Bab 3 Kardinalitas

13

BAB 3 KARDINALITA KARDINALI TAS S (URUTAN) (URUTAN)

3.1.

KESAMAAN DU DUA HIMPUNAN Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah adala h anggota A.

atau

Definisi Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan membuktikan bahwa dua himpunan himpunan  A   A  dan B dan  B   adalah sama. sama. Pertama Pertama,, buktik buktikan an dahulu dahulu  A adalah adalah subhim subhimpun punan an  B,  B, kemudi kemudian an buktikan buktikan bahwa bahwa  B adalah subhimpunan A subhimpunan A.. 3.2.

KARDINALITAS ardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya elemen yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya elemen himpunan !apel  jeruk  , jeruk ,mangga, mangga  pisang  , pisang " adalah #. Himpunan ! p ! p,,q,r  s"  ,s" juga memiliki elemen sejumlah #. Bera Berarti rti kedu keduaa himp himpun unan an terse tersebu butt eki$ eki$ale alen n satu satu sama sama lain lain,, atau atau dika dikata taka kan n memili memiliki ki kardinalitas yang sama.

3.3.

KONSEP KARDINALITAS Bila A ekui$alen dengan B, yaitu A % B maka dikatakan bahwa A dan B mempunyai bilangan kardinal yang sama atau kardinalitasnya sama. &ntuk menyatakan bilangan kardinal dari A ditulis '(A). *adi '(A) + '(B) bila dan hanya bila A % B. Bila A  B maka dikatakan A mempunyai kardinalitas lebih ke-il dari B atau kardinalitas B lebih besar dari A, dengan kata lain  '(A)  '(B) bila dan hanya bila A  B

'(A) / '(B) bila dan hanya bila A ≤  B 0lustrasi Dua Dua buah buah himp himpun unan an  A   A  da dan  B memilik memilikii kardin kardinalit alitas as yang yang sama, sama, jika jika terdap terdapat at fungsi fungsi koresponden korespondensi si satusatu satusatu yang memetakan memetakan  A   A  pada pada  B.  B. arena dengan mudah kita membuat fungsi yang memetakan satu satu dan kepada himpunan A himpunan  A ke  ke B  B,, maka kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang sama.

Kardinalitas

Pengantar Topologi

1# 3.4.

HIMPUNAN DENUMERABEL *ika sebuah himpunan eki$alen dengan himpunan , yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. ardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas . Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi satusatu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh .

3.5.

HIMPUNAN BERHINGGA *ika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas , maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.

3.6.

HIMPUNAN TERCACAH Himpunan disebut ter-a-ah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.

3.7.

HIMPUNAN NON-DENUMERABEL Himpunan yang tidak ter-a-ah disebut himpunan nondenumerabel. 2ontoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. ardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas . Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan  pembuktian diagonal. Himpunan bilangan riil dalam inter$al (,1) juga memiliki kardinalitas , karena terdapat korespondensi satusatu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang

salah satunya adalah

.

3.8. POSET ( P!"#$$% O!&'!'& S'" ) . HIMPUNAN TERURUT PARSIAL  Definisi  4uatu relasi biner dinamakan sebagai suatu relasi pengurutan tak lengkap atau relasi  pengurutan parsial ( partial ordering relation ) jika ia bersifat reflexive, antisymmetric, dan transitive.

Pengurutan parsial paling terkenal adalah relasi ≤ dan ≥ pada himpunan 5 dan 6. &ntuk  alasan ini, ketika berbi-ara se-ara umum tentang sebuah pengurutan parsial 6 pada himpunan A kita akan sering menggunakan symbol ≤ atau ≥ untuk 6. Dengan kata lain, 6elasi ≤  dalam himpunan A disebut terurut parsial pada himpunan A bila dan hanya bila untuk setiap a, b, - ∈  A berlaku ≤  a

(#)

a

(##)

Bila a ≤  b dan b

(###)

 Bila a ≤  b dan b

Kardinalitas

≤  a

maka a + b.

≤  -

maka a

≤  -.

Pengantar Topologi

17 Himpunan A dengan terurut parsial dilambangkan dengan (A,  Ilustrasi I: 8unjukan bahwa relasi 9:; merupakan relasi terurut pada 5 <

≤ ).

arena a ≤  a untuk setiap a ∈  5, maka relasi 9 ≤ ; bersifat refleksi. *ika a : b dan b : a berarti a + a. *adi relasi 9:; bersifat antisimetri. *ika a : b dan b : c berarti a : c. *adi relasi 9:; bersifat transitif. Dengan demikian relasi 9:; merupakan relasi terurut pada 5.  Ilustrasi II  =isalkan A sebuah himpunan bilangan bulat positif dan 6 sebuah relasi biner pada A sedemikian rupa sehingga ( a,b ) ada di dalam 6 jika a membagi habis b.

arena jika a membagi habis b berarti b tidak membagi habis a ke-uali a + b, 6  adalah sebuah relasi antisymmetri-. arena setiap bilangan bulat membagi habis dirinya sendiri, 6 merupakan suatu relasi refle>i$e. arena jika a membagi habis b, dan b membagi habis -, maka a membagi habis -, 6  adalah sebuah relasi transiti$e. Dengan demikian 6 adalah sebuah relasi pengurutan parsial. 4e-ara intuitif, didalam suatu relasi pengurutan parsial, dua benda saling berhubungan. *ika salah satunya lebih ke-il ( lebih besar ) daripada atau lebih pendek ( lebih tinggi ) daripada lainnya menurut sifat atau kriteria tertentu. =emang istilah pengurutan (ordering ) berarti bahwa bendabenda di dalam himpunan itu diurutkan menurut sifat atau kriteria tersebut. Akan tetapi, juga ada kemungkinan bahwa dua benda di dalam himpunan itu tidak berhubungan dalam relasi pengurutan parsial. Dalam hal demikian, kita tak dapat membandingkan keduanya dan tidak mengidentifikasi mana yang lebih ke-il atau lebih rendah. 0tulah alasannya digunakan istilah “ pengurutan  parsial ( partial ordering ) ”. Himpunan S bersamasama dengan suatu relasi pengurutan parsial R   pada A dinamakan himpunan terurut parsial (  Partially Ordered Set  ) atau disingkat sebagai P'", dilambangkan dengan ( S* R ). C+", 3.1 1. Himpunan 5?  adalah himpunan bilangan bulat positif. 6elasi

≤  (kurang

atau sama

dengan) adalah sebuah parsial order pada 5 ? . Hal ini berlaku pula untuk relasi ≥. *awab  Bila (a,b) ada didalam 6 jika a ≤ b. arena setiap bilangan bulat + dirinya sendiri arena a ≤ b dan b ≤ a ke-uali a + b *ika a ≤ b dan b ≤ - maka a ≤ 2. 6elasi himpunan bagian himpunan, karena

A

Kardinalitas

⊂  A

⊂  adalah

untuk sebarang A

 refleksi$e



 antisymmetris



 transiti$e.



terurut parsial didalam suatu kelas dari himpunan

 refleksi$e



Pengantar Topologi

1@

Bila a

Bila A

⊂  B

dan B

⊂  A,

maka A + B

Bila A

⊂  B

dan B

⊂  2,

maka A

≤  b

 antisymmetris



⊂  2

 transiti$e.



didalam himpunan terurut, maka dikatakan bahwa a pendahulu atau lebih ke-il

dari b, dan b disebut pengikut atau penguasa atau lebih besar dari a. a  b, bila a ≤  b tetapi a ≠ b. 4uatu himpunan terurut bagian A disebut terurut total  (terurut linear) bila setiap a, b ∈  A maka a >

≤  b

atau b

≤  a.

2ontohnya adalah himpunan bilangan real 6 dengan urutan natural

≤  y.

Bila suatu relasi 6 dalam himpunan A adalah terurut parsial, maka relasi in$ers terurut parsial dan disebut urutan in$ers.

 R

−1

 juga

. HIMPUNAN BAGIAN DARI HIMPUNAN TERURUT. =isal A adalah himpunan bagian dari himpunan terurut parsial , maka di dalam , A adalah terurut dengan ketentuan

Bila a, b ∈  A maka a ≤  b sebagai unsurunsur dalam A bila dan hanya bila a ≤  b sebagai unsurunsur di dalam . Bila 6 terurut parsial dalam , maka relasi  R A =  R ∩ ( AxA) , disebut restriksi  6 pada A adalah terurut parsial dalam A. Himpunan terurut ( A, R A )  disebut himpunan bagian dari himpunan terurut (, 6).

C+", 3.2 =isal terurut parsial dalam  + !a, b. -, d, e" didefinisikan oleh diagram berikut

a

 b

-

d

e

Himpunanhimpunan !a, -, d" dan !b, e" adalah himpunanhimpunan bagian terurut total. Himpunanhimpunan !a, b, -" dan !d, e" bukan himpunanhimpunan bagian terurut tota l.

Kardinalitas

Pengantar Topologi

1C

. ELEMEN PERTAMA DAN TERAKHIR. =isal  adalah himpunan terurut. 4uatu elemen a

elemen terke-il dari  bila dan hanya bila a

≤  >,

∈  

adalah elemen pertama  atau

untuk semua >

∈  .

4uatu elemen b

∈

 adalah elemen terakhir   atau elemen terbesar dari  bila dan hanya bila > ≤  b, untuk  semua > ∈  . C+", 3.3 / 1. Bilangan bulat positif  dengan urutan biasa mempunyai elemen pertama 1. Himpunan semua bilangan bulat B dengan urutan biasa tak mempunyai elemen terke-il dan terbesar. =isal + !a, b, -, d, e" terurut seperti diagram berikut  a

 b

-

d

e

Dari gambar diatas, diperoleh bahwa a adalah elemen terakhir, karena a merupakan unsur   berikutnya dari tiap unsur yang lain.  tidak mempunyai elemen pertama. d bukan elemen pertama karena d tak mendahului e. &. ELEMEN MAKSIMAL DAN MINIMAL =isal  adalah himpunan terurut, suatu elemen a

 bila a

≤  >

∈  

adalah maksimal bila dan hanya

maka > + a, yaitu bila tidak ada elemen berikutnya dari a ke-uali elemen itu

sendiri. 4uatu elemen b ∈   adalah minimal  bila dan hanya bila > ≤  b maka > + b, yaitu  bila tidak ada elemen yang mendahului b ke-uali elemen itu sendiri. C+", 3.4/ 1. =isal + !a, b, -, d, e" terurut seperti diagram berikut 

a

 b

-

d

Kardinalitas

e

Pengantar Topologi

1E

=aka d dan e adalah elemenelemen minimal, sedangkan a adalah elemen maksimal. F. =isal A+!a1, aF, a3, ...., am" adalah himpunan terhingga yang terurut total. =aka A mempunyai tepat satu elemen minimal dan satu elemen maksimal yang berturut+turut ditulis oleh min!a1,aF,a3, ... ,am" dan maks !a1, aF,a3,...,am". '. BATAS ATAS DAN BATAS BA0AH

=isal A himpunan bagian dari terurut parsial . Glemen m

∈  

adalah batas bawah dari

A bila dan hanya bila m ≤   >, untuk semua > ∈  A. aitu bila m mendahului tiaptiap elemen dalam A. Bila sebarang batas bawah dari A didahului oleh setiap batas bawah dari A, maka batas bawah tersebut disebut batas bawah terbesar  dari A atau infimum dari A, ditulis 0nf (A). Glemen = ∈   adalah batas atas dari A bila dan hanya bila > ≤  =, untuk semua > ∈  A, yaitu bila = didahului oleh tiap elemen dalam A. Bila sebarang batas atas dari A mendahului oleh setiap batas dari A, maka batas atas itu disebut batas atas terkecil  dari A atau supremum  dari A ditulis sup(A). A disebut terbatas di atas bila A mempunyai batas atas dan A disebut terbatas di bawah  bila A mempunyai batas bawah. Bila A mempunyai batas atas dan batas bawah maka A disebut "'!" . C+", 3.5 / 1. =isal +!a, b, -, d, e, f, g" adalah terurut oleh diagram berikut 

a

b

-

d

e

f

g

=isal B+!-,d,e", maka a, b dan - adalah batasbatas atas dari B, dan f adalah batas  bawah dari B, sedangkan g bukan batas bawah dari B karena g tidak mendahului d. 4elanjutnya - + 4up (B) termasuk kedalam B dan f +0nf (B) bukan anggota dari B. F. =isal I adalah himpunan semua bilangan rasional dan B+!>  > ∈  I, >/, F  > F  3". =aka B tidak mempunyai tak hingga banyaknya  batas atas dan batas bawah, tetapi 0nf (B) dan 4up (B) ada.

Kardinalitas

Pengantar Topologi

1J

Kardinalitas

Pengantar Topologi