BAB - 4 Kategorisasi Berdasarkan Proporsi

BAB 4 K ATEGORISASI ATEGORISASI BERDASARKAN PROPORSI

KATEGORISASI BERDASARKAN PROPORSI Pengantar  Kadang-kadang kita perlu membuat klasifikasi atau pengelompokan data menjadi beberapa klasifikasi dengan jumlah atau proporsi yang sama pada tiap klas klasifi ifikas kasi. i. Misal Misalnya nya kita kita memba membagi gi menja menjadi di dua dua klasi klasifik fikasi, asi, empa empatt klas klasifi ifika kasi, si, sepuluh sepuluh klasifika klasifikasi, si, atau bahkan bahkan seratus seratus klasifik klasifikasi. asi. Untuk Untuk keperlu keperluan an tersebu tersebutt statistika menyediakan suatu alat yang praktis dan mudah digunakan. Alat tersebut adalah kuartil, desil, persentil, dan, jenjang persentil yang akan dibahas dalam bab 4 ini. Agar lebih mudah memahami isi uraian dalam bab 4 ini dianjurkan pembaca telah mempelajari mempelajari uraian dalam dalam bab 3. Setelah Setelah mempelaja mempelajari ri bab ini pembaca pembaca

diharapk diharapkan an dapat memperole memperoleh h

pemahaman pemahaman tentang : 1.

pengertian pengertian Kuartil, Desil, Persentil, dan, Jenjang Persentil,.

2.

cara menentukan Kuartil, Desil, Persentil, dan, Jenjang Persentil dari suatu distribusi.

3.

penggu penggunaan naan Kuartil, Kuartil, Desil, Desil, Persent Persentil, il, dan, dan, Jenjang Jenjang Persenti Persentill sebaga sebagaii alat alat pembuatan klasifikasi.

47

KATEGORISASI BERDASARKAN PROPORSI A. Kuartil Kalau kita mau mambagi suatu distribusi menjadi dua bagian sama besar, besar, memisah memisahkan kan sekor-sek sekor-sekor or tinggi tinggi dan rendah, rendah, maka maka kita menggu menggunaka nakan n median (Me). Tetapi jika akan membagi suatu distribusi menjadi empat bagian sama sama

banya anyak, k,

masi masing ng-m -ma asing sing

sep seperem erempa patt

bag bagian, ian,

maka aka

kita ita

haru harus s

menggu menggunaka nakan n kuartil kuartil (K). Ada tiga tiga kuartil kuartil yaitu yaitu kuartil kuartil pertama pertama (K1), kuartil kuartil kedua (K2), dan kuartil ketiga (K3). Kuartil pertama membatasi 25% frekuensi distribusi di bagian bawah dan 75% frekuensi distribusi di bagian atas. Kuartil kedua (K 2) membatasi 50% frekuensi frekuensi distribusi bagian dibawah dan 50% frekuensi distribusi di bagian atas. Kuartil ketiga mambatasi 75% frekuensi dibagian bawah dan 25% frekuensi distribusi di bagian atas.

25%

75% K 

1

50%

50%

K 

2

75%

25%

K 

3

25%

25%

K 

1

25%

K 

2

25%

K 

3

Gambar 4.1. Ilustrasi Letak Kuartil 

48

Untuk menentukan kuartil digunakan rumus 4.1.

 K n = Bbny

n   N  −  fk  b +4   f    

  i  

…….(Rumus …….(Rumus 4.1) 4.1)

Cara penggunaan rumus 4.1. sama dengan penggunaan rumus 3.5. dalam menentukan median. median. Untuk mencobanya kita hitung K 1 dari bahan tabel 4.1. Langkah Langkah pertama untuk menghitung K 1 adalah menentukan menentukan ¼ N = ¼ x 80 = 20. Pada kolom fk kita cari angka yang terdekat dengan 20 (dan ternyata dite ditemu muka kan n 23). 23). Lang Langka kah h ke tig tiga adal adalah ah menc mencar arii inte interv rval al kela kelas s yang yang meng mengan andu dung ng fk = 23, 23, yait yaitu u inte interv rval al 61 – 70 deng dengan an Bbny Bbny = 60,5 60,5 dan dan mempunyai f = 15. Langkah berikutnya adalah menentukan fk b, yaitu bilangan yang tepat berada di bawah fk yang mengandung K 1 (23) yaitu = 8. Selanjutnya memasukkannya dalam rumus 4.1. Tabel 4.1 : Data afiktif untuk Latihan Nilai f fk 91 – 100 12 80 81 – 90 20 68 71 – 80 25 48 61 – 70 15 23 51 – 60 5 8 41 – 50 2 3 31 – 40 1 1 Σ 80

Letak K 1

 K n

 K 1

= Bbny

 n  N  −  fk     fk b  4 + i   f        

= Bbny

 1  N  −  fk    fk  b  4 +    f     

f  fk b

     i      

 20 − 8  = 60 ,5 +  10 = 68,5  15  49

Untuk menentukan K 2 digunakan digunakan rumus :

2   fk b  4  N  −  fk   K  = Bbny +    f      2

  i   

Bandingkan dengan rumus 3.5. kedua rumus tersebut sama persis karena K2 dan Me keduanya sama membatasi 50% frekuensi di bagian bawah dan 50 % frekuensi di bagian atas, karena itu keduanya berhimpit.

 40 − 23  10 = 77,3  25 

 K 2 = 70,5 + 

3  −  N    fk  b    K 3 =  Bb  Bbny +  4 i   f        60 − 48  10 = 86,5 = 80,5 +   20  

Perlatihan 4.1. Tentukanlah Tentukanlah K1, K2, dan K3 dari tabel 3.8. dan tabel 3.9.

50

B. Desil dan Persentil Penentuan dan penggunaan desil dan persentil hampir sama dengan kuartil. kuartil. Perbedaa Perbedaannya nnya,, kuartil kuartil digunak digunakan an untuk untuk membag membagii distrib distribusi usi menjadi menjadi empat bagian, sedangkan desil digunakan untuk membagi distribusi menjadi sepuluh sepuluh bagian, bagian, dan persent persentilil digunak digunakan an untuk untuk membag membagii distrib distribusi usi menjadi menjadi sera seratu tus s bagi bagian an.. Rumu Rumus s dan dan cara cara peng penggu guna naan anny nya a pun pun hamp hampir ir sama sama.. Perhatikanlah Perhatikanlah rumus-rumus di bawah ini :

n   10  N  −  fk b   Dn =  Bbny +  i  f      

……………..(Rumus ……………..(Rumus 4.2.)

5  −  N   fk  b    D5 =  Bbny +  10 i  f      

 n   100  N  −  fk b   P n =  Bb  Bbny +  ……………..( Rumus 4.3.) i ……………..(Rumus   f      

 5   N   fk  − b  100   P 5 =  Bbny  Bbny +  100 i  f       Langkah dan prosedur menghitung desil dan persentil tidak berbeda deng dengan an cara cara meng menghit hitung ung media median n maup maupun un kuart kuartil. il. Untu Untuk k lebih lebih jelas jelasnya nya perhatikanlah contoh dibawah ini :

51

Tabel 4.2. : Data Rekaan Untuk Latihan Menentukan Desil Nilai f fk 49 – 55 4 84 42 – 48 10 80 35 – 41 16 70 28 – 34 25 54 f  21 – 27 20 29 14 – 20 6 9 7 – 13 3 3 fk  b Σ 84 -

Jika akan menentukan D5, maka langkah-langkahnya adalah : 1. Hitung Hitung 5/10 5/10 N = 5/10 5/10 x 84 84 = 42. 42. 2. Cari angka angka pada kolom kolom fk yang terdekat terdekat dengan dengan 42 (tetapi (tetapi tidak boleh boleh kurang dari 42 (tetapi tidak boleh kurang dari 42), yaitu 54. 3. Cari interval kelas pada kolom nilai yang mempunyai fk = 54 yaitu interval

kelas 28 – 34. 4. Tentukan Bbny Bbny dari interval kelas kelas 28 – 34 yaitu yaitu 27,5. 27,5. 5. Cari f dari dari interval interval kelas kelas 28 – 34, 34, yaitu 25. 25. 6. Cari fkb, yaitu angka pada kolom fk yang tepat berada dibawah 54, yaitu

29. 7. Tentuk Tentukan an i, yai yaitu tu 7.

Selanjutnya memasukkan kedalam rumus 4.2.

5  −  N   fk  b    D5 =  Bbn  Bbnyy +  10 i  f      

 42 − 29  7 = 31,14 = 27 ,5  2 5   Dari tabel 4.2. jika kita akan menghitung P20 maka langkah-langkahnya adalah

Nilai 49 – 55

f 4

fk 84 52

42 – 48 35 – 41 28 – 34 21 – 27 14 – 20 7 – 13 Σ

1. Hitung

20 100

N=

10 16 25 20 6 3 84 20 100

80 70 54 29 9 3 -

f 

fk 

b

x 84 = 16,8.

2. Cari Cari angka angka terdekat terdekat denga dengan n 16,8 pada pada kolom kolom fk (yaitu (yaitu 29). 29). 3. Cari interval kelas pada kolom nilai, yang mempunyai fk 29 yaitu 21 – 27.

4. Tentukan Tentukan Bbny Bbny dari dari interva intervall kelas kelas 21 – 27 27 yaitu yaitu 20,5. 20,5. 5. Cari Cari f dari dari interv interval al kelas kelas 21 21 – 27, 27, yaitu yaitu 20. 20. 6. Cari fkb,yaitu angka pada kolom fk yang berada tepat dibawah 29 yaitu 9.

7. i = 7.

Selanjutnya Selanjutnya masukkan dalam rumus 4.3.

 20   100  N  −  fk b   P 20 =  Bbny +  i  f       16,8 − 9  7 = 23,3 = 20,5 +   20 

53

Perlatihan 4.2 1. Tentukanlah D2, D3, dan D5 dari tabel dibawah ini. Tabel 5.3 Nilai IPA 60 Siswa Nilai 55 – 65 44 – 54 33 – 43 22 – 32 11 – 21 0 – 10 Σ

1.

f   5 15 20 10 8 2 60

Tentukanlah Tentukanlah P2, P25, P95, dari tabel 4.4. dibawah ini.

Tabel 4.4. Nilai Statistika 75 Mahasiswa. Nilai 90 – 98 81 – 89 72 – 80 63 – 71 54 – 62 45 – 53 36 – 44 27 – 35 Σ

f   5 10 16 20 10 8 5 1 75

54

C. Jenjang persentil Dalam Dalam perlomb perlombaan aan biasanya biasanya kita memberi memberi jenjang jenjang nomor nomor satu atau  jenjang  jenjang ke satu, pada individu yang memperoleh memperoleh sekor tertinggi, pada individu yang yang meme memepe perol roleh eh sekor sekor tertin tertingg ggii berik berikutn utnya ya diber diberii jenj jenjang ang kedu kedua, a, dan dan seterusnya. Cara memberi jenjang semacam ini disebut jenjang menurut angka atau singkatnya jenjang angka (numerical ( numerical rank ). ). Disa Disamp mping ing jenja jenjang ng angk angka a cara cara lain, lain, yang yang sering sering digu diguna nakan kan dala dalam m statistika adalah jenjang menurut persentil atau singkatnya jenjang persentil ( percentil rank)  percentil rank) dan disingkat JP. Perbedaan antara jenjang angka dengan jenjang persentil dapat dilihat pada tabel 4.5. dibawah ini. Tabel 4.5 : Jenjang Angka Dan Jenjang Persentil Dari 10 Orang Yang Sama Mendapat Nilai Berurutan. Jenjang Jenjang Nama Nilai Angka Persentil  Ali 10 1 100 Bety 9 2 90 Cici 8 3 80 Didi 7 4 70 Eny 6 5 60 Fitri 5 6 50 Gayatri 4 7 40 Heny 3 8 30 Indah 2 9 20 Joni 1 10 10 Dari Dari tabe tabell 4.5. 4.5. tampak tampak ada ada 2 perbe perbedaa daan n antar antara a jenj jenjang ang angk angka a terkecil terkecil terletak terletak pada pada sekor sekor terbesar terbesar sedang sedang jenjan jenjang g persen persentil til yang terkeci terkecill terletak terletak pada sekor yang yang paling paling kecil. kecil. Perbedaa Perbedaan n kedua, kedua, jenjang jenjang terbesar  terbesar  selalu 100, sedang jenjang angka terbesar tergantung pada banyaknya data atau banyaknya individu dalam kelompok tersebut. Jenja Jenjang ng perse persenti ntill terbe terbesar sar selalu selalu 100 100 kare karena na jenja jenjang ng perse persenti ntill merupakan angka yang menunjukkan frekuensi dalam persen dari suatu nilai dan dibawahnya.

Rumus untuk menghitung jenjang persentil adalah :

55

 X  − Bbn  Bbny y  JP   JP  =  i 

  f     fk  100  + b   N  

............(Rumus ............(Rumus 4.4) 4.4)

JP = Jenjang Jenjang persentil persentil yang kita hitung  hitung   X = Suatu Suatu nilai nilai (yang (yang diketahu diketahui) i) yang yang akan akan dihitung  dihitung   jenjang  jenjang persen persentilnya tilnya Bbny= Batas Batas bawah bawah nyata dari interval kelas yang mengandung mengandung X  f = Frek Frekuen uensi si dari dari kelas kelas yang yang meng mengan andun dung g X  fk b = Frekuensi kumulatif dibawah interval kelas yang  mengandung X. N = Cacah Cacah data data (jumlah (jumlah frekuensi frekuensi dalam dalam distrib distribusi). usi).

Misal kita akan menghitung jenjang persentil dari nilai 50 (JP 50) dari tabel 4.6. dibawah ini : Tabel 4.6 : Nilai Ujian 80 Mahasiswa Nilai f fk 76 – 86 2 80 65 – 75 9 78 54 – 64 16 69 43 – 53 25 53 32 – 42 17 28 21 – 31 8 11 10 – 20 3 3 Σ 80 Langkah-langkah yang ditempuh adalah : 1. Mencari Mencari interva intervall kelas pada pada kolom nilai nilai yang menga mengandun ndung g nilai X = 50, yaitu interval kelas 43 – 53. 2. Menentu Menentukan kan Bbny Bbny dari dari interval interval kelas kelas 43 43 – 53, yaitu yaitu 42,5. 42,5. 3. Mencari f dari interval kelas 43 – 53, yaitu 28. 4. Mencari fkb yaitu fk dari interval kelas 32 – 42, yaitu 28

5. Meng Menghi hitu tung ng i,i, yait yaitu u 11. 11.

Selanjutnya memasukkannya kedalam rumus 4.4.

 50 − 42,5   100 + 25 28    11   80

 JP 50 = 

= [ 45,045]

100 80

= 56,306

56

Ini berarti yang mendapat nilai 50 kebawah ada sebanyak 56,306% dari 80 mahasiswa. Dengan cara yang sama kita dapat menghitung JP dari nilai-nilai yang lain. Misalnya nilai 70 :

X

= 70

Bbny = 64,5 F

=9

fkb

= 69

i

= 11

70 − 64 ,5  100 9 6 9 +    11  80

 JP   JP 70 = 

= 91,875

Ini Ini berar berarti ti yang yang menda mendapa patt nila nilaii 70 keba kebawa wah h ada ada 91,87 91,875% 5% dari dari 80 mahasiswa atau sama dengan 73,5 (dibulatkan menjadi 74 orang). Dari uraian dan contoh-contoh di atas, tampak bahwa persentil berbeda dengan dengan jenjang persentil. persentil. Persentil seperti halnya desil dan kuartil adalah suatu titik, titik, suatu suatu nilai, nilai, sedang sedang jenjang jenjang persent persentilil adalah adalah jarak, jarak, yang menunju menunjukkan kkan frekuensi dalam persen.

Perlatihan 4.3

1.

Tentukanlah Tentukanlah JP10, dan JP50 dari tabel 4.3.!

2.

Tentukanlah Tentukanlah JP30, dan JP75 dari tabel 4.4.!

57