Bab 2 Transformasi Lorentz

 

TRANSFORMASI LORENTZ

KONTRAKSI LORENTZ

DILATASI WAKTU

 

TRANSFORMASI LORENTZ

Telah kita lihat bahwa transformasi Galileo mengenai koordinat, waktu, dan kecepatan tidak  taat asas dengan kedua postulat Einstein. Transformasi Galileo tidaklah memberikan hasil yang sesuai dengan berbagai percobaan pada laju tingerangk gi.ngkat Oat lehper ksamaa areaan nan tra itunsform , ormasi kita asimbar emeurlu k ag n sep sepera persam transf baru yan yang dapat meramalkan berbagai efek relativistik.

03/03/2018

 

TRANSFORMASI LORENTZ

Juga, karena kita mengetahui bahwa transformasi Galileo berlaku baik pada laju rendah, transformasi baru ini haruslah memberikan hasil yang sama seperti transformasi Galileo apabila laju relatif  antara O dan Oꞌ Oꞌ adalah rendah.

03/03/2018

 

TRANSFORMASI LORENTZ

Kerangka O bergerak  dalam arah +x dengan kecepatan v relatif 

3/2018

terhadap kerangka O. Transformasi Lorentz harus digunakan untuk  mengubah cara  pengukuran dalam salah satu kerangka terhadap kesetaraannya dengan yang lain.

 

TRANSFORMASI LORENTZ

Trans ransfo form rmas asii Lore Lorent ntzz sebe sebena narn rnya ya seje sejeni niss deng dengan an tr tran ansf sfor orma masi si Galileo. Galil eo. Kekeliru Kekeliruan an transfor transformas masii Galileo Galileo untuk kecepatan kecepatan-kece -kecepatan patan yang mendekati kecepatan cahaya merupakan anggapan bahwa selang waktu pada kerangka acuan Oꞌ Oꞌ sama dengan selang waktu pada kerangka acuan O. Untuk  memasukkan konsep relativitas Einstein, selang waktu tidaklah sama. Dengan mengganggap transformasi ini linear maka hubungan transformasinya akan mengandun meng andung g suatu suatu pengali pengali   γ   yang yang disebu disebutt dengan dengan tetap tetapan an atau atau konst konstant antaa Lorentz. Berpijak pada postulat pertama relativitas khusus maka persamaan fisika harus berbentuk sama dalam kerangka O dan Oꞌ O ꞌ, sehingga kaitan x sebagai fungsi xꞌ xꞌ dan tꞌ tꞌ dapat dinyatakan dalam persamaan: x = γ = γ (x  (xꞌꞌ + vtꞌ vtꞌ) ………………………………… …………………………………(1) (1) Sedangkan kaitan x’ kaitan x’ sebagai fungsi x dan t dinyatakan dalam persamaan: xꞌ =  = γ  γ (x  (x –   –  vt)   vt) ………………………………… …………………………………(2) (2) 03/03/2018

 

PENENTUAN FAKTOR γ

03/03/2018

 

PENENTUAN FAKTOR γ

03/03/2018

 

Tran ransfo sforma rmasi si Koordi Koordinat nat Lor Lorent entzz

Dengan memasukkan nilai γ nilai γ diperoleh persamaan transformasi lengkap dari pengukuran suatu kejadian dalam kerangka O terhadap pengukuran yang sesuai yang dilakukan dalam kerangka Oꞌ. Dimana, x=

y = yꞌ yꞌ

z = zꞌ

 

t=

Untuk memperoleh persamaan transformasi balik dilakukan dengan mempertukarkan kuantitas  beraksen dengan tanpa aksen dan mengganti v dengan –  dengan – v sebagai berikut: xꞌ =

zꞌ = z

yꞌ = y

tꞌ =

Transformasi Transfor masi koordinat ini disebut transformasi disebut transformasi Lorentz .

03/03/2018

 

TRANSFORMASI LORENTZ

Cont Co ntoh oh :

Ketika diamati oleh O, sebuah lampu kilat diaktifkan di titik x = 100 km, y= 10 km, z = 1 km  pada t = 5   ×   10-4 s. Bagaiman Bagaimanakah akah koordinat koordinat-koor ko ordi dina natt xꞌ, yꞌ, zꞌ, tꞌ   dar dari keja kejad dia ian n ini ini ji jika ka dipandang oleh pengamat kedua, Oꞌ Oꞌ, yang bergerak  relattif te rela terh rhaadap dap O deng dengaan kece kecepa pata tan n -0, -0,8c di sepanjang sumbu x - xꞌ xꞌ ?

03/03/2018

 

SIMULTANITAS

Dua kejadian dikatakan simultan (terjadi secara bersamaan) terhadap seorang  pengamat jika pengamat tersebut mendapati bahwa kedua kejadian tersebut muncul pada waktu wak tu yan yang g sam sama. a. Dal Dalam am fis fisika ika rel relati ativist vistik, ik, dua keja kejadia dian n yan yang g dik dikata atakan kan sim simult ultan an terhadap seorang pengamat adalah, pada umumnya tidak simultan terhadap pengamat lain.

Sebaga Seba gaii co cont ntoh oh an angg ggap apla lah h ba bahw hwaa ke keja jadi dian an A da dan n B sim simul ulta tan n ke keti tika ka persamaan n dipandang oleh Oꞌ, sehingga tꞌA = tꞌB. Dengan mengacu ke persamaa

t= tꞌ - tꞌtꞌ B

A=

maka pen maka penga gamat mat O men menguk gukur ur sep separ arasi asi wak waktu tu un untuk tuk kedu edua a keja ejadia dian n yan yang g sama ini sebagai tꞌB - tꞌA =

03/03/2018

 

TRANSFORMASI KECEPAT TAN TRANSFO RMASI KECEPA LORENTZ

Kecepa Kece pata tan n da dapa patt dipe dipero role leh h da dari ri turu turuna nan n pe pert rtam amaa fung fungsi si posi posisi si terhadap waktu. Komponen kecepatan pengamat O: ux = uy =

uz =

Komponen kecepatan pengamat Oꞌ Oꞌ: uꞌx = uꞌy =

uꞌz =

Dengan menurunkan persamaan transformasi Lorentz untuk x, y, z , dan t diperoleh: ux =

03/03/2018

uy =

uz =

 

TRANSFORMASI KECEPAT TAN TRANSFO RMASI KECEPA LORENTZ

Jika sebuah objek objek yang diamati diamati oleh O ber bergerak gerak dengan kecepatan kecepatan u = (ux, uy, uz) sebagaimana diamati oleh Oꞌ Oꞌ, maka kita perlu menggunakan transformasi kecepatan Lorentz berikut: uꞌx =

uꞌy =

uꞌz =

keterangan: ux   = kecepatan benda relatif terhadap pengamat diam (m/s) uꞌx = kecepatan benda relatif terhadap pengamat bergerak (m/s) v = kecepatan pengamat bergerak (Oꞌ (Oꞌ) relatif terhadap pengamat diam (O) (m/s) c = kecepatan cahaya (3 03/03/2018

×

8

10 m/s)

 

TRANSFORMASI KECEPAT TAN TRANSFO RMASI KECEPA LORENTZ

Con Co ntoh 2. Sebuah kapal angkasa bergerak  menjauhi bumi dengan kecepatan 0,9c mene me nem mba bakk kkan an se sebu buah ah pe pelu luru ru da dala lam m ar arah ah yang sama dengan geraknya, dengan kecepatan 0,5c relatif terhadap kapal

angkas angk asaa it itu. u. Be Bera rapa pa ke kece cepa pata tan n pe pelu luru ru it itu u relatif terhadap bumi?

03/03/2018

 

Transf ransformas ormasii Kecepatan Kecepatan Lorentz Lorentz dan Kecepa Kec epatan tan Cahaya Cahaya

Tinjaulah di mana sebuah sinyal cahaya dikirimkan kearah sumbu x - x ꞌ  dari pusat koordinat bersama ketika O dan O ꞌ  saling berpapasan satu sama lain pada t= tꞌ=0. Jika O menentukan komponen-komponen kecepatan sinyalnya sebagai ux =c, uy= uz=0, maka dari persamaan uꞌx = menentukan uꞌx =

=

, Oꞌ akan

=c

uꞌ y = uꞌ z = 0 Dengan Deng an demi demiki kian an Oꞌ   jjug uga a mene meneta tapk pkan an bahw bahwa a si siny nyal al ca caha haya ya ter tersebu sebutt merambat dengan kecepatan c.

03/03/2018

 

KONTRAKSI LORENTZ

Pengukuran panjang dipengaruhi oleh gerak relatif. Panjang L benda yang bergerak terhadap pengamat keliha keli hata tann nnya ya le lebi bih h pe pend ndek ek da dari ri pa panj njan ang g L0   bila diuk di ukur ur da dala lam m ke kead adaa aan n diam diam te terha rhada dap p peng pengam amat at.. Gejala ini dikenal sebagai pengerutan sebagai  pengerutan Lorentz  atau   atau kontraksi kontr aksi Lor Lorentz  entz . Panjang L0   suatu benda dalam kera ke rang ngka ka di diam am di dise sebu butt se seba baga gaii pa panj njan ang g pr prop oper er.. Panjang proper adalah jarak antara titik yang relatif  diam terhadap pengamat. 03/03/2018

 

KONTRAKSI LORENTZ

Fenomena ini dapat dilihat pada gambar berikut.

Ukuran objek akan mengalami kontraksi panjang pada  bagian yang searah dengan gerakan objek  03/03/2018

 

KONTRAKSI LORENTZ

Misalkan sebuah batang dengan panjang L0 berada pada sumbu x dari kerangka acuan diam O. Koordinat ujungujung batang pada kerangka acuan O adalah x1 dan x2 sehingga x2-x1=L0. Kemudian, batang tersebut melekat  pada kerangka acuan Oꞌ yang bergerak dengan kecepatan v terhadap kerangka O. Koordinat ujung-ujung batang  pada kerangka Oꞌ Oꞌ adalah x1ꞌ dan x2ꞌ sehingga x2ꞌ –  x  x1ꞌ=L. Waktu pengukuran koordinat x1ꞌ adalah bersamaan dengan waktu pengukuran koordinat x2ꞌ (dalam kerangka acuan O’) acuan  O’) sehingga t1ꞌ=t2ꞌ. 03/03/2018

 

KONTRAKSI LORENTZ

Sesuai dengan persamaan: x= 03/03/2018

sehingg sehingga, a, L = L0

 

atau L =

 

KONTRAKSI LORENTZ

Tetapan transformasi γ   ad adalah bilangan yang selalu besar dari 1   (γ   > 1) sehingg sehin ggaa dala dalam m pe persa rsama maan an L=L0/γ   sel selalu lebih ke keccil dari da ripa pad da L0. Benda yang  bergerak akan tampak lebih

 pendek apabila diukur dari kera ke rang ngka ka ac acua uan n di diam am (L < L0). Pe Peri rist stiiwa peny penyus usut utaan  panjang ini disebut kontraksi disebut  kontraksi  panjang . 03/03/2018

Contoh gejala fisis yang mem emen enuh uhii pe peng nger erut utan an at atau au kont ko ntra raksi ksi pa panj njang ang ini ada adala lah h te terbe muon. adrbent alantuk h uknya pnya artikemu l on. tak   Muon stabil yang ya ng te terc rcip ipta ta pa pada da te tem mpat pat tinggi ol oleeh partikel cepat dalam si sin nar-kosm smiik yang datang dari angkasa luar  sewa se wakt ktu u te terj rjad adii tu tum mbuka bukan n dengan inti atom dalam atmosfer bumi.

03/03/2018  

KONTRAKSI LORENTZ

Muon memiliki ciri-ciri fisis seperti: Massa = 207 kali massa elektron Muatan = -e atau +e Kecepatan = 0,998 c = 2,994 × 108 m/s Muon akan meluruh menjadi elektron atau positron setelah umur um ur ra ratata-ra rata tanya nya 2 μs   (2   ×   10-6 s). Muo uon n da dala lam m sina sinarr ko kossmi mik  k   berkelajuan 0,998 c dan mencapai permukaan laut dalam jumlah besar. Muon menembus tiap cm persegi permukaan bumi rata-rata lebih dari 1 kali tiap menit. Dalam umur rata-rata muon te terrsebut jarak ya yan ng dapat ditempuh sebelum meluruh adalah s = v.to = (2,994 × 108 m/s)(2 × 10-6 s) = 600 m

03/03/2018  

KONTRAKSI LORENTZ

Sedang Seda ngka kan n muo uon n terc tercip ipta ta pada pada keti keting nggi gian an 60 6000 00 m at atau au lebi lebih. h. Untu Untuk  k  memecahkan paradoks ini maka tinjau bahwa umur muon 2 μs  didapat oleh  pengamat yang dalam keadaan diam terhadap muon. Karena muon bergerak  ke arah kita yang berada di bumi maka umurnya akan memanjang terhadap kerangka acuan kita dengan pemuaian waktu, sehingga umur muon menjadi: t=

=

= 31,6 ×

 

s

Hal ini Hal ini be bera rart rtii bahw bahwaa muon muon yang yang ber bergera gerak k memi memili liki ki umur umur 16 kali kali lebi lebih h  panjang dari pada dalam keadaan diam. Dalam selang waktu t= 31,6 µs sebuah muon yang berkelajuan 0,998 c dapat menempuh jarak: s= v.t = (2,994 × 108 m/s)(3l,6 ×

 

) = 9500 m

03/03/2018  

KONTRAKSI LORENTZ

Hal ini berarti bahwa muon yang bergerak memiliki umur  16 kali lebih panjang dari pada dalam keadaan diam. Dalam selang waktu t= 31,6 µs sebuah muon yang berkelajuan 0,998 c dapat menempuh jarak: s= v.t = (2,994 × 108 m/s)(3l,6 ×   ) = 9500 m Walaupun umur muon hanya t0 = 2 µs terhadap kerangka acuannya, namun muon dapat mencapai tanah dari ketinggian 9500 m karena dalam kerangka acuan pengamat di bumi umur  muon adalah t = 31,6 µs. Jadi ketinggian h0   yang kita ukur harus menjadi lebih kecil dalam kerangka acuan muon h yang memenuhi persamaan,

h = h0

03/03/2018  

KONTRAKSI LORENTZ

Dalam kerangka acuan kita muon menempuh acuan muon yang tidak mengalami pemuaian waktu, jaraknya mengerut menjadi jarak h0   = 9500 m karena pemuaian waktu. Dalam kerangka : h = (9500 m)

= 600 m

03/03/2018  

KONTRAKSI LORENTZ

Peristiwa pengerutan muon dapat diamati pada gambar berikut

(a)

(b)

03/03/2018  

KONTRAKSI LORENTZ

Seperti kita ketahui, jarak tersebut ditempuh muon yang berkelajuan 0,998 98cc dalam waktu 2µs. Pengerut rutan relativistik dari jarak  merup me rupak akan an co cont ntoh oh um umum um dari dari peng penger erut utan an pa panj njan ang g Lo Lore rent ntzz atau atau kontraksi Lorentz dalam arah gerak:

L = L0

 

a ta u

L=

L= panjang benda bergerak yang diamati oleh kerangka diam atau  panjang relativistik (m) L0= panjang benda yang diam pada suatu kerangka acuan (m) v = kecepatan benda terhadap kerangka diam (m/s) c = kecepatan kecepatan cahaya cahaya ((3 3

×

8

10 m/s)

03/03/2018  

KONTRAKSI LORENTZ

Pengerutan panjang Lorentz. Hanya panjang dalam arah gerak  yang terpengaruh.

03/03/2018  

KONTRAKSI LORENTZ

Cont Co ntoh oh 3:

Seorang astronot m, berbaring sejajar  pesawat angkasa yang kelajuan 0,6c relatif

yang tingginya 2 dengan sumbu bergerak dengan terhadap bumi.

Berapakah tinggi astronot jika diukur oleh  pengamat di bumi?

03/03/2018  

DILATASI WAKTU

Sekara Seka rang ng ki kita ta meng menggu guna naka kan n po post stul ulat at re rela lati tivi vita tass khusus untuk menyelidiki bagaimana gerak relatif  mempengaruhi pengukuran selang waktu. Sebuah lonceng yang bergerak terhadap pengamat kelihatannya berdetak lebih lambat daripada jika lonceng itu diam terhadapnya. Ini berarti, jika seorang pengamat dalam suatu roket mendapatkan selang waktu antara dua kejadian dalam roket itu  itu   Δt0, orang di bumi mendapatkan  bahwa selang waktu tersebut lebih panjang, yaitu   Δt. Kuantitas   Δt0 yang ditentukan oleh kejadian yang terdapat  pada tempat yang sama dalam kerangka acuan acuan pengamatnya disebut selang waktu proper antara kejadian itu.

03/03/2018  

DILATASI WAKTU

Waktu proper adalah selang waktu antara kejadian yang terjadi pada suatu tempat. Bila diamati dari  bumi, kejadian yang menandai permukaan dan akhir selang waktu itu terjadi pada tempat yang  berbeda, dan mengakibatkan selang waktunya kelihatan lebih panjang dari waktu proper. Efek  ini dis iseb ebu ut   pemu (memua uaii ad adal alah ah pemuai aian an wa wakt ktu u   (mem  bertambah besar) atau dilatasi atau dilatasi waktu. waktu.

03/03/2018  

DILATASI WAKTU

Lonceng sederhana. Masing-masing “tik ” sesuai dengan satu  perjalanan pergipergi pulang suatu  pulsa cahaya dari cermin-bawah ke atas dan kembali.

03/03/2018  

DILATASI WAKTU

Sebuah lonceng  pulsa cahaya yang diam pada bumi sebagaimana terlihat oleh seorang di bumi.

03/03/2018  

DILATASI WAKTU

Waktu yang dibutuhkan untuk pulsa cahaya untuk cermin dengan denganmenjalankan kelajuan cahaya c adalah Δ adalah  Δtt0cahaya /2, jadi Δt0/2 = L0/c dan Δt = 0

03/03/2018  

DILATASI WAKTU

Lonceng cahaya dalam roket seperti yang terlihat oleh  pengamat yang diam di bumi. Cerminnya sejajar  dengan arah gerak  roket.

03/03/2018  

DILATASI WAKTU

Dalam perjalanannya dari cermin-bawah ke cermin-atas dalam waktu   Δt/2, pulsa cahaya menempuh jarak horizontal (Δ (Δt/2) dan jarak total c(Δt/2). Karena L0 menyatakan jarak vertikal antara cermin, = L0 2 +

03/03/2018  

DILATASI WAKTU

Tetapi etapi 2L0/c adal adalah ah sela selang ng wa wakt ktu u   Δt0   anta antara ra tik tik pada pada lonceng di bumi, jadi Δt =

atau   Δt = γΔt 0

Keterangan :

Δt = selang waktu pada lonceng yang diam relatif  terhadap terha dap pengamat pengamat (s) Δt0   = selang waktu pada lonceng dalam keadaan gerak  relatif terhadap pengamat (s) v = kelajuan kelajuan ge gerak rak relatif relatif (m/s) c = kelajuan kelajuan cahaya (3 × 108 m/s)

03/03/2018  

DILATASI WAKTU

Oleh karena kuantitas selalu lebih kecil dari 1 untuk benda yang bergerak,  bergerak,   Δt selalu lebih besar dari Δ dari  Δtt0. Lonceng yang bergerak dalam roke ro kett ke kellih ihaata tan nny nyaa ber erde deta tak k le leb bih la lam mbat dar arii lonceng yang diam dibumi untuk pengamat yang ada di bu  Δ mti.selalu Hal lebih ini blama erartidaripada selang selang waktu relativistik  relativistik   waktu wak tu pro proper  per    Δt0. Peri Perist stiw iwaa in inii di dise sebu butt   dilatasi waktu.. waktu

03/03/2018  

DILATASI WAKTU

Cont Co ntoh oh 4: Rata Ra ta-r -rat ata a waktu aktu hi hidu dup p meso meson n μ yang ya ng berg berger erak ak de deng ngan an kec ecep epat atan an 0. 0.95 95cc adalah 6 x 10-6 s. Hitunglah rata-rata waktu hidup meson   μ  yang diam dalam sebuah sistem.

03/03/2018