Bab 2.1 - SDOF (Free Vibration)
September 5, 2018 | Author: Asrifhal | Category: N/A
Short Description
sdasda...
Description
BAB II
SISTEM SRUKTUR DENGAN SATU DERAJAT KEBEBASAN ( SINGLE DEGREE DEG REE OF FREEDOM FREE DOM SYSTEM SYS TEM – SDOF SDO F ) DEGREE FREEDOM SYSTEM SDOF
2.1 2.1. PENDA NDAHUL HULUAN UAN
Sistem struktur dengan satu derajat kebebasan ( single degree of freedom system, system, SDOF), secara secara skemat skematis is ditunj ditunjukk ukkan an pada pada Gambar 2.1. 2.1 . Sistem ini terdiri dari massa (m ( m) yang dipusat dipusatkan kan pada pada titik titik pusat pusat massa massa lantai lantai,, rangka rangka ( frame) frame) yang yang member memberika ikan n kekaku kekakuan an ( stiffness, stiffness, k ) pada pada siste sistem m dan dan redam redaman an viscous (viscous damping , c) yang mendisipasi energi getaran dari sistem. )t )
m
)
m
$ (t )
k*2
c
k*2
k*2
c
k*2
) g
(a) Beban Luar
Gamba Gambarr 2.1
(b) Pergerakan Tanah Tanah akibat Beban Gempa
Sistem Sistem Stru Struktu kturr dengan dengan Satu Satu era era!at !at "ebe "ebeba basan san #Single egree of $reedom System% S&$'
Sistem ini dapat diidealisasikan sebagai struktur satu lantai (one(story (one(story structure). structure). Setiap elemen struktur (balok, kolom, dinding) memberikan sifat-sifat khusus struktur, yaitu sifat inersia (massa, m), sifat elastis (kekakuan, k ) dan sifat energi disipasi (redaman, c). Dalam analisa dinamis, jumlah perpindahan bebas yang diperlukan untuk menentukan perpindahan posisi seluruh massa terhadap pasisi aslinya dinamakan jumlah derajat kebebasan (degree (degree of freedom, freedom, &$ ). ).
Oscar M (132 258 564)
II – 1
Single Degree of Freedom Sysem
ntuk lebih jelasnya, jika struktur hanya mempunyai satu derajat kebebasan (misalnya lateral lateral displacemen displacement t ) dan massa struktur terpusat pada satu lokasi (biasanya pada titik pusat massa lantai), maka sistem struktur tersebut merupakan sistem dengan satu derajat kebebasan ( single single degree of freedom freedom system, system, S&$ ). ). !engaruh dinamis yang bekerja pada struktur dapat disebabkan oleh " #. $eban luar % $ $ (t )&, ) &, yait yaitu u beba beban n luar luar yang yang beke bekerj rjaa pada pada stru strukt ktur ur yang yang besar besarny nyaa berubah-ubah menurut fungsi 'aktu . !ergeraka !ergerakan n tanah yang yang ditimbulkan ditimbulkan oleh oleh gempa gempa % )( )(t )& )&
EQUATION OF MOTION MOTION ) 2.2. 2.2. FORMU FORMULAS LASII PERSA PERSAMA MAAN AN GERAK GERAK ( EQUATION Dalam analisa dinamis, respon struktur terhadap pembebanan dinamis terbagi dalam tiga gaya, yaitu " 1. Gaya Gaya Ine Iners rsa a ( Inertia Inertia Force! F i i)
aya inersia ini timbul akibat struktur mempunyai massa (mass ( mass,, m) dan percepatan (acceleration, acceleration, a).
Dalam analisa dinamis, gaya inersia didefinisikan sebagai perkalian antara massa struktur dengan percepatan struktur, str uktur, atau " $ i (t (t ) * m . a $ i (t (t ) * m
d ) (t ) dt
(t ) $ i (t (t ) * m )
................ (2.2.1) 2.2.1) ................ (2.2.2) 2.2.2)
dimana " m
(t ) )
* massa struktur %kg + ton + -dtm& * percepatan struktur menurut fungsi 'aktu %mdt&
2. Gaya Gaya Re" Re"a# a#an an ( Damping Damping Force! F d d )
Dalam redaman, energi dari sistem getaran didisipasi oleh bermacam mekanisme, seperti gesekan ( friction) friction) pada sambungan baja, pembukaan dan penutupan retak kecil kecil pada pada beton, beton, geseka gesekan n antara antara elemen elemen struktu strukturr dengan dengan non-str non-strukt uktur ur (dindi (dinding ng partisi).
Oscar M (132 258 564)
II – 2
Single Degree of Freedom Sysem
$esarnya koefisien redaman pada sistem S&$ dipilih sedemikian rupa, sehingga energi getaran yang didisipasi sebanding atau ekialen dengan energi disipasi pada seluruh mekanisme redaman untuk struktur yang sebenarnya, yang disebut koefisien redaman viscous (viscous damping coefficient ).
aya redaman ini timbul akibat respon struktur mengabsorbsimendisipasi energi yang diberikan oleh beban luar. aya redaman ini yang mengakibatkan struktur berhenti berespon pada 'aktu t tertentu.
Dalam analisa dinamis, gaya redaman didefinisikan sebagai fungsi kecepatan struktur terhadap koefisien redaman viscous linear (c), atau " $ d (t ) * c
d) (t ) dt
(t ) $ d (t ) * c )
................ (2.2.+) ................ (2.2.,)
dimana " c
* koefisien redaman viscous linear %-dtm&
(t ) )
* kecepatan struktur menurut fungsi 'aktu %mdt&
$. Gaya S%a%s ( Static Force! F s)
aya statis ini timbul akibat simpangan atau deformasi struktur.
Dalam analisa dinamis, gaya statis didefinisikan sebagai perkalian antara kekakuan struktur (k ) dengan perpindahan atau simpangan struktur ( )), atau " $ s (t ) * k )(t )
................ (2.2.-)
dimana " k
* konstanta pegaskekakuan struktur %m + mm&
)(t ) * perpindahan struktur menurut fungsi 'aktu %mm&
Dalam analisa dinamis, beban luar yang bekerja pada struktur merupakan beban dinamis (beban yang berubah-ubah menurut fungsi 'aktu), yang dinyatakan dalam notasi $ (t ). !ersamaan gerak sistem S&$ akibat beban luar yang bekerja pada pusat massa struktur, dapat diperoleh sebagai berikut "
Oscar M (132 258 564)
II – 3
Single Degree of Freedom Sysem
)
m $ (t )
) k k*2
c
k*2
m
$ (t )
c
(a) Sistem Struktur S&$
$ s
(b) odel atematis Struktur
$ i
$ d
$ (t )
(c) iagram $reebody Gambar 2.2 Pemodelan Struktur untuk Sistem S&$
Dari diagram freebody pada Gambar 2.2, diperoleh persamaan kesetimbangan dinamis sebagai berikut " $ i / $ d / $ s * $ (t )
&
m
c
& ! ' F (t )
.............. (2.2./ )
atau " 2
m
d dt
2
&
c
d dt
& ! ' F (t )
.............. (2.2.0 )
!ers. 2.2./ dan !ers. 2.2.0 adalah persamaan differensial linear orde dua yang merupakan "ersamaan Gera! Dinamis Sr#!t#r #nt#! Sistem Str#!t#r dengan Sat# Dera$at %e&e&asan 'Sing(e Degree o) Freedom S*stem+ SDOF,
Oscar M (132 258 564)
II – 4
Single Degree of Freedom Sysem
Secara umum, persamaan gerak dinamis struktur untuk sistem single degree of freedom (S&$', dapat dikelompokkan sebagai berikut " Gera Beas Tan,a Re"a#an (Undamped Free -i&ration ) & ! ' * m Gera Beas (Free -i&ration ) & ! ' * & c m Gera Beas Den-an Re"a#an ( Damped Free -i&ration ) & ! ' * & c m Gera Dna#s S%r+%+r
& c & ! ' m Gera Pasa Tan,a Re"a#an (Undamped Force -i&ration ) & ! ' F (t ) m Gera Pasa (Force -i&ration ) & c & ! ' m Gera Pasa Den-an Re"a#an ( Damped Force -i&ration ) & c & ! ' F (t ) m
Gambar 2.+ Persamaan Gerak inamis Struktur untuk Sistem dengan Satu era!at "ebebasan #Single egree of $reedom System% S&$'
2.$. GERAK BEBAS TANPA REDAMAN (UNDAM"ED FREE -I.RATION )
Dalam analisa dinamis, suatu sistem struktur S&$ dikatakan berada dalam keadaan gerak bebas tanpa redaman (undamped free vibration), jika sistem struktur yang ditinjau bebas dari pengaruh gaya-gaya luar selama struktur tersebut bergerak atau bergetar ( $ (t ) * 0) dan redaman pada struktur diabaikan (c * 0).
Oscar M (132 258 564)
II – 5
Single Degree of Freedom Sysem
!ada kondisi ini, gerak pada struktur ditimbulkan karena adanya pengaruh atau kondisi yang disebut kondisi a'al (initial condition), berupa perpindahan dan atau kecepatan struktur pada saat a'al (t * 0), yaitu " ) (0)
* ) (t 0)
(0) )
* ) (t 0)
................ (2.+.1)
!emodelan sistem struktur S&$ 1 gerak bebas tanpa redaman, dapat dilihat pada Gambar 2., berikut. )
)
m
m )
k
k
Sistem Struktur S&$ #ndamped $ree 3ibration'
k
dealisasi Struktur
k m
odel atematis Struktur
Gambar 2., Sistem S&$ 4 Gerak Bebas Tanpa 5edaman #ndamped $ree 3ibration' !ersamaan gerak struktur SDOF untuk kondisi gera! &e&as tanpa redaman (#ndamped )ree /i&ration), dapat ditulis dalam bentuk "
& ! ' *
m
................ (2.+.2)
!enyelesaian (solusi) dari persamaan gerak struktur S&$ untuk kondisi gerak bebas tanpa redaman (!ers. 2.+.2) adalah " 1(t ) ' B1 /s 0t
................ (2.+.+)
2(t ) ' B2 sn 0t
................ (2.+.,)
atau "
2isalkan " )# (t ) * $# cos 6t
# (t ) * 1 $# 6 sin 6t ) # (t ) * 1 $# 6 cos 6t ) Oscar M (132 258 564)
................ (2.+.-)
II – 6
Single Degree of Freedom Sysem
dengan mensubtitusikan !ers. 2.+.- kedalam !ers. 2.+.2, diperoleh "
/ k) * 0 m ) m (1 $# 6 cos 6t ) / k ($# cos 6t )
* 0
$# (1 m6 cos 6t ) / $# (k cos 6t )
* 0
(1 m6 / k ) $# cos 6t * 0 * 0
................ (2.+./ )
0
!ers. 2.+./ di atas mempunyai solusi, jika dan hanya jika " 1 m6 / k * 0
6 *
0
k m
'
! m
%raddt&
................ (2.+.0 )
!ers. 2.+.0 merupakan Fre!#ensi Nat#ra( Sistem ( Nat#ra( Fre1#enc* ) Dengan menggunakan !ers. 2.+.0 , maka !ers. 2.+.2 dapat juga ditulis dalam bentuk "
/ k) * 0 m )
/ )
k m
)* 0
& 02 ' *
................ (2.+.7)
!ers. 2.+.7 merupakan "ersamaan Gera! .e&as Tanpa Redaman &erdasar!an Fre!#ensi Nat#ra( Sistem. 3arena )# * $# cos 6t (!ers. 2.+.+) dan ) * $ sin 6t (!ers. 2.+.,) merupakan penyelesaian (solusi) dari persamaan gerak bebas tanpa redaman (!ers. 2.+.2 atau !ers. 2.+.7) dan karena persamaan differensial orde dua adalah linier, maka superposisi dari kedua solusi ini juga merupakan solusi dari persamaan gerak bebas tanpa redaman, atau " (t ) ' B1 /s 0t & B2 sn 0t
................ (2.+.8)
!ers. 2.+.8 merupakan So(#si Um#m Gera! .e&as Tanpa Redaman. .#!ti 2
) (t )
* $# cos 6t / $ sin 6t
(t ) )
* 1 $# 6 sin 6t / $ 6 cos 6t
(t ) )
* 1 $# 6 cos 6t $ 6 sin 6t
Oscar M (132 258 564)
II – !
Single Degree of Freedom Sysem
maka "
/ 6 ) * 0 ) (1 $# 6 cos 6t $ 6 sin 6t ) / 6 ($# cos 6t / $ sin 6t )
* 0
1 $# 6 cos 6t $ 6 sin 6t / $# 6 cos 6t / $ 6 sin 6t
* 0
0 * 0
333333333333 Ter&#!ti 44
ilai konstanta integrasi $# dan $ dapat diperoleh jika kondisi a9al (initial condition) sistem, yaitu perpindahan dan kecepatan struktur pada saat a'al (pada saat t * 0) telah ditentukan atau diketahui. ntuk kondisi a'al (initial condition) sistem " ) (0)
* )o
(0) )
dan
* vo
.............. (2.+.1:)
diperoleh "
) (t )
* $# cos 6t / $ sin 6t
)(0)
* $# cos (0) / $ sin (0).....................................*
)o .............. (2.+.11)
B1 ' o
(t ) )
* 1 $# 6 sin 6t / $ 6 cos 6t
(0) )
* 1 $# 6 sin (0) / $ 6 cos (0)
* vo
$ 6 * v o B2 '
// 0
.............. (2.+.12)
Sehingga, !ers. 2.+.8 dapat ditulis dalam bentuk " (t ) ' / /s 0t &
// 0
sn 0t
.............. (2.+.1+)
!ers. 2.+.1+ merupakan So(#si %5#s#s "ersamaan Gera! .e&as Tanpa Redaman+ #nt#!
(*) ' // %ondisi A6a( Sistem (*) ' / dan Dengan transformasi trigonometri sederhana, dapat dilihat bah'a bentuk ekialen dari !ers. 2.+.8 adalah " (t ) ' A /s (0t 0 7 )
.............. (2.+.1,)
(t ) ' A sn (0t & 8)
.............. (2.+.1-)
atau "
Oscar M (132 258 564)
II – 8
Single Degree of Freedom Sysem
dimana" A '
/
%an 7 '
2
/ / 0
// 0 /
2
.............. (2.+.1/ )
+
%an 8 '
/
.............. (2.+.10 )
// 0
3eterangan " ;
* amplitudo (simpangan) maksimum
A
/
2
//
2
) #( >1 k * k * k k * 9 9 ( 9000 , 0 ) @ * #:?:0,0 mm Oscar M (132 258 564)
II – 12
Single Degree of Freedom Sysem
$rekuensi Catural Sistem (6)
2assa Sistem (m) =
m *
g
k
@>#0,0 mmdt
#:?:0,0 mm
*
m
#0#,@9=> - dt mm
#,9###: raddt
Periode Catural Sistem (T ) T *
#000000,0
$rekuensi Catural Sistem (6) 6 *
@,># m-dt
*
#0#,@9=>0 -dt mm
#000,0 k
*
A 6
*
A #,9###: rad-dt
0,:#09; dt
5espon Sistem 3arena respon sistem untuk sistem S&$ 4 gerak bebas tanpa redaman (undamped free vibration response) adalah " )(t ) * ; cos (6t 1 ) maka, untuk kondisi a'al sistem (initial condition) " ) (0)
* )o * #0,0 mm
dan
(0) )
* vo * #00,0 mmdt
diperoleh "
;mplitudo Getaran ( ;) ; *
)o
(
v 6
(
o
*
(#0,0)
#00,0 #,9###:
#,>>9=: mm
Beda Sudut $ase Getaran ( )
vo * 6 #00,0 * #,9###: * tan-# * tan-# #0 , 0 ) o
0,=>#> rad
5espon Sistem S&$ 4 Gerak Bebas tanpa 5edaman
Oscar M (132 258 564)
II – 13
Single Degree of Freedom Sysem
) (t )
* ; cos (6t 1 )
(t ) )
* 1 ; 6 sin (6t 1 )
Perpindahan dan "ecepatan Sistem pada saat t ? #,0 dt
Perpindahan sistem pada saat t ? #,0 dt ) (t )
* ; cos (6t 1 ) * #,>>9=: cos (#,9###: t 1 0,=>#>)
maka " ) (#,0)
* #,>>9=: cos %#,9###: (#,0) 1 0,=>#>& * #,>>9=: cos (##,=>@;) * ;,=:?= mm
"ecepatan sistem pada saat t ? #,0 dt
(t ) )
* 1 ; 6 sin (6t 1 ) * 1 #:>,=0;>: sin (#,9###: t 1 0,=>#>)
maka "
(#,0) )
* 1 #:>,=0;>: sin %#,9###: (#,0) 1 0,=>#>) * 1 #:>,=0;>: sin (##,=>@;) * #;,>?#0? mmdt
Perpindahan aksimum Sistem ( )ma)) !erpindahan atau simpangan maksimum sistem S&$ 1 gerak bebas tanpa redaman terjadi pada saat " cos (6t 1 ) * #
t *
B 6
*
0,=>#> #,9###:
* 0,0::?# dt dengan nilai simpangan maksimum " )ma)
* ; * #,>>9=: mm
Gambar 5espon Sistem
Oscar M (132 258 564)
II – 14
Single Degree of Freedom Sysem )(t ), mm
B 6 * 0,0::?#
vo * #00 mmdt
)(t ) * #,>>9=: cos (#,9###: t 1 0,=>#>)
#:
#0
)(#) )o * #0 mm
;
:
t , dtk
0 0
0.(
0.?
0.=
0.>
#
#.(
-:
-#0
)(t ) * #,>>9=: cos (#,9###: t )
-#:
T * 0,:#09; dt
5espon Sistem S&$ 4 Gerak Bebas tanpa 5edaman pada Dontoh 2.1
:ONTO< =3= Suatu berat = * :0,; lb terpasang pada ujung bebas balok kantileer oleh pegas k . !enampang balok kantileer berbentuk segiempat (tebal h * B in dan lebar b * #,0 in) dengan panjang L * #,: in dan modulus elastisitas balok > * 90
#0= lbin. 3ekakuan
pegas k * #0,=@ lbin. 2assa dan redaman pada balok diabaikan. Centukan frekuensi natural sistem balok kantileer yang terdapat pada Gambar P2.2. L * #,: in
# in B in
k
Penampang Balok = )(t )
Gambar P2.2 Balok "antilever SOLUSI 2
Oscar M (132 258 564)
II – 15
Single Degree of Freedom Sysem
odel atematis Sistem !erpindahan yang terjadi pada balok kantileer ada dua, yaitu perpindahan akibat lenturan balok ( )#) dan perpindahan akibat perpanjangan pegas ( )). $erarti, struktur balok kantileer pada Gambar P2.2 merupakan sistem struktur dengan banyak derajat kebebasan (multi degree of freedom system, &$ ). Cetapi, struktur ini dapat dianggap sebagai sistem S&$ dengan menentukan suatu nilai kekakuan ekialen sebagai pengganti nilai kekakuan balok dan kekakuan pegas. 3arena tidak ada beban luar yang bekerja dan redaman pada struktur diabaikan, maka struktur balok kantileer tersebut berada dalam kondisi gerak bebas tanpa redaman (undamped free vibration).
L * #,:0 in
L * #,:0 in
k b
k b
k
)#
k
=
)
)(t ) =
Balok kantilever )(t )
eformasi pada balok kantilever
)# k b
)
)(t )
k m
&$ odel
k m
S&$ odel odel atematis
Persamaan Gerak Sistem !ersamaan gerak untuk sistem S&$ 4 gerak bebas tanpa redaman (undamped free vibration) adalah "
/ k) * 0 m )
"ekakuan Balok (k b)
Oscar M (132 258 564)
II – 16
Single Degree of Freedom Sysem
2omen
in?
0,00#90 in ?
3ekakuan $alok ( b) 3ekakuan balok kantileer akibat gaya statis P yang bekerja pada ujung bebas balok adalah " k b * *
9 >1 b 9
L 9 (90 #0 = ) (#,:) 9 ;=>
lbin
* =0,0 lbin
"ekakuan Struktur (k ) !erpindahan yang terjadi pada struktur balok kantileer disebabkan oleh balok ( )#) dan pegas ( )), dimana )# ) dan ) * )# / )). $erarti kekakuan balok dan kekakuan pegas tersusun secara seri, sehingga kekakuan sistem adalah " # k
#
*
k b
/
#
*
k
# =0
/
# #0,=@
*
# @,0;9?
k * @,0;9? lbin
$rekuensi Catural Sistem (6)
!ercepatan raitasi ( g ) g * @,># msec * @,># msec
# ft 0,90?> m
# in # ft
* 9>=,0?; insec
2assa Sistem (m) m *
= g
*
:0,;0 lb 9>=,0?; insec
0,#9#; lb-sec in
Frekuensi atural Sistem
Oscar M (132 258 564)
II – 1!
Single Degree of Freedom Sysem
6 *
k
*
m
@,0;9? lbin
0,#9#; lb - sec in
>,9#9;@ radsec
atau " f *
6
*
A
>,9#9> A
secsiklus
#,99#> secsiklus
2.. GERAK BEBAS DENGAN REDAMAN ( DAM"ED FREE -I.RATION )
!emodelan sistem struktur S&$ 1 gerak bebas dengan redaman (damped free vibration), dapat dilihat pada Gambar 2./ berikut. )
)
m
m
) k
k
c
k
m
k% c c
Sistem Struktur S&$ #amped $ree 3ibration'
dealisasi Struktur
odel atematis Struktur
Gambar 2./ Sistem S&$ 4 Gerak Bebas dengan 5edaman #amped $ree 3ibration' !ersamaan gerak (eEuation of motion) struktur untuk kondisi Gera! .e&as dengan Redaman ( Damped Free -i&ration), dapat ditulis dalam bentuk "
& c & ! ' *
m
................ (2.,.1)
Dapat dibuktikan bah'a solusi coba-coba (trial solution) )# * $ # cos 6t dan ) * $ sin 6t tidak akan memenuhi !ers. 2.,.1. Solusi yang paling cocok digunakan untuk persamaan gerak bebas dengan redaman (!ers. 2.,.1) adalah fungsi eksponensial " 1(t ) ' G1 est Oscar M (132 258 564)
................ (2.,.2) II – 18
Single Degree of Freedom Sysem
atau " 2(t ) ' G2 t est
................ (2.,.+)
2isalkan " )# (t )
* # e st
# (t ) )
* # s e st * # s e st ..........
# (t ) ) (2.,.,) dengan mensubtitusikan !ers. 2.,., kedalam !ers. 2.,.1, diperoleh "
/ c ) / k) * 0 m ) m (# s e st ) / c (# s e st ) / k (# e st ) * 0 ms (# e st ) / cs (# e st ) / k (# e st )
* 0
( ms / cs / k ) # e st * 0 * 0
................ (2.,.-)
0
!ers. 2.,.- di atas dapat diselesaikan, jika dan hanya jika " ms / cs / k * 0
................ (2.,./ )
!ers. 2.,./ disebut persamaan karakteristik (the characteristic eEuation) untuk sistem S&$ 1 gerak bebas dengan redaman. !ersamaan karakteristik di atas merupakan persamaan kuadrat, dimana akar-akar dari persamaan kuadrat adalah " s#, *
*
s1!2 '
c
m
c
m
c 2m
c
?mk
*
m
c( ?m
(
2
c
m
c(
? mk
?m
(
?mk ?m
c 2m
(
! m
................ (2.,.0 )
ilai akar 1 akar !ers. 2.,.0 ( s# dan s), dapat bernilai nol, positif atau negatif, tergantung dari besaran di ba'ah tanda akar. 4da tiga kondisi getaran yang ditemukan, yaitu " Oscar M (132 258 564)
II – 1"
Single Degree of Freedom Sysem
2
i .
c 2m
ii .
c 2m
! m
2
! m
2
c iii . 2m
! m
Ss%e# Re"a#an Kr%s
' *
(:ritica( Damping S*stem )
Ss%e# Re"a#an S+,err%s
3 *
(O/erdamping S*stem)
Ss%e# Re"a#an S+r%s
4 *
(Underdamping S*stem)
................ (2.,.7)
2..1. Ss%e# Re"a#an Kr%s (:ritica( Damping S*stem )
ntuk sistem S&$ 1 gerak bebas dengan redaman kritis (critical damping system) "
k c m m
* 0
c * m c *
k m k m
................ (2.,.8)
ilai konstanta redaman c pada !ers. 2.,.8 merupakan Ni(ai Redaman %ritis (:ritica( Damping -a(#e), yang dinyatakan dengan notasi ccr , dimana " ccr ' 2
! m
.............. (2.,.1:)
3arena frekuensi natural getaran sistem tanpa redaman (6) dinyatakan oleh persamaan " 6 *
k m
maka %oe)isien Redaman %ritis (:ritica( Damping :oe))icient ) yang diberikan pada !ers. 2.,.1:, dapat dinyatakan dalam persamaan " ccr ' 2 m 0
.............. (2.,.11)
atau " ccr '
2 !
0
.............. (2.,.12)
Sehingga nilai akar-akar persamaan karakteristik pada !ers. 2.,.0 untuk kondisi redaman kritis adalah "
Oscar M (132 258 564)
II – 2#
Single Degree of Freedom Sysem
s1!2 ' 0
c cr
.............. (2.,.1+)
2m
2aka solusi dari sistem S&$ 1 gerak bebas dengan redaman kritis adalah " 1(t ) ' G1 e 0 (ccr 2m) t
.............. (2.,.1,)
Solusi indenpenden lainnya, dapat juga dengan menggunakan persamaan berikut " 2(t ) ' G2 t e 0 (ccr 2m) t
.............. (2.,.1-)
So(#si Um#m dari sistem S&$ 1 gerak bebas dengan redaman untuk kondisi Redaman %ritis, merupakan superposisi dari dua persamaan di atas (!ers. 2.,.1, dan !ers. 2.,.1-), yaitu " (t ) ' G1 e 0 (ccr 2m) t & G2 t e 0 (ccr 2m) t
.............. (2.,.1/ )
(t ) ' (G1 & G2 t ) e 0 (ccr 2m) t
.............. (2.,.10 )
atau "
edaman aktual dalam sistem dapat dinyatakan dalam bentuk redaman kritis ( ccr ). Dengan memperkenalkan suatu Rasio Redaman ( Damping Ratio, ? ) yang didefinisikan sebagai perbandingan antara redaman struktur dengan redaman kritis, dimana " ? '
c
? '
c cr
c
.............. (2.,.17)
2 m0
atau " .............. (2.,.18)
c ' 2 m 0 ?
Dengan mensubtitusikan !ers. 2.,.18 kedalam Pers. 2.,.0 , maka !ers. 2.,.0 dapat juga ditulis dalam bentuk " s#,
* 1 * 1
c
m
6F
Oscar M (132 258 564)
k c m m
6 F
* 1
m6 F m
m6 F 6 m
6
II – 21
Single Degree of Freedom Sysem
s1!2
' 0 0?
? 2 1
0
.............. (2.,.2:)
dimana " @i!a
? ' 1
:ritica( Damping (Re"a#an Kr%s)
? 3 1
O/erdamping (Re"a#an S+,err%s)
? 4 1
Underdamping (Re"a#an S+r%s) .............. (2.,.21)
Sehingga untuk redaman kritis (critical damping , F * #), nilai akar-akar persamaan pada !ers 2.,.2: adalah " .............. (2.,.22)
s1!2 ' 0 0?
Solusi dari sistem S&$ 1 gerak bebas dengan redaman untuk kondisi redaman kritis dapat juga ditulis dalam bentuk " 1(t ) ' G1 e 0 0?t
.............. (2.,.2+)
2(t ) ' G2 t e 0 0?t
.............. (2.,.2,)
atau "
So(#si Um#m dari sistem S&$ 1 gerak bebas dengan redaman untuk kondisi Redaman %ritis, merupakan superposisi dari dua persamaan di atas (!ers. 2.,.2+ dan !ers. 2.,.2,), yaitu " )(t ) * # e 1 6Ft / t e 1 6Ft atau " (t ) ' (G1 & G2 t ) e 0 0?t
.............. (2.,.2-)
ilai konstanta integrasi # dan pada !ers. 2.,.2- dapat ditentukan, jika kondisi a'al sistem diketahui. ntuk kondisi a'al sistem " ) (0) * )o dan ) (0) * vo, diperoleh "
) (t )
* (# / t ) e 1 6Ft
)( 0)
* %# / (0)& e0 * )o G1 ' /
Oscar M (132 258 564)
.............. (2.,.2/ ) II – 22
Single Degree of Freedom Sysem
(t ) )
*
1 6F (# / t ) e 1 6Ft / e 1 6Ft
(0) )
*
1 6F %# / (0)& e0 / e0 * vo
1 6F # / * vo * vo / 6F # G2 ' // & 0? /
.............. (2.,.20 )
Dengan mensubtitusikan !ers. 2.,.2/ dan !ers. 2.+.20 kedalam !ers. 2.,.2-, diperoleh So(#si %5#s#s sistem S&$ 1 gerak bebas dengan Redaman %ritis " )(t ) * (# / t ) e 1 6F t * % )o / (vo / 6F )o)t & e 1 6F t
* % )o / vot / 6F )ot & e 1 6F t
* % )o / 6F )ot / vot & e 1 6F t
* % ( )o / 6F t )o) / vot & e 1 6F t
(t ) ' 5 / (1 & 0? t ) & //t ) 6 e 0 0? t
.............. (2.,.27)
)(t )
vo )(t ) * % )o (# / 6F t ) / vot ) & e 1 6F t )o t
Gambar 2./ 5espon Gerak Bebas dengan 5edaman "ritis
Dari Gambar 2./ di atas, dapat dilihat bah'a untuk redaman kritis, gerak yang terjadi bukan osilasi, namun besar osilasi mengecil secara eksponensial dengan 'aktu menuju nol.
Oscar M (132 258 564)
II – 23
View more...
Comments
