BAB 2. Matriks Partisi

BAB 2. PEMBELAJARAN 1 Matriks Terpartisi A. Tujuan Kegiatan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa diharapkan: 1. Mampu membedakan antara matriks terpartisi dan matriks bukan terpartisi 2. Mampu melakukan operasi aljabar antara matriks-matriks terpartisi 3. Mampu menentukan invers dari suatu matriks terpartisi 4. Mampu menentukan rank dari suatu matriks terpartisi 5. Mampu menentukan determinan dari suatu matriks terpartisi

B. Deskripsi Materi Pembelajaran Matriks terpartisi pada prinsipnya tidak berbeda dengan matriks yang sudah dikenal selama ini. Perbedaannya hanya terletak pada elemen matriks, dimana pada matriks terpartisi, elemen-elemennya adalah blok-blok matriks dengan ukuran lebih kecil. Matriks partisi dari A adalah matriks yang setiap elemennya juga berbentuk matriks, yang diperoleh dengan cara menarik satu atau beberapa garis horizontal atau vertical diantara 2 baris atau kolom A. Elemen-elemen yang dipisahkan oleh garis-garis tersebut dinamakan blok. Untuk matriks yang berukuran besar, mempartisi matriks akan menyederhanakan perhitungan, karena ukurannya lebih sederhana. Beberapa sifat operasi matriks terpartisi masih diturunkan dari sifat operasi matriks biasa, seperti penjumlahan dan perkalian dengan skalar, namun sifat-sifat yang lain seperti perkalian antara 2 matriks terpartisi, determinan, inverse dan trace memiliki bentuk yang berbeda.

C. Uraian Materi C.1 Pengantar Matriks dan Sub Matriks Matriks adalah koleksi bilangan-bilangan riil a11, a12 ,..., a1n ,..., am1 , am 2 ,..., amn yang disusun ke dalam bentuk

4 Aljabar Matriks

Matriks sebagaimana didefinisikan di atas dikatakan berukuran mxn, di mana m menyatakan banyaknya baris dan n menyatakan banyaknya kolom. Bilangan pada baris ke-i dan kolom ke-j dikatakan elemen atau unsur ke-ij. Matriks umumnya ditulis menggunakan notasi huruf capital, seperti maka matriks A biasa ditulis:

dan seterusnya. Jika elemen ke

dari matriks

adalah

A : a1 j 

Operasi-operasi aljabar antara 2 atau lebih matriks, sifat-sifat dan jenis-jenis matriks sudah diberikan pada matakuliah Matematika Dasar, jadi uraian kali ini difokuskan pada bagian-bagian khusus yang terkait langsung dengan matriks terpartisi, salah satu diantaranya adalah sub matriks. Sub matriks dari matriks A adalah matriks yang diperoleh dengan menghilangkan atau mencoret beberapa baris atau kolom A. Sebagai Contoh, jika diberikan matriks berukuran 3x4 sebagai berikut:

-

Jika baris ke-2 dari matriks tersebut dihilangkan maka diperoleh submatriks berukuran 2x4 sebagai berikut

-

Jika kolom ke-1 dan kolom ke-3 dihapus maka diperoleh submatriks berukuran 3x2 seperti berikut ini

-

Sebuah matriks merupakan submatriks dirinya sendiri Misalkan

dari

adalah submatriks

yang diperoleh dengan menghapus baris ke- i1 ,..., im  r dan kolom ke-

berukuran

j1 ,..., jn  s dari

adalah matriks berukuran mxn. Misalkan pula

dan

adalah submatriks berukuran

dari AT yang diperoleh dengan

menghapus baris ke- j1 ,..., jn  s dan kolol ke- i1 ,..., im  r dari AT , maka

 

B*  A*

T

5 Aljabar Matriks

Sebuah submatriks

yang diperoleh dengan menghapus baris dan kolom yang

sama disebut principal submatriks. Principal submatriks

dari matriks

yang

diperoleh dengan menghapus n  r, r  1,2,..., n baris dan kolom terakhir disebut leading principal submatriks. Beberapa sifat yang terkait dengan principal submatriks diberikan sebagai berikut: -

Jika A adalah matriks simetri maka principal submatriks A juga simetri.

-

Jika A adalah matriks diagonal maka principal submatriks A juga diagonal.

-

Jika A adalah matriks segitiga atas (atau segitiga bawah) maka principal submatriks A juga merupakan matriks segitiga atas (atau bawah).

C.2 Matriks Terpartisi Sebuah matriks dapat dibagi atau dipartisi ke dalam sejumlah submatriks dengan cara menyelipkan garis horizontal atau vertical diantara baris-baris atau kolom-kolom matriks. Matriks yang terbentuk disebur matriks terpartisi dan submatriks-submatriks di dalamnya disebut blok (elemen blok) Dibawah ini diberikan beberapa matriks terpartisi yang mungkin dari sebuah matriks berukuran 3x4 yang diberikan sebelumnya

adalah matriks A  aij , i  1,..., m; j  1,..., n yang dinyatakan

Jadi, matriks terpartisi kembali dalam bentuk

 A11 A A   21     Ar1

A12 A22  Arc

 A1c   A2c       Arc 

………………..…………....... (1.1)

dimana submatriks-submatriks Ai1 , Ai 2 ,..., Aic pada baris ke-i dari A mempunyai jumlah baris yang sama untuk setiap i  1,2,..., r ; dan submatriks-submatriks Aij , Aj 2 ,..., Arj pada kolom

6 Aljabar Matriks

ke-j dari A mempunyai jumlah kolom yang sama pula. Sebagaimana elemen matriks, maka elemen blok dari sebuah matriks terpartisi ditandai berdasarkan posisi baris dan kolom blok tersebut. Misalnya, Aij adalah elemen blok pada baris ke-i kolom ke-j matriks A pada (1.1) Berdasarkan hal tersebut maka matriks berikut bukan matriks terpartisi (kenapa?)

Apabila matriks terpartisi A berukuran rxr, yaitu:

 A11 A A   21     Ar1

A12 A22  Arc

 A1r   A2 r       Arr 

maka -

Elemen Aij disebut blok diagonal jika i=j

-

Elemen Aij disebut blok off-diagonal jika i≠j

Jika semua blok off-diagonal A merupakan matriks O; yaitu:

 A11  A    

 A22  

          Arr 

maka A disebut matriks blok-diagonal. Dalam kasus ini, A biasa ditulis:

 A11  A    

 A22  

      diag ( A11, , A22 ,..., Ann )      Arr 

7 Aljabar Matriks

Jika Aij=O untuk ji; i,j=1,2,…,r yaitu:

 A11 A A   21     Ar1

O A22  Arc

 O  O       Arr 

maka A disebut matriks blok-segitiga bawah. Uraian berikut ini akan membahas mengenai operasi-operasi matriks terpartisi, rank, inverse dan determinan matriks terpartisi:

1. Operasi-operasi matriks terpartisi. Operasi-operasi standar yang berlaku pada matriks sebarang pada umumnya berlaku juga pada matriks terpartisi, sebagaimana diperlihatkan berikut ini: a. Perkalian dengan scalar k tak nol. Misalkan

maka

8 Aljabar Matriks

Khususnya untuk k=1 maka

b. Transpose matriks terpartisi Jika

maka transpose A adalah

c. Penjumlahan Misalkan

dan

maka

9 Aljabar Matriks

Dengan syarat bahwa penjumlahan setiap elemen blokk Aij  Bij terdefinisi (Dalam hal ini, A dan B dikatakan konformal untuk penjumlahan) Jika A dan B konformal untuk penjumlahan maka

d. Perkalian matriks terpartisi Jika A berukuran mxn dan B berukuran pxq dengan masing-masing terpartisi sebagai berikut:

dan Aik Bkj terdefinisi untuk setiap i  1,..., r; j  1,..., v; k  1,..., c (A dan B konformal untuk perkalian) maka

dimana

Sebagai ilustrasi, misalkan

.

Jika

10 Aljabar Matriks

maka

Contoh 1.1. Misalkan

Maka [

][

]

[

]

dimana [

][

[

]

[

[

[

][

]

[

][

]

]

][

[

Jadi

[

]

[

[

]

]

[

]

]

]

]

11 Aljabar Matriks

2. Trace matrik terpartisi Misalkan A11 , A12 ,..., Ann adalah blok diagonal dari matriks bujursangkar yang terpartisi ke dalam

maka

3. Matriks blok segitiga Misalkan diberikan matriks blok segitiga dalam bentuk:

Im V 

0 Im V  atau    In   0 In 

dimana V adalah matriks berukuran masing-masing

dan

-

Im V 

-

 I m V   A  B  VA  0 I   B   A  n     

. Untuk setiap matriks A dan B yang berukuran

maka

0   A  A   I n   B   B  VA

Dengan cara yang sama jika matriks A dan B berukuran rmasing-masing dan

maka

-

A

I B m V

0   A  BV , B  I n 

-

B

I A m V

0  B, A  BV , B  I n  12

Aljabar Matriks

4. Rank matriks terpartisi Lemma 1.1. Misalkan T adalah matriks berukuran mxp, U berukuran mxq, V berukuran nxp dan W berukuran nxq maka:

T U  U T  rank   rank    V W  W V  V W   rank  . T U  W V   rank   U T  (Bukti Lemma dapat dilihat pada Lampiran A.1. Lemma pendukung tanpa bukti ditampilkan pada lampiran yang sama) Lemma 1.2. Misalkan T adalah matriks berukuran mxn, V berukuran nxp dan W berukuran nxq. Jika T memiliki full rank kolom (rank (T)=p atau W memiliki full rank baris (rank(W)=n, maka

T 0  W V  rank   rank    V W  0 T  rank (T )  rank (W ) (Bukti Lemma dapat dilihat pada Lampiran A.2. Lemma pendukung ditampilkan tanpa bukti pada lampiran yang sama) Teorema 1.1 Misalkan T adalah matriks berukuran mxm, U berukuran mxq, V berukuran nxm dan W berukuran nxq. Jika rank(T)=m, yaitu T nonsingular, maka

T U  U T  V W  rank   rank   rank     V W  W V  T U  W V   rank   U T   m  rank (W  VT 1U )

13 Aljabar Matriks

5. Invers matriks terpartisi Invers dari suatu matriks terpartisi ditentukan berdasarkan beberapa karakteristik berikut: 1) Matriks Blok Diagonal

T 0  - Misalkan T berukuran mxm dan W berukuran nxn. Matriks blok diagonal   0 W  nonsingular jika dan hanya jika T dan W keduanya nonsingular, dan dalam hal ini 1

T 1 0  T 0    0 W  1    0 W  Jika diperumum untuk sebarang matriks bujursangkar A1 , A2 ,..., Ak , maka

diag A1, A2 ,..., Ak 1  diagA11, A21,..., Ak 1  - Jika U dan V nonsingular maka 1

 0 U 1  0 U    1  V 0  0    V 2) Satu blok nol pada off-diagonal - Misalkan V berukuran nxm, maka

Im V 

0 In dan   In  0

V I m 

nonsingular dan 1

Im V 

0 I  m  In   V

0 I n 

In 0 

V In  V   0 I  I m  m  

1

- Misalkan T berukuran mxm, V berukuran nxm dan W berukuran nxn. Matriks blok

T 0  W V  V W  atau  0 T  berukuran (m+n)x(m+n) nonsingular jika dan hanya jika T     dan W keduanya nonsingular, dan dalam hal ini 1

 T 1 0  T 0   V W    1 1 W 1     W VT 14 Aljabar Matriks

dan 1

W 1  W 1VT 1  W V      0 T T 1     0 3) Blok Segitiga Misalkan

masing-masing menyatakan matriks blok segitiga atas dimana blok Aij berukuran nixnj dan matriks blok segitiga bawah dimana Bij berukuran nixnj d berukuran. Maka A nonsingular jika dan hanya jika Aii nonsingular untuk setiap i. Demikian pula, B nonsingular jika dan hanya jika Bii nonsingular. Sebuah algoritma untuk menentukan invers matriks blok segitiga nonsingular diberikan pada Lampiran A.4. Sebagai ilustrasi, simak contoh berikut: Contoh.1.2. Gunakan algoritma pada Lampiran A.4 untuk menentukan invers dari

Jawab:

 f11 Misalkan F   0  0

f12 f 22 0

f13  f 23  f33 

Langkah pertama hitung f33: f 33 

1  0.5 2

Langkah kedua hitung f22 dan f23 ; f 22 

1  0.2 ; 5

f 23  (0.2)(4)(0.5)  0.4 p 15

Aljabar Matriks

Langkah ketiga hitung f11 

1  0.125; 8

f12  (0.125)10.2  0.025

f13  (0.125)1 0.4  60.5  0.325; Jadi

0.125  0.025  0.325 A  F   0 0.2  0.4   0 0 0.5  1

Secara umum, invers dari matriks yang terpartisi ke dalam blok 2x2 dinyatakan dalam teorema berikut: Teorema 1.2

 A11 Misalkan A adalah matriks nxn yang terpartisi menjadi: A    A21 dengan A, A11 dan A22 nonsingular.  B11 Jika B=A-1 dengan B    B21

  A

B12  maka: B22 

B11  A11  A2 A221 A21 B22

22

A12  , A22 



1

 A21 A111 A12



 A111  A111 A12 B22 A21 A111

1

 A221  A221 A21B11 A12 A221

B12   A111 A12 B22 B21   A221 A21B11

Determinan Matriks Terpartisi Telah diketahui sebelumnya bahwa determinan matriks segitiga adalah hasilkali elemen-elemen diagonal. Sifat ini ternyata dapat diperluas untuk matriks terpartisi, yang dinyatakan dalam teorema berikut: Teorema 1.3. Jika T adalah matriks berukuran mxm, V berukuran nxm dan W berukuran nxn, maka T 0 W V  TW V W 0 T (Bukti dapat dilihat pada [1] halaman 185). 16 Aljabar Matriks

Berdasarkan teorema tersebut maka:

dan

Beberapa akibat dari teorema tersebut yang terkait dengan blok Nol dinyatakan sebagai berikut:

1.

0 T V W   (1)mn T W W V T 0

2.

0 W

V W  In  W  In 0 V

3.

Im 0

B 1 In Sifat determinan yang berkaitan dengan operasi baris elementer juga berlaku

untuk operasi blok baris elementer.

Sebagai contoh, karena

Im U I U  W maka m W U ' U 'U  W 0 W

Sifat determinan matriks terpartisi yang lebih umum dinyatakan dalam teorema berikut ini: Teorema 1.4.

 A11 Misalkan A matriks bujursangkar mxm yang terpartisi menjadi A    A21 | a. Jika nonsingular maka | | | || || | b. Jika nonsingular maka | | |

A12  A22 

17 Aljabar Matriks

D. Tugas dan Soal Latihan D.1 Tugas 1.

Buktikan Teorema 1.2. Petunjuk: Tuliskan persamaan matriks [

][

]

[

Tuliskan 4 persamaan, masing-masing berkaitan dengan

] dan 2 persamaan yang

berkaitan dengan matriks 0. Selesaikan persamaan tersebut dalam 2.

Buktikan Teorema 1.4.

3.

Jika

[

] dan

[

]

Buktikan: [ 4.

]

Buktikan operasi blok kolom elementer berikut ini: a. [

][

]

[

b. [

][

]

[

] ]

(Petunjuk: Gunakan hasil pada No. 3) 5.

Misalkan

Masing-masing menyatakan matriks blok segitiga atas dengan elemen blok keberukuran ke

(

berukuran

dan matriks blok segitiga bawah dengan elemen blok (

18 Aljabar Matriks

6.

Jika

dan

mempunyai invers, tunjukkan bahwa:

dimana

7.

Gunakan Teorema 1.2 dan Teorema 1.4 untuk menentukan determinan dan inverse dari matriks

8.

Misalkan

[

] dimana setiap blok A berukuran

nonsingular. Tentukan inverse A dalam suku-suku

dan matriks dan

dan

.

Petunjuk: Gunakan persamaan pada Teorema 2.

C.2 Soal Latihan 1.

Misalkan diberikan matriks A sebagai berikut:

dimana blok Aij berukuran nixnj . Buktikan A matriks segitiga atas jika dan hanya jika setiap blok Aii ,i=1,2,…,r merupakan matriks segitiga. 2.

Misalkan

[

] dengan

dan

adalak skalar tak nol. 19

Aljabar Matriks

a. Tuliskan ekspresi untuk determinan A b. Tentukan

dan

sedemikian sehingga A non singular.

c. Tuliskan ekspresi 3.

Misalkan

Dimana A, D, dan F adalah blok bujursangkar nonsingular. Tentukan invers dari G 4. Jika

a. b. c. d.

Nyatakan matriks A ke dalam matriks blok 2x2. Tentukan invers A Tentukan determinan A Tentukan rank(A)

Referensi [1] [2] [3]

Harvile, David A, 1997,” Matrix Algebra From a Statistician’s perspective”, Springer Verlag, New York, Inc. Schott, James R.,1997,”Matrix Analysis for Statistics,” John Wiley & Sons., Inc. Abadir, Karim M. & Magnus, Jan R., 2005,”Matrix Algebra,” Cambridge University Press.

20 Aljabar Matriks

LAMPIRAN A.1.

21 Aljabar Matriks

LAMPIRAN A.2.

22 Aljabar Matriks

LAMPIRAN A.3.

23 Aljabar Matriks

LAMPIRAN A.4

24 Aljabar Matriks

25 Aljabar Matriks

26 Aljabar Matriks

27 Aljabar Matriks