Ayudantia 16-02-2021

 

•

•

•

•

•

•

Probabilidades Teorema de bayes Distribución binomial Distribución hipergeometrica hipergeometrica Distribución poisson Distribución exponencial 1

GENESISSUAREZ   

PROBABILIDADES

La probabilidad es la posibilidad de que un evento cualquiera pueda ocurrir

0 -1 0% – 100% Cero= sin probabilidad Uno= la certeza de que el evento ocurrirá

GENESISSUAREZ

2

 

La teoría de la probabilidad aborda 3 enfoques: 1º frecuencia relava: basados en hechos históricos

2º modelo subjevo: grado de creencia asignado por un experto, casos favorables al evento A

 

3º modelo clásico: la prob. de un evento es la razón entre los números de casos favorables favorables y el número total de casos posibles: GENESISSUAREZ

3

 

A unión B

Evento A o Evento B

A B

A intersección B

Evento A y Evento B

 A A-B

Diferencia

A menos B

Complemento de A  1 – A 4

4 GENESISSUAREZ  

  S  A   U  L   F O  R  M

5  

Una distribución binomial ene las siguientes siguientes caracteríscas: caracteríscas: 1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: éxito y fracaso. 2. La probabilidad de éxito es constante , es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p. 3. La probabilidad de fracaso también es constante, Se representa representa por q, q = 1 − p 4. El resultado obtenido en cada prueba es independiente  de los resultados obtenidos anteriormente. 5. La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en las n pruebas. Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2, 3, 4, ..., n .

n es el número de pruebas. k es el número de éxitos. p es la probabilidad de éxito. fracaso. q es la probabilidad de fracaso. El número combinatorio

6  

♦ Ejemplos

de una distribución binomial

• Nº de caras al lanzar 20 veces una moneda • Nº de aprobados si se presentan 80 alumnos a un examen • Nº de familias con un solo hijo en una población de 120 familias • Nº de reacciones negavas ante un fármaco administrado a 40 pacientes • Nº de accidentes de tráco si han circulado 1200 automóviles • Nº de semillas que germinan de las 20 semillas que se han plantado en suelos de idénca composición

GENESISSUAREZ  

♦

Ejemplos de una distribución poisson •

Número de bacterias nocivas por cada cm3 de agua.

•

Número de parculas radiacvas emidas cada hora por una cierta sustancia.

•

•

La probabilidad de reacción negava ante un fármaco de un individuo es 0.05. Si hay 100 individuos, X: “nº individuos con reacción negava” Laprobabilidad de que un individuo tenga un accidente es 0.01. Si hay 3500 individuos, X: “nº de accidentados”

7

GENESISSUAREZ

8

 

la distribución exponencial es una distribución connua. Mide el paso del empo entre tales ocurrencias. Mientr Mientras as que la distribución de Poisson describe las tasas de llegada (de personas, telefónicas, etc.) dentro de algún período dado,ellalapso distribución exponencial entre talescamiones, arribos. Sillamadas el número de ocurrencias ene distribución de Poisson, entre las ocurrenciasesma estaráel lapso distribuido exponencialmente. exponencialmente. . La probabilidad de que el lapso sea menor que o igual a cierta candad x es

en donde t  es  es el lapso de empo e es la base del logaritmo natural 2.71828  μ es la tasa promedio de ocurrencia

La curva en connuo descenso muestra que con el paso del empo X aumenta, y la probabilidad disminuye

GENESISSUAREZ  

Ejercicios resueltos

9

10

GENESISSUAREZ  

En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los viajeros al azar azar.. excluyentes) Ingles ∪ Francés = ? a) ¿Cuál es la la probabil probabilidad idad de de que hable hable alguno alguno de los los dos idiomas? idiomas? (No son mutuamente excluyentes) b) ¿Cuál es la probabil probabilidad idad de que hable hable francés, francés, sabiendo sabiendo que que habla inglés? inglés?

a)

(prob. condicional)

Ingles ∪ Francés = P(ingles) + P(francés) – P(inglés ∩ francés) Ingles ∪ Francés = 48 + 36 – 12 Ingles

∪

Francés = 72/120

complemento

Francés/inglés  =

b) Francés/inglés  = 12/48

Inglés

i ∩ f 

Francés

Francés/inglés =?

GENESISSUAREZ

Espacio muestral

11

 

Un estudiante realiza dos exámenes en un mismo día. La probabilidad de que apruebe el primero es 0,6. La probabilidad de que apruebe el segundo es 0,8; y la de que apruebe los dos es 0,5. Calcula: a) La probabi probabilidad lidad de de que apruebe apruebe al menos menos uno de los dos dos exámenes. exámenes. P[ A ∪ B] = ? b) La probabi probabilidad lidad de que no aprueb apruebe e ninguno. ninguno. 1 − P [ A ∪ B] = ? c) La probabilidad probabilidad de que apruebe el segundo examen examen en caso de haber haber aprobado aprobado el primero P (B/ A) = ?

a) P[ A ∪ B] = P [ A] + P[ B] − P [ A ∩ B] = 0.6 + 0.8 − 0.5 = 0.9

b) 1 − P [ A ∪ B] = 1− 0.9 = 0.1 c) P (B/ A) =

P (B ∩ A ¿   ¿

()

 P   AA

=¿

0.5/0.6 = 0.83

12

GENESISSUAREZ  

En un club deporvo, el 52% de los socios son hombres. Entre los socios, el 35% de los hombres pracca pracca la natación, así como el 60% de las mujeres. Si elegimos un socio al azar: a) ¿Cuál es la probabil probabilidad idad de que que pracqu pracque e la natación natación? ? b) Sabiendo que pracca la natación, natación, ¿cuál es la probabilidad probabilidad de que sea una mujer? Natación O.35 Hombre

P( hombre y natación) = 0.52*0.35

O.52

0.18

No Natación O.65

Natación O.60

O.48

P( mujer y natación) = 0.48*0.60 Mujer No Natación O.40

0.288

13

GENESISSUAREZ  

Un empresario ene la posibilidad de intervenir en una de tres licitaciones diferentes: A, B, y C, con probabilidades de 0.5, 0.3 y 0.2 respecvamente. El empresario sabe que si interviene en la licitación A ene el 80% de posibilidad de obtener dictamen favorable, si interviene en la licitación B, el dictamen puede ser favorable con probabilidad del 40% y si interviene en la licitación C, el dictamen le puede favorecer favorecer con probabilidad del 60%. Si el empresario ha recibido un dictamen favorable, favorable, cual es la probabilidad de que haya intervenido en la licitación B? P [B / [B / dictamen favorable] =

Datos: P(A) = 0.5

P(DF/A) = 0.8

P(B) = 0.3

P(DF/B) = 0.4

P(C) = 0.2

P(DF/C) = 0.6

 p(B)* * P(DF/B) + p(C)  p(C)* * P(DF/C) P( dictamen favorable) favorable) = p(A)* p(A)* P(DF/A) + p(B)

P( dictamen favorable) = 0.5* 0.5* 0.8 + 0.3  0.3* * 0.4 + 0.2  0.2* * 0.6 P( dictamen favorable) = 0.64

P [B / dictamen favorable] = P(DF) = ?

P [B / dictamen favorable] =

 0 .3 ∗ 0. 4 0.64

P [B / dictamen favorable] favorable] = 0.1875

14

GENESISSUAREZ  

La probabilidad de que cierto anbióco presente una reacción negava al administrarse a un ave rapaz en recuperación es de 15%.  Si se les ha administrado dicho anbióco a 10 aves, calcúlense las probabilidades de que haya reacción negava: a. En do dos a av ves b. En meno menoss d de e4a ave vess c. Entr Entre e 2 y 5 aves

c)

a) b)

P(x=2)= 10C2 **

=0.2759

P(x≤3)= p(x=0) + p(x=1) + p(x=2) + p(x=3)

P(2≤ x≤5)= p(x=2) + p(x=3) + p(x=5) + p(x=5)

=0.4543

P(x=0)= 10C0 ** P(x=1)= 10C1 **

P(x=2)= 10C2 ** P(x=3)= 10C3 ** P(x=4)= 10C4 ** P(x=5)= 10C5 **

P(x=2)= 10C2 ** P(x=3)= 10C3 **

=0.95

GENESISSUAREZ

15

 

La probabilidad de que al administrársele un anbióco a un ave rapaz en recuperación se le presente una reacción negava es 0.05. Si se le va a administrar el anbióco a 80 de estas aves, calcúlese la probabilidad de que: 1. No haya haya reacción reacción negava negava e en n ningún ningún ave ave 2. Al menos menos haya haya reacci reacción ón nega negava va en dos de de ellas ellas

 μ = n*p  μ = 80*0.05  μ = 4

1.-1. 2.-2.

  4 0 ∗ − 4

0!

P(x ≥ 2) = 1 - p(x ≤ 1) P(x ≥ 2) = 1 - p(x=0) - p(x=1)

16

GENESISSUAREZ  

En cierta clínica hay 20 enfermos de los cuales se sabe que el 30% ene cáncer, cáncer, se extrae aleatoriamente 4 pacientes para el despistaje de cáncer a) Cual es es la probab probabilidad ilidad que al menos un tenga tenga cánce cáncer? r?

20 ----100% X -----30%? 5=30%

1 ∗ 15    3 3 ) + ( 5    2 2 ∗ 15  2 3 ∗ 15  1 4 ∗ 15    0 0)  1   2 ) + ( 5    3   1 ) + ( 5    4 P(al menos 1 tenga cáncer) =  (5   20    4 4

= 0.718

17

GENESISSUAREZ  

Suponga que un libro de 585 paginas conene 43 errores pográcos. pográcos. Si estos errores se distribuyen aleatoriamente a través del libro, cual es la probabilidad que 10 paginas seleccionadas al azar no tengan errores

P= 43/585

0

P(x=0) =

 86 / 117

n= 10 pág P(x=0) = 0.48 E(x)= n*p E(x)= 10*43/585

∗

0!



− 86 / 117

18

GENESISSUAREZ  

La mesa direcva de una escuela publica está compuesta por 5 miembros de la comunidad, 2 de los cuales son doctores de matemácas. matemácas. El alcalde pretende elegir 2 miembros de la mesa para formar un subcom subcomité ité que se entrevistará con los profesores para tratar un asunto de suma importancia. Cual es la probabilidad de que el subcomité este compuesto de por lo menos un doctor en matemácas P(x ≥ 1) = ? P(x ≥ 1) = 1 – p(x