Bab 1 Transformasi Laplace

Transformasi Laplace BDA, RYN

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Referensi • Desjardins S J, Vaillancourt R, 2011, Ordinary Differential Equations Laplace Transforms and Numerical Methods for Engineers, University of Ottawa, Canada. • Poularikas A D, Seely S, 2000 , Laplace Transform, CRC Press LLC • Kreysziq, 2006, Advanced Engineering Mathematics 9th ed. John Wiley & Sons, Inc.

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Silabus • Transformasi Laplace ( 1) • Transformasi Turunan dan Integral (2) • Transformasi Persamaan differensial berbatas (1) • Teori pergeseran (2) • Aplikasi (1)

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

I. TRANSFORMASI LAPLACE Review Differensial Review Integral Transformasi Laplace

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

REVIEW DIFFERENSIAL

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Differential Rule 1. dk

=0

2. d(ku)

= k du

3. d (u + v) = du + dv 4. d (uv )

= u dv + v du

5. d (u/v)

= (v du – u dv)/v2

6. d (un)

= nun-1 du MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Tentukan dy/dx untuk fungsi di bawah ini.

y  x sin x 2

sin x y x MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

y  x sin x 2

dy dv du u v dx dx dx

d x  d sin x   2 x  sin x dx dx

2



dy 2  x cos x  sin x  2 x  dx 2  x cos x  2 x sin x MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

sin x y x d  sin x  d  x du dv v u x  sin x dy dx dx  dx 2 dx  2 dx v x x cos x  sin x  2 x MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Review Integral

 dx  x  C n 1

x n 1  cos ax  sin axdx  a  C sin ax  cos axdx  a  C n x  dx 

2 sec  xdx  tan x  C

 sec x tan xdx  sec x  C  csc x cot xdx   csc x  C  csc xdx   cot x  C

kx e kx e  dx  k  C dx  x  ln x  C dx  1  x 2  arcsin x  C dx  1  x 2  arctan x  C dx  x x 2  1  arcsec x  C

2

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Contoh



1  x 2  2 x dx

Salah satu petunjuk yg kita cari adalah jika kita dapat menemukan fungsi dan turunannya dalam integran 2 1  x Turunan dari adalah 2 x dx

u

1 2

Let u  1  x

du

du  2 x dx

3 2

2 u C 3



2 2 1 x 3



3 2

2

C  MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Contoh



4 x  1 dx

u

1 2

1  du 4

3 2

2 1 u  C 3 4

Let u  4 x  1 du  4 dx 1 du  dx 4

Penyelesaian untuk dx

3 2

1 u C 6 3 1  4 x  1 2  C 6

 MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Fungsi Hiperbola

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Definisi • Transformasi: Konversi matematika dari satu cara berpikir ke cara berpikir yang lain yang membuat penyelesaian permasalahan lebih mudah Problem in original way of thinking

Transform

Solution in transform way of thinking

Solution in original way of thinking

Invers Transform

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Solution in time domain

Problem in time domain

Laplace Transform

Solution in s domain

Inverse Laplace Transform

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Laplace transformation time domain linear differential equation

time domain solution

Laplace transform Laplace transformed equation

inverse Laplace transform algebra

Laplace solution

Laplace domain or complex frequency domain MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

• Dikembangkan oleh seorang Matematikawan Prancis, Pierre Simon Marquis De Laplace (1749-1827) yang memiliki kontribusi penting pada ilmu mekanika astronomis, astronomi umum, teori fungsi dan teori probabilitas.

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Jika 𝑓(𝑡)  sebuah fungsi yang didefinisikan untuk t ≥ 0 maka Transformasi Laplace (L )-nya merupakan fungsi integral dari 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡 dengan t = 0 hingga t = ∞.  Ini merupakan fungsi dari 𝑠, atau 𝐹(𝑠), atau dinotasikan dengan L [𝑓(t)] L [𝑓(t)] = 𝐹(𝑠) =

∞ 𝑓 0

𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡

• Dengan demikian, 𝑓(𝑡) merupakan transformasi balik (invers) dari 𝐹(𝑠) atau dinotasikan dengan L -1[F(s)]

𝑓(𝑡) = L

-1[F(s)] MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Review • Anda punya suatu fungsi yang tergantung pada waktu yaitu f(t) • Maka bentuk transformasi laplace adalah: L [𝑓(t)] = 𝐹(𝑠) =

∞ 𝑓 0

𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Catatan • Penulisan notasi 𝑡 pada fungsi awal akan berubah menjadi 𝑠 setelah Transformasi Laplace • Fungsi awal selalu menggunakan notasi dgn huruf kecil (misal: 𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡)), akan berubah menggunakan notasi dgn huruf kapital (misal: 𝐹(𝑠), 𝐺(𝑠)) setelah Transformasi Laplace L [𝑓(t)] = 𝐹(𝑠) =

∞ 𝑓 0

𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡

L [g(t)] = G(𝑠) =

∞ 𝑔 0

𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Contoh 1. Transformasi Laplace sederhana Jika 𝑓(𝑡) = 1 dengan t ≥ 0, Carilah Transformasi Laplacenya L

=

∞ [𝑓(t)] = 0 𝑓 𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 ∞ L [1] = 0 1 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 1 −𝑠𝑡 ∞ =− 𝑒 𝑠 0 1 −𝑠∞ − 𝑒 𝑠

=0

−

1 + 𝑠

1 −0 − 𝑒 𝑠

=

1 𝑠

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Contoh 2. Fungsi Eksponensial • Jika𝑓(𝑡) = 𝑒𝑎𝑡dengan t ≥ 0 dan 𝑎 adalah sebuah konstanta, Carilah Transformasi Laplacenya

L [𝑓(t)] = L

[𝑒 𝑎𝑡 ]

=

∞ 𝑎𝑡 −𝑠𝑡 𝑒 𝑒 𝑑𝑡 0

==-

∞ 𝑓 0

𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 =

∞ −(𝑠−𝑎)𝑡 𝑒 𝑑𝑡 0 ∞

1 𝑒 −(𝑠−𝑎)𝑡 𝑠−𝑎 0

1 𝑒 −(𝑠−𝑎)∞ 𝑠−𝑎

=

1 − 𝑒 𝑎−𝑠 0 𝑠−𝑎

− 1 𝑠−𝑎

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Contoh 3. Fungsi Hiperbola Carilah transformasi Laplace dari cosh at dan sinh at. Jawab: Diketahui cosh at = sinh at =

1 2

1 2

𝑒 𝑎𝑡 + 𝑒 −𝑎𝑡 𝑒 𝑎𝑡 − 𝑒 −𝑎𝑡

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

cosh at =

1 2

𝑒 𝑎𝑡 + 𝑒 −𝑎𝑡

L cosh at) = = = = =

1 ∞ 2 0 1 1 2 𝑠−𝑎

1 ∞ 2 0

𝑒 𝑎𝑡 + 𝑒 −𝑎𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡

𝑒 𝑎𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 + 𝑒 −𝑎𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 +

1 2𝑠 2 𝑠2 −𝑎2

=

𝑒 𝑎𝑡 − 𝑒 −𝑎𝑡

L (sinh at) =

1 𝑠+𝑎

1 𝑠+𝑎 2 (𝑠−𝑎)(𝑠+𝑎)

sinh at =

1 2

𝑠−𝑎 + (𝑠+𝑎)(𝑠−𝑎)

𝑠 𝑠 2 −𝑎2

1 ∞ 2 0

𝑒 𝑎𝑡 − 𝑒 −𝑎𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡

=

1 ∞ 2 0

=

1 1 2 𝑠−𝑎

=

1 𝑠+𝑎 2 (𝑠−𝑎)(𝑠+𝑎)

=

1 2𝑎 2 𝑠2 −𝑎2

𝑒 𝑎𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 − 𝑒 −𝑎𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 −

1 𝑠+𝑎

=

𝑠−𝑎 − (𝑠+𝑎)(𝑠−𝑎)

𝑎 𝑠 2 −𝑎2

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Contoh 4. Fungsi Sinus Buktikan bahwa: L (sin at ) =

L (sin at ) =

𝑢′ = 𝑒 −𝑠𝑡 1 −𝑠𝑡 𝑢=− 𝑒 𝑠

𝑎 𝑠2 +𝑎2

∞ −𝑠𝑡 𝑒 sin 0



at 𝑑𝑡 = y

𝑑 𝑑𝑡

𝑢𝑣 = 𝑢′ 𝑣 + 𝑢𝑣′ 𝑢𝑣 = 𝑢′ 𝑣 + 𝑢𝑣′ 𝑢′ 𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑢𝑣′

𝑣 = sin 𝑎𝑡 𝑣 ′ = 𝑎 cos 𝑎𝑡

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

1 −𝑠𝑡 𝑦 = − 𝑒 sin 𝑎𝑡 − 𝑠 𝑒 −𝑠𝑡 𝑎 𝑦=− sin 𝑎𝑡 + 𝑠 𝑠

∞ 0 ∞

1 −𝑠𝑡 − 𝑒 𝑎 cos 𝑎𝑡 𝑑𝑡 𝑠

𝑒 −𝑠𝑡 cos 𝑎𝑡 𝑑𝑡

0

𝑢′ = 𝑒 −𝑠𝑡 1 −𝑠𝑡 𝑢=− 𝑒 𝑠

𝑣 = 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡 𝑣 ′ = − 𝑎 sin 𝑎𝑡

𝑒 −𝑠𝑡 𝑎 𝑒 −𝑠𝑡 𝑦=− sin 𝑎𝑡 + − 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡 − 𝑠 𝑠 𝑠 𝑒 −𝑠𝑡 𝑎 −𝑠𝑡 𝑎2 𝑦=− sin 𝑎𝑡 − 2 𝑒 cos 𝑎𝑡 − 2 𝑠 𝑠 𝑠

∞ 0

1 −𝑠𝑡 − 𝑒 (−𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑎𝑡) 𝑑𝑡 𝑠

∞

0

𝑒 −𝑠𝑡 sin 𝑎𝑡 𝑑𝑡

𝑦

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

𝑎2 1 𝑎 −𝑠𝑡 𝑦 + 2 𝑦 = −𝑒 sin 𝑎𝑡 + 2 cos 𝑎𝑡 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 2 + 𝑎2 1 𝑎 −𝑠𝑡 𝑦 = −𝑒 sin 𝑎𝑡 + 2 cos 𝑎𝑡 2 𝑠 𝑠 𝑠 =0+1 0+

𝑎 𝑠2

𝑠 2 + 𝑎2 𝑎 𝑦= 2 2 𝑠 𝑠 𝑎 𝑠2 𝑎 𝑦= 2 2 = 2 2 𝑠 𝑠 +𝑎 𝑠 + 𝑎2

=

∞ 0

𝑎 𝑠2

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Tabel Transformasi Laplace

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012