bab 3 PDP

PDP & Syarat Batas Bab 3 : PDP Non Linier Orde 1 Maulana Malik Department of Mathematics, University of Indonesia

PDP, 2014-2015

3.1 Pendahuluan

  Definisi

PDP Non Linier Orde 1

Suatu PDP orde satu f (x , y , z , p , q ) =  0 disebut PDP Non Linier jika bentuk f (x , y , z , p , q ) =  0 tidak linier dalam  p  atau  q  .

3.1 Pendahuluan

  Definisi

Contoh

p 2 − q 2 = 12

(1)

z  =  px  + qy  − (p 2 − q 2 )

(2)

pq  =  p  +  q 

(3)

p  =  q 3

(4)

3.1 Pendahuluan

Jenis-Jenis Solusi PDP

Solusi PDP Solusi PDP adalah relasi antara variabel-variabel yang memenuhi PDP. Solusi Lengkap PDP adalah solusi PDP yang masih memuat konstanta . Sebagai contoh, jika ψ (x , y , z , a , b ) =  0 merupakan solusi dari f (x , y , z , p , q ) =  0 maka ψ  dengan dua konstanta tersebut disebut sebagai solusi lengkap dari f . Solusi Khusus PDP adalah solusi PDP yang sudah tidak memuat konstanta. Sebagai contoh, jika pada solusi ψ (x , y , z , a , b ) =  0 , nilai  a , b   disubstitusi dengan nilai tertentu maka akan didapatkan suatu solusi khusus.

3.1 Pendahuluan

Jenis-Jenis Solusi PDP

Solusi PDP

Solusi Singular PDP adalah solusi PDP yang diperoleh dengan mengeliminasi konstanta a  dan  b  dari persamaan ψ=0 (5) ψa  = 0

(6)

ψb  = 0

(7)

sehingga didapatkan fungsi λ (x , y , z ), yang kemudian fungsi  λ (x , y , z )  inilah yang disebut solusi singular dari f (x , y , z , p , q ) = 0.

Metode Penyelesaian

Metode Charpit

Metode Charpit Jika diberikan PDP non linier orde 1 sebagai f (x , y , z , p , q ) = 0

(8)

kemudian dengan menurunkan total z  yaitu ∂ z  ∂ z  dz  = dx  + dy  ∂ x  ∂ y 

(9)

selanjutnya dengan mencari persamaan F (x , y , p , q ) = 0

(10)

sedemikian sehingga ketika nilai p  dan  q  diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan ( 9)  dan  ( 10)  serta disubstitusikan ke turunan total dz  =  pdx  + qdy  maka akan didapat solusi PDP  f (x , y , z , p , q ) =  0 (dengan integral langsung).

Metode Penyelesaian

Langkah-Langkah Metode Charpit

Langkah-Langkah Metode Charpit 1

2

Turunkan fungsi f (x , y , z , p , q )  terhadap x , y , z , p , q   sehingga akan didapatkan ∂ f  ∂ f  ∂ f  ∂ f  ∂ f    , , , , ∂ x  ∂ y  ∂ z  ∂ p  ∂ q 

(11)

Tulis persamaan Charpit dx  −∂ f  ∂ p 

=

dy  −∂ f  ∂ q 

=

dz  −p ∂ f  ∂ p 

+

−q ∂ f  ∂ q 

=

dp  ∂ f  ∂ x 

+

p ∂ f  ∂ z 

=

dq  ∂ f  ∂ y 

+

q ∂ f  ∂ z 

=

dF  0

 

(12)

3

Subssituiskan nilai-nilai  ( 11)  ke persamaan Charpit ( 12).

4

Pilih dua fraksi sedemikian sehingga hasil integralnya berbentuk relasi sederhana yang mengandung salah satu dari p  dan q .

5

Relasi sederhana yang dihasilkan dari langkah 4 digunakan untuk memperoleh p  dan  q  dan subsitusi ke persamaan dz  =  pdx  + qdy  yang  jika di integralkan akan menghasilkan solusi lengkap dari PDP yang diberikan.

Contoh-Contoh

Tentukanlah solusi lengkap dari PDP px  + qy  =  pq 

Contoh-Contoh

Tentukanlah solusi lengkap dari PDP z 2 (p 2 z 2 + q 2 ) = 1

Contoh-Contoh

Tentukanlah solusi lengkap dan solusi singular dari PDP

(p 2 + q 2 )y  =  qz 

Latihan Soal

Latihan Soal

1

Tentukanlah solusi lengkap dari : p 2 − y 2 q  =  y 2 − x 2

2

Tentukanlah solusi lengkap dan singular dari : 2xz  − px 2 − 2qxy  + pq  = 0

3

Tentukanlah solusi lengkap dari : 1 + p 2 2 + ( ) − q  = x   yp  z  px  1 + y 2