B. P. Demidovic - Zadaci i Riješeni Primjeri Iz Više Matematike
September 11, 2018 | Author: Dalibor Božić | Category: N/A
Short Description
Download B. P. Demidovic - Zadaci i Riješeni Primjeri Iz Više Matematike...
Description
NASLOV ORIGINALA
B. P. DEMIDOVlČ, V. A. JEFIMENKO, G. S. BARANENKOV, G. L. LUNe, E. F. PORŠNEVA, E. P. SYČEVA, S. M. KOGAN, S. V. FROLOV, R. J. ŠOSTAK, A. R. JANPOLJSKIJ
T C. T3APAHEHKOB, 5. n. J\EMWI0BHLJ, B. A. EHMEHI(O, C. KOf AH, f. JJ. JlYH1\, E. . nOPWHCSA, E. Il. CbIljESA, C. B. P0J10B, P. 51. W(JCTAK, A. P. 5II-TrI0.%CI(Hll
3AllA4V1 VI YnPA}KHEHVl}l no
MATEMATVl4ECKOMY AHAJIVl3Y ,UJl/! BTY30B
5.
no.LI, PE.ll.AKLtHErt [1. llEMl1.UOBH4A
ZADACI I RIJEŠENI PRIMJERI IZ ViŠE MATEMATIKE ......
S PRIMJENOM NA TEHNieKE NAUKE
H3.LI.AHHE .ll.EB;ITOE. CTEPEOH1nHOE
PETO ISPRAVLJENO IZDANJE
~ H31lATEJlbCTBO .HAYI(A. r J1ABHM! PEllAKUH5I H3HKO·MATEMATHLJECKOn JlHTEPATYPbI t40CKBA 19!"
REDAKTOR: B. P. DEMIDOVIČ
PREVELI S RUSKOG
Ing. 1. UREMOVIĆ -
Ing. Z. VISTRIČKA
REDAKTOR HRVATSKOSRPSKOGA IZDANJA
PROF. DR ING. D. BLANUŠA redovni
član
Jugoslavenske akademije znanosti i umjetnosti
TEHNIČKA
KNJIGA ZAGREB
PREDGOVOR PRVOM IZDANJU Gradivo iz raznih područja više matematike može se samo onda temeljito svladati ako se pojedine metode i računski postupci uvježbaju rješavanjem većeg broja primjera. Povrh toga je neophodno da se vidi i primjena tih metoda na probleme prirodnih i drugih nauka te na tehničke probleme. To je dakako naročito važno za one koji matematiku izučavaju upravo radi tih primjena. Zbirku. koja evo izlazi u prijevodu sastavilo je više ruskih autora _pod redakcijom B. P. Demi"doviča. Ona se odlikuje bogatstvom dobro odabranih primjera iz svih područja više anaiLe, iz diferencijalnog računa, integralnog računa i diferencijalnih jednadžbi, a obrađene su i metode približnog računanja. Pri tom su u tekstu dana kratka, ali temeljita teorijska objašnjenja i lijep broj potpuno izrađenih standardnih primjera. Za sve numeričke zadatke dana su na kraju knjige rješenja, a za teže zadatke, označene sa jednom ili dvije zvjezdice (*) uz broj, i kratke upute. U dodatku se mogu naći neke najvažnije tablice i niz nacrtanih krivulja. U samom tekstu također ima preko stotine crteža. Opseg obuhvaćenog materijala vidi se potanje iz sadržaja. Može se reći da je uzeto u obzir sve što ulazi u okvir uvodnih predavanja više matematike na fakultetima i visokim školama, s izuzetkom analitičke geometrije kojoj se redovno posvećuju posebne zbirke zadataka. Vjerujem da je izdavanjem ove odlične zbirke Tehnička knjiga, Zagreb, znatno olakšala izučavanje više matematike svim studentima koji se njome bave bilo kao glavnim predmetom studija, bilo kao sredstvom koje im je neophodno za svladavanje tehničkih ili drugih nauka, jer pored primjera koji služe uvježbavanju formalnih postupaka ima velik broj primjera gdje se ti postupci primjenjuju na konkretne tehničke i fizikalne probleme.
D. Blanuša PREDGOVOR PETOM IZDANJU Ovo peto izdanje izlazi kao popravljeno. U njemu su otklonjene sve zapažene grafičke pogreške, a pojedine definicije i pojmovi temeljitije su pojašnjeni. Neke ispravke i preinake primili smo od redaktora ruskog izdanja B. P. Demidovi ča, pa smo ih u cijelost.i, uz još neke naše, uvrstili u ovo izdanje. Vjerujemo da će ovako prerađeno, novo izdanje, još više olakšati izučava nje više matematike svim studentima, a naročito studentima kojima su "Demidovičevi zadaci" obvezan udžbenik. U listopadu 1978. TISAK: »BIROGRAFIKA« -
SUBOTICA
1.
Uremović
-- Z.
Vistrićka
SADRŽAJ Str.
Predgovor Glava L l. 2. 3. 4. 5.
Uvod u analizu
11
Pojam funkcije.. . . .. .. . . . . . . .. . . . . .. .. . . .. . . . . . . .. . . .. . . . . . . Grafovi elementarnih funkcija .. . . .. .. . . .. .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . Limesi .................................................... Neizmjerno male i neizmjerno velike veličine .................. Neprekinutost funkcija ......................................
Glava II. l. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
5
II 16 22 33 36
Derivi.ranje funkcija ............................... .
43
Neposredno izračunavanje derivacija .......................... Tablično deriviranje ............................ Derivacije funkcija koje nisu eksplicitno zadane Primjena derivacija u geometriji i mehanici ... . Derivacije višeg reda .... " .. '.' ............................. . Diferencijali prvog i višeg reda ............................. . Teoremi srednje vrijednosti .................................. Taylorova formula ........ . . .. .. . . .. .. .. . . . . .. .. . . .. .. .. .. . . L'Hospital-Bernoullijevo pravilo za neodređene oblike .. . . . . .. . .
43 47 58 62 67
oo
Glava III.
Ekstremi funkcija i primjene derivacija
oo
••
oo
••
••
72
76 77 79
geometriji
83
1. Ekstremi funkcije jednog argumenta ..........................
83 91 92 95 100
2. 3. 4. 5.
Smjer konkavnosti. Tačke inf1eksije .......................... Asimptote ....... . .. .. ................................... Konstrukcija grafova funkcija prema karakterističnim tačkama Diferencijal luka. Zakrivljenost. . .......................0......
Glava IV.
Neodređeni
105
integral
l. Neposredno integriranje
2. 3. 4. 5.
II
oo
oo
oo
oo
oo
oo
oo
oo
oo
oo
oo
oo
oo
oo
oo
oo
..
oo
oo
oo
oo
oo
....
oo
....
oo
..
oo
..
oo
....
oo
oo
oo
oo
..
oo
oo
oo
Metoda supstitucije .. Parcijalna integracija ...... Jednostavniji integrali s kvadratnim trinomom Integriranje racionalnih funkcija .. oo
oo
oo
oo
..
oo
oo..
oo
oo
oo
..
oo
oo
oo
oo
oo
................ oo
oo
..
oo
oo
oo
..
oo
..
105 112 116 117 121
SADRZAJ
SADRZAJ
8
')
SIr.
Str.
6. 7. 8. 9.
Integriranje nekih iracionalnih funkcija .................. " ... . Integriranje trigonometrijskih funkcija ....................... . Integriranje hiperbolnih funkcija ........................... . Primjena trigonometrijskih i hiperbolnih supstitucija na odredivanje integrala oblika
J
Rex, Vax 2 +bx+c) dx, gdje je R racionalna funk-
cija .................. " .................. " ... , ........... . 10. Integriranje raznih transcendentnih funkcija .. " ... , ........... . l I. Primjena redukcionih formula ..... , ............. , ........... . 12. Integriranje raznih funkcija Glava V. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1 J. 12.
l. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. ll. 12. 13. 14. 15.
Od.redeni integral
134 136 136 136 139
Određeni
integral kao limes sume ........................... . integrala pomoću neodređenih ......... . Nepravi integrali ........................................... . Zamjena varijable u određenom integralu .. " ............... . Parcijalna integracija ....................................... . Teorem o srednjoj vrijednosti ................ " ......... , ... . Površine ravninskih likova Duljina luka krivulje ....................................... . Volumeni tijela Površina rotacione plohe .. Momenti. Težište. Guldinovi teOl'emi ....................... . Primjena određenih integrala na rješavanje zadataka iz fizike ... . Izračunavanje određenih
oo
oo
Glava VI.
125 128 133
16. Ovojnica ................................................. . 17. Duljina luka prostorne krivulje ............................. . 18. Vektorska funkcija skalarnog argumenta ....................... . 19. Popratni trobrid prostorne krivulje ........................... . 20. Zakrivljenost i torzija prostorne krivulje .................... " ..
oo
..
oo
oo
oo
..
oo
oo
oo
oo
oo
oo
..
oo
oo
oo
oo
oo
oo
oo
..
oo
oo
oo
....
..
oo
oo
oo
oo
oo
Funkcije više varijabli
139 141 144 148 150 ]51 153 ]58 161 165 166 170
Glava VII. l. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. ll. 12.
Višestruki i krivuljni integrali
oo
0
••
0.0
oo
o,
oo
oo:.
Dvostruki integral u pravokutnim koordinatama ............ " .. Zamjena varijabli u dvostrukom integralu ...... " ............. . Izračunavanje površina likova .......... " ................... . Izračunavanje volumena tijela ............................... . Izračunavanje površina ploha ................................. . Primjene dvostrukog integrala u mehanici ..................... . Trostruki integrali ......................................... . Nepravi integrali ovisni o parametru. Nepravi višestruki integrali .. Krivuljni integrali ...................................... . Plošni integrali ...... " ................... , " ............... . Formula Ostrogradskog-Gaussa ....................... . Elementi teorije polja ....................................... .
Glava VIII. Redovi l. 2. 3. 4.
Redovi brojeva ......... . Redovi funkcija ........................................... . Taylorov red Fourierovi redovi
177
Osnovni pojmovi ..................... , ••.................. Neprekinutost ................... , .. " ..................... . Parcijalne derivacije ............................ " ......... . Totalni diferencijal funkcije ................................. . Deriviranje složenih funkcija .. , ..... , ...................... . Derivacija li zadanom smjeru i gradijent funkcije ............. . Derivacije i diferencijali višeg reda .. Integriranje totainih diferencijala ........................... . Deriviranje implicitno zadanih funkcija ... , " ................. . Zamjena varijabli .... " ................................... . Tangencijalna ravnina i normala na plohu ................... . Taylorova formula za funkcije više varijabli ................... . Ekstremi funkcija više varijabli ...... " ....................... . Zadaci za određivanje najvećih i najmanjih vrijednosti funkcija ... . Singularne tačke ravninskih krivulja ....................... , ... . oo
oo
oo
..........
oo
......
..
177 181 182 185 187
191 194 200 203 210 215 218 220 224 226
G l a v a IX.
Diferencijalne jednadžbe
I. Provjera rješenja. Sastavljanje diferencijaInih jednadžbi porodica krivulja. Početni uvjeti ..................................... . 2. Diferencijalne jednadžbe prvog reda ..................... . 3. Diferencijalne jednadžbe prvog reda sa separiranim varijablama. Ortogonalne trajektorije .................. " ................. . 4. Homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda ................. . 5. Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda. Bernoullijeva jednadžba 6. Egzaktne diferencijalne jednadžbe. Eulerov multiplikator ....... . 7. Diferencijalne jednadžbe prvog reda koje nisu riješene s obzirom na derivaciju ............................................ " ... . 8. Lagrangeova i Clairautova jednadžba ... , ..................... . 9. Razne diferencijalne jednadžbe prvog reda ......... ' ........... . 10. Diferencijalne jednadžbe višeg reda .' ......................... . I l. Linearne diferencijalne jednadžbe ........................... .
229 230 231 234 238 241 241 246 249
250 252 253 255 261
265 274 276
277
283 283 295 301 307 311 31 I 314 316
319 320 323
325 328
329 334
338
10
SADRZAJ
Str.
12. Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima ... ,.............................................. 13. Linearne diferencijalne jednadžbe višega od drugog reda s konstantnim koeficijentima ... , . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . 14. Eulerova jednadžba . . .. . . . . .. .. . . .. . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . 15. Sistemi diferencijainih jednadžbi 16. Integriranje diferencijaInih jednadžbi pomoću redova potencija 17. Zadaci za Fourierovu metodu Glava X.
Približni
račun
Računanje
I.
s prib1ižnim vrijednostima Interpolacija funkcija ............. . Određivanje realnih korijena jednadžbi Numeričko integriranje funkcija Numerička integracija običnih diferencijaInih jednadžbi Približno izračunavanje Fourierovih koeficijenata
2. 3. 4. 5. 6.
Odgovori
340 345 346 347 350 352
355 359 363 368 371 378
Prilozi 1.
Grčki
alfabet
III. Recipročne vrijednosti, potencije, korijeni, logaritmi IV. Trigonometrijske funkcije V. Eksponencijalne, hiperbolne i trigonometrijske funkcije VI. Neke krivulje .. _............... ..
UVOD U ANALIZU
355
381
II. Neke konstante
GLAVA I
475 475 476 478 479 480
1. Pojam funkcije
r. Realni brojevi. Racionalne i iracionalne brojeve nazivamo realnim brojevima. Pod apsolutnom vrijednosti realnog broja a podrazumijevamo nenegativni broj lal, određen uvjetima: lal = a kada je a ;;'0, i lal = -a, kada je aO,
X,
Zadane funkcije napišite u obliku lanca jednakosti u kojem svaka karika sadrži jednostavnu elementarnu funkciju (potenciju, eksponencijalnu, trigonometrijsku itd.): x a) y = (2x_5)lO; e) y=igtg-; 2 d) y = arcsin (rXl). b) y = 2 co• x ;
čine aritmetičku
36.
{
41.
j (X3) također čine aritmetičku progresiju.
35.
Za funkciju
odredite inverznu funkciju.
Pokažite ako je i ako brojevi Xl'
biti definirane ove inverzne funkcije?
y=
f(x) = kx+b
34.
područjima će
1) = x 2 • aritmetičke progresije. Pokažite da je
j(n +3)- 3j(n +2)+ 3f(n + 1)- fen) = O.
33.
Y=~1-x3;
+ I), ako jej(x -
Neka je j (n) zbroj n
=~(aX_a-X). 2
43.
u
= J;',
={2u,ako j eu:::;,o, O, ako je u>O;
V=
Igx;
u = x 2 -l.
Napišite u eksplicitnom obliku funkcije y koje su zadane jednadžbama:
Pokažite da je
a) x 2 -arecosy = lt; b) lO x +I0Y = 10;
(jl(x)tp(y)+t/t(x)t/t(y)
I{I(X+ y) = tp (x) t/t (y)+'p(vhf,,(x).
=
e) x+/yi
Odredite
područja
= 2y.
definicije zadanih implicitnih funkcija.
UVOD U
16
ANALIZU
GRAFOVI ELEMENTARNIH FUNKCIJA
2
2. Grafovi elementarnih funkcija
45.
y = x+b,
Grafove funkcija Y = f (x) konstruiramo tako da naClnlmO dovoljno gustu mrežu tačaka Mi (x" Yi), gdje je Yi = f (xi) ci = O, l, 2, ... ), i te tačke spojimo linijom, koja njima prolazi. Za služiti se logaritamskim računalom. .
46.
y
17
ako je b =0,1,2, -l, -2.
= 1,5x+2.
izračunavanje preporučamo
Konstruirajte grafove cijelih racionalnih funkcija 2. stupnja (parabole):
y
•••• !h
........
\\Y2 \
/
\
"-
x
o
""""
/Y3
~
-1, -2, O.
47.
Y = ax 2 ,
ako je
a = 1, 2,
48.
y=x 2 +c,
ako je
c = O, 1, 2, -L
49.
Y = (X_X O)2,
ako je
Xo
50.
Y = Yo+(x-l)2,
ako je
Yo = O, 1, 2, -L
51*.
)' = ax 2 +bx+c,
ako je:
52•
y = 2+x-x 2.
Odredite sjecišta te parabole s osi
2'
= O, 1, 2, -1.
b = -2, c = 3;
l) a = 1,
2) a= -2, b=6, c=O. .'
....---- .."""'->O)
=
25
(kružnica).
152. xy
12
=
(hiperbola).
153*. y 2 = 2x (parabola).
x2 y2 154. 100 +64 = 1 (elipsa).
155.
156*. x"3 + y"3 = a"3 (astroida).
2
y2 =
157*. x+ y Konstruirajte grafove funkcija u sistemu polarnih koordinata (r, 0, da je
b) x3+ x -l =0;
If(x)-A/ 2
x
. if;'+h-Vx h
195.
210.
192. lim x 2 - Sx + 10 x 2-25 x-5
2U.
. x 2 -1 lim - - - - - ' 2 x-'-! x +3x+2
1941.
3 - ') ]'lm -----_.x 3 -.X+L x 4 -4x+3
HIS.
. x 2 _ 2x lIm ----_.-x~2 x2-4x+4
lim CJx+a-.Jx).
198. li
lim (x + ~h
-x
Nađimo
računanju
3)
limesa
često
se koristimo formulom
lim sin X. = 1 X---4O
X
i pretpostavljamo kao poznato da su lim sin x = sin
IX
V!+ x -
lim cos x = cos
IX.
x-a
Primjer 6.
Vlh--l
lim - - - - - . x>O
lim x(-./x 2 +1-x).
3 ).
x~a
Primjer 4.
-4x+3
x- +00
l-x 3 ;
racionalni oblik uvođenjem nove
X
lim [-./ x(x + a) - x J.
214.
, l lim( --- - - :. . -- . l-x
. JX2~ 2x + 6--./x 2 +2x- 6 Ilm 2
x-+co
+ oo
Pri
sin 5x (Sin 5x ) l i m - - = lim - - · 5 = 1·5 =5. x X--I>O 5x
l
x--+O
Rješenje. Ako stavimo -~-
x -
216.
dobivamo lim x--+O
199.
lim x~1
201.
fx- J. x-1
fx-l lim - - - - o x~l \f;-t
Vt + x~l
~
. y' _ I . y2 + y hm -~--~ hm - - ),-»1 y2_ 1 .\'-rl Y-+
200.
+
202.
2
/,--8 Vx-4
l' lm---. x-64
. fxz-2fx+ l
Ilin - - - - - -
x~l
sin x a) rIm--; x-2
I
(x-l)2
218. 220. 222.
x
rIm---. sin 5x x-o sin2x
lim n-t oo
lim x~a
Cx> O).
h
x-oo
,,\"-
x-l
Izrazi, koji sadrže iracionalnosti, dovode se često varijable.
215.
1- v:l-X r;-'
. -'------'--./x+h-.Jx \lm
212.
+ oo
lim CE2-5x+6-x). x->
. x2-(a+l)x+a hm ----;;-x-a
. (X+h)3_ X3 lim ---------. ~l-O h
213.
lim 3-JS+x
x-3
h~O
3 +1 . x ----Jlm x--l x 2 + 1
x-l
197.
(x*O).
(a> O).
31 . \/x-2
h-O
hm
x-l>
193.
208.
2Va
lim~
x~8
x- 4
hm
x""" o
Primjer 3.
206.
~x-J
vx + ]la
x-+a
204.
;;-1 .
I
lim---
(Vx + ]la)
(x - a)
iim . 1 x-l
koliko puta s binomom x--a.
x---+a
x 2 -49
--o
Q(x)
x-a lim ----=-..,..,.--
hm-x-a
x--+a
p (x)
dobivamo direktno. Ako je pak P (a)
. Vx-lG
.J; _. ___ V·x+vx+vx r--r:
co ,
X~+%
27
Drugi način određivanja limesa iracionanlog izraza je taj da iracionalnost prebacirno iz brojnika u nazivnik ili obrnuto iz nazivnika u brojnik.
x2
188.
X+,I x
LIMESI
3
UVOD 11 ANALIZU
(nSin~). n sin x-sin a
x-a
b) lim x~oo
SIn X X
sin 3x 2:1'3. iim---. x-o x 219. 221.
rIm---. sin n:x
X~ 1
lim x~o
223.
lim x-a
sin 3n:x
1- cos x
x2 cos x -cos a
x-a
224.
226.
, tgnx lnn ...x~-2 x+2 '
225.
lim sin x - cos x x~" l-tgx
227.
'
231.
233.
X~O
230.
lim x~n
' 1-2cosx \lm----n n-3x x--+3
232.
lim
lim tg x - sin x x-o x3
234.
l ;
2X)1 + x =2'=2,
sin lim (- - x
Primjer 8, Nadirno
, hm
(X. +l )X' 2x
X·+OO
2
+l
Rješmje, Imamo
n-x cos mx - cos nx
, l lm
x2
x·~oo
x
+
2x
+l
l ~.' lim . ___x ~ l l 2
2+x
, arcsinx ll m---X~O
+ x) ~
x--~O
x
X~O
lim(1 X~O
J -sin·~
x) ,
~2
x
i prema tome
x
X--+';('
(.2. 2
,1
rlmXStn-, ,I
' ( l-x)tg-, nx hm x~l 2
lim ctg 2x ctg
x~+O
a) hmxstn-
b)
229.
2X)
sin lim ( - -
h~O
X~O
29
Rjde"je, Ovdje je
lim sin (x + ~~in .~, h
4
2 28.
LIMESI
3
UVOD U ANALIZU
28
lim x 2 = -+-
X
(x) •
x-~oo
235.
237.
lim _a_fc_t""g_2_x X~O sin 3x x-sin2x
lim
238.
x+sin 3x
X~O
239.
236.
određivanju
240.
Prema tome je
Primjer 9,
lim
lim Jl+sinx=~~
lim
';O
(xl =
A > O
x - l lim - - -
(3 )
X-4-oo
B.
gdje je O -CC
f(
l J' 1 _.-:
\
-X]-1
X
l )X ' lim ( 1+x
x--*oo \
e-l
UVOD U ANALIZU
30
LIMESI
3 Općenito
31
je korisno upamtiti da je
a -l 259*. l i m - - (a >0). x-o X X
k)X = i. lim ( 1+X
X-fr·
. C+x)X !tm --3-x
241.
J+l
242.
( x1 lim -x-l x 2 -1
2441.
r :~
x-o
.
hm C)~i .
243.
X-J)
rlm (2 x +2 -
245.
x- i f
247.
x2
r
2X2 + 1
x
shx . a) j lm . - - ;
X-CXl
Izračunajte
264.
y
250.
lim
x+3
n---+
a)
ove jednostrane limese:
lim __x__ . X- -.7)
265.
a)
cr;
(l+~J n
266.
a) lim (cos x) x-o
252**.
a)
lim -o
1 +e
+
gdje je thx
= eX_e- x e.x+ e - x
cf)
rI m -1 -
b)
x
---o
lim th x,
b)
-1 '
x
lim
x-+coN+l
-l
x--+ +0
I +e x
x ;
267.
1
a)
b) lim (cOSX),2. x-o f
b)
J7+1 '
lim thx;
1
lim (l+sinx)x . x-o
l. -e -x
lim - - - o x-o sin x
(vidi br. 103 i 104).
x2
x-o
X"""
1
lim
b) lim chx-l
X
x---+O
x--+
251.
262.
x2-3x+2
lim ( -xx+l
248.
(X_l}'+2 lilT' . - X-Cfe
263.
n---+Cf)
;~n~ (1+ ~y
249.
(Xl -2X+3)
lim(l-~-J n
246.
e -e lim---. x---{oQ
sin x
2x
n-'Xl
bx
QX
261.
2611*. lim nCva-l) (a>O).
Pri izračunayanju niže navedenih limesa korisno je znati, ukoliko egzistira i pozitivan (xl, da je
Jim [Jn f(x)] = ln [lim f(x)].
268.
a)
b)
rl mIsin xl --;
b)
x--+
269.
a)
rl mIn(1+e ---
l" lnO+e X ) lm x- - cc X
-o
lim x-I-O
x-+oo
X
)
X
rI mIsinxl --. x- +0
x-l
X
b)
lim
lx-ll
x-1+0
x x-l
lx-ll
Primjer lO. Dokažimo da je lim
ln (I
:0:-+0
x)
= l.
(*)
27@.
X
a)
x lim x-2-0 x-2
b)
lim x-2+0
x
--
x-2
Rjcšmje. Imamo .
ln (11- x)
hm - - - -
x-o
lim [ln(l
x-.. o
+
Konstruirajte grafove funkcija (n je prirodan broj):
l=
ln [lim (1
+ xl x] =
ln e = 1 .
X-1"O
2'H*.
y = lim (cos 2 nx).
272*.
y = lim _x_ U·+OO 1 +xn
274.
y = lim (arctg nx).
"~OJ
Formulom (*)
često
se koristimo pri rješavanju zadataka.
273. 253.
lim [ln(2x+l)-ln(x+2J]. X""'"
255.
257.
+
. e J§)
J-x'
lim l~ (cos x) . o x2
x-.....
254.
y = lim JX 2+rx 2 .
lim 19 (1±JOx): X
.x~0
oo
~I~~ \~ln
(x:?O).
"-'Xl
a-O
275.
y
= lim r;J 1 + x"
(x ;;:0).
n-oo
256.
lim x[Jn(x+l)-lnx]. x- + ct)
276.
Pretvorite
II običan
razlomak zadani mješoviti periodski razlomak
eX _!
258*.
ci
lim-~-. x-~O
X
razmatrajući
ga kao limes
= 0,13555 ...
konačnog
,
razlomka.
-
UVOD U ANALIZU
32
NEIZMJERNO MALE I
4
277.
Što se dešava s korijenima kvadratne jednadžbe
218.
+bx+c = 0, ako koeficijent a teži k nuli, a koeficijenti b i e su konstantni, pri b O? Izračunajte limes unutarnjeg kuta pravilnog n-terokuta kada n->- oo.
219.
Nađite
280.
Izračunajte
286.
Izračunajte
*
1) =
u 281.
tačkama x
Izračunajte
= e-xcosnx,
n,
kada
O.
(1)
Objasnite geometrijski smisao jednadžbe (l).
limes zbroja ordinata krivulje
= 0, I, 2, ... ,
x 3-+lim, ( kx+b-2 x~ao x +1
je
limes opsega pravilnih n-terokuta upisanih kružnici polumjera R njoj opisanih, kada n--'7 oo.
y
33
konstante k i b iz jednadžbe
ax 2
čemu
NEIZMJERNO VELIKE VELI CINE
287*. Neki kemijski proces tako teče da je prirast količine materije u svakom vremenskom razmaku Tiz beskonačnog niza vremenskih razmaka (iT, (i+ l}r) (i = = 0, l, 2, ... ) proporcionalan količini materije u početku tog vremenskog razmaka i veličini vremenskog razmaka. Pretpostavivši da je u početku količina materije bila Qo, odredite količinu materije Q(~), nakon vremena t
t, ako se količina materije povećava svaki n-ti dio vremena r = - .
n--'7 oo.
n
Izračunajte
limes zbroja površina kvadrata konstruiranih na ordinatama
Qr = lim Q~n).
krivulje y=2 1 -
kao bazama, gdje je 282.
x
= l, 2, 3, ... ,
X
n,
uz uvjet da
4. Neizmjerno male i neizmjerno velike
limes kada n -~ oo duljine lomljene linije MoMI ... Mn' upisane u logaritamsku spiralu r = e-'P,
10. Neizmjerno male
Izračunajte
ako vrhovi te linije imaju polarne kutove 'Po = O,
IT
'P1=2'"
•
,
nil
'Pn
=
2.'
veličine.
Ako je
lima (x)
=
0,
x~a
tj. ako je i" (x) I oo.
lim ~=c x~a [P (x)]" , Slika 8...
gdje je OO
ln (l + 2x)
lim x->O
Odredite red veličine: a) oplošja kugle, b) volumena kugle, ako je polumjer kugle r neizmjerno mala veličina l-og reda. Kakvi će biti redovi veličine polumjera kugle i volumena kugle u odnosu na oplošje te kugle?
292.
Neka središnji kut rl. kružnog isječka ABO (sl. 9) polumjera R teži k nuli. Odredite redove neizmjerno malih veličina, u odnosu na neizmjerno mali rI.: a) tetive AB; b) visine CD trokuta ABD; c) površine trokuta ABD.
293.
Odredite za x-+O, red
vxs 2x
2
II
c)
if;2-.[;3;
d) l-cosx;
Dokažite da je funkcija
o Slika 9.
e) tgx-sinx. J(x) = sin x x
294.
neizmjerno mala veličina kada x-+ oo. Za koje je vrijednosti x zadovoljena nejednadžba
Dokažite da je duljina neizmjerno malog luka kružnice konstantnog polumjera ekvivalentna duljini tetive.
295.
IJ(x) I
View more...
Comments
