azimut-rumbo[1].pdf

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUERRERO UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA ACADEMIA DE TOPOGRAFÍA

RECURSOS DIDÁCTICOS DE

Topografía I y Prácticas Martín Zúñiga Gutierrez Febrero 2013

Introducción Este recurso didáctico fue elaborado con el propósito de apoyar a los estudiantes que cursan la unidad de aprendizaje de Topografía I y Prácticas del Programa Educativo de Ingeniero Topógrafo y Geomático, que se oferta en esta unidad académica académica de ingeniería dependiente de la Universidad Universidad Autónoma Autónoma de competencias para la Guerrero,  esperando con esto una motivación adicional en el desarrollo de las competencias solución de los problemas que resuelve Topografía en proyección horizontal. El egresado de Ingeniero Topógrafo y Geomático, requiere de la ubicación del espacio sobre y bajo la superficie terrestre, necesita conocer la teoría y aplicación de las competencias en la realización y ejecución de los diferentes levantamientos y trazos topográficos. Este profesionista debe conocer, comprender y aplicar los métodos de levantamiento topográfico para la obtención del dato espacial en  proyección horizontal, desde las mediciones con cinta hasta los diferentes métodos de levantamientos con tránsito y cinta, así como en el uso y manejo de equipo de vanguardia, esperando con esto una motivación adicional en su formación, formación, generando así los principios para enfrentar como estudiante estudiante y profesionista profesionista integro el uso de de la nueva tecnología topográfica, topográfica, estimulando asimismo asimismo el trabajo cooperativo cooperativo y la creatividad, con responsabilidad y respeto al medio ambiente. En ningún momento se pretende que este recurso sea un trabajo terminado, ya que el propósito fundamental es mejorarlo con las aportaciones y críticas tanto de los profesores como de los estudiantes, logrando tal vez en un momento de mi trabajo como profesor, la culminación en una obra literaria de envergadura en el estudio y aplicación de la Ingeniería Topográfica.

I ng. Martín Zúñi Zúñi ga G uti uti er r ez

 Profesor

i

Introducción Este recurso didáctico fue elaborado con el propósito de apoyar a los estudiantes que cursan la unidad de aprendizaje de Topografía I y Prácticas del Programa Educativo de Ingeniero Topógrafo y Geomático, que se oferta en esta unidad académica académica de ingeniería dependiente de la Universidad Universidad Autónoma Autónoma de competencias para la Guerrero,  esperando con esto una motivación adicional en el desarrollo de las competencias solución de los problemas que resuelve Topografía en proyección horizontal. El egresado de Ingeniero Topógrafo y Geomático, requiere de la ubicación del espacio sobre y bajo la superficie terrestre, necesita conocer la teoría y aplicación de las competencias en la realización y ejecución de los diferentes levantamientos y trazos topográficos. Este profesionista debe conocer, comprender y aplicar los métodos de levantamiento topográfico para la obtención del dato espacial en  proyección horizontal, desde las mediciones con cinta hasta los diferentes métodos de levantamientos con tránsito y cinta, así como en el uso y manejo de equipo de vanguardia, esperando con esto una motivación adicional en su formación, formación, generando así los principios para enfrentar como estudiante estudiante y profesionista profesionista integro el uso de de la nueva tecnología topográfica, topográfica, estimulando asimismo asimismo el trabajo cooperativo cooperativo y la creatividad, con responsabilidad y respeto al medio ambiente. En ningún momento se pretende que este recurso sea un trabajo terminado, ya que el propósito fundamental es mejorarlo con las aportaciones y críticas tanto de los profesores como de los estudiantes, logrando tal vez en un momento de mi trabajo como profesor, la culminación en una obra literaria de envergadura en el estudio y aplicación de la Ingeniería Topográfica.

I ng. Martín Zúñi Zúñi ga G uti uti er r ez

 Profesor

i

MISIÓN Y VISIÓN de la Unidad Académica de Ingeniería Misión Formación integral de profesionales de la Ingeniería, en las áreas de Topografía y Geomática, Civil, Construcción, Computación y su fortalecimiento con la investigación y Posgrado; altamente competitivos, con visión humanista y compromiso social, capaces de incidir en el desarrollo regional y nacional de manera sustentable, fomentando su actualización permanente.

Visión La Unidad Académica de Ingeniería mantiene el liderazgo académico en el estado de Guerrero, ofertando programas educativos acreditados y actualización continua, mediante procesos administrativos administrati vos y de servicios certificados, certificado s, con personal competente y comprometido en la formación integral de profesionistas, y en la generación de investigación a través de sus órganos colegiados que contribuyen al desarrollo sustentable local, regional y nacional.

MISIÓN Y VISIÓN del Programa Educativo Misión Formar Ingenieros Topógrafos y Geomáticos con alto nivel de calidad académica en lo relacionado a la Topografía, Geodesia, Cartografía, Fotogrametría, Percepción Remota y su integración en la generación de Sistemas de Información Geográfica, en espacios adecuados y equipados, con profesores habilitados en el proceso de enseñanza aprendizaje; con una participación amplia, visión humanista y compromiso social; actualizándose y capacitándose permanente, dentro del marco normativo vigente, en la solución de los problemas del aprovechamiento del suelo y recursos naturales, promoviendo el desarrollo local, regional y nacional.

Visión Ser un Programa Educativo con un trabajo docente de calidad en sus Academias, de tal manera que el proceso Enseñanza-Aprendizaje alcance el desarrollo que garantice; mejorar el ingreso, permanencia y egreso de los estudiantes. Los Cuerpos Académicos convertidos en verdaderos baluartes de líneas de generación y aplicación del conocimiento de la Topografía y Geomática, fortaleciendo el trabajo Docente-Investigativo, reflejándose al mismo tiempo en la mejora continua del plan y programa de estudio. Teniendo una Unidad Académica Innovadora, creativa en la búsqueda de la opción tecnológica para la juventud guerrerense, resolviendo la problemática social en el área de la Topografía y Geomática, con un espíritu de servicio comunitario encontrando la penetración y vinculación con el sector productivo, de tal manera que tenga impacto y pertinencia en el desarrollo tecnológico de la región, logrando lo anterior con la educación sistemática y continua de su plan y programa de estudio que garantice egresados de calidad, con los conocimientos necesarios y suficientes, habilidades y aptitudes que los conviertan en lideres con sentido empresarial, profesional, docente y de investigación con amplia responsabilidad, honestidad y ética profesional.

ii

Identificación de la unidad de aprendizaje

NOMBRE DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE: Topografía I y Prácticas Clave de la Unidad de Aprendizaje Colegio(s) Unidad Académica Programa educativo Área de conocimiento de la Unidad de Aprendizaje dentro del Programa Educativo Modalidad Etapa de Formación

Ciencias y tecnología De Ingeniería Ingeniero Topógrafo y Geomático Topografía Presencial EFI EFP-NFPE Anual Trimestral Bimestral Obligatoria

Periodo Tipo(s) Unidad(es) de aprendizaje antecedente(s) Competencias previas recomendables

Semipresencial    

EFP-NFBAD EIyV Semestral Optativa

POR SEMANA POR SEMESTRE

 

Electiva

Geometría Analítica, Dibujo Técnico y Electrónico, Manejo de las Tecnologías de la Información y Comunicación.  Aplica conocimientos básicos de Geometría Analítica y de dibujo técnico y electrónico para la representación del dato espacial  Utiliza la calculadora científica y hojas de cálculo  Organiza, planifica y trabaja colaborativamente  Respeta el medio ambiente  Compromete su proceso formativo

10

 NÚMERO DE CREDITOS: Número de horas

A distancia

Hrs. de trabajo del estudiante bajo la conducción del académico

Hrs. trabajo del estudiante de f orma independiente

Total de horas

HT=3

HP=4

3

10

48

64

48

160

Competencia de la unidad de aprendizaje: Realiza mediciones, cálculos y trazos topográficos para la ubicación de puntos sobre la superficie terrestre en proyección horizontal, así como su representación en papel (plano topográfico) distinguiendo sus elementos geométricos, magnitudes e instrumentos utilizados; que le sean útiles para un mejor desempeño profesional; estimulando asimismo el trabajo cooperativo y la creatividad, con responsabilidad y respeto al medio ambiente.

iii

Conocimientos 

Maneja los conceptos topográficos para levantamientos en proyección horizontal.



Habilidades

Actitudes y Valores

Maneja los conceptos topográficos para levantamientos en proyección horizontal.

 Responsabilidad en el uso

y manejo del equipo topográfico  Respeta, colabora y



Conoce el uso de la cinta



en el trazo, medición y levantamiento de líneas y polígonos

la brújula topográfica para la toma

  Describe

Utiliza los diferentes instrumentos de medición en la obtención del dato espacial para levantamientos topográficos en proyección horizontal.

de direcciones 

muestra disposición para el trabajo en equipo  Cuida el medio ambiente  Actúa de forma positiva

frente a las innovaciones sociales y tecnológicas  Tiene hábito de estudio y

Diferencia el uso y aplicación del tránsito o teodolito, estación total y el Sistema de

metodología de trabajo

Posicionamiento Global (GPS) en la obtención del dato espacial en proyección horizontal. 

Conoce la diferente metodología para la medición, cálculos y trazos topográficos, sobre la superficie terrestre en proyección horizontal.



Realiza levantamientos y cálculos topográficos, así como el dibujo del plano respectivo.

iv

Topografía I y Prácticas Conceptos topográficos para levantamientos en proyección horizontal Competencia: Maneja los conceptos topográficos para levantamientos en proyección horizontal. Generalidades La Topografía terrestre, estudia mediante la aplicación de varias ciencias, la extensión y forma del terreno, a este aspecto se le denomina  P lanimetría; así como a la medida y conformación de los accidentes de dicho terreno, a esto se le denomina Altimetrí a.

Topografía

superior

Elemental

Planimetría

Altimetría

Orientación

Plani-Altimetría

Altimetría Triangulación

La teoría de la Topografía se basa esencialmente en la geometría plana, geometría analítica y del espacio, trigonometría rectilínea y esférica, además de otros conocimientos matemáticos. Con estas bases el trabajo de un Ingeniero Topógrafo se divide en cinco actividades principales:     

Selección del método de levantamiento, del instrumental y de la ubicación más probable de los vértices, Colocación de señales para deslindar o marcar linderos, guiar trabajos de medición, Adquisición de datos, realización de mediciones y registros de datos de campo, Cálculos topográficos con datos de campo para determinar la ubicación de vértices para la obtención de superficies y/o volúmenes, Dibujo o representación de las medidas para obtener un plano, mapa o grafico de forma tradicional, ayudándose con métodos modernos computarizados.

Definiciones La palabra Topografía proviene del griego:

Topos = lugar Graphos = descripción Por lo tanto la podemos definir como: 

 La rama de la Ingeniería que estudia los procedimientos de campo, cálculo y dibujo necesario para representar de una porción terrestre y a una escala conveniente, los detalles planimétricos y altimétricos que servirán de base a los anteproyectos, proyectos y presupuestos en las diversas obras

1

de construcción y la de levantamientos; así como para el control de todas y cada una de sus etapas durante su desarrollo constructivo. Definición ( Montes de Oca, Miguel) 

Es la ciencia que estudia el conjunto de procedimientos para determinar las posiciones de los puntos sobre la superficie de la tierra, por medio de medidas según los tres elementos del espacio. Estos elementos pueden ser: dos distancias y una elevación, o una distancia, una dirección y una elevación.

Definición técnica: 

Puede definirse como el arte o tecnología de hacer mediciones de las posiciones relativas de accidentes naturales y obras hechas por el hombre sobre la superficie la superficie de la Tierra, así como la representación gráfica o numérica de esta información.

La Topografía y su aplicación Considerada como una de las actividades de mayor relevancia en la realización de cualquier proyecto, la Topografía ocupa un lugar preponderante dentro de la ingeniería que desarrollamos. La Topografía  tiene un campo de aplicación extenso, lo que la hace sumamente necesaria. Sin su conocimiento no podría el ingeniero por si solo proyectar  ninguna obra. Sin un buen  plano no podría  proyectar debidamente un edificio o   trazar   un fraccionamiento; sin el levantamiento de secciones transversales no le sería posible proyectar presas, puentes, canales, carreteras, etc. T ampoco podría señalar una pendiente determinada como se requiere en un alcantarillado. Cabe señalar que la aplicación fundamental de los que estudian esta especialidad, es la de ejecutar los distintos levantamientos topográficos  de terrenos en general, para realizar en ellos los proyectos que requiera la sociedad en el área de la ingeniería civil; todo esto acorde a los cambios tecnológicos y de vanguardia en la Ingeniería Topográfica, Geodésica y Geomática.

Actividades fundamentales de la topografía Las actividades fundamentales de la Topografía son: Trazo y Levantamiento.

Trazo Es el procedimiento operacional que tiene como finalidad el replanteo sobre el terreno, de las condiciones establecidas en un plano. Levantamiento Es el conjunto de operaciones necesarias en el campo, y cálculos en el gabinete, mediante la aplicación de los distintos métodos topográficos, para determinar en el terreno las posiciones de puntos, alturas y detalles de él, para posteriormente llevarlos gráficamente a un plano, mediante una escala convenida. Levantamientos topográficos Existen muchos tipos de levantamiento, siendo cada uno tan especializado que alguna persona con amplia experiencia en diferentes áreas de la misma difícilmente las abarcaría en su totalidad. Sin embargo el  profesionista dedicado a la topografía debe tener conocimientos de las distintas áreas del conocimiento de esta profesión, como son: Astronomía de Posición, Geodesia y Cartografía, ya que todas ellas están estrechamente relacionadas en la práctica moderna.

2

Para su estudio los dividimos en:   

Planimetría o control horizontal Altimetría o control vertical Planimetría y altimetría simultáneas

Planimetría: Comprende el estudio de los diversos procedimientos que tienen como finalidad la representación en  proyección horizontal , de la posición relativa de los puntos de la superficie terrestre. Esta se realiza en areas pequeñas de tal manera que se ignora la curvatura de la tierra.

 Puede demostrarse que un arco de 18.5 kilómetros de longitud sobre la superficie de la Tierra es aproximadamente 1.5 centímetros más largo que la distancia plana o la cuerda entre sus extremos. Altimetría: Estudia los procedimientos que proporcionan en  proyección vertical , la posición relativa de los puntos de la superficie de la tierra.

Planimetría y altimetría simultáneas: Estudia los procedimientos que proporcionan en proyección horizontal y vertical simultáneamente la  posición relativa de los puntos de la superficie de la Tierra. De manera sintética, los levantamientos topográficos se clasifican en:

3

Planimétricos

Polígonos con lados de liga Prolongación de alineamientos Coordenadas Radiaciones Triangulación Diagonales

  

a) Levantamientos con cinta



 b) Levantamientos con brújula y cinta: Rumbo y distancia  

c) Levantamientos con tránsito y cinta

Deflexiones Conservación de azimut Interiores



Medida directa de ángulos

Exteriores

d) Levantamientos con tránsito y estadia

e)  Levantamientos con Estación Total: EDM

Altimétricos

Diferencial

a) Nivelación directa o topográfica De Perfil Barométrica

 b) Nivelación indirecta Trigonométrica Secciones transversales

c) Configuración Estadia

4

Según su propósito se clasifican en: 

Topografía Plana (Topografía elemental) En esta rama, el plano de referencia para el trabajo de campo y los cálculos, es una superficie  plana.



Topografía geodésica o geodesia Consiste en la determinación de longitudes y acimutes de líneas largas que requieren la consideración del tamaño y forma de la Tierra.



Fotogrametría Son levantamientos por medio de la fotografía aérea, a través de cámaras instaladas en aviones o satélites. Los mapas y datos obtenidos se basan en los principios de la fotografía o la detección remota.



Levantamientos de control Consisten en establecer una red de señalamientos (horizontal y vertical), que sirven de marco de referencia para otros levantamientos. Generalmente se usan procedimientos geodésicos.



Levantamientos orográficos de configuración Estos levantamientos sirven para elaborar planos o mapas que muestran la ubicación de los accidentes orográficos naturales, los construidos por el hombre y las elevaciones de puntos del terreno.



Levantamientos hidrográficos Es la representación gráfica de líneas litorales y el relieve del fondo de los lagos, ríos, embalses y otras grandes masas de agua. A la combinación de levantamientos orográficos e hidrográficos se le llama Topografía Orohidrográfica.



Levantamientos de vías terrestres. Son los levantamientos para carreteras, vías férreas, sistemas de conducción, líneas de conducción, líneas de transmisión, canales y demás obras de gran extensión lineal.



Agrimensura Esta rama, estudia los procedimientos para establecer la delimitación de los predios, sus vértices, linderos, colindancias y áreas. En términos generales la medición y división de superficies de terrenos.

La práctica de la topografía La práctica de la Topografía es compleja. Los conocimientos teóricos no hacen de alguien un buen especialista en trabajos topográficos, a menos que tenga los principios básicos de teoría y práctica. La importancia de la etapa de prácticas nunca debe ser exagerada y comprende: 

Trabajo de campo Se entiende por trabajo de campo, a todas las operaciones de medidas y anotaciones, resultados de la aplicación de los distintos levantamientos topográficos.



Trabajo de gabinete Es la ordenación de los datos tomados en el campo y los cálculos que con ellos se ejecutan, con objeto de obtener los elementos necesarios para el dibujo y construcción del plano.

5

 El profesionista actual de la Topografía , debe utilizar el equipo moderno para ser competitivo. Unidades de medidas utilizadas en topografía Los procedimientos topográficos implican mediciones:

Lineales:  Distancias horizontales, inclinadas y verticales o alturas, se usa el sistema métrico decimal; teniendo como unidad el metro, 1 decímetro (dm) = 0.1 metro (m) 1 centímetro (cm) = 0.01 m 1 milímetro (mm) = 0.001 m Angulares: Medidas angulares, rumbos, azimutes y deflexiones; generalmente se usa el sistema sexagesimal, 1 grado (°) = 60 minutos ( ‘) 1 minuto (‘) = 60 segundos (“)

De área: Medidas de superficies y las unidades son, 1 hectárea = 100 áreas = 10000 m 2 1 área = 100 m2 1 centiárea = 1 m 2  La realización de las mediciones es la tarea principal de un profesional de la topografía. Errores y equivocaciones  No se puede medir exactamente ninguna magnitud por perfectos que sean los procedimientos y aparatos que se empleen; cada medida que se haga estará siempre afectada por un error. Una de las funciones más importantes del ingeniero es obtener medidas que estén correctas dentro de ciertos límites de error, fijados por la naturaleza y objeto del levantamiento, para lo que se requiere que conozca las fuentes de error, el efecto de los diferentes errores en las cantidades observadas, y este familiarizado con el procedimiento necesario para mantener la  precisión requerida.

Orígenes de los errores

Se dividen en

I nstrumentales: Se deben a la imperfección o ajuste defectuoso de los instrumentos.

Personales: Se producen por la falta de habilidad del personal que realiza las mediciones. Naturales: Se deben a las variaciones de los fenómenos de la naturaleza; la temperatura, la humedad, el viento, etc. Sistemáticos : Son los que en, para condiciones de trabajo fijas en el campo, son constantes y del mismo signo y por lo tanto son acumulativos: aparatos mal graduados, error por temperatura, catenaria, etc. Accidentales : Son los que se cometen indiferentemente en un sentido o en otro, y por lo tanto es igualmente probable que tenga signo positivo o negativo: lecturas de graduaciones, apreciación de fracciones, etc.

6

Equivocación: Esta es causada por la inexperiencia y falta de atención de quién realiza las mediciones, se pueden eliminar haciendo revisiones cuidadosas. Los casos más comunes de equivocación son: leer o escuchar un número por otro y anotar un registro equivocado.

Exactitud y precisión: Los términos exactitud  y precisión se utilizan constantemente en Topografía.  

La exactitud se refiere al grado de perfección que se obtiene en las mediciones; nos acercamos al valor verdadero de la magnitud. La precisión, es el  grado de refinamiento  con el que se mide una determinada cantidad; es la cercanía de una medición a otra.  Es la relación entre el error de la medición y la distancia medida, y se reduce a una fracción cuyo numerador es igual a la unidad.

Registros de campo: Tal vez ninguna otra fase de la Topografía sea tan importante como el registro adecuado de los datos de campo. No importa cuánto cuidado se tenga en la realización de mediciones en el campo si este esfuerzo será desperdiciado por no realizar un registro claro y legible  del trabajo ejecutado. El registro de los datos es una parte tan importante de la Topografía que generalmente este trabajo lo desempeña la persona más capacitada de la brigada (por ejemplo, el jefe de la misma). Las libretas de campo que comúnmente se utilizan son de pasta dura por la ventaja de que no se pierden las hojas y, además, por su gran durabilidad son capaces de soportar el uso rudo y las malas condiciones climáticas. Para la recolección exitosa de las anotaciones en campo, se tiene que considerar:   

Precisión: anotar en forma correcta los datos medidos. Legibilidad: las anotaciones que sean ilegibles no tienen valor alguno. Integridad: todas las mediciones deberán anotarse en el momento de realizar la observación; nunca se “inflen” las notas para mejorar los cierres.

 

Claridad: que las anotaciones no estén amontonadas o haya omisiones en los detalles. Arreglo: uso de libretas de campo apropiadas para el levantamiento de que se trate, esto ayudará a la legitimidad, precisión e integridad de las anotaciones en la libreta de campo.

7

Registro de campo Levantamiento_________________________________Levantó_______________________________ Método______________________Lugar_________________________Fecha___________Brig.._________

 Anotaciones numéri cas

Croquis y anotaciones

Libreta de tránsito

8

Uso y manejo de instrumentos topográficos Competencia: Utiliza los diferentes instrumentos de medición en la obtención del dato espacial  para levantamientos topográficos en proyección horizontal. Instrumentos topográficos        

Cintas métricas y accesorios (plomada y baliza)  Nivel de mano Clisímetro Brújula Planímetro Tránsitos Teodolitos (de micrómetro óptico y electrónico) Estación total (electrónica y robóticas)

Cinta La cinta  es el instrumento principal de medición que se utiliza en los  principios básicos del estudio de la Topografía como ciencia, arte o tecnología. Nos permite conocer la distancia entre dos puntos. Las cintas que se usan en la actualidad para medir están hechas de diferentes materiales, longitudes y pesos. Las comúnmente utilizadas en Ingeniería son las cintas de acero. (Metálicas) En Topografía, se entiende por distancia entre dos puntos, la distancia horizontal. En el  proceso de medida, las cintas son sometidas a diferentes tensiones y temperaturas, por lo que dependiendo del material con el que han sido construidas, su tamaño original variará. Por esta razón, las cintas vienen calibradas de fábrica para que a una temperatura, tensión y condiciones de apoyo dadas, su longitud sea igual a la longitud nominal.

Plomada Instrumento con forma de cono, construido generalmente en bronce, con un peso que varía entre 225 y 500 gr, que al dejarse colgar libremente  de la cuerda sigue la dirección de la vertical del lugar , por lo que con su auxilio podemos proyectar el  punto de terreno sobre la cinta métrica.

9

Balizas Son tubos de madera o aluminio, con un diámetro de 2.5 cm y una longitud que varía de 2 a 3 m. Las balizas vienen pintados con franjas alternas rojas y blancas de unos 30 cm y en su parte final poseen una punta de acero. La baliza se usa como instrumento auxiliar   en la medida de distancias, localizando  puntos y trazando alineaciones.

Nivel de mano Consiste en un tubo de aproximadamente 15 cm., sin lentes, con un pequeño nivel cuya burbuja puede verse por el interior del tubo mediante un espejo o prisma que ocupa la mitad del tubo. Por la otra mitad se ve al exterior para dirigir la visual mediante un alambre que atraviesa el tubo. Es un instrumento de medición utilizado para dirigir visuales horizontales, sosteniéndolo en la mano.

Clisímetro Es un instrumento semejante al nivel de mano, pero con el nivel movible para  poder marcar en un círculo graduado el ángulo o la pendiente que se necesite, y así al centrar la burbuja la visual tendrá la pendiente marcada. La altura se mide sobre una regla graduada (estadal). Con el clisímetro se pueden determinar desniveles, horizontalizar la cinta, medir ángulos verticales y pendientes, calcular alturas y lanzar visuales con una pendiente dada.

Brújula La brújula  es un instrumento topográfico que sirve para determinar direcciones con relación a la meridiana magnética. Generalmente son aparatos de mano; pueden apoyarse en tripié, bastón o en una vara cualquiera. Las partes principales de la Brújula son: 1. La caja que lleva un circulo graduado de 0º a 360º en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj, ó de 0º a 90º en ambas direcciones de N y S y, generalmente, los puntos E y W invertidos debido al movimiento relativo de la aguja respecto a la caja. 2. Un nivel circular  que se usa para mantener el círculo graduado en un plano horizontal, cuando se toman direcciones con la brújula. 3. Pínulas, ocular y objetivo , son los elementos que sirven para dirigir la visual y están colocados en línea con los puntos cardinales N y S de la caja de la brújula. 4.

Una aguja imantada  que puede girar libremente sobre un pivote colocado en el centro del círculo graduado. La punta S lleva un contrapeso para contrarrestar la atracción magnética en el sentido vertical.

10

Aguja imantada

Ocular Caja

Pínulas

 Nivel circular

Brújula tipo Brunton

Su aplicación es frecuente en diversas ramas de la ingeniería. Se emplea en reconocimientos preliminares  para el trazado de carreteras, levantamientos topográficos, elaboración de mapas geológicos, etc.

Planímetro Es un instrumento manual que permite calcular superficies de polígonos irregulares, limitados con curvas y rectas, y a veces sin forma muy precisa, en donde la geometría analítica no es de gran apoyo. Las partes más importantes de un planímetro son l a punta trazadora, el brazo ancla con contrapeso y  poste, el disco y tambor graduados. Punta trazadora

Brazo

Planímetro digital

 Para la obtención de superficies, se coloca la aguja o punta trazadora en un punto del dibujo, ajustando en cero la lectura inicial. A continuación se recorre cuidadosamente el perímetro de la figura en el  sentido horario hasta que la punta regresa al punto inicial mostrando el valor del área para la superficie medida.

11



Tránsito

El Tránsito es tal vez el instrumento topográfico más universal en la práctica de la Topografía. Aunque en los últimos años, ha tomado gran auge el uso de las estaciones totales; siendo hasta el momento un equipo caro y su uso se puede establecer para ciertas condiciones de medición. El Tránsito (Teodolito) son fundamentalmente equivalentes y pueden desempeñar básicamente las mismas funciones. Sus partes principales son: Objetivo 

Telescopio

Ocular Retícula Horizontal



Limbos

Vertical 



vernier

Brújula

  Niveles tubulares

General. Fija todo el aparato 

Movimientos Particular. Lecturas horizontales



Alidada



Tornillos niveladores



Base



Tripié

12

Tornillo del movimiento vertical

Objetivo Círculo vertical E je de alturas

Telescopio

Tornillo de enfoque  Nivel del anteojo

Ocular

Tornillo tangencial del movimiento vertical

 Brújula Línea de colimación

 Nivel del círculo horizontal Tornillo del movimiento  particular

Tornillo tangencial del movimiento particular

Tornillos niveladores E je azimutal (o vertical)

Tránsito de vernier

De forma general se describen cada una de sus partes:

Telescopio. Sirve para precisar la línea visual formando la línea de colimación que une los centros del objetivo y de la retícula. Sus partes esenciales son: objetivo, ocular, retícula y tubo telescópico. 

Objetivo:   En su forma más simple está compuesto por las lentes que definen un sistema convergente; una exterior biconvexo, de crown glass y otra interior planocóncava o

13

cóncavoconvexa, de flint glass (cristal). El objetivo hace que la imagen del objeto visto se forme en el plano de la retícula.

Objetivo 

Ocular

Retícula

Ocular:  Hace las veces de un microscopio, ampliando la imagen formada sobre el plano de la retícula y se compone de dos lentes planoconvexas.

Objeto

Objetivo

Observador Ocular



Retícula:   Es generalmente un disco de vidrio con tres hilos horizontales, paralelos entre si y equidistantes; y de un hilo vertical que corta por en medio a los tres anteriores. Generalmente son hilos de tela de araña o de platino, también se usan rayados finamente sobre un vidrio. La retícula se mantiene en su debida posición por medio de cuatro tornillos de calaveras que permiten mover vertical u horizontalmente, o puede hacerse girar un ángulo pequeño alrededor del eje del anteojo.

Tornillos de calavera

Hilos estadimétricos



Hilo vertical

Hilo horizontal

Tubo telescópico. Es el armazón en el que están colocados el objetivo, el ocular y la retícula. Para observar un objeto por medio de un telescopio es necesario enfocar primero la imagen de los hilos de la retícula por medio del tornillo de enfoque del ocular, y después, por medio del tornillo de enfoque del objetivo, se enfoca la imagen producida por el objetivo en el plano de la retícula.

14

Línea de colimación

Objetivo

Hilos de la retícula

Porta ocular

Limbo horizontal. Es un círculo horizontal graduado que gira alrededor del eje azimutal y con la ayuda de la alidada que se encuentra sobre él, proporciona el ángulo horizontal entre dos visuales. Tiene dos vernieres diametralmente opuestos y situados en las partes descubiertas de la base de la alidada. Tiene un tornillo de presión del movimiento general para movimientos grandes, y otro llamado tangencial del movimiento general para movimientos finos; este último solo funciona cuando el primero esta apretado. Eje azimutal.  Es el eje de simetría vertical del Tránsito (Teodolito), alrededor del cual gira todo el instrumento y da el azimut de la línea que proporciona la visual dirigida por el telescopio. Eje azimutal (o vertical)

Línea de colimación

Eje de alturas (u horizontal)

Eje de alturas. Es en eje horizontal que está situado en la parte superior de la alidada y sostiene el telescopio que describe un plano vertical cuando gira a su alrededor, definiendo una vuelta completa llamada “vuelta de campana”.

Limbo vertical.  Es un círculo vertical graduado que gira junto con el telescopio y sirve para medir ángulos verticales. Su vernier se encuentra situado en uno de los apoyos del eje de alturas. Tiene un

15

tornillo de presión para movimientos grandes, y otro llamado tangencial para movimientos finos; este último solo funciona cuando el primero esta apretado.

Alidada. Es todo lo que se encuentra arriba del limbo horizontal. Sirve para dirigir visuales y contiene vernieres, tornillos de presión, tornillos tangenciales y brújula. Niveles. En la base de la alidada, existen generalmente dos niveles ubicados perpendicularmente uno del otro para el centrado horizontal del Tránsito y otro nivel fijo paralelamente al telescopio que sirve para usar el Transito como nivel. Tornillos niveladores.  Todo el Tránsito descansa sobre tres apoyos llamados tornillos niveladores y éstos, sobre una base que se enrosca a la cabeza del tripié que sirve para colocar el Transito o Teodolito en estación y a una altura conveniente para trabajar.

Tornillos niveladores

 Nivel

90º

Base. La parte inferior de la base se asemeja a un anillo, donde por medio de un tornillo de sujeción del tripié se fija el Tránsito y que en el proceso del centrado del mismo, se puede aflojar para afinarlo sin tener que mover el tripié. El extremo inferior del eje vertical termina en un gancho que sirve para colgar la  plomada que define el punto o la estación. Brújula. Se encuentra en la base y en el centro de la alidada. Tiene un tornillo para despegar la aguja del  pivote cuando se hace uso de ella. Algunos Tránsitos traen un tornillo para ajustar el limbo graduado de la  brújula y también para ponerle declinación magnética cuando se requiere operar con rumbos astronómicos. Tripié. Es un accesorio que tiene la particularidad de soportar un equipo de medición como un tránsito, teodolito o estación total, su manejo es sencillo, pues consta de tres patas que pueden ser de madera o de aluminio, las que son regulables para así poder tener un mejor manejo para subir o bajar las patas que se encuentran fijas en el terreno. El plato consta de un tornillo el cual fija el equipo que se va a utilizar para hacer las mediciones.

16

Centrado y nivelado Esta actividad se realiza: 1. Se coloca el aparato a la altura necesaria, pero sobre la referencia (trompo, varilla, etc.), 2. En caso de que la plomada no marque exactamente el centro de la referencia, levántese completamente y muévase lo necesario, todo esto observando que la plataforma del aparato este aproximadamente horizontal, 3. Con el movimiento de las patas del tripié se hace llegar la punta de la plomada al centro de referencia; logrando el centrado preciso, aflojando el tornillo de sujeción del aparato, moviéndolo en la dirección que se requiera, 4. Terminado lo anterior, se procede a la nivelación del mismo, 5. En instrumentos de tres tornillos niveladores; se coloca el nivel paralelo a dos tornillos de ellos, 6. Se hace que la burbuja llegue al centro girando los tornillos niveladores de manera simultánea; el movimiento del pulgar izquierdo indica el desplazamiento de la burbuja, 7. Gire el telescopio un cuarto de vuelta, o sea 90º, centre la burbuja utilizando el tercer tornillo, 8. Repítase la operación anterior (tres), hasta que las burbujas queden centradas en cualquier  posición; logrando con esto la nivelación del aparato.

Usos del tránsito Debido a la gran variedad de usos que se le dan, él Tránsito es el aparato universal para la Topografía. Se emplea para: a)  b) c) d) e) f)

Medir ángulos horizontales y verticales Trazar ángulos horizontales y verticales Medir distancias Determinar diferencias de elevación Medir direcciones Trazar y prolongar líneas

Teoría del vernier. Tránsito de vernier La lectura de ángulos horizontales y verticales, sobre los círculos graduados se hace con vernier   para aumentar la aproximación que tienen las graduaciones. Para medir los ángulos horizontales, los Tránsitos, en su mayoría están provistos de dos vernieres a 180º uno del otro, y que se mueven junto con el anteojo. Definición

El vernier   es una pequeña placa dividida independientemente del limbo y en contacto con él y que tiene  por objeto apreciar fracciones del menor espacio en que está dividido el limbo. La aproximación de la lectura del vernier  se obtiene mediante la relación:  Aproximaci ón del vernier 

Valor  de la menor división del limbo  Número de divisiones del vernier 

O sea, a  

d  n

17

 Ejemplo Graduación del limbo 30’ 20’

Divisiones del vernier 30 40

 Aproximación del aparato 01’ 30’’

Lectura del vernier Para obtener el valor de la lectura, léase primero sobre el limbo, en la dirección de la graduación, los números enteros que se encuentran antes de llegar al cero del vernier. Enseguida, léase el valor de la fracción sobre el vernier, contando el número de divisiones que haya desde el cero hasta que se encuentre la coincidencia de una división del vernier con una división del limbo. Las dos lecturas, tanto la del limbo como la del vernier deben hacerse en la misma dirección y deben sumarse para obtener el valor total.

Vernier 30

30 20

10

10

20

90

100

Limbo 

Limbo = 98º 30’ Vernier = 12’ Total = 98º 42’

Teodolito (de micrómetro óptico y electrónico)

Estos instrumentos constan básicamente de un visor o microscopio que tienen un sistema óptico situado dentro de él. Generalmente hay un ocular para lectura, adyacente al ocular del anteojo o situado en uno de los soportes de éste. Algunos instrumentos tienen micrómetros ópticos para la lectura fraccionaria de intervalos en los círculos horizontal y vertical; se leen directamente en recuadros definidos  para cada uno, y las fracciones se obtienen girando la  perilla del micrómetro, centrando la marca de referencia para los grados, logrando así la lectura del ángulo.

2’40”

2’50”

18



Teodolito electrónico

Es la versión del teodolito óptico, con la incorporación de electrónica para hacer las lecturas del círculo vertical y horizontal, desplegando los ángulos en una pantalla, eliminando errores de apreciación. Son de uso muy sencillo y alta precisión. Estos instrumentos constan generalmente de:

Nivel esférico. Caja cilíndrica tapada por un casquete esférico. Cuanto menor sea el   radio de curvatura menos sensible serán; sirven para obtener de forma rápida el plano horizontal. Estos niveles tienen en el centro un círculo, hay que colocar la burbuja dentro del círculo para hallar un plano horizontal bastante aproximado. Tienen menor  precisión que los niveles tubulares, su precisión está en 1´ como máximo, aunque lo normal es 10´ o 12´. Plomada óptica. Es la que llevan hoy en día los teodolitos, por el ocular vemos el suelo y así ponemos el aparato en la misma vertical que el punto buscado. 

Estación total (electrónica y motorizada)

Se conoce con este nombre, al instrumento que integra en un sólo equipo las funciones realizadas por el teodolito electrónico , un medidor electrónico de distancias y un microprocesador para realizar los cálculos que sean necesarios para determinar las coordenadas rectangulares de los puntos del terreno. Entre las operaciones que realiza una Estación Total, puede mencionarse: obtención de promedios de mediciones múltiples angulares y de distancias, corrección electrónica de distancias por constantes de  prisma, presión atmosférica y temperatura, correcciones por curvatura y refracción terrestre, reducción de la distancia inclinada a sus componentes horizontal y vertical así como el cálculo de coordenadas de los  puntos levantados. El manejo y control de las funciones de la Estación Total se realiza por medio de la pantalla y del teclado, las funciones principales se ejecutan pulsando una tecla, como la introducción de caracteres alfanuméricos, medir una distancia.

Estación Total 610 Sokkia

Estación Motorizada Sokkia

19

El modo de operar una Estación Total es similar al de un teodolito electrónico, se comienza haciendo estación en el punto topográfico y luego se procede a la nivelación del aparato. Para iniciar las mediciones es necesario orientar la Estación Total previamente, para lo cual se requiere hacer estación en un punto de coordenadas conocidas o supuestas y conocer un azimut de referencia, el cual se introduce mediante el teclado. Para la medición de distancias el distanciómetro electrónico incorporado a la Estación Total calcula la distancia de manera indir ecta en base al tiempo que tarda la onda electromagnética en viajar de un extremo a otro de una línea y regresar. La Estación Total, equipo que se ha popularizado desde finales del siglo XX e inicio del XXI, evita las incidencias negativas del factor humano durante la medición y cálculo, con un incremento sustancial de la eficiencia y de la eficacia en las operaciones de campo; puede decirse entonces que la Estación Total constituye el instrumento universal moderno en la práctica de la Topografía,   que puede ser utilizada  para cualquier tipo de levantamiento topográfico de una manera rápida y precisa y el vaciado de datos de campo libre de error. La Estación Total es utilizada tanto en levantamientos  planimétricos  como altimétricos, independientemente del tamaño del proyecto. Los levantamientos realizados con este instrumento son rápidos y precisos, el vaciado de los datos de campo está libre de error, el cálculo se hace a través del software y el dibujo es asistido por computadora, lo cual garantiza una presentación final, el plano topográfico, en un formato claro, pulcro y que cumple con las especificaciones técnicas requeridas.

Equipo GPS (Sistema de Posicionamiento Global) El Sistema de Posicionamiento Global, mejor conocido como GPS (Global Positioning System) es un sistema de navegación basado en una red de 24 satélites denominada NAVSTAR, siendo el acrónimo en inglés de NAVigation System for Time And R anging, traducido como Sistema de Posicionamiento Global, situados en una órbita geoestacionaria a unos 20.200 Km de la Tierra, y unos receptores GPS, que permiten determinar nuestra  posición en cualquier lugar del planeta, de día o de noche y bajo cualquier condición meteorológica. Al no haber comunicación directa entre el usuario y los satélites, el GPS puede dar servicio a un número ilimitado de usuarios. El Sistema de Posicionamiento Global consta de tres divisiones: espacio, control y usuario. La división espacio incluye la red de 24 satélites denominada NAVSTAR y los cohetes Delta que lanzan los satélites desde Cabo Cañaveral, en Florida, Estados Unidos. Los satélites GPS se desplazan en órbitas geoestacionarias a 20.200 Km. de altitud, invirtiendo 12 horas en cada una de las órbitas. Éstas tienen una inclinación de 55° para asegurar la cobertura de las regiones  polares. La energía la proporcionan células solares, por lo que los satélites se orientan continuamente dirigiendo los paneles solares hacia el Sol y las antenas hacia la Tierra. Cada satélite cuenta con cuatro relojes atómicos. La división control incluye la estación de control principal en la base de las Fuerzas Aéreas Falcon, en Colorado Springs, Estados Unidos, y las estaciones de observación situadas en Falcon AFB, Hawai, en la isla de Ascensión en el Atlántico, en Diego García en el océano Índico, y en la isla Kwajalein en el Pacífico sur. Las divisiones de control utilizan las medidas recogidas en las estaciones de observación para  predecir el comportamiento de las órbitas y relojes de cada satélite. Los datos de predicción se conectan a los satélites para transmitirlos a los usuarios. La división control también se asegura que las órbitas de los satélites GPS permanezcan entre los límites y de que los relojes no se alejen demasiado del comportamiento nominal.

20

La división usuario  es un término en principio asociado a los receptores militares. Los GPS militares utilizan equipos integrados en armas de fuego, armamento pesado, artillería, helicópteros, buques, submarinos, carros de combate, vehículos de uso múltiple y los equipos individuales para soldados. Además de las actividades básicas de navegación, su aplicación en el campo militar incluye designaciones de destino, apoyo aéreo, municiones `terminales' y puntos de reunión de tropas. La lanzadera espacial está dotada de un Sistema de Posicionamiento Global. Está constituido por los instrumentos utilizados para recepcionar y  procesar la señal emitida por los satélites. Estos instrumentos están integrados esencialmente por una antena y un receptor . Un equipo complementario es usado, en ocasiones, para transferir datos entre receptores. La antena está conectada por cable al receptor o en otros casos forman una sola unidad. Las coordenadas que se calculan corresponden al centro radioeléctrico de la antena. El receptor  consta de un mínimo de 4 canales (generalmente 10 ó 12) que permiten recepcionar y procesar simultáneamente la señal de cada satélite. Posee además un oscilador de cuarzo que permite generar la frecuencia de referencia para realizar la observación. Un microprocesador interno  con el  software  correspondiente calcula las coordenadas de la antena y la velocidad y acimut si el aparato está en movimiento. Posee además una memoria  para almacenar observaciones. La capacidad de esta memoria varía de acuerdo al tipo de receptor, pudiendo llegar a almacenar información durante varias decenas de horas. Todo equipo adiciona una unidad de alimentación eléctrica que deberá brindar al receptor la autonomía necesaria. Los equipos están en continuo desarrollo y su evolución es comparable a la experimentada en informática durante las últimas décadas para los ordenadores personales. El GPS es un sistema que tiene como objetivo la determinación de las coordenadas espaciales de puntos respecto de un sistema de referencia mundial. Los puntos pueden estar ubicados en cualquier lugar del  planeta, pueden permanecer estáticos o en movimiento y las observaciones pueden realizarse en cualquier momento del día.

21

Para la obtención de coordenadas el sistema se basa en la determinación simultánea de las distancias a cuatro satélites (como mínimo) de coordenadas conocidas. Estas distancias se obtienen a partir de las señales emitidas por los satélites, las que son recibidas por receptores especialmente diseñados. Las coordenadas de los satélites son provistas al receptor por el sistema. Desde el punto de vista geodésico-topográfico, el Sistema GPS responde a dos requerimientos básicos:  

Planteo directo o levantamiento: se tiene en el terreno un punto materializado, un pilar con placa y marca, un mojón, etc. Se piden sus coordenadas en un sistema de referencia prefijado. Planteo inverso o replanteo: se dan las coordenadas de un punto en un sistema de referencia determinado y se pide la localización de dicho punto, que, de no estarlo ya, será materializado en el terreno.

22

Levantamientos topográficos en proyección horizontal Competencia:  Realiza levantamientos y cálculos topográficos, así como el dibujo del plano respectivo. 

Levantamientos y trazos con cinta

Medida de distancias La medición de la distancia entre dos puntos constituye una operación común en todos los trabajos de topografía. El método y los instrumentos seleccionados en la medición de distancias dependerán de la importancia y precisión requeridas.

Distancia Topográfica Todos los levantamientos topográficos son representados a escala sobre el plano horizontal, por lo que cuando  se mide una distancia entre dos puntos sobre la superficie terrestre, ésta debe ser en  proyección horizontal. La medida de distancia entre dos puntos puede hacerse en forma:  

Directa: con cinta Indirecta: con telémetros (Taquimetría)

Medición de distancias con cinta La medición de una línea horizontal con cinta se basa en aplicar directamente la longitud conocida de un elemento lineal graduado sobre la línea cierto número de veces. En el proceso de medición se introducen una serie de errores tanto sistemáticos como aleatorios que son inevitables, pero que podemos corregir o reducir al mínimo mediante el empleo de técnicas y equipos adecuados. Otro tipo de errores, no predecibles en magnitud y por lo tanto difíciles de detectar y corregir, son los errores groseros, los cuales se cometen generalmente por distracción o falta de concentración en el trabajo.

Medida de distancias en terreno horizontal Se pone la cinta paralela al terreno, al aire; que no toque o se apoye en el suelo, se marcan los tramos,  previamente alineados clavando estacas o trompos (pedazos de varilla, 25 a 30 cm). Baliza

l1

l2

l3

l4

ln

Dist.  AB

23

La tensión recomendada en la medición con cinta metálica es de 4 Kg. fuerza por cada 20 m de longitud, aproximadamente (se trata de minimizar el error por catenaria). Dist. AB  l1  l 2  l 3  l 4    ln

Medida de distancias en terreno inclinado Generalmente se mide por tramos, poniendo la cinta horizontal a ojo u en su defecto utilizar nivel de mano. Plomada

Baliza l1

l2 l3 l4 l5 l6 l7 l8

l9

ln

Dist.  AB

Errores y tolerancias Sistemáticos: Longitud incorrecta de la cinta,  Catenaria,  Alineamiento incorrecto,  Inclinación de la cinta,  Variaciones por temperatura,  Variaciones en la tensión.  Accidentales De índice o de ubicación de la plomada (la vertical no está sobre la referencia),  Variaciones en la tensión,  Apreciación de fracciones al leer las graduaciones.  Errores Groseros  

Confundir marcas en el terreno, Error de lectura,

24

Error de anotación, Errores aritméticos al sumar distancias parciales.

 

Tolerancias en medida de distancias con cinta: Distancia medida en los dos sentidos; ida y vuelta: T  2e

2L l

Donde: T: tolerancia, en metros, e : error cometido en una puesta de cinta, en metros, L: promedio de medidas, en metros, l: longitud de la cinta empleada, en metros. Condiciones de las medidas e (metros) Precisas en terreno plano y correcciones 0.015 Terreno plano, cinta comparada 0.02 a De 2 clase terreno abrupto 0.03 Terreno muy quebrado 0.05 

Trazos y problemas que se resuelven con cinta     

Trazo de perpendiculares Trazo de paralelas Trazo de alineamientos Determinación de distancias: Puntos visibles e inaccesibles Trazo de ángulos

Trazo de perpendiculares: a) Levantar una perpendicular en cualquier punto sobre una linea.  b) Desde un punto exterior a un alineamiento bajar una perpendicular a este.

4m 5m

90º

90º

M

N

3m

Proporción: (5n)2  (4n)2  (3n)2

25

Trazo de paralelas: 

Por un punto C trazar una paralela al alineamiento MN. C

D

C

D

P

90º

90º

 A

B

 A

B

Trazo de alineamientos: 

Puntos invisibles uno del otro. a’

b’

c’

90º

a

 Así, de la proporción : aa' Ma



bb' Mb



cc' Mc



se deduce : aa' 

NQ MQ NQ

90º

K

b

 Ma  K  Ma MQ bb'  K  Mb

90º

c

cc'  K  Mc

90º

Q

P

Baliza

B C

A D

M

N A

B

C

D

26

Determinación de distancias:  

Puntos inaccesibles pero visibles. Salvando un obstáculo.

P 90º

Q 90º

P Construc ción

Por triángulossemejantes:  AB  AP



 AQ PQ



 AB 

 AQ  AP

Del triángulorectángulo:  AB  (AP)2  (BP)2

PQ

Trazo de ángulos:  

Por el triángulo rectángulo. Por el método de la cuerda. B

B

1 α 2

α

BC  AC tan α

Linea base

M

α

BM 2BM BC sen 1 α    ; 2  AC 2AC 2AC BC  2AC sen 1 α 2

Levantamientos con cinta Estos levantamientos se emplean cuando el terreno es sensiblemente plano, descubierto y accesible. Generalmente los levantamientos en TOPOGRAFÍA se realizan trazando  polígonos en el terreno.

27

En Topografía se da el nombre de  poligonal a un polígono o a una línea quebrada de n lados; o como una sucesión de líneas rectas que conectan una serie de puntos fijos. Las longitudes y direcciones de dichas líneas, se determinan a partir de mediciones en el campo. 

 Poligonal cerrada. Aquella cuyos extremos inicial y final coinciden; es decir, es un polígono.



 Poligonal abierta. Línea quebrada de n lados o aquella poligonal cuyos extremos no coinciden.

Métodos Los métodos que generalmente se aplican son: Métodos de levantamientos con cinta

Triángulos:  Radiaciones  Diagonales

Lados de liga

Coordenadas Prolongación de alineamientos

Triangulación:  

Dividiendo en triángulos, desde uno o más vértices el polígono de base, trazando sus diagonales. Desde un punto interior trazar sus radiaciones a los vértices del polígono de base.

diagonales

radiaciones

Lados de liga: 

Aquí se miden los lados del polígono de base y, además, las líneas que ligan dos puntos  pertenecientes a lados contiguos y la cuerda que los une.

28

a

Cuerda

c

α a

α

 2 ang.sen

c 2a

Lados de liga

Prolongación de alineamientos: 

Sobre un polígono de base que puede ser un rectángulo envolvente, se miden las distancias de los alineamientos del perímetro prolongado a ojo.

Lados prolongados (Se miden)

Polígono envolvente

Coordenadas: 

Permite fijar cada vértice del polígono de base independientemente de los demás, proyectándolos sobre dos ejes rectangulares convenientemente elegidos.

29

Eje de proyección





Cálculos, correcciones y dibujo



Cálculos

Ángulos interiores del polígono de base: Se obtienen cada uno de los ángulos del triángulo.

p - bp - c  pp - a  1 p - ap - c  tan B  2 pp - b  1 p - ap - b tan C  2 pp - c  1 tan  A  2

Comprobación angular: 

A + B + C = 180°

Superficie del polígono de apoyo: triángulo S  p( p - a) ( p - b) ( p - c)

Donde: a, b, c: lados del triángulo,  p: semiperímetro;

p

abc 2

Finalmente los ángulos y la superficie del polígono, se obtendrán sumando los valores de cada uno de los triángulos trazados.

30



Correcciones

Estas se realizan determinado los errores, tolerancias y precisión.

Errores 

 Error angular Para levantamientos con cinta, este error se justifica con la comprobación angular de cada triángulo, obteniendo posteriormente los ángulos interiores del polígono, aplicando la condición geométrica,  angs.interiores  180(n - 2)

Siendo: n: número de lados del polígono 

 Error lineal En levantamientos con cinta e igualmente utilizando brújula, este se determina gráficamente y de la misma manera se corrige.

Tolerancias Se entiende por tolerancia el error máximo admisible en las mediciones topográficas. 

Tolerancia angular Independientemente del procedimiento topográfico utilizado, la tolerancia angular se determina; T A  a n

Siendo: TA = tolerancia angular, en minutos de arco, a: aproximación del aparato, en minutos de arco, n: número de vértices de la poligonal. Para levantamientos con cinta; la aproximación se considera: a = 01°  aproximadamente. Para corregir un trabajo, se debe de cumplir; EA < T A Caso contrario, se tendrán que repetir las mediciones. 

Tolerancia lineal

Prácticamente se determina; Terreno Plano  Accidentado

Tolerancia lineal L

T   L



T  L



1000   L 500  

Donde: TL: tolerancia lineal, en metros L: perímetro de la poligonal, en metros Si el error de cierre no rebasa la tolerancia establecida, se procede a compensar el error gráficamente.

31

Precisión o error relativo Esta se calcula dividiendo el error de cierre por el perímetro del polígono; P

EL

L

Donde: P: Precisión EL: Error de cierre ΣL: Perímetro de la poligonal La precisión generalmente se representa:

P

1 L EL



Esto indica que habrá una unidad de error por cada cierto número de unidades de medidas

Dibujo y construcción del plano

Escala: La escala de un plano es la relación fija que todas las distancias en el plano guardan con las distancias correspondientes en el terreno. Los límites en la percepción visual y las escalas.

Por convenio, se admite que la vista humana normal puede percibir sobre el papel magnitudes de hasta 1  de milímetro, con un error en dicha percepción menor o igual a 1  de milímetro. (Agudeza visual) 4 5 Es muy importante tener esto en cuenta en la práctica, pues dependiendo de la escala a la que estemos trabajando, deberemos adaptar los trabajos de campo a la misma.  Por ejemplo: si estamos trabajando a escala 150000 , los 0.2 mm. del plano ( 15   de mm) de error inevitable, estarían representados en el terreno por 10 mts. Esto quiere decir que la determinación en campo de distancias con mayor precisión de 10 mts. es de todo inútil, pues no lo podremos percibir correctamente en el plano. Como es usual en muchos proyectos de ingeniería, trabajamos a escala 11000 , tendremos que lo 0.2 mm. del plano corresponden a 20 cm. en el terreno, debiendo adaptar las medidas tomadas en campo a esta última magnitud.  Está claro, por tanto, que debe evitarse un excesivo nivel de detalle en los trabajos de campo, ya que luego no tendrán una representación en el plano final.

Escala numérica Una unidad de longitud en el plano representa un número determinado de las mismas unidades de longitud en el terreno, como: 1 1 1 , , , etc. ó 1: 250,1: 500 250 500 1000

Escala gráfica Es una línea subdividida en distancias del plano que corresponden a unidades de longitud en el terreno. La fórmula general de la escala es;

32

l   L



1 M

En la cual: L: longitud medida en el terreno, l: longitud en el plano, M: denominador o modulo de la escala.  Ejemplo: 1. Determinar la longitud en el terreno de una línea medida en el plano, de 23 mm a una escala 1:50,000. 2. Se mide un área a escala 1:100 resultando 250 cm 2. ¿Cuál es el área real?

Construcción del plano      

Dibujo topográfico: La poligonal de apoyo y del terreno; así como los detalles más importantes, tanto naturales como los realizados por la mano del hombre, Orientación: Esta se ubica de preferencia en la parte superior derecha del plano, Croquis de localización: Debe de representar la información geográfica tal que sea muy sencillo su ubicación desde cualquier perspectiva, Cuadro de construcción: Los elementos numéricos necesarios como resultado de la aplicación de cualquier procedimiento topográfico: Distancias, direcciones, coordenadas, superficies, etc. Simbología topográfica: La representación simboliza de los detalles plasmados en el plano topográfico, Cuadro de referencia: Información general del trabajo topográfico realizado: Empresa, Logotipo, Tipo de levantamiento, Nombre del responsable de quien ejecuto el trabajo, escala, ubicación, fecha, etc. CROQUIS DE LOCALIZACIÓN

N  U  S I E  M A S  U I Z  F. R   V. J.  A  A S  C H  S D E  A  C A N T I  R   V T B A L L  P O  D E  S Q U E  B A

 D  I D A  U N  R  T I  V A  P O  D E

 S  N A  I C I  O F  R I  L P  D E

 E  A D  C H  C A N  B O L  T  F U

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUERRERO UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA PROGRAMA EDUCATIVO:

ESCALA: 1:250

ING. TOPÓGRAFOGEODESTA

LEVANTAMIENTO:

CONTRÁNS ITOYCINTA

LEVANTÓ:

YURIDIACRISTELL BASILIOBELLO

REVISÓ:

ING. MARTINZUÑIGA GUTIERREZ BRIGADA 3

CHILPANCINGO, GRO. A18DICI EMBREDEL2004

Prácticas en cada caso

33

 Ejemplo Resolver el siguiente triángulo: a = 29.290 m  b = 59.855 m c = 54.840 m B

Fórmulas:

p - b p - c  pp - a  p - a p - c  pp - b  p - a p - b pp - c 

1 tan  A  2 tan tan

1 2 1 2

B C

p

a

c

C b

 A

abc 2

S  p( p - a)( p - b)( p - c)

Solución: P= 71.992 P –  a= 42.702 P –  b= 12.137 P –  c= 17.152

 Ángulo A:

 Ángulo B:

 Ángulo C:

1 tan  B  2

1 tan  A  2

(12.137)(17.152) 71.992(42.702)



208.1738 3074.2024

 0.2602

 A  2 tan 1 (0.2602)   A  2910'

(42.702)(17.152) 71.992(12.137)



732.4247 873.7669

 0.9156



(42.702)(12.137) 71.992(17.152)



518.2742 1234.8068

 0.6479



 B  2 tan 1 (0.9156)  B  8457'

Superficie:

1 tan C   2

C   2 tan 1 (0.2602)  C   6553'

S   71.992(42.702)(12.137)(17.152)  S   799.980 m 2

Comprobación: A+B+C=180°,

29°10’ + 84°57’ + 65°53’ = 180° 

Ej. Resolver los siguientes triángulos: a) a = 76.34 m  b = 107.58 m c = 115.44 m

 b) a = 32.60 m  b = 61.50 m c = 83.44 m

34

Levantamientos con brújula y cinta  La orientación topográfica, en términos generales, tiene por objeto dar a las líneas de un plano la misma dirección que guardan sus homólogas en el terreno. La dirección de cualquier línea se determina por el ángulo horizontal que forma con alguna referencia real o imaginaria que tiene una dirección fija. Comúnmente se emplean como líneas de referencia la meridiana astronómica o la meridiana magnética. Definiciones  Plano meridiano astronómico o verdadero de un punto. Es el círculo máximo que pasa por ese punto y  por los polos terrestres. PN

Meridiana Astronómica

O

Ecuador

PS

 Plano meridiano magnético. Es el plano vertical en que se coloca una aguja imanada y orientada bajo la acción única del campo magnético terrestre.  Meridiana astronómica o verdadera.  Es la dirección norte-sur dada por la intersección del plano meridiano astronómico con el horizonte. Se determina a partir de observaciones al Sol o a las Estrellas (Polar).  Meridiana magnética. Es la línea paralela a las líneas magnéticas de fuerza de la Tierra; su dirección es la que toma una aguja magnética suspendida libremente. Esta se emplea como una línea de referencia en los levantamientos topográficos tradicionales, los diversos instrumentos topográficos de medición angular suelen llevar todos una brújula.  Declinación magnética. Es el ángulo que se forma entre la meridiana astronómica y la magnética. En nuestro país la declinación magnética es oriental; es decir, el extremo norte de la aguja de la brújula apunta al Este de la meridiana astronómica o verdadera. Esta cambia de valor de un lugar a otro, ya que está sujeta a ciertas variaciones de tiempo y de lugar. Chilpancingo tiene una declinación de 07º 43’.8 E, aproximadamente.

35

. (Norte

(Norte Magnético)

: Declinación Magnét ica

En la actualidad, el polo norte magnético está magnético está ubicado aproximadamente a 1000 millas al Sur del Polo  Norte astronómico astronómico en el Ártico canadiense, cerca cerca de la isla Ellef Rinanes. Se mueve hacia el norte a razón de 15 kilómetros por año.

Ángulos y direcciones La dirección de una línea se puede definir por el rumbo o por el azimut. Ambos pueden ser magnéticos o astronómicos. Los datos astronómicos se consideran invariables, y también se les llama verdaderos.

Azimut y rumbo de una línea Azimut de una línea:  Es el ángulo que forma una línea con la dirección Norte-Sur, medido de 0º a 360º a  partir del Norte, en el sentido sentido del movimiento de las manecillas manecillas del reloj. N

 Az   AB

N

 A  AZIMUT DIRECTO

C

 Az   AB

 AZIMUT INVERSO INVERSO

B

36

azi mut dir di r ecto es el que se toma en el origen de la línea, o sea, en A visando B. Tomando la línea AB, su azi

El azimut inverso es el que se toma en el extremo final de la línea, en B visando A. Entre ambos azimutes, directo e inverso, existe una diferencia de 180º;

Azimut inverso = Azimut directo + 180º Rumbo de una línea:  Es el ángulo horizontal que dicha línea forma con el eje Norte-Sur, su valor está comprendido entre 0º y 90º; a partir del Norte o a partir del Sur, hacia el Este o hacia el Oeste. N

D

E 39º 57’

W

37º 43’

N

 A

E

RUMBO DIRECTO SE 61º 40’ 

C

61º 40’

61º 40’

52º 27’ S

RUMBO INVERSO

NW 61º 40’ W

B

E

S

umbo di di r ecto es el que se toma estacionado en A y visando B. Tomando la línea AB, su r umbo

El rumbo inverso es el que se toma en sentido opuesto, o sea de B a A.

Conversión de azimutes a rumbos y viceversa Con frecuencia hay necesidad de convertir los azimutes a rumbos y viceversa. Para facilitar esta conversión, estableceremos la relación entre azimut y rumbo en cada uno de los cuatro cuadrantes.

37

1ER. Cuadrante; N

B

 Az

Rbo. = Az Az = Rbo.

Rbo.

E

 A

 Rbo. = Rumbo  Az = Azimut 

2DO. Cuadrante; N

 Az.  A  A

Rbo. = 180º - Az Az = 180º - Rbo.

E

Rbo. S

B

3ER. Cuadrante; N

Rbo. = Az –  180º  180º Az = 180º + Rbo.

W

 Az B

Rbo. S

38

4TO. Cuadrante; N

Rbo. = 360º - Az Az = 360º - Rbo. B

Rbo.

W

 Az

Levantamientos con brújula y cinta Usos de la brújula Se emplea para levantamientos secundarios, reconocimientos, trabajos preliminares, para tomar radiaciones en trabajos de configuración, para polígonos apoyados en otros levantamientos más precisos, etc.  No debe emplearse la brújula en zonas donde quede sujeta a atracciones locales, tales como: poblaciones, líneas de transmisiones eléctricas, estructuras de acero, etc.

Levantamiento de una poligonal con brújula y cinta El procedimiento consiste en recorrer el perímetro de la poligonal, tomando los datos necesarios para la elaboración y construcción del plano.

B

C

Poligonal de apoyo

Poligonal del terreno E

 A

C



A

L

D

L

E

Trabajo de campo

Comprende las operaciones siguientes:

39

1. 2. 3. 4.

Reconocimiento del terreno, Materialización de los vértices de la poligonal y del terreno, Dibujo del croquis, como resultado del recorrido del levantamiento, Recorrido del perímetro del polígono de base y de la poligonal del terreno, tomando los rumbos (azimutes) directo (hacia delante) e inverso (hacia atrás) de los lados y tomando sus distancias medidas con cinta, 5. Levantamientos de detalles. Los datos resultados del levantamiento, se anotan en forma clara y ordenada, en el siguiente formato como registro de campo:

Registro de campo Levantamiento:_______________________________ Levantó:______________________________ Lugar:______________________________ Fecha._______________ Aparato__________________ Dist.(m) Rumbos EST. P.V. Croquis y Notas Ida Vuelta Directos Inversos



Cálculos y correcciones



Trabajo de gabinete

El procedimiento usual es:

a) Con los Rumbos tomados hacia atrás y hacia adelante (inverso y directo) en cada vértice o estación, se obtienen los  Rumbos observados, b) A partir de estos, se calculan los ángulos interiores, por diferencia de rumbos, en cada vértice. Al calcular los ángulos interiores de cualquier polígono levantado con brújula y cinta, se debe verificar;  ángulosinteriores  180n - 2

Si existe alguna diferencia, esta no deberá exceder la tolerancia angular; T A  a n

Donde: TA = Tolerancia angular en minutos a = aproximación del aparato, que en el uso de la brújula es ± 30’

n = número de vértices de la poligonal Si:

 E  A > T  A ; las operaciones de campo se repiten, Donde: EA: error angular

40

Corrección angular: El error angular E A, generalmente se reparte entre todos los ángulos medidos; o sea: E A n

,  procurando cumplir con la condición geométrica establecida, según el polígono; corrigiendo así los

ángulos interiores,

c) Se escoge un rumbo base que se supone correcto. Este puede ser el de un lado cuyos rumbos directo e inverso hayan coincidido mejor, d) A partir del rumbo base, con los ángulos interiores calculados, se calculan nuevos rumbos para todos los lados del polígono, que serán los rumbos calculados. Error de cierre lineal Como a pesar de todas las precauciones tomadas en el terreno y en la elaboración del dibujo, generalmente, el extremo final del polígono de base no coincide con el origen, la distancia gráfica entre dichos puntos es el error de cierre que no deberá ser mayor que la tolerancia lineal. C B

A

A’ D

Error lineal,

EL E

La tolerancia lineal, T L se calcula: Terreno Plano  Accidentado

Tolerancia lineal L 1000 L TL   500

TL 

Donde: L = perímetro de la poligonal, en metros. Si el error lineal no rebasa la tolerancia establecida, se compensará el error gráficamente. La precisión o error relativo en un levantamiento se calcula dividiendo el error de cierre por el perímetro del polígono, P

EL

L

Donde:

41

P = precisión o error relativo, EL = error lineal, ƩL = perímetro de la poligonal, Generalmente, la precisión se representa;

P

1 L EL

“Lo que nos indica que habrá una unidad de error por cada cierto número de medidas”.

La precisión o error relativo en los levantamientos con brújula y cinta se define; Terreno Plano

Precisión TL 

 Accidentado

L

1000 L TL  500

Compensación lineal Determinado el error de cierre y si este se encuentra dentro de la tolerancia establecida, la poligonal se corrige en forma gráfica de la manera siguiente: a) Se calculan las correcciones considerando que los errores son proporcionales a las longitudes de los lados de la poligonal. El error unitario o error por metro 

EL

L



" " , se calcula:

E  ( L)

Donde: EL : Error lineal  L : Perímetro de la poligonal Calculando

" " , las correcciones se

C1 = C2 = C3 = C4 = C0’ =

obtienen:

L1 (L1 + L2) ( L1 + L2 + L3) ( L1 + L2 + L3 + L4) ( L1 + L2 + L3 + L4 + L5)

:

C0’ =

( L )

 Se concluye que: C 0’  = E

 b) Por los vértices de la poligonal se trazan paralelas al error de cierre, en sentido contrario al error.

42

Poligonal sin compensar L2 L1

Error de cierre

L3

Poligonal compensada

L5

L4

c) Luego, sobre estas paralelas se miden las correcciones respectivas para cada vértice: para el vértice 1, C1, para el vértice 2, C 2, para el vértice 3, C 3, y así sucesivamente hasta el último vértice. d) Por último uniendo estos puntos tendremos la poligonal compensada. Ejemplo. Con los datos de campo de la práctica respectiva, calcular: a) Los ángulos interiores del polígono a partir de los rumbos observados,  b) El error angular (E A), c) La tolerancia angular (T A), d) La corrección angular (C), e) Los ángulos interiores corregidos, f) Los rumbos, a partir del rumbo base y los ángulos interiores corregidos.

Registro de campo Levantamiento con brújula y cinta. Levantó:___________________________ Lugar:__________________ Fecha:___________

EST.

P.V.

A B C D E

B C D E A

Dist. (mts.) 37.00 40.50 36.50 37.45 35.00

Rumbos Directos Inversos  N 45° 00’ E  N 37° 00’ W S 70° 30’ W S 02° 00’ E S 75° 00’ E

Croquis y Notas

S 45° 30’ W S 37° 00’ E  N 70° 00’ E  N 02° 00’ W  N 75° 30’ W

Prácticas en cada caso

43

Levantamientos con tránsito y cinta Los levantamientos con Tránsito y cinta, consisten en el trazo de  poligonales, que es la operación de establecer las estaciones de ésta y de hacer las mediciones necesarias, es uno de los procedimientos fundamentales y más utilizados en la  práctica  para determinar la ubicación relativa entre puntos en el terreno. Las poligonales son figuras geométricas compuestas por una serie de líneas consecutivas cuyas longitudes y direcciones se determinan a partir de mediciones en el campo. Básicamente existen dos tipos de  poligonales, la cerrada y la abierta; nuestro análisis se enfocara en ellas, previamente efectuadas todas las correcciones y ajustes respectivos. Hay dos tipos básicos de  poligonales: La  cerrada. Las líneas regresan al punto de partida, formándose así un polígono geométrica y analíticamente cerrado. Son de aplicación extensa en levantamientos topográficos. B C

P

Ángulos  A

Punto de D

control

Lados de la

Estación de

poligonal

E

la poligonal

La abierta. Las líneas terminan en otra estación, que puede tener una exactitud de posición igual o mayor que la del punto de partida. Son geométricamente abiertas, pero analíticamente cerradas. Se usan generalmente en los levantamientos de vías terrestres.

Ángulos B

E P2

 A

C

D

P1

44

El establecimiento de estas poligonales consiste en:  Medir ángulos, direcciones y distancias. 

Medida directa de ángulos

Consiste en medir en todos los vértices de la poligonal los ángulos  que forman los dos lados que concurren al vértice de observación (Estación). Este método se emplea preferentemente en el levantamiento de  poligonales cerradas, ya que podemos medir ángulos interiores o exteriores.

Ángulos interiores Consiste simplemente en medir todos los ángulos interiores de la poligonal. Se emplea en el trazo de  poligonales cerradas. F E

Ángulos Interiores

 Az AB

 A B D recorrido

C

Es conveniente medir todos los ángulos interiores en el mismo sentido, en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj o a la derecha, porque así se reducen los errores de lectura, registro y trazo.

Condición geométrica Al tomar ángulos interiores, el recorrido del trazo de la poligonal, se realiza en sentido contrario del movimiento de las manecillas del reloj. En el campo, al terminar el levantamiento se determina el error angular   comparando la suma de los ángulos observados  con la suma que, para la poligonal levantada, da la condición geométrica. Condicióngeométrica( C geom )  180ºn  2

El error angular , E ang :  E ang    angs. obs.  180º n  2 

La tolerancia angular , TA, se calcula: T A  a n

Donde: a: aproximación del aparato n: número de vértices de la poligonal

45

 Ejemplo Registro de un levantamiento con tránsito y cinta, midiendo ángulos horizontales internos. EST. P.V. Dist. Ángulo R.M.O. A B 52.146 135°59’  N 58° 41’ E B C 50.159 91° 08’ C D 51.153 112° 18’ D E 55.431 116° 48’ E A 50.435 83° 47’

Ángulos exteriores En este, a diferencia del anterior, es que se toman los ángulos exteriores, es decir, los ángulos de afuera de una poligonal. Recorrido

B

C

Ángulos Exteriores

 Az AB

 A F D

E

Para este caso, el recorrido de la poligonal, se realiza en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj, midiendo así los ángulos a la derecha.

Condición geométrica.  Esta se obtiene: Condición geométrica  180º (n  2)

El error angular , E  A:

E A   angs. obs.  180º n  2

La tolerancia angular , TA, se obtiene de la misma manera que el caso anterior: T A  a n

46

Si el error angular es menor o igual que la tolerancia, el levantamiento se realizó correctamente; en caso contrario se repite el trabajo de campo.

 Ejemplo Registro de un levantamiento con tránsito y cinta, midiendo ángulos horizontales externos. EST. P.V. Dist. Ángulo R.M.O. A B 50.435 224° 01’  N 77° 18’ W B C 55.431 276° 13’ C D 51.153 243° 12’ D E 50.159 247° 43’ E A 52.146 268° 53’



Método de deflexiones

Ángulo de deflexión Se denomina ángulo de deflexión, el ángulo que se forma de un lado de la poligonal con la prolongación del lado anterior. Estos ángulos se consideran positivos o negativos según se midan a la derecha (DD) o a la izquierda (DI) de la prolongación.

4 2

3 1

Este método se usa generalmente en el trazo de poligonales abiertas como las empleadas en el trazo de una vía de comunicación. En las poligonales abiertas, los errores angulares se pueden determinar haciendo observaciones astronómicas a intervalos; o comparando con puntos de control establecidos con equipo GPS (Sistema de Posicionamiento Global), tomando en cuenta la convergencia de meridianos para distancias largas.

47

P

Línea de control

 Az AB

D D I D

En poligonales cerradas, la suma algebraica de ángulos de deflexión es constante e igual a 360º. Es decir, la condición geométrica del cierre angular de la poligonal se expresa:

 Deflexione s (  ) -  Deflexione s (-)  360º  de l a figura :  ABCDE : Poligonal D1, D 2 , D 5 : Deflexiones

D1

luego :

b

D2

a  b  c  180º d  e  f   180º

a

g  h  i  180º

d

c

a  b    i  3  180º

e

g

tambien: D1  a  d  g  180º D2  b

 180º

D3  c  e

 180º

D 4  h  f 

 180º

D5  i

D3

f

 180º

D5

i

h

D1  D 2    D 5  a  b    i  5  180º D1  D 2    D 5   a b  i              

 D 

3180º

 D  3  180º  5  180º



:

D4

 D  360º

Método de conservación de azimutes

Este método, como su nombre lo indica, consiste en conservar el azimut de un lado leído en una estación,  para partir de él en las lecturas que se ejecuten en la siguiente estación. Está basado tal que, sí en una estación cualquiera se orienta el instrumento y se visa la estación siguiente, la lectura de limbo horizontal dará directamente el AZIMUT de la línea que une las dos estaciones.

48

Este método es aplicable a cualquier tipo de poligonales.

B

 AzBC

 Az AB

 A

C F

 AzCD  AzEF

 AzDE

D

E

B

 Az BC

 Az   AB

 A

C  Az CD

 Az FA

F

 Az DE

D

 Az EF

E

Comprobación del cierre angular La diferencia entre el azimut de partida y el azimut de llegada es el error de cierre angular del polígono que debe sujetarse a la tolerancia angular: T A  a n

49

Cálculos y correcciones Terminado el trabajo de campo, se procede a ordenar los datos tomados y efectuar los cálculos que con ellos se ejecutan, con objeto de obtener los elementos necesarios para construir el plano. Todos estos elementos se anotan en una hoja de papel con rayado especial llamada  planilla de cálculo. Todo lo anterior se denomina trabajo de gabinete. 

Corrección o compensación angular de una poligonal cerrada

Si EA