3 L2    C 2  

Pada x = L, lendutan y = 0, sehingga didapat C 2   PL 2 0  L    3 L2   C 2   6



C 2  



 PL3 3

 

Persamaannya menjadi

 2 PL3   x  3 L      EI   y  6 3  Px

 EI   y   y 

 P 

q 6 EI 

6

 x 

3

 x 

3

 3 xL2  2 L3  

 3 xL2  2 L3   

3

Pada x = 0 akan diperoleh lendutan maksimum sehingga didapat

 y 

q

  0  0  2 L3   

6 EI 

 y max   

 PL3 3 EI 

 

Sehingga lendutan maksimum cantilever dengan bebat titik (pada ujung batang) didapat :

 

 

70

 y max   

qL4 8 EI 

 

(6.4)

6.2.4. Contoh 4 Aplikasi pada balok sederhana dengan beban titik  P A

B

a

b  L

BMD 

 x 

Gambar 6.5. Balok Sederhana dengan beban titik Dari gambar 6.5 besarnya reaksi dukungan dan momen sebesar  R A     M  x =  M  x =

 Pb  L

, 

 Pbx  L  Pbx  L

dan   dan

 R B   

 Pa  L

 

 

untuk x untuk  x     a

- P ( x-a)  x-a) 

untuk x untuk  x     a

Persamaan tersebut disubstitusi ke dalam persamaan 6.1 persamaan garis elastis sehingga didapat

 d 2 y   Pbx untuk x untuk  x     a   EI  2        L dx      d 2 y   Pbxx  Pb untuk x untuk  x     a   EI  2       P ( x  a)    L dx     Diintegral terhadap x terhadap x sehingga  sehingga didapat 2

 Pbxx  Pb  dy   EI       C 1   2 L  dx 

 

 

71

 Pbx  P ( x  a)  dy   EI         C 2   dx  L 2 2     2

2

Pada x Pada  x =  = a, dua persamaan di atas hasilnya akan sama. Jika diintegral lagi mendapatkan persamaan :

 Pbx 3

 C 1 x  C 3    EI   y     6 L  EI   y  

 Pbxx 3  Pb 6 L

 P ( x  a) 3

 

6

untuk x     a  untuk x

 C 2 x  C 4  

untuk x     a  untuk x

Pada  x   x  = a, maka nilai C 1  harus sama dengan C 2, maka C 3  = C 4, sehingga  persamaannya menjadi menjadi :

 EI   y  

 Pbxx 3  Pb 6 L

 P ( x  a) 3

 

6

 C 1 x  C 3  

Untuk x = Untuk x  = 0, maka y maka y =  = 0, sehingga nilai C 3 = C 4 = 0 Untuk x Untuk  x =  = L  L,, maka y maka y =  = 0, sehingga persamaan di atas dapat ditulis menjadi :

 P ( L  a) 0     C 1 L  0   6 L 6 3

3

 PbL

Besarnya L Besarnya  L   –  –  a = b 

 PbL

C 1   

6



 Pb 3 6 L

 

 Pb C 1     L2  b 2    6 L Sehingga setelah disubstitusi menghasilkan persamaan :

 y    y  

 Pbx

   L2  b 2   x 2  

untuk x     a  untuk x

6 EIL  Pbx

6 EIL

 L

2

 2

 b   x   2

  P  x  a 3 6 EI 

 

untuk x     a untuk x

(6.5)

6.3. Metode Luas Bidang Momen

Pada pembahasan di atas telah dihasilkan lendutan yang berupa persamaan. Hasil tersebut masih bersifat umum, namun mempunyai kelemahan apabila

 

 

72

diterapkan pada struktur dengan pembebanan yang lebih kompleks, maka dirasa kurang praktis, karena harus melalui penjabaran secara matematis. Metode luas bidang momen inipun juga mempunyai kelemahan yang sama apabila dipakai pada konstruksi dengan pembebanan yang lebih kompleks. Namun demikian metode ini sedikit lebih praktis, karena proses hitungan dilakukan tidak secara matematis tetapi bersifat numeris. O

d

r A 

B  

m

n d 

dx 

B’  B”  d  

   AB

BMD 

Gambar 6.6. Gambar Balok yang mengalami Lentur

Dari gambar 6.6 tersebut didapat persamaan 1 r 



d   dx

=

 M   EI 

 

atau dapat ditulis menjadi

 

 

73

d    

 M   EI 

dx  

(6.6)

Dari persamaan 6.6 dapat didefinisikan sebagai berikut :

 Definisi I :

Elemen sudut d      yang dibentuk oleh dua tangen arah pada dua titik  yang berjarak dx, besarnya sama dengan luas bidang momen antara dua titik tersebut dibagi dengan EI.

Dari gambar 6.6, apabila dx dx adalah  adalah panjang balok AB, maka besarnya sudut yang dibentuk adalah :   AB

  L

 M 

0

 EI 

  

dx  

Berdasarkan garis singgung m dan n yang berpotongan dengan garis vertikal yang melewati titik B, akan diperoleh :

   M . x dx    B ' B "  d       x.d     EI 

(6.7)

 Nilai  M.dx  M.dx   = Luas bidang momen sepanjang dx dx..  M.x.dx = Statis momen luas bidang M terhadap titik yang yang berjarak x d dari ari elemen M. Sehingga dari persamaan 6.7 dapat didefinisikan sebagai berikut :

 Definisi II : Jarak vertikal pada suatu tempat yang dibentuk dua garis singgung  pada dua titik tit ik suatu balok besarnya sama dengan statis stat is momen luas bidang momen terhadap tempat tersebut dibagi dengan EI.  EI. 

   Jarak  BB '    



L

0

 M . x  EI 

dx  

Untuk menyelesaikan persamaan tersebut yang menjadi persoalan adalah letak titik berat suatu luasan, karena letak titik berat tersebut diperlukan dalam menghitung statis momen luas M.dx.x luas  M.dx.x.. Letak titik berat dari beberapa luasan dapat dilihat pada gambar 6.7.

 

 

74

1 2

1

b 

3

b 

h

h

 b A = bh

 b A = bh/2

(a) Segi empat 3 8

(b) Segi tiga 1

b 

4

b 

h

h

A = b bh/3

 b A = (2/3)bh

(c) Parabola pangkat 2

(d) Parabola Pangkat 2

n  1 b  2n  2 

1 n   2

h

h

 b

 b

n  A 

b 

  A

n  1 bh  

(e) Parabola pangkat n

1

 

n  1 bh

(f) Parabola Pangkat n

Gambar 6.7. Letak titik berat

6.3.1. Contoh 1 Aplikasi pada Balok Sederhana dengan Beban Merata

Hitung defleksi maksimum ( CC )  yang terjadi pada struktur balok sederhana yang menahan beban merata, sebagaimana digambarkan pada gambar 6.8, dengan metode luas bidang momen.

 

 

75

q

A

C

 C

B

 C

C’ C’  

 L/2

BMD  1 8

 

2

qL

5 L . 8 2

Gambar 6.8. Balok sederhana yang menahan beban merata

Penyelesaian : Besarnya momen di C akibat beban merata sebesar M  sebesar  M CC  =   Letak titik berat dari tumpuan A sebesar =

1 8

qL2  

5  L 5 .   L   8 2 16

Berdasarkan definisi I besarnya sudut terhadap titik C adalah sebesar :  C   

 C 

 C 

 Luas bidang  momen  EI 

 

2 1  2  L . qL . 2   3  8  EI 



qL3 24 EI 

 

Berdasasrkan definisi II besarnya jarak lendutan vertikal di C sebesar s ebesar : CC’  =  =  CC    =

Statis momen luas bidang   EI 

2 1  2  L 5 L . qL . . 3 8 2 16    C    EI   C 



  4 5qL

384 EI 

 

 

 

 

76

6.3.2. Contoh 2 Aplikasi pada Cantilever dengan Beban Merata

Hitung defleksi maksimum (  B) yang terjadi pada struktur cantilever yang menahan beban merata, sebagaimana digambarkan pada gambar 6.9, dengan metode luas bidang momen. q A 

   B

L

B  B’ 

   B

BMD 

1 qL2  2 3  L   4

Gambar 6.9. Cantilever yang menahan beban merata Penyelesaian : Besarnya momen di A akibat beban merata sebesar M  sebesar  M  A = Letak titik berat ke titik B sebesar =

3 4

1  2 qL   2

 L  

Berdasarkan definisi I besarnya sudut terhadap titik B adalah sebesar :   B   

 Luas bidang  momen    EI 

1  L. qL2 3 2    EI  1

  B

  B



qL3 6 EI 

 

Berdasasrkan definisi II besarnya jarak lendutan vertikal di B sebesar :  BB’   BB ’  =  =   B =

Statis momen luas bidang   EI 

 

 

 

77

3 1  L.   qL2 .  L 4   3 2  EI  1

  B

qL4   B

 8 EI   

6.3.3. Contoh 3 Aplikasi pada Cantilever dengan Beban Titik

Hitung defleksi maksimum (  B) yang terjadi pada struktur cantilever yang menahan beban titik, sebagaimana digambarkan pada gambar 6.10, dengan metode luas bidang momen. P B  A 

 B  

L

 PL  

B’ 

 B  

BMD  2  L   3

Gambar 6.10. Cantilever yang menahan beban titik Penyelesaian : Besarnya momen di A akibat beban merata sebesar M  sebesar  M  A = - PL   PL  Letak titik berat ke titik B sebesar =

2 3

 L  

Berdasarkan definisi I besarnya sudut terhadap titik B adalah sebesar :   B   

 Luas bidang  momen  EI  1

  B

   B

 2 

 L. PL  EI 

 PL2 2 EI 

 

 

 

 

 

78

Berdasasrkan definisi II besarnya jarak lendutan vertikal di B sebesar :  BB’   BB ’  =  =   B =

  B

  B

Statis momen luas bidang   EI 

 

1  L. PL . 2  L 3   2  EI 



 PL3 3 EI 

 

6.3.4. Contoh 4 Aplikasi pada Balok Sederhana dengan Beban Titik

Hitung defleksi maksimum (  CC )  yang terjadi pada struktur balok sederhana yang menahan beban titik, sebagaimana digambarkan pada gambar 6.11, dengan metode luas bidang momen.

P

A  C

C

B

 C

C’ C’  

 L/2

BMD  1    PL 4

2   L  . 3 2

Gambar 6.11. Balok sederhana yang menahan beban titik tit ik

Penyelesaian : Besarnya momen di C akibat beban merata sebesar M  sebesar  M CC  =   Letak titik berat dari tumpuan A sebesar =

1 4

 PL  

2  L 1 .   L   3 2 3

Berdasarkan definisi I besarnya sudut terhadap titik C adalah sebesar :

 

 

79

 C   

 C 

 C 

 Luas bidang  momen  EI 

 

1 1 1 .  L.  PL 2 2 4    EI  



 PL2 16 EI 

 

Berdasasrkan definisi II besarnya jarak lendutan vertikal di C sebesar : CC’  =  =  CC    =

 C 

Statis momen luas bidang   EI 

 

2  L 1 1 1 .  L.  PL. 32    2 2 4  EI  3

 C 

 PL    48  EI 

6.4. Metode Luas Bidang Momen Sebagai Beban

Dua metoda yang sudah dibahas di atas mempunyai kelemehana yang sama, yaitu apabila konstruksi dan pembebanan dan pembebanan cukup kompleks. kompleks. Metode ”Bidang Momen Sebagai Beban” ini pun dirasa lebih praktis dibanding dengan metode yang dibahas sebelumnya. se belumnya. Metode ini pada hakekatnya berdasar sama dengan metode luas bidang momen, hanya sedikit terdapat perluasan. Untuk membahas masalah ini kita ambil sebuah konstruksi seperti tergambar pada gambar 6.12, dengan beban titik P, kemudian momen dianggap sebagai beban.

 

 

80

a

b P

A 

B 

i   

k      1

BMD 

 Pab

m 

 

 L  x n 

A

 

W   

3

 Pab  

1

 R A 

3

 Pab L  b

B

2 ( L  b )

 R B 

 

6 L

 Pab  Pa b L  a   

6 L

Gambar 6.12. Konstruksi Balok Sederhana dan Garis Elastika

Dari gambar 6.12, W adalah luas bidang momen, yang besarnya besarnya

W  

1

 Pab   Pab Pab    . L . 2  L 2

Berdasarkan definisi II yang telah dibahas pada metode luas bidang momen, maka didapat :  1 =

Statis momen luas bidang  momen terhadap  B  EI 

 1

 Pab b  1     Pa   1       L  b    2   3    EI 

 1



 Pab  Pa b L  b  6 EI 

 

 

 

 

81

Pada umumnya lendutan yang terjadi cukup kecil, maka berdasarkan pendekatan geometris akan diperoleh :  1       A . L  

  A 

atau



 1

 

 L   A

 Pab  Pa b L  b  



 

6 EIL



 R A  EI 

 

Dengan cara yang sama akan dihasilkan :   B

 Pab  Pa b L  a  



 

6 EIL



 RB  EI 

 

Dengan demikian dapat diambil kesimpulan bahwa : Sudut tangen di A dan B besarnya sama dengan reaksi perletakan dibagi EI.  EI.   Berdasarkan gambar 6.12 sebenarnya yang akan dicari adalah defleksi  pada titik C  sejauh  sejauh x meter dari dukungan A dukungan A (potongan i-j-k ) yaitu sebesar Zc sebesar Zc..  Zc = ij = ik –  ik –  jk  jk Berdasarkan geometri, maka besarnya ik =   A . x, x, maka ik   

 R A  EI 

 x  

Sedangkan berdasarkan definisi II adalah statis momen luasan  A-m-n  A-m-n   terhadap  bidang m-n m-n dibagi  dibagi EI   EI , maka luas  A  m  n.  jk =

 EI 

 x 3 

Sehingga lendutan Z  lendutan Z CC   yang berjarak x berjarak x dari  dari A  A,, adalah :  Zc = ij = ik –  ik –  jk  jk

 Z C  

1     x   R A x  luas  Amn.     EI    3 

(6.8)

Berdasarkan persamaan 6.8 didapat definisi III sebagai berikut :  Definisi III : Lendutan disuatu titik didalam suatu bentangan balok sedrhana besarnya sama dengan momen di titik tersebut dibagi dengan EI apabila bidang momen sebagai beban.  beban. 

 

 

82

6.4.1. Contoh 1 Aplikasi pada Balok Sederhana dengan Beban Merat Merata a

Hitung defleksi maksimum (  CC )  yang terjadi pada struktur balok sederhana yang menahan beban merata, sebagaimana digambarkan pada gambar 6.13, dengan metode luas bidang momen sebagai beban. q

(a) 

A  C

C

B

 C

C’ C’  

 L/2

(b) 

1 8

1 8

 

2

qL

BMD 

 

qL2

B

(c)  A

5 L . 8 2

 

Gambar 6.13. Balok sederhana yang menahan beban merata

Penyelesaian : Langkah untuk menyelesaikan permasalahan ini adalah mencari momen terlebih dahulu, hasilnya sebagaimana digambarkan pada gambar 6.13.b. Hasil momen tersebut kemudian dijadikan beban, sebagaimana diperlihatkan pada gambar 6.13.c. Kemudian dicari atau dihitung besarnya reakasi dan momennya. Besarnya    B  adalah

   A adalah

sebesar  R A akibat beban momen dibagi dengan EI  sebesar R dengan  EI , sedangkan

sebesar  R B  akibat beban momen dibagi dengan  EI , dan besarnya

 max max 

adalah sebesar  M CC    akibat beban momen dibagi dengan  EI . Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada penyelesaian dibawah ini.

 

 

83

Berdasarkan gambar 6.13.a. didapat momen sebagaimana digambarkan pada gambar 6.13.b, yang besarnya sebesar M  sebesar M CC  =  

1 8

qL2  

Dari bidang momen yang didapat pada gambar 6.13.b dibalik dan dijadikan beban sebagaimana digambarkan pada gambar 6.13.c. Dari gambar 6.13.c didapat reaksi yang besarnya :

 1   2   L  1 3 dengan Amn = W )  R A   R B    qL2     qL  (besarnya sama dengan Amn 8 3 2 24         Dengan demikian sudut kelengkunagannya kelengkunagannya dapat dihitung, yaitu sebesar :   A

   B 

 R A  EI 



qL3 24 EI 

 

Dari gambar 6.13.c. didapat juga momen dititik C , yaitu sebesar : 3 3 4  M C   qL . L   qL . 3 . L  5qL   23 2 24 8 2 384

Besanya  max max dapat dihitung yaitu sebesar :  C   

 C 



 M c  EI 

 

  4 5qL

384 EI 

 

6.4.2. Contoh 1 Aplikasi pada Balok Sederhana dengan Beban Titik 6.4.3. Contoh 1 Aplikasi pada Cantilever dengan Beban Merat Merata a 6.4.4. Contoh 1 Aplikasi pada Cantilever dengan Beban Titik 6.5. Hubungan Kurva Kurva Elastis dan Regangan Regangan Linier

Sebuah segmen balok yang semula lurus diperlihatkan dalam keadaan terdeformasi, sebagaimana ditunjukan pada gambar 6.1. Gambar tersebut serupa dengan gambar 2.2 yang digunakan untuk mendapatkan distribusi tegangan dalam  balok yang disebabkan oleh lenturan. Pada gambar 6.1 dapat dilihat bahwa dalam  balok yang melentur sudut yang berdampingan antara dua iridan adalah

 

Bila

 jarak  y dari permukaan garis netral terhadap serat yang ditinjau, maka deformasi u dari

setiap serat didapat :

 

 

84

u =

-y 

Berdasarkan persamaan tersebut dapat ditentukan besarnya regangan, yaitu sebesar

u

  

 

 panjang   panja ng   fd  O



r  

Mxz

Mxz

B’

A’ y 

a

b

f

d e

u

C’

B’ x



Gambar 6.1. Deformasi Segmen Balok dalam Lenturan

Contoh 1:  1:  Balok bertingkat seperti ditunjukkan pada Gambar 6.2(a) terbuat dari baja dengan -6

2

-6

2

modulus elastisitas Young Young 200 GPa; luas penampang penampang A1 = 8.10  m , A2 = 16.10  m ; panjang l1  = 1 m, l2  = 0,8 m. Pada tingkatnya dipasang ccincin incin yang san sangat gat kaku untuk menerapkan  beban F = 4 kN. Hitunglah: (1) Reaksi titik titik-titik -titik tumpuan A dan B, (2) tegangan-tegangan tegangan-tegangan yang terjadi pada penampang A1 dan A2 , (c) perpindahan titik C.  

 

 

85

Penyelesaian:

-6

E = 200 (GPa)

2

A2 = 16.10  (m )

l1 = 1 (m)

A1 = 0.8 (m)

Titik A dan B tetap, tidak berpindah. (a) l1 l1   = ?

l2 l2   =

?

(b) Perpindahan titik C = ? Fh

R A

= 0 ===>

+ F  R B = 0 R B = F  R A =400 R A

 R A

 R A

1    A1   8  2  



 R B

125 5 R  0,12

 A  



(MPa)

4000 R A 16

 A2

 

  250 0,062 0625 5 R A   MPa  Hukum Hooke:

l 1 

Gambar 6.2. Superposisi: Balok Bertingkat 

1

  l 1  E 

 



0,125 125 R A 2.105

  4    6, 2510  R A .

l 2 

2

  l 2  E 

 



( 25 250 0  0,06 0,0625 25 R A) 5

2.10

Panjang pada deformasi:

4    800  1   2 ,510  R A .

 

  ( mm)

  ( mm)  

l 1’ = l 1 + l 1  l 2’ = l 2 + l 2 

(6.3a) (6.3b)

Titik A dan B tidak berpindah ==> panjang total batang tetap, l 1 + l 2  tetap, sehingga  l 1’ + l 2’ = l 1 + l 2  ==> (l 1 + l 1  ) + ((l  l 2 + l 2 )  )   = l 1 + l 2  atau

l 1 + l 2 

= 0

===> atau

Sehingga:

1

-4

-4

6,25.10 R A - 1 + 2,5.10 R A = 0 -4

R A = ( 1 / 8,5. 10  ) = 1176,5 (N)

= 0,125 R A = 147.06 (MPa)

2 =

- ( 250 - 0,0625 R A ) = -176,47 (MPa) -4

Perpindahan titik C = 6,2 6,25.10 5.10   R A  = 0,735 (mm)