Bab 3_Pepejal Sekata Dan Semisekata

MTE3103 Geometri

Topik 3

3.1

Pepejal Sekata dan Semi-sekata

Lima Pepejal Platonik = Polihedra sekata cembung

Polihedron merupakan pepejal yang permukaannya merupakan poligon satah. Poligon membentuk permukaan bagi pepejal Platonik. Permukaan-permukaan bertemu di sisi (edge). Titik di mana dua atau lebih sisi bertemu dinamakan bucu (vertex, vertices).

3.1.1 Hubungan antara pepejal Platonik dengan elemen dalam alam Pepejal Platonik ditemui dalam tempoh Plato (427-347 B.C.). Namun, pepejal Platonik bukan ditemui ditemui oleh Plato. Plato. Pepejal-p Pepejal-pepej epejal al ini dinamaka dinamakan n sedemiki sedemikian an atas sumbanga sumbangan n Plato Plato dan pengikut-pengikutnya. Menurut Plato, terdapat kepadanan antara empat daripada pepejal ini dan empat elemen dalam alam: Kubus (Cube) bumi Tetrahedron api Oktahedron udara Ikosahedron air   dan dodekahedron menutupi keseluruhan alam semesta.

3.1. 3.1.2 2

Defi Defini nisi si Pol Polih ihed edra rall

Kesemua polihedra adalah tiga dimensi dengan permukaannya merupakan poligon satah.  poli   ‘poli ’ = banyak; ‘hedra ‘hedra’’ = permukaan. Satu polihedron sekata mempunyai kesemua permukaannya permukaannya poligon sekata. Dengan erti kata lain, permukaannya terbentuk daripada satu jenis poligon sahaja. Istilah yang berkaitan dengan polihedra: (a) Cembung (Convex) ( Convex)::

Jika kita mengambi mengambill dua dua titik titik di di dalam dalam atau di atas atas sisi sisi poligon, poligon,

maka setiap titik di atas garis yang menyambungkan dua titik ini juga terletak di dalam poligon. Poligon seperti ini dinamakan poligon cembung. Poligon yang bukan cembung dinamakan poligon cekung (concave). (a) Poligon Poligon cembung cembung

(b) Poligon Poligon cekung cekung

Polihedron cembung: cembung: Jika kita ambil sebarang dua titik di dalam atau di sisi atau di 1

MTE3103 Geometri

satu permukaan sebuah polihedron, maka setiap titik di atas garis yang menyambungkan dua titik itu juga terletak di dalam poligon. (b) Poliheron sekata mempunyai kesemua permukaan yang merupakan poligon sekata.

3.1.3 Kenapakah Hanya Terdapat Lima Pepejal Platonik? Setiap polihedron cembung mesti memenuhi dua syarat: (a) Hasil tambah sudut-sudut yang bertemu pada sebarang bucu sebuah polihedron cembung mesti kurang daripada 360 o; (b) Sekurang-kurangnya tiga permukaan mesti bertemu pada setiap bucu. Keadaan lain: (a) Semua bucu mesti disambung/tertutup. (b) Sudut-sudut mesti kongruen (c) Kesemua permukaan mesti kongruen (d) Bilangan permukaan yang sama bertemu pada setiap bucunya.

Kita tidak boleh membina satu rajah cembung tiga dimensi dengan enam atau lebih segitiga sama sisi bertemu pada setiap bucu kerana sudut bagi sebuah segitiga sama sisi = 600, bererti 6 x 600 = 3600.

Sebaliknya, untuk membina rajah cekung tiga

dimensi, kita boleh menggunakan lebih daripada 6 permukaan, iaitu melebihi 360 0. Sebagai kesimpulan, untuk membina rajah cembung tiga dimensi, bilangan segitiga sama sisi yang bertemu pada satu bucu ialah 3, 4 atau 5 sahaja, seperti yang ditunjukkan dalam rajah halaman berikutnya. Perhatikan bahawa untuk membina satu polihedron cembung sekata, jumlah sudut pada satu bucu mesti kurang daripada 360 0. Ini menerangkan kenapa hanya terdapat lima polihedra cembung sekata atau lima pepejal Platonik. Bukti: (i)

Jumlah sudut bagi permukaan-permukaan yang bertemu pada satu bucu adalah kurang daripada 360 0.

(ii)

Jika tiga segitiga sama sisi bertemu pada setiap bucu, maka ini boleh diwakili dengan menggunakan simbol Schlāfli (3,3). Simbol Schlāfli ( p,q) bermakna polihedron mempunyai permukaan yang merupakan poligon sekata bersisi-p, dengan q poligon bertemu pada setiap bucu. 2

MTE3103 Geometri

Simbol Schlāfli ( p,q)

Poligon sekata bersisi-p

bilangan poligon bertemu pada satu bucu Tetrahedron: Tiga segitiga sama sisi pasa satu bucu: 3 x 60 0 = 1800

Oktahedron: Empat segitiga sama sisi pada satu bucu: 4 x 60 0 = 2400

Ikosahedrons: Lima segitiga sama sisi pada satu bucu: 5 x 60 0 = 3000

Kubus: Tiga segiempat sama pada satu bucu: 3 x 90 0 = 2700

Dodekahedron: Tiga pentagram pada satu bucu: 3 x 1080 = 3240

3.1.4 Simbol Schläfli bagi pepejal Platonik Simbol Schläfli { p,q} bererti poligon itu mempunyai p sisi sekata, dan setiap bucu dikelilingi oleh q permukaan. p : poligon sekata bersisi p [iaitu: segitiga sama sisi: p = 3; kubus: p = 4; tetrahedron: p = 3; Oktahedron: p = 3; Dodekahedron: p = 5; Ikosahedron: p = 3] q : bilangan poligon yang bertemu di setiap bucu

Simbol Schläfli bagi pepejal Platonik: • • • •

tetrahedron: {3,3}, permukaan: segitiga, rajah bucu: segitiga kubus: {4,3}, permukaan: segiempat sama, rajah bucu: segitiga oktahedron : {3,4}, permukaan: segitiga, rajah bucu: segiempat sama dodekahedron : {5,3}, permukaan: pentagon, rajah bucu: segitiga 3

MTE3103 Geometri •

3.1.5

ikosahedron : {3,5}, permukaan: segitiga, rajah bucu: pentagon Bucu, Permukaan dan Sisi

Isikan jadual di bawah tentang pepejal Platonik. Lima Pepejal Platonik

Pepejal

Nama Pepejal Bilangan permukaan yang bertemu di setiap bucu Simbol Schlāfli (p, q) Bilangan permukaan (F) Bilangan bucu (V) Bilangan sisi (E) Konfigurasi bucu Dual • •

•

•

3.1.6 •

Tentukan bilangan bucu, permukaan dan sisi bagi setiap pepejal Platonik.  Apakah rumus umum untuk menghitung bilangan permukaan, sisi dan bucu suatu polihedron? Jawapan: Bilangan sisi = Bilangan permukaan + Bilangan bucu – 2 Contoh untuk menunjukkan hubungan antara bilangan bucu, muka dan sisi: Dodekahedron mempunyai 12 muka. Oleh itu, jika dikira secara berasingan, akan diperoleh 5 x 12 = 60 sisi kesemuanya. Akan tetapi, setiap sisi bagi dodekahedron menyambungkan dua muka, maka dengan cara begini, kita akan mengira setiap sisi dua kali. Oleh yang demikian, bilangan sisi haruslah 60 ÷ 2 = 30 sisi. Setiap sisi menyambungkan dua bucu. Jika kita mengira setiap sisi secara berasingan, kita akan mendapat 2 x 30 = 60 bucu. Akan tetapi, untuk dodekahedron, tiga sisi bertemu pada setiap bucu dan kita akan mengira setiap bucu sebanyak tiga kali. Sekali lagi, ianya harus mempunyai 60 ÷ 3 = 20 bucu. Dual Simbol Schlāfli bagi sebuah kubus ialah (4, 3) dan bagi oktahedron ialah (3, 4). Bilangan sisi bagi kedua-dua pepejal adalah sama, iaitu 12 sisi. Bilangan permukaan bagi satu kubus adalah sama dengan bilangan bucu bagi sebuah oktahedron, dan sebaliknya. Jadi, kita kata dual bagi kubus ialah oktahedron dan dual bagi oktahedron ialah kubus.

•

Simbol Schlafli bagi dodekahedron ialah (5,3) dan ikosahedron ialah (3, 5). Bilangan sisi bagi kedua-dua pepejal ialah 30.

Oleh itu, dodekahedron ialah dual bagi

ikosahedron dan dual bagi ikosahedron ialah dodekahedron. 4

MTE3103 Geometri •

Bagi tetrahedron, kedua-dua nilai p dan q dalam Simbol Schl āfli (p, q) adalah sama, iaitu (3, 3). Kita kata tetrahedron adalah dual kendiri .

Bentangan bagi lima pepejal Platonik

tetrahedron (ada 2 bentangan)

oktahedron

3.2

kubus (ada 11 bentangan)

ikosahedron

dodekahedron

Pepejal Semi-sekata: Pepejal Archimedean

Pepejal Archimedean adalah pepejal semi-sekata kerana kerana dibentuk oleh dua atau lebih poligon cembung sekata dengan bilangan sisi dan bilangan permukaan yang sama, dan poligon-poligon yang bertemu di setiap bucu mempunyai susunan yang sama. Terdapat 13 jenis pepejal Archimedean, iaitu: 1. (3, 4, 3, 4) kuboktahedron (cuboctahedron) 2. (3, 5, 3, 5) ikosidodekahedron (icosidodecahedron) 3. (3, 6, 6) tetrahedron terpenggal (truncated tetrahedron) 4. (4, 6, 6) oktahedron terpenggal (truncated octahedron) 5. (3, 8, 8) kubus terpenggal (truncated cube) 6. (5, 6, 6) Ikosahedron terpenggal (truncated icosahedron) 7. (3, 10, 10) dodekahedron terpenggal (truncated dodecahedron) 8. (3, 4, 4, 4) rombikuboktahedron (rhombicuboctahedron), (juga dinamakan rombikuboktahedron kecil) 9. (4, 6, 8) cuboktahedron terpenggal (truncated cuboctahedron), (juga dinamakan rombikuboktahedron besar, the great rhombicuboctahedron) 10. (3, 4, 5, 4) rombikosidodekahedron (rhombicosidodecahedron) 11. (4, 6, 10) ikosidodekahedron terpenggal (truncated icosidodecahedron) 5

MTE3103 Geometri

12. 13.

(3, 3, 3, 3, 4) kubus “snub” atau koboktahedron “snub” (snub cube, snub cuboctahedron (snub bermakna proses menyusun poligon dengan segitiga). (3, 3, 3, 3, 5) dodekahedron “snub” atau ikosidodekahedron “snub” (snub dodecahedron, snub icosidodecahedron).

Latihan: Namakan pepejal yang mempunyai bentangan berikut:

Pepejal Archimedean mempunyai kaitan dengan lima pepejal Platonik: a. Jika titik-titik tengah kesemua sisi sebuah tetrahedron sekata disambung dengan satu siri garisan, akan didapati garis-garis ini mentakrifkan sisi sebuah oktahedron sekata. b. Jika titik-titik tengah sebuah kubus atau oktahedron disambung dengan cara yang sama, satu kuboktahedron terhasil. c. Jika titik-titik tengah setiap sisi sebuah ikosahedron atau sebuah dodekahedron disambung dengan cara yang sama, satu ikosidodekahedron diperoleh. Rajah-rajah ini dirujuk sebagai rajah dua frekuensi. d. Jika kita membahagikan setiap sisi kepada tiga bahagian dan titik-titik yang terhasil disambungkan dengan satu siri garis seperti di atas, lima rajah yang terhasil melalui cara ini ialah tetrahedron terpenggal, oktahedron terpenggal, kubus terpenggal, ikosahedron terpenggal dan dodekahedron terpenggal. Rajah-rajah ini dirujuk sebagai rajah tiga frekuensi. e. Rajah-rajah empat frekuensi dihasilkan dengan menyambungkan titik-titik tengah bagi sisi rajah dua frekuensi. Pepejal yang dihasilkan dengan cara ini cara ini ialah rombikuboktahedron kecil, kuboktahedron dan rombikosidodekahedron kecil. f. Rajah-rajah frekuensi 6 boleh dihasilkan dengan membahagikan sisi-sisi setiap rajah frekuensi 2 kepada 3 bahagian. Pepejal yang dihasilkan adalah rombikuboktahedron besar, oktahedron terpenggal dan rombikosidodekahedron besar. g. Kubus snub dikaitkan dengan kubus dan oktahedron, ikosahedron dikaitkan dengan tetrahedron manakala dodekahedron snub dikaitkan dengan ikosahedron dan dodekahedron. Pepejal Archimedean Nama (Konfigurasi Bentuk Bentuk Pepejal bucu) lutsinar 

6

Bentangan

Permukaan

Sisi

Bucu

MTE3103 Geometri

Tetrahedron terpenggal (Truncated tetrahedron) (3.6.6)

8

4 segitiga 4 heksagon

18

12

8 segitiga 6 14 segiempat sama

24

12

8 segitiga 6 oktagon

36

24

6 segiempat 14 sama 8 heksagon

36

24

8 segitiga 18 26 segiempat sama

48

24

12 segiempat 26 sama 8 heksagon 6 oktagon

72

48

Snub cube or snub hexahedron or snub cuboctahedron (2 chiral forms) (3.3.3.3.4)

32 segitiga 6 38 segiempat sama

60

24

Icosidodecahedron (3.5.3.5)

20 segitiga 32 12 pentagon

60

30

20 segitiga 12 dekagon

90

60

Kuboktahedron (Cuboctahedron) (3.4.3.4) Kubus terpenggal atau kehsahedron terpenggal (Truncated cube or truncated hexahedron) (3.8.8) Oktahedron terpenggal (Truncated octahedron) (4.6.6) Rombikuboboktahed ron (Rhombicuboctahedr  on or small rhombicuboctahedro n) (3.4.4.4 ) Truncated cuboctahedron or great rhombicuboctahedro n (4.6.8)

14

Truncated dodecahedron (3.10.10)

32

7

MTE3103 Geometri

Truncated icosahedron or buckyball or football/soccer ball (5.6.6 )

12 pentagon 32 20 heksagon

Rhombicosidodecah edron or small rhombicosidodecahe dron (3.4.5.4) Truncated icosidodecahedron or great rhombicosidodecahe dron (4.6.10)

20 segitiga 30 segiempat 62 120 sama 12 pentagon 30 segiempat sama 62 180 20 heksagon 12 dekagon

Snub dodecahedron or snub icosidodecahedron (2 chiral forms) (3.3.3.3.5)

80 segitiga 92 12 150 pentagon

90

Bongkah Archimedean boleh dibentuk daripada bongkah Platonik dengan memotong bucu-bucunya. Polihedron yang terbentuk melalui kaedah ini adalah: (1) Truncated tetrahedron: heksagon sekata dan segitiga sama sisi (2) Truncated cube: segitiga sama sisi dan oktagon sekata (3) Truncated octahedron: segiempat sama dan heksagon sekata (4) Truncated icosahedron: pentagon sekata dan heksagon sekata (5) Truncated dodecahedron: segitiga sama sisi dan dekagon sekata (6) Truncated cuboctahedron: segiempat sama, heksagon sekata dan oktagon sekata (7) Truncated icosidodecahedron: segiempat sama, heksagon sekata dan dekagon sekata. 3.3

Pepejal Kepler-Poinsot = Polihedra bintang sekata Pepejal Kepler-Poinsot diperoleh dengan melakukan proses stelat ke atas dodekahedron dan ikosahedron cembung sekata, dan berbeza daripada dua pepejal ini dengan mempunyai permukaan pentagram sekata atau rajah bucu. Pepejal Kepler-Poinsot adalah polihedron bukan cembung yang sekata, dengan permukaan cekung. Kesemua permukaan adalah poligon sekata yang kongruen Bilangan permukaan yang bertemu pada setiap bucu adalah sama. Terdapat empat jenis pepejal Kepler-Poinsot: Dodekahedron stelat kecil, dodekahedron besar, dodekahedron stelat besar dan ikosahedron besar. Dodekahedron stelat kecil dan dodekahedron stelat besar ditemui oleh Johannes Kepler pada 1619 dengan melakukan stelat ke atas dodekahedron cembung sekata. Pada 1809, Louis Poinsot menemui dua lagi bintang sekata, iaitu ikosahedron besar  dan dodekahedron besar. 8

60

60

120

60

MTE3103 Geometri

•

•

•

•

Dodekahderon besar (great dodecahedron) mempunyai bilangan bucu dan sisi yang sama dengan ikosahedron. Dodekahedron stelat kecil (small stellated dodecahedron) mempunyai bilangan bucu dan sisi yang sama dengan ikosahedron besar ( great icosahedron). Kedua-duanya mempunyai bilangan bucu (tetapi bukan sisi) yang sama seperti ikosahedron. Dodekahedron stelat besar (great stellated dodecahedron) mempunyai bilangan bucu (tetapi bukan sisi) yang sama seperti dodekahedron. Keempat-empat pepajal Kepler-Poinsot mempunyai paksi simetri dan satah simetri yang sama seperti ikosahedron dan dodekahedron.

Simbol Schläfli: Simbol pecahan { p/q} bermakna rajah satah dengan p bucu di mana setiap bucu ke-q disambungkan. Oleh itu, 5/2 adalah satu bentuk bintang dengan 5 hujung. •

•

•

•

Bagi dodekahedron stelat besar (great stellated dodecahedron), simbol Schläfli {5/2,3}, permukaan ialah pentagram, rajah bucu ialah segitiga. Bagi dodekahderon stelat kecil, simbol Schläfli {5/2,5}, permukaan ialah pentagram, rajah bucu ialah pentagon. Ikosahedron besar, dengan simbol Schläfli {3,5/2}, permukaan ialah segitiga, rajah bucu ialah pentagram. Dodekahedron besar, dengan simbol Schläfli {5,5/2}, permukaan ialah pentagon, rajah bucu ialah pentagram.

Ciri-ciri pepejal Kepler-Poinsot:

Nama

Dodekahedron stelat kecil

dodekahedron besar 

Gambar  

Schläfli Permukaan Sisi {p,q} {p}

{

5 2

{5,

,5 }

}

12 {5/2}

12 {5}

9

Bucu {q}

30

12 {5}

30

12 {5/2}

Dual

Dodekahedron besar 

Dodekahedron stelat kecil

MTE3103 Geometri

Dodekahedron stelat besar 

{ , 3}

Ikosahedron besar 

{3,

}

12 {5/2}

20 {3}

30

20 {3}

30

12 {5/2}

Ikosahedron besar 

Dodekahedron stelat besar 

3.4 Prisma dan Anti-prisma Prisma terdiri daripada dua salinan sebarang poligon sekata (satu di atas dan satu lagi di bawah), disambungkan dengan segiempat sama di sisi-sisi. Di setiap bucu, dua segiempat sama dan satu daripada poligon-poligon itu bertemu.  Anti-prisma juga terdiri daripada dua salinan sebarang poligon sekata tetapi tepinya disambung dengan segitiga sama sisi yang disusun seperti dalam rajah di bawah. Pada setiap bucu, tiga segitiga dan satu poligon bertemu.

Prisma segitiga (4,4,3) Prisma segiempat tepat (4,4,4)

Prisma dekagon

 Antiprisma pentagon

Prisma pentagram

Prisma pentagon (4,4,5)

Prisma heksagram

Prisma heksagon (4,4,6)

 Antiprisma segiempat sama (3,3,3,4)

 A  Antiprisma heptagon  Antiprisma heksagon (3, 3, 3, 7) 10

ntiprisma dekagon

MTE3103 Geometri

Ulangkaji  Soalan Objektif  1.

Apakah simbol Schlafli bagi sebuah oktahedron? (A) {3, 3} (B) {3, 4} (C) {4, 3}

(D) {5. 3}

2. Namakan polihedron yang mempunyai bentangan berikut: (A) Ikosahedron (B) Dodekahedron (C) Cuboktahedron (D) Ikosidodekahedron

3. Yang manakah antara berikut ialah pepejal Kepler-Poinsot? (A) Dodekahedron (B) Cuboktahedron (C) Dodekahedron terpenggal (D) Dodekahedron besar 

4. Kombinasi segiempat sama, heksagon dan dekagon akan membentuk teselasi satah yang menarik. Gabungan lanjutan teselasi ini boleh menghasilkan satu sfera. Rajah berikut menunjukkan satu sfera yang dihasilkan oleh teselasi ikosidodekahedron terpenggal. Cari bilangan garis simetri bagi teselasi ikosidodekahderon satah terpenggal. (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 10 3D: sfera 5. Satu ciri utama pepejal Archimedean ialah bahawa setiap permukaan merupakan poligon sekata, dan di sekitar setiap bucu, poligon-poligon yang sama muncul dalam urutan yang sama, iaitu heksagon-heksagon-segitiga dalam tetrahedron terpenggal. Dua atau lebih poligon yang berbeza muncul pada setiap pepejal Archimedean. Apakah syarat yang mesti dipenuhi oleh suatu polihedron? (A) cembung (B) cekung (C) sekata (D) tidak sekata 6. Satu cara untuk menghasilkan bintang adalah dengan melukis satu poligon, kemudian melanjutkan pasangan sisi hingga bertemu. Permukaan-permukaan pepejal tiga dimensi dilanjutkan hingga bertemu. Apakah nama yang diberikan kepada proses ini? (A) Stelat (B) Teselasi (C) Pengulangan (D) Replikasi 7. Pada 1809, Louis Poinsot menjumpai dua pepejal Archimedean. Sesetengah orang menamakannya pepejal Poinsot. Poinsot mempertimbangkan bucu dan permukaan 11

MTE3103 Geometri

bintang, dengan demikian menjumpai dua lagi bintang sekata, dengan salah satunya ialah ikosahedron besar. Apakah bintang yang satu lagi? (A) Dodekahedron stelat besar (B) Dodekahedron stelat kecil (C) Dodekahedron kecil (D) Dodekahedron besar  Soalan Berstruktur  1.

Pepejal Platonik merupakan polihedron cembung sekata. (a) Jelaskan maksud cembung. (b) Namakan pepejal Platonik yang merupakan dual kendiri. (1 markah) (c) Tuliskan simbol Schlafli bagi pepejal Platonik dalam (b). (1 markah) (d) Namakan pepejal Platonik yang mempunyai 12 permukaan pentagon.(1 markah) (e) Nyatakan bilangan sisi dan bucu bagi pepejal Platonik dalam (d). (2 markah) (f) Lukiskan bentangan bagi pepejal Platonik dalam (b) dan (d). (4 markah) 2. Prisma dan antiprisma sekata merupakan polihedra semi-sekata yang mempunyai tapak yang sekata dan panjang sisinya adalah sama. (i) Jelaskan maksud polihedra semisekata. (1 markah) (ii) Nyatakan satu persamaan antara prisma sekata dan antiprisma sekata. (1%) (iii) Nyatakan satu perbezaan antara prisma sekata dan antiprisma sekata. (1%) (iv) Namakan prisma yang ditunjukkan. (1%) (v) Lakarkan bentangan bagi prisma yang ditunjukkan. (2%) (vi) Tuliskan konfigurasi bucu bagi prisma yang ditunjukkan. (2%)

3. Plato percaya baahwa terdapat kesepadanan antara empat daripada pepejal dengan empat elemen dalam alam. (a) Senaraikan hubungan antara pepejal Platonik dengan elemen-elemen alam. (4%) (b) Namakan poligon yang membina permukaan setiap pepejal Platonik. (5%) 4. Namakan pepejal yang mempunyai bentangan berikut:

(2%)

5. Berikan dua contoh bagi (i) prisma, (ii) antiprisma. Bagi setiap contoh, nyatakan bilangan permukaan, sisi, bucu dan lukiskan bentangannya. Soalan esei  1. Pepejal Platonik dibentuk dengan menyambungkan beberapa permukaan poligon.(2%) (a) Nyatakan dua syarat utama bagi membentuk polihedron daripada poligon. (b) Bagi setiap pepejal Platonik, jelaskan kenapa pepejal itu boleh dibentuk daripada poligon. (10%) 2. Pepejal Archimedean berbeza daripada pepejal Platonik. Namakan dua contoh pepejal  Archemedean. Berdasarkan contoh-contoh anda, huraikan tiga perbezaan antara pepejal Archimedean dan pepejal Platonik. (8%) 3. (a) Bagi lima pepejal Platonik: (i) Senaraikan namanya dan nyatakan bilangan bucu, sisi dan permukaannya. 12

MTE3103 Geometri

(ii) (iii)

Nyatakan simbol Schlafli. Hubungkaitkan kedualan pepejal platonik tersebut.

(b) Lukiskan satu bentangan bagi setiap pepejal Platonik.

(6%) (10%)

(c) Apakah perbezaan utama antara pepejal Platonik dan pepejal Archimedean? (4%) 4. Bagi kesemua pepejal Kepler-Poinsot: (a) (b) (c)

Senaraikan nama dan nyatakan ciri-cirinya (bilangan bucu, sisi dan permukaan). Nyatakan simbol Schlafli. Hubungkaitkan kedualannya. (10%)

 Aktiviti: Cuba anda cari dari Yuotube cara-cara melipat kertas sehingga terhasilnya pelbagai jenis pepejal yang anda telah pelajari di atas. Selain itu, anda juga boleh meneroka bentuk-bentuk lain seperti Kudusama. Nota tentang lipatan kertas akan diberi dalam kuliah.

13