Bab 2. Panjang Busur Dan Benda Putar

Suryadi Siregar dkk Dasar-dasar Matematika untuk Astronomi  ___________________________________________________________________________  Bab 2 Panjang Busur dan Benda Putar

Panjang Busur

Tinjau : suatu fungsi f(x) yang kontinyu kontinyu dan mulus dalam interval interval tertutup [a,b]. [a,b]. Ingin ditentukan panjang panjang fungsi tersebut dari dari titik A = (a,f(a)) ke titik B = (b,f(b))

Gambar Panjang busur  Qi −1Qi dapat dihitung dengan membuat ∆ x→0 Jika jarak titik Q0 = titik A ke titik Qn = titik B Panjang AB ? f(x) mulus (smooth) pada [a,b] , tinjau interval [x i-1, xi ] Maka panjang elemn busur  | Qi-1 Qi | =

V

dapat dihitung dari pernyataan

Qi −1Qi

X2i +V Y2i =V Xi 1 + (

V yi V xi

= V Xi 1 + {

)2

f ( xi ) − f ( xi

∆ x

−

1

)

} 2…….(1)

i

Menurut teorema nilai rata-rata, zi Є ( Xi-1 , Xi ) sehingga f(x)dx → f ( xi ) − f ( xi 1) = f '( zi )( xi − xi 1 ) ∫  ( X X i -X i-1 ) Xi-1 Xi

f ( zi ) =

=∆

−

−

yi= f '( zi)∆ xi …..(2)

 __________________________________________________________________________  KK-Astronomi, FMIPA

2.1

Suryadi Siregar dkk Dasar-dasar Matematika untuk Astronomi  ___________________________________________________________________________  f'( zi) =

yi ∆ → f'( x) = ∆ xi

dy dx

(2) pada (1) | Qi-1 Qi | = ∆

xi 1 + { f'( zi)} → AB= 2

n

∑|

Qi − 1 Qi |

asal

m →1

i =1 n

Panjang AB = | plim ∑∆ | 0 →

xi 1 + [ f'( zi)] 2

i =1 n

= lim ∑ ∆ xi 1 + [ f'( zi)] 2 = n →∞

i =1

b

⇒  AB = ∫  1 + ( a

dy dx

b

∫  1 +  f '( x) 2 dx a

) 2 dx

; y f(x)

Contoh : tentukan panjang busur y = x 3/2 antara (1,1) dan (4,8) 4

Jawab :

=AB ∫  1 + { 1

4

=∫ 1

d  dx

9 1+ 4

4 2 9 3

4

3/2 x 2

} dx =

∫  1

1+{

3 1/2 2 x } dx 2

44 9 9 = ∫  1 + (1 ) xdx xd+ 91 4 4

x

9 4

= . (1 + x ) 3/2 |41 = 7.63

Luas permukaan benda putar

Bila kurva y = f ( x) yang mulus pada [a, b] diputar mengelilingi sumbu x. Berapa luas  permukaan yang terjadi ? Untuk menjawab pertanyaan ini tinjau;

 __________________________________________________________________________  KK-Astronomi, FMIPA

2.2

Suryadi Siregar dkk Dasar-dasar Matematika untuk Astronomi  ___________________________________________________________________________ 

Gambar Fungsi f(x) diputar mengelilingi sumbu x maka terjadi selimut benda putar  Luas selimut kerucut terpancung, bila segmen Q i-1Qi diputar mengelilingi sumbu x adalah; ∆ Li = π [ f ( xi −1 ) + f ( xi )] Qi −1Qi = π  [ f ( xi−1 ) + f ( xi )] 1 + f '( zi )2 ∆xi

Bila busur  Q Qn yang diputar terbentuk luas total yang besarnya adalah; 0

 L =

∑1 ∆L

i

i=

xi −1 < zi < xi

Fungsi f kontinyu pada [a, b] dan cara membuat n → ∞ jadi L = 2π

n

∑1 f ( z ) 1 + { f '( z )} i

i=

i

2

maka jumlah f ( xi −1 ) + f ( xi ) ≅ 2 f ( zi )  dengan

∆xi

Agar luas sebenarnya diperoleh, dengan konsep Riemann kita perleh

∑1 f ( z ) 1 + {

L = 2π Lim n →∞

n

i=

i

2

b

∫ 

f '( zi )} ∆ xi = 2 π f ( x )

1 +{

2

f '( x )} dx

a

Theorema: Jika f ( x ) ≥ 0 , setiap a ≤ x ≤ b dimana f(x) mulus pada [a,b]. Maka luas  permukaan yang terjadi bila f(x) diputar mengelilingi sumbu x adalah;

 __________________________________________________________________________  KK-Astronomi, FMIPA

2.3

Suryadi Siregar dkk Dasar-dasar Matematika untuk Astronomi  ___________________________________________________________________________  b

2

b

dy  L = 2π∫  f ( x ) 1 + { f '( x )} dx = 2π f ( x ) 1 +    dx ∫ a  dx  a 2

2

2

Perhatikan ds = 1 +  dy  dx = 1 +  dx  dy  dx   dy  Dengan demikian, dapat kita simpulkan bila kurva f(x) diputar mengeliling sumbu koordinat maka luas permukaan yang terjadi adalah; Diputar mengelilingi sumbu-x b

=L 2π∫  yds a

Disini y adalah fungsi dari x, y=y(x) Diputar mengelilingi sumbu-y d 

=L 2π∫  xds c

Dalam hal ini x fungsi dari y x=x(y)

Volume Benda Putar

Bila luas daerah empat persegi panjang diputar mengelilingi sumbu ,maka terjadi Volume tabung, Jumlah isi n tabung ( n persegi panjang diputar)  __________________________________________________________________________  KK-Astronomi, FMIPA

2.4

Suryadi Siregar dkk Dasar-dasar Matematika untuk Astronomi  ___________________________________________________________________________ 

Definisikan volume benda putar bila n→∞

 f(x)

kontinyu pada [a,b] →

juga kontinyu

b

Jadi, V = ∫ π   f ( x)2 dx a

Volume benda putar bila f(x) diputar mengelilingi sumbu-x 1. Contoh : Isi benda putar bila daerah dibawah diantara  x = 0

x=4

satuan isi 2. Ditanya : Volume benda putar bila daerah yang dibatasi mengelilingi sumbu –y Jawab :

dan garis

diputar 

 __________________________________________________________________________  KK-Astronomi, FMIPA

2.5

Suryadi Siregar dkk Dasar-dasar Matematika untuk Astronomi  ___________________________________________________________________________ 

satuan isi Definisi : f(x) dan g(x) kontinyu pada [a,b] maka volume yang terjadi bila daerah R = { (x,y) │a ≤ x ≤ b, g (x) ≤ y ≤ f(x) } diputar mengelilingi sumbu-x, adalah , atau dapat ditulis f(x) ≥ g(x) Ilustrasi: Bila f(x) , x € [a,b] diputar mengelilingi sumbu-x Bila g(x) , x € [a,b] diputar mengelilingi sumbu-x

Jadi bila daerah R diputar 

Contoh 1.

Ditanya sumbu x Jawab

: isi benda putar apabila daerah diantara :  y = 8 x   y 8 x Titik potong dengan  y

 y

 x 2

=

dan  y

2

= 8 x

diputar terhadap

2

=

 x 2

=

8 x

→

 x 4

=

− 8 x =

 x 2 :

0

→

x1

= 10,

x2

=

2

 __________________________________________________________________________  KK-Astronomi, FMIPA

2.6

Suryadi Siregar dkk Dasar-dasar Matematika untuk Astronomi  ___________________________________________________________________________  Isi yang terjadi: b

∫ [

y

]

V  = π     f  ( x ) − g ( x ) dx 2

2

8 x

) − ( x )

a 2

 y =  x

= π  ∫ (   0

2

2

2

2

dx  

2

= π  ∫ (8 x − x 4 )dx 0

 y = 8 x

 2 1 5 2 = π  4 x −  x  5  0   =

2.

Ditanya Jawab

satuan isi

5

x

2

0

48π  

: sama seperti soal nomor 1 tetapi daerahnya diputar terhadap garis : bila diputar terhadap garis

 y

 y

1

=−

1

=−

 g ( x ) → g ( x ) +1

  f  ( x ) →  f  ( x ) +1 b

∴V  = π  ∫ [  f  ( x ) − g ( x ) ]dx 2

2

a

y 2

= π  ∫ (  

 y =  x 2

+1) − ( x +1) dx   2

8 x

0

2

= π  ∫ {(8 x + 2

2

2

+1) − ( x + 2 x +1)}dx 4

8 x

2

0 2

= π  ∫ {8 x + 2

 y = 8 x

8 x

− x − 2 x }dx 4

2

0

 = π  4 x + 4   2

0

2

Lemma : Bila daerah dibawah terhadap garis

x

=

224 π  

2

2 3

3

2

1

2

 x −  x −  x 2

5

5

3

0

satuan isi

15

diantara garis

dan

diputar 

, maka volume benda puutar yang terjadi adalah :

 __________________________________________________________________________  KK-Astronomi, FMIPA

3

2.7

   

Suryadi Siregar dkk Dasar-dasar Matematika untuk Astronomi  ___________________________________________________________________________ 

y

f(x) x a

Ingat translasi

b

y=c

(pada sumbu- )

 __________________________________________________________________________  KK-Astronomi, FMIPA

2.8

Suryadi Siregar dkk Dasar-dasar Matematika untuk Astronomi  ___________________________________________________________________________ 

Hitung Volume Dengan Metoda Cincin

y

f(x) wi a

i

xi-1 xi

b

x

Daerah R diputar mengelilingi sumbu-y, isi yang terjadi :

Jika ada n daerah persegi panjang yang diputar :

Isi yang terjadi bila daerah dibawah sumbu-

diantara

dan

diputar terhadap

:

y

x

 __________________________________________________________________________  KK-Astronomi, FMIPA

2.9

Suryadi Siregar dkk Dasar-dasar Matematika untuk Astronomi  ___________________________________________________________________________  Contoh : 1.

Dit : Isi benda putar bila daerah diantara

dan garis

mengelilingi sumbu-y Jawab : y

1

dan sumbu-x diputar 

Isi,

2

x

Misal,

satuan isi 2.

Dit : Isi benda putar bila

diputar mengelilingi sumbu-y. Daerah yang diputar 

dari

Jawab : y

0

y = cos x

x

 __________________________________________________________________________  KK-Astronomi, FMIPA

2.10

Suryadi Siregar dkk Dasar-dasar Matematika untuk Astronomi  ___________________________________________________________________________ 

Perhatikan :

Jadi,

 __________________________________________________________________________  KK-Astronomi, FMIPA

2.11